Βασικά στοιχεία διδακτικής της άλγεβρας µε τη χρήση ψηφιακών τεχνολογιών
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Βασικά στοιχεία διδακτικής της άλγεβρας µε τη χρήση ψηφιακών τεχνολογιών

on

  • 1,218 views

 

Statistics

Views

Total Views
1,218
Views on SlideShare
1,208
Embed Views
10

Actions

Likes
0
Downloads
18
Comments
0

2 Embeds 10

http://2epal-chanion.chan.sch.gr 9
http://blogs.sch.gr 1

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Βασικά στοιχεία διδακτικής της άλγεβρας µε τη χρήση ψηφιακών τεχνολογιών Βασικά στοιχεία διδακτικής της άλγεβρας µε τη χρήση ψηφιακών τεχνολογιών Document Transcript

    • Ε.Π. Εκπαίδευση και ∆ια Βίου Μάθηση, ΕΣΠΑ (2007 – 2013) ΕΠΙΜΟΡΦ ΣΗ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΓΙΑ ΤΗΝΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Τ Ν ΤΠΕ ΣΤΗ ∆Ι∆ΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Επιµορφωτικό υλικόγια την επιµόρφωση των εκπαιδευτικών στα Κέντρα Στήριξης Επιµόρφωσης Τεύχος 4: Κλάδος ΠΕ03 Α’ έκδοση (05.02.2010) Τοµέας Ε ιµόρφωσης & Κατάρτισης Πάτρα, Φεβρουάριος 2010
    • 5. Βασικά Στοιχεία ∆ιδακτικής της Άλγεβρας µε τη χρήση Ψηφιακών ΤεχνολογιώνΟι ψηφιακές τεχνολογίες που έχουν µέχρι τώρα αναπτυχθεί για τη διδασκαλία και τη µάθησηεννοιών της Άλγεβρας µπορούν να χωριστούν σε δύο οµάδες. Η πρώτη αποτελείται από ταΨηφιακά Αλγεβρικά Συστήµατα (Computer Algebra Systems) ή CAS. Χαρακτηριστικόςεκπρόσωπος είναι το λογισµικό FP. Η δεύτερη οµάδα αποτελείται από τα υπόλοιπαλογισµικά, καθώς µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την διδασκαλία και τη µάθησηαλγεβρικών εννοιών τόσο λογισµικά συµβολικής έκφρασης, όπως ο Χελωνόκοσµος, όσο καιλογισµικά δυναµικού χειρισµού γραφικών παραστάσεων όπως το GSP, το CABRI και τοGeogebra. Μπορούν ακόµα να χρησιµοποιηθούν και προσοµοιωτές, όπως το Modelus ή τοMoPiX ή ακόµα και λογισµικά φύλλα όπως το Εxcel. Από το σύνολο των λογισµικών αυτών,µόνο τα CAS είναι σχεδιασµένα κατ’ αποκλειστικότητα για τη διδακτική της Άλγεβρας.Ποιά µαθησιακά ζητήµατα µπορούν όµως να αντιµετωπιστούν µε τα εργαλεία αυτά;5.1 Οι δυσκολίες στην ΆλγεβραΗ Άλγεβρα αποτελεί µία περιοχή των µαθηµατικών που παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίεςπου σχετίζονται µε την κατανόηση των εννοιών της, δυσκολίες που αφορούν τόσο τονµαθητή όσο και τον διδάσκοντα. Πού όµως οφείλονται η δυσκολίες αυτές; Ποιά είναι η φύσητους; Ποια εµπόδια καλείται να ξεπεράσει ο µαθητής και πώς η τεχνολογία µπορεί