Matematicas financieras 2011-2
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Matematicas financieras 2011-2 Matematicas financieras 2011-2 Document Transcript

  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADEscuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de NegociosContenido didáctico del curso Matemáticas Financieras UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS CONTABLES ECONÓMICAS Y DE NEGOCIOS 102007 – MATEMÁTICAS FINANCIERAS GIRARDOT Enero de 2011 1
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras LISTADO DE GRÁFICOS Y FIGURASGráfica 1. Comportamiento tasa efectiva anual para diferentes capitalizaciones de 39tasas vencidasGráfica 2. Liquidación de intereses anticipados 49Gráfica 3. Tasas efectivas correspondientes a tasas nominales vencidas y 50anticipadasGráfico 4. Distribución Beta 2 119Gráfico 5. Distribución Beta 127Gráfica 6. Comparación VPN de dos proyectos 142 2
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTOEl módulo que se presenta hace parte del material didáctico correspondiente alCurso Académico de Matemáticas Financieras, es un rediseño al texto escrito porel Doctor Jorge S. Rosillo C. y editado por la UNAD en 2002. Se tomó estadecisión con base en el levantamiento del estado del arte del material que sevenía trabajando hasta enero de 2005; en los últimos tres años ha sido revisadocontinuamente por el director del curso virtual, Doctor Alexander Beltrán Echeverryquién se desempeña como tutor en el CEAD de Girardot.El producto resultante de esta mediación, tiene en cuenta los elementosestructurales del material didáctico; por tanto está organizado de tal manera quesirva como soporte pedagógico al curso de Matemáticas Financieras, el cual estáestructurado por el sistema de créditos académicos. Como material didáctico, suintencionalidad es apoyar el trabajo académico de los aprendientes en función delaprendizaje y el desarrollo cognitivo y meta-cognitivo de los aprendientes, encorrelación con las intencionalidades formativas del curso 3
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras INTRODUCCIÓNEl administrador de empresas puede desenvolverse profesionalmente en el niveloperativo de la organización aplicando las cuatro funciones principales de laadministración: planeación, organización, dirección y control; en el nivel mediocomo jefe de departamento o en la toma de decisiones a nivel institucional. En lostres niveles se encarga de que los recursos sean productivos y contribuyan allogro de las metas corporativas.La comprensión, interpretación y aplicación de los conceptos propios de lasmatemáticas financieras le permiten al aprendiente el desarrollo de habilidadesen el manejo de las herramientas financieras que le permitirán en el ejercicioprofesional proponer con argumentos sólidos alternativas de solución a lasproblemáticas se presenten y que tengan que ver con la toma de decisiones sobreevaluación de alternativas de inversión o de uso y aplicación de recursosfinancieros.Entre las posibilidades inmediatas de aplicación de las diferentes herramientasfinancieras apropiadas mediante el estudio juicioso de las temáticas queconforman el presente módulo, se encuentran: el Proyecto de DesarrolloEmpresarial (PDE) objeto del trabajo de grado y en la resolución de problemasprácticos que se identifiquen en las actividades de proyección y apoyo a lacomunidad en que se desenvuelven los aprendientes. Este es el mayor atractivodel estudio de esta rama de las matemáticas aplicadas.Además de las competencias básicas, se pretenden desarrollar otras complejas ytransversales que permitan al estudiante, identificar, apropiar y transferir losconceptos y las herramientas financieras aplicables en el análisis y evaluación deproyectos de inversión y aplicar ese conocimiento en situaciones de toma dedecisiones en su gestión como empresario, como responsable del área financierade una organización o como miembro activo de su comunidad. 4
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADEscuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de NegociosContenido didáctico del curso Matemáticas Financieras CONTENIDO Pág. Introducción 4 UNIDAD UNO COSTO DEL DINERO EN EL TIEMPO 7 Justificación 7 Objetivo General 7 Objetivos Específicos 7 Capítulo Uno. Interés 9 Lección 1 Conceptos 9 Lección 2 Concepto de interés simple 11 Lección 3 Concepto de interés compuesto 22 Lección 4 Tasas de interés 32 Lección 5 Conversión de tasas 40 Ejercicios para profundización de las temáticas 53 Capitulo Dos. Equivalencias con cuotas fijas 56 Lección 6 Equivalencias entre un valor futuro y una serie de cuotas 56 fijas vencidas Lección 7 Equivalencias entre un valor presente y una serie de 58 cuotas fijas vencidas Lección 8 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas 59 fijas anticipadas Lección 9 Equivalencia entre un valor presente y una serie de 60 cuotas fijas anticipadas Lección 10 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas 61 Fijas vencidas con interés anticipado Capitulo Tres. Equivalencias con cuotas variables 63 Lección 11 Gradientes Aritméticos y Geométricos 63 Lección 12 Equivalencia entre un valor presente y un Gradiente 69 Lección 13 Gradiente Aritmético Creciente y Decreciente 72 Lección 14 Amortizaciones 78 Lección 15 Perpetuidades 91 Resumen de la Unidad Uno 92 Ejercicios para profundización de las temáticas 93 5
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADEscuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de NegociosContenido didáctico del curso Matemáticas Financieras UNIDAD DOS EVALUACION DE ALTERNATIVAS DE INVERSION 95 Justificación 95 Objetivo General 95 Objetivos Específicos 95 Capitulo Cuatro. Clases de evaluaciones y criterios de decisión 97 Lección 16 Evaluación de proyectos sociales 97 Lección 17 Criterios para evaluar proyectos de inversión 103 Lección 18 Valor Presente Neto –VPN 106 Lección 19 Tasa interna de Retorno –TIR 108 Lección 20 Costo Anual Uniforme Equivalente –CAUE 111 Capitulo Cinco. Análisis de Riesgos en los proyectos de 113 inversión Lección 21 Sistemas de Análisis 113 Lección 22 Riesgo e Incertidumbre en Proyectos de Inversión 114 Lección 23 Métodos para Evaluar el Riesgo en la Evaluación de 116 proyectos de Inversión Lección 24 Distribución Beta 2 122 Lección 25 Distribución Beta 130 Capítulo Seis. Alternativas Mutuamente Excluyentes 135 Lección 26 Alternativas Mutuamente Excluyentes 135 Lección 27 Tasa Verdadera 138 Lección 28 Tasa Ponderada 142 Lección 29 Sensibilidad de los proyectos a diferentes tasas de 145 Descuento Lección 30 Proyectos con vidas diferentes 149 Resumen de la Unidad Dos 151 Ejercicios para profundización de las temáticas 152 Glosario 156 Bibliografía y Cibergrafía 160 6
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasUNIDAD UNO COSTO DEL DINERO EN EL TIEMPOJustificaciónCon el estudio de esta unidad el aprendiente apropiará una serie de conceptos como:interés, interés simple, interés compuesto, tasas de interés; asimismo comprenderá elprincipio de equivalencia financiera y conocerá la manera de realizar todas lasconversiones posibles entre las diferentes tasas de interés.Objetivo GeneralA partir de su reconocimiento y aplicación en casos prácticos, deducir las fórmulasde interés simple e interés compuesto y establecer los parámetros para suaplicación en las cuestiones financieras.Objetivos específicos Deducir las fórmulas de interés simple e interés compuesto Encontrar una tasa de interés efectiva equivalente a una tasa de Interés nominal dada o viceversa. Hallar sumas futuras y presentes equivalentes a una serie de pagos Establecer los parámetros que permitan la liquidación de intereses sobre saldos mínimos Encontrar los parámetros que permitan calcular las sumas presentes equivalentes a una serie de cuotas que crecen o decrecen en forma lineal Determinar una expresión matemática que calcule del valor de la primera cuota para con base en el sistema de amortización se puedan calcular las restantes Elaborar tablas y gráficas de amortización de amortización para sistemas de amortización diferentes 7
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasCAPÍTULO UNO INTERÉSLECCIÓN UNO CONCEPTOSEn la sociedad primitiva los seres humanos seautoabastecían: generalmente el hombre salía a cazar opescar para conseguir alimento o vestido y la mujer sededicaba a cuidar el fuego y a recoger frutos; no secazaba más de lo que se consumía.El concepto de acumulación tuvo su origen en la sociedad artesanal, la cual secaracterizó por la división del trabajo; esta sociedad estaba formada porcarpinteros, panaderos, alfareros, herreros, albañiles, ganaderos, agricultores, etc.Quienes no solamente producían para su consumo, sino que generabanexcedentes, lo que les permitía intercambiar otros productos para satisfacer susnecesidades de alimentación, vivienda, vestuario y educación.Por ejemplo, el productor de papa sólo satisfacía parte de su necesidad dealimento y para que el producto de su trabajo le sirviera como medio de vida,debía intercambiar sus excedentes por otros productos, debía buscar otroindividuo que estuviera interesado en adquirir su producto. Se requería laexistencia de una necesidad recíproca para poder realizar el intercambio, sin ellaera imposible realizar la transacción; una vez se encontraban los dos individuos sedebía fijar cuántas unidades del producto ―A‖ serían necesarias para adquirir elproducto ―B‖, la relación entre la cantidad de un producto que se entrega paraobtener una unidad del otro, es el precio de un bien expresado en unidades delotro bien.Concepto de InterésEl concepto de interés tiene su origen en las transacciones que realizan dos o másactores por el intercambio de bienes y servicios.La necesidad de intercambiar de los individuos para satisfacer sus necesidades ylas limitantes del intercambio que generaba la ―necesidad recíproca‖, fue haciendogerminar el establecimiento de un bien que fuera aceptado por todos paranegociar. Inicialmente, este bien fue el ganado y servía para expresar el preciode cualquier transacción; poco a poco fueron surgiendo otros productos, el oro y laplata que se usaron como dinero cumpliendo funciones de unidad de valor y mediode cambio desplazando a otros sistemas de cambio por su fácil manejo hastallegar a nuestro días con el papel moneda de aceptación universal, comoinstrumento de intercambio. 8
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasDe la misma forma que en la sociedad artesanal se producían excedentes parapoder intercambiar, en la sociedad contemporánea los excedentes de dinero delos individuos que no se consumen se llaman AHORRO, los cuales puedeninvertirse o cederse a otros en el instante del tiempo que los soliciten parasatisfacer sus necesidades. El costo o el rendimiento de estas transacciones sellaman INTERÉS.Partamos de un ejemplo para fundamentar este concepto: supongamos quetenemos dos personas que tienen el mismo dinero para invertir y ambos soncomerciante, el dinero disponible de cada uno de ellos es de $10 millones, perotienen diferentes negocios; el primero de ellos se llama Linda Plata, es joyera eimporta joyas de Panamá y el segundo es don Armando Rico, quien ofrece almercado perfumes importados de Francia.Mensualmente estos individuos adquieren $10.000,000 en mercancías, pero losdos obtienen resultados diferentes. Doña Linda obtiene una ganancia de$300.000 en el mes y don Armando $500,000 en el mismo lapso de tiempo.Observemos que teniendo la misma inversión reciben beneficios diferentes,podemos definir entonces el INTERÉS como la utilidad que se tiene sobre unainversión en ―X‖ tiempo, o sea: Utilidad Interés = InversiónSiendo el interés del comerciante en joyas = 3% mensual y el interésdel comerciante en perfumes = 5% mensual.Dado el caso de que una tercera persona, por ejemplo Justo Sin Plata, necesite$10.000.000 y se los solicite a don Armando, éste se los cedería solamente si lereconoce una tasa de interés igual a la que le rinden sus inversiones, es decir, al5% mensual; de aquí nace otro concepto conocido con el nombre de TASA DEINTERÉS DE OPORTUNIDAD que quiere decir que cualquier inversionista estádispuesto a ceder su dinero, si se le reconoce una tasa de interés igual o superiora la que rinden sus inversiones. 9
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLECCIÓN DOS INTERÉS SIMPLESiendo el interés la utilidad sobre la inversión, se puede tomar el ejemplo anterioren el cual el comerciante en joyas doña Linda Planta de Rico, gana mensualmente$300.000 con $10.000.000 invertidos; si continuamos su análisis indefinidamente,es decir, mes a mes, el resultado es el siguiente: MES DINERO GANANCIA DINERO INVERTIDO ACUMULADO 1 $10.000.000 $300.000 $10.300.000 2 $10.000.000 $300.000 $10.600.000 3 $10.000.000 $300.000 $10.900.000 . . N $10.000.000 $300.000Si: Utilidad Interés = InversiónUtilidades = 3% x $10.000.000 = $300.000 en cada período, para este caso, cadames.Lo anterior se puede presentar simbólicamente de la siguiente forma:Dinero invertido = PTasa de Interés = i Utilidad = Inversión x Tasa de interés Utilidad = Pi 10
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras MES DINERO INVERTIDO UTILIDADES 1 2 P Pi 3 P Pi . P Pi . n P PiLo anterior quiere decir que doña Linda Plata de Rico tiene unas utilidades (Pi)por período y si quiere saber cuántas utilidades ha generado su inversión desdeel momento en que la realizó, simplemente deberá multiplicar las utilidades decada período por el número de ellos transcurridos a la fecha, desde el momentoen que realizó la inversión.Generalizando a n los períodos, se tendrían en este punto unas utilidadesacumuladas Pin y el total de dinero acumulado sería igual a la inversión inicialmás las utilidades acumuladas; a esta suma se le conoce con el nombre deMONTO o VALOR FUTURO y en términos simbólicos se representa de lasiguiente forma:P = Valor de la inversión ó valor actualF = Valor futuron = Número de períodos%i = Tasa de interés F = inversiones + Utilidades Acumuladas F = P + Pin F = p (1 + in) 11
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasNótese que en el ejemplo doña Linda Plata, no reinvirtió las ganancias sinosiempre invirtió la misma cantidad ($10 millones); es decir, cuando no hayreinversión de las utilidades se conoce con el nombre de inversiones a INTERÉSSIMPLE.Ejemplo 1¿Cuánto dinero acumularía Juan Pérez dentro de 5 años, si invierte hoy$4.000.000 a una tasa de interés simple del 3% mensual?El primer paso para resolver el problema planteado es elaborar un diagrama deflujo de la siguiente manera:Considerar los ingresos de dinero con una flecha hacia arriba y los desembolsoscon una flecha hacia abajo, en una escala de tiempo que pueden ser años,semestres, meses, días. La escala de tiempo debe estar expresada en el mismoperíodo que está expresada la tasa de interés; en el ejemplo la tasa de interésestá expresada en meses, por lo tanto los 5 años se deben convertir a meses, osea 60 meses. i = 3% mensual F 60 meses P = 4.000.000F = P (1 + in)F= $4.000.000 (1 + 0.03 (60))F= $11.200.000Lo anterior quiere decir que don Juan Pérez se ganó $7.200.000 en los 5 años yadicionalmente tiene el dinero que invirtió o sea $4.000.000.SUPUESTO: El inversionista no hace ningún retiro de dinero en el lapso de tiempoconsiderado. 12
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasEjemplo 2Armando Rico recibió hoy $3.450.000 del Banco de Bogotá por una inversión querealizó hace tres semestres; si la tasa de interés es del 2% mensual, ¿cuántodinero invirtió don Armando?Como se explicó anteriormente, el punto de partida es realizar el gráfico o flujode caja correspondiente; el problema quedaría planteado así:En razón a que la tasa es mensual se deben expresar los tres semestres enmeses, para que los elementos estén en la misma base. 0 i=2% mensual F = 3.450.000 18 meses = 3 Semestres PReemplazando en la ecuación que relaciona estas variables se tiene:F = P (1 + in)F = $3.450.000 porque en este valor se consolidan la inversión y las utilidadesI = 2% mensualN = 3 semestres = 18 mesesEntonces,3.450.000 = P (1 + 0,02 (18))3.450.000 = P (1 + 0,36) 13
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasP = $2.536.764,71Este es el valor que invirtió don Armando hace 18 meses.Ejemplo 3Patricia Fernández recibió un préstamo de $3.000.000, que debe pagar en 18meses; si al final del plazo debe cancelar $3.850.000, calcular la tasa de interéssimple del préstamo. P = 3.000.000 18 meses 0 F = 3.850.000Nótese que se dibujaron los $3.000.000 con una flecha hacia arriba, puesto que seestá tomando como referente a Patricia Fernández; al recibir el dinero delpréstamo tienen un ingreso y cuando cancela el crédito ella tiene un desembolso,por lo cual se dibuja con una flecha hacia abajo.Si se toma como referente el prestamista, el gráfico sería el siguiente: F = 3.850.000 0 18 meses P = 3.000.000 14
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasReemplazando los datos de la ecuación se tiene:F = P (1 + in)3.850.000 = 3.000.000 (1 + i% (18))Expresándolo en términos porcentuales se tiene,Ejemplo 4Armando Mendoza recibió un préstamo de $7.000.000 de Beatriz PinzónSolano, si canceló $10.500.000 y la tasa de interés fue del 2% mensualsimple, calcular, ¿cuál fue el plazo del préstamo?Gráfico para Armando Mendoza P = 7.000.000 i = 2% mensual 0 F = 10.500.000 15
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasGráfico para Beatriz Pinzón Solano F = 10.5000.000 i = 2% mensual 0 P = 7.000.000Reemplazando en la ecuación se tiene:F = P (1 + in)10.500.000 = 7.000.000 (1 +(2%)n) Recuerde que 2% = 0,021,5 – 1 = 0,02n0,5 = 0,02nn = 25 mesesNótese que la tasa de interés se expresó en meses porque está dada en meses.Ejemplo 5Sofía Vergara recibió un préstamo del Banco Santander que debe pagar de lasiguiente forma: $3.000.000 dentro de 6 meses, $4.000.000 dentro de un año y$5.000.000 en año y medio.Si la tasa de interés es del 10% semestral simple, determinar, ¿cuánto dinero leprestó el Banco Santander a Sofía?Recordando que los períodos del plazo deben estar en el mismo período que latasa de interés, se tiene: 16
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras6 meses = un semestreUn año = dos semestresAño y medio = tres semestresGráfico para el Banco Santander 3.000.000 4.000.000 5.000.000 0 1 2 3 Semestre s i = 10% semestral PGráfico para Sofía Vergara i = 10% semestral 0 1 2 3 Semestre P 3.000.000 4.000.000 5.000.000 17
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasObservando el gráfico y el planteamiento del problema, se tiene una concepcióndiferente a la tratada en los ejemplos anteriores en los cuales se tenía un soloingreso y un solo pago o viceversa. Este ejemplo plantea tres desembolsos en elfuturo para el caso de Sofía. La solución de este tipo de problema se basa en elmismo concepto, simplemente se analiza cada ingreso o desembolso en el futurode manera independiente.Cada pago que hace Sofía, se considera dentro del total de la cuota, una partecorrespondiente a intereses y otra un abono al préstamo. Para el BancoSantander, los intereses serían las utilidades y el abono al préstamo unadevolución de una parte de la inversión. Este concepto es congruente con ladefinición de valor futuro, como el consolidado de la inversión más las utilidadesexplicado al principio de este capítulo; en este caso las utilidades y la inversión sedevolverán al Banco en tres pagos y no en uno.F = P (1 + in)Analizando cada pago independiente se tiene:Pago 1 = P1 = = $2.727.272,73Pago 2 = P2 = = $3.333.333,33Pago 3 = P3 = = $3.846.153,85Por lo tanto el valor del préstamo sería:PT = P1 + P2 + P3PT = $ 2.727.272,73 + $ 3.333.333,33 + $ 3.846.153,85P T = $ 9.906.759,91 18
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasEjemplo 6Natalia París desea realizar un viaje por el continente europeo de un año y sepropone el siguiente plan de ahorros para realizar su sueño: hoy, ahorra$1.000.000; dentro de tres meses, ahorrará $1.000.000; dentro de un semestre,ahorrará $1.500.000 y dentro de 10 meses, ahorrará $1.700.000.¿Cuánto dinero tendrá exactamente dentro de un año, si la tasa de interés que lepaga el Banco es del 1% mensual simple?Gráfico para Natalia 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 F=? meses 1.000.000 1.000.000 1.500.000 1.700.000i = 1% mensual, 1% = 0.01Se debe recordar que los desembolsos o ingresos deben estar expresados en elmismo período de tiempo que la tasa de interés.Retomando el ejemplo anterior, cada ahorro o inversión se trata de maneraindependiente por lo tanto se tiene:Ahorro o inversión #1 = F1Ahorro o inversión #2 = F2Ahorro o inversión #3 = F3Ahorro o inversión #4 = F4La inversión o ahorro de $1.000.000 que hace en el período #1 dura exactamenteen el banco 12 meses, por lo tanto n = 12.F1 = P1 (1 + in)F1 = 1.000.000 (1 + 0,01(12)) = $1.120.000 19
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLa inversión o ahorro de $1.000.000 que hace en el período #3 dura exactamenteen el banco 9 meses (12 meses-3meses), por tanto n = 9.F2 = P2 (1 + in)F2 = 1.000.000 (1 + 0,01(9)) = $1.090.000La inversión o ahorro de $1.500.000 que hace Natalia en el período #6 duraexactamente en el banco 6 meses (12 – 6 meses), por lo tanto n = 6.F3 = P3 (1 + in)F3 = 1.500.000 (1 + 0,01(6)) = $1.590.000La inversión o ahorro de $1.700.000 que hace en el período # 10 duraexactamente en el banco 2 meses (12 meses – 10 meses), por lo tanto n = 2.F4 = P4 (1 + in)F4 = 1.700.000 (1 + 0,01(2)) = $1.734.000Por lo tanto, el dinero que tendría acumulado Natalia París dentro de un año será:F = F1 + F2 + F3 + F4F = $5.534.000Como conclusión final, podemos dejar despejadas cada una de las variables queintervienen en la ecuación original de INTERES SIMPLE, quedando de la siguientemanera: 20
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADEscuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de NegociosContenido didáctico del curso Matemáticas Financieras VALOR FUTURO VALOR PRESENTE TASA DE INTERES NUMERO DE PERIODOS 21
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLECCIÓN TRES INTERÉS COMPUESTOEn el caso de interés simple se consideró que las ganancias eran iguales paratodos los períodos, puesto que la inversión permanecía constante. Cuando setrata de interés compuesto, las utilidades no son iguales para todos los períodospuesto que la inversión varía de un período a otro, en razón de que las utilidadesobtenidas en un período se reinvierten en el siguiente.Tomando nuevamente el ejemplo con el que se inició el capítulo, donde lainversionista Linda Plata tenía $10,000,000 disponibles; si doña Linda invierteestos dineros a una tasa del 3% mensual y reinvierte sus utilidades, se tendría elsiguiente resultado: MES DINERO GANANCIA DINERO INVERTIDO ACUMULADO 1 $10.000.000 10.000.000 * 0,03 = 300.000 10.00.000+300.000 =10.300.000 2 $10.300.000 10.300.000 * 0,03 = 309.000 10.300.000+309.000 = 10.609.000 3 $10.609.000 10.609.000 * 0,03 = 318.270 10.609.000+318.270 =10.927.270 . . nLo anterior lo podemos generalizar de la siguiente forma:P= Inversión%i= Tasa de InterésUtilidad = Inversión X i = PiF= Valor futuro 22
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras DINEROMES INVERTIDO GANANCIA DINERO ACUMULADO 1 P P (i) P + Pi = P(1 +i) P(1+i) 2 P(1+i) (i) P (1+i) + P(1+i)i = P(1+i)(1+i) = P(1+i)2 P(1+i)2+P(1+i) = P(1+i)2(1+i) = P(1+i)3 3 P(1+i)2 P(1+i)2(i) 4 . . . . . . . n P(1+i)nGeneralizando, se concluye que cuando se reinvierten las utilidades (interéscompuesto) el dinero acumulado a valor de futuro se puede definir como: F = P (1+i)nSi se aplica la anterior equivalencia al caso de doña Linda, se puede plantear elsiguiente ejercicio:Cuánto dinero acumulará (valor futuro) doña Linda dentro de tres meses a unatasa de interés del 3% mensual, si invierte $10.000.000 inicialmente:F = P (1+i)nF= $10.000.000 (1+0,03)3F = $10.927.270Valor que coincide con los $10.927.270 obtenidos en la primera tabla.En conclusión, la gran diferencia del interés compuesto radica en la reinversión deutilidades. Si se comparan los dineros acumulados en el tercer mes para el casode doña Linda con una inversión de $10.000.000 al 3% mensual, se obtienen lossiguientes resultados:Interés simple: dinero acumulado al tercer mes $10.900.000Interés compuesto: dinero acumulado al tercer mes $10.927.270 23
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasEjemplo 1¿Cuánto dinero acumularía Juan Pérez dentro de 5 años, si invierte hoy$4.000.000 a una tasa de interés compuesto del 3% mensual?El primer paso para resolver el problema planteado es elaborar un diagrama deflujo de la siguiente manera:Considerar los ingresos de dinero con una flecha hacia arriba y los desembolsoscon una flecha hacia abajo en una escala de tiempo que pueden ser años,semestres, meses, días. La escala de tiempo debe estar expresada en el mismoperíodo que está expresada la tasa de interés; en el ejemplo la tasa de interésestá expresada en meses, por lo tanto los 5 años se deben convertir a meses, osea 60 meses. i = 3% mensual F 60 meses P = 4,000,000F = P (1 + i )nF = 4.000.000 (1 + 0, 03)60 = $ 23.566.412,42Este mismo ejemplo con tasa de interés simple, obtuvo un valor futuro de$11.200.000Ejemplo 2Armando Rico recibió hoy $3. 450.000 del Banco de Bogotá por una inversión querealizó hace tres semestres: si la tasa de interés es del 2% mensual compuesto,¿Cuánto dinero invirtió don Armando?Como se explicó anteriormente el punto de partida es realizar el gráfico o flujo decaja correspondiente; el problema quedaría planteado así:En razón de que la tasa es mensual, se deben expresar los tres semestres enmeses, para que los dos elementos tengan la misma base: 24
