1. 可分离变量方程是可积方程的最基本形式，
其它类型的可积分方程最终都是化为可分离变量
方程求解的，掌握可分离变量方程解的存在性理
论是理解用积分法解微分方程的基础。

2. 求解微分方程的前提是方程必需有解，从微积分讨
论角度考虑，还希望方程的解能够由初等函数表示，那
些能由初等函数表示的解称为初等解(公式解)。
遗憾的是，一般的微分方程未必有初等解，即便对
最简单的一阶方程也是如此。

3. 尽管一般的微分方程未必总有公式解，但通过对各
类微分方程的研究，人们还是找到了一些方程，它们的
解可以由初等函数表示。

5. 由于高阶方程通常总是通过降阶化为一阶方程求解
的，因此求解微分方程的基础是一阶方程的求解。
对可积型方程，求解的方法是设法通过积分消去方
程中的导数或微分记号。
• 一阶可积型方程的求解原理

6. 一阶方程的一般形式为 F( x,y,y)= 0，为能够对
微分方程中未知函数的导数进行积分，一阶微分方程
F( x,y,y)= 0 需满足两个条件
• 可积型方程的求解条件

7. 所谓导数可解出的一阶方程是指如下形式的方程
y = f( x,y)或 P( x,y)d x +Q( x,y)dy = 0．
对于这类方程，由于积分只能对单变量函数计算，
故只有当 f(x,y)或 P(x,y)、Q(x,y)可分离变量时，
才能对其进行积分，即方程必需可化为如下形式
• 导数可解出的可分离变量的方程
y = f( x,y)= h( x)
g(x)
h1( x)
g1(x)
dx + h2( x)
g2(x)
dy = 0

8. 由上讨论，对一阶方程 F( x,y,y)= 0 ，可直接由
积分法求解的方程的一般形式为
y = f( x,y)= h( x)· g( y)， g( y) 0，
或 h1( x)· g1( y)dx + h2( x)· g2( y)dy = 0，
其中 g1( y)、 h2( x) 0.
一般地，若一阶方程可写成 g( y)dy = f( x)dx
的形式，就称其为可分离变量方程。将方程化为这
一形式的步骤称为分离变量。

9. 设有可分离变量方程 g( y)dy = f(x)dx，g( y) 0,
考察方程解的存在性。
确定解存在性即考察有解条件
先确定该命题成立的必要条件
再由必要条件讨论其充分条件

10. 证
方程有解的必要条件
由于当 f( x )、g( y )都是 I 上的连续函数时，它们的原函
数一定存在，因此为能由积分法消去微分记号，通常要求函数
f(x)、g(y)都在某区间 I 上连续。
设可分离变量方程 g(y)dy = f( x)dx 有解，即存
在函数 y = ( x)，使得 g[ ( x)]d(x) f(x)dx．
设 f( x)、g( y)原函数分别为 F( x)、G( y)，则
∫f( x)dx = F( x)+C1，
∫g( y)dy = G(y)+C2．

11. 在方程 g[( x)]d( x)= f( x)dx 两边分别求不
定积分有
∫f(x)dx = F(x)+C1，
∫g[(x)]d(x)= ∫g(y)dy = G(y)+C2．
于是可得关系式
G(y)= ∫g[(x)]d(x)= ∫f(x)dx = F(x)+C ．
因此，若可分离变量方程 g( y)dy = f( x)dx 有解，
则 f( x)、g(y)的原函数 F( x)、G(y)满足关系式
U( x,y)= G( y)-F( x)= C
这一结果是在假定方程有解的条件下得到的，因此可认为
是一种方程有解的必要条件。

12. 分析必要条件 U( x,y )= G( y )-F( x )= C
g( y)dy = f( x)dx
满
足
隐
函
数
存
在
定
理
条
件
U(x,y)= G(y)-F(x)= C
方程可确定隐函数 y = y(x)
验证该隐函数是原方程的解
如果能证明由方程确定隐函数 y= y(x)满足微分方程，求
得的隐函数关系式 U( x,y )= G(y)-F(x)= C 就是微分方程的
解，从而也就证明了可分离变量方程的解的存在性。

13. 必要条件的充分性
设有可分离变量方程 g( y)dy = f( x)dx，要证由
积分法所得方程 U( x,y)= G( y)- F( x)= C 确定的隐
函数 y = y( x)就是方程的解。
因为 Uy(x,y)= G(y)= g(y) 0，由隐函数求导
规则 d y
d x
=-
Ux( x,y)
Uy( x,y)
=-
−Fx(x)
Gy(y)
=
f(x)
g[y(x)]
，
即有 g[y( x)]dy(x)= f( x)dx．
因此隐函数 y = y(x)就是给定可分离变量方程的
解，即可分离变量方程的解存在。

