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c) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes delos dos o más sucesos que se intersectan...
Ejemplo: lanzamos un dado al aire. el suceso (A) es que salga un número par, luego sucomplementario, suceso (B), es que sa...
Determina el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que se pueden formar conlos "n" elementos de una nuestra. Cada...
La expresión "Cm,n" representa las combinaciones de "m" elementos, formandosubgrupos de "n" elementos.Ejemplo: C10,4son la...
Es decir, tendríamos 3.628.800 formas diferentes de agrupar 10 elementos.                                   LECCION 20ª   ...
Es decir, podríamos formar 10.000 subgrupos diferentes de 4 elementos.c) Permutaciones con repetición:Para calcular el núm...
No demasiado elevada....pero el que la sigue la consigue.2.- EjercicioY la probabilidad de acertar 12 signos de la quiniel...
Por lo que la probabilidad de acertar los 3 caballos ganadores es:Algo mayor que en las quinielas.... Eso sí, se paga meno...
Donde:P (B/A) es la probabilidad de que se de el suceso B condicionada a que se haya dado elsuceso A.P (B A) es la probabi...
Por ejemplo: probabilidad de que al tirar un dado salga el número 2, condicionada aque haya salido un número impar.La prob...
De los alumnos que hablan inglés, un 20% hablan también alemán (suceso Bcondicionado al suceso A).Calcular la probabilidad...
Ejercicio 1º: En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientesprobabilidades de ser elegidas:a) Amarilla: p...
c) Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%.En definitiva, ¿cual es la probabilidad de que te su...
b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.Resulta que efectivamente...
Ejemplo: el suceso estatura de los alumnos de una clase y el color del pelo sonindependientes: el que un alumno sea más o ...
Por lo tanto, no se cumple ninguna de las tres condiciones señaladas por lo que estosdos sucesos no son independientes, si...
El suceso         es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que estasituación ocurre en las parejas      ...
La probabilidad de que se den simultáneamente dos sucesos (suceso intersección de A y B) esigual a la probabilidad a prior...
PROBABILIDAD COMPUESTALa probabilidad compuesta (o regla de multiplicación de probabilidades) se deriva de laprobabilidad ...
P (B/A) = 0,20P (A   B) = 0,50 * 0,20 = 0,10Es decir, un 10% de los alumnos hablan inglés y alemán.Ejemplo de probabilidad...
Problemas de probabilidad1Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:
1Dos caras.2Dos cruces.3Dos caras y una cruz.2Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga u...
1Sea roja.2Sea verde.3Sea amarilla.4No sea roja.5No sea amarilla.9Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se e...
14Dos hermanos salen de casa. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5disparos y el segundo una pieza cada 2 disparo...
452Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/3, p(B) = 1/4, p(A     B) = 1/5.Determinar:1234563En un centro escolar l...
1 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudiefrancés?2¿Y la probabilidad de que sea ch...
3Practique uno solo de los deportes.4No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.12En una ciudad, el 40% de la población tiene...
17Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si elnúmero de mujeres es cuatro veces super...
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  1. 1. La estadística, junto con la epidemiología, es un instrumento indispensable en elproceso de investigación en medicina. Formalmente, se puede clasificar la estadística endescriptiva, cuando se utiliza simplemente para la presentación y síntesis de lainformación recogida en un estudio, e inferencial, que tiene por objetivo generalizar lainformación obtenida en una muestra a resultados válidos para la población de la queprocede1. Supongamos, por ejemplo, que nos interesa comparar dos fármacos A y B ydeterminar cuál de ellos es más eficaz para el tratamiento de una determinadaenfermedad. Para ello, se diseña un estudio distribuyendo 100 enfermos en dos grupos,cada uno de los cuales recibe uno de los dos tratamientos. Al cabo de 1 mes, la tasa decuración en cada grupo es del 80% y del 70%, respectivamente. Ante esta información,¿es correcto suponer que el tratamiento A es mejor que el tratamiento B para estaenfermedad en concreto? La respuesta a esta pregunta, como a la mayor parte deproblemas que pueden plantearse en medicina, está sujeta a un cierto grado deincertidumbre que hacen muy complicado tomar una decisión al respecto. En larespuesta de un paciente al tratamiento pueden influir diversos factores, entre los que seincluye el azar, que pueden provocar una gran variabilidad en los resultados. Laaplicación de los principios de la estadística a la clínica permite reducir y cuantificardicha variabilidad y ayudar a la toma de decisiones. En particular, el cálculo deprobabilidades suministra las reglas apropiadas para cuantificar esa incertidumbre yconstituye la base para la estadística inductiva o inferencial.El objetivo de este trabajo consiste en introducir algunos de los conceptos básicos delcálculo de probabilidades, así como las reglas necesarias para el desarrollo de lainferencia estadística en medicina. Una exposición más detallada de estos y otrosconceptos puede encontrarse en referencias más especializadas2-8.El concepto de probabilidad resulta familiar a cualquier profesional del ámbitosanitario, pero una definición más precisa exige considerar la naturaleza matemática dedicho concepto. La probabilidad de ocurrencia de un determinado suceso podríadefinirse como la proporción de veces que ocurriría dicho suceso si se repitiese unexperimento o una observación en un número grande de ocasiones bajo condicionessimilares. Por definición, entonces, la probabilidad se mide por un número entre cero yuno: si un suceso no ocurre nunca, su probabilidad asociada es cero, mientras que siocurriese siempre su probabilidad sería igual a uno. Así, las probabilidades suelen venirexpresadas como decimales, fracciones o porcentajes.La definición anterior de probabilidad corresponde a la conocida como definiciónfrecuentista. Existe otra descripción más formal desde el punto teórico que permitedefinir el concepto de probabilidad mediante la verificación de ciertos axiomas a partirde los que se deducen todas las demás propiedades del cálculo de probabilidades2. Enotros contextos, se ha defendido una interpretación más amplia del concepto deprobabilidad que incluye las que podemos denominar probabilidades subjetivas opersonales, mediante las cuales se expresa el grado de confianza o experiencia en unaproposición. Esta definición constituye la base de los llamados métodos bayesianos, quese presentan como alternativa a la estadística tradicional centrada en el contraste dehipótesis9-11. No obstante, y en relación con el propósito de este trabajo, bastará conconsiderar la definición frecuentista anterior. Así, a partir de una población con Nelementos, de los cuales k presentan una característica A, se estimará la probabilidad dela característica A como P(A) = k/N. Así, por ejemplo, en una población de 100
