• Like
Elektroeu
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

Published

 

Published in Technology
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
2,834
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1

Actions

Shares
Downloads
24
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Osnove elektrotehnike II
  • 2. Uvod-zgodovina-magnetike(0).doc 0. UVOD - ZGODOVINA MAGNETIKEImena za naravni magnet v različnih jezikih:Francosko: aimant (ljubeč)Kitajsko: tzhu shih (ljubezenski kamen)Angleško: lodestone (leading, guiding stone)PPT PREZENTACIJA ZGODOVINEKITAJSKA - KOMPAS. Kos magnetita z močno magnetizacijo tvori železov magnet, ki na plavajoči podlagi vedno kaže v isto smer. Kitajci so prvi, ki so dokumentirano spoznali magnetni učinek in ga med drugim uporabili za izum kompasa (dinastija Quin, 221-206 pred našim štetjem). Prvi dokumentiran zapis o kompasu izvira iz leta 1297. Ta pomemben izum, ki omogoča ladjam navigacijo tudi daleč od kopnega, se je hitro razširil tudi v Arabijo in v Evropo.GRKI – MAGNETIT. Stari Grki poznajo magnet, saj izvira imemagnet iz pokrajine Magnesia (sedaj v Turčiji), kjer so našliprimerke kamnov (magnetita) z magnetnimi lastnostmi. ŽeThales iz Mileta trdi, da ima magnet dušo. Lucretius jepredstavnik atomistov in v delu De Rerum Natura opisuje, damagnet privlači železo tako, da odganja atome v njegovi okolici. Magnetit (Fe3O4) je narvni mineral, kiV resnici povzema učenje Epicuriusa (342 – 270 BC), ki je ima od vseh naravnih magnetnihnaslednik učenja Demokrita. Po njihovem učenju naj bi bila vsa materialov najbolj izražene magnetnesnov sestavljena iz atomov, ki pa so ob smrti razpadli (ni bilo lastnosti.življenja po smrti). Iz tistega časa izvira tudi prepričanje, da česen zmanjša moč magneta. Toprepričanje se je vleklo vse do leta 1600, še posebno so se česna izogibali morjeplovci.GILBERT – PRVI ZNANSTVEN PRISTOP. Prve resnejše in obsežne poskuse izmagnetike opravi W. Gilbert in jih objavi v knjigi »De Magnete« leta 1600. Znan je bil kotosebni doktor kraljice Elizabete. Gilbert je bil trden zagovornik Kopernika, kar je bilo vdrugih bolj dogmatičnih državah življensko nevarno. Istega leta, kot je izšla njegova knjiga, 1/3
  • 3. William Gilbert (1540 - 1603) se smatra prvi, ki se je znanstveno lotil raziskovanja magnetnih pojavov inUvod-zgodovina-magnetike(0).doc 0. jih opisal v knjigi De Magnete.so Giordana Bruna v Italiji zakurili na grmadi. Gilbert jedelal mnogo poskusov iz elektrike, pri čemer je uporabljalelektroskop. Naredil je obsežen seznam materialov, ki sebolj ali manj naelektrijo – dandanes to imenujemotriboelektrična lestvica. Ugotovil je tudi, da je električnasila različna od magnetne, da naelektren objekt nima polov,kot jih ima magnet in da je mogoče električno silozmanjšati s kosom papirja, magnetno pa ni mogoče. (Enapomembnejših stvari, ki se jih lahko naučimo od Gilberta,je spoznanje, kako je pomembno proučiti in preverjatidejstva in ne le povzemati pisanje drugih. Še posebno, če ne temelji na znanstvenem delu. Tovodilo bi lahko bilo v veljavi še danes. Čeprav je vrsta pojavov že zelo natančno pojasnjena,je za pravo razumevanje najboljše lastno preverjanje. Če je le mogoče, naj to velja za vse, kise učijo.)Gilbert je proučeval tako naravne magnete iz magnetita (loadstone), kot tudi umetnonamagnetene materiale – železo. V popolnosti je tudi razumel inducirano magnetno polje, kjernenamagneten vendar (fero)magnetni materialprevzame magnetne lastnosti ob stiku.Ugotovil je, da ne le, da kaže magnetna igla(kompas) proti severu, pač pa tudi poddoločenim kotom na površino zemlje.Predlagal je uporabo naprave, s katero bilahko določali ne le smer severa, pač pa tudigeografsko višino iz tega kota. Gilbert je Knjiga W. Gilberta De Magnete.naredil model zemlje, ki ga je poimenovalterella (majhna zemlja) v katerega je vgradiltrajni magnet. S tem modelom prikazuje delovanje kompasa na zemlji in ugotavlja, da je samazemlja en velik magnet. Kdor raziskuje se lahko tudi moti: Gilbert vzadnjem delu knjige predvideva (pod vplivom Kopernikove teorije), daje magnetno polje tisto, ki prispeva k gibanju teles v vesolju.Po Gilbertovih dognanjih se je dve desetletji na področju raziskavmagnetike dogajalo bolj malo.1700 – 1800. Do leta 1800 velja omeniti nekaj pomembnejših dognanjpri razumevanju elektrike. Otto von Guericke (1672) izumi naelektritveno sfero in prvo 2/3
  • 4. Uvod-zgodovina-magnetike(0).doc 0. vakumsko steklenico. Sledi odkritje t.i. Leidenske flaše oziroma prvega kondenzatorja, ki omogoča začasno hranjenje večje količine električnega naboja oziroma doseganje višjih napetosti. Benjamin Franklin predlaga koncept le enega naboja, pozitivnega ali negativnega. Luigi Galvani eksperimentira z živalsko elektriko, kar nadaljuje Alessandro Volta, ki je med drugim zaslužen za izum elektroskopa in baterije. Ta omogoča bolj konstanten in trajnejši tok kot elektrostatični generatorji. Charles Coulomb v Franciji s pomočjo magnetne igle, ki ji visela na tanki nitki zazna šibke odklone pri bližanju drugega magneta. Coulomb je ugotovil, da sila pada s kvadratom razdalje, kot pri električni ali gravitacijski sili. Inštrument, kot ga je zasnoval Coulomb, je bil osnova magnetnih detektorjev za nadaljnjih 170 let. Silo odboja uporabi Jonathan Swift v Guliverjevih potovanjih, kjer otok lebdi v prostoru zaradi »anti- gravitacije«. Kljub vsem raziskavam, v tem času še ni bila znana povezava med elektriko in magnetiko. Coulomb celo trdi, da te povezave ni. OERSTED – eksperiment s tokom in kompasom . Leta 1820 profesor Hans Christian Oersted v Kopenhagnu (Danska) pripravlja eksperiment iz segrevanja prevodnika in tudi iz magnetike. Presenečeno ugotovi, da se igla kompasa premakne vsakič, ko sklene tokokrog. Ugotovi, da se kompas ne usmeri v smeri električnega toka pač pa prečno na smer toka in da magnetno polje obkroža tok. Svoje delo objaviOerstedov eksperiment in kompas, na katerem je opazil premik ob toku v vodniku. Po julija 1820 in s tem naredi pomembenOerstedu se imenuje tudi enota za jakost magnetnega polja. Ta enota se je uporabljala vsistemu enot CGS (centimeter, gram, sekunda) in se dandanes več ne uporablja, korak pri razumevanju elektrike innadomestila jo je SI enota [A/m]. Ker pa se jo v določenih primerih še vedno zasledi (npr. magnetike. Da sta elektrika inpri magnetnih materialih in njihovih karakteristikah), velja vedeti, da je 1 Oe = 1000/4pi magnetika pravzaprav povezana, sajA/m. električni tok povzroča magnetno polje. Kristale magnetita najdemo tudi v določenih bakterijah ter v možganih čebel, termitov in nekaterih ptic. Ocenjuje se, da so lahko ti materiali vzrok za sposobnosti določenih živali, da se orientirajo v magnetnem polju zemlje, kar imenujemo magnetorecepcija. Poiščite več o tem na spletu. 3/3
  • 5. Sila na vodnik 1. SILA NA (TOKO)VODNIK V MAGNETNEM POLJU Equation Chapter 1 Section 1Vsebina poglavja: izraz za silo med dvema vzporednima tokovodnikoma, privlačna in odbojnasila, permeabilnost vakuuma, enota za električni tok, tokovni element, gostota magnetnegapretoka.Andre-Marie Ampère je v Franciji takoj preveril ugotovitve Oersteda in jih tudi razdelal.Pravilno je predvidel, da če električni tok povzroča magnetno polje in s tem odklon magnetneigle, mora obstajati tudi sila med dvema vodnikoma s tokom. To je tudi dokazal in to silo tudiovrednotil. Izkazalo se je, da je sila med dvema vzporednima vodnikoma sorazmernaproduktu toka v obeh vodnikih in njune dolžine in nasprotno sorazmerna razdalji medvodnikoma. To bi matematično zapisali kot I1I 2l F =k⋅ . (1.1) rAmpère je tudi ugotovil, da je sila privlačna, če toka tečeta v isto smer in odbojna, če tokatečeta v nasprotno smer.SLIKA: Vzporedno ležeča vodnika s tokom v isto smer se privlačita, s tokom vnasprotno smer pa se odbijata. µ0Konstanta k je enaka , kjer je µ0 permeabilnost vakuuma in ima vrednost 4π10 −7 . Torej je 2πenačba za silo med dvema ravnima vzporednima vodnikoma iz (1.1) enaka: µ0 I1I 2l F= . (1.2) 2πrPermeabilnost vakuuma. Poglejmo, kakšno enoto mora imeti µ0 , da bo ustrezalo enačbi A⋅A⋅m N(1.1): N = [ µ0 ] oziroma [ µ0 ] = 2 . Kasneje bomo ugotovili, da lahko zapišemo z m Aosnovnimi ali izpeljanimi električnimi enotami (H je enota za induktivnost): N V ⋅s H[ µ0 ] = = = . A 2 A⋅m m 1/7
  • 6. Sila na vodnik 1.Primer: Določimo velikost sile med dvema ravnima vzporednima (neskončno dolgima)vodnikoma s tokom 1 A na dolžini enega metra, ki sta med sabo razmaknjena za 1 m. 4π10−7 N/A 2 ⋅1A ⋅1A ⋅1mIzračun: Ta sila je enaka F = = 2 ⋅10−7 N , kar je tudi osnova za enoto 2π ⋅1mamper [A], ki si jo je Ampère prislužil za svoja pomembna odkritja na področju raziskovanjaelektričnih pojavov. To je tudi edina električna enota, ki jo potrebujemo za povezavo medelektriko in mehaniko.Enota za električni tok. Amper je enota za električni tok, ki pri prehodu skozi dva neskončnaravna vodnika zanemarljivega prereza na razdalji med vodnikoma 1 m v vakuumu povzročisilo 2 ⋅10−7 N/m . Osnovne SI enote: Katere so torej osnovne enote po mednarodnem sistemu SI (Systeme International – SI po konvenciji iz leta 1875)? Meter (m), kilogram (kg), sekunda (s), Ampère (A), Kelvin (K), mol (mol) in kandela (cd). Izpeljane enote pa so na primer newton, joule, watt, coulomb, volt, ...)Ampère je skonstrurial več t.i. tokovnih tehtnic, s pomočjo katerih je ugotavljal sile medtokovodniki. Da bi povečal sile med vodniki je večkrat navil vodnike okoli iste osi in takodobil prve primere tuljav....Tokovni element. Enačba (1.1) za silo med vodnikoma velja le, če sta vodnika vzporedna. Zaizračun sile na (toko)vodnik poljubne oblike, je Ampère vpeljal koncept tokovnega elementaI dl . Tokovni element imenujemo produkt toka v vodniku z vektorjem majhne (diferencialne)razdalje v smeri vodnika.SLIKA: Tokovni element je predstavljen kot (diferencialen) del dolžine vodnika pomnožen stokom v vodniku: I ⋅ d l .Silo na tokovni element I1dl1 lahko zapišemo kot 2/7
  • 7. Sila na vodnik 1. µ0 I1dl1 ⋅ I 2dl2 ⋅ sin θdF12 = 2 , kjer je r12 vektor od tokovnega elementa 2 do tokovnega 4π r12elementa 1 in θ kót med tem vektorjem in smerjo tokovnega elementa 2.SLIKA: Dva tokovna elementa in sila med njima.Magnetna sila na tokovni element izražena z gostoto magnetnega pretoka. Da bi določilicelotno silo na tokovni element 1, moramo sešteti vse prispevke tokovnih elementov na temmestu. Če to upoštevamo, lahko enačbo zapišemo tudi kotdF12 = I1dl1 ⋅ B ,kjer imenujemo B magnetno polje1 oziroma bolj natančno gostota magnetnega pretoka namestu tokovnega elementa I1dl1 . Pomembna je tudi smer gostote pretoka. Sila na tokovnielement je pravokotna tako na tokovni element, kot na magnetno polje. Sila je največja, ko jepolje pravokotno na tok(ovni element). To lahko zapišemo z vektorskim produktomd F 12 = I1dl1 × B , ki jo v končni obliki lahko pišemo brez indeksov: d F = Id l × B (1.3)Poenostavljene enačbe:Če na ravni vodnik deluje homogeno polje B, ki je pravokotno na vodnik, je sila nanj enaka F = IlB , (1.4)kar je znana enačba iz srednje šole (BIL). Če pa med smerjo vodnika in poljem ni pravi kot, jepotrebno upoštevati vektorski produkt vektorjev, od katerih en kaže v smeri toka na kateregaračunamo silo drugi smer gostote magnetnega pretoka (B).. Torej bo velikost sile1 Pogosto za (vektor) gostote magnetnega pretoka uporabljamo bolj poljuden izraz magnetno polje ali kar kratkopolje. 3/7
  • 8. Sila na vodnik 1.F = IlB sin(θ ) , smer sile pa bo pravokotna na ravnino, ki jo določata smer toka v vodnikuin polja, ki deluje na vodnik.Gostota magnetnega pretoka je posledica delovanja Vektorski produkt vektorjev A in B je C = A × B = en A ⋅ B ⋅ sin(θ ) , kjer je e nelektričnega toka (tokov). Obstajajo pa tudi snovi, ki vektor, ki kaže pravokotno na ravnino, kipovzročajo v svoji okolici magnetno polje brez jo določata vektorja A in B . Pravilnododatnega tokovnega vzbujanja. To so trajni magneti, ki smer vektorja C dobimo kot smer vrtenja tako, da zavrtimo prvi vektor (A) vpa jih bomo podrobneje obravnavali kasneje. najkrajši smeri proti drugemu vektorju (B).SLIKA: Magnetna sila na tokovni element deluje v smeri, ki je pravokotna tako na tokovnielement kot na vektor gostote pretoka. Theta je kót med dl in B .Definicija gostote magnetnega pretoka. Iz enačbe (1.4) tudi izhaja definicija za gostotomagnetnega pretoka, ki jo lahko zapišemo kot silo na tokovni element: F B= . IlPoišči analogijo z definicijo električne poljske jakosti: sila na enoto naboja.Podobno kot je bil pri elektrostatiki osnovni gradnik, ki je povzročal magnetno polje naboj Qoziroma diferencial naboja dQ, je v magnetostatiki osnovni gradnik, ki povzroča magnetnopolje tokovni element I dl .Poglejmo si najprej nekaj primerov računanja sile po enačbi (1.3):Primer: V ravnem bakrenem vodniku je tok 28 A. Kolikšna mora biti velikost in smergostote magnetnega pretoka, da bo sila na vodnik dolžine 1 m enako velika a nasprotne smerikot sila gravitacije? Žica ima linearno gostoto snovi 46,6 g/m.Izračun: 4/7
  • 9. Sila na vodnik 1.IlB = mg (m / l ) gB= = 1, 6 ⋅10 −2 T. IPreveri še smer (tok v vodniku v tablo, smer Bja na desno)ENOTA ZA B je Tesla (T), starejša enota je Gauss. Velja 1 T=104 Gaussa ali iz enačbe (1.2).EKSPERIMENT: Funkcijski generator priključimo na malo tuljavico, znotraj katere damotrajni magnet. Skupaj jih prilepimo z lepilnim trakom. Pri priključitvi izmeničnega signalatuljavica ustvarja izmenično magnetno polje, ki s silo deluje na trajni magnet (in obratno).Lepilni trak deluje kot opna: vibrira in povzroča zvok. a. tuljavica iz firme Iskra Feriti b. trajni magnet, prečno namagneten, firme RLS doo c. RAZNO: zvočnik deluje podobno, le da se giblje tuljavica v fiksnem magnetu, narišiTIPIČNE VELIKOSTI POLJA. Red velikosti od 108 T do 10–14 T. • V magnetno zaščiteni sobi 10-14 T • V medgalaktičnem prostoru 10-10 T • Na površini zemlje 10-4 T • Na površini majhnega trajnega magneta 10-2 T • V bližini velikega elektromagneta 1,5 T • Na površini neutronske zvezde 108 TObičajno so torej v elektromagnetiki vrednosti B-ja od militesla do 1 tesla.Pokazali smo že dva primera izračuna sile na ravne (toko)vodnike. Kolikšna pa je sila, čevodnik ni raven? Tedaj je potrebno vodnik razdeliti na manjše dele in določiti silo na vsak takdel.Primer: Določimo silo na del vodnika v obliki polkroga s polmerom R = 4 cm in s tokom 6A, ki je v homogenem polju velikosti 0,5 T . Polje je pravokotno na vodnik. 5/7
  • 10. Sila na vodnik 1.Izračun: Uporabimo izraz dF = Idl × B , kjer (diferencialni) del polkroga zapišemo kotdl = Rdϕ : dF = IRdϕ ⋅ B . Potrebno je seštevati le tisto komponento sile, ki je usmerjena vsmeri osi Z, zato velja: π/2dFz = F sin ϕ in Fz = 2 ∫ IRB sin ϕ dϕ = 2 IRB = 240 mN 0SLIKA: Sila na vodnik v obliki polkroga v homogenem polju.Primer: Kolikšna je sila na vodnik s tokom 6 A , ki je postavljen vzdolž X osi, na razdalji odx = 0 m do x= 4 m in nanj deluje nehomogeno magnetno polje B = (2 T/m ⋅ x, 2 T, 0) . x je vmetrih.Izračun: Ker je polje nehomogeno, je potrebno uporabiti integracijo diferenciala siledF = Idl × B , kjer je TdF = Idxex × B = Idx(1,0,0) × (2 x,2 T,0) m TdF = Idxex × B = Idx 2 (0,0,1) m 4m TF = I 2 (0,0,1) ∫ dx = ez 48 N m 0Dodatno: Kaj če je y komponenta polja enaka x komponenti?SLIKA: Izračun sile na vodnik v nehomogenem polju. 6/7
  • 11. Sila na vodnik 1.POVZETEK: µ0 I1I 2l 1. Velikost magnetne sile med dvema ravnima vodnikoma je F= . 2πr 2. Sila je privlačna, če je smer toka v vzporednih ravnih vodnikih enaka. 3. Definicija enote 1 A: sila med dvema vzporednima vodnikoma v vakuumu s tokom 1 A, ki sta oddaljena za 1 m, je 2 ⋅10-7 N/m . 4. Tokovni element Id l je definiran kot produkt toka v vodniku in diferenciala dolžine vodnika. 5. Sila na tokovni element je d F = Id l × B , kjer B imenujemo gostota magnetnega pretoka. Smer sile je pravokotna tako na vektor dl kot na vektor B . 6. Podobno, kot lahko električno poljsko jakost definiramo kot (električno) silo na naboj ( E = Fe / Q ), lahko gostoto magnetnega pretoka definiramo kot (magnetno) silo na Fm tokovni element B = . Il1. Poiščite na spletu informacije o osnovnih SI enotah.2. Poiščite informacije o tokovnih tehtnicah, ki omogočajo »tehtanje« magnetne sile. (ključnebesede v ang.: current balance, history)3. Galvanometer je osnovna merilna naprava, ki uporablja koncept sile na tokovodnik vmagnetnem polju (slika desno). Poiščite več informacij na spletu. Primeri nalog: izpit, 16. aprila 2002 izpit, 28. junij 2006 kolokvij OE II 23.04 2002 7/7
  • 12. Biot-Savartov zakon 2. 2. BIOT-SAVARTOV ZAKON Equation Section 2Vsebina poglavja: zapis Biot-Savartovega zakona, izračuni magnetnega polja v okoliciosnovnih oblik tokovodnikov: premice, daljice, zanke in solenoida.Polje, ki ga v okolici povzroča neskončen raven vodnik smo že zapisali, ko smo µ0 Iobravnavali silo med dvema ravnima vodnikoma. To polje je B = . To enačbo in 2πRdruge, za poljubno obliko vodnika s tokom lahko izračunamo z uporabo Biot-Savartovega zakona.Polje, ki ga tokovni element Idl povzroča v točki T je: µ0 Idl ⋅ sin(θ ) dB = ⋅ (2.1) 4π r2kjer je r razdalja od tokovnega elementa do točke T, θ pa je kót med vektorjema dl inr.Ta enačba dá le velikost polja, ne pa tudi smeri. Smer polja je pravokotna na ravnino,ki jo določata vektorja dl in r , kar lahko zapišemo z vektorskim produktom µ0 Idl × r µ0 Idl × e r dB = 3 = (2.2) 4π r 4π r2SLIKA: Tokovni element oddaljen od točke T za razdaljo r povzroča v točki T gostotomagnetnega pretoka, določeno z Biot-Savartovim zakonom.Da bi določili polje v točki T za celotni tokovodnik, je potrebno sešteti (integrirati)prispevke vseh tokovnih elementov: µ0 Idl × r B=∫ . BIOT-SAVARTOV ZAKON (2.3) L 4π r3 1/10
  • 13. Biot-Savartov zakon 2. MAGNETNO POLJE OSNOVNIH STRUKTUR(TOKOVODNIKOV), IZRAČUNANO Z UPORABO BIOT-SAVARTOVEGAZAKONA 1. TOKOVNA PREMICARaven, neskončen, tanek tokovodnik (tokovna premica) postavimo vzdolž Z osi stokom v smeri Z osi. Pri z = 0 postavimo na oddaljenosti R od izhodišča (od vodnika)točko T, v kateri računamo polje. Na poljubni točki na vodniku na Z osi označimotokovni element in narišemo vektor r od tokovnega elementa do točkeT.. Zapišemo µ0 Idl ⋅ sin(θ )Biot-Savartov zakon v obliki dB = ⋅ , smer polja pa ugotovimo iz 4π r2vektorskega produkta tokovnega elemeta in smeri vektorja r in kaže v smeri kóta fi. RVelja dl = dz , sin θ = , kjer je r = z 2 + R 2 . Vstavimo izraze v B-S zakon in dobimo r µ0 Idz ⋅ R µ0 IRdzdB = = . Sedaj je potrebno le še sešteti vplive vseh tokovnih 4π r 3 4π ( z + R 2 )3/ 2 2elementov, ki se nahajajo vzdolž Z osi, kar naredimo z integracijo diferenciala polja: +∞ µ0 IRdz µ0 IR +∞ dzB= ∫ dB = ∫ 4π = ∫ . (z ) 2 3/ 2 (z + R2 ) 3/ 2 po vseh −∞ 2 +R 4π −∞ 2 tokovnih elementihRešitev tega integrala poiščemo v tablicah integralov. Dobimo +∞ µ0 IR z µ0 I µ0 IB= = (1 − (−1) ) = . 4π R 2 z +R 2 2 −∞ 4πR 2πR µ0 IKončni rezultat je torej B = eϕ . (2.4) 2πRSLIKA: Tokovna premica postavljena vzdolž Z osi. 2/10
  • 14. Biot-Savartov zakon 2.SLIKA: Polje tokovnega elementa kaže v smeri vektorskega produkta medvektorjem tokovnega elementa in vektorjem, ki kaže od tokovnega elementa dotočke T. Ugotovimo, da je smer polja v okolici tokovne premice v smeri kóta fioziroma v smeri tangente na krožnico. Preprost način določanja smeri toka jetudi s pomočjo prstov desne roke, pri čemer palec desne roke usmerimo v smertoka, prsti, ki ovijajo tokovodnik pa ponazarjajo smer magnetnega polja. function poljepremice % polje tokovne premice mi0=4*pi*1e-7 I=1 r=0:0.1:10 B=mi0*I./(2*pi*r); plot(r,B) xlabel(r / m) ylabel(B / T)SLIKA: Program v Matlabu za izračun polja v okolici tokovne premice poenačbi (2.4). 2. TOKOVNA DALJICATokovna daljica je en od osnovnih elementov, s pomočjo katerih lahko sestavimo boljkompleksne tokovodnike. Izpeljava sledi izpeljavi polja v okolici tokovne premice, lemeje integracije je potrebno spremeniti od nekega –z1 do +z2. Dobimo 3/10
  • 15. Biot-Savartov zakon 2. + z2 µ0 I   + z2 µ0 IR dz µ0 IR z z2 − z1B= ∫ in B = =  − . (z + R2 ) 4πR  z2 + R  3/ 2 4π 2 4π R 2 z 2 + R 2 2 2 z12 + R 2 − z1 − z1   z1Ta rezultat lahko napišemo tudi nekoliko bolj preprosto, saj je = cos θ1 in z12 + R 2 z2 = − cos θ 2 . Sledi: z2 + R 2 2 µ0 I B = eϕ 4π R ( cos(θ1 ) − cos (θ 2 ) ) . (2.5)Preverimo še, če dobimo enak rezultat za tokovno premico, če upoštevati θ1 = 0 inθ2 = π .SLIKA: Tokovna daljica (določitev razdalje R in kótov).Primer: Narišimo polje v oddaljenosti od dveh premih vodnikov s programomMATLAB. Iz slike določite smer, pozicijo in velikost tokov function polje2premic % polje dveh premic a=4; mi0=4*pi*1e-7; I=1; x=-2:0.1:10; B1=mi0*I./(2*pi*(x-2)); B2=mi0*I./(2*pi*(x-2-a)); B=B1-B2 plot(x,B,[-2 10],[0 0]) xlabel(x / m) ylabel(B / T) 4/10
  • 16. Biot-Savartov zakon 2. 3. TOKOVNA ZANKA (OBROČ)Tokovna zanka navidezno deluje kot nepomemben element. V resnici pa je vsaj takopomemben kot tokovna premica. Iz niza tokovnih obročev lahko sestavimo tuljavo(solenoid ali toroid), ki je v magnetiki osnoven element. V kratkem bomo vpeljali tudikoncept magnetnega dipola oziroma magnetnega dipolnega momenta. Ta konceptnam bo med drugim pomagal razložiti polje trajnih magnetov. Gradnik magnetnegadipolnega momenta je tokovna zanka.Polje v splošni točki v okolici tokovne zanke ni enostavno izračunati, dokaj hitro palahko izpeljemo tudi pomembne izraze za polje v središču in osi tokovne zanke.Polje v središču tokovne zanke.Zanko polmera R postavimo tako, da ima center v središču valjnega koordinatnegasistema. Označimo tokovni element in razdaljo od tokovnega elementa do središča. πVelja d l = Rd ϕ , r = R in sin θ = . Vstavimo v B-S zakon in dobimo 2 µ0 Idl sin(θ ) µ0 IRdϕ µ0 IdϕdB = 2 = 2 = . Sedaj le še seštejemo (integriramo) 4π r 4π R 4π R 2π µ0 Idϕ µ0 I 2π µ0 Iprispevke vseh tokovnih elementov in dobimo B = ∫ 4π 0 R = 4π R = 2R .V primeru, da je smer toka v smeri kóta fi, je polje usmerjeno v smeri +Z osi in je µ0 I B = ez . (2.6) 2RSLIKA: Tokovna zanka postavljena v središče valjnega koordinatnega sistema. 5/10
  • 17. Biot-Savartov zakon 2.Polje dela tokovne zanke.Hitro lahko ugotovimo, da lahko določimo polje dela tokovne zanke tako, daintegriramo prispevke le med določenima kótoma, recimo ϕ1 in ϕ2 . Potem je enačba ϕ2 µ0 Idϕ µ0 Ioblike B = ∫ = (ϕ2 − ϕ1 ) . Če izrazimo razliko kótov β = ϕ2 − ϕ1 velja ϕ 4π 1 R 4πR µ0 I B= β (2.7) 4πRSLIKA: Polje dela tokovne zanke, omejen s kótom beta.Polje v osi tokovne zankeTudi polje v osi tokovne zanke je dokaj enostavno določiti. Če označimo z R polmerobroča in se točka T nahaja na razdalji z od središča zanke, velja π µ Idl sin(θ ) µ0 IRdϕd l = Rd ϕ , r = z 2 + R 2 in sin θ = . Sledi dB = 0 = . Tega 2 4π r2 4π z 2 + R 2izraza še ne smemo integrirati po tokovnih elementih, preprosto zato, ker vektor poljane kaže v isto smer za vse tokovne elemente. Ugotovimo lahko, da se bo zaradisimetrije ohranila le tista komponenta polja, ki je v smeri osi Z. Zato pišemo µ0 IRdϕ R µ0 IR 2 dϕdBz = dB ⋅ sin α = ⋅ = . 4π z 2 + R 2 z 2 + R2 4π ( z 2 + R 2 )3/ 2Integracija je preprosta. Dobimo 2π µ0 IR 2 dϕ µ0 IR 2 2π µ0 IR 2Bz = ∫ 4π = = . Če upoštevamo še smer (z + R2 ) 4π ( z 2 + R 2 )3/ 2 2 ( z 2 + R2 ) 2 3/ 2 3/ 2 0 µ0 IR 2polja, dobimo B = e z . (2.8) 2 ( z 2 + R2 ) 3/ 2 6/10
  • 18. Biot-Savartov zakon 2.SLIKA: Polje v osi tokovne zanke. unction poljevosizanke(R); set(0,DefaultLineLineWidth,1.5) % DEFINICIJA KONSTANT mi0=4*pi*1e-7; I=1; % TOK % Z os zmin=0;zmax=3*R; dz=zmax/200; z=zmin:dz:zmax; B=0.5*mi0*I*R^2./(R^2+z.^2).^(1.5); plot(z,B)SLIKA: Primer uporabe programa Matlab za izračunpolja v osi zanke. Funkcija je uporabljena 2x, z radijem 1 m in 0,5 m. Vmes smo uporabili ukazhold on (poljevosizanke(1); hold on; poljevosizanke(0.5))Polje izven osi tokovne zankePolje izven osi tokovne zanke ni enostavno izpeljati in tudi rezultat ni preprost. Je papomemben, zato ga vseeno zapišimo - vsaj v poenostavljeni obliki, ki velja za večjerazdalje od zanke (recimo za razdalje R dosti večje od polmera zanke a) in je vsferičnih koordinatah: µ0 Ia 2 B = er ⋅ Br + eθ ⋅ Bθ = 4 R3 (e r ) ⋅ 2 cos(θ ) + eθ ⋅ sin(θ ) . (2.9)Dobimo tako komponento v smeri radija kot kóta. Pomembno je, da polje pada zrazdaljo s tretjo potenco, tako kot električno polje v oddaljenosti od električnegadipola. 7/10
  • 19. Biot-Savartov zakon 2.SLIKA: Skica polja v okolici tokovne zanke. function poljedvehzank; I=1; R=2; d=1; set(0,DefaultLineLineWidth,1.5) % DEFINICIJA KONSTANT mi0=4*pi*1e-7; xmin=-2*d;xmax=2*d; dx=xmax/200; x=xmin:dx:xmax; B1=0.5*mi0*I*R^2./(R^2+x.^2).^(1.5); B2=0.5*mi0*I*R^2./(R^2+(x-d).^2).^(1.5); B=B1+B2 plot(x,B)Slika: Primer izračuna polja para v osi vzporednih tokovnih zank oddaljenih za 1 m.Polmeri zank so 2m, 1 m in 0,5 m. Tok je 1 A. Dokaj homogeno polje se utvari v sredinituljave, ki ima tako polmer kot razdaljo med zankama enako 1 m. Takima zankamarečemo Helmholtzov par in se pogosto (v obliki dveh navitij) uporablja v praksi. 4. POLJE V OSI RAVNE TULJAVE - SOLENOIDASolenoid predstavimo kot N zank s tokom I na doložini l. Da bi izračunali polje vpoljubni točki na osi, postavimo točko T na razdaljo z od središča k.s.. Nato zapišemopolje, ki ga v tej točki povzroča le ena zanka, ki se nahaja na razdalji z od izhodišča. µ0 IR 2Uporabimo že izpeljan izraz za polje v osi tokovne zanke Bz = , ki jo 2 ( z 2 + R2 ) 3/ 2 µ0 dIR 2moramo ustrezno preoblikovati v dBz = , kjer dI določimo kot ( ) 3/ 2 2 ( z − z ) + R 2 2 NIdI = dz . Če omejimo tuljavo med z = z1 in z = z2 , pri čemer le l = z2 − z1 , dobimo l 8/10
  • 20. Biot-Savartov zakon 2.polje v osi tuljave na razdalji z centra z rešitvijo integrala µ0 NIR 2 z2Bz = ∫ dz . ( ( z − z ) ) 3/ 2 +R 2 2 z1 2lRešitev je z2     µ NIR  2 z − z  = µ0 NI  z2 − z ( z1 − z ) . Bz = 0 − 2l  R 2 ( z − z ) + R 2 − z1 2l  2  ( z − z2 ) 2 + R2 2  ( z − z1 ) + R  2  Ta manj pregleden zapis lahko poenostavimo z ugotovitvijo, da lahko uporabimo kóta z2 − z z − z1cos β 2 = in cos β1 = . ( z − z2 ) + R 2 ( z − z1 ) + R 2 2 2 µ0 NIDobimo B = e z ( cos( β1 ) + cos( β 2 ) ) . (2.10) 2lSLIKA: Polje v osi ravne tuljave - solenoida.Poenostavljeni izrazi za dolge tuljave:Izraz za polje v sredini dolge tuljave dobimo, če upoštevamo β1 = β 2 = 0 : µ0 NI B = ez . (2.11) lPolje na robu dolge tuljave pa dobimo z upoštevanjem β1 = π/2 in β 2 = 0 : µ0 NI B = ez . (2.12) 2l SLIKA: Polje v osi solenoida s tokom NI = 10 A, polmera ovojev 1 m in dolžine 5 m in 10 m. Začetek tuljave je pri z = 0 m. 9/10
  • 21. Biot-Savartov zakon 2.POVZETEK: 1. Iz enačbe za silo med dvema tokovnima elementoma ugotovimo, da nastopa µ0 Idl sin(θ ) člen , ki ga poimenujemo gostota magnetnega pretoka. Popolni 4π r2 izraz za gostoto magnetnega pretoka predstavlja Biot-Savartovega zakon in vsebuje vektorski produkt tokovnega elementa in vektorja r in integracijo po µ0 I ⋅ dl × r tokovnih elementih: B = ∫ ⋅ . L 4π r2 µ0 I 2. Polje v okolici tokovne premice je B = eϕ . Polje v okolici tokovne 2πR premice je rotacijsko, smer polja določimo iz vektorskega produkta dl × r ali z ovijanjem prstov desne roke, če tok kaže v smeri palca. µ0 I 3. Polje tokovne daljice je B = eϕ 4πR ( cos(θ1 ) − cos (θ 2 ) ) . (Razloži R in kót theta. Skica.) µ0 I 4. Polje v središču tokovne zanke je B = e z . (Kaj je R in kam kaže polje 2R glede na smer toka v zanki in izbiro koordinatnega sistema?) µ0 IR 2 5. Polje v osi tokovne zanke je B = e z . (Kje je največje? V katero 2 ( z 2 + R2 ) 3/ 2 smer kaže? Skiciraj potek. ) µ0 NI 6. Polje v osi ravne tuljave – solenoida je B = e z ( cos( β1 ) + cos( β 2 ) ) . (Kaj 2l je l, kako določimo kóte, poenostavitev enačbe v primeru zelo dolgega solenoida.) Primeri izpitnih in kolokvijskih nalog: izpit, 17. septembra 2002 izpit, 16. aprila 2002 izpit, 4. 12. 2001 izpit, 20. september 2006 izpit, 31. avgust 2006 izpit, 19. september 2005 izpit, 3. 12. 2001 izpit, 30. avgust 2005 Izpit 26. 6. 2002 Izpit 4. 9. 2003 1. kolokvij , 17.4.2002 1. kolokvij, 9. maj 2005 izpit, 20. september 2004 Izpit, 17. 01. 2002 Prvi kolokvij, 9. maj 2002 10/10
  • 22. Magnetno polje zemlje Magnetno polje zemlje je posledica tokov zunanje plasti jedra zemlje. Pogosto ta efekt imenujemo dinamo efekt. Poenostavljeno ga lahko predstavimo kot polje magnetno polje tokovne zanke oziroma trajnega magneta. Velikost polja se nekoliko spreminja po površini zemlje in se giblje med 30 µT do 60 µT. To polje torej ni enako veliko povsod po površini zemlje, poleg tega pa ima tudi lokalne spremembe, predvsem na področjih, kjer je v zemlji mnogo magnetita (naravnega feromagnetnega materiala – železovega oksida). Te razlike je potrebno upoštevati pri navigaciji s pomočjo kompasa, zato so korekcijske vrednosti dandanes vpisane v navigacijskih kartah. Geografski severni pol ni na enakem mestu kot geomagnetni. Poleg tega, da je geomagnetni nekoliko zamaknjen v osi (cca 110), je tudi obrnjen: na geografskem severnem polu je geomagnetni južni pol. Znano je, da se ta s časom spreminja, kar je potrebno pri natančni navigaciji upoštevati. Kompas je en pomembnejših izumo človeštva, saj je bistveno olajšal potovanje po odprtem morju.Spreminjanje lokacijemagnetnega severnega pola.Vir: Zanimivo je tudi, da se magnetno polje zemlje zasuka (obrne)http://science.nasa.gov/head na vsakih deset tisoč do milijon let, v povprečju na približnolines/y2003/29dec_magnetic 250 000 let.field.htm Levo: Model prvega kompasa iz Kitajske; žlica iz naravnega magnetnega materiala na bakreni skledici. Na desni namagnetena igla na vodi – primer navigacijskega kompasa. Vir: http://www.computersmiths.com/chineseinvention/compass.htm http://en.wikipedia.org/wiki/Compass
  • 23. Mogoče je zaznati tudi dnevne fluktuacije (spremembe) magnetnega polja. Te so posledicaelektirčnih tokov visoko nad površino zemelje – v ionisferi. V ionosferi nastaja namrečmnogo nabojev kot posledica trkanja visokoenergijskega žarčenja (UV-žarki in X-žarki). Iznevtralnih delcev tako nastanejo pozitivni in negativni delci, ki povzročajo električni tok, tapa magnetno polje. Ta proces je najmočnejši med poldnevom, ko je žarčenje sonca na zemljonajmočnejše, kar se lepo zazna z občutljivimi inštrumenti.Dnevno spreminjanje magnetnega polja v observatoriju Hartland.:Spodaj prikazsprememb s spremembo lege igle kompasa (v pretiranih vrednostih)Združeno magnetno polje zemlje in sonca Tudi sonce ima svoje magnetno polje, katero močno vpliva na spremembe magnetnega polja na zemlji. Sonce povzroča t.i. solarni (sončni) veter, ki je v osnovi plazma nabitih delcev, ki se giblje stran od sonca s povprečno hitrostjo 400 km/h. Vsled tega se magnetno polje zemlje spremeni in ga imenujemo magnetosfera. Med magnetosfera in področjem Slika prikazuje popularizirano obliko spremenjenega sončnega vetra je ozko magnetnega polja zemlje (na desni) zaradi vpliva področje, ki ga imenujemo sončnega vetra. magnetopauza. Več na: http://www.aurorawatch.york.ac.uk/popmagnet/ http://www.kvarkadabra.net/fizi ka/teksti/severni_sij.htmlNaelektreni delci se odklanjajo v magnetnem polju. Leta 1950 so raziskovalci odkrili, dazemljo obdajata dva pasova z izrazito povečano koncentracijo nabitih delcev. Poimenovali sojo Van Allenovi radiacijski pasovi. Ti so v osnovi posledica solarnega vetra. Nabiti delci, ki
  • 24. vstopijo v ta pasov, začnejo krožiti se se usmerjati v smeri polov. Tam dosežejo ozračje zemlje in s trki z delci ozračja (kisikove in dušikove molekule) povzročajo spektakularne svetlobne efekte, ki jih imenujemo severni ali južni sij : aurora borealis in aurora australis. (Lepe slike so na spletni strani http://www.geo.mtu.edu/weather/aurora/) . Ti efekti so posebno izraziti v obdobju aktivnejšega delovanja sonca, ki ima cikle aktivnejšega delovanja na 11 let. Posledice tega aktivnejšega delovanjaSlika prikazuje ujetje in vijuganje niso vidne le v svetlobnih sijih, pač panaelektrenega delca v Van Alenovem pasu. tudi v kvarnih efektih na omrežnih transformatorjih (zaradi povečanih induciranih tokov lahko pride do okvar), povečanja korozije na plinovodih, nevarnemu izpostavljanju sevanja astronavtov, segrevanju zemlje in ekspanziji ozračja, zaradi česar lahko na zemljo padejo sateliti, povečaniLetna spremljanja magnetnih neviht (stolpci) in aktivnost sonca obremenitvi(rdeča krivulja). Črtkane črte označujejo minimalno, pikčaste pa sevanja namaksimalno solarno delovanje. Vir: satelitih.http://www.geomag.bgs.ac.uk/earthmag.html
  • 25. Amperov zakon 3. 3. AMPEROV ZAKON Equatio n Section 3Vsebina poglavja: Integral polja po zaključeni zanki je sorazmeren toku, ki ga zankaobjame. Izračuni polja s pomočjo Amperovega zakona za: tokovno premico, solenoid,toroid, polje znotraj vodnika, tokovno oblogo.Amperov zakon zapišemo na sledeč način: ∫ B ⋅ dl = µ I L 0 (3.1)oziroma z besedami: integral gostote magnetnega pretoka po ZAKLJUČENI POTI (zanki) jesorazmeren toku, ki ga oklepa zanka. V skladu z zapisanim skalarnim produktom je potrebnointegrirati le tisto komponento polja, ki je v smeri poti. Včasih ta zakon imenujemo tudi zakonvrtinčnosti polja, saj je vrednost takega integrala različna od nič le, če je polje vrtinčno.(Koliko je bil v elektrostatiki ∫ E ⋅ dl ? Kaj to pomeni v primerjavi z Amperovim zakonom?) LSLIKA: Zanka v magnetnem polju. Integral komponente magnetnega polja v smeri zanke jesorazmeren toku, ki ga zanka oklepa.Amperov zakon je en osnovnih zakonov elektromagnetike. V nekoliko preoblikovani (boljsplošni obliki) je znan tudi kot ena od štirih Maxwellovih enačb. Te v celoti popisujejoelektromagnetno polje.Primer: Poglejmo, če zakon velja premi tokovodnik, ki ga obkrožimo z zanko v oblikikrožnice. (SKICA) Polje po poti krožnice je konstantno in kaže v isti smeri kot dl , torej velja µ0 I 2π∫ B ⋅ dl = B ∫ dl =B ⋅ 2π R = µ I . Iz enačbe sledi B = 2πR .L 0 0Dobimo enak rezultat za polje v okolici tokovne premice kot z uporabo Biot-Savartovegazakona. 1/8
  • 26. Amperov zakon 3.SLIKA: Integracija polja po krožnici v sredini katere je premi tokovodnik.Kaj pa, če vzamemo drugačno obliko zanke? Dobimo zopet enak rezultat, saj če B ni v smeridl-a, B vedno kaže v smeri kota (SKICA) in se manjša z razdaljo od premice, dl pa lahkorazstavimo na komponento v smeri Bja (kota) in pravokotno. Dobimo ( )B ⋅ dl = eϕ B(r ) ⋅ dl eϕ cos(θ ) + e r sin(θ ) == B(r ) ⋅ dl ⋅ cos(θ ) = B(r ) ⋅ r ⋅ dϕZ integracijo pridemo do enakega rezultata kot zgoraj. Kar pomeni, da je neodvisno od oblikezanke po kateri izvajamo integacijo rezultat integracije Bja v smeri zanke vedno enak:Oklenjen tok pomnožen s permeabilnostjo vakuuma.SLIKA: Integracija polja po krožnici znotraj katere je premi tokovodnik.Primer : Določite ∫ B ⋅ dl L za določene konfiguracije vodnikov in zank.SLIKA: Zanka in vodniki.Amperov zakon, kot smo ga zapisali, ne velja popolnoma splošno, saj obstajajo materiali(magneti), kjer nimamo vzbujalnih tokov, pa vendar je B različen od nič in je vrtinčen. Zakon,kot smo ga spoznali danes bomo v nadaljevanju nekoliko dopolnili, da bo veljala tudi za takeprimere. 2/8
  • 27. Amperov zakon 3.Za analitičen izračun polja v poljubnih strukturah je uporaba Amperovega zakona pogostoneprimerna, saj iščemo neznano veličino znotraj integrala. Uporaba tega zakona za izračunpolja je posebno primerna le tedaj, ko imamo neko simetrično porazdelitev toka: tipičniprimeri so: • Zunanjost in notranjost ravnega vodnika • Dolga ravna tuljava – solenoid • Toriod pravokotnega preseka – eksaktno (auditorne vaje) • Toroid okroglega preseka – približno • Tokovna oblogaPolje polnega vodnika.Zamislimo si pot integracije po krožnici polmera r znotraj vodnika polmera R ( r < R ). Ker sovse točke na krožnici enako oddaljene od središča lahko predpostavimo, da je polje v vsehtočkah na krožnici enako veliko in torej odvisno le od polmera krožnice: B = eϕ B (r ) . Ker greza integracijo po krožnici je dl = eϕ rdϕ . Skalarni produkt teh dveh vektorjev je 2πB ⋅ d l = eϕ B (r ) ⋅ eϕ rdϕ = B (r )rdϕ , integracija pa dá ∫ L B ⋅ dl = ∫ B(r )rdϕ = B(r )2πr . 0Desna stran enačbe je enaka permeabilnosti pomnoženi z objetim tokom µ0 Iµ0 I objeti = µ0 JA(r ) = πr 2 . πR 2SLIKA: Polni vodnik: skica za izračun polja, b) potek polja znotraj in zunaj zanke. µ0 I µ0 IZdružimo levo in desno stran enačbe B 2πr = πr 2 in dobimo B = eϕ r. πR 2 2πR 2 3/8
  • 28. Amperov zakon 3.Polje narašča linearno z oddaljevanjem od središča vodnika. Izven vodnika upada kot µ0 IB= . Pomembna razlika med elektrostatičnim poljem in magnetostatičnim poljem je ta, da 2πrpri elektrostatiki električnega polja znotraj prevodnika ni, magnetno polje v tokovodniku paje.Polje dolge tuljave - solenoida.Za del razsežnega (neskončnega) solenoida predpostavimo, da je polje znotraj homogeno invzporedno z dolžino tuljave, v zunanjosti pa ga ni. Zamislimo si pravokotno zanko, ki sekadel ovojev na dolžini l. Če zapišemo Amperov zakon in ga razčlenimo po štirih odsekihzanke, ugotovimo, da je vrednost integrala različna od nič le na odseku, kjer je poljevzporedno s smerjozanke. Ostali prispevki so enaki nič, saj je v zunanjosti tuljave polje enakonič, na dveh delih poti pa je polje pravokotno na smer integracije. Na dolžini l z zankozaobjamemo N zank in torej NI toka.. Dobimo:Bl + 0 + 0 + 0 = µ0 NI . µ0 NIRezultat za polje solenoida je B = . Ta rezultat je skladen s tistim, ki smo ga dobili z luporabo B-S zakona in poenostavili za primer dolge tuljave.SLIKA: Solenoid: zanka in oznake.Polje toroida.Toroid je tuljava, ki je vase zavita. Zamislimo si zanko posredini toroida po krožnici polmera r. Z enakim razmislekomkot pri solenoidu lahko zapišemo B 2πr = µ0 NI in µ0 NI B= (3.2)(3.3) 2πr 4/8
  • 29. Amperov zakon 3.SLIKA: Toroid.Polje tokovne obloge.Določimo gostoto magnetnega pretoka tokovne obloge. Tokovna obloga je tok vzdolž tankega Ivodnika velike površine na enoto prečne dolžine: K = . Enota je A/m. lSLIKA: Razlaga tokovne obloge.Polje je usmerjeno vzporedno z ravnino vendar prečno na smer toka, kar lahko ugotovimo, četokovno oblogo razdelimo na vrsto tokovnih premic. Poleg tega se smer polja zamenja nadrugi strani tokovne obloge.Zamislimo si pravokotno zanko, ki seka tokovno oblogo na dolžini l. Rezultat integracijepolja je različen od nič le na odsekih, ki so vzporedni z ravnino. µ0 KZapišemo: B ⋅ l + 0 + B ⋅ l + 0 = µ0 K ⋅ l . Rezultat je B = . (3.4) 2Smer polje je prečna na smer toka, določimo jo tako, kot da bi imeli opravka s tokovnopremico nad točko. Če prevodna površina leži na XY ravnini (z=0) in je tok (tokovna obloga)v smeri osi Y, bo za µ0 Kz > 0 : B = −e x 2 µ0 Kz < 0 : B = +e x 2SLIKA: Polje v okolici tokovne obloge je konstantno. 5/8
  • 30. Amperov zakon 3.APLIKACIJA: TOKOVNE KLEŠČESLIKA: Inštrumenti za merjenje toka uporabljajo princip Ameprovega zakona zamerjenje toka s pomočjo merjenja magnetnega polja. Levo: Nekoliko bolj »napreden”inštrument s tokovnimi kleščami uporablja za merjenje Hallov element (Fluke 345) .Desno: Hallov element integriran v feritni obroček za merjenje toka.(http://www.ayainstruments.com/applications3.html, http://www.kew-ltd.co.jp/en/support/mame_02.html, http://en.wikipedia.org/wiki/Hall_effect ) 6/8
  • 31. Amperov zakon 3.POVZETEK: 1) Integral gostote magnetnega pretoka v smeri poljubno izbrane zaključene poti (zanke) je sorazmeren toku, ki ga zanka oklepa ali z enačbo: ∫ B ⋅ dl = µ I . L 0 Ta zapis imenujemo Amperov zakon. 2) Predznak zaobjetega toka je odvisen od smeri integracije v zanki in smeri toka v vodniku, ki ga zanka obkroža. Predznak je pozitiven, če predpostavimo, da smer zanke predstavlja smer toka v zanki in je polje te zanke na mestu vodnika s tokom enaka kot smer toka v vodniku. (SKICA) 3) S pomočjo Amperovega zakona smo določili približne izraze za polje v sredini µ0 NI solenoida in toroida. Rezultat je B = , kjer je l dolžina tuljave, oziroma dolžina l srednje poti v toroidu. 4) S pomočjo Amperovega zakona smo zapisali polje tokovne obloge, kjer tok opišemo s µ0 K površinsko gostoto toka K [A/m]. Dobimo B = . Polje je prečno na smer toka, 2 smer določimo enako kot smer Bja okoli vodnika. 5) V elektrostatiki smo imeli ∫ E ⋅ dl = 0 L in smo rekli, da je tako polje potencialno. Posledica tega namreč je, da lahko E zapišemo kot gradient potenciala. Kot vidimo, je magnetno polje drugačno, lahko rečemo daje polje rotacijsko ali vrtinčno. 6) Kasneje bomo obravnavali še razširjeno obliko Amperovega zakona, ki predstavlja eno od Maxwellovih enačb. Za osnovo ima zapisano obliko, ki pa je spremenjena v toliko, da upošteva tudi toke zaradi magnetizacije snovi ter toke časovno spreminjajočega se električnega polja. 7/8
  • 32. Amperov zakon 3.SLIKA: Na desni je primer prikaza polja v okolici dveh zank (Helmholtzov par), kjer jeprikazano le polje za polovico zanke. Celotno polje bi dobili z rotacijo okoli levestranice. Opazimo lahko precejšnjo homogenost polja v osi tuljav. Na levi je primermerjenja polja v sredini Helmholtzovega para. Andre Marie Ampere na spletu: http://chem.ch.huji.ac.il/history/ampere.htm Primeri izpitnih in kolokvijskih nalog: 1. kolokvij , 17.4.2002 1. kolokvij, 3. maj 2004 izpit, 20. junij 2001 Prvi kolokvij OE II 23.04 2002 8/8
  • 33. VIZUALIZACIJA MAGNETNEGA POLJAZa dobro predstavo o porazdelitvi magnetnega polja v okolici virov (tokovodnikov alitrajnih magnetov) je zelo pomemben primeren način vizualizacije polja. Poslužimo selahko vrste postopkov:EKSPERIMENTALNO določanje polja 1) Natresemo železne opilke, na katere deluje sila v magnetnem polju. Orientirajo se tako, da nakazujejo smer polja. 2) Uporabimo ploščo z malimi magnetki, ki se usmerijo v smer polja. 3) Uporabimo kompas ali več kompasov. 4) Skeniranje z merilnikom magnetnega polja (Hallov sensor)SLIKA: Levo: Feromagnetni opilki se v bližini trajnega magneta usmerijo v smerigostote magnetnega pretoka. Desno: Trajni magnetki se kot mali kompasi usmerijov smer magnetnega polja.SLIKA: Levo: Tangencialni galvanometer s kompasom v sredini. Vir:http://chem.ch.huji.ac.il/instruments/test/galvanometers.htm. Desno: Merjenjepolja s Hallovo sondo med Helmholtzovim parom tuljav.
  • 34. ANALITIČNI IZRAČUNIVzemimo primer izračuna polja v osi solenoida – ravne tuljave polmera R, z N ovoji intokom I. Enačba za izračun polja je:   µ0 NI  z2 − z ( z1 − z ) Bz = − 2l  ( z − z )2 + R 2 2  ( z − z1 ) + R  2  2 mi0=4*pi*1e-7 NI=10 z1=-5e-2; z2=5e-2 L=z2-z1; for R=0.5e-2:0.5e-2:5e-2 z=2*z1:L/200:2*z2 B=mi0*NI/(2*L)*((z2-z)./sqrt(R^2+(z2-z).^2)+(z-z1)./sqrt(R^2+(z1-z).^2)); plot(z*100,B*1e6) hold on end 140 120 100 80 B / uT 60 40 20 0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 z / cmSLIKA: Polje v osi tuljave za dolžino tuljave 10 cm in spreminjajoče polmere od 0,5cm do 5 cm.
  • 35. NUMERIČNI IZRAČUNI 1) Z integracijo prispevkov tokovnih elementovPrimer numeričnega izračuna polja izven osi tokovne zanke.Tokovno zanko sestavimo iz končnega števila (N) tokovnih elementov in zapišemoenačbo, ki omogoča izračun polja za tokovni element v poljubni točki v smeri radija. Sseštevanjem vrednosti polj posameznih tokovnih elementov dobimo celotno vrednostpolja v določeni točki. To ponovimo za vse točke v smeri radija in izrišemo polje.function [B]=polje(R, rc) dfi=2*pi/N;% funkcija izracuna polje krozne zanke polmera rc pri dBB=0;radiju R for i=1:Nif (R==rc) fi=fi+dfi; error(Pri polmeru zanke B ni definiran) r2=rc^2+R.^2-2*rc.*R*cos(fi);end r=sqrt(r2);if (rc==0) theta1=acos((rc^2+r2-R.^2)./(2*rc.*r)); error(Polmer zanke ne more biti enak 0) theta=pi/2+theta1;end dB=k*sin(theta)./r2; % dBB=[dBB dB]mi0=4*pi*1e-7 B=B+dB;I=10 endk=mi0*I/(4*pi)%R=0.1fi=0; N=100; B=0;%plot(dBB(2:N))B0=mi0*I/(2*rc);function risipoljezanke(a)% Narise polje tokovne zanke kot funkcijo radija od0 do 2x polmera zankedr=1.01*a/100r=0:dr:2*a;BB=poljezanke(r,a);plot(r,BB)xmin=0; xmax=max(r); ymin=-100*BB(1); ymax=-ymin;axis([xmin xmax ymin ymax])SLIKA: Polje tokovne zanke v smeri radija. Polmer tokovne zanke je 1 m, kjeropazimo znatno povečanje polja in hkrati obrat smeri polja za radije večje od 1 m.
  • 36. 2) Numerično izračunavanje z diskretizacijo osnovnih enačb (Amperovega zakona) in zapis diskretiziranih enačb za veliko število točk v prostoru. Reševanje sistema enačb opravi računalnik. Polje lahko vizualiziramo na vrsto načinov: a. Z vektorji,ki prikazujejo smer in velikost polja v določenih točkah b. Z barvami in ekvipoljskimi črtami c. 3D vizualizacija d. Z gostotnicamiSLIKA: Polje v okolici dveh polnih vodnikov s tokom enake velikosti. Bolj »vroča«barva predstavlja večjo absolutno vrednost polja. Smer in velikost polja kažejo tudipuščice (vektorji). SLIKA: Polje solenoida (tuljave). Prikazan je le en del preseka, potrebno si je zamisliti rotacijsko simetrijo. Polje v osi kaže slika desno zgoraj, polje v sredini tuljave prečno na smer polja pa slika desno spodaj.
  • 37. Magnetni pretok 4. MAGNETNI PRETOK – FLUKS Equation Section 4Vsebina poglavja: Določitev magnetnega pretoka, brezizvornost magnetnega polja,upodobitev polja z gostotnicami, induktivnost, lastna induktivnost, magnetni sklep.Veličina, ki jo v magnetiki napogosteje obravnavamo in pogosto imenujemo kar magnetnopolje, je gostota magnetnega pretoka (B). Gotovo mora obstajati tudi veličina, ki ji rečemomagnetni pretok? Velja si predstavljati analogijo z gostoto električnega toka J in celotnimtokom I. Pri tokovnem polju smo uporabili zapis I = ∫ J ⋅ d A , kjer I predstavlja tok, ki gre Askozi neko (nezaključeno !) ploskev. V magnetiki zapišemo na podoben način Φ = ∫ B ⋅dA , (4.1) Akjer Φ imenujemo magnetni pretok, pogosto pa tudi magnetni fluks ali kar samo fluks. Enotaje T m2, ali pa Wb (Weber),ali pa tudi V s.SLIKA: Magnetni pretok je enak integralu normalne komponente gostote magnetnega pretokapo določeni površini. Predstavljamo si ga z analogijo med gostoto (električnega) toka in gostotomagnetnega pretoka (J in B) ter tokom in fluksom (I in Φ).Izračun fluksa. Za izračun magnetnega pretoka moramo torej poznati vektor gostotemagnetnega pretoka povsod po površini, skozi katero nas zanima pretok. Pri izračunu pretokapreko določene površine je potrebno upoštevati le tisto komponento gostote pretoka, ki jepravokotna na površino, torej tisto, ki »prebada« površino. V enačbi to izrazimo z uporaboskalarnega produkta med vektorjema polja in diferenciala površine. Rezultat te operacije jeskalar. Če je polje homogeno povsod po površini, lahko (4.1) zapišemo v preprostejši obliki: Φ = ∫ B ⋅ d A = ∫ B ⋅ en dA = BA cos α (4.2) A Akjer je alfa kot med smerjo Bja in normalo na površino (SKICA). Če je polje pravokotno naravno površino, je fluks največji in enak kar Φ = BA . (4.3) 1/7
  • 38. Magnetni pretok 4.Primer: Homogeno polje 5 mT je usmerjeno pod kotom 60o na normalo na pravokotno zankopovršine 4x5 cm2. Določimo magnetni pretok skozi zanko.SLIKA: Homogeno polje usmerjeno pod kotom na pravokotno zanko.Izračun: Zaradi homogenosti polja po površini zanke lahko uporabimo izrazΦ = ∫ B ⋅ d A = BA cos α in Φ = 5mT ⋅ 20 ⋅10−4 m 2 cos 600 = 5 µVs=5 µWb . APrimer: Določimo magnetni pretok skozi pravokotno zanko, ki je v ravnini ravnega vodnikas tokom 36 A in od vodnika oddaljena za a = 5 cm. Dolžina zanke je l = 10 cm, širina pa b = 4cm.Izračun: Skicirajmo zanko v ravnini XY in izračunajmo pretok skozi zanko v smeri osi Z.Vodnik naj leži na Y osi, s tokom, usmerjenim v smeri -Y osi. V tem primeru je polje vodnika µ0 Iza x > 0 enako B = ez , diferencial površine pa je d A = e z dxdy . Velja 2πx a +b l µ0 I µ0 I a+bΦ = ∫ B⋅dA = ∫ ∫e z ⋅ e z dx ⋅ dy = l ln . A a 0 2πx 2π aV dobljeno enačbo vstavimo vrednosti in dobimo V⋅s 4π10−7 36 AΦ= A⋅m 0,1 m ⋅ ln 9 cm = 423 nV ⋅ s = 423 nWb . 2π 5 cmSLIKA: Pravokotna zanka in vzporedno ležeči vodnik.Primer: Določimo fluks med ravnima vodnikoma (dvovodom) s polmeroma R = 0, 5 cm inmedosno razdaljo d = 2 m na dolžini 100 m. Tok v vodnikih je 150 A. 2/7
  • 39. Magnetni pretok 4.Izračun: Način izračuna je podoben, kot v prejšnjem primeru. Ugotovimo, da se polji medvodnikoma seštevata, zaradi enakih dimenzij vodnikov pa se seštevata tudi fluksa. Zato je µ0 Il d −RΦ = 2⋅ ln ≅ 35,9 mWb . 2π RSLIKA: Ravna vodnika (dvovod).Brezizvornost magnetnega polja. Koliko pa je fluks skozi zaključeno površino? Ker je poljevrtinčno, enak del pretoka, ki v določen prostor vstopa, tudi izstopa. Integral polja pozaključeni površini bo torej enak nič ali z enačbo ∫ B⋅d A = 0 . A (4.4)SLIKA: Enaka količina fluksa, kot v določen zaključen prostor vstopa, na drugem deluprostora tudi izstopa. Zaključeno površino razdelimo na štiri površine. Vsota štirihfluksov iz te površine je enaka Φ1 + Φ2 + Φ3 + Φ4 = 0 .To je pomemben rezultat, saj govori o brezizvornosti magnetnega polja. Da torej ne obstajamagnetni izvor in ponor v podobnem smislu, kot to poznamo pri električnem naboju. Temuzapisu lahko rečemo tudi Gaussov zakon za magnetiko, in predstavlja eno od Maxwellovihenačb (3.) – zopet le v integralni obliki.Primerjava z Gaussovim zakonom iz elektrostatike. Tam je bil integral Eja po zaključenipovršini sorazmeren zaobjetemu naboju. Iz tega je sledil zaključek, da je električno poljeizvorno (izvira na pozitivni nabojih in ponira na negativnih). Analogno električnim nabojemne moremo najti magnetnega naboja. Torej magnetno polje ni izvorno. Včasih rečemo tudi, 3/7
  • 40. Magnetni pretok 4.da je solenoidno.Vsak trajni magnet je tako izvor kot ponor magnetnega polja. Se pa kljubneobstoju magnetnega naboja v smislu analogije in lažjega računanja polj trajnih magnetovvčasih uporablja tudi pojem magnetnega naboja, oziroma bolj natančno magnetnegapovršinskega naboja.Upodobitev magnetnega polja z gostotnicami. Gostoto pretoka smo lahko prikazali zmnožico puščic (vektorjev) v prostoru. Če te puščice med seboj povežemo v krivulje, dobimogostotnice (včasih se jih imenuje tudi silnice). Prostor med gostotnicami si lahko zamislimokot cevke z določeno velikostjo pretoka. Pretok torej lahko vizualiziramo (predstavljamo) zgostotnimi cevkami. Ker običajno rišemo polje v dveh dimenzijah, gostotne cevkezapolnjujejo prostor med dvema gostotnicama. Običajno jih rišemo tako, da je fluks medsosednjimi gostotnicami konstanten ∆Φ i = konst . Gostotne cevke ravnega vodnikaponazorimo s koncentričnimi krogi s polmeri, ki se gostijo v smeri manjšanja razdalje odvodnika. Da bo fluks med dvema vodnikoma konstanten, mora veljati µ0 I ri +1 ri +1∆Φ = ln = konst , oziroma = e k ⋅∆Φ . Na podoben način smo risali tudi 2π ri riekvipotencialne ploskve pri elektrostatiki.SLIKA: Upodobitev magnetnega polja z gostotnimi cevkami. 4/7
  • 41. Magnetni pretok 4.INDUKTIVNOST (prvič)Kot vidimo v izrazih za fluks, je le-ta linearno odvisen od toka. Večji je tok, večji je fluks:Φ = nekaj ⋅ I . To »nekaj« definiramo kot induktivnost (simbol L), torej velja Φ = LI .Sledi, da je induktivnost strukture definirana kot kvocient fluksa in toka: Φ L= ¸ (4.5) IEnota za induktivnost je V s/A ali H (Henry).Primer: Določimo induktivnost dvovoda iz primera 2, če upoštevamo le fluks med žicama(ne tudi v žicah). Φ µ0l d−RL= = ln ≅ 240 µH . I π RČe bi želeli eksaktno določiti induktivnost dvovoda, bi morali upoštevati tudi tisti del fluksa, µ0 l d−Rki gre skozi vodnika. Izpeljana enačba L = ln torej ni eksaktna enačba induktivnosti π Rdvovoda. Ker pa ta fluks ne zajame celotnega toka vodnika, je izpeljava končnega izrazanekoliko bolj zapletena (AR Sinigoj: Osnove elektrotehnike, str. 354). Če bi upoštevali še to, µ0l  1 dbi kljub vsej zahtevnosti izračuna dobili preprost izraz : L =  + ln  . Če bi v ta izraz π 4 Rvstavili vrednosti iz primera, bi dobili rezultat približno 250 µH. Očitno je, da je osnovni izrazdovolj natančen, če je le razdalja med vodnikoma mnogo večja od polmera vodnikov.Magnetni sklep.Kadar je vodnik izdelan v taki obliki, da gre fluks skozi velč vodnikov, je smiselno definiratinovo veličino, ki jo imenujemo magnetni sklep in ga označimo z veliko grško črko Ψ (psi).Magnetni sklep je enak vsoti fluksov skozi vse zanke, ki jih tvori vodnik. V primeru, da greenak fluks skozi N zank, velja kar Ψ = ΝΦ .V primeru, da ima struktura več zank, velja Ψ L= . (4.6) ΙV primeru, ko tok I skozi vodnik (strukturo) ustvarja magnetni sklep Ψ v isti (lastni)strukturi, govorimo o lastni induktivnosti. Če gre isti fluks skozi N zank velja: 5/7
  • 42. Magnetni pretok 4. Ψ NΦ L= = , (4.7) I ILastna induktivnost solenoida in toroida.Induktivnost je osnovni podatek za vsako tuljavo. Pogledali si bomo poenostavljena (vendarpogosto v praksi uporabljana) primera izračuna induktivnosti solenoida in toroida, pri čemerbomo predpostavili, da je polje znotraj solenoida (toroida)homogeno.Primer: Določimo poenostavljen izraz za lastnoinduktivnost dolgega solenoida in jo izračunamo za primer:polmer tuljave 1 cm, dolžina 5 cm, 100 ovojev. µ0 NI µ0 NI µ0 N 2 AIzračun: B ≅ , Φ≅ A, Ψ = ΝΦ ≅ I l l l NΦ µ0 N 2L= ≅ A ≅ 79 µH . Ι l SLIKA: Dolga ravna tuljava = solenoid. µ0 APoenostavljen izraz za induktivnost tuljave je torej L = N 2 . Hitro lahko opazimo l Apodobnost z izrazom za kapacitivnost ploščnega kondenzatorja C = ε 0 , kjer je l dolžina dtuljave, d pa razdalja med ploščama, A površina presekatuljave oz. plošče kondezatorja. Ugotovimo lahko, dainduktivnost tuljave zelo povečamo z večjim številomovojev.Primer: Zapišimo poenostavljen izraz za lastnoinduktivnost toroida krožnega preseka z notranjimpolmerom 4 cm in zunanjim 5 cm. Toroid ima 200 ovojev.(Računamo s srednjim polmerom in homogenim poljem SLIKA: Toroid krožnega preseka.znotraj preseka toroida) µ0 NI µ NI µ N 2I 2 µ N2 2Izračun: B= , Φ ≅ 0 A, Ψ ≅ 0 π rA , L ≅ 0 rA ≅ 55,85 µH 2π rsr 2π rsr 2π rsr 2rsr 6/7
  • 43. Magnetni pretok 4.Induktivnost je geometrijska lastnost. V elektrostatiki smo definirirali kapacitivnost izzveze med nabojem in napetostjo Q = CU . Izračunali smo jo tako, da smo med dve prevodnitelesi priključili napetost U, pri čemer se je na telesoma nakopičilo naboja ±Q . Izkazalo se je,da je kapacitivnost odvisna le od geometrijskih lastnosti. Podobno velja za induktivnost, kjervelja zveza Ψ = LI . Torej, skozi vodnik (zanko) »pošljemo tok I, določimo fluks oziroma Ψmagnetni sklep in iz kvocienta določimo induktivnost: L = . ΙPOVZETEK: 1) Magnetni pretok ali fluks skozi poljubno površino smo definirali na enak način kot pri tokovnem polju kot Φ = ∫ B ⋅ d A . V preprostem primeru, ko je polje homogeno in A konstantno po površini A, se izraz poenostavi v Φ = BA cos α , kjer je alfa kot med normalo na površino in smerjo Bja. Pretok je največji, ko je polje usmerjeno pravokotno na površino. Magnetni pretok skozi zaključeno površino je enak nič, kar matematično zapišemo kot ∫ B ⋅ d A = 0 . To je Gaussov zakon za magnetno polje ali A tudi zakon o brezizvornosti magnetnega polja. NΦ 3) Lastno induktivnost smo zapisali kot L = , enota je H(enry) I 4) Izračuni: µ0 I r a. fluks skozi pravokotno zanko ob vodniku: Φ = l ⋅ ln 2 2π r1 b. Aproksimativni izrazi za induktivnost: µ0 N 2 i. ravna tuljava: L ≅ A l µ0 N 2 ii. toroid: L ≅ 2 rA 2rsr µ0l  1 d iii. dvovod (brez izpeljave): L =  + ln  π 4 R Naloge: izpit, 17. septembra 2002 izpit, 3. septembra 2002 izpit, 17. 4. 2003 izpit, 5. septembra 2002 izpit, 31. avgust, 2004 Izpit 4. 9. 2003 1. kolokvij, 22. april 2003 Prvi kolokvij, 9. maj 2002 7/7
  • 44. Delo magnetnih sil 5. DELO MAGNETNIH SILVsebina poglavja: izračun dela magnetnih sil iz spremembe fluksa skozi tokovodnik.Spoznali smo že enačbo za izračun sile na vodnik v magnetnem polju F = ∫ I dl × B (5.1) LSedaj nas zanima, kolikšno delo opravimo pri premiku vodnika s tokom I v magnetnem polju B izzačetne lege, ki jo bomo označili s T1, v končno lego T2. To dobimo z integracijo sile po poti S A = ∫ F ⋅ ds (5.2) Skjer smo z ds označili diferencial poti v smeri premika in z S celotno pot. Z vstavitvijo enačbe (5.1) T2 ( ) ( )v (5.2) dobimo A = ∫ I dl × B ⋅ d s = I ∫ d s × dl ⋅ B . Sedaj moramo pogledati, kaj predstavlja S T1produkt d s × dl oziroma celotna integracija tega produkta na poti od začetne do končne lege zanke.Vrednost vektorskega produkta je površina, ki jo določata vektorja glede na definicijo vektorskegaprodukta, smer pa je pravokotna na to površinico (v smeri normale). Če to površinico skalarnopomnožimo z vektorjem gostote pretoka dobimo diferencial fluksa(d s × dl ) ⋅ B = d A ⋅ B = B ⋅ d A = dΦ in v skladu s to ugotovitvijo lahko delo zapišemo v obliki Končna lega A= I ∫ dΦ . Začetna legaRezultat integracije je celoten fluks, ki gre skozi »plašč«, ki ga opiše vodnik na poti. A = IΦ plašča .Ker pa je, kot smo že spoznali, magnetno polje brezizvorno ( ∫ B ⋅ d A = 0 ), mora biti celoten fluks Askozi navidezno telo, ki ga opiše premikajoči vodnik, enak nič. To pa tudi pomeni, da mora bitifluks skozi plašč enak razliki fluksa skozi površino, ki jo opisuje vodnik v končnem položaju influksu začetnem v položaju. Če želimo pri tem fluks skozi zanko, ki jo opisuje vodnik računati visti smeri tako na začetku kot na koncu, velja Φ plašča = Φ končni − Φ začetni . Smer teh fluksovračunamo v t.i. pozitivni smeri, ki jo določa tok v gibajoči zanki (smer polja v zanki , ki jopovzroča tok I). A = I (Φ končni − Φ začetni ) (5.3) 1/4
  • 45. Delo magnetnih sil 5.SLIKA: Primer premikanja tokovne zanke iz lege T1 v legoT2 v polju B.Kdaj bo rezultat (delo magnetnih sil) pozitiven? Tedaj, ko bo fluks skozi zanko v končni legivečji kot v začetni. Če ima torej tokovna zanka možnost prostega gibanja, se bo zanka postavilatako, da bo fluks skozi zanko največji. (Enako ugotovitev bomo postavili tudi v naslednjempoglavju, ko se bomo srečali z navorom na tokovno zanko.) Če je rezultat pozitiven, pomeni, da sodelo opravile magnetne sile magnetnega polja, če pa je negativen pa to, da je delo za premik zankev magnetnem polju moral vložiti nek zunanji vir (recimo kar mi sami): Amag + Azun = 0 .Primer: Vzporedno z ravnim vodnikom s tokom I1=10 A, na oddaljenosti d = 2 cm leži pravokotnazanka dolžine a = 5 cm in širine b=3 cm s tokom I2 = 0,2 A. Koliko dela opravi magnetno polje zatranslatorni premik zanke stran od vodnika za razdaljo d = 2 cm? Primer reši tako z integracijomagnetnih sil kot z razliko fluksov. (SLIKA)Izračun: Sila deluje na dva vodnika zanke, ki sta vzporedna z vodnikom. Delo magnetnih silpotrebno za premik bo torej: d + 2 cm d + a + 2 cmA = A + A = ∫ d F ⋅ dl + ∫ d +a F ⋅ dldl = e x dx µ0 I1F = I 2b ( − ex ) 2πx µ0 I1F = ex I 2b 2πx µ0 I 1 d + 2 cmA = − I 2b ln 2π d µ0 I 1 d + a + 2 cmA = I 2b ln 2π d +a µ0 I1 I 2b  d d + a + 2 cm A= ln   ≅ −5,3 nJ 2π  d + 2 cm d +a  2/4
  • 46. Delo magnetnih sil 5.Drugi način:A = I 2 ( Φ končni − Φ začetni ) d + a + 2 cm µ0 I 1 µ0 I1b d + a + 2 cmΦkončni = ∫ Β dΑ = ∫ bdx = ln A d+a 2πx 2π d+a d + 2 cm µ0 I 1 µ0 I1b d + 2 cmΦzačetni = ∫ Β dΑ = ∫ bdx = ln A d 2πx 2π d µ0 I1b  d d + a + 2 cm A = I2 ln   ≅ −5,3 nJ 2π  d + 2 cm d +a Vprašanje: Zakaj je končni rezultat negativen? Odgovor: Če računamo delo z integracijo sile popoti vidimo, da je sila na bližjo stranico zanke usmerjena v smeri vodnika (privlačna), sila na daljnopa je odbojna. Torej mora delo opraviti zunanji vir.Primer: Koliko dela opravi magnetno polje, da se zanka iz primera 1 zavrti okoli sredinske osi zakot 900? (SLIKAIzračun: Delo najlažje izračunamo iz spremembe fluksa skozi zanko. Pred vrtenjem je bil fluks d + 2 cm µ0 I 1 µ0 I1b d + 2 cmskozi zanko maksimalen, enak Φzačetni = ∫ Β dΑ = ∫ bdx = ln , po vrtenju pa je A d 2πx 2π dfluks skozi zanko enak nič (enako veliko fluksa, kot v zanko vstopa, tudi iz zanke izstopa). Zato je µ0 I1b d +adelo enako Α = Ι 2 (0 − Φzačetni ) = −Ι 2 ln = −8,3 nJ . 2π dVprašanja: 1. Zakaj je rezultat negativen? Ker mora zunanji vir opraviti delo. Zanko moramo zavrteti v nasprotni smeri, kot bi se zavrtela pod vplivom magnetne sile. 2. Zakaj je fluks skozi zanko enak nič, ko je zanka postavljena prečno na osnovno lego? Ker gre skozi en del zanke fluks skozi zanko v pozitivni smeri, skozi drugi (enako velik) del pa enako velik fluks v negativni smeri. 3. Kateri je stabilen položaj zanke? Zanka se želi postaviti tako, da je fluks skozi zanko največji. Torej tedaj, ko leži ravni vodnik v ravnini zanke. Ta lega je stabilna, če so sile usmerjene stran od zanke in labilna, le so sile na vodnika v smeri osi zanke. 4. Kolikšen bi bil rezultat, če bi zanko zavrteli za 1800? Fluks skozi zanko je v končni legi enako velik kot v začetni legi, le nasprotnega predznaka je. Torej bo rezultat A = 2 I 2Φ T 2 . Kaj pa, če zanko zavrtimo tako, da zopet pride v začetno lego (obrat za 3/4
  • 47. Delo magnetnih sil 5. 3600)? Takrat je fluks skozi zanko enako velik, kot na začetku, vendar če je v prvi polovici zasuka (za 1800) delo negativno, bo v drugem delu zasuka delo pozitivno (delo opravi magnetno polje), skupno delo pa bo enako nič. (V prejšnji veziji napaka). Lahko pa s pomočjo preklopa smeri toka v zanki ob polovici obrata zagotovimo pogoje (komutator), v katerih bo sila na zanko vedno v s meri rotacije, kar je osnovni princip delovanja raznovrstnih motorjev.POVZETEK: T2 1) Delo magnetnih sil lahko izračunamo iz osnovne zveze A = ∫ F m ⋅ dl , ali pa kar iz T1 razlike fluksov skozi zanko v končni in začetni legi A = I (Φ končni − Φ začetna ) . Fluks je potrebno računati v pozitivni smeri (kot bi kazal B v notranjost premikajoče zanke, ki ga povzroča tok v zanki). Negativen rezultat pomeni, da je delo za premik morala opraviti zunanja sila, pozitiven pa, da je delo opravilo magnetno polje – da se je zanka gibala v smeri rezultirajočih magnetnih sil na zanko. 2) Naredili smo primer iz translatornega premika in pokazali, da dobimo enak rezultat z integracijo magnetne sile po poti in iz produkta toka zanke in razlike fluksov skozi zanko v začetni in končni legi zanke. V primeru vrtenja zanke je lažje računati le z razliko fluksov, pri čemer je potrebno upoštevati število rotacij. 3) S pomočjo komutacije toka v zanki omogočimo vrtenje zanke v magnetnem polju. Naloge: izpit, 24. junij 2003 izpit, 31. avgust, 2004 izpit, 20. september 2004 4/4
  • 48. Navor na vodnik 6. NAVOR NA (TOKO)VODNIK V MAGNETNEM POLJUEquatio n Section 6 Vsebina poglavja: Navor kot vektorski produkt ročice in sile, magnetni moment, navor namagnetni moment, dArsonvalov ampermeter/galvanometer.Če na tokovodnik v magnetnem polju deluje sila, potem v primeru vpetja z ročico dolžine rdeluje na vodnik navor* T = r×F (6.1)Velikost navora je torej T = rF sin θ , kjer je θ kot med smerjo vektorja ročice in sile. Smervrtenja je pravokotna na ravnino, ki jo določata vektorja ročice in sile.SLIKA: Na tokovodnik v magnetnem polju deluje sila. Navor deluje v smerivektorskega produkta med silo in ročico.Primer: Vodnik v obliki zanke (tokovna zanka) s tokom 10 A dolžine 10 cm in stranice 5 cmvpet na zgornjem vodniku kot kaže slika. Prečno na zanko, pod kotom 300 na normalo nazanko je homogeno polje 0,1 T. Kolikšen je navor na zanko?SLIKA: Viseča zanka vpeta na zgornji stranici.* Včasih se za navor uporablja tudi simbol M. Za pravilno smer navora je potrebno zavrteti vektor r v F in neobratno. 1/6
  • 49. Navor na vodnik 6.r = −e y r = (0, − r , 0)F = ( F sin α , − F cos α , 0 ) , kjer je F = IlB . ex ey ezT = r×F = 0 −r 0 = e z rF sin α F sin α − F cos α 0ali direktno z izračunom amplitude navora: T = rF sin α = 2,5 mNm .Primer: Kolikšen tok bi moral teči skozi tokovno zanko na sliki, če želimo, da se zankapostavi pod kotom 450 na osnovno lego, ko zanka visi vpeta na zgornjo stranico. L=10 cm,R=4 cm, B=50 mT. Pri izračunu poenostavimo navor na zanko zaradi sile gravitacije tako, daupoštevamo le silo na spodnjo stranico z maso 10 g. (Magnetno polje je usmerjeno v smerigravitacije) FB mg 10−2 kg ⋅ 9,8 m/s 2tan α = = 1 , IlB = mg ⇒ I = = = 19, 6 A . mg lB 0,1 m ⋅ 50 ⋅10−3 TSLIKA: Slika zanke zamaknjene za kot 450.Navor na zanko je osnovni princip delovanja vseh vrtljivih delov pri izkoriščanju pojavamagnetnega polja kot npr. prikazovalniki z vrtljivimi tuljavicami ali motorji.Navor na tokovno zanko v magnetnem polju.Običajno nas zanima navor na zanko v magnetnem polju. Vzemimo pravokotno zanko dolžinel in širine d, ki ima v sredini vpeto na os, kot kaže slika. Navor na tako zanko v homogenempolju, ki je za kot θ zamaknjeno od normale na površino zanke dobimo z upoštevanjem sile nastranico dolžine l:. Poleg sile, ki deluje med vodniki lastne zanke (ki ne povzroča rotacijo 2/6
  • 50. Navor na vodnik 6.zanke), delujeta v zunanjem magnetnem polju na stranici zanke sili F B ,l na levo in F B ,l nadesno stranico. Če označimo z d vektor, od levega do desnega vodnika, velja d  dT= × F B , d +  −  × F B ,l . 2  2Če je zanka v homogenem polju, velja F B ,l = − F B , d , od koder sledi  dT= d 2 ( ) × F B ,d +  −  × − F B ,l = d × F B , d . Z upoštevanjem, da je F B , d = I l × B dobimo  2 ( ) ( )T = d × I l × B = I d × l × B . Vektorski produkt d × l je enak površini zanke, smer pa imapravokotno na površino, v smeri polja, ki ga povzroča tok zanke v sredini zanke. Torej jed × l = en dl = en A . Z uvrstitvijo v enačbo dobimo končen izraz T = e n IA × B (6.2)SLIKA: Navor na pravokotno zanko v homogenem magnetnem polju. Prikaz sil nastranice zanke, smer polja in kota med vektorjem ročice in sile.Magnetni dipolni moment.Ugotovimo lahko, da bi enačbo (6.2) lahko zapisali tudi v splošni obliki T = I A × B , kjer jeA = en A = en dl vektor, katerega absolutna vrednost je enaka površini zanke, smer pa jepravokotna na površino zanke – smer kamor kaže polje, ki ga povzroča tok zanke v središčuzanke. Produkt toka in površine zanke ima poseben pomen v magnetiki (elektrotehniki) in gaimenujemo magnetni (dipolni) moment. m = e n IA , (6.3) 3/6
  • 51. Navor na vodnik 6.To je osnovni element v magnetiki, tako, kot je električni dipolni moment osnovni element velektrostatiki.SLIKA: Magnetni dipolni moment si predstavljamo v obliki zankice s tokom I. Njegovavelikost je enaka produktu površine zanke in toka zanke. Smer pa je pravokotna napovršino zanke.Z upoštevanjem definicije za magnetni moment lahko enačbo (6.2) za navor na zankozapišemo tudi z magnetnim momentom kot: T = m× B . (6.4)Navor deluje na tokovno zanko v polju tako, da jo zasuka pravokotno na smer polja, oziromatako, da bo smer magnetnega momenta enaka smeri polja. Hkrati lahko ugotovimo, da sezanka v magnetnem polju obrne tako, da je pretok magnetnega polja skozi zanko največji.SLIKA: a) Zanka pravokotna na smer zunanjega polja – navor je enak nič in b) zankapoložena v smeri zunanjega polja – navor je maksimalen in enak mB , c) zanka zmagnetnim momentom v nasprotni smeri polja – navor je nič, labilna lega.Magnetni dipolni moment je pomemben element magnetike, saj z njim na primer razložimomagnetno polje v snovi, kar bomo tudi v naslednjih poglavjih pokazali. 4/6
  • 52. Navor na vodnik 6.Primer: Določite torzijsko konstanto polžaste vzmeti galvanometra z vrtljivo tuljavico intrajnim magnetom tako, da bo odklon kazalca pri toku 100 µA enak 280. Tuljavica z 250 ovojije dolga 2,1 cm in široka 2,1 cm in se nahaja v homogenem polju 0,23 T.Izračun: Tuljavica se nahaja v enako velikem polju neodvisno od kota fi, kar pomeni, da bonavor neodvisen od kota fi ter linearno odvisen od toka I. Navor lahko povečamo z večjimštevilom ovojev tuljave.M vzmeti = M tuljave ⇒ kϕ = NIABSLIKA: Navor na zanko v homogenem magnetnem polju. Povzetek: 1. Navor na tokovno zanko v magnetnem polju določa vektorski produkt ročic(e) in sil(e): T = r × F . Po velikost je enak T = rF sin θ , kjer je θ kot med smerjo vektorja ročice in sile. 2. magnetni dipolni moment definiramo kot produkt toka in površine zanke s smerjo, ki je pravokotna na povrršino zanke in usmerjena enako kot polje, ki ga povzroča tok zanke v središču zanke. Velja: m = I A = e n IA . 3. Navor na zanko lahko izrazimo z magnetnim dipolnim pomentom in je enak T = m× B . 4. Tokovna zanka se v magnetnem polju postavi (zarotira) pravokotno na smer polja oziroma tako, da je smer magnetnega dipolnega momenta enaka smeri polja oziroma tako, da je fluks skozi zanko največji. Naloge: izpit, 4. februar 2005 5/6
  • 53. Navor na vodnik 6.DArsonvalov ampermeterFrancoski fizik Arséne d’Arsonval je leta 1882 izumil merilnik toka na osnovi vrtljive tuljavevstavljene v radialno homogeno magnetno polje, kar je dosegel z uporabo permanentnegamagnetna in železnega jedra. Sili na tuljavo vmagnetnem polju nasprotuje vzmet s konstantovzmeti. D’Arsonvalov galvanometer ima nad tuljavico malo zrcalce, v katerega usmerimo snop svetlobe in opazujemo njen odklon. http://en.wikipedia.org/wiki/Galvanometer http://physics.kenyon.edu/EarlyApparatus/Electrical_Measurements/DArsonval_Galvano meter/DArsonval_Galvanometer.htmlPokaži izdelek tovarne Magneti, ki izdeluje jedro za navitje za merilni kazalec. Pokaži šekazalec za avtomobil s trajnim magnetom s prečno magnetizacijo in dvema navitjema.EKSPERIMENT: Sila med trajnim magnetom in tuljavico deluje kot zvočnik.Potrebujem malo tuljavico, trajni magnet, ki gre v tuljavico in selotejp, ki drži skupaj magnetin tuljavico ter obenem deluje kot membrana. Na tuljavico priključimo vir izmeničnega toka.Ta ustvarja magnetno polje, ki deluje privlačno ali odbojno na magnetno polje trajnegamagneta odvisno od polaritete signala. Nariši shemo.V tem eksperimentu se premika trajni magnet, v zvočnikih pa se običajno premika tuljavica,ki je povezana z membrano. Nariši shemo. 6/6
  • 54. Gibanje nabojev 7. GIBANJE NABOJEV V ELEKTRIČNEM IN MAGNETNEM POLJU Equation Section 7Vsebina poglavja: električna in magnetna sila na naboj, Lorentzova sila, rotacija naboja v magnetnempolju, pomembne aplikacije: katodna cev, Hallov pojav, ciklotron.Gibanje nabojev v električnem polju smo že spoznali. Pozitivno naelektren delec se giblje v smerielektričnega polja, sila na naboj Q je Fe = Q E . Dinamiko gibanja opišemo z enačbo .. . QEma = QE oziroma r = v = a = . Ker deluje pospešek v smeri električnega polja, se mu s potjo mpovečuje tudi hitrost in s tem kinetična energija. Zmanjšuje pa se mu potencialna energija, saj segiblje v smeri zmanjšanja potenciala.Kako pa na gibanje naboja vpliva magnetno polje? Poznamo izraz za silo na vodnik v magnetnem dQ dQ dlpolju: d F = Idl × B . Tok zapišemo v obliki in dobimo d F = dl × B = dQ × B , pri čemer dt dt dt dlje hitrost gibanja naboja dQ. Dobimo d F = dQv × B oziroma 1 dt F m = Qv × B . (7.1)Sila na naboje v magnetnem polju ne deluje v smeri magnetnega polja temveč pravokotno na tosmer. Poleg tega deluje ta sila le v primeru, če se naboj giblje (v električnem polju pa delujeelektrična sila tudi na mirujoč naboj). Sila je v skladu z enačbo (7.1) pravokotna na smer vektorjahitrosti in magnetnega polja.SLIKA: Smer vektorja magnetnega polja, hitrosti in sile. V homogenem polju bo delec rotiralpo krožnici. Smer je odvisna od predzanaka naboja.1 Velja poudariti, da je v formuli potrebno hitrost delca upoštevati kot hitrost relativno na opazovalca. 1/12
  • 55. Gibanje nabojev 7.V primeru, da bo naelektren delec priletel v homogeno polje, ki je pravokotno na smer leta, bo Qrotiral okoli centra s pospeškom a = v × B . Radij rotacije dobimo z izenačenjem magnetne in m mv 2centrifugalne sile = QvB : R mv R= . (7.2) QBKer deluje sila na delec pravokotno na vektor hitrosti delca, se delcu v magnetnem polju nespreminja kinetična energija2.Primer: Proton prileti s kinetično energijo 5 MeV v prostor homogenega magnetnega poljavelikosti 1,5 mT, ki je pravokotno na smer priletelega delca. S kolikšno silo deluje nanj magnetnopolje, kolikšen je radialni pospešek delca in kolikšen radij bi opisal v homogenem polju? mv 2Izračun: Kinetična energija delca je Wk = in se jo v fiziki delcev pogosto obravnava z enoto eV 2(elektron-volt), ki ustreza energiji 1eV = 1,6 10-19 J. Ker je masa protona (približno) enaka 1,6 10-27 2Wkkg, bo hitrost delca enaka v = ≅ 31,6 ⋅ 106 m/s . Sila bo enaka Fm = QvB ≅ 7,6 ⋅ 10−15 N . To je mmajhna sila vendar deluje na majhno maso, zato je kljub temu vpliv pomemben: radialni pospešek Fm mvje enak: a = ≈ 4,7 ⋅ 10−12 m/s2 . Radij kroženja je R = ≅ 210 m . m QBLorentzova sila. Če na naboj deluje tako električno kot magnetno polje, je potrebno zapisati silokot vsoto električne in magnetne sile: F = QE + Qv × B (7.3)Temu zapisu rečemo tudi Lorentzova sila, ki bi v principu zadoščala za obravnavo električnih inmagnetnih pojavov. Poznati bi morali porazdelitev nabojev, nato pa bi računali njihovo gibanje vprostoru, preprosto z reševanjem diferencialne enačbe ma = QE + Qv × B . V praksi je problem boljkompleksen, saj je gibanje delcev v snovi zelo zapleteno. Je pa omenjen zapis primeren zaobravnavo gibanja nabojev v vakuumu (zraku).2 Zopet drugače kot v električnem polju, kjer delec pospešuje v smeri polja in se mu povečuje hitrost in s tem kinetičnaenergija. 2/12
  • 56. Gibanje nabojev 7.Kako se giblje delec, če sta tako električno kot magnetno polje usmerjena v isto smer? Nabojpospešuje v smeri polja in rotira okoli Bja. Gibanje je torej helično.SLIKA: Gibanje delca v homogenem električnem in magnetnem polju: a) E v isti smeri kot B,v = 0; b) E v smeri v, B pravokotno; c) E in B v isti smeri vendar pravokotno na v.NARAVNI POJAV: Odklanjanje delcev v magnetnem polju zemljePrimer heličnega gibanja je tudi gibanje nabojev v zemeljskem magnetne polju, še posebno vpasovih povečanega magnetnega polja, ki je znan kot Van Allenov radiacijski pas, kjer seionizirani delci iz vesolja ujamejo v magnetno polje zemlje. Ker se to polje zgoščuje v smeri proti poloma, se delci gibljejo helično z vedno večjo frekvenco proti polu vendar obenem opravljajo vedno manjšo pot. Na nekem delu se ustavijo in začnejo krožiti v obratni smeri. Temu principu rečemo magnetno zrcalo. Delec je ujet v magnetno polje, čemur rečemo tudi magnetna steklenica. Ob povečani sončevi aktivnosti dodatno injicirani močno energetizirani elektroni in protoni v Van Allenovem radiacijskemSLIKA: Primer severnega sija, ki nastane kot pasu povzročijo spremembno električnegaposledica vpada energijskih delcev v zemeljsko polja v področju odboja delcev, ki seatmosfero kot posledica povečane sončeve aktivnosti namesto odboja usmerijo proti zemeljskiin spiralnega kroženja nabojev v Van Allenovemradijaciskem pasu. površini. Pri tem trkajo v atome in molekule zraka, ki ob trkih sevajo svetlobo.Ta svetloba ustvarja sij, ki ga poznamo kot severni sij (aurora borealis). Poznamo tudi južni sij(aurora australis). 3/12
  • 57. Gibanje nabojev 7.SLIKA: Gibanje delcev v Van Allenovem radijacijskem pasu.Pomembnejši primeri odklanjanja delcev: • Katodna cev. • Ciklotron • Masni spektrograf • Fuzijski reaktor • Odklanjanje delcev v magnetnem polju zemljeAPLIKACIJA: KATODNA CEVKatodna cev je steklena cev z zmanjšanim tlakom v notranjosti. V njen je katoda, ki jeizpostavljena močnemu električnemu polju in je primerno segreta, da iz nje z lahkoto izhajajoelektroni. Ti potujejo v smeri električnega polja, ki ga ustvarimo z virom visoke napetosti (več kV).V sredini anode je luknjica, ki prepušča elektrone in jih v bistvu fokusira. Elektroni nadaljujejo potproti fluorescentnemu zaslonu, med potjo pa preletijo prečno električno in magnetno polje, ki gaustvarjajo kondenzatorji in tuljave. Ti s svojim poljem omogočajo usmerjanje (curka) elektronov ins tem risanje slike po zaslonu.Primer: V polju z napetostjo med anodo in katodo 2 kV pospešimo elektron do končne hitrosti.Nato prileti v sredino med ravni plošči, kjer je v prečni smeri homogeno električno polje 10 kV/m.Dolžina elektrod je L=10 cm. Kolikšen je odklon elektrona na dolžini elektrod? Nariši še potrebnosmer polja? F QEOdklanjajo jih s pospeškom a y = = , torej bo hitrost v y = a ⋅ t in pot v smeri polja m m 1 QEL2y= a ⋅ t 2 , v smeri zaslona pa L = vx ⋅ t . Odklon je torej enak y = 2 . Če hitrost v smeri x-a 2 2mvx 2 mvx 2QUdoločimo iz izenačenja kinetične in potencialne energije = QU ⇒ vx = 2 in dobimo 2 m 2 ⋅103 V/m ⋅ ( 0,1m ) 2 EL2y= . y= = 2,5 mm . 4U 4 ⋅ 2 ⋅103 V 4/12
  • 58. Gibanje nabojev 7.POMEMBNI ODKRITJI: OBSTOJ ELEKTRONA IN DOLOČITEV NABOJAELEKTRONAS podobnim eksperimentom je leta 1897 J. J. Thomson na univerzi v Cambridge(u) dokazal obstojelektronov. Če upoštevamo še silo, ki jo ustvarjamo z magnetnim poljem, dosežemo ravnotežje sil, Eko velja QE = QvB , od koder je v = . Iz razmerja sil (električne poljske jakosti in gostote Bmagnetnega pretoka) lahko določimo hitrost delca, kar pa lahko določimo tudi iz odklona. Torejlahko iz odklona delca in znanega električnega in magnetnega polja določimo razmerje med masoin nabojem, kar je naredil JJ Thomson:m B 2 L2 = . S tem je uspel dognati osnovne značilnosti elektrona, osnovnega naboja, zato se taQ 2 yEeksperiment obravnava kot odkritje elektrona. Ker ni natančno poznal mase elektrona, iz poskusa nimogel določiti velikosti osnovnega naboja. Prvo natančnejšo vrednost za velikost osnovnega nabojaje postavil Robert A. Millikan leta 1910-1913 s svojim znamenitim poskusom s kapljicami olja velektričnem polju (Nobelova nagrada 1923).POMEMBNO ODKRITJE: HALLOV POJAV ++++++++ Ali se odklonijo tudi naboji v prevodniku, če je B v xB + v U le ta izpostavljen magnetnemu polju. Odgovor je H - pozitiven in prvi ga je dokazal Edvin H Hall leta Fm ------------ 1879, takrat še 24 letni absolvent univerze Johns Hopkins. Elektroni v prevodniku potujejo s + hitrostjo drifta, ki jo poznamo iz tokovnega U polja, kjer je gostota toka J = ρ vd .ρ jevolumska gostota naboja. Na te naboje v prečnem magnetnem polju deluje sila Fm = QvB inpovzroči rotiranje in kopičenje elektronov proti eni strani prevodne ploščice. Na drugi strani hkratinastane pomanjkanje elektronov oziroma kopičenje pozitivnega naboja. Prečno na tok v vodniku setorej vzpostavi električno polje in s tem napetost, ki je sicer običajno majhna pa še vedno merljiva(velikosti µV). Ker mora nastopiti ravnovesje med električno in magnetno silo velja QE = QvB , od 5/12
  • 59. Gibanje nabojev 7. I J IBkoder je Hallova napetost U H = Ew = vBw = Bw = wd Bw = , kjer je w širina traku, d pa ρ ρ ρddebelina. Iz Hallove napetosti lahko določimo hitrost drifta nabojev ali gostoto nabojev,najpogosteje pa se Hallova napetost uporablja za merjenje gostote magnetnega pretoka. Pri tem se IBobičajno uporablja kar formula U H = RH ⋅ , kjer se RH imenuje Hallov koeficient. Iz izraza dvidimo, da je Hallova napetost inverzno proporcionalna koncentraciji prostega naboja. Zato so zarealizacijo Hallovega senzorja bolj primerni polprevodniški materiali. Običajno so nosilci nabojaelektroni, tedaj dobimo polariteto Hallove napetosti kot je prikazano na skici. Če pa jepolprevodnik tipa p, v njem prevajajo vrzeli (pomanjkanje elektronov), kar se odraža v spremembipredznaka Hallove napetosti. Hallov senzor je realiziran s polprevodniško tehnologijo, ki omogočaminiaturizacijo in natančno določitev dopiranja (dodajanja primesi) polprevodnika, točk zajemanapetosti, v modernejši izvedbi pa tudi realizacijo z vgrajenim tokovnim virom in ojačevalcemHallove napetosti. http://en.wikipedia.org/wiki/Hall_effect http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/magnetic/hall.html http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw2_ge/kap_2/backbone/r2_1_3.htmlAPLIKACIJA: MERJENJE MAGNETNEGA POLJA S HALLOVIMEFEKTOMEna najpogostejših uporab Hallovega efekta je merjenje gostote magnetnega pretoka. Pri realizacijije pomembno zagotoviti čim bolj natančen tokovni vir, kar dandanes omogoča integracijaHallovega elementa z ostalimi elektronskimi elementi v čipu.Večina tokovnih klešč vsebuje Hallov senzor, najdemo ga v elektronskih kompasih, za merjenjepomikov, rotacije, itd.SLIKA: Čip senzorja s teslametrom. 6/12
  • 60. Gibanje nabojev 7.Primer: Določite Hallovo napetost, če je prečno na d = 0,5 mm debel bakreni trak s tokom 50 Amagnetno polje gostote 2 T. Koncentracija nosilcev naboja je n = 8,4 1028 m-3.Izračun: Velja ρ = Qe ⋅ n = 13, 44 ⋅ 109 C/m3 in zato J I /( wd ) IBU H = Ew = vBw = Bw = Bw = ≅ 15 µV . ρ ρ ρd* DODATNO: merjenje Hallove napetosti na isti strani lističa.Ni nujno, da merimo napetost med nasprotnima točkama traku. Upoštevati moramo, da naboji nepotujejo le pod vplivom magnetne sile, pač pa tudi zaradi vzdolžne električne sile. Vzdolžno polje J I IBje Evzdolž = = . Izraz za prečno silo smo že zapisali in je enak E prečno = , torej bo razmerje σ σ dt ρ dt E prečno σmed prečnim in vzdolžnim poljem = B . V primeru bakra ( σ = 5, 7 ⋅107 S/m ) dobimo Evzdolžno ρrazmerje enako 8,5 10-3 oziroma kot 0,5 stopinj. Enako Hallovo napetost bi izmerili, če bi bilimerilni točki na isti strani vendar zamaknjeni za ta kot.Obstajajo tudi bolj občutljivi merilniki magnetnega polja. Na primer taki, ki delujejo na principuspreminjanja upornosti pri vzpostavitvi magnetnega polja. Senzorji takega tipa se na primeruporabljajo kot tipala v diskih.ODKRITJE IN APLIKACIJA: CIKLOTRONCiklotron je naprava za pospeševanje nabitih delcev s pomočjo magnetnega polja. No, samomagnetno polje ne more biti dovolj, saj delec v magnetnem polju ne pospešuje (razen tega, da imaradialni a konstanten pospešek). Dodaten efekt pospeševanja dosežemo tako, da znotraj rotacijedelec preleti kratko razdaljo v električnem polju, ki delcu doda hitrost in s tem kinetično energijo. mvDelcu se nekoliko poveča tudi radij kroženja R = . Tako se delcu ob vsaki rotaciji nekoliko QBpoveča hitrost, energija in radij kroženja do dokončnega izstopa iz polja. Pomembno je, da se pri 7/12
  • 61. Gibanje nabojev 7. QBkroženju ne spreminja frekvenca kroženja, saj je v = ω R in zato ω = . S to frekvenco deluje tudi mvzbujevalno električno polje.Za večje energije delcev (več kot 50 MeV) ciklotron ni več primeren, saj je potrebno upoštevati, dase hitrost delca približuje hitrosti svetlobe in se ne povečuje več linearno. V namene pospeševanjado večjih energij je potrebno uporabiti npr. sinhrotrone, ki so bistveno večji (radij kilometer ali več)in sproti korigirajo smer delcev z električnim in magnetnim poljem.SLIKA: Levo: Zgradba ciklotrona iz dveh D-jev (nasproti obrnjenih črk D). Desno: največjiciklotron na svetu: TRIUMPH (University of British Calumbia, Kanada) pospeši H- ione doenergije 520 MeV. Je premera 18 m, težek 18 ton, znotraj je polje 0,46 T, delce pa pospešujenapetostni vir 186 kV pri frekvenci 23 MHz (Wikipedia).SLIKA: Levo: slika delovanja ciklotrona iz patenta US1948384, avtor Ernest O. Lawrence.Desno: prvi delujoči ciklotron iz University of California. 8/12
  • 62. Gibanje nabojev 7. http://www.lbl.gov/Science-Articles/Archive/early-years.html http://bancroft.berkeley.edu/Exhibits/physics/bigscience02.html http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/articles/kullander/index.html http://en.wikipedia.org/wiki/CyclotronAPLIKACIJA: MASNI SPEKTROGRAFJe naprava, ki s pridom uporablja efekt odklanjanja nabitih delcev v magnetnem polju. Delce zznano hitrostjo usmerimo v področje s homogenim poljem, kjer začnejo krožiti. Na izhodu izpodročja s poljem je fotografski film ali detektor, ki zazna prilet naboja. Iz znane začetne hitrosti inpolmera poti delca lahko določimo maso delca in s tem sam delec.Primer: Ion z nabojem 1,6 10-19 C in maso 5,2 10-20 kg pospešimo v električnem polju spotencialno razliko 1 kV, nakar vstopi v področje homogenega magnetnega polja 80 mT, ki jeprečno na smer leta iona. Na kolikšni razdalji od vhodne točke v polje delec prileti v zaslon, če jezaslon od vstopne točke oddaljen za 25 cm?Izračun: Hitrost delca pri vstopu v polje določimo iz izenačenja kinetične in potencialne energijemv 2 2QU = QU , od koder je hitrost delca ob vstopu v polje enaka v = ≅ 78,44 m/s , radij kroženja 2 m mvpa R = ≅ 319 m . Ker velja l = R ⋅ sin θ ⇒ θ = 44,9 ⋅ 10−3 o in y = R − R cos(θ ) ≅ 98 µm QBSLIKA: Odklanjanje v polju.* DODATNO: RELATIVISTIČEN POGLED NA GIBANJE DELCEVSpoznali smo, da lahko gibanje nabojev opišemo z Lorentzovo silo F = QE + Qv × B . Problemrazumevanja te sile lahko nastane, če na ta zapis gledamo iz različnih prostorov – koordinatnihsistemov. Lorentz se je s temi vprašanji ubadal in prišel zelo blizu teoriji, ki je dandanes poznana 9/12
  • 63. Gibanje nabojev 7.kot teorija relativnosti. Einstein pa jo je opisal v svojem znamenitem delu iz leta 1905 z naslovom»O elektrodinamiki telesa v gibanju«. Govori o tem, da mora veljati relativistična invariantnostvsake teorije. Tudi elektromagnetne. Torej morajo veljati enaki zakoni v kakršnem kolikoordinatnem sistemu. S klasičnim razumevanjem Lorentzove sile tako lahko pridemo v težave vprimeru, ko se tudi koordinatni sistem premika z enako hitrostjo kot naboj. Običajno je lažjerazmišljati na način, da se opazovalec (mi) giblje obenem z nabojem. Glede na opazovalca nabojmiruje in nanj ne more delovati magnetna sila, saj je zanjo potrebno, da se delec giblje. Zazunanjega opazovalca, recimo mu O2, ki pa se ne giblje in vidi gibanje naboja in prvegaopazovalca (O1), pa na naboj deluje sila. Ker ne more biti, da v enem primer na naboj deluje sila, vdrugem pa ne (zahteva po invariantnosti) je rešitev v t.i. Lorentzovi transofrmaciji, ki upoštevagibanje različnih koordinatnih sistemov. V konkretnem primeru lahko zaplet rešimo tako, dapremikajoči opazovalec tudi opazi silo na naboj, ki pa ne bo magnetna temveč električna. Enaka bovB , kjer je v (skupna) hitrost gibanja. Iz tega vidimo, da sta električno in magnetno poljeneposredno povezana. Kaj pa, če se koordinatni sistem giblje z drugo hitrostjo, recimo u, delec pa s ,, ,, ,,hitrostjo v. Tedaj lahko pišemo F = QE + Q(v − u ) × B . Z enakim razmislekom kot prej dobimoF ,, = QuB + Q(v − u )( B) = QvB . Zopet enak rezultat in potrditev invariantnosti. Torej opazovalec,ki se giblje z različno hitrostjo kot delec»vidi« dve polji, tako električno kot magnetno, ki pa sedelno med sabo izničita in rezultirata v enaki obliki kot prej. (povzeto po I Galili, D. Kaplan:»Changing approach to teaching electromagnetism in a conceptually oriented introductory physicscourse«, Am.J.Phys 65 (7), July 1997.)ODKRITJE: Kvantni Hallov efekt.Leta 1980 je nemški fizik Klaus von Klitzing odkril (Nobelova nagrada za leto 1985), da seHallova upornost ne spreminja zvezno s spremembo magnetnega polja pač pa skokovito in da tiskoki nastopajo pri upornostih, ki niso odvisne od lastnosti materialov pač pa od določenekombinacije osnovnih fizikalnih konstant deljenih s celim številom. Ugotovil je torej, da je tudiupornost kvantizirana. Pri teh upornostih »običajna« Ohmska upornost izostane in material postane Qe2superprevoden. Hallova prevodnost je s kvantnim Hallovim efektom določena z enačbo σ = n , hkjer je n celo število, Qe naboj elektrona in h Plankova konstanta (6,626 10-34 J s) in je izredno hnatančno določena, tako, da je tudi sprejeta kot merilo za upornost ( je približno 25 812,8 Qe2ohmov, http://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_quantum_Hall_effect). 10/12
  • 64. Gibanje nabojev 7.SLIKA: Skokovito spreminjanje upornosti z magnetnim poljem.(http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1998/press.html, K. von Klitzing, G. Dorda,and M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494, 1980).PPT PRIKAZ: CIKLOTRONI, SIHHROTRONI IN MASNI SPEKTROGRAFIPPT PRIKAZ: HALLOV EFEKT IN UPORABA TER DRUGI EFEKTI (GMR, ...) POVZETEK: 1) Sila na naboj v električnem polju je F e = QE . Gibanje delca določa enačba ma = QE . Gibanje je pospešeno, v smeri polja, delcu se povečuje kinetična, zmanjšuje pa potencialna mv 2 energija. Kinetična energija je , potencialna pa QV . 2 2) Sila na naboj v magnetnem polju je F m = Qv × B . Sila deluje le na gibajoč naboj, usmerjena pa je pravokotno na ravnino, ki jo določata vektorja hitrosti in polja. Naboj v magnetnem mv polju rotira, polmer rotacije v homogenem polju je R = . Smer rotacije je odvisna od QB predznaka naboja. Hitrost naboja ostaja pri rotaciji ista, zato se mu ne spreminja kinetična energija. 3) V električnem in magnetnem polju je potrebno upoštevati obe sili, dobimo F = QE + Qv × B . Ta zapis imenujemo Lorentzova sila. 11/12
  • 65. Gibanje nabojev 7. Primeri kolokvijskih in izpitnih nalog: 1. kolokvij, 11. april 2005 1. kolokvij , 17.4.2002 1. kolokvij, 4. maj 2006 1. kolokvij, 3. maj 2004 1. kolokvij , 17.4.2002 izpit, 19. januar 2006 izpit, 8. aprila 2002 izpit, 29. januar 2007 Izpit, 20. aprila 2005 12/12
  • 66. Magnetne lastnosti snovi 8. MAGNETNE LASTNOSTI SNOVIEquation Section 8Vsebina poglavja: vektor magnetizacije, magnetni naboj?, zveza med vektorjem magnetizacijein tokom, magnetna poljska jakost in razširjen Amperov zakon, zveza med B, H in M, magnetnasusceptibilnost, relativna permeabilnost, zveza med B in H, magnetna napetost, magnetnipotencial, mejni pogoji magnetnega polja.Vemo, da trajni (permanentni) magnet v svoji okolici povzroča magnetno polje. Kot smo žeugotavljali, splošno velja Gaussov zakon za magnetno polje, ki »govori« o brezizvornostimagnetnega polja. Od kod torej trajnim magnetom lastnost, da povzročajo magnetno polje?Že Ampere je razrešil to vprašanje s trditvijo, da morajo obstajati nekakšni tokovi v snovi, kito polje povzročajo. Spoznanja moderne fizike so pokazala, da kroženje elektronov okolijedra atoma pa tudi lastno vrtenje elektrona okoli svoje osi določajo magnetne lastnosti snovi.Kroženje elektrona okoli lastne osi opišemo s spinom elektrona. Spin elektrona je v osnovipojav, ki ga je mogoče razložiti le z upoštevanjem kvantne fizike, pri čemer se izkaže, daelektron poseduje kotni moment, ki ga je mogoče povezati z magnetnim dipolnim momentom m = IA . Vsi atomi imajo določene magnetne lastnosti, vendar velika večina zelo šibke, saj semagnetno polje magnetnih momentov posameznih elektronov zaradi njihovega naključnegagibanja izničuje. Snovi s takimi lastnostmi imenujemo diamagnetiki. Obstajajo pa določeniatomi, v katerih se magnetni momenti ne izničujejo in povzročajo izrazito magnetno polje vsvoji okolici. Materiale s takimi lastnostmi imenujemo feromagnetiki (po železu, latinskoFerrum). Ti lahko tvorijo trajne magnete, ki si jih lahko predstavljamo kot skupek velikegaštevila majhnih enako usmerjenih magnetkov. Te magnetke pa lahko opišemo z njihovimimagnetnimi dipolnimi momenti (tokovnimi zankicami), ki v svoji okolici povzročajomagnetno polje, ki je vsota polj posameznih zankic.SLIKA: Trajni magnet (S in N), razdeljen na vrsto majhnih magnetov, ki jih opišemo zmnožico tokovnih zankic. 1/16
  • 67. Magnetne lastnosti snovi 8.Vektor magnetizacije. Prehod iz mikroskopskega v makroskopsko obravnavo magnetnegapolja trajnih magnetov omogoča definiranje vektorja magnetizacije. Ta je definiran kotpovprečje magnetnih dipolnih momentov na enoto volumna: M = lim ∑m , (8.1) ∆V →0 ∆Vkjer je ∆v makroskopsko majhen volumen (ki še vedno vsebuje milijone atomov oziromamagnetnih momentov). Trajni magnet lahko torej namesto z upoštevanjem velikega števila(atomskih - mikroskopskih) magnetnih momentov obravnavamo z (makroskopskim)vektorjem magnetizacije. Ta način obravnave je zelo podoben načinu obravnave električnihlastnosti snovi z vpeljavo vektorja polarizacije P. Enota vektorja magnetizacije je A ⋅ m2   A  3  = . m  mSLIKA: Vektor magnetizacije kot (volumska) gostota magnetnih dipolnih momentov.Primer: Magnet v obliki cilindrične palice premera 1 cm in dolžine 5 cm ima enakomernomagnetizacijo M = 5,3 103 A/m. Kolikšen je magnetni dipolni moment celotne palice?Izračun: Uporabimo enačbo (8.1) in pišemo m = M ⋅ V = M ⋅ π r 2 L = 2, 08 ⋅10−2 Am.Magnetni naboj1. Zgodovinsko gledano je bil za razlago trajnih magnetov, še bolj pa zaizračun polja, dolgo v uporabi koncept magnetnega naboja, pač analogno električnemunaboju. Kljub temu, da se zavedamo, da magnetnega naboja v naravi ni, ga lahko definiramov smislu analogije z električnim nabojem. Obravnavamo ga s površinsko gostoto magnetneganaboja σ m , ki je lahko pozitiven (na N strani magneta) ali negativen (na S strani). Celotnimagnetni naboj na N površini je tako Qm = σ m ⋅ A . Če ta naboj primerjamo z vektorjemmagnetizacije, ugotovimo, da velja σ m = − M ⊥ , kjer je M ⊥ komponenta vektorjamagnetizacije, ki je pravokotna na površino (normalna komponenta), torej σ m = en ⋅ M .1 Kljub temu, da je koncept magnetnega naboja napačen v smislu njenega neobstoja, se v določenih primerih ševedno uporablja (tako v študijski literaturi (npr. W. Saslow: Electricity, magnetism and light, Thomson Learning2002), kot v praksi). 2/16
  • 68. Magnetne lastnosti snovi 8.Magnetni naboj »nastopa« torej le na mestih, kjer je vektor magnetizacije pravokoten napovršino. Analogija z elektrostatiko je neposredna: Električna sila na električni naboj jeF e = Qe ⋅ E , magnetna sila na »magnetni naboj« pa je F m = Qm ⋅ B . Silo med dvema dolgimapaličastima magnetoma razmaknjenima za razdaljo r (ki je dosti manjši od dolžine) lahko vtem smislu ocenimo kar kot silo med dvema »točkastima« magnetnima nabojema (če µ0Qm 2upoštevamo le bližnja »pola«): Fm = . 4πr 2SLIKA: Vpliv magnetizacije lahko upoštevamo z vpeljavo (fiktivnega) magnetneganaboja, na N strani magneta s pozitivno gostoto magnetnega naboja σ m , na S strani pa znegativno.Ker smo uporabili analogijo z električnim nabojem, lahko uporabimo tudi izraze, ki smo jihizpeljali za električno polje v okolici naelektrenih teles za določitev magnetnega polja vokolici magnetiziranih teles. Na primer, magnetno polje tik nad tanko namagnetneno ploščo σ σmlahko določimo analogno električni poljski jakosti naelektrene ravnine E = kot B = µ0 2ε 0 2Primer: Ocenimo magnetno polje tik nad površino trajnega magneta iz Alnica (AlNiCo)dolžine 15 cm, pravokotnega preseka A = 1 cm2 , z magnetizacijo vzdolž daljše osi M = 8,5105 A/m.Izračun: Največji prispevek lahko pričakujemo od prispevka magnetnega naboja na površini,kjer računamo polje. Tu lahko zaradi velike površine glede na točko merjenja (tik nad σmpovršino) uporabimo enačbo za namagnetneno ploščo, torej B = µ0 , kjer je σ m = M in je 2 Mtorej B = µ0 ≅ 0,53 T . Drugi »pol« je dosti bolj oddaljen in njegov prispevek lahko ocenimo 2kot prispevek »točkastega magnetnega naboja«. Ta prispevek bo torej velik µ0Qm µ0 MAB= = ≅ 377 µT . To vrednost je potrebno odšteti od že izračunanega, vidimo pa, da 4π r 2 4π r 2 3/16
  • 69. Magnetne lastnosti snovi 8.je dosti manjši in ga lahko tudi zanemarimo. Naj ponovno povemo, da magnetnih nabojev NI,lahko pa ta koncept izkoristimo za izračun magnetnega polja v okolici magnetov ali sile namagnete.Zveza med magnetizacijo in površinskim tokom. Če primerjamo polje, ki ga v svoji okolicipovzroča trajni magnet in polje ravne tuljave, ugotovimo, da sta ti dve polji navzven enaki. Tonas tudi navede na misel, da lahko polje trajnega magneta prikažemo tudi kot posledicopovršinskega toka oz. tokovne obloge (Km) ali pa kot tuljavo z N ovoji in tokom Im. Preprostezveze to pokažejo na sledeč način m I m ⋅ ∆ A I m N NI m M= = = ⋅ = = Km . (8.2) ∆v ∆ A ⋅ ∆l ∆l N lSLIKA: Trajni magnet s prikazom magnetizacije in tokovnih zankic, katerih vpliv namagnetno polje ohranja le prispevek tokov na površini telesa. V tem smislu lahkoopišemo vpliv magnetizacije s površinskim tokom oz. tokovno oblogo.Primer: Ocenimo velikost magnetnega polja v sredini trajnega magneta v obliki diskapolmera R = 2 cm in debeline l = 5 mm z magnetizacijo M = 5 104 A/m v smeri osi.Uporabimo koncept izračuna s pomočjo opisa magneta s tokovno zanko s površinskim tokom.Izračun: Iz enačbe (8.2) ugotovimo, da je M = K, torej je tok v zanki NI m = Kl = Ml = 250 A . V µ0 I mskladu z enačbo za polje v sredini tokovne zanke velja B = ≅ 7,85 mT . 2RMagnetna poljska jakost (H) in razširjen Amperov zakon.Naredimo preprost eksperiment. Vzemimo zračni toroid za katerega smo že pokazali, da jepolje v sredini ovojev enako µ0 NI B= , (8.3) l 4/16
  • 70. Magnetne lastnosti snovi 8.kjer je l dolžina srednje poti in N število ovojev. Polje lahko izmerimo na primer spostavitvijo Hallove sonde v sredino ovojev. Nato vzamemo toroidno jedro iz feromagnetikain ga ovijemo z enakim številom ovojev. Pri vzbujanju s tokom I ugotovimo povečanje poljav sredini ovojev (v praksi bi morali narediti majhno odprtino (režo) v feromagnetik zavstavitev Hallove sonde)2.SLIKA: Primerjava gostote magnetnega pretoka v zračnem toroidu in toroidu sferomagnetnim jedrom.Amperov zakon, kot smo ga poznali do sedaj, očitno ne bo več primeren za izračun polja vferomagnetiku, saj povečanja polja ne predvidi. Zakon je potrebno spremeniti tako, da boupošteval tudi vplive magnetnih momentov v feromagnetiku. Spremenjena oblika bo ∫ B ⋅ dl = µ N ( I + I L 0 m ), (8.4)kjer smo z NIm označili tok zaradi magnetizacije feromagnetika. Ta tok lahko povežemo zvektorjem magnetizacije, kot smo prikazali z enačbo (8.2). Polje znotraj toroida sferomagnetikom bi torej lahko zapisali kot  NI NI m   NI  B = µ0  +  = µ0  +M . (8.5)  l l   l Enačbo lahko preuredimo tako, da bo na desni strani enačbe le vzbujanje NI B NI −M = . (8.6) µ0 lOčitno bi torej lahko zapisali Amperov zakon v obliki, ki bi imela na desni strani enačbe levzbujanje NI, če bi pisali  B  ∫µ L 0 − M  ⋅ dl = NI .  (8.7)2 Reža v feomagnetiku bo sicer nekoliko zmanjšala velikost polja, kar s poznavanjem vpliva zračne reže lahkopri izračunu upoštevamo. (To bomo kasneje tudi naredili.) Da bi se izognili temu problemu, lahko spremembovelikosti polja v feromagnetiku ugotovimo tudi posredno z vzbujanjem z izmeničnim signalom in merjenjeminducirane napetosti na dodatnem (sekundarnem) navitju na toroidu. Tudi to bomo spoznali v nadaljevanju. 5/16
  • 71. Magnetne lastnosti snovi 8.Enačba postane zopet podobna prvotnemu zapisu Amperovega zakona, če definiramo novoveličino, magnetno poljsko jakost H kot B H= −M . (8.8) µ0Amperov zakon dobi obliko ∫ H ⋅ dl = NI L . (8.9)V slošnem je potrebno upoštevati, da je integral jakosti magnetnega polja po zaključeni potienak vsoti vseh objetih konduktivnih tokov, kar lahko zapišemo (tokovno polje!) v obliki ∫ H ⋅ dl = ∫ J L A c ⋅dA 3 AMPEROV ZAKON (8.10)L predstavlja zaključeno zanko s površino A. Bistvena razlika med tem zapisom Amperovegazakona in osnovnim (z Bjem) je v tem, da ta ni odvisen od snovi temveč le od vzbujalnihtokov, ki jih zanka zajame. Vpliv snovi pa dobimo s povezavo med B, H in M.Podobno, kot smo modificirali Amperov zakon, lahko modificiramo tudi Biot-Savartov zakonza izračun polja v okolici tokovodnikov, saj preprosto upoštevamo kar H = B µ0 ( ; M =0 : ) Idl × r H =∫ 4πr 3 L (8.11)Zveza med B, H in M.. V primeru, da nas zanima gostota magnetnega pretoka pri uporabiferomagnetikov, lahko najprej izračunamo jakost polja (z Amperovim zakonom ali pa z Biot-Savartovim zakonom za H), nato pa iz enačbe (8.8) še gostoto pretoka. Pri tem enačbo (8.8)običajno zapišemo kot ( B = µ0 H + M ) (8.12)3 Amperov zakon je ena od osnovnih enačb za opis elektromagnetnega polja. V splošni obliki, ki je tudi znanakot prva Maxwellova enačba, je za tok na desni strani enačbe (8.12) potrebno upoštevati vse vrste tokov, kivplivajo na razvoj magnetnega polja (konduktivni in poljski tok) in je v integralni obliki običajno zapisana v ∂Dobliki ∫ H ⋅dl = ∫ J L A c ⋅d A+ ∫ A ∂t ⋅ d A. 6/16
  • 72. Magnetne lastnosti snovi 8.Magnetna poljska jakost ima očitno enako enoto kot vektor magnetizacije, torej A/m in jeneposredno povezana s tokovnim vzbujanjem.Primer: Skicirajmo polje znotraj in v okolici trajnega magneta cilindrične oblike zmagnetizacijo v smeri osi. Vpliv magnetizacije upoštevajmo kot vpliv tokovne obloge, torejpolje določimo kot polje v okolici ravne tuljave (solenoida).1) Gostota magnetnega pretoka (magnetno polje) ima enako obliko kot polje solenoida.2) Zunaj magneta magnetizacije ni M = 0, torej je v skladu z enačbo (8.12) jakost B magnetnega polja H = in ima enako smer kot gostota magnetnega pretoka. µ03) Jakost magnetnega polja znotraj magneta je usmerjena v nasprotni smeri kot je vektor magnetizacije. To sledi iz razširjenega Amperovega zakona, saj ker ni zunanjega tokovnega vira velja ∫ H ⋅ d l = 0 , torej mora biti določen del H-ja v smeri poti usmerjen L v drugo smer, da bo celotni integral po zaključeni (poljubni) poti enak nič.4) Poleg tega, da je H znotraj magneta v nasprotni smeri, kot je M (in tudi B), je tudi smer drugačna kot smer M-a in B-ja, saj mora veljati H = B − M , pri čemer sta znotraj µ0 magneta B in M drugače usmerjena (razen na osi).SLIKA: Prikaz gostote magnetnega pretoka v okolici tuljave (levo) in trajnega magneta(desno). Trajni magnet ima homogeno magnetizacijo v smeri v desno. 7/16
  • 73. Magnetne lastnosti snovi 8.SLIKA: Prikaz jakost magnetnega polja v okolici tuljave (levo) in trajnega magneta(desno). Trajni magnet ima homogeno magnetizacijo v smeri v desno.Magnetna susceptibilnost in relativna permeabilnost. Velikost magnetizacije je odvisna odvelikost tokovnega vzbujanja. Običajno velja, da večanje vzbujanja povečuje magnetozacijo,saj se usmerjenost magnetnih dipolov z večanjem vzbujanja vedno bolj orientira v smervzbujalnega polja. To zvezo opišemo kot M = χm H 4 , (8.13)kjer χm imenujemo magnetna susceptibilnost, ki je mera za dovzetnost materiala zamagnetizacijo pri vzpostavitvi magnetnega polja. Z upoštevanjem te zveze v enačbi (8.12),dobimo B = µ0 ( H + χ m H ) = µ0 (1 + χ m ) H = µ0 µr H , (8.14)kjer µr imenujemo relativna permeabilnost in je brez enote. V skladu z enačbo (8.14)določimo µr iz zveze med Hjem in Bjem B µr = . (8.15) µ0 HSLIKA: Linearna in nelinearna B/H karakteristika.4 Ta zveza je lahko tudi bolj kompleksna, saj se lahko material različno magnetizira v različnih smereh privzpostavitvi magnetnega polja. V takem primeru je potrebno susceptibilnost zapisati kot tenzor (v oblikimatrike), kar seveda še dodatno zaplete analizo magnetnih materialov. V tem primeru rečemo,da ima materializotropne lastnosti, sicer pa anizotropne. 8/16
  • 74. Magnetne lastnosti snovi 8.Za določen material torej iz poznanega vzbujanja (Hja) in izmerjenega polja (Bja) določimorelativno permeabilnost. Za feromagnetne materiale se izkaže, da ni linearna in je torejfunkcija vzbujanja µr = µ r ( H ) . Pa ne le to, izkaže se, da se relativna permeabilnost poizključitvi vzbujanja spreminja drugače, kot pri vključitvi. Tej lastnosti rečemo histereza inbistveno vpliva na uporabo magnetnih materialov v elektrotehniki.Zveza med B in H. Enačbo (8.14) običajno pišemo kar v obliki B = µH , (8.16)kjer je µ = µr µ0 .Analogija z elektrostatiko. Vsekakor je mogoče najti analogijo z elektrostatiko, kjer smoelektrične lastnosti materialov opisali z električno susceptibilnostjo ali relativnodielektričnostjo ter zvezo med gostoto električnega pretoka in električno poljsko jakostjoD = ε r ε 0 E = ε E . Pri tem velja omeniti, da v smislu osnovnih veličin (tiste, ki so neposrednopovezane s pojmom sile) v magnetiki nastopa gostota magnetnega pretoka B, v elektrostatikipa električna poljska jakost E. Gostota električnega pretoka D in magnetna poljska jakost Hpa sta uvedeni predvsem v smislu lažje obravnave električnega in magnetnega polja v snoveh.Primer: V toroidnem feromagnetnem jedru srednje dolžine 12 cm s 150 ovoji in tokom 1,2 Aje vzdolž srednje dolžine gostota magnetnega pretoka 1,22 T. Kolikšna je jakost magnetnegapolja, magnetizacija, relativna permeabilnost in magnetna susceptibilnost?Izračun: NIH= = 1500 A/m, l BM= − H ≅ 9, 69 ⋅ 105 A/m, . µ0 Bµr = ≅ 647, χ = µr − 1 ≅ 646 µ0 H 9/16
  • 75. Magnetne lastnosti snovi 8.Magnetna napetost. V enačbi (8.9) nastopa tok pomnožen s številom ovojev kot vzbujanje(vir) magnetnega polja. Zato ga pogosto imenujemo tudi magnetna napetost Θ = NI inenačbo (8.9) zapišemo kot ∫ H ⋅ dl = Θ L ali v obratnem vrstnem redu kot Θ= ∫ H ⋅ dl . (8.17) LMagnetna napetost je pomemben koncept pri analizi magnetnih sestavov iz feromagnetnihmaterialov in navitij, ki jih lahko obravnavamo kot magnetna vezja. Tam magnetna napetostpredstavlja analogijo z električno napetostjo, le da se je potrebno zavedati, da je to v bistvuvzbujalni tok pomnožen s številom ovojev. Njegova enota je torej A(mpere), pogosto rečemotudi Amperski ovoji.Primer: Določimo magnetno napetost iz prejšnjega primera. Izračun: Θ = NI = 180 Aov. .Magnetni potencial5. Če obstaja magnetna napetost, ali obstaja tudi magnetni potencial?Obstaja, oziroma, lahko ga definiramo, vendar z eno omejitvijo. Za električni potencial je velektrostatiki veljalo, da je integral električne poljske jakosti po zaključeni poti enak nič, vmagnetostatiki pa to ne velja, saj je integral jakosti magnetnega polja po zaključeni poti enakmagnetni napetosti, oziroma toku, ki ga zanka oklene. Torej ima smisel definirati magnetnipotencial le tedaj, ko ga ne računamo po zaključeni poti. V tem primeru bo magnetna napetost T2med točkama T1 in T2 določena kot Vm (T1 ) − Vm (T2 ) = ∫ H ⋅ dl . Če si v točki T2 izberemo T1magnetni potencial enak nič, lahko magnetni potencial v točki T1 zapišemo kot T2 (Vm = 0) Vm (T1 ) = ∫ T1 H ⋅dl . (8.18)Ko bomo obravnavali magnetna vezja bomo torej lahko govorili o tem, da imamo vzdolžzaključene poti po jedru delne padce napetosti, ki so posledica magnetnih upornosti5 Bolj natančno rečemo magnetnemu potencialu, ki ga opisuje enačba (8.18) skalarnimagnetni potencial, saj poznamo tudi vektorski magnetni potencial. Že ime samo pove, daje slednji definiran kot vektor (običajno zapisan s simbolom A) in ima v teorijielektromagnetike pomembno vlogo, ga pa v okviru tega predmeta zaradi dodatne zahtevnostine obravnavamo. 10/16
  • 76. Magnetne lastnosti snovi 8.materialov. Ker pa bomo računali po zaključeni poti, bo vsota padcev magnetnih napetostienaka magnetnim vzbujanjem, določenim s tokovi v navitjih okoli jedra.Mejni pogoji magnetnega poljaZanima nas, kako se spremeni magnetno polje pri prehodu iz ene snovi v drugo. Ti snovimorata seveda imeti različne magnetne lastnosti, ki jih opišemo z njunima relativnimapermeabilnostima. Vzemimo dve snovi (prostora) s permeabilnostima µ1 in µ2 in poljemaB1 in B 2 , ki sta tik ob skupni meji (SKICA). Mejne pogoje lahko določimo zupoštevanjem dveh splošno veljavnih zakonov: o brezizvornosti magnetnega polja (Gaussovzakon za magnetiko) ∫ B⋅dA = 0 A in o vrtinčnosti magnetnega polja (Amperov zakon)∫ H ⋅ dl = ∫ J ⋅ d A .L A Če si zamislimo mali volumen, ki sega v obe snovi in obravnavamoGaussov zakon v limiti, ko stiskamo volumen proti mejam obeh snovi, ugotovimo, da se morafluks skozi mejno površino ohranjati, oziroma, da mora veljati Bn 2 ⋅ A = Bn1 ⋅ A , kjer staBn1 in Bn 2 komponenti polja na meji snovi z indeksom 1 in 2, ki sta v smeri (iste) normalena površino. Torej mora veljati Bn 2 = Bn1. (8.19) ( )V vektorski obliki pa enačbo (8.19) zapišemo kot e n ⋅ B 2 − B1 = 0 .SLIKA: Skica dveh snovi in meje, fluks skozi mali volumen pri stiskanju v smeri meje.stranski fluksi se izničijo, normalni se ohrani. 11/16
  • 77. Magnetne lastnosti snovi 8.Ugotovili smo torej, da morata normalni komponenti gostote magnetnega pretoka ostatinespremenjeni. Ali velja to tudi za tangencialni komponenti? To obravnavajmo najprej vprimeru, ko na meji ni površinskih tokov. V tem primeru si zamislimo pravokotno zankico, kivsebuje polje obeh snovi. Upoštevamo Amperov zakon, ko zanko stiskamo v smeri meje.Magnetne napetosti na stranicah s procesom stiskanja zanke (v limiti) izzvenijo, vzdolžne pase izenačijo, oziroma H t 2 ⋅ l − H t1 ⋅ l = 0 , kar tudi pomeni, da se ohranjata tangencialnikomponenti jakosti polja: H t 2 = H t1 . (8.20)SLIKA: Zanka, ki oklepa tako snov 1 kot 2 s smerjo integracije, tangencialnega H-ja inlimitiranje v smeri meje.Kako torej dobimo še tangencialni komponenti gostote magnetnega pretoka? Preprosto, z Bupoštevanjem H = (iz enačbe (8.14)) velja µ Bt 2 Bt1 = . (8.21) µ2 µ1Če sedaj upoštevamo še možnost, da po površini med snovema teče površinski tok (tokovnaobloga označena s simbolom K), moremo ugotoviti, da mora biti razlika tangencialnihmagnetnih jakosti ravno enaka gostoti toka po površini (tokovni oblogi K) :H t 2 ⋅ l − H t1 ⋅ l = ± K . Gre za K, ki je pravokoten na smer tangencialnih komponent H-ja, pa šesmer (predznak) K-ja je pomembna. V tem smislu je ta pogoj najbolje zapisati kar z uporabovektorskega produkta kot ( en × H 2 − H 1 = K , ) (8.22)pri čemer je pomembna tudi smer normale, ki je definirana od snovi z indeksom 1 v snov zindeksom 2. 12/16
  • 78. Magnetne lastnosti snovi 8.Primer: Ht1 = 0, Ht2 = 10 A/m. Skicirajmo smer in velikost tokovne obloge.Rešitev: K = Ht2 = 10 A/m, smer pa je pravokotna na Ht2 in sicer tako, da v prvem medijuustvari polje, ki je nasprotno usmerjeno kot Ht2, saj se morata vpliva H-ja v drugem mediju intokovne obloge izničiti.Primer: V zraku je homogeno polje 1,5 mT, ki je usmerjeno pod kotom 300 na normalo napovršino feromagnetika z relativno permeabilnostjo 1200. Kolikšna je gostota magnetnegapretoka v feromagnetiku in pod kakšnim kotom je glede na normalo? NARIŠI SLIKO.SLIKA:Izračun: Normalna komponenta polja se ohranja in je torej enaka (glej (8.19))Bn 2 = Bn1 = B1 ⋅ cos(300 ) = 1,3mT . Tangencialna komponenta pa se »ojača« za razmerje µ2 µpermeabilnosti (glej (8.21)): Bt 2 = ⋅ Bt1 = 2 ⋅ B1 ⋅ sin(300 ) = 0,9 T . V feromagnetiku je torej µ1 µ1polje precej »ojačano« glede na zunanjost. Normalna komponenta polja ne prispeva skoraj ničk skupnemu polju v notranjosti: B2 = Bn 2 + Bt 2 = 0,9T . Zanimivo je pogledati še smer polja B v feromagnetiku. Glede na normalo bo ta kot enak α = Arc tan  t 2  = 98,90 , torej skoraj  Bn 2 enak 900. To je pomemben rezultat, saj kaže, da čim magnetno polje vstopi v feromagnetik, senjegova pot popolnoma spremeni in usmeri praktično vzdolž njegove oblike. 13/16
  • 79. Magnetne lastnosti snovi 8.SLIKA: Magnetno polje v okolici tuljave(puščice in barve) z vloženimferomagnetnim materialom. Polje znotrajferomagnetika se izrazito poveča v skladu zmejnimi pogoji. Predvsem se povečatangencialna komponenta (v razmerjupermeabilnosti), kar ima tudi za posledicoprevladujočo usmerjenost fluksa v smerivzdolž feromagnetika. (simulacija sprogramom Comsol Multiphysics)SLIKA: Polje podkvastegamagneta. Ravna dela imatatrajno magnetizacijo,ukrivljen del je izferomagnetnega materiala.(simulacija s programomComsol Multiphysics) 14/16
  • 80. Magnetne lastnosti snovi 8.POVZETEK: 1. Magnetne lastnosti snovi so posledica rotacije elektronov okoli jedra in spina elektronov v atomih. Te rotacije lahko opišemo kot majhne tokovne zanke, te pa z magnetnim dipolnim momentom. Na te deluje magnetna sila oz. navor, ki jih poskuša zavrteti v smer polja. 2. Vpliv velikega števila usmerjenih magnetnih dipolnih momentov na celotno magnetno polje modeliramo z vpeljavo vektorja magnetizacije, ki predstavlja (volumsko) gostoto magnetnih dipolnih momentov. 3. Magnetno polje se poveča, če vanj vnesemo feromagnetni material, kar je posledica usmerjanja magnetnih dipolnim momentov v feromagnetiku v smer polja. To povečanje polja zapis Amperovega zakona v obliki ∫ B ⋅ dl = µ NI ne predvidi, ker ne L 0 upošteva dodatnih tokov magnetizacije. V ta namen smo modificirali Amperov zakon v obliko ∫ H ⋅ dl = NI , kjer je H magnetna poljska jakost (v A/m). Bolj splošen zapis L je ∫ H ⋅ dl = ∫ J L A c ⋅ d A , kjer desna stran predstavlja zaobjeti konduktivni (vzbujalni) tok. Prednost tega zapisa Amperovega zakona je v tem, da je H neodvisnen od prisotnosti magnetnih materialov. ( ) 4. Zveza med B in H je B = µ0 H + M . Med vzbujanjem H in magnetizacijo M vpeljemo zvezo M = χ m H , kjer je χ m magnetna susceptibilnost, ki je snovna lastnost.. Sledi zveza B = µ0 ( H + χ m H ) = µ0 (1 + χ m ) H = µ0 µr H = µ H , kjer µr imenujemo relativna permeabilnost. Za feromagnetike je zveza med B in H nelinearna. 5. Analogno električni napetosti lahko definiramo magnetno napetost, ki pa po zaključeni poti ni enaka nič pač pa zaobjetemu vzbujalnemu toku Θ = ∫ H ⋅ dl . Enota je torej L A(mpere), včasih zapišemo tudi kot »amperske ovoje« Aov.. O magnetnem potencialu lahko govorimo le v primeru nezaključene poti. 6. Na meji dveh magnetnih snovi se ohranja normalna komponenta gostote magnetnega pretoka Bn 2 = Bn1 in v primeru, da na meji ni površinskega toka tudi tangencialna komponenta magnetne poljske jakosti H t 2 = H t1 . V primeru, ko je na površini tok (ki ga opišemo s tokovno oblogo K), je razlika tangencialnih komponent enaka temu toku, ki pa je usmerjen prečno na tangencialno komponento. 15/16
  • 81. Magnetne lastnosti snovi 8.PRIMERI MAGNETNIH MATERIALOV (POKAŽI) 1. RLS prečno magnetiziran magnet za dajalnike kota (NeFeB) 2. Iskra magneti: Prečno magnetiziran magnet za majhne motorčke (AlNiCo) 3. Iskra magneti: Močan magnet za magnetne zavore 4. Magnet za pritrditev mobitela (NS NS magnetizacija), problem pritrditve 5. NSNSNS magneti za otroke 6. Iskra Feriti: Feritni lončki 7. Iskra Feriti: Nikelj (surovina) Primeri kolokvijskih in izpitnih nalog: Mejni pogoji: 1. kolokvij, 13. april 2006 1. kolokvij 19.04.2001 Izpit, 28. avgust 2006 Izpit 28. 01. 2005 Izpit, 18. 09. 2003 izpit, 6. februar 2003 Izpit, 17. 01. 2002 16/16
  • 82. Magnetni materiali 9. MAGNETNI MATERIALI, HISTEREZNA ZANKA IN RAČUNANJE MAGNETNIH STRUKTUREquation Section 9 Vsebina poglavja: magnetni materiali (diamagnetiki, paramagnetiki, antiferimagnetiki,ferimagnetiki, superparamagnetiki, feromagnetiki), krivulja magnetenja, histerezna zanka,razmagnetenje, računanje magnetnih struktur.Kot smo že omenili, imajo vsi materiali določene magnetne lastnosti, le da so močno izraženele pri zelo redkih. Glede na obnašanje snovi v magnetnem polju jih delimo na diamagnetike,paramagnetike, feromagnetike, antiferomagnetike, ferimagnetike in superparamagnetike.Diamagnetiki izkazujejo izredno šibke magnetne lastnosti. Magnetni dipolni momentikroženja elektronov in njihovega spina se v taki snovi kompenzirajo. Se pa pod vplivomzunanjega magnetnega polja nekoliko celo zmanjša magnetno polje v notranjosti, ker je vplivzunanjega polja na spin elektronov nekoliko močnejši kot na orbitalni moment. Te snoviimajo negativno magnetno susceptibilnost oziroma relativno permeabilnost, ki je malo manjšaod 1. Primeri takih snovi so Cu (relativna permeabilnost 0,999983), Au, Ag, Hg, H2O(0,999991), itd. Če diamagnetik postavimo v bližino močnega trajnega magneta, bo mednjima odbojna sila (neodvisno od pola magneta). To je odkril že Michael Faraday leta 1846 naprimeru bizmuta (0,99983).SLIKA: M kaže v nasprotni smeri kot vzbujanje. Diamagnetik se odbija od trajnegamagneta: sila je v smeri manjše gostote polja.Paramagnetiki so snovi, v katerih ni ravnotežja med magnetnimi dipolnimi momenti zaradikroženja elektronov in spina. Vsak atom izkazuje rezultančni magnetni dipolni moment, ki pase zaradi neurejenosti strukture kompenzirajo. Se pa s postavitvijo take snovi v magnetno 1/13
  • 83. Magnetni materiali 9.polje v določeni meri magnetno polje v notranjosti nekoliko poveča (usmerijo se magnetnidipoli) v smeri zunanjega polja. Take snovi so npr. aluminij (1,00002), platina, mangan, kisik,zrak (1,0000004).V smislu upoštevanja magnetnih lastnosti dia- in paramagnetikov bi lahko zaključili, da jenjihova susceptibilnost v praksi najpogostelje zanemarljiva.SLIKA: Magnetizacija kaže v smeri vzbujalnega polja. Sila na paramagnetik v polju jev smeri večje gostote polja.SLIKA: B(H) magnetilna krivulja za vakuum, diamagnetike in paramagnetike.Antiferimagnetiki so snovi, v katerih se magnetni momenti sosednjih atomov usmerijo vnasprotni smeri, zato je skupen magnetni moment teh snovi pri vzpostavitvi zunanjega poljaenak nič.Ferimagnetiki imajo tudi nasprotno usmerjenemagnetne momente, vendar njihova vrednost nienaka nič. Še vedno pa ni ta efekt tako izrazit kotpri feromagnetikih. So pa določeni ferimagnetiki, kijih imenujemo feriti izredno pomembni velektrotehniki, saj je v nasprotju z feromagnetiki 2/13
  • 84. Magnetni materiali 9.njihova električna prevodnost zelo majhna, kar s pridom izkoriščamo tam, kjer bi sicer imelivelike izgube zaradi ohmskih tokov (vrtinčni toki) pri višjih frekvencah. Srečamo ga tudi vnaravi, kot magnetit (železov oksid Fe3O4).Superparamagnetiki so feromagnetiki, ki so vmešani v dielektričen material. Uporabljajo senpr. za audio in video trakove.Feromagnetiki. V feromagnetikih ima vsakatom relativno velik magnetni dipolnimoment. Le ta je posledica neuravnoteženihmomentov spinov elektronov, kar se daprikazati z uporabo spoznanj kvantne fizike.Tipični predstavnik feromagnetikov so železo(5000), nikel (600) in kobalt (250), ki so v periodičnem sistemu na mestih 26, 27 in 28. Polegizraženih dipolnih momentov na nivoju atoma, se ti atomi v kristalni strukturi grupirajo vobmočja, ki jim pravimo magnetne domene, znotraj katerih so momenti orientirani, navzvenpa so domene neurejene in zato tudi magnetno polje ni izrazito. Lahko pa se pod vplivomzunanjega polja magnetni momenti v domenah usmerijo v smer zunanjega polja. Procesorientiranja se odvija po fazah, tako, da se najprej nekoliko povečajo domene, katerih stenetvorijo majhen kot glede na zunanje polje. Pri taki reorientaciji je polje reverzibilno: čeizklopimo zunanje polje, se domene vrnejo v prvoten položaj. Če se zunanje polje še dodatnopoveča, se začnejo obračati celotne domene. Če potem izklopimo zunanje polje, se domene nevrnejo več v začetno stanje, temveč ostanejo delno orientirane. Če pa zunanje polje šepovečujemo, prihaja do nasičenja, ko so praktično že vsi dipolni momenti domen usmerjeni vsmer polja. Povečevanje polja s strani feromagnetika ni več mogoče. Gostota magnetnegapretoka sicer še naprej narašča vendar le kot posledica povečevanja vzbujanja. Relativnapermeabilnost se ob približevanju nasičenja zmanjšuje in približuje vrednosti 1 (feromagnetikse obnaša kot zrak).SLIKA: Primer zgradbe feromagnetnega materiala z domenami in magnetnimidipolnimi momenti. Prikaz usmerjanja dipolov pred magnetizacijo in ob nasičenju. 3/13
  • 85. Magnetni materiali 9.Krivulja magnetenja. Zanima nas, kako semagnetizacija spreminja z večanjem vzbujalnegostote magnetnega pretoka. Namestoopazovanja M(B), je bolj običajno, da zunanjevzbujanje opišemo z jakostjo magnetnegapolja H, rezultat magnetenja pa opazujemo znaraščanjem gostote magnetnega pretoka B.Dobimo torej B(H) krivuljo, ki pa priferomagnetikih ni linearna. Na začetku jenaklon manjši, potem največji in pri velikihvzbujanjih zopet manjši (nasičenje). Začetnikrivulji magnetenja rečemo deviška krivulja,ker se ob izklopu zunanjega vzbujanja gostotapretoka ne vrne na nič, pač pa na nekovrednost, ki je različna od nič.SLIKA: Magnetilna krivulja s tipičnimi izrazi: deviška krivulja, nasičenje. Mejareverzibilnega in ireverzibilnega procesa. Prikaz zveze B(H) v vakuumu.Relativne permeabilnost (statična, dinamična, inkrementalna)Z upoštevanjem zveze med Bjem in Hjem je relativna permeabilnost definirana kot B µr,s = . (9.1) µ0 HTo permeabilnost imenujemo tudi statična in je primerna za obravnavo v primerih, ko semagnetilni tok ne spreminja ali pa je take oblike, da jo lahko dobro aproksimiramo s premico.Tej permeabilnosti rečemo tudi statična, saj ni definiran z naklonom krivulje pač pa zrazmerjem med B in H. Zadnji odsek predstavlja nasičenje, kjer relativna permeabilnost 4/13
  • 86. Magnetni materiali 9.postane enaka 1. Pri feromagnetikih so vrednosti relativne permeabilnosti nekaj tisoč do nekajsto tisoč. Vrednost statične relativne permeabilnosti je odvisna od točke računanja in bozaradi nelinarne magnetilne krivulje tudi sama nelinearna. V smislu lažjega računanja jopogosto poenostavimo tako, da lineariziramo magnetilno krivuljo. Tako postane statičnarelativna permeabilnost konstanta. V nasičenju pa ima relativna statična permeabilnostvrednost 1.V določenih primerih (npr. pri vzbujanju z majhnimi izmeničnimi signali) je bolj primernoupoštevati le del krivulje magnetenja pri čemer je bolj smiselno upoštevati naklon na krivuljov določeni (delovni) točki. Tako dobimo dinamično relativno permeabilnost, ki je definirana 1 dBkot µr,d = . µ 0 dHSLIKA: Prikaz statične relativne permeabilnosti kot razmerje med B in µ0H v točki.Krivulja ima določen maksimum in pade v nasičenju na vrednost 1.Če imamo opravka z izmeničnim signalom, ki je superponiran na enosmernega, je običajnobolj primerno uporabiti t.i. inkrementalno relativno permeabilnost, ki ni definirana z odvodom ∆Bkrivulje pač pa z diferencami v lokalni histerezni zanki µr,i = . Ta je manjša od µ0 ⋅ ∆ Hdinamične permeabilnosti.Histerezna zanka: Do določenega Bja je proces magnetenja še reverzibilen, ko pa je tavrednost presežena, se pri zmanjševanju vzbujanja B počasneje zmanjšuje kot pripovečevanju. Dobimo histrezno zanko. Ko je vzbujanje izklopljeno, ostane v materialudoločeno polje, ki ga imenujemo remanenčno in označimo z Br. Če smer vzbujanja obrnemo,se zmanjšuje polje in pri določeni vrednosti vzbujanja pade na nič. Tej točki vzbujanja rečemo 5/13
  • 87. Magnetni materiali 9.koercitivna jakost polja in jo označimo s Hc. Pri še povečanem vzbujanju pridemo donasičenja v negativni smeri. Vzbujanje zopet zmanjšujemo do nič in nato do nasičenja, kjer sezačetna in končna krivulja stakneta.SLIKA: Histerezna krivulja s prikazom remanenčne gostote magnetnega pretoka (Br), kiostane v materialu po izklopu vzbujanja in koercitivne jakost polja (Hc), kjer je gostotapretoka enaka nič.Mehkomagnetni in trdomagnetni materiali.Če želimo material uporabiti kot trajni magnet, je primerno uporabiti material, ki ima velikovrednost remanenčne gostote polja. Poleg tega je pomembno tudi, da ga ni lahko razmagnetiti,torej mora imeti veliko tudi koercitivno jakost polja. Najboljši materiali za trajni magnetimajo veliko vrednost produkta Hc in Br. Takim materialom rečemo tudi trdomagnetni.Mehkomagnetni materiali imajo ozko histerezno zanko in veliko permeabilnost. Tipičenmehkomagnetni material je čisto železo. Zelo ozke histerezne zanke imajo tudi feritnimateriali.SLIKA: Primerjava med histerezno zanko mehkomagnetnega materiala intrdomagnetnega materiala.Razmagnetenje. Običajni način razmagnetenja je zmanjševanje izmeničnega polja, pri čemerpa moramo začeti razmagnetenje z amplitudo, pri kateri je material v nasičenju. Določeni 6/13
  • 88. Magnetni materiali 9.materiali so zelo občutljivi na mehanske udarce (so krhki), ki tudi lahko delno spremenijomagnetne lastnosti. Poleg tega vsak material izgubi magnetne lastnosti pri dovolj visokitemperaturi, ki jo imenujemo Curiejeva temperatura. Pri tej temperaturi snov zaradipovečanega termičnega gibanja izgubi magnetne lastnosti. Pri železu je Tc=7700 C.SLIKA: Primer uporabe prečnomagnetiziranega trajnega magneta NeFeB zaaplikacijo dajalnika kota, ki se ga določa zodčitavanjem magnetnega polja. Podsenzorjem se nahaja čip z množico Hallovihelementov in elementi za obdelavo signalov.Čip je bil razvit na Fakulteti zaelektrotehniko v Ljubljani, celotni produktpa trži slovensko podjetje RLS: www.rls.si. 7/13
  • 89. Magnetni materiali 9.RAČUNANJE MAGNETNIH STRUKTURSpoznali smo obliko Amperovega zakona izraženo z jakostjo magnetnega polja H:∫ H ⋅ dl = NI . Ugotovili smo, da je ta oblika zapisa posebno primerna za obravnavo polja vLsnoveh z izraženimi magnetnimi lastnostmi (npr. feromagnetiki). Zveza med gostoto ( )magnetnega pretoka in jakostjo polja je B = µ0 H + M = µr µ0 H = µ H , kjer je zveza lahkopodana v matematični obliki (konstantna permeabilnost ali nelinearna funkcija H-ja) ali pa jepodana grafično – v obliki magnetilne krivulje. Za analizo magnetnih struktur nam služi ravnoAmperov zakon, ki pa ga moramo nekoliko poenostaviti. Namesto v integralni obliki gazapišemo kot vsoto posameznih padcev magnetne napetosti. Tako dobimo obliko N ∑H i =1 i ⋅ li = Θ . (9.2)Desna stran enačbe predstavlja tokovno vzbujanje (lahko je več takih vzbujanj), leva stranenačbe pa so padci magnetne napetosti na posameznih odsekih po zaključeni magnetni poti.Pri tem smo morali narediti določeno poenostavitev in sicer, da je po preseku jedra poljehomogeno in da računamo razdalje li po srednji dolžini gostotnice (po sredini jedra).Poleg zgornjega zapisa, ki spominja na Kirchofov zakon o vsoti napetosti po zaključeni poti,potrebujemo še povezavo med gostotami pretoka v sosednjih odsekih poti. To zvezo dobimoiz zakona o brezizvornosti magnetnega polja ( ∫ B ⋅ d A = 0 ), ki ga zopet zapišemo v diskretni A Nobliki ∑Φ i =1 i =0, (9.3)kjer je N število odcepov. Poglejmo si to na primeru E oblike jedra na sliki. SLIKA: Prikaz srednjih dolžin gostotnic ter vsote fluksov v jedru E oblike. Veljati mora: Φ1 + Φ2 + Φ3 = 0 . 8/13
  • 90. Magnetni materiali 9.PRIMERI IZRAČUNOV:Primer 1: Navitje na feromagnetnem jedru s konstantno permeabilnostjo brez zračnereže: Na feromagnetnem jedru pravokotnega preseka 1 cm2 s sredno dolžino gostotnice 24 cmje navitje s tokom 1,2 A in 150 ovoji. Relativna permeabilnost feromagnetika je 647. Določitegostoto magnetnega pretoka, fluks v jedru in induktivnost navitja. (SLIKA)Izračun:NI = Hl ⇒ H = 750 A/mB = µr µ0 H = 0,6 TΦ = BA = 6 ⋅ 10-5 Wb NΦL= = 7,5 mH. IPrimer 2: Navitje na jedru iz feromagnetika s konstantno permeabilnostjo in z zračnorežo: Vzemimo enako jedro kot v primeru 1, pri čemer naj ima jedro še 1 mm široko zračnorežo. Privzemimo, da v zračni reži ni stresanja polja (enako homogeno kot v jedru). Kolikšnopolje dobimo v zračni reži in feromagnetiku pri enakem vzbujanju ter kolikšna je induktivnostnavijta? (SLIKA)Izračun: Vsota vseh padcev magnetnih napetosti po zaključeni dolžini magnetne poti mora Nbiti enaka magnetnemu vzbujanju ∑H i =1 i ⋅ li = Θ . Imamo dva padca magnetnih napetosti: enov feromagnetiku in drugo v zračni reži. Predpostavili bomo, da je polje v feromagnetiku(index m) homogeno po prerezu in da računamo integral po srednji dolžini magnetne poti:H m ⋅ lm + H zr ⋅ lzr = NI . Sedaj Hje izrazimo z Bji, pri čemer je potrebno upoštevati različne Bm Bzrrelativne permeabilnosti (v zraku le µ0): ⋅ lm + ⋅ lzr = NI . (9.4) µrm µ0 µ0Da dobimo zvezo med poljem v feromagnetiku in zračni reži uporabimo enačbo (9.3) izkatere sledi, da mora biti fluks skozi jedro enak fluksu skozi zračno režo:Φ m = Φ zr torej zaradi predpostavljene homogenosti polja Bm ⋅ Am = Bzr ⋅ Azr . Če zanemarimostresanje polja v zračni reži ( Am = Azr ), je gostota polja v feromagnetiku enako velika gostotipolja v zračni reži: Bm = Bzr . Z upoštevanjem tega v enačbi (9.4) dobimo izraz za izračun 9/13
  • 91. Magnetni materiali 9. µ0 NIpolja v feromagnetiku (in zračni reži) Bm = . Vidimo, da se je polje znotraj lm + lzr µrmferomagnetika zmanjšalo glede na prejšnji primer (0,9 T) in sedaj znaša 0,16 T. Prav tako sezmanjša tudi lastna induktivnost, ki je sedaj 2 mH. Vprašanje: Zakaj potem sploh uporabiti zračno režo, če pa tako močno zmanjša polje? Ponavadi je zračno režo potrebno uporabiti zato, da se zmanjšajo nelinearnosti, ki so posledica nelinearne zveze med Bjem in Hjem, ki se odraža v nelinearni relativni permeabilnosti. Zračna reža deluje kot magnetni upor, ki je popolnoma linearen in zmanjša končen vpliv nelinearnosti feromagnetika. Potrebno je najti ravno pravi kompromis, ki daje dovolj velik odziv, nelinearnosti pa morajo biti znotraj določenih okvirov (meja).Primer 3: Navitje na feromagnetnem jedru brez zračne reže. Upoštevamo magnetilnokrivulja feromagnetika.Vzemimo feromagnetno jedro iz litega jekla pravokotne preseka 1 cm2. Na jedru je navitje s150 ovoji, srednjo dolžino gostotnice 24 cm in tokom 1,2 A. Določimo gostoto magnetnegapretoka, fluks v jedru in induktivnost navitja.Izračun: Zapišemo H m ⋅ lm = NI od koder sledi Hm = 750 A/m. Bm določimo iz magnetilnekrivulje, kot prikazuje slika. Dobimo Bm = 0,95 T. Fluks bo torej = 95 µWb in induktivnostL=11,8 mH. Ta induktivnost ni več linearna, temveč je odvisna od toka vzbujanja, medtem koje bila pri jedru s konstantno permeabilnostjo konstantna.SLIKA: Primer določitve gostote pretoka iz znane jakosti polja. 10/13
  • 92. Magnetni materiali 9.Primer 4: Navitje na jedru z zračno režo. Upoštevamo magnetilno krivuljoferomagnetika. Podan je NI, iščemo fluks ali gostoto pretoka.Vzemimo jedro iz primeru 3, ki pa mu dodamo 1 mm široko zračno režo.Zopet lahko pišemo H m ⋅ lm + H zr ⋅ lzr = NI . Jakost polja v zračni reži izrazimo z gostotopretoka v zračni reži, ki je ob zanemaritvi stresanja polja enaka kot v jedru. Torej velja BmH m ⋅ ( lm − lzr ) + ⋅ lzr = NI . To je enačba z dvema neznankama. Druga zveza med B in H je µ0podana z magnetilno krivuljo. Primer lahko rešimo s preizkušanjem ali pa grafično:Izračun s preizkušanjem: enačbo napišemo z vstavljenimi vrednostmi (enostavneje kar brezenot) H m ⋅ 0, 24 + Bm ⋅ 796 = 180 . Pri pravilno izbranem Bm in Hm mora biti leva stran enačbeenaka 180. Izberemo si določen B in na magnetilni krivulji poiščemo ustrezen H. Preverimoče rezultat ustreza in se s preizkušanjem bližamo rešitvi.Bm = 1 T, Hm = 800 A/m, H m ⋅ 0, 24 + Bm ⋅ 796 = 988 ; mnogo prevečBm = 0,5 T, Hm = 320 A/m, H m ⋅ 0, 24 + Bm ⋅ 796 = 475 ; mnogo prevečBm = 0,2 T, Hm = 200 A/m, H m ⋅ 0, 24 + Bm ⋅ 796 = 207 ; blizu rešitveBm = 0,15 T, Hm = 150 A/m, H m ⋅ 0, 24 + Bm ⋅ 796 = 155, 4 ; premaloZaključimo, da mora biti Bm med 0,2 in 0,15 T.Izračun z grafičnim postopkom: Gornja enačba predstavlja enačbo premice, ki v presečišču zmagnetilno krivuljo določa delovno točko. Potrebujemo dve točki na premici. Najboljenostavno kar Bm(Hm=0) = 0,226 T in Hm(Bm=0) = 750 A/m. Skozi ti dve točki potegnemopremico in odčitamo delovno točko.SLIKA: Primer grafičnega določanja delovne točke in posledično magnetne napetosti. 11/13
  • 93. Magnetni materiali 9.Primer 5: Jedro z zračno režo. Podan fluks ali gostota toka, iščemo NI.Isto kot primer 3 in 4, le da iščemo magnetno napetost pri želeni gostoti pretoka v zračni reži.Na primer pri B = 0,5 T.Enačba je enaka kot v prejšnjem primeru, postopek pa je direkten. Ker zanemarimo stresanjepolja v zračni reži, je gostota pretoka v jedru enaka kot v zračni reži. Iz magnetilne krivuljeodčitamo H pri B = 0,5 T, ki je 320 A/m in vstavimo v enačbo. Dobimo 475 A.Primer 6: Izračun trajnega magneta.Poiščimo velikost magnetizacije trajnega magneta z zračno režo dolžine 5 mm, pri čemer jemagnet oblike toroida okroglega preseka notranjega polmera 2,5 cm in zunanjega polmera 3,5cm. V zračni reži smo izmerili polje 50 mT (spremenjena vrednost!). 3,5 cm+2,5cmlm = 2π = 6π cm . 2Izračun: Ker ni (zunanjega) vzbujanja, bo veljalo H m ⋅ lm + H zr ⋅ lzr = 0 , od koder je H zr ⋅ lzrHm = − .Vidimo, da je smer jakosti polja v magnetu različna kot v zračni reži. In ker lmje smer gostote pretoka v zračni reži enaka smeri jakosti polja ( B = µ0 H ), lahko zaključimo,da je smer B-ja v magnetu različna od smeri H-ja (to smo ugotovili tudi že v prejšnjempoglavju). Ker zvezo med B in H v zraku vedno poznamo, lahko določimo H v železu Bzr lm µ0Hm = − = −1,84 kA/m . Ker sta fluksa v zračni reži in magnetu enaka, sta tudi gostoti lmpretoka enaki (če ne upoštevamo stresanja polja) je polje v magnetu enako veliko kot polje vzračni reži, 0,05 T. Z upoštevanjem stresanja bi morali upoštevati efektivno zmanjšanjezračne reže za (Carterjev) faktor približno 0,7. Magnetizacijo dobimo iz izraza BmBm = µ0 H m + µ0 M , od koder je M = − H m = 40,87 ⋅103 A/m . µ0SLIKA: Jakost polja in gostota pretoka ter magnetizacija v magnetu in zračni reži. 12/13
  • 94. Magnetni materiali 9.Delovna točka magneta. Ugotovili smo, da sta B in H pri trajnem magnetu nasprotnega Bm ⋅ lzrpredznaka, saj velja H m = − . Torej se delovna točka magneta nahaja na magnetilni lmkrivulji v drugem kvadrantu. Temu delu histerezne zanke rečemo tudi krivuljademagnetizacije ali razmagnetilna krivulja. Enačba predstavlja naklon premice in vpresečišču s krivuljo magnetenja določa delovno točko. Za trajni magnet si večinoma želimo,da ima čim večji produkt B-ja in H-ja. Optimalna delovna točka je tam, kjer je produkt Bja inHja največji. Kot bomo videli, določa produkt B-ja in H-ja gostoto magnetne energije v jedru.Desno od grafa B(-H) običajno narišemo še graf B(B H), kjer lahko identificiramo točko znajvečjim produktom BH.SLIKA: Delovna točka trajnega magneta. Primeri kolokvijev in izpitov: Magnetizacija, trajni magnet: kolokvij, 9. maj 2005 izpit, 20. junij 2006 izpit, 19. januar 2006 izpit, 8. aprila 2002 izpit, 24. junij 2004 Feromagnetik podan z magnetilno krivuljo: kolokvij, 13. april 2006 kolokvij, 3. maj 2004 kolokvij, 15. april 2004 kolokvij, 07. maja 2002 Feromagnetik z ali brez zračne reže, konstantna permeabilnost: kolokvij, 4. maj 2006 izpit 23. junija 2006 13/13
  • 95. Feromagnetiki in ferimagnetiki v praksi Uporaba feromagnetikov in ferimagnetikov v praksiEfektivna permeabilnost in faktor induktivnosti.Enačbo, ki smo jo izpeljali za polje v feromagnetiku z zračno režo se v praksi pogosto zaslediv katalogih proizvajalcev feromagnetnih in feritnih jeder zapisano v smislu efektivne relativnepermeabilnosti. Z dodatkom zračne reže v jedro se namreč polje zmanjša in lahko pišemo µ0 NI µ rm µ0 NI µrm µ0 NI µ r ,ef µ0 NIBm = = = = , lm lm + µrmlzr  l  lm + lzr lm 1 + µrm zr  µ rm  lm  µ rmkjer je efektivna relativna permeabilnost določena kot µr ,ef . lzr 1 + µrm lmZapis z efektivno relativno permeabilnostjo je posebno pogost pri zapisu induktivnostiferomagnetnega jedra z zračno režo, kjer dobimo induktivnost kot Ψ NΦ µ ref µ0 N A 2L= = = . Pogosto je za jedra podan t.i. faktor induktivnosti AL, ki je I I lm Ldoločen kot AL = . To popolnoma poenostavi izračun potrebne induktivnosti, saj jo N2dobimo kar z množenjem faktorja induktivnosti s kvadratom števila ovojev.SLIKA: Izsek prospekta podjetja Iskra FERITI (skupina Kolektor), ki kaže primere uporabeferitnih jeder, ki jih izdeluje podjetje. Prospekti so na voljo na spletnih straneh podjetja, žal le vangleškem jeziku: www.iskra-feriti.si. Na sliki je prikazan primer RM jedra z izmerami inpomembnim podatkom AL, iz katerega določimo potrebno induktivnost z množenjem skvadratom ovojev. 1/5
  • 96. Feromagnetiki in ferimagnetiki v praksiSLIKA: Aplikacije in primeri jeder, ki so predlagani za te aplikacije. Vir: Iskra Feriti.Upoštevanje stresanja fluksa v zračni reži.V dosedanjih primerih smo predpostavili, da je polje homogeno tudi v zračni reži. To je doberpribližek le v primeru, ko je zračna reža ozka v primerjavi z dolžino preseka jedra. Če to nevelja, je potrebno upoštevati, da se gostotna cevka v zračni reži razširi, oziroma, da je poljestresano v okolici zračne reže. To lahko upoštevamo kot povečano (efektivno) površinopreseka zračne reže ali pa kot efektivno podaljšano širino zračne reže. To podaljšanjeupoštevamo s t.i. Carterjevim faktorjem, ki je odvisen od širine zračne reže in dolžina presekajedra d: δ C = C ⋅ δ : d 3 - 6 10 - 20 30 - 100 δ C 0,67 – 0,76 0,80 – 0,87 0,90 – 0,96Uporaba programov za numerično simulacijo magnetnih struktur.Pri dimenzioniranju magnetnih jeder si pogosto pomagamo tudi z numerično simulacijo. Ta jezelo primerna tudi za lažje razumevanje porazdelitve polja v feromagnetih, omogoča pa tudiizračune jeder bolj kompleksnih oblik, stresanje polja, oblike navitja, itd. En od programov, kije brezplačen za uporabo je Maxwell SV (Student version). Naložite si ga iz interneta in gapreiskusite. 2/5
  • 97. Feromagnetiki in ferimagnetiki v praksiSLIKA: Prikaz numeričnega izračuna polja v jedru brez in z zračno režo. Numeričen izračunupošteva realno geometrijo jedra in s tem tudi prikaže efekt stresanje polja v zračni reži kot tudivse druge nehomogenosti, ki so posledica geometrijskih danosti. Ugotovimo lahko, da je polje vjedru precej homogeno, v zračni reži pa se razširi po okolici. Če primerjamo še velikosti poljapri enakem vzbujanju v obeh primerih, ugotovimo precejšnje zmanjšanje polja v primeruuporabe zračne reže.Trajni magneti.V poglavju 9 smo že ugotovili, da je delovna točka trajnih magnetov v drugem kvadrantu. Zate (trdomagnetne) materiale so torej ponavadi prikazuje leta del histerezne zanke, ki ga imenujemo tudi demagnetilnaali razmagnetilna karakteristika. Za te materiale se podajapredvsem koercitivna jakost polja Hc in remanenčnagostota pretoka Br , pogosto pa tudi maksimalni produktBja in Hja, ki predstavlja največjo možno gostoto energijemagneta. Spodja slika kaže tipične razmagnetilne krivuljeza materiale Neodij-železo-bor (NeFeB), Samarij-kobalt(SmCo), Aluminij-nikelj-kobalt (AlNiCo). Tipično jetudi, da pogosto proizvajalci vztrajajo pri uporabi starihenot (Oerstead za jakost polja (namesto A/m) in Gauss zagostoto magnetnega pretoka (namesto T)), kar je pačpotrebno vedeti in upoštevati pretvorbo.V Sloveniji je med večjimi proizvajalci predvsempodjetje Magneti Ljubljana d.d. (nekoč Iskra Magneti), med prodajalci magnetov in aplikacijpa tudi podjetje Magsis. 3/5
  • 98. Feromagnetiki in ferimagnetiki v praksiSLIKA: Primer grafa iz prospekta podjetja Dexter, ki prikazuje demagnetizacijske krivuljenajpogosteje uporabljenih materialov za trajne magnete. Opazimo lahko tudi vztrajanjeproizvajalcev pri starih (nedovoljenih) enotah za gostoto magnetnega pretoka in magnetnopoljsko jakost, kar pa običajno podajo v dodatni preglednici, glej naslednjo sliko. Pogostoodločitev o uporabi določenega materiala za trajni magnet ne temelji na kakovosti magneta pačpa na ceni: izberemo tak material, ki še zadovoljuje naše potrebe in je cenen.SLIKA: Preglednica, ki se uporablja za pretvorbo med starimi (žal še vedno v praksiuporabljanimi) CGS enotami in mednarodno sprejetim sistemom SI enot (iz kataloga podjetjaDexter: www.dextermag.com). 4/5
  • 99. Feromagnetiki in ferimagnetiki v praksiEksperimenti:S pomočjo magnetov si je mogoče zamisliti mnogo najrazličnejšiheksperimentov. Poglejte si spletno stranhttp://www.coolmagnetman.com/magindex.htm. Npr: lebdeči vlak aliizstrelitvena ploščad. Na isti strani so opisani tudi eksperimenti zelektromagneti in pa eksperimenti, ki razlagajo oz. uporabljajo princip elektromagnetne indukcije.Privoščite si kakšnega!Poleg omenjene strani, lahko raziščete bogato morje drugih spletnih naslovov, ki opisujejo to področjein so zbrani na strani http://www.coolmagnetman.com/maglinks.htmPoleg te bi veljalo pregledati še povezave na stranihttp://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/webresources.html 5/5
  • 100. Magnetna vezja 10. MAGNETNA VEZJAVsebina poglavja: Diskretizacija Amperovega zakona in zakona brezizvornosti magnetnegapolja, magnetna upornost, magnetno vezje.Spoznali smo obliko Amperovega zakona izraženo z jakostjo magnetnega polja H: ∫ H ⋅ dl = NI . LUgotovili smo, da je ta oblika zapisa posebno primerna za obravnavo polja v snoveh z izraženimimagnetnimi lastnostmi (npr. feromagnetiki). Zveza med gostoto magnetnega pretoka in jakostjo ( )polja pa je B = µ0 H + M = µr µ0 H = µ H . Gostota magnetnega pretoka se ob uporabiferomagnetika izrazito poveča, kar s pridom izkoristimo v vrsto namenov. Tuljave tako pogostonavijemo okoli feromagnetnih jeder. Za analizo takih sestavov nam služi ravno Amperov zakon, kipa ga moramo nekoliko poenostaviti. Namesto v integralni obliki ga zapišemo kot vsotoposameznih padcev magnetne napetosti. Tako dobimo obliko N ∑H i =1 i ⋅ li = Θ . (10.1)Desna stran enačbe predstavlja tokovno vzbujanje (lahko je več takih vzbujanj), leva stran enačbepa so padci magnetne napetosti na posameznih odsekih po zaključeni magnetni poti. Pri tem smomorali narediti določeno poenostavitev in sicer, da je po preseku jedra polje homogeno in daračunamo razdalje li po srednji dolžini gostotnice (po sredini jedra).Poleg zgornjega zapisa, ki spominja na Kirchofov zakon o vsoti napetosti po zaključeni poti,potrebujemo še povezavo med gostotami pretoka v sosednjih odsekih poti. To zvezo dobimo izzakona o brezizvornosti magnetnega polja (), ki ga zopet zapišemo v diskretni obliki N ∑Φ i =1 i =0, (10.2)kjer je N število odcepov.Magnetna upornost. Že doslej smo govorili o magnetni napetosti, o viru magnetne napetosti Θ ino padcih magnetne napetosti H l. Ali lahko govorimo tudi o »magnetnem toku« in »magnetni Nupornosti«? Lahko, le enačbo ∑H i =1 i ⋅ li = Θ bomo v ta namen nekoliko preoblikovali. Ker smopredpostavili homogenost polja v preseku jedra, lahko za fluks pišemo Φ = B ⋅ A = µH ⋅ A (10.3) 1/4
  • 101. Magnetna vezja 10.in nadomestimo H s fluksom: N li ∑Φ i =1 i ⋅ µi Ai =Θ (10.4)V enačbi (10.4) prepoznamo podobnost električni upornosti ravnega vodnika, ki smo jo zapisali v lobliki Re = , kjer je γ specifična električna prevodnost snovi. Očitno lahko analogno izrazimo γAmagnetno upornost kot l Rm = , (10.5) µAkjer je µ permeabilnost, lahko bi rekli tudi specifična magnetna prevodnost. Večja kot jepermeabilnost, bolj je material “magnetno prevoden”. Enota magnetne upornosti seveda ni Ohm,    m  A  1 pač pa  Vs  =   =  .  ⋅ m 2   Vs   s   Am Enačba (10.4) bo torej z upoštevanjem magnetne upornosti enaka N ∑Φ i =1 i ⋅ Rmi = Θ . (10.6)Primerjalno z Ohmovim zakonom in Kirchofovimi zakoni za električno vezje, lahko tvorimo t.i.magnetna vezja, kjer fluks zamenja vlogo toka, vlogo virov prevzame magnetna napetost zamperskimi ovoji, namesto električne pa nastopa magnetna upornost. Tako lahko obravnavamopoljubno magnetno vezje, kjer pa je potrebno upoštevati, da mora biti relativna permeabilnostkonstantna. Omejeni smo torej na tiste primere, kjer je magnetilna krivulja podana v oblikipremice.Primer: Določimo polje v jedru magneta iz naloge 2 še z uporabo magnetnega upora.Izračun: Ker je fluks skozi jedro in zračno režo le en, magnetna upora pa dva, pišemo: 2/4
  • 102. Magnetna vezja 10.Φ ⋅ Rm + Φ ⋅ Rδ = NIΦ ⋅ ( Rm + Rδ ) = NI NI NI µ0 NIAΦ= = = Rm + Rδ lm + lδ lm + lδ µ rm µ0 A µ0 A µ rm Φ µ0 NIB= = A lm + lδ µ rm, enako kot pri drugem primeru.Za analizo magnetnih vezij lahko uporabimo vse metode za analizo električnih vezij, ki smo jihspoznali pri predmetu Osnove elektrotehnike I, kot npr. zančna metoda, metoda superpozicije,metoda spojiščnih potencialov pa tudi Theveninov in Nortonov teorem.Primer: Določite fluks v zračni reži dolžine 1 mm, če so I1 = 1 A, N1 = 100 ,I2 = 0,5 A, N2 = 400, a=2 cm,A=1 cm2, µ rz = 100 ? 2a 2a VmI1 R2 Rδ R1 N1 2A 3a A + R3 A N1I1 + N2 I2 N2I2Izračun: Najprej narišemo magnetno vezje z magnetnimi upornostmi in viri magnetne napetosti. Vnašem primeru imamo tri stebre, kar v vezju predstavimo s tremi vejami vezja. Leva in srednja vejaimata eno po magnetno upornost, v desni veji imamo dve magnetni upornosti, eno zaradi magnetneupornosti feromagnetika, drugo pa zaradi magnetne upornosti zračne reže. Vire moramo pravilnooznačiti. Potrebno je preveriti, kako je jedro navito in v katero smer teče tok. Smer toka, ki jo naviru označuje znak “+” mora ustrezati smeri fluksa v jedru, ki ga poganja vir.Način reševanja je lahko poljuben. V konkretnem primeru bomo uporabili metodo spojiščnihpotencialov, saj je v tem primeru potrebno zapisati le eno enačbo. (Ponovi metode reševanja vezij).Vsota vseh fluksov v zgornje spojišče mora biti enak nič: Φ1 + Φ 2 + Φ 3 = 0 . Flukse izrazimo z 3/4
  • 103. Magnetna vezja 10.magnetnim potencialom (spodnje spojišče ozemljimo, potencial zgornjega označimo z Vm, napetostmed spojiščema je torej Vm.):Vm − N1 I1 Vm Vm + N 2 I 2 + + =0 R1 R2 Rδ + R3Magnetne upornosti so: 7aR1 = 100 µ0 A 3aR2 = 100 µ0 2 A . 7a − δR3 = 100 µ0 A δRδ = µ0 APo ustavitvi v zgornjo enačbo in preurejanju dobimoVm − N1 I1 V V + N2 I2 + m + m = 0. 7a 3a / 2 7 a + 100δ Vm − 100A Vm Vm + 200ASedaj vstavimo vrednosti in dobimo + + = 0 . Rešitev je Vm = −1, 24 A . 14 cm 3cm 24cmOčitno se vpliv virov med sabo odšteva, rezultat je ta, da fluks v desnem stebru povzroča skorajizključno magnetna napetost navitja na tem stebru.Fluks skozi zračno režo bo Vm + N 2 I 2Φ3 = = 10, 5 µWb . Rδ + R3 Naloge: Magnetna vezja: izpit, 23. januar 2007 1. kolokvij , 17.4.2002 izpit, 14. junij 2006 Izpit, 10. marec 2006 4/4
  • 104. Statična, dinamična, inkrementalna in začetna permeabilnostRelativna permeabilnost podaja velikost povečanja gostote magnetnega pretoka, če (vjedru) uporabimo magnetni material.Glede na tipe vzbujanj razlikujemo več 3različnih definicij in uporabe relativnepermeabilnosti. Za enosmerna vzbujanja 2.5je bolj primerna statična relativnapermeabilnost, za vzbujanje z 2izmeničnimi signali pa dinamična ali B /Ttudi inkrementalna relativna 1.5permeabilnost.Namen prikazane simulacije je prikazati 1razlike v definicijah. V ta namenvzamemo primer magnetilne krivulje, ki 0.5jo aproksimiramo z zamaknjeno arkus 0tangens funkcijo (matematična oblika je 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 H / A/mopisana na koncu teksta)Statična relativna permeabilnost je 3 600 Bdoločena kot µ r = . Iz zgornje µ0 Hkrivulje dobimo sliko na desni (rdeče B,zeleno µr) 2 400 B /T 1 200 0 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 H / A/mDinamična relativna permeabilnost jedoločena z odvodom Bja po Hju: 4 1000 1 dBµr,d = . µ 0 dHSlika desno (rdeče B, zeleno µrd)Ugotovimo, da je oblika dinamičnerelativne permeabilnosti tudi dejansko 2 500bolj dinamična od statične in dosegavečje vrednosti. 0 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
  • 105. Razliko med dinamično in statično relativno permeabilnostjo lahko prikažemo tudi naskupni sliki spodaj (zelena – dinamična, rdeča - statična): 1000 staticna dinamicna 900 800 700 600 mi, relativna 500 400 300 200 100 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 H / A/mPoleg dinamične in statične relativne permeabilnosti poznamo še inkrementalno, ki je ∆Bdoločena kot µ r,i = in je odvisna od oblike lokalne histrerezne zanke. µ0 ⋅ ∆ HInkrementalna permeabilnost bo vedno nekoliko manjša od dinamične.Poznamo še začetno ali inicijalno permeabilnost, ki je določena (kot ime pove) primajhnih vrednosti Bja oz. kar z začetnim naklonom B-H krivulje. Le-ta je običjano okoli10% maksimalne statične permeabilnosti.Program v Matlabu za izris karakteristik:mi0=4*pi*1e-7;Hmax=10000;ds=0.01s=-pi:ds:4*pi;H=(s+pi)/(4*pi)*Hmax;B=atan(s)-atan(-pi)plot(H,B)mir=B./(mi0*H);plotyy(H,B,H,mir)dH=diff(H);difmir=[0 diff(B)/dH(1)]/mi0;figure; plotyy(H,B,H,difmir)figure; plot(H,mir,H,difmir)
  • 106. Inducirana napetost 11. Inducirana napetost Equatio n Section 11Vsebina poglavja: Inducirana napetost izražena s časovnospremembo magnetnega pretoka (sklepa) skozi zanko(tuljavo), inducirana napetost izražena z lastno alimedsebojno induktivnostjo, padec napetosti na tuljavi,realna tuljava, induktivna upornost pri izmeničnih signalih,dogovor zapisa o podpiranju fluksov med dvema tuljavama,faktor sklopa, gibalna in rezalna inducirana napetost, 2.Maxwellova enačba.V tem poglavju bomo nadgradili spoznanja o magnetnih pojavihv stacionarnih razmerah (pri konstantnem toku) z analizo razmer Michael Faraday (1791-1867): enpri časovno spremenljivih signalih. Ugotovili bomo, da pri največjih znanstvenikov in izumiteljev: elektromagnetna indukcija, dinamo,časovno spremenljivih signalih pride do pojavov, ki jih v elektroliza, odkril vrsto kemijskih substanc, vpeljal pojme anoda, katoda,enosmernih razmerah nismo opazili. Najpomembnejša elektroda, ion, … http://en.wikipedia.org/wiki/Michael_ugotovitev bo, da pri časovni spremembi fluksa skozi tuljavo na Faradaypriključkih tuljave zaznamo (izmerimo) napetost, ki jo bomopoimenovali inducirana napetost.Časovno spreminjajoči fluks v tuljavi povzroči induciranonapetost. Michael Faraday je prvi ugotovil, da tedaj dobimonapetost na sponkah tuljave, ki je enaka časovni spremembifluksa skozi tuljavo pomnoženim s številom ovojev tuljave, Predavanja Faradaya so bila izredno dΦ priljubjena tudi med širšo množico.matematično torej N . dtNapetosti, ki se ob spremembi časovni fluksa skozi tuljavo pojavi na priključnih sponkahimenujemo inducirana napetost. Je takega predznaka, da bi po sklenjeni zanki (kratko sklenjenituljavi) pognala tok, katerega fluks bi nasprotoval prvotnemu fluksu skozi zanko. Temu »pravilu«rečemo tudi Lentzovo pravilo, ki ga matematično upoštevamo s predznakom minus: dΦ ui = − N . (11.1) dt
  • 107. Inducirana napetost 11.V primeru, da ne gre skozi vseh N ovojev celoten fluks, je potrebno upoštevati že obravnavanpojem magnetnega sklepa, kjer za eno zanko z N1, N2 ... ovoji in pripadajočimi fluksi skozi ovojevelja Ψ = ∑ ± NiΦι , (11.2) iali v primeru, da gre celoten fluks skozi N ovojev zanke Ψ = NΦ . Z upoštevanjem konceptamagnetnega sklepa je inducirana napetost enaka dΨ ui = − . (11.3) dtSLIKA: Eksperimenti z inducirano napetostjo: a) premikanje trajnega magneta v tuljavi, b)premikanje tuljave pri mirujočem magnetu, c) s spreminjanjem fluksa skozi tuljavo ustvarimoinducirano napetost, ki požene tok skozi žarnico.SLIKA: Zanka znotraj katere fluks s časom narašča v določeni smeri. V vodniku, ki objema fluksinducira tako električno polje, ki bi v primeru sklenjenega vodnika v njem povzročilo (induciran) tok,ki bi s svojim fluksom nasprotoval osnovnemu.Inducirana napetost v zanki pri znani spremembi magnetnega pretoka skozi zanko.Oglejmo si primer, ko se v tuljavi časovno spreminja gostota magnetnega pretoka zaradi zunanjespremembe polja.
  • 108. Inducirana napetost 11.Primer: Tuljavica z N=100 ovoji površine A = 2 cm2 je postavljena pravokotno na smer polja, ki sespreminja harmonično po enačbi B(t ) = Bo sin(103 s-1t ) , kjer je Bo = 50 mT. Določimo induciranonapetost na sponkah tuljave.Izračun: Gre za krajevno homogeno polje, zato je fluks skozi tuljavico enak karΦ (t ) = B(t ) A = Bo A sin(103 s-1t ) = 10sin(103 s-1t ) µVs . Inducirana napetost je Φ (t )ui = −Ν dt = −100 ⋅ d dt (10sin(103 s-1t ) µVs ) == −10 ⋅100 ⋅103 cos(103 s-1t ) µV = −1cos(103 s-1t ) VSLIKA: Tuljavica v homogenem časovno spreminjajočem se polju.Ugotovili smo, da se v tuljavi inducira napetost, če se znotraj tuljave časovno spreminja magnetnopolje. V izračunanem primeru je bil fluks skozi ovoje tuljave posledica spreminjanja magnetnegapolja, ki ni bil posledica toka skozi ovoje tuljave. Ali se na sponkah tuljave pojavi napetost tudi vprimeru, da je povzročitelj spremembe fluksa v tuljavi lasten tok v tuljavi? Odgovor je pozitiven.Inducirana napetosti na tuljavi pri znanem toku skozi ovoje tuljave in padec napetosti natuljavi.Pri računanju fluksa skozi tuljavo smo ugotavljali, da je le ta odvisen od toka v ovojih tuljave. Vprimeru, da ni posredi feromagnetnih materialov, velja linearna zveza med magnetnim sklepom intokom skozi tuljavo Ψ = ΝΦ = LI , od koder je lastni induktivnost tuljave Ψ NΦ L= = . I ITa povzroči na sponkah tuljave inducirano napetost dΨ d ( Li ) di ui = − =− = −L . dt dt dtPri tem pa je potrebno opozoriti na pravilno razumevanje predznaka inducirane napetosti. Tapredznak je uveden zato, da se pravilno interpretira učinek spreminjanja fluksa pri nastanku
  • 109. Inducirana napetost 11.inducirane napetosti, ki je tak, da se v zanki generira taka notranja (generatorska) napetost , ki zlastnim induciranim tokom nasprotuje spremembam fluksa v zanki. V konkretnem primeru pagledamo na tuljavo s stališča bremena, saj tok skozi tuljavo povzroča na njej padec napetosti.Gledano na tuljavo s stališča bremena (ki ga v smislu koncentriranega elementa shematičnopredstavimo z nekaj narisanimi ovoji), je padec (bremenske) napetosti ravno nasproten(generatorski) inducirani napetosti di u L = −uiL = L . (11.4) dtV prvem primeru opazujemo pojav inducirane napetosti z vidika vira napetosti,v drugem pa zvidika bremena.SLIKA: Tuljava z induktivnostjo kot koncentriran element. Smer padca (zunanje) napetostije nasprotna smeri inducirane (notranje) napetosti in je v smeri vzbujalnega toka.Inducirana napetost na tuljavi pri vzbujanju tuljave s harmoničnim (sinusnim) tokom.Poglejmo si razmere na konkretnem primeru.Primer: Tok skozi tuljavo z induktivnostjo L = 2 mH se spreminja harmonično, z amplitudo I0 =0,5 A in periodo T = 5 ms. Določimo padec napetosti na tuljavi.Izračun: Najprej moramo tokovni signal zapisati v matematični obliki. Zagotoviti moramoponovitev signala na vsakih 5 ms, zato tok zapišemo v obliki* i (t ) = 0,5sin (ωt ) A = I 0 sin(ωt ) , kjer 1 1je frekvenca signala enaka f = = = 200 s-1 = 200 Hz , kotna frekvenca ω pa je T 5 ms diω = 2πf = 2π200 Hz ≃ 1, 26 ⋅ 103 s-1 . Odvajamo tok: = I 0ω cos(ωt ) in ga pomnožimo z dt* Za osnovo bi lahko vzeli tudi kosinusni tokovni signal.
  • 110. Inducirana napetost 11. di induktivnostjo in dobimo u L = L = LI 0ω cos(ωt ) ≅ 1, 26 cos(1, 26 ⋅103 s -1t )V . Rezultat lahko dt  π zapišemo tudi kot 1, 26sin  ωt +  V .  2 Iz rezultata ugotovimo, da se napetost na tuljavi spreminja z enako frekvenco kot tok, vendar je  π napetostni signal časovno zamaknjen glede na tokovnega za kot 900: cos (ωt ) = sin  ωt +  . Če  2 oba signala narišemo v časovnem diagramu, ugotovimo, da doseže napetostni signal maksimalno amplitudo za četrtino periode pred tokovnim signalom. To običajno opišemo kot prehitevanje napetosti na tuljavi za tokom za kot π / 2 . Enakovredno lahko rečemo tudi, da tok na tuljavi zaostaja za napetostjo za kot π / 2 . Kako si razložimo ta zamik? Če si zamislimo harmonično spreminjajoč se tok skozi tuljavo, ugotovimo, da bo časovna sprememba toka največja tedaj, ko tok zamenja predznak, tedaj pa bo tudi padec napetosti na tuljavi zaradi največje spremembe fluksa največji. Ko bo tok okoli ničle, bo napetost maksimalna, kar opišemo s sinusnim potekom toka in s kosinusnim potekom napetosti. 1.5 1.5 tok (A) tok (A) napetost (V) napetost (V) 1 1 0.5 0.5 tok, napetosttok, napetost 0 0 -0.5 -0.5 -1 -1 -1.5 -1.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0.005 0.01 0.015 ω t /rd Cas /s π SLIKA: Napetost na tuljavi (črtkano) prehiteva tok (pikčasto) za četrtino periode signala   . Slika 2 na levi ima na abscisi čas t, na desni pa kot ωt . Perioda je pri ωt = 2π ≃ 6,28 . Prikaz na desni omogoča neposredno odčitavanje faznega kota med tokom in napetostjo.
  • 111. Inducirana napetost 11.Kako se spreminja amplituda napetosti glede na frekvenco signala? Ugotovimo, da bo amplitudavečja pri višji frekvenci in sicer se linearno veča s frekvenco signala: uL = U m cos(ωt ) , kjer jeU m = LI oω . To je tudi razumljivo, saj zaradi časovno hitrejšega spreminjanja toka zvečuje tudinajvečja sprememba toka in s tem napetost.Realna tuljava – ohmska in induktivna upornost.Nobena tuljava ni idealna (razen, če jo ohladimo blizu absolutne ničle, ko pade ohmska upornostovojev na nič), pač pa ima tudi neko ohmsko upornost*. Ta je v osnovi odvisna od specifične lprevodnosti materiala (pri navitjih običajno kar baker), preseka in dolžine: R = . V realni tuljavi γAtako lahko ločimo dva padca napetosti: zaradi padca napetosti na ohmski upornosti (Ohmov zakon)in padca napetosti na t.i. induktivni upornosti†. Matematično bi za napetost na tuljavi zapisali di u = uR + uL = iR + L . (11.5) dtSlika: Padec napetosti na realni tuljavi kot vsota dveh padcev napetosti: na ohmski ininduktivni upornosti.Primer: Vzemimo, da upoštevamo poleg induktivnosti tuljave iz drugega primera (Tok skozituljavo z induktivnostjo L = 2 mH se spreminja harmonično, z amplitudo I0 = 0,5 A in periodo T =5 ms.) še njeno upornost, ki naj bo 1 Ω. Kolikšna bo sedaj napetost na tuljavi?* Če pa smo še bolj natančni, moramo upoštevati tudi kapacitivno komponento, ki postane pomembna predvsem privišjih napetostih.† V resnici dveh padcev napetosti na tuljavi ne moremo »fizično« ločiti, saj nastopata hkrati in na zunanjihsponkah opazujemo skupen učinek. Lahko pa ju ločeno obravnavamo v matematičnem smislu.
  • 112. Inducirana napetost 11.Slika: Tuljava z upornostjo oz. tuljava in upor.Izračun: V skladu z enačbo (11.5) bo napetost na tuljavi enaka du = RI 0 sin(ωt ) + L ( I 0 sin(ωt ) ) = RI 0 sin(ωt ) + LI 0ω cos(ωt ) . dtAmplituda padca napetosti zaradi induktivnosti bo 1,26 V (kot smo že izračunali), zaradi ohmskeupornosti pa 0,5 A ⋅ 1 = 0,5 V . Ali bo skupna napetost 1,26 V + 0,5 V? Ne. Napetost na tuljavi jevsota dveh napetosti, ki pa sta časovno zamaknjeni za četrtino periode signala. Zato amplitude nemoremo preprosto sešteti. Lahko pa ugotovimo, da je dobljeni napetosti signal zopet sinusne oblikein da je amplituda in faza signala v skladu z matematično zvezoa sin(ωt ) + b cos(ωt ) = a 2 + b 2 sin(ωt + ϕ ) = A sin(ωt + ϕ ) . A je amplituda signala in je vkonkretnem primeru enaka A = I 0 R 2 + (ω L) 2 = 1,36 V , ϕ pa je fazni kot in označuje prehitevanje bali zaostajanje signala za prvotnim signalom. Določimo ga kot ϕ = arctan   = 68,36o . V našem aprimeru bo rezultat u (t ) ≅ 1, 36 ⋅ sin(1, 26 ⋅103 s -1t + 68, 360 ) V . Predznak plus predstavlja prehitevanjenapetostnega signala pred tokovnim, ki pa v primeru realne tuljave ni 900, pač pa nek manjši kot,pač v skladu z velikostjo padcev napetosti na idealni tuljavi in na ohmski upornosti tuljave.SLIKA: Tokovno vzbujanje (modra pikčasta črta). Napetost na induktivnosti tuljave (črtkano,zelena), napetost na ohmski upornosti tuljave (pikčasto, po obliki in vrednosti enako tokovnemu
  • 113. Inducirana napetost 11.signalu) in skupna napetost na tuljavi (polna rdeča črta). Napetost na realni tuljavi prehiteva toktuljave za kot 900 < ϕ < 00 .Kazalci. Pogosto si pri izračunu zvez med tokom in napetostjo olajšamo delo z grafičnim prikazomle teh s t.i. kazalci. Vsak kazalec predstavlja eno od veličin, ki se vrti okoli izhodišča glede nakotno hitrost, pri čemer upoštevamo še fazo signala. Zveza med tokom in napetostjo na ohmskiupornosti tuljave je preprosta, saj se »vrtita« skladno, v isti legi. Rečemo tudi, da sta tok in napetostv fazi. Kazalec napetosti idealne tuljave pa je premaknjen glede na tokovnega za kot 900. Skupenpadec napetosti bo vsota obeh kazalcev, ki ju grafično seštejemo. Dobimo amplitudo napetosti kotvsoto kvadratov in določimo še zamik med kazalcema napetosti in toka – fazni kot. Tangens tegakota je enak razmerju velikosti kazalcev ali pa kar razmerju induktivne in ohmske upornosti.*SLIKA: Prikaz kazalčnega diagrama toka in napetosti na idealni in realni tuljavi.Induktivna upornost - reaktanca. Kot smo ugotovili, je amplituda padca napetosti na tuljavi privzbujanju s harmoničnim signalom sorazmerna produktu amplitude toka in produkta ωL. Slednjipredstavlja upornost tuljave pri izmeničnih signalih in jo imenujemo induktivna upornost alireaktanca in uporabimo simbol X L = ω L . Ponovno lahko ugotovimo, da se induktivna upornostlinearno veča z večanjem frekvence vzbujalnega signala.SLIKA: Večanje induktivne upornosti – reaktance s frekvenco vzbujanja.* Tak način obravnave je bil običajen v srednješolskem izobraževanju. V nadaljevanju bomospoznali, da je mnogo bolj učinkovit, pa tudi korekten, zapis kazalcev v t.i. kompleksni ravnini.
  • 114. Inducirana napetost 11.Inducirana napetost v tuljavi zaradi spremembe fluksa v drugi tuljavi.Primer: Tuljava dolžine 15 cm premera 3,2 cm ima 30 ovojev na centimeter. V njeno sredinopostavimo manjšo tuljavo dolžine 2 cm premera 2,1 cm s 60 ovoji. Tok v večji tuljavi se od časa t =0 s linearno manjša od 1,5 A in doseže -0,5 A v času 25 ms. Nato ostane konstanten. Kolikšna jeinducirana napetost v manjši tuljavi? Predpostavimo homogeno polje v večji tuljavi, ki gaizračunamo z aproksimativno formulo.SLIKA: Sprememba toka v večji tuljavi povzroča inducirano napetost v manjši tuljavi. Inducirananapetost je odvisna od hitrosti spreminjanja toka v večji tuljavi oziroma od spreminjanja hitrostimagnetnega pretoka skozi manjšo tuljavo.Izračun: Inducirano napetost bomo dobili z uporabo enačbe (11.1), torej moramo izračunati fluks,ki gre skozi manjšo tuljavico v času spremembe toka v večji. Izračun razdelimo na dve fazi. V prvise tok linearno manjša, v drugi pa ostane konstanten. Označimo z indeksom 1 večjo tuljavo, z 2 pamanjšo tuljavo. Ker gre za linearne spremembe, lahko namesto odvajanja uporabimo diference ∆Φ ∆Φ 21 Φ − Φ začetna (rezultat bo enak) ui 2 = − N 2 = − N2 = − N 2  končna . (11.6) ∆t 2 ∆t  tkončna − t začetna Začetni fluks izračunamo iz začetne gostote pretoka v tuljavi, končnega pa iz končnega pretoka. µ NiPolje znotraj tuljave določimo iz poenostavljene formule B= . Dobimo l µ0 Nizačetni N VsBzačetni = = µ0 izačetni = 4π10−7 ⋅ 30 ⋅ 102 m -1 ⋅ 1,5A ≅ 5, 7mT . Pri izračunu fluksa skozi l l Amtuljavico moramo upoštevati površino manjše tuljavice in ne večje: 2  2,1 ⋅ 10−2 m Φ začetni = Bzačetni ⋅ A2 = Bzačetni ⋅ π   ≅ 1,96 µWb . Na enak način bi dobili z upoštevanjem  2 toka –0,5 A končni pretok Φ končni = −0, 653 µWb .
  • 115. Inducirana napetost 11.Uporabimo še enačbo (11.6) in z njeno pomočjo določimo inducirano napetost v času od t = 0 s do t −0, 653 ⋅10−6 Wb − 1,96 ⋅10−6 Wb= 25 ms: ui = −60 ≅ 6, 27 mV . To napetost bi lahko izmerili, če bi 25ms − 0msna zunanje sponke tuljave priključili sondo osciloskopa. (Zaradi poenostavitev s homogenostjopolja bi meritev pokazala seveda nekoliko različno vrednost.). Ta napetost je konstantna ves časspreminjanja toka v veliki tuljavi. V drugi fazi, ko bo tok skozi večjo tuljavo konstanten, v manjšituljavi ne bo spremembe magnetnega pretoka in s tem bo inducirana napetost enaka 0.SLIKA: Graf spremembe toka v mali tuljavi, spodaj graf inducirane napetosti v večji tuljavi.Medsebojna induktivnost. O lastni induktivnosti smo že govorili. Povezana je s fluksom, ki greskozi tuljavo zaradi toka v lastni tuljavi. Če pa nas zanima fluks v navitju, ki je posledica vzbujanjav drugem (ne lastnem) navitju, govorimo o medsebojni induktivnosti. Definiramo jo kot Ψ 21 N 2 ⋅Φ 21 M 21 = = , I1 I1 (11.7)kjer je Φ 21 fluks skozi drugo tuljavo zaradi toka I1 skozi prvo tuljavo. Na isti način lahko Ψ 12 N1 ⋅Φ12definiramo M12 kot M 12 = = . Poglejmo si razmere na sliki. I2 I2
  • 116. Inducirana napetost 11.SLIKA: Medsebojna induktivnost določa zvezo med tokom v drugem navitju in fluksom, ki ga ta tokpovzroča v lastnem navitju.Če imamo opravka z linearnimi magnetnimi materiali (če je µr konstanten), sta M21 in M12 karenaka, torej M = M 21 = M 12 .Inducirana napetost izražena z medsebojno induktivnostjo.V prejšnjem razdelku smo obravnavali primer, ko je šel en del fluksa prve tuljave skozi drugotuljavo in v slednji povzročil inducirano napetost. Izračunali smo fluks skozi drugo tuljavo zaradispreminjanja toka v prvi tuljavi. Sedaj smo ugotovili, da to zvezo lahko opišemo z medsebojnoinduktivnostjo, kjer je magnetni sklep v drugi tuljavi zaradi toka v prvi določen zΨ 21 = M 21 I1 = MI1 . Torej lahko inducirano napetost v drugi tuljavi izrazimo kot dΨ 21 d ( Mi1 ) diuiM 21 = − =− = −M 1 . dt dt dtPonovno lahko ugotovimo, da je predznak le posledica upoštevanja Lentzovega pravila. Če paupoštevamo, da je zunanja napetost ravno nasprotna notranji (gonilni), bomo zopet pisali di1uM 21 = −uiM 21 = M . dtPrimer: Določimo inducirano napetost v manjši tuljavi iz prejšnjega primera s pomočjomedsebojne induktivnosti.Izračun: Za določitev medsebojne induktivnosti moramo poiskati fluks skozi drugo tuljavo ki gapovzroča tok skozi prvo tuljavo. Fluks je µ0 N 1 I 1Ψ 21 = N 2Φ 21 = N 2 B1 A2 = N 2 A2 l1 , Ψ 21 µ0 N1 N 2M 21 = = A2 ≅ 78, 35 µH I1 l1kjer smo z indeksom 1 označili veliko tuljavo, z 2 pa manjšo tuljavo. Sprememba toka v času 25 ms 2A dibo − = −80 A/s , inducirana napetost pa uM 21 = M 1 = 78, 35 mH ⋅ ( −80 A/s) = 6,3 mV . 25 ms dt
  • 117. Inducirana napetost 11.Razlika v končnem rezultatu glede na primer 1 je izključno posledica različnega zaokroževanja vprvem in drugem primeru. Natančnejši rezultat je slednji. Preverite še sami.Faktor sklopa.Če je magnetna povezava med dvema tuljavama (1 in 2) linearna, ima smisel določiti faktor sklopa.Če sta magnetni sklep skozi lastno tuljavo in sosednjo določena z linearno zvezoΨ 21 = kΨ 11 ,Ψ 12 = kΨ 22kjer sta Ψ 11 in Ψ 22 fluksa skozi lastno tuljavo pomnožena s številom ovojev lastne tuljave. Velja Ψ 21 Ψ 12 k ⋅Ψ 1 k ⋅Ψ 2M 21 ⋅ M 12 = M 2 = ⋅ = ⋅ = k 2 L1 L2 I1 I2 I1 I2in iz tega M = k L1 L2 (11.8)ali faktor sklopa Mk= . L1 L2Označitev medsebojne induktivnosti kot koncentriran element.Kako označimo medsebojno induktivnost kot koncentriran element? V osnovi enako kot dvenavadni tuljavi z lastno induktivnostjo, ki pa ju povežemo z linijo in puščicama , s čimerprikažemo, da je med njima magnetni sklep. Pri tem pa je zopet potrebno paziti na predznak padcanapetosti zaradi medsebojne induktivnosti, saj je predznak odvisen od lege posameznih tuljav.Predznak je tako lahko pozitiven ali pa negativen, kar mora biti v sami električni shemi razvidno.To označujemo s pikami na začetku ali konce vsake tuljave (glede na smer toka) odvisno od tega,če se magnetna pretoka tuljav med seboj podpirata ali ne. Dogovor je tak, da postavimo piki nazačetek (ali na konec) obeh tuljav glede na smer toka, če se magnetni pretok druge tuljave skoziprvo tuljavo podpira z lastnim pretokom skozi prvo tuljavo.
  • 118. Inducirana napetost 11.SLIKA: Dve tuljavi z medsebojno induktivnostjo. Podpiranje fluksov označimo s piko na tisti stranituljave, kjer vstopa ali izstopa tok.Splošen zapis zveze med dvema tuljavama z diferencialno enačbo.Če imamo dve sklopljeni navitji, potem tok skozi eno navitje povzroča padec napetosti v lastnem,pa tudi v drugem navitju. Slednji je proporcionalen spremembi toka in medsebojni induktivnosti.Vpliv pa je v obe smeri. Torej, če spreminjajoči fluks v drugi tuljavi povzroča tok v drugemnavitju, pride do vzajemnega učinka. Napetost na prvi tuljavi je* di1 diu1 = R1i1 + L1 ±M 2 , (11.9) dt dtna drugi pa di2 diu2 = R2i2 + L2 ±M 1 (11.10) dt dtPadec napetosti zaradi medsebojne induktivnosti lahko ponazorimo z novim simbolom v oblikiromba, ki predstavlja t.i. tokovno krmiljen napetostni element. Podobne elemente se pogostouporablja za modele delovanja polprevodniških elementov.SLIKA: Vezje z dvema tuljavama z medsebojnim sklopom in prikaz padca napetostii zaradimedsebojne induktivnosti s tokovno krmiljenim napetostnim virom.* Dobimo sistem dveh (linearnih) diferencialnih enačb, ki ga je potrebno reševati s primernometodo. Ugotovili bomo, da nam za obravnavo izmeničnih signalov lahko analizo bistveno olajšauporaba kompleksnega računa.
  • 119. Inducirana napetost 11. Gibalna in rezalna inducirana napetostUgotovili smo že, da je inducirana napetost v zanki določena s časovno spremembo fluksa skozizanko, kar smo v matematični obliki zapisali kot dΨ ui = − , (11.11) dtkjer je predznak minus posledica upoštevanja Lentzovega pravila, da je predznak induciranenapetosti v zanki tak, da induciran tok v zanki povzroča fluks, ki nasprotuje spremembi fluksaskozi zanko.Ugotovili smo tudi, da gre pri inducirani napetosti za notranjo, generatorsko napetost, ki jeporazdeljena po zanki. Lahko bi v osnovi govorili tudi o induciranju električne poljske jakosti, ki vzanki požene inducirani tok. Če se spomnimo definicije električne napetosti kot integrala električnepoljske jakosti, lahko tudi sedaj pogledamo, kaj dobimo z integracijo inducirane električne poljskejakosti po poti zanke. Zanima nas torej ∫E L i ⋅ dl . V elektrostatiki smo ugotovili, da je ta integral pozaključeni poti enak nič (dobimo kot razliko dveh elektrostatičnih potencialov v isti točki), iz česarje tudi sledila definicija električne poljske jakosti kot gradienta potenciala. Pri izmeničnih signalihta integral očitno ne bo enak nič, pač pa bo enak inducirani napetosti ∫E L i ⋅ dl = ui (11.12)Celotna električna poljska jakost je vsota elektrostatične in inducirane jakosti E = E es + E i , kar paenačbo (11.12) spremeni le v toliko, da velja še bolj splošno ∫ E ⋅ dl = u . L i (11.13)Če upoštevamo v enačbi (11.13) še enačbo (11.11) in to, da lahko fluks zapišemo kot integral Bjapo preseku zanke Φ = ∫ B ⋅ d A , dobimo splošen zapis A d ∫ E ⋅ d l = − dt ∫ B ⋅ d A . L A (11.14)To je pomembna enačba, ki jo v elektrotehniki poznamo kot 2. Maxwellova enačba. V osnovi greza Faradayevo enačbo, ki pa jo je Maxwell pravilno uvrstil v sistem osnovnih enačb za opiselektromagnetnega polja.
  • 120. Inducirana napetost 11.Dva tipa inducirane napetosti: transformatorska in gibalna.V osnovi lahko ločimo dva različna tipa induciranja napetosti: v prvem primeru, ki smo ga žespoznali, se inducirana napetost v zanki pojavi kot posledica časovne spremembe fluksa v zanki.Tej napetosti pogosto rečemo transformatorska inducirana napetost. Drugi tip induciranja panastopi kot posledica gibanja prevodnika v časovno konstantnem ali spremenljivem magnetnempolju. Tej inducirani napetosti rečemo tudi gibalna ali rezalna inducirana napetost.Gibalna (rezalna) inducirana napetost.Poglejmo si primer prevodne palice, ki se premika s hitrostjo v v prečnem polju gostote B. Vprevodniku je zelo veliko prostih nosilcev naboja (elektronov) na katere deluje magnetna silaFm = Qv × B . V polju bo na naboje delovala magnetna sila, oziroma (inducirana) električna poljskajakost Em ,ind , ki bo F E m,ind = =v×B. (11.15) QIntegral jakosti polja vzdolž palice pa dá napetost – gibalno inducirano napetost: L ( ui = ∫ v × B ⋅ dl ) (11.16) 0Tej napetosti rečemo tudi rezalna napetost, saj nastane tedaj, ko prevodnik “reže” magnetno poljePrimer: Prevodna palica dolžine l = 5 cm je postavljena vzdolž Y osi in se giblje s hitrostjov = ex 2 m/s v homogenem polju B = ez 5 mT . Določite inducirano napetost med koncema palice. l =5 cm ∫ ( −e vB ) ⋅ e dy = −vBl = −5 ⋅10 −4Izračun: v × B = −e y vB = −e y 10−2 T ⋅ m/s . ui = y y V = −0 ,5 mV . 0Dodatno: Hitro lahko pokažemo, da do enakega rezultata pridemo tudi iz enačbe za časovnospremembo fluksa skozi zanko, če si pač zamislimo, da je palica del stranice zanke, ki se veča vsmeri X osi. Ker se s časom povečuje površina zanke, se veča tudi fluks skozi zanko. DobimoΦ ( t ) = B ⋅ A( t ) = B ⋅ lx = B ⋅ lvt , inducirana napetost v zanki (med koncema potujoče palice) pa je dΦui = − = − Blv = −0,5 mV dtSLIKA: a) premikanje vodnika v magnetnem polju. Na koncih premikajoče se prevodne palice vprečnem magnetnem polju se pojavi (inducira) napetost. b) Časovno večanje površine zanke zaradipremikanja stranice zanke povzroči povečanje fluksa in posledično inducirno napetost.
  • 121. Inducirana napetost 11.Skupna transformatorska in gibalna inducirana napetost. Kakšna pa je zveza med temzapisom inducirane napetosti in tistim s časovno spremenljivim fluksom? Na tem primeru lahkopokažemo, da bi z uporabo osnovnega zapisa dobili enak rezultat. Le zamisliti bi si morali virtualnozanko, katere fluks se veča ali zmanjšuje s časom.Z drugačnim zapisom enačbe (11.14) lahko upoštevamo tako inducirano napetost, ki je posledicačasovne spremembe gostote pretoka v mirujoči zanki in inducirano napetost, ki je posledica gibanjav časovno konstantnem polju: ∂ ∫ L E ⋅ dl = − ∫ A ∂t B⋅dA+ ∫ v× B L (11.17)Prvi člen imenujemo transformatorska, drugega pa gibalna ali rezalna inducirana napetost. Odvisnood primera moramo upoštevati prvo, drugo ali pa kar obe hkrati.Faradayev homopolarni generator*Je naprava, ki proizvaja enosmerno napetost pri vrtenjuprevodnega diska v magnetnem polju. Prvi jo je opisal že leta1831 Michael Faraday. Deluje tudi v obratnem režimu, kotmotor in se smatra kot prvi enosmerni električni motor.SLIKA: Vrteči prevodni disk v prečnem magnetnem polju. Med osjo in obodom priključimokontaktorje in na sponkah se pojavi napetost – inducirana napetost.http://www.zamandayolculuk.com/cetinbal/faradaydisk.htmZa izračun generatorske (inducirane) napetosti: med kontaktoma si zamislimo prevodno progo medosjo in točko na robu diska. Na naboje v disku, ki se vrtijo s hitrostjo v = ωr deluje magnetna sila* Ta tip generatorja je pogosto »tarča« najrazličnejših raziskovanj, tudi takih, ki iščejo nenavadnosti v delovanjuelektromagnetnega polja. Prepričajte se sami z »deskanjem« po spletnih straneh.
  • 122. Inducirana napetost 11.Fm = Qv × B , ki premakne (pozitivne) naboje v smeri vektorskega produkta. Pojavi se torejinducirana električna poljska jakosti Ei = v × B , ki je v smeri radija od osi proti zunanjemu R R R2kontaktu. Med kontaktoma se inducira napetost ui = ∫ Ei dl = ∫ ω rBdr=ω B. 0 0 2Primer: Prevodni disk polmera R = 10 cm se vrti s hitrostjo 1000 obr/min v prečnem homogenemmagnetnem polju 200 mT. Določimo inducirano napetost med osjo in obodom diska. R R R2 1000 (0,1 m)2Izračun: ui = ∫ Ei dl = ∫ ω rBdr=ω B = 2π 0 ,2 T = 104 ,8 mV . 0 0 2 60 s 2Napetost ni velika, je pa zato lahko zelo velik tok, ki steče v zanki, saj je ohmska upornost izrednomajhna. Zato dejansko lahko pričakujemo izredno velike toke. Problem se pojavi v kontaktih, kjerse pojavi velika kontaktna upornost, ki je moteča še posebno pri zelo velikih tokihSLIKA: Homopolarni generator.Generator izmenične napetosti z vrtenjem tuljave v magnetnem polju.Tuljavo postavimo v enosmerno homogeno magnetno polje in jo vrtimo s kotno hitrostjo ω. Pojaviinducirane napetosti v zanki lahko razložimo na oba načina: kot posledico časovne spremembefluksa skozi zanko (transformatorska napetost) ali pa kot posledico sile na gibajoče naboje (rezalnanapetost). V prvem primeru opazujemo časovno spreminjanje fluksa skozi zanko, ki bo enakoΦ = B ⋅ A( t ) = B ⋅ b ⋅ acos(ωt ) , inducirana napetost pa bo dΦ dcos(ωt )ui = − N = − Bab = Babωsin(ωt ) = U msin(ωt ) . Amplituda inducirane napetosti je odvisna dt dtod površine zanke (ne od oblike, ki je lahko tudi trikotna), velikosti magnetnega polja in kotnefrekvence. Izhodna (inducirana) napetost je sinusne oblike.
  • 123. Inducirana napetost 11.SLIKA: a) Vrtenje pravokotne tuljave v homogenem magnetnem polju. b) Izhodna napetost jesinusne oblike.Primer 3. Vrtenje zanke v magnetnem polju: izpit, 5. septembra 2002MALO ZA ZABAVO MALO ZARES:Izdelajte in raziščite delovanje homopolarnega motorja sestavljenega iz baterije, vijaka, žičke intrajnega magneta.¸ http://www.evilmadscientist.com/article.php/HomopolarMotor Primeri kolokvijev in izpitov: kolokvij, 3. maj 2004 2. kolokvij, 11. 6. 2003 izpit, 16. april 2002 izpit, 8. april 2002 izpit, 4. 12. 2001 Izpit, 03. 09. 2003 izpit, 5. septembra 2002 S pomočjo induktivnosti: Izpit, 25. 08. 2004 Izpit, 21. 06. 2004
  • 124. Energija magnetnega polja 12. Energija magnetnega poljaVsebina: moč in energija, energija sistema tuljav, nadomestna induktivnost,energija v nelinearnih magnetnih strukturah, gostota energije, izračuninduktivnosti iz magnetne energije, energija histerezne zanke, izgube v jedru,produkt BH, magnetna sila.Izhajamo iz moči na tuljavi, ki je enaka produktu toka in napetosti na tuljavip = uL ⋅ iL . To so sedaj časovno spreminjajoče veličine, lahko bi torej pisali tudip (t ) = u L (t ) ⋅ iL (t ) . Upoštevamo še izraz za padec napetosti na tuljavi dΨ diuL = = L , ki je izražena s produktom induktivnosti in spremembe toka v dt dt d i (t )tuljavi in dobimo p (t ) = L ⋅ i (t ) . Integracija moči po času pa je energija dt tW (t ) = ∫ p(t )dt . Integracijo po času nadomestimo z integracijo po toku t0 t t i (t ) idt = ∫ Lidi in dobimo W (t ) = L ( i 2 (t ) − i 2 (t0 ) ) . Vzemimo, di 1W (t ) = ∫ p (t )dt = ∫ L t0 t0 dt i ( t0 ) 2da na začetku ni bilo toka skozi tuljavo ( i (t0 ) = 0A ), potem je trenutna energijasorazmerna kvadratu trenutne vrednosti toka skozi tuljavo 1 2 W (t ) = Li (t ) (12.1) 2To je energija, ki je shranjena v magnetnem polju tuljave v časovnem trenutku t.Z upoštevanjem zveze med magnetnim sklepom in tokom skozi tuljavo Ψ (t ) = Li (t ) ,lahko energijo izrazimo tudi s trenutno vrednostjo magnetnega sklepa Ψ 2 (t ) W (t ) = . (12.2) 2LPrimer: Izračunajmo in skicirajmo časovni potek energije v tuljavi z induktivnostjo 2mH, če skozi ovoje teče tok 0,5sin(ω t ) A , kjer je perioda signala T = 5 ms. Določimoše maksimalno vrednosti te energije.
  • 125. Energija magnetnega polja 12.Izračun: Časovna potek energije v tuljavi je W (t ) = 0,5 LI 02 sin 2 (ω t ) . Maksimalnaenergija nastopi pri četrtini periode tokovnega vzbujanja (pri ωt = π / 2 ), tedaj jeWmax = 0,25 mJ .Napotek: Funkcijo sin 2 (ωt ) enostavno izrišemo, če upoštevamo zvezo 1sin 2 (ωt ) = (1 − cos(2ωt ) ) . Gre torej za harmonični signal dvojne frekvence 2osnovnega, ki ima dodatno enosmerno komponento, ki je ravno enaka poloviciamplitude.SLIKA: Časovni potek toka (črtkano, v [A]) in magnetne energije (polno, v [mJ])v poljutuljave. Energija je sorazmerna kvadratu toka in v primeru harmoničnega vzbujanja 2doseže maksimum v četrtini periode signala. Takrat je enaka 0,5LI 0 , kjer je I0amplituda toka. Matlab: t=0:1e-6:15e-3; om=2*pi/5e-3; i=0.5*sin(om.*t);W=0.25*sin(om.*t).^2; plot(t,i,t,W)Energija sistema več tuljav. Kakšne pa so energijske razmere, če je tuljav več, mednjimi pa je magnetni sklep? V tem primeru je potrebno upoštevati še magnetnoenergijo zaradi skupnega tvorjenja magnetnega polja v sistemu več tuljav.Energija v sistemu dveh tuljav je (( ) ) t t  di di   ) ( di   diW = ∫ uL1 ± uM12 i1 + uL2 ± uM 21 i2 dt = ∫  L1 1 ± M 12 2  i1 +  L2 2 ± M 21 1  i2  dt t0  t0 dt dt   dt dt  Predznak je v obeh primerih enak: pozitiven, če se fluksa tuljav »podpirata« in
  • 126. Energija magnetnega polja 12.negativen, če se »ne podpirata«. Skupna energija je ob upoštevanju zvezeM = M 12 = M 21 enaka1 1 2 1 2 W= L1i1 + L2i2 ± Mi1 i2 . (12.3) 2 2Poglejmo še poseben primer, ko gre skozi obe tuljavi isti tok. Tedaj lahko pišemo 1 2 1 2W= L1i + L2i ± Mi 2 . Izpostavimo i2/2 in dobimo 2 2 1 W= ( L1 + L2 ± 2 M ) i 2 . (12.4) 2Izraz v oklepaju lahko »razumemo« kot skupno (nadomestno) induktivnost, ki botorej Lnad = L1 + L2 ± 2 M , (12.5)tako, da je energija sistema dveh sklopjenih tuljsv s skupnim tokom enaka 1 W= Lnad i 2 . 2Splošna formula za sistem N sklopljenih tuljav je2 1 N N W (t ) = ∑∑ L jk ⋅ i j (t ) ⋅ ik (t ) 2 j =1 k =1 (12.6) .Primer: Tuljavi z induktivnostima 2 mH in 4 mH sta vezani zaporedno. Njuna fluksase podpirata s faktorjem sklopa 0,8. Tok skozi tuljavi je simetrične žagaste oblike speriodo 5 ms in amplitudo 2 A. Skicirajmo potek skupne energije tuljav inizračunajmo velikost energije v času t = 2,5 ms.1 Rešujemo enačbo (( ) ) t t ) (W = ∫ uL1 ± uM12 i1 + uL2 ± uM 21 i2 dt = ∫ ( L1i1di1 ± M 12i1di2 +L2i2di2 ± M 21i2di1 ) pri čemer t0 t0smatramo, da velja M = M 12 = M 21 . Z upoštevanjem integracije »per partes«:d(i1i2 )=i1di2 + i2di1 velja ± ( M 12i1di2 +M 21i2di1 ) = ± Md(i1i2 ) dobimo t 1 2 1 2∫ ( L i d i +L i d it0 11 1 2 2 2 ± Md(i1i2 )) = 2 L1i1 + L2i2 ± Mi1 i2 . 22 Za izpeljavo glej npr. A.R.Sinigoj, Osnove elektromagnetiko, 367- 370.
  • 127. Energija magnetnega polja 12.SLIKA: Sistem dveh sklopljenih tuljav z istim tokom in nadomestno vezje.SLIKA: Tok (modra črtkana, v [A]) in skupna energija sistema dveh tuljav (polna črta,v [mJ]). MATLAB: Lnad=8.26e-3; t=0:1e-6:15e-3; om=2*pi/5e-3;i=2*sawtooth(om.*t,0.5); W=1e3*0.5*Lnad*i.^2; plot(t,i,t,W,t,zeros(1,length(t)))Izračun: Medsebojno induktivnost določimo kotM = k L1 L2 = 0 ,8 2 ⋅ 4 mH ≅ 2 ,26 mH . Ker se fluksa vzajemno podpirata jenadomestna induktivnost enaka Lnad = L1 + L2 + 2 M = (2 + 4 + 2 ⋅ 2, 26) mH = 10,52 mH . Časovni potek energije jeparabolično naraščanje in upadanje z dvojno periodo tokovnega vzbujanja. V času 2,5ms je tok enak 2A in velikost energije 1W = i 2 Lnad = 0,5 ⋅ (2A) 2 ⋅10,52 mH = 21, 04 mJ . 2
  • 128. Energija magnetnega polja 12.Energija magnetnega polja v nelinearnih magnetnihstrukturahPri doslej izpeljanih izrazih za energijo v magnetnem polju magnetnih struktur (tuljav)smo predpostavili linearno zvezo med fluksom in tokom: Φ = Li . Ta predpostavka jepogosto upravičena, vsekakor tedaj, ko nimamo opravka z magnetnimi materiali ali patedaj, ko je upravičena linearizacija magnetilne krivulje. V teh primerih je relativnapermeabilnost konstantna.Sedaj pa bomo obdelali še primer, ko linearizacija magnetilne krivulje ni upravičena,oziroma, bi s tovrstno poenostavitvijo naredili preveliko poenostavitev. Zanima nastorej energija magnetnega polja v nelinearnih strukturah, v feromagnetnih jedrih, kjerje zveza med B-jem in H-jem oziroma magnetnim sklepom in vzbujalnim tokomnelinearna. Še več, običajno imamo opravka s histerezno zanko. dΨIzhajamo iz osnovne zveze p = i ⋅ u in u = , od koder je dW = pdt = idΨ . dt tEnergija, potrebna za magnetenje od časa 0 do t je enaka Wmag (t ) = ∫ idΨ . Vzemimo 0feromagnetno jedro, tesno ovito z N ovoji, kjer velja Amperov zakon Ni = ∫ H ⋅ dl ; Lza diferencial magnetnega sklepa lahko pišemo dΨ = NdΦ = N B ⋅ d A . Z ( )upoštevanjem obeh zvez, pa tudi tega, da bo potrebno paziti na časovno spremembo t 1  ( )Bja, dobimo Wmag (t ) = ∫ ∫ ∫  H ⋅ d l  Nd B ⋅ d A . Enačbo preuredimo tako, da 0 L A  Nzdružimo integracijo po površini in dolžini v integracijo po volumnu3: t  Wmag (t ) = ∫  ∫ H ⋅ d B dV (12.7) V0 V oklepaju v enačbi (12.7) lahko razpoznamo gostoto magnetne energije, ki jo lahkozapišemo kot wmag (t ) = ∫ B (t ) H ⋅ dB , (12.8)3 To lahko naredimo, ker so trije od štirih vektorjev v integralu kolinearni (enako usmerjeni). To so ( ) (d B, d A, dl . Zato lahko združimo H ⋅ d B in d l ⋅ d A . )
  • 129. Energija magnetnega polja 12.pri čemer je potrebno integrirati jakost polja po gostoti pretoka. Če magnetimo B0material od B = 0 T do nekega B0, bo w( B0 ) = ∫ H ⋅ dB . 0SLIKA: Integracija gostote magnetne energije. Integriramo vzdolž B osi!Gostota energije pri linearni magnetilni krivulji.V primeru, da imamo opravka z materialom, ki ga lahko opišemo z linearnomagnetilno krivuljo, lahko uporabimo zvezo B = µ H , kar vstavimo v gornjo enačboin določimo gostoto energije kot B2 w= 2µ (12.9) B02oziroma, če magnetimo do B0 je w( B0 ) = . 2µCelotno energijo magnetenja dobimo z integracijo gostote energije po volumnu B2 W =∫ dV . (12.10) V 2µČe predpostavimo homogeno polje v volumnu, pa je energija kar B2 W= V. (12.11) 2µ µH 2To enačbo lahko zapišemo tudi s H-jem kot W = V. 2 µH 2 Li 2Pokažite enakost izraza W = V in W = . 2 2
  • 130. Energija magnetnega polja 12.Primer: Jedro brez zračne reže iz feromagnetnega materiala z µr = 850 ima 350ovojev. Presek jedra ima površino 3 cm2, srednja dolžina gostotnice pa je 60 cm.Določimo magnetno energijo v jedru pri enosmernem toku skozi ovoje 2 A. NI 350 ⋅ 2AIzračun: H = = = 1166, 7 A/m l 0,6m Vs A µ r µ0 H 2 850 ⋅ 4π 10−7 (1166,7 )2w= = Am m = 727 J/m 3 2 2W = wV = 727 ⋅ 0, 6 ⋅ 3 ⋅10 −4 J = 0,13J .SLIKA: Primer jedra z linearno magnetilno krivuljo s prikazom gostote energije v jedrukot površine med magnetilno krivuljo in B osjo.Energija v nelinearnih magnetnih strukturah.V primeru, da je magnetilna krivulja nelinearna, je potrebno energijo računatineposredno iz enačbe (12.8). Lahko tudi zapišemo diferencial gostote magnetneenergije, ki bo dw = H ⋅ d B . (12.12)Gostoto energije dobimo torej z integracijo površine med magnetilno krivuljo in osjoB: Bkončna w= ∫ Bzačetna H ⋅ dB . (12.13)Če upoštevamo celotno histerezno zanko, ugotovimo, da bo gostota energije v temmaterialu enaka površini histerezne zanke: w = ABH zanke . (12.14)
  • 131. Energija magnetnega polja 12.SLIKA: Primer jedra z nelinearno magnetilno krivuljo s prikazom gostote energije vjedru kot površine med magnetilno krivuljo in H osjo.Primer: Vzemimo primer linearizirane magnetilne krivulje, ki jo opišemo sprelomnima točkama B1 = 1T, H1 = 1200 A/m in B2 = 1,2 T, H2 = 2400 A/m.Določimo gostoto magnetne energije v jedru feromagnetika s podano magnetilnokrivuljo, če ga magnetimo od 0 T do gostote 1,1 T.Izračun: Izračunati je potrebno integral po enačbi (12.13), ki pa ga v primerulinearizirane krivulje lahko določimo preprosto iz delnih površin krivulje: 1200 A/m ⋅1T 600 A/m ⋅ 0,1Tw= + 1200 A/m ⋅ 0,1T + = 750 J/m3 2 2SLIKA: Odsekoma zvezna magnetilna krivulja in gostota energije kot površina medhisterezno krivuljo in B osjo.Produkt B in HV poglavju 9 smo že govorili o trdomagnetnih in mehkomagnetnih materialih inomenili, da je lastnost trdomagnetnih materialov velika remanenčna gostoto polja (Br),pa tudi velika koercitivna jakost polja (Hc). Ugotovitev tega poglavja je, da je gostotamagnetne energije sorazmerna produktu Hja in Bja. V tem smislu lahko delimomaterialne na trdomagnetne in mehkomagnetne po maksimalni gostoti energije, ki jodosežejo ti materiali. Ta produkt določimo kot pravokotnik z največjo površino vdrugem kvadrantu magnetilne B(H) krivulje. S pojmom gostote energije se v praksipredvsem označuje trdomagnetne materiale, ki se jih glede na ta kriterij lahko deli šenadalje: v t.i. konvencionalne tromagnetne materiale s produktom ( BH )max med 2 in80 kJ/m3 (npr. AlNiCo: aluminij-nikelj-kobalt) in visokoenergijske trdomagnetnemateriali (npr. SmCo: samarij-kobalt in NeFeB: neodij.železo-bor) s produktom
  • 132. Energija magnetnega polja 12.( BH )max nad 80 kJ/m3. Tipične vrednosti prikazujeta sledeči tabeli (ponovnougotovimo vzrajnost pojavljanja enot kot so Oe: Oerstead in G: Gauss):SLIKA: Trdomagnetni materiali: kompozicija, Br, Hc, ( BH )max , Curiejeva temperaturain specifična upornost. Vir: Povzeto po ASM Handbook, Vol.2, ASM International,1990.SLIKA: Mehkomagnetni materiali: kompozicija, začetna permeabilnost, maksimalna(saturacijska) gostota polja, histerezne izgube (gostota energije), specifična upornost.Vir: Povzeto po ASM Handbook, Vol.2, ASM International, 1990.Izgube v jedru.Energija, vložena v grajenje magnetnega polja v nelinearni magnetni strukturi jenepovratna. Uporabi se za magentenje materiala, za obračanje t.i. Weissovih obsegov,pri čemer pride do (mehanskega) trenja. Če je tok v ovojih na jedru izmeničen in»obhodi« histerezno krivuljo f krat na sekundo (frekvenca signala), bo gostotaizgubne moči enaka (iz w = pT ): phist = fABH zanke (12.15)
  • 133. Energija magnetnega polja 12.celotna histerezna izgubna moč pa bo enaka gostoti moči pomnoženi z volumnommateriala4 Phist = phistV . (12.16) A A Vs J Opozorilo: ABH zanke predstavlja gostoto energije, enota je  T = = , V m m m 2 m3  predstavlja volumen [m3].Primer: Določimo histerezno izgubno moč jedra prostornine 120 cm3, kateregamagnetilna krivulja je na sliki. (Je v obliki kvadrata z Br = 1,5 T in Hc = 2000 A/m).Vzbujalni signal ima frekvenco 50 Hz.SLIKA: Histezna zanka določena z Br in Hc.Izračun: Površina histerezne zanke je 4⋅1,5T⋅2000 A/m = 12000 J/m3. To je gostotamagnetne energije, ki je potrebna za magnetenje jedra. Gostota izgubne moči je poenačbi (12.14): 50s-1⋅12000 J/m3=6⋅105 J/(s m3), celotna moč histereznih izgub pa120⋅10-6 m3⋅6⋅105 J/(s m3) = 72 W.4 V praksi se običajno histerezne izgube računa po formuli kh f B 2 [W/kg], kjer je kh konstanta. Za večinformacij o načrtovanju transformatorjev in dušilk priporočam priročnik F. Mlakar, I Kloar: Malitransformatorji in dušilke, Elektrotehniški vestnik, 1970. (na razpolago v knjižnici FE). V praktičnihformulah pogosto namesto kvadrata Bja nastopa lahko tudi različen faktor, tako recimo Steinmetzovaformula vzame za eksponent vrednost 1,6, konstanta kh pa npr. 0,0002 za mehko železo in 0,003 zajeklo. (M.A. Plonus: Applied Electromagnetics). Poleg histreznih izgub lahko nastopajo še izgubezaradi vrtinčnih tokov. Te so za prevodne feromagnetike običajno sorazmerne kvadratu gostote pretoka 2 2in kvadratu frekvence ( f B ).
  • 134. Energija magnetnega polja 12.Določevanje induktivnosti iz magnetne energije.Enačba za izračun energije v magnetnem polju je primerna tudi za določevanje lastneinduktivnosti. Pri enosmernem toku skozi vodnik je magnetna energija v prostoruenaka LI 2 W= (12.17) 2Če je induktivnost neznana, magnetno energijo, ki jo v prostoru povzroča tok vvodniku pa znamo določiti na drug način, lahko induktivnost iz energije določimo iz 2W L= . (12.18) I2Kako pa izračunamo magnetno energijo na drugačen način kot s pomočjoinduktivnosti? Iz poznavanja gostote magnetnega pretoka v prostoru. Določimo B2gostoto energije po enačbi w = in jo integriramo po volumnu: 2µ W = ∫ w dV (12.19) VTa zapis je posebno primeren tedaj, ko je težko določiti fluks skozi ploskev. Takprimer so polni vodniki, ki imajo magnetno polje tudi v notranjosti vodnika in ne le vzunanjosti. Torej je tudi v notranjosti vodnika določena magnetna energija, kiprispeva k celotni induktivnosti vodnika.Primer: Določimo induktivnost na enoto dolžine za notranjost (okroglega) vodnikapolmera 1,5 cm. Vodnik je iz neferomagnetnega materiala.Slika: Okrogel vodnik polmera R.Izračun: Najprej z uporabo Amperovega zakona določimo gostoto pretoka v µ0 Inotranjosti in dobimo B = r (glej poglavje o Amperovem zakonu). Nato 2πr02zapišemo gostoto energije znotraj vodnika v skladu z enačbo:
  • 135. Energija magnetnega polja 12. 2 B 2  µ0 I  1w= = r / . Gostoto energije je potrebno integrirati po celotnem 2 µ0  2πr02  2 µ0 2  µ I  1 µ I 2l r0volumnu vodnika W = ∫ wdV = ∫  0 2 r ( 2πrdr ⋅ l ) = 0 , kjer je l dolžina V 0 2πr0  2µ0 16π 2W µ0vodnika. Induktivnost znotraj vodnika je enaka L = ⇒ L/l = . Dobimo I2 8πzanimiv rezultat, da induktivnost notranjosti vodnika ni odvisna od polmera vodnika. 4π10−7 H/mNa enoto dolžine je enaka L / l = = 50 nH/m . 8πDodatno: Določimo še preostalo induktivnost vodnika (v okolici).Polje je tudi izven vodnika, kar je seveda tudi potrebno upoštevati pri induktivnosti µ0 Ivodnika. Gostota polja izven vodnika je B = , gostota energije je torej 2πr ∞ ∞ 1  µ0 I  µ0  I  2 2 B2 drw= =   , celotna energija pa W = ∫   l 2πrdr = k ∫ = ∞. 2 µ0 2 µ0  2πr  r0 2  2πr  r0 rDobimo rezultat, s katerim prav gotovo ni nekaj v redu, saj energija ne more bitineskončna. Pa vendar, rezultat je smiseln, če je smiseln tudi neskončen vodnik.Neskončen vodnik pa je le koncept, ki nam poenostavi razumevanje polja, saj zelodolg vodnik v svoji okolici povzroča polje, ki ni dosti drugačno, kot bi ga povzročalneskončen vodnik. Se pa zaplete pri določenih izračunih, kjer postane neskončnostproblematična, kot je na primer računanje fluksa ali energije v neskončni okolicivodnika. Rešitev je v upoštevanju realnih primerov, kjer mora biti vodnik zaključen,da lahko v njem teče tok. Tak je primer dvovoda, ki smo ga že obravnavali v poglavjuo magnetnem pretoku, kjer smo izračunali induktivnost med dvovodoma. Lahko painduktivnost takega dvovoda obravnavamo tudi iz izraza za energijo, kjer je potrebnonamesto integracijo do neskončnosti integrirati od polmera vodnika do sredine µ0  I  µ 0 I 2 l d dr µ0 I 2l d 2 ddrugega vodnika. Dobimo W =∫   l 2πrdr = ∫ = ln in r0 2  2πr  4π r0 r 4π r0 2W µ0l dL= = ln . S tem smo upoštevali šele energijo, ki jo prispeva en vodnik. Za I2 2π r0celotno induktivnost dvovoda moramo upoštevati fluksa obeh vodnikov, skupni
  • 136. Energija magnetnega polja 12.rezultat še z induktivnostjo v notranjosti vodnika bo µ0 l µ0 l d µ0l  1 d 5Ldvovoda = + ln =  + ln  . 4π π r0 π 4 r0 Magnetna sila.Ko nas zanima sila med poloma magneta, v zračni reži magneta ali pa med dvemavodnikoma s tokom, moramo ločiti dva primera: 1) ko ni virov, ki bi dovajali energijo v sistem. Tedaj bo X komponenta sile enaka ∂Wm Fx = − (12.20) ∂x Φ = konstali v splošnem  ∂W ∂W ∂W  F = − m , m , m  , (12.21)  ∂x ∂y ∂z  Φ = konstkjer je ∂W sprememba energije shranjene v magnetnem polju. Mehansko delo bo vtem primeru zmanjšalo magnetno energijo. Tipičen primer je trajni magnet. 2) Ko je vir priključen in konstanten bo X komponenta sile enaka ∂Wm Fx = . (12.22) ∂x I = konstV tem primeru pa bo opravljeno mehansko delo rezultiralo v povečanju magnetneenergije, ki bo “prišla” iz vira(ov). Tipičen primer je elektromagnet.Vzemimo trajni magnet z režo razdalje x in preseka A v smeri osi X. Magnetna Bδ2 Axenergija v zračni reži je Wδ = . Pri tem smo predpostavili, da v zračni reži ni 2µ0 ∂Wδ Bδ2 Astresanja polja. Silo dobimo z odvajanjem energije po x-u: Fx = = ∂x 2 µ0 .5 Rezultat je pravilen, čeprav je bil izračun induktivnosti izven notranjosti vodnika nekolikopoenostavljen. Bolj poglobljena analiza upošteva razdelitev vodnika na splošne zanke in izračunpovprečnega pretoka med dvovodoma. (Glej na npr. A.R: Sinigoj: Osnove elektromagnetike) Končnirezultat pa je enak, kot ta, ki smo ga navedli.
  • 137. Energija magnetnega polja 12.Pozitivni predznak pomeni predvsem to, da bo energija sistema po opravljenemmehanskem delu večja kot pred tem.Sila med poloma je vedno taka, da ju vleče skupaj, kar velja tudi za sistem magnet –feromagnetik. V tem primeru pride do analognega procesa kot pri električni indukciji.Na strani feromagnetika, ki je bliže severnemu polu magneta, se inducira južni pol(usmerijo se magnetni dipolni momenti), kar pomeni, da se trajni magnet inferomagnetik privlačita. Poseben primer so diamagnetiki, ki bi se odbijajo odmagnetov6.Primer: Magnetno jedro E oblike na skici (a = 5 cm, A = 1 cm2) z µr = 1000 imamagnetilno tuljavo na srednjem stebru. Določimo težo pločevine, ki jo še lahko držielektromagnet, če je v N = 200 ovojih tok 1,2 A. Magnetno upornost pločevinezanemarimo, zaradi hrapavosti površine pa upoštevamo 50 µm širine zračne reže.Slika: Magnetno jedro E oblike.Izračun: Narišemo magnetno vezje in določimo fluks v srednjem stebru. Dobimo  Rm1 + Rδ Φ 2  Rm 2 + Rδ +  = NI  2  NI µ0 ANI .Φ2 = = ≅ 172,34 µWb a δ 2a δ 2a 3δ + + + + µr µ0 A µ0 A 2µr µ0 A 2µ0 A µr 2Upoštevati moramo silo v vseh treh zračnih režah, formulo za silo v zračni reži pa B2 A Φ2zapišemo s fluksom F = = . Upoštevamo še, da je v stranskih stebrih fluks 2µ0 2µ0 A2x manjši od tistega v srednjem stebru in dobimo6 Odboj je neodvisen od postavitve diamagnetika in omogoča lebdenje (levitacija) diamagnetnegamateriala. Ker pa so ti efekti zelo šibki, so za opazovanje lebdenja potrebna zelo velika polja, ki jihobičajno dosežemo s superprevodnimi magneti.
  • 138. Energija magnetnega polja 12. 3 Φ2F= 1 2µ0 A ( 2Φ + Φ ) = 22 A ≅ 177,3 N . To silo izenačimo s silo teže in dobimo 1 2 2 2 µ0 2 177,3 Nm≅ ≅ 18,1 kg . 9,8 m/s 2SLIKA: Gostota energije jepomemben podatek za izbiro trajnihmagnetov. Največjo energijskovrednost imata materiala Nd-Fe-B inSm-Co. V končni fazi je seveda izbiramateriala odvisna od razmerja medceno in učinkom. Primer kolokvijskih in izpitnih nalog : Magnetna sila: izpit, 23. januar 2007 izpit, 4. februar 2005 Energija: Drugi kolokvij OE II , 29.05 2002 2. kolokvij (11.06.2002)
  • 139. Energija magnetnega polja 12. POVZETEK: 1) V primeru linearne zveze med fluksom in tokom v magnetni strukturi, lahko energijo sistema (tuljave) izrazimo z lastno induktivnostjo kot 1 2 W (t ) = Li (t ) . 2 2) V primer dveh sklopljenih linearnih sistemov velja zveza 1 2 1 2 W= L1i1 + L2i2 ± Mi1 i2 , ki je v primeru istega toka skozi oba elementa 2 2 1 1 W= ( L1 + L2 ± 2M ) i 2 ali tudi W= Lnad i 2 , kjer je 2 2 Lnad = L1 + L2 ± 2 M . Predznak je odvisen od tega ali se fluksa obeh tuljav podpirata (+) ali nasprotujeta (-). 3) Če je zveza med fluksom in tokom nelinearna, je potrebno magnetno energijo določiti iz gostote energije, ki je enaka wmag (t ) = ∫ B (t ) H ⋅ d B . Gre za integracijo magnetilne krivulje vzdolž B osi. 4) V primeru linearne ali linearizirane magnetilne krivulje, je gostota energije B02 določena z w( B0 ) = , celotna energija v jedru (ob predpostavki 2µ B2 homogenosti polja v jedru) pa W = Al . 2µ 5) Površina histrezne zanke je sorazmerna histereznim izgubam. Zato so za uporabo pri velikih izmeničnih signalih (npr. transformatorji) bolj primerna mehkomagnetna jedra. Moč histereznih izgub je phist = f ⋅ ABH zanke , kjer je f frekvenca vzbujalnega signala, ABH zanke pa površina histerezne zanke. LI 2 6) Z upoštevanjem izraza za energijo tuljave W = lahko ob poznavanju 2 2W energije določimo lastno indukcivnost kot L = . I2 7) Silo v magnetnem polju dobimo s parcialnim odvajanjem magnetne  ∂W ∂W ∂W  energije in je F = ±  m , m , m  . Predznak je odvisen od tega, ali je  ∂x ∂y ∂z  v sistem vključen vir (pozitivni predznak) ali ni vira (negativen predznak). Bδ2 A Sila v zračni reži je F = − . Negativni predznak nastopa v smislu 2µ0 zmanjšanja energije sistema.
  • 140. Lastna in medsebojna induktivnost 13. Lastna in medsebojna induktivnost (povzetki ugotovitev)O lastni in medsebojni induktivnosti smo že kar nekaj povedali. Induktivnostpredstavlja neposredno zvezo med fluksom v navitju in tokom (virom), predvsem paje pojem induktivnosti neposredno povezan z energijo magnetnega polja in induciranonapetostjo. V tem poglavju bomo ponovili nekaj ugotovitev predhodnih poglavij indodali še nekaj novih.Lastna induktivnost.Ugotovili smo, da je za določitev lastne induktivnosti potrebno določiti fluks skozi(lastne) ovoje, ki jih povzroča tok v lastnem navitju. Upoštevati je potrebno magnetnisklep, torej fluks skozi ovoje pomnožiti s številom ovojev, kar da Ψ NΦ L= = . (13.1) I IV primeru, da je navitje porazdeljeno tako, da ne gre celotni fluks skozi vse ovoje, Ψ Ψ 1 +Ψ 2 + ⋅⋅⋅⋅induktivnost določimo kot L = = . I IPodobno kot za kapacitivnost lahko tudi za induktivnost ugotovimo, da je odvisna odsnovno geometrijskih lastnosti.Induktivnost kot zveza med tokom in fluksom.Induktivnost nam predstavlja zvezo med tokom v navitju in fluksom oziromamagnetnim sklepom skozi navitje: Ψ = LI .Induktivnost kot mera za sposobnost shranjevanja magnetne energije.Magnetna energija v polju tuljave je sorazmerna produktu induktivnosti in kvadrata 1 2toka: W = Li . Induktivnost je torej mera zmožnosti tuljave za shranjevanje 2magnetne energije1.1 Spomnimo se lahko na poglavje o energiji polja v elektrostatičnem polju (OE1), kjer smo ugotovili, CU 2da je kapacitivnost mera za shranjevanje energije v elektrostatičnem polju kondenzatorja: We = 2
  • 141. Lastna in medsebojna induktivnost 13.Izračun lastne induktivnosti iz energije magnetnega polja.Lastno induktivnost lahko izračunamo iz energije magnetnega polja, iz enačbe LI 2W= , če le poznamo energijo, ki jo povzroča tok I. To pa lahko dobimo iz 2gostote magnetnega polja oz. integracijo gostote energije wmag (t ) = ∫ B (t ) H ⋅ d B inW = ∫ wmag dV . VInduktivnost kot mera za velikost inducirane napetosti.Poleg tega je pojem induktivnosti neposredno povezan z inducirano napetostjo: diui = − L . dtIzračun sile iz izraza za energijo tuljave.Tudi magnetno silo lahko izrazimo s pomočjo spremembe induktivnosti in/ali toka.Kot primer vzemimo možnost premikanja tuljave v smeri osi X: ∂W 1 ∂ ( Li 2 ) = ± 1  L ∂ix + i 2 ∂L  .  2 Fx = ± =± ∂x 2 ∂x 2 ∂ ∂x Predznak je odvisen od tega, ali pride energija potrebna za premik iz vira (+) ali pa seporabi za premik energija shranjena v polju (-).Medsebojna induktivnost. Če nas zanima fluks v navitju, ki je posledica vzbujanja vdrugem (ne lastnem) navitju, govorimo o medsebojni induktivnosti. Definiramo jo kot N 2 ⋅Φ 21 M 21 = , (13.2) I1kjer je Φ 21 fluks skozi drugo tuljavo zaradi toka skozi prvo tuljavo. Analogno lahko N1 ⋅Φ12definiramo M12 kot M 12 = . I2Če imamo opravka z linearnimi magnetnimi materiali (če je µr konstanten), sta M21 inM12 kar enaka, torej M = M 21 = M 12 .
  • 142. Lastna in medsebojna induktivnost 13.POZOR: Pri računanju medsebojne induktivnosti moramo en od virov »odklopiti«.Če računamo M21, skozi navitje 1 »spustimo« tok I1 in določimo fluks, ki gre skozituljavo 2.Faktor sklopa.Če je magnetna povezava med tuljavama 1 in 2 linearna, velja med lastnimainduktivnostima in medsebojno induktivnostjo tuljave zveza M = k L1 L2 (13.3)Induktivnost pri nelinearnih magnetnih strukturah.V primeru uporabe feromagnetnih materialov jed zveza med B in H nelinearna, v temsmislu postane nelinearna tudi permeabilnost in induktivnost. Upoštevanjenelinearnosti je odvisno od in uporabe (oblika vzbujalnega signala) in želenenatančnosti izračuna. Natančnejša analiza presega obseg tega predmeta. Primeri kolokvijskih in izpitnih nalog: prvi kolokvij, 11. april 2005 1. kolokvij, 3. maj 2004 prvi kolokvij, 15. april 2004 Prvi kolokvij, 22. april 2003 23.04 2002 Izpit, 28. avgust 2006 izpit, 4. februar 2005, Izpit, 29.03.2004 Izpit, 30. 1. 2004 izpit, 6. februar 2003 Izpit 26. 6. 2002 izpit, 4. 12. 2001 2. kolokvij, 12. 6. 2003
  • 143. Primeri upoštevanja matematične magnetilne krivulje pri izračunuinducirane napetostiVzemimo primer jedra z nelinearno in linearizirano magnetilno krivuljo, na kateremimamo navitje s 1000 ovoji. Jedro ima presek 1 cm2 in srednjo dolžino 0,24 m.V primeru, da predpostavimo linearizirano magnetilno krivuljo, je induktivnost jedraneodvisna od vzbujalnega toka, torej konstantna. Inducirana napetost pa bo enaka kar diproduktu induktivnosti in časovnem odvoda toka v ovojih ui = − L . V primeru dtvzbujanja s sinusnim signalom, bo potek inducirane napetosti kosinusna funkcija.Če pa upoštevamo nelinearnost uvedeno z magnetilno krivuljo, je potrebno izračunatifluks skozi jedro in ga odvajati po času. Inducirana napetost popačena, velikost popačenjapa je odvisna od velikosti vzbujalnega signala.V primerih ni upoštevana histerezna B(H) karakteristika.1. primer: Magnetilna krivuljapodana v matematični obliki 2.5B=sqrt(2)*atan(H/750); 2Slika na desni prikazuje predpostavljenomagnetilno krivuljo zapisano v oblikimatematične funkcije arkus tangens. 1.5 B /T 1 0.5 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 H / A/m 1600 BV skladu z enačbo µ r = je µ0 H 1400relativna permeabilnost (mir) iz 1200zgornje magnetilne krivulje prikazanana sliki na desni. 1000 mi r 800 600 400 200 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 H / A/m
  • 144. -4 x 10 2Magnetni pretok – fluks 1.5Ker predpostavimo homogenostgostote magnetnega pretoka v jedru, 1je fluks enak produktu magnetnegapretoka in preseka, torej je časovno 0.5 Fluks /Wbspreminjanje fluksa v jedru enako 0časovnemu spreminjanju gostotemagnetnega pretoka v jedru. Pri -0.5majhnih amplitudah toka je signalfluksa enak signalu vzbujalnega toka -1(sinusne oblike), pri večjih pa postaja -1.5bolj popačene oblike, ki gre v smeripravokotnega signala, kot kažjo -2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5slike. Cas /s -4 x 10 3 2V nasičenju je oblika fluksa v jedruskoraj pravokotne oblike. 1 Fluks /Wb 0 -1 -2 -3 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Cas /sInduktivnostVzemimo primer jedra brez zračne 0.8reže in z zračno režo 0,5 mm.Primerjamo induktivnost določeno z 0.7linearizacijo magnetilne krivulje priH = 1000 A/m in induktivnost, 0.6 NΦdoločeno iz L = . V prvem Ι 0.5 L /Hprimeru bo induktivnost konstantna 0.4(zgornja črta na sliki desno) , vdrugem pa nelinearna (polna črta). Z 0.3vstavitvijo zračne reže se zmanjša B 0.2in induktivnost. Zračna reža zmanjšanelinearnost induktivnosti. 0.1 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 H / A/m
  • 145. Inducirana napetost Imax =0.2A Hmax =833.3333A/mKakšna pa bo inducirana napetost, če 8predpostavimo, da se bo signal “gibal” 6po izrisani magnetilni krivulji (brezhistereze)? V tem primer je potrebno 4izračunati odvod fluksa po času.:Vzbujalni tok je sinusne oblike. 2 Napetost / Vi=Imax*sin(omega*t); 0B=BB1(N*i/l);Fluks=B*A; -2u=-N*[0 diff(Fluks)]/dt; -4Popačenje napetostnega signala je -6odvisno od amplitude toka. Za majhneamplitude je napetostni signal še dokaj -8 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5nepopačen (kosinusne oblike), z Cas / svečanjem amplitude pa se veča tudipopačenje. Slika desno zgoraj kaže tri Imax =1A Hmax =4166.6667A/moblike inducirane napetosti, pri sinusnem 40tokovnem vzbujanju z amplitudami toka 300,05, 0,1 in 0,2 A. Ugotovimo večanjepopačenja signala z večanjem amplitude 20toka. 10 Napetost / V 0Popačenje se z večanjem amplitude tokaše povečuje (sliki desno na sredini in -10spodaj). Inducirana napetost postaja pri -20zelo velikih vrednosti polja izrazitonelinearna. Dobimo napetostne špice, -30tam, kjer tokovni signal prehaja iz -40pozitivne v negativno vrednost, saj se 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Cas / sokoli te točke fluks najhitreje spreminja. Imax =4A Hmax =16666.6667A/m 200 150 100 50 Napetost / V 0 -50 -100 -150 -200 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Cas / s
  • 146. 2. primer nelinearne magnetilne 3krivuljeVzemimo magnetilno krivuljo, 2.5aproksimirano s zamaknjeno Arctanfunkcijo v obliki Matlab formule: 2function [B]= BB(H)Hmax=10000; B /T 1.5s=abs(H)*(4*pi)/Hmax-pi;B=(atan(s)-atan(-pi)).*sign(H) 1Funkcijo prikazuje slika desno. 0.5 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 H / A/mStatična relativna permeabilnost 500Dobimo jo iz kvocienta gostote in jakosti 450magnetnega polja. Enake oblike kot je 400(statična) relativna permeabilnost, je tudiinduktivnost, izračunana iz kvocienta 350fluksa in toka v jedru. 300plot(H,BB(H)./(mi0*H)); mi r 250Pri velikih vrednosti jakosti polja bi 200morala iti relativna permeabilnost proti 150vrednosti 1 (narisana gre proti 2,8). 100 50 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 H / A/m -5 x 10 1.5Magnetni pretok – fluksOb predpostavki homogenega polja v 1jedru je fluks enak produktu gostotepretoka in preseka. Če upoštevamo 0.5nelinearno magnetilno krivuljo, je fluks Fluks /Wbodvisen od nelinearnosti B(H) 0karakteristike.Na sliki desno je prikazančasovni potek fluksa skozi jedro za -0.5amplitude vzbujalnega toka 0,05, 0,1 in -1 -1.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Cas /s
  • 147. -4 x 10 40,2 A. Oblika toka je sinusna (ni 3narisana), oblika fluksa pa se odsinusne oblike razlikuje, saj se z 2večanjem toka (jakosti polja) polje 1 Fluks /Wbizraziteje veča (v skladu z relativnopermeabilnostjo na prejšnji strani). 0Če se amplituda toka še povečuje, -1prehaja jedro v del magnetilnekrivulje, kjer se B spreminja -2počasneje s H-jem (bližanjenasičenju jedra). V tem delu postaja -3potek fluksa bolj “pravokotne” 0 0.05 -4 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 x 10 Cas /soblike. To se še izraziteje pojavlja v 4primeru, ko je vzbujanje tako veliko,da je jedro v nasičenju. V takem 3primeru bo fluks v jedru praktičnopravokotne oblike, kot prikazuje 2spodnja slika. 1 Fluks /Wb 0 -1 -2 -3 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Cas /s 0.35InduktivnostInduktivnost izračunamo iz razmerja 0.3magnetnega sklepa in toka. V primeru linearne 0.25B(H) karakteristike je induktivnostkonstantna, sicer je odvisna od toka (Hja). 0.2Nelinearnost lahko zmanjšamo z zračno režo v L /Hjedru, kar prikazuje slika. Dve ravni črti 0.15prikazujeta linearizirano induktivnost za H = 0.11000 A/m z in brez zračne reže in hkratiinduktivnost z upoštevanjem nelinearnosti 0.05magnetilne krivulje. Z vključitvijo zračne režese induktivnost zmanjša, hkrati pa je bolj 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000konstanta. H / A/m
  • 148. Imax =0.2A Hmax =833.3333A/m 0.6Inducirana napetost 0.4Inducirano napetost dobimo zodvajanjem fluksa po času in 0.2množenjem s številom ovojev. Primajhnih tokih (jakostih polja) je Napetost / V 0napetostni signal še dokaj nepopačen(kosinusna funkcija), pri velikih pa je -0.2vedno bolj popačen. Zgoraj jeprikazana inducirana napetost pri -0.4vzbujanju s sinusnim signalomamplitude toka 0,05, 0,1 in 0,2 A, -0.6spodaj pa dodana še napetostnasignala pri vzbujanju s sinusnim -0.8tokom amplitude 0,5 A in 1 A. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Cas / s Imax =1A Hmax =4166.6667A/m 25Pri nadaljnjem povečevanju 20amplitude toka je jedro vedno dlje 15časa v nasičenju. Tedaj se fluksčasovno le malo spreminja, odvod 10fluksa (inducirana napetost) po času 5 Napetost / Vpa majhen. Dobimo izrazite špiceinducirane napetosti, ki sta posledica 0prehoda jedra v nasičenje in iz -5nasičenja. Na sliki je prikazan detajl -10odzivov (inducirane napetosti) zapolovico periode. -15 -20 -25 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Cas / s Imax =20A Hmax =83333.3333A/m 450 400 350 300 Napetost / V 250 200 150 100 50 0 0.165 0.17 0.175 0.18 0.185 0.19 0.195 0.2 0.205 0.21 Cas / s
  • 149. Spreminjanje debeline zračne reže pri enaki magnetilni krivulji kot v prejšnjemprimeru. -4 x 10V prejšnjem primeru smo uporabili jedro brez 3zračne reže. V primeru, da uporabimo jedro zzračno režo, se zveča magnetna upornost 2celotnega jedra, kar se odraža v manjši gostotimagnetnega pretoka v jedru in posledično 1manjšemu fluksu v jedru. To prikazuje slika Fluks /Wbza tok sinusne oblike amplitude 2 A in 0debeline zračnih rež (z zanemaritvijo stresanja -1polja) 0 mm (veliko popačenje in velik fluks),0,5 mm, 5 mm in 10 mm (majhno popačenje -2in majhen fluks). (Izračun v Matlabuopravimo tako, da najprej določimo zvezo -3med B in H, nato določimo za poljuben H 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Cas /s 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5določen tok, potem pa izračunamo obratno, zatočke na sinusni obliki toka določimo Bje).H1=-12000:100:12000;B1=BB1(H1) Imax =2A Hmax =8333.3333A/mImax=2; 20for lz=[0,0.5e-3,5e-3,1e-2] 15i=Imax*sin(omega*t);II=H1*l/N+B1*lz/mi0/N; 10Bi= interp1(II,B1,i) 5Fluks1=Bi*A; Napetost / V 0 -5Napetostni signal dobimo z -10odvajanjem fluksa (in množenjem -15s številom ovojev). Pri majhnih -20zračnih režah je inducirana 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Cas / snapetost velika vendar popačeneoblike glede na tokovni signal, pri 350velikih zračnih režah pa jeamplituda inducirane napetosti 300manjša, je pa zato signal manjpopačen (kosinusne oblike). 250Med poloma zračne reže delujesila, ki je sorazmerna kvadratu 200 Sila /Ngostote polja v zračni reži B2 150 F= A . Sila niha z dvojno 2 µ0 100frekvenco vzbujalnega signala in jev primeru nepopačenja tudi sinusne 50oblike. 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Cas /s
  • 150. Primer trikotne oblike tokovnega 20signala 15Vzemimo tokovni signal na sliki desno, 10pri katerem dve tretjini periode signal 5narašča in eno tretjino pada. i /A 0 -5Za tokovni signal na sliki dobimo fluks, -10ki je tudi trikotne oblike, doklerpopačenje ni tako veliko. Pri večjih -15vrednostih vzbujanja se oblika fluksa -20približuje pravokotni obliki (v 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Cas /snasičenju). -4 x 10 2.5 2 1.5 1 0.5 Fluks /Wb 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 Cas /sPri majhnih vzbujalnih signalih trikotne Imax =0.5A Hmax =2083.3333A/moblike je inducirana napetost pravokotne 5oblike različnih amplitud zaradi različnihnaklonov tokovnega signala. Večji naklon, 4večja je inducirana napetost. 3 2 Napetost / VPri večanju amplitude tokovnega signala 1se jedro nahaja vedno večji del časa vnasičenju, zato bo špica napetostnega 0signala v bližini točke, ko prehaja tok iz -1pozitivne v negativno vrednost. -2 -3 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 Cas / s
  • 151. Program za izračune:Celoten program za izračune (v enem primeru je potrebno uporabiti funkcijo BB, vdrugem pa BB1). Za vmesne prikaze je potrebno dodati funkcijo break.mi0=4*pi*1e-7;A=1e-4;l=0.24;N=1000;Imax=2;I=0:0.01:Imax;H=N*I/l;H1000=N*1/lplot(H,BB(H)); xlabel(H / A/m); ylabel(B / T)figure; plot(H,BB(H)./(mi0*H)); xlabel(H / A/m); ylabel(mi r)% lineariziram pri H=1000B1000=BB(1000);mir1000=B1000/(mi0*1000)Fluks=B1000*AI1000=1000*l/N;L=N*Fluks/I1000plot(H,ones(length(H))*L)hold on% racunam z magnetilno krivuljoB=BB(H);Fluks=B*A;II=H*l/N;L=N*Fluks./IIplot(H,L); xlabel(H / A/m); ylabel(L / H)% Z zracno rezolz=0.5e-3;Bz1000=mir1000*mi0*1000;Fluks=Bz1000*AI1000=(1000*l+Bz1000/mi0*lz)/N;L=N*Fluks/I1000plot(H,ones(length(H))*L,--)% z rezo in upostevanjem magnetilne krivulje% racunam z magnetilno krivuljoB=BB(H);Fluks=B*A;II=H*l/N+B*lz/mi0/N;L=N*Fluks./II
  • 152. plot(H,L,--); xlabel(H / A/m); ylabel(L / H)H1=0:100:5000;B1=BB(H1)plot(H1,B1)figure;% INDUCIRANA NAPETOST% Racunam inducirano napetost (BREZ UPOSTEVANJA ZRACNE REZE)hold offj=0; barva=[k,b,r,g,c,b]for Imax=[0.05,0.1,0.2,0.5,1]dt=0.001;t=0:dt:0.5;omega=50;i=Imax*sin(omega*t);Hmax=N*Imax/l;B=BB(N*i/l);Fluks=B*A;%plot(t,i)u=-N*[0 diff(Fluks)]/dt;j=j+1;plot(t,u,Color,barva(j),LineWidth,2)xlabel(Cas / s); ylabel(Napetost / V);title(strcat(Imax = ,num2str(Imax), A, Hmax = ,num2str(Hmax),A/m))hold onk = waitforbuttonpressendfunction [B]= BB(H)Hmax=10000;s=abs(H)*(4*pi)/Hmax-pi;B=(atan(s)-atan(-pi)).*sign(H)function [B]= BB(H)B=sqrt(2)*atan(H/750);
  • 153. Razširjen Amperov zakon 14. * Razširjen Amperov zakon (*neobvezno gradivo)Vsebina poglavja: Dosedanji zapis Amperovega zakona ne upošteva toka v kondenzatorju,razširjen Amperov zakon predstavlja 1. Maxwellovo enačbo, premikalni (poljski tok),uporaba premikalnega in konduktivnega toka, difuzija ravninskega polja.Problem uporabe Amperovega zakona v obliki ∫ H ⋅ dl = ∫ J ⋅ d A , kjer smo za gostoto toka vzeli L Akonduktivni tok ( J = γ E ) se pokaže, ko želimo ta zapis uporabiti tudi zvezo med magnetnimpoljem in tokom v kondenzatorju. Za kondenzator vemo, da v njem (v idealnem primeru) nikonduktivnega toka, saj je specifična prevodnost med ploščama tako majhna, da jo običajno lahkokar zanemarimo.Vzemimo, da se tok v vodniku s priključenim kondezatorjem časovno spreminja. Tedaj bo tok tudiskozi kondenzator vendar ne konduktivni. Dokler smo zunaj kondenzatorja in zaobjamemo žico zzanko L1 bo veljalo ∫ H ⋅ dl = i L1 kond (14.1)Če pa postavimo zanko L2 znotraj kondenzatorja dobimo z dosedanjim zapisom Amperovegazakona ∫ H ⋅ dl = 0 . Očitno zakonu manjka še komponenta toka, ki bi opisovala tudi tak tok, ki L2omogoča prevajanje skozi kondenzator. Poglejmo, kako ga določimo: če se bo tok v prevodnikuspreminjal časovno, se bo na ploščah kondezatorja časovno spreminjala velikost naboja, skladno z dQenačbo i = ic = . Naboj na ploščah pa lahko izrazimo z gostoto površinskega naboja σ , tega pa dtz gostoto električnega pretoka D: dQ d(σ A) d( DA) dD ic = = = = A (14.2) dt dt dt dtOčitno moramo v Amperovem zakonu v primeru izmeničnih signalov upoštevati polegkonduktivnega toka tudi obliko toka skozi kondenzator. Temu toku, ki sicer ni vezan nakondenzatorje pač pa na vse dielektrične snovi, imenujemo premikalni tok, pogosto pa tudi poljskitok1.1 Ta tok je prvi vpeljal J.C. Maxwell leta 1860 (objavil leta 1864) in ga poimenoval premikalni (ang. displacementcurrent). To je tok, ki ni posledica potovanja naboja v smislu konduktivnega ali konvektivnega toka pač pa le manjšega
  • 154. Razširjen Amperov zakon 14.Če je ta tok nehomogen po preseku, ga zapišemo z integralom kot ∂D ic = ∫ ⋅dA (14.3) A ∂tČe sedaj dodamo še to obliko toka k zapisu enačbe (14.1), dobimo  ∂D  ∫ H ⋅ dl = i L kond + ic = ∫  J kond + A ⋅dA ∂t  (14.4)To obliko imenujemo tudi razširjen Amperov zakon ali pa tudi 1. Maxwellova enačba.Prispevek Maxwella je bil izredno pomemben, saj je pravilno predvidel, da mora magnetno poljepovzročati ne le konduktivni tok, pač pa tudi spreminjanje električnega polja med ploščamakondenzsatorja. V splošnem bi morali v poštev vzeti vse toke, ki prispevajo k nastanku magnetnegapolja, torej tudi konvektivni tok.2Premikalni (poljski) tokKot sledi iz enačbe (14.4), lahko za gostoto premikalnega toka pišemo tudi ∂D Jc = . (14.5) ∂tIz elektrostatike vemo, da lahko gostoto električnega pretoka izrazimo z električno poljsko jakostjoin vektorjem električne polarizacije D = ε 0 E + P . Če to upoštevamo v zgornji enačbi in dobimodva člena gostote premikalnega toka ∂D ∂E ∂P Jc = = ε0 + (14.6) ∂t ∂t ∂tPrvi člen predstavlja časovno spremembo prostega naboja na ploščama kondenzatorja oz. časovnospremembo polja v vakuumu, drugi pa še dodatni prispevek zaradi časovne spremembe polarizacijesnovi (obračanje dipolov).Kdaj bi bil za analizo bolj pomemben konduktivni in kdaj premikalni tok?premika proti ali stran od elektrod ter posledica rotacije dipolov v dielektriku. Pri nas se ta tok pogosto imenuje tudipoljski tok, saj je posledica časovne spremembe električnega polja. Maxwell je tudi ugotovil, da enačbe nakazujejo naenačbo valovanja in da se to elektromagnetno valovanje premika s svetlobno hitrostjo. Dokaze pravilnosti te trditve jeeksperimentalno dokazal šele Heinrich Hertz leta 1887, ki je uporabil zanko z majhno zračno režo. Ob dovolj visokinapetosti je v zračni reži prišlo to preboja, ki pa je »hkrati« nastala tudi sosednji (nevzbujani) v zanki z zračno režo.2 Tok zaradi magnetizacije pa je upoštevan že v samem zapisu Amperovega zakona z vektorjem H. Če pa bi pisaliAmperov zakon z vektorjem B, bi pa morali upoštevati tudi tok zaradi magnetizacije na desni strani enačbe.
  • 155. Razširjen Amperov zakon 14.Do odgovora na to vprašanje najlaže pridemo tako, da predpostavimo harmonično vzbujanje, pričemer bo električno polje enako E = E0 sin ( ωt ) . V primeru linearne snovi lahko upoštevamo zveziJ = γ E in D = ε E , s čimer bosta konduktivni in premikalni tok enaka γ E0 sin (ωt ) in γωε E0 cos (ωt ) . Kateri tok bo prevladal, je odvisno od amplitud tokov, torej od razmerja . Pri ωεvisokih frekvencah in majhnih prevodnostih bo očitno prevladoval premikalni (poljski) tok, vnasprotnem pa konduktivni.Primer: Ocenimo, pri katerih frekvencah bo prevladoval konduktivni in pri katerih premikalni tok?Za dober prevodnik vzemimo γ = 107 S/m , za dober izolator pa γ = 10−10 S/m , dielektričnostzaokrožimo na ε = 10 −11 F/m . Razmerje tokov naj bo najmanj 1000. γKonduktivni tok bo prevladoval, ko bo veljalo ≥ 1000 , oziroma ωε γ 107ω≤ = = 1015 s -1 . Ugotovimo, da bo konduktivni tok v dobrem prevodniku 1000 ⋅ ε 103 ⋅10−11prevladoval nad premikalnim do zelo visokih frekvenc. γPremikalni tok bo prevladoval, ko bo veljalo ≤ 1000 , oziroma ωε γ 10−10ω≥ = 3 −11 = 10 −2 s -1 . Ugotovimo, da bo premikalni tok v dobrem izolatorju (recimo 1000 ⋅ ε 10 ⋅10kar zraku) prevladoval nad konduktivnim od zelo nizkih frekvenc dalje.Primer: Difuzija ravninskega polja v prevodniku (dodatno, kot informacija)Vzemimo primer, ko upoštevamo le konduktivni tok3. Zanima nas časovno in krajevnospreminjanje Hja in Eja v prevodniku pri čemer bomo zaradi siceršnje kompleksnosti reševanjapoenostavili problem v toliko, da bomo predpostavili, da ima polje H le Y komponento, polje E pale X komponento, gibljeta pa naj se v Z smeri.3 V naprotnem primeru, če bi upoštevali le premikalni tok, bi nas rešitev privedla do valovne enačbe. Ta problematikaposega v področje, ki ga pri tem predmetu ne obravnavamo. Za osnovne informacije se poslužite učbenika A.R.Sinigoj: Osnove elektromagnetike, sicer pa iz omenjenega področja študijske literature ne primanjkuje.
  • 156. Razširjen Amperov zakon 14.Postopek je tak, da moramo najprej diskretizirati Amperov in Faradayev zakon, zapisati ustreznodiferencialno enačbo in jo rešiti.Vzemimo dve zanki ki sta pravokotni druga na drugo (glej sliko). Za zanko L1, ki leži v XZ ravninizapišemo diskretiziran Amperov zakon v obliki ∆z(H y ( z , t ) − H y ( z + ∆ z ) ) ⋅ l ≅ γ Ex ( z + 2 ) ⋅ ∆z ⋅ lEnačbo delimo z delta z in limitiramo, pri čemer diference postanejo parcialni odvodi ∂H y − = γ Ex (14.7) ∂zPoleg te enačbe diskretiziramo še Faradayev zakon indukcije, ki ga zapišemo po zanki L2, ki leži vXY ravnini in dobimo ∂Ex ∂H y = −µ (14.8) ∂z ∂tSedaj moramo enačbo (14.7) odvajati po Zju in jo uvrstiti v enačbo (14.8). Dobimo ∂2H y ∂H = γµ (14.9) ∂z 2 ∂tTo pa je tip diferencialne enačbe, katere rešitev je v obliki sinusne funkcije z dodanimeksponentnim naraščanjem ali padanjem H y ( z , t ) = H y 0 e px sin(ωt + qz ) (14.10)Konstanti p in q bi dobili z odvajanjem rešitve in uvrstitvijo v izpeljane zveze. Dobili bi ωµγ 1 p=q=± =± (14.11) 2 δ 2Delta bo torej δ = in jo imenujemo vdorna globina ali tudi globina prodiranja. Pri tej ωµγglobini bo polje padlo za faktor 1/e.Rešitev bo torej oblike x ± z H y ( z, t ) = H y 0e δ sin(ωt ± ) (14.12) δPrimer: Doličimo globine prodiranja polja v bakren vodnik za signale s frekvencami 100 MHz, 1MHz, 1 kHz in 50 Hz. γ Cu = 6 ⋅107 S/m .
  • 157. Razširjen Amperov zakon 14. 2Izračun: Iz enačbe δ = določimo δ = 6,5 µm pri 100 MHz, 65 µm pri 1MHz, 2 mm pri 1 ωµγkHz in 9,2 mm pri 50 Hz.Kako do polja Ex? S pomočjo enačbe (14.7), torej tako, da odvajamo rešitev za polje H in delimo sspecifično prevodnostjo. Dobimo 1 Ex ( z , t ) = ± H y 0 e ± z / δ ( sin(ωt ± z / δ ) + cos(ωt ± z / δ ) ) (14.13) γδS preureditvijo dobimo ωµ  π  Ex ( z , t ) = ± H y 0 e ± z / δ  sin(ωt + ± z / δ )  (14.14) γ  4 Zanimivosti: - Električno in magnetno polje sta fazno premaknjena za π / 4 - Obe polji padata (usihata) eksponentno ωµ - Razmerje amplitud je , ki ima enoto upornosti in je za zrak 150 µΩ. γ
  • 158. Povzetek enačb elektromagnetnega polja (zapisi označeni z (*) so neobvezni)S študijem električnih in magnetnih pojavov smo prišli do osnovnih zvez, ki opisujejolastnosti elektromagnetnega polja. Električno polje smo razložili in v matematični oblikipopisali z električno poljsko jakostjo E, magnetno polje pa z gostoto magnetnega pretoka B.V osnovi ob poznavanju teh dveh veličin določimo silo na naelkren delec kotF = QE + Qv × B .Ta enačba je znana kot Lorentzova sila.Ker sta ti dve količini primerni za obravnavo le v vakuumu (v snovi nista narobe, pač pa jenabojev preveč, da bi računali vpliv vsakega z vsakim), smo vpeljali še dve veličini, gostotoelektričnega pretoka D in jakost magnetnega polja H, ki omogočata obravnavoelekromagnetnih pojavov tako v vakuumu kot v snoveh. Zgodovinsko gledano so se zapisienačb dopolnjevali in spreminjali, v obliki, v kakršni jih danes poznamo, pa jih je združil J.C.Maxwell (Pravzaprav njegovi nasledniki, predvsem Heaviside. Maxwell jih je zapisalnekoliko manj pregledno). Osnovne zveze predstavljajo štiri t.i. Maxwellove enačbe:1. Maxwellova enačba = razširjen Amperov zakon:  ∂D  ∫ H ⋅ dl = ikond + ic = ∫  J kond + ∂t  ⋅ d A L A Integral H-ja po zaključeni poti je enak oklenjenemu toku, ta pa je enak vsoti konduktivnegain poljskega (premikalnega) toka. Ta dva pa lahko izrazimo z gostoto konduktivnega toka in zodvodom gostote električnega pretoka po času. To je zapis v t.i. integralni obliki, pogosto ga ∂Dzasledimo tudi v t.i. diferencialni obliki: rot H = J kond + . Rot je oznaka za operator, ki ga ∂timenujemo rotor. Znanja o teh zapisih presegajo domet predmeta, podajamo jih le zato, da bipri morebitni kasnejši zasleditvi izraza lažje našli povezavo z že slišanim.2. Maxwellova enačba = Faradayev zakon indukcije ∂B ∫ E ⋅ dl = − ∫ ∂t ⋅ d A L AIntegral E-ja po zaključeni poti je enak inducirani napetosti oziroma negativni časovnispremembi fluksa skozi zanko L. V primeru gibanja zanke, je potrebno členu na desni dodati ( )še t.i. gibalno napetost, člen ∫ v × B ⋅ dl .V diferencialni obliki je enačba oblike: L ∂Brot E = − . (*) ∂t3. Maxwellovan enačba = Gaussov zakon za magnetni poljeA ∫ B ⋅dA = 0
  • 159. Integral B-ja po zaključeni površini je enak nič, oziroma magnetni pretok skozi zaključenopovršino je enak nič. Rečemo tudi, da magnetno polje ni izvorno, oz., da je rotacijsko. Vdiferencialni obliki: div B = 0 (*).4. Maxwellova enačba = Gaussov zakon za električno polje.A ∫ D ⋅ d A = ∫ ρ dVIntegral D-ja po zaključeni površini je enak zaobjetemu prostemu naboju. V diferencialniobliki je zapis oblike divD = ρ (*) in če upoštevamo, da je E = ε D in E = −gradV dobimoenačbo, ki je znana kot Poissonova enačba divε gradV = − ρ (*). V primeru, da v snovi niprostih nabojev, pogosto to enačbo zapišemo kot divε gradV = 0 (*) in je znana kotLaplaceova enačba.Štiri osnovne enačbe opisujejo zvezo med električnim in magnetnim poljem. Vidimo, da sta tadva med seboj povezana, da časovna sprememba električnega polja povzroči nastanekmagnetnega polja (1 enačba), in da časovna sprememba magnetnega polja rezultira v nastankumagnetnega polja.Poleg teh štirih enačb moramo še upoštevati zakon o ohranitvi naboja, ki ga zapišemo vobliki t.i. kontinuitetne enačbe: ∂ρ ∫ J ⋅ d A = − ∫ ∂t dV ASnovne lastnosti upoštevamo z zvezo med E-jem in D-jem v obliki D = εEin med B-jem in H-jem B = µ H , ter med J-jem in E-jem J =γE .V primeru bolj kompleksnih materialov (izotropnih) je lahko permeabilnost ali dielektričnostrazlična v različnih smereh in jo je potrebno zapisati v obliki tenzorja. Poleg tega so zvezelahko neliearne, recimo v primeru feromagnetnih materialov. (Poznamo tudi feroelektričnemateriale, za katere je značilno, da imajo tudi histerezno povezavo med E in D.)
  • 160. Prehodni pojavi 16. Prehodni pojaviVsebina: Stacionarno stanje – prehodni pojav, zveze med tokom in napetostjo nauporu, tuljavi in kondenzatorju, začetni pogoji, zapis in oblika rešitvediferencialne enačbe, polnenje in praznenje kondenzatorja in tuljave, časovnakonstanta, »obrtniška metoda«, uporaba programov za analizo vezij.Z analizo vezij priključenih na enosmerne vire smo se že spoznali. Pri tem smoobravnavali le vezja, sestavljena izključno iz uporov. Če bi poleg uporov vsebovala šetuljave in kondenzatorje, bi morali ugotoviti, da v enosmernih razmerah kondenzatorjipredstavljajo odprte sponke (upornost izolatorja/dielektrika je izredno velika), tuljavepa kratek stik ( če zanemarimo Ohmsko upornost navitja). Take razmere nastopijo vvezju tudi po preteku prehodnega pojava.SLIKA: Vezje z upori, idealnimi kondenzatorji in idealnimi tuljavamipriključenimi na enosmerni vir v stacionarnih razmerah.Popolnoma drugačne razmere pa imamo tedaj, ko vire šele priklopimo ali odklopimoz vezja. V prvem trenutku po priklopu vira se na elementih vezja še ne bodovzpostavile razmere, kot so v enosmernih razmerah. Ugotovili bomo, da tok skozituljavo ne more sunkovito narasti, saj mu to preprečuje inducirano polje, ki je večjeob večji spremembi toka. Prav tako ne more hipoma narasti napetost na tuljavi, saj jele ta odvisna od naboja med elektrodama, ta pa mora priteči s tokom. V tem primerupride do t.i. prehodnega pojava.SLIKA: Prehod med dvema stacionarnima stanjema imenujemo prehodni pojav. 1/18
  • 161. Prehodni pojavi 16.Prehodni pojavi. Prehodne pojave srečujemo na vsakem koraku. Dobesedno. Zdrsenjem čevljev ob tla se le ti naelektrijo, ob vsakem stiku s tlemi pa razelektrijo. Čeostanemo naelektreni in se približevamo določenemu prevodnemu objektu (recimokljuki) pride do razelektritve1.Tako, kot se prehodni pojavi dogajajo v naravi, jih najdemo tudi pri čisto»elektrotehniških« problemih. Ti nas navsezadnje še najbolj zanimajo. Na primerpolnenje ali praznega avtomobilskega akumulatorja. Ali pa vžigalni sistem s tuljavo zzelo velikim številom ovojev. Če skozi tuljavo teče enosmeren tok, je padec napetostina tuljavi odvisen le od upornosti ovojev tuljave. Če pa ta tok v hipu prekinemo, pridedo induciranja napetosti na tuljavi, ki je lahko ob hipni spremembi toka zelo velika, di (t )saj velja u (t ) = L . Ob veliki induktivnosti in hipni spremembi toka je lahko dtnapetost med kontaktoma tuljave tako velika, da pride do razelektritve s preskokomiskre. Ta pa povzroči malo eksplozijo stisnjenega bencina, ta premik bata in že sepremikamo. S prehodnim pojavom imamo opravka pri vsakem električnem vezju, kiga občasno priključimo na napajanje ali pa izklopimo. Elemente vezja je torejpotrebno dimenzionirati tudi za delovanje pri teh razmerah in ne le v stacionarnemstanju.1 Ta razelektritev nastopi pri napetostih 5 do 15 kV z maksimalnim tokom do 1 A. To je precejšen tok,ki pa traja izredno malo časa (reda µs), poleg tega je koncentriran le pri mestu nastopa razelektritve,potem pa se razširi na večje območje1. To neprijetnost lahko zmanjšamo z zmanjšanjem upornosti medtelesom in zemljo. Ta upornost naj ne bi bila večja od 100 MΩ, kjer pa je verjetnost razelektritveposebno velika, pa naj ne bo manjša od 50 kΩ. V posebnih primerih (nevarnost explozij) je potrebnouporabiti oblačila, katerih upornost ne sme preseči veliksoti GΩ. V primeru naravnih materialov toobičajno ni problem, je pa potrebno to upoštevati pri umetnih materialih1. Znan nam je tudi pojavrazelektritve ob stiku s karoserijo avta, ki nas neprijetno strese. Še bolj neprijetno je lahko obrazelektritvi naboja nevihtnega oblaka. Zamislimo si razelektritev kondenzatorja, ki se naelektri nanapetost med 10 MV in 100 MV. Tokovi razelektritve so velikosti nekaj deset do 150 kA, dogodek palahko traja nekaj sto mikrosekund1. Med zemljo in ionosfero je konstantna visoka napetost, zemlja paje bolj pozitivno naelektrena. Sistem si lahko predstavljamo kot velikanski kondenzator skapacitivnostjo 5000 F, ki se počasi polni preko »izgubne« upornosti ozračja. 2/18
  • 162. Prehodni pojavi 16.Zveze med tokom in napetostjo na elementih vezjaZa analizo prehodnega pojava se moramo vrniti k osnovnim zvezam med napetostjoin tokom na elementih vezja:UPOR: u (t ) = R ⋅ i (t ) ⇔ i (t ) = G ⋅ u (t ) t 1 du (t )KONDENZATOR: u (t ) = ∫ i (t )dt + uC 0 ⇔ i (t ) = C C0 dt velja tudi Q(t ) = Cu (t ) t di (t ) 1 L∫TULJAVA: u (t ) = L ⇔ i (t ) = u (t )dt + iL 0 dt 0Poleg teh osnovnih zvez moramo upoštevati še oba Kirchoffova zakona ter začetnepogoje, ki določajo kontinuiteto toka ali napetosti ob prehodnem pojavu.Začetni pogoji. Napetost na kondenzatorju je integral toka skozi kondenzator. Tudiče se tok skozi kondenzator hipoma spremeni (hipna sprememba pritekanja aliodtekanja naboja), se lahko napetost spremeni le postopoma, zvezno. To pa tudipomeni, da bo morala biti napetost na kondenzatorju tik pred spremembo enakanapetosti tik po spremembi, kar lahko zapišemo kot uC (0 + ) = uC (0− ) . (25.1)Enako trditev ne moremo postaviti tudi za tok skozi kondenzator, le ta se lahkospremeni tudi hipoma.Začetni pogoj za tok ali napetost na tuljavi ugotovimo s podobnim razmisekom, le dase pri tuljavi ne more hipoma spremeniti tok skozi tuljavo (lahko pa se napetost).Zato velja iL (0 + ) = iL (0 − ) (25.2)Ta dva pogoja nam zadostujeta, da z razmislekom ugotovimo vrednost napetosti alitoka na poljubnih elementih v vezju tok ob prekopu.Postopek analize vezij pri prehodnem pojavu je sledeč: 3/18
  • 163. Prehodni pojavi 16.Zapišemo enačbe vezja po preklopu z uporabo Kirchoffovih zakonov. Tako tvorimosistem (ene ali več) diferencialnih enačb, ki jih je potrebno rešiti. V ta namenpotrebujemo še začetne pogoje, to je stanje na elementih vezja tik po preklopu (obzačetku prehodnega pojava).2Polnjenje kondenzatorja.Primer 1: Ob času t = 0 priklopimo kondenzator in zaporedno vezan upor naenosmerni vir napetosti 12 V. Določimo časovni potek napetosti in toka nakondenzatorju. R = 10 Ω, C = 100µF .SLIKA: Shema vezjaIzračun:Uporabimo 2 Kirchoffov zakon U g = u R (t ) + uC (t ) in zvezi med tokom in napetostjo 1 C∫na uporu in kondenzatorju U g = iR + idt . Z odvajanjem dobimo diferencialno di ienačbo za tok skozi kondenzator3 0 = R + . Dobimo diferencialno enačbo prvega dt Creda s konstantnima koeficientoma, pa še homogeno povrhu (levi del je enak nič).Načinov reševanje takih enačb je več. Pri enostavnih sistemih diferencialnih enačbpoznamo t.i. nastavek za rešitev. V konkretnem primeru diferencialne enačbe jerešitev v obliki eksponentne funkcije i = Aeλt . Ta nastavek uvrstimo v diferencialno  1  λtenačbo in dobimo  λ +  Ae = 0 .  RC 2 Že pri analizi vezij z izmeničnimi signali bi lahko zapisali sistem diferencialnih enačb in ga tudireševali. Temu smo se elegantno izognili z vpeljavo kompleksorjev in kompleksnega računa, pri čemersmo reševanje sistemov diferencialnih enačb prevedli v sistem navadnih algebrajskih enačb. Odvajanje  1 je bilo ekvivalentno množenju z jω , integracija pa deljenju z jω :  .  jω 3 Ta tok običajno imenujemo kar polnilni tok, saj pri tem prehodnem pojavu elektrimo kondenzator znabojem. Naboj je sorazmeren napetosti na kondenzatorju, saj velja Q (t ) = C ⋅ u (t ) ). 4/18
  • 164. Prehodni pojavi 16. 1Očitno bo enačbi zadoščeno, če bo λ=− . S tem bo rešitev oblike RC t t τ = RC . − −i (t ) = Ae RC = Ae τ , kjer je Tau ima enoto časa, zato mu tudi pravimočasovna konstanta.Določiti moramo še konstanto A. V ta namen moramo upoštevati začetni pogoj (25.1): napetost na kondenzatorju tik po preklopu mora biti enaka kot tik pred preklopomuC (0 + ) = uC (0− ) . Zato je uC (0 + ) = 0 V . V trenutku t = 0+ bo torej vsa napetost na uR U guporu uR (0+ ) = U g , tok pa bo enak i (0+ ) = = . To pa je začetni pogoj, ki ga R Rpotrebujemo za dokončno rešitev. Upoštevamo ga v nastavku in dobimo t + Ug Ug −i (0 ) = = A . Rešitev bo torej eksponentno zmanjševanje toka i (t ) = e . τ R RNapetost na uporu je sorazmerna temu toku, napetost na kondenzatorju pa lahkodobimo z integracijo toka v skladu z enačbo ali pa kar kot razliko priključene  − t napetosti in napetosti na uporu. Dobimo uC (t ) = U g 1 − e τ .  SLIKA: Prikaz napetosti na uporu in kondenzatorju (uR) in (uC) ter toku priprehodnem pojavu polnenja kondenzatorja preko upora. 5/18
  • 165. Prehodni pojavi 16.Časovna konstanta.Za zgornji primer je časovna konstanta 100 µs. V tem času pade napetost na uporu za τ −e τ = e −1 ali na 37 % začetne vrednosti. V času 2τ pade na 13,5 % in v času 5τ že pod1 % začetne vrednosti. Časovno konstantno dobimo lahko tudi iz naklona signala včasu t = 0 (ob preklopu)4.SLIKA: Časovna konstanta je čas, ko se zmanjša ali poveča vrednost opazovaneveličine za približno 63 %.Močnostne razmere. duMoč na uporu je pR (t ) = i 2 R , na kondenzatorju pa pC (t ) = iC ⋅ uC = Cu . dtSLIKA: Moč na uporu (modra) upada s tokom, na kondenzatorju (zelena) pa narašča,doseže maksimum in upada proti nič.4 di (t = 0) = I 0 e −0 / τ  − 1  = − I ali tudi ∆i (t = 0) = I − 0 = − I   0 0 0 dt  τ τ ∆t 0 −τ τ 6/18
  • 166. Prehodni pojavi 16.Energijske razmere. tEnergijo dobimo z integracijo moči po času: W (t ) = ∫ p (t )dt . 0 t UgC  2 −  2tEnergija na uporu je WR (t ) = ∫ Ri 2 dt =  1 − e τ  , na kondenzatorju pa 0 2   2 u 2 CU g 2  −  tWC (t ) = C C =  1 − e τ  . Energija na uporu se je med prehodnim pojavom 2 2  »potrošila« oz. pretvorila v toploto (Joulske izgube), energija na kondenzatorju pa seje shranila v obliki zgrajenega električnega polja oz. v obliki naelektrenosti.SLIKA: Energijske razmere pri polnjenju kondenzatorja: Energija na kondenzatorju(črtkana zelena črta) narašča, naraščajo pa tudi joulske izgube (pikčasta morda črta) nauporu. Vsota (polna rdeča črta) je energija, ki je enaka energiji, ki jo elementomzagotavlja vir (krogci).Praznenje kondenzatorja.Primer 2: Vzemimo, da se je kondenzator polnil do časa t = 2τ , nato pa virodklopimo in ga hkrati preklopimo na upor R2= 100 Ω. Določimo tok praznenja innapetost na kondenzatorju.SLIKA vezja. 7/18
  • 167. Prehodni pojavi 16. di iIzračun: Rešujemo enačbo 0 = ( R1 + R2 ) + . Rešitev bo podobna kot v prejšnjem dt C t − − t ( R1 + R2 )Cprimeru, torej i (t ) = Ae = Ae , kjer pa bo sedaj časovna konstanta daljša, τenaka 1,1 ms (prej 0,1 ms). Drugačen je tudi začetni pogoj, saj bo sedaj ob preklopuostala napetost na kondenzatorju nespremenjena in enakauC (t = 2τ ) = U g (1 − e −2 ) ≈ 0,86 ⋅ U g . Ta napetost bo v trenutku preklopa tudi enakanapetosti na obeh uporih, torej bo tok v času t (2τ ) enak 0,86 ⋅ U g 0,86 ⋅12Vi (2τ + ) = = ≈ 0, 094 A . Konstanta A bo torej R1 + R2 110 Ω 2τ − ( R1 + R2 )Ci (2τ ) = Ae = Ae −2 = 0, 094A ⇒ A = 0,697A . Tok praznjenja je torej t − ( R1 + R2 )Ci (t ) = 0, 697e A . Napetost na uporoma bo enaka napetosti na kondenzatorju t −u R (t ) = uC (t ) = 76, 67e τ V .Dodatno: Ob času t = 4τ zopet vklopimo generator preko upora 10 Ω. Kakšen je sedajpotek polnenja?Izračun: Začetni pogoj je napetost na kondenzatorju 4τ −uC (t = 4τ ) = 78, 67e τ V = 1, 44 V . ....Oglejte si tudi primer simulacije s programom Spice na koncu poglavja. Prvi primer jeravno simulacija polnenja in praznenja kondenzatorja, ki je priključen na vir napetostis periodičnimi pulzi. 8/18
  • 168. Prehodni pojavi 16.Vklop tuljave. (»polnjenje« tuljave)Primer 3: Poglejmo še primer vklopa tuljave in zaporedno vezanega upora naenosmerno napetost Ug ob času t = 0 s.SLIKA vezja.Ob vklopu bo napetost generatorja enaka vsoti napetosti na uporu in tuljavi: diU g = u R (t ) + uL (t ) = iR + L . Dobili smo (nehomogeno) diferencialno enačbo prvega dtreda s konstantnima koeficientoma. Rešitev homogene enačbe zopet iščemo v obliki t t  R R − −i = Aeλt in dobimo  λ +  Aeλt = 0 , od koder je λ = − in i = Ae L / R = Ae τ . Tau  L L Lje časovna konstanta in je enaka τ= . RZa rešitev diferencialne enačbe zopet potrebujemo ustrezen začetni pogoj. Ta bosedaj določen s tokom skozi tuljavo. Ker je bil pred preklopom enak nič, mora biti vskladu z začetnim pogojem i (0+ ) = i (0− ) tok tik po preklopu i (0+ ) = 0 A . Če ta pogojupoštevamo v enačbi i = Aeλt dobimo 0 = Ae0 , oziroma A=0. Ta rešitev očitno ne boustrezna. Pozabili smo namreč na rešitev nehomogenega dela enačbe. En od možnihnačinov za določitev prispevka nehomogenega dela enačbe je reševanje z variacijokonstante. Pri takem načinu predstavimo konstanto A kot funkcija časa A(t). Zodvajanjem enačbe i = A(t )eλt in uvrstitvijo v diferencialno enačbo dobimoU g = R ( Aeλt ) + L ( A (t )eλt + λ Aeλt ) = LA (t )eλt oziroma A = Ug e − λt . Z integracijo L 1 U g − λt U g − λtkonstante dobimo A(t ) = e +B= e + B , kjer je B neka nova konstanta. −λ L R UgRešitev torej iščemo v obliki i (t ) = A(t )eλt = + Beλt . Konstanto B določimo iz R 9/18
  • 169. Prehodni pojavi 16. Ugzačetnega pogoja (tok enak nič) in bo enaka B = − . Končni rezultat je torej R Ug  − t i = Aeλt =  1− e τ . Napetost na uporu je sorazmerna temu toku R    − t  di − tuR = U g 1 − e τ  , napetost na tuljavi pa odvodu toka: u L = L = U g e τ .   dtDrug način reševanja: Ug L di UDiferencicalno enačbo zapišemo v obliki i − =− in jo delimo z i − g in R R dt R i (t ) t di R di Rmnožimo z dt: U = − dt . Sedaj jo integriramo in dobimo L ∫+ U g = − L ∫ dt i− g i (0 ) i − 0 R R Ug i (t ) − tRezultat je R = e −τ , po preureditvi in upoštevanju začetnega pogoja Ug i (0+ ) − R Ug  − t i (0+ ) = 0A pa dobimo i (t ) =  1− e τ  . Rezultat je seveda identičen kot v R  prejšnjem primeru.Določanje prehodnega pojava z nastavkom in izračunom časovne konstante izTheveninove nadomestne upornostiUgotovili bi lahko, da prehodni pojav v primeru uporabe le enega kondezatorja alituljave v vezju vedno lahko zapišemo v obliki diferencialne enačbe prvega reda (s t −konstantnimi koeficienti), katere rešitev je vedno oblike Ae τ + B . Določiti moramole konstanti A, B in časovno konstanto τ.Eno od konstant dobimo iz začetnega pogoja, drugo pa lahko določimo s premislekomo razmerah po prehodnem pojavu – v stacionarnem stanju. Tedaj bodo v primeruvklopa ali izklopa enosmernega napajanja nastopile enosmerne razmere, v katerihostane le še vpliv ohmskih upornosti. Upornost kondenzatorja je v idealnihenosmernih razmerah neskončna – skozenj ni toka. Upornost tuljave v enosmernihrazmerah pa je le v smislu upornosti navitja. To upornost pri idealni tuljavizanemarimo. Napetost na tuljavi pri enosmernih razmerah je torej enaka nič. Z 10/18
  • 170. Prehodni pojavi 16.upoštevanjem teh lastnosti na enostaven način ugotovimo poljubno napetost ali tok obkoncu prehodnega pojava. Ugotoviti moramo le še časovno konstanto τ, ki pa bovedno oblike RC ali L/R, pri čemer bo R notranja (Theveninova) upornost gledana ssponk kondenzatorja ali tuljave. Prikažimo uporabo tega načina reševanja nanaslednjem primeru.Primer 4: Določimo tok skozi tuljavo med prehodnim pojavom za vezje na sliki.Rg = 10Ω, R1 = 20 Ω, R2 = 40 Ω, L = 20mH, U g = 10V t=0 R1 RgZačetni pogoj določimo iz toka skozi tuljavo tik po R2preklopu, ki bo enak kot tik pred preklopom, torej 0 A. = L UgKo bo prehodni pojav izzvenel, bodo nastopileenosmerne razmere. Tedaj bo tok skozi upor Rg Ug 10 Vig (t → ∞) = = = 0, 4286 A . Tok skozi tuljavo pa bo Rg + R1 R2 20 ⋅ 40 10Ω + Ω 60 R2iL (t → ∞) = 0, 4286 A ⋅ ≈ 0, 29 A . Tok skozi tuljavo ob začetku prehodnega R1 + R2pojava bo torej enak nič, na koncu pa 0,29 A. Ta pogoja vstavimo v splošen nastavek t −i = Ae τ + B in dobimo0 = A+ B .0, 29 = B t −Tok skozi tuljavo bo torej enak iL (t ) = 0, 29(1 − e τ ) A .Časovno konstanto tudi lahko določimo s pomočjo Theveninove nadomestneupornosti5. Ugotovili smo, da je pri vklopu ali izklopu kondenzatorja časovnakonstanta vedno oblike τ = RC , pri vklopu ali izklopu tuljave pa bo oblike τ = L / R .5 Zakaj je to tako? Lahko si zamislimo primer, ko je v tuljavi ali kondenzatorju pred prehodnimpojavom shranjena energija v obliki magnetnega (tuljava) ali električnega (kondenzator) polja. Obprehodnem pojavu se ta energija sčasoma pretvori v toplotno s tokom skozi nadomestno vezavo uporov– skozi upore, ki jih »vidi« tuljava ali kondenzator. To pa je ravno nadomestna ali Theveninovaupornost, določena s sponk tuljave oz. kondenzatorja. 11/18
  • 171. Prehodni pojavi 16.Sedaj moramo to ugotovitev le še posplošiti. Če imamo opravka le z enim reaktivnimelementom (C ali L), bo R enak upornosti Thevenina, gledano s sponk reaktivnega Lelementa (kondenzatorja ali tuljave), torej bo splošna oblika τ = RTh C ali τ = .V RTh L 10 ⋅ 40konkretnem primeru je τ = , kjer je RTh = Rg R2 + R1 = Ω + 20Ω = 28Ω . RTh 50Časovna konstanta je torej τ ≈ 0, 71 ms .* Vklop zaporedne vezave upora in kondenzatorja na izmenični vir napetosti.SLIKA: Vklop RC člena na izmenični vir napetosti.Napetostni vir zapišemo v obliki u g (t ) = U g cos(ωt + ϕ g ) .Diferencialna enačba, do katere moramo priti je praktično identična tisti, ki smo jo že 1 C∫zapisali pri vklopu RC člena na enosmerni vir, saj velja u g = iR + idt . Namestoopazovanja toka lahko zapišemo enačbo za napetost na kondenzatorju. V tem primeru duC dutok izrazimo kot i = C in velja u g = RC C + uC . Zopet pridemo do nehomogene dt dtdiferencialne enačbe prvega reda. Rešitev moramo tokrat iskati v obliki funkcije, kivsebuje tako harmonično nihanje kot tudi eksponentno upadanje:uC (t ) = Aeλ t + B cos(ωt + ϕ g − ϕ ) .Neznane konstante so štiri: A, λ , B in ϕ . Za določitev teh konstant je potrebnonastavek uvrstiti v diferencialno enačbo ter upoštevati začetni pogoj, ki je določen zuC (0+ ) = uC (0− ) = 0 V . Časovno konstanto določimo iz homogene enačbe, od koder je 1τ =− = RC . Določitev ostalih koeficientov je nekoliko bolj »matematična«, zato jo λbomo preskočili. Zainteresiran bralec jo najde npr. v A.R. Sinigoj: Osnoveelektromagnetike, str. 415. Rešitev je 12/18
  • 172. Prehodni pojavi 16. cos (ωt + ϕ g − arctg (ω RC ) ) − cos (ϕ g − arctg (ω RC ) ) e − t / τ  UguC (t ) =   1 + (ω RC ) 2Rezultat je nekoliko daljši pa vendar zanimiv. Ugotovimo lahko, da je sestavljen izdveh delov: iz harmoničnega nihanja, ki ostane tudi po koncu prehodnega pojava terdrugi člen, ki eksponentno izzveni s časom. 0.4 /V 0.2 Napetosti uC1, uC2 in uC 0 -0.2 -0.4 -0.6 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Cas /sSlika: Prehodni pojav pri vklopu RC člena na izmenični vir napetosti. Rešitev(modra črta ) je sestavljena iz dveh členov: eksponentno upadanje »dušenja«(zelena črta) in harmonični signal (rdeče pike). Izračun za ω = 100 s -1 , τ = 0,03 s .* Analiza s programi za simualcijo vezij - SPICE.V srednjih šolah je za simulacijo vezij precej popularen program ElectronicWorkBench (EWB), bolj izpopolnjena in profesionalna varianta pa je programSPICE. Obstaja mnogo verzij programa, nekatere od njih so brezplačne, drugeplačljive. Eno od verzij programa (SPICE OPUS) razvijajo tudi na naši fakulteti(fides.fe.uni-lj.si/spice). SPICE omogoča različne načine simulacije, enosmerno,izmenično, tranzientno (prehodni pojavi), pogosto pa omogoča tudi simulacijo šumnih 13/18
  • 173. Prehodni pojavi 16.lastnosti, Fourierove analize, analizo občutljivosti itd. Omogoča simulacijo množicerazličnih elementov, od linearnih do nelinearnih, sklopljenih, pogosto pa omogočauporabo že prednastavljenih modelov. Nekatere za lažje delo podajo že proizvajalcielementov. Tu predstavljam primer uporabe programa 5Spice, ki je posebno primerenza začetnike, saj omogoča grafično postavitev elementov vezja in je v osnovni verzijibrezplačen za uporabo (www.5spice.com). Transient - New, UnTitled + UnTitled, 23 maj 2006 TPi1 (left) TPv1 (right) y 2,85628E-1 x 6,00000E-3 300m 8,00 R2 R1 20 10 7,00 250m TPv1 TPi1 Vs1 R3 6,00 + DC: Volts undefined 40 -- AC: Volts 1,0 AC: Phase 200m Tran: Step 10 Distort: Sine undefined 5,00 L1 20m 150m 4,00 G 3,00 100m Title L vklop 2,00 50,0m Number 1,00 FE, DK 0 0 Date maj 23 2006 Size S Sheet of Rev File: Lvklop.Sch -50,0m -1,00 0 600u 1,20m 1,80m 2,40m 3,00m 3,60m 4,20m 4,80m 5,40m 6,00m TimeSLIKA: Levo: Grafično oblikovanje analiziranega vezja s programom 5Spice.Desno: Primer vklopa induktivnega bremena. Na sliki tok skozi tuljavo (rdeča polnačrta) in napetost na tuljavi (modra črtkana črta). Slika dobljena s simulacijo sprogramom 5Spice.* Nekaj primerov analize prehodnih pojavov s programom 5Spice: 1) Priklop zaporedno vezanega kondenzatorja na napetostni generator pravokotnih pulzov amplitude 10V. Na sliki napetost na generatorju (polna redeča črta), tok v vezju (modra črtkana) in napetost na kondenzatorju (zelena črtkana). Napetost na kondenzatorju v času trajanja pulza eksponentno narašča v skladu s spoznanimi enačbami, v času izklopa pa upada. V začetku narašča napetost na kondenzatorju hitreje (ker je kondenzator prazen), v nekaj periodah pa se začne ponavljati. V času praznenja kondenzatorja se smer toka spremeni. Tok skozi kondenzator se spreminja skokovito, napetost pa zvezno. 14/18
  • 174. Prehodni pojavi 16. uG (left) ic (left) y 1.00038E+0 Uc (right) x 1.99325E-3 11.0 8.00 10.0 7.00 9.00 6.00 8.00 7.00 5.00 TPv2 6.00 Ug 4.00 R2 C1 5.00 10K 100nF 3.00 4.00 TPi1 3.00 2.00 Vs1 + DC: Volts undefined 2.00 -- AC: Volts 1.0 AC: Phase 1.00 Tran: PieceWise Distort: Sine undefined 1.00 0 0 -1.00 -1.00 0 600u 1.20m 1.80m 2.40m 3.00m 3.60m 4.20m 4.80m 5.40m 6.00m Time G2.) Polnenje kondenzatorja pri zaporedni vezavi upora in kondenzatorja terdiode priključene na izmenični vir napetosti amplitude 10 V (polna rdeča črta).V pozitivni polperiodi dioda prevaja, napetost na kondenzatorju raste (polna modračrta). V negativni polperiodi dioda ne prevaja – tok je enak nič (črtkana zelena črta),ves padec napetosti je na diodi, napetost na diodi ostaja enaka. V realnih razmerahnapetost na kondenzatorju v negativni polperiodi nekoliko pada zaradi neidealnegakondenzatorja in zapornega toka diode, ki je majhen vendar različen od nič. Transient - New, Cvklop_D.Sch + Lvklop.Anl, 24 maj 2006 uG (left) Uc (left) y -9.00323E-1 ic (right) x 1.98980E-3 15.0 900m 800m 10.0 700m 600m D1 ic 5.00 .SILICON D 500m IdealDiode.lib 0 400m R1 10 300m uG Uc -5.00 200m Vs1 + DC: Volts undefined -- AC: Volts 10 AC: Phase 0 C1 100m Tran: Sine 10 (peak) Freq 1e3 100u -10.0 Distort: Sine undefined 0 -15.0 -100m 0 600u 1.20m 1.80m 2.40m 3.00m 3.60m 4.20m 4.80m 5.40m 6.00m Time GAnaliza vezja z zaporedno vezavo upora, kondenzatorja in tuljaveVsota vseh napetosti jeu g = u R + uC + u L , oziroma 1 diu g = iR + C ∫ idt + L dt . Z odvajanjem dobimo diferencialno enačbo drugega reda di 1 d2i0= R + i + L 2 . Rešitve te diferencialne enačbe so lahko zelo razvejane, odvisne dt C dtod vzbujanja in vrednosti elementov. 15/18
  • 175. Prehodni pojavi 16.3) Odklop in vklop enosmernega vira od zaporedne vezave upora, kondenzatorjain tuljave.Ob vklopu začne strmo naraščati tok v TPv2vezju (zelena črtkana črta), obenem pa Ug R2 C1 10K 100nFmočno naraste napetost na tuljavi TPi1(oranžna črtkana črta). Tok doseže svoj Vs1 + DC: Volts undefinedmaksimum in nato pade zlagoma na nič -- AC: Volts 1.0 AC: Phase Tran: PieceWise Distort: Sine undefined L1amperov. Napetost na kondenzatorju 10mH(polna modra črta) je nič ob vklopu in obkoncu prehodnega pojava doseže Gnapetost vira. uG (left) Uc (left) y 1.52617E-4 ic (right) UL (left) x 1.99320E-3 15.0 100m 0 10.0 -100m -200m 5.00 -300m 0 -400m -500m -5.00 -600m -700m -10.0 -800m -15.0 -900m 0 400u 800u 1.20m 1.60m 2.00m 2.40m 2.80m 3.20m 3.60m 4.00m Time uG (left) Uc (left) y 9.99968E+0 ic (right) UL (left) x 1.32653E-3 11.0 900m 10.0 800m 9.00 700m 8.00 600m 7.00 6.00 500m 5.00 400m 4.00 300m 3.00 200m 2.00 100m 1.00 0 0 -1.00 -100m 0 400u 800u 1.20m 1.60m 2.00m 2.40m 2.80m 3.20m 3.60m 4.00m Time 16/18
  • 176. Prehodni pojavi 16.4) Vklop izmeničnega vira na zaporedno vezavo upora, tuljave in kondenzatorja. uG (left) Uc (left) y 8.70438E+0 ic (right) UL (left) x 1.33221E-3 15.0 1.50 1.00 10.0 500m 5.00 0 0 -500m -5.00 -1.00 -10.0 -1.50 -15.0 -2.00 0 500u 1.00m 1.50m 2.00m 2.50m 3.00m 3.50m 4.00m 4.50m 5.00m Time5) Izklop izmeničnega vira na zaporedno vezavo upora, tuljave in kondenzatorja. (R=1 Ω, L=1 mH, C = 100 µF). uG (left) Uc (left) y -1.41059E-1 ic (right) UL (left) x 1.50084E-3 20.0 4.00 15.0 3.00 10.0 2.00 5.00 1.00 0 0 -5.00 -1.00 -10.0 -2.00 -15.0 -20.0 -3.00 0 500u 1.00m 1.50m 2.00m 2.50m 3.00m 3.50m 4.00m 4.50m 5.00m Time 17/18
  • 177. Prehodni pojavi 16.6) Izklop izmeničnega vira na zaporedno vezavo upora, tuljave in kondenzatorja.(R=10 Ω, L=1 mH, C = 100 µF). 10x večja upornost povzroči nadkritično nihanje. Transient - New, RLC_odklop_sin.Sch + RLC1.ANL, 25 maj 2006 uG (left) Uc (left) y -1.08516E-1 ic (right) UL (left) x 1.50084E-3 15.0 1.00 800m 10.0 600m 400m 5.00 200m 0 0 -200m -5.00 -400m -600m -10.0 -800m -15.0 -1.00 0 500u 1.00m 1.50m 2.00m 2.50m 3.00m 3.50m 4.00m 4.50m 5.00m Time Vprašanja za obnovo: 1) Kaj je to prehodni pojav? Kdaj nastopi? 2) Prehodni pojav v vezjih: kako ga zapišemo z enačbami? 3) Osnovne zveze med tokom in napetostjo na uporu, tuljavi in kondenzatorju. 4) Začetni pogoji. 5) Rešitev diferencialne enačbe: nastavek. 6) Časovna konstanta. 7) Primer polnenja in praznenja kondenzatorja. 8) Primer vklopa in izklopa tuljave. Primeri kolokvijskih in izpitnih nalog: Kolokvij, 9.6.2000, Kolokvij 12.04.2001, Izpit 03. 12. 2002, Izpit 20. aprila 2005, izpit 17. 4. 2003, Izpit 13. september 2005, Izpit 14. 09. 2004. 18/18
  • 178. Periodični signali, osnovni pojmi 17. Osnovni pojmi pri obravnavi periodičnih signalovVsebina: Opis periodičnih signalov z periodo, frekvenco, krožno frekvenco. Razlaga pojmovamplituda, faza, harmonični signal. Določanje srednje, efektivne in usmerjene vrednostiperiodičnih signalov. Pojmi faktor oblike, temenski faktor.1) Perioda signala. Času, v katerem se začne funkcija ponavljati pravimo perioda in jo označimoz veliko črko T. Za tako funkcijo velja f (t ) = f (t + T ) .SLIKA: Primer periodičnega signala s periodo T. 12) Frekvenca periodičnega signala je f = , njena enota je s-1, pogosteje uporabimo ekvivalentno Tenoto Hz (po Heinrichu Hertzu, ki je s svojimi eksperimenti prvi dokazal pravilnost Maxwellovihenačb). Pogosto uporabimo za opis signala tudi krožna frekvenco (kotna frekvenca, v primeru 2πvrtenja zanke kotna hitrost) ω, ki je enaka ω = 2π f = . T3. Harmonični, sinusni signal lahko zapišemo vobliki i (t ) = I m sin(ωt − ϕ ) , kjer je Im amplituda,ω krožna frekvenca in φ fazni kot.Primer: Prikažimo na grafu signali (t ) / A = 1 ⋅ sin(2s -1t − π/6) . Perioda signala je 2πT= = π s ≅ 3,14 s . ω 1/16
  • 179. Periodični signali, osnovni pojmi 17.Pogosto namesto prikaza časa na abscisiuporabimo kot spremenljivko produkt krožnefrekvence in časa, kar predstavlja fazni kot. Vtem primeru je perioda signala določena privrednosti 2π . Prednost tega prikaza je tudi vdirektnem odčitavanju faznega kota. Vkonkretnem primeru je ϕ = π/6 ≅ 0,52 rd .Harmoničen signal je lahko sestavljen 15iz več sinusnih signalov različnih i i1amplitud in frekvenc. Prikažimo to na 10 i2primeru harmoničnega signala 5sestavljenega iz vsote signalov Tok /Ai1 (t ) / A = 10sin(2s -1t ) in 0i2 (t ) / A = 2sin(10s -1t ) : -5i (t ) / A = 10 sin(2s -1t ) + 2sin(10s -1t ) . -10Zanimivo je, da je mogoče poljubensignal zapisati v obliki vsote sinusnih -15 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Cas / ssignalov, kar imenujemo Fourierovavrsta in se pogosto v praksi uporablja za analizo različnih oblik signalov (Fourierova analiza).4. Fazni kot med dvema signaloma, običajno med napetostjo in tokom.Vzemimo primer signala toka i (t ) = I m sin(ωt + ϕi ) in napetosti u (t ) = U m sin(ωt + ϕu ) . Fazni kotmed napetostjo in tokom je ϕ = ϕu − ϕi . Če je fazni kot pozitiven, rečemo, da napetost prehitevatok, če pa je negativen, pa, da tok prehiteva napetost. To seveda ne gre jemati dobesedno, saj imataoba signala ob poljubnem času neko vrednost. Morda je najlažje določiti signal, ki prehitevadrugega tako, da pogledamo na grafu, kateri signal doseže maksimalno vrednost pred drugim. Pritem moramo opazovati najkrajšo časovno razliko. 2/16
  • 180. Periodični signali, osnovni pojmi 17.SLIKA: Primer, ko napetostni signal prehiteva tokovnega. Fazni kot je pozitiven.5) Srednja ali povprečna vrednost signalaje določena s površino pod krivuljo signala v eni periodi deljena s periodo ali matematično (za npr.tokovni signal) T 1 I sr = ∫ i (t )dt (17.1) T 0Ta zapis pogosto za harmonične signale preuredimo tako, da namesto integracije po času zapišemointegracijo po kotu ωt . V tem primeru je 2π 1 I sr = 2π ∫ i(t )d(ωt ) 0 (17.2)Slika: Periodični signal in njegova povprečna vrednost, ki je enaka površini signala deljeni speriodo Integral signala v eni periodi je torej enak I mT . 3/16
  • 181. Periodični signali, osnovni pojmi 17.6) Efektivna vrednost (ang. RMS – root mean square)je določena kot koren iz srednje vrednosti kvadrata signala: T 1 2 T∫ I ef = i (t ) ⋅ dt (17.3) 0Efektivna vrednost signala je posebno pomembna tedaj, ko nas zanima povprečna moč ali energijasignala, kar pa je v elektrotehniki pogosto.Primer: Določimo srednjo in efektivno vrednost tokovnega signala oblike i = I m sin(ωt ) . 2πIzračun: I sr = 1 2π ∫I 0 m sin(ωt )d(ωt ) = 1 2π ( 2π ) − cos(ωt ) 0 = 0 . Srednja vrednost je očitno enaka nič,saj je sorazmerna površini pod krivuljo, ki pa je enaka v pozitivni in negativni Y osi. Drugače pa jez efektivno vrednostjo, saj s kvadriranjem postane signal izključno pozitiven. Pri izračunu 1upoštevamo zvezo sin 2 (ωt ) = (1 − cos(ωt ) ) : 2 2π 1 1  2π  II ef = ∫I 2 sin 2 (ωt )d(ωt ) = I m  − 0 = m . 2π 2π  2 m 0  2Dobimo večini znan rezultat, da je efektivna vrednost harmoničnega signala enaka maksimalnivrednosti signala deljeni z 2.SLIKA: Sinusni signal (polna črta) in kvadrat signala (črtkana črta).Izris in izračun s programom Matlab: T=5e-3; om=2*pi/T; dt=T/1000; t=0:dt:3*T;plot(t,sin(om.*t),t,(sin(om.*t)).^2,--) 4/16
  • 182. Periodični signali, osnovni pojmi 17.7) Usmerjena vrednost (ang. rectified)je določena kot povprečje usmerjenega signala, torej kot povprečna vrednost absolutne vrednostisignala. T 1 I r = ∫ i (t ) dt T 08) Faktor oblike (ang. form factor) pogosto uporabimo za karakterizacijo oblike signala. Določenje kot kvocient efektivne in usmerjene vrednosti I ef faktor oblike = FF = . (17.4) Ir Merjenje efektivne vrednosti signala v praksi Cenejši merilni inštrumenti ne merijo prave efektivne vrednosti, pač pa jo določajo iz usmerjene vrednosti ali pa iz maksimalne vrednosti. V primeru signala sinusne oblike je I I ef = m , usmerjena vrednost pa je (integriramo le do π, ker se potem signal ponovi): 2 2π π 1 1 1 2 ∫ I m sin(ωt ) d(ωt ) = π ∫ I m sin(ωt )d(ωt ) = I m π ( − cos(ωt ) ) 0 = I m π = 0, 64 I m . Faktor π Ir = 2π 0 0 I ef Im / 2 oblike je torej FF = = ≅ 1,1107 . Merilni inštrument za izračun efektivne vrednosti Ir Im 2 / π torej pomnoži izmerjeno usmerjeno vrednost signala s faktorjem 1,1107, pri čemer predvideva, da je signal sinusne oblike. Čim je merjeni signal drugačne oblike, je prikazani rezultat efektivne vrednosti napačen. Boljši inštrumenti merijo t.i. “pravo” efektivno vrednost (ang. true RMS).VEČ:http://cp.literature.agilent.com/litweb/pdf/5988-6916EN.pdfhttp://cp.literature.agilent.com/litweb/pdf/5988-5513EN.pdfhttp://us.fluke.com/usen/support/appnotes/default?category=AP_DMM(FlukeProducts)&parent=APP_NOTES(FlukeProducts)#SLIKA: TRUE RMS meter Fluke 114.Za merjenje prave efektivne vrednosti je mogoče uporabiti večmetod. En od principov temelji na uporabi termistorja, ki merispremembo temperature na elementu, ta pa je neposrednopovezana z efektivno vrednostjo toka. Na tržišču obstajajo tudičipi, ki opravljajo množenje (kvadriranje) signala in s temmočno olajšajo delo. Primer takega elementa je čip AD8361podjetja Analog Devices, www.analog.com. Vse večinštrumentov pa že zajema signale s pomočjoanalogno/digitalne pretvorbe, kjer je izračun efektivnevrednosti mogoč z enostavno numerično integracijo kvadriranega signala. Vir:http://en.wikipedia.org/wiki/True_RMS_converter. 5/16
  • 183. Periodični signali, osnovni pojmi 17.7) Podobno kot faktor oblike je definiran temenski faktor (ang. crest factor). Določen je kotkvocient maksimalne in efektivne vrednosti Im temenski faktor = (17.5) I ef ImZa sinusni signal je temenski faktor enak = 2 ≅ 1, 414 . Im / 2Primer: Določimo periodo, frekvenco, srednjo vrednost in efektivno vrednost časovne obliketokovnega signala na sliki. Signal je naraščajoč v 80% časa periode in v preostalem času padajoč. 1 1Izračun: Perioda signala je T = 5 ms, frekvenca je f = = = 200 s −1 = 200 Hz . Za izračun T 5 mssrednje vrednosti moramo signal zapisati v matematični obliki in ga integrirati v času ene periodeter deliti s periodo. Ker je sestavljen iz premic (odsekoma zvezen), mora biti oblike y = k ⋅ t + n . Izzapisa v dveh skrajnih točkah od t = 0 do t = 0,8 ⋅ 5 ms = 4 ms velja −1 = k ⋅ 0 + n in 3 = k ⋅ 4 ms - 1 , odkoder dobimo enačbo i(t ) = 1 A / ms ⋅ t - 1 A . Podobno dobimo za drugi del periode enačboi(t ) = −4 A / ms + 19 A .Sedaj uporabimo enačbo za izračun srednje vrednosti in dobimo 1   T 4 ms 5 ms 1I sr = ∫ i (t )dt =  ∫ (1 A / ms ⋅ t -1 A)dt + ∫ (−4 A / ms ⋅ t + 19 A)dt  . Rešitev enačbe je: T 0 5 ms  0  4 ms   1I sr = ( 8 − 4 - 2(25 -16) + 19(5 - 4) ) A ⋅ ms = 1 A . Srednja vrednost tokovnega signala je 1 A. Z 5 msizračunom efektivne vrednosti je nekaj več dela, saj je potrebno rešiti sledeči integral: 6/16
  • 184. Periodični signali, osnovni pojmi 17. 1   T 4 ms 5 ms 1 T∫I ef = i (t )dt =  ∫ (1A / ms ⋅ t -1A) dt + ∫ (−4A / ms + 19A) dt  . 2 2 Rešitev za vajo 0 5 ms  0  4 ms  poskusite najti sami. Mi jo bomo poiskali kar s programom Matlab, ki da vrednost 1,5275. 1   T 4 ms 5 ms 1Usmerjena vrednost je I r = T ∫ i (t ) dt =  5ms  ∫ 1A / ms ⋅ t -1A dt + ∫ −4A / ms + 19A dt  = 1, 250  0  0 4 ms  I ef Im 3faktor oblike = = 1,222, temenski faktor = = = 1,964. Ir I ef 1,5275SLIKA: Absolutna vrednost signala: iz te izračunamo usmerjeno vrednost.Izračun s programom Matlab (signal izrišemo v treh periodah, zato tudi povprečje računamo vtreh periodah): T=5e-3; om=2*pi/T; dt=T/1000; t=0:dt:3*T; i=2*sawtooth(om.*t,0.8)+1; plot(t,i);Isr=trapz(i)*dt/(3*T); hold on; plot([0 0 3*T], [0 0 0],b--);Ief=sqrt(trapz(i.^2)*dt/(3*T));Ir=trapz(abs(i)*dt/(3*T)); FF=Ief/IrDodatno: Kolikšna moč se troši na bremenu (uporu 3 kΩ), če gre skozi upor tok oblike na sliki (vamperih).Izračun: Trenutna moč na uporu je p = uR iR = iR R . 2 Povprečna moč pa bo T T T 1 1 2 1 2p=P= ∫ pdt = T ∫ iR Rdt = R ⋅ T ∫ iR dt = RI R ,ef . 2 T0 0 0Povprečno moč običajno označimo z veliko črko P. Očitno je povprečna moč na uporu sorazmernakvadratu efektivne vrednosti toka. Tu se že kaže pomembnost definiranja efektivne vrednosti: meddrugim določa povprečno moč na uporu pri izmeničnih signalih. V konkretnem primeru jepovprečna moč na uporu enaka P = R ⋅ I R ,ef = 3 k ⋅ 1,5275 A 2 = 7 kW . 2 7/16
  • 185. Periodični signali, osnovni pojmi 17.Če bi želeli preračunati moč, ki se na ohmskem bremenu troši z merilnikom, ki določa efektivnovrednost iz usmerjene vrednosti, bi dobili vrednost 1,25 1,1107 = 1,3884 namesto pravilnevrednosti 1,5275. Napaka prikaza bi bila 9,1 %.Zveze med tokom in napetostjo na uporu, tuljavi in kondenzatorjuUPORVelja zveza u (t ) = Ri (t ) .Če je tok sinusne oblike i = I m sin(ωt ) , je napetost tudi sinusne oblikeu = RI m sin(ωt ) = U m sin(ωt ) , kjer je U m = RI m .Moč na uporu dobimo kot zmnožek toka in napetosti na uporu p = u ⋅ i = i 2 R = I m R sin 2 (ωt ) 2 (17.6) 1 tok napetost 0.8 mocSLIKA: Tok in napetost na 0.6uporu sta v fazi. Moč niha z 0.4dvojno frekvenco in ima 0.2 tok, napetost, mocenosmerno komponento, ki je 0povprečna moč. -0.2 -0.4 -0.6Moč. Moč na uporu lahko z -0.8uporabo zveze (1 − cos ( 2α ) ) -1 1sin 2 (α ) = 0 1 2 3 4 5 6 7 cas 2zapišemo kot 2 (1 − cos ( 2ωt ) ) Im R p= (17.7) 2Ugotovimo, da ima (trenutna) moč na uporu tudi sinusno obliko, vendar niha z dvojno frekvenco 2 Im Rosnovnega signala, povprečna vrednost pa je P = = I ef R . Povprečno vrednost moči določa 2 2efektivna vrednost (tokovnega ali napetostnega) signala. 8/16
  • 186. Periodični signali, osnovni pojmi 17.Energija. Določimo še energijo v eni periodi (toplotna energija ali joulske izgube), ki bo T WT = ∫ pdt = PT = I ef RT 2 (17.8) 0Skupne ugotovitve za upor: 1) Če je tok skozi tuljavo i = I m sin(ωt ) , bo napetost na uporu u = U m sin(ωt ) . Napetost na uporu je v fazi s tokom, kar lahko prikažemo tudi grafično na kazalčnem diagramu. 2) Amplituda napetosti je U m = I m R . 3) Upornost (R) je neodvisna od frekvence tokovnega (in napetostnega) signala. 4) Moč na uporu niha z dvojno frekvenco tokovnega (ali napetostnega) signala „okoli” 2 Im R enosmerne komponente, ki predstavlja povprečno moč in je enaka P = = I ef R . 2 2 9/16
  • 187. Periodični signali, osnovni pojmi 17.TULJAVAZveza med tokom skozi tuljavo in napetostjo na tuljavi je dΨ diu= =L . dt dtČe je tokovni signal oblike i = I m sin(ωt ) , bo napetost na tuljavi ( I m sin(ωt ) ) = LI mω cos(ωt ) = U m cos(ωt ) ali tudi u = U msin  ωt + π  . du=L   dt  2Napetosttni signal je časovno zamaknjen glede na tokovni signal. Rečemo, da napetost prehitevatok za kot π . To lahko prikažemo tako v časovnem poteku, kot s kazalčnim diagramom ali 2kasneje – s kompleksorji v kompleksni ravnini.SLIKA: Časovni potek in kazalčni diagram faznega prehitevanja napetosti na tuljavi pred tokom.Amplituda napetosti bo torej U m = I mω L , kjer ω L = X L imenujemo reaktanca oz. upornost tuljavepri izmeničnih signalih. Upornost tuljave (reaktanca) pri izmeničnih signalih se veča linearno s Umfrekvenco in je enaka = X L = ωL . ImMoč. Trenutna moč je zmnožek trenutne napetosti in toka na tuljavi, torej I mU m p = iu = I m sin(ωt ) ⋅ U m cos(ωt ) = sin(2ωt ) (17.9) 2Trenutna moč niha z dvojno frekvenco vendar je brez enosmerne komponente. Povprečna(izgubna) moč je 0 W. 10/16
  • 188. Periodični signali, osnovni pojmi 17. 1 tok napetost 0.8 moc 0.6 0.4 0.2 tok, napetost, moc 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 casSLIKA: Tokovni in napetostni signal na tuljavi sta zamaknjena za četrtino periode. Napetostprehiteva tok, moč na tuljavi niha z dvojno frekvenco in nima enosmerne komponente. Povprečnamoč na tuljavi je nič.Energija. Energijo v tuljavi dobimo z integracijo moči t t I mU m I mU mW (t ) = ∫ pdt = 0 2 0 ∫ sin(2ωt )dt = 2.2ω (1 − cos(2ωt ) ) . Energija, ki je akumulirama v magnetnempolju tuljave, niha z dvojno frekvenco osnovnega signala, je v vsakem trenutku pozitivna in vpovprečju velika 2 I mU m LI mWsr = = . (17.10) 4ω 4Spomnimo se še druge oblike zapisa trenutne energije. V poglavju (13) smo obravnavali energijo vmagnetnem polju tuljave in ugotovili, da jo lahko zapišemo kot t t i (t ) diW (t ) = ∫ p (t )dt = ∫ L idt = ∫ Lidi od koder smo zapisali enačbo za trenutno energijo v t0 t0 dt i ( t0 ) Li 2magnetnem polju tuljave z induktivnostjo L v obliki W = . 2Maksimalna energija v tuljavi nastopi tedaj, ko je maksimalen tok. Tedaj je 2 LI m Wmax = (17.11) 2 11/16
  • 189. Periodični signali, osnovni pojmi 17. 2 1.5 tok, napetost, moc 1 0.5 0 -0.5 -1 0 1 2 3 4 5 6 casSlika:Moč (polna črna črta) in energija (polna modra črta) pri vzbujanju tuljave s sinusnim tokovnimsignalom (modra črtkana črta).Skupne ugotovitve za tuljavo: π 1) Če je tok skozi tuljavo i = I m sin(ωt ) , bo napetost na tuljavi u = U m sin(ωt + ) . Napetost 2 na tuljavi prehiteva tok za četrtino periode signala, kar lahko prikažemo tudi grafično na kazalčnem diagramu. 2) Amplitudo napetosti lahko zapišemo tudi kot U m = I mω L , kjer je ω L upornost tuljave pri izmeničnih signalih, kar imenujemo tudi reaktanca X L = ω L . Reaktanca se linearno veča s frekvenco. 3) Za lažjo predstavo lahko tuljavo pri zelo nizkih frekvencah (enosmerne razmere) nadomestimo s kratkim stikom (zelo majhna upornost), pri zelo visokih pa z odprtimi sponkami (zelo velika upornost). 4) Moč na tuljavi niha z dvojno frekvenco tokovnega (ali napetostnega) signala, povprečna moč je enaka nič. 5) Energija v magnetnem polju tuljave niha z dvojno frekvenco osnovnega signala, je vedno 2 LI m pozitivna in v povprečju velika W = Wsr = . Trenutna vrednost je sorazmerna kvadratu 4 Li 2 toka W = , maksimalna energija v tuljavi nastopi vsako četrtino periode signala, ko je 2 2 LI m velika Wmax = . 2 6) Za vezja, v katerih napetost prehiteva tok rečemo, da imajo induktivni karakter. 12/16
  • 190. Periodični signali, osnovni pojmi 17.Primer: Na toroidno jedro okroglega preseka površine 1 cm2 , s srednjim polmerom 2 cm in µr =100, navijemo 500 ovojev. Kolikšna je napetost na tuljavi, če jo vzbujamo s tokomi = 0, 4 cos(100s-1t ) A ? Določimo še povprečno in maksimalno moč na tuljavi. µ r µ0 N 2 AIzračun: Induktivnost toroida je L= = 25 mH , torej je induktivna upornost 2π rsX L = ω L = 2,5 , maksimalna napetost je U m = I m X L = 0, 4 A ⋅ 2,5 = 10 V . Če bi želeli zapisatinapetost na tuljavi v obliki časovnega signala, bi morali upoštevati, da napetost na tuljavi tok π πprehiteva za fazni kot , torej bo u (t ) = 10 cos(100s-1t + ) V . Povprečna moč je enaka nič vatov, 2 2 I mU m LI 2maksimalna moč je = 2 W , povprečna energija je Wsr = m = 1 mJ , maksimalna pa 2 mJ. 2 4 13/16
  • 191. Periodični signali, osnovni pojmi 17.KONDENZATORZopet vzemimo sinusno obliko toka i = I m sin(ωt ) . Tok izrazimo s časovno spremembo naboja na dQploščah kondenzatorja i = in upoštevamo zvezo med nabojem na ploščah in napetostjo dt duQ (t ) = Cu (t ) in dobimo i = C . Ker tok poznamo, zanima pa nas napetost, izrazimo napetost na dt t 1kondenzatorju kot u = ∫ idt + u(0) . Za sinusno obliko toka bo napetost enaka 1 C0 π t 1 Im Im u= C0∫ I m sin(ωt ) ⋅ dt + u(0) = − ωC cos(ωt ) = ωC sin  ωt − 2  oziroma    πu = U m sin  ωt −  . Napetost na kondenzatorju zaostaja za tokom za četrtino periode.  2SLIKA: Časovni potek in kazalčni diagram faznega zaostajanja napetosti na kondenzatorju predtokom. ImAmplituda napetosti je torej U m = . ωC 1Člen ima enoto upornosti in tudi predstavlja upornost kondenzatorja pri izmeničnih signalih. ωCMoč. Trenutna moč je zmnožek trenutne napetosti in toka na kondenzatorju, torej I mU m p = iu = − I m sin(ωt ) ⋅ U m cos(ωt ) = − sin(2ωt ) (17.12) 2Trenutna moč niha z dvojno frekvenco vendar brez enosmerne komponente, enako kot pri tuljavi.Povprečna (izgubna) moč je torej tako kot na tuljavi enaka nič vatov.1 Zakaj dodamo u(0)? Pri veličinah, ki so določene z integralom, je potrebno upoštevati “zgodovino” integranta. Torej t t 1 1bi bilo vedno potrebno slediti integrirano veličino od –inf. , torej u= ∫ idt = C ∫ idt + u(0) . C −∞ 0 14/16
  • 192. Periodični signali, osnovni pojmi 17. 1 tok napetost 0.8 moc 0.6 0.4 0.2 tok, napetost, moc 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 casSLIKA: Tokovni in napetostni signal na kondenzatorju. Napetost na kondenzatorju zaostaja za tokomza četrtino periode signala.Energija. Podobno kot pri tuljavi energija v kondenzatorju niha z dvojno frekvenco osnovnega 2 CU msignala, je vedno pozitivna, v povprečju enaka Wsr = , maksimalna energija shranjena v polju 4 2 CU mkondenzatorja pa je Wmax = . 2 4000 3500 1 3000SLIKA: Kapacitivna upornost X C = ωC 2500 reaktanca / Ohmse zmanjšuje s višanjem frekvence 2000vzbujalnega signala s funkcijsko 1500odvisnostjo 1 . Na sliki je reaktanca za 1000 f 500C = 10 µF. 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 frekvenca / HzSkupne ugotovitve za kondenzator: π 1) Če je tok skozi tuljavo i = I m sin(ωt ) , bo napetost na kondenzatorju u = U m sin(ωt − ) . 2 Tok na kondenzatorju prehiteva napetost za četrtino periode signala, kar lahko prikažemo tudi grafično na kazalčnem diagramu. 15/16
  • 193. Periodični signali, osnovni pojmi 17. Im 1 2) Amplitudo napetosti lahko zapišemo tudi kot U m = , kjer je upornost kondenzatorja ωC ωC pri izmeničnih signalih2. Upornost kondenzatorja se manjša s frekvenco. 3) Za lažjo predstavo lahko kondenzator pri zelo nizkih frekvencah (enosmerne razmere) nadomestimo z odprtimi sponkami (zelo velika upornost), pri zelo visokih pa s kratkim stikom (zelo majhna upornost). 4) Moč na kondenzatorju niha z dvojno frekvenco tokovnega (ali napetostnega) signala, povprečna moč je enaka nič. 2 CU m 5) Energija niha z dvojno frekvenco osnovnega signala, v povprečju je enaka Wsr = , 4 maksimalna energija v kondenzatorju nastopi vsako četrtino periode signala, ko je velika 2 CU m Wmax = . Energija je akumulirana v električnem polju kondenzatorja. 2 6) Za vezja, v katerih napetost zaostaja za tokom rečemo, da imajo kapacitivni karakter.Primer: Na kondenzator kapacitivnosti 8 µF priključimo vir napetosti sinusne oblike amplitude 1V. Kolikšna mora biti frekvenca napetostnega signala, da bo imel tok kondenzatorja amplitudo 2,5mA? Im 1VIzračun: Iz Um = dobimo ωC = = 400 , od koder je ωC 2,5 mA 1 312,50ω= = 312,50 s-1 oziroma f = Hz ≈ 50 Hz . 400 ⋅ 8 µF 2πVprašanja za obnovo: 1) Osnovni pojmi: perioda, frekvenca, kotna frekvenca. 2) Srednja vrednost, efektivna vrednost, usmerjena vrednost, faktor oblike, temenski faktor. 3) Zveze med tokom in napetostjo na uporu, tuljavi in kondenzatorju: a. Časovni signali, kazalčni prikaz b. Prehitevanje ali zaostajanje toka za napetostjo, karakter vezja c. Moč, povprečna moč d. Energija, trenutna energija, povprečna, maksimalna Kolokvijske in izpitne naloge: e. Upornosti pri izmeničnih signalih Efektivna vrednost: 2. kolokvij, 13. 06.2002 izpit, 20. junij 2003 Izpit 26. 6. 2002 izpit, 8. aprila 2002 12 Pogosto se uporablja zapis reaktance kondenzatorja kot X C = . Kasneje bomo ugotovili, da je reaktanca ωC 1definirana kot imaginarni del impedance in je v primeru kondenzatorja negativna, torej X C = − . ωC 16/16
  • 194. Izmenični signali, osnovne zveze 18. Upor, tuljava in kondenzator pri izmeničnih signalih Equation Section 18Vsebina: Zveze med tokom in napetostjo na uporu, tuljavi inkondenzatorju pri vzbujanju z izmeničnimi signali. Časovni poteki toka, napetosti, moči inenergije na posameznih elementih. Zaostajanje ali prehitevanje signalov napetosti in toka –fazni kot. Povprečne vrednosti moči in energije. Maksimalna energija. Karakter vezja.UPORVelja zveza u (t ) = Ri (t ) .Če je tok sinusne oblike i = I m sin(ωt ) , je napetost tudi sinusne oblikeu = RI m sin(ωt ) = U m sin(ωt ) , kjer je U m = RI m .Moč na uporu dobimo kot zmnožek toka in napetosti na uporu p = u ⋅ i = i 2 R = I m R sin 2 (ωt ) 2 (18.1) 1 tok napetost 0.8 mocSLIKA: Tok in napetost na 0.6uporu sta v fazi. Moč niha z 0.4dvojno frekvenco in ima 0.2 tok, napetost, mocenosmerno komponento, ki je 0povprečna moč. -0.2 -0.4 -0.6Moč. Moč na uporu lahko z -0.8uporabo zveze (1 − cos ( 2α ) ) -1 1sin 2 (α ) = 0 1 2 3 4 5 6 7 cas 2zapišemo kot 2 (1 − cos ( 2ωt ) ) Im R p= (18.2) 2 1/9
  • 195. Izmenični signali, osnovne zveze 18.Ugotovimo, da ima (trenutna) moč na uporu tudi sinusno obliko, vendar niha z dvojno frekvenco 2 Im Rosnovnega signala, povprečna vrednost pa je P = = I ef R . Povprečno vrednost moči določa 2 2efektivna vrednost (tokovnega ali napetostnega) signala.Energija. Določimo še energijo v eni periodi (toplotna energija ali joulske izgube), ki bo T WT = ∫ pdt = PT = I ef RT 2 (18.3) 0Skupne ugotovitve za upor: 1) Če je tok skozi tuljavo i = I m sin(ωt ) , bo napetost na uporu u = U m sin(ωt ) . Napetost na uporu je v fazi s tokom, kar lahko prikažemo tudi grafično na kazalčnem diagramu. 2) Amplituda napetosti je U m = I m R . 3) Upornost (R) je neodvisna od frekvence tokovnega (in napetostnega) signala. 4) Moč na uporu niha z dvojno frekvenco tokovnega (ali napetostnega) signala „okoli” 2 Im R enosmerne komponente, ki predstavlja povprečno moč in je enaka P = = I ef R . 2 2 2/9
  • 196. Izmenični signali, osnovne zveze 18.TULJAVAZveza med tokom skozi tuljavo in napetostjo na tuljavi je dΨ diu= =L . dt dtČe je tokovni signal oblike i = I m sin(ωt ) , bo napetost na tuljavi ( I m sin(ωt ) ) = LI mω cos(ωt ) = U m cos(ωt ) ali tudi u = U msin  ωt + π  . du=L   dt  2Napetostni signal je časovno zamaknjen glede na tokovni signal. Rečemo, da napetost prehiteva tokza kot π . To lahko prikažemo tako s časovnim potekom, kot s kazalčnim diagramom ali kasneje 2– s kompleksorji v kompleksni ravnini.SLIKA: Časovni potek in kazalčni diagram faznega prehitevanja napetosti na tuljavi pred tokom.Amplituda napetosti bo torej U m = I mω L , kjer ω L = X L imenujemo reaktanca oz. upornost tuljavepri izmeničnih signalih. Upornost tuljave (reaktanca) pri izmeničnih signalih se veča linearno s Umfrekvenco in je enaka = X L = ωL . ImMoč. Trenutna moč je zmnožek trenutne napetosti in toka na tuljavi, torej I mU m p = iu = I m sin(ωt ) ⋅ U m cos(ωt ) = sin(2ωt ) (18.4) 2Trenutna moč niha z dvojno frekvenco vendar je brez enosmerne komponente. Povprečna(izgubna) moč je 0 W. 3/9
  • 197. Izmenični signali, osnovne zveze 18. 1 tok napetost 0.8 moc 0.6 0.4 0.2 tok, napetost, moc 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 casSLIKA: Tokovni in napetostni signal na tuljavi sta zamaknjena za četrtino periode. Napetostprehiteva tok, moč na tuljavi niha z dvojno frekvenco in nima enosmerne komponente. Povprečnamoč na tuljavi je nič.Energija. Energijo v tuljavi dobimo z integracijo moči t t I mU m I UmW (t ) = ∫ pdt = 0 2 0 ∫ sin(2ωt )dt = 2m⋅ 2ω (1 − cos(2ωt ) ) . Energija, ki je akumulirama v magnetnempolju tuljave, niha z dvojno frekvenco osnovnega signala. V vsakem trenutku je pozitivna in vpovprečju velika 2 I mU m LI mWsr = = . (18.5) 4ω 4Spomnimo se še druge oblike zapisa trenutne energije. V poglavju (13) smo obravnavali energijo vmagnetnem polju tuljave in ugotovili, da jo lahko zapišemo kot t t i (t ) diW (t ) = ∫ p (t )dt = ∫ L idt = ∫ Lidi od koder smo zapisali enačbo za trenutno energijo v t0 t0 dt i ( t0 ) Li 2magnetnem polju tuljave z induktivnostjo L v obliki W = . 2Maksimalna energija v tuljavi nastopi tedaj, ko je maksimalen tok. Tedaj je 2 LI m Wmax = (18.6) 2 4/9
  • 198. Izmenični signali, osnovne zveze 18. 2 1.5 tok, napetost, moc 1 0.5 0 -0.5 -1 0 1 2 3 4 5 6 casSlika:Moč (polna črna črta) in energija (polna modra črta) pri vzbujanju tuljave s sinusnim tokovnimsignalom (modra črtkana črta).Skupne ugotovitve za tuljavo: π 1) Če je tok skozi tuljavo i = I m sin(ωt ) , bo napetost na tuljavi u = U m sin(ωt + ) . Napetost 2 na tuljavi prehiteva tok za četrtino periode signala, kar lahko prikažemo tudi grafično na kazalčnem diagramu. 2) Amplitudo napetosti lahko zapišemo tudi kot U m = I mω L , kjer je ω L upornost tuljave pri izmeničnih signalih, kar imenujemo tudi reaktanca X L = ω L . Reaktanca se linearno veča s frekvenco. 3) Za lažjo predstavo lahko tuljavo pri zelo nizkih frekvencah (enosmerne razmere) nadomestimo s kratkim stikom (zelo majhna upornost), pri zelo visokih pa z odprtimi sponkami (zelo velika upornost). 4) Moč na tuljavi niha z dvojno frekvenco tokovnega (ali napetostnega) signala, povprečna moč je enaka nič. 5) Energija v magnetnem polju tuljave niha z dvojno frekvenco osnovnega signala, je vedno 2 LI m pozitivna in v povprečju velika W = Wsr = . Trenutna vrednost je sorazmerna kvadratu 4 Li 2 toka W = , maksimalna energija v tuljavi nastopi vsako četrtino periode signala, ko je 2 2 LI m velika Wmax = . 2 6) Za vezja, v katerih napetost prehiteva tok rečemo, da imajo induktivni karakter. 5/9
  • 199. Izmenični signali, osnovne zveze 18.Primer: Na toroidno jedro okroglega preseka površine 1 cm2 , s srednjim polmerom 2 cm in µr =100, navijemo 500 ovojev. Kolikšna je napetost na tuljavi, če jo vzbujamo s tokomi = 0, 4 cos(100s-1t ) A ? Določimo še povprečno in maksimalno moč na tuljavi. µ r µ0 N 2 AIzračun: Induktivnost toroida je L= = 25 mH , torej je induktivna upornost 2π rsX L = ω L = 2,5 , maksimalna napetost je U m = I m X L = 0, 4 A ⋅ 2,5 = 10 V . Če bi želeli zapisatinapetost na tuljavi v obliki časovnega signala, bi morali upoštevati, da napetost na tuljavi tok π πprehiteva za fazni kot , torej bo u (t ) = 10 cos(100s-1t + ) V . Povprečna moč je enaka nič vatov, 2 2 I mU m LI 2maksimalna moč je = 2 W , povprečna energija je Wsr = m = 1 mJ , maksimalna pa 2 mJ. 2 4 6/9
  • 200. Izmenični signali, osnovne zveze 18.KONDENZATORZopet vzemimo sinusno obliko toka i = I m sin(ωt ) . Tok izrazimo s časovno spremembo naboja na dQploščah kondenzatorja i = in upoštevamo zvezo med nabojem na ploščah in napetostjo dt duQ (t ) = Cu (t ) in dobimo i = C . Ker tok poznamo, zanima pa nas napetost, izrazimo napetost na dt t t 1kondenzatorju kot ∫ du = ∫ idt . Za sinusno obliko toka bo napetost enaka 1 0 C0 1 t I I  πu (t ) = ∫ I m sin(ωt ) ⋅ dt + u (0) = − m cos(ωt ) = m sin  ωt −  oziroma C0 ωC ωC  2  πu = U m sin  ωt −  . Napetost na kondenzatorju zaostaja za tokom za četrtino periode.  2SLIKA: Časovni potek in kazalčni diagram faznega zaostajanja napetosti na kondenzatorju predtokom. ImAmplituda napetosti je torej U m = . ωC 1Člen ima enoto upornosti in tudi predstavlja upornost kondenzatorja pri izmeničnih signalih. ωCMoč. Trenutna moč je zmnožek trenutne napetosti in toka na kondenzatorju, torej I mU m p = iu = − I m sin(ωt ) ⋅ U m cos(ωt ) = − sin(2ωt ) (18.7) 2Trenutna moč niha z dvojno frekvenco vendar brez enosmerne komponente, enako kot pri tuljavi.Povprečna (izgubna) moč je torej tako kot na tuljavi enaka nič vatov.1 Zakaj dodamo u(0)? Pri veličinah, ki so določene z integralom, je potrebno upoštevati “zgodovino” integranta. Torej t t 1 1bi bilo vedno potrebno slediti integrirano veličino od –inf. , torej u= ∫ idt = C ∫ idt + u(0) . C −∞ 0 7/9
  • 201. Izmenični signali, osnovne zveze 18. 1 tok napetost 0.8 moc 0.6 0.4 0.2 tok, napetost, moc 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 casSLIKA: Tokovni in napetostni signal na kondenzatorju. Napetost na kondenzatorju zaostaja za tokomza četrtino periode signala.Energija. Podobno kot pri tuljavi energija v kondenzatorju niha z dvojno frekvenco osnovnega 2 CU msignala. Je vedno pozitivna, v povprečju enaka Wsr = . Maksimalna energija shranjena v polju 4 2 CU mkondenzatorja pa je Wmax = . 2 4000 3500 1 3000SLIKA: Kapacitivna upornost X C = ωC 2500 reaktanca / Ohmse zmanjšuje s višanjem frekvence 2000vzbujalnega signala s funkcijsko 1500odvisnostjo 1 . Na sliki je reaktanca za 1000 f 500C = 10 µF. 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 frekvenca / HzSkupne ugotovitve za kondenzator: π 1) Če je tok skozi tuljavo i = I m sin(ωt ) , bo napetost na kondenzatorju u = U m sin(ωt − ) . 2 Tok na kondenzatorju prehiteva napetost za četrtino periode signala, kar lahko prikažemo tudi grafično na kazalčnem diagramu. 8/9
  • 202. Izmenični signali, osnovne zveze 18. Im 1 2) Amplitudo napetosti lahko zapišemo tudi kot U m = , kjer je upornost kondenzatorja ωC ωC pri izmeničnih signalih2. Upornost kondenzatorja se manjša s frekvenco. 3) Za lažjo predstavo lahko kondenzator pri zelo nizkih frekvencah (enosmerne razmere) nadomestimo z odprtimi sponkami (zelo velika upornost), pri zelo visokih pa s kratkim stikom (zelo majhna upornost). 4) Moč na kondenzatorju niha z dvojno frekvenco tokovnega (ali napetostnega) signala, povprečna moč je enaka nič. 2 CU m 5) Energija niha z dvojno frekvenco osnovnega signala, v povprečju je enaka Wsr = , 4 maksimalna energija v kondenzatorju nastopi vsako četrtino periode signala, ko je velika 2 CU m Wmax = . Energija je akumulirana v električnem polju kondenzatorja. 2 6) Za vezja, v katerih napetost zaostaja za tokom rečemo, da imajo kapacitivni karakter.Primer: Na kondenzator kapacitivnosti 8 µF priključimo vir napetosti sinusne oblike amplitude 1V. Kolikšna mora biti frekvenca napetostnega signala, da bo imel tok kondenzatorja amplitudo 2,5mA? Im 1VIzračun: Iz Um = dobimo ωC = = 400 , od koder je ωC 2,5 mA 1 312,50ω= = 312,50 s-1 oziroma f = Hz ≈ 50 Hz . 400 ⋅ 8 µF 2πVprašanja za obnovo: 1) Določitev napetosti na uporu, tuljavi, kondenzatorju pri vzbujanju z izmeničnim signalom. 2) Zveze med amplitudami toka in napetosti. Upornosti pri izmeničnih signalih. 3) Prehitevanje ali zaostajanje toka za napetostjo, karakter vezja. 4) Moč: časovni signal, povprečna moč. 5) Energija: trenutna, povprečna, maksimalna. Kolokvijske in izpitne naloge: Efektivna vrednost: 2. kolokvij, 13. 06.2002 izpit, 20. junij 2003 Izpit 26. 6. 2002 izpit, 8. aprila 2002 12 Pogosto se uporablja zapis reaktance kondenzatorja kot X C = . Kasneje bomo ugotovili, da je reaktanca ωC 1definirana kot imaginarni del impedance in je v primeru kondenzatorja negativna, torej X C = − . ωC 9/9
  • 203. Izmenični signali, moč 19. Izmenični signali – močVsebina poglavja: časovna oblika moči za poljubni linearni dvopol, nihanje z dvojno frekvencoosnovnega signala, razdelitev moči na več komponent, delovna moč (faktor delavnosti), jalova moč,navidezna moč, trikotnik moči, odčitek S in P iz časovne oblike signala moči.Zanima nas potek trenutne moči v linearnem dvopolnem (dve zunanji sponki) vezju, kjer jenapetost na zunanjih sponkah enaka u = U m sin(ωt ) , tok pa je zamaknjen za nek poljubni koti = I m sin(ωt − ϕ ) . Trenutna moč v vezje je enaka zmnožku napetosti in toka p (t ) = u (t ) ⋅ i (t ) = U m sin(ωt ) ⋅ I m sin(ωt − ϕ ) . (19.1) 1Z uporabo zveze sin(α ) ⋅ sin( β ) = ( cos(α − β ) − cos(α + β ) ) zapišemo moč vezja kot 2 Um Im p (t ) = [cos(ϕ ) − cos(2ωt − ϕ )] (19.2) 2Vidimo, da lahko trenutno moč vezja opišemo kot vsoto dveh komponent moči, ene enosmerne inene izmenične, ki niha z dvojno frekvenco. S povprečenjem moči preko periode dobimo povprečnomoč, ki bo očitno kar enaka tej enosmerni komponenti moči, ki jo imenujemo delovna moč. KAPACITIVNI KARAKTER 1 tok 0.8 napetost moc 0.6 0.4 tok, napetost, moc 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 casSLIKA: Primer moči na bremenu kapacitivnega karakterja (tok prehiteva napetost).Delovna moč. Delovna moč je torej določena kot povprečna moč. »Okoli« te vrednosti nihatrenutna moč: Um Im P= cos(ϕ ) = U ef I ef cos(ϕ ) . (19.3) 2 1/7
  • 204. Izmenični signali, moč 19.To je del moči, ki se pretevarja v neko drugo obliko, na uporu v toplotno (Joulske izgube), vmotorjih pa v mehansko. Faktor cos(ϕ ) pogosto imenujemo tudi faktor delavnosti ali faktor moči.Navidezna moč. Trenutna moč niha z dvojno frekvenco okoli vrednosti povprečne moči.Amplituda nihanja moči (brez enosmerne komponente) je I mU m S= (19.4) 2in jo imenujemo navidezna moč. Navidezna moč je običajno tista, ki nam pove, koliko smemoobremenjevati napravo.Jalova moč. Tudi nihanje moči okoli enosmerne komponente (povprečne moči) lahko razstavimov skladu z zvezo cos(α − β ) = cos(α ) ⋅ cos( β ) + sin(α ) ⋅ sin( β ) . Dobimocos(2ωt − ϕ ) = cos(2ωt ) ⋅ cos(ϕ ) + sin(2ωt ) ⋅ sin(ϕ ) . Ob vstavitvi tega člena v enačbo (19.2) dobimo Um Im p (t ) =  cos(ϕ ) (1 − cos(2ωt ) ) − sin(ϕ ) sin(2ωt )  (19.5) 2  Prvi člen v oglatem oklepaju predstavlja nihanje moči okoli povprečne (delovne) moči, drugi členpa nihanje moči okoli ničle. Amplituda drugega člena je enaka I mU m Q= sin(ϕ ) . (19.6) 2in jo imenujemo jalova moč.Očitno je, da velja S 2 = P2 + Q2 , (19.7)kar običajno prikažemo s pravokotnim trikotnikom s stranicami P, Q in S.SLIKA: Trikotnik moči sestavljajo delovna, jalova in navidezna moč.Zaradi pomembnosti moči v elektrotehniki in lažje prepoznavnosti, za delovno moč uporabljamoenoto W (Watt), za jalovo pa VAr (Volt – Ampere reaktivno), za navidezno pa VA (Volt - Ampere). 2/7
  • 205. Izmenični signali, moč 19. KAPACITIVNI KARAKTER 1 tok napetost 0.8 moc 0.6 0.4 0.2 P 0 -0.2 -0.4 -0.6 P =0.12361 -0.8 Q =-0.38042 S =0.4 -1 0 1 2 3 4 5 6 7SLIKA: Primer časovnega poteka komponent moči (s polno črto) na vezju kapacitivnega karakterja(tok prehiteva napetost). Prikazana je trenutna moč (polna krepka črna črta), pa tudi razdelitev temoči na dva dela: nihanje moči z amplitudo izmeničnega signala enaki P okoli povprečja (polna rdečačrta), ki je enako P in jalova moč Q, ki je enaka amplitudi dela signala moči, ki niha okoli ničle (polnačrta turkizne barve). Trenutna moč niha okoli povprečne vrednosti (delovne moči P) z amplitudo, kije enaka navidezni moči S.Primer: Motor priključimo na izmeničen vir napetosti u = 400sin(ωt ) V in med delovanjemizmerimo efektivno vrednost toka 3,68 A, ki za napetostnim signalom zaostaja za fazni kot 250.Določite delovno, jalovo in navidezno moč motorja.Izračun: Maksimalna vrednost toka bo I m = I ef 2 = 5, 2 A . Delovna moč bo I mU m I U I UP= cos(ϕ ) ≅ 961W , jalova Q = m m sin(ϕ ) ≈ 448VAr in navidezna S = m m = 1060VA . 2 2 2Primer: Navidezna moč električnega aparata je 550 VA, faktor delavnosti pa je 0,8. Določimodelavno in jalovo moč aparata. 3/7
  • 206. Izmenični signali, moč 19.Izračun: Iz trikotnika moči lahko razberemo, da je delovna moč P = S cos(ϕ ) = 440 W . Kerpoznamo P in S lahko Q določimo iz Q = S 2 − P 2 = 330 VAr .Primer: Iz grafa trenutne moči določimo delovno, jalovo in navidezno moč ter frekvenco in faznikot med napetostjo in tokom. Vrišimo delovno in navidezno moč v sliko. Določimo še amplitudonapetosti, če je amplituda toka 2A. 0.8 0.7 0.6 0.5 moc/W 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 0 1 2 3 4 5 6 7 cas/msIzračun: Amplituda moči je navidezna moč, ki niha okoli enosmerne komponente, ki je enakadelovni moči. Iz vršnih vrednosti lahko razberemo navidezno moč. Spodnja temenska vrednost 0, 72 − ( −0, 08)moči je –0,08 W, zgornja pa 0,72 W, S = = 0, 4 VA . Če to vrednost odštejemo od 2zgornje vršne vrednosti ali pa prištejemo spodnji, dobimo delovno močP = 0, 72 W − 0, 4 W = 0,32 W , jalova moč bo torej Q = S 2 − P 2 = 0, 24 VAr .Razberemo še periodo signala, ki je 3,2 ms, od koder je frekvenca signala moči 1f moc = = 312,5s-1 . Moč niha z dvojno frekvenco toka (napetosti), tok bo torej nihal s kotno 3, 2 msfrekvenco 156,3 Hz. Ugotoviti moramo še fazni zamik med napetostjo in tokom. Že iz prejšnjega Sprimer smo ugotovili, da je S = P cos(ϕ ) od koder je ϕ = Arc cos   = 180 . Določimo še P I mU m 2Samplitudo napetosti: iz S = sledi U m = = 0,4V . 2 Im 4/7
  • 207. Izmenični signali, moč 19. Slika: Primer izrisa trenutne moči iz osciloskopa pri laboratorijski vaji za induktivni karatker vezja. Razloči signal napetosti, toka, moči, določi periodo, frekvenco, delovno moč, navidezno moč. Kako določimo jalovo moč? Kaj izmerimo z ampermetrom in voltmerom? Vprašanja za obnovo: 1) Trenutna moč na poljubnem elementu vezja. 2) Delovna moč in faktor moči, jalova moč, navidezna moč. Enote. Trikotnik moči. 3) Prikaz moči kot časovni signal in določitev delovne, navidezne moči in frekvence iz signala. (Pomoč: Laboratorijske vaje) Primeri izpitnih in kolokvijskih nalog izpit, 23. januar 2007 Izpit, 10. 06. 2004 5/7
  • 208. Izmenični signali, moč 19.DODATEK: Matlab program za prikaz moči na bremenu kapacitivnega, ohmskega aliinduktivnega značaja% Moc na bremenu, fazo spreminjamo od -pi/2 do +pi/2Im=1; Um=0.8;x=0:0.01:2*pi;axis autofor ii=-1:0.2:1 fi=ii*pi/2; i=Im*sin(x); u=Um.*sin(x+fi); P=Um*Im*cos(fi)/2; Q=Um*Im*sin(fi)/2; S=Um*Im/2; plot(x,i,:,x,u,--,LineWidth,2); hold on plot(x,u.*i,k,LineWidth,3) plot(x,P*(1-cos(2*x)),r,x,Q*sin(2*x),c,LineWidth,2) plot([0 2*pi], [0 0],Color,b,LineStyle,--) plot([0 2*pi], [P P],Color,k,LineStyle,-) %axis off title(OHMSKI KARAKTER) if fi<0 title(KAPACITIVNI KARAKTER); end if fi>0 title(INDUKTIVNI KARAKTER); end if fi==0 title(OHMSKI KARAKTER); end legend(tok,napetost,moc) text(0.5,-0.7,strcat(P = ,num2str(P))); text(0.5,-0.8,strcat(Q = ,num2str(Q))); text(0.5,-0.9,strcat(S = ,num2str(S))); text(6.5,P,P); k = waitforbuttonpress hold offend 6/7
  • 209. Izmenični signali, moč 19. SLIKA: Moč na bremenu induktivnegaSLIKA: Moč na kondenzatorju. karakterja SLIKA: Moč na induktivnem bremenuSLIKA: Moč na bremenu kapacitivnega (tuljavi)karakterja.SLIKA: Moč na uporu 7/7
  • 210. Izmenični signali, kompleksni račun 20. Od diferencialnih enačb do kompleksnega računaVsebina: Reševanje vezja z diferencialnimi enačbami. Osnove kompleksnega računa:kompleksno število, osnovne operacije, konjugacija, Eulerjev obrazec. Povezava medčasovnim signalom sinusne oblike in kompleksnim zapisom - v obe smeri. Prikazkompleksorjev v kompleksni ravnini. Povezava med kompleksorji toka in napetosti na uporu,kondenzatorju in tuljavi. Kirchoffova zakona s kompleksorji, kompleksna upornost inprevodnost (impedanca, admitanca), reaktanca, susceptanca.Spoznali smo že zveze med tokom in napetostjo na posameznih elementih pri vzbujanju zizmeničnimi signali. Običajno imamo opravka z vezji, v katerih imamo pri napajanju z izmeničnimisignali priključene tako upore kot tudi kondenzatorje in tuljave. Kako v takih primerih analizirativezje? Vzemimo kar preprost primer tuljave, ki je preko zaporedno vezanega upora priključena naizmenični napetostni generator. Kako določiti tok v vezju ali napetost na tuljavi?Pokažimo to kar na konkretnem primeru. Upor R = 2 Ω je zaporedno s tuljavo z induktivnostjo L =10 mH priključen na vir izmenične napetosti u g = 10sin( ωt ) V ; ω = 50 Hz .SLIKA: Zaporedna vezava upora in tuljave priključena na vir izmenične napetosti.Pri izračunu moramo upoštevati osnovne zveze med tokom in napetostjo na posameznem elementuin Kirchoffova zakona. Odtod sledi u g = u R + u L . Sedaj napetosti na uporu in tuljavi izrazimo stokom: diu g = Ri + L . dtDobimo diferencialno enačbo, katere rešitev bo tok v vezju. Obstaja vrsta načinov reševanjadiferencialnih enačb, morda najpreprostejši je kar z uporabo t.i. »nastavka«, to je vnaprej poznaneoblike rešitve. V konkretnem primeru bo le ta oblike i = Asin( ωt ) + Bcos( ωt ) . Ta nastavekuporabimo v diferencialni enačbi in dobimo (za enostavnejše računanje ne upoštevamo enot) 1/15
  • 211. Izmenični signali, kompleksni račun 20.10sin(ωt )=2 ( Asin(ωt ) + Bcos(ωt ) ) + 0 ,01 ⋅ ( Aω cos(ωt ) − Bωsin(ωt ) ) . Sedaj moramo le še združiti člene,ki sodijo skupaj (sinusne in kosinusne člene) in dobimo:10sin( ωt )=2Asin( ωt ) − 0 ,01Bωsin( ωt ) , od koder mora veljati 10 = 2 A − 0 ,5B in hkrati0=2Bcos( ωt ) + 0 ,01Aωcos( ωt ) , od koder mora veljati 0 = 2 B + 0 ,5 A . Dobimo sistem dveh enačb, odkoder določimo konstanti A in B, ki sta B = -1,1765 in A = 4,7059. Rešitev je toreji ≅ 4 ,71sin( ωt ) − 1,18cos( ωt ) . To rešitev lahko zapišemo tudi v obliki i = K sin(ωt + ϕ ) , kjer je B 1800K = A2 + B 2 ≅ 4,86 in ϕ = Arc tan ≅ −0, 25 v radianih oziroma ϕ ≅ −0, 25 ⋅ = −140 , torej A πi = 4,86sin(ωt − 140 ) A . 10 8 6 Napetost (V), Tok (A) 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 Cas /sSLIKA: Napetost (modra polna črta) in tok (zelena črtkana črta).Rezultat je zanimiv in pričakovan. Če bi bil na vir priključen le upor, bi bil tok v fazi z napetostjo,če bi bila priključena le idealna tuljava, bi tok zaostajal za 900, če pa sta zaporedno priključena obaelementa, pa tok zaostaja za napetostjo za določen fazni kot, ki je med 0 in 900. V konkretnemprimeru tok zaostaja za napetostjo za fazni kot 140.Dodatno: Ali bi bila situacija podobna, če bi na napetostni vir priključili vzporedno vezana upor intuljavo?Odgovor: Da, tudi v tem primeru bi tok zaostajal za napetostjo. Poskusite preveriti sami!Ugotovitev: Za analizo tudi že preprostega vezja, ki je priključeno na izmenični vir, potrebnozapisati diferencialno(e) enačbo(e) in poiskati njeno rešitev. To pa ni vedno enostavno. Vnadaljevanju bomo ugotovili, da je najbolj učinkovita metoda za analizo vezij vzbujanih z 2/15
  • 212. Izmenični signali, kompleksni račun 20.izmeničnimi signali z uporabo kompleksnega računa. S pomočjo kompleksnega računa lahko vosnovi diferencialne enačbe »prevedemo« na preproste algebrajske. Poleg analitičnega pristopanam bo v veliko pomoč tudi grafičen prikaz s t.i. kompleksorji (kazalci) v kompleksni ravnini.Osnove kompleksnega računaKompleksno število. Kompleksno število sestavlja realni in imaginarni del. Običajnokompleksna števila označimo s črtico pod črko. Primer takega števila je npr. Z = 2 + j3 . 2 je realnidel, 3 pa imaginarni del kompleksnega števila.j je imaginarno število in je enako j = −1 oziroma, j 2 = −1 . V matematiki ga pogosto označimos črko i, ki pa jo v elektrotehniki pogosto uporabljamo kot simbol za tok.Kompleksno število lahko prikažemo v t.i. kompleksni ravnini kot točko s koordinatama na realniin imaginarni osi (2, j3). Še bolj pogosto tako število prikažemo s kazalcem – kompleksorjem vkompleksni ravnini.Poljubno kompleksno število zapišemo z realnim in imaginarnim delom kot Z = Re {Z } + j Im {Z } = X + jY .X je realni del, Y pa imaginarni del kompleksnega števila.SLIKA: Prikaz kompleksnega števila v kompleksni ravnini kot točka ali v obliki kazalca (vektorja).Določen je z realnim in imaginarnim delom ali pa z amplitudo in faznim kotom. 3/15
  • 213. Izmenični signali, kompleksni račun 20.Pogosto zapišemo kompleksno število tudi v polarni obliki, z amplitudo in faznim kotom. Velja Z = X 2 + Y 2 , fazni kot pa je ϕ = Arctan   Y   . Narišemo ga s kazalcem (kompleksorjem) v X kompleksni ravnini. Velikost kazalca je Z in je od realne osi »zasukan« za kot ϕ .Eulerjev obrazec.Za tvorjenje kompleksnih signalov (kompleksorjev) in za pretvarjanje iz polarnega zapisa v realniin imaginarni del kompleksnega števila se poslužujemo t.i. Eulerjevega obrazca e jα = cos(α ) + j sin(α ) (20.1)Primeri računanja s kompleksnimi števili.Z 1 = 2 + j 3 ; Z 2 = 4 − j5Vsota: Z 1 + Z 2 = 2 + j 3 + 4 − j5 = 6 − j 2Razlika: Z 1 − Z 2 = ( 2 + j 3) − ( 4 − j 5) = −2 + j8Produkt: Z 1 ⋅ Z 2 = ( 2 + j 3) ⋅ ( 4 − j 5) = 2 ⋅ 4 − j 215 + j (12 − 10) = 23 + j 2Kvocient: Z 1 / Z 2 = ( 2 + j 3) = ( 2 + j 3) ( 4 + j5) = −7 + j 22 = −7 + j 22 ≅ −0,17 + j 0 ,54 ( 4 − j 5) ( 4 − j5) ( 4 + j5) 42 + 52 41Kvocient s pomočjo polarnega zapisa: ( 2 + j3) ≅ 3,6e j 56 0 Z1 / Z 2 = ≅ 0 ,562e j107 ≅ 0 ,562 ( cos(1070 )+jsin(107 0 ) ) = −0 ,164 + j 0 ,54 . 0 ( 4 − j5 ) 6,4e− j 51 0Razlika med prvim in drugim izračunom nastopi zaradi različnega zaokroževanja. Polarni zapis jebolj primeren za množenje in deljenje. Pri pretvarjanju v polarni zapis je potrebno biti previden vprimeru, ko je realni del negativen, saj se to število (kazalec) nahaja v drugem ali tretjemkvadrantu. V tem primeru je potrebno kotu dodati 1800 oz. π . Primer: Pretvorimo kompleksno  2  j  π+Arc tan  j ( 3π/4 )število −2 + j 2 = 2 2e  −2  = 2 2e .Konjugacija: Z * = 2 − j 3 . Pri konjugaciji obrnemo predznak imaginarnemu delu. Posebno 1primerna je uporaba konjugacije za izračun absolutne vrednosti kompleksnega števila:Z 1 = 2 + j3 = Z 1 ⋅ Z 1 = * ( 2 + j 3)( 2 − j 3) = 22 + 32 = 13Prikaz kompleksorjev v kompleksni ravnini. Posamezne kompleksorje lahko prikažemo vkompleksni ravnini, jih seštevamo ali odštevamo na enak način kot vektorje. 4/15
  • 214. Izmenični signali, kompleksni račun 20.SLIKA: Primer seštevanja in odštevanja dveh kompleksorjev v kompleksni ravnini. Princip je enakkot pri seštevanju vektorjev. S konjugacijo se kompleksor prezrcali preko realne osi.Tvorjenje kompleksorjev iz časovnih (harmoničnih) signalov.S pomočjo Eulerjevega obrazca lahko zapišemo poljuben harmoničen signal, pri čemer pa polegrealnega dela pridobimo še imaginarni del. Vzemimo primer tokovnega signala oblikei (t ) = 2 cos(ω t ) A . Ta tok lahko zapišemo z upoštevanjem Eulerjevega obrazca koti(t ) = 2 ( cos(ωt ) + j sin(ωt ) ) A = 2e jωt A . Tak kompleksen zapis toka seveda nima posebnegafizikalnega pomena. Fizikalno ima pomen le njegov realni del, toreji(t ) = Re {i(t )} = Re {2 ( cos(ωt ) + j sin(ωt ) ) A} = 2 cos(ωt )A . V nadaljevanju bomo spoznali, danam to »kompliciranje« z vpeljavo kompleksnih števil olajša obravnavo vezij vzbujanih sharmoničnimi signali.Vzemimo sedaj bolj splošen zapis toka i ( t ) = I cos(ωt + ϕ ) in ga zapišimo z upoštevanjemEulerjevega obrazca kot i (t ) = I ( cos(ωt + ϕ ) + j sin(ωt + ϕ ) ) = Ie j ( ω t +ϕ ) = Ie jϕ e jωt = Ie jωt . Tvorilismo kompleksor harmonične funkcije I = Ie jϕ , ki opisuje amplitudo in fazo (fazni kot) toka, kar paje tudi popolna informacija o toku v vezju. Frekvenca signala se namreč pri linearnih vezjihvzbujanih s harmoničnim signalom ne spreminja. Dovolj bo torej, da bomo poznali le amplitudo infazo (fazni kot) signala, seveda relativno na druge signale v vezju, če pa bi nas zanimal trenutni(časovni) potek signala, kompleksor pomnožimo s členom e jω t in upoštevamo le realni del.Kompleksorje tvorimo iz časovnih harmoničnih signalov tako, da upoštevamo le amplitudo infazo (fazni kot) signala, relativno glede na kosinusno funkcijo in ga zapišemo v oblikiI = Ie jϕ .Primeri: Tvorimo kompleksorje toka za sledeče oblike tokov:i1 (t ) = 1cos(ω t ) A ⇒ I1 = 1 Ai2 (t ) = 2 cos(ωt + 450 )A ⇒ I 2 = 2e j 45 A 0 5/15
  • 215. Izmenični signali, kompleksni račun 20.i3 (t ) = 3sin(ωt ) A = 3cos(ωt − π/2)A ⇒ I 3 = 3e − jπ/2 A = 3 ( cos(-π/2)+jsin(-π/2) ) A = − j 3 Ai4 (t ) = 4sin(ωt + 300 ) A = 4cos(ωt − 900 +300 ) A = 4cos(ωt − 600 ) A 1 3 ⇒ I 4 = 4e − j 60 A = 4 ( cos(-600 )+jsin(-600 ) ) A = 4  − j  A ≅ ( 2 − 3, 46 ) A 0 2  2  SLIKA: Prikaz kompleksorjev toka v kompleksni ravnini.Določitev časovnega signala iz kompleksorja.Iz znanega kompleksorja vedno lahko dobimo časovno obliko signala. Kompleksor je potrebnopomnožiti z e jωt in upoštevati le realni del signala. Vzemimo kot primer kompleksor tokaI 2 = 2e j 45 A , ki ga pomnožimo z e jωt in upoštevamo Eulerjev obrazec. Časovno obliko toka 0dobimo iz realnega dela izraza { 0 } { 0 }i2 (t ) = Re 2e j 45 e jωt A = Re 2e j (ωt + 45 ) A = 2 Re {cos(ωt + 450 ) + j sin(ωt + 450 )} A=2 cos(ωt + 450 )APrimer: Rešimo primer zaporedne vezave upora in tuljave na začetku poglavja z uporabokompleksnega računa.Izračun: Napetostni signal oblike ug = U msin( ωt ) = U mcos(ωt − π/2) zapišemo kotu g = U m e j( ωt − π/2) = Ue jωt , kjer je U = U m e − jπ/2 = − jU m . Rešitev pričakujemo v obliki i = Ie j( ωt +ϕi ) = Ie jωt ,kjer je I = Ie jϕ . i diVstavimo ta zapisa v diferencialno enačbo ug = Ri + L in dobimo dtUe jωt = RIe jωt + L d dt ( Ie jωt ) in z odvajanjem Ue jωt = RIe jωt + LI jωe jωt . Člen e jωt lahko v enačbipokrajšamo in tako postane enačba enostavna algebrajska: U = RI + jω LI . Iz enačbe določimo Ukompleksor toka I = . Razstavimo enačbo na realni in imaginarni del. Če se želimo R + jω L 6/15
  • 216. Izmenični signali, kompleksni račun 20.»znebiti« imaginarnega dela v imenovalcu, moramo imenovalec pomnožiti z njegovo konjugiranokompleksno vrednostjo, to je z R − jω L . Dobimo U (R − jω L) U (R − jω L) U (R − jω L)I= = 2 = 2 . To je že rešitev, ki jo lahko izrišemo v (R + jω L) ⋅ (R − jω L) R − (jω L)2 R + (ω L ) 2kompleksni ravnini. Narišemo kompleksor napetosti, ki je − jU m (R − jω L) U (ω L + jR )U = U m e − jπ/2 = − jU m , kompleksor toka pa je I = = − m2 in ima negativen R 2 + (ω L) 2 R + (ω L )2tako realni kot imaginarni del. Vsota teh dveh kompleksorjev je kompleksor toka, ki zaostaja zakompleksorjem napetosti za kot, ki ga dobimo iz zapisa toka v polarni obliki: I = Ie jϕ . Amplituda i U Um  Im{I }   −R toka je I = = , fazni kot pa* ϕi = Arctan   = Arctan   . Z vstavitvijo R + jω L R + (ω L ) 2 2  Re{I }   −ω L vrednosti dobimo I = 4,85 A in ϕi ≅ 760 + 1800 = 2560 . Kompleksor toka je torej I ≅ 4 ,85e j 256 A . 0Spomnimo se lahko, da je bil kompleksor napetosti U = U m e − jπ/2 = U m e j 3π/2 = U m e j 270 . Fazni kot med 0tokom in napetostjo je torej ϕ = ϕ u − ϕi = 2700 − 2560 = 140 . Kazalec napetosti prehiteva kazalec tokaza fazni kot 140. To predstavlja induktivni karakter vezja.Tok v časovni obliki dobimo tako, da kompleksor toka pomnožimo z e jωt in upoštevamo le realnidel: { } { }i (t ) = Re {Ie jωt } = Re 4,85e j 256 e jωt A = Re 4,85e j (ωt + 256 ) A = 4,85cos(ωt + 2560 ) A , 0 0 kar lahkozapišemo tudi s sinusom:i (t ) = 4,85sin(ωt + 900 + 2560 ) A = 4,85sin(ωt + 3460 ) A=4,85sin(ωt − 140 ) ASLIKA: Kazalca (kompleksorja) napetosti in toka.* Dobljenemu kotu je potrebno prišteti kot 180o, saj sta tako realni kot imaginarni del negativna. 7/15
  • 217. Izmenični signali, kompleksni račun 20.Kompleksorji toka in napetosti na elementih vezja.Kako si torej pomagamo s kompleksnim računom pri analizi vezij s harmoničnimi signali?Poglejmo si zveze med kompleksorji toka in napetosti na posameznih elementih vezja:UPORVzemimo i (t ) = I cos(ωt ) , kompleksor bo kar I = Ie j 0 = I . Tokovni signal pa lahko zapišemo koti (t ) = Re {Ie jωt } . Napetost na uporu bo u (t ) = Re {Ue jωt } in bo enaka u (t ) = R ⋅ i (t ) oziromaRe {Ue jωt } = Re {RIe jωt } od koder sledi zapis s kompleksorji: U = RI (20.2)Ponovno vidimo, da sta kompleksorja toka in napetosti na uporu v fazi.SLIKA: Kompleksor napetosti in toka na uporu.TULJAVAVzemimo zopet i (t ) = I cos(ωt ) s kompleksorjem I = Ie j 0 = I . Ugotovili smo že, da napetost na  πtuljavi prehiteva tok za četrtino periode in bo torej enaka u (t ) = I ω L cos  ωt +  . Če ta signal  2 π jzapišemo kot kompleksor, dobimo U = Iω Le 2 = Iω L ⋅ j , kar v splošnem zapišemo v obliki U = jω LI (20.3)SLIKA: S prikazom v kompleksni ravnini pokažemo, da napetost na tuljavi prehiteva tok za četrtinoperiode signala. 8/15
  • 218. Izmenični signali, kompleksni račun 20.Drugačna razlaga: Tvorimo kompleksni časovni signal (pravi je realni del tega): i (t ) = Ie jωt . Ker di divelja u = L , mora veljati tudi u = L . Po odvajanju dobimo u (t ) = LI jωe jωt = Ue jωt . Veljati dt dtmora U = jω LI .KONDENZATORVzemimo zopet i (t ) = I cos(ωt ) s kompleksorjem I = Ie j 0 = I . Ugotovili smo že, da napetost na I  πkondenzatorju zaostaja za tokom za četrtino periode in bo torej enaka u (t ) = cos  ωt −  . Če ωC  2 I − jπ I Ita signal zapišemo kot kompleksor, dobimo U = e 2 = π = , kar v splošnem ωC j jωC e ωC 2zapišemo v obliki I U= (20.4) jωCali tudi I U =−j ωCSLIKA: S prikazom v kompleksni ravnini pokažemo, da napetost na kondenzatorju zaostaja zatokom za četrtino periode signala.Drugačna razlaga: Tvorimo kompleksni časovni signal (pravi je realni del tega): i (t ) = Ie jωt . Ker 1 1 1 1 jωt jωtvelja u = C ∫ idt , mora veljati tudi u = C ∫ idt . Po integraciji dobimo u (t ) = C I jω e = Ue . IVeljati mora U = . jωC 9/15
  • 219. Izmenični signali, kompleksni račun 20.Kirchoffova zakona s kompleksnim zapisom. mPri vezjih z enosmernimi signali je za 1 K.Z. veljalo ∑I k =1 k = 0 , kar bi pri vezjih z izmeničnimi m msignali lahko zapisali v obliki ∑ ik (t ) = ∑ I k cos(ωt + ϕk ) = 0 oziroma izraženo s kompleksnim k =1 k =1 ∑ Re {I e jωt } = 0 . To bo veljalo, če bo mzapisom k k =1 m ∑I k =1 k =0. (20.5)Z besedami: vsota vseh kompleksorjev toka v spojišče je enaka nič.SLIKA: Vsota vseh kompleksorjev toka v spojišču je enaka nič.Podobno bi lahko pokazali, da za drugi K.Z. velja n ∑U j =1 j = 0, (20.6)oziroma, da je vsota vseh kompleksorjev napetosti v zanki je enaka nič.SLIKA: Vsota vseh kompleksorjev napetosti v zanki je enaka nič.Kirchoffove zakone torej lahko uporabimo tudi pri zapisu tokov in napetosti s kompleksorji. 10/15
  • 220. Izmenični signali, kompleksni račun 20.Primer: Tok i (t ) = 3cos(ωt + 300 )A se razdeli v dve veji. Kolikšen je tok v drugi veji, če je v prviveji tok enak i1 (t ) = 2 cos(ωt − 450 ) A ?SLIKA: Izris tokov v vejah.Izračun: Tokove zapišemo kot kompleksorje I = 3e j 30 A , I 1 = 2e − j 45 A in ker mora biti vsota vsehtokov v spojišče enaka nič, bo to veljalo tudi za kompleksorje I 2 = I − I 1 . Torej lahko zapišemoI 2 = 3e j 30 A − 2e − j 45A = 3(cos(300 ) + j sin(300 ))A+2(cos( −450 ) + j sin( −450 ))A .I 2 = 3e j 30 A − 2e − j 45A = 3(cos(300 ) + jsin(300 )) A+2(cos(-450 ) + jsin(-450 )) AI 2 = ( 2 ,6 + j1,5) A − (1,414 - j1,414 ) A = (1,18 + j 2 ,9 ) A = 3,15e j 67 ,9 A . Če želimo zapisati tok v 0drugi veji v časovni obliki, pomnožimo kompleksor z e jω t in upoštevamo le realni del signala { 0 } { 0 }i2 (t ) = Re 3,155e j 67,9 A ⋅ e jωt = Re 3,15e j (ωt +67,9 ) A = 3,15cos(ωt + 67,90 ) A .Impedanca in admitancaVzemimo tokovni signal oblike i (t ) = I cos(ωt + ϕi ) , ki ga opišemo s kompleksorjem I = Ie jϕi , kina sponkah v dvopolno vezje povzroča padec napetosti oblike u (t ) = U cos(ωt + ϕu ) , ki ga opišemos kompleksorjem U = Ue jϕu . Kvocient komplesorjev napetosti in toka imenujemo impedanca alikompleksna upornost (včasih rečemo tudi polna upornost): U Z= . (20.7) I Ue jϕu U j (ϕu −ϕi )Velja Z = jϕi = e = Ze jϕ . Ie IGovorimo lahko o Ohmovem zakonu pri izmeničnih signalih zapisan v obliki U = ZI (20.8) 11/15
  • 221. Izmenični signali, kompleksni račun 20.SLIKA: Poljubno (dvovhodno) vezje s priključeno napetostjo in tokom v vezje. Kvocientkompleksorjev napetosti in toka je definiran kot impedanca vezja.Impedanca je izražena kot kompleksno število. Absolutna vrednost impedance je kvocient medamplitudo napetosti in toka, argument pa je razlika med faznima kotoma napetostnega in tokovnegasignala. Inverzna impedanci je admitanca ali kompleksna prevodnost 1 I Y= = , (20.9) Z U 1 − jϕki jo tudi lahko predstavimo kot Y = e = Ye − jϕ . ZZapišimo kompleksne upornosti in prevodnosti za posamezne elemente vezja Impedanca Admitanca Z Y Upor R G 1 Tuljava jω L = jX L = jBL jω L 1 Kondenzator = jX C jωC = jBC jωCPogosto se uporablja tudi pojma reaktanca in susceptanca. Reaktanca predstavlja imaginarni del 1impedance in je za tuljavo X L = ω L in za kondenzator† X C = − . Susceptanca predstavlja ωC 1imaginarni del admitance in je za tuljavo BL = − in BC = ωC . ωL† Pogosto se v literaturi pojem reaktance enači s pojmom upornosti pri izmeničnih signalih. V tem smislu se uporabljaza reaktanco kondezatorja pozitivno vrednost. Glede na definicijo (reaktanca je imaginarni del impedance), mora bitireaktanca kondenzatorja negativna. 12/15
  • 222. Izmenični signali, kompleksni račun 20.Zaporedna in vzporedna vezava impedanc in admitanc.Če so impedance vezane zaporedno, jih lahko seštevamo tako, kot smo seštevali zaporedno vezaneupornosti pri enosmernih vezjih Z zaporedno = Z 1 + Z 2 + Z 3 + ... (20.10)SLIKA: Zaporedna vezava impedanc.Enako lahko seštevamo tudi vzporedno vezane kompleksne prevodnosti Y vzporedno = Y 1 + Y 2 + Y 3 + ... (20.11)SLIKA: Vzporedna vezava impedanc (admitanc).Primer: Določimo impedanco zaporedno vezanega upora R = 100 Ω in kondenzatorja C = 2 µF prifrekvenci ω = 1 kHz.Izračun: Ker imamo zaporedno vezavo, pišemo 1 1Z =R+ = 100 + = (100 − j500 ) . Dobimo realni in imaginarni del jωC j10 ⋅ 2 ⋅ 10 −6 3impedance, ki jo lahko predstavimo v kompleksni ravnini. Določimo lahko še amplitudo in fazo  −500 impedance kot Z = 1002 + (−500) 2 = 510 in fazni kot ϕ = Arctan   = −78,7 . 0  100 SLIKA: 13/15
  • 223. Izmenični signali, kompleksni račun 20.Primer: Določimo admitanco vzporedne vezave upora in kondenzatorja iz prejšnjega primera.Izračun: Tokrat seštevamo prevodnosti, rezultat bo Y = G + jωC , številčno paY = 0, 01 S + j 0, 002 S = 0,01 (1 + j 0, 2 ) S=1,02 ⋅ 10-2e j11,3 S 0SLIKA:Primer: Tok v vezje vzporedne vezave kondenzatorja in upora iz prejšnjega primera jei (t ) = 20cos(103 s−1 ⋅ t ) mA . Določimo napetost na sponkah vezja.Izračun: Admitanco smo že izračunali v primeru 2, tvorimo še kompleksor tokovnega signala I 20 mAI = 20A in upoštevamo U = Z I = = = 1,96e − j11,3 V . Da dobimo »nazaj« 0 Y 1,02 ⋅ 10−2 e j11,3 S 0napetostni signal, moramo kompleksor napetosti pomnožiti z e jωt in upoštevati le realni del: { }u(t ) = Re 1,96e − j11,3 ⋅ e jωt V = 1,96cos(10−3 s-1t − j11,30 ) V . 0Primer: Na sponke vezja na sliki priključimo napetostni vir z amplitudo 400 V in frekvenco 50 Hz.Določimo impedanco vezja, tok v vezje in delovno moč. (C = 100 µF, L = 20 mH, R = 20 Ω) C L R 1Izračun: Izračunamo impedanco vezja Z = Z C + Z L R , kjer je Z C = = − j 31, 3 in jωC j 6,28 ⋅ 20Z L = jω L = j 6, 28 in ZL R = = (1,79 + j5,7 ) . Impedanca vezja je torej j 6,28 + 20Z = ( − j 31,3 + 1, 79 + j5, 7 ) = (1, 79 - j 25,58) = 26, 2e- j 86 0 . Tok v vezje je 14/15
  • 224. Izmenični signali, kompleksni račun 20. 400 VI = UY= S ≅ 15, 3e j 86 A . 0 − j 860 Delovno moč dobimo iz 26,2 ⋅ e UmIm 400V ⋅ 15, 6AP= cos(ϕ ) = cos( −860 ) = 213, 45 W . 2 2Primer: Tok v zaporedno vezavo dveh elementov je i( t ) = 5cos( ωt + 450 ) A , napetost pau( t ) = 20cos( ωt − 100 ) V . Določimo vrednosti elementov, če je ω = 5 kHz .Izračun: Tvorimo kompleksorja toka in napