SlideShare a Scribd company logo
1 of 55
Download to read offline
TEMA 6: ESTÁTICA DE VIGAS
Las vigas son elementos estructurales que resisten fuerzas aplicadas lateral o transversalmente a
sus ejes. Los miembros principales que soportan pisos de edificios son vigas, igualmente el eje de
un vehículo es también una viga. El objetivo principal de este capítulo es determinar el sistema de
fuerzas internas necesarias para el equilibrio de cualquier segmento de viga.

Para una viga con todas las fuerzas en el mismo plano (viga plana) puede desarrollarse un sistema
de tres componentes de fuerzas internas en una sección, éstas son:

    1. Las fuerzas axiales
    2. Las fuerzas cortantes
    3. El momento flector

La determinación de sus magnitudes es el objetivo de este capítulo.

Calculo de reacciones

Convenciones de simbología para apoyos y cargas

Al estudiar estructuras planas es necesario adoptar simbologías tanto para apoyos como para
cargas, dado que son posibles varios tipos de apoyos y una gran variedad de cargas. El respetar
tales convenciones evita confusión y reduce al mínimo las posibilidades de cometer errores.

Existen tres tipos básicos de apoyos para estructuras planas, los cuales se caracterizan por los
grados de libertad de movimiento que le permiten a la viga frente a fuerzas actuantes:

       Apoyo móvil o de rodillo: éste permite el desplazamiento a lo largo del eje longitudinal de
        la viga y el giro de ésta; el desplazamiento transversal es impedido mediante una reacción
        en ese sentido.




               A



                        VA
    Apoyo fijo o pasador: Este tipo de apoyo permite el giro de la viga, pero impide el
        desplazamiento en cualquier dirección mediante una reacción que se puede dividir en una
        componente a lo largo del eje longitudinal de la viga y otra a lo largo del eje transversal.
        Para determinar estas dos componentes es necesario hacer uso de dos ecuaciones de la
        estática




        A

   HA

              VA


       Empotramiento: este tipo de apoyo impide el desplazamiento a lo largo de los ejes y el
        giro de la viga mediante una reacción que se puede dividir en una componente
        longitudinal, otra transversal y una reacción de momento.



   MA



 HA

   VA
        A




Las cargas aplicadas consideradas en este capítulo, consisten en cargas puntuales, vale decir,
fuerzas concentradas mostradas en los esquemas como vectores, y las cagas distribuidas se
muestran como una secuencia de vectores.

Cálculos de reacciones de vigas
En este capítulo, todo el trabajo subsecuente con vigas comenzará con la detrminación de las
reacciones. Cuando todas las fuerzas se aplican en un plano, se dispone de tres ecuaciones de
equilibrio estático para el análisis. Estas son:

           ������������ = 0
           ������������ = 0
           ������������ = 0

La aplicación de estas ecuaciones a varios problemas de vigas se ilustra en los siguientes ejemplos,
los cuales sirven como repaso de este importante procedimiento.

Ejemplo 1

Encuentre las reacciones de los apoyos de la viga que se muestra en la figura:




                        200N*m                 100N                160N



   A                                                                                     B



                 0,1m             0,1m                 0,1m                 0,1m




Solución

De acuerdo a los apoyos que se pueden observar en el esquema se generan las reacciones que se
observan en la figura siguiente:


                                200N*m               100N             160N



                 A                                                                        B
            HA

                       VA                                                                     VB
Ahora, aplicando las ecuaciones de la estática se tiene:

                                               ������������ = 0 → ������������ = 0


                                     ������������ = 0 → ������������ + ������������ − 100 − 160 = 0

                                             ������������ + ������������ = 260 ������

                           ������������ = 0 → −200 − 100 ∙ 0,2 − 160 ∙ 0,3 + ������������ ∙ 0,4 = 0

                                                ������������ = 670 ������

Ahora, como: ������������ + ������������ = 260 ������  ������������ = 260 − 670 = −410 ������

El signo negativo en VA indica que tiene el sentido contrario al indicado en la figura.

Ejemplo 2

Encuentre las reacciones en la viga con carga uniformemente variable de la figura. Desprecie el
peso de la viga



                                                                                  VB


                                                          10kN/m

                                                                              B




            A         HA



                 VA
                                 3                              2
Solución:

Dados los tipos de apoyo que existen en la viga, se genera una componente horizontal y otra
vertical en el apoyo fijo o pasador A y una reacción vertical en el apoyo móvil o rodillo B. Ahora
aplicando las ecuaciones de la estática:

                                           ������������ = 0 → ������������ = 0

                                                                       3
                                ������������ = 0 → ������������ + ������������ + 10 ∙ 1000 ∙     =0
                                                                       2

                                       ������������ + ������������ = −15.000 ������

                                                               2
                                 ������������ = 0 → ������������ ∙ 5 + 15.000 ∙ ∙ 3 = 0
                                                               3

                                          ������������ = −6.000 ������

Luego,
                                          ������������ = −9.000 ������

Ejemplo 3

Determine las reacciones en A y B para la viga de la figura
                                                    53




                                        5N
                                                     °




                                                                              B
            HA
                 A
                                                                                          45°
                                                                                      B
                                                                                  V




                     VA



                          3                           9
Solución:

Usando las ecuaciones de la estática se tiene:

                             ������������ = 0 → ������������ − 5 ∙ cos 53 − ������������ ∙ cos 45 = 0




                             ������������ = 0 → ������������ + ������������ ∙ ������������������ 45 − 5 ∙ ������������������ 53 = 0

                                   ������������ = 5 ∙ ������������������ 53 − ������������ ∙ ������������������ 45

                          ������������ = 0 → −5 ∙ ������������������ 53 ∙ 3 + ������������ ∙ ������������������ 45 ∙ 12 = 0

                                              15 ∙ ������������������ 53
                                     ������������ =                  = 1,41 ������
                                              12 ∙ ������������������ 45

Luego:

                                  ������������ = 5 ∙ ������������������ 53 − 1,41 ∙ ������������������ 45

                                                 ������������ = 3 ������

                                    ������������ = 5 ∙ cos 53 + 3 ∙ cos 45

                                               ������������ = 5,13 ������

Algunas veces se insertan articulaciones o juntas con pasadores en las vigas o marcos. Una
articulación es capaz de transmitir sólo fuerzas horizontales y verticales. Ningún momento puede
ser transmitido por una articulación. Por tanto, el punto donde se localiza una articulación es
particularmente conveniente para “separar” una estructura en partes con el fin de calcular las
reacciones. Cada parte de la viga así separada se trata en forma independiente. Cada articulación
proporciona un eje adicional respecto al cual pueden analizarse los momentos para determinar las
reacciones. La introducción de una articulación o articulaciones convierte al sistema en muchos
casos, en estáticamente detrminado. La introducción de una articulación en una viga
estáticamente determinada convierte a esta en inestable. El proceso para calcular este tipo de
vigas es:
L/2
                        P




                   L                           a




                                     P




                                                   P/2
                       P/2

                                                         ������ ∙ ������
                                                           2


                       P/2
                                                   P/2



Aplicación del método de las secciones

El objetivo de este capítulo es establecer procedimientos para establecer las fuerzas que existen
en una sección de una viga o de un marco. Para obtener esas fuerzas se aplicará el método de las
secciones.

El análisis de cualquier viga o marco para determinar las fuerzas internas comienza con la
preparación de un diagrama de cuerpo libre que muestre tanto las fuerzas aplicadas como las
reacciones. En los pasos subsecuentes del análisis, ninguna distinción tiene que hacerse entre las
fuerzas aplicadas y las reacciones. El método de las secciones puede entonces aplicarse a cualquier
sección de una estructura.
Considere una viga como la de la figura, con ciertas cargas puntuales y distribuidas actuando sobre
ellas. Se supone que se conocen las reacciones. Las fuerzas aplicadas externamente y las
reacciones mantienen todo el cuerpo en equilibrio. La sección imaginaria pasa por la carga
uniformemente distribuida y también la separa. Cada uno de estos segmentos de viga es un
cuerpo libre que debe estar en equilibrio. Esas condiciones de equilibrio requieren de la existencia
de un sistema de fuerzas internas en la sección de corte de la viga.




                                                                   P2
                                                     q1

   P1                                                     A                               q2
                                                                                                 B
                                                     HA


                     x                                        VA                                  VB




                                           Mx


                                                Hx




                                      Vx




Fuerza cortante en vigas

Para mantener en equilibrio un segmento de una viga, debe haber una fuerza vertical interna Vx en
el corte que satisfaga la ecuación ������������ = 0. Esta fuerza interna Vx , actuando en ángulo recto
respecto al eje longitudinal de la viga, se llama fuerza cortante. La fuerza cortante es
numéricamente igual a la suma algebraica de todas las componentes verticales de las fuerzas
externas que actúan sobre el segmento aislado, pero es opuesta en dirección. Esta fuerza cortante
puede calcularse considerando el segmento izquierdo de la viga, como se muestra en la figura de
la página anterior o considerando el lado derecho.
Momento flector en vigas

Las fuerzas internas axial y cortante en una sección de una viga, satisfacen sólo dos ecuaciones de
equilibrio: ������������ = 0 y ������������ = 0. La condición restante de equilibrio estático para un problema
plano es ������������ = 0. Ésta, en general, puede sólo satisfacerse si se desarrolla un par o un momento
interno resistente dentro del área de la sección transversal de contrarrestar el momento causado
por las fuerzas externas. El momento resistente interno debe actuar en sentido opuesto al
momento externo para satisfacer la ecuación gobernante ������������ = 0. Esos momentos tieneden a
flexionar una viga en el plano de las cargas y se denominan momentos flectores.

Para determinar un momento flector interno que mantiene en equilibrio un segmento de la viga,
se puede usar la parte izquierda o derecha del cuerpo libre de la viga. La magnitud del momento
flector se encuentra sumando los momentos causados por todas las fuerzas multiplicadas por sus
respectivos brazos. Las fuerzas internas Vx y Px así como los momentos aplicados deben incluirse
en la suma. Para excluir los momentos causados por éstas últimas fuerzas conviene seleccionar el
punto de intersección de esas dos fuerzas internas como el punto respecto al cual se suman los
momentos. Este punto se encuentra sobre el eje centroidal de la sección transversal de la viga. El
momento flector interno puede ser interpretado físicamente como compresión sobre las fibras
superiores de la viga y tracción sobre las inferiores (esta es la definición de un momento positivo).

La convención de signos que se adopta para los momentos flectores es la siguiente:



                 M                                           M




                 M                                           M




De la figura se puede observar que un momento positivo genera compresión en las fibras
superiores y tracción en las fibras inferiores, se genera una curva cóncava; por otro lado un
momento negativo genera tracción en las fibras superiores y compresión en las fibras inferiores, se
genera una curva convexa.
Ejemplo 1

Determine el sistema de fuerzas internos que afecta la figura siguiente:




                                                                               6.000N


                                                                 10kN/m

                                                                           B




            A


                 9.000N
                                   3                                   2
Solución:

La viga se separa en secciones considerando sus discontinuidades:

  i.   Tramo AD                0 < ������ < 3

                                                               Mx



                                                             Vx

                   C




                    A


                         9.000N


                                      x

                                             10.000
                                                    ∙ ������ ∙ ������
                                     −9.000 + 3               = ������
                                                                 ������
                                                  2

                                                5.000 ∙ ������ 2
                                       −9.000 +              = ������
                                                                ������
                                                    3

                                                   5.000 ∙ ������ 3
                                     −9.000 ∙ ������ +              = ������������
                                                       9
ii.   Tramo DB              3 < ������ < 5




                                                                                      Mx

                                                                  10kN/m


       C                                                   D
                                                                                     Vx




        A                        3




            9.000N



                                          x



                                               10.000 ∙ 3
                                   −9.000 +               = ������
                                                             ������
                                                   2

                                     −9.000 + 15.000 = ������
                                                        ������

                                          10.000 ∙ 3       2
                          −9.000 ∙ ������ +              ∙ ������ − ∙ 3 = ������������
                                              2            3

                              −9.000 ∙ ������ + 15.000 ∙ ������ − 2 = ������������

  El mismo procedimiento puede seguirse para marcos que consisten de varios elementos
  rígidamente unidos entre sí, así como para barras curvas. En todos esos casos, las secciones
  deben ser perpendiculares al eje de un elemento.
Diagramas de fuerza normal, fuerza cortante y momento flector

Las ecuaciones derivadas del método de las secciones se pueden representar en gráficos, en los
cuales pueden trazarse ordenadas iguales a las cantidades calculadas, desde una línea base que
representa la longitud de la viga. Estos diagramas se llaman de acuerdo a las cantidades que
representan diagrama de fuerza axial, diagrama de fuerza cortante y diagrama de momento
flector. Con ayuda de dichos diagramas, la magnitud y localización de diversas cantidades resultan
inmediatamente obvias.

Ejemplo 1

Dibuje los diagramas de fuerza normal, fuerza cortante y momento flector de la viga de la figura:




                                                                                 53
                                                                                  °
                                                                  5N

                 HA
                       A                                                                   B


                             VA                                                           VB



                                          5                              5




    Solución:

    Se calculan en primer lugar las reacciones:

                                      ������������ = 0 → ������������ − 5 ∙ cos 53 = 0

                                          ������������ − 5 ∙ cos 53 = 0

                                                  ������������ = 3������
������������ = 0 → ������������ + ������������ − 5 ∙ sen 53 = 0

                  ������������ + ������������ = 4������

      ������������ = 0 → − 5 ∙ sen 53 ∙ 5 + ������������ ∙ 10 = 0

                     ������������ = 2������

                     ������������ = 2������




     DIAGRAMA DE
     FUERZA NORMAL




                  3N


     DIAGRAMA DE
     FUERZA CORTANTE
2N




                                       2N



     DIAGRAMA DE
     MOMENTO FLECTOR




                       10N*m
Ejemplo 2

Dibuje los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momento flector para la viga en voladizo
cargada con una fuerza inclinada en su extremo libre de la figura siguiente:




                                                                               °
                                                                             45
                            MA
                                                                                 2Pcos 45
                           A
               HA


                          VA



                                                    L




Solución:

Haciendo equilibrio estático:

                                          ������������ = 0 → ������������ + ������ = 0

                                               ������������ = −������

                                          ������������ = 0 → ������������ − ������ = 0

                                                ������������ = ������

                                     ������������ = 0 → ������������ − ������ ∙ ������ = 0

                                              ������������ = ������ ∙ ������

Luego los diagramas son los siguientes:
DIAGRAMA DE FUERZA
                   NORMAL
                                                                  P




                    DIAGRAMA DE FUERZA
                    CORTANTE
                                                                  P




                    DIAGRAMA DE MOMENTO
                    FLECTOR
            P*L




Ejemplo 3

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flector para una viga simple con carga
uniformemente distribuida (véase figura)



                                                                      qN/m

      HA       A                                                       B


                    VA                                                VB


                                          L
Solución:

De las ecuaciones de la estática:

                                            ������������ = 0 → ������������ = 0


                                     ������������ = 0 → ������������ + ������������ − ������ ∙ ������ = 0

                                            ������������ + ������������ = ������ ∙ ������

                                                              ������
                                    ������������ = 0 → −������ ∙ ������ ∙        + ������������ ∙ ������ = 0
                                                              2
                                                        ������ ∙ ������
                                               ������������ =
                                                          2
                                                        ������ ∙ ������
                                               ������������ =
                                                          2


                        DIAGRAMA DE FUERZA NORMAL




                        DIAGRAMA DE FUERZA
                        CORTANTE

            q*l/2




                                                                                   q*l/2

                        DIAGRAMA DE MOMENTO
                        FLECTOR




                                                  (q*l^2)/8
Ejemplo 4

Para la viga de la figura, exprese la fuerza cortante Vx y el momento flector Mx en función de x.