  2. 2. pacientes, 5 de los cuales son diabéticos, la probabilidad de padecer diabetesp(Diabetes) se estimará como el cocient:e 5/100= 0.5.Es conveniente conocer algunas de las propiedades básicas del cálculo deprobabilidades: Para un suceso A, la probabilidad de que suceda su complementario (o equivalentemente, de que no suceda A) es igual a uno menos la probabilidad de A: donde denota al suceso contrario o suceso complementario de A. Si un fenómeno determinado tiene dos posibles resultados A y B mutuamente excluyentes (es decir, que no pueden darse de forma simultánea, como ocurre en el lanzamiento de una moneda al aire), la probabilidad de que una de esas dos posibilidades ocurra se calcula como la suma de las dos probabilidades individuales: (1)La extensión de la ley aditiva anterior al caso de más de dos sucesos mutuamenteexcluyentes A, B, C... indica que:Consideremos, como ejemplo, un servicio de urología en el que el 38,2% de lospacientes a los que se les practica una biopsia prostática presentan una hiperplasiabenigna (HB), el 18,2% prostatitis (PR) y en un 43,6% el diagnóstico es de cáncer (C).La probabilidad de que en un paciente que se somete a una biopsia de próstata no seconfirme el diagnóstico de cáncer prostático será igual a:Es decir, en un 56,4% de los casos se logra descartar un diagnóstico maligno. De modoequivalente, la probabilidad anterior podría haberse calculado como la probabilidad delsuceso contrario al del diagnóstico de cáncer:Nótese la importancia del hecho de que los sucesos anteriores sean mutuamenteexcluyentes. Sin esta condición, la ley de adición no será válida. Por ejemplo, se sabeque en una determinada Unidad de Cuidados Intensivos (UCI) el 6,9% de los pacientesque ingresan lo hacen con una infección adquirida en el exterior, mientras que el 13,7%adquieren una infección durante su estancia en el hospital. Se conoce además que el1,5% de los enfermos ingresados en dicha unidad presentan una infección de ambostipos. ¿Cuál será entonces la probabilidad de que un determinado paciente presente unainfección de cualquier tipo en UCI? Para realizar el cálculo, si se suman simplemente
  3. 3. las probabilidades individuales (0,069+0,137) la probabilidad de un suceso doble(infección comunitaria y nosocomial) se estará evaluando dos veces, la primera comoparte de la probabilidad de padecer una infección comunitaria y la segunda como partede la probabilidad de adquirir una infección en la UCI. Para obtener la respuestacorrecta se debe restar la probabilidad del doble suceso. Así: Si un fenómeno determinado tiene dos posibles resultados A y B, la probabilidad de que una de esas dos posibilidades ocurra viene dada, en general, por la expresión:Por lo tanto, si dos o más sucesos no son mutuamente excluyentes, la probabilidad deque ocurra uno de ellos o ambos se calcula sumando las probabilidades individuales deque ocurra una de esas circunstancia, pero restando la probabilidad de que ocurra lacomún.Resulta evidente que, para el caso de procesos mutuamente excluyentes, yse obtiene (1).En el ejemplo anterior, la probabilidad de infección en UCI vendrá dada, por lo tanto,como:Es decir, 19 de cada 100 enfermos registrará alguna infección (ya sea de tipocomunitario o nosocomial) durante su ingreso en la citada unidad.A veces, la probabilidad de que un determinado suceso tenga lugar depende de que otrosuceso se haya producido o no con anterioridad. Esto es, en ocasiones el hecho de quese produzca un determinado fenómeno puede hacer más o menos probable la apariciónde otro. Este tipo de probabilidades se denominan probabilidades condicionadas, y sedenotará por a la probabilidad condicionada del suceso A suponiendo que elsuceso B haya ocurrido ya. La ley multiplicativa de probabilidades indica que la probabilidad de que dos sucesos A y B ocurran simultáneamente es igual a: (3)La ley multiplicativa anterior se utiliza también con el fin de determinar unaprobabilidad condicional a partir de los valores de y : (4)Supongamos, por ejemplo, que queremos estudiar la incidencia del hecho de serfumador como factor de riesgo en el desarrollo de una enfermedad en una determinadapoblación. Para ello se diseñó un estudio prospectivo y, tras seleccionar una muestra de
  4. 4. 180 sujetos, los resultados son los que se muestran en la Tabla 1. Considerando toda lamuestra, la probabilidad de desarrollar la enfermedad (E) en la población de estudio es:Mientras que la probabilidad de padecer la enfermedad un fumador (F) es:Y un no fumador:Teniendo en cuenta que:Podría haberse aplicado la fórmula (4) para obtener cualquiera de las dos probabilidadescondicionadas anteriores, resultando idénticos valores:En el ejemplo, se constata por lo tanto que la incidencia de la enfermedad es diferenteen la población fumadora que en la no fumadora (85,7% vs 18,2%). Así pues, laprobabilidad de desarrollar la enfermedad depende de si se es o no fumador. En otrasocasiones, sin embargo, sucede que la ocurrencia o no de un determinado fenómeno Bno influye en la ocurrencia de otro suceso A. Se dice entonces que los sucesos A y Bson independientes y se verificará que: (5)Sustituyendo (5) en (3) se obtiene entonces que:Es decir, en caso de independencia, la probabilidad de que ocurran dos sucesos de formasimultánea es igual al producto de las probabilidades individuales de ambossucesos.Así, dos sucesos son independientes, si el resultado de uno no tiene efecto en elotro; o si el que ocurra el primero de ellos no hace variar la probabilidad de que se de elsegundo.
