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Em parceria com a Professora Helena Abascal, publicamos os relatórios das pesquisas realizados por alunos da fau-Mackenzie, bolsistas PIBIC e PIVIC. O Projeto ARQUITETURA TAMBÉM É CIÊNCIA difunde ...

Em parceria com a Professora Helena Abascal, publicamos os relatórios das pesquisas realizados por alunos da fau-Mackenzie, bolsistas PIBIC e PIVIC. O Projeto ARQUITETURA TAMBÉM É CIÊNCIA difunde trabalhos e os modos de produção científica no Mackenzie, visando fortalecer a cultura da pesquisa acadêmica. Assim é justo parabenizar os professores e colegas envolvidos e permitir que mais alunos vejam o que já se produziu e as muitas portas que ainda estão adiante no mundo da ciência, para os alunos da Arquitetura - mostrando que ARQUITETURA TAMBÉM É CIÊNCIA.

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  • Universidade Presbiteriana MackenzieA ABORDAGEM DE FRACTAIS NO ENSINO MÉDIOPâmela Araújo de Souza (IC) e Eriko Matsui Yamamoto (Orientadora)Apoio: PIBIC MackenzieResumoO presente artigo visa abordar o estudo da Geometria Fractal no Ensino Médio como forma de auxílionas aulas de matemática. A Geometria Fractal apresentada por meio de figuras, construções lúdicase aplicações no cotidiano, torna-se um exemplo de matemática aplicada que pode ser utilizadadurante as aulas e propiciar inúmeros benefícios aos alunos do Ensino Médio na aprendizagem damatemática. Este trabalho traz uma breve apresentação desta Geometria, tratando da história de suadescoberta, suas características, definição e aplicações. Mostra a importância de abordagensdiferenciadas no ensino da matemática por meio da inclusão de conteúdos como a de GeometriaFractal para estimular os alunos a perceber as aplicações desta ciência no cotidiano. A pesquisa foirealizada com alunos do Ensino Médio de duas escolas públicas (uma no município de São Paulo eoutra, em São Caetano do Sul) e uma particular (em São Caetano do Sul). Foram utilizados comoprocedimento metodológico de coleta de dados, a observação e questionários. No início da pesquisa,a maioria dos alunos disse que não gosta de Geometria. No entanto, após a aula sobre GeometriaFractal, os alunos perceberam que ela tem muitas aplicações e que está presente no nosso cotidiano.Mostraram-se motivados e afirmaram estar interessados em aprender não apenas a Geometria comotambém diversos conteúdos da matemática.Palavras-chave: geometria fractal, Matemática, ensinoAbstractThis article aims to present the study of Fractal Geometry in high school as a way to help inmathematics classes. Fractal Geometry presented through pictures, recreational buildings andapplications in daily life becomes an example of applied mathematics that can be used during classesand provide numerous benefits to high school students in learning mathematics. This paper gives abrief presentation of this Geometry, the history of its discovery, characteristics, definitions andapplications. It shows the importance of different ways of teaching mathematics including contentssuch as Fractal Geometry to encourage students to understand the applications of this science ineveryday life. The survey was conducted with high school students from two public schools (one inSão Paulo and another in São Caetano do Sul) and a private one (in São Caetano do Sul).Observation and questionnaires were used as instruments for data collection. At the beginning of theresearch, most of the students said that they don’t like Geometry. However, after the Fractal Geometrylesson, the students realized that it has many applications and it is present in our daily lives. Theywere highly motivated and said that they were interested in learning not only Geometry but differentcontents of mathematics.Key-words: fractal geometry, Mathematics, teaching 1
  • VII Jornada de Iniciação Científica - 2011INTRODUÇÃONos dias de hoje o ensino da matemática é realizado muitas vezes contemplando osconteúdos como algo distante da realidade vivida por todos. Isso gera o descontentamentode muitos alunos que, ao estudarem algo sem aplicação em suas vidas, permanecemdesinteressados e não valorizam a disciplina como um todo.A realidade da visão dos alunos em relação à matemática necessita de implementação deatividades que estimulem a aprendizagem e o interesse dos mesmos para poderemaprender e compreender cada vez mais o mundo que os cerca, em suas dimensões sociaise humanas, mas também em suas dimensões físicas. Por este motivo, o trabalho buscaverificar se a inclusão de conteúdos como a Geometria Fractal no Ensino Médio torna-seinteressante e útil para os alunos perceberem que a matemática está presente no nosso dia-a-dia.O objetivo deste trabalho é investigar qual a melhor forma para trabalhar a GeometriaFractal, através da elaboração de um plano de aula que servirá como material útil e eficientepara explicação dos conceitos básicos desta Geometria; mostrar os benefícios e asoportunidades que podem surgir ao utilizar a Geometria Fractal em sala de aula paraensinar ou reforçar algum conteúdo da matemática; despertar o interesse em relação aosseus conteúdos, já que se trata de uma Geometria que está presente na natureza eapresenta formas e construções que podem auxiliar durante o processo de aprendizagem.REFERENCIAL TEÓRICODiversos autores, através de estudos e registros da época, afirmam que a GeometriaEuclidiana surgiu no Antigo Egito, no vale do Rio Nilo, no qual as cheias obrigavam osfaraós a nomear funcionários com o objetivo de restabelecer fronteiras entre as diversaspropriedades que eram atingidas pelas inundações. A partir daí surgia a palavra Geometria(do grego geo = terra + metria = medida, ou seja, “medir terra”).Esta Geometria foi nomeada Euclidiana em homenagem ao seu precursor, Euclides, queaperfeiçoou a Geometria em sua maior parte nos moldes atuais.Os egípcios além de usarem a Geometria na agricultura (irrigação, obras de defesa contrainundações, etc), também a usavam na engenharia (construção de pirâmides, casas, etc) eaté os dias atuais a Geometria Euclidiana é de importância extrema por auxiliar de formabrilhante na confecção e caracterização de formas que estão presentes no cotidiano.É imensurável a importância da Geometria Euclidiana dentro da matemática e na vidaprática e cotidiana da população. Nela estudam-se formas mais simples e comuns como 2
