Bab11                                                                               Gerak dalam                           ...
Soal Pramateri                     A      Persamaan Gerak Benda1.   Apakah perbedaan     antara besaran vektor     dan ska...
2. Perpindahan     Perpindahan adalah perubahan posisi (kedudukan) suatu benda dalam                       ywaktu tertentu...
Δy    6    3                                     Arah perpindahan vektor itu adalah tan θ =      =    =    sehingga θ = 37...
Perhatikanlah Gambar 1.7. Gambar tersebut menunjukkan grafikperpindahan benda dari titik P ke titik Q menurut sumbu-x.    ...
Dari gambar tersebut, dapat Anda lihat bahwa kemiringan garis yang                                       menyatakan kecepa...
Besar kecepatan rata-rata partikel adalah     v = 32 + 4 2 = 5 m/s.c.   Vektor kecepatan partikel sebagai fungsi waktu dit...
Perlu Anda                          4. Menetukan Posisi dari Fungsi Kecepatan      Ketahui                          Fungsi...
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa besar perpindahan bendasama dengan luas di bawah kurva kecepatan sebagai fungsi w...
a. Percepatan Rata-Rata                                                  Perhatikanlah Gambar 1.12. Grafik kecepatan terha...
JawabDiketahui: v(t) = 2t2 – 3t + 10.a.   Untuk menghitung percepatan rata-rata, tentukan lebih dahulu Δ v dan Δ t     seb...
Contoh 1.7                                         Sebuah benda bergerak dengan kecepatan awal 3 m/s. Jika benda mengalami...
Oleh karena v (t) = v0 + at maka                                           s            t            t                    ...
Soal Penguasaan Materi 1.1Kerjakanlah di dalam buku latihan Anda.1. Seekor semut bergerak dari titik A (–2, 5) ke titik B ...
Adapun, jarak mendatar yang ditempuh oleh sebuah benda ditentukan olehpersamaan                           x = vx t = v0cos...
vy = v0y – gtAB                                                                             0 = v0 sin α – gtAB           ...
Contoh 1.9Dari titik A di tanah, sebuah bola dilemparkan dengan kecepatan awal 20 m/s dansudut elevasi 37° (sin 37° = 0,6)...
Contoh 1.10               Jangan              Sebuah benda dilemparkan dari puncak sebuah gedung yang tingginya 40 m.     ...
2)   Dari gerak horizontal diperoleh kelajuan v sebagai berikut                         X     4m     X = v0xt = vt → v =  ...
d.   waktu untuk mencapai jarak maksimum, dan                                    e.   jarak mendatar maksimum tembakan.   ...
Perhatikanlah Gambar 1.17 berikut. Pada gambar tersebut ditunjukkan                                                       ...
02 bab1
02 bab1
02 bab1
02 bab1
02 bab1
02 bab1
02 bab1
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

02 bab1

4,739

Published on

0 Comments
3 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
4,739
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
84
Comments
0
Likes
3
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

02 bab1

  1. 1. Bab11 Gerak dalam Dua Dimensi Sumber: www.rit.eduPada bab ini, Anda akan diajak untuk dapat menganalisis gejala alam dan keteraturannyadalam cakupan mekanika benda titik dengan cara menganalisis gerak lurus, gerak melingkar,dan gerak parabola dengan menggunakan vektor. Pernahkah Anda menjentikkan uang logam dengan jari Anda? Jika Anda A. Persamaan Gerakpernah melakukannya dan dapat mengamati bentuk lintasan yang dibentuk Bendasaat uang logam itu bergerak, Anda akan dapat melihat bahwa lintasan B. Gerak Parabolatersebut berbentuk parabola. Bentuk lintasan uang logam yang berbentuk C. Gerak Melingkarparabola tersebut dapat difoto menggunakan stroboscope, seperti terlihat padagambar. Di Kelas X, Anda telah mempelajari gerak lurus dan gerak melingkar.Dalam materi bab ini, Anda akan mempelajari tentang gerak secara ke-seluruhan, yaitu gerak lurus, gerak parabola, dan gerak melingkar denganmenggunakan analisis vektor, perhitungan diferensial, dan integral. Setelah mempelajari materi bab ini, Anda akan memahami bahwa gerakparabola dapat dianalisis melalui perpaduan antara gerak lurus beraturan(GLB) dan gerak lurus berubah beraturan (GLBB) yang arahnya saling tegaklurus. Dapatkah Anda menyebutkan contoh-contoh gerak keseharian lainyang lintasannya berbentuk parabola? 1
  2. 2. Soal Pramateri A Persamaan Gerak Benda1. Apakah perbedaan antara besaran vektor dan skalar? Apakah yang dimaksud dengan gerak? Banyak definisi telah dikemuka-2. Sebutkanlah definisi kan oleh para ilmuwan untuk mendeskripsikan gerak. Namun, secara Fisika posisi, perpindahan, Anda dapat menyatakan bahwa gerak ditentukan karena adanya kelajuan, kecepatan, dan percepatan. kecepatan, dan percepatan benda. Seluruh kajian tentang gerak benda yang3. Jelaskanlah pengertian Anda pelajari akan berhubungan dengan kedudukan benda, kecepatan, kecepatan sudut. percepatan, dan waktu. Dalam membahas tentang gerak benda, seringkali benda dimisalkan sebagai partikel atau benda titik, yaitu benda yang ukurannya diabaikan dan memiliki massa tetap (konstan). Hal ini di- maksudkan untuk memudahkan dalam mempelajari gerak benda tersebut. y Di Kelas X, Anda telah mempelajari tentang gerak lurus dan gerak melingkar, serta hubungan antara gaya dan percepatan. Dalam bab ini, Anda akan mempelajari materi tentang gerak dengan lebih dalam menggunakan perhitungan vektor, diferensial, dan integral. j x 1. Vektor Posisi o i Di Kelas X, Anda telah mempelajari bahwa besaran dalam Fisika Gambar 1.1 digolongkan ke dalam dua kelompok, yaitu besaran skalar dan besaran Vektor satuan i pada arah vektor. Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja, sumbu-x dan vektor satuan j sedangkan besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. pada arah sumbu-y. Bandingkanlah kedua pernyataan berikut. Mobil Ali bergerak dengan kecepatan 60 km/jam ke utara. Mobil Budi bergerak dengan kelajuan 60 y km/jam. Manakah dari dua pernyataan tersebut yang merupakan besaran vektor? Kecepatan memiliki besar dan arah sehingga disebut sebagai besaran yj A vektor, sedangkan kelajuan hanya memiliki besar saja sehingga disebut sebagai besaran skalar. Apabila benda dianggap sebagai benda titik, atau r = xi + yj partikel, posisi benda tersebut pada suatu bidang dapat dinyatakan dengan x vektor posisi r, yaitu sebuah vektor yang ditarik dari titik asal sampai ke o xi posisi titik tersebut berada. Vektor posisi r suatu partikel pada bidang xy dapat dinyatakan sebagai berikut. Gambar 1.2 Posisi titik A dinyatakan r = xi + yj (1–1) dalam vektor posisi dengan rA = xi + y j . dengan (x, y) adalah koordinat partikel, sementara i dan j adalah vektor satuan yang menyatakan arah pada sumbu-x dan sumbu-y. Vektor satuan memiliki nilai 1 satuan. Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah Gambar 1.3 berikut. y (cm) 5 Gambar 1.3 4 Posisi titik A apabila 3 Adinyatakan dalam vektor posisi rA=(5i + 3j) cm. 2 1 rA x (cm) 0 1 2 3 4 5 Posisi partikel A di bidang xy adalah pada x = 5 cm dan y = 3 cm, atau pada koordinat (5, 3). Vektor posisi partikel A dinyatakan sebagai berikut. rA = xAi + yA j = (5i + 3j) cm. 2 Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI
  3. 3. 2. Perpindahan Perpindahan adalah perubahan posisi (kedudukan) suatu benda dalam ywaktu tertentu. Sebuah partikel berpindah dari titik P ke titik Q menurut Qlintasan kurva PQ, seperti pada Gambar 1.4. Apabila posisi titik P dinyatakan Psebagai rP dan posisi titik Q dinyatakan sebagai rQ maka perpindahan yang Δrterjadi dari titik P ke titik Q tersebut adalah vektor Δ r, yaitu rP rQ Δr = rQ – rP (1–2) Persamaan (1–2) jika diubah dalam kalimat dapat dinyatakan bahwa xperpindahan suatu benda sama dengan posisi akhir benda dikurangi posisiawal. Gambar 1.4 Bagaimanakah cara menentukan besar perpindahan yang dilakukan oleh Garis putus-putus menyatakanpartikel tersebut? Setiap benda membutuhkan waktu untuk berpindah atau lintasan partikel. Perpindahan posisi partikel dari posisi awalmengubah kedudukannya. Dalam kasus perpindahan tersebut, pada saat t = t1, di titik P ke posisi titik Qpartikel berada di titik P dengan vektor posisinya rP. Pada saat t = t2, partikel dinyatakan dengan Δr..berada di titik Q dengan vektor posisinya rQ. Kemudian, apabila rP= (xPi + yPj) dan rQ = (xQi + yQj), Persamaan (1–2)dapat dituliskan menjadi rPQ = (xQi + yQj) – (xPi + yPj) = (xQ – xP)i + (yQ – yP)j.Apabila xQ – xP = Δx dan yQ – yP = Δy, serta perpindahan yang dilakukan ypartikel rPQ dinyatakan sebagai Δr, Persamaan (1–2) berubah menjadi Q Δr Δr = Δxi + Δyj (1–3) P Δy θ ΔxOleh karena besar perpindahan partikel Δr sama dengan panjang vektor Δrmaka dapat dituliskan rP rQ | Δr| = ( Δx )2 + ( Δy)2 (1–4) x Arah perpindahan partikel dapat ditentukan dari besar sudut yang Gambar 1.5dibentuk oleh vektor perpindahan Δ r terhadap sumbu-x. Perhatikanlah Perpindahan vektor Δ r menurutGambar 1.5 berikut. sumbu-x adalah sebesar Δ x dan Apabila sudut yang dibentuk oleh vektor perpindahan Δ r terhadap menurut sumbu-y sebesar Δ y.sumbu-x adalah θ , arah perpindahan vektor Δr dinyatakan sebagai Δy tan θ = (1–5) Δx Contoh 1.1Sebuah titik materi bergerak dari titik P (3, 2) ke titik Q (11, 8). Tuliskanlah vektorposisi titik itu ketika berada di titik P dan di titik Q. Hitunglah vektor perpindahandari titik P ke titik Q serta besar dan arah vektor perpindahan tersebut.JawabDiketahui: koordinat di titik P (3, 2) dan di titik Q (11, 8).Vektor posisi di titik P (rP) dan vektor posisi di titik Q (rQ) adalahrP = 3i + 2jr Q = 11i + 8jVektor perpindahan dari titik P ke titik Q adalah Δ r yang diperoleh sebagai berikut Δ r = rQ – rP = (11i + 8j) – (3i + 2j) Δ r = 8i + 6jBesar vektor Δr adalah| Δ r| = 8 2 + 6 2 = 100 = 10 satuan Gerak dalam Dua Dimensi 3
  4. 4. Δy 6 3 Arah perpindahan vektor itu adalah tan θ = = = sehingga θ = 37° Δx 8 4 Jadi, vektor perpindahan adalah Δr = 8i + 6j, panjang perpindahannya 10 satuan, dan sudut arah perpindahannya 37° terhadap arah sumbu-x positif. Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah gambar berikut. y 8 Δr 2 θ rP rQ x 0 3 11 3. Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat Secara matematis, kecepatan didefinisikan sebagai perubahan posisi per satuan waktu. Di Kelas X, Anda telah mempelajari tentang kecepatan yang terbagi atas kecepatan rata-rata dan kecepatan sesaat. Sekarang, Anda akan membahas analisis mengenai kedua jenis kecepatan tersebut ditinjau dari perhitungan vektor. a. Kecepatan Rata-Rata Perhatikanlah Gambar 1.6. Posisi benda di titik P pada saat t dinyatakan sebagai r. Kemudian, benda tersebut berpindah selama selang waktu Δt sejauh Δr sehingga pada saat t + Δt, benda berada di titik Q dengan posisi r + Δr. y Q Δr P r + Δr r Gambar 1.6Sebuah benda berpindah secara Δt x linear dari titik P ke titik Q. 0 t1 t2 Berdasarkan Persamaan (1–3) dapat dituliskan perpindahan posisi benda adalah sebagai berikut. Δr = (r + Δr) – r Berdasarkan definisi matematis kecepatan, dapat dituliskan v= ( r + Δr ) − r = Δr (1–6) (t + Δt ) − t Δt Δr dengan v atau disebut kecepatan rata-rata. Kecepatan rata-rata Δt benda dalam arah sumbu-x dan sumbu-y dapat dicari dengan cara memasukkan nilai Δr dari Persamaan (1–3) sebagai berikut. Δx i + Δy j Δx Δy v= = i+ j (1–7) Δt Δt Δt4 Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI
  5. 5. Perhatikanlah Gambar 1.7. Gambar tersebut menunjukkan grafikperpindahan benda dari titik P ke titik Q menurut sumbu-x. x x2 Q Gambar 1.7 Apabila gerak benda hanya pada Δ x = x2 – x1 arah sumbu-x maka kecepatan x1 P rata-rata benda v x adalah Δ t = t2 – t1 kemiringan garis yang menghubungkan titik P dengan Δx t titik Q, yaitu . t1 t2 Δt Dari grafik tersebut dapat dilihat bahwa selama selang waktu Δt, bendaberpindah sejauh Δx. Oleh karena itu, kecepatan rata-rata benda dalam arah Δxsumbu-x, yaitu dituliskan dengan lambang vx . Apabila benda tersebut Δtjuga berpindah menurut sumbu-y, kecepatan rata-rata benda dalam arah Δysumbu-y, yaitu dituliskan dengan lambang v y . Dengan demikian, Δtkecepatan rata-rata sebuah benda pada bidang xy dapat dituliskan sebagaiberikut. Δr v= = v xi + v y j (1–8) Δt Besar kecepatan rata-rata benda dapat dihitung menggunakan per-samaan berikut. | v| = vx2 + vy2 (1–9) Perlu Andab. Kecepatan Sesaat Ketahui Kecepatan sesaat suatu benda dapat diketahui dengan cara menghitung dr dx , dan dy disebutkecepatan rata-rata benda tersebut untuk selang waktu yang sangat singkat , dt dt dtatau Δt mendekati nol. Penulisannya secara matematis adalah sebagai berikut. fungsi turunan posisi (r, x, atau y) terhadap waktu t. Δr lim v = Δt → 0 v = Δ t → 0 lim (1–10) Rumus fungsi turunan: Δt dr r = at n → = nat n −1 Perhatikanlah Gambar 1.8 berikut. dt contoh: dr x r = 3t 4 → dt ( = (4 )(3) t 4 −1 ) S = 12t 3 R Q P Δ t3 Gambar 1.8 Grafik x terhadap t untuk selang Δ t2 waktu Δ t yang semakin kecil. Δ t1 t t1 t2 t3 t4 Gerak dalam Dua Dimensi 5
  6. 6. Dari gambar tersebut, dapat Anda lihat bahwa kemiringan garis yang menyatakan kecepatan rata-rata suatu benda akan semakin curam apabila selang waktu perpindahannya semakin kecil. Oleh karena itu, kecepatan sesaat dapat didefinisikan sebagai kemiringan garis tangensial pada titik P, yaitu turunan posisi terhadap waktu. Pada Gambar 1.8, kecepatan sesaatnya secara matematis dituliskan sebagai berikut. lim Δ x = dx v = Δt → 0 (1–11) Δt dt Dalam kajian vektor, kecepatan sesaat benda yang bergerak menurut sumbu-x dan sumbu-y dinyatakan sebagai berikut. Δr dr dx dy v = lim = = i+ j (1–12) Δ→ t 0 Δt dt dt dt dx dyy Oleh karena = vx dan = vy maka Persamaan (1–12) dapat dituliskan vy v dt dt menjadi P θ v = vxi + vy j (1–13) vx Besarnya kecepatan sesaat atau kelajuan rata-rata benda dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut. |v| = vx2 + vy2 (1–14) x Perhatikanlah Gambar 1.9. Dari grafik kecepatan terhadap waktu benda Gambar 1.9 di titik P yang memiliki kecepatan v, arah kecepatan benda di titik tersebut Arah percepatan v di titik P terhadap sumbu-x dinyatakan dengan θ . terhadap sumbu-x positif. Besar θ secara matematis, dapat diperoleh sebagai berikut vy tan θ = (1–15) vxPerlu Anda dengan: vx = v cosθ , dan Ketahui vy = v sinθ .Pada buku ini, besaranvektor ditulis dengan huruftebal dan miring, Contoh 1.2contohnya: r, v, a. Adapun, Sebuah partikel sedang bergerak pada suatu bidang dengan sumbu koordinat xvektor satuan ditulis dan y. Posisi partikel berubah terhadap waktu mengikuti persamaan r = (6 + 3t)i +dengan huruf tebal dantegak, contohnya: i, j, (8 + 4t)j dengan r dalam meter dan t dalam sekon. Tentukanlah:dan k. a. perpindahan partikel dalam selang waktu t = 0 hingga t = 2 sekon; b. besar kecepatan rata-rata partikel dalam selang waktu t = 0 hingga t = 2 sekon; c. besar dan arah kecepatan partikel pada saat t = 2 sekon. Jawab Diketahui: vektor posisi partikel, yaitu r = (6 + 3t)i + (8 + 4t)j. a. t1 = 0 sekon adalah r1 = [6 + (3)(0)]i + [8 + (4)(0)]j = (6i + 8j) meter. t2 = 2 sekon adalah r2 = [6 + (3)(2)]i + [8 + (4)(2)]j = (12i + 16j) meter. Perpindahan partikel dari t1 = 0 sekon hingga t2 = 2 sekon adalah Δr = r2 – r1= (12i + 16j) – (6i + 8j) = (6i + 8j) meter Besar vektor Δr adalah Δr = | Δr| = 6 2 + 8 2 = 100 = 10 m. b. Kecepatan rata-rata partikel adalah 6i + 8 j (3i + 4j) m/s v = Δr = = Δt 2−0 6 Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI
  7. 7. Besar kecepatan rata-rata partikel adalah v = 32 + 4 2 = 5 m/s.c. Vektor kecepatan partikel sebagai fungsi waktu ditentukan sebagai berikut. vx = dx = d (6 + 3t) = 3 m/s dt dt dy d vy= = (8 + 4t) = 4 m/s dt dt Dengan demikian, diperoleh vektor kecepatan sesaat partikel adalah v = vxi + vy j = (3i + 4j) m/s. Jelajah Besar kecepatan sesaat partikel adalah Fisika v = 32 + 4 2 = 5 m/s. Galileo Galilei (1564–1642) Arah vektor kecepatan sesaat terhadap sumbu-x adalah θ dengan v tan θ = y = 4 vx 3 θ = 53°. Contoh 1.3Perhatikan grafik kedudukan (x) terhadap waktu (t) berikut. x (m) 12 Galileo lahir di Pisa, Italia. Pada umur 19 tahun, ia mempelajari matematika dan mengembangkan penelitiannya tentang gerak mekanik, terutama mengenai gerak di bidang miring, gerak pendulum, t (s) dan gerak jatuh bebas. Saat 0 3 8 12 mengajar di Universitas Padua, ia menjadi penyokong teori Copernicus mengenai sistemTentukanlah kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu: Matahari, yang bertentangana. antara t = 0 sampai t = 3 s; dengan teori yang diakui saatb. antara t = 3 sampai t = 8 s; dan itu. Saat menerbitkan karyanya,c. antara t = 8 sampai t = 12 s. ia disidang untuk menyangkal hasil penelitiannya, namun iaJawab tetap yakin dengan penelitiannya dan tidak mau menyerah. Δx i Setelah ia dijatuhi hukumanDiketahui: grafik x–t dan kecepatan rata-rata v = . Δt tahanan rumah, ia meninggala. Kecepatan rata-rata benda antara t = 0 sampai t = 3 s adalah pada umur 78 tahun. Walaupun begitu, ia menyelesaikan (12 − 0) i m v= penelitiannya mengenai gerak. (3 − 0)s = 4i m/s Karya tulisnya, kemudian diselundupkan dari Italia danb. Kecepatan rata-rata benda antara t = 3 sampai t = 8 s adalah diterbitkan di Belanda. v= (12 − 12) i m Sumber: www.hao.ucar.edu = 0i m/s (8 − 3)sc. Kecepatan rata-rata benda antara t = 8 sampai t = 12 s adalah v= (0 − 12) i m = –3i m/s (12 − 8)s Gerak dalam Dua Dimensi 7