  5. 5. Obviamente, en la práctica, y debido a las variaciones en el muestreo, seráextremadamente difícil encontrar una muestra que reproduzca de forma exacta lascondiciones de independencia anteriores. El determinar si las diferencias observadas sono no compatibles con la hipótesis de independencia constituye uno de los principalesproblemas que aborda la estadística inferencial. Si se considera un fenómeno con k resultados posibles, mutuamente excluyentes, B1, B2,...,Bk y se conoce la probabilidad de cada uno de ellos, el llamado Teorema de las Probabilidades Totales permite calcular la probabilidad de un suceso A a partir de las probabilidades condicionadas:Utilizando la expresión para el cálculo de la probabilidad de la intersección de dossucesos se tiene que y, por lo tanto:En el ejemplo anterior, podría aplicarse este resultado para el cálculo de la incidencia dela enfermedad en la población de estudio:Las leyes aditiva y multiplicativa, junto con la noción de probabilidades condicionadasy el teorema de las probabilidades totales se han empleado para desarrollar el llamadoTeorema de Bayes, de indudable interés en la aplicación de la estadística al campo dela medicina. Si se parte de la definición de probabilidad condicionada (4): ósiempre que y . Aplicando además el teorema de las probabilidadestotales se llega a que:El diagnóstico médico constituye un problema típico de aplicación del Teorema deBayes en el campo médico, puesto que permite el cálculo de la probabilidad de que unpaciente padezca una determinada enfermedad una vez dados unos síntomas concretos.La capacidad predictiva de un test o de una prueba diagnóstica suele venir dada entérminos de su sensibilidad y especificidad12. Tanto la sensibilidad como laespecificidad son propiedades intrínsecas a la prueba diagnóstica, y definen su validezindependientemente de cuál sea la prevalencia de la enfermedad en la población a lacual se aplica. Sin embargo, carecen de utilidad en la práctica clínica, ya que sóloproporcionan información acerca de la probabilidad de obtener un resultado concreto(positivo o negativo) en función de si un paciente está realmente enfermo o no. Por el
  6. 6. contrario, el concepto de valores predictivos, a pesar de ser de enorme utilidad a la horade tomar decisiones clínicas y transmitir información sobre el diagnóstico, presenta lalimitación de que dependen en gran medida de lo frecuente que sea la enfermedad adiagnosticar en la población objeto de estudio. El Teorema de Bayes permite obtener elvalor predictivo asociado a un test al aplicarlo en poblaciones con índices deprevalencia muy diferentes.Consideremos como ejemplo un caso clínico en el que una gestante se somete a laprueba de sobrecarga oral con 50 gramos de glucosa para explorar la presencia dediabetes gestacional, obteniéndose un resultado positivo. Es sabido que dicho testpresenta unos valores aproximados de sensibilidad y especificidad en torno al 80% y al87%, respectivamente. Si se conoce además que la prevalencia de diabetes gestacionalen la población de procedencia es aproximadamente de un 3%, por medio del teoremade Bayes podemos conocer la probabilidad de que el diagnóstico sea correcto o,equivalentemente, el valor predictivo positivo:Se puede concluir por lo tanto que, a pesar de obtener un resultado positivo en laprueba, existe sólo una probabilidad de un 15,9% de que la paciente padezca diabetesgestacional.Supongamos que además dicha paciente tiene más de 40 años de edad. Se sabe que engrupos de edad más avanzada la prevalencia de diabetes gestacional entre las gestantesllega a aumentar hasta aproximadamente un 8%. En este caso, el valor predicativopositivo asociado vendrá dado por:En este caso las posibilidades de un diagnóstico de diabetes gestacional aumentan hastaun 34,86%.En un caso como este, en que se realiza una prueba para obtener información sobre undiagnóstico, suele hablarse de probabilidad a priori, que es la disponible antes derealizar la prueba (la prevalencia, en este caso) y probabilidad a posteriori, que es laobtenida después de realizarla (los valores predictivos). A su vez, se suele denominarverosimilitudes a las probabilidades de un suceso bajo distintas hipótesis. El teorema deBayes permite así obtener los valores de las probabilidades a posteriori a partir de lasprobabilidades a priori mediante una multiplicación proporcional a las verosimilitudes.Tal y como se indicó al inicio del presente artículo, la teoría de la probabilidadconstituye la base matemática para la aplicación de la estadística inferencial en
  7. 7. medicina. El cálculo de probabilidades constituye una herramienta que permitirá hacerinferencia sobre distintos parámetros poblacionales a partir de los resultados obtenidosen una muestra, y después tomar decisiones con el mínimo riesgo de equivocación ensituaciones de incertidumbre. Probabilidad: Relación entre sucesosEntre los sucesos compuestos se pueden establecer distintas relaciones:a) Un suceso puede estar contenido en otro: las posibles soluciones del primer sucesotambién lo son del segundo, pero este segundo suceso tiene además otras solucionessuyas propias.Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 6, y b)que salga un número par. Vemos que el suceso a) está contenido en el suceso b).Siempre que se da el suceso a) se da el suceso b), pero no al contrario. Por ejemplo, si elresultado fuera el 2, se cumpliría el suceso b), pero no elel a).b) Dos sucesos pueden ser iguales: esto ocurre cuando siempre que se cumple uno deellos se cumple obligatoriamente el otro y viceversa.Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par,y b) que salga múltiplo de 2. Vemos que las soluciones coinciden en ambos casos.c) Unión de dos o más sucesos: la unión será otro suceso formado por todos loselementos de los sucesos que se unen.Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número pary b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión estaría formado por lossiguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6d) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes dedos o más sucesos que se intersectan.Ejemplo: lanzamos un dado al aire, y analizamos dos sucesos: a) que salga número par,y b) que sea mayor que 4. La intersección de estos dos sucesos tiene un sólo elemento,el número 6 (es el único resultado común a ambos sucesos: es mayor que 4 y es númeropar).e) Sucesos incompatibles: son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo ya queno tienen elementos comunes (su interesección es el conjunto vacio).Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un númeromenor que 3, y b) que salga el número 6. Es evidente que ambos no se pueden dar almismo tiempo.
