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Matematicas financieras 2011-2
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Matematicas financieras 2011-2

  1. 1. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADEscuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de NegociosContenido didáctico del curso Matemáticas Financieras UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS CONTABLES ECONÓMICAS Y DE NEGOCIOS 102007 – MATEMÁTICAS FINANCIERAS GIRARDOT Enero de 2011 1
  2. 2. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras LISTADO DE GRÁFICOS Y FIGURASGráfica 1. Comportamiento tasa efectiva anual para diferentes capitalizaciones de 39tasas vencidasGráfica 2. Liquidación de intereses anticipados 49Gráfica 3. Tasas efectivas correspondientes a tasas nominales vencidas y 50anticipadasGráfico 4. Distribución Beta 2 119Gráfico 5. Distribución Beta 127Gráfica 6. Comparación VPN de dos proyectos 142 2
  3. 3. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTOEl módulo que se presenta hace parte del material didáctico correspondiente alCurso Académico de Matemáticas Financieras, es un rediseño al texto escrito porel Doctor Jorge S. Rosillo C. y editado por la UNAD en 2002. Se tomó estadecisión con base en el levantamiento del estado del arte del material que sevenía trabajando hasta enero de 2005; en los últimos tres años ha sido revisadocontinuamente por el director del curso virtual, Doctor Alexander Beltrán Echeverryquién se desempeña como tutor en el CEAD de Girardot.El producto resultante de esta mediación, tiene en cuenta los elementosestructurales del material didáctico; por tanto está organizado de tal manera quesirva como soporte pedagógico al curso de Matemáticas Financieras, el cual estáestructurado por el sistema de créditos académicos. Como material didáctico, suintencionalidad es apoyar el trabajo académico de los aprendientes en función delaprendizaje y el desarrollo cognitivo y meta-cognitivo de los aprendientes, encorrelación con las intencionalidades formativas del curso 3
  4. 4. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras INTRODUCCIÓNEl administrador de empresas puede desenvolverse profesionalmente en el niveloperativo de la organización aplicando las cuatro funciones principales de laadministración: planeación, organización, dirección y control; en el nivel mediocomo jefe de departamento o en la toma de decisiones a nivel institucional. En lostres niveles se encarga de que los recursos sean productivos y contribuyan allogro de las metas corporativas.La comprensión, interpretación y aplicación de los conceptos propios de lasmatemáticas financieras le permiten al aprendiente el desarrollo de habilidadesen el manejo de las herramientas financieras que le permitirán en el ejercicioprofesional proponer con argumentos sólidos alternativas de solución a lasproblemáticas se presenten y que tengan que ver con la toma de decisiones sobreevaluación de alternativas de inversión o de uso y aplicación de recursosfinancieros.Entre las posibilidades inmediatas de aplicación de las diferentes herramientasfinancieras apropiadas mediante el estudio juicioso de las temáticas queconforman el presente módulo, se encuentran: el Proyecto de DesarrolloEmpresarial (PDE) objeto del trabajo de grado y en la resolución de problemasprácticos que se identifiquen en las actividades de proyección y apoyo a lacomunidad en que se desenvuelven los aprendientes. Este es el mayor atractivodel estudio de esta rama de las matemáticas aplicadas.Además de las competencias básicas, se pretenden desarrollar otras complejas ytransversales que permitan al estudiante, identificar, apropiar y transferir losconceptos y las herramientas financieras aplicables en el análisis y evaluación deproyectos de inversión y aplicar ese conocimiento en situaciones de toma dedecisiones en su gestión como empresario, como responsable del área financierade una organización o como miembro activo de su comunidad. 4
  5. 5. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADEscuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de NegociosContenido didáctico del curso Matemáticas Financieras CONTENIDO Pág. Introducción 4 UNIDAD UNO COSTO DEL DINERO EN EL TIEMPO 7 Justificación 7 Objetivo General 7 Objetivos Específicos 7 Capítulo Uno. Interés 9 Lección 1 Conceptos 9 Lección 2 Concepto de interés simple 11 Lección 3 Concepto de interés compuesto 22 Lección 4 Tasas de interés 32 Lección 5 Conversión de tasas 40 Ejercicios para profundización de las temáticas 53 Capitulo Dos. Equivalencias con cuotas fijas 56 Lección 6 Equivalencias entre un valor futuro y una serie de cuotas 56 fijas vencidas Lección 7 Equivalencias entre un valor presente y una serie de 58 cuotas fijas vencidas Lección 8 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas 59 fijas anticipadas Lección 9 Equivalencia entre un valor presente y una serie de 60 cuotas fijas anticipadas Lección 10 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas 61 Fijas vencidas con interés anticipado Capitulo Tres. Equivalencias con cuotas variables 63 Lección 11 Gradientes Aritméticos y Geométricos 63 Lección 12 Equivalencia entre un valor presente y un Gradiente 69 Lección 13 Gradiente Aritmético Creciente y Decreciente 72 Lección 14 Amortizaciones 78 Lección 15 Perpetuidades 91 Resumen de la Unidad Uno 92 Ejercicios para profundización de las temáticas 93 5
  6. 6. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADEscuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de NegociosContenido didáctico del curso Matemáticas Financieras UNIDAD DOS EVALUACION DE ALTERNATIVAS DE INVERSION 95 Justificación 95 Objetivo General 95 Objetivos Específicos 95 Capitulo Cuatro. Clases de evaluaciones y criterios de decisión 97 Lección 16 Evaluación de proyectos sociales 97 Lección 17 Criterios para evaluar proyectos de inversión 103 Lección 18 Valor Presente Neto –VPN 106 Lección 19 Tasa interna de Retorno –TIR 108 Lección 20 Costo Anual Uniforme Equivalente –CAUE 111 Capitulo Cinco. Análisis de Riesgos en los proyectos de 113 inversión Lección 21 Sistemas de Análisis 113 Lección 22 Riesgo e Incertidumbre en Proyectos de Inversión 114 Lección 23 Métodos para Evaluar el Riesgo en la Evaluación de 116 proyectos de Inversión Lección 24 Distribución Beta 2 122 Lección 25 Distribución Beta 130 Capítulo Seis. Alternativas Mutuamente Excluyentes 135 Lección 26 Alternativas Mutuamente Excluyentes 135 Lección 27 Tasa Verdadera 138 Lección 28 Tasa Ponderada 142 Lección 29 Sensibilidad de los proyectos a diferentes tasas de 145 Descuento Lección 30 Proyectos con vidas diferentes 149 Resumen de la Unidad Dos 151 Ejercicios para profundización de las temáticas 152 Glosario 156 Bibliografía y Cibergrafía 160 6
  7. 7. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasUNIDAD UNO COSTO DEL DINERO EN EL TIEMPOJustificaciónCon el estudio de esta unidad el aprendiente apropiará una serie de conceptos como:interés, interés simple, interés compuesto, tasas de interés; asimismo comprenderá elprincipio de equivalencia financiera y conocerá la manera de realizar todas lasconversiones posibles entre las diferentes tasas de interés.Objetivo GeneralA partir de su reconocimiento y aplicación en casos prácticos, deducir las fórmulasde interés simple e interés compuesto y establecer los parámetros para suaplicación en las cuestiones financieras.Objetivos específicos Deducir las fórmulas de interés simple e interés compuesto Encontrar una tasa de interés efectiva equivalente a una tasa de Interés nominal dada o viceversa. Hallar sumas futuras y presentes equivalentes a una serie de pagos Establecer los parámetros que permitan la liquidación de intereses sobre saldos mínimos Encontrar los parámetros que permitan calcular las sumas presentes equivalentes a una serie de cuotas que crecen o decrecen en forma lineal Determinar una expresión matemática que calcule del valor de la primera cuota para con base en el sistema de amortización se puedan calcular las restantes Elaborar tablas y gráficas de amortización de amortización para sistemas de amortización diferentes 7