                               MA

                                                                                             qN/m

        HA                A                                                                   B


                           VA                                                                VB


                                                            L



Solución:

Esta es una viga estáticamente indeterminada de primer grado, pues se tienen cuatro incógnitas y
tres ecuaciones de la estática para determinarlas, el procedimiento que se sigue es dejar las
incógnitas en función de un parámetro.

Calculamos las reacciones en primer lugar:




                                           ������������ = 0 → ������������ = 0


                                    ������������ = 0 → ������������ + ������������ − ������ ∙ ������ = 0

                                           ������������ = ������ ∙ ������ − ������������

                                                              ������
                                ������������ = 0 → ������������ − ������ ∙ ������ ∙      + ������������ ∙ ������ = 0
                                                              2

                                                   ������2
                                        ������������ = ������ ∙ − ������������ ∙ ������
                                                    2

Ahora, se calculan las fuerzas internas que afectan al sistema utilizando el método de las
secciones.
MA                                                  Mx

                                                          qN/m



                        A
                                                                                Vx

                        VA


                                             x


                                                ������������ − ������ ∙ ������ = ������
                                                                  ������

Luego, reemplazando:

                                          ������ ∙ ������ − ������������ − ������ ∙ ������ = ������
                                                                      ������

                                                             ������ ∙ ������ 2
                                       −������������ + ������������ ∙ ������ −             = ������������
                                                                2

Reemplazando:

                                ������2                                        ������ ∙ ������ 2
                        −������ ∙       + ������������ ∙ ������ + (������ ∙ ������ − ������������ ) ∙ ������ −           = ������������
                                 2                                            2

Ejemplo 5

Considere una viga curva cuyo eje centroidal tiene la forma de una semicírculo de 0,2 m de radio,
como se muestra en la figura. Si este elemento estructural es traccionado por las fuerzas de
1.000N mostradas, encuentre la fuerza axial, la fuerza cortante y el momento flector en la sección
A-A definida por ������ = 45°. El eje centroidal y las fuerzas aplicadas se encuentran en el mismo
plano.
A

                                   A

       1.000N                  45°                                       1.000N


                                           0,4




Solución:

Usando el método de las secciones se obtiene los siguiente:




                                               M45°
                                                      H45°
                                              A
                                                              V45°
                                                       A

                              1.000N              45°
                                                                     O

                                                      0,14
Ahora, utilizando las ecuaciones de la estática:

                                ������45° = 0 → −1.000 ∙ cos 45 + ������45° = 0

                                          ������45° = 707,11 ������

                                ������135° = 0 → 1.000 ∙ ������������������ 45 − ������45° = 0

                                          ������45° = 707,11 ������

                                   ������0 = 0 → ������45° + ������45° ∙ 0,2 = 0

                              ������45° = −707,11 ∙ 0,2 = −141,42 ������ ∙ ������
TEMA 7: FLEXIÓN
Considere una viga horizontal prismática cuya sección transversal tenga un eje de simetría. Una
línea horizontal que pase por los centroides de las secciones transversales será considerada como
eje de la viga. A continuación considere un elemento típico de la viga entre dos planos
perpendiculares al eje. En una vista lateral, tal elemento es identificado en la figura por abcd.
Cuando la viga es sometida a momentos iguales Mz actuando alrededor del eje z, esta viga se
flexiona en el eje de simetría y los planos inicialmente perpendiculares al eje de la viga se inclinan
ligeramente. Sin embargo, las líneas ad y bc al convertirse en a´d´ y b´c´, permanecen rectas. Esta
observación forma la base de la hipótesis fundamental de la teoría de flexión. Puede enunciarse
de la siguiente manera: “Las secciones planas normales al eje de una viga permanecen planas
después de que ésta es sometida a flexión”.


     y
                                                                                y
                           a   b


       O                                         A
                                                             x                                     z
                           c   d




                                                             d
  Mz                                                                                               Mz
                                                                        

                                                   a´       b´
                                                                                               y
           O                                   g                                      A
                                                            h
                                               e            f
                                                c´          d´


En la flexión pura de una viga prismática, el eje de la viga se deforma según un círculo de radio ,
mientras que la longitud de ef está dado por:

                                              ������������ = ������������
������������ = ������ ∙ ������������

Luego:

                                                ������������ 1
                                                    = = ������
                                                ������������ ������

Donde k es la curvatura.

La longitud de la fibra gh está dada por:

                                            ������������ = ������ − ������ ∙ ������������

Y, por tanto la diferencia entre las longitudes de las fibras estará dada por:

                         ������������ = ������������ − ������������ = ������ − ������ ∙ ������������ − ������ ∙ ������������ = −������ ∙ ������������

Dividiendo por ds:

                                         ������������         ������������
                                              = −������ ∙      = −������ ∙ ������
                                         ������������         ������������

Como las deflexiones y la rotación del eje de la viga son muy pequeños, los cosenos de los ángulos
implicados al formar las proyecciones de ������������ y ������������ sobre el eje horizontal son casi igual a la unidad,
luego, es posible reemplazar la deformación axial de la viga por du y reemplazar ds por dx, con lo
que queda:

                                                ������������ = −������ ∙ ������

Usando la Ley de Hooke:

                                        ������������ = ������ ∙ ������������ = −������ ∙ ������ ∙ ������

Por otro lado, se requiere que la suma de todas las fuerzas en una sección en la dirección x sea 0,
lo que implica:

                                          ������������ = 0 →       ������������ ∙ ������������ = 0


                                             −������ ∙ ������ ∙ ������ ∙ ������������ = 0

k es constante en flexión pura, luego:

                                           −������ ∙ ������    ������ ∙ ������������ = 0

Para satisfacer esta condición el eje z debe pasar por el centroide de área de la sección transversal
y como este eje z representa el origen del sistema implica que a lo largo de este eje tanto las
deformaciones como los esfuerzos normales son nulos. Este eje se llama fibra neutra.
Para completar la fórmula de flexión elástica, debemos considerar que la sumatoria de los
momentos externos debe ser igual a la suma de los momentos internos de la viga, vale decir:


                                                  Mz                                         y
            a   b                                         x=-Eky

                                                   y
  O                                    A
                                                          x                                             z
          c     d




                                  ������0 = 0 → ������������ =                ������ ∙ ������ ∙ ������ ∙ ������������ ∙ ������


                                        ������������ = ������ ∙ ������ ∙          ������ 2 ∙ ������������

                                               ������������
                                                      = ������ ∙ ������
                                               ������������������

                                                          ������������
                                             ������������ = −            ∙ ������
                                                          ������������������

Cabe destacar que el momento de inercia se calcula respecto de la fibra neutra de la figura, luego
es necesario primero establecer el centroide de área de la figura.

Debe notarse que en el caso de la flexión pura, el único esfuerzo que actúa es ������������ , luego el tensor
de esfuerzos estará dado por:

                                                   ������������       0     0
                                           ������ =     0         0     0
                                                    0         0     0

Y, como vimos en el capítulo este tensor de esfuerzos se puede hacer rotar y obtener el estado de
esfuerzos en cualquier sistema de eje coordenado.

Ejemplo 1

Una viga en voladizo de madera que pesa 0,75 N/m soporta una carga puntual hacia arriba de 20
kN en su extremo. Determine los esfuerzos máximos de flexión en una sección a 2 m desde el
extremo libre.
B



    20kN                               0,75kN/m                   B

    A                                                                            HB


                                                                        VB


                                   L



         Sección transversal viga
          (medidas en milímetros)
                                                                  400




                             300


Utilizando las ecuaciones de la estática:

                                            ������������ = 0 → ������������ = 0
������������ = 0 → ������������ − 0,75 ∙ ������ + 20 = 0

                                      ������������ = −20 + 0,75 ∙ ������

                                                                ������2
                             ������������ = 0 → −20 ∙ ������ + 0,75 ∙           − ������������ = 0
                                                                 2

                                                               ������2
                                     ������������ = 20 ∙ ������ − 0,75 ∙
                                                                2

Ahora determinamos el sistema de fuerzas internas que afectan a la viga a 2 metros del extremo
(veáse figura):

                                  20 ∙ 2 − 0.75 ∙ 2 ∙ 1 = ������2������

                                       38,5 ������������ ∙ ������ = ������2������


                                            M2m




                  20kN                    0,75kN/m


                             A
                                 2



                                          V2m


El esfuerzo está dado por:

                                                    −������ ∙ ������
                                           ������������ =
                                                     ������������������

Derivando el esfuerzo normal respecto a y e igualando a cero se encuentra el esfuerzo normal
máximo en la sección:

                                        ������������������     ������
                                               =−        ≠0
                                         ������������     ������������������
Esto implica que no se tienen máximo ni mínimos relativos, por tanto se debe evaluar en los
bordes superiores e inferiores para encontrar el esfuerzo normal máximo.

Por otro lado la sección transversal de la viga simétrica, lo que implica que el centroide se
encuentra en la intersección de los ejes de simetría y por tanto la fibra neutra se ubica a la mitad
de la altura de la viga:




          Fibra neutra




                                                                                          200



                                                                                                         400
                                                                                          200
                                                              300




Calcularemos ahora el momento de inercia:

                                               1
                                    ������������������ =      ∙ 0,3 ∙ 0,43 = 0,0016 ������4
                                               12

Luego el esfuerzo normal en el borde superior es:

                         −38,5 ∙ 0,2             ������������                         ������
                ������������ =               = −4.812,5 2 = −4.812.500 2 = −4.812.500 ������������
                           0,016                 ������                          ������
                                   = −4,81 ������������������ (������������ ������������������������������������������������ó������)

Mientras que en el borde inferior:

          −38,5 ∙ −0,2          ������������           ������
 ������������ =                = 4.812,5 2 = 4.812.500 2 = 4.812.500 ������������ = 4,81 ������������������ (������������ ����������������������������������������)
            0,016               ������            ������
TEMA 8: ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS
Este capítulo está dedicado a determinar los esfuerzos cortantes en vigas causadas por fuerzas
cortantes transversales.

Probaremos en primer lugar que la fuerza cortante está inseparablemente unida a un cambio en el
momento flector de una sección de la viga.




    M                                                        M+dM




                                            A
            V                                       V+dV
                               dx

Haciendo momento en A queda:

                               ������������ = 0 → ������ + ������������ − ������ − ������ ∙ ������������ = 0

                                          ������������ = ������ ∙ ������������

                                             ������������
                                                   = ������
                                              ������������

Esta ecuación significa que si la fuerza cortante está actuando en una sección, habrá un cambio en
el momento flector de una sección adyacente. La diferencia entre los momentos flectores de
secciones adyacentes es ������ ∙ ������������. Si ninguna fuerza cortante está presente no se producirá ningún
cambio en el momento flector. Alternativamente, razón de cambio del momento flector a lo largo
de la viga es igual a la fuerza cortante.

Considere una viga longitudinal de varios tablones longitudinales continuos, cuyas sección
transversal se muestran en la figura, en que se destaca que el tablón superior está a una distancia
y1 de la fibra neutra de la viga.
FIBRA NEUTRA
                                                                                   y1




     CENTROIDE




Por simplicidad, la viga tiene una sección transversal rectangular, pero tal limitación no es
necesaria. Un elemento de esta viga, aislado por dos secciones paralelas, ambas perpendiculares
al eje de la viga y de longitud dx, se muestran en la figura:
Se destaca también, en rojo, el tablón superior de la viga.

El elemento está sometido a un momento flector MA en el extremo A y a un momento flector MB
en el extremo B, lo que generan esfuerzos normales a las secciones (son representadas por las
flechas de color rojo de la figura anterior). Estos esfuerzos de flexión varían linealmente desde su
respectivas fibras neutras.

La misma viga, en sentido longitudinal se muestra en la figura siguiente:




A una distancia y de la fibra neutra el esfuerzo en los extremos A y B está dado, respectivamente,
por:

                                                       ������������ ∙ ������
                                           ������������ = −
                                                          ������
                                                       ������������ ∙ ������
                                           ������������ = −
                                                          ������

La fuerza que actúa en un diferencial de área dA está dado por:

                                                     ������������ ∙ ������
                                        ������������������ = −             ∙ ������������
                                                        ������
                                                     ������������ ∙ ������
                                        ������������������ = −             ∙ ������������
                                                        ������
La fuerza que actúa sobre el área del tablón de la sección transversal está dada por:

                                                               ������������ ∙ ������
                                           ������������ =      −                 ∙ ������������
                                                                  ������

                                                     −������������
                                            ������������ =                  ������ ∙ ������������
                                                      ������

                                                     −������������
                                            ������������ =                   ������ ∙ ������������
                                                      ������

Si ������������ ≠ ������������ , el tablón superior tiende a deslizar respecto del tablón inferior, por tanto para que
exista equilibrio de fuerzas se requiere que existe una fuerza horizontal resistente.

                                           ������������                          ������������
                                ������������ = −             ������ ∙ ������������ — −                   ������ ∙ ������������
                                            ������                            ������

                                                      ∆������
                                            ������������ =                  ������ ∙ ������������
                                                       ������

Si dx es una cantidad diferencial, el momento cambia también una cantidad diferencial, luego


                                                      ������������
                                            ������������ =                  ������ ∙ ������������
                                                        ������

En vez de trabajar con una fuerza dF que se desarrolla a lo largo de una longitud dx, es más
conveniente trabajar con una fuerza por unidad de longitud, esto se consigue dividiendo dF por dx,
con lo que se obtiene:

                                      ������������ ������������ 1                               ������
                               ������ =        =     ∙             ������ ∙ ������������ =            ������ ∙ ������������
                                      ������������   ������������ ������                            ������

Donde q se llama flujo cortante.

Ahora, el esfuerzo de corte que se desarrolla en el plano longitudinal es:

                                                       ������
                                             ������ =                  ������ ∙ ������������
                                                     ������ ∙ ������

Donde t es el espesor de la sección transversal del plano considerado.

Ejemplo 1

Dos tablones largos de madera forman una sección T para una viga, como se muestra, en mm, en
la figura siguiente. Si esta viga transmite una fuerza cortante vertical constante de 3.000N,
encuentre la separación necesaria de los clavos entre los dos tablones para que la viga trabaje
como una unidad. Suponga que la fuerza cortante permisible por clavo es de 700N
200




                                                                            50



                                                                                      250
                                                    50


La distancia desde la base del perfil hasta la fibra neutra es:

                                   200 ∙ 50 ∙ 225 + 200 ∙ 50 ∙ 100
                            ������ =                                   = 162,5������������
                                         200 ∙ 50 + 200 ∙ 50

El momento de inercia del perfil es:

        50 ∙ 2003                      200 ∙ 503
 ������ =             + 50 ∙ 200 ∙ 62,52 +           + 200 ∙ 50 ∙ 225 − 162,5         2
                                                                                      = 113.541.667������������4
           12                             12

El momento estático está dado por:
                                                         87,5
                                          ������ ∙ ������������ =           200 ∙ ������ ∙ ������������
                                                        37,5

                                  87,52         37,52
              ������ ∙ ������������ = 200 ∙         − 200 ∙       = 100 ∙ 2502 − 2002 = 625.000������������3
                                    2             2
Luego el flujo cortante está dado por:

                                      3.000 ∙ 625.000
                               ������ =                   = 16,51������/������������
                                       113.541.667

Finalmente la separación entre clavos es:

                                                 700
                                         ������ =         = 42,4������������
                                                16,51

Ejemplo 2

Una viga de luz 6 m soporta una carga de 3 kN/m, incluido su peso propio. La sección transversal
de la viga estará hecha de varias piezas de madera, como se muestra en las figuras de más abajo.
Determine la separación de los tornillos de cabeza cuadrada de 10 mm necesaria para unir la
partes de esta viga entre sí. Suponga que un tornillo de 10 mm, según estudios de laboratorio, es
bueno para transmitir 2kN de carga lateral paralela al grano de la madera. Suponga ������ = 2,36 ∙
109 ������������4


                                                        3kN/m




                 A                                                                   B
            HA

                     VA                                                                  VB

                                                       6
a           a

    FIBRA NEUTRA




                                                                                               500
                                                                                     100
                                                                           50
                              50                200                 50


Calculamos las reacciones de la viga:

                                          ������������ = 0 → ������������ = 0


                                    ������������ = 0 → ������������ + ������������ − 3 ∙ 6 = 0

                                          ������������ + ������������ = 18������������

                                                                   6
                                   ������������ = 0 → ������������ ∙ 6 − 3 ∙ 6 ∙     =0
                                                                   2

                                             ������������ = 9������������

                                             ������������ = 9������������

Ahora determinaremos la fuerza cortante en cualquier punto de la viga utilizando el método de las
secciones:

                                           9 − 3 ∙ ������ = ������
                                                         ������

Derivando esta ecuación respecto a x se obtiene:
������������������
                                                    = −3 ≠ 0
                                              ������������

Luego esta ecuación no tiene máximos ni mínimos relativos, lo que implica que para obtener la
máxima fuerza cortante en la viga hay que evaluar la ecuación en los extremos de la viga:

                                             9 = ������ (������ = 0)
                                                  ������

                                             −9 = ������ (������ = 6)
                                                   ������

Por tanto la máxima fuerza cortante que se da en la viga corresponde a 9 kN


                                                                             3kN/m




                             A


                                                                                 Vx
                                     9kN




                                                     x



Para calcular la separación entre tornillos, debe determinarse el flujo cortante en la sección a-a,
para ello se evalúa el momento estático en el área achurada del perfil

                          50 ∙ 200 ∙ 225 + 2 ∙ 100 ∙ 50 ∙ 200 =            ������ ∙ ������������


                                      4.250.000������������3 =         ������ ∙ ������������

Luego:

                                    9 ∙ 4.250.000
                             ������ =                 = 0,01620763������/������������
                                      2,36 ∙ 109

                                                2
                                    ������ =              = 123,4������������
                                           0,01620763
En los apoyos el espaciamiento enytre tornillos debe ser de 123 mm. Este espaciamiento se aplica
sólo en una sección donde la fuerza cortante V es de 9kN.

Dado que la fuerza cortante no es constante en todo el tramo, es conveniente diferir la separación
entre tornillos con el fin de ahorrar material, así en las cercanías de los apoyos es necesario
colocar tornillos de 10 mm espaciados 120 mm a 1,5 m cerca de ambos apoyos y de 240 mm en la
parte central de la viga (debido a que la fuerza cortante desarrollada en esta parte es menor a la
mitad de la fuerza cortante máxima).

Ejemplo 3

Obtenga una expresión para la distribución del esfuerzo cortante en una viga de sección
transeversal rectangular maciza que transmite una fuerza cortante V. Calcule además el esfuerzo
cortante máximo que se desarrolla en la sección




                                                                     y 1




                                                                                      h




                                          b


                                                ������ ∙ ������ ∙ ������������
                                         ������ =
                                                    ������ ∙ ������
El momento de inercia está dado por:

                                                                 ������ ∙ ������3
                                                         ������ =
                                                                   12

Además

                                                              ������ = ������

El momento estático está dado por:

                                                                      ������/2
                                                  ������ ∙ ������������ =                ������ ∙ ������ ∙ ������������
                                                                     ������1

                                                                                2
                                                              ������           ������
                                                ������ ∙ ������������ =      ∙                  − ������1 2
                                                              2            2

Luego el esfuerzo cortante está dado por:

                                    2                                  2
                         ������    ������                      ������       ������
                    ������ ∙ 2 ∙   2        − ������1 2        2∙       2          − ������1 2                           2
                                                                                            6 ∙ ������      ������
             ������ =                                  =                                     =          ∙            − ������1 2
                           ������ ∙ ������3                             ������ ∙ ������3                   ������ ∙ ������3     2
                                    ∙ ������
                             12                                   12

Para encontrar el esfuerzo cortante máximo derivamos el esfuerzo cortante por y1 e igualamos
esta expresión a cero:

                                     ������������   6 ∙ ������
                                          =        ∙ −2 ∙ ������1 = 0 → ������1 = 0
                                    ������������1 ������ ∙ ������3

Luego:

                                                   6 ∙ ������ ������2    3 ∙ ������      3 ∙ ������
                                     ������������ á������   =         ∙   =            =
                                                  ������ ∙ ������3 4    2 ∙ ������ ∙ ������ 2 ∙ ������

De los resultados obtenidos podemos deducir que el esfuerzo cortante en una viga de sección
rectangular varía parabólicamente y que el esfuerzo cortante máximo se obtiene cuando y1 es
igual a cero, a medida que nos vamos alejando de la fibra neutra el val,or del esfuerzo cortante va
haciéndose más bajo hasta llegar a ser nulo cuando ������ = ±������/2, vale decir, el esfuerzo de corte es
cero al llegar al borde superior e inferior de la viga.

Ejemplo 4

El sistema de cargas y la sección transversal a que se ve afecta una viga I se muestra en las figuras
siguientes, determine los esfuerzos cortantes en los niveles indicados. Desprecie el peso de la viga.
100kN




        A                        C                        B
   HA

            VA                                                 VB

                   3



                                 6




                           1                          1
                       2
                                      3      3
                                                          10
FIBRA NEUTRA

 EJE DE SIMETRÍA
                                      4      4                           270


                                                 10
                                                                    10




                                       150




                               ������������ = 0 → ������������ = 0
������������ = 0 → ������������ + ������������ − 100 = 0

                                        ������������ + ������������ = 100 ������������

                                   ������������ = 0 → ������������ ∙ 6 − 100 ∙ 3 = 0

                                             ������������ = 50 ������������

                                             ������������ = 50 ������������

Ahora determinamos la fuerza cortante a lo largo de la viga:

  i.    Tramo A - C             0 < ������ < 3




                   A



                           50kN                        Vx



                                    x


                                             50 ������������ = ������
                                                        ������
ii.   Tramo C – B                    3 < ������ < 6



                                                                           100kN




                           A                                           C               Vx



                                     50kN

                                                    3




                                                                 x


                                                        50 − 100 = ������
                                                                    ������

                                                        −50 ������������ = ������
                                                                    ������

Ahora, calcularemos los esfuerzos cortantes en los diferentes niveles:

       Nivel 1 – 1:

        El área que involucra este nivel es nula, lo que implica que el esfuerzo cortante también es
        cero.

       Nivel 2 -2

        El momento de inercia del perfil está dado por:

                       10 ∙ 2503   150 ∙ 103
               ������ =              +           + 150 ∙ 10 ∙ 2552 ∙ 2 = 208.120.833������������4
                          12          12

        El momento estático de este nivel está dado por:


                                      135
                                                                150
                       ������ ∙ ������������ =          ������ ∙ 150 ∙ ������������ =       ∙ 1352 − 1252 = 195.000
                                     125                         2

        El plano considerado justo coincide con dos piezas lo que implica que t puede tener el
        espesor de la pieza de arriba con t=150mm, y el espesor de la pieza de abajo con t=10mm
Luego:

                50 ∙ 195.000
     ������ =                       = 0,000312318565 ������������/������������2 = 312.318,565 ������������ = 0,31 ������������������
              208.120.833 ∙ 150
                50 ∙ 195.000
      ������ =                     = 0,00468478 ������������/������������2 = 4.684.780 ������������ = 4,68 ������������������
              208.120.833 ∙ 10

   Nivel 3 – 3:

    El momento de inercia del perfil está dado por:

                           10 ∙ 2503   150 ∙ 103
                 ������ =                +           + 150 ∙ 10 ∙ 2552 ∙ 2 = 208.120.833������������4
                              12          12

    El momento estático de este nivel está dado por:
                125                       135
                                                                     10                 150
������ ∙ ������������ =           ������ ∙ 10 ∙ ������������ +           ������ ∙ 150 ∙ ������������ =      ∙ 1252 − 1152 +     ∙ 1352 − 1252
               115                       125                         2                   2

                                                  ������ ∙ ������������ = 207.000 ������������3

    El espesor de acuerdo al plano considerado es ������ = 150 ������������

    Por tanto:

                50 ∙ 207.000
       ������ =                     = 0,00033154 ������������/������������2 = 331.538 ������������ = 0,33 ������������������
              208.120.833 ∙ 150

   Nivel 4 – 4:

    El momento de inercia del perfil está dado por:

                      10 ∙ 2503   150 ∙ 103
                 ������ =           +           + 150 ∙ 10 ∙ 2552 ∙ 2 = 208.120.833������������4
                         12          12

    El momento estático de este nivel está dado por:
                        125                        135
                                                                             10          150
      ������ ∙ ������������ =             ������ ∙ 10 ∙ ������������ +           ������ ∙ 150 ∙ ������������ =      ∙ 1252 +     ∙ 1352 − 1252
                       0                          125                        2            2

                                                  ������ ∙ ������������ = 273.125 ������������3

    El ancho t correspondiente al plano considerado es:

                                                          ������ = 10 ������������
Por tanto:

          50 ∙ 273.125
 ������ =                    = 0,00656169 ������������/������������2 = 6.561.690 ������������ = 6,56 ������������������
        208.120.833 ∙ 10
TEMA 8: CÁLCULO DE LA ELÁSTICA (DEFLEXIONES)
En este capítulo se presenta uno de los métodos más importantes para calcular las deformaciones
que experimentan los sistemas estructurales frente a las acciones de cargas, posteriormente, en el
capitulos de vigas estáticamente indeterminadas, se verán otrois métodos. El cálculo de estas
deformaciones permite trazar la linea deformada de las estructuras, también llamada “elástica”
por corresponder a deformaciones que se producen dentro del rango elástico de estos sistemas.

Método de la doble integración

Utilizando algunos de las cosas vistas en el capítulo de flexión se tiene:

                                                 ������������ = ������ ∙ ������������

                                                   ������������ 1
                                                       =
                                                   ������������ ������

                                             ������������ = −������ ∙ ������������

                                         ������������         ������������ −������
                                              = −������ ∙      =
                                         ������������         ������������   ������

                                                 −������    ������������ 1
                                        ������������ =       → − =
                                                 ������      ������ ������

Utilizando la ley de Hooke
                                                                        ������������
                                       ������������ = ������ ∙ ������������ → ������������ =
                                                                         ������

Y usando la fórmula de flexión para vigas:

                                                          ������ ∙ ������
                                             ������������ = −
                                                            ������

Se tiene:

                                                          ������ ∙ ������
                                             ������������ = −
                                                          ������ ∙ ������

Luego:

                                                  1   ������
                                                    =
                                                  ������ ������ ∙ ������

De acuerdo al cálculo vectorial el radio de curvatura viene dado por:

                                                        ������´(������) 3
                                         ������ =
                                                   ������´ ������ ������ ������´´(������)
Sea ������ ������ = (������, ������ ������ )

                                                               ������������
                                            ������´ ������ = (1,            )
                                                               ������������

                                                        ������2 ������
                                           ������´´ ������ = (0, 2 )
                                                        ������������

Luego:

                                                  ������ ������              ������
                                                    ������������                        2
                             ������´ ������ ������ ������´´ ������ = 1 ������������              0 = ������ ∙ ������ ������
                                                                              ������������ 2
                                                   ������2 ������
                                                 0                   0
                                                   ������������ 2

Luego:

                                                                     3/2
                                                          ������������2
                                                       1+
                                                          ������������
                                          ������ =
                                                          ������2 ������
                                                          ������������ 2
                                                            ������������ 2
Si las deformaciones son muy pequeñas el término ������������ se puede despreciar, con lo que queda:

                                                 1     1 ������2 ������
                                        ������ =          → = 2
                                               ������2 ������  ������ ������������
                                               ������������ 2

Finalmente:

                                               ������2 ������    ������
                                                    2
                                                      =
                                               ������������     ������ ∙ ������

Sea ������ ∙ ������ = , entonces:

                                                  ∙ ������´´ = ������

Esta última expresión indica que un valor positivo del momento flector, esto es, que estira la fibra
inferior del elemento, implica curvatura positiva de la elástica (cóncava), y viceversa. Para integrar
esta ecuación diferencial se requiere detrminar dos constantes de integración, lo cual se consigue
al imponer dos condiciones de borde, para ello se utilizan valores conocidos de la elástcia o de la
tangente para ciertos valores de x. Las relaciones siguientes también pueden ser útiles para
determinar la expresión analítica de la elástica.

                                                        ������������
                                         ������ =  ∙            =  ∙ ������´´
                                                        ������������
������������
                                          ������ =         =  ∙ ������´´´
                                                  ������������
                                                 ������������
                                          ������ =        =  ∙ ������´´´´
                                                 ������������

El uso de estas relaciones está restringido al caso de funciones ������, ������, ������, ������, ������ que sean continuas en
el rango de integración. Por lo tanto la relevancia práctica de este método es limitada cuando se
tienen cargas concentradas o cargas que no se pueden representar por una función continua en la
longitud de la viga.

Condiciones de borde

Para la solución de problemas de deflexiones en vigas, además de la ecxuación diferencial deben
ser establecidas condiciones de borde o frontera. Varios tipos de condiciones homogéneas de
frontera son los siguientes:

    a) Empotramiento: tanto la flecha como la pendiente deben ser nulas. Por consiguiente, en
       el extremo donde existe el empotramiento ������ = 0,
                                                 ������(������ = 0) = 0
                                                ������´ ������ = 0 = 0
    b) Apoyo móvil y apoyo fijo: en el extremo considerado no debe existir ni flecha ni momento
       M
                                                 ������ ������ = ������ = 0
                                               ������´´ ������ = ������ = 0
    c) Extremo libre: tal extremo está libre de momento y de fuerza cortante, por tanto:
                                               ������´´ ������ = ������ = 0
                                              ������´´´ ������ = ������ = 0
    d) Articulación: en este caso se permite el desplazamiento vertical pero la rotación del
       extremo está impedida. Este tipo de apoyo no es capaz de resistir ninguna fuerza cortante,
       lo que implica:
                                                ������´ ������ = ������ = 0
                                              ������´´´ ������ = ������ = 0

En algunos problemas surgen discontinuidades en las funciones matemáticas de carga o rigidez del
elemento. Por ejemplo, tales discontinuidades ocurren bajo fuerzas o momentos puntuales y en
cambios bruscos de áreas transversales que afectan el valor de . En tales casos, las condiciones
de brode debn complementarse con los requisitos físicos de continuyidad de la curva elástica. Esto
significa que en cualquier unión de las dos zonas de una viga en que ocurre una discontinuidad, la
deflexión y la tangente a la curva elásticadeben ser las mismas independientemente de la
dirección con que se aproxime uno al punto común.
Ejemplo 1

Determinar la deformación vertical y el ángulo de la elástica con la horizontal en el extremo B de la
viga en voladizo que se indica en la figura. Los valores de  son constantes para toda la viga.


                 MA

                                                              q



  HA                       A                                                                   B

                    VA


                                                                L



                                          ������������ = 0 → ������������ = 0


                                       ������������ = 0 → ������������ − ������ ∙ ������ = 0

                                             ������������ = ������ ∙ ������

                                                                    ������
                                   ������������ = 0 → −������������ − ������ ∙ ������ ∙        =0
                                                                    2

                                                    −������ ∙ ������2
                                           ������������ =
                                                       2
q*L2/2                                                                        Mx

                                                                    q


                      A
                                                                                       Vx

          q*L


                                                       x


                                  −������ ∙ ������2                           ������
                                            + ������ ∙ ������ ∙ ������ − ������ ∙ ������ ∙ = ������������
                                     2                                2

                                             −������ ∙ ������2                       ������ 2
                                   ∙ ������´´ =           + ������ ∙ ������ ∙ ������ − ������ ∙
                                                2                             2

                                       −������ ∙ ������2                 ������ 2   ������ 3
                            ∙ ������´ =             ∙ ������ + ������ ∙ ������ ∙ − ������ ∙ + ������1
                                          2                       2      6

                                 −������ ∙ ������2 ������ 2        ������ 3    ������ 4
                       ∙ ������ =            ∙ + ������ ∙ ������ ∙ − ������ ∙      + ������1 ∙ ������ + ������2
                                    2       2           6      24

Las condiciones de borde son:

                                                   ������ 0 = 0

                                                  ������´ 0 = 0

Lo que implica que:

Usando la primera condición de borde:
������2 = 0

Usando la segunda condición de borde:

                                                  ������1 = 0

Por tanto:

                                         −������ ∙ ������2 ������ 2        ������ 3    ������ 4
                               ∙ ������ =            ∙ + ������ ∙ ������ ∙ − ������ ∙
                                            2       2           6      24

Ahora, en el extremo B, ������ = ������, luego:

                                             −������ ∙ ������4 ������ ∙ ������4 ������ ∙ ������4
                                   ∙ ������ =            +        −
                                                4         6       24

                                                      −������ ∙ ������4
                                               ������ =
                                                       8∙

Ejemplo 2

Un momento flector M1 se aplica a na viga en volado (ver figura) de longitud L y  constante.
Encuentre la ecuación de la elástica.


             MA

                                                                              M1


             HA         A

                  VA



                                                 L
Solución

Usando las ecuaciones de la estática:

                                           ������������ = 0 → ������������ = 0


                                           ������������ = 0 → ������������ = 0


                                        ������������ = 0 → ������������ + ������1 = 0

                                             ������������ = −������1

Las condiciones de borde son:

                                           ������ ������ = 0 = 0

                                           ������´ ������ = 0 = 0

Ahora utilizando el método de las secciones:


   MA                                                    Mx




             A



                                                                    Vx
                                   x



                                           ������������ = ������������ = ������1

Luego:

                                             ∙ ������´´ = ������1
 ∙ ������´ = ������1 ∙ ������ + ������1

Usando la segunda condición de borde:

                                        ∙ ������´ ������ = 0 = ������1 = 0

Finalmente:

                                                         ������ 2
                                         ∙ ������ = ������1 ∙        + ������2
                                                          2

Usando la primera condición de borde:
                                        ∙ ������ ������ = 0 = ������2 = 0

Luego:

                                                            ������ 2
                                            ∙ ������ = ������1 ∙
                                                             2

La ecuación de la curva elástica es:

                                                    ������1 ∙ ������ 2
                                            ������ =
                                                     2∙

El signo positivo del resultado indica que la deflexión debida a M1 es hacia arriba, si derivamos esta
expresión y la igualamos a cero queda:

                                             ������1 ∙ ������
                                                        =0
                                                
                                                ������ = 0

Derivando nuevamente:

                                               ������1
                                                     >0
                                                
Lo que implica que la flecha mínima se da en x = 0 y coincide con la segunda condición de borde,
vale decir, que y = 0, ahora para encontrar el máximo valor de la flecha evaluamos en el extremo x
= L, con el fin de encontrar un máximo absoluto:

                                                    ������1 ∙ ������2
                                             ������ =
                                                     2∙

Ejemplo 3

La viga de la figura recibe una carga uniformemente distribuida q en toda su extensión. La rigidez 
es constante. Encuentre la ecuación de la elástica por los tres siguientes métodos:

    a) Use la ecuación diferencial de segundo orden para obtener la deflexión de la viga
b) Use la ecuación de cuarto orden
   c) Ilustre una solución gráfica del problema.

Solución

   a)


                                                         q




                A                                                           B
           HA

                    VA                                                          VB


                                                     L




                                         ������������ = 0 → ������������ = 0


                                  ������������ = 0 → ������������ + ������������ − ������ ∙ ������ = 0

                                         ������������ + ������������ = ������ ∙ ������

                                                                    ������
                                 ������������ = 0 → ������������ ∙ ������ − ������ ∙ ������ ∙      =0
                                                                    2
                                                     ������ ∙ ������
                                            ������������ =
                                                       2
                                                     ������ ∙ ������
                                            ������������ =
                                                       2
Ahora, utilizando el método de las secciones:


                                        q
                                                                Mx




A



     q*L/2                                                     Vx

                         x



                                            ������ ∙ ������
                                                    − ������ ∙ ������ = ������
                                                                 ������
                                              2

                                        ������ ∙ ������        ������ ∙ ������ 2
                                                ∙ ������ −           = ������������
                                          2               2

Luego:

                                                   ������ ∙ ������        ������ ∙ ������ 2
                                     ∙ ������´´ =             ∙ ������ −
                                                     2               2

Las condiciones de borde son:

                                             ∙ ������ ������ = 0 = 0

                                             ∙ ������ ������ = ������ = 0

Lo que implica que:

                                              ������ ∙ ������ 2 ������ ∙ ������ 3
                                  ∙ ������´ =           ∙ ������ −       + ������1
                                                4           6

                                        ������ ∙ ������ 3 ������ ∙ ������ 4
                              ∙ ������ =          ∙ ������ −       + ������1 ∙ ������ + ������2
                                         12           24

Ahora:

                                         ∙ ������ ������ = 0 = ������2 = 0
������ ∙ ������4 ������ ∙ ������4
                            ∙ ������ ������ = ������ =            −         + ������1 ∙ ������ = 0
                                                 12       24

                                             ������ ∙ ������3
                                                      + ������1 = 0
                                               24

                                                          ������ ∙ ������3
                                              ������1 = −
                                                            24

Finalmente:

                                         ������ ∙ ������ 3 ������ ∙ ������ 4 ������ ∙ ������3
                               ∙ ������ =          ∙ ������ −      −         ∙ ������
                                          12           24      24

Y las desangulaciones están dadas por:

                                            ������ ∙ ������ 2 ������ ∙ ������ 3 ������ ∙ ������3
                                 ∙ ������´ =          ∙ ������ −      −
                                              4           6       24



   b) La aplicación de este método es directa:

                                                    ∙ ������´´´´ = −������
                                               ∙ ������´´´ = −������ ∙ ������ + ������1
                                                      −������ ∙ ������ 2
                                          ∙ ������´´ =              + ������1 ∙ ������ + ������2
                                                         2



       Pero el momento en el extremo x = 0 es nulo, luego:

                                             ∙ ������´´ ������ = 0 = ������2 = 0

       Pero el momento en el extremo x = L es nulo también, luego:

                                                          −������ ∙ ������2
                                   ∙ ������´´ ������ = ������ =                + ������1 ∙ ������ = 0
                                                              2
                                                     ������ ∙ ������
                                                             = ������1
                                                       2
                                                      −������ ∙ ������ 2 ������ ∙ ������
                                           ∙ ������´´ =            +        ∙ ������
                                                           2         2

       El resto del problema es igual que en la parte a)

   c) Los pasos para una solución gráfica se muestran en la página siguiente. Se pueden
      observar los diagramas de fuerza cortante, momento flector y curvatura, y a partir de ellos
      se calculan los diagramas de deflexión y las desangulaciones que sufre la viga.
DIAGRAMA DE FUERZA
                    CORTANTE
   q*L/2
                                                                DIAGRAMA DE CURVATURA




                                                q*L/2                       q*L²/(8*




               DIAGRAMA DE MOMENTO
                     FLECTOR




                          q*L²/8




Como se puede observar del diagrama de momento flector y del diagrama de curvatura, la
desangulación máxima se da en los extremos de la viga, luego:

En x = 0

                                                    −������ ∙ ������3
                                            ������´ =
                                                    24 ∙ 

En x = L

                                                     ������ ∙ ������3
                                             ������´ =
                                                     24 ∙ 

En x = L/2, se presenta la mayor deflexión, debido a la simetría de la viga, lo que implica que en
ese punto:

                                               ������´ = 0
1           ������ ∙ ������ ������3 ������ ∙ ������4   ������ ∙ ������3
                     ������ =       ∙              ∙ −           −
                                        12 8 24 ∙ 16 24 ∙ 2

                                    1       ������ ∙ ������4 ������ ∙ ������4 ������ ∙ ������3
                       ������ =             ∙           −        −
                                             96      384       48

                                                     5 ∙ ������ ∙ ������4
                                            ������ = −
                                                      384 ∙ 



Luego:


                 DIAGRAMA DE
                DESANGULACIÓN                        q*L³/(24*




     -q*L³/(24*


            DIAGRAMA DE DEFLEXIÓN




                    -5*q*L4/(384*

More Related Content

What's hot

Vigas hiperestaticas
Vigas hiperestaticasVigas hiperestaticas
Vigas hiperestaticasJcarlos Drc
 
Deflexion de una_viga_aplicacion_de_ecua
Deflexion de una_viga_aplicacion_de_ecuaDeflexion de una_viga_aplicacion_de_ecua
Deflexion de una_viga_aplicacion_de_ecuaAlvaro P-Ch
 
48099781 vigas-curvas
48099781 vigas-curvas48099781 vigas-curvas
48099781 vigas-curvasSCR3AMYVK
 
Ejercicios de Estática
Ejercicios de Estática Ejercicios de Estática
Ejercicios de Estática jomar2424
 
Viga de madera Ecuacion Universal Curva Elastica
Viga de madera   Ecuacion Universal Curva ElasticaViga de madera   Ecuacion Universal Curva Elastica
Viga de madera Ecuacion Universal Curva ElasticaCris Rafael
 
Doble integracion
Doble integracionDoble integracion
Doble integracionArturo Cid
 
Teoria y practica_de_resistencia_de_materiales-_vigas
Teoria y practica_de_resistencia_de_materiales-_vigasTeoria y practica_de_resistencia_de_materiales-_vigas
Teoria y practica_de_resistencia_de_materiales-_vigasMely Mely
 
Ejercicio de viga simplemente apoyada
Ejercicio de viga simplemente apoyadaEjercicio de viga simplemente apoyada
Ejercicio de viga simplemente apoyadaJair Chileno Trujillo
 
Ecuación diferencial de la elástica
Ecuación diferencial de la elásticaEcuación diferencial de la elástica
Ecuación diferencial de la elásticaSistemadeEstudiosMed
 
Analisis estructural
Analisis estructuralAnalisis estructural
Analisis estructuralglayjos
 

What's hot (14)

Vigas hiperestaticas
Vigas hiperestaticasVigas hiperestaticas
Vigas hiperestaticas
 
