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Conceptos Fundamentales de Algebra

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  • 1. Escuela de Ciencias de la Computación – UTPL Fundamentos Matemáticos Autores: Ing. Germania Rodríguez, Ing. Ricardo Blacio UNIDAD 1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA Estimado alumno, iniciamos el estudio de la asignatura abordando temas fundamentales que se requiere conocer dentro del maravilloso mundo de las matemáticas; aunque la matemática va más allá del estudio de los números, comenzaremos revisando el sistema de números reales porque las dificultades que suelen presentarse en temas más avanzados surgen de la falta de comprensión de los principios básicos de la materia. 1.1 Sistema de números reales Para iniciar el estudio del tema vaya al texto básico y revise el capítulo 1: Conceptos fundamentales de álgebra, la sección 1.1, Números Reales, o si tiene la posibilidad visite el siguiente enlace web disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real ¿Qué le pareció la lectura? Le resulto fácil entender la explicación del sistema de números reales, ¿verdad? … Ahora que ya tiene una idea sobre el tema, es necesario aclararle algunas nociones básicas en relación a este contenido. En el siguiente esquema le ofrecemos los tipos de números usados en matemáticas: Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - no comercial-compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
  • 2. Escuela de Ciencias de la Computación – UTPL Fundamentos Matemáticos Autores: Ing. Germania Rodríguez, Ing. Ricardo Blacio Además recuerde, los números reales cumplen con ciertas propiedades, las mismas que con seguridad ya las identificó y revisó la explicación que sobre cada una de ellas se incluye en el texto básico. Dentro de este primer tema revisemos rápidamente tres conceptos matemáticos que son: Recta numérica Pues bien, otro de los temas que se encuentra en este apartado es representar el conjunto de números reales y a estos asociarlos con los puntos de una línea recta; teniendo claro que: A la izquierda del origen (0) se encuentran los reales negativos y a la derecha los reales positivos. Recuerde, existe una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de una recta, es decir a cada número real le corresponde un punto en la recta y viceversa. Los números reales sobre la recta se encuentran ordenados de izquierda a derecha de menor a mayor. Valor absoluto Revise en el texto básico capítulo 1, lo concerniente a valor absoluto, en este tema usted encontrará la definición, propiedades y ejemplos del valor absoluto. Notación científica Algo muy importante también es poder expresar en notación científica cantidades sumamente grandes o pequeñas en la forma c x 10n y que deben cumplir con la condición que usted ya revisó en el texto básico; sin embargo, con la finalidad de reforzar lo estudiado de cómo representar un número en notación científica, veamos los siguientes ejemplos: Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - no comercial-compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
  • 3. Escuela de Ciencias de la Computación – UTPL Fundamentos Matemáticos Autores: Ing. Germania Rodríguez, Ing. Ricardo Blacio Convertir el número 4210254 a notación científica. 1. Aplicar la definición de notación científica, que dice 4.210254 x 106 que c debe ser mayor o igual a 1 y menor que 10, en este caso vemos que 4 es menor que 10, por lo tanto, cumple con la condición. 2. El exponente n debe ser un número entero, en este caso 6 es un entero positivo e indica que el punto decimal debe moverse 6 lugares a la derecha. Convertir el número 0.00000000054897 a notación científica. 1. Aplicar la definición de notación científica, que dice 5.4897 x 10-10 que c debe ser mayor o igual a 1 y menor que 10, en este caso vemos que 5 es menor que de 10, por lo tanto cumple con la condición. 2. El exponente n debe ser un número entero, en este caso -10 es un entero negativo e indica que el punto decimal debe moverse 10 lugares a la izquierda. Espero que estos ejercicios le hayan ayudado a entender mejor lo que es una notación científica, ahora le invito a desarrollar los ejercicios que a continuación se plantean y los que se proponen en el texto básico. Actividad recomendada Convierta los siguientes números a notación científica: 5875445639887756 0.000000000023654 Continuemos con el siguiente tema Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - no comercial-compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