ναυποστηρίξει την διδασκαλία της;Η Άλγεβρα, µέσα στο τρέχον αναλυτικό πρόγραµµα του σχολείου και τα εγχειρίδια,προβάλλεται ως µία γενίκευση της αριθµητικής και από το σηµείο αυτό εµφανίζονται και οιπρώτες δυσκολίες. Η αριθµητική αποτελεί έναν τοµέα µέσα στον οποίο τα µαθηµατικάαντικείµενα είναι µια τάξη µεγέθους πιο συγκεκριµένα από την Άλγεβρα. Στο χώρο τηςΆλγεβρας τα αντικείµενα είναι γενικευµένοι αριθµοί και οι σχέσεις είναι σχέσεις µεταξύγενικευµένων αριθµών ή αλλοιώς, ο ρυθµός µε τον οποίο αλλάζουν οι τιµές που µπορεί ναπάρει ένας γενικευµένος αριθµός σε σχέση µε κάποιον άλλο.Ας δώσουµε ένα παράδειγµα ανεπτυγµένου επιπέδου αφαίρεσης. Ένα πολυώνυµο, π.χ ένατριώνυµο, αποτελεί µία έκφραση, µία παράσταση της µορφής P(x) = 2x2+3x+1. Η32
    • παράσταση αυτή αποτελεί ήδη µία γενίκευση αφού ορίζει µία ισότητα η οποία µπορεί ναισχύει για άπειρα ζεύγη αριθµών (x0, P(x0)). Το νόηµα όµως του πολυωνύµου δενπεριορίζεται εδώ αφού µπορεί να θεωρηθεί ως ένα στοιχείο του συνόλου των πολυωνύµων,το οποίο µπορώ να προσθέσω, να αφαιρέσω και γενικά να εµπλέξω σε αλγεβρικήεπεξεργασία µε άλλα πολυώνυµα.Τι συµβαίνει όµως όταν στην θέση των συντελεστών του πολυωνύµου τοποθετήσωπαραµέτρους; ∆ηλαδή, ποιο είναι το νόηµα της έκφρασης P(x) = αx2+βx+γ; Εδώ πλέονέχουµε µία πολλαπλότητα πολυωνύµων που εκφράζεται µέσα από έναν γενικευµένο τύπο καιστο σηµείο αυτό εντοπίζεται η δυσκολία κατανόησης εκ µέρους των µαθητών του Γυµνασίουκαι του Λυκείου.Αυτός ο τυπικός, αυστηρός και αφηρηµένος µαθηµατικός συµβολισµός εµφανίζεται στουςµαθητές ως αυθαίρετος και πολλοί ειδικοί περί την διδακτική των µαθηµατικώνυπογραµµίζουν τις παρανοήσεις των µαθητών σχετικά µε τα γράµµατα της αλφαβήτου ταοποία χρησιµοποιούνται για να δηλώσουν άλλοτε µια µεταβλητή, άλλοτε µία παράµετρο καιάλλοτε έναν άγνωστο.Εάν επιχειρούσαµε να συνοψίσουµε τις δυσκολιες που παρουσιάζονται στην διδασκαλία τηςΆλγεβρας θα έπρεπε να εστιάσουµε στο πρόβληµα της νοηµατοδότησης των αλγεβρικώνσυµβόλων, των αλγεβρικών εκφράσεων και των µετασχηµατισµών που οι µαθητέςκαλούνται να εφαρµόσουν. Συγκεκριµένα το νόηµα που ο µαθητής αποδίδει στιςµαθηµατικές οντότητες όταν επιχειρεί να λύση ένα πρόβληµα Άλγεβρας, µπορεί ναπροέρχεται είτε αποκλειστικά και µόνο από τον χώρο της Άλγεβρας (π.χ. σωστή εφαρµογήτων κανόνων σύνταξης) είτε από έναν άλλο χώρο (αριθµητική, γεωµετρία, πραγµατικόςκόσµος κ.λ.