  8. 8. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasCAPÍTULO UNO INTERÉSLECCIÓN UNO CONCEPTOSEn la sociedad primitiva los seres humanos seautoabastecían: generalmente el hombre salía a cazar opescar para conseguir alimento o vestido y la mujer sededicaba a cuidar el fuego y a recoger frutos; no secazaba más de lo que se consumía.El concepto de acumulación tuvo su origen en la sociedad artesanal, la cual secaracterizó por la división del trabajo; esta sociedad estaba formada porcarpinteros, panaderos, alfareros, herreros, albañiles, ganaderos, agricultores, etc.Quienes no solamente producían para su consumo, sino que generabanexcedentes, lo que les permitía intercambiar otros productos para satisfacer susnecesidades de alimentación, vivienda, vestuario y educación.Por ejemplo, el productor de papa sólo satisfacía parte de su necesidad dealimento y para que el producto de su trabajo le sirviera como medio de vida,debía intercambiar sus excedentes por otros productos, debía buscar otroindividuo que estuviera interesado en adquirir su producto. Se requería laexistencia de una necesidad recíproca para poder realizar el intercambio, sin ellaera imposible realizar la transacción; una vez se encontraban los dos individuos sedebía fijar cuántas unidades del producto ―A‖ serían necesarias para adquirir elproducto ―B‖, la relación entre la cantidad de un producto que se entrega paraobtener una unidad del otro, es el precio de un bien expresado en unidades delotro bien.Concepto de InterésEl concepto de interés tiene su origen en las transacciones que realizan dos o másactores por el intercambio de bienes y servicios.La necesidad de intercambiar de los individuos para satisfacer sus necesidades ylas limitantes del intercambio que generaba la ―necesidad recíproca‖, fue haciendogerminar el establecimiento de un bien que fuera aceptado por todos paranegociar. Inicialmente, este bien fue el ganado y servía para expresar el preciode cualquier transacción; poco a poco fueron surgiendo otros productos, el oro y laplata que se usaron como dinero cumpliendo funciones de unidad de valor y mediode cambio desplazando a otros sistemas de cambio por su fácil manejo hastallegar a nuestro días con el papel moneda de aceptación universal, comoinstrumento de intercambio. 8
  9. 9. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasDe la misma forma que en la sociedad artesanal se producían excedentes parapoder intercambiar, en la sociedad contemporánea los excedentes de dinero delos individuos que no se consumen se llaman AHORRO, los cuales puedeninvertirse o cederse a otros en el instante del tiempo que los soliciten parasatisfacer sus necesidades. El costo o el rendimiento de estas transacciones sellaman INTERÉS.Partamos de un ejemplo para fundamentar este concepto: supongamos quetenemos dos personas que tienen el mismo dinero para invertir y ambos soncomerciante, el dinero disponible de cada uno de ellos es de $10 millones, perotienen diferentes negocios; el primero de ellos se llama Linda Plata, es joyera eimporta joyas de Panamá y el segundo es don Armando Rico, quien ofrece almercado perfumes importados de Francia.Mensualmente estos individuos adquieren $10.000,000 en mercancías, pero losdos obtienen resultados diferentes. Doña Linda obtiene una ganancia de$300.000 en el mes y don Armando $500,000 en el mismo lapso de tiempo.Observemos que teniendo la misma inversión reciben beneficios diferentes,podemos definir entonces el INTERÉS como la utilidad que se tiene sobre unainversión en ―X‖ tiempo, o sea: Utilidad Interés = InversiónSiendo el interés del comerciante en joyas = 3% mensual y el interésdel comerciante en perfumes = 5% mensual.Dado el caso de que una tercera persona, por ejemplo Justo Sin Plata, necesite$10.000.000 y se los solicite a don Armando, éste se los cedería solamente si lereconoce una tasa de interés igual a la que le rinden sus inversiones, es decir, al5% mensual; de aquí nace otro concepto conocido con el nombre de TASA DEINTERÉS DE OPORTUNIDAD que quiere decir que cualquier inversionista estádispuesto a ceder su dinero, si se le reconoce una tasa de interés igual o superiora la que rinden sus inversiones. 9
  10. 10. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLECCIÓN DOS INTERÉS SIMPLESiendo el interés la utilidad sobre la inversión, se puede tomar el ejemplo anterioren el cual el comerciante en joyas doña Linda Planta de Rico, gana mensualmente$300.000 con $10.000.000 invertidos; si continuamos su análisis indefinidamente,es decir, mes a mes, el resultado es el siguiente: MES DINERO GANANCIA DINERO INVERTIDO ACUMULADO 1 $10.000.000 $300.000 $10.300.000 2 $10.000.000 $300.000 $10.600.000 3 $10.000.000 $300.000 $10.900.000 . . N $10.000.000 $300.000Si: Utilidad Interés = InversiónUtilidades = 3% x $10.000.000 = $300.000 en cada período, para este caso, cadames.Lo anterior se puede presentar simbólicamente de la siguiente forma:Dinero invertido = PTasa de Interés = i Utilidad = Inversión x Tasa de interés Utilidad = Pi 10
  11. 11. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras MES DINERO INVERTIDO UTILIDADES 1 2 P Pi 3 P Pi . P Pi . n P PiLo anterior quiere decir que doña Linda Plata de Rico tiene unas utilidades (Pi)por período y si quiere saber cuántas utilidades ha generado su inversión desdeel momento en que la realizó, simplemente deberá multiplicar las utilidades decada período por el número de ellos transcurridos a la fecha, desde el momentoen que realizó la inversión.Generalizando a n los períodos, se tendrían en este punto unas utilidadesacumuladas Pin y el total de dinero acumulado sería igual a la inversión inicialmás las utilidades acumuladas; a esta suma se le conoce con el nombre deMONTO o VALOR FUTURO y en términos simbólicos se representa de lasiguiente forma:P = Valor de la inversión ó valor actualF = Valor futuron = Número de períodos%i = Tasa de interés F = inversiones + Utilidades Acumuladas F = P + Pin F = p (1 + in) 11
  12. 12. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasNótese que en el ejemplo doña Linda Plata, no reinvirtió las ganancias sinosiempre invirtió la misma cantidad ($10 millones); es decir, cuando no hayreinversión de las utilidades se conoce con el nombre de inversiones a INTERÉSSIMPLE.Ejemplo 1¿Cuánto dinero acumularía Juan Pérez dentro de 5 años, si invierte hoy$4.000.000 a una tasa de interés simple del 3% mensual?El primer paso para resolver el problema planteado es elaborar un diagrama deflujo de la siguiente manera:Considerar los ingresos de dinero con una flecha hacia arriba y los desembolsoscon una flecha hacia abajo, en una escala de tiempo que pueden ser años,semestres, meses, días. La escala de tiempo debe estar expresada en el mismoperíodo que está expresada la tasa de interés; en el ejemplo la tasa de interésestá expresada en meses, por lo tanto los 5 años se deben convertir a meses, osea 60 meses. i = 3% mensual F 60 meses P = 4.000.000F = P (1 + in)F= $4.000.000 (1 + 0.03 (60))F= $11.200.000Lo anterior quiere decir que don Juan Pérez se ganó $7.200.000 en los 5 años yadicionalmente tiene el dinero que invirtió o sea $4.000.000.SUPUESTO: El inversionista no hace ningún retiro de dinero en el lapso de tiempoconsiderado. 12
  13. 13. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasEjemplo 2Armando Rico recibió hoy $3.450.000 del Banco de Bogotá por una inversión querealizó hace tres semestres; si la tasa de interés es del 2% mensual, ¿cuántodinero invirtió don Armando?Como se explicó anteriormente, el punto de partida es realizar el gráfico o flujode caja correspondiente; el problema quedaría planteado así:En razón a que la tasa es mensual se deben expresar los tres semestres enmeses, para que los elementos estén en la misma base. 0 i=2% mensual F = 3.450.000 18 meses = 3 Semestres PReemplazando en la ecuación que relaciona estas variables se tiene:F = P (1 + in)F = $3.450.000 porque en este valor se consolidan la inversión y las utilidadesI = 2% mensualN = 3 semestres = 18 mesesEntonces,3.450.000 = P (1 + 0,02 (18))3.450.000 = P (1 + 0,36) 13
  14. 14. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasP = $2.536.764,71Este es el valor que invirtió don Armando hace 18 meses.Ejemplo 3Patricia Fernández recibió un préstamo de $3.000.000, que debe pagar en 18meses; si al final del plazo debe cancelar $3.850.000, calcular la tasa de interéssimple del préstamo. P = 3.000.000 18 meses 0 F = 3.850.000Nótese que se dibujaron los $3.000.000 con una flecha hacia arriba, puesto que seestá tomando como referente a Patricia Fernández; al recibir el dinero delpréstamo tienen un ingreso y cuando cancela el crédito ella tiene un desembolso,por lo cual se dibuja con una flecha hacia abajo.Si se toma como referente el prestamista, el gráfico sería el siguiente: F = 3.850.000 0 18 meses P = 3.000.000 14