  • Universidade Presbiteriana Mackenziequadriláteros e poliedros; no cotidiano há edifícios, objetos industrializados e diversasestruturas com esses padrões regulares e de formas suaves. No entanto, nem tudo nanatureza segue esta regra e há muitas outras formas mais complexas, não sendo possíveldescrever e analisá-las a partir da Geometria Euclidiana.No início do século XIX, houve diversos acontecimentos e críticas em relação à Geometriaproposta por Euclides e principalmente em relação ao quinto postulado por ele apresentado.A partir deste contexto foram criadas as Geometrias não euclidianas, fato que apresentougrande avanço nos estudos científicos e abriu portas para a apresentação de diversasteorias.Benoit Mandelbrot, matemático nascido na Polônia, desenvolveu uma noção inovadora eque mudaria a visão em relação à Geometria: a idéia de fractal.Vários pesquisadores, durante muitos anos que se seguiram, se depararam comdificuldades para estudar ruídos, o movimento browniano de fluídos e problemas deeconomia, dentre outros fatos que não conseguiam ser descritos com os modelos usuais eque seriam solucionados mais à frente.A Geometria Fractal surge então em 1975 da descrição matemática feita por Mandelbrot daidéia de Euclides, mas com o incremento do conceito de dimensão.Mandelbrot, com base nas idéias que tivera até o momento, construiu trabalhos em váriasáreas, dentre eles destacam-se um modelo matemático de simulação da bolsa, estudossobre turbulências atmosféricas e geografia quantitativa, pela qual calculou a medida dacosta da Grã-Bretanha.Benoit Mandelbrot nasceu em Varsóvia (1924), integrou-se ao grupo Bourbaki, formado porjovens matemáticos buscando a reconstrução da matemática francesa. As idéias do grupose difundiram por vários países, mas Mandelbrot deixou o grupo, pois não suportava aabstração imposta pelo mesmo; em seguida estudou Ciência Aeroespacial nos EstadosUnidos e passou a trabalhar na IBM – International Business Machines – com problemas deeconomia.Na empresa, Mandelbrot soube que havia um ruído nas linhas telefônicas em rede entre oscomputadores e sua aleatoriedade fazia com que os engenheiros desistissem de buscarsoluções para o problema. Ele então resolveu a situação aplicando um trabalho de GeorgCantor, interpretando os ruídos como um conjunto de Cantor. A partir daí Mandelbrotprocurou situações em diversas áreas, atuais e antigas para aplicar suas idéias.Motivado por suas descobertas Mandelbrot trabalhou e aperfeiçoou a Geometria Fractal,sendo reconhecido e ocupando diversos cargos acadêmicos, além de publicar diversos 3
  • VII Jornada de Iniciação Científica - 2011trabalhos dentre eles: Les objects fractals, forme, hassard et dimension (Paris: Flamarion,1975), The Fractal Geometry of Nature (New York: Freeman, 1977) e Fractals: form, chanceand dimension (San Francisco: Freeman, 1977). Benoit Mandelbrot faleceu no dia 14 deoutubro de 2010, em Cambridge.Há indícios de que os fractais já existiam antes do século XX, mas eram chamados de“monstros matemáticos” na região da Grécia Homérica, Índia e China. SegundoNiedermeyer, Koefender e Roos (2009, p.4), “Mandelbrot ao definir os fractais se apoiou emmatemáticos e cientistas, que já haviam se dedicado a este estudo sistemático dos fractais,mas não chegaram a ter uma conclusão exata dos seus estudos, dentre eles Georg Cantor(1845-1918), David Hilbert (1862-1943), Giusepe Peano (1858-1932), Helge von Koch(1870-1924), Waclaw Sierpinski (1882-1969), entre outros.” As históricas construções fractais como Cantor, Sierpinski, von Koch, Peano, etc., foram chamadas de “monstros da matemática”; mas estas estranhas criações são um fato típico na natureza. Conseqüentemente, fractais se tornaram componentes essenciais na modelagem e simulação da natureza. (PEITGEN; JÜRGENS; SAUPE, 1992, p.10)Segundo Barbosa (2002, p.9), “Mandelbrot as denominou fractais, baseando-se no latim, doadjetivo fractus, cujo verbo frangere correspondente significa quebrar: criar fragmentosirregulares, fragmentar”. A partir deste novo conceito ele desenvolveu e divulgou sua teoriaestudando formas geométricas abstratas e padrões complexos que se repeteminfinitamente, mesmo limitados em uma área finita.Morin estuda sobre a complexidade em sua obra e define o pensamento complexo com oobjetivo de romper com a idéia de um saber parcelado, acreditando na incompletude de todoe qualquer conhecimento (PETRAGLIA, 2005, p.58).Para Morin (2007, p.35), “A complexidade coincide com uma parte de incerteza, sejaproveniente dos limites de nosso entendimento, seja inscrita nos fenômenos. [...] é aincerteza no seio de sistemas ricamente organizados”. Seu conceito sobre pensamentocomplexo pode ser ligado à idéia de fractal, já que este surge a partir de iterações que secompletam e formam um todo elaborado, interligado, e que busca padrões dentro desistemas aparentemente aleatórios e infinitos. Ainda, segundo o autor, É a viagem em busca de um modo de pensamento capaz de respeitar a multidimensionalidade, a riqueza, o mistério do real; e de saber que as determinações – cerebral, cultural, social e histórica – que se impõem a todo o pensamento co-determinam sempre o objeto de conhecimento. É isto que eu designo por pensamento complexo. (MORIN, 2005, p.14) 4
