8. เมื่อกระจายตามหลักที่ 1 ค่าของ det V(x,…,x k ,x k+1 ) จะเป็นพหุนามดีกรี k ใน x และถ้าแทน x ด้วย จะเห็นว่า ค่าของตัวกำหนด (determinant) เป็นศูนย์ ดังนั้นสามารถ เขียนได้ว่า det V(x,…,x k ,x k+1 ) = A(x-x 2 ) (x-x 3 )…(x-x k ) (x-x k+1 ) ….(5)
9. เมื่อ A เป็นค่าคงที่ จาก (5) จะเห็นว่า A เป็นสัมประสิทธิ์ของ x k ดังนั้นจาก (4) ได้ว่า A = = det V(x 2 ,…,x k+1 ) = (-1) k สรุปว่า detV= (x-x 2 )(x-x 3 )…(x-x k )(x-x k+1 ) =
10. เมื่อแทน x ด้วย x 1 det V (x 1 ,…x k ,x k+1 ) = (x 1 -x 2 ) (x 1 -x 3 )…(x 1 -x k ) (x 1 -x k+1 ) = = โดยหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ได้ว่า (2) เป็นจริงทุก ๆ n ที่เป็นสมาชิกของจำนวนเต็มบวกใด ๆ
11. เรามักจะพบ Vandermonde matrix ในปัญหาดังต่อไปนี้ 1. การสร้างพหุนามค่าสอดแทรก (polynomial interpolation) 2 . ปัญหาค่าเริ่มต้นของ สมการเชิงอนุพันธ์ (differential equation initial value problem) และ 3. การสร้างลำดับโดยกำหนดจากความสัมพันธ์เวียนบังเกิด (recursively defined sequences) ในที่นี้จะกล่าวถึงเพียงปัญหาทั้ง 3 อย่างที่กล่าวไว้แล้ว ข้างต้น และบทบาทของ Vandermonde matrix และเพื่อไม่ให้เกิดความสับสน จะเขียน V แทน V
12. 1. พหุนามค่าสอดแทรก (Polynomial interpolation) กำหนดให้พหุนามดีกรี n-1 ผ่านจุด (x 1 , y 1 ), (x 2 ,y 2 ),….,(x n ,y n ) ต่างกัน n จุด เขียนในรูป q(x) = ….(6) สัมประสิทธิ์ c i หาได้จากระบบสมการ q(x j ) = y j ; j = 1, 2 ,…,n
13. เมื่อแทนค่า j = 1, 2,…,n ในพหุนาม q(x) จะได้ระบบสมการดังนี้ . . . . . . = y n = y 1 = y 2 … (7)
16. เมื่อแทน x ใน หลักสุดท้ายด้วย x i จะได้ Q( x i ) = det
17. นำหลักสูตรท้ายลบด้วย หลักที่ i จะได้ว่าสมาชิกในหลักสุดท้าย เป็น 0 ยกเว้น สมาชิกตัวสุดท้าย มีค่าเป็น -y i และ Q( x i ) = det = -y i det V(x 1 ,…,x n ) หรือ y i = - ….(10)
18. สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับทุก i = 1, 2, 3…,n และเพราะว่า q(x i ) = y i ดังนั้นจะได้ว่า q(x) = ….(11) ในที่นี้ Vandermonde determinant มีความสำคัญอย่างเห็นได้ชัด ในการสร้างพหุนามค่าสอดแทรก (polynomial interpolation) ผ่านจุดต่างกัน n จุด
22. 2. ปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์ (Differential equation initial value problems) พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ … .(12) เมื่อ a 0 ,a 1 ,…a n เป็นค่าคงที่ และ D แทนการหาอนุพันธุ์เทียบกับ t พร้อมด้วยเงื่อนไขเริ่มต้น D j y(0) = y j ; j = 0, 1, 2,…,n-1 ….(13) สมการ (12) มีพหุนามลักษณะเฉพาะ ( characteristic polynomial)
23. จากสมการ (12) จะมีผลเฉลย y i = ; i = 1, 2,…,n และเมื่อ ผลเฉลยทั้ง n ผลเฉลย จะเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้น ผลรวมเชิงเส้น (linear combinations) ของ y i = คือ y = เป็นผลเฉลยของ (12) ด้วย Dy เมื่อแทนเงื่อนไขเริ่มต้นจาก (13) จะได้ระบบสมการ = y j ; j = 0,1,2,…,n-1 และ …