  15. 15. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasReemplazando los datos de la ecuación se tiene:F = P (1 + in)3.850.000 = 3.000.000 (1 + i% (18))Expresándolo en términos porcentuales se tiene,Ejemplo 4Armando Mendoza recibió un préstamo de $7.000.000 de Beatriz PinzónSolano, si canceló $10.500.000 y la tasa de interés fue del 2% mensualsimple, calcular, ¿cuál fue el plazo del préstamo?Gráfico para Armando Mendoza P = 7.000.000 i = 2% mensual 0 F = 10.500.000 15
  16. 16. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasGráfico para Beatriz Pinzón Solano F = 10.5000.000 i = 2% mensual 0 P = 7.000.000Reemplazando en la ecuación se tiene:F = P (1 + in)10.500.000 = 7.000.000 (1 +(2%)n) Recuerde que 2% = 0,021,5 – 1 = 0,02n0,5 = 0,02nn = 25 mesesNótese que la tasa de interés se expresó en meses porque está dada en meses.Ejemplo 5Sofía Vergara recibió un préstamo del Banco Santander que debe pagar de lasiguiente forma: $3.000.000 dentro de 6 meses, $4.000.000 dentro de un año y$5.000.000 en año y medio.Si la tasa de interés es del 10% semestral simple, determinar, ¿cuánto dinero leprestó el Banco Santander a Sofía?Recordando que los períodos del plazo deben estar en el mismo período que latasa de interés, se tiene: 16
  17. 17. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras6 meses = un semestreUn año = dos semestresAño y medio = tres semestresGráfico para el Banco Santander 3.000.000 4.000.000 5.000.000 0 1 2 3 Semestre s i = 10% semestral PGráfico para Sofía Vergara i = 10% semestral 0 1 2 3 Semestre P 3.000.000 4.000.000 5.000.000 17
  18. 18. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasObservando el gráfico y el planteamiento del problema, se tiene una concepcióndiferente a la tratada en los ejemplos anteriores en los cuales se tenía un soloingreso y un solo pago o viceversa. Este ejemplo plantea tres desembolsos en elfuturo para el caso de Sofía. La solución de este tipo de problema se basa en elmismo concepto, simplemente se analiza cada ingreso o desembolso en el futurode manera independiente.Cada pago que hace Sofía, se considera dentro del total de la cuota, una partecorrespondiente a intereses y otra un abono al préstamo. Para el BancoSantander, los intereses serían las utilidades y el abono al préstamo unadevolución de una parte de la inversión. Este concepto es congruente con ladefinición de valor futuro, como el consolidado de la inversión más las utilidadesexplicado al principio de este capítulo; en este caso las utilidades y la inversión sedevolverán al Banco en tres pagos y no en uno.F = P (1 + in)Analizando cada pago independiente se tiene:Pago 1 = P1 = = $2.727.272,73Pago 2 = P2 = = $3.333.333,33Pago 3 = P3 = = $3.846.153,85Por lo tanto el valor del préstamo sería:PT = P1 + P2 + P3PT = $ 2.727.272,73 + $ 3.333.333,33 + $ 3.846.153,85P T = $ 9.906.759,91 18
  19. 19. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasEjemplo 6Natalia París desea realizar un viaje por el continente europeo de un año y sepropone el siguiente plan de ahorros para realizar su sueño: hoy, ahorra$1.000.000; dentro de tres meses, ahorrará $1.000.000; dentro de un semestre,ahorrará $1.500.000 y dentro de 10 meses, ahorrará $1.700.000.¿Cuánto dinero tendrá exactamente dentro de un año, si la tasa de interés que lepaga el Banco es del 1% mensual simple?Gráfico para Natalia 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 F=? meses 1.000.000 1.000.000 1.500.000 1.700.000i = 1% mensual, 1% = 0.01Se debe recordar que los desembolsos o ingresos deben estar expresados en elmismo período de tiempo que la tasa de interés.Retomando el ejemplo anterior, cada ahorro o inversión se trata de maneraindependiente por lo tanto se tiene:Ahorro o inversión #1 = F1Ahorro o inversión #2 = F2Ahorro o inversión #3 = F3Ahorro o inversión #4 = F4La inversión o ahorro de $1.000.000 que hace en el período #1 dura exactamenteen el banco 12 meses, por lo tanto n = 12.F1 = P1 (1 + in)F1 = 1.000.000 (1 + 0,01(12)) = $1.120.000 19
  20. 20. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLa inversión o ahorro de $1.000.000 que hace en el período #3 dura exactamenteen el banco 9 meses (12 meses-3meses), por tanto n = 9.F2 = P2 (1 + in)F2 = 1.000.000 (1 + 0,01(9)) = $1.090.000La inversión o ahorro de $1.500.000 que hace Natalia en el período #6 duraexactamente en el banco 6 meses (12 – 6 meses), por lo tanto n = 6.F3 = P3 (1 + in)F3 = 1.500.000 (1 + 0,01(6)) = $1.590.000La inversión o ahorro de $1.700.000 que hace en el período # 10 duraexactamente en el banco 2 meses (12 meses – 10 meses), por lo tanto n = 2.F4 = P4 (1 + in)F4 = 1.700.000 (1 + 0,01(2)) = $1.734.000Por lo tanto, el dinero que tendría acumulado Natalia París dentro de un año será:F = F1 + F2 + F3 + F4F = $5.534.000Como conclusión final, podemos dejar despejadas cada una de las variables queintervienen en la ecuación original de INTERES SIMPLE, quedando de la siguientemanera: 20
  21. 21. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADEscuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de NegociosContenido didáctico del curso Matemáticas Financieras VALOR FUTURO VALOR PRESENTE TASA DE INTERES NUMERO DE PERIODOS 21
  22. 22. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLECCIÓN TRES INTERÉS COMPUESTOEn el caso de interés simple se consideró que las ganancias eran iguales paratodos los períodos, puesto que la inversión permanecía constante. Cuando setrata de interés compuesto, las utilidades no son iguales para todos los períodospuesto que la inversión varía de un período a otro, en razón de que las utilidadesobtenidas en un período se reinvierten en el siguiente.Tomando nuevamente el ejemplo con el que se inició el capítulo, donde lainversionista Linda Plata tenía $10,000,000 disponibles; si doña Linda invierteestos dineros a una tasa del 3% mensual y reinvierte sus utilidades, se tendría elsiguiente resultado: MES DINERO GANANCIA DINERO INVERTIDO ACUMULADO 1 $10.000.000 10.000.000 * 0,03 = 300.000 10.00.000+300.000 =10.300.000 2 $10.300.000 10.300.000 * 0,03 = 309.000 10.300.000+309.000 = 10.609.000 3 $10.609.000 10.609.000 * 0,03 = 318.270 10.609.000+318.270 =10.927.270 . . nLo anterior lo podemos generalizar de la siguiente forma:P= Inversión%i= Tasa de InterésUtilidad = Inversión X i = PiF= Valor futuro 22
  23. 23. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras DINEROMES INVERTIDO GANANCIA DINERO ACUMULADO 1 P P (i) P + Pi = P(1 +i) P(1+i) 2 P(1+i) (i) P (1+i) + P(1+i)i = P(1+i)(1+i) = P(1+i)2 P(1+i)2+P(1+i) = P(1+i)2(1+i) = P(1+i)3 3 P(1+i)2 P(1+i)2(i) 4 . . . . . . . n P(1+i)nGeneralizando, se concluye que cuando se reinvierten las utilidades (interéscompuesto) el dinero acumulado a valor de futuro se puede definir como: F = P (1+i)nSi se aplica la anterior equivalencia al caso de doña Linda, se puede plantear elsiguiente ejercicio:Cuánto dinero acumulará (valor futuro) doña Linda dentro de tres meses a unatasa de interés del 3% mensual, si invierte $10.000.000 inicialmente:F = P (1+i)nF= $10.000.000 (1+0,03)3F = $10.927.270Valor que coincide con los $10.927.270 obtenidos en la primera tabla.En conclusión, la gran diferencia del interés compuesto radica en la reinversión deutilidades. Si se comparan los dineros acumulados en el tercer mes para el casode doña Linda con una inversión de $10.000.000 al 3% mensual, se obtienen lossiguientes resultados:Interés simple: dinero acumulado al tercer mes $10.900.000Interés compuesto: dinero acumulado al tercer mes $10.927.270 23
  24. 24. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasEjemplo 1¿Cuánto dinero acumularía Juan Pérez dentro de 5 años, si invierte hoy$4.000.000 a una tasa de interés compuesto del 3% mensual?El primer paso para resolver el problema planteado es elaborar un diagrama deflujo de la siguiente manera:Considerar los ingresos de dinero con una flecha hacia arriba y los desembolsoscon una flecha hacia abajo en una escala de tiempo que pueden ser años,semestres, meses, días. La escala de tiempo debe estar expresada en el mismoperíodo que está expresada la tasa de interés; en el ejemplo la tasa de interésestá expresada en meses, por lo tanto los 5 años se deben convertir a meses, osea 60 meses. i = 3% mensual F 60 meses P = 4,000,000F = P (1 + i )nF = 4.000.000 (1 + 0, 03)60 = $ 23.566.412,42Este mismo ejemplo con tasa de interés simple, obtuvo un valor futuro de$11.200.000Ejemplo 2Armando Rico recibió hoy $3. 450.000 del Banco de Bogotá por una inversión querealizó hace tres semestres: si la tasa de interés es del 2% mensual compuesto,¿Cuánto dinero invirtió don Armando?Como se explicó anteriormente el punto de partida es realizar el gráfico o flujo decaja correspondiente; el problema quedaría planteado así:En razón de que la tasa es mensual, se deben expresar los tres semestres enmeses, para que los dos elementos tengan la misma base: 24