  • Universidade Presbiteriana MackenzieA Geometria Fractal está intimamente ligada à Teoria do Caos, a qual teve sua investigaçãoiniciada nos anos 1960, quando se descobriu que sistemas complexos, que podiamdescrever possíveis previsões do tempo, podiam ser traduzidos por equações matemáticassimples, do mesmo modo, sistemas que eram aparentemente simples podiam levar aproblemas muito complexos.Segundo Devaney (1991, p.23), “Através do estudo desta ciência, verificou-se que umsistema passa facilmente de um estado de ordem para um estado caótico, podendo surgir,por vezes de uma maneira espontânea, dentro do caos, a ordem.”De acordo com Valim e Colucci (2008, p.3), “as principais características dos fractais, são:• Auto-semelhança ou Auto-similaridade: Ao tomar um trecho do fractal, percebe-se que taltrecho é semelhante ao fractal, apenas com uma redução na escala, do tamanho original.Esta característica permanece em qualquer nível de construção do fractal;• Estrutura fina: O grau de detalhamento de um fractal não diminui se examinada umaporção arbitrariamente pequena do mesmo.”Além destas, Niedermeyer, Koefender e Roos (2009, p.5) ainda ressaltam que “um fractalapresenta as seguintes características:• Dimensão fracionária ou não-inteira, ou seja, a dimensão fractal representa o grau deirregularidade do objeto e o espaço que ele ocupa em dimensões euclidianas;• Irregularidade no sentido de “não-suavidade” ou fragmentação;• Geração por processos iterativos ou a partir de algoritmos (repetições de regras).”Pode-se ilustrar a “auto-similaridade”, dividindo várias vezes um pedaço de couve-flor noqual cada pedaço se parece com a forma inicial (Figura 1). Figura 1: Pedaços de couve-flor apresentando auto-similaridade Fonte: PrópriaUm fractal é uma figura que pode ser quebrada em pequenos pedaços, sendo cada umdesses pedaços uma reprodução do todo. Não podemos ver um fractal porque é uma figura 5
  • VII Jornada de Iniciação Científica - 2011limite, mas as etapas de sua construção podem dar uma idéia da figura toda. (SALLUM,2005, p.1)Segundo Fernandes (2007, p.4), “Na década passada, alguns estudos revelaram que umcoração saudável bate a um ritmo fractal e que um batimento cardíaco quase periódico é umsintoma de insuficiência cardíaca”.A Geometria Fractal tem aplicações em diversas áreas em fenômenos naturais e sociais,tais como o formato de nuvens, relâmpagos, certas árvores e plantas, além de ser aplicadaem áreas como computação, nas engenharias, biologia (estudo de habitats), geografia,física, arte, entre outras (Figura 2). Também na Medicina, há outras aplicações importantescomo a ajuda no diagnóstico de câncer de boca. Figura 2: Imagem de uma planta com propriedades fractais Fonte: Fernandes (2007)Além disso, com as evoluções na informática é possível criar fractais artificiais (Figura 3),através de softwares que, realizando inúmeras iterações de uma equação, muitas vezessimples, criam imagens curiosas, cuja beleza é utilizada nas artes. Figura 3: Exemplo de fractal criado em computador Fonte: Peitgen, Jürgens, Saupe (1992) 6
  • Universidade Presbiteriana MackenzieNo início, Mandelbrot definiu fractal como um conjunto para o qual a dimensão Hausdorff-Besiconvitch excede estritamente a dimensão topológica (BARBOSA, 2002, p.10), mas opróprio Mandelbrot ficou descontente com esta definição, além de ter recebido muitascríticas a respeito da mesma. Outras definições apareceram em seguida como a de Feder(BARBOSA, 2002, p.10): “um fractal é uma forma cujas partes se assemelham ao seu todosob alguns aspectos”; e a de Falconer (BARBOSA, 2002, p.10): “Um conjunto F é fractal se,por exemplo:- F possui alguma forma de “auto-similaridade” ainda que aproximada ou estatística;- A dimensão fractal, definida de alguma forma, é maior que a sua dimensão topológica;- O conjunto F pode ser expresso através de um procedimento recursivo ou iterativo.”Neste estudo será utilizada a definição de Falconer, por seu caráter mais explicativo ecompleto em relação às outras.Nos dias de hoje a abordagem da matemática nas escolas tem sido feita, em sua maioria,sem aplicações práticas e isso gera a falta de interesse por essa disciplina da parte dosalunos; no Ensino Médio este descontentamento com a matéria é ainda mais presente, eisto também se deve à forma como os conteúdos são abordados dentro de sala de aula. É indiscutível que, para a maioria das pessoas, a matemática é uma disciplina de grande importância. Um número considerável de pessoas acredita que a disciplina é útil no cotidiano. Porém, é comum ouvir, seja de estudantes, seja de profissionais de diversas áreas, que a sua relação com a matemática não é ou não foi harmoniosa e prazerosa. (PEREIRA, 2002, p.12)No geral, os alunos, ao atingirem o Ensino Fundamental II e a partir dele, apresentamatitudes negativas com relação à matemática em maior grau do que no Ensino FundamentalI (BRITO, 1996, p.5). Essas atitudes negativas parecem estar associadas a um menorrendimento na disciplina de matemática à medida que a escolaridade avança, podendo estarassociada à mudança da formação dos professores, dos métodos de ensino utilizados e darelação professor x aluno. (PEREIRA, 2002, p.14)A maioria dos alunos do Ensino Médio apresenta-se na faixa etária entre 15 e 18 anos, fasecaracterizada pela adolescência, na qual os mesmos passam por diversas mudanças físicase psicológicas. Formadores de opinião e consciência, estes se deparam com diversasdificuldades e possuem necessidade constante de buscar grupos e interesses individuaispara se caracterizarem de alguma forma perante a sociedade; a escola significa para estesalunos um local para conhecer pessoas, para definir gostos e conseqüentemente seucaráter. 7