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras F = 3.450.000 0 i = 2% mensual 18 meses = 3 semestres PReemplazando en la ecuación que relaciona estas variables se tiene:F = P ( i + i) nF = $ 3.450.000, porque en este valor se consolidan la inversión y las utilidadesi= 2% mensualn= 3 semestres = 18 mesesEntonces,$ 3.450.000 = P (1 + 0.02) 18$ 3.450.000 = P (1,42824624758)P = $2.415.549,84Este es el valor que invirtió don Armando hace 18 meses.Ejemplo 3Patricia Fernández recibió un préstamo de $3.000.000 que debe pagar en 18 meses;si al final del plazo debe cancelar $3.850.000 calcular la tasa de interés del préstamo.P = 3.000.000 18 meses 0 25
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasNótese que se dibujaron los $3.000.000 con una flecha hacia arriba, puesto que seestá tomando como referente a Patricia Fernández; al recibir el dinero del préstamotiene un ingreso y cuando ella cancela el crédito tiene un desembolso, por lo cual sedibuja con una flecha hacia abajo.Si se toma como referente al prestamista el gráfico sería el siguiente: F = 3.850.000 0 18 meses P = 3.000.000Reemplazando los datos de la ecuación se tiene Hacemos la división y podemos sacar raíz 18 a ambos ladosEn términos porcentuales, i = 1,3955% mensual Ejemplo 4 Armando Mendoza recibió un préstamo de $7.000.000 de Beatriz Pinzón Solano, si canceló $10.500.000 y la tasa de interés fue del 2% mensual compuesto, calcular, ¿cuál fue el plazo del préstamo? 26
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras Gráfico para Armando Mendoza P = $ 7.000.000 i = 2% mensual F = $10.500.000 0 Gráfico para Beatriz Pinzón Solano F = $10.500.000 0 i = 2 % mensual P = $ 7.000.000Reemplazando en la ecuación se tiene:F = P (1 + i ) n2% = 0,0210.500.000 = 7.000.000 (1 + 0.02) nAplicando logaritmos en base 10 a ambos lados de la ecuación se tiene: Por propiedades de logaritmos , la n pasa a multiplicar0,17609125 = n . (0,0086001717) 27
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financierasn = 20,47 mesesNótese que la respuesta se expresó en meses porque la tasa de interés está dada enmeses.Ejemplo 5Sofía Vergara recibió un préstamo del Banco Santander que debe pagar de la siguienteforma: $ 3.000.000 dentro de 6 meses, $ 4.000.000 dentro de un año y $ 5.000.000 en añoy medio. Si la tasa de interés es del 10% semestral compuesto, determinar, ¿cuántodinero le prestó el Banco Santander a Sofía?Recordando que los períodos del plazo deben estar en el mismo período que la tasade interés, se tiene:6 meses = un semestreun año = dos semestres :año y medio = tres semestresGráfico para el Banco Santander 5.000.000 3.000.000 0 1 2 3 semestres i = 10% semestral P 28
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras Gráfico para Sofía Vergara i = 10% semestral 0 1 2 3 semestres P 3.000.000 4.000.000 5.000.000Del problema, se tiene una concepción diferente a la tratada en los ejemplosanteriores en los cuales se tenía un solo ingreso y un solo pago o viceversa. Esteejemplo plantea tres desembolsos en el futuro para el caso de Sofía. La solución deeste tipo de problema se basa en el mismo concepto, simplemente se analiza cadaingreso o desembolso en el futuro de manera independiente.Cada pago que hace Sofía se considera dentro del total de la cuota una partecorrespondiente a intereses y otra un abono al préstamo. Para el Banco Santander,los intereses serían las utilidades y el abono al préstamo una devolución de una partede la inversión. Este concepto es congruente con la definición de valor futuro, como elconsolidado de la inversión más las utilidades explicado al principio de este capítulo:en este caso las utilidades y la inversión se devolverán al Banco en tres pagos y no enuno.Analizando cada pago independientemente se tiene:Pago 1 = P1 = = $2.727.272,73Pago 2 = P2 = = $3.305.705,12Pago 3 = P3 = = $3.756.574 29
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasPor lo tanto, el valor del préstamo sería:P = P1 +P2 +P3P = $ 9.789.631,86Ejemplo 6Natalia París desea realizar un viaje por el continente europeo dentro de un año y sepropone el siguiente plan de ahorros para realizar su sueño: hoy, ahorra $1.000.000;dentro de tres meses, ahorrará $ 1.000.000; dentro de un semestre, ahorrará $ 1.500.000 ydentro de 10 meses, ahorrará $ 1.700.000.¿Cuánto dinero tendrá exactamente dentro de un año, si la tasa de interés que le paga elBanco es del 1% mensual compuesto?Gráfico para Natalia0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 F =? meses 1.000.000 1.000.000 1.500.000 1.700.000Retomando el ejemplo anterior, cada ahorro o inversión se trata de manera independiente,por lo tanto se tiene:Ahorro o inversión # 1 = F1Ahorro o inversión # 2 = F2Ahorro o inversión # 3 = F3Ahorro o inversión # 4 = F4 30
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLa inversión o ahorro de $1.000.000 que se hace en el período # 1 dura exactamente en elbanco 12 meses, por lo tanto n = 12F1 = P1 (1+ i)nF1 = 1.000.000 (1+0,01) 12 = $1.126.825,03La inversión o ahorro de $1.000.000 que hace en el período 3 dura exactamente enel banco 9 meses (12 meses - 3 meses) por lo tanto n = 9F2 = P2 (1+ i)nF2 = 1.000.000(1+ 0,01)9 = $1.093.685,27La inversión o ahorro de $ 1.500.000 que hace Natalia en el período 6 dura exactamente enel banco 6 meses (12 meses - 6 meses) por lo tanto n = 6F3 = P3 (1+ i)nF3 = 1.500.000 (1 + 0,01)6 =$1.592.280,22La inversión o ahorro de $1.700.000 que hace Natalia en el período 10 dura exactamenteen el banco 2 meses (12 meses - 10 meses) por lo tanto n = 2F4 =P3 (1+ i)nF4 = 1.700.000 (1 + 0,01)2 =$1.734.170Por lo tanto, el dinero que tendrá acumulado Natalia París dentro de un año será:F = F1 + F2 + F3 + F4F = $5.546.960,53 31
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasComo conclusión final, podemos dejar despejadas cada una de las variables queintervienen en la ecuación original de INTERES COMPUESTO, quedando de lasiguiente manera: VALOR FUTURO VALOR PRESENTE TASA DE INTERES NUMERO DE PERIODOS 32
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLECCIÓN CUATRO TASAS DE INTERÉSEl concepto de tasa de interés, se aplica a la relación entre el valor a pagar comointerés y el capital recibido en préstamo por el cual se debe pagar ese interés enun tiempo determinado. Se expresa en términos de porcentaje y su nomenclaturaes: i%.Tasa de Interés NominalEs la tasa de interés que generalmente se aplica a todas las operaciones financieras yque aparece estipulada en los contratos. Cuando opera este tipo de tasa, se entiendeque las utilidades por intereses no se reinvirtieron en el periodo.Tasa de Interés EfectivaLos usuarios del sistema financiero se enfrentan a un problema en el diario vivir en lastransacciones personales o de empresa, pues usualmente en todas las operaciones que serealizan se habla de tasa efectiva como referencia o criterio para tomar decisiones.La mayoría de ejecutivos en finanzas o ejecutivos comerciales de empresas delsistema financiero, productivo o de servicios opinan que la tasa efectiva es equivalentea la tasa real, es decir, según ellos el interés que realmente se cobra al cliente. ¿Seráesto cierto?Con el ejemplo siguiente se deducirá el concepto de tasa de interés efectiva; supóngase;que doña Linda Plata de Rico tiene disponibles $100 millones, los cuales no necesita sinohasta dentro de un año, y desea invertirlos. Con este objetivo, se dirige al Banco deBogotá y le plantea la situación al señor Armando Bueno, gerente de la sucursal de Subay antiguo compañero de la universidad. Él le ofrece que le pagará por los $100 millonesuna tasa del 40% anual y que los intereses se liquidarán trimestre vencido, doñaLinda, administradora de empresas de gran prestigio profesional en la capitalcolombiana, hace el siguiente cálculo: 33
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras Plazo: Un año Tasa de interés: 40% anual Liquidación de interés: Trimestre vencido Inversión: $100 millones Número de liquidaciones por año: 4 Tasa trimestral o del período: 40% / 4 = 10% TRIMESTRE SALDO INICIAL INTERESES SALDO FINAL i = 10% 1 100,00 $10,00 $ 110,00 2 110 $11,00 $ 121,00 3 121 $12,10 $ 133,10 4 133,10 $13,31 $ 146,41 TOTAL $46,41La inversionista recuerda que: tasa de interés se define como utilidad sobre la inversión; eneste caso las utilidades serían la suma de la columna interés que es de 46,41 en el año,si la inversión fue de $100 millones quiere decir que se obtuvo un interés (%) orentabilidad de en un añoSi el 40% de interés se hubiera liquidado solo al final del año, doña Linda habríaobtenido $40 de intereses, es decir, que lo que establece la diferencia es el número deliquidaciones de intereses que hay en el plazo fijado (para este caso son 4 lasliquidaciones en el año).Para deducir el concepto de tasa nominal y efectiva se toman varios casos, los cuales sederivan de considerar como punto de partida los $100 millones y el plazo de un añopero con diferentes formas de liquidar los intereses por ejemplo, bimestralmente,semestralmente, etc. 34
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras TASA FORMA DE LIQUIDACIONES 40% Semestre vencido 40% Trimestre vencido 40% Bimestre vencido 40% Mes vencido 40% Día vencidoPara el primer caso 40% anual semestre vencido, lo primero que se tiene que definir es latasa del período. En este caso es semestral, o sea que la tasa periódica (semestral) seríaigual a 40% dividido entre los dos semestres del año, lo que equivale a un 20% semestral;si se considera el plazo de un año se puede hacer el cálculo que se realizó para el 40%anual trimestre vencido, es decir: Plazo: Un año Tasa de interés: 40% anual Liquidación de interés: Semestre vencido Inversión: $100 millones Número de liquidaciones 2 poaño: Tasa trimestral o del período: SEMESTRE SALDO INICIAL INTERESES SALDO FINAL 1 100 20 120 2 120 24 144 Total 44Intereses primer trimestre = Saldo inicial x Tasa de interésIntereses primer trimestre = $100 x 20% = $20 35
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasSaldo final primer trimestre = Saldo inicial + InteresesSaldo final primer trimestre = 100 + 20 = 120 ;El saldo final del primer semestre pasa a ser el saldo inicial del segundo semestre.Intereses segundo semestre = 120 x 20% = $24Saldo final del segundo semestre =120+ 24 = $144Lo anterior quiere decir que los $ 100 millones invertidos, por el efecto de la reinversión deutilidades generaron $44 millones de intereses, lo que significa una rentabilidad del 44%es decir $44 millones de utilidad dividido entre los $100 millones de inversión. En relacióncon lo anterior, se puede concluir que la tasa efectiva se obtiene por los efectos de lareinversión de las utilidades o intereses; cuando esto no se da, se obtiene lo que se llamatasa de interés nominal. Se puede deducir que existe un paralelo entre el interés simple yla tasa nominal y el interés compuesto y la tasa efectiva. En las dos primeras, no se tieneen cuenta la reinversión mientras que en las dos últimas sí.Con base en los ejemplos se obtiene una fórmula para calcular la tasa efectiva, la cual seexpresa de la siguiente forma:ie = Tasa de interés efectivaip = Tasa periódican= Número de liquidaciones de intereses en el plazo fijadoSi se toman los ejemplos analizados anteriormente, se obtiene lo siguiente:1) Si se tiene una tasa del 40% anual trimestre vencido, ¿cuál es la tasa efectiva anual?Tasa periódica = ip Tasa anual ip = ——————————————— = 0,10 = 10 % trimestral # de períodos en el año = 0,4641 o 46,41% efectivo anual 36
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasSi se considera el mismo ejemplo, es decir 40% anual trimestre vencido, pero en lugarde calcular la tasa efectiva anual se calcula la tasa efectiva semestraln = Número de liquidaciones en el período = 2 en un semestreie = (1 + 0.10)2 - 1 = 0,21 = 21% efectiva semestral2) Si se tiene una tasa anual del 40% semestre vencido, calcular la tasa efectiva anualn = número de liquidaciones = 2ie= (1 + 0,20)2 - 1 = 0,44 ó 44% efectiva anualCon base en la siguiente información calcular la tasa efectiva anual:TASA ANUAL FORMA DE LIQUIDACIÓN NÚMERO DE i DE INTERESES LIQUIDACIONES PERIÓDICA POR AÑO 40% Semestre vencido 2 20% semestral 40% Trimestre vencido 4 10% trimestral 40% Bimestre vencido 6 6,67% bimestral 40% Mes vencido 12 3,33% mensual 40% Día vencido 360 0,11% diarioLas dos primeras tasas fueron calculadas anteriormente, a continuación se obtienen lasrestantes:40% anual bimestre vencidoNúmero de liquidaciones en un año: 6ie anual = (1+0,0667)6 - 1 = 0,4732 37
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras40% anual mes vencidoNúmero de liquidaciones en un año: 12ie anual = (1+ 0,0333)12 - 1 = 0,481640% anual día vencidoNúmero de liquidaciones en un año: 360ie anual = (1+ 0,001111)360 - 1 = 0,4914De acuerdo con los cálculos se obtuvieron las siguientes cifras: FORMA DE LIQUIDACIÓN NUMERO DETASA ANUAL DE INTERESES LIQUIDACIONES TASA POR AÑO EFECTIVA 40% Semestre vencido 2 44,00% 40% Trimestre vencido 4 46,41% 40% Bimestre vencido 6 47,32% 40% Mes vencido 12 48,16% 40% Día vencido 360 49,14%Como se observa en la tabla anterior, a medida que se aumenta el número deliquidaciones se incrementa la tasa efectiva anual; sin embargo tomando otros doscasos, supóngase que el gerente señor Armando Bueno le ofrece a doña Linda que leliquidará intereses 2 veces al día o sea cada 12 horas o tres veces al día o sea cada8 horas; veamos qué tasa efectiva anual se obtiene: 38
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras 40% anual liquidando intereses cada 12 horas ip = 0,40 / 720 = 0,0005555 n = 360 x 2 = 720 períodos ie anual = (1 + 0,0005555)720 - 1 = 0,491659Ahora analizando el caso del 40% anual liquidando intereses cada 8 horas ip = 0,40 / 1080 = 0,00037037 n = 360 x 3 = 1.080 periodos ie anual = (1 + 0,00037037)1080 - 1 = 0,491714Como se observa, a medida que se aumenta el número de liquidaciones seincrementa la tasa efectiva anual; sin embargo, este valor tiende a estabilizarse,es decir, su comportamiento es exponencial como se observa en el gráficosiguiente. 60.000% T A S 50.000% A S 40.000% E F E 30.000% C T I 20.000% V A S 10.000% 0.000% 0 2 4 6 8 10 12 14 NUMERO DE CAPITALIZACIONESGráfica 1. Comportamiento tasa efectiva anual para diferentes capitalizaciones detasas vencidas 39
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasCon lo anterior se explica lo que en matemáticas se conoce con el nombre de interéscontinuo, que se expresa así: La letra e es la sigla del número de Euler ie = ei - 1 o constante de Napier, tan importante como y es equivalente a 2,718281…. (No confundir con la e de efectiva en ie )Que para el caso del 40% anual se obtiene: i e = e 0,40 -1 = 2 ,7182810,40 - 1 i e = 0,49182Cifra que coincide cuando se liquidan 720 y 1080 veces en el año. Si se siguenaumentando el número de liquidaciones, no se va a obtener una cifra mayor. La fórmulaanterior se conoce con el nombre de interés continuo o capitalización continua.Con base en los cálculos realizados anteriormente, se concluye que la tasa deinterés efectiva está íntimamente ligada con el interés compuesto, es decir,considera la reinversión de utilidades. 40
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLECCIÓN CINCO CONVERSIÓN DE TASASEl concepto de tasa efectiva permite convertir las tasas de un período a otro fácilmente;este concepto es de gran utilidad en Matemáticas Financieras, por cuanto permitesolucionar situaciones recurrentes, donde los períodos de los flujos de caja(ingresos y desembolsos) no coinciden con los períodos de las tasas de interés.Ejemplo 1Con una tasa del 40% anual trimestre vencido, ¿calcular la tasa semestralequivalente?Este ejercicio se puede resolver de varias formas:Primera formai= 40% anual trimestre vencidoi periódica = i anual / # períodos en el añoi periódica = i trimestral = 0,40 / 4 =0,10Con base en la tasa periódica se puede calcular la tasa efectiva anualie = tasa de interés efectiva anualDonde n es el número de liquidaciones en el año.La tasa de interés está especificada inicialmente como i = 40% anual trimestre vencido, loque quiere decir que los intereses se van a liquidar cada trimestre, o sea que alaño se liquidan 4 veces, una al final de cada trimestre, por lo tanto:ie= (1+0,10) 4 -1 = 0,4641Con base en el anterior resultado se puede calcular la tasa semestral partiendo decalcular la efectiva anual. ie = ( 1 + ip )n - 1 0,4641 = ( 1 + isemestral ) 2 -- 1 n = 2, porque los intereses se liquidan 2 veces (1 año = 2 semestres) 41
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras 1,4641 = ( 1+ isemestral ) 21,21 = 1 + i semestral1,21 -1 = i semestral0,21 = 2 1 %Segunda formai = 40% anual trimestre vencidoi periódica = i trimestral = = 0,10Obsérvese que el período toma como referencia el que está estipulado en la liquidación deintereses, para nuestro ejemplo es trimestre vencido. La forma de liquidación siempreaparece adyacente a la tasa de interés anual.Con base en la tasa trimestral se puede calcular la semestral, utilizando la ecuación detasa efectiva.ie = (1+ip) n -1i semestral = (1 + i trimestral ) 2 - 1i semestral = (1 + 0,10 ) 2 - 1 = 0,21Es el mismo resultado que se obtuvo en la primera forma.Ejemplo 2Con una tasa del 30% anual bimestre vencido, calcular:a. La tasa semestral equivalente.b. La tasa mensual equivalente. 42
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financierasa. Tasa SemestralPrimera formai = 30% anual bimestre vencidoBimestre = cada 2 mesesi periódica = i bimestral = = 0,05, dividido entre 6 porque hay 6 bimestres en un año.ie = (1+ ip ) n -1ie = (1 + 0,05) 6 - 1 = 0,3400Con base en la tasa efectiva anual se puede calcular la semestralie = (1+ ip) n -10,34 = ( 1 + i semestral )2-11,34 = (1+ i semestral)21,157625 =1 + i semestral1,157625 -1 = i semestral0,157625 = i semestral15,7625% = i semestral 43
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasSegunda formai = 30% anual bimestre vencidoBimestre = cada 2 mesesi periódica = i bimestral = = 0,05ie = (1+ i periódica) n -1 La tasa mayor se asume como la tasa efectiva, en este caso la semestral.i semestral =(1 + 0,05 ) 3 - 1 = 0,157625 ó 15,7625%n = 3, porque en un semestre hay 3 bimestres.b. Tasa mensualPrimera formai periódica = i bimestral = = 0,05ie = (1+ 0,05)6 - 1 = 0,3400Con base en la tasa efectiva anual se puede calcular la tasa mensualie = 0,34i = ( 1 + i periódica)n - 10,34 = (1 + i mes )12 -1n = 12 meses, porque un año tiene 12 meses, y al ser la tasa mensual se liquidarán 12veces en el año.1,34 = (1 + i mes )121,02469 = 1 +i mes1,02469 – 1 = i mes0,02469 = i mes 2,469% = i mes 44
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasSegunda formai = 30% anual bimestre vencidoi periódica = i bimestral = = 0,05Utilizando la fórmula de tasa efectiva se tiene:ie = (1 + i periódica) n - 10,05 = ( 1 + i mes )2 – 1 La tasa mayor se asume como la tasa efectiva, en este caso la bimestral.1,05 = (1+ i mes) 21,02469 = 1 + i mes1,02469 - 1 = i mes0,02469 = i mesi mes = 2,469%Obsérvese que se consideró la tasa del 5% bimestral como efectiva; la razón esmuy sencilla, los meses están contenidos dentro del bimestre. Lo mismosucedería si se tuviera una tasa del 3% mensual y se preguntara la tasaquincenal; como la quincena está contenida dentro del mes, el 3% se tomaríacomo efectiva.Ejemplo 3Justo Pastor Malo recibió un préstamo del Banco Popular de $7.000.000 quedebe pagar en una sola cuota dentro de 2 años. Si la tasa de interés es del 24%anual semestre vencido, ¿calcular el valor de la cuota que debe pagar JustoPastor al Banco Popular? P = 7.000.000 2 años 0 i = 24 % anual semestre vencido F=? 45
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasObsérvese que la tasa está estipulada en diferente período que el plazo, la primera ensemestres y la segunda en años; por lo anterior se debe efectuar la conversión:correspondiente.Primera formaSe debe hallar la tasa de interés efectiva anual para que coincida con el período delplazo que está dado en años, por lo tanto:iea = (1+ i periódico) n -1i periódica = i semestral = = 0,12iea = (1+ 0,12) 2 -1= 0,2544F =P(1+ i ) nF = 7.000.000 (1+ 0,2544) 2F = $11.014.635,52• Segunda formai = 24% anual semestre vencidoi periódica = i semestral = = 0,12Plazo = 2 años = 4 semestres, por lo tanto el gráfico puede expresarse de la siguientemanera: P = 7.000.000 1 2 3 4 semestres 0 F =?i = 12% semestralF =P(1+ i ) nF = 7.000.000(1+ 0,12)4 = $ 11.014.635,52
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras Tasas anticipadasPara analizar este concepto se considera el siguiente caso hipotético; supóngase quedoña Linda Reina desea invertir $100 millones y se dirige al Banco Santander. Sugerente, el doctor Pastor Bueno le ofrece una tasa del 40% anual año anticipado.Veamos cómo sería el comportamiento con un gráfico, doña Linda no necesita eldinero sino hasta dentro de un año. $ 40 millones “hoy” $ 100 millones de devolución Interés anticipado de la inversión en Un año $ 100 millones inversiónEn el gráfico puede observarse que el inversionista invierte $100 millones y en el mismomomento recibe los intereses correspondientes o sea $40 millones, es decir, que soloinvirtió $60 millones, lo cual puede resumirse en el siguiente gráfico: $100 millones 1 año$60 millones (Inversión)En el gráfico anterior se tiene un valor presente que son los $60 millones y un valor futurodentro de un año por un valor de $100 millones. Si se aplica la primera equivalencia(ver capítulo 1) se puede hallar el interés:F= P (1 + i) nF = $100.000.000,ooP = $60.000.000,oon = 1 año$100.000.000 = $60.000.000 ( 1 + i ) 1 = ( 1+ i )1,6667 = 1+ ii = 1 , 6667 - 1 = 0,6667 = 66,67% anual
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLo anterior quiere decir que para doña Linda Reina es equivalente el 40% anual añoanticipado ó el 66,67% anual año vencido. Si se hace el análisis utilizando la definicióndada en el primer capítulo, en el cual se dice que interés es igual a utilidad sobreinversión se obtiene lo siguientei= = = = 0,6667 ó 66,67%Si se expresa en términos porcentuales se tiene: i= = = 0,6667 ó 66,67% anualDe lo anterior podemos generalizar la siguiente fórmula: ia i vencido = ----------------- (1- ia)donde:iv = i vencidoia = interés anticipadoi vencido =Con base en la conversión anterior, se pueden calcular las tasas efectivas cuandoson anticipadas.Consideremos las siguientes posibilidades como una tasa única de 40% anual pero condiferentes modalidades de liquidación de intereses y calculemos las tasas efectivas anualescorrespondientes. TASA ANUAL LIQUIDACIÓN DE INTERESES 40% Semestre anticipado 40% Trimestre anticipado 40% Bimestre anticipado 40% Mes anticipado 40% Día anticipado 40% Cada 12 horas anticipado
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras(1) 40% anual semestre anticipadoi periódica = i semestral anticipada = = 20% semestre anticipadoi semestre vencida = = = 0,25 i efectiva anual = (1 + 0,25)2 -1 = 0,5625(2) 40% anual trimestre anticipadoi periódica = i trimestral anticipada = = 10% trimestre anticipadoi trimestre vencido = = 0,111111 i efectiva anual = (1+0,11111) 4 -1 =0,524157(3) 40% anual bimestre anticipadoi bimestral anticipado = = 6,67%i bimestral vencida = = 0,07143i efectiva anual = (1 + 0,07143)6 - 1 = 0,51282484(4) 40% anual mes anticipadoi mes anticipado = = 0,03333i vencida = = 0,03447919i efectiva anual = (1 + 0,03447919)12 - 1 = 0,50196949(5) 40% anual día anticipadoi día anticipado = = 0,001111i vencida = = 0,00111235i efectivo anual = (1 + 0,00111235)360 - 1 = 0,4921565(6) 40% anual cada 12 horas anticipadoi cada 12 horas anticipado = = 0,00055556i vencida = = 0,00055586i efectiva anual = (1+ 0,00055586)720 - 1 = 0,49199053
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLos cálculos anteriores se pueden resumir en la siguiente gráfica:Gráfica 2. Liquidación de intereses anticipadosCon base en los cálculos realizados anteriormente, sobre las tasas efectivas considerandodiferentes sistemas de liquidación de intereses y las tasas efectivas vencidas y anticipadas,se puede obtener el siguiente resumen TASAS VENCIDAS TASAS ANTICIPADAS # de #de Tasa nominal liquidaciones T.E.A. Tasa nominal liquidaciones T.E.A. por año por año 40% anual A. V. 1 40,00% 40% anual A. A. 1 66,67% 40% anual S.V. 2 44,00% 40% anual S.A. 2 56,25% 40% anual T.V. 4 46,41% 40% anual T.A. 4 52,42% 40% anual B.V. 6 47,32% 40% anual B.A. 6 51,28% 40% anual M.V. 12 48,16% 40% anual M.A. 12 50,20% 40% anual D.V. 360 49,14% 40% anual D.A. 360 49,22%Con base en la tabla anterior se puede concluir lo siguiente: en las tasas vencidas amedida que aumenta el número de liquidaciones aumenta la tasa efectiva anual ilogrando como tasa máxima la capitalización continua ( ie= e - 1). El comportamiento
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financierasde las tasas anticipadas es inverso; a medida que aumenta el número deliquidaciones disminuye la tasa efectiva anual, es decir, se logra la tasa efectivamáxima en el caso de las anticipadas cuando es una sola liquidación.En el gráfico siguiente se ve el comportamiento de las dos modalidades, vencida yanticipada.Gráfica 3. Tasas efectivas correspondientes a tasas nominales vencidas yanticipadas Tasas efectivas con tasa de interés anticipadasEste tipo de conversión es similar al descrito en los temas anteriores, simplementeincluye un paso adicional que consiste en convertir las tasas periódicas anticipadasen periódicas vencidas; en otras palabras, es hallar la tasa equivalente vencida a laanticipada.