  25. 25. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras F = 3.450.000 0 i = 2% mensual 18 meses = 3 semestres PReemplazando en la ecuación que relaciona estas variables se tiene:F = P ( i + i) nF = $ 3.450.000, porque en este valor se consolidan la inversión y las utilidadesi= 2% mensualn= 3 semestres = 18 mesesEntonces,$ 3.450.000 = P (1 + 0.02) 18$ 3.450.000 = P (1,42824624758)P = $2.415.549,84Este es el valor que invirtió don Armando hace 18 meses.Ejemplo 3Patricia Fernández recibió un préstamo de $3.000.000 que debe pagar en 18 meses;si al final del plazo debe cancelar $3.850.000 calcular la tasa de interés del préstamo.P = 3.000.000 18 meses 0 25
  26. 26. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasNótese que se dibujaron los $3.000.000 con una flecha hacia arriba, puesto que seestá tomando como referente a Patricia Fernández; al recibir el dinero del préstamotiene un ingreso y cuando ella cancela el crédito tiene un desembolso, por lo cual sedibuja con una flecha hacia abajo.Si se toma como referente al prestamista el gráfico sería el siguiente: F = 3.850.000 0 18 meses P = 3.000.000Reemplazando los datos de la ecuación se tiene Hacemos la división y podemos sacar raíz 18 a ambos ladosEn términos porcentuales, i = 1,3955% mensual Ejemplo 4 Armando Mendoza recibió un préstamo de $7.000.000 de Beatriz Pinzón Solano, si canceló $10.500.000 y la tasa de interés fue del 2% mensual compuesto, calcular, ¿cuál fue el plazo del préstamo? 26
  27. 27. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras Gráfico para Armando Mendoza P = $ 7.000.000 i = 2% mensual F = $10.500.000 0 Gráfico para Beatriz Pinzón Solano F = $10.500.000 0 i = 2 % mensual P = $ 7.000.000Reemplazando en la ecuación se tiene:F = P (1 + i ) n2% = 0,0210.500.000 = 7.000.000 (1 + 0.02) nAplicando logaritmos en base 10 a ambos lados de la ecuación se tiene: Por propiedades de logaritmos , la n pasa a multiplicar0,17609125 = n . (0,0086001717) 27
  28. 28. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financierasn = 20,47 mesesNótese que la respuesta se expresó en meses porque la tasa de interés está dada enmeses.Ejemplo 5Sofía Vergara recibió un préstamo del Banco Santander que debe pagar de la siguienteforma: $ 3.000.000 dentro de 6 meses, $ 4.000.000 dentro de un año y $ 5.000.000 en añoy medio. Si la tasa de interés es del 10% semestral compuesto, determinar, ¿cuántodinero le prestó el Banco Santander a Sofía?Recordando que los períodos del plazo deben estar en el mismo período que la tasade interés, se tiene:6 meses = un semestreun año = dos semestres :año y medio = tres semestresGráfico para el Banco Santander 5.000.000 3.000.000 0 1 2 3 semestres i = 10% semestral P 28
  29. 29. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras Gráfico para Sofía Vergara i = 10% semestral 0 1 2 3 semestres P 3.000.000 4.000.000 5.000.000Del problema, se tiene una concepción diferente a la tratada en los ejemplosanteriores en los cuales se tenía un solo ingreso y un solo pago o viceversa. Esteejemplo plantea tres desembolsos en el futuro para el caso de Sofía. La solución deeste tipo de problema se basa en el mismo concepto, simplemente se analiza cadaingreso o desembolso en el futuro de manera independiente.Cada pago que hace Sofía se considera dentro del total de la cuota una partecorrespondiente a intereses y otra un abono al préstamo. Para el Banco Santander,los intereses serían las utilidades y el abono al préstamo una devolución de una partede la inversión. Este concepto es congruente con la definición de valor futuro, como elconsolidado de la inversión más las utilidades explicado al principio de este capítulo:en este caso las utilidades y la inversión se devolverán al Banco en tres pagos y no enuno.Analizando cada pago independientemente se tiene:Pago 1 = P1 = = $2.727.272,73Pago 2 = P2 = = $3.305.705,12Pago 3 = P3 = = $3.756.574 29
  30. 30. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasPor lo tanto, el valor del préstamo sería:P = P1 +P2 +P3P = $ 9.789.631,86Ejemplo 6Natalia París desea realizar un viaje por el continente europeo dentro de un año y sepropone el siguiente plan de ahorros para realizar su sueño: hoy, ahorra $1.000.000;dentro de tres meses, ahorrará $ 1.000.000; dentro de un semestre, ahorrará $ 1.500.000 ydentro de 10 meses, ahorrará $ 1.700.000.¿Cuánto dinero tendrá exactamente dentro de un año, si la tasa de interés que le paga elBanco es del 1% mensual compuesto?Gráfico para Natalia0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 F =? meses 1.000.000 1.000.000 1.500.000 1.700.000Retomando el ejemplo anterior, cada ahorro o inversión se trata de manera independiente,por lo tanto se tiene:Ahorro o inversión # 1 = F1Ahorro o inversión # 2 = F2Ahorro o inversión # 3 = F3Ahorro o inversión # 4 = F4 30
  31. 31. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLa inversión o ahorro de $1.000.000 que se hace en el período # 1 dura exactamente en elbanco 12 meses, por lo tanto n = 12F1 = P1 (1+ i)nF1 = 1.000.000 (1+0,01) 12 = $1.126.825,03La inversión o ahorro de $1.000.000 que hace en el período 3 dura exactamente enel banco 9 meses (12 meses - 3 meses) por lo tanto n = 9F2 = P2 (1+ i)nF2 = 1.000.000(1+ 0,01)9 = $1.093.685,27La inversión o ahorro de $ 1.500.000 que hace Natalia en el período 6 dura exactamente enel banco 6 meses (12 meses - 6 meses) por lo tanto n = 6F3 = P3 (1+ i)nF3 = 1.500.000 (1 + 0,01)6 =$1.592.280,22La inversión o ahorro de $1.700.000 que hace Natalia en el período 10 dura exactamenteen el banco 2 meses (12 meses - 10 meses) por lo tanto n = 2F4 =P3 (1+ i)nF4 = 1.700.000 (1 + 0,01)2 =$1.734.170Por lo tanto, el dinero que tendrá acumulado Natalia París dentro de un año será:F = F1 + F2 + F3 + F4F = $5.546.960,53 31
  32. 32. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasComo conclusión final, podemos dejar despejadas cada una de las variables queintervienen en la ecuación original de INTERES COMPUESTO, quedando de lasiguiente manera: VALOR FUTURO VALOR PRESENTE TASA DE INTERES NUMERO DE PERIODOS 32
  33. 33. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLECCIÓN CUATRO TASAS DE INTERÉSEl concepto de tasa de interés, se aplica a la relación entre el valor a pagar comointerés y el capital recibido en préstamo por el cual se debe pagar ese interés enun tiempo determinado. Se expresa en términos de porcentaje y su nomenclaturaes: i%.Tasa de Interés NominalEs la tasa de interés que generalmente se aplica a todas las operaciones financieras yque aparece estipulada en los contratos. Cuando opera este tipo de tasa, se entiendeque las utilidades por intereses no se reinvirtieron en el periodo.Tasa de Interés EfectivaLos usuarios del sistema financiero se enfrentan a un problema en el diario vivir en lastransacciones personales o de empresa, pues usualmente en todas las operaciones que serealizan se habla de tasa efectiva como referencia o criterio para tomar decisiones.La mayoría de ejecutivos en finanzas o ejecutivos comerciales de empresas delsistema financiero, productivo o de servicios opinan que la tasa efectiva es equivalentea la tasa real, es decir, según ellos el interés que realmente se cobra al cliente. ¿Seráesto cierto?Con el ejemplo siguiente se deducirá el concepto de tasa de interés efectiva; supóngase;que doña Linda Plata de Rico tiene disponibles $100 millones, los cuales no necesita sinohasta dentro de un año, y desea invertirlos. Con este objetivo, se dirige al Banco deBogotá y le plantea la situación al señor Armando Bueno, gerente de la sucursal de Subay antiguo compañero de la universidad. Él le ofrece que le pagará por los $100 millonesuna tasa del 40% anual y que los intereses se liquidarán trimestre vencido, doñaLinda, administradora de empresas de gran prestigio profesional en la capitalcolombiana, hace el siguiente cálculo: 33
  34. 34. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras Plazo: Un año Tasa de interés: 40% anual Liquidación de interés: Trimestre vencido Inversión: $100 millones Número de liquidaciones por año: 4 Tasa trimestral o del período: 40% / 4 = 10% TRIMESTRE SALDO INICIAL INTERESES SALDO FINAL i = 10% 1 100,00 $10,00 $ 110,00 2 110 $11,00 $ 121,00 3 121 $12,10 $ 133,10 4 133,10 $13,31 $ 146,41 TOTAL $46,41La inversionista recuerda que: tasa de interés se define como utilidad sobre la inversión; eneste caso las utilidades serían la suma de la columna interés que es de 46,41 en el año,si la inversión fue de $100 millones quiere decir que se obtuvo un interés (%) orentabilidad de en un añoSi el 40% de interés se hubiera liquidado solo al final del año, doña Linda habríaobtenido $40 de intereses, es decir, que lo que establece la diferencia es el número deliquidaciones de intereses que hay en el plazo fijado (para este caso son 4 lasliquidaciones en el año).Para deducir el concepto de tasa nominal y efectiva se toman varios casos, los cuales sederivan de considerar como punto de partida los $100 millones y el plazo de un añopero con diferentes formas de liquidar los intereses por ejemplo, bimestralmente,semestralmente, etc. 34