  • VII Jornada de Iniciação Científica - 2011A partir das características apresentadas em cada conteúdo, os alunos se identificam com amatéria que lhe desperta interesse e que possui aplicação em sua vida prática. É nestecontexto que surge o descontentamento com o ensino da matemática, ciência abordadamuitas vezes como algo distante e sem aplicação, tendo pouco sentido para os alunosassimilarem-na. O contexto em que as atividades propostas estão inseridas, o estudante se mobiliza a trabalhar uma atividade que a princípio parece simples, mas que se mostra elaborada no decorrer do seu desenvolvimento, em que habilidades matemáticas são requeridas e ele se sente desafiado. O conceito de mobilização implica na idéia de movimento, no engajamento em uma atividade porque existem boas razões para fazê-lo (CHARLOT, 2000, p.54)Para Utsumi (2000, p.32) “acessar as atitudes dos alunos em relação à matemática é umaspecto importante de uma tarefa maior, que é ensinar e propiciar modificações nas atitudesdos alunos, buscando melhorar o autoconceito e o desempenho dos mesmos”. E segundoos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN – para a área de matemática, a atividadematemática escolar não é “olhar para coisas prontas e definitivas”, mas a construção e aapropriação de um conhecimento pelo aluno, que se servirá dele para compreender etransformar sua realidade (BRASIL, 1997).No entanto, o ensino de matemática se apresenta de forma desestimulante em muitasescolas públicas e particulares do país por diversos motivos, dentre eles a exigência decumprimento por parte dos professores de uma extensa lista de conteúdos sobrando poucotempo para apresentação de aplicações, atividades práticas e motivadoras em sala de aula,inclusive muitas escolas não possuem estrutura e condições para propor tais atividadesdiferenciadas mostrando aos seus alunos onde a matemática é aplicada. Além disso, emmuitos vestibulares são cobrados apenas os conteúdos teóricos, como aplicação defórmulas, o que implica num foco das escolas apenas em “treinamento” de seus alunos parao vestibular.Para Sallum, A introdução de fractais no Ensino Médio, além de satisfazer a curiosidade de quantos já ouviram falar neles, propicia a oportunidade de trabalhar com processos iterativos, escrever fórmulas gerais, criar algoritmos, calcular áreas e perímetros de figuras com complexidade crescente, introduzir uma idéia intuitiva do conceito de limite e é um excelente tópico para aplicação de progressões geométricas e estímulo ao uso de tabelas. (SALLUM, 2005, p.1) 8
  • Universidade Presbiteriana MackenziePara os fractais, em especial para a Geometria Fractal, faz-se necessário ao educadorconseguir captar o educando com o transparecer de sua própria vibração e talvezevidenciando o êxtase na contemplação da beleza de seus visuais, conduzindo-o ao prazerpelas informações e conhecimentos culturais da vasta variedade de fractais (BARBOSA,2002, p.14).Segundo Niedermeyer, Koefender e Roos (2009, p.8), alguns motivos para trabalhar fractaisna escola são:• Trabalhar conteúdos a partir de exemplos encontrados na natureza estimula a criatividade,o raciocínio lógico, motiva o educando e o auxilia na compreensão de conteúdos e conceitosmatemáticos;• Deixar de usar somente quadro, giz e livro didático, em detrimento do uso de recursosaudiovisuais (computador, projeção audiovisual, lâminas), faz com que o educando seconcentre mais e visualize melhor as situações apresentadas;• A Geometria Fractal pode ser trabalhada em qualquer nível de ensino, pois ela vai de umasimples dobradura de papel até os entes matemáticos modernos que envolvem númeroscomplexos, modelagem, etc.Através da Geometria Fractal os alunos podem aprender conteúdos como contagem,perímetros e áreas através das relações numéricas dos fractais e seus elementos; podemtrabalhar com padrões geométricos, estudando conceitos de medida, seqüências e limites;podem analisar algoritmos e progressões, além de aprender idéias novas como a de auto-semelhança e a dimensão fractal ou buscar intersecções entre alguns padrõescaleidoscópios e padrões fractais.Além disso, pode-se trabalhar interdisciplinarmente com outras matérias como diz Gouvea(2005, p.2), “pode-se trabalhar com ciências estudando as formas da natureza; desenhogeométrico, desenvolvendo as habilidades gráficas, através do manuseio de compasso e derégua; educação artística, contribuindo no desenvolvimento do senso estético, criando ecolorindo fractais e informática, utilizando os softwares como auxiliares na aprendizagem, edesenvolvendo no aluno habilidade no uso dos mesmos”.Por meio da Geometria Fractal é possível integrar as ferramentas matemáticas essenciais àformação adequada dos alunos, além de mostrar que a matemática é uma ciência quepossui amplas e diversas aplicações no cotidiano. 9