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasEjemploCon una tasa del 20% anual trimestre anticipado, hallar la tasa mensual. Primera formai = 20% anual trimestre anticipadoiperiódica = itrimestral anticipada = =0,05i vencido =i trimestre vencido =i trimestre vencido = =i trimestre vencido = 0,052631578iea = (1 + i periódica) n- 1iea = (1 + 0,052631578)4 - 1iea = 0,2277 o 22,77%Con base en la tasa efectiva anual se calcula la tasa mensuali ea = (1 + i periódica) n - 10,2277 = ( 1+ imes )12 - 11,2277 = ( 1 + imes ) 121,017244 = 1 + imes1,017244 – 1 = imes0,017244 = imesimes = 1,7244%
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasSegunda formai = 20% anual trimestre anticipadoiperiódica = i trimestral anticipada = 0,20 / 4 = 0,05i vencido = i anticipado / (1- i anticipado)i trimestre vencido = i trimestre anticipado / (1- i trimestre anticipado)i trimestre vencido = 0,05 / (1 – 0,05) = 0,05 / 0,95i trimestre vencido = 0,052631578Con base en la tasa trimestral vencida se puede calcular la tasa mensual y enrazón a que el mes está contenido dentro del trimestre, la tasa trimestral se puedeconsiderar como efectiva.i trimestre vencido = 0,052631578i ea = (1 + i periódica) n- 10,052631578 = (1+ imes) 3- 11,052631578= (1+ imes) 31,017244 = 1+ i mes0,017244 = i mes i mes= 1,7244%
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras EJERCICIOS PARA PROFUNDIZACIÓN DE LAS TEMÁTICAS1. Sandra Muñoz canceló hoy $7.560.000 al Banco de Bogotá por un préstamoque le fue otorgado hace un año. Calcular el dinero prestado a Sandra si: a. La tasa de interés es del 3% mensual simple b. La tasa de interés es del 3% mensual compuesto c. La tasa de interés es del 4% mensual simple2. Lady Noriega recibió un préstamo del Banco Santander de $10.000.000; sicanceló $13.500.000 en un solo pago, calcular el plazo del préstamo si: a. La tasa de interés es del 2% mensual simple. b. La tasa de interés es del 2% mensual compuesto. c. La tasa de interés es del 2,5% mensual simple.3. Pastor Bueno desea tener $20.000.000 dentro de 2 años para la cuota inicial deun vehículo Audi, para lo cual se ha propuesto el siguiente plan de ahorros:Hoy, ahorra $1.000.000Dentro de 2 bimestres, $ 3.000.000Dentro de 8 meses, $ 5.000000Dentro de 1 año, $ 2.000.000Dentro de año y medio, $7.000.000El Banco de Bogotá le ha propuesto 3 planes:Plan A: i = 1% mensual simplePlan B: i = 2% mensual compuestoPlan C: i = 2,5% bimestral simpleNota: No olvidar que el plazo y la tasa de interés deben estar expresados en elmismo período a. Determinar el dinero acumulado dentro de 2 años de cada uno de los planes. b. ¿Cuál es el mejor plan?4. En los ejemplos 1 a 6 de interés simple y 1 a 6 de interés compuesto que sedesarrollaron anteriormente en el módulo, comparar el ejemplo 1 de interés simple conel ejemplo 1 de interés compuesto y así sucesivamente hasta el 6. Sacar lasconclusiones respectivas para cada una de las 6 comparaciones y presentar un informe.
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras5. Con base en una tasa del 30% anual mes vencido calcular: a. Tasa trimestral b. Tasa semestral6. Con base en una tasa del 30% anual mes anticipado, calcular: a. Tasa trimestral; b. Tasa semestral c. Tasa efectiva anual; d. Tasa trimestral anticipada7. Calcular las tasas efectivas anuales de las siguientes tasas nominales, compararlas ygraficarla en una hoja Excel. Obtener conclusiones: a. 25% anual semestre vencido b. 25% anual trimestre vencido c. 25% anual bimestre vencido d. 25% anual mes vencido e. 25% anual día vencido f. 25% anual año anticipado g. 25% anual semestre anticipado h. 25% anual trimestre anticipado i. 25% anual bimestre anticipado j. 25% anual mes anticipado8. Si se tiene una tasa del 24% anual trimestre anticipado, calcular: a. Tasa mensual b. Tasa semestral c. Tasa efectiva anual d. Tasa trimestral9. Cuánto dinero tendrá acumulado dentro de 5 años Juan Pérez si invierte hoy 5millones en el Banco Santander, que le paga una tasa de interés del 20% anualsemestre anticipado.10. Linda Plata recibió un préstamo de su amigo Armando Rico hace 2 años y medio.Si Linda pagó hoy a Armando $12.133.450 y la tasa pactada fue del 28% anualmes vencido, calcular el valor el préstamo.
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras11. En el problema anterior ¿Cuál sería el valor del préstamo si la tasa de interésfuera del 32% anual bimestre anticipado?12. Linda de Bonito planea adquirir un vehículo CITROEN dentro de 2 años y se hapropuesto el siguiente plan de ahorros para este lapso de tiempo:Hoy, ahorra $1.500.000 Dentro de 2 bimestres, $4.000.000Dentro de 2 trimestres, $6.000.000 Dentro de un año, $3.000.000Dentro de 18 meses, $5.000.000Si la cuota inicial que se requiere para adquirir ese vehículo dentro de 2 años es de$23.500.000 y la tasa de interés que le pagan por su dinero ahorrado es del 32% anualtrimestre vencido, ¿tendrá doña Linda el dinero suficiente para la cuota inicial delvehículo?
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasCAPÍTULO DOS EQUIVALENCIAS CON CUOTAS FIJASUna de las formas más utilizadas en nuestro sistema financiero es el pago de prés-tamos a través de cuotas fijas, en el lenguaje de las Matemáticas Financieras se les llamaanualidades o rentas (no importa si la cuota fija es anual, semestral, trimestral omensual, se seguirá llamando anualidad). La relación que existe entre las cuotasfijas y un valor presente o un valor futuro se conoce con el nombre deequivalencias.LECCIÓN SEIS EQUIVALENCIAS ENTRE UN VALORFUTURO Y UNA SERIE DE CUOTAS FIJAS VENCIDASCuotas fijas = AValor futuro = FN = Número de períodosi% = Tasa de interés por períodoPara poder ver la relación que existe entre una serie de cuotas fijas (iguales) y un :futuro F, considere que el señor Armando Casas tiene excedentes de liquidez cadaperíodo y quiere invertirlos para tener dentro de un lapso de tiempo n el suficientedinero para adquirir una finca en la sabana de Bogotá. Estos ahorros se harán alfinal de cada período a una tasa de interés del i %. Gráficamente el comportamiento delproblema sería el siguiente: F n-2 n-10 1 2 3 4 12 nCon base en el gráfico anterior, se puede considerar cada punto del tiempo en elcual se hace el ahorro como un valor presente en relación con el período n en elcual se retirará el dinero para comprar la finca que en este caso sería el valor futuro.Por ejemplo, el ahorro que se hace en el período n-1 que tiene un valor de $A sí seconsidera que estará invertido solo un período, su valor futuro correspondiente seráigual a A(1+i) (ver fórmulas del capítulo 1).
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasSi tomamos el ahorro de $A en el período n-2 su valor futuro será A(1+i)2, para elperíodo n-3 se obtendría A(1+i) 3, para el período n-4 se obtendría A(1+i) 4 y asísucesivamente hasta llegar al período 1; donde el valor futuro del ahorro A seríaA(1+i)(n-1) y el ahorro que se hace en el período n, como coincide con el retiro deldinero no genera intereses, por lo cual su valor futuro sería A(1+i) 0 o sea A porquetoda cantidad elevada a la cero es igual a uno.Si se suman todos los valores futuros de cada uno de los ahorros de cada período seobtiene:F = A + A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + ...... + A(1+i) (n-1) Ecuación # 1Si se multiplica esta ecuación por (1+ i) y se le llama Ecuación 2, se obtiene losiguiente:F(1+i) = A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + A(1+i)4 +......... + A(1+i)n Ecuación # 2Si restamos la ecuación #1 de la ecuación #2 se obtiene:Ec #2 F(1+i) = A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + ......... + A(1+i) (n-1) + A(1+i)n - Ec #1 F = A + A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + …...... + A(1+i) (n-1)F(1+i) - F = A(1+ i) n - A , despejando se tieneF + Fi - F = A(1+ i) n - AF + Fi - F = A [(1+i)n -1]Fi = A[(1+i)n -1] Fórmula 1La anterior ecuación es la equivalencia entre un valor futuro y una cuota fija vencida oanualidad.
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLECCIÓN SIETE EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR PRESENTE YUNA SERIE DE CUOTAS FIJAS VENCIDASLa equivalencia entre un valor presente y una cuota fija se deduce de la fórmulanúmero 1 simplemente reemplazando F por P(1+i)n, que es la fórmula base de lasMatemáticas Financieras. Fórmula 2De las fórmulas 1 y 2 se puede calcular el valor de la cuota fija de la siguiente forma: Fórmula 3 Fórmula 4
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLECCIÓN OCHO EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR FUTURO Y UNASERIE DE CUOTAS FIJAS ANTICIPADASUtilizando el procedimiento anterior, se pueden calcular las equivalencias entre cuotas fijasanticipadas y los valores presente y futuro; utilicemos el gráfico que tomamos comoreferencia para calcular las equivalencias anteriores pero considerando que las cuotas serealizan anticipadamente o sea: F 0 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 nEl paso inicial es calcular el valor futuro de cada uno de los ahorros A; nótese que en elperíodo n no hay ahorro y sí lo hay en el período cero. Esta es la diferencia que hay conrespecto al gráfico de las cuotas vencidas, pues las cuotas fijas se considerananticipadamente o a principios de cada período, por lo tanto el valor futuro obtenido conbase en el diagrama anterior sería:F = A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + A(1+i)4 +......... + A(1+i)nSi a esta ecuación la llamamos la ecuación número 1 y la multiplicamos por (1+i)obtenemos la ecuación número 2.F (1+i) = A(1+i)2 + A(1+i)3 + ...... + A(1+i) (n+1)Si sacamos la diferencia entre las dos ecuaciones, como se hizo para determinar lafórmula 1 se obtiene: Fórmula 5
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLECCIÓN NUEVE EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR PRESENTE YUNA SERIE DE CUOTAS FIJAS ANTICIPADASCon base en la equivalencia anterior entre un valor futuro y una cuota fija anticipada sepuede obtener la existente entre un valor presente y una cuota fija anticipada,simplemente reemplazando F por P( 1+ i ) n despejamos P Fórmula 6De las fórmulas 5 y 6 podemos obtener el valor de la anualidad en función del valorpresente o del valor futuro, simplemente transponiendo términos. Fórmula 7 Fórmula 8Las anteriores equivalencias permiten pactar una serie de transacciones en el mundo real.
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLECCIÓN DIEZ EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR FUTURO YUNA SERIE DE CUOTAS FIJAS VENCIDAS CON INTERESESANTICIPADOSEste caso se presenta cuando en un crédito se pactan cuotas uniformes vencidaspero le cobran intereses anticipadamente, es decir en el momento de recibir elpréstamo el beneficiario no recibe la totalidad sino la diferencia entre el valor delcrédito y los intereses correspondientes al primer período.En este caso como el usuario pago los intereses anticipadamente, en la últimacuota no se pagarían intereses, sino que la totalidad del valor pagado sería abonoa capital.La equivalencia a usar en este caso sería: Fórmula 9A continuación se tratan casos prácticos relacionados con las equivalenciasexpuestas anteriormente.Ejemplo 1 Doña Linda Reina recibió un préstamo del Banco de Bogotá por diezmillones de pesos para cancelar en 12 cuotas mensuales iguales vencidas con una tasadel 3% mensual. Calcular el valor de las cuotas.Gráficamente se tendría la siguiente interpretación del problema: $10.000.000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Meses0 A= ? I = 3%Al identificar los datos conocidos se puede determinar que se debe utilizar la fórmula 4
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasP = Valor presente, es en este caso, el valor del préstamo o sea $ 10.000.000i = 3%n = 12 mesesTenemos las tres variables, por lo cual podemos calcular la cuota fija AAlternativamente se puede escribir de la siguiente forma reemplazando el 3% por 0.03A= $1.004.620,85Lo que significa que doña Linda Reina debe cancelar mensualmente una cuota fija igual a$1.004.620,85 durante 12 meses.
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasCAPÍTULO TRES EQUIVALENCIAS CON CUOTAS VARIABLESLECCIÓN ONCE GRADIENTESEl sistema financiero colombiano además de las cuotas fijas, utiliza métodos alternos parasus créditos, las cuotas variables es uno de ellos, la filosofía de esta forma de pagoes realizar incrementos periódicos en los pagos de los usuarios. Desde este puntode vista se generan dos formas de aplicarlo; la primera de ellas es incrementos encantidades fijas, este sistema se conoce con el nombre de gradiente aritmético; oincremento en las cuotas mediante un porcentaje fijo, lo que se conoce con el nombre degradiente geométrico, veamos con unos ejemplos como opera cada uno de ellos.Gradiente AritméticoConsideremos el caso de don Pastor Bueno, quién solicitó un crédito de $15 millones alBanco Santander; para pagar en un plazo de 3 años con pagos semestrales e incrementosde $ 100.000 a partir de la segunda cuota, si el interés es del 15% semestral, calcular elvalor de las cuotas que debe pagar don Pastor Bueno al Banco.Gráficamente el problema se expresa así:$ 15.000.0000 6 semestres A A+100.000 A+200.000 A+300.000 A+400.000 A+500.000El problema se puede resolver utilizando la equivalencia, base de las matemáticasfinancieras explicada en el capítulo 1, o sea, F = P( 1 + i)n, que para el problemaplanteado sería de la siguiente manera:
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras1. Traer a valor presente cada una de las cuotas:2. Por el concepto de equivalencia igualar el valor del préstamo al valor presente de las cuotas, es decir :3. Hallar el valor de A Podemos empezar resolviendo los denominadores, así: Vamos a separar los elementos del numerador y a dividir cada uno de ellos por su respectivo denominador; por ejemplo en el segundo término voy a separar la letra A del valor $100.000 y a cada uno de ellos lo divido en 1,3225, entonces divido 1A en 1,3225 y $100.000 también en 1,3225 (Ejemplo ) Quedando Agrupamos los términos comunes y obtenemos: Para que le coincida el resultado, utilice Excel. Si trabaja solo con tres o cuatro decimales se desviará un poco de la A = $3.753.834,56 respuesta. Este sería el valor de la cuota # 1 y aumentándole $100.000 cada semestre, obtendremos el valor de las siguientes cuotas.Alternativamente se pueden utilizar las fórmulas de gradiente aritmético que sederivan de la fórmula matriz para resolver el problema planteado; sin embargo elproblema se puede resolver fácilmente, utilizando del menú principal de Excelherramientas de la siguiente forma:
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras Hoja de Excel A B C D E F G 1 Semestre Flujos de caja 2 0 -15.000.000 Valor 3 1 20 ———— > préstamo Colocar cualquier valor 4 2 =B3+100.000 5 3 =B4+100.000 =VNA (0,15; B3:B8)+B2 4 =B5+100.000 7 5 =B6+100.000 8 6 =B7+100.000El primer paso es colocar sobre la hoja de cálculo los ingresos y desembolso dedinero que tiene la transacción (Flujos de Caja). Si nos colocamos en la posición de laentidad financiera, el desembolso lo hace cuando entrega el dinero al cliente, losingresos cuando recibe los pagos; en el ejemplo se consideró que el préstamo era de$15.000.000; como es un desembolso para el Banco, le colocamos signo negativo,los ingresos de dinero que corresponde a los pagos del cliente no los conocemos solosabemos que se incrementan en $100.000 cada uno de ellos.Para calcular el valor de los pagos que es nuestro objetivo, se coloca primero que todoen la columna A de las filas 2 a la 8 el encabezado semestre y luego, los períodosde los flujos de caja los cuales son en este caso de cero a seis (O a 6); en la columna Bcon el encabezado flujos de caja se coloca en las filas 2 a la 8 los ingresos y egresos dela transacción para la entidad financiera comenzando con el valor del préstamo quecolocamos en la celda B2, en las celdas B3 a B8 se colocan los pagos que hace elcliente. Como éstos se desconocen, en la celda B3 se registra cualquier valor, pero consigno contrario al valor del préstamo y se formulan los siguientes; es decir, el pago 2sería igual al pago 1, incrementado en $100.000 o sea = B3 +100.000 y el pago 3como =B4 +100.000 y así sucesivamente, hasta llegar al pago 6 que se formularíacomo =B7 +100.000 como muestra la figura.Una vez terminado de formular los ingresos y desembolsos de la transacción, secoloca en cualquier otra celda para nuestro caso G5 el cálculo del valor presenteneto (VNA), de los flujos de caja a la tasa dada (15% semestral), que quedan de lasiguiente forma: = VNA (0,15; B3:B8) + B2 TASA DE INTERÉS
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras0,15 que corresponde al 15% de tasa de interés.B3 :B8 es el rango de los pagos que hará el cliente, los cuales se traen a valor presente.B2: valor del préstamoSeguidamente, se busca en el menú principal del Excel herramientas, y allí seselecciona buscar objetivo y aparece el siguiente menú (En Excel 2007 o 2010, estaopción la encuentra en el menú Datos---Análisis Y si---Buscar Objetivo) DEFINIR CELDA: CON EL VALOR: PARA CAMBIAR CELDA:En definir la celda se coloca G5, que corresponde al valor presente neto de latransacción.Con el valor se coloca cero (0), partiendo del concepto de equivalencia de toda latransacción, es decir, que el valor presente de los pagos futuros debe ser igual al valor delpréstamo a la tasa de interés dada, al calcular la diferencia este valor debe ser cero. Ennuestro ejemplo, los pagos futuros que vamos a calcular traídos a valor presente a latasa de interés del 15% deben ser iguales a los $ 15.000.000 del préstamo, este conceptodebe cumplirse para cualquier transacción, por lo tanto al sacar la diferencia entre elpréstamo desembolsado hoy y el valor presente de los pagos futuros ésta debe ser CERO.Para cambiar la celda: se coloca la celda en la cual se colocó cualquier valor en nuestrocaso es la B3 que tiene un valor de 20.En resumen, buscar objetivo debió quedar definido de la siguiente manera: DEFINIR CELDA: G5 CON EL VALOR: O PARA CAMBIAR CELDA: B3Se registra "aceptar" y automáticamente en las celdas que se formularon los pagosdebe aparecer el valor de cada uno de ellos y en la celda G5 que es el valor presenteneto, debe aparecer cero. ( Ver video )La hoja de Excel debe quedar finalmente con la siguiente presentación:
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras A B C D E F G 1 Semestre Flujo de Caja 2 0 -15.000.000,00 3 1 3.753.834,56 4 2 3.853.834,56 5 3 3.953.834,56 0.00 6 4 4.053.834,56 7 5 4.153.834,56 8 6 4.253.834,56 9Gradiente GeométricoOtra forma alterna de cuota variable es el gradiente geométrico, es decir cuando unacuota varía respecto a otra no en una cantidad específica, por ejemplo $100.000, sino enun porcentaje ejemplo 10%.Con base en el ejemplo de doña Linda Plata de Rico que recibió un préstamo de suamigo don Pastor Bueno, el cual debe pagar en un plazo de una año y medio en 3cuotas semestrales con un interés del 20% semestral, con incrementos de la cuota en un10%, gráficamente se expresaría para don Pastor Bueno: A(1,10) A(1,10)(1,10)= A (1,21) A 1 2 3 semestres Tasa de interés: 20% semestral $ 5.000.000El ejercicio anterior se puede desarrollar utilizando la primera fórmula de equivalencia vistaen el capítulo 1, es decir, de la siguiente forma:Primero se trae a valor presente los pagos futuros que debe hacer doña Linda a donPastor.