π). Το νόηµα, για παράδειγµα, της ταυτότητας (α+β)3=α3+β3+3αβ(α+β) πηγάζειαπό το γεγονός ότι η σωστή εφαρµογή της επιµεριστικής ιδιότητας και στα δύο µέλη οδηγείστην ίδια αλγεβρική έκφραση, δηλαδή το νοηµα προέρχεται από την σωστή εφαρµογή τωνκανόνων αλγεβρικής επεξεργασίας. Το νόηµα όµως της ταυτότητας αυτής θα µπορούσε ναπροέρχεται από το γεγονός ότι οι αριθµητικές τιµές των δύο µελών της ταυτότηταςταυτίζονται κάθε φορά που κάνουµε αντικατάστση των α, β µε συγκεκριµένους αριθµούς.Τέλος, η ταυτότητα αυτή θα µπορούσε να αντλήσει νόηµα από µία γεωµετρική παράστασητων εκφράσεων που περιέχουν τα δύο µέλη της. Συγκεκριµένα ένας κύβος πλευράς (α+β) θαµπορούσε να αναλυθεί σε έναν κύβος πλευράς α, σε έναν κύβο πλευράς β, κα σε τρία ίσαορθογώνια παραλληλεπίπεδα µε διαστάσεις α, β, (α+β).33
    • Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται οι τρεις τρόποι νοηµατοδότησης της ταυτότητας. Αλγεβρική προσέγγιση Αριθµητική προσέγγιση Γεωµετρική προσέγγιση α β (α+β)3 α3+β3+3αβ(α+β) (α+β)3 1 2 27 27 3 (α+β) = -2 3 1 1 (α+β)(α+β)(α+β)= ……..= 0 2 8 8 α3+β3+3αβ(α+β) α3+β3+3αβ(α+β) …. …. ….. …… ….. ….. …… …..Η αλγεβρική προσέγγιση αποτελεί και την αυστηρή, τυπική απόδειξη της ταυτότητας ενώ οιδύο άλλες αποτελούν διαισθητικές προσεγγίσεις από τις οποίες όµως πηγάζει πλούσιο νόηµαγια τον µαθητή.Έχει θεωρηθεί ότι ένας τρόπος υπέρβασης της δυσκολίας κατανόησης των αλγεβρικώνσυµβόλων και παραστάσεων είναι η επίλυση λεκτικών προβληµάτων η οποία συνδέει τοναλγεβρικό συµβολισµό µε πραγµατικές καταστάσεις. Φαίνεται ότι η επίλυση προβληµάτωνδεν έχει αποδώσει τα επιδιωκόµενα αποτελέσµατα αφού παρατηρήθηκε το φαινόµενο οιµαθητές να περιορίζονται σε αποστήθιση κανόνων και µεθόδων αντιµετώπισης τωνπροβληµάτων χωρίς να κατανοούν τις έννοιες που χρησιµοποιούν.Τον εύλογο ερώτηµα λοιπόν που τίθεται είναι πού οφείλεται αυτή η υστέρηση σεαποτελεσµατικότητα και γιατί τα προβλήµατα κατανόησης εκ µέρους των µαθητώνπαραµένουν; Μία απάντηση θα µπορούσε να αναζητηθεί στον χώρο των εργαλείων πουδιαθέτουν οι µαθητές, συγκεκριµένα στο γεγονός ότι τα προ-τεχνολογικά στατικά µέσααναπαράστασης των εννοιών έχουν περιορισµένη διδακτική εµβέλεια. Η χρήση τουτετραδίου και του πίνακα στην αναπαράσταση των αλγεβρικών εννοιών απαιτεί ιδιαίτερεςνοητικές και αφαιρετικές δεξιότητες καθώς τα συγκεκριµένα στατικά µέσα δεν διαθέτουνδιαδραστικά χαρακτηριστικά, δηλαδή δεν αντιδρούν στις ενέργειες του µαθητή.34