  • VII Jornada de Iniciação Científica - 2011MÉTODOOs instrumentos utilizados para coleta de dados foram a observação e questionáriosaplicados em turmas do Ensino Médio, um antes e outro depois da apresentação da aulasobre Geometria Fractal.Em primeiro lugar, foi realizada uma pesquisa exploratória através de busca detalhada sobreo tema fractais, sobre a problemática do ensino da matemática no Ensino Médio atualmente,e sobre a união destes dois temas, utilizando como fonte diversos meios. Esta etapa,segundo Lüdke e André (2008, p.22), é o momento de especificar as questões ou pontoscríticos, de estabelecer os contatos iniciais para entrada em campo, de localizar osinformantes e as fontes de dados necessárias para o estudo.Visando compreender do que se tratava e se o tema estaria adequado a turmas do EnsinoMédio, foi realizada uma pesquisa aprofundada sobre fractais, desde sua origem, a históriade sua descoberta, a necessidade de se buscar um artifício para resolver problemas que atéo momento se encontravam sem solução, seus precursores e idéias iniciais até as diversasestruturas, diferentes definições, aplicações e outros temas que exigem mais técnica econhecimento da matemática.Foram consultados livros, teses de doutorado, dissertações de mestrado, sites eletrônicos,revistas e artigos de diversos tipos e níveis de aprofundamento para verificar até que pontoa Geometria Fractal poderia ser abordada em sala de aula objetivando benefícios aoprocesso de ensino-aprendizagem sem perder o foco do conteúdo principal abordado naaula.Assim como na investigação sobre os fractais, foram pesquisadas diversas fontesdirecionadas à área de educação e pedagogia para compreender a percepção dos alunosem relação à matemática, e em especial à Geometria. Ao estudar essa problemática foidada atenção especial aos alunos do Ensino Médio, às dificuldades pelas quais elespassam nesta fase da vida escolar e que direta ou indiretamente influenciam na motivação,idéias e atitudes em relação à aprendizagem.A pesquisa exploratória se faz necessária durante a elaboração do trabalho para que novosconceitos e idéias sejam assimilados e incorporados dentro do contexto daquilo que sebusca no trabalho, além disso, a pesquisa também tem o objetivo de esclarecer dúvidas quepossam aparecer durante a realização do trabalho.Após esse processo de pesquisa e uma síntese de tudo o que é relevante para a elaboraçãodo trabalho, foi possível compreender quais pontos da Geometria Fractal poderiam seraprendidos no Ensino Médio de modo a auxiliar os alunos em outros conteúdos. 10
  • Universidade Presbiteriana MackenziePara ter uma visão mais clara do cotidiano de turmas do Ensino Médio e sua opinião emrelação à proposta, foi organizada uma primeira coleta de dados com o objetivo de obterinformações sobre a realidade dos alunos neste momento escolar.Existem diversos tipos de instrumentos que podem ser utilizados para a coleta, entre eles, aobservação, a entrevista e o questionário. A observação, segundo Lüdke e André (2008,p.23), ocupa um lugar privilegiado na pesquisa educacional, pois possibilita um contatopessoal e estreito do pesquisador com o fenômeno pesquisado, o que apresenta uma sériede vantagens. O observador pode recorrer aos conhecimentos e experiências pessoaiscomo auxiliares no processo de compreensão e interpretação do fenômeno estudado. Aintrospecção e a reflexão pessoal têm papel importante na pesquisa. A observação pode serutilizada associando-se a outros instrumentos de coleta de dados. Segundo Dencker (2001,p.137), o questionário e a entrevista são os mais freqüentes e possuem em comum o fato deserem constituídos de uma lista de indagações que, se respondidas, dão ao pesquisador ainformação necessária.Dentre as modalidades entrevista e questionário, foi escolhido o uso de questionário, pois,segundo Dencker: Permite analisar aspectos subjetivos e objetivos e, portanto, o estudo direto dos fenômenos sociais; permite perguntas sobre fatos e opiniões; pode ser aplicado a um grande número de pessoas simultaneamente; permite a obtenção de uma grande quantidade de informações com referência a aspectos bastante diversificados; garante certa uniformidade das respostas devido ao caráter padronizado das perguntas, instruções etc. (DENCKER, 2001, p.148)O questionário foi auto-aplicável, ”feito para ser preenchido pelos próprios respondentes”(MAY, 2004, p.119), composto por perguntas semi-abertas, que segundo Dencker (2001,p.150), limitam as respostas às alternativas apresentadas em uma resposta (sim ou não),mas que possuem continuação aberta.O questionário foi elaborado com nove perguntas, envolvendo dados escolares e faixa etáriados alunos, perguntas sobre a visão dos mesmos em relação às aulas de matemática, osconteúdos e a forma como eram transmitidos. O questionário trazia uma breve introduçãosobre a Geometria Fractal e os alunos eram solicitados a dar sua opinião quanto aointeresse pelo tema abordado.O questionário foi aplicado pela pesquisadora, primeiramente, aos alunos do 1º ao 3º ano doEnsino Médio de uma escola pública situada em São Caetano do Sul. Houve 31respondentes, com idades entre 15 e 18 anos, de turmas mistas do período diurno. 11
  • VII Jornada de Iniciação Científica - 2011Esse mesmo questionário foi aplicado também em um colégio particular em São Caetano doSul. Nesta escola houve 27 respondentes, do 1º ano ao 3º ano do Ensino Médio do períododiurno, sendo 19 meninas e 8 meninos, com idade de 14 a 17 anos.Após a aplicação do questionário nas duas escolas de São Caetano do Sul, alunos de outraescola pública, localizada no município de São Paulo, também responderam o questionárioque foi aplicado pela pesquisadora. Eram alunos do 2º ano do Ensino Médio do períodonoturno, de uma turma mista composta por 18 alunos com faixa etária entre 16 e 18 anos.A coleta de dados nas três escolas ocorreu em períodos diferentes, em escolas comcaracterísticas diferentes e alunos com diversos estilos de vida, para obter opiniões emrelação à matemática.Após aplicação do questionário foi feita uma análise qualitativa das respostas, verificando asopiniões de cada um e se os alunos tinham em algum momento percepções parecidas