  • 4. Escuela de Ciencias de la Computación – UTPL Fundamentos Matemáticos Autores: Ing. Germania Rodríguez, Ing. Ricardo Blacio 1.2 Exponentes y radicales Empecemos este tema revisando en el texto básico el capítulo 1: Conceptos fundamentales de álgebra, el apartado 1.2, Exponentes y Radicales. Exponentes Con la lectura que acaba de realizar seguramente ya logró comprender que la potenciación resulta del producto de factores repetidos, por ejemplo: 7.7.7.7.7, se escribe 75 en donde 7 es la base y 5 el exponente. Una vez que ya asimiló esto, conviene aprender las leyes de exponentes, para simplificar las diferentes expresiones algebraicas que encuentre. Cuando revisó las explicaciones que en el texto básico se incluyen, se habrá dado cuenta que también hay ejercicios desarrollados, los que le ayudarán a comprender de mejor forma la utilización de las mismas. Una vez que usted ya tiene claro este tema desarrollemos el siguiente ejercicio, aplicando las leyes de exponentes para los números reales. Ejemplo Simplifique la siguiente expresión: Simplificación Procedimiento Como el exponente afecta a toda la fracción, lo que se hace es elevar al exponente tanto el numerador como el denominador. Como el exponente es negativo, aplicar el siguiente teorema a-1 = 1/a, tanto al numerador como al denominador. Y por último cuando se tiene un exponente elevado a otro exponente, colocamos la base y multiplicamos los exponentes. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - no comercial-compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
  • 5. Escuela de Ciencias de la Computación – UTPL Fundamentos Matemáticos Autores: Ing. Germania Rodríguez, Ing. Ricardo Blacio Como se habrá dado cuenta, para poder simplificar se requiere conocer las leyes de exponentes, además, los ejercicios se pueden presentar de diferente forma, pero si sabe el procedimiento y las leyes va a poder aplicarlo en cualquier caso. Siga desarrollando los ejercicios que se proponen a continuación para que vaya practicando. Actividad recomendada Utilizando las leyes de los exponentes simplifique las siguientes expresiones: Además, puede desarrollar más ejercicios remitiéndose en el texto básico al apartado 1.2 del tema que estamos desarrollando. Radicales Los radicales se consideran la operación contraria de la potenciación en la que nos dan la potencia y el exponente y debemos encontrar la base, esta operación se llama radicación. Observe el siguiente gráfico: √ Radicando Índice Raíz Radical Por lo tanto, si M y a son números reales y n es un número entero positivo mayor que 1, entonces a es la raíz n-esima de M si y solo si: an = M. Al igual que en la potenciación las leyes de los radicales son muy importantes, usted debe familiarizarse con ellas; recuerde que los radicales obedecen a las mismas leyes de los exponentes pero con distinta simbología. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - no comercial-compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
  • 6. Escuela de Ciencias de la Computación – UTPL Fundamentos Matemáticos Autores: Ing. Germania Rodríguez, Ing. Ricardo Blacio Algo muy importante que usted debe tener en cuenta es que las raíces de índice par y radicando negativo no están definidas dentro del conjunto de los números reales. Una aplicación que se realiza con los radicales es la racionalización que tiene por objeto eliminar los radicales del numerador o del denominador. Veamos el siguiente ejemplo: Simplifique la siguiente expresión: 16 81 Simplificación Procedimiento Dividir el radical tanto en el numerador como √ en el denominador Sacar las raíces de cada uno de los términos de la expresión. Para reforzar el aprendizaje de esta parte realice lo siguiente. Actividad recomendada Es el momento de acudir al texto básico para ubicar los ejercicios, que se encuentran al final del apartado 1.2 y desarrolle los que considere necesarios para entender mejor este tema. Si al realizar cualquiera de los ejercicios surgiera alguna dificultad, puede comunicarse con sus profesores para despejar las inquietudes que hubieren. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - no comercial-compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