  8. 8. Perlu Anda 4. Menetukan Posisi dari Fungsi Kecepatan Ketahui Fungsi posisi suatu benda, yaitu koordinat benda (x, y) dapat diperoleh dengan cara mengintegralkan persamaan kecepatan benda sebagai fungsi∫ adalah lambang integral. waktu.rumus integral: Dalam arah sumbu-x, fungsi posisi benda diturunkan sebagai berikut. a n +1r = ∫ at n dt → r = t dx n +1 vx = atau dx = vx dtcontoh: dt Posisi x ditentukan dengan 3 4 3 +1 x t tr = ∫ 4t dt → r = t ∫ dx = ∫ vx dt ⇒ x – x0 = ∫ vx dt 3+1 x0 0 0 = t4 t x = x0 + ∫ vx dt 0 Dalam arah sumbu-y, fungsi posisi benda diturunkan sebagai berikut. dy vy = atau dy = vy dt dt Posisi y ditentukan dengan Solusi y t ∫ dy = ∫ vy dt ⇒ y – y0 = ∫ vy dt t Cerdas y0 0 0 t Sebuah mobil dengan kecepatan 36 km/jam direm mendadak y = y0 + ∫ vy dt 0 sehingga terbentuk bekas di (x 0, y 0) menyatakan koordinat posisi awal benda, sedangkan (x, y) jalan sepanjang 20 m. Waktu pengereman yang dibutuhkan menyatakan koordinat posisi benda setelah bergerak dalam selang waktu t. sampai mobil tersebut berhenti Apabila dituliskan dalam bentuk vektor, posisi benda dapat dituliskan adalah .... sebagai berikut a. 2 s d. 8 s b. 4 s e. 10 s r = xi + yj c. 6 s t t Penyelesaian r = (x0 + ∫ vx dt)i + (y0 + ∫ vy dt)j (1–16) Diketahui: v0 = 36 km/jam 0 0 = 10 m/s Δ r = luas segitiga maka, atau r = r0 + ∫ v dt (1–17) 1 20 = ( )(t)(10) 2 Secara matematis, integral adalah penjumlahan yang kontinu. Dengan t =4s demikian, posisi benda dapat ditentukan dengan metode grafik sebagai v berikut. Apabila kecepatan sebuah benda dinyatakan dengan persamaan 10 vx = 2t + 5, posisi benda adalah t t t t x = ∫ (2t + 5) dt = ∫ 2t dt + ∫ 5 dt = t2 + 5t 0 0 0 0 Misalkan, batas integral adalah dari t = 0 sampai dengan t = 2. Dengan memasukkan nilai batas integral, didapatkan perpindahan benda adalah t 2 0 t x = t2 + 5t 0 = [22 + (5)(2)] – [02 + (5)(0)] = 14 Jawab: d Cara lain untuk menentukan perpindahan benda adalah dengan meng- Soal SMPB 2005 Regional III hitung luas daerah di bawah kurva v(t). v (m/s) 9 x = luas daerah di bawah kurva v (t) Gambar 1.10 = luas trapesium 5 Luas daerah yang diarsir 1 menyatakan besar perpindahan = ( )(5 + 9)(2) = 14 2 yang dilakukan benda dalam selang waktu t = 0 sampai dengan t = 2. t (s) 0 2 8 Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI
  9. 9. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa besar perpindahan bendasama dengan luas di bawah kurva kecepatan sebagai fungsi waktu v(t). Secaramatematis dituliskan sebagai berikut. (1–18) Δr = ∫ v dt Contoh 1.4Sebuah benda bergerak pada bidang xy. Pada posisi awal, benda berada padakoordinat (3,2) m. Komponen-komponen kecepatan benda memenuhi persamaanvx = 12 + 4t dan vy = 9 + 3t dengan v x dan vy dalam m/s, dan t dalam sekon.Tentukanlah:a. persamaan umum vektor posisi benda,b. posisi benda pada saat t = 3 sekon, danc. perpindahan benda antara t = 1 sekon dan t = 3 sekon.JawabDiketahui: posisi awal benda (3, 2) m, vx = 12 + 4t, dan vy = 9 + 3t.a. Posisi awal benda (3,2) m maka x0 = 3 m dan y 0 = 2 m. Dengan demikian, diperoleh t t r = (x0 + ∫ vx dt)i + (y0 + ∫ vy dt)j 0 0 t t r = [3 + ∫ (12 + 4t)]i + [2 + ∫ (9 + 3t)]j 0 0 3 2 r = (3 + 12t + 2t2 )i + (2 + 9t + t )j. 2b. Posisi benda pada saat t = 3 sekon adalah x = 3 + (12)(3) + (2)(32) = 57 m 3 y = 2 + (9)(3) + ( )(32) = 42,5 m 2 Jadi, pada saat t = 3 sekon vektor posisi benda dapat dituliskan sebagai r = (57i + 42,5j ) meter. 3 2c. Pada t1 = 1 sekon maka r1 = [3 + (12)(1) + (2)(12)]i + [2 + (9)(1) + ( )(1 )]j 2 = (17i + 12,5j) meter 3 Pada t2 = 3 sekon maka r2 = [3 + (12)(3) + (2)(32)]i + [2 + (9)(3) + ( )(32)]j 2 = (57i + 42,5j) meter Perpindahan partikel dari t1 = 1 sekon hingga t2 = 3 sekon adalah Δ r = r2 – r1 = (57i + 42,5j) – (17i + 12,5j) = (40i + 30j) meter Besar vektor Δ r adalah Sumber: Fisika untuk Sains dan Teknik, | Δ r| = 40 2 + 30 2 = 2.500 = 50 meter 1991 Gambar 1.11 Foto dari sebuah apel yang5. Percepatan Rata-Rata dan Percepatan Sesaat dijatuhkan. Gambar diambil sebanyak 60 kali setiap sekon Percepatan adalah perubahan kecepatan per satuan waktu. Perubahan agar percepatannya dapatkecepatan per satuan waktu yang bernilai positif disebut percepatan, sedangkan diamati. Percepatan apel ditandai dengan jarak antartitikyang bernilai negatif disebut perlambatan. Sebagaimana halnya dengan apel yang semakin besar dikecepatan, pembahasan percepatan juga terbagi atas dua, yaitu percepatan rata- bagian bawah foto.rata dan percepatan sesaat. Gerak dalam Dua Dimensi 9
  10. 10. a. Percepatan Rata-Rata Perhatikanlah Gambar 1.12. Grafik kecepatan terhadap waktu pada gambar tersebut menyatakan gerak benda yang berpindah dengan kecepatan tertentu setiap saatnya. Apabila pada saat t kecepatan benda adalah v dan pada saat t + Δ t kecepatannya v + Δ v, percepatan rata-rata benda tersebut ( a ) v (m/s) dinyatakan sebagai berikut. v2 a a= (v + Δv) − v = Δv Δv (1–19) v1 (t + Δt ) − t Δt Δt Penulisan Persamaan (1–19) dalam bentuk vektor dalam arah sumbu-x dan sumbu-y adalah sebagai berikut. Δv x i + Δv y j Δvx Δv y t1 t2 t(s) a= = i+ j (1–20) Δt Δt Δt Gambar 1.12 Oleh karena Δvx = a x dan Δvy = a y, Persamaan (1–20) dapat ditulis menjadi Grafik percepatan a = ax i + ay j (1–21) Besar percepatan rata-rata dinyatakan sebagai Jelajah | a| = ax 2 + ay 2 (1–22) Fisika Arah percepatan rata-rata dapat dituliskan sebagai berikut.Jatuh Bebas ay tan θ = (1–23) ax b. Percepatan Sesaat Percepatan sesaat merupakan kecepatan rata-rata untuk selang waktu Δ t yang sangat kecil atau mendekati nol. Secara matematis, persamaannya dituliskan sebagai berikut. Δ v dv a = Δt → 0 a = Δt → 0 lim lim = (1–24) Δt dt Apabila vektornya disesuaikan menurut arah sumbu-x dan sumbu-y, Persamaan (1–24) berubah menjadiDahulu orang percaya padagagasan Aristoteles mengenaibenda jatuh, yaitu benda yang dv x dv ylebih berat akan lebih dulu a= i+ j = axi + ay j (1–25) dt dtmencapai tanah dibandingkanbenda yang lebih ringan. Melalui drpercobaannya dengan mengukur Oleh karena v = maka Persamaan (1–25) dapat dituliskan sebagaiwaktu tempuh bola-bola yang dtdigelindingkan pada suatu bidang berikutmiring, Galileo membantahgagasan Aristoteles tersebut. dv d ⎛ dr ⎞ d 2 r d 2 x d 2 yDari hasil percobaannya, Galileo a= = ⎜ ⎟= = i+ j (1–26) dt dt ⎝ dt ⎠ dt dt dtberkesimpulan bahwa waktuyang dibutuhkan kedua bendajatuh untuk mencapai tanahadalah sama. Contoh 1.5 Sumber: Jendela Iptek, 1997 Sebuah partikel bergerak dengan fungsi kecepatan v(t) = 2t2 – 3t + 10 jika v dinyatakan dalam m/s dan t dalam sekon, tentukanlah: a. percepatan rata-rata partikel untuk selang waktu t = 2 sekon sampai t = 4 sekon, b. percepatan awal partikel, dan c. percepatan partikel pada saat t = 6 sekon.10 Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI
  11. 11. JawabDiketahui: v(t) = 2t2 – 3t + 10.a. Untuk menghitung percepatan rata-rata, tentukan lebih dahulu Δ v dan Δ t sebagai berikut. Persamaan umum kecepatan adalah v(t) = 2t2 – 3t + 10 sehingga untuk t2 = 4 sekon, v2 = 2(4)2 – 3(4) + 10 = 30 m/s untuk t1 = 2 sekon, v1 = 2(2)2 – 3(2) + 10 = 12 m/s Δv v −v 30 − 12 Diperoleh a = = t2 − t 1 = = 9 m/s2. Δt 2 1 4−2b. Persamaan umum percepatan sesaat diperoleh sebagai turunan pertama dari fungsi kecepatan, yaitu a = dv = dt (2t2 – 3t + 10) = (4t – 3) m/s2. dt d Percepatan awal partikel adalah percepatan pada t = 0 sehingga a = 4(0) – 3 = –3 m/s2.c. Percepatan partikel pada saat t = 6 sekon adalah a = 4(6) – 3 = 21 m/s2. Contoh 1.6 v (m/ s)Sebuah mobil bergerak dengan grafik kecepatan (v) terhadap waktu (t) seperti terlihatpada gambar disamping.Tentukanlah: 8a. percepatan rata-rata benda antara t = 0 sekon sampai t = 4 sekon, danb. percepatan rata-rata benda antara t = 4 sekon sampai t = 8 sekonJawab 2Diketahui: grafik v – t.a. Percepatan rata-rata benda antara t = 0 sampai t = 4 sekon, yaitu t (s) 0 4 8 v −v a = Δv = 2 1 = 8 − 2 = 1,5 m/s2. Δt t 2 − t1 4−0b. Percepatan rata-rata benda antara t = 4 sampai t = 8 sekon, yaitu v −v a = Δv = 2 1 = 0 − 8 = –2 m/s2. Δt t 2 − t1 8−46. Menentukan Kecepatan dari Fungsi Percepatan a Fungsi kecepatan dapat diperoleh dari fungsi percepatan dengan metodeintegral, yaitu kurva a (t) t v = v0 + ∫ a dt t 0 ∫ a dt = luas daerah di 0 bawah kurvaatau v = (vox + ∫ ax dt)i + (voy + ∫ ay dt)j (1–27) Secara matematis, integral adalah penjumlahan yang kontinu. Metodeyang digunakan untuk memeroleh nilai kecepatan dari fungsi percepatan dapat tdilakukan dengan analogi pada cara untuk mendapatkan nilai perpindahandari fungsi kecepatan. Perhatikan Gambar 1.13. Kecepatan partikel secara grafik Gambar 1.13dapat ditentukan sebagai berikut. Luas daerah yang diarsir Besar kecepatan = luas daerah di bawah kurva a (t) menyatakan besar kecepatan yang dilakukan benda dalam selang waktu t. Gerak dalam Dua Dimensi 11
  12. 12. Contoh 1.7 Sebuah benda bergerak dengan kecepatan awal 3 m/s. Jika benda mengalami percepatan a (t) = (4t –2) m/s2, tentukanlah: a. persamaan kecepatan benda, dan b. kecepatan benda pada t = 2 sekon. Jawab Diketahui: vo = 3 m/s dan a(t) = (4t – 2) m/s2. a. Kecepatan dapat diperoleh dari fungsi percepatan dengan metode integral. v = v0 + ∫ a dt = 3 + ∫ (4t – 2) dt = (3 + 2t2 – 2 t) m/s2. b. Kecepatan benda pada saat t = 2 sekon adalah v = 3 + (2)(2)2 – (2)(2) = 7 m/s. Solusi 7. Gerak Lurus Beraturan dan Gerak Lurus Berubah Cerdas Beraturan v (m/s) Di Kelas X, Anda telah mengenal dan mempelajari dua jenis gerak lurus, 20 yaitu gerak lurus beraturan (GLB) dan gerak lurus berubah beraturan (GLBB). Pada gerak lurus beraturan, kecepatan gerak benda tetap dan percepatan benda sama dengan nol. Persamaan geraknya diperoleh melalui persamaan s t ds v= ⇒ ds = v dt ⇒ s∫ ds = t∫ v dt dt 0 0 t (s) Pada GLB, nilai v tetap dan tidak bergantung pada waktu sehingga 0 4 10 12 persamaan dapat dituliskan menjadiSebuah mobil bergerak dengan s tgrafik kecepatan terhadap ∫ ds = v ∫ dt ⇒ s – s0 = vtwaktu, seperti terlihat pada s0 t0gambar. Pada Interval waktu Dengan demikian, dapat dituliskan persamaanantara 10 sekon hingga 12sekon, mobil bergerak .... s = s0 + vt (1–28)a. lurus diperlambat dengan perlambatan 10 m/s2 dengan s0 merupakan jarak tempuh benda pada saat t = 0.b. lurus dipercepat dengan Pada gerak lurus berubah beraturan (GLBB), benda bergerak dengan percepatan 10 m/s2c. lurus dipercepat dengan percepatan tetap. Persamaan geraknya diperoleh melalui vt t percepatan 5 m/s2 dvd. lurus diperlambat dengan a= ⇒ dv = a dt ⇒ ∫ dv = ∫ a dt perlambatan 10 m/s2 dt v0 0e. lurus beraturan dengan Pada GLBB, nilai a tetap dan tidak bergantung waktu sehingga persamaan kecepatan tetap sebesar dapat dituliskan menjadi 10 m/s vt tPenyelesaian ∫ dv = a ∫ dt ⇒ vt – v0 = att1 = 10 → v1 = 20 m/s v0 0t1 = 10 → v1 = 20 m/s Dengan demikian, diperoleh persamaan sebagai berikut.Dalam selang waktu antara 10 vt = v0 + at (1–29)sekon hingga 12 sekon v 2 − v 1 0 − 20 ataua= = t 2 − t1 12 − 10 vt − v0a = -10 m/s2 t= (1–30) aJawab: a Apabila Persamaan (1–29) diintegralkan, akan diperoleh jarak tempuh benda, yaitu ds v(t) = ⇒ ds = v(t) dt dt12 Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI
  13. 13. Oleh karena v (t) = v0 + at maka s t t ∫ ds = ∫ v(t)dt = ∫ (v + at )dt s0 0 0 0 t t t t s – s0 = ∫ v0 dt + ∫ (at)dt = v0 ∫ dt + a ∫ t dt 0 0 0 0 1 s – s0 = v0 t + at 2 2 1 s = s0 + v0 t + at 2 (1–31) 2Jika s0 = 0, akan diperoleh persamaan 1 s = v0 t + at 2 (1–32) 2 Kemudian, jika Persamaan (1–30) disubstitusikan ke Persamaan (1–32)diperoleh Kata Kunci ⎛ vt − v0 ⎞ 2 1 ⎛ vt − v0 ⎞ • Vektor posisi s = v0 ⎜ ⎝ a ⎟ + 2 a⎜ a ⎟ • Vektor kecepatan ⎠ ⎝ ⎠ • Vektor percepatan • Gerak lurus beraturan ⎛ v0 vt − v0 2 ⎞ 1 ⎛ vt 2 − 2vt v0 − v0 2 ⎞ • Gerak lurus berubah s= ⎜ ⎝ a ⎟ + 2 a⎜ ⎠ ⎝ a2 ⎟ ⎠ beraturan ⎛ v0 vt − v0 2 ⎞ ⎛ v 2 − 2vt v0 − v0 2 ⎞ 2s = 2 ⎜ ⎟ + a⎜ t ⎟ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ 2as = 2v0 vt – 2v0 + vt – 2v0vt + v0 2 2 2 vt2 = v02 + 2as (1–33) Contoh 1.8Besar kecepatan suatu partikel yang mengalami perlambatan konstan ternyataberubah dari 30 m/s menjadi 15 m/s setelah menempuh jarak sejauh 75 m. Setelahmenempuh jarak berapa lagi partikel tersebut berhenti?JawabDiketahui: v0 = 30 m/s, vt1 = 15 m/s, vt2 = 0 m/s, dan s = 75 m v0 = 30 m/s vt1 = 15 m/s vt2 = 0 (berhenti) s1 = 75 m/s s2 = ? vt12 − v0 2 152 − 302a= = = − 4,5 m/s2. 2 s1 2 (75) vt 2 2 − vt12 02 −152s2 = = = 25 m. 2a 2 ( −4,5) Gerak dalam Dua Dimensi 13