Deflexion de una_viga_aplicacion_de_ecua
Deflexion de una_viga_aplicacion_de_ecuaDeflexion de una_viga_aplicacion_de_ecua
Deflexion de una_viga_aplicacion_de_ecua
 
Practica fuerzas nº5
Practica fuerzas nº5Practica fuerzas nº5
Practica fuerzas nº5
 
joi
joijoi
joi
 
Deflexion en vigas 2
Deflexion en vigas 2Deflexion en vigas 2
Deflexion en vigas 2
 
48099781 vigas-curvas
48099781 vigas-curvas48099781 vigas-curvas
48099781 vigas-curvas
 
Ejercicios de Estática
Ejercicios de Estática Ejercicios de Estática
Ejercicios de Estática
 
Viga de madera Ecuacion Universal Curva Elastica
Viga de madera   Ecuacion Universal Curva ElasticaViga de madera   Ecuacion Universal Curva Elastica
Viga de madera Ecuacion Universal Curva Elastica
 
Doble integracion
Doble integracionDoble integracion
Doble integracion
 
Teoria y practica_de_resistencia_de_materiales-_vigas
Teoria y practica_de_resistencia_de_materiales-_vigasTeoria y practica_de_resistencia_de_materiales-_vigas
Teoria y practica_de_resistencia_de_materiales-_vigas
 
Problemas resueltos
Problemas resueltosProblemas resueltos
Problemas resueltos
 
Ejercicio de viga simplemente apoyada
Ejercicio de viga simplemente apoyadaEjercicio de viga simplemente apoyada
Ejercicio de viga simplemente apoyada
 
Ecuación diferencial de la elástica
Ecuación diferencial de la elásticaEcuación diferencial de la elástica
Ecuación diferencial de la elástica
 
Analisis estructural
Analisis estructuralAnalisis estructural
Analisis estructural
 

Viewers also liked

2013 04-05 presentación ministerio ley rehabilitación +plan vivienda
2013 04-05  presentación ministerio ley rehabilitación +plan vivienda2013 04-05  presentación ministerio ley rehabilitación +plan vivienda
2013 04-05 presentación ministerio ley rehabilitación +plan viviendaleiramanuel
 
vivienda protesica
vivienda protesicavivienda protesica
vivienda protesicaammzmr
 
Vivienda, ciudad y democracia social
Vivienda, ciudad y democracia socialVivienda, ciudad y democracia social
Vivienda, ciudad y democracia socialJosé Antonio Artusi
 
Meio ambiente apresentacao final
Meio ambiente  apresentacao finalMeio ambiente  apresentacao final
Meio ambiente apresentacao finalneto Serafim
 
Imagen urbana!
Imagen urbana!Imagen urbana!
Imagen urbana!EUA3
 
Morfología urbana. Tipos de planos
Morfología urbana. Tipos de planosMorfología urbana. Tipos de planos
Morfología urbana. Tipos de planosgsanfer
 
Morfologia urbana
Morfologia urbanaMorfologia urbana
Morfologia urbanacopybird
 
Morfología Urbana
Morfología UrbanaMorfología Urbana
Morfología UrbanaSira Sancho
 
El HáBitat Rural Y Habitat Urbano
El HáBitat Rural Y Habitat UrbanoEl HáBitat Rural Y Habitat Urbano
El HáBitat Rural Y Habitat UrbanoMaría García
 
Tipos de apoyo y calculo de reacciones resistencia
Tipos de apoyo y calculo de reacciones resistenciaTipos de apoyo y calculo de reacciones resistencia
Tipos de apoyo y calculo de reacciones resistenciaMario Fajardo
 
Paginas de matematicas
Paginas de matematicasPaginas de matematicas
Paginas de matematicasespanol
 

Viewers also liked (15)

Teorema de mohr version. Ejercicios de deformacion.
Teorema de mohr version. Ejercicios de deformacion. Teorema de mohr version. Ejercicios de deformacion.
Teorema de mohr version. Ejercicios de deformacion.
 
2013 04-05 presentación ministerio ley rehabilitación +plan vivienda
2013 04-05  presentación ministerio ley rehabilitación +plan vivienda2013 04-05  presentación ministerio ley rehabilitación +plan vivienda
2013 04-05 presentación ministerio ley rehabilitación +plan vivienda
 
vivienda protesica
vivienda protesicavivienda protesica
vivienda protesica
 
Vivienda, ciudad y democracia social
Vivienda, ciudad y democracia socialVivienda, ciudad y democracia social
Vivienda, ciudad y democracia social
 
Meio ambiente apresentacao final
Meio ambiente  apresentacao finalMeio ambiente  apresentacao final
Meio ambiente apresentacao final
 
Imagen urbana!
Imagen urbana!Imagen urbana!
Imagen urbana!
 
Arquitectura y Urbanismo
Arquitectura y UrbanismoArquitectura y Urbanismo
Arquitectura y Urbanismo
 
La Vivienda (carpeta general)
La Vivienda (carpeta general)La Vivienda (carpeta general)
La Vivienda (carpeta general)
 
Morfología urbana. Tipos de planos
Morfología urbana. Tipos de planosMorfología urbana. Tipos de planos
Morfología urbana. Tipos de planos
 
Morfologia urbana
Morfologia urbanaMorfologia urbana
Morfologia urbana
 
Morfología Urbana
Morfología UrbanaMorfología Urbana
Morfología Urbana
 
Metodología Casa habitación
Metodología Casa habitaciónMetodología Casa habitación
Metodología Casa habitación
 
El HáBitat Rural Y Habitat Urbano
El HáBitat Rural Y Habitat UrbanoEl HáBitat Rural Y Habitat Urbano
El HáBitat Rural Y Habitat Urbano
 
Tipos de apoyo y calculo de reacciones resistencia
Tipos de apoyo y calculo de reacciones resistenciaTipos de apoyo y calculo de reacciones resistencia
Tipos de apoyo y calculo de reacciones resistencia
 
Paginas de matematicas
Paginas de matematicasPaginas de matematicas
Paginas de matematicas
 

Similar to Apuntes resistencia de materiales iii

Apuntes resistencia de materiales
Apuntes resistencia de materialesApuntes resistencia de materiales
Apuntes resistencia de materialesPatoo Lopez
 
Apuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iiiApuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iiiMoises MA
 
Apuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iiiApuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iiiCarlos Canal
 
Apuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iiiApuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iiihfoviedor
 
Apuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iiiApuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iiifsijest
 
Ideas Principales
Ideas PrincipalesIdeas Principales
Ideas Principalesjastas12
 
Problemas resueltos tema 9 tercer parcial analisi
Problemas resueltos tema 9 tercer parcial analisiProblemas resueltos tema 9 tercer parcial analisi
Problemas resueltos tema 9 tercer parcial analisiLuis Enrique King M
 
Hiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 6b.pptx
Hiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 6b.pptxHiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 6b.pptx
Hiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 6b.pptxgabrielpujol59
 
Hiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 6c.pptx
Hiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 6c.pptxHiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 6c.pptx
Hiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 6c.pptxgabrielpujol59
 
Hiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 6a.pptx
Hiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 6a.pptxHiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 6a.pptx
Hiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 6a.pptxgabrielpujol59
 
Meca1 equilibrio de cuerpos rigido sfin
Meca1 equilibrio de cuerpos rigido sfinMeca1 equilibrio de cuerpos rigido sfin
Meca1 equilibrio de cuerpos rigido sfinCesar García Najera
 
Ángulos Problemas
Ángulos ProblemasÁngulos Problemas
Ángulos Problemasrachelmate
 
practicadiagramas1223333333gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg...
practicadiagramas1223333333gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg...practicadiagramas1223333333gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg...
practicadiagramas1223333333gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg...201801331a
 

Similar to Apuntes resistencia de materiales iii (20)

Apuntes resistencia de materiales
Apuntes resistencia de materialesApuntes resistencia de materiales
Apuntes resistencia de materiales
 
Apuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iiiApuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iii
 
Apuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iiiApuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iii
 
Apuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iiiApuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iii
 
Apuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iiiApuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iii
 
Apuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iiiApuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iii
 
Ideas Principales
Ideas PrincipalesIdeas Principales
Ideas Principales
 
Angulos
AngulosAngulos
Angulos
 
Problemas resueltos tema 9 tercer parcial analisi
Problemas resueltos tema 9 tercer parcial analisiProblemas resueltos tema 9 tercer parcial analisi
Problemas resueltos tema 9 tercer parcial analisi
 
Hiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 6b.pptx
Hiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 6b.pptxHiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 6b.pptx
Hiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 6b.pptx
 
Hiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 6c.pptx
Hiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 6c.pptxHiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 6c.pptx
Hiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 6c.pptx
 
Hiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 6a.pptx
Hiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 6a.pptxHiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 6a.pptx
Hiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 6a.pptx
 
Angulos ab
Angulos abAngulos ab
Angulos ab
 
Meca1 equilibrio de cuerpos rigido sfin
Meca1 equilibrio de cuerpos rigido sfinMeca1 equilibrio de cuerpos rigido sfin
Meca1 equilibrio de cuerpos rigido sfin
 
Ángulos Problemas
Ángulos ProblemasÁngulos Problemas
Ángulos Problemas
 
Método de flexibilidades
Método de flexibilidadesMétodo de flexibilidades
Método de flexibilidades
 
Equilibrio rotacional
Equilibrio rotacionalEquilibrio rotacional
Equilibrio rotacional
 
Angulos
AngulosAngulos
Angulos
 
Estructuras articuladas
Estructuras articuladasEstructuras articuladas
Estructuras articuladas
 
practicadiagramas1223333333gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg...
practicadiagramas1223333333gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg...practicadiagramas1223333333gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg...
practicadiagramas1223333333gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg...
 