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLuego, se iguala el valor presente de los pagos futuros al valor del préstamo, es decir:Finalmente, se calcula A haciendo el despeje respectivo de la siguiente forma:$5.000.000 = 0,83333 A + 0,7638 A + 0,70023 A$ 5.000.000 = 2,2974537037 AA = $2.176.322,42Este valor es el equivalente a la primera cuota y para encontrar las otras dos simplemente debemos realizar el incremento del 10%, de la siguiente forma:Primera cuota = $ 2.176.322,42Segunda cuota = $ 2.176.322,42 *(1,10) = $ 2.393.954,66Tercera cuota = $ 2.393.954,66*(1,10) = $ 2.633.350,13
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLECCIÓN DOCE EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR PRESENTE Y UN GRADIENTEEquivalencia entre un valor presente y un gradiente aritméticoSe define el gradiente aritmético a las cuotas variables en un plazo dado que aumenta unacantidad g en cada período n semestres A+g A+2g A+3g A+4g A+(n-1)gObsérvese en el gráfico anterior que en cada una de las cuotas permanece A como unaconstante, simplemente aumenta una cantidad fija g con respecto al período anterior.Nótese que el incremento en el período 3 es 2g en el 4 es 3g y así sucesivamente, por locual se puede concluir que en el período n será (n-1)g.Para deducir la equivalencia que permite a través de una sola fórmula hacer los cálculos quese hicieron antes, lo primero que hay que identificar es que las cuotas variables tienen 2componentes, uno fijo y otro variable; el fijo como se anotó anteriormente es A y su valorpresente se definió de la siguiente forma:La parte variable se presenta a partir del segundo período, cuando comienza elincremento g, en el tercer período es 2g, en el cuarto es 3g y así sucesivamente hastan donde el incremento es (n-1)g. Todos estos valores representan el incrementoacumulado de la cuota, si se obtuvo el valor presente de la parte fija de la cuotavariable, también es posible calcular el valor presente del componente cambianteutilizando para su cálculo la primera equivalencia, como se presenta a continuación:
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasP = P, + P2 + P3 + P4Factorizando se tiene lo siguiente:Llamando X a los términos que se encuentran entre paréntesis se tiene:P = g(X)X= Ecuación # 1Multiplicando la ecuación anterior por (1 + i ) se tiene:X(1 + i ) = Ecuación # 2Si se resta la Ecuación # 2 - Ecuación #1 se tiene lo siguiente:X(1+i) - X = -X + Xi – X =Xi =El último término de la ecuación anterior se puede descomponer en:Por lo tanto:Xi =
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLa podemos organizar así:Xi = Ecuación #3Todos los términos del segundo miembro de la ecuación a excepción del últimocorresponden a una serie uniforme de 1 : serie uniforme de 1entonces, esta serie es una anualidad cuyo factor sería:Por lo tanto la Ecuación #3 quedaría expresada así:Al comienzo de esta deducción se determinó que P = g(X)Reemplazando el valor de X, se tiene el valor presente del gradiente aritmético, definidode la siguiente forma: Fórmula 10
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLECCIÓN TRECE GRADIENTE ARITMÉTICO CRECIENTE YDECRECIENTEEn el gradiente aritmético se presentan dos situaciones, la primera es cuando la cuotavariable aumenta período a período en una cantidad fija y la segunda cuando esdecreciente, en ambos casos se emplea la misma fórmula, pero el planteamiento delproblema se hace en forma diferente, como se explica a continuación:Si se recibe un préstamo de una entidad bancaria y éste debe ser cancelado en cuotasvariables, las cuales se incrementan en la misma cantidad en cada período hasta terminarel plazo, se tendría un caso de gradiente creciente; su ilustración mediante unejemplo sería de la siguiente forma:Linda Plata de Rico recibe un préstamo del Banco Santander por $5.000.000 el cual debeser cancelado en 3 años en cuotas variables semestrales con una tasa de interés del 5%semestral, e incrementos de $250.000 en cada una de las cuotas; con base en lainformación anterior determinar el valor de la primera cuota.El punto de partida de este problema sería la elaboración del gráfico correspondiente: semestres 0 1 2 3 4 5 6 A A +250.000 A +500.000 A+750.000 A+1.000.000 A+ 1.250.000Como se había explicado anteriormente las cuotas variables tienen un componentefijo que para el problema se llama "A"; la variable seria el gradiente de $250.000que es el incremento semestral del pago, por lo que el valor del préstamo sería
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financierasigual al valor presente de la parte fija más el valor presente del componentevariable.P1 = Valor presente parte fijaP2 = Valor presente parte variable ,Valor del préstamo = P1+ P2Tasa de interés = i = 5% semestral; n=6P1 = A ( 5,07569206721)P2 = $ 2.991.998,44Si P1 + P2 = $5.000.000 reemplazamosA ( 5,07569206721) + 2.991.998,44 = 5.000.000Despejando A se tendría:A( 5,07569206721) = 5.000.000 - 2.991.998,44A( 5,07569206721 ) = 2.008.001,56A = $ 395.611,38El resultado anterior quiere decir que el valor de la primera cuota es de $ 395.611,38el de la segunda es este último valor adicionado en $250.000 que es el gradiente, loque genera un valor de $ 645.611,38 y así sucesivamente hasta el período sextoque es el plazo convenido; en la siguiente tabla se detalla la amortización delpréstamo, con una tasa de interés del 5% semestral
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras SEMES SALDO INTERESES CUOTA ABONO A SALDO TRE INICIAL CAPITAL FINAL1 $5.000.000,00 $250.000,00 $395.611,38 $145.611,38 $4.854.388,622 $4.854.388,62 $242.719,43 $645.611,38 $402.891,95 $4.451.496,663 $4.451.496,66 $222.574,83 $895.611,38 $673.036,55 $3.778.460,114 $3.778.460,11 $188.923,01 $1.145.611,38 $956.688,38 $2.821.771,745 $2.821.771,74 $141.088,59 $1.395.611,38 $1.254.522,80 $1.567.248,946 $1.567.248,94 $78.362,45 $1.645.611,38 $1.567.248,94 $ 0,00Gradiente aritmético decrecienteEn este caso el valor de la cuota variable disminuye una cantidad igual ―g‖ conrespecto al periodo anterior.Gráficamente se expresaría de la siguiente forma0 1 2 3 4 5 n A-(n-1)g A-4g A-3g A-2g A-g A
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasEn este caso se toma la cuota de mayor valor y se considera como constante, y secalcula su valor presente; posteriormente se determina el valor presente del gradiente.Como se tomó la de mayor valor como constante, se calcula la diferencia entre elvalor presente de la parte constante y la del gradiente o parte variable. Un ejemplo queilustra el concepto anterior se detalla a continuación:―Juan Pérez recibió un préstamo de $2.000.000 para pagar en 6 bimestres en cuotasvariables, con disminuciones de $30.000 en el valor de cada cuota. Si la tasa deinterés es del 2% bimestral, calcular el valor de la primera cuota.‖El diagrama sería el siguiente:0 1 2 3 4 5 n A-150.000 A-120.000 A-90.000 A-60.000 A-30.000 APrimero, se calcula el valor presente de "A" o sea la parte constante.P 1 =A (5,6014308)Luego, se calcula el valor presente del gradienteP2 = $ 410.403,90
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasFinalmente, se calcula el valor de AP 1 -P 2 = $ 2.000.000A[5,6014308] - 410.403,90 = $ 2.000.000A[5,6014308] = 2.410.403,90A = $ 430.319,31El valor de la segunda cuota sería $ 430,319.31 - $ 30,000 = $ 400,319.31 y asísucesivamente hasta el período 6.Equivalencia entre un valor presente y un Gradiente GeométricoLa cuota variable que se incrementa un porcentaje fijo j respecto a la anterior, recibe el nombrede gradiente geométrico y gráficamente se expresaría de la siguiente forma: n períodos 0 1 2 3 4 k k (1+0,04)4 k(1+j) 2 k(1+j) k(1+j)3 k(1+j)La equivalencia de estas cuotas variables que se incrementan un %j en cadaperíodo, y un valor presente está dada por: para i diferente de j, y para i = jLos conceptos anteriores se ilustran con un ejemplo: Pedro Rodríguez recibió un préstamode $5 millones del Banco de Bogotá que debe pagar en 6 cuotas trimestrales conincrementos del 4% trimestral; si la tasa de interés es del 7% trimestral, hallar: a) el valorde la primera cuota y b) el valor de la primera cuota si i=3% y j = 3% trimestral.
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras Gráficamente el problema se plantearía así: n períodos Si i es diferente de j 5.000.0000 1 2 3 4 5 6 trimestres 1 k k (1+0.04) k (1+0,04)3 k (1+0.04)2 k (1+0,04)4 k (1+0,05)5 $ 5.000.000 = K [ 5,22881704586 ] K = $ 956.239,23 Si i es igual a j; i = 3% trimestral; j = 3% trimestral K = $ 858.333,33
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLECCIÓN CATORCE AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOSLa amortización de un préstamo indica período a período qué cantidad de la cuotaque se paga corresponde a los intereses del préstamo y qué cantidad es el abonoa capital. La suma de estos dos componentes es el valor de la cuota.Tablas de amortizaciónEl comportamiento de estas variables puede observarse mediante las tablas deamortización, herramienta que adicionalmente permite determinar en un momentodado el saldo del préstamo.Tomemos un ejemplo anterior, en el que se solicita un préstamo de $10.000.000 conuna tasa de interés del 3% para cancelar en 12 cuotas mensuales iguales; se elaborala tabla de amortización y se realiza el análisis correspondiente.La tabla está conformada por los siguientes elementos:  Período: para el ejercicio, es en meses.  Saldo inicial: para el período 1 es el valor del préstamo, o sea $10.000.000. Para períodos posteriores, el saldo inicial del período n será el saldo final del período n-1  Intereses = Saldo inicial x tasa de interés; para el ejemplo los intereses para el primer mes serían iguales a $10.000.000 x 3% o sea $300.000  Valor de la cuota fija A: es el calculado mediante la fórmula, en este caso $1.004.620,85 (Ver página 65 del módulo)  Abonos a capital = Cuota fija - Intereses; para el primer período (mes) del ejemplo sería: Abonos a capital = $1.004.620,85 - $300.000 = $704.620,85  Saldo final = Saldo inicial - Abonos a capital. Siguiendo con el ejemplo se tendría para el primer mesSaldo final =$ 10.000.000 - $ 704.620,85 = $ 9.295.379,15Resumiendo, los encabezados de la tabla de amortización serían:
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras SALDO CUOTA ABONOS A SALDO MES INICIAL INTERESES FIJA CAPITAL FINALA continuación puede observarse la tabla de amortización correspondiente al ejemplo CUOTAS 12 TASA DE PRÉSTAMO $1O.OOO.OOO INTERÉS 3% CUOTA ABONOSMES SALDO INICIAL INTERESES SALDO FINAL MENSUAL CAPITAL 1 $10,000,000.00 $300,000.00 $1,004,620.85 $704,620.85 $9,295,379.15 2 $ 9,295,379.15 $278,861.37 $1,004,620.85 $725,759.48 $8,569,619.66 3 $ 8,569,619.66 $257,088.59 $1,004,620.85 $747,532.26 $7,822,087.40 4 $ 7,822,087.40 $234,662.62 $1,004,620.85 $769,958.23 $7,052,129.17 5 $ 7,052,129.17 $211,563.88 $1,004,620.85 $793,056,98 $6,259,072.19 6 $ 6,259,072.19 $187,772.17 $1,004,620.85 $816,848.69 $5,442,223.50 7 $ 5,442,223.50 $163,266.70 $1,004,620.85 $841,354.15 $4,600,869.35 8 $ 4,600,869.35 $138,026.08 $1,004,620.85 $866,594.77 $3,734,274.57 9 $ 3,734,274.57 $112,028.24 $1,004,620.85 $892,592.62 $2,841,681.96 10 $ 2,841,681.96 $ 85,250.46 $1,004,620.85 $919,370.40 $1,922,311.56 11 $ 1,922,311.56 $ 57,669.35 $1,004,620.85 $946,951.51 $ 975,360.05 12 $ 975,360.05 $ 29,260.80 $1,004,620.85 $975,360.05 ($0.00) TOTALES $2,055,450.26 $12,055,450.26 $10,000,000.0Para comprobar si una tabla de amortización fue bien elaborada, el saldo final al terminarplazo debe ser CERO.
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasAlternativamente podemos utilizar las funciones de la hoja electrónica Excel paracalcular el valor de la cuota fija. Para ello empleamos las funciones f(x) financieras deExcel siendo el primer paso hacer clic en f(x), señalar financieras y buscar pago (significacuota fija, anualidad o renta), hacer clic y aparece la siguiente información:TIPO = O por ser de modalidad vencida; si hubiera sido modalidad anticipada secolocaría UNO (1)Excel arroja el pago por $1.004.620,85Ejemplo 2Considere el ejemplo número 1 pero modifique la forma de pago de vencida aanticipada, es decir, el mismo préstamo de $10.000.000 a un plazo de 12 meses y unatasa de interés del 3%.Para este cálculo se utilizará la fórmula número 8 y obtenemos el valor de la cuotafija cancelada anticipadamente de la siguiente forma:A = $975.360,05Para la elaboración de la tabla de amortización de este préstamo, al saldo inicial delperíodo número 1 ó sea el valor del préstamo se le debe restar el valor de la cuotaanticipada, es decir $10.000.000 - $ 975.360,05 = $9.024.639,95A continuación se observa la correspondiente tabla.
  • UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras CUOTAS 12 TASA DE INTERÉS 3.00% PRÉSTAMO $10.000.000.00 CUOTA MENSUAL ABONOSMES SALDO INICIAL INTERESES SALDO FINAL ANTICIPADA CAPITAL 1 $9,024,639.95 $270,739.20 $975,360.05 $704,620.85 $8,320,019,09 2 $8,320,019.09 $249,600.57 $975,360.05 $725,759.48 $7,594,259.61 3 $7,594,259.61 $227,827.79 $975,360.05 $747,532.26 $6,846,727.35 4 $6,846,727.35 $205,401.82 $975,360.05 $769,958.23 $6,076,769.11 5 $6,076,769.11 $182,303.07 $975,360.05 $793,056.98 $5,283,712.13 6 $5,283,712.13 $158,511.36 $975,360.05 $816,848.69 $4,466,863.45 7 $4,466,863.45 $134,005.90 $975,360.05 $841,354.15 $3,625,509.30 8 $3,625,509.30 $108,765.28 $975,360.05 $866,594.77 $2,758,914.52 9 $2,758,914.52 $ 82,767.44 $975,360.05 $892,592.62 $1,866,321.90 10 $1,866,321.90 $ 55,989.66 $975,360.05 $919,370.40 $ 946,951.51 11 $ 946,951.51 $ 28,408.55 $975,360.05 $946,951.51 ($0.00) 12 ($0.00) ($0.00) $0.00 $0.00 ($0.00)Alternativamente se puede utilizar las funciones financieras de Excel para calculare valorde la cuota fija anticipada; para eso entramos por pago y nos aparece el siguiente menú: 82
  • Tipo = 1 por ser modalidad anticipada y nos arroja el siguiente resultado: A = $ 975.360,05Ejemplo 3El señor Armando Casasbuenas recibió un préstamo de $5.000.000 del Banco Sudamerisque debe pagar en 6 cuotas mensuales iguales vencidas. Si la tasa de interés es del 2%para los tres primeros meses y de 3% para los tres siguientes, calcular el valor de la cuotay elaborar la tabla de amortización correspondiente.Gráficamente el problema se representa de la siguiente forma: 1 2 3 4 5 6 Meses0 2% 3%El planteamiento matemático se haría de la siguiente forma: como se trata de cuotas lasvencidas la fórmula a emplear sería:
  • Sin embargo, hay que tener en cuenta que se tienen dos tasas de interés diferentes;para los tres primeros meses es del 2% y para los siguientes del 3%, por lo tanto hay quedividir el problema en dos partes:Primero, se trae a valor presente las tres primeras cuotas con una i = 2%; este valorpresente se llamará P1Luego, se trae a valor presente las tres cuotas siguientes con un i = 3% mensual; estevalor presente se llamará P2La gráfica resume lo que pasó:$ 5.000.000 ♣ 1 2 3 4 5 60 2% 3%Al traer a valor presente con tres períodos las cuotas de los segundos tres meses, secae en el mes 3 (donde está situado el trébol) y se debe estar en el mes cero; como latasa de esos primeros períodos es del 2%, el mes 3 es un valor futuro con respecto alcero. Para estar en el período cero simplemente se aplica la fórmula matriz de lasMatemáticas Financieras o sea:Por lo tanto :Por el concepto de equivalencia la suma de los valores presentes deben ser, igual alvalor del préstamo de $5 millones.$5.000.000 = P1 + P2
  • $5.000.000 =Resolviendo se obtiene el valor de A$ 5.000.000 = A [2,88388] + A [2,6654636]$ 5.000.000 = A [5,54993469]A=A = $ 901.006,92Alternativamente, el anterior ejercicio se puede desarrollar utilizando las herramientas deExcel de la siguiente formaRepresentación de una HOJA DE EXCEL A B C 1 PRÉSTAMO -5.000.000 PAGO1 123 Colocar 2 cualquier valor 3 PAGO 2 = $B$2 Todas las cuotas son iguales, 4 PAGO 3 = $B$2 deben quedar formulado como aparece aquí, debe 5 PAGO 4 = $B$2 aparecer 123 para todas 6 PAGOS = $B$2 las cuotas, pero formulado. 7 PAGO 6 = $B$2En la celda C8 o en cualquier otra celda colocar el valor presente: + B1Si copia los datos en la hoja excel según las instrucciones, puede copiar esta fórmula enla celda c8 o la que quiera: =VNA(0,02;B2:B4)+VNA(0,03;B5:B7)/(1,02^3)+B1
  • Se hace clic en herramientas (en Excel 2007 o 2010, en el menú datos - análisis y si),se señala buscar objetivo y aparece definir celda (donde se coloca el valor presenteen este caso $C$8, con el valor cero (por el concepto de equivalencia),cambiando la celda (donde se escribe cualquier valor) en este caso B2 y se hace clic enaceptar. El valor que aparece en los pagos es el valor a pagar por el préstamo de cincomillones ( $5.000.000), y la cuota correspondiente a las condiciones iniciales dadas esde $ 901.006,92.La tabla de amortización que aparece a continuación, tiene en cuenta en la columna deintereses que en los tres primeros meses la tasa es del 2% mensual y en los siguientes 3%mensual.CUOTAS 6PRÉSTAMO $ 5,000,000.oo 3% 3 siguientes SALDO INTERESES CUOTA ABONOS SALDO FINALMES INICIAL MENSUAL CAPITAL1 $5,000,000.00 $100,000.00 $901,006.92 $801,006.92 $4,198,993.0 82 $4,198,993.08 $ 83,979.86 $901,006.92 $817,027.06 $3,381,966.023 $3,381,966.02 $ 67,639.32 $901,006.92 $833,367.60 $2,548,598.414 $2,548,598.41 $ 76,457.95 $901,006.92 $824,548.97 $1, 724,049.445 $1,724,049.44 $ 51,721.48 5901,006.92 $849,285.44 $ 874,764.006 $ 874,764.00 $ 26,242.92 $901,006.92 $874,764.00 $0.0 TOTAL $406,041.54 $5,406,041.54 $5,000,000.00
  • Ejemplo 4Utilizando la información del ejemplo 1, calcular cuánto dinero debe al Banco deBogotá doña Linda Reina después de cancelar la cuota # 7, y cuál es la composición(abonos a capital e intereses) de la cuota # 5.A través de la tabla de amortización de la página 82, se pueden encontrar las respuestas aestas preguntas. El saldo después de cancelar la cuota # 7 es de $ 4.600.869,35 y lacomposición la cuota # 5 es $211.563,88 de intereses y un abono a capital de$793.056,98, para un total de $1.004.620,85 que es el valor de la cuota.Alternativamente se puede resolver este problema de la siguiente manera: ¿Cuántodebe Linda Reina al Banco de Bogotá, después de cancelar la cuota # 7? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Meses0 A = 1.004.620,85Simplemente observando el gráfico se tiene que doña Linda debe 5 cuotas, por lotanto el valor presente de ellas en el período 7 es el saldo del préstamo. = $ 4.600.869,35Para determinar el valor de la cuota # 5, se parte del concepto visto en las tablas deamortización en el que los intereses de una cuota son iguales a la tasa de interésmultiplicada por el saldo inicial, el cual es igual al saldo final del período anterior. Sededuce que si se pregunta la composición de la cuota # 5, se debe determinar cuántose debe después de cancelar la # 4 (saldo final del período # 4), que es simplemente elvalor presente de las 8 cuotas que quedan pendientes. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Meses 120 A = $ 1.004.620,85
  • = $7.052.129,17Este valor sería el saldo final del período 4 que a su vez es el saldo inicial del período 5,por lo tanto:Intereses de la cuota # 5 = Saldo inicial * i%Intereses de la cuota # 5 = $ 7.052.129,17 * 3%Intereses de la cuota # 5 = $211.563,88Abono a capital cuota # 5 = Cuota fija - Intereses cuota # 5Abono a capital cuota # 5 = $1.004.620,85 - $ 211.563,88Abono a capital cuota # 5 = $ 793.056,98Los valores anteriores coinciden con los obtenidos en la tabla de amortización.Ejemplo 5Completar la siguiente tabla de amortización:BIMES SALDO INTERESES CUOTA ABONOS SALDO FINAL TRE INICIAL MENSUAL CAPITAL 1 $840,477.44 2 $14,708.36 3 4 5 6La tabla de amortización puede ser completada con los conceptos expuestos en ejemplo 4.Saldo final del período 1 = Saldo inicial período 2Intereses período 2 = (Saldo inicial período 2) i%14.708,36 = 840.477,44 * i% = 1,75% bimestral.