comrelação ao ensino da matemática.A partir do questionário respondido foi possível perceber quais as maiores dificuldades dosalunos e o que eles gostariam de aprender. Então se iniciou o processo de formulação deum plano de aula juntamente com um material para os alunos sobre fractais.O material consta de uma pequena introdução sobre o que são fractais e breve histórico,seguido de suas principais características e figuras contendo exemplos de fractais geradospor computador e formas no cotidiano com características fractais (brócolis, árvore, folha,pulmão humano). Esta primeira parte do material fornece idéias principais sobre aGeometria Fractal para que possa estimular os alunos através das formas e mostrar a elesalgumas aplicações da matemática no cotidiano.Após a introdução sobre fractais, o material traz dois exercícios de aplicação. Os exercíciosabordam Progressão Geométrica através da construção de um fractal, de forma que,partindo do princípio de criação dos fractais Curva de Koch (Figura 4) e Triângulo deSierpinski o aluno possa perceber, ao montar uma tabela que contém o número de lados,comprimento dos lados, comprimento das curvas e outras características, que há umarelação entre as informações conforme ocorre a repetição das regras de construção dofractal, e que essa relação trata-se de uma Progressão Geométrica (conteúdo revisadoantes do início da aula). Dessa forma é possível descobrir valores como, por exemplo, aquantidade de lados do fractal depois de várias iterações sem a necessidade de desenhá-lo. 12
  • Universidade Presbiteriana Mackenzie Figura 4: Início da construção do fractal Curva de Koch Fonte: Sallum (2005)O plano de aula e o material seguem o mesmo princípio, sendo o primeiro voltado para oprofessor, contendo explicações mais detalhadas e resolução de exercícios, e o segundopara os alunos, com uma linguagem mais clara e direta, e explorando mais as figuras.Após a apresentação da aula sobre a Geometria Fractal, foi aplicado um segundoquestionário objetivando analisar a percepção dos alunos sobre o conteúdo aprendido e suaopinião. O questionário possui nove questões abordando, além dos dados dos alunos (semidentificação pessoal), questões sobre as idéias apresentadas na aula como algunsprincípios que definem um fractal, suas características, alguns exemplos no cotidiano paraque os mesmos assinalassem as figuras que julgavam representar um fractal, e por últimoperguntava-lhes se acreditam que a matemática está presente em seu cotidiano e, assimcomo no primeiro questionário (anterior à aula), se acreditam que as aulas se tornariammais ilustrativas e prazerosas caso fossem apresentados assuntos como a GeometriaFractal durante as aulas.A partir do plano de aula elaborado, foi realizada uma aula com uma turma de 2º ano doEnsino Médio de uma escola pública do município de São Paulo (a mesma turma mista de18 alunos, do período noturno, com faixa etária entre 16 e 18 anos, que respondeu oprimeiro questionário).Durante a aula os alunos acompanharam o material entregue. A aula foi ministrada pelapesquisadora e foi utilizado o recurso de lousa e giz. No decorrer da exposição da aula foipossível observar as principais dúvidas dos alunos, o comportamento e a postura delesperante o tema apresentado.Após o término da apresentação foi aplicado pela pesquisadora o questionário acerca doassunto abordado durante a aula e a opinião deles sobre a aprendizagem da matemáticaapós a introdução dos conceitos da Geometria Fractal.O questionário respondido e a observação do comportamento dos alunos realizada pelapesquisadora durante a apresentação da aula foram extremamente úteis para chegar aoresultado da pesquisa.Como a aula e os questionários foram aplicados em escolas, os aspectos éticos foramseguidos, de forma que antes de qualquer procedimento foi realizada uma reunião com os 13
  • VII Jornada de Iniciação Científica - 2011diretores e professores para explicar os objetivos e finalidades da pesquisa, seguida de umacarta do orientador explicando a atividade. Além disso, em nenhum momento os alunosforam forçados a participar da pesquisa. Houve um trabalho em conjunto com osprofessores das turmas de forma a não prejudicar o cronograma da escola. Não houveidentificação pessoal de alunos e profissionais da educação durante a pesquisa.RESULTADOS E DISCUSSÃOAtravés da pesquisa exploratória foi possível perceber que hoje há muito preconceito emrelação à matemática por parte dos alunos, e grande parte dos mesmos não possui um bomaproveitamento na matéria. Isso ocorre principalmente pelo fato de a matemática ser tratadacomo algo distante da realidade vivida por todos, o que incomoda os alunos ao pensaremque são cobrados a aprender algo que “nunca utilizarão” na prática. Além disso, háprofessores que acabam afirmando esse pensamento, não oferecendo aos seus alunos aoportunidade de conhecer aplicações da matemática, outros até buscam fazê-lo, mas dianteda pressão do cumprimento dos extensos currículos escolares acabam excluindo omomento de reflexão e exemplificação.Nos questionários aplicados foi perguntado aos alunos se os mesmos gostavam deGeometria, e dos 76 alunos das três escolas pesquisadas, 63% responderamnegativamente. As respostas das três escolas foram bastante diferentes em relação a essapergunta, na primeira escola pública pesquisada, a porcentagem de negação foi de 84%enquanto que na escola particular foi de 37% e na segunda escola pública pesquisada foi de67% (Gráfico 1). Questão: Você gosta de Geometria? 37% 67% 84% 63% 33% 16% Escola Pública 1 Escola Particular Escola Pública 2 Sim Não Gráfico 1: Opinião dos respondentes, em relação à GeometriaOs alunos justificaram que sua resposta negativa significa não gostar da matemática comoum todo devido à necessidade de uma quantidade muito grande de cálculos e desenhos,além disso, muitos alunos das duas escolas públicas afirmaram que não tiveram aula de 14