Apuntes resistencia de materiales iii

  • 1. TEMA 6: ESTÁTICA DE VIGAS Las vigas son elementos estructurales que resisten fuerzas aplicadas lateral o transversalmente a sus ejes. Los miembros principales que soportan pisos de edificios son vigas, igualmente el eje de un vehículo es también una viga. El objetivo principal de este capítulo es determinar el sistema de fuerzas internas necesarias para el equilibrio de cualquier segmento de viga. Para una viga con todas las fuerzas en el mismo plano (viga plana) puede desarrollarse un sistema de tres componentes de fuerzas internas en una sección, éstas son: 1. Las fuerzas axiales 2. Las fuerzas cortantes 3. El momento flector La determinación de sus magnitudes es el objetivo de este capítulo. Calculo de reacciones Convenciones de simbología para apoyos y cargas Al estudiar estructuras planas es necesario adoptar simbologías tanto para apoyos como para cargas, dado que son posibles varios tipos de apoyos y una gran variedad de cargas. El respetar tales convenciones evita confusión y reduce al mínimo las posibilidades de cometer errores. Existen tres tipos básicos de apoyos para estructuras planas, los cuales se caracterizan por los grados de libertad de movimiento que le permiten a la viga frente a fuerzas actuantes:  Apoyo móvil o de rodillo: éste permite el desplazamiento a lo largo del eje longitudinal de la viga y el giro de ésta; el desplazamiento transversal es impedido mediante una reacción en ese sentido. A VA
  • 2. Apoyo fijo o pasador: Este tipo de apoyo permite el giro de la viga, pero impide el desplazamiento en cualquier dirección mediante una reacción que se puede dividir en una componente a lo largo del eje longitudinal de la viga y otra a lo largo del eje transversal. Para determinar estas dos componentes es necesario hacer uso de dos ecuaciones de la estática A HA VA  Empotramiento: este tipo de apoyo impide el desplazamiento a lo largo de los ejes y el giro de la viga mediante una reacción que se puede dividir en una componente longitudinal, otra transversal y una reacción de momento. MA HA VA A Las cargas aplicadas consideradas en este capítulo, consisten en cargas puntuales, vale decir, fuerzas concentradas mostradas en los esquemas como vectores, y las cagas distribuidas se muestran como una secuencia de vectores. Cálculos de reacciones de vigas
  • 3. En este capítulo, todo el trabajo subsecuente con vigas comenzará con la detrminación de las reacciones. Cuando todas las fuerzas se aplican en un plano, se dispone de tres ecuaciones de equilibrio estático para el análisis. Estas son:  ������������ = 0  ������������ = 0  ������������ = 0 La aplicación de estas ecuaciones a varios problemas de vigas se ilustra en los siguientes ejemplos, los cuales sirven como repaso de este importante procedimiento. Ejemplo 1 Encuentre las reacciones de los apoyos de la viga que se muestra en la figura: 200N*m 100N 160N A B 0,1m 0,1m 0,1m 0,1m Solución De acuerdo a los apoyos que se pueden observar en el esquema se generan las reacciones que se observan en la figura siguiente: 200N*m 100N 160N A B HA VA VB
  • 4. Ahora, aplicando las ecuaciones de la estática se tiene: ������������ = 0 → ������������ = 0 ������������ = 0 → ������������ + ������������ − 100 − 160 = 0 ������������ + ������������ = 260 ������ ������������ = 0 → −200 − 100 ∙ 0,2 − 160 ∙ 0,3 + ������������ ∙ 0,4 = 0 ������������ = 670 ������ Ahora, como: ������������ + ������������ = 260 ������  ������������ = 260 − 670 = −410 ������ El signo negativo en VA indica que tiene el sentido contrario al indicado en la figura. Ejemplo 2 Encuentre las reacciones en la viga con carga uniformemente variable de la figura. Desprecie el peso de la viga VB 10kN/m B A HA VA 3 2
  • 5. Solución: Dados los tipos de apoyo que existen en la viga, se genera una componente horizontal y otra vertical en el apoyo fijo o pasador A y una reacción vertical en el apoyo móvil o rodillo B. Ahora aplicando las ecuaciones de la estática: ������������ = 0 → ������������ = 0 3 ������������ = 0 → ������������ + ������������ + 10 ∙ 1000 ∙ =0 2 ������������ + ������������ = −15.000 ������ 2 ������������ = 0 → ������������ ∙ 5 + 15.000 ∙ ∙ 3 = 0 3 ������������ = −6.000 ������ Luego, ������������ = −9.000 ������ Ejemplo 3 Determine las reacciones en A y B para la viga de la figura 53 5N ° B HA A 45° B V VA 3 9
  • 6. Solución: Usando las ecuaciones de la estática se tiene: ������������ = 0 → ������������ − 5 ∙ cos 53 − ������������ ∙ cos 45 = 0 ������������ = 0 → ������������ + ������������ ∙ ������������������ 45 − 5 ∙ ������������������ 53 = 0 ������������ = 5 ∙ ������������������ 53 − ������������ ∙ ������������������ 45 ������������ = 0 → −5 ∙ ������������������ 53 ∙ 3 + ������������ ∙ ������������������ 45 ∙ 12 = 0 15 ∙ ������������������ 53 ������������ = = 1,41 ������ 12 ∙ ������������������ 45 Luego: ������������ = 5 ∙ ������������������ 53 − 1,41 ∙ ������������������ 45 ������������ = 3 ������ ������������ = 5 ∙ cos 53 + 3 ∙ cos 45 ������������ = 5,13 ������ Algunas veces se insertan articulaciones o juntas con pasadores en las vigas o marcos. Una articulación es capaz de transmitir sólo fuerzas horizontales y verticales. Ningún momento puede ser transmitido por una articulación. Por tanto, el punto donde se localiza una articulación es particularmente conveniente para “separar” una estructura en partes con el fin de calcular las reacciones. Cada parte de la viga así separada se trata en forma independiente. Cada articulación proporciona un eje adicional respecto al cual pueden analizarse los momentos para determinar las reacciones. La introducción de una articulación o articulaciones convierte al sistema en muchos casos, en estáticamente detrminado. La introducción de una articulación en una viga estáticamente determinada convierte a esta en inestable. El proceso para calcular este tipo de vigas es:
  • 7. L/2 P L a P P/2 P/2 ������ ∙ ������ 2 P/2 P/2 Aplicación del método de las secciones El objetivo de este capítulo es establecer procedimientos para establecer las fuerzas que existen en una sección de una viga o de un marco. Para obtener esas fuerzas se aplicará el método de las secciones. El análisis de cualquier viga o marco para determinar las fuerzas internas comienza con la preparación de un diagrama de cuerpo libre que muestre tanto las fuerzas aplicadas como las reacciones. En los pasos subsecuentes del análisis, ninguna distinción tiene que hacerse entre las fuerzas aplicadas y las reacciones. El método de las secciones puede entonces aplicarse a cualquier sección de una estructura.
  • 8. Considere una viga como la de la figura, con ciertas cargas puntuales y distribuidas actuando sobre ellas. Se supone que se conocen las reacciones. Las fuerzas aplicadas externamente y las reacciones mantienen todo el cuerpo en equilibrio. La sección imaginaria pasa por la carga uniformemente distribuida y también la separa. Cada uno de estos segmentos de viga es un cuerpo libre que debe estar en equilibrio. Esas condiciones de equilibrio requieren de la existencia de un sistema de fuerzas internas en la sección de corte de la viga. P2 q1 P1 A q2 B HA x VA VB Mx Hx Vx Fuerza cortante en vigas Para mantener en equilibrio un segmento de una viga, debe haber una fuerza vertical interna Vx en el corte que satisfaga la ecuación ������������ = 0. Esta fuerza interna Vx , actuando en ángulo recto respecto al eje longitudinal de la viga, se llama fuerza cortante. La fuerza cortante es numéricamente igual a la suma algebraica de todas las componentes verticales de las fuerzas externas que actúan sobre el segmento aislado, pero es opuesta en dirección. Esta fuerza cortante puede calcularse considerando el segmento izquierdo de la viga, como se muestra en la figura de la página anterior o considerando el lado derecho.
  • 9. Momento flector en vigas Las fuerzas internas axial y cortante en una sección de una viga, satisfacen sólo dos ecuaciones de equilibrio: ������������ = 0 y ������������ = 0. La condición restante de equilibrio estático para un problema plano es ������������ = 0. Ésta, en general, puede sólo satisfacerse si se desarrolla un par o un momento interno resistente dentro del área de la sección transversal de contrarrestar el momento causado por las fuerzas externas. El momento resistente interno debe actuar en sentido opuesto al momento externo para satisfacer la ecuación gobernante ������������ = 0. Esos momentos tieneden a flexionar una viga en el plano de las cargas y se denominan momentos flectores. Para determinar un momento flector interno que mantiene en equilibrio un segmento de la viga, se puede usar la parte izquierda o derecha del cuerpo libre de la viga. La magnitud del momento flector se encuentra sumando los momentos causados por todas las fuerzas multiplicadas por sus respectivos brazos. Las fuerzas internas Vx y Px así como los momentos aplicados deben incluirse en la suma. Para excluir los momentos causados por éstas últimas fuerzas conviene seleccionar el punto de intersección de esas dos fuerzas internas como el punto respecto al cual se suman los momentos. Este punto se encuentra sobre el eje centroidal de la sección transversal de la viga. El momento flector interno puede ser interpretado físicamente como compresión sobre las fibras superiores de la viga y tracción sobre las inferiores (esta es la definición de un momento positivo). La convención de signos que se adopta para los momentos flectores es la siguiente: M M M M De la figura se puede observar que un momento positivo genera compresión en las fibras superiores y tracción en las fibras inferiores, se genera una curva cóncava; por otro lado un momento negativo genera tracción en las fibras superiores y compresión en las fibras inferiores, se genera una curva convexa.
  • 10. Ejemplo 1 Determine el sistema de fuerzas internos que afecta la figura siguiente: 6.000N 10kN/m B A 9.000N 3 2
  • 11. Solución: La viga se separa en secciones considerando sus discontinuidades: i. Tramo AD 0 < ������ < 3 Mx Vx C A 9.000N x 10.000 ∙ ������ ∙ ������ −9.000 + 3 = ������ ������ 2 5.000 ∙ ������ 2 −9.000 + = ������ ������ 3 5.000 ∙ ������ 3 −9.000 ∙ ������ + = ������������ 9
  • 12. ii. Tramo DB 3 < ������ < 5 Mx 10kN/m C D Vx A 3 9.000N x 10.000 ∙ 3 −9.000 + = ������ ������ 2 −9.000 + 15.000 = ������ ������ 10.000 ∙ 3 2 −9.000 ∙ ������ + ∙ ������ − ∙ 3 = ������������ 2 3 −9.000 ∙ ������ + 15.000 ∙ ������ − 2 = ������������ El mismo procedimiento puede seguirse para marcos que consisten de varios elementos rígidamente unidos entre sí, así como para barras curvas. En todos esos casos, las secciones deben ser perpendiculares al eje de un elemento.
  • 13. Diagramas de fuerza normal, fuerza cortante y momento flector Las ecuaciones derivadas del método de las secciones se pueden representar en gráficos, en los cuales pueden trazarse ordenadas iguales a las cantidades calculadas, desde una línea base que representa la longitud de la viga. Estos diagramas se llaman de acuerdo a las cantidades que representan diagrama de fuerza axial, diagrama de fuerza cortante y diagrama de momento flector. Con ayuda de dichos diagramas, la magnitud y localización de diversas cantidades resultan inmediatamente obvias. Ejemplo 1 Dibuje los diagramas de fuerza normal, fuerza cortante y momento flector de la viga de la figura: 53 ° 5N HA A B VA VB 5 5 Solución: Se calculan en primer lugar las reacciones: ������������ = 0 → ������������ − 5 ∙ cos 53 = 0 ������������ − 5 ∙ cos 53 = 0 ������������ = 3������
  • 14. ������������ = 0 → ������������ + ������������ − 5 ∙ sen 53 = 0 ������������ + ������������ = 4������ ������������ = 0 → − 5 ∙ sen 53 ∙ 5 + ������������ ∙ 10 = 0 ������������ = 2������ ������������ = 2������ DIAGRAMA DE FUERZA NORMAL 3N DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE 2N 2N DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR 10N*m
  • 15. Ejemplo 2 Dibuje los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momento flector para la viga en voladizo cargada con una fuerza inclinada en su extremo libre de la figura siguiente: ° 45 MA 2Pcos 45 A HA VA L Solución: Haciendo equilibrio estático: ������������ = 0 → ������������ + ������ = 0 ������������ = −������ ������������ = 0 → ������������ − ������ = 0 ������������ = ������ ������������ = 0 → ������������ − ������ ∙ ������ = 0 ������������ = ������ ∙ ������ Luego los diagramas son los siguientes:
  • 16. DIAGRAMA DE FUERZA NORMAL P DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE P DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR P*L Ejemplo 3 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flector para una viga simple con carga uniformemente distribuida (véase figura) qN/m HA A B VA VB L
  • 17. Solución: De las ecuaciones de la estática: ������������ = 0 → ������������ = 0 ������������ = 0 → ������������ + ������������ − ������ ∙ ������ = 0 ������������ + ������������ = ������ ∙ ������ ������ ������������ = 0 → −������ ∙ ������ ∙ + ������������ ∙ ������ = 0 2 ������ ∙ ������ ������������ = 2 ������ ∙ ������ ������������ = 2 DIAGRAMA DE FUERZA NORMAL DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE q*l/2 q*l/2 DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR (q*l^2)/8
  • 18. Ejemplo 4 Para la viga de la figura, exprese la fuerza cortante Vx y el momento flector Mx en función de x. MA qN/m HA A B VA VB L Solución: Esta es una viga estáticamente indeterminada de primer grado, pues se tienen cuatro incógnitas y tres ecuaciones de la estática para determinarlas, el procedimiento que se sigue es dejar las incógnitas en función de un parámetro. Calculamos las reacciones en primer lugar: ������������ = 0 → ������������ = 0 ������������ = 0 → ������������ + ������������ − ������ ∙ ������ = 0 ������������ = ������ ∙ ������ − ������������ ������ ������������ = 0 → ������������ − ������ ∙ ������ ∙ + ������������ ∙ ������ = 0 2 ������2 ������������ = ������ ∙ − ������������ ∙ ������ 2 Ahora, se calculan las fuerzas internas que afectan al sistema utilizando el método de las secciones.
  • 19. MA Mx qN/m A Vx VA x ������������ − ������ ∙ ������ = ������ ������ Luego, reemplazando: ������ ∙ ������ − ������������ − ������ ∙ ������ = ������ ������ ������ ∙ ������ 2 −������������ + ������������ ∙ ������ − = ������������ 2 Reemplazando: ������2 ������ ∙ ������ 2 −������ ∙ + ������������ ∙ ������ + (������ ∙ ������ − ������������ ) ∙ ������ − = ������������ 2 2 Ejemplo 5 Considere una viga curva cuyo eje centroidal tiene la forma de una semicírculo de 0,2 m de radio, como se muestra en la figura. Si este elemento estructural es traccionado por las fuerzas de 1.000N mostradas, encuentre la fuerza axial, la fuerza cortante y el momento flector en la sección A-A definida por ������ = 45°. El eje centroidal y las fuerzas aplicadas se encuentran en el mismo plano.
