Sistema axonométrico

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Sistema axonométrico

  1. 1. SISTEMA AXONOMÉTRICO
  2. 2. • Este sistema de representación nos proporciona, al igual que el Sistema Cónico, una visión directa y de muy fácil interpretación al primer golpe de vista de losSistema axonométrico: cuerpos • El tipo de proyección que se emplea es este sistema es, como en el SistemaFundamentos Diédrico Ortogonal, Cilíndrica Ortogonal.Etimológicamente, el término • El Sistema Axonométrico Ortogonal emplea un solo plano de proyección denominado Plano del cuadro o de proyección (coincidente con nuestroaxonométrico quiere decir eje y soporte, generalmente el papel) sobre el que se proyectan directamente losmedida (axo-métrico). Fue definido elementos representados.por el matemático francés Desargües • Además intervienen 3 planos auxiliares que proporcionan otras tantasen el Siglo XVII, siglo de las proyecciones, cada punto del espacio queda totalmente definido con estas tres proyecciones auxiliares y la directa sobre el plano del cuadro.sistematizaciones científicas. • Los tres planos auxiliares antedichos forman entre sí un triedro trirrectángulo (poliedro formado por tres planos que se cortan dos a dos, según ángulos rectos) que tiene su vértice O coincidente con el plano del cuadro.
  3. 3. Sistema axonométrico:Designación o nomenclatura. • Las proyecciones directa y secundarias de un punto se unen según un segmento paralelo siempre a alguno de los ejes axonométricos .Las intersecciones entre los planos • Las mencionadas rectas, contenidas o paralelas a los ejesauxiliares o caras del triedro axonométricos se denominan rectas axonométricastrirrectángulo son las 3 aristas de (isométricas cuando se representan en este sistema).dicho triedro concurrentes en suvértice O y que proyectadas sobre elplano del cuadro denominaremos ejesaxonométricos OX, OY y OZ. Nosservirán de referencia y medida. Losplanos comprendidos entre ellos sedenominan XOY, XOZ y ZOY.Las proyecciones secundarias de unpunto A se designan a’, a” y a’” (o A1,A2 y A3) según pertenezcan a losplanos XOY, XOZ o ZOYrespectivamente.Las proyecciones secundarias de unarecta R se designan r’, r” y r”‘ (o r1, r2,r3) según pertenezcan a los planosXOY, XOZ o ZOY respectivamente.Las trazas de un plano β se designanβ’, β” y β”‘ (o β1, β2, β3) segúncorrespondan a los planos XOY, XOZ oZOY respectivamente.
  4. 4. Triángulo de trazas Sus lados son perpendiculares a la proyección de los ejesAl triángulo formado por las trazas generadaspor la sección entre el triedro y un plano P axonométricos opuestos y sus vértices coinciden en estos,paralelo al plano del cuadro se denomina su ortocentro coincide con el origen de coordenadas otriángulo de las trazas o triángulo vértice del triedro. Fig. 5fundamenta. Fig.a4.
  5. 5. P. Isométrica, Dimétrica, • La suma total de ángulos entre los tres ejes es siempreTrimétrica 360º y por tanto en este caso el ángulo comprendido entreEn función de la inclinación que el ellos será de 120º, cuando se da esta circunstancia, latriedro tenga respecto del plano de perspectiva axonométrica adopta el término particular de ISOMÉTRICA.proyección, así resultará enproyección la posición relativa de los • Si la inclinación del triedro es tal que dos de los ejesejes. forman 2 ángulos iguales y uno desigual, estamos en otro caso particular denominado DIMÉTRICA, denominándose TRIMÉTRICA cuando los tres ángulos son desiguales. Figuras 5 A B y C.