  • 7. Escuela de Ciencias de la Computación – UTPL Fundamentos Matemáticos Autores: Ing. Germania Rodríguez, Ing. Ricardo Blacio 1.3 Expresiones algebraicas Regrese de nuevo al texto básico y revise el capítulo 1: Conceptos fundamentales de álgebra, el tema 1.3, Expresiones Algebraicas, o si tiene la posibilidad visite el siguiente enlace web disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_elemental#Expresiones_algebraicas Después de la lectura comprensiva que acaba de realizar, usted ya sabe que: Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural.1 Por ejemplo 3x2 es un monomio que posee los siguientes elementos: 2 que es el grado de la expresión. 3 que es el coeficiente. x2 que es la parte literal de la expresión. Y el polinomio es una expresión algebraica que se forma de la suma o resta de dos o más monomios. Por ejemplo 3x2+2x-7. Todo esto usted ya lo revisó en su texto básico; así como la definición, clasificación y el algebra de polinomios. Además, con los polinomios podemos realizar las operaciones fundamentales como son la suma, resta, multiplicación y división, para esto se aplica las propiedades de los números reales. Veamos el siguiente ejemplo: Expresemos como polinomio lo siguiente (3x+2) (x-5) (5x+4) 1 Santos Cuervo, L.(2001): Expresiones Algebraicas, Ministerio de Educación, [en línea] Disponible en: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_ didacticos /Polinomios/monomios.htm [consulta 2009-10-15] Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - no comercial-compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
  • 8. Escuela de Ciencias de la Computación – UTPL Fundamentos Matemáticos Autores: Ing. Germania Rodríguez, Ing. Ricardo Blacio Simplificación Procedimiento Aplicar la multiplicación de polinomios 3x2 – 15x + 2x -10 (5x+4) entre los dos primeros factores. 3x2 -13x -10 (5x+4) Simplificar términos semejantes. 15x3 + 12x2 – 65x2 – 52x – 50x Aplicar la multiplicación de polinomios. -40 15x3– 53x2 – 102x -40 Simplificar términos semejantes Otro de los temas que usted debe tener en claro es el siguiente: Productos notables: Nos permiten obtener el resultado directamente sin necesidad de hacer las operaciones respectivas, mediante algunas reglas que ya las revisó en el texto básico. Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x2 + 2y)( x2 - 2y) = x4- 4y2 Factorización: es transformar en un producto de dos o más polinomios de grado inferior al polinomio dado. Dentro de esta parte hay varios métodos de factorización que usted los debe saber y utilizar en las diferentes operaciones que realice. Ejemplo Factorar el siguiente polinomio x5 - 4x3 + 8x2 – 32 Simplificación Procedimiento (x5 - 4x3) + (8x2 - 32) Agrupar términos. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - no comercial-compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
  • 9. Escuela de Ciencias de la Computación – UTPL Fundamentos Matemáticos Autores: Ing. Germania Rodríguez, Ing. Ricardo Blacio x3 (x2 - 4) + 8 (x2 - 4) Sacar el factor común de las dos expresiones. (x3+ 8) (x2 - 4) Igualmente sacar el factor común polinomico. (x+2) (x2-2x+4) (x+2) (x-2) Resolver la suma de cubos en el primer factor y también en el segundo factor aplicar la diferencia de cuadrados. (x+2)2(x-2) (x2-2x+4) Simplificar términos semejantes. Actividad recomendada Acuda nuevamente al texto básico y desarrolle los ejercicios que se encuentran al final del tema 1.3, realice los que usted considere necesarios para reforzar el conocimiento. 1.4 Expresiones fraccionarias Una vez que haya estudiado las expresiones algebraicas puede profundizar en las expresiones fraccionarias, en donde debe saber que el numerador y el denominador de la fracción son polinomios o en otras palabras es un cociente de polinomios. Ahora es el momento para realizar lo siguiente: Revise en el texto básico el capítulo 1: Conceptos fundamentales de álgebra, el acápite 1.4, Expresiones Fraccionarias. Espero que la lectura le haya resultado de fácil comprensión; sin embargo, para que usted asimile mejor realicemos el siguiente ejercicio. Simplifique la expresión Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - no comercial-compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
  • 10. Escuela de Ciencias de la Computación – UTPL Fundamentos Matemáticos Autores: Ing. Germania Rodríguez, Ing. Ricardo Blacio Simplificación Procedimiento Aplicar los casos de factorización para poder simplificar la expresión dada: En el numerador una diferencia de cuadrados y en el denominador una diferencia de cubos. Y por último simplificar el factor (y – 5) que se encuentra en el numerador y en el denominador respectivamente. Actividad recomendada Es conveniente ir al final de cada sección y desarrollar la mayor cantidad de ejercicios que usted considere necesario. Si tuvo alguna dificultad no dude en contar con nosotros, que gustosos despejaremos sus inquietudes. Recuerde que el conocimiento de esta materia usted lo logrará revisando con especial atención los fundamentos teóricos y especialmente desarrollando los ejercicios propuestos. Hemos concluido el estudio de esta primera unidad, lo invito a responder por lo tanto, la siguiente autoevaluación que le permitirá conocer su nivel de conocimientos. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - no comercial-compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).