14. • 理论意义
在函数 f( x),g( y)连续，且 g(y) 0 的条件下，
可离变量方程 g( y)dy = f( x)dx 一定有解。
可分离变量方程的通解可直接由积分法求得，
通解形式为G( y)= ∫g(y)dy = ∫ f( x)dx = F( x)+C．
可分离变量方程是唯一可直接由积分方法求解
的一阶常微分方程形式。

15. • 可分离变量方程的求解步骤
判别给定方程是否为可分离变量方程
由方程 F( x,y,y)= 0 解出导数 y= f( x,y)；
考察 f( x,y)是否可分离变量，即是否有
f( x,y)= h( x)· g( y)．
分离变量、积分求通解
将可分离变量方程写成标准形式
g( y)dy = f( x)dx,
方程两边积分求通解
G( y)= ∫g( y)dy = ∫f( x)dx = F( x)+C．

16. 例：求方程 y- xy = a( y2 + y)的通解。
考察方程是否属某种可解方程
根据方程的类型采取相应解法
化方程为导数式标准进行判别

17. 解
判别方程类型
由于方程的标准形式通常由导数式给出，因此判
别方程类型，首先应考虑解出未知函数的导数。
对于本例，将方程 y- xy= a( y2 + y)作恒等变
形，解出导数有
y = dy
dx
= y−ay2
x +a ．
由此可看出给定方程为可分离变量方程。
所谓判别方程类型，通常就是观察或改写给定方程，考察
其是否符合某种可解方程的标准形式。

18. 分离变量并积分
对方程 dy
dx
= y−ay2
x +a 分离变量有
dy
y−ay2 = dx
x +a ．
两边积分有
dy
y−ay2
=
dx
x+a
,
其中
dx
x+a
= 𝐥𝐧x +a+ lnC1 = lnC1x +a,
dy
y − ay2
=
dy
y(1−ay)
=
1
y
−
1
1−ay
dy
= ln| y | − l n |1−ay |−lnC2 = ln
1
C2
y
1−ay
，

19. 整理积分结果、写出方程通解
由上一步计算求得
ln
1
C2
y
1−ay
= lnC1x +a，
消去绝对值号有
y
y−ay
=C1C2(x −a)，
记 C = C1C2，求得方程的通解为
y
y−ay
=C(x −a)．

20. 例：求方程 x2ydx =( 1- y2 - x 2y2 + x2 )dy 满足初始条
件 y(0)= 1 的特解。
一阶微分方程初值问题
先求出给定方程的通解
再由初始条件求得特解

21. 解
判别方程类型
方程 x2ydx =( 1- y2 - x 2y2 + x2 )dy 由对称形式给
出，因此考察该方程是否为可分离变量就是相应地考
察 dx、dy 的系数函数是否可分离变量。
由于dx 的系数函数显然可分离变量，故关键是
考察 dy 的系数是否可分离变量。
1 - y2 -x2y2 + x2 =( 1- y2)-x2( y2 -1)
=( 1- y2 )( x2 +1).
于是可知，给定方程为可分离变量方程。

22. 分离变量并凑微分
将给定方程改写成 x2ydx =( 1-y2)( x2 +1)dy，
分离变量有
x2
x2 +1
dx= 1−y2
y dy．
微分方程计算目的是求方程通解，故对可分离变
量方程，在可能情况下，可尽量采用凑微分法求解。
方程两边分别凑微分有
x2
+1−1
x2+1
dx = 1−
1
x2+1
dx =d(x-arctanx)，
1− y2
y dy =
1
y
− y dy=d ln|y|−
1
2
y2 ．

23. 写出微分方程的隐式通解
由上一步的讨论，原微分方程等价于如下方程
d( x - arctanx)- d( lny- y2
/2)
= d( x - arctanx - lny+ y2
/2)
= dU( x,y)= 0．
由微分的性质有
U(x,y)= x - arctanx - lny+ y2
2
= C．
由可分离变量解的存在性讨论知，上式等价于原
微分方程，且由于其含有一个任意常数，因而它就是
方程的隐式通解。

24. 代入初始条件求特解
将初始条件 y(0)= 1 代入方程通解有
U(0,1)= x − arctanx − lny− y2
2 x = 0
= C．
即有 0 - arctan0 = ln1- 1
2
= C，
故解得方程满足初始条件的特解为
x − arctanx = lny∗ − (y∗)
2
2
+ 1
2
= 0．