  • 20. A A 1.000N 45° 1.000N 0,4 Solución: Usando el método de las secciones se obtiene los siguiente: M45° H45° A V45° A 1.000N 45° O 0,14
  • 21. Ahora, utilizando las ecuaciones de la estática: ������45° = 0 → −1.000 ∙ cos 45 + ������45° = 0 ������45° = 707,11 ������ ������135° = 0 → 1.000 ∙ ������������������ 45 − ������45° = 0 ������45° = 707,11 ������ ������0 = 0 → ������45° + ������45° ∙ 0,2 = 0 ������45° = −707,11 ∙ 0,2 = −141,42 ������ ∙ ������
  • 22. TEMA 7: FLEXIÓN Considere una viga horizontal prismática cuya sección transversal tenga un eje de simetría. Una línea horizontal que pase por los centroides de las secciones transversales será considerada como eje de la viga. A continuación considere un elemento típico de la viga entre dos planos perpendiculares al eje. En una vista lateral, tal elemento es identificado en la figura por abcd. Cuando la viga es sometida a momentos iguales Mz actuando alrededor del eje z, esta viga se flexiona en el eje de simetría y los planos inicialmente perpendiculares al eje de la viga se inclinan ligeramente. Sin embargo, las líneas ad y bc al convertirse en a´d´ y b´c´, permanecen rectas. Esta observación forma la base de la hipótesis fundamental de la teoría de flexión. Puede enunciarse de la siguiente manera: “Las secciones planas normales al eje de una viga permanecen planas después de que ésta es sometida a flexión”. y y a b O A x z c d d Mz Mz  a´ b´ y O g A h e f c´ d´ En la flexión pura de una viga prismática, el eje de la viga se deforma según un círculo de radio , mientras que la longitud de ef está dado por: ������������ = ������������
  • 23. ������������ = ������ ∙ ������������ Luego: ������������ 1 = = ������ ������������ ������ Donde k es la curvatura. La longitud de la fibra gh está dada por: ������������ = ������ − ������ ∙ ������������ Y, por tanto la diferencia entre las longitudes de las fibras estará dada por: ������������ = ������������ − ������������ = ������ − ������ ∙ ������������ − ������ ∙ ������������ = −������ ∙ ������������ Dividiendo por ds: ������������ ������������ = −������ ∙ = −������ ∙ ������ ������������ ������������ Como las deflexiones y la rotación del eje de la viga son muy pequeños, los cosenos de los ángulos implicados al formar las proyecciones de ������������ y ������������ sobre el eje horizontal son casi igual a la unidad, luego, es posible reemplazar la deformación axial de la viga por du y reemplazar ds por dx, con lo que queda: ������������ = −������ ∙ ������ Usando la Ley de Hooke: ������������ = ������ ∙ ������������ = −������ ∙ ������ ∙ ������ Por otro lado, se requiere que la suma de todas las fuerzas en una sección en la dirección x sea 0, lo que implica: ������������ = 0 → ������������ ∙ ������������ = 0 −������ ∙ ������ ∙ ������ ∙ ������������ = 0 k es constante en flexión pura, luego: −������ ∙ ������ ������ ∙ ������������ = 0 Para satisfacer esta condición el eje z debe pasar por el centroide de área de la sección transversal y como este eje z representa el origen del sistema implica que a lo largo de este eje tanto las deformaciones como los esfuerzos normales son nulos. Este eje se llama fibra neutra.
  • 24. Para completar la fórmula de flexión elástica, debemos considerar que la sumatoria de los momentos externos debe ser igual a la suma de los momentos internos de la viga, vale decir: Mz y a b x=-Eky y O A x z c d ������0 = 0 → ������������ = ������ ∙ ������ ∙ ������ ∙ ������������ ∙ ������ ������������ = ������ ∙ ������ ∙ ������ 2 ∙ ������������ ������������ = ������ ∙ ������ ������������������ ������������ ������������ = − ∙ ������ ������������������ Cabe destacar que el momento de inercia se calcula respecto de la fibra neutra de la figura, luego es necesario primero establecer el centroide de área de la figura. Debe notarse que en el caso de la flexión pura, el único esfuerzo que actúa es ������������ , luego el tensor de esfuerzos estará dado por: ������������ 0 0 ������ = 0 0 0 0 0 0 Y, como vimos en el capítulo este tensor de esfuerzos se puede hacer rotar y obtener el estado de esfuerzos en cualquier sistema de eje coordenado. Ejemplo 1 Una viga en voladizo de madera que pesa 0,75 N/m soporta una carga puntual hacia arriba de 20 kN en su extremo. Determine los esfuerzos máximos de flexión en una sección a 2 m desde el extremo libre.
  • 25. B 20kN 0,75kN/m B A HB VB L Sección transversal viga (medidas en milímetros) 400 300 Utilizando las ecuaciones de la estática: ������������ = 0 → ������������ = 0
  • 26. ������������ = 0 → ������������ − 0,75 ∙ ������ + 20 = 0 ������������ = −20 + 0,75 ∙ ������ ������2 ������������ = 0 → −20 ∙ ������ + 0,75 ∙ − ������������ = 0 2 ������2 ������������ = 20 ∙ ������ − 0,75 ∙ 2 Ahora determinamos el sistema de fuerzas internas que afectan a la viga a 2 metros del extremo (veáse figura): 20 ∙ 2 − 0.75 ∙ 2 ∙ 1 = ������2������ 38,5 ������������ ∙ ������ = ������2������ M2m 20kN 0,75kN/m A 2 V2m El esfuerzo está dado por: −������ ∙ ������ ������������ = ������������������ Derivando el esfuerzo normal respecto a y e igualando a cero se encuentra el esfuerzo normal máximo en la sección: ������������������ ������ =− ≠0 ������������ ������������������
  • 27. Esto implica que no se tienen máximo ni mínimos relativos, por tanto se debe evaluar en los bordes superiores e inferiores para encontrar el esfuerzo normal máximo. Por otro lado la sección transversal de la viga simétrica, lo que implica que el centroide se encuentra en la intersección de los ejes de simetría y por tanto la fibra neutra se ubica a la mitad de la altura de la viga: Fibra neutra 200 400 200 300 Calcularemos ahora el momento de inercia: 1 ������������������ = ∙ 0,3 ∙ 0,43 = 0,0016 ������4 12 Luego el esfuerzo normal en el borde superior es: −38,5 ∙ 0,2 ������������ ������ ������������ = = −4.812,5 2 = −4.812.500 2 = −4.812.500 ������������ 0,016 ������ ������ = −4,81 ������������������ (������������ ������������������������������������������������ó������) Mientras que en el borde inferior: −38,5 ∙ −0,2 ������������ ������ ������������ = = 4.812,5 2 = 4.812.500 2 = 4.812.500 ������������ = 4,81 ������������������ (������������ ������������������������������������ó������) 0,016 ������ ������
  • 28. TEMA 8: ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS Este capítulo está dedicado a determinar los esfuerzos cortantes en vigas causadas por fuerzas cortantes transversales. Probaremos en primer lugar que la fuerza cortante está inseparablemente unida a un cambio en el momento flector de una sección de la viga. M M+dM A V V+dV dx Haciendo momento en A queda: ������������ = 0 → ������ + ������������ − ������ − ������ ∙ ������������ = 0 ������������ = ������ ∙ ������������ ������������ = ������ ������������ Esta ecuación significa que si la fuerza cortante está actuando en una sección, habrá un cambio en el momento flector de una sección adyacente. La diferencia entre los momentos flectores de secciones adyacentes es ������ ∙ ������������. Si ninguna fuerza cortante está presente no se producirá ningún cambio en el momento flector. Alternativamente, razón de cambio del momento flector a lo largo de la viga es igual a la fuerza cortante. Considere una viga longitudinal de varios tablones longitudinales continuos, cuyas sección transversal se muestran en la figura, en que se destaca que el tablón superior está a una distancia y1 de la fibra neutra de la viga.
  • 29. FIBRA NEUTRA y1 CENTROIDE Por simplicidad, la viga tiene una sección transversal rectangular, pero tal limitación no es necesaria. Un elemento de esta viga, aislado por dos secciones paralelas, ambas perpendiculares al eje de la viga y de longitud dx, se muestran en la figura:
  • 30. Se destaca también, en rojo, el tablón superior de la viga. El elemento está sometido a un momento flector MA en el extremo A y a un momento flector MB en el extremo B, lo que generan esfuerzos normales a las secciones (son representadas por las flechas de color rojo de la figura anterior). Estos esfuerzos de flexión varían linealmente desde su respectivas fibras neutras. La misma viga, en sentido longitudinal se muestra en la figura siguiente: A una distancia y de la fibra neutra el esfuerzo en los extremos A y B está dado, respectivamente, por: ������������ ∙ ������ ������������ = − ������ ������������ ∙ ������ ������������ = − ������ La fuerza que actúa en un diferencial de área dA está dado por: ������������ ∙ ������ ������������������ = − ∙ ������������ ������ ������������ ∙ ������ ������������������ = − ∙ ������������ ������
  • 31. La fuerza que actúa sobre el área del tablón de la sección transversal está dada por: ������������ ∙ ������ ������������ = − ∙ ������������ ������ −������������ ������������ = ������ ∙ ������������ ������ −������������ ������������ = ������ ∙ ������������ ������ Si ������������ ≠ ������������ , el tablón superior tiende a deslizar respecto del tablón inferior, por tanto para que exista equilibrio de fuerzas se requiere que existe una fuerza horizontal resistente. ������������ ������������ ������������ = − ������ ∙ ������������ — − ������ ∙ ������������ ������ ������ ∆������ ������������ = ������ ∙ ������������ ������ Si dx es una cantidad diferencial, el momento cambia también una cantidad diferencial, luego ������������ ������������ = ������ ∙ ������������ ������ En vez de trabajar con una fuerza dF que se desarrolla a lo largo de una longitud dx, es más conveniente trabajar con una fuerza por unidad de longitud, esto se consigue dividiendo dF por dx, con lo que se obtiene: ������������ ������������ 1 ������ ������ = = ∙ ������ ∙ ������������ = ������ ∙ ������������ ������������ ������������ ������ ������ Donde q se llama flujo cortante. Ahora, el esfuerzo de corte que se desarrolla en el plano longitudinal es: ������ ������ = ������ ∙ ������������ ������ ∙ ������ Donde t es el espesor de la sección transversal del plano considerado. Ejemplo 1 Dos tablones largos de madera forman una sección T para una viga, como se muestra, en mm, en la figura siguiente. Si esta viga transmite una fuerza cortante vertical constante de 3.000N, encuentre la separación necesaria de los clavos entre los dos tablones para que la viga trabaje como una unidad. Suponga que la fuerza cortante permisible por clavo es de 700N
  • 32. 200 50 250 50 La distancia desde la base del perfil hasta la fibra neutra es: 200 ∙ 50 ∙ 225 + 200 ∙ 50 ∙ 100 ������ = = 162,5������������ 200 ∙ 50 + 200 ∙ 50 El momento de inercia del perfil es: 50 ∙ 2003 200 ∙ 503 ������ = + 50 ∙ 200 ∙ 62,52 + + 200 ∙ 50 ∙ 225 − 162,5 2 = 113.541.667������������4 12 12 El momento estático está dado por: 87,5 ������ ∙ ������������ = 200 ∙ ������ ∙ ������������ 37,5 87,52 37,52 ������ ∙ ������������ = 200 ∙ − 200 ∙ = 100 ∙ 2502 − 2002 = 625.000������������3 2 2
  • 33. Luego el flujo cortante está dado por: 3.000 ∙ 625.000 ������ = = 16,51������/������������ 113.541.667 Finalmente la separación entre clavos es: 700 ������ = = 42,4������������ 16,51 Ejemplo 2 Una viga de luz 6 m soporta una carga de 3 kN/m, incluido su peso propio. La sección transversal de la viga estará hecha de varias piezas de madera, como se muestra en las figuras de más abajo. Determine la separación de los tornillos de cabeza cuadrada de 10 mm necesaria para unir la partes de esta viga entre sí. Suponga que un tornillo de 10 mm, según estudios de laboratorio, es bueno para transmitir 2kN de carga lateral paralela al grano de la madera. Suponga ������ = 2,36 ∙ 109 ������������4 3kN/m A B HA VA VB 6
  • 34. a a FIBRA NEUTRA 500 100 50 50 200 50 Calculamos las reacciones de la viga: ������������ = 0 → ������������ = 0 ������������ = 0 → ������������ + ������������ − 3 ∙ 6 = 0 ������������ + ������������ = 18������������ 6 ������������ = 0 → ������������ ∙ 6 − 3 ∙ 6 ∙ =0 2 ������������ = 9������������ ������������ = 9������������ Ahora determinaremos la fuerza cortante en cualquier punto de la viga utilizando el método de las secciones: 9 − 3 ∙ ������ = ������ ������ Derivando esta ecuación respecto a x se obtiene:
  • 35. ������������������ = −3 ≠ 0 ������������ Luego esta ecuación no tiene máximos ni mínimos relativos, lo que implica que para obtener la máxima fuerza cortante en la viga hay que evaluar la ecuación en los extremos de la viga: 9 = ������ (������ = 0) ������ −9 = ������ (������ = 6) ������ Por tanto la máxima fuerza cortante que se da en la viga corresponde a 9 kN 3kN/m A Vx 9kN x Para calcular la separación entre tornillos, debe determinarse el flujo cortante en la sección a-a, para ello se evalúa el momento estático en el área achurada del perfil 50 ∙ 200 ∙ 225 + 2 ∙ 100 ∙ 50 ∙ 200 = ������ ∙ ������������ 4.250.000������������3 = ������ ∙ ������������ Luego: 9 ∙ 4.250.000 ������ = = 0,01620763������/������������ 2,36 ∙ 109 2 ������ = = 123,4������������ 0,01620763
  • 36. En los apoyos el espaciamiento enytre tornillos debe ser de 123 mm. Este espaciamiento se aplica sólo en una sección donde la fuerza cortante V es de 9kN. Dado que la fuerza cortante no es constante en todo el tramo, es conveniente diferir la separación entre tornillos con el fin de ahorrar material, así en las cercanías de los apoyos es necesario colocar tornillos de 10 mm espaciados 120 mm a 1,5 m cerca de ambos apoyos y de 240 mm en la parte central de la viga (debido a que la fuerza cortante desarrollada en esta parte es menor a la mitad de la fuerza cortante máxima). Ejemplo 3 Obtenga una expresión para la distribución del esfuerzo cortante en una viga de sección transeversal rectangular maciza que transmite una fuerza cortante V. Calcule además el esfuerzo cortante máximo que se desarrolla en la sección y 1 h b ������ ∙ ������ ∙ ������������ ������ = ������ ∙ ������
  • 37. El momento de inercia está dado por: ������ ∙ ������3 ������ = 12 Además ������ = ������ El momento estático está dado por: ������/2 ������ ∙ ������������ = ������ ∙ ������ ∙ ������������ ������1 2 ������ ������ ������ ∙ ������������ = ∙ − ������1 2 2 2 Luego el esfuerzo cortante está dado por: 2 2 ������ ������ ������ ������ ������ ∙ 2 ∙ 2 − ������1 2 2∙ 2 − ������1 2 2 6 ∙ ������ ������ ������ = = = ∙ − ������1 2 ������ ∙ ������3 ������ ∙ ������3 ������ ∙ ������3 2 ∙ ������ 12 12 Para encontrar el esfuerzo cortante máximo derivamos el esfuerzo cortante por y1 e igualamos esta expresión a cero: ������������ 6 ∙ ������ = ∙ −2 ∙ ������1 = 0 → ������1 = 0 ������������1 ������ ∙ ������3 Luego: 6 ∙ ������ ������2 3 ∙ ������ 3 ∙ ������ ������������ á������ = ∙ = = ������ ∙ ������3 4 2 ∙ ������ ∙ ������ 2 ∙ ������ De los resultados obtenidos podemos deducir que el esfuerzo cortante en una viga de sección rectangular varía parabólicamente y que el esfuerzo cortante máximo se obtiene cuando y1 es igual a cero, a medida que nos vamos alejando de la fibra neutra el val,or del esfuerzo cortante va haciéndose más bajo hasta llegar a ser nulo cuando ������ = ±������/2, vale decir, el esfuerzo de corte es cero al llegar al borde superior e inferior de la viga. Ejemplo 4 El sistema de cargas y la sección transversal a que se ve afecta una viga I se muestra en las figuras siguientes, determine los esfuerzos cortantes en los niveles indicados. Desprecie el peso de la viga.
  • 38. 100kN A C B HA VA VB 3 6 1 1 2 3 3 10 FIBRA NEUTRA EJE DE SIMETRÍA 4 4 270 10 10 150 ������������ = 0 → ������������ = 0
  • 39. ������������ = 0 → ������������ + ������������ − 100 = 0 ������������ + ������������ = 100 ������������ ������������ = 0 → ������������ ∙ 6 − 100 ∙ 3 = 0 ������������ = 50 ������������ ������������ = 50 ������������ Ahora determinamos la fuerza cortante a lo largo de la viga: i. Tramo A - C 0 < ������ < 3 A 50kN Vx x 50 ������������ = ������ ������
  • 40. ii. Tramo C – B 3 < ������ < 6 100kN A C Vx 50kN 3 x 50 − 100 = ������ ������ −50 ������������ = ������ ������ Ahora, calcularemos los esfuerzos cortantes en los diferentes niveles:  Nivel 1 – 1: El área que involucra este nivel es nula, lo que implica que el esfuerzo cortante también es cero.  Nivel 2 -2 El momento de inercia del perfil está dado por: 10 ∙ 2503 150 ∙ 103 ������ = + + 150 ∙ 10 ∙ 2552 ∙ 2 = 208.120.833������������4 12 12 El momento estático de este nivel está dado por: 135 150 ������ ∙ ������������ = ������ ∙ 150 ∙ ������������ = ∙ 1352 − 1252 = 195.000 125 2 El plano considerado justo coincide con dos piezas lo que implica que t puede tener el espesor de la pieza de arriba con t=150mm, y el espesor de la pieza de abajo con t=10mm
  • 41. Luego: 50 ∙ 195.000 ������ = = 0,000312318565 ������������/������������2 = 312.318,565 ������������ = 0,31 ������������������ 208.120.833 ∙ 150 50 ∙ 195.000 ������ = = 0,00468478 ������������/������������2 = 4.684.780 ������������ = 4,68 ������������������ 208.120.833 ∙ 10  Nivel 3 – 3: El momento de inercia del perfil está dado por: 10 ∙ 2503 150 ∙ 103 ������ = + + 150 ∙ 10 ∙ 2552 ∙ 2 = 208.120.833������������4 12 12 El momento estático de este nivel está dado por: 125 135 10 150 ������ ∙ ������������ = ������ ∙ 10 ∙ ������������ + ������ ∙ 150 ∙ ������������ = ∙ 1252 − 1152 + ∙ 1352 − 1252 115 125 2 2 ������ ∙ ������������ = 207.000 ������������3 El espesor de acuerdo al plano considerado es ������ = 150 ������������ Por tanto: 50 ∙ 207.000 ������ = = 0,00033154 ������������/������������2 = 331.538 ������������ = 0,33 ������������������ 208.120.833 ∙ 150  Nivel 4 – 4: El momento de inercia del perfil está dado por: 10 ∙ 2503 150 ∙ 103 ������ = + + 150 ∙ 10 ∙ 2552 ∙ 2 = 208.120.833������������4 12 12 El momento estático de este nivel está dado por: 125 135 10 150 ������ ∙ ������������ = ������ ∙ 10 ∙ ������������ + ������ ∙ 150 ∙ ������������ = ∙ 1252 + ∙ 1352 − 1252 0 125 2 2 ������ ∙ ������������ = 273.125 ������������3 El ancho t correspondiente al plano considerado es: ������ = 10 ������������
  • 42. Por tanto: 50 ∙ 273.125 ������ = = 0,00656169 ������������/������������2 = 6.561.690 ������������ = 6,56 ������������������ 208.120.833 ∙ 10
  • 43. TEMA 8: CÁLCULO DE LA ELÁSTICA (DEFLEXIONES) En este capítulo se presenta uno de los métodos más importantes para calcular las deformaciones que experimentan los sistemas estructurales frente a las acciones de cargas, posteriormente, en el capitulos de vigas estáticamente indeterminadas, se verán otrois métodos. El cálculo de estas deformaciones permite trazar la linea deformada de las estructuras, también llamada “elástica” por corresponder a deformaciones que se producen dentro del rango elástico de estos sistemas. Método de la doble integración Utilizando algunos de las cosas vistas en el capítulo de flexión se tiene: ������������ = ������ ∙ ������������ ������������ 1 = ������������ ������ ������������ = −������ ∙ ������������ ������������ ������������ −������ = −������ ∙ = ������������ ������������ ������ −������ ������������ 1 ������������ = → − = ������ ������ ������ Utilizando la ley de Hooke ������������ ������������ = ������ ∙ ������������ → ������������ = ������ Y usando la fórmula de flexión para vigas: ������ ∙ ������ ������������ = − ������ Se tiene: ������ ∙ ������ ������������ = − ������ ∙ ������ Luego: 1 ������ = ������ ������ ∙ ������ De acuerdo al cálculo vectorial el radio de curvatura viene dado por: ������´(������) 3 ������ = ������´ ������ ������ ������´´(������)
  • 44. Sea ������ ������ = (������, ������ ������ ) ������������ ������´ ������ = (1, ) ������������ ������2 ������ ������´´ ������ = (0, 2 ) ������������ Luego: ������ ������ ������ ������������ 2 ������´ ������ ������ ������´´ ������ = 1 ������������ 0 = ������ ∙ ������ ������ ������������ 2 ������2 ������ 0 0 ������������ 2 Luego: 3/2 ������������2 1+ ������������ ������ = ������2 ������ ������������ 2 ������������ 2 Si las deformaciones son muy pequeñas el término ������������ se puede despreciar, con lo que queda: 1 1 ������2 ������ ������ = → = 2 ������2 ������ ������ ������������ ������������ 2 Finalmente: ������2 ������ ������ 2 = ������������ ������ ∙ ������ Sea ������ ∙ ������ = , entonces:  ∙ ������´´ = ������ Esta última expresión indica que un valor positivo del momento flector, esto es, que estira la fibra inferior del elemento, implica curvatura positiva de la elástica (cóncava), y viceversa. Para integrar esta ecuación diferencial se requiere detrminar dos constantes de integración, lo cual se consigue al imponer dos condiciones de borde, para ello se utilizan valores conocidos de la elástcia o de la tangente para ciertos valores de x. Las relaciones siguientes también pueden ser útiles para determinar la expresión analítica de la elástica. ������������ ������ =  ∙ =  ∙ ������´´ ������������
  • 45. ������������ ������ = =  ∙ ������´´´ ������������ ������������ ������ = =  ∙ ������´´´´ ������������ El uso de estas relaciones está restringido al caso de funciones ������, ������, ������, ������, ������ que sean continuas en el rango de integración. Por lo tanto la relevancia práctica de este método es limitada cuando se tienen cargas concentradas o cargas que no se pueden representar por una función continua en la longitud de la viga. Condiciones de borde Para la solución de problemas de deflexiones en vigas, además de la ecxuación diferencial deben ser establecidas condiciones de borde o frontera. Varios tipos de condiciones homogéneas de frontera son los siguientes: a) Empotramiento: tanto la flecha como la pendiente deben ser nulas. Por consiguiente, en el extremo donde existe el empotramiento ������ = 0, ������(������ = 0) = 0 ������´ ������ = 0 = 0 b) Apoyo móvil y apoyo fijo: en el extremo considerado no debe existir ni flecha ni momento M ������ ������ = ������ = 0 ������´´ ������ = ������ = 0 c) Extremo libre: tal extremo está libre de momento y de fuerza cortante, por tanto: ������´´ ������ = ������ = 0 ������´´´ ������ = ������ = 0 d) Articulación: en este caso se permite el desplazamiento vertical pero la rotación del extremo está impedida. Este tipo de apoyo no es capaz de resistir ninguna fuerza cortante, lo que implica: ������´ ������ = ������ = 0 ������´´´ ������ = ������ = 0 En algunos problemas surgen discontinuidades en las funciones matemáticas de carga o rigidez del elemento. Por ejemplo, tales discontinuidades ocurren bajo fuerzas o momentos puntuales y en cambios bruscos de áreas transversales que afectan el valor de . En tales casos, las condiciones de brode debn complementarse con los requisitos físicos de continuyidad de la curva elástica. Esto significa que en cualquier unión de las dos zonas de una viga en que ocurre una discontinuidad, la deflexión y la tangente a la curva elásticadeben ser las mismas independientemente de la dirección con que se aproxime uno al punto común.
  • 46. Ejemplo 1 Determinar la deformación vertical y el ángulo de la elástica con la horizontal en el extremo B de la viga en voladizo que se indica en la figura. Los valores de  son constantes para toda la viga. MA q HA A B VA L ������������ = 0 → ������������ = 0 ������������ = 0 → ������������ − ������ ∙ ������ = 0 ������������ = ������ ∙ ������ ������ ������������ = 0 → −������������ − ������ ∙ ������ ∙ =0 2 −������ ∙ ������2 ������������ = 2
  • 47. q*L2/2 Mx q A Vx q*L x −������ ∙ ������2 ������ + ������ ∙ ������ ∙ ������ − ������ ∙ ������ ∙ = ������������ 2 2 −������ ∙ ������2 ������ 2  ∙ ������´´ = + ������ ∙ ������ ∙ ������ − ������ ∙ 2 2 −������ ∙ ������2 ������ 2 ������ 3  ∙ ������´ = ∙ ������ + ������ ∙ ������ ∙ − ������ ∙ + ������1 2 2 6 −������ ∙ ������2 ������ 2 ������ 3 ������ 4  ∙ ������ = ∙ + ������ ∙ ������ ∙ − ������ ∙ + ������1 ∙ ������ + ������2 2 2 6 24 Las condiciones de borde son: ������ 0 = 0 ������´ 0 = 0 Lo que implica que: Usando la primera condición de borde:
  • 48. ������2 = 0 Usando la segunda condición de borde: ������1 = 0 Por tanto: −������ ∙ ������2 ������ 2 ������ 3 ������ 4  ∙ ������ = ∙ + ������ ∙ ������ ∙ − ������ ∙ 2 2 6 24 Ahora, en el extremo B, ������ = ������, luego: −������ ∙ ������4 ������ ∙ ������4 ������ ∙ ������4  ∙ ������ = + − 4 6 24 −������ ∙ ������4 ������ = 8∙ Ejemplo 2 Un momento flector M1 se aplica a na viga en volado (ver figura) de longitud L y  constante. Encuentre la ecuación de la elástica. MA M1 HA A VA L
  • 49. Solución Usando las ecuaciones de la estática: ������������ = 0 → ������������ = 0 ������������ = 0 → ������������ = 0 ������������ = 0 → ������������ + ������1 = 0 ������������ = −������1 Las condiciones de borde son: ������ ������ = 0 = 0 ������´ ������ = 0 = 0 Ahora utilizando el método de las secciones: MA Mx A Vx x ������������ = ������������ = ������1 Luego:  ∙ ������´´ = ������1
  • 50.  ∙ ������´ = ������1 ∙ ������ + ������1 Usando la segunda condición de borde:  ∙ ������´ ������ = 0 = ������1 = 0 Finalmente: ������ 2  ∙ ������ = ������1 ∙ + ������2 2 Usando la primera condición de borde:  ∙ ������ ������ = 0 = ������2 = 0 Luego: ������ 2  ∙ ������ = ������1 ∙ 2 La ecuación de la curva elástica es: ������1 ∙ ������ 2 ������ = 2∙ El signo positivo del resultado indica que la deflexión debida a M1 es hacia arriba, si derivamos esta expresión y la igualamos a cero queda: ������1 ∙ ������ =0  ������ = 0 Derivando nuevamente: ������1 >0  Lo que implica que la flecha mínima se da en x = 0 y coincide con la segunda condición de borde, vale decir, que y = 0, ahora para encontrar el máximo valor de la flecha evaluamos en el extremo x = L, con el fin de encontrar un máximo absoluto: ������1 ∙ ������2 ������ = 2∙ Ejemplo 3 La viga de la figura recibe una carga uniformemente distribuida q en toda su extensión. La rigidez  es constante. Encuentre la ecuación de la elástica por los tres siguientes métodos: a) Use la ecuación diferencial de segundo orden para obtener la deflexión de la viga
  • 51. b) Use la ecuación de cuarto orden c) Ilustre una solución gráfica del problema. Solución a) q A B HA VA VB L ������������ = 0 → ������������ = 0 ������������ = 0 → ������������ + ������������ − ������ ∙ ������ = 0 ������������ + ������������ = ������ ∙ ������ ������ ������������ = 0 → ������������ ∙ ������ − ������ ∙ ������ ∙ =0 2 ������ ∙ ������ ������������ = 2 ������ ∙ ������ ������������ = 2
  • 52. Ahora, utilizando el método de las secciones: q Mx A q*L/2 Vx x ������ ∙ ������ − ������ ∙ ������ = ������ ������ 2 ������ ∙ ������ ������ ∙ ������ 2 ∙ ������ − = ������������ 2 2 Luego: ������ ∙ ������ ������ ∙ ������ 2  ∙ ������´´ = ∙ ������ − 2 2 Las condiciones de borde son:  ∙ ������ ������ = 0 = 0  ∙ ������ ������ = ������ = 0 Lo que implica que: ������ ∙ ������ 2 ������ ∙ ������ 3  ∙ ������´ = ∙ ������ − + ������1 4 6 ������ ∙ ������ 3 ������ ∙ ������ 4  ∙ ������ = ∙ ������ − + ������1 ∙ ������ + ������2 12 24 Ahora:  ∙ ������ ������ = 0 = ������2 = 0
  • 53. ������ ∙ ������4 ������ ∙ ������4  ∙ ������ ������ = ������ = − + ������1 ∙ ������ = 0 12 24 ������ ∙ ������3 + ������1 = 0 24 ������ ∙ ������3 ������1 = − 24 Finalmente: ������ ∙ ������ 3 ������ ∙ ������ 4 ������ ∙ ������3  ∙ ������ = ∙ ������ − − ∙ ������ 12 24 24 Y las desangulaciones están dadas por: ������ ∙ ������ 2 ������ ∙ ������ 3 ������ ∙ ������3  ∙ ������´ = ∙ ������ − − 4 6 24 b) La aplicación de este método es directa:  ∙ ������´´´´ = −������  ∙ ������´´´ = −������ ∙ ������ + ������1 −������ ∙ ������ 2  ∙ ������´´ = + ������1 ∙ ������ + ������2 2 Pero el momento en el extremo x = 0 es nulo, luego:  ∙ ������´´ ������ = 0 = ������2 = 0 Pero el momento en el extremo x = L es nulo también, luego: −������ ∙ ������2  ∙ ������´´ ������ = ������ = + ������1 ∙ ������ = 0 2 ������ ∙ ������ = ������1 2 −������ ∙ ������ 2 ������ ∙ ������  ∙ ������´´ = + ∙ ������ 2 2 El resto del problema es igual que en la parte a) c) Los pasos para una solución gráfica se muestran en la página siguiente. Se pueden observar los diagramas de fuerza cortante, momento flector y curvatura, y a partir de ellos se calculan los diagramas de deflexión y las desangulaciones que sufre la viga.
  • 54. DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE q*L/2 DIAGRAMA DE CURVATURA q*L/2 q*L²/(8* DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR q*L²/8 Como se puede observar del diagrama de momento flector y del diagrama de curvatura, la desangulación máxima se da en los extremos de la viga, luego: En x = 0 −������ ∙ ������3 ������´ = 24 ∙  En x = L ������ ∙ ������3 ������´ = 24 ∙  En x = L/2, se presenta la mayor deflexión, debido a la simetría de la viga, lo que implica que en ese punto: ������´ = 0
  • 55. 1 ������ ∙ ������ ������3 ������ ∙ ������4 ������ ∙ ������3 ������ = ∙ ∙ − −  12 8 24 ∙ 16 24 ∙ 2 1 ������ ∙ ������4 ������ ∙ ������4 ������ ∙ ������3 ������ = ∙ − −  96 384 48 5 ∙ ������ ∙ ������4 ������ = − 384 ∙  Luego: DIAGRAMA DE DESANGULACIÓN q*L³/(24* -q*L³/(24* DIAGRAMA DE DEFLEXIÓN -5*q*L4/(384*