  14. 14. Soal Penguasaan Materi 1.1Kerjakanlah di dalam buku latihan Anda.1. Seekor semut bergerak dari titik A (–2, 5) ke titik B vx = 12 + 3t dan vy = 16 + 4t dengan vx dan vy dalam (7, –7). Tentukanlah: m/s, dan t dalam sekon. Tentukanlah: a. vektor posisi semut itu saat berada di titik A a. persamaan umum vektor posisi benda, dan di titik B, dan b. posisi benda pada saat t = 2 sekon, dan b. vektor perpindahan dari titik A ke titik B, serta c. perpindahan benda antara t = 0 sekon dan t = 4 besar vektor perpindahan tersebut. sekon.2. Sebuah partikel sedang bergerak pada suatu bidang 4. Sebuah partikel bergerak dengan fungsi kecepatan dengan sumbu koordinat x dan y. Posisi partikel v(t) = (2,5t – 4)i + (6t + 3)j dengan v dalam m/s dan berubah terhadap waktu mengikuti persamaan r = t dalam sekon. Tentukanlah: (3 – 6t + 3t2)i + (4 – 8t + 4t2)j dengan r dalam meter a. percepatan rata-rata partikel untuk selang dan t dalam sekon. Tentukanlah: waktu t = 0 sekon sampai t = 3 sekon, dan a. perpindahan partikel dalam selang waktu t = 2 b. percepatan benda pada t = 2 sekon. sekon sampai dengan t = 4 sekon, 5. Benda bergerak dengan kecepatan awal 3 m/s. Jika b. besar kecepatan rata-rata partikel dalam selang benda mengalami percepatan a(t) = (4t – 2) m/s2, waktu t = 2 sekon sampai dengan t = 4 sekon, dan tentukanlah: c. besar dan arah kecepatan partikel tersebut pada a. persamaan kecepatan benda, dan saat t = 2 sekon. b. kecepatan benda pada t = 2 sekon.3. Sebuah benda bergerak pada bidang xy. Pada saat awal, benda berada di koordinat (5, 2) m komponen- komponen kecepatan benda memenuhi persamaan B Gerak Parabola Perhatikanlah lintasan yang dibentuk oleh bola basket yang dilemparkan ke dalam ring pada Gambar 1.14. Lintasan bola basket tersebut berbentuk parabola. Gerak yang lintasannya berbentuk parabola disebut gerak parabola. Contoh umum gerak parabola adalah gerak benda yang dilemparkan ke atas membentuk sudut tertentu terhadap permukaan tanah. Gerak parabola dapat dipandang dalam dua arah, yaitu arah vertikal (sumbu-y) yang merupakan gerak lurus berubah beraturan (GLBB), dan arah horizontal (sumbu-x) yang merupakan gerak lurus beraturan (GLB). Perhatikan Gambar 1.15 berikut. Gambar 1.14 y Lintasan bola basket saat dilemparkan ke dalam ring akan vy v v = vx berbentuk parabola. vx vx v 0y v0 vy α vx 0 x v 0x Gambar 1.15 Arah gaya pada lintasan gerak v parabola. vy Gerak pada sumbu-x (horizontal) adalah gerak lurus beraturan karena kecepatan benda di setiap titik bernilai konstan dan berlaku persamaan vx = v0x = v0 cos α (1–34)14 Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI
  15. 15. Adapun, jarak mendatar yang ditempuh oleh sebuah benda ditentukan olehpersamaan x = vx t = v0cos α t (1–35) Gerak pada sumbu-y (vertikal) adalah gerak lurus berubah beraturan,karena benda mengalami perubahan kecepatan akibat percepatan gravitasiBumi. Dalam hal ini, arah gerak benda vertikal ke atas sehingga persamaankecepatan geraknya pada setiap titik adalah vy = v0y – gt (1–36)oleh karena v0y = v0 sin α , Persamaan (1–36) dapat dituliskan menjadi vy = v0 sin α – gt (1–37)Posisi benda pada sumbu-y (menurut ketinggian) dapat dituliskan denganpersamaan berikut 1 y = v0y t – gt 2 (1–38) 2atau 1 y = v0 sin α t – gt 2 (1–39) 21. Kecepatan dan Arah Kecepatan Benda di Sembarang Titik Pada gerak parabola, benda memiliki kecepatan pada komponensumbu-x dan sumbu-y sehingga besar kecepatan benda di sembarang titiksecara matematis, dirumuskan sebagai berikut. v= v2 + v2 x y (1–40) Arah kecepatan benda terhadap sumbu mendatar (sumbu-x) dirumuskansebagai berikut. vy tan θ = (1–41) vxOleh karena nilai vx selalu positif maka positif atau negatifnya sudut θ Bbergantung pada nilai vy. v0 H2. Beberapa Persamaan Khusus pada Gerak Parabola θ C A Persamaan-persamaan khusus gerak parabola ini hanya berlaku untuk Xgerak parabola dengan lintasan dari tanah, kemudian kembali lagi ke tanah Gambar 1.16seperti pada Gambar 1.16. Lintasan gerak parabola benda Pada contoh gerak parabola tersebut, suatu benda bergerak dari titik A dengan titik tertinggi di B dandengan kecepatan awal v0 dan sudut θ . Benda tersebut mencapai titik titik terjauh di C.tertinggi di titik B dan jarak terjauh di titik C.a. Waktu untuk Mencapai Titik Tertinggi (Titik B) Pada saat benda yang melakukan gerak parabola mencapai titik tertinggi,kecepatan benda pada komponen vertikal (sumbu-y) vy = 0. Persamaannyaadalah sebagai berikut. Gerak dalam Dua Dimensi 15
  16. 16. vy = v0y – gtAB 0 = v0 sin α – gtAB gtAB = v0 sin α v0 sin α tAB = (1–42) g 1 Ketinggian benda di titik tertinggi adalah H = g(tBC) 2. Sifat simetri Solusi grafik parabola memperlihatkan bahwa waktu yang diperlukan benda untuk 2 Cerdas mencapai titik tertinggi dari posisi awal (tAB), sama dengan waktu tempuhSebuah peluru ditembakkandengan kecepatan 60 m/s dan benda dari titik tertinggi ke jarak terjauh (t BC). Dengan demikian, akansudut elevasi 30°. Ketinggian diperoleh persamaanmaksimum yang dicapai peluruadalah .... v0 sinα 2Ha. 30 m tAB = tBC = = (1–43) g gb. 45 mc. 50 md. 90 me. 100 m b. Tinggi Maksimum (H )Penyelesaian Tinggi maksimum benda yang melakukan gerak parabola dapat diten-Diketahui: vo = 60 m/s tukan dari penurunan Persamaan (1–43) sebagai berikut. α = 30° g = 10m/s2 v0 sinα 2H v02 sin2 α 2H = dikuadratkan menjadi = sehingga diperoleh v 02 sin2 α g g g2 gH= 2g v0 2 sin 2α = (60)2 sin2 (30°) H= (1–44) (2)(10) 2g 1⎞ 2 c. Jarak Terjauh (X ) (3.600) ⎛ ⎜ ⎝ ⎟ 2⎠ Waktu tempuh untuk mencapai titik terjauh (titik C) sama dengan dua = 20 kali waktu yang diperlukan untuk mencapai titik tertinggi (tAC = 2 tAB). Jarak = 45 m terjauh yang dicapai benda pada sumbu-x (dilambangkan dengan X) adalahJawab: b ⎛ v sinα ⎞ ⎛ sin α ⎞ UMPTN 1997 Rayon B X = v0x tAC = v0 cos α 2 ⎜ 0 ⎟ = v0 2 ⎜ 2 ⎟ cos α ⎝ g ⎠ ⎝ g ⎠ Menurut trigonometri, 2 sin α cos α = sin2 α sehingga persamaan untuk jarak terjauh yang dapat dicapai benda dapat dituliskan v0 2 sin 2α X= (1–45) g Perbandingan antara jarak terjauh (X) dan tinggi maksimum (H) akan menghasilkan persamaan ⎛ v0 2 sin α co s α ⎞ X ⎜ ⎝ g ⎟ ⎠ 4 = = (1–46) H ⎛ v0 sin α ⎞ 2 2 tan α ⎜ ⎝ 2g ⎟ ⎠16 Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI
  17. 17. Contoh 1.9Dari titik A di tanah, sebuah bola dilemparkan dengan kecepatan awal 20 m/s dansudut elevasi 37° (sin 37° = 0,6). Jika g = 10 m/s2, hitunglah:a. komponen kecepatan awal dalam arah horizontal dan vertikal,b. kecepatan bola setelah 0,4 sekon, Jelajahc. posisi bola setelah 0,4 sekon, Fisikad. tinggi maksimum yang dapat dicapai bola, dan Loncat Batu Pulau Niase. jarak lemparan terjauh yang dicapai bola.JawabDiketahui: v0 = 20 m/s, α = 37°, dan g = 10 m/s2.a. Komponen kecepatan awal 1) Dalam arah horizontal v0x = v0 cos α = (20 m/s)(cos 37°) = (20 m/s)(0,8) = 16 m/s. 2) Dalam arah vertikal v0y = v0 sin α = (20 m/s)(sin 37°) = (20 m/s)(0,6) = 12 m/s.b. Kecepatan bola setelah 0,4 s (t = 0,4 s) 1) Kecepatan dalam arah horizontal tetap, yaitu vx = v0x = 16 m/s. Penduduk di Pulau Nias memiliki 2) Kecepatan dalam arah vertikal tradisi unik. Seorang pemuda vy = v0y – gt = 12 m/s – (10 m/s2)(0,4 s) = 8 m/s. Nias dewasa atau menginjak Dengan demikian diperoleh dewasa harus mampu meloncati batu yang tingginya sekitar 2 v= v2 + v2 = x y 16 2 + 82 meter, sebagai tanda keberanian, kedewasaan, dan kesatriaan. Gerak yang dilakukan = 8 5 m/s. oleh pemuda Nias ini merupakanc. Posisi bola setelah 0,4 s salah satu contoh gerak 1) Posisi pada arah horizontal parabola yang telah dikenal sejak x = vxt = (16 m/s)(0,4 s) = 6,4 m. dulu oleh para penduduk Nias. 2) Posisi pada arah vertikal Dalam menyelesaikan tantangan loncat batu ini, loncatan yang 1 2 dibuat peloncat harus memiliki y = v0yt – gt kecepatan awal tertentu, tinggi 2 maksimum, dan rentang 1 maksimum, sebagaimana yang = (12 m/s)(0,4 s) – ( )(10 m/s2)(0,4 s)2 2 telah Anda pelajari dalam = 5,6 m. materi gerak parabola. Dengan demikian, posisi bola setelah 0,4 s berada pada koordinat (6,4 m ; 5,6 m). Sumber: www.geocities.comd. Tinggi maksimum yang dicapai bola v0 2 sin 2α (20)2 (0,6)2 H= = = 7,2 m 2g 2(10)e. Jarak lemparan terjauh yang dicapai bola v0 2 sin 2α 2v 2 sin α cos α X= = 0 2g g 2(20 m /s)2 (0,6)(0,8) = 10m / s2 = 38,4 m Gerak dalam Dua Dimensi 17
  18. 18. Contoh 1.10 Jangan Sebuah benda dilemparkan dari puncak sebuah gedung yang tingginya 40 m. Lupa Kecepatan awal benda 20 m/s dengan sudut elevasi 30°. Tentukan jarak terjauhdari rumus trigonometri, dalam arah mendatar yang dapat dicapai benda, dihitung dari dasar gedung.diketahui Jawab sin 2 α = 2 sin α cos α Diketahui: h= 40 m, v0 = 20 m/s, dan θ = 30°. Perhatikan gambar. Untuk menentukan jarak terjauh v 0y v0 = 20 m/s dalam arah mendatar (X), lebih dahulu A 30° Anda hitung waktu yang diperlukan v 0x benda untuk bergerak dari A ke B. Waktu ini bisa dihitung dari gerak vertikal ke atas (sumbu-y) sebagai berikut: ⎛ 1⎞ 40 m v0y = v0 sin 30° = (20 m/s) ⎜ ⎟ = 10 m/s ⎝ 2⎠ y = v0yt – 1 gt 2 2 B –40 = 10t – 1 (10)t2; bagi 5 X=? 2 –8 = 2t – t2 0 = t2 – 2t – 8 0 = (t + 2) (t – 4) Diperoleh t = –2 s (tidak digunakan) t=4s Dari gerak horizontal (sumbu -x), diperoleh x = v0t cos 30° ⎛1 ⎞ = (20 m/s)(4 s) ⎜ ⎝ 2 ⎟ = 40 3 m. 3 ⎠ Catatan: nilai y diambil harga negatif (–40) karena posisi akhir (titik B) berada di bawah posisi asal (titik A). Contoh 1.11 Sebuah mobil hendak menyeberangi sebuah parit yang lebarnya 4 m. Perbedaan tinggi antara kedua sisi parit itu adalah 15 cm, 15 cm seperti ditunjukkan pada gambar. Jika 4m percepatan gravitasi 10 m/s 2, berapakah kelajuan (v) minimum agar penyeberangan mobil dapat tepat berlangsung? Jawab Perhatikan kembali gambar. Dari gambar diketahui: y = 0,15 m, x = 4 m, v0x = v, v0y = 0, dan g = 10 m/s2. Pada kasus tersebut, gerak mobil merupakan perpaduan antara GLB pada arah mendatar dan GLBB (gerak jatuh bebas) dalam arah vertikal. Oleh karena itu, diperoleh 1) Dari gerak jatuh bebas diperoleh waktu untuk tiba di sisi parit bagian bawah sebagai berikut: 1 2y 2 (0,15m ) y= gt2 → t = = = 0,173 s. 2 g 10 m/s 218 Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI
  19. 19. 2) Dari gerak horizontal diperoleh kelajuan v sebagai berikut X 4m X = v0xt = vt → v = = 0,173s = 23 m/s. t Jadi, kelajuan minimum agar penyeberangan mobil dapat tepat berlangsung adalah v = 23 m/s. Mahir Meneliti aMembandingkan Waktu Tempuh Benda pada Gerak Jauh Bebas dan GerakParabolaAlat dan Bahan1. Penggaris plastik b2. Karton tebal3. Dua uang logam (koin)4. SelotipProsedur1. Lipatlah karton tebal menjadi seperti huruf T terbalik dan pasangkan pada c penggaris plastik dengan menggunakan selotip. Kemudian, letakkan satu uang logam (koin) di setiap sisi karton. Perhatikanlah gambar.2. Lengkungkanlah penggaris plastik, kemudian lepaskan. Koin yang berada di depan akan mengalami gerak parabola, sedangkan koin yang berada di belakang akan mengalami gerak jatuh bebas.3. Dengarkanlah bunyi yang timbul saat kedua koin tersebut jatuh dari penggaris (a) Karton tebal yang telah plastik. Apakah yang dapat Anda simpulkan? dilipat.4. Diskusikanlah kesimpulan Anda dengan teman sebangku dan guru Fisika (b) Lipatan karton tebal yang Anda. telah dipasangkan pada penggaris dan ditempati 2 keping uang logam.3. Persamaan Vektor Gerak Parabola (c) Penggaris yang dilengkungkan sebelum Menurut analisis vektor, persamaan-persamaan gerak parabola dapat dilepaskan.dituliskan sebagai berikut. Vektor posisi pada gerak parabola adalah r = xi + yj 1 r = (v0 cos α t)i + (v0 sin α t – gt 2)j (1–47) 2Vektor kecepatan gerak parabola adalah v = vxi + vy j v = (v0 cos α )i + (v0 sin α – gt 2)j (1–48) Dalam kehidupan sehari-hari, Anda banyak menjumpai contoh gerakmelingkar. Bumi berputar mengelilingi Matahari dalam orbit yang mendekatilingkaran, demikian juga satelit-satelit yang bergerak dalam orbit melingkarmengelilingi Bumi. Mobil yang bergerak mengitari suatu sudut juga bergerak dalam busurmelingkar. Kajian tentang gerak melingkar telah Anda pelajari di Kelas X.Dalam subbab ini, pembahasan gerak melingkar akan ditinjau secara umummenggunakan fungsi turunan dan integral. Contoh 1.12Posisi peluru yang ditembakkan di atas bidang datar dengan sudut elevasi tertentudinyatakan oleh persamaan r = [80ti + (60t – 5t2)j] m. Jika i dan j menyatakan vektorsatuan dalam arah x dan y, serta t dalam sekon, tentukanlah:a. kecepatan awal peluru,b. sudut elevasi tembakan,c. kecepatan peluru di titik tertinggi, Gerak dalam Dua Dimensi 19