  35. 35. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras TASA FORMA DE LIQUIDACIONES 40% Semestre vencido 40% Trimestre vencido 40% Bimestre vencido 40% Mes vencido 40% Día vencidoPara el primer caso 40% anual semestre vencido, lo primero que se tiene que definir es latasa del período. En este caso es semestral, o sea que la tasa periódica (semestral) seríaigual a 40% dividido entre los dos semestres del año, lo que equivale a un 20% semestral;si se considera el plazo de un año se puede hacer el cálculo que se realizó para el 40%anual trimestre vencido, es decir: Plazo: Un año Tasa de interés: 40% anual Liquidación de interés: Semestre vencido Inversión: $100 millones Número de liquidaciones 2 poaño: Tasa trimestral o del período: SEMESTRE SALDO INICIAL INTERESES SALDO FINAL 1 100 20 120 2 120 24 144 Total 44Intereses primer trimestre = Saldo inicial x Tasa de interésIntereses primer trimestre = $100 x 20% = $20 35
  36. 36. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasSaldo final primer trimestre = Saldo inicial + InteresesSaldo final primer trimestre = 100 + 20 = 120 ;El saldo final del primer semestre pasa a ser el saldo inicial del segundo semestre.Intereses segundo semestre = 120 x 20% = $24Saldo final del segundo semestre =120+ 24 = $144Lo anterior quiere decir que los $ 100 millones invertidos, por el efecto de la reinversión deutilidades generaron $44 millones de intereses, lo que significa una rentabilidad del 44%es decir $44 millones de utilidad dividido entre los $100 millones de inversión. En relacióncon lo anterior, se puede concluir que la tasa efectiva se obtiene por los efectos de lareinversión de las utilidades o intereses; cuando esto no se da, se obtiene lo que se llamatasa de interés nominal. Se puede deducir que existe un paralelo entre el interés simple yla tasa nominal y el interés compuesto y la tasa efectiva. En las dos primeras, no se tieneen cuenta la reinversión mientras que en las dos últimas sí.Con base en los ejemplos se obtiene una fórmula para calcular la tasa efectiva, la cual seexpresa de la siguiente forma:ie = Tasa de interés efectivaip = Tasa periódican= Número de liquidaciones de intereses en el plazo fijadoSi se toman los ejemplos analizados anteriormente, se obtiene lo siguiente:1) Si se tiene una tasa del 40% anual trimestre vencido, ¿cuál es la tasa efectiva anual?Tasa periódica = ip Tasa anual ip = ——————————————— = 0,10 = 10 % trimestral # de períodos en el año = 0,4641 o 46,41% efectivo anual 36
  37. 37. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasSi se considera el mismo ejemplo, es decir 40% anual trimestre vencido, pero en lugarde calcular la tasa efectiva anual se calcula la tasa efectiva semestraln = Número de liquidaciones en el período = 2 en un semestreie = (1 + 0.10)2 - 1 = 0,21 = 21% efectiva semestral2) Si se tiene una tasa anual del 40% semestre vencido, calcular la tasa efectiva anualn = número de liquidaciones = 2ie= (1 + 0,20)2 - 1 = 0,44 ó 44% efectiva anualCon base en la siguiente información calcular la tasa efectiva anual:TASA ANUAL FORMA DE LIQUIDACIÓN NÚMERO DE i DE INTERESES LIQUIDACIONES PERIÓDICA POR AÑO 40% Semestre vencido 2 20% semestral 40% Trimestre vencido 4 10% trimestral 40% Bimestre vencido 6 6,67% bimestral 40% Mes vencido 12 3,33% mensual 40% Día vencido 360 0,11% diarioLas dos primeras tasas fueron calculadas anteriormente, a continuación se obtienen lasrestantes:40% anual bimestre vencidoNúmero de liquidaciones en un año: 6ie anual = (1+0,0667)6 - 1 = 0,4732 37
  38. 38. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras40% anual mes vencidoNúmero de liquidaciones en un año: 12ie anual = (1+ 0,0333)12 - 1 = 0,481640% anual día vencidoNúmero de liquidaciones en un año: 360ie anual = (1+ 0,001111)360 - 1 = 0,4914De acuerdo con los cálculos se obtuvieron las siguientes cifras: FORMA DE LIQUIDACIÓN NUMERO DETASA ANUAL DE INTERESES LIQUIDACIONES TASA POR AÑO EFECTIVA 40% Semestre vencido 2 44,00% 40% Trimestre vencido 4 46,41% 40% Bimestre vencido 6 47,32% 40% Mes vencido 12 48,16% 40% Día vencido 360 49,14%Como se observa en la tabla anterior, a medida que se aumenta el número deliquidaciones se incrementa la tasa efectiva anual; sin embargo tomando otros doscasos, supóngase que el gerente señor Armando Bueno le ofrece a doña Linda que leliquidará intereses 2 veces al día o sea cada 12 horas o tres veces al día o sea cada8 horas; veamos qué tasa efectiva anual se obtiene: 38
  39. 39. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras 40% anual liquidando intereses cada 12 horas ip = 0,40 / 720 = 0,0005555 n = 360 x 2 = 720 períodos ie anual = (1 + 0,0005555)720 - 1 = 0,491659Ahora analizando el caso del 40% anual liquidando intereses cada 8 horas ip = 0,40 / 1080 = 0,00037037 n = 360 x 3 = 1.080 periodos ie anual = (1 + 0,00037037)1080 - 1 = 0,491714Como se observa, a medida que se aumenta el número de liquidaciones seincrementa la tasa efectiva anual; sin embargo, este valor tiende a estabilizarse,es decir, su comportamiento es exponencial como se observa en el gráficosiguiente. 60.000% T A S 50.000% A S 40.000% E F E 30.000% C T I 20.000% V A S 10.000% 0.000% 0 2 4 6 8 10 12 14 NUMERO DE CAPITALIZACIONESGráfica 1. Comportamiento tasa efectiva anual para diferentes capitalizaciones detasas vencidas 39
  40. 40. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasCon lo anterior se explica lo que en matemáticas se conoce con el nombre de interéscontinuo, que se expresa así: La letra e es la sigla del número de Euler ie = ei - 1 o constante de Napier, tan importante como y es equivalente a 2,718281…. (No confundir con la e de efectiva en ie )Que para el caso del 40% anual se obtiene: i e = e 0,40 -1 = 2 ,7182810,40 - 1 i e = 0,49182Cifra que coincide cuando se liquidan 720 y 1080 veces en el año. Si se siguenaumentando el número de liquidaciones, no se va a obtener una cifra mayor. La fórmulaanterior se conoce con el nombre de interés continuo o capitalización continua.Con base en los cálculos realizados anteriormente, se concluye que la tasa deinterés efectiva está íntimamente ligada con el interés compuesto, es decir,considera la reinversión de utilidades. 40
  41. 41. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLECCIÓN CINCO CONVERSIÓN DE TASASEl concepto de tasa efectiva permite convertir las tasas de un período a otro fácilmente;este concepto es de gran utilidad en Matemáticas Financieras, por cuanto permitesolucionar situaciones recurrentes, donde los períodos de los flujos de caja(ingresos y desembolsos) no coinciden con los períodos de las tasas de interés.Ejemplo 1Con una tasa del 40% anual trimestre vencido, ¿calcular la tasa semestralequivalente?Este ejercicio se puede resolver de varias formas:Primera formai= 40% anual trimestre vencidoi periódica = i anual / # períodos en el añoi periódica = i trimestral = 0,40 / 4 =0,10Con base en la tasa periódica se puede calcular la tasa efectiva anualie = tasa de interés efectiva anualDonde n es el número de liquidaciones en el año.La tasa de interés está especificada inicialmente como i = 40% anual trimestre vencido, loque quiere decir que los intereses se van a liquidar cada trimestre, o sea que alaño se liquidan 4 veces, una al final de cada trimestre, por lo tanto:ie= (1+0,10) 4 -1 = 0,4641Con base en el anterior resultado se puede calcular la tasa semestral partiendo decalcular la efectiva anual. ie = ( 1 + ip )n - 1 0,4641 = ( 1 + isemestral ) 2 -- 1 n = 2, porque los intereses se liquidan 2 veces (1 año = 2 semestres) 41
  42. 42. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras 1,4641 = ( 1+ isemestral ) 21,21 = 1 + i semestral1,21 -1 = i semestral0,21 = 2 1 %Segunda formai = 40% anual trimestre vencidoi periódica = i trimestral = = 0,10Obsérvese que el período toma como referencia el que está estipulado en la liquidación deintereses, para nuestro ejemplo es trimestre vencido. La forma de liquidación siempreaparece adyacente a la tasa de interés anual.Con base en la tasa trimestral se puede calcular la semestral, utilizando la ecuación detasa efectiva.ie = (1+ip) n -1i semestral = (1 + i trimestral ) 2 - 1i semestral = (1 + 0,10 ) 2 - 1 = 0,21Es el mismo resultado que se obtuvo en la primera forma.Ejemplo 2Con una tasa del 30% anual bimestre vencido, calcular:a. La tasa semestral equivalente.b. La tasa mensual equivalente. 42