  8. 8. f) Sucesos complementarios: son aquellos que si no se da uno, obligatoriamente setiene que dar el otro.Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un númeropar, y b) que salga un número impar. Vemos que si no se da el primero se tiene que darel segundo (y viceversa). LECCION 16ª Cálculo de probabilidadesProbabilidadComo hemos comentado anteriormente, la probabilidad mide la mayor o menorposibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso) cuando se realiza unexperimento aleatorio.La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y100%):El valor cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al aire y laprobabilidad de que salga el número 7 es cero (al menos, si es un dado certificado por laOMD, "Organización Mundial de Dados").El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire y laprobabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%).El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayorcuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar.¿Cómo se mide la probabilidad?Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define laprobabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles. P(A) = Casos favorables / casos posiblesVeamos algunos ejemplos:a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable es tansólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles son seis (puede salircualquier número del uno al seis). Por lo tanto: P(A) = 1 / 6 = 0,166 (o lo que es lo mismo, 16,6%)b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso loscasos favorables son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casosposibles siguen siendo seis. Por lo tanto:
  9. 9. P(A) = 3 / 6 = 0,50 (o lo que es lo mismo, 50%)c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en estecaso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frentea los seis casos posibles. Por lo tanto: P(A) = 4 / 6 = 0,666 (o lo que es lo mismo, 66,6%)d) Probabilidad de que nos toque el "Gordo" de Navidad: tan sólo un casofavorable, el número que jugamos (¡qué triste...¡), frente a 100.000 casos posibles. Porlo tanto: P(A) = 1 / 100.000 = 0,00001 (o lo que es lo mismo, 0,001%)Merece la pena ...... Por cierto, tiene la misma probabilidad el número 45.264, que elnúmero 00001, pero ¿cuál de los dos comprarías?Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que cumplir dosrequisitos:a) El número de resultados posibles (sucesos) tiene que ser finito. Si hubierainfinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables / casos posibles" el cocientesiempre sería cero.b) Todos los sucesos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar un dado,algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podríamos aplicar estaregla.A la regla de Laplace también se le denomina "probabilidad a priori", ya que paraaplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posiblesresultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades.¿Y si el experimento aleatorio no cumple los dos requisitos indicados, quéhacemos?, ¿ponemos una denuncia?No, no va a ser necesario denunciar a nadie, ya que en este caso podemos acudir a otromodelo de cálculo de probabilidades que se basa en la experiencia (modelofrecuentista):Cuando se realiza un experimento aleatorio un número muy elevado de veces, lasprobabilidades de los diversos posibles sucesos empiezan a converger hacia valoresdeterminados, que son sus respectivas probabilidades.Ejemplo: si lanzo una vez una moneda al aire y sale "cara", quiere decir que el suceso"cara" ha aparecido el 100% de las veces y el suceso "cruz" el 0%.Si lanzo diez veces la moneda al aire, es posible que el suceso "cara" salga 7 veces y elsuceso "cruz" las 3 restantes. En este caso, la probabilidad del suceso "cara" ya no seríadel 100%, sino que se habría reducido al 70%.
  10. 10. Si repito este experimento un número elevado de veces, lo normal es que lasprobabilidades de los sucesos "cara" y "cruz" se vayan aproximando al 50% cada una.Este 50% será la probabilidad de estos sucesos según el modelo frecuentista.En este modelo ya no será necesario que el número de soluciones sea finito, ni quetodos los sucesos tengan la misma probabilidad.Ejemplo: si la moneda que utilizamos en el ejemplo anterior fuera defectuosa (oestuviera trucada), es posible que al repetir dicho experimento un número elevado deveces, la "cara" saliera con una frecuencia, por ejemplo, del 65% y la "cruz" del 35%.Estos valores serían las probabilidades de estos dos sucesos según el modelofrecuentista.A esta definición de la probabilidad se le denomina probabilidad a posteriori, ya quetan sólo repitiendo un experimento un número elevado de veces podremos saber cual esla probabilidad de cada suceso.Probabilidad de sucesosAl definir los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar dossucesos entre sí, así como de las posibles relaciones que se pueden establecer entre losmismos. Vamos a ver ahora cómo se refleja esto en el cálculo de probabilidades.a) Un suceso puede estar contenido en otro: entonces, la probabilidad del primersuceso será menor que la del suceso que lo contiene.Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 6, y b)que salga un número par. Dijimos que el suceso a) está contenido en el suceso b). P(A) = 1/6 = 0,166 P(B) = 3 / 6 = 0,50Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del suceso contenido, suceso a), es menorque la probabilidad del suceso que lo contiene, suceso b).b) Dos sucesos pueden ser iguales: en este caso, las probabilidades de ambos sucesosson las mismas.Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par,y b) que salga múltiplo de 2. Las soluciones coinciden en ambos casos. P(A) = 3 / 6 = 0,50 P(B) = 3 / 6 = 0,50
  11. 11. c) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes delos dos o más sucesos que se intersectan. La probabilidad será igual a la probabilidad delos elemntos comunes.Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par,y b) que sea mayor que 3. La intersección de estos dos sucesos tiene dos elementos: el 4y el 6.Su probabilidad será por tanto: P(A B) = 2 / 6 = 0,33d) Unión de dos o más sucesos: la probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a lasuma de las probabilidades individuales de los dos sucesos que se unen, menos laprobabilidad del suceso intersecciónEjemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par,y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión estaría formado por lossiguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6. P(A) = 3 / 6 = 0,50 P(B) = 3 / 6 = 0,50 P (A B) = 2 / 6 = 0,33Por lo tanto, P (A u B) = (0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666e) Sucesos incompatibles: la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatiblesserá igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos (ya que suintersección es el conjunto vacio y por lo tanto no hay que restarle nada).Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un númeromenor que 3, y b) que salga el número 6.La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a: P(A) = 2 / 6 = 0,333 P(B) = 1 / 6 = 0,166Por lo tanto, P(A u B) = 0,33 + 0,166 = 0,50f) Sucesos complementarios: la probabilidad de un suceso complementario a un suceso(A) es igual a 1 - P(A)