  6. 6. Escalas gráficas y reducciones.Ángulo de pendiente Cuando la proyección es ortogonal al plano deEn general, cuando un segmento oblicuo a proyección, la magnitud de la proyección es igualun plano se proyecta sobre él, dicha a la verdadera magnitud del segmentoproyección experimenta una reducción. El multiplicada por el coseno del ángulo que esteángulo a comprendido entre el plano de forma con el plano. Este coseno recibe el nombreproyección y cada una de las aristas, que se de coeficiente de reducción en el sistema dedenomina ángulo de pendiente, determina representación axonométrico. Figura 1.la reducción correspondiente a cada eje
  7. 7. Las rectas axonométricas (paralelas a los ejes axonométricos) Escalas gráficas y experimentarán reducciones idénticas a las de sus ejes correspondientes. reducciones. • En Isométrica el ángulo de pendiente es igual para los tresLas reducciones de las unidades de los ejes y por tanto el coeficiente de reducción (C=0,816), laejes o de segmentos axonométricos reducción que los ejes experimentan es por tanto, la misma.(paralelos a estos) expresados segúncoordenadas x, y, z, pueden calcularse • En Dimétrica tenemos 2 ángulos de pendiente diferentes,multiplicándola verdadera magnitud por uno para dos de los ejes y otro para el tercero, los primerosel coeficiente de reducción experimentarán una reducción diferente a la del tercero.correspondiente o bien gráficamente • En Trimétrica 3 son los ángulos de pendiente, uno para cada uno de los ejes y tres serán por tanto los coeficientes de reducción a aplicar.
  8. 8. • Son 2 dos los métodos, según la charnela de abatimientoEscalas gráficas escogida, que podemos emplear para calcular las escalas gráficas conocidos los ejes y en ambos casos el procedimiento consiste en situar, mediante abatimiento, las aristas del triedro en verdaderaA menudo no nos darán como datos magnitud colocando sobre ellas las unidades de medida para posteriormente desabatir y obtener de este modo la proyecciónlos coeficientes de reducción gráfica sobre los ejes de las unidades de medida con sus correspondientessino el ángulo que forman entre sí los reducciones.ejes. A partir de este dato tendremosque calcular las reducciones. • Primer método: obtención de las escalas gráficas abatiendo a partir de las trazas del triángulo fundamental.
  9. 9. Escalas gráficasEn lugar de abatir sobre el plano • Segundo método: obtención de las escalassecante P, paralelo al plano del cuadro,las caras del triedro y con ellas un par gráficas abatiendo a partir de las alturas delde ejes como hemos visto, podemos triángulo fundamental.abatir uno a uno los tres ejes delsistema a partir de planos que,conteniéndolos sean perpendicularesal plano del cuadro.
  10. 10. Alfabeto del punto. • Un punto puede estar situado, con relación al triedro de referencia:Un punto viene determinado por sus • En uno de los 8 octantes.coordenadas A (x, y, z), estas definen • Contenido en algún plano del triedro.la posición de las proyeccionessecundarias (a’, a’’ y a’’’ sobre los • Contenido en los ejes o aristas del triedro.planos XOY, XOZ y YOZrespectivamente) (A1, A2 y A3 sobrelos planos XOY, XOZ y YOZrespectivamente según otrosautores) y principal del punto (A).Conociendo dos de estas cuatroproyecciones tenemos definido alpunto.
  11. 11. La recta en el sistemaaxonométrico.Determinación de la recta. Trazas de una recta.Una recta queda definida por susproyecciones directa y secundarias. R (r’, • Las trazas de la recta son los puntos de intersección der’’, r’’’) o bien (r1, r2, r3) dicha recta con las caras del triedro.Como en Sistema Diédrico Ortogonal, una • Se designan con mayúsculas y subíndice numerado T1, T2 yrecta queda determinada por dos puntos T3 correspondiendo al plano o cara XOY, XOZ, YOZcontenidos en ella, A y B.• La proyección directa R surge de unir las respectivamente (Hr, para el plano XOY, Vr para el planodirectas de estos dos puntos A y B. X=Z, Wr para el plano YOZ, según algunos autores).•Las proyecciones secundarias de unir lassecundarias correspondientes a A y B.Figura 1. Determinación de la recta. Trazas de una recta. Recta contenida en un plano de proyección.
  12. 12. Posiciones particulares de las rectas IRecta contenida en un plano de proyección: La proyección principal y una secundaria son coincidentes, elresto coinciden en los ejes. Figura 3.Recta paralela a un plano del triedro: La proyección principal es paralela a la secundaria perteneciente alplano al que la recta es paralela, las otras dos son paralelas a los ejes que definen dicho plano. Figura 4.Recta perpendicular a un plano del triedro: La proyección secundaria en dicho plano queda reducida a unpunto, coincidente con la traza de la recta en dicho plano. Las otras dos proyecciones secundarias y lapropia principal son paralelas al eje que no contiene al plano al que la recta es perpendicular. Figura 5Recta que corta a un eje: El punto por donde la proyección principal corta al eje es traza doble y por ahípasan dos proyecciones secundarias, la tercera proyección secundaria pasa por el origen. Figura 6.
  13. 13. Posiciones particulares de las rectas IIRecta que pasa por el origen: Las tres trazas de R coinciden en el origen y por tanto pasan por aquí principal ysecundarias. Para determinar las proyecciones secundarias de R nos auxiliamos de un punto A de la recta.Figura 7.Recta perpendicular en el origen al plano del cuadro: Su proyección directa y sus trazas quedan reducidas aun punto coincidente con O. Las proyecciones secundarias, son prolongaciones de los ejes de coordenadas.Figura 8.Recta perpendicular al plano del cuadro en un punto cualquiera: Su proyección directa y sus trazas quedanreducidas a un punto coincidente con O. Las proyecciones secundarias son paralelas a los ejes. Figura 9.Estos dos últimos tipos de rectas se denominan proyectantes sobre el cuadro.
  14. 14. Trazas del plano en el sistema axonométrico. • Las trazas se designan con mayúscula prima, segunda y terceraSistema axonométrico. El según corresponda a la intersección con el auxiliar XOY, XOZ o YOZ respectivamente: P (P’, P’’, P’’’) Figura 1A.plano • Con letras griegas y subíndices 1, 2 y 3 según pertenezcan a XOY, XOZ o YOZ respectivamente según algunos autores (β1, β2, β3)Se define un plano en este sistema por Figura 1B. Definen estas trazas el denominado triángulo de lassus trazas o rectas de intersección de trazas, cuyos vértices se encuentran sobre los ejes del sistema. • Las trazas, como rectas que son, tienen proyecciones directa,dicho plano con los planos de coincidente con la propia intersección, y secundarias, coincidentesreferencia. una con la principal y las otras dos con los ejes que determinan el plano auxiliar que genera la traza. Ocurre que, por simplificar, no se dibujan todas estas proyecciones secundarias, como ocurría en Sistema Diédrico Ortogonal.
  15. 15. Determinación de unplano.Plano determinado por dos rectas que secortan.Dos rectas R y S que se cortan en A,determinan un plano, para ello, bastará unirlas trazas homólogas de ambas rectas. En elejemplo, la traza P’’’ del plano la dibujamos alcerrar el triángulo de las trazas no teniendoque dibujar por tanto las trazas de las rectassobre el plano YOZ. Figura 3.Plano determinado por tres puntos noalineados.Uniendo los puntos dos a dos, tenemos dosrectas que se cortan en un punto y por tantoestamos en el caso anterior.
  16. 16. Posiciones particulares del plano IPlano paralelo a uno de los ejes: Dos de las trazas del plano son paralelas al eje. El triángulo de las trazas tieneun vértice impropio, el correspondiente al eje en cuestión. Este plano es perpendicular al secundario que nocontiene al eje al que es paralelo. Algunos autores los denominan con poca propiedad según otros, ProyectantesSecundarios. Figura 4.Plano paralelo a un plano del triedro: Dos de sus trazas son paralelas al plano en cuestión y por tanto a los ejesque lo determinan. La tercera o restante, es impropia. Figura 5.
  17. 17. Posiciones particulares del plano IIPlano que pasa por un eje: Quedan confundidas sobre este eje dos de las trazas del plano, la tercera converge enO con las otras dos. Este plano también es proyectante secundario. Figura 6.Plano que pasa por el origen: Las tres trazas pasan por O. Conocidas dos de ellas, la tercera (P’’ en el ejemplo) lacalcularemos auxiliándonos de una recta R contenida en este plano y por tanto con sus trazas coincidentes con lashomólogas del plano (T1 y T3 en P’ y P”’ respectivamente). Calculamos la proyección de R, r’’ sobre el plano ZOX,y su traza T2 sobre dicho plano. La traza P’’ del plano buscada debe pasar por O y por T2. Figura 7.Plano perpendicular al plano del cuadro: Sus tres trazas y todos los elementos en él contenidos coinciden sobrela recta que lo define. Este plano puede considerarse como proyectante sobre el plano del cuadro. Figura 8.
  18. 18. Presentación realizada por Malena Benito 2013 Dibujos y contenidos de http://dibujotecni.com /

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