  43. 43. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financierasa. Tasa SemestralPrimera formai = 30% anual bimestre vencidoBimestre = cada 2 mesesi periódica = i bimestral = = 0,05, dividido entre 6 porque hay 6 bimestres en un año.ie = (1+ ip ) n -1ie = (1 + 0,05) 6 - 1 = 0,3400Con base en la tasa efectiva anual se puede calcular la semestralie = (1+ ip) n -10,34 = ( 1 + i semestral )2-11,34 = (1+ i semestral)21,157625 =1 + i semestral1,157625 -1 = i semestral0,157625 = i semestral15,7625% = i semestral 43
  44. 44. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasSegunda formai = 30% anual bimestre vencidoBimestre = cada 2 mesesi periódica = i bimestral = = 0,05ie = (1+ i periódica) n -1 La tasa mayor se asume como la tasa efectiva, en este caso la semestral.i semestral =(1 + 0,05 ) 3 - 1 = 0,157625 ó 15,7625%n = 3, porque en un semestre hay 3 bimestres.b. Tasa mensualPrimera formai periódica = i bimestral = = 0,05ie = (1+ 0,05)6 - 1 = 0,3400Con base en la tasa efectiva anual se puede calcular la tasa mensualie = 0,34i = ( 1 + i periódica)n - 10,34 = (1 + i mes )12 -1n = 12 meses, porque un año tiene 12 meses, y al ser la tasa mensual se liquidarán 12veces en el año.1,34 = (1 + i mes )121,02469 = 1 +i mes1,02469 – 1 = i mes0,02469 = i mes 2,469% = i mes 44
  45. 45. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasSegunda formai = 30% anual bimestre vencidoi periódica = i bimestral = = 0,05Utilizando la fórmula de tasa efectiva se tiene:ie = (1 + i periódica) n - 10,05 = ( 1 + i mes )2 – 1 La tasa mayor se asume como la tasa efectiva, en este caso la bimestral.1,05 = (1+ i mes) 21,02469 = 1 + i mes1,02469 - 1 = i mes0,02469 = i mesi mes = 2,469%Obsérvese que se consideró la tasa del 5% bimestral como efectiva; la razón esmuy sencilla, los meses están contenidos dentro del bimestre. Lo mismosucedería si se tuviera una tasa del 3% mensual y se preguntara la tasaquincenal; como la quincena está contenida dentro del mes, el 3% se tomaríacomo efectiva.Ejemplo 3Justo Pastor Malo recibió un préstamo del Banco Popular de $7.000.000 quedebe pagar en una sola cuota dentro de 2 años. Si la tasa de interés es del 24%anual semestre vencido, ¿calcular el valor de la cuota que debe pagar JustoPastor al Banco Popular? P = 7.000.000 2 años 0 i = 24 % anual semestre vencido F=? 45
  46. 46. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasObsérvese que la tasa está estipulada en diferente período que el plazo, la primera ensemestres y la segunda en años; por lo anterior se debe efectuar la conversión:correspondiente.Primera formaSe debe hallar la tasa de interés efectiva anual para que coincida con el período delplazo que está dado en años, por lo tanto:iea = (1+ i periódico) n -1i periódica = i semestral = = 0,12iea = (1+ 0,12) 2 -1= 0,2544F =P(1+ i ) nF = 7.000.000 (1+ 0,2544) 2F = $11.014.635,52• Segunda formai = 24% anual semestre vencidoi periódica = i semestral = = 0,12Plazo = 2 años = 4 semestres, por lo tanto el gráfico puede expresarse de la siguientemanera: P = 7.000.000 1 2 3 4 semestres 0 F =?i = 12% semestralF =P(1+ i ) nF = 7.000.000(1+ 0,12)4 = $ 11.014.635,52
  47. 47. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras Tasas anticipadasPara analizar este concepto se considera el siguiente caso hipotético; supóngase quedoña Linda Reina desea invertir $100 millones y se dirige al Banco Santander. Sugerente, el doctor Pastor Bueno le ofrece una tasa del 40% anual año anticipado.Veamos cómo sería el comportamiento con un gráfico, doña Linda no necesita eldinero sino hasta dentro de un año. $ 40 millones “hoy” $ 100 millones de devolución Interés anticipado de la inversión en Un año $ 100 millones inversiónEn el gráfico puede observarse que el inversionista invierte $100 millones y en el mismomomento recibe los intereses correspondientes o sea $40 millones, es decir, que soloinvirtió $60 millones, lo cual puede resumirse en el siguiente gráfico: $100 millones 1 año$60 millones (Inversión)En el gráfico anterior se tiene un valor presente que son los $60 millones y un valor futurodentro de un año por un valor de $100 millones. Si se aplica la primera equivalencia(ver capítulo 1) se puede hallar el interés:F= P (1 + i) nF = $100.000.000,ooP = $60.000.000,oon = 1 año$100.000.000 = $60.000.000 ( 1 + i ) 1 = ( 1+ i )1,6667 = 1+ ii = 1 , 6667 - 1 = 0,6667 = 66,67% anual
  48. 48. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLo anterior quiere decir que para doña Linda Reina es equivalente el 40% anual añoanticipado ó el 66,67% anual año vencido. Si se hace el análisis utilizando la definicióndada en el primer capítulo, en el cual se dice que interés es igual a utilidad sobreinversión se obtiene lo siguientei= = = = 0,6667 ó 66,67%Si se expresa en términos porcentuales se tiene: i= = = 0,6667 ó 66,67% anualDe lo anterior podemos generalizar la siguiente fórmula: ia i vencido = ----------------- (1- ia)donde:iv = i vencidoia = interés anticipadoi vencido =Con base en la conversión anterior, se pueden calcular las tasas efectivas cuandoson anticipadas.Consideremos las siguientes posibilidades como una tasa única de 40% anual pero condiferentes modalidades de liquidación de intereses y calculemos las tasas efectivas anualescorrespondientes. TASA ANUAL LIQUIDACIÓN DE INTERESES 40% Semestre anticipado 40% Trimestre anticipado 40% Bimestre anticipado 40% Mes anticipado 40% Día anticipado 40% Cada 12 horas anticipado
  49. 49. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras(1) 40% anual semestre anticipadoi periódica = i semestral anticipada = = 20% semestre anticipadoi semestre vencida = = = 0,25 i efectiva anual = (1 + 0,25)2 -1 = 0,5625(2) 40% anual trimestre anticipadoi periódica = i trimestral anticipada = = 10% trimestre anticipadoi trimestre vencido = = 0,111111 i efectiva anual = (1+0,11111) 4 -1 =0,524157(3) 40% anual bimestre anticipadoi bimestral anticipado = = 6,67%i bimestral vencida = = 0,07143i efectiva anual = (1 + 0,07143)6 - 1 = 0,51282484(4) 40% anual mes anticipadoi mes anticipado = = 0,03333i vencida = = 0,03447919i efectiva anual = (1 + 0,03447919)12 - 1 = 0,50196949(5) 40% anual día anticipadoi día anticipado = = 0,001111i vencida = = 0,00111235i efectivo anual = (1 + 0,00111235)360 - 1 = 0,4921565(6) 40% anual cada 12 horas anticipadoi cada 12 horas anticipado = = 0,00055556i vencida = = 0,00055586i efectiva anual = (1+ 0,00055586)720 - 1 = 0,49199053
  50. 50. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLos cálculos anteriores se pueden resumir en la siguiente gráfica:Gráfica 2. Liquidación de intereses anticipadosCon base en los cálculos realizados anteriormente, sobre las tasas efectivas considerandodiferentes sistemas de liquidación de intereses y las tasas efectivas vencidas y anticipadas,se puede obtener el siguiente resumen TASAS VENCIDAS TASAS ANTICIPADAS # de #de Tasa nominal liquidaciones T.E.A. Tasa nominal liquidaciones T.E.A. por año por año 40% anual A. V. 1 40,00% 40% anual A. A. 1 66,67% 40% anual S.V. 2 44,00% 40% anual S.A. 2 56,25% 40% anual T.V. 4 46,41% 40% anual T.A. 4 52,42% 40% anual B.V. 6 47,32% 40% anual B.A. 6 51,28% 40% anual M.V. 12 48,16% 40% anual M.A. 12 50,20% 40% anual D.V. 360 49,14% 40% anual D.A. 360 49,22%Con base en la tabla anterior se puede concluir lo siguiente: en las tasas vencidas amedida que aumenta el número de liquidaciones aumenta la tasa efectiva anual ilogrando como tasa máxima la capitalización continua ( ie= e - 1). El comportamiento
  51. 51. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financierasde las tasas anticipadas es inverso; a medida que aumenta el número deliquidaciones disminuye la tasa efectiva anual, es decir, se logra la tasa efectivamáxima en el caso de las anticipadas cuando es una sola liquidación.En el gráfico siguiente se ve el comportamiento de las dos modalidades, vencida yanticipada.Gráfica 3. Tasas efectivas correspondientes a tasas nominales vencidas yanticipadas Tasas efectivas con tasa de interés anticipadasEste tipo de conversión es similar al descrito en los temas anteriores, simplementeincluye un paso adicional que consiste en convertir las tasas periódicas anticipadasen periódicas vencidas; en otras palabras, es hallar la tasa equivalente vencida a laanticipada.