  12. 12. Ejemplo: lanzamos un dado al aire. el suceso (A) es que salga un número par, luego sucomplementario, suceso (B), es que salga un número impar.La probabilidad del suceso (A) es igual a : P(A) = 3 / 6 = 0,50Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual a: P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 = 0,50Se puede comprobar aplicando la regla de "casos favorables / casos posibles": P(B) = 3 / 6 = 0,50g) Unión de sucesos complementarios: la probabilidad de la unión de dos sucesoscomplementarios es igual a 1.Ejemplo: seguimos con el ejemplo anterior: a) que salga un número par, y b) que salgaun número impar. La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a: P(A) = 3 / 6 = 0,50 P(B) = 3 / 6 = 0,50Por lo tanto, P(A U B) = 0,50 + 0,50 = 1Para aplicar la Regla de Laplace, el cálculo de los sucesos favorables y de los sucesosposibles a veces no plantea ningún problema, ya que son un número reducido y sepueden calcular con facilidad:Por ejemplo: Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2. Tan sólo hay uncaso favorable, mientras que los casos posibles son seis.Probabilidad de acertar al primer intento el horóscopo de una persona. Hay un casofavorable y 12 casos posibles.Sin embargo, a veces calcular el número de casos favorables y casos posibles escomplejo y hay que aplicar reglas matemáticas:Por ejemplo: 5 matrimonios se sientan aleatoriamente a cenar y queremos calcular laprobabilidad de que al menos los miembros de un matrimonio se sienten junto. En estecaso, determinar el número de casos favorables y de casos posibles es complejo.Las reglas matemáticas que nos pueden ayudar son el cálculo de combinaciones, elcálculo de variaciones y el cálculo de permutaciones.a) Combinaciones:
  13. 13. Determina el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que se pueden formar conlos "n" elementos de una nuestra. Cada subgrupo se diferencia del resto en loselementos que lo componen, sin que influya el orden.Por ejemplo, calcular las posibles combinaciones de 2 elementos que se pueden formarcon los números 1, 2 y 3.Se pueden establecer 3 parejas diferentes: (1,2), (1,3) y (2,3). En el cálculo decombinaciones las parejas (1,2) y (2,1) se consideran idénticas, por lo que sólo secuentan una vez.b) Variaciones:Calcula el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc.elementos que se pueden establecer conlos "n" elementos de una muestra. Cada subgrupo se diferencia del resto en loselementos que lo componen o en el orden de dichos elementos (es lo que le diferenciade las combinaciones).Por ejemplo, calcular las posibles variaciones de 2 elementos que se pueden establecercon los número 1, 2 y 3.Ahora tendríamos 6 posibles parejas: (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1) y (3,3). En este casolos subgrupos (1,2) y (2,1) se consideran distintos.c) Permutaciones:Cálcula las posibles agrupaciones que se pueden establecer con todos los elementos deun grupo, por lo tanto, lo que diferencia a cada subgrupo del resto es el orden de loselementos.Por ejemplo, calcular las posibles formas en que se pueden ordenar los número 1, 2 y 3.Hay 6 posibles agrupaciones: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) y (3, 2, 1)¿Cómo se calculan?a) Combinaciones:Para calcular el número de combinaciones se aplica la siguiente fórmula:El termino" n ! " se denomina "factorial de n" y es la multiplicación de todos losnúmeros que van desde "n" hasta 1.Por ejemplo: 4 ! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
  14. 14. La expresión "Cm,n" representa las combinaciones de "m" elementos, formandosubgrupos de "n" elementos.Ejemplo: C10,4son las combinaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4elementos:Es decir, podríamos formar 210 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los 10elementos.b) Variaciones:Para calcular el número de variaciones se aplica la siguiente fórmula:La expresión "Vm,n" representa las variaciones de "m" elementos, formando subgruposde "n" elementos. En este caso, como vimos en la lección anterior, un subgrupo sediferenciará del resto, bien por los elementos que lo forman, o bien por el orden dedichos elementos.Ejemplo: V10,4son las variaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4elementos:Es decir, podríamos formar 5.040 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los10 elementos.c) Permutaciones:Para calcular el número de permutaciones se aplica la siguiente fórmula:La expresión "Pm" representa las permutaciones de "m" elementos, tomando todos loselementos. Los subgrupos se diferenciaran únicamente por el orden de los elementos.Ejemplo: P10 son las permutaciones de 10 elementos:
  15. 15. Es decir, tendríamos 3.628.800 formas diferentes de agrupar 10 elementos. LECCION 20ª Combinaciones, Variaciones y Permutaciones (III)Vamos a analizar ahora que ocurriría con el cálculo de las combinaciones, de lasvariaciones o de las permutaciones en el supuesto de que al formar los subgrupos loselementos pudieran repetirse.Por ejemplo: tenemos bolas de 6 colores diferentes y queremos formar subgrupos enlos que pudiera darse el caso de que 2, 3, 4 o todas las bolas del subgrupo tuvieran elmismo color. En este caso no podríamos utilizar las fórmulas que vimos en la lecciónanterior.a) Combinaciones con repetición:Para calcular el número de combinaciones con repetición se aplica la siguiente fórmula:Ejemplo: C10,4 son las combinaciones de 10 elementos con repetición, agrupándolos ensubgrupos de 4, en los que 2, 3 o los 4 elementos podrían estar repetidos:Es decir, podríamos formar 715 subgrupos diferentes de 4 elementos.b) Variaciones con repetición:Para calcular el número de variaciones con repetición se aplica la siguiente fórmula:Ejemplo: V10,4 son las variaciones de 10 elementos con repetición, agrupándolos ensubgrupos de 4 elementos:
  16. 16. Es decir, podríamos formar 10.000 subgrupos diferentes de 4 elementos.c) Permutaciones con repetición:Para calcular el número de permutaciones con repetición se aplica la siguiente fórmula:Son permutaciones de "m" elementos, en los que uno de ellos se repite " x1 " veces, otro" x2 " veces y así ... hasta uno que se repite " xk " veces.Ejemplo: Calcular las permutaciones de 10 elementos, en los que uno de ellos se repite en 2 ocasionesy otro se repite en 3 ocasiones:Es decir, tendríamos 302,400 formas diferentes de agrupar estos 10 elementos. LECCION 21ª Ejercicios1.- EjercicioCalcular la probabilidad de acertar los 14 signos de la quiniela:Solución:Se aplica la Regla de Laplace (casos favorables / casos posibles). El caso favorable estan sólo uno (acertar los 14 signos). Los casos posibles se calculan como variacionescon repetición de 3 elementos (1, X y 2), tomados de 14 en 14 (los signos que hay querellenar).Son variaciones y no combinaciones ya que el orden influye: no es lo mismo (1,1,X)que (1, X, 1). Y son con repetición, ya que cualquiera de los signos (1, X y 2) se puederepetir hasta 14 veces.Por lo tanto, los casos posibles son:Y la probabilidad de acertar los 14 resultados es:
  17. 17. No demasiado elevada....pero el que la sigue la consigue.2.- EjercicioY la probabilidad de acertar 12 signos de la quiniela:Solución:Aplicamos nuevamente la Regla de Laplace. En este caso los casos favorables secalculan como combinaciones de 14 elementos tomados de 2 en 2, de esta maneraobtenemos todas las posibles alternativas de fallar 2 resultados de 14 (lo que equivale aacertar 12 resultados). Utilizamos combinaciones y no variaciones ya que el orden noimporta (da lo mismo fallar el 3º y el 6º, que el 6º y el 3º)Los casos posibles siguen siendo los mismos:Por lo que la probabilidad de acertar 12 resultados es:Por lo tanto, tenemos más probabilidades de acertar 12 resultados que 14 (¿será por esopor lo que pagan menos?).3.- EjercicioCalcular la probabilidad de, en una carrera de 12 caballos, acertar los 3 que quedanprimeros (sin importar cual de ellos queda primero, cual segundo y cual tercero).Solución:Se aplica la Regla de Laplace. El caso favorable es tan sólo uno: los 3 caballos queentran en primer lugar. Los casos posibles se calculan como combinaciones de 12elementos tomados de 3 en 3 (es decir, determinamos todos las posibles alternativas de3 caballos que pueden entrar en las 3 primeras posiciones). Como el orden de estos 3primeros caballos no importa, utilizamos combinaciones en lugar de variaciones.Por lo tanto, los casos posibles son:
  18. 18. Por lo que la probabilidad de acertar los 3 caballos ganadores es:Algo mayor que en las quinielas.... Eso sí, se paga menos.4.- EjercicioY si hubiera que acertar, no sólo los 3 caballos que ganan, sino el orden de su entrada enmeta.Solución:El caso favorable sigue siendo uno: los 3 caballos que entran en primer lugar,colocados en su orden correspondiente.Los casos posibles se calculan ahora como variaciones (ya que el orden influye) de 12elementos tomados de 3 en 3 (calculamos todas las posibles maneras en que los 12caballos podrían ocupar las 3 primeras posiciones.Por lo que la probabilidad de acertar los 3 caballos ganadores es:Menor que en el ejemplo 3º. Ya no vale acertar que 3 caballos entran en primer lugar,sino que tenemos que acertar el orden de su entrada. LECCION 22ª Probabilidad condicionadaLas probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha incorporadoinformación adicional a la situación de partida:Ejemplo: se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es 1/6(probabilidad a priori). Si incorporamos nueva información (por ejemplo, alguien nosdice que el resultado ha sido un número par) entonces la probabilidad de que elresultado sea el 2 ya no es 1/6.Las probabilidades condicionadas se calculan aplicando la siguiente fórmula:
  19. 19. Donde:P (B/A) es la probabilidad de que se de el suceso B condicionada a que se haya dado elsuceso A.P (B A) es la probabilidad del suceso simultáneo de A y de BP (A) es la probabilidad a priori del suceso AEn el ejemplo que hemos visto:P (B/A) es la probabilidad de que salga el número 2 (suceso B) condicionada a que hayasalido un número par (suceso A).P (B A) es la probabilidad de que salga el dos y número par.P (A) es la probabilidad a priori de que salga un número par.Por lo tanto: P (B A) = 1/6 P (A) = 1/2 P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3Luego, la probabilidad de que salga el número 2, si ya sabemos que ha salido unnúmero par, es de 1/3 (mayor que su probabilidad a priori de 1/6).2º ejemplo:En un estudio sanitario se ha llegado a la conclusión de que la probabilidad de que unapersona sufra problemas coronarios (suceso B) es el 0,10 (probabilidad a priori).Además, la probabilidad de que una persona sufra problemas de obesidad (suceso A) esel 0,25 y la probabilidad de que una persona sufra a la vez problemas de obesidad ycoronarios (suceso intersección de A y B) es del 0,05.Calcular la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios si está obesa(probabilidad condicionada P(B/A)). P (B A) = 0,05 P (A) = 0,25 P (B/A) = 0,05 / 0,25 = 0,20Por lo tanto, la probabilidad condicionada es superior a la probabilidad a priori. Nosiempre esto es así, a veces la probabilidad condicionada es igual a la probabilidad apriori o menor.
  20. 20. Por ejemplo: probabilidad de que al tirar un dado salga el número 2, condicionada aque haya salido un número impar.La probabilidad condicionada es en este caso cero, frente a una probabilidad a priori de1/6. Clase anteriorLa probabilidad compuesta (o regla de multiplicación de probabilidades) se deriva dela probabilidad condicionada:La probabilidad de que se den simultáneamente dos sucesos (suceso intersección de A yB) es igual a la probabilidad a priori del suceso A multiplicada por la probabilidad delsuceso B condicionada al cumplimiento del suceso A.La fórmula para calcular esta probabilidad compuesta es:Ejemplo 1º : Estudiamos el suceso A (porcentaje de varones mayores de 40 añoscasados) y el suceso B (varones mayores de 40 años con más de 2 hijos) y obtenemos lasiguiente información:Un 35% de los varones mayores de 40 años están casados.De los varones mayores de 40 años y casados, un 30% tienen más de 2 hijos (suceso Bcondicionado al suceso A).Calcular la probabilidad de que un varón mayor de 40 años esté casado y tengamás de 2 hijos (suceso intersección de A y B).Por lo tanto: P (A) = 0,35 P (B/A) = 0,30 P (A B) = 0,35 * 0,30 = 0,105Es decir, un 10,5% de los varones mayores de 40 años están casados y tienen más de 2hijos.2º ejemplo: Estudiamos el suceso A (alumnos que hablan inglés) y el suceso B(alumnos que hablan alemán) y obtenemos la siguiente información:Un 50% de los alumnos hablan inglés.
  21. 21. De los alumnos que hablan inglés, un 20% hablan también alemán (suceso Bcondicionado al suceso A).Calcular la probabilidad de que un alumno hable inglés y alemán (sucesointersección de A y B).Por lo tanto: P (A) = 0,50 P (B/A) = 0,20 P (A B) = 0,50 * 0,20 = 0,10Es decir, un 10% de los alumnos hablan inglés y alemán.El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un sucesoa partir de probabilidades condicionadas:Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x%y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuáles la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de quellueva y la probabilidad de que haga buen tiempo.La fórmula para calcular esta probabilidad es:Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurraun accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidadescondicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de unaccidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cadasuceso A.Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplentodas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).Ejemplo: al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir cruz" forman unsistema completo, no hay más alternativas: la suma de sus probabilidades es el 100%Ejemplo: al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un sistemacompleto, ya que no contempla todas las opciones (podría salir el 5 o el 6). En este casono se podría aplicar el teorema de la probabilidad total.