    • 5.2 Η διδασκαλία της Άλγεβρας και η ψηφιακή τεχνολογίαΗ υποστήριξη της διδασκαλίας της Άλγεβρας από τα ψηφιακά εργαλεία θα µπορούσε νααποτελέσει µία πρόταση για το ξεπέρασµα πολλών δυσκολιών που σχετίζονται µε τα υψηλάεπίπεδα αφαίρεσης και τα στατικά µέσα που χρησιµοποιούνται στην παραδοσιακήδιδασκαλία της.Ας δούµε όµως ποια χαρακτηριστικά των λογισµικών που υποστηρίζουν την διδασκαλία τηςΆλγεβρας συµβάλλουν σε µία διαφορετική προσέγγιση της διδασκαλίας της.∆ιάδρασηΤα ψηφιακά εργαλεία για την εκµάθηση µαθηµατικών εννοιών, καθώς διαθέτουνδυνατότητες επικοινωνίας µε τον χρήστη, µπορούν επίσης να µετασχηµατίσουν τη διδακτικήδιαδικασία. Η διάδραση, δηλαδή η άµεση ανταπόκριση της µηχανής, και ο δυναµικόςχαρακτήρας της τεχνολογίας αλλάζουν θεµελιακά αυτά που η διδακτική µπορεί ναπροσφέρει στην υποστήριξη της µαθησιακής διαδικασίας.Για παράδειγµα η δυνατότητα να αλλάζουµε δυναµικά τους συντελεστές ενός τριωνύµου καιη µηχανή να µας αναφέρει άµεσα το πρόσηµο του τριωνύµου ή το πλήθος των ριζών δίνεινέα διάσταση στην διδασκαλία της έννοιας. Η διάσταση αυτή ενισχύει µία σηµαντική στάσητων µαθητών για την µάθηση των µαθηµατικών, αυτήν της διερεύνησης και τουπειραµατισµού.Ο καθηγητής έχει την δυνατότητα τώρα να σχεδιάσει µία διδακτική πορεία η οποία µπορείαφενός να υποστηρίξει το τρέχον αναλυτικό πρόγραµµα και αφετέρου να το επεκτείνει σεθέµατα τα οποία δεν είναι δυνατόν να αντιµετωπιστούν µε τα στατικά µέσα που συνήθωςχρησιµοποιούνται. Για παράδειγµα δεν είναι δυνατόν να γίνει διερεύνηση µέσα σε µίαπαραδοσιακή τάξη για τον τρόπο που µεταβάλλεται η γραφική παράσταση του τριωνύµουόταν µεταβάλλεται ο συντελεστής β ή και ο συντελεστής α.35
    • Εικόνα 1: Καθώς αλλάζουµε τις τιµές των συντελεστών η µηχανή δίνει όλες τις πληροφορίεςπου αφορούν στο τριώνυµο.Στο σηµείο αυτό θα πρέπει να τονίσουµε και ένα άλλο τεχνικό χαρακτηριστικό τωνψηφιακών µέσων, την ταχύτητα απόκρισης. Αν στο παράδειγµα της διδασκαλίας τηςταυτότητας (α+β)3 θελήσουµε να ακολουθήσουµε την αριθµητική προσέγγιση τότε οιαλεπάλληλες αντικαταστάσεις και αριθµητικές πράξεις θα δηµιουργήσουν αρνητική στάσητων µαθητών. Αν καταφύγουµε σε ένα ψηφιακό µέσον (π.χ το FP) τότε µπορούµε ναδηµιουργήσουµε στον µαθητή την αντίληψη ότι σε κάθε περίπτωση τα δύο µέλη τηςταυτότητας δίνουν το ίδιο αριθµητικό αποτέλεσµα µετά από θεωρητικά άπειρες δοκιµές.36
    • Πολλαπλές αναπαραστάσειςΑς έρθουµε τώρα σε ένα άλλο σηµαντικό χαρακτηριστικό των ψηφιακών µέσωνυποστήριξης της διδασκαλίας της Άλγεβρας, την δυνατότητα πολλαπλών και δυναµικάσυνδεδεµένων αναπαραστάσεων µιας αλγεβρικής έννοιας.Οι πολλαπλές αναπαραστάσεις µίας µαθηµατικής έννοιας αποτελούν µία δυνατότητα τωνψηφιακών τεχνολογιών η οποία συµβάλει στον µετασχηµατισµό της αντίληψής µας για τηνέννοια αυτή µε χαρακτηριστικό παράδειγµα την συνάρτηση.Η παρουσίαση της έννοιας της συνάρτησης στην σχολική πρακτική βασίζεται σε µίααυστηρά καθορισµένη σειρά ενεργειών: Χρήση του τύπου - κατασκευή πίνακα τιµών -αναπαράσταση σε άξονες. Τα σύγχρονα λογισµικά για την Άλγεβρα δίνουν την δυνατότητακατάργησης της σειράς αυτής και ενοποίησης όλων των αναπαραστάσεων µιας συνάρτησης.Για παράδειγµα στο λογισµικό Function Probe (FP) o πίνακας επικοινωνεί µε το γράφηµακαι αντιστρόφως, µπορούµε να αποκόψουµε σηµεία από το γράφηµα και να τα στείλουµεστον πίνακα. Ο τύπος της συνάρτησης όταν αλλάζει µεταφέρει τις αλλαγές στην γραφικήπαράσταση και αντιστρόφως, όταν επεµβαίνουµε στην γραφική παράσταση προβάλλονται οιµεταβολές που υφίσταται ο τύπος της συνάρτησης.Εικόνα 2: Πολλαπλές αναπαραστάσεις της συνάρτησης37
    • Εικόνα 3: ∆υναµική διασύνδεση των αναπαραστάσεων της αρχικής και της νέας συνάρτησηςy=0.5(0.5x^2)Τα παραπάνω χαρακτηριστικά ενός αλγεβρικού λογισµικού δίνουν την δυνατότηταδιερεύνησης και πειραµατισµού µε τις αλγεβρικές έννοιες και µελέτης του τρόπου µε τονοποίο συνδέονται.Ανάδειξη των πολλαπλών πτυχών µιας έννοιαςΜία µαθηµατική έννοια συχνά διαθέτει ένα πλήθος από πτυχές οι οποίες περιγράφονται καιαναλύονται σε διαφορετικά σηµεία του ωρολογίου προγράµµατος ίσως δε και σεδιαφορετικά εγχειρίδια. Ένα σύγχρονο αλγεβρικό λογισµικό επιτρέπει την ανάδειξη τωνπτυχών αυτών µέσα από διαφορετικές λειτουργικότητες που διαθέτει. Το σηµαντικό λοιπόνκατά την χρήση του λογισµικού είναι η αναζήτηση τρόπων διδακτικής αξιοποίησης τωνλειτουργιών του λογισµικού και η εµπλοκή των µαθητών µε τρόπο που αυτές θα τουςεπιτρέψουν την προσέγγιση και σύνδεση των πτυχών της µαθηµατικής έννοιας.Ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι η έννοια της παραγώγου. Αν επιχειρήσουµε νααπαριθµήσουµε τις πολλαπλές πτυχές της έννοιας τότε θα έπρεπε να αναφέρουµε ότι ηπαράγωγος είναι:Όριο ενός λόγου.Κλίση της εφαπτοµένης σε ένα σηµείο της γραφικής παράστασης.38
    • Η εικόνα της συνάρτησης κοντά σε ένα σηµείο, δηλαδή η µεγέθυνσή της σε µία περιοχή τουσηµείου αυτού.Τιµή µιας συνάρτησης (της παραγώγου) σε ένα σηµείο x0.Ας δούµε τώρα µε ποιον τρόπο, µε ποιες λειτουργικότητες ενός αλγεβρικού λογισµικού,όπως είναι το FP, αναδεικνύονται οι πτυχές αυτές.Όριο ενός λόγουΟ πίνακας τιµών του λογισµικού και η δυνατότητα να εκτελούµε πράξεις µεταξύ των τιµώνδύο στηλών του επιτρέπει τον υπολογισµό του πηλίκου (ψ2 – ψ1)/(χ2 – χ1) για πολύ κοντινέςτιµές των χ1 και χ2.Κλίση της εφαπτοµένης σε ένα σηµείο της γραφικής παράστασης.Το λογισµικό διαθέτει λειτουργία κατασκευής εφαπτοµένης σε ένα σηµείο και στην συνέχειαµε άλλη λειτουργικότητα µετρά την κλίση της. Εικόνα 4: Η εφαπτοµένη και η κλίση τηςΗ εικόνα της συνάρτησης κοντά σε ένα σηµείο, δηλαδή η µεγέθυνσή της σε µία περιοχή τουσηµείου αυτού.Το λογισµικό διαθέτει την λειτουργικότητα της µεγέθυνσης (zooming) οπότε ο µαθητής έχειτην δυνατότητα να διερευνήσει την µορφή της γραφικής παράστασης κοντά σε ένα σηµείοτης.39
    • Εικόνα 5: 0≤χ≤4 και 0≤ψ≤4 1,5≤χ≤2,5 και 1,5≤ψ≤2,5 1,9≤χ≤2,1 και1,8≤ψ≤2,2Τιµή µιας συνάρτησης (της παραγώγου) σε ένα σηµείο x0.Το λογισµικό έχει την δυνατότητα κατασκευής της γραφικής παράστασης της συνάρτησηςαλλά και της παραγώγου της συνάρτησης στο ίδιο σύστηµα αξόνων οπότε δίνεται ηδυνατότητα στον µαθητή να µελετά τις τιµές της συνάρτησης σε συνδυασµό µε τιςαντίστοιχες τιµές της παραγώγου. Εικόνα 6: Γραφική παράσταση της f και της f΄Προφανώς οι δυνατότητες που παρέχει στην διδασκαλία της Άλγεβρας ένα κατάλληλολογισµικό δεν εξαντλούνται στις παραπάνω περιπτώσεις. Αυτό που θα πρέπει ναυπογραµµιστεί για µία επιπλέον φορά είναι ότι το σηµαντικό κατά την χρήση της ψηφιακής40
    • τεχνολογίας στην διδασκαλία είναι οι τρόποι µε τους οποίους οι µαθητές εµπλέκονται σεδραστηριότητες µε το λογισµικό και όχι µόνο οι λειτουργικότητες του λογισµικού.5.3 ΣύνοψηΑνακεφαλαιώνοντας την µικρή αυτή αναφορά στην διδασκαλία της Άλγεβρας µε χρήση τηςψηφιακής τεχνολογίας θα πρέπει να υπογραµµίσουµε ότι:Οι διδακτικές δυσκολίες στην κατανόηση των αλγεβρικών εννοιών και προτάσεων εκτός τωνάλλων εντοπίζονται:α) Στο υψηλό επίπεδο αφαίρεσης των συµβόλωνβ) Στην έλλειψη σύνδεσης των συµβόλων µε άλλες έννοιες ώστε να αποκτήσουν νόηµα.γ) Τα στατικά µέσα που χρησιµοποιούνται κατά την διδασκαλία της άλγεβρας.Οι δυνατότητες των ψηφιακών µέσων υποστηρίζουν την διδασκαλία της Άλγεβρας µέσα απότα παρακάτω χαρακτηριστικά.α) Είναι διαδραστικά, δηλαδή αντιδρούν στις ενέργειες του χρήστηβ) ∆ίνουν την δυνατότητα πολλαπλών συνδεδεµένων αναπαραστάσεων της ίδιας έννοιαςγ) ∆ίνουν την δυνατότητα δυναµικού χειρισµού των αναπαραστάσεων της έννοιας.δ) ∆ίνουν την δυνατότητα διερεύνησης και πειραµατισµού µε τις αλγεβρικές έννοιες.ε) Επιτρέπουν την ανάδειξη πολλαπλών πτυχών της ίδιας µαθηµατικής έννοιας µέσα από τιςδιαφορετικές λειτουργίες που διαθέτουν.41