24. ระบบสมการนี้สามารถเขียนใหม่ ในรูปเมทริกซ์ ได้เป็น = V C = Y …(14) เมื่อ V = , C = , Y = ถ้า x i ต่างกัน ผลเฉลยของ (14) มีหนึ่งเดียว จะเห็นว่า Vandermonde matrix มีบทบาทในการหาค่าคงที่ C ของผลเฉลยของปัญหา
25. ตัวอย่าง = 0 ; y 0 = 1,y 1 = 9, y 2 = 17 ( D 3 - 3D 2 – D + 3 )y = 0 พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ p(D) = D 3 - 3D 2 – D + 3 = (D + 1)(D – 1)(D – 3) วิธีทำ เมื่อแทนเงื่อนไข เริ่มต้น (13) จะได้ ผลเฉลย คือ = 1 = 9 =17
27. 3. ลำดับที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนบังเกิด (Recursively defined sequences ) ให้ เป็น n พจน์แรกของลำดับที่มีความสัมพันธ์กันตามสมการ … . (15) เมื่อ a i ไม่ขึ้นกับ k จะเรียกลำดับนี้ว่า recurrent sequence ตัวอย่างของลำดับนี้ที่รู้จักกันดี คือ Fibonaci sequence ซึ่งเริ่มจาก 0,1,1,2,3,… และแต่ละพจน์จะเป็นผลรวมของ 2 พจน์ ที่อยู่ข้างหน้า
28. ในอีกทางหนึ่ง เรากำหนดให้ {y j } เป็นลำดับที่มี n + 1 พจน์ ซึ่งสอดคล้องกับสมการในรูปแบบข้างต้นเป็น … . (16) ซึ่ง y 0 , y 1 ,y 2 , …, y n-1 เป็นค่าเริ่มต้นที่กำหนดไว้แน่นอน สมการที่ (16) จะเรียกว่าสมการเชิงผลต่าง (difference equations) และสมการนี้เป็นสมการที่สำคัญในการสร้างแบบจำลองปัญหาต่าง ๆ
29. สมการ ( 16 ) หาคำตอบได้โดยการให้ y j อยู่ในรูปฟังก์ชันของ j ซึ่งเหมือนกับที่กล่าวมาในสมการเชิงอนุพันธ์ กำหนดตัวดำเนินการ L โดยที่ L {y j } = {y j+1 } , j=0,1,2,… เรียกตัวดำเนินการนี้ว่า ตัวดำเนินการเลื่อน (Shifting Operator) ซึ่งเลื่อนลำดับ y 0 , y 1 , y 2 ,… ไปทางซ้ายเป็นลำดับ y 1 , y 2 , y 3 ,… สมการ (16) เขียนใหม่ได้เป็น L n {y j }+ a n-1 L n-1 {y j }+…+a 1 L{y j }+a 0 L{y j }={0} ….(17)
30. ซึ่งพหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ p(L) = L n +a n-1 L n-1 +…+ a 0 = (L-x 1 )(L-x 2 )…(L-x n ) ถ้า x 1 , x 2 ,…, x n ต่างกันหมด ผลรวมเชิงเส้นทั้งหมดของลำดับนี้ จะเป็นผลเฉลยของสมการ (17) ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของ (17) คือ
33. ตัวอย่าง พิจารณาสมการผลต่างสืบเนื่อง y n+2 - 5y n+1 + 6 y n = 0 ; y 0 = 9 , y 1 = 23 เขียนในรูปตัวดำเนินการ L ได้เป็น (L 2 – 5L + 6)y n = 0 พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการ คือ p(L) = L 2 + 5L+6 = (L-2)(L-3) ดังนั้นผลเฉลย คือ y n = c 1 2 n + c 2 3 n เมื่อแทนเงื่อนไขเริ่มต้น จะได้ c 1 + c 2 = 9 2c 1 +3c 2 = 23
34. จากระบบสมการ นำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ ได้เป็น C = V -1 Y 0 เห็นได้ชัดว่า Vandermonde determinant จะครอบคลุมการแก้ของปัญหาต่างๆ ตามที่กล่าวมา #
38. เขียนในรูปเมทริกซ์ ได้เป็น … .(18) หรือ D Y = A Y ….(19) เมื่อ Y เป็นเวกเตอร์ที่ประกอบด้วยสมาชิก A เป็นเมทริกซ์ขนาด n x n ซึ่งอยู่ทางขวาของสมการ (18)
45. เมื่อใช้เงื่อนไขค่าเริ่มต้น D j y(0) = y j ; j = 0,1,2,…,n -1 จะแทนด้วย Y (0) = Y 0 ….(21) ทำให้ได้ว่า Y 0 = VI C = V C หรือ C = V -1 Y 0 สุดท้ายจะได้ผลเฉลยหนึ่งเดียวของสมการ (19) และ (21) จะอยู่ในรูป … . (22)