  • Universidade Presbiteriana MackenzieGeometria, pois faltava professor e conteúdo durante as aulas. Mesmo aqueles queresponderam Sim concordaram que a matéria necessitava de treino, mas que erainteressante.Apesar de a grande maioria ter respondido que não gosta de Geometria, 51% dosrespondentes afirmaram ter facilidade no aprendizado da mesma. Aqueles que afirmaram ocontrário justificaram a dificuldade pelo fato de, nas escolas públicas, não existir suporte aeles quando há dúvidas e pela dificuldade inerente à matemática como um todo.Analisando as respostas da pergunta "Você gostaria que as aulas de matemática fossemmais ilustrativas, com mais exemplos na vida prática?", observa-se que na primeira escolapública, 77% responderam afirmativamente, enfatizando que facilitaria muito e seria maisinteressante e divertido aprender e fixar o que já foi visto. Já na escola particular, 93% dosalunos gostariam que as aulas de matemática fossem mais ilustrativas. Na segunda escolapública pesquisada 94% responderam afirmativamente (Gráfico 2). Questão: Aulas mais ilustrativas e com exemplos na vida prática? 7% 6% 23% 93% 94% 77% Escola Pública 1 Escola Particular Escola Pública 2 Sim Não Gráfico 2: Opinião dos respondentes em relação a aulas mais explicativas e exemplificadas.Após uma pequena introdução sobre a Geometria Fractal e alguns exemplos de formasencontradas no nosso cotidiano que representam fractais, foi questionado aos alunos seeles gostariam de estudar outras Geometrias, diferentes daquelas que eles aprendem naescola. Aqueles que responderam negativamente a essa questão justificaram que já existemconteúdos demais na escola, outros justificaram que não pretendem seguir no ramo deexatas futuramente. Mas a maioria dos respondentes (51%) mostrou-se motivada einteressada pelas outras Geometrias, em especial pela Geometria Fractal.Deve-se levar em conta que em nenhum momento o questionário dizia que este conteúdopoderia ser incluído no currículo deles. Além disso, os alunos estavam cientes de que oquestionário não seria uma forma de avaliação cuja nota influenciaria no seu resultadoescolar. 15
  • VII Jornada de Iniciação Científica - 2011Após aplicação do questionário foi realizada com uma turma de 2º ano do Ensino Médio daescola pública de São Paulo (segunda escola pública) a apresentação de uma aula sobre aGeometria Fractal.Durante a explicação do conteúdo os alunos ficaram quietos e atentos à definição ecaracterísticas dos fractais, após ficarem extremamente curiosos ao verem figuras como ade um brócolis e um pulmão humano como exemplos de fractais. Alguns alunosesclareceram dúvidas, como por exemplo, o significado da palavra “iterativo”, que foramrespondidas.Observando o comportamento dos alunos durante a aula verificou-se que os mesmos, numprimeiro momento, ficaram receosos ao saber que aprenderiam um conteúdo de matemáticaque nunca tinham ouvido falar, apesar disso, ao virem figuras e imagens presentes no seucotidiano mostraram-se extremamente motivados. Apesar de muitas dúvidas que os alunostinham sobre Progressão Geométrica, conseguiram prestar atenção e compreender osconceitos básicos sobre fractais.Como explica Fernandes (2007, p.211) “A princípio, pensar em algo que tenha umadimensão fracionária causa estranhamento.”, por isso o assunto precisa ser abordado comcautela e de forma que corresponda com as potencialidades de um aluno de Ensino Médio.Após a apresentação da aula, foi aplicado o segundo questionário, no qual ficou evidenteque os alunos assimilaram o conteúdo. Apesar de possuírem o material referente à aula emmãos eles não precisaram do mesmo para responder às questões e escreveram com suaspalavras tanto na questão que dizia “O que você entende por fractal?“ quanto a queperguntava sobre as principais características de um fractal, sendo que 90% dos alunoscompreenderam e responderam corretamente.Na identificação de fractais, 90% da turma indicaram corretamente dentre as quatro figurasapresentadas, as que eram exemplos de fractais no dia-a-dia. Em relação às questõessobre a aplicação da matemática no cotidiano e se as aulas seriam mais ilustrativas eprazerosas caso fossem apresentados conteúdos tais como a Geometria Fractal, 95% dosalunos responderam afirmativamente, destacando que a matemática está presente em todasas situações cotidianas, no lazer e em diversos outros momentos. Sobre a questão referenteàs aulas mais prazerosas a grande maioria dos alunos afirmou ter gostado e se interessado,assim como afirma uma aluna da turma: “Eu nunca tinha ouvido falar, mas achei muitointeressante e fiquei curiosa. Acho que seria, sim, muito prazeroso ter aulas ilustrativas”.Diversos são os benefícios em explorar esta Geometria na sala de aula, assim como dizGouvea (2005, p.6), o estudo da Geometria Fractal propicia o desenvolvimento do raciocíniológico-matemático, a integração entre conceitos matemáticos e elementos do cotidiano, o 16
  • Universidade Presbiteriana Mackenziedesenvolvimento do senso estético e a criatividade; além disso, esta Geometria possibilita ainteração com várias ciências.Após a apresentação da aula e dos questionários aplicados antes e depois da explicação daGeometria Fractal, verificou-se que os alunos inicialmente, no momento em que souberamque iriam aprender algo novo, tinham ficado um pouco apreensivos, mas após teremconhecido esta Geometria, com suas formas complexas, aplicações no cotidiano, e quepode ajudar no aprendizado de conteúdos do Ensino Médio, os alunos perceberam que amatemática não é uma ciência abstrata, e que por isso, o importante é estudá-la paraperceber onde a matemática está aplicada, sem receio de que seja complicada. Ao términoda experiência, os alunos afirmaram que gostariam de aprender mais sobre a GeometriaFractal e que os mesmos ficariam muito mais motivados a estudar a matemática, com seusdiversos conteúdos, se durante as aulas fossem apresentadas outras aplicações.CONCLUSÃOAo término desta pesquisa percebe-se que hoje há uma deficiência em muitas escolas,quando se refere ao ensino da matemática, pois a disciplina é abordada durante as aulascomo algo distante do cotidiano dos alunos. Por este motivo é necessária a inclusão detemas, durante as aulas, que estimulem os alunos, que os motivem e que os façamaprender a matemática sabendo que aqueles conhecimentos que o professor transmite sãouma descrição da natureza e das relações diárias, pois assim, o processo de ensino-aprendizagem ocorreria de forma mais satisfatória.O estudo dos fractais, por exemplo, pode despertar um fascínio nos estudantes pelas figurase construções particulares, pode fazê-los acreditar na facilidade em perceber padrões eregularidades e ao mesmo tempo a complexidade, e irá estimulá-los no momento em queeles encontrarem muitas destas formas no seu dia-a-dia. Além disso, ao desenvolveratividades com fractais, as dificuldades em relação à Álgebra ou Geometria podem surgir eo professor poderá trabalhar tais conteúdos com seus alunos.Após a aplicação e análise dos questionários verificou-se que, apesar de a grande parte dosalunos não gostar da Geometria, fato este justificado pela dificuldade que eles apresentamem compreender a disciplina, pela forma como os conteúdos são transmitidos, pela máestrutura da instituição e dos currículos escolares, a maioria demonstrou sua vontade emparticipar de aulas mais ilustrativas, com exemplos na vida prática.Desta forma, os objetivos desta pesquisa foram atingidos, pois, por meio de umainvestigação com alunos, exatamente com aqueles que são diretamente afetados pelasdificuldades de aprendizagem na escola, foi possível encontrar uma forma clara e objetiva, 17
  • VII Jornada de Iniciação Científica - 2011de tratar o tema fractais trabalhando seus conceitos de uma forma não aprofundada, masque foi possível apresentar a idéia necessária do que é um fractal e onde ele está presenteno cotidiano.O exemplo de atividade apresentado neste trabalho, uma aplicação de fractais no estudo deProgressão Geométrica, é um dentre muitos outros existentes, mas conteúdos comocontagem, perímetros, áreas, padrões geométricos, conceitos de medida, seqüências,limites, também podem ser trabalhados, gerando uma grande quantidade de oportunidadesde aplicação da Geometria Fractal nas aulas de matemática. Além disso, há diversosbenefícios nesta prática, tais como o estímulo à criatividade, ao raciocínio lógico, o aumentoda motivação em aprender matemática, dentre tantos outros benefícios proporcionados poressa Geometria presente no nosso dia-a-dia e que encanta pela beleza de suas formas econstruções.REFERÊNCIASBARBOSA, R. M. Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula. ColeçãoTendências em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2002.BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:Matemática/Secretaria de Educação Fundamental – Brasília: MEC/SEF, 1997.BRITO, M. Um estudo sobre as Atitudes em Relação à Matemática em Estudantes de 1º e2º graus. Tese de Livre Docência não Publicada, UNICAMP, 1996.CHARLOT, B. Da relação com o saber. Porto Alegre: Artmed, 2000.DENCKER, A.F.M. Métodos e técnicas de pesquisa em turismo. São Paulo: Futura, 2001.DEVANEY, R. The orbit diagram and the Mandelbrot set. College Mathematics Journal, NewYork, 1991.FERNANDES, J. Fractais: uma nova visão da matemática. Trabalho de conclusão de Curso,UNILAVRAS, Lavras, 2007.GOUVEA, F.R. Um Estudo de Fractais Geométricos através de Caleidoscópios e Softwaresde Geometria Dinâmica. Dissertação de Mestrado, Unesp, Rio Claro, 2005.LÜDKE, M; ANDRÉ, M. Pesquisa em educação: abordagens qualitativas. 11ª reimpressão.São Paulo: EPU, 2008.MAY, T. Pesquisa Social: questões, métodos e processos. Porto Alegre: Artmed, 2004.MORIN, E. Introdução ao Pensamento Complexo. Porto Alegre: Sulina, 2007. 18
  • Universidade Presbiteriana Mackenzie______. O método II: a vida da vida. Porto Alegre: Sulina, 2005.______. Os sete saberes necessários à educação do futuro. São Paulo: Cortez, 2002.NIEDERMEYER, C.; KOEFENDER, C.; ROOS, L. Geometria Fractal e Ensino deMatemática. Encontro Gaúcho de Educação Matemática, 10., Ijuí: UNISC, 2009.PEITGEN, H.O.; JÜRGENS, H.; SAUPE, D. Fractals for the Classroom. New York: Springer-Verlag, 1992.PEREIRA, F. As atitudes de alunos do ensino básico em relação à matemática e o papel doprofessor. Trabalho de Conclusão de Curso, UCDB, 2002.PETRAGLIA, I. Edgar Morin: a educação e a complexidade do ser e do saber. Petrópolis:Vozes, 2008.SALLUM, E.M. Fractais no Ensino Médio. Revista do Professor de Matemática – RPM 57.Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2005.UTSUMI, M.C. Atitudes e Habilidades Envolvidas na Solução de Problemas Algébricos: UmEstudo Sobre o Gênero, a Estabilidade das Atitudes e Alguns Componentes da HabilidadeMatemática. Tese de Doutorado, UNICAMP, Campinas, 2000.VALIM, J.; COLUCCI, V. Geometria Fractal no Ensino Fundamental e Médio. SemanaAcadêmica da Matemática, 12., Cascavel: Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas daUniversidade Estadual do Oeste do Paraná, 2008.Contato: pamelaaraujos@hotmail.com e ematsui@mackenzie.br 19