  • Con base en el saldo final del bimestre # 1, después de pagar la cuotacorrespondiente a ese período, queda un saldo de $ 840.477,44 y 5 cuotaspendientes. Por lo tanto, y de acuerdo con lo explicado en el ejemplo #4,P = $ 840.477,44$ 840.477,44 = A$ 840,477.44 = A [4,74785507588]Despejando AA=A = $ 177.022,56Con el valor de la cuota se puede hallar el valor del préstamo y de ahí en adelante secontinúa armando la tabla, de acuerdo con lo aprendido previamente.P = $ 177.022,56P = $1.000.000n = 6, porque es el plazo del préstamo de acuerdo con lo estipulado en la tabla deamortización.i = 1,75% bimestralCompletando la tabla se tiene:BIMES SALDO CUOTA ABONOS SALDO INTERESES TRE INICIAL MENSUAL CAPITAL FINAL1 $1,000,000.00 $ 17,500.00 $ 177,022.56 $159,526.56 $840,477.44
  • 2 $840,477.44 $ 14,708.36 $ 77,022.56 $162,314.20 $678,163.243 $678,163.24 $11,867.86 $ 77,022.56 $165,154.70 $513,008.544 $513,008.54 $8,977.65 $ 177,022.56 $ 168,044.91 $344,963.645 $344,963.64 $ 6,036.86 $ 177,022.56 $ 170,985.69 $173,977.946 $173,977.94 $3,044.61 $177,022.56 $173,977.94 $0.00Ejemplo 6Justo Sin Plata recibió un préstamo de su primo Armando Rico Plata de $ 10.000.000 quedebe pagar en 3 años, cuotas semestrales iguales vencidas con una tasa de interés del10% semestral, pero los intereses deben ser pagados anticipadamente, calcular el valorde la cuota que debe pagar Justo Sin Plata a su primo Armando y elaborar : tabla deamortización del préstamo.En este caso, se debe utilizar la equivalencia correspondiente a la fórmula 9 que es laespecífica para este caso.Para la elaboración de la tabla de amortización se debe tener en cuenta lo siguiente:En la última cuota "A" que se pague en este caso la número 6 no habrá pago deintereses, todo corresponderá a abono a capital, puesto que los intereses han sidocalculados anticipadamente.Simbólicamente los abonos a capital se expresarían de la siguiente forma:Abono a capital última cuota período n = A
  • Abono a capital cuota período que es simplemente ladiferencia entre el saldo que es A y los intereses anticipados de ese saldo queserían Ai, de la misma forma se hace para los siguientes períodos.Abono a capital cuota períodoY así sucesivamente hasta llegar al período #1 donde:Abono a capital cuota # 1 = A( 1 – i )n-1Para el ejemplo que se está analizando, los abonos a capital se calcularían de la siguienteforma:El abono a capital de la cuota # 6 que es la última cuota es igual a A o sea$2.134.202,95 puesto que los intereses fueron pagados anticipadamente en la # 5El abono a capital de la cuota #5 = = 2.134.202,95(1- 0,10) = $1.920.782,65El abono a capital de la cuota #4 = = 2.134.202,95(1- 0,10)2 = $1.728.704,39El abono a capital de la cuota #3 = = 2.134.202,95(1- 0,10)3 = $1.555.833,95El abono a capital de la cuota #2 = = 2.134.202,95(1- 0,10)4 = $1.400.250,56El abono a capital de la cuota #1 = = 2.134.202,95(1- 0,10)5 = $1.260.225,50Los intereses de cada período serían la diferencia entre la cuota y el abono a capitalcalculado anteriormente.Intereses = Cuota - Abono a CapitalLa tabla de amortización para el caso analizado sería la siguiente:Préstamo: $10.000.000Interés:.... 10% semestralPlazo:...... 6 semestres PERIO- SALDO ABONO A INTERESES CUOTA SALDO FINAL DO INICIAL CAPITAL 0 $ 10,000,000.00 $ 1,000,000.00 $ 10,000,000.00
  • 1 $ 10,000,000.00 $ 873,977.45 $2,134,202.95 $ 1,260,225.50 $ 8,739,774.50 2 $ 8,739,774.50 $ 733,952.39 $2,134,202.95 $ 1,400,250.56 $ 7,339,523.94 3 $ 7,339,523.94 $ 578,369.00 $2,134,202.95 $ 1,555,833.95 $ 5,783,689.99 4 $ 5,783,689:99 $ 405,498.56 $2,134,202.95 $ 1,728,704.39 $ 4,054,985.60 5 $ 4,054,985.60 $ 213,420.29 $2,134,202.95 $ 1,920,782.65 $ 2,134,202.95 6 $ 2,134,202.95 $ 0.00 $2,134,202.95 $2,134,202.95 $ 0.00Nótese que en el período cero se pagan intereses anticipados de $ 1.000.000Nota: Es importante distinguir entre el uso de la fórmula #8 que corresponde a laequivalencia entre una serie de cuotas uniformes anticipadas y un valor presente y lafórmula # 9 que es la equivalencia entre una serie de cuotas uniformes vencidas conintereses anticipados y un valor presente. En la primera se paga el valor de una cuotaanticipadamente de manera semejante a una cuota inicial, es decir que se disminuye Iacantidad prestada inicialmente en una cantidad igual a la cuota (ver ejemplo 2), en lafórmula #9 solamente los intereses son anticipados(Ver ejemplo 7).
  • LECCIÓN QUINCE PERPETUIDADESLas perpetuidades se presentan cuando no existe un período final n, porque éste es muygrande.Separando los elementos que constituyen el numerador se tiene:Simplificando se tiene:El último término del factor entre paréntesis es cero, cuando n es muy grande; por lotanto:A = PiEjemplo 7Armando Rico Bueno desea que su esposa e hijos reciban una cantidad mensualuniforme cuando él se muera, para lo cual ha depositado $30 millones en un fondo a unatasa de 1,5% mensual. Determinar el valor de la mesada.A = PiA = $30.000.000(1,5%) = $450.000
  • RESUMEN DE LA UNIDAD UNOUna vez el aprendiente haya terminado el estudio de esta unidad estará encapacidad de comprender el concepto del valor del dinero respecto del tiempo y demanejar los diagramas de tiempo para analizar los problemas de índole financiero yrealizar los cálculos para las operaciones financieras, a partir del reconocimiento yprofundización de las temáticas el estudiante debe deducir las fórmulas de interéssimple e interés compuesto y encontrar una tasa de interés efectiva equivalente auna tasa de Interés nominal dada o viceversa.El sistema de cuotas constantes y periódicas, conocido más generalmente comoanualidades, es el más utilizado en el ámbito financiero en el tratamiento de pago decuotas o en operaciones de ahorro y su aplicación se da en la necesidad de encontrarel valor de sumas futuras o presentes equivalentes a una serie de cuotas fijas igualesvencidas o anticipadas.Una serie de pagos puede hacerse en forma uniforme en cuanto al tiempo, peroaumentar o disminuir en una cantidad constante denominada gradiente. Esto lo que seconoce como cuota variable, sistema utilizado alternativamente para el manejo de loscréditos en el sistema financiero. Con el estudio del capítulo, el aprendiente estará encondiciones de establecer la correspondencia entre una serie de pagos variables y unvalor presente.
  • EJERCICIOS PARA PROFUNDIZACIÓN DE LAS TEMÁTICAS1. Sofía Vergara recibió un préstamo del Banco Santander de $30 millones paracambiar de vehículo; si el plazo es de 5 años y se debe pagar en cuotas bimestralesvencidas, determinar:a. El valor de las cuotas si la tasa de interés es del 25% anual, trimestre vencido.b. ¿Cuál es el saldo de la deuda después de cancelar la cuota # 9?c. ¿Cuál es la composición (capital e intereses) de la cuota # 13?2. Natalia París recibió un préstamo de $50 millones del Banco Popular para adquirirun nuevo apartamento; si el interés es del 30% anual semestre vencido y el crédito sedebe pagar en cuotas iguales mensuales anticipadas durante 7 años, determinar elvalor de cada cuota.3. Beatriz Pinzón recibió un préstamo de $10 millones de su amiga Marcela Valenciapara pagar en 3 años, en cuotas iguales semestrales, determinar el valor de la cuota silas tasas de interés para cada uno de los años son los siguientes:a. Primer año: 8% semestralb. Segundo año: 10% semestralc. Tercer año: 22% anual trimestre vencido.4. Sandra Muñoz recibió un préstamo del Banco Santander de $10.000.000 que debepagar en 2 años en cuotas trimestrales iguales vencidas, si la tasa de interés es del 6%trimestral. Calcular el valor de las cuotas y elaborar la tabla de amortización, sabiendoque los intereses se pagan anticipadamente.5. Natalia París recibió un préstamo de $12.000.000 de su amiga Sofía Vergara parapagar en 5 años en cuotas semestrales variables; si el valor de la cuota se incrementa en$40.000 por período y la tasa de interés es del 20% anual trimestre vencido, hallar el valor decada una de las cuotas que debe pagar Natalia a Sofía.6. Juan Valdés recibió un préstamo de Bancafé por $30 millones que debe pagar en docecuotas trimestrales variables; si la tasa de interés es del 5% trimestral y losincrementos de las cuotas son del 3%, calcular el valor de la primera cuota.7. Armando Casas Rojas recibió un préstamo del Citibank por $35 millones que debepagar en 18 cuotas bimestrales variables; si la tasa de interés es del 2% bimestral y latasa crece el 2% trimestral, calcular el valor de la primera cuota.
  • UNIDAD DIDACTICA DOS EVALIUACION DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓNJustificaciónLa toma de decisiones sobre nuevos productos, mercados, inversiones en activospor adquisición o mejora; compra de empresas y otras estrategias que lasorganizaciones deben afrontar cada día, permite la aplicación de las herramientas delas matemáticas financieras. Las temáticas de esta unidad, no solo permiten aplicarlas herramientas apropiadas mediante el estudio de la unidad anterior sino queademás proporciona otras técnicas necesarias para la toma de decisiones en laelección de la mejor alternativa de inversión, mediante la comparación de resultadosque se esperan obtener.Objetivo GeneralReconocer los criterios, identificar los diferentes métodos y aplicar las herramientasfinancieras para la evaluación de diferentes alternativas de inversión para establecerlas condiciones inequívocas que apoyen la toma de decisiones en la elección de lamejor alternativa en razón de la rentabilidad financiera o de los beneficios para unacomunidad específica.Objetivos específicos Establecer las diferencias entre las evaluaciones financiera, económica o social Analizar la importancia de la tasa de descuento en la evaluación financiera Definir los criterios de decisión a utilizar cuando se tienen varias alternativas de inversión Medir el riesgo de una inversión a través de la teoría de probabilidad Optimizar la utilización de los recursos financieros de las organizaciones
  • CAPITULO CUATRO CLASES DE EVALUACIONES Y CRITERIOS DEDECISIONLa evaluación de proyectos permite establecer sus bondades y determinar si es o noconveniente su ejecución. Mediante la evaluación es como se comparan losresultados que se desean obtener con los objetivos fijados previamente y a través decriterios de evaluación definidos.Esencialmente se tienen en cuenta tres tipos básicos de evaluación de proyectos:evaluación económica, evaluación de impacto social y evaluación financiera.La evaluación económica tiene como finalidad medir el impacto de un proyecto sobreel bienestar de los nacionales y determinar la rentabilidad desde la óptica de laeconomía. Está basada en los flujos de beneficios y costos que afectan en formapositiva o negativa a los individuos de una localidad, región o del país en cuanto a subienestar individual.En cuanto a la evaluación social y financiera, se debe considerar lo siguiente:LECCIÓN DIECISÉIS EVALUACIÓN DE PROYECTOS SOCIALESLa evaluación social complementa la evaluación económica adicionando juicios sobreel valor de redistribuciones del ingreso y sobre el valor de metas que son deseablespor su impacto en la totalidad de la sociedad.CaracterísticasAtendiendo los objetivos de desarrollo del país, la rentabilidad del proyecto seestablece mediante la evaluación social. Para lo cual se tienen las siguientescaracterísticas.a. Distribución geográfica de los beneficiosb. Distribución social de los beneficios entre los diversos estados y grupos de lasociedad.c. Distribución de los beneficios entre consumo e inversión.d. Creación de empleoe. Contribución de otros aspectos, como el mejoramiento en las balanzas externas
  • En general se puede afirmar que la evaluación de un proyecto depende en alto gradodel propietario del proyecto. Los proyectos estatales pretenden establecerprioritariamente el impacto positivo que el proyecto tendrá en la comunidad.La explotación de los proyectos sociales no es atractiva para el sector privado por susaltos costos y su poca relevancia en rentabilidad financiera. Igual otros proyectospodrán ser muy atractivos desde el punto de vista financiero, pero no pueden serlodesde el punto de vista social o de la economía nacional. De ahí que para losproyectos de gran envergadura es necesario realizar su evaluación conjugandoambos aspectos: el impacto social y la rentabilidad financiera.Relación beneficio/costo R B/C-1Si bien este método se utiliza en la evaluación financiera como se verá másadelante, su uso es más generalizado en la evaluación de proyectos de interéssocial o proyectos públicos cuando los fondos para la financiación provienen deorganismos internacionales. Para obtener la relación beneficio/costo se realiza elcociente entre la sumatoria de los valores actualizados de los ingresos y lasumatoria de los valores actualizados de los egresos. ∑RB/C = ∑De otro modo, de lo que se trata es de calcular el valor presente de los ingresos yde los egresos del proyecto con base en la tasa de oportunidad y hacer lacorrespondiente división.Los valores resultantes de la relación B/C deben ser interpretados como sigue:RB/C > 1 El proyecto es viable, dado que el VP de los ingresos es mayor que el VP de los egresosRB/C < 1 El proyecto no es atractivo, dado que el VP de los ingresos es inferior al VP de los egresosRB/C =1 Teóricamente es indiferente realizar o no el proyecto. En este caso la TIR y la tasa de oportunidad son iguales. El VP de los ingresos es igual al VP de los egresosCONTRERAS B, Marco Elías . Formulación y evaluación de proyectos. UNAD Bogotá 2004
  • Costo CapitalizadoSu fundamento teórico está en las perpetuidades. Se usa para evaluar proyectosde larga vida generalmente mayores a 15 años, como por ejemplo puentes,carreteras, parques, etc.En perpetuidades:A = P x i, donde,A = Cuota uniformeP = Valor presentei = Tasa de descuentoDespejando P, se obtiene lo que se llama costo capitalizado:EjemploEl alcalde de Pereira está considerando dos alternativas en su ciudad; la primera,es construir un puente nuevo que tendría un costo de $1.500.000.000 einversiones adicionales cada 20 años de $60.000.000 y costos anuales de$30.000.000La segunda opción, es reparar un puente construido hace 50 años, con un costooperativo de $1.300.000.000 e inversiones cada 5 años de $25.000.000 y costosanuales de mantenimiento de $60.000.000. Si la tasa de descuento es del 25%anual, ¿cuál sería la opción menos costosa para la ciudad?
  • Opción 1: Construir puente nuevoEl diagrama es el siguiente:0 20 40 ∞ años 30 millones 30 millones 1.500 millones 60 millones 60 millonesP1 = Valor de la inversión inicial = $1.500.000.000P2 = Valor presente o costo capitalizado de las inversiones cada 20 años de $60 millones.Los $60 millones que deben invertirse cada 20 años son un valor futuro conrespecto al año cero; por lo tanto se podrían obtener cuotas uniformes de lasiguiente manera:A = Cuota uniformeF = Valor futuroA = $ 174.955,32Este valor se origina para los primeros 20 años; para el año 40 se repite lainversión y por lo tanto se obtendría la misma cuota uniforme de $ 174.995,32;igual situación se presentaría para el año 60; es decir, las inversiones de cada 20años, al distribuirlas en cuotas uniformes se vuelven una perpetuidad.
  • Por lo tanto: P3 =Valor presente de los costos anuales de mantenimiento Estos costos se consideran una perpetuidad porque se repiten cada año, por lo tanto: 30.000.000 P3 = = $120.000.000 0,25 Costo capitalizado opción # 1: P1 = $1.500.000.000 P2 = $699.821,28 P3 = $120.000.000 Popción1 = Costo capitalizado opción 1 = P1 + P2 + P3 Popción1 = $1.620.699.821,28 Opción 2: reparar puente El diagrama sería el siguiente: 0 20 40 ∞ 25 millones 25 millones años1.300 millones 60 millones 60 millones
  • P1 = Valor de la inversión inicial = 1.300.000.000P2= Valor presente o costo capitalizado de las inversiones cada 5 años de$25.000.000El procedimiento es idéntico al empleado en la opción # 1, sino que en este casolas inversiones son cada cinco años.A = Cuota uniformeF = Valor futuroA = $ 3.046.168,49Este valor se origina para los primeros 5 años, y como la operación se repite en elaño 10, 15, 20, etc. Se obtendrá la misma cifra anualmente, es decir que los$3.046.168,49 se convierten en una perpetuidad, por lo tanto:P2= 3.046.168,49 = $12.184.674 0,25P3= Valor presente de los costos anuales de mantenimientoEstos costos se consideran una perpetuidad porque se repiten cada año; por lotanto:P3= 60.000.000 = $240.000.000 0,25P opción 2 = Costo capitalizado opción2 = P1 +P2 + P3P opción 2= 1.300.000.000 + 12.184.674 + 240.000.000P opción 2= $1.552.184.674Por lo tanto el Alcalde de Pereira debe seleccionar la opción # 2, por ser menos costosa(costo capitalizado menor).
  • LECCIÓN DIECISIETE CRITERIOS PARA EVALUAR PROYECTOS DEINVERSÍÓNLas matemáticas financieras a través de su concepto de interés, que no es otra cosaque el valor del dinero en el tiempo, proporciona los conceptos para definir los criteriosque servirán de base para tomar decisiones sobre nuevos productos, mercados, clientes,etc., los cuales se constituyen en proyectos o estrategias que toda empresa deberealizar para sobrevivir en una economía de mercado.Adicional a la tasa de descuento, debe tenerse en cuenta en la evaluación de proyectosde inversión el concepto de los "flujos de caja". Su estimación adecuada es fundamentaly depende a su vez de investigación objetiva de mercados, estimación idónea decostos, fijación de precios, asignación de maquinaria, selección de recursos técnicosy humanos, entre otros.Otro aspecto importante es la estimación de la vida útil de la inversión, generalmentedepende del proyecto, por ejemplo un proyecto para cultivar rosas tiene una duraciónde 10 años que es la duración de la mata y un cultivo de clavel de 2 a 3 años, que esel tiempo productivo de la planta.Los criterios de decisión en evaluación de proyectos tienen como fuente los flujos de cajay la tasa de descuento. A continuación se explicará cada uno de ellos.1 Tasa de descuento2 Costo Promedio Ponderado de Capital –WACC-3 Valor presente neto4 Relación del valor presente de los ingresos y los egresos5 Tasa interna de retorno6 Costo anual uniforme equivalenteLa confiabilidad de cada uno de estos criterios depende de varios factores los cuales estáníntimamente relacionados. Por ejemplo, la certeza de los flujos de caja depende de unaacertada estimación de precios, costos, demanda, etc. La estimación correcta de la tasade descuento puede ser fundamental a la hora de determinar la viabilidad o no de unproyecto de inversión.
  • Tasa de DescuentoEn el capítulo 1 cuando se hizo el paralelo entre 2 inversionistas para deducir a partir deesta situación los conceptos de interés y el de tasa de interés de oportunidad, se estáplanteando implícitamente el concepto de tasa de descuento. Basta recordar el ejemplode doña Linda Plata de Rico, cuando se planteó que sólo cedería su dinero si la tasa quele ofrecen por su dinero era como mínimo del 3% mensual.La determinación de la tasa de descuento es uno de los elementos fundamentales en laevaluación de proyectos de inversión, pues de ella va a depender la viabilidad delproyecto.Los investigadores en finanzas han concluido que la tasa de descuento debe ser elresultado de seleccionar entre la tasa de interés de oportunidad y el costo ponderado decapital, escogiendo la mayor de las dos para ser más exigentes con el proyecto.Costo Promedio Ponderado de Capital –WACC-Es el costo promedio de los recursos propios y externos después de impuestos querequiere un proyecto.En lo que hace referencia al costo de los recursos propios, existen modelos como elCAPM (Capital Assets Pricing Model) que permite acercarse al costo de los recursos propios.Costo promedio ponderado de capital = Ko = WACCKo = KdWd + KpWpKd = Costo de la deuda después de impuestosWd = % de deuda en relación con el total de recursosKp = Costo de los recursos propiosWp = % de los recursos propios en relación con el total de recursosPor ejemplo, si el proyecto "YY" requiere $500 millones de inversión de los cuales $200millones son recursos propios, que tienen una tasa de oportunidad para el inversionista del23% efectivo anual y la diferencia son recursos externos, con un costo del 27% efectivoanual y una tasa de impuestos del 35%, el costo promedio ponderado de capital será:Wd = = 60%
  • Wp =Kd = 27%(1-T) = 27%(1- 0,35) = 0,1755Kd == 17,55% efectivo anualKp = 23%Ko = 60%(17,55%) + 40%(23%)Ko = Costo de capital =0,1973 ó 19,73% efectivo anual.La tasa de descuento es el resultado de escoger la mayor de las dos tasas, la deoportunidad del inversionista o costo de recursos propios y el costo promedio ponderadode capital o WACC del proyecto. En el ejemplo anterior es mayor la tasa deoportunidad, por lo tanto la tasa de descuento es el 23% efectivo anual. La razón porla cual se escoge la mayor, es la de ser más "duro" con la evaluación del proyecto yevitar crear falsas expectativas.
  • LECCIÓN DIECIOCHO VALOR PRESENTE NETO - VPNEs el resultado de descontar (traer a valor presente) los flujos de caja proyectados de unainversión a la tasa de interés de oportunidad o costo de capital y sustraerle el valor dela inversión. Si el resultado obtenido genera un remanente positivo, el proyecto es viable encaso contrario no.Gráficamente se expresaría así: REMANENTE COSTO DE CAPITAL O TASA DE OPORTUNIDAD INVERSIONEl diagrama anterior quiere decir que si el proyecto devuelve la inversión genera un interésy adicionalmente genera un remanente, es factible.EjemploArmando Rico Plata desea incursionar en un proyecto de transporte masivo para unaimportante ciudad colombiana, el cual requiere $5.000 millones de inversión. BeatrizPinzón lo ha asesorado en la elaboración del proyecto y ha estimado los siguientesflujos de caja: Año FLUJO DE CAJA Año O -$5.000.000.000 Año 1 $ 1.450.000.000 Año 2 $1.789.000.000 Año 3 $2.345.000.000 Año 4 $ 3.617.000.000La tasa de descuento calculada para el inversionista es del 10%
  • Relación del valor presente de los ingresos y los egresosRelaciona el valor presente de los ingresos y el valor presente de los egresos; si elresultado de esta relación es mayor que uno, el proyecto es viable en caso contrario, no.En otras palabras si el cociente valor presente ingresos / valor presente egresos es >1, lainversión es factible. A este criterio se conoce como Relación beneficio/costoPara el proyecto que se está analizando se tendría:Valor presente ingresos =Valor presente egresos = $ 5.000.000.000 se toma el valor absoluto de la inversión, elcual es el único flujo de egreso o negativo que tiene el proyecto. Si existiera otro flujonegativo, se debe traer a valor presente tal como se hizo con los ingresos, utilizandola tasa del descuento que se utilizó para evaluar. V P ingresos 7.028.987.091 B/C = — ——————— = --———------------— = 1,41 VP egresos 5.000.000.000Como la relación B/C > 1, el proyecto es factible.
  • LECCIÓN DIECINUEVE TASA INTERNA DE RETORNO - TIREs la tasa de interés a la cual los flujos de caja descontados y sustraída la inversión,genera un valor presente neto igual a CERO; si esta TIR es mayor que la tasade oportunidad del inversionista o alternativamente mayor que el costo decapital, el proyecto es viable.El procedimiento para el cálculo de la tasa interna de retorno es como sigue:  Se toma una tasa cualquiera "i", eventualmente puede ser la del inversionista y traer a valor presente los flujos de caja estimados. Considérese una i = 20% anual.VPN = - 5.000.000.000 + =552.064.043,21  Efectuamos el mismo cálculo del numeral anterior con una nueva tasa; como el VPN obtenido con i = 20% es mayor que CERO, se debe estimar con una tasa mayor, por ejemplo i = 25%VPN = -5,000 + = - 12.876.800  Calcular la tasa para la cual el VPN es igual a cero, mediante el método de interpolación, para lo cual se recomienda graficar los resultados de la siguiente forma: 0 552.064.043,21 - 12.876.800 VPN i =25% cero i =20%Luego calcular la diferencia entre las tasas de interés (25% - 20% = 5%) y entre los valo-res presentes netos (552.064.443,21 – (-12.876.800) = 564.940.843,2), tomando losvalores negativos en absoluto.Posteriormente, se toma cualquiera de los dos puntos extremos, por ejemplo tomar elvalor presente neto que corresponde a 25% o sea -12.876.800 y obtener la diferenciacon el punto focal cero. Con estos datos, se plantea la siguiente regla de tres:
  • Si para una diferencia en la tasa de interés de 5% corresponde una diferencia de$564.940.843,2¿Qué variación de i% corresponde a una variación de $(-12.876.800) i = 0,11346 %Como la TIR debe estar entre 20% y 25%, por cuanto fueron las tasas de descuentocon las cuales se obtuvo el valor presente positivo y negativo respectivamente, ycomo se tomó el VPN de $(-12.876.800) que corresponde a i = 25% entonces:TIR = 25% - 0,11346 = 24,88% anualSi se hubiera tomado como referencia el otro extremo, o sea i = 2 0% tasa con lacual el VPN es $552.064.043,21 el raciocinio habría sido el siguiente:Si para una diferencia en la tasa de interés de 5% corresponde una diferencia de $564,94¿Qué variación de i% corresponde a una variación de $552,06? i % = 4,88%En tanto se tomó como referencia el 20% y la TIR no puede ser ni menor de 20% nimayor de 25%, entonces:TIR = 20% + 4,88% = 24,88% anualValor que coincide con el anterior cuando se hizo el cálculo con el otro extremo.En razón a que el resultado de la TIR es mayor que la tasa del inversionista (10%), elproyecto es viable.Como se observa en el ejemplo anterior, para poder calcular la TIR se requiere habercalculado el VPN con dos tasas diferentes; debe tenerse presente que uno de losresultados del VPN debe ser positivo y el otro negativo para que se pueda utilizar laherramienta de interpolación. En otras palabras, cuando se obtienen dos VPN positivoso dos VPN negativos es imposible calcular la TIR.
  •  Otra forma de calcular la TIRPrimero, se debe trabajar con la fórmula del VPN. Luego se deben buscar 2 resultadosdel VPN que se aproximen lo más posibles al valor CERO, por encima y por debajo, esdecir, se debe conseguir un valor del VPN negativo muy cercano a cero y otro VPNpositivo muy cercano a cero también. Cómo se hace esto? Probando con distinta tasas deinterés. Si se pregunta por qué los valores deben ser cercanos a cero, la respuesta es porquela TIR no es más que aquella tasa que iguala los flujos de efectivo actualizados a lainversión inicial del proyecto o inversión que se quiera realizar.Luego de obtenido lo anterior, se procede a aplicar la siguiente fórmula:Dónde:i(+): Es la tasa de interés que hace al VPN positivo y cercano a ceroi(-): Es la tasa de interés que hace al VPN negativo y cercano a ceroVPN(+): Es el VPN PositivoVPN(-): es el VPN negativoPodemos verificar esta fórmula con los datos del ejercicio anterior así:i(+) = 0,20i(-) = 0,25VPN(+) = 552,06VPN(-) = -12,88
  •  Cálculo del VPN y la TIR con ExcelAlternativamente se puede utilizar la hoja Excel para calcular el valor presente neto yla tasa interna de retorno.Tomando como base la información del proyecto de transporte del señor Armando RicoPlata, completar la hoja de la siguiente forma: A B C D 1 0 -5.000.000.000 Tasa de oportunidad 10% 2 1 1.450.000.000 3 2 1.789.000.000 4 3 2.345.000.000 5 4 3.617.000.000 6 TIR = TIR (B2:B6) 7 VPN =VNA(D1;B3:B6)+B2 8Posteriormente, registrar en la celda ―=TIR(B2:B6)‖, incluyendo dentro del rangoel valor de la inversión, al teclear ―enter‖ se obtiene la TIR de 24,88%.Para el cálculo del valor presente neto se debe completar la celda con―=VNA(D1;B3:B6)+B2‖; donde D1 es la tasa de oportunidad del inversionista, esdecir la tasa de descuento. Nótese que no se inscribió todo el rango en elparéntesis; en caso de señalarse completamente, el cálculo del valor presentecorrespondería al periodo -1 y no al período cero.El valor de la inversión debe ser adicionado al valor presente de los flujos, paraobtener el valor presente neto del proyecto. Siguiendo este procedimiento el VPNes igual a $2.028.987.091,05
  • LECCIÓN VEINTE COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE –CAUEEste criterio es muy utilizado cuando se tienen proyectos que solo involucrancostos; su base conceptual son las anualidades o cuotas fijas y permite compararproyectos con diferentes vidas útiles. El criterio de decisión es escoger laalternativa o proyecto que genere menor CAUE.EjemploAlmacenes ―El Triunfo‖ está considerando la posibilidad de utilizar montacargas ensus bodegas con el fin de emplearlos en la ubicación de productos en susestantes; actualmente esta labor se hace manualmente. El gerente general, señorJuan Pérez ha reunido la siguiente información para evaluar las opciones:Alternativa A: adquirir 2 montacargas.Alternativa B: trabajar con una cuadrilla de 8 trabajadores y usar carretillasmanuales.Los costos de cada alternativa son:Alternativa A: el valor de los dos montacargas es de $20 millones y para sumanejo se requiere de 2 conductores y 2 ayudantes; los primeros devengarán unsalario de $500.000/mes cada uno y los otros $300.000/mes. A dichos salarios seles debe adicionar un 50 % por concepto de prestaciones sociales.Para el mantenimiento y los seguros de los dos equipos se requieren $2 millonespor año. La vida útil de los montacargas es de 5 años.Alternativa B: el salario de los trabajadores de la cuadrilla es de $3 00.000/mes yun 50% anual por concepto de prestaciones sociales.La tasa de descuento es 20% anual.Con base en la información anterior, se calculan los costos de cada una de lasalternativas:Alternativa A:Costos por año: Salarios por año conductores = (500.000 x 12 x 2) (1.50) = $ 18,000,000
  •  Salarios por año ayudantes (300.000 x 12 x 2) (1 .50) $1 0,800,000 Mantenimiento por año = $ 2,000,000Total costos por año: $ 18,000,000 + 10,800,000 ± 2,000,000 = 30,800,000Costo montacargasCosto Anual Uniforme Equivalente = P i(1 +i)n (1+i)n - 1CAUE = 20,000,000 0.20(1+0.20)5 Montacargas (1+0.20)5 -1CAUE = 20,000,000 [0.33437970329] MontacargasCAUE = 6,687,594.07 MontacargasTotal CAUE = Total costo por año + CAUE MontacargasTotal CAUE = 30,800,000 + 6,687,594.07Total CAUE = $37,487,594.07Alternativa B:Costos por año = (30,000,000 x 12 x 8) (1.50) = 43,200,000CAUE por año = $ 43 ,200,000De acuerdo con los resultados previos es más económico adquirir los equipos decarga, por lo tanto se debe escoger la alternativa ―A‖.
  • CAPITULO ANALISIS DE RIESGOS EN LOS CINCOPROYECTOS DE INVERSIONLECCIÓN VEINTIUNO SISTEMAS DE ANALISISEl análisis de los proyectos constituye la técnica matemático-financiera y analítica,a través de la cual se determinan los beneficios o pérdidas en los que se puedeincurrir al pretender realizar una inversión u alguna otro movimiento, en donde unode sus objetivos es obtener resultados que apoyen la toma de decisiones referentea actividades de inversión. Asimismo, al analizar los proyectos de inversión sedeterminan los costos de oportunidad en que se incurre al invertir al momento paraobtener beneficios al instante, mientras se sacrifican las posibilidades debeneficios futuros, o si es posible privar el beneficio actual para trasladarlo alfuturo, al tener como base específica a las inversiones.Una de las evaluaciones que deben de realizarse para apoyar la toma dedecisiones en lo que respecta a la inversión de un proyecto, es la que se refiere ala evaluación financiera, que se apoya en el cálculo de los aspectos financieros delproyecto. El análisis financiero se emplea también para comparar dos o másproyectos y para determinar la viabilidad de la inversión de un solo proyecto.Sus fines son, entre otros: a. Establecer razones e índices financieros derivados del balance general. b. Identificar la repercusión financiar por el empleo de los recursos monetarios en el proyecto seleccionado. c. Calcular las utilidades, pérdidas o ambas, que se estiman obtener en el futuro, a valores actualizados. d. Determinar la tasa de rentabilidad financiera que ha de generar el proyecto, a partir del cálculo e igualación de los ingresos con los egresos, a valores actualizados. e. Establecer una serie de igualdades numéricas que den resultados positivos o negativos respecto a la inversión de que se trate.Toda decisión involucra un riesgo y los seres humanos por naturaleza sientenaversión a él. En los negocios las decisiones se ven sujetas a la incertidumbre y alriesgo, los cuales se toman como dos términos sinónimos pero no lo son: elprimero es un total desconocimiento del comportamiento de una variable y en elsegundo si se conoce, bien sea a través de información histórica, investigacionesde mercado, opiniones de expertos, etc.El análisis del riesgo se puede hacer mediante dos sistemas: distribución Beta 2 ydistribución Beta.
  • LECCIÓN VEINTIDÓS RIESGO E INCERTIDUMBRE ENPROYECTOS DE INVERSIÓNUno de los problemas que se presentan en la comprensión de los temas deadministración y gerencia es que muchos términos tienen significados múltiples;ejemplo de esto se encuentran con mucha frecuencia en los temas contables yfinancieros (términos tales como, ingreso, flujo de caja, flujo de fondos, para citarsolo tres). En particular, cuando se habla de riesgo e incertidumbre, esta confusiónse incrementa porque existe un conocimiento previo -intuitivo tal vez- de lo que esla incertidumbre. ―Para muchos, la incertidumbre es el desconocimiento del futuro;en este contexto se considera que el riesgo y la incertidumbre se producen por lavariabilidad de los hechos futuros y por su desconocimiento. Más aun, se nombraa la incertidumbre como la situación en la cual hay un grado (mayor o menor) dedesconocimiento del futuro‖En la literatura se presenta confusión al definir las diferentes situaciones, porejemplo, Hillier (1963) habla de riesgo e incertidumbre como si fueran iguales, lomismo sucede con Hespos y Strassman (1965), para sólo citar unos pocos; Morris(1964), por otro lado, hace la distinción entre riesgo e incertidumbre. Lo cierto esque existen grados de incertidumbre y en la medida en que ella disminuye con lainformación recolectada se puede manejar en forma analítica cada vez más. Loscasos de riesgo, tal como lo distingue Morris, son muy particulares y los máscomunes están relacionados con situaciones de azar (loterías, ruletas, rifas, etc.) ocon decisiones a las cuales se les ha asignado una distribución de probabilidad.Para la incertidumbre, por el contrario, no se posee información suficiente comopara asignarle una distribución de probabilidad.Una situación de incertidumbre se presenta cuando se pueden determinar loseventos posibles y no es posible asignarles probabilidades. Hay un nivel de mayorincertidumbre que algunos han denominado incertidumbre dura y se refiere a lasituación en que ni siquiera es posible identificar los estados o eventos futuros.Otra manera de definir la incertidumbre es decir que pueden suceder más cosasde las que en realidad ocurrirán.Algunos autores consideran que la incertidumbre es la que ocasiona el riesgo, osea, ―de acuerdo con el mayor o menor grado de conocimiento que se tenga de loque ocurrirá en el futuro, habrá mayor o menor riesgo‖. Ahora bien, la situación deignorancia total, es en realidad una situación irreal como que en la práctica noexiste. Algo similar se podría decir de la certidumbre total. ―La rehabilitación de laprobabilidad ―subjetiva o a priori‖ ha convertido los casos inciertos en casosaleatorios‖
  • Cuando además de prever los posibles resultados futuros asociados a unaalternativa, se les puede asignar probabilidades -aunque sean subjetivas- a cadauno de ellos, entonces se dice que se encuentra frente a una situación bajo riesgo.El riesgo es aquella situación sobre la cual tenemos información, no sólo de loseventos posibles, sino de sus probabilidades.El riesgo en inversión significa que las rentabilidades no son predecibles, así, ―elriesgo de un activo se define en términos de la variabilidad de sus rendimientosfuturos y puede expresarse completamente describiendo todos los resultadosposibles y la probabilidad de cada uno. Para activos reales esto es engorroso y amenudo imposible. Para ello se emplea la varianza y la desviación típica pararesumir la variabilidad de los posibles resultados. ―Estas medidas son índicesnaturales de riesgo si la rentabilidad de las acciones se distribuye normalmente‖.
  • LECCIÓN VEINTITRÉS MÉTODOS PARA EVALUAR EL RIESGOEN LA EVALUACIÓN DE PROYECTOS DE INVERSIÓNEl análisis de riesgo es una técnica que proporciona información vital relativa dedecisiones de inversión. Provee una medida del riesgo asociado a un proyecto,una base sobre la cual determinar la conveniencia de llevar a cabo esosadicionales y hace, que estos estudios, sean mucho más efectivos al identificar yordenar las fuentes de incertidumbre de acuerdo a su impacto sobre la decisiónfinal.El objetivo de este análisis es posibilitar la aplicación de las técnicas másavanzadas de decisión a partir de la previa obtención de la distribuciónprobabilística del VAN por ejemplo o de otro ratio o indicador dado. Por ejemplo sepuede obtener:• E(VAN).• Concentración o dispersión del estimador σ : E(VAN ) .• Probabilidad del resultado adverso ( por ejemplo: VAN<0).•E (VAN ≤ 0) ≅ Capacidad de enfrentar pérdidas.• Costo de la incertidumbre (costo de rechazar la decisión o de profundizar en elanálisis).El análisis de riesgo permite tomar decisiones aún existiendo aversión al riesgo enel decisor. Calcular la incertidumbre y el costo de la misma es una de lascaracterísticas más importantes que provee este tipo de análisis. El costo de laincertidumbre tienen que ver con las pérdidas que arriesga el empresario al invertiren un proyecto que tiene probabilidades de no ganar o de lo contrario lasganancias que arriesga el empresario por no invertir aún con probabilidadesmínimas de ganar. En definitiva la mayor aversión al riesgo le dará a cadaempresario su disposición a pagar por aminorar el costo de la incertidumbre.A continuación se hace referencia a los principales métodos utilizados paraevaluar el riesgo en el análisis de los proyectos de inversiones.Análisis de riesgo secuencial: Esta herramienta de análisis de proyectos deinversión, cuando se valoran alternativas, es muy empleada y la calidad de lainformación es vital para una adecuada selección entre las variantes.
  • Método de la tasa de descuento ajustada al riesgo: ―Para aquellos activos queno tienen antecedentes de precio, o la inversión propuesta no está lo bastantecerca del negocio actual como para justificar el uso del costo de capital de laempresa o de la división se suele ajustar la tasa de descuento de la siguienteforma‖:Tda = Td + p /1 /Donde:Tda: tasa de descuento ajustada al riesgop: prima por riesgoEsta prima por riesgo recoge factores adicionales que se añaden a la tasa dedescuento para compensar cosas que podrían ir mal con la inversión propuesta.Si el flujo de caja del proyecto es arriesgado el procedimiento normal es descontarsu valor esperado a la tasa de descuento ajustada al riesgo, la cual reconoceimplícitamente que los flujos de caja más alejados tienen menos valor y másriesgo. La razón de ello es que la tasa de descuento compensa el riesgosoportado por períodos y cuanto más alejados del presente estén los flujos de cajamayor será el número de períodos y el ajuste total por riesgo. Esto hace que tengasentido utilizar una tasa de descuento ajustada al riesgo mientras el proyectotenga el mismo riesgo de mercado en cualquier punto de su vida útil.―La principal dificultad de este método se halla en determinar la prima por riesgo(p). Se trata de algo subjetivo que dependerá de la apreciación personal delinversor y por tanto llevara siempre aparejado un elevado margen dearbitrariedad‖. Algunas empresas en el mundo suelen agrupar las alternativas deinversión en clases o grupos de riesgo, a los cuales se aplican tasas de descuentodiferenciadas de acuerdo con el nivel de riesgo. Sin embargo tanto la clasificaciónde los proyectos como la determinación de la tasa de descuento apropiada, siguenpresentando un elevado margen de arbitrariedad.Método del equivalente cierto: Un procedimiento alternativo a la tasa dedescuento ajustada al riesgo es el método del equivalente cierto que hace ajustesseparados para el riesgo y el tiempo. ―El método del equivalente cierto consiste encalcular el rendimiento cierto menor por el que el decisor está dispuesto a cambiarel flujo de caja arriesgado del proyecto.El principal inconveniente de este método se halla en la dificultad de especificarlos coeficientes de ajuste para los flujos de caja futuros. Su determinación es tanarbitraria como la especificación de la prima por riesgo en el método anterior.
  • Tanto el método de la tasa de descuento ajustada al riesgo como el método delequivalente cierto entrañan un elevado margen de subjetividad y en principioparecen equivalentes. El empleo de una misma tasa descuento ajustada al riesgopresupone implícitamente que el riesgo acumulado aumenta a una tasa deconstante a medida que se adentra en el futuro lo cual es cierto cuando el riesgopor períodos es constante. En los casos de que el riesgo no aumenteuniformemente debería emplearse el enfoque del equivalente cierto que permiteefectuar ajustes por riesgo de forma separada en cada período.Análisis de sensibilidad: Aún bajo condiciones de incertidumbre se puedentomar decisiones más robustas cuando se abordan análisis multifactoriales. ―Elanálisis de sensibilidad es un método que aún conociendo las probabilidades delos escenarios/factores futuros permite direccionar adecuadamente un posteriordiseño de experimento para medir el riesgo en la valoración de un proyecto‖. Entrelas múltiples ―variables de test‖ se pueden considerar:• Niveles de venta o demanda• Niveles de precios• Comportamiento de pago de consumidores/clientes• Comportamiento de los inventarios• Nivel de los costos de mano de obra y materiales• Nivel de los costos de mano de obra y materiales• Precio de arrendamiento de los equipos y terrenos• Costo de las inversiones• Retardo de puesta en marcha de inversiones y/o mantenimiento• Tasa promedio del interés del capital invertido• Vida útil económicaVeamos a continuación un resumen de la importancia del análisis de sensibilidaden decisiones bajo incertidumbre de inversiones:• Permite determinar las variables (factores/variables de test) que contienen mayorincertidumbre dentro del proyecto. (por ejemplo. Política fiscal, política arancelaria,precios, costos).
  • • Determinar la sensibilidad (elasticidad) del criterio de evaluación del proyectorespecto a cada variable de test.• Contribuye a identificar fortalezas y debilidades de un proyecto así comooportunidades y amenazas de un proyecto.• Ayuda a definir la importancia de las variables de test (ranking).• Determina el rango de variación de las variables de test de incidencia nouniforme.• Permite calcular los valores críticos de los criterios de decisión empleados.―El análisis de sensibilidad no tiene por objetivo eliminar la incertidumbre inherentea toda decisión de realizar un proyecto de inversión sino más bien un instrumentoque permite cuantificar las consecuencias económicas de una variacióninesperada, pero posible, de parámetros importantes‖.Método de análisis por escenarios: Una versión más flexible del análisis desensibilidad es examinar el proyecto ante diferentes escenarios bajo los cuales sepueda considerar la interrelación entre las variables que determinan la rentabilidaddel mismo a los efectos de intentar reducir su riesgo. ―Los escenarios estaráncompuestos por hipótesis relativas a las situaciones futuras posibles de cada unade las variables del proyecto, el mercado y la economía en general. Para reducir laincertidumbre se asignan probabilidades de ocurrencia a los distintos escenariosempleando los métodos de expertos. Normalmente las previsiones se dan sobre labase de escenarios particulares, en otras ocasiones, se trabaja con el escenariomás probable, el pesimista y el optimista‖.Finalmente, es bueno señalar que el método de escenarios no esta exento deinconvenientes. Todos los escenarios se basan en hipótesis más o menosarbitrariamente establecidas que deben ser contrastadas con la realidad y con lasposibilidades reales de ocurrencia.Análisis del punto de equilibrio: Cuando realizamos un análisis de sensibilidad ocuando evaluamos un proyecto ante escenarios alternativos estamosplanteándonos hasta que punto sería grave que los estimados de ingresos ycostos del proyecto resultasen peores de lo esperado. A menudo este problema seresuelve determinando hasta que nivel pueden caer las ventas antes de que elproyecto comience a producir pérdidas, o sea, genere un VAN negativo. A estetipo de análisis se le conoce como análisis del punto de equilibrio. Una aplicaciónde este método es planteada por Gabriel Baca Urbina, 1990.
  • Árboles de Decisión: La técnica de análisis de decisiones con árboles dedecisión consiste en efectuar cálculos en cada nodo de azar para encontrar elvalor esperado. Ese valor reemplaza al nodo de azar y se compara con cada unode los demás que parten de un nodo de decisión y se selecciona el mayor. Estevalor se asigna el nodo de decisión correspondiente y se llama valor de posicióndel nodo de decisión. La ventaja de los árboles de decisión es que permiten hacerexplícito el análisis de los posibles acontecimientos futuros y de las decisiones.Una de las desventajas de los árboles de decisión es su dificultad cuando sepresentan muchas alternativas, lo cual es probable que ocurra si se desea que elmodelo se aproxime a la realidad. En este caso el número de cálculos puedecrecer en forma desproporcionada. El número de puntos finales crece rápidamenteen cuanto el número de nodos crece. ―Esto induce al analista a reducirintencionalmente el número de puntos terminales y los estimativos de laprobabilidades son muy escasos y pobres‖. Por lo tanto el uso de este enfoquepuede dar unos resultados inadecuados. Hespos y Strassann han propuestosimplificar los árboles asignando distribuciones de probabilidad a los nodos deazar y efectuando un proceso iterativo de simulación. También proponen hacereliminaciones en el desarrollo del proceso con base en el valor esperado y lavarianza de las diferentes distribuciones resultantes. ―O sea, que se eliminaríanaquellas distribuciones con mayores (o menores) valores esperados y varianzassimultáneamente (si una distribución tiene menor valor esperado y mayor varianzaque otra, se descarta la primera, bajo el supuesto de que se trata de utilidades; sifueran costos se consideraría el mayor valor esperado y mayor varianza) ―.Además sugieren que se descarten en el proceso, valores que no cumplan conciertos límites preestablecidos. De esta forma el análisis se simplificaría al reducirlos eventos.Método de Simulación: La Simulación es una técnica numérica que se utilizapara realizar experimentos a partir de la construcción de un modelo lógico –matemático que describe el comportamiento de los componentes del sistema y suinteracción en el tiempo. ―A partir del modelo de simulación se imita el desarrollodel sistema en el tiempo, considerando todos los factores estocásticos que leacompañan y realizando una analogía entre el modelo y el sistema real en lascondiciones naturales‖Los objetivos de la simulación, en términos generales, serán:• Describir un sistema existente• Explotar un sistema hipotético• Diseñar un sistema mejorado.Las ventajas de la simulación están dadas por:
  • • Permite el estudio y análisis del comportamiento de sistemas en los cuales seríamuy costoso o imposible experimentar directamente en ellos.• Permite estudiar los aspectos que sobre un sistema determinado tendrían ciertoscambios o innovaciones sin necesidad de arriesgarse a estudiarlos en el sistemareal.• Permite el análisis de determinadas alternativas para seleccionar sistemas denueva implantación.• Permite resolver problemas analíticos complicados de una forma más sencilla.Como desventajas pueden citarse:• Los resultados que se obtienen de la aplicación de la simulación son,generalmente, estimaciones estadísticas, las cuales están sujetas a la variabilidady confiabilidad de toda estimación.• La utilización de la simulación está directamente vinculada al uso de lacomputadora, y para lograr mayor precisión de los resultados, se necesitará mayortiempo de procesamiento en la computadora; es por esto que la técnica desimulación es bastante costosa en su aplicación.
  • LECCIÓN VENTICUATRO DISTRIBUCION BETA DOSEs una aproximación a la distribución normal, pero achatada a los extremos de lasiguiente forma: f(x) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 X -3 -2 -1 0 1 2 3 VPN VPN PromedioGráfico 4. Distribución Beta 2Se deben considerar tres escenarios para cada uno de los flujos de caja delproyecto:El optimista, el más probable y el pesimista. Con base en esta información secalcula el promedio y la varianza de cada flujo de caja utilizando las siguientesecuaciones: Flujo de Flujo de caja 4 Flujo de caja caja optimista i + más probable i + pesimista iPromedio flujo de caja período i = 6
  • 2 Flujo de caja optimista i – Flujo de caja pesimista iVarianza flujo de caja período i = 6Una vez obtenidos los flujos de caja promedio y su varianza, se traen a valorpresente a la tasa de descuento.VPN promedio = Promedio Flujo Caja 0+ Promedio Flujo Caja 1/(1+i) + Promedio FlujoCaja 2/(1+i)2 +………. + Promedio Flujo Caja n/(1+i)nVPN varianza = Varianza Flujo Caja O + Varianza Flujo Caja 1/((1+i))2 + Varianza FlujoCaja 2/((1+i)2)2 +…..+ Varianza Flujo Caja n / ((1+i)n)2EjemploCon base en la información anterior de los proyectos ―A‖ y ―B‖ del señor ArmandoRico, y considerando tres escenarios para cada flujo de caja, determinar el riesgode cada inversión, asumiendo que el escenario más probable fue el empleado enel capítulo anterior de evaluación de alternativas mutuamente excluyentes.Proyecto A: ESCENARIO ESCENARIO MÁS ESCENARIO OPTIMISTA PROBABLE PESIMISTA Flujo caja año 0 -4,000 -5,000 -6,500 Flujo caja año 1 2,200 1,450 1,234 Flujo caja año 2 2,400 1,789 1,456 Flujo caja año 3 2,657 2,345 2,178 Flujo caja año 4 4,300 3,617 2,969
  • Proyecto B: ESCENARIO ESCENARIO MÁS ESCENARIO OPTIMISTA PROBABLE PESIMISTA Flujo caja año 0 -6,500 -7,000 -9,000 Flujo caja año 1 2,845 2,345 2,156 Flujo caja año 2 2,845 2,345 2,156 Flujo caja año 3 2,845 2,345 2,156 Flujo caja año 4 5,259 4,682 4,300Con base en la información anterior, se deben realizar los siguientes cálculos parael proyecto A:Promedio flujo de caja O = (-4,000 + 4(-5,000)-6,500)/6 = -5,083.33Promedio flujo de caja 1 = (2,200 + 4(1,450)+1,234)/6 = 1,539Promedio flujo de caja 2 = (2,400 + 4(1,789)+1,456)/6 = 1,835.33Promedio flujo de caja 3 = (2,657 + 4(2,345)+2,178)/6 = 2,369.17Promedio flujo de caja 4 = (4,300 + 4(3,617)+2,969)/6 = 3,622.83Varianza flujo de caja período O 2 -4000 + 6500 = 173.611,11= 6Varianza flujo de caja período 1= 2.200 – 1.234 2 = 25.921 6Varianza flujo de caja período 2
  • 2= 2.400 – 1.456 = 24.753,77 6Varianza flujo de caja período 3 2= 2.657 – 2.178 6= 6.373,36Varianza flujo de caja período 4 2= 4.300 – 2.969 6= 49.210,03Resumiendo se tiene: PROMEDIO VARIANZA Flujo caja año 0 -5,083.33 173,611.11 Flujo caja año 1 1,539.00 25,921.00 Flujo caja año 2 1,835.33 24,753.78 Flujo caja año 3 2,369.17 6,373.36 Flujo caja año 4 3,622.83 49,210.03VPN promedio A = - 5,08 3.33 + 1,539 / ( 1+ 0.10 ) + 1 ,835.33 / ( 1 + 0.10 )2 + 2,369.17 / (1+0.10)3 + 3,622.83 / (1+0.10)4VPNpromedio A =2,087VPNVarianza A = 173,611.11 + 25,921 / ((1+ 0.10))2 + 24,753.78 / ((1+0.10)2)2 + 6,373.36 / ((1+ 0.10)3)2 + 49,210.03 / ((1+ 0.10)4)2VPN varianza A = 238,495.03 (Sacamos raíz para obtener la Desviación Estándar)VPN desviación estándar A = 488,36
  • Con base en la información anterior ¿Cuál es la probabilidad de que el VPN seamayor que cero’?Utilizando la distribución normal y estandarizando en unidades / se tiene: 0 – 2,087 Z= 488.36 - 2,087 Z= = - 4.2734 488.36El resultado anterior se puede buscar en una tabla de distribución normal o enExcel utilizando las funciones estadísticas ―f(x)‖ se selecciona distribución normalestandarizada y se coloca el valor -4,2734 donde dice Z.Como resultado se obtiene el área bajo la curva hasta el punto de la referenciaque es cero, que para el ejemplo es de 0,96257x105 . Como el área total de lacurva es 1, la probabilidad de que el VPN sea mayor que cero sería: 1- 0,96257 x 105= 0 .999 O sea que P(VPN>O) 0.999 = 99.9%A continuación se efectúan los mismos cálculos con la información del proyecto B,obteniendo los siguientes resultados:Promedio flujo de caja O = (-6,500 + 4(-7,000)-9,000)/6 = -7,250Promedio flujo de caja 1 = (2,845 + 4(2,345)+2,156)/6 = 2,396.83Promedio flujo de caja 2 = (2,845 + 4(2,345)+2,156)/6 2,396.83Promedio flujo de caja 3 = (2,845 + 4(2,345)+2,156)/6 = 2,396.83Promedio flujo de caja 4 = (5,259 + 4(4,682)+4,300)/6 = 4,7 14.50 2 -6.500 + 9.000 = 173.611.11 6
  • Varianza flujo de caja período O = 2Varianza flujo de caja período 1 = 2.845 – 2.156 = 13.186.69 6 2Varianza flujo de caja período 2 = 2.845 – 2.156 = 13.186.69 6 2Varianza flujo de caja período 3 = 2.845 – 2.156 = 13.186.69 6 2Varianza flujo de caja período 4 = 5.259 – 4.300 = 25.546.69 6 PROMEDIO VARIANZA Flujo caja año 0 -7,250.00 173,611.11 Flujo caja año 1 2,396.83 13,186.69 Flujo caja año 2 2,396.83 13,186.69 Flujo caja año 3 . 2,396.83 13,186.69 Flujo caja año 4 4,714.50 25,546.69VPN promedio B = -7,250 +2,396.83 / (1+0.10) + 2,396.93 / (1+0.10)2 + 2,396.83 / (1+0.10)3 + 4,714.50 / (1+0.10)4VPN promedio B = 1,930.64VPNVarianza B = 173,611.11 + 13,186.69 / ((1+ 0.10))2 + 13,186.69 / ((1+0.10)2)2 + 13,1 86.69 / ((1+ 0.10)3)2 + 25,546.69 / ((1+ 0.10)4)2VPN varianza B =212,877.16 (Sacamos raíz para obtener la Desviación Estándar)VPN desviación estándar B = 461.39Con base en la información anterior ¿Cuál es la probabilidad de que el VPN seamayor que cero?Utilizando la distribución normal y estandarizando en unidades / se tiene: 0 – 1.930.64 Z= 461.39
  • - 1.930.64 Z= = -4.1844 461.39El resultado anterior se puede buscar en una tabla de distribución normal o enExcel utilizando las funciones estadísticas ―f(x)‖ se selecciona distribución normalestandarizada y se coloca el valor -4,1844 donde dice Z.Como resultado se obtiene el área bajo la curva hasta el punto de la referenciaque es cero, que para el ejemplo es de 1.4305x105 . Como el área total de la curvaes 1, la probabilidad de que el VPN sea mayor que cero sería: 1- l.4305 x 105= 0 .999 O sea que P(VPN>O) 0.999 = 99.9%Los resultados permiten concluir que los dos proyectos analizados tienen unriesgo mínimo.Con base en la información obtenida se pueden resolver inquietudes en relacióncon el riesgo de obtener determinados valores del VPN y no solamente de cerocomo se explicó anteriormente. Se puede calcular por ejemplo la probabilidad deque el valor presente neto sea mayor a $2,500 millones en cada uno de losproyectos.Para el proyecto ―A‖ se efectuaría el siguiente raciocinio:P(VPNA> 2,5 00) =?En primer lugar se debe encontrar el valor de ―Z‖, que consiste en tipificar oestandarizar, es decir, convertir la información en unidades de desviación estándaraplicando la siguiente ecuación:z = VPN - VPN promedio DESVEST VPNdonde, VPN = 2,500, VPNpromedio. =2,087 y DESV ESTVPN = 488.36 2.500 - 2.087
  • Z= = 0.85 488.36que corresponde al área bajo la curva hasta $2,500 millones de 0.8012 y unaprobabilidad.(Probabilidad VPN>2,500) = 1—0.8012=0.1988o sea que existe un 19.88% de probabilidad de que el VPN del proyecto ―A‖ seamayor a $2,500 millones.Para el proyecto ―B‖ se tendrían los siguientes resultados: VPN – VPN promedio z= DES VEST VPNdonde, VPN = 2,500, VPN promedio = 1,930.64 y DESVEST VPN = 461.39 2.500 - 1.930.64 Z= 1.23 461.39Que corresponde al área bajo la curva hasta $2,500 millones de 0.8915. Lo queimplicaría que la probabilidad mayor a $2,500 millones se expresaría de lasiguiente forma:(Probabilidad VPN>2,500) = 1 — 0.8915 = 0.1085o sea que existe un 10.85% de probabilidad de que el VPN del proyecto ―B‖ seamayor a $2,500 millones.De lo anterior se concluye que la probabilidad de que los proyectos ―A‖ y ―B‖ denun resultado negativo es muy pequeña, es decir son poco riesgosos. No obstante,si el inversionista señor Armando Rico tiene como meta ganar $2,500 millones envalor presente neto, las probabilidades de obtener esta cifra son muy bajas,19.88% para el proyecto ―A‖ y el 10.85% para el proyecto ―B‖.
  • LECCIÓN VEINTICINCO DISTRIBUCIÓN BETAAlternativamente la distribución Beta proporciona otro instrumento adicional paramedir el riesgo; ésta ofrece varias alternativas de conformación de la población.En el caso de la distribución Beta 2 se habla de una distribución normal achatadahacia los extremos; en este caso la media de la población puede estar posicionadaa la derecha o a la izquierda, centrada, plana o puntiaguda, y dependiendo de suconformación se asignan los valores de a y b como puede verse en el gráficosiguiente. La combinación de estos dos parámetros da la dirección hacia laderecha o a la izquierda de la curva. Cuando son iguales se presenta simetría y lamagnitud de su valor indica si los datos están concentrados; si a y b = 5 ladistribución es puntiaguda, o si a y b =1 la distribución es más plana porque existemás dispersión. ( Ver gráfico).Gráfico 5. Distribución BetaEn esta distribución, ―A‖ es el límite superior del rango o sea el valor presente netode los flujos de caja optimista, ―B‖ es el límite inferior del rango o sea el valorpresente neto de los flujos de caja pesimista y ―X‖ es el punto entre el límite
  • superior (optimista) y el límite inferior (pesimista) en que desea estar elinversionista.La información requerida para medir el riesgo de los dos proyectos es el siguiente:Proyecto A: ESCENARIO ESCENARIO OPTIMISTA PESIMISTA Flujo caja año 0 -4,000 -6,500 Flujo caja año 1 2,200 1,234 Flujo caja año 2 2,400 1,456 Flujo caja año 3 2,657 2,178 Flujo caja año 4 4,300 2,969VPN optimista = -4,000 + 2,200 / (1+010) + 2,400 / (1+0.10) 2 +2,657 / (1+0.10)3 + 4,300 / (1+0.1 0) 4VPN optimista = 4,916.67VPN pesimista = -6,500 + 1,234 / (1+0.10) + 1,456 / (1+0.10) 2 + 2,178 / (l+0lo) 3 + 2,969 / (1+0.1 0) 4VPN pesimista = - 510.65Proyecto B: ESCENARIO OPTIMISTA ESCENARIO PESIMISTA Flujo caja año 0 -6,500 -9,000 Flujo caja año 1 2,845 2,156 Flujo caja año 2 2,845 2,156 Flujo caja año 3 2,845 2,156 Flujo caja año 4 5,259 4,300 2 3VPN Optimista = -6,500+2,845 / (1+0,10) + 2,845 / (1+0,10) + 2,845 / ( 1+ 0,10) 4 + 5,259 / (1+0,10)VPN = 4,167.06 Optimista
  • 4VPN pesimista = - 9,000 + 2,156 / (1+0.10) + 2,156 / (1+0.10)2 + 2,156 / (1+ 0.10)3 + 4.300 / (1+0.10)VPN pesimista = - 701.39Para la medición del riesgo & y ß, son definidos por el analista de acuerdo con loque considere, es la tendencia de la concentración o dispersión que exista en lainformación. Para los proyectos del señor Armando Rico se consideran variasalternativas.Los límites inferior y superior fueron hallados previamente, cuando se calcularonlos valores presentes netos pesimista y optimista de los proyectos ―A‖ y ―B‖ que sepueden resumir en la siguiente forma: PROYECTO "A" PROYECTO "B"VPNpesimista . parámetro A -510.65 -701.39VPN optimista parámetro B 4,916.67 4,167.06X, es el punto entre el límite inferior y el límite superior en que desea estar elinversionista, que en este caso sería cero (O), por cuanto se desea estimar laprobabilidad de que el VPN de los dos proyectos sea mayor que cero.Los resultados obtenidos para cada proyecto, asignando diferentes valores a losparámetros & y ß son los siguientes:
  • Proyecto A: DISTRIBUCIÓN PROBABILIDADOPCIÓN X B BETA (VPN>0) & ß A 1 0 5 5 -510.65 4,916.67 0.067% 99.933% 2 0 3 3 -510.65 4,916.67 0.720% 99.280% 3 0 2 2 -510.65 4,916.67 2.489% 97,511% 4 0 1 1 -510.65 4,916.67 9.409% 90,591% 5 0 1.5 5 -510.65 4,916.67 20.726% 79,274% 6 0 5 1.5 -510.65 4,916.67 0.0002% 99,998% 7 0 1.5 3 -510.65 4,916.67 11.249% 88,571% 8 0 3 1.5 -510.65 4,916.67 0.176% 99,824% 9 0 1 2 -510.65 4,916.67 17,932% 82,068% 10 0 2 1 -510.65 4,916.67 0.885% 99,115%Provecto B:OPCIÓN X & ß A B DISTRIBUCIÓN PROBABILIDAD BETA (VPN>0) 1 0 5 5 -701.39 4,167.06 0.470% 99.530% 2 0 3 3 -701.39 4,167.06 2.381% 97.619% 3 0 2 2 -701.39 4,167.06 5.629% 94.371% 4 0 1 1 -701.39 4,167.0 14.407% 85.593% 6 5 0 1.5 5 -701.39 4,167.06 34.725% 65.275% 6 0 5 1.5 -701.39 4,167.06 0.016% 99,984% 7 0 1.5 3 -701.39 4,167.06 20.001% 79.999% 8 0 3 1.5 -701.39 4,167.06 0.618% 99,382% 9 0 1 2 -701.39 4,167.06 26.738% 73.262% 10 0 2 1 -701.39 4,167.06 2.076% 97.294%
  • La distribución Beta puede hallarse en Excel con funciones estadísticas ―f(x)‖distribución Beta; se deben completar los parámetros X, &, ß, A y B y el resultadoes la probabilidad acumulada hasta el punto ―X‖; como el objetivo es que seamayor que cero (0); para este caso entonces, la probabilidad (VPN>O) va a ser 1menos la probabilidad acumulada hasta ―X,’.Los resultados obtenidos en los cuadros previos con todas las opciones a y bdadas, muestran que los dos proyectos son viables y presentan bajísimo riesgo.La distribución con & = 1.5 y ß = 5 fue la que presentó menor probabilidad para losdos proyectos; este resultado es obvio puesto que presentaría los datos másconcentrados a la izquierda que corresponde al escenario pesimista.
  • CAPITULO SEIS ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES YNO EXCLUYENTESLECCIÓN VEINTISÉIS ALTERNATIVAS MUTUAMENTEEXCLUYENTESCuando se trate de escoger una alternativa entre varias opciones, es decir queuna excluye a las demás, lo más sensato es evaluar la decisión para cada caso: sise trata de un proyecto de inversión social, se tendrá en cuenta el criterio debeneficio/ costo, costo capitalizado, etc.; en lo que se refiere a proyectos deinversión financiera debe examinarse con base en los criterios financieros vistostambién con anterioridad.Comparación de alternativasCuando se trate de escoger entre una alternativa u otra, es decir que una excluyea la otra, los criterios más usados son: el valor presente neto (VPN), tasa internade retorno (TIR) y la relación beneficio-costo.Suponga que el señor Armando Rico opcionalmente al proyecto de transporte,tiene la posibilidad de invertir en un proyecto turístico en la población de Tocaima(Cundinamarca); la información de los proyectos es la siguiente: AÑO PROYECTO ―A‖ PROYECTO ―B‖ TRANSPORTE TURISTICO Flujo de caja año 0 5,000 7,000 Flujo de caja año 1 1,450 2,345 Flujo de caja año2 1,789 2,345 Flujo de caja año 3 2,345 2,345 Flujo de caja año 4 3,617 4,682Considerando una tasa de descuento de 10% resultados para cada uno de losproyectos: anual, se obtendrían los siguientes
  • Proyecto A:VPN= - 5,000+ 1,450 / (1 +0.10)+1,789 / (1 +0.10) 2+2,345 / (1 +0.10) 3+ 3,617/ (1 +0.l0) 4 = $2,028.99Proyecto B: 2 3 4VPN = - 7,000 + 2,345 / (1 +0.10) +2,345 / ( 1+ 0.10) + 2,345/( 1 +0.1 0) +4,682/ (1+0. l0) = $ 2,029.54Los proyectos anteriores también se pueden evaluar a través de la tasa interna deretorno mediante tanteo (sistema de interpolación ya explicado) o alternativamenteutilizando Excel como se describe a continuación: A B C D E1 PROYECTO A PROYECTO B TASA DE 10% DESCUENTO2 0 -5,000 -7,0003 1 1,450 2,3454 2 1,789 2,3455 3 2,345 2,3456 4 3,617 4,6827 VPN8 TIRValor presente neto = VNA (tasa de descuento, rango flujo de caja sin incluir elaño 0) + flujo caja año cero.Tasa interna de retorno = TIR (rango de todos los flujos de caja). Los resultadosobtenidos fueron los siguientes: A B C D E1 PROYECTO PROYECT TASA DE 10% A OB DESCUENTO2 0 -5000.00 -7,000.003 1 1,450.00 2,345.004 2 1,789.00 2,345.00
  • 5 3 2,345.00 2,345.006 4 3,617.00 4,682.007 VPN 2,028.99 2,029.548 TIR 24.88% 21.32%Obsérvese que si se toma el criterio de valor presente neto es mejor el proyecto Bque el A, por cuanto el resultado del primero es de $2,029.54, mientras el delsegundo $2,028.99. Sin embargo, si tomamos el criterio de la tasa interna deretorno, es mejor el proyecto A, por cuanto la TIR es de 24.88% o mientras elproyecto B es de solo 21.32%.En forma similar a lo que se explicaba en el ejemplo de doña Linda Plata de Ricoen el capítulo de interés compuesto, donde se suponía que ella reinvertía susbeneficios en su negocio y que esa reinversión la realizaba a la misma tasa deinterés que los anteriores, igualmente pasa con los proyectos del señor ArmandoRico: la evaluación con el criterio de valor presente neto está suponiendo que sereinvierte a la tasa de descuento, que para el ejemplo es del 10% anual, mientrassi el criterio utilizado es la tasa interna de retorno, se supone que reinvierte a estatasa, que para el proyecto ―A‖ es de 24.82% anual y para el proyecto ―B‖ es de21.32% anual.De acuerdo con los resultados anteriores se presenta una aparente contradicciónentre los dos criterios de decisión; esto lleva a un nuevo concepto el de tasaverdadera, que se explica a continuación.
  • LECCIÓN VEINTISIETE TASA VERDADERADescubierto el origen del problema entre los criterios de decisión: valor presenteneto y tasa interna de retorno, es simplemente que la inversión del dinerogenerado por el proyecto no es la misma para los dos sistemas, se dispone delcriterio tasa verdadera, la cual se calcula tomando como base los fondosgenerados por el proyecto a la misma tasa de descuento.Lo anterior significa que para el caso del señor Rico, el flujo de caja de $ 1,450 delproyecto ―A‖ que se genera al final del año 1, serán reinvertidos en los años 2, 3 y4 al 10% anual; el flujo de caja del año 2 será reinvertido en los años 3 y 4 y asísucesivamente. En el ejemplo, la situación sería la siguiente:Proyecto A:Reinversión del flujo de caja 1 hasta el final de la vida del proyecto o sea período 4F1 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 1Valor flujo de caja # 1: $1,450F1 = 1,450 (1+0.10)3= $1,929.95Reinversión del flujo de caja 2 hasta el final de la vida del proyecto o sea período 4F2 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 2Valor flujo de caja # 2: $ 1,789F2 = 1,789(1+0.10)2 = $2,164.69Reinversión del flujo de caja 3 hasta el final de la vida del proyecto o sea período 4F3 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 3Valor flujo de caja # 3: $2,345F3 = 2,345 (1+0.10)= $2,579.50Reinversión del flujo de caja 4 hasta el final de la vida del proyecto o sea período #4F4 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 4
  • Valor flujo de caja # 4: $3,6 17F4= 3,617(1±0.10)0 = $3,617F = Valor de todas las reinversiones de los flujos de caja hasta el año 4F = F1+ F2 + F3+ F4F= 1,929.95 + 2,164.69 + 2,579.50 + 3,617F= $10,291.14La configuración del proyecto quedaría de la siguiente forma: 0 4 10,291.14 5,000Con base en estos dos flujos de caja se calcula la TIR verdadera del proyecto utilizandola primera equivalencia o sea:F = P(1+i) n10,291.14 = 5,000 (1+i)410291.14--------------- = (1+i)4 50002.058228 = (1+i) 44 2.058228 = 4 (1+i) 41,1977 = 1 + i1,1977 - 1 = ii = 19.77%Proyecto B:
  •  Reinversión del flujo de caja 1 hasta el final de la vida del proyecto o sea periodo 4F1 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 1Valor flujo de caja # 1: $2,345F1= 2,345(1+0.10)4 = $3,121.20Reinversión del flujo de caja 2 hasta el final de la vida del proyecto o sea período 4F2 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 2Valor flujo de caja # 2: $2,345F2 = 2,345 (1+0.10)2 = $ 2,837.45Reinversión del flujo de caja 3 hasta el final de la vida del proyecto o sea período 4F3 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 3Valor flujo de caja # 3: $2,345F3= 2,345 (1+0.10) = $2,579.50Reinversión del flujo de caja 4 hasta el final de la vida del proyecto o sea período 4F4 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 4Valor flujo de caja # 4: $4,682F4= 4,682 (1+0.10)0 = $4,682F = Valor de todas las reinversiones de los flujos de caja hasta el año 4F = F1+ F2 + F3 +F4F = 3,121.20 ± 2,837.45 ± 2,579.50 ± 4,682F=$13,220.15
  • La configuración del proyecto quedaría de la siguiente forma: 0 4 13,220.15 7,000Con base en estos dos flujos de caja se calcula la TIR verdadera del proyecto utilizando laprimera equivalencia o sea:F = P(1+i)n13,220.15 = 7,000 (1+i)413,220.15 = (1+i)47,0001,88859 = (1+i)44 1.88859 4 (1+i)41,17229 = 1 + i1,17299 - 1 = ii = 17.229%Nótese que con la tasa verdadera se obtiene una rentabilidad para el proyecto ―A’de 19.77% y de 17.229% para el proyecto ―B‖En el cuadro anexo se resume la información obtenida con los diferentes criterios: CRITERIO PROYECTO A PROYECTO B VPN 2,028.99 2,029.54 TIR 24.88% 21.32% TlR verdadera 19.78% 17.23%Del cuadro anterior se deduce con el criterio del valor presente neto, el mejorproyecto es el ―B‖, mientras que con los criterios de tasa interna de retorno y tasaverdadera el mejor proyecto es el ―A‖.
  • LECCIÓN VENTIOCHO TASA PONDERADALa reinversión de los fondos generados por el proyecto a la tasa de descuento, noeliminó en nuestro ejemplo, la discrepancia entre los dos criterios valor presenteneto y la tasa de retorno verdadera.Si se observan cuidadosamente los dos proyectos, existe una diferencia en elvalor de la inversión inicial: en el ―A‖ es de $5,000, mientras en el ―B‖ es de$7,000. Lo anterior quiere decir que para poder hacer comparables los criterios serequiere:1. Que la reinversión se realice a la misma tasa de descuento.2. Que las dos inversiones sean iguales.Para obviar el problema anterior surge el concepto de tasa de retorno ponderada,que toma como referencia el proyecto que tenga mayor inversión; esta nuevavariable se define como dinero disponible.Para el ejemplo del señor Armando Rico, el proyecto ―A‖ requiere de una inversiónde $5,000 millones mientras el ―B‖ de $7,000 millones; si los dos proyectos seestán analizando como alternativas de inversión, se parte del supuesto que elseñor Rico debe tener $7,000 millones disponibles.El cálculo de la TIR Ponderada para el proyecto ―A‖ implica cumplir con elsupuesto de la reinversión de los fondos generados en el proyecto hasta el final dela vida del mismo, empleando la tasa de descuento. Es decir, se sigue con elmismo procedimiento empleado en el cálculo de la TIRverdadera:F1 = 1,450(1+0.10)3 = $1,929.95F2 = 1,789(1+0.10)2 = $2,164.69F3 = 2,345 (1+0.10)1 = $2,579.50F4 = 3,617(1+0.10)0 = $3,617.00En el proyecto ―A‖ solo se invierten $5,000 millones, pero el dinero disponible delseñor Rico es $7,000, por lo tanto los $2,000 millones restantes se deben invertir ala tasa de descuento de la siguiente forma:
  • 0 4 F5 =? 2,000F5= 2,000(1+0.10)4= $2,928.20F = F1+ F2+ F3 + F4 + F5F = 1,929.95 +2,164.69 +2,579.50 +3,617 +2,928.20F= 13,219.34Por lo tanto la TIRPonderada del proyecto ―A‖. 0 4 13,219.34 2,000F = P(1+i)n13,219.34 = 7,000 (1+ i)413,219.34 = (1+ i)4 7,0001,88848 = (1+ i)41.88848= (1+ i)4i = 17.227%TlRponderada e A = 17.227% anual
  • En razón a que el proyecto ―B‖ no tiene excedentes, el cálculo de su TIR ponderaequivale a la TIRverdadera que de acuerdo con lo explicado previamente equivale a17.229%El siguiente cuadro resume la información obtenida con los diferentes criterios: CRITERIO PROYECTO A PROYECTO B VPN 2,028.99 2,029.54 TIR 24.88% 21.32% TIR verdadera 1 9.78% 17.23% TIR ponderada 17.227% 17.229%Obsérvese que con la TIR ponderada la decisión es idéntica a la del valor presente neto; larazón es que ambos criterios consideran dos supuestos básicos: reinversión a la tasa dedescuento e igual valor de las inversiones.Por lo tanto, cuando se evalúen proyectos mutuamente excluyentes se debe utilizarcomo criterio de decisión el valor presente neto o la TIR ponderada
  • LECCIÓN VEINTINUEVE SENSIBILIDAD DE LOS PROYECTOS ADIFERENTES TASAS DE DESCUENTODependiendo de la tasa de descuento que se utilice, un proyecto puede serfactible o no; de ahí la importancia de los conceptos costo de capital (WACC) ytasa de interés de oportunidad en la determinación de tasa de descuento.Continuando con el ejemplo del señor Armando Rico, el cuadro anexo detalla elcálculo del VPN para cada uno de los proyectos utilizando diferentes tasas dedescuento: TASA DE DESCUENTO PROYECTO "A" PROYECTO "B" 5% 3,005.04 3,237.91 7% 2,591.33 2,725.90 9% 2,209.18 2,252.73 10% 2,028.99 2,029.54 12% 1,688.62 1,607.79 14% 1,372.87 1,216.35 16% 1,079.50 852.44 20% 552.06 197.61 25% -12.88 -504.81Obsérvese que para tasas de descuento inferiores o iguales a 10% anual es mejor elproyecto ―B‖ que el ―A‖, mientras que para tasas de descuento mayores al 12% es mejor―A‖ que ―B‖. Esto quiere decir, que hay un punto de corte donde las dos alternativas sonindiferentes o sea es la tasa de descuento a la cual es indiferente invertir en ―A‖ o en ―B‖.Gráficamente se expresaría así:
  • Gráfica 6. Comparación VPN de dos proyectosEl punto de indiferencia puede calcularse planteando dos ecuaciones cuyoobjetivo es que los dos valores presentes sean iguales, donde la variable aencontrar sería la tasa de descuento i%. Matemáticamente esto se representaríaasí: 4VPNA = -5,000 + 1,450/(1+i)+ 1,789/(1+i)2+ 2,345/(1+i)3+ 3,617/(1+i)VPNB = -7,000 + 2,345/(1+i)+ 2,345/(1+i)2+ 2,345/(1+i)3+ 4,682/(1+i)4En el punto de corte las dos alternativas son iguales, es decir:VPNAA = VPNBB-5,000 + 1,450/(1+i)+ 1,789/(1+)2+ 2,345/(1+i)3+3,617/(1+)4 = -7,000 + 2,345/(1+i) +2,345/(1+i)2 + 2,345/(1+i)3 + 4,682/(1+i)4
  • El cálculo anterior se puede hacer por tanteo o alternativamente empleando Excel,utilizando la siguiente metodología Considerar 6 decimales A B C D 1 Tasa de descuento 10% 2 3 Proyecto A Proyecto B 4 Flujo caja 0 -5,000.00 -7,000.00 5 Flujo caja 1 1,450.00 2,345.00 6 Flujo caja 2 1,789.00 2,345.00 7 Flujo caja 3 2,345.00 2,345.00 8 Flujo caja 4 3,617.00 4,682.00 9 VPN 2,028.99 2,029.54 10 Diferencia VPN =C9-D9 VNA($C$1,C5:C8)+C4 VNA($C$1,D5:D8)+C4Posteriormente se busca la opción ―herramientas‖ en el menú principal de Excel yse selecciona ―buscar objetivo‖, donde se requiere completar la siguienteinformación:DEFINIR CELDA: C10CON EL VALOR: 0PARA CAMBIAR LA CELDA: C1La celda C1O es la diferencia entre los dos valores presentes y debe contenercero (0) porque corresponde al punto de corte donde los VPN de los dos proyectosson iguales; el resultado debe actualizar la celda donde está la tasa de descuento,o sea C1. Es importante tener presente que el valor presente debe estar formuladopara que se pueda emplear la herramienta ―buscar objetivo‖.
  • Los resultados se detallan en el cuadro anexo, una vez realizado el procedimientodescrito: Considerar 6 decimales 1 A B C D 1 Tasa de descuento 10.013052% 2 3 Proyecto A Proyecto B 4 Flujo caja 0 -5,000.00 -7,000.00 5 Flujo caja 1 1,450.00 2,345.00 6 Flujo caja 2 1,789.00 2,345.00 7 Flujo caja 3 2,345.00 2,345.00 8 Flujo caja 4 3,617.00 4,682.00 9 VPN 2,026.68 2,026.68 10 Diferencia VPN 0De acuerdo con la información anterior se deduce que la tasa de descuento quehace los dos proyectos iguales es 10,013052%; para esta tasa el VPN de las dosalternativas es de $2,026.68
  • LECCIÓN TREINTA PROYECTOS CON VIDAS DIFERENTESEn la evaluación de inversiones se presenta el caso de analizar proyectos convidas económicas diferentes, al comienzo de este capítulo se tomaron dosejemplos relacionados con la floricultura: rosas y claveles, las primeras tenían unavida de 10 años, mientras los claveles de 2 años, estos casos requieren untratamiento especial para que su comparación tenga los mismos parámetros. Lapropuesta de los investigadores en esta temática, ha sido igualar las vidasutilizando el mínimo común múltiplo del número de años, como medio queiguala las vidas y suponiendo que la inversión se repite periódicamente en eselapso de tiempo. En el caso analizado, el mínimo común múltiplo es de 10 años;por lo tanto, la inversión de rosas se realiza una sola vez en ese período y la declaveles 5 veces, una cada 2 años.EjemploJuan Pérez debe decidir si realizar entre el proyecto ―X‖ o el proyecto ―Y‖ quetienen los siguientes flujos de caja proyectados: PROYECTO ―X‖ PROYECTO ―Y‖ Flujo de caja año 0 -100 -120 Flujo de caja año l 40 90 Flujo de caja año 2 100 180 Flujo de caja año 3 160La tasa de descuento que utiliza el inversionista para evaluar sus proyectos es del15% anual.SoluciónEl proyecto ―X‖ tiene una vida de 3 años y el proyecto ―Y‖ de 2 años , el mínimocomún múltiplo de las vidas sería 6 años, por lo tanto hay que suponer que elproyecto ―X‖ se repite 2 veces en ese lapso de tiempo y el proyecto ―Y‖ 3 veces.Los flujos de caja de los proyectos quedarían de la siguiente forma:
  • FLUJOS DE CAJA PROYECTO "X" PROYECTO "Y" Flujo de caja año 0 -100 -120 Flujo de caja año 1 40 90 Flujo de caja año 2 100 180-120 = 60 Flujo de caja año 3 160-100 = 60 90 Flujo de caja año 4 40 180-120 = 60 Flujo de caja año 5 100 90 Flujo de caja año 6 160 180Nótese que en el proyecto ―X‖ la inversión se repite al final del año 3, por eso el —100 y enel proyecto ―Y‖ la inversión se repite al final de los años 2 y 4, por eso el —120.El VPN de los 2 proyectos sería:VPNX = - 100 + 40/(1+0.15) + 100/(1+0.15)2 + 60/(l+0.15)3 + 40/(1+0.15)4 +100/(1+0.15)5 + 160/(1+0.15)6 = $191,61VPNy = -120 + 90/(1+0.15) + 60/(1+0.15)2 + 9O/(l+0.15)3 + 60/(1+0.l5)4 + 9O/(1+0.15)5 +180 / (1+0.15)6 = $219,68Por lo tanto, es mejor el proyecto ―Y‖ por tener mayor valor presente neto.
  • RESUMEN UNIDAD DOSLa evaluación de un proyecto es el procedimiento mediante el cual se comparan losresultados esperados, con los objetivos predeterminados y mediante la utilización decriterios específicos de evaluación. El estudio de la unidad y las interactividadespropuestas desarrollarán en el aprendiente las competencias para definir si un proyecto serealiza o no. A partir del reconocimiento y profundización de las temáticas y la aplicación delas herramientas financieras, el estudiante estará en condiciones de establecer lasdiferencias concretas entre las evaluaciones financiera, económica y social, definir loscriterios de decisión a usar e identificar el método más conveniente a aplicar para la tomade decisiones cuando se tienen varias alternativas de inversión.En el medio de los negocios toda decisión involucra un riesgo que de no prever suocurrencia podría generar grave daño a las organizaciones llevándolas, inclusive, a sudesaparición. Mediante el estudio de esta unidad se apropiará la metodología para elanálisis del riesgo en una inversión, a partir de la teoría de probabilidad y así poderdeterminar el riesgo de una inversión y utilizar los resultados matemáticos como criteriopara la toma de decisiones
  • EJERCICIOS PARA PROFUNDIZACIÓN DE LAS TEMÁTICAS1. Justo Sin Plata desea evaluar la viabilidad de un proyecto agroindustrial parainvertir el dinero que le dejo un tío suyo hace unos meses, su amigo Pastor Buenoexperto financiero ha realizado los siguientes cálculos: MILLONES DE PESOS AÑO VALOR Flujo de Caja 0 -2,500 Flujo de Caja 1 0 Flujo de Caja 2 1,250 Flujo de Caja 3 1,250 Flujo de Caja 4 4,500 Flujo de Caja 5 4,500Si la tasa de descuento para don Justo es 27% anual, determinar la viabilidad delproyecto.a) Utilizar como criterio de evaluación el valor presente netob) Utilizar como criterio de decisión la TIRc) Utilizar como criterio de decisión la relación beneficio/costo.2. Antanas Mockus con base en su política de bienestar de la comunidad, haconsiderado la posibilidad de dotar a la capital de un nuevo parque al occidente dela ciudad, para lo cual ha planteado al concejo dos opciones:Opción 1: Construir un nuevo parque con una inversión de $12.000 millones, unoscostos anuales de mantenimiento de $400 millones e inversiones cada 20 años de$1.000 millones.Opción 2: Reparar un parque ya existente con una inversión de $ 11.000 millones,unos costos anuales de mantenimiento de $550 millones e inversiones cada 15
  • años de $1.200 millones.Si la tasa de descuento es del 12% anual, determinar qué decisión debe tomar elalcalde.3. Juan Pérez debe decidir si reparar su vehículo actual o comprar uno nuevo dela misma marca pero último modelo; la reparación le costaría $4.000.000 y leduraría 4 años más; el nuevo le costaría $12.000.000 y tendría una vida útil de 7años, los costos anuales de mantenimiento serían de $1.000.000 para el actual yde $300.000 para el nuevo; si la tasa de descuento para don Juan es del 18%anual, ¿cuál será la mejor opción?4. Determinar la viabilidad económica del siguiente proyecto: AÑO FLUJO DE CAJA (MILLONES) 0 -2,000 1 300 2 600 3 1,200 4 1,500 5 7,000Si la tasa de descuento es del 20% anual, utilizar:  VPN  TIR5. Sofía Vergara tiene los proyectos que se resumen en la tabla anexa. Si la tasade descuento es del 15% anual, en qué proyecto debe invertir Sofía. Utilizar comocriterios de decisión VPN y TIRponderada. Hallar la tasa de descuento para la cuallas dos alternativas son indiferentes y hacer el gráfico correspondiente.
  • PROYECTO A PROYECTO B Flujo de caja 0 -18,000 -23,000 Flujo de caja 1 4,000 4,000 Flujo de caja 2 4,000 6,000 Flujo de caja 3 4,000 7,000 Flujo de caja 4 8,000 8,000 Flujo de caja 5 8,000 9,000 Flujo de caja 6 8,000 10,0006. Evaluar los siguientes proyectos mutuamente excluyentes: PROYECTO "R" PROYECTO"S" Flujo de caja año 0 -1345 -1500 Flujo de caja año 1 0 1000 Flujo de caja año 2 800 1250 Flujo de caja año 3 1600 Flujo de caja año 4 2400Tasa de descuento = 12% anual7. Determinar el riesgo del siguiente proyecto: AÑO FLUJO DE CAJA FLUJO DE CAJA FLUJO DE CAJA OPTIMISTA MÁS PROBABLE PESIMISTA 0 -3,500 -2,000 -1,800 1 200 300 500 2 500 600 700 3 800 1,200 1,350 4 1,350 1,500 1,600 5 1,650 1,700 1,900a) Calcular el riesgo para el proyecto utilizando la distribución Beta y Beta 2, si la tasa dedescuento es del 20% anual.
  • b) Calcular el riesgo para el proyecto utilizando la distribución Beta y Beta 2, si latasa de descuento es del 12% anual.8. Sofía Vergara tiene los siguientes proyectos:Provecto A: AÑO FLUJO DE CAJA OPTIMISTA FLUJO DE CAJA MÁS PROBABLE FLUJO DE CAJA PESIMISTA 0 -20,000 -18,000 -17,000 1 3,000 4,000 4,500 2 3,000 4,000 4,500 3 3,000 4,000 4,500 4 7,000 8,000 8,500 5 7.000 8,000 8,500 6 7.000 8,000 8,500Provecto B: FLUJO DE CAJA FLUJO DE CAJA FLUJO DE CAJA AÑO OPTIMISTA MÁS PROBABLE PESIMISTA 0 -25.000 -23,000 -21,500 1 3.000 4,000 4,500 2 5.500 6,000 6,500 3 6.500 7,000 7,500 4 7,000 8,000 9,000 5 8.250 9,000 10,000 6 9,300 10.000 11,000Calcular el riesgo para cada uno de los proyectos, utilizando distribución Beta 2 y Beta, si la tasade descuento es del 15% anual.
  • GLOSARIOAcreedor: El que tiene derecho a que se le satisfaga una deuda u obligación.Actualización: Operación de búsqueda del equivalente actual a un capitalfinanciero futuro.Amortización: Acción de redimir o extinguir el capital de un censo, préstamo uotra deuda.Anualidad: Importe anual de una renta o carga periódica, como la de amortizacióno la de capitalización.Banco: Entidad financiera con un fin exclusivamente lucrativo.Beneficio financiero: Resultado obtenido entre ingresos por participaciones enotras empresas, valores mobiliarios, inversiones financieras y gastos financieros.Bolsa: Institución económica en la que se produce la contratación de toda clasede títulos valores.Caja de ahorros: Entidad financiera con fines lucrativos y sociales.Capital: Conjunto de recursos aportados por el o los dueños de una empresaindividual a la misma.Capital final: Importe o cuantía final.Capital inicial: Importe o cuantía inicial.Capitalizar: Búsqueda del capital equivalente en el futuro a uno que tenemos hoyCapitalización: Operación mediante la cual se produce el aumento de un capital.Comisión: Cuantía pagada por la labor de intermediación.Compra: Adquisición de un bien, servicio u obligación a cambio de un pago.Comprador: El que compra.
  • Corretaje: Comisión pagada a los corredores o intermediarios por su intervenciónen una operación.Contraprestación: Prestación que debe una parte contratante por razón de la queha recibido o debe recibir de la otra.Cotizar: Pagar una cuota.Depósito: Fondos ingresados en una institución de crédito por un cliente para laobtención de intereses.Descuento: Procedimiento financiero que consiste en la venta de particulares aentidades financieras de efectos comerciales.Deudor: El que está obligado a satisfacer una deuda.Devengo: Momento en que nace la obligación de pagar.Disponibilidad: Conjunto de fondos o bienes disponibles en un momento dado.Efectivo: Monedas y billetes de banco en manos de personas físicas o jurídicas.Efecto comercial: Valor utilizado en las operaciones de comercio por el que afavor del tenedor se incorpora un derecho a crédito y a cargo del deudor unaobligación futura de pago.Entidad financiera: Corporación bancaria (bancos y cajas de ahorros).Fraccionamiento de pago: División de una cantidad única en varias.Franquicia: Concesión de derechos de explotación de un producto, actividad onombre comercial, otorgada por una empresa a una o varias personas en unazona determinada.Fecha de disponibilidad: Momento en el que se dispone de algo.Inflación: Crecimiento generalizado y continuo de los precios de los bienes yservicios a lo largo del tiempo.Interés: Pago por el uso de capital ajeno. Cobro por la prestación de capital.Interés anual: Pago por el uso de capital ajeno en un año o cobro por laprestación de capital en un año.
  • Interés compuesto: Los intereses se van acumulando.Interés efectivo: Tipo de interés que se aplica en un periodo de tiempo.Interés nominal: Tipo de interés anual al que se realiza una entidad financiera.Interés simple: Los intereses no se van acumulando.Interés subanual: Pago por el uso de capital ajeno en un periodo inferior a un añoo cobro por la prestación de capital en un periodo inferior a un año.Interés superanual: Pago por el uso de capital ajeno en un periodo superior a unaño o cobro por la prestación de capital en un periodo superior a un año.Inversión: Desembolso de dinero utilizado para la compra de bienes deproducción destinados a obtener un beneficio.Inversión financiera: Capacidad de poder satisfacer las obligaciones contraídas.Inversor: El que invierte.Letra de cambio: Elemento crediticio por el que un acreedor o librador ordena aldeudor o librado que pague una determinada cantidad a una persona concreta.Librado: Persona contra la que se gira una letra de cambio.Librador: El que libra una letra de cambio.Liquidación de intereses: Acción de liquidar los intereses.Liquidez: Relación entre el conjunto de dinero en caja y de bienes fácilmenteconvertibles en dinero, y el total del activo, de un banco u otra entidad.Montante: Importe, cuantía.Operaciones combinadas: Operaciones que utilizan interés simple y compuesto.Pagaré: Papel de obligación por una cantidad que ha de pagarse a tiempodeterminado.Periodo subanual: Espacio de tiempo inferior al año.Periodo superanual: Espacio de tiempo superior al año.
  • Prestamista: El que da dinero a préstamo.Prestatario: El que recibe el préstamo.Prestación: Renta, tributo o servicio pagadero al señor, al propietario o a algunaentidad corporativa.Prestamista: El que realiza el préstamo.Préstamo: Contrato mediante el cual un particular se obliga a devolver el dineroque le ha sido prestado.Prestatario: El que recibe el préstamo.Prima: Cantidad extra de dinero que se da a alguien a modo de recompensa,estímulo, agradecimiento, etc.Productividad: Relación entre lo producido y los medios empleados, tales comomano de obra, materiales, energía, etc.T.A.E.: Tasa anual efectiva.Tipo de interés o tasa: Remuneración recibida por los ahorradores a cambio deprestar sus fondos a quien los necesita.Tenedor: Persona que tiene o posee algo, especialmente la que poseelegítimamente alguna letra de cambio u otro valor endosable.Tesorería: Parte del activo de un comerciante disponible en metálico o fácilmenterealizable.Tomador: Persona a la orden de quien se gira una letra de cambio.Valor efectivo: Valor que tendrían en este momento los efectos o valores encuestión si se procediera a su venta o negociación.Valor nominal: Importe que representa el valor del activo financiero y queaparece en él aunque no tiene por qué ser su valor real.Vencimiento: Cumplimiento del plazo de una deuda, de una obligación, etc.Vencimiento medio: Se caracteriza por una condición optativa complementaria,que consiste en la igualdad de los nominales.
  • Venta: Cesión de un bien, derecho u obligación a cambio de un cobro.BIBLIOGRAFÍAAYRES, Frank Jr./ Matemáticas Financleras.- - Mc Graw Hill, 1976.CANADÁ, J.R. y WHITE, Jr JA/Capital Investment Decision Analysis for Managment and Engineering.- - Prentice Hall mc, Englewood Cliffs, NJ, 1980.CARDONA, Alberto Matemáticas financieras. -- Editorial Interamericana SA., 1986.CORREDORES ASOCIADOS Manual para el cálculo de rentabilidades.- - Semi- flash, 1998.CRUZ, Juan Sergio Lógicas y dialécticas en las decisiones de inversión.3R Editores, 2001.EVANS, James R., OLSON, David! Introduction lo Simulation and Risk Analysis.- - Prentice Hall, 1998.FAMA, Eugene F. Short terms, interest rates as predictors of Inflation.- - American Economic Review. Junio, 1995.GARCÍA, Jaime Matemáticas financieras con ecuaciones de diferencia finita.-Pearson, 2000.GUTIÉRREZ, Luis Fernando Finanzas prácticas para países en desarrollo.- - Norma, 1995.HESS, P. y BICKSLER, J./ Capital Asset Prices versus Time Series Models as predictors of Inflation.- -Journal of Financial Economics. December, 1975.
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