  52. 52. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasEjemploCon una tasa del 20% anual trimestre anticipado, hallar la tasa mensual. Primera formai = 20% anual trimestre anticipadoiperiódica = itrimestral anticipada = =0,05i vencido =i trimestre vencido =i trimestre vencido = =i trimestre vencido = 0,052631578iea = (1 + i periódica) n- 1iea = (1 + 0,052631578)4 - 1iea = 0,2277 o 22,77%Con base en la tasa efectiva anual se calcula la tasa mensuali ea = (1 + i periódica) n - 10,2277 = ( 1+ imes )12 - 11,2277 = ( 1 + imes ) 121,017244 = 1 + imes1,017244 – 1 = imes0,017244 = imesimes = 1,7244%
  53. 53. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasSegunda formai = 20% anual trimestre anticipadoiperiódica = i trimestral anticipada = 0,20 / 4 = 0,05i vencido = i anticipado / (1- i anticipado)i trimestre vencido = i trimestre anticipado / (1- i trimestre anticipado)i trimestre vencido = 0,05 / (1 – 0,05) = 0,05 / 0,95i trimestre vencido = 0,052631578Con base en la tasa trimestral vencida se puede calcular la tasa mensual y enrazón a que el mes está contenido dentro del trimestre, la tasa trimestral se puedeconsiderar como efectiva.i trimestre vencido = 0,052631578i ea = (1 + i periódica) n- 10,052631578 = (1+ imes) 3- 11,052631578= (1+ imes) 31,017244 = 1+ i mes0,017244 = i mes i mes= 1,7244%
  54. 54. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras EJERCICIOS PARA PROFUNDIZACIÓN DE LAS TEMÁTICAS1. Sandra Muñoz canceló hoy $7.560.000 al Banco de Bogotá por un préstamoque le fue otorgado hace un año. Calcular el dinero prestado a Sandra si: a. La tasa de interés es del 3% mensual simple b. La tasa de interés es del 3% mensual compuesto c. La tasa de interés es del 4% mensual simple2. Lady Noriega recibió un préstamo del Banco Santander de $10.000.000; sicanceló $13.500.000 en un solo pago, calcular el plazo del préstamo si: a. La tasa de interés es del 2% mensual simple. b. La tasa de interés es del 2% mensual compuesto. c. La tasa de interés es del 2,5% mensual simple.3. Pastor Bueno desea tener $20.000.000 dentro de 2 años para la cuota inicial deun vehículo Audi, para lo cual se ha propuesto el siguiente plan de ahorros:Hoy, ahorra $1.000.000Dentro de 2 bimestres, $ 3.000.000Dentro de 8 meses, $ 5.000000Dentro de 1 año, $ 2.000.000Dentro de año y medio, $7.000.000El Banco de Bogotá le ha propuesto 3 planes:Plan A: i = 1% mensual simplePlan B: i = 2% mensual compuestoPlan C: i = 2,5% bimestral simpleNota: No olvidar que el plazo y la tasa de interés deben estar expresados en elmismo período a. Determinar el dinero acumulado dentro de 2 años de cada uno de los planes. b. ¿Cuál es el mejor plan?4. En los ejemplos 1 a 6 de interés simple y 1 a 6 de interés compuesto que sedesarrollaron anteriormente en el módulo, comparar el ejemplo 1 de interés simple conel ejemplo 1 de interés compuesto y así sucesivamente hasta el 6. Sacar lasconclusiones respectivas para cada una de las 6 comparaciones y presentar un informe.
  55. 55. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras5. Con base en una tasa del 30% anual mes vencido calcular: a. Tasa trimestral b. Tasa semestral6. Con base en una tasa del 30% anual mes anticipado, calcular: a. Tasa trimestral; b. Tasa semestral c. Tasa efectiva anual; d. Tasa trimestral anticipada7. Calcular las tasas efectivas anuales de las siguientes tasas nominales, compararlas ygraficarla en una hoja Excel. Obtener conclusiones: a. 25% anual semestre vencido b. 25% anual trimestre vencido c. 25% anual bimestre vencido d. 25% anual mes vencido e. 25% anual día vencido f. 25% anual año anticipado g. 25% anual semestre anticipado h. 25% anual trimestre anticipado i. 25% anual bimestre anticipado j. 25% anual mes anticipado8. Si se tiene una tasa del 24% anual trimestre anticipado, calcular: a. Tasa mensual b. Tasa semestral c. Tasa efectiva anual d. Tasa trimestral9. Cuánto dinero tendrá acumulado dentro de 5 años Juan Pérez si invierte hoy 5millones en el Banco Santander, que le paga una tasa de interés del 20% anualsemestre anticipado.10. Linda Plata recibió un préstamo de su amigo Armando Rico hace 2 años y medio.Si Linda pagó hoy a Armando $12.133.450 y la tasa pactada fue del 28% anualmes vencido, calcular el valor el préstamo.
  56. 56. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras11. En el problema anterior ¿Cuál sería el valor del préstamo si la tasa de interésfuera del 32% anual bimestre anticipado?12. Linda de Bonito planea adquirir un vehículo CITROEN dentro de 2 años y se hapropuesto el siguiente plan de ahorros para este lapso de tiempo:Hoy, ahorra $1.500.000 Dentro de 2 bimestres, $4.000.000Dentro de 2 trimestres, $6.000.000 Dentro de un año, $3.000.000Dentro de 18 meses, $5.000.000Si la cuota inicial que se requiere para adquirir ese vehículo dentro de 2 años es de$23.500.000 y la tasa de interés que le pagan por su dinero ahorrado es del 32% anualtrimestre vencido, ¿tendrá doña Linda el dinero suficiente para la cuota inicial delvehículo?
  57. 57. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasCAPÍTULO DOS EQUIVALENCIAS CON CUOTAS FIJASUna de las formas más utilizadas en nuestro sistema financiero es el pago de prés-tamos a través de cuotas fijas, en el lenguaje de las Matemáticas Financieras se les llamaanualidades o rentas (no importa si la cuota fija es anual, semestral, trimestral omensual, se seguirá llamando anualidad). La relación que existe entre las cuotasfijas y un valor presente o un valor futuro se conoce con el nombre deequivalencias.LECCIÓN SEIS EQUIVALENCIAS ENTRE UN VALORFUTURO Y UNA SERIE DE CUOTAS FIJAS VENCIDASCuotas fijas = AValor futuro = FN = Número de períodosi% = Tasa de interés por períodoPara poder ver la relación que existe entre una serie de cuotas fijas (iguales) y un :futuro F, considere que el señor Armando Casas tiene excedentes de liquidez cadaperíodo y quiere invertirlos para tener dentro de un lapso de tiempo n el suficientedinero para adquirir una finca en la sabana de Bogotá. Estos ahorros se harán alfinal de cada período a una tasa de interés del i %. Gráficamente el comportamiento delproblema sería el siguiente: F n-2 n-10 1 2 3 4 12 nCon base en el gráfico anterior, se puede considerar cada punto del tiempo en elcual se hace el ahorro como un valor presente en relación con el período n en elcual se retirará el dinero para comprar la finca que en este caso sería el valor futuro.Por ejemplo, el ahorro que se hace en el período n-1 que tiene un valor de $A sí seconsidera que estará invertido solo un período, su valor futuro correspondiente seráigual a A(1+i) (ver fórmulas del capítulo 1).