  20. 20. d. waktu untuk mencapai jarak maksimum, dan e. jarak mendatar maksimum tembakan. Jawab Diketahui: r [80ti + (60t – 5t2)j] m a. Kecepatan awal peluru (t = 0), dr v= = 80i + (60 – 10t)j dt Pada t = 0 diperoleh v0 = 80i + 60j 2 2 |v0| = 80 + 60 = 100 m/s b. Sudut elevasi tembakan ( α ) v0 y 60 3 tan α = = = v0 x 80 4 α = 37 c. Kecepatan peluru di titik tertinggi v y = 0 sehingga peluru hanya memiliki komponen kecepatan sumbu-xKata Kunci d. v = v0x = 80 m/s. Waktu untuk mencapai jarak maksimum (X) diperoleh apabila y = 0 • Gerak parabola (60t – 5t2) = 0 dan diperoleh t = 12 sekon • Tinggi maksimum • Jarak terjauh e. Jarak mendatar maksimum tembakan X = v0xt = 80t = (80)(12)= 96 m. Soal Penguasaan Materi 1.2Kerjakanlah di dalam buku latihan Anda.1. Satu peluru ditembakkan dengan kecepatan 100 m/s a. kecepatan awal peluru, dan membentuk sudut 37° terhadap arah mendatar. b. sudut elevasi tembakan, Tentukan: c. kecepatan peluru di titik tertinggi, a. waktu untuk mencapai titik tertinggi, d. jarak mendatar maksimum tembakan, dan b. tinggi maksimum yang dicapai peluru, e. tinggi maksimum yang dicapai peluru. c. jarak mendatar maksimum yang dicapai 3. Dua buah benda dilemparkan dengan kecepatan peluru, dan awal sama besar dan sudut elevasi berbeda, yaitu d. kecepatan peluru setelah 2 sekon. 30° dan 60°. Jika g = 10 m/s2, tentukanlah per-2. Posisi peluru yang ditembakkan di atas bidang datar bandingan: dengan sudut elevasi tertentu dinyatakan oleh a. tinggi maksimum yang dicapai kedua benda; persamaan r = [120t i + (160t – 5t2)j]m. Apabila i b. jarak mendatar terjauh yang dicapai kedua dan j menyatakan vektor satuan dalam arah x dan benda. y, serta t dalam sekon. Tentukan: C Gerak Melingkar Di kelas X, Anda telah mempelajari bahwa suatu partikel dikatakan bergerak melingkar beraturan, jika partikel tersebut bergerak dalam lintasan berbentuk lingkaran atau busur lingkaran dengan kelajuan konstan. Walaupun kelajuan partikel tersebut tidak berubah, namun partikel tersebut tetap memiliki percepatan. Mengapa demikian? Anda tentu telah memahami bahwa percepatan partikel (perubahan kecepatan dalam selang waktu tertentu) merupakan perubahan kelajuan partikel tersebut. Namun, Anda tidak boleh lupa bahwa kecepatan merupakan besaran vektor. Oleh karena kecepatan merupakan besaran vektor, perubahan arah kecepatan saja (besar kecepatan tetap) akan menimbulkan percepatan, seperti yang terjadi pada gerak melingkar beraturan.20 Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI
  21. 21. Perhatikanlah Gambar 1.17 berikut. Pada gambar tersebut ditunjukkan vhubungan antara vektor kecepatan dan percepatan pada gerak melingkarberaturan. Besar kecepatan dan percepatan pada gerak melingkar beraturan a vtidak berubah-ubah, namun arahnya selalu berubah-ubah setiap saat. Arah akecepatan selalu menyinggung lintasan lingkaran (tangensial terhadaplingkaran), sedangkan percepatan selalu mengarah ke pusat lingkaran asehingga disebut percepatan sentripetal. Perhatikanlah Gambar 1.18. Suatu partikel yang bergerak melingkarberaturan di titik P dengan jari-jari lingkaran r. Oleh karena arah kecepatan vselalu tegak lurus jari-jari r (tangensial terhadap lingkaran), sudut θ yangdibentuk oleh v terhadap garis vertikal di titik P akan sama besar dengan Gambar 1.17sudut θ yang dibentuk oleh jari-jari r terhadap sumbu-x. Vektor kecepatan Arah vektor kecepatan dandi titik P tersebut dapat diuraikan menjadi vektor komponennya menurut percepatan pada gerak melingkar.sumbu-x dan sumbu-y, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.19 berikut.Dengan demikian, dapat dituliskan y v = vxi + vy j (1–49) v θatau p v = (–v sin θ )i + (v cos θ )j (1–50) r yp θ x Perhatikan kembali Gambar 1.18. Dari gambar tersebut, Anda dapat xp yp xpmengganti sin θ dengan dan cos θ dengan sehingga Persamaan (1–50) r rdapat ditulis menjadi ⎛ vyp ⎞ ⎛ vx p ⎞ Gambar 1.18 v=⎜− i+ j (1–51) ⎝ r ⎟ ⎜ r ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ Partikel P bergerak melingkar berlawanan arah jarum jam. Percepatan gerak melingkar beraturan dapat ditentukan dari turunan Vektor kecepatannya (v ) selalu berubah-ubah terhadap waktu,pertama Persamaan (1–51) sebagai berikut. walaupun besar vektor kecepatannya tetap ⎛ vyp ⎞ ⎛ vx p ⎞ d⎜ i+ j dv ⎝ r ⎟ ⎜ r ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ a= = y dt dt v vy θ vx ⎛ v dyp ⎞ ⎛ v dxp ⎞ ⎜− r r ⎟ i+⎜ r r ⎟ j ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x a= (1–52) dt dyp dx p Oleh karena = vy dan = vx serta vx = -v sin θ dan vy = -v cos θ dt dtmaka Persamaan (1–52) dapat ditulis menjadi Gambar 1.19 ⎛ v 2 ⎞ ⎛v 2 ⎞ Kecepatan v dan komponen ⎜ − r cos θ ⎟ i + ⎜ r sin θ ⎟ j ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ vektornya menurut sumbu-x dan sumbu-y. a= (1–53) dt Vektor percepatan dan komponen vektornya menurut sumbu-x dansumbu-y ditunjukkan oleh Gambar 1.20. Berdasarkan uraian gambartersebut, dapat ditentukan besar percepatan sentripetal melalui persamaanberikut. Gerak dalam Dua Dimensi 21

×