  22. 22. Ejercicio 1º: En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientesprobabilidades de ser elegidas:a) Amarilla: probabilidad del 50%.b) Verde: probabilidad del 30%c) Roja: probabilidad del 20%.Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos. Así, si lapapeleta elegida es:a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%.b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60%c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%.Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el queparticipes?:1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman 100%2.- Aplicamos la fórmula:Luego, P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%.Ejercicio 2º: Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos:a) Carlos, con una probabilidad del 60%b) Juan, con una probabilidad del 30%c) Luis, con una probabilidad del 10%En función de quien sea tu próximo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo es lasiguiente:a) Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%.b) Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%.
  23. 23. c) Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%.En definitiva, ¿cual es la probabilidad de que te suban el sueldo?:1.- Los tres candidatos forman un sistema completo2.- Aplicamos la fórmula: P (B) = (0,60 * 0,05) + (0,30 * 0,20) + (0,10 * 0,60) = 0,15Por tanto, la probabilidad de que te suban el sueldo es del 15%. Lo llevas claro amigo...El Teorema de Bayesviene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en elTeorema de la probabilidad total:Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A(probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad delsuceso B (que ocurra un accidente).Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente)deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).La fórmula del Teorema de Bayes es:Tratar de explicar estar fórmula con palabras es un galimatías, así que vamos a intentarexplicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en el ejercicio, recordar queeste teorema también exige que el suceso A forme un sistema completo.Ejercicio 1º: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin desemana:a) Que llueva: probabilidad del 50%.b) Que nieve: probabilidad del 30%c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidentees la siguiente:a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.
  24. 24. b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la ciudad nosabemos que tiempo hizo (nevó, llovío o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permitecalcular estas probabilidades:Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente sedenominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y nieblacon el 10%).Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, lasprobabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que sedenominan "probabilidades a posteriori".Vamos a aplicar la fórmula:a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente(probabilidad a posteriori) es del 71,4%.b) Probabilidad de que estuviera nevando:La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.c) Probabilidad de que hubiera niebla:La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%.Dos sucesos son independientes entre sí, si la ocurrencia de uno de ellos no afecta paranada a la ocurrencia del otro:
  25. 25. Ejemplo: el suceso estatura de los alumnos de una clase y el color del pelo sonindependientes: el que un alumno sea más o menos alto no va a influir en el color de sucabello, ni viceversa.Para que dos sucesos sean independientes tienen que verificar al menos una de lassiguientes condiciones:P (B/A) = P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso B, condicionada aque previamente se haya dado el suceso A, es exactamente igual a la probabilidad de B.Ejemplo: la probabilidad de que al tirar una moneda salga cara (suceso B),condicionada a que haga buen tiempo (suceso A), es igual a la propia probabilidad delsuceso B.P (A/B) = P (A) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso A, condicionada aque previamente se haya dado el suceso B, es exactamente igual a la probabilidad de A.Ejemplo: la probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A), condicionada a que altirar una moneda salga cara (suceso B), es igual a la propia probabilidad del suceso A.P (A B) = P (A) * P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso conjuntoA y B es exactamente igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por laprobabilidsad del suceso B.Ejemplo: la probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A) y salga cara al tirar unamoneda (suceso B), es igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por laprobabilidad del suceso BSi el suceso A es independiente del suceso B, entonces el suceso B también esindependiente del suceso A.Ejemplo 1º: analicemos dos sucesos:Suceso A: la probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4Suceso B: la probabilidad de tener un accidente es del 0,1Suceso intersección: la probabilidad de que haga buen tiempo y tener un accidente esdel 0,08Veamos si se cumple alguna de las condiciones señaladas:P (B/A) = P (A B) / P (A) = 0,08 / 0,4 = 0,2 (que no es igual a P (B))P (A/B) = P (A B) / P (B) = 0,08 / 0,6 = 0,133 (que no es igual a P (A))P (A B) = 0,08 (que no es igual a P (A) multiplicado por P (B))
  26. 26. Por lo tanto, no se cumple ninguna de las tres condiciones señaladas por lo que estosdos sucesos no son independientes, sino que existe algún grado de dependencia entreellos.Ejemplo 2º: analicemos dos sucesos:Suceso A: la probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4Suceso B: la probabilidad de salir cara al lanzar una moneda es del 0,5Suceso intersección: la probabilidad de que haga buen tiempo y que salga cara es 0,2Veamos si se cumple alguna de las condiciones señaladas:P (B/A) = P (A B) / P (A) = 0,2 / 0,4 = 0,5 (igual que P (B))P (A/B) = P (A B) / P (B) = 0,2 / 0,6 = 0,4 (igual que P (A))P (A B) = 0,2 (igual a P (A) multiplicado por P (B))Por lo tanto, estos dos sucesos sí son independientes.Llamamos probabilidad condicionada del suceso respecto del suceso , y lodenotamos por al cociente[editar] EjemploSe lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de losdados haya salido un tres?Sean los sucesos = "la suma de los puntos es siete" y = "en alguno de los dados ha salido un tres"
  27. 27. El suceso es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que estasituación ocurre en las parejas y . Por tanto,Probabilidad de la intersección de sucesos independientesp(A B) = p(A) · p(B)EjemploSe tiene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a meter. ¿Cuál es laprobabilidad de extraer dos ases?Probabilidad de la intersección de sucesos dependientesp(A B) = p(A) · p(B/A)EjemploSe tiene una baraja de 40 cartas, se extraen dos cartas. ¿Cuál es la probabilidad deextraer dos ases?Probabilidad de la diferencia de sucesosPROBABILIDAD COMPUESTALa probabilidad compuesta (o regla de multiplicación de probabilidades) se deriva de laprobabilidad condicionada:
  28. 28. La probabilidad de que se den simultáneamente dos sucesos (suceso intersección de A y B) esigual a la probabilidad a priori del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso Bcondicionada al cumplimiento del suceso A.La fórmula para calcular esta probabilidad compuesta es:Ejemplo 1º : Estudiamos el suceso A (porcentaje de varones mayores de 40 años casados) yel suceso B (varones mayores de 40 años con más de 2 hijos) y obtenemos la siguienteinformación:Un 35% de los varones mayores de 40 años están casados.De los varones mayores de 40 años y casados, un 30% tienen más de 2 hijos (suceso Bcondicionado al suceso A).Calcular la probabilidad de que un varón mayor de 40 años esté casado y tengamás de 2 hijos (suceso intersección de A y B).Por lo tanto:P (A) = 0,35P (B/A) = 0,30P (A B) = 0,35 * 0,30 = 0,105Es decir, un 10,5% de los varones mayores de 40 años están casados y tienen más de 2 hijos.2º ejemplo: Estudiamos el suceso A (alumnos que hablan inglés) y el suceso B (alumnos quehablan alemán) y obtenemos la siguiente información:Un 50% de los alumnos hablan inglés.De los alumnos que hablan inglés, un 20% hablan también alemán (suceso B condicionado alsuceso A).Calcular la probabilidad de que un alumno hable inglés y alemán (sucesointersección de A y B).Por lo tanto:P (A) = 0,50P (B/A) = 0,20P (A B) = 0,50 * 0,20 = 0,10Es decir, un 10% de los alumnos hablan inglés y alemán.
  29. 29. PROBABILIDAD COMPUESTALa probabilidad compuesta (o regla de multiplicación de probabilidades) se deriva de laprobabilidad condicionada:La probabilidad de que se den simultáneamente dos sucesos (suceso intersección de A y B) esigual a la probabilidad a priori del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso Bcondicionada al cumplimiento del suceso A.La fórmula para calcular esta probabilidad compuesta es:Ejemplo 1º : Estudiamos el suceso A (porcentaje de varones mayores de 40 años casados) yel suceso B (varones mayores de 40 años con más de 2 hijos) y obtenemos la siguienteinformación:Un 35% de los varones mayores de 40 años están casados.De los varones mayores de 40 años y casados, un 30% tienen más de 2 hijos (suceso Bcondicionado al suceso A).Calcular la probabilidad de que un varón mayor de 40 años esté casado y tengamás de 2 hijos (suceso intersección de A y B).Por lo tanto:P (A) = 0,35P (B/A) = 0,30P (A B) = 0,35 * 0,30 = 0,105Es decir, un 10,5% de los varones mayores de 40 años están casados y tienen más de 2 hijos.2º ejemplo: Estudiamos el suceso A (alumnos que hablan inglés) y el suceso B (alumnos quehablan alemán) y obtenemos la siguiente información:Un 50% de los alumnos hablan inglés.De los alumnos que hablan inglés, un 20% hablan también alemán (suceso B condicionado alsuceso A).Calcular la probabilidad de que un alumno hable inglés y alemán (sucesointersección de A y B).Por lo tanto:P (A) = 0,50
  30. 30. P (B/A) = 0,20P (A B) = 0,50 * 0,20 = 0,10Es decir, un 10% de los alumnos hablan inglés y alemán.Ejemplo de probabilidad compuesta. Diagrama en árbol.
  31. 31. Problemas de probabilidad1Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:
  32. 32. 1Dos caras.2Dos cruces.3Dos caras y una cruz.2Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un númerode puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.3Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas carasson proporcionales a los números de estas. Hallar:1La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.2La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.4Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:1La probabilidad de que salga el 7.2La probabilidad de que el número obtenido sea par.3La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.5Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:1Salga 6 en todos.2Los puntos obtenidos sumen 7.6Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:1Un número par.2Un múltiplo de tres.3Mayor que cuatro.7Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otraverde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando:1La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.1La primera bola no se devuelve8Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Se extrae una al azar deque:
  33. 33. 1Sea roja.2Sea verde.3Sea amarilla.4No sea roja.5No sea amarilla.9Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar.Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de:1Extraer las dos bolas con reemplazamiento.2Sin reemplazamiento.10Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuáles la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que nosea blanca?11En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10morenos. Un día asisten 44 alumnos, encontrar la probabilidad de que el alumno quefalta:1Sea hombre.2Sea mujer morena.3Sea hombre o mujer.12En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche las restantes sonblancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de uncoche:1Si se saca una papeleta.2Si se extraen dos papeletas.3Si se extraen tres papeletas.13Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspenderun examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10.Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda elexamen.
  34. 34. 14Dos hermanos salen de casa. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo auna misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?15Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y la mitad delas mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una personaelegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.16La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que su mujer viva 20años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:1De que ambos vivan 20 años.2De que el hombre viva 20 años y su mujer no.3De que ambos mueran antes de los 20 años.17Calcular la probabilidad de sacar exactamente dos cruces al tirar una moneda cuatroveces.18Un grupo de 10 personas se sienta en un banco. ¿Cuál es la probabilidad de que dospersonas fijadas de antemano se sienten juntas19Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer:1 4 ases.24 ases y un rey.33 cincos y 2 sotas.4Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden.53 de un palo cualquiera y 2 de otro.6Al menos un as.1Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A B)= 1/4.Determinar:123
  35. 35. 452Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/3, p(B) = 1/4, p(A B) = 1/5.Determinar:1234563En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjerainglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y elresto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francésson chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que seachica?4De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular laprobabilidad de que:1 Las dos sean copas.2Al menos una sea copas.3Una sea copa y la otra espada.5Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes ala materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que elalumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad deque el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.6Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad delos chicos han elegido francés como asignatura optativa.
  36. 36. 1 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudiefrancés?2¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?7Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles conproblemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, ypor la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno conproblemas de chapa.1 Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.2Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.3Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.4Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por lamañana.8Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallarla probabilidad de:1 Seleccionar tres niños.2Seleccionar exactamente dos niños y una niña.3Seleccionar por lo menos un niño.4Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.9Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y laotra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se seleccionauna moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.10Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza pordos del otro color. A continuación, se extrae una segunda bola. Se pide:1 Probabilidad de que la segunda bola sea verde.2Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.11En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega alfútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además hay un 60% que nojuega al fútbol, cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:1 Juegue sólo al fútbol.2Juegue sólo al baloncesto.
  37. 37. 3Practique uno solo de los deportes.4No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.12En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojoscastaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:1 Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojoscastaños?2Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?3¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?13En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 sonvarones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso:1 ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?2Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de que seahombre?14Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas, la urnaB contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un númeromenor que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 ó más, nos vamos a la urna B.A continuación extraemos una bola. Se pide:1 Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B.2Probabilidad de que la bola sea blanca.15Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cualconsigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad deque realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.1 Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?2Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?16En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libroal azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro alazar.1 ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?2Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libroseleccionado por A sea de poesía?
  38. 38. 17Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si elnúmero de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad deencontrarnos:1 Con una persona sin gafas.2Con una mujer con gafas.18En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo consiete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta deltrastero. Se escoge al azar un llavero y, de él una llave para abrir el trastero. Se pide:1 ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?2¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?3Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca alprimer llavero A? Ejercicios resueltos de probabilidad

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