25. 例：由物理学知道，物体冷却的速率与当时的物体温度
和周围环境温度之差成正比。今把 100 º C 的沸水注入
杯中，放在室温为 20º C 的环境中自然冷却，5 min 后
测得水温为60ºC . 求水温 u(ºC )与时间 t(min )之间
的函数关系。

26. 由问题条件，直接建立
水温 u 与时间 t 之间的函数
关系是不便的。
冷却定律所描述的是物
体冷却速率与相关因素的关
系，为此考虑先建立水温冷
却速率与相关因素的微分方
程，再通过求解微分方程导
出所求函数关系式。

27. 解
由条件布列方程
设经 tmin后水温为 uºC，则水温变化速率为
du
dt
.
已知水温冷却速度与温差成正比，设比例系数为
k( k > 0). 根据物理条件有
du
dt
= -k(u-20)．
且满足 t = 0 时，u = 100，t = 5 时，u = 60．
容易看出，这是个可分离变量方程的初值问题。
求出此初值问题的解便可求得水温 u 与时间 t 的
函数关系式 u = u( t)．

28. 求解初值问题方程
对初值问题方程
du
dt
= -k(u-20)分离变量有
du
u−20
= -kdt．
由于此冷却过程的水温总不会低于室温，即总有
u( t)> 20. 于是在方程两边积分可求得其通解为
ln( u- 20)= -kt +C1．
即 u- 20 = e-kt+C1
．记 C = eC1
，则有
u= 20 + Ce-kt
．

29. 确定解初值问题的参数及任意常数
初值问题方程的通解 u= 20 + Ce-kt
含两个待定常
数，一个是通解中的任意常数C，一个是反映水温变
化速率的参数k，确定这两个常数需两个条件。
在通解 u= 20 + Ce-kt
代入条件 ut = 0 = 100 有
100 = 20 + Ce0
，解得 C = 80，即有
u= 20 + 80e-kt
，
在上式代入条件 ut = 5 = 60 有
60 = 20 + 80e-5k
，解得 e-k
=
1
2
1
5
．
于是求得所求函数关系式为
u= 20 + 80
1
2
1
5
e-t
．

30. 确定解初值问题的参数及任意常数
在通解 u= 20 + Ce-kt
代入条件 ut = 0 = 100 有
100 = 20 + Ce0
，解得 C = 80，即有
u= 20 + 80e-kt
，
在上式代入条件 ut = 5 = 60 有
60 = 20 + 80e-5k
，解得 e-k
=
1
2
1
5
．
于是求得水温与时间的函数关系式为
u= 20 + 80
1
2
1
5
e-t
．
初值问题方程的通解 u = 20 + Ce -kt
含两个待定常数，一
个是通解中的任意常数C，一个是反映水温变化速率的参数k，
确定这两个常数需两个条件。

31. 例：设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成
正比( 比例系数为k, k > 0)，并设降落伞脱钩时( t = 0)
的速度为零。求降落伞下落速度与时间的函数关系。
1f mg
2f kv
先分析降落过程中的受力情况
降落过程中受到两个力的作用
质点所受外力 F = f1 - f2 = mg - kv

32. 解
由条件布列方程
设降落伞下落速度为 v(t)，由降落伞下落过程的
受力情况分析有 F = f1 -f2 = mg-kv．
根据牛顿第二定律
F =ma=m
dv
dt
．
于是可得函数 v( t)所满足的微分方程为
m
dv
dt
=mg- kv，且其满足条件 vt = 0 = 0．
容易看出，这是个可分离变量方程的初值问题。
求出此初值问题的解便可求得降落伞下落速度与
时间的函数关系 v = v( t)．

33. 对初值问题方程 m
dv
dt
=mg- kv 分离变量有
dv
mg −kv
= -
1
m
dt．
在方程两边积分有
dv
mg −kv
=
dt
m
，
求得 -
1
k
ln(mg −kv)=
t
m
+C1  mg−kv= e −
kt
m
−kC1
，
即 v=
mg
k
−Ce −
kt
m ，其中 C=
1
k
e−kC1 t ．
求解初值问题方程
由于降落伞受合力 F = mg - k v 作用而下落，故下落速度
v(t)的方向与 F 方向一致，即总有 mg - kv> 0．

34. 确定解初值问题的任意常数
在通解 v=
mg
k
−Ce−
kt
m 中代入条件 vt = 0 = 0有
0=
mg
k
−C，解得 C =
mg
k
，
于是求得降落伞下落速度与时间的函数关系为
v=
mg
k
1 −e−
kt
m ，t(0,T )．