  58. 58. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasSi tomamos el ahorro de $A en el período n-2 su valor futuro será A(1+i)2, para elperíodo n-3 se obtendría A(1+i) 3, para el período n-4 se obtendría A(1+i) 4 y asísucesivamente hasta llegar al período 1; donde el valor futuro del ahorro A seríaA(1+i)(n-1) y el ahorro que se hace en el período n, como coincide con el retiro deldinero no genera intereses, por lo cual su valor futuro sería A(1+i) 0 o sea A porquetoda cantidad elevada a la cero es igual a uno.Si se suman todos los valores futuros de cada uno de los ahorros de cada período seobtiene:F = A + A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + ...... + A(1+i) (n-1) Ecuación # 1Si se multiplica esta ecuación por (1+ i) y se le llama Ecuación 2, se obtiene losiguiente:F(1+i) = A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + A(1+i)4 +......... + A(1+i)n Ecuación # 2Si restamos la ecuación #1 de la ecuación #2 se obtiene:Ec #2 F(1+i) = A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + ......... + A(1+i) (n-1) + A(1+i)n - Ec #1 F = A + A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + …...... + A(1+i) (n-1)F(1+i) - F = A(1+ i) n - A , despejando se tieneF + Fi - F = A(1+ i) n - AF + Fi - F = A [(1+i)n -1]Fi = A[(1+i)n -1] Fórmula 1La anterior ecuación es la equivalencia entre un valor futuro y una cuota fija vencida oanualidad.
  59. 59. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLECCIÓN SIETE EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR PRESENTE YUNA SERIE DE CUOTAS FIJAS VENCIDASLa equivalencia entre un valor presente y una cuota fija se deduce de la fórmulanúmero 1 simplemente reemplazando F por P(1+i)n, que es la fórmula base de lasMatemáticas Financieras. Fórmula 2De las fórmulas 1 y 2 se puede calcular el valor de la cuota fija de la siguiente forma: Fórmula 3 Fórmula 4
  60. 60. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLECCIÓN OCHO EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR FUTURO Y UNASERIE DE CUOTAS FIJAS ANTICIPADASUtilizando el procedimiento anterior, se pueden calcular las equivalencias entre cuotas fijasanticipadas y los valores presente y futuro; utilicemos el gráfico que tomamos comoreferencia para calcular las equivalencias anteriores pero considerando que las cuotas serealizan anticipadamente o sea: F 0 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 nEl paso inicial es calcular el valor futuro de cada uno de los ahorros A; nótese que en elperíodo n no hay ahorro y sí lo hay en el período cero. Esta es la diferencia que hay conrespecto al gráfico de las cuotas vencidas, pues las cuotas fijas se considerananticipadamente o a principios de cada período, por lo tanto el valor futuro obtenido conbase en el diagrama anterior sería:F = A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + A(1+i)4 +......... + A(1+i)nSi a esta ecuación la llamamos la ecuación número 1 y la multiplicamos por (1+i)obtenemos la ecuación número 2.F (1+i) = A(1+i)2 + A(1+i)3 + ...... + A(1+i) (n+1)Si sacamos la diferencia entre las dos ecuaciones, como se hizo para determinar lafórmula 1 se obtiene: Fórmula 5
  61. 61. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLECCIÓN NUEVE EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR PRESENTE YUNA SERIE DE CUOTAS FIJAS ANTICIPADASCon base en la equivalencia anterior entre un valor futuro y una cuota fija anticipada sepuede obtener la existente entre un valor presente y una cuota fija anticipada,simplemente reemplazando F por P( 1+ i ) n despejamos P Fórmula 6De las fórmulas 5 y 6 podemos obtener el valor de la anualidad en función del valorpresente o del valor futuro, simplemente transponiendo términos. Fórmula 7 Fórmula 8Las anteriores equivalencias permiten pactar una serie de transacciones en el mundo real.
  62. 62. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasLECCIÓN DIEZ EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR FUTURO YUNA SERIE DE CUOTAS FIJAS VENCIDAS CON INTERESESANTICIPADOSEste caso se presenta cuando en un crédito se pactan cuotas uniformes vencidaspero le cobran intereses anticipadamente, es decir en el momento de recibir elpréstamo el beneficiario no recibe la totalidad sino la diferencia entre el valor delcrédito y los intereses correspondientes al primer período.En este caso como el usuario pago los intereses anticipadamente, en la últimacuota no se pagarían intereses, sino que la totalidad del valor pagado sería abonoa capital.La equivalencia a usar en este caso sería: Fórmula 9A continuación se tratan casos prácticos relacionados con las equivalenciasexpuestas anteriormente.Ejemplo 1 Doña Linda Reina recibió un préstamo del Banco de Bogotá por diezmillones de pesos para cancelar en 12 cuotas mensuales iguales vencidas con una tasadel 3% mensual. Calcular el valor de las cuotas.Gráficamente se tendría la siguiente interpretación del problema: $10.000.000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Meses0 A= ? I = 3%Al identificar los datos conocidos se puede determinar que se debe utilizar la fórmula 4
  63. 63. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasP = Valor presente, es en este caso, el valor del préstamo o sea $ 10.000.000i = 3%n = 12 mesesTenemos las tres variables, por lo cual podemos calcular la cuota fija AAlternativamente se puede escribir de la siguiente forma reemplazando el 3% por 0.03A= $1.004.620,85Lo que significa que doña Linda Reina debe cancelar mensualmente una cuota fija igual a$1.004.620,85 durante 12 meses.
  64. 64. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas FinancierasCAPÍTULO TRES EQUIVALENCIAS CON CUOTAS VARIABLESLECCIÓN ONCE GRADIENTESEl sistema financiero colombiano además de las cuotas fijas, utiliza métodos alternos parasus créditos, las cuotas variables es uno de ellos, la filosofía de esta forma de pagoes realizar incrementos periódicos en los pagos de los usuarios. Desde este puntode vista se generan dos formas de aplicarlo; la primera de ellas es incrementos encantidades fijas, este sistema se conoce con el nombre de gradiente aritmético; oincremento en las cuotas mediante un porcentaje fijo, lo que se conoce con el nombre degradiente geométrico, veamos con unos ejemplos como opera cada uno de ellos.Gradiente AritméticoConsideremos el caso de don Pastor Bueno, quién solicitó un crédito de $15 millones alBanco Santander; para pagar en un plazo de 3 años con pagos semestrales e incrementosde $ 100.000 a partir de la segunda cuota, si el interés es del 15% semestral, calcular elvalor de las cuotas que debe pagar don Pastor Bueno al Banco.Gráficamente el problema se expresa así:$ 15.000.0000 6 semestres A A+100.000 A+200.000 A+300.000 A+400.000 A+500.000El problema se puede resolver utilizando la equivalencia, base de las matemáticasfinancieras explicada en el capítulo 1, o sea, F = P( 1 + i)n, que para el problemaplanteado sería de la siguiente manera:
  65. 65. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras1. Traer a valor presente cada una de las cuotas:2. Por el concepto de equivalencia igualar el valor del préstamo al valor presente de las cuotas, es decir :3. Hallar el valor de A Podemos empezar resolviendo los denominadores, así: Vamos a separar los elementos del numerador y a dividir cada uno de ellos por su respectivo denominador; por ejemplo en el segundo término voy a separar la letra A del valor $100.000 y a cada uno de ellos lo divido en 1,3225, entonces divido 1A en 1,3225 y $100.000 también en 1,3225 (Ejemplo ) Quedando Agrupamos los términos comunes y obtenemos: Para que le coincida el resultado, utilice Excel. Si trabaja solo con tres o cuatro decimales se desviará un poco de la A = $3.753.834,56 respuesta. Este sería el valor de la cuota # 1 y aumentándole $100.000 cada semestre, obtendremos el valor de las siguientes cuotas.Alternativamente se pueden utilizar las fórmulas de gradiente aritmético que sederivan de la fórmula matriz para resolver el problema planteado; sin embargo elproblema se puede resolver fácilmente, utilizando del menú principal de Excelherramientas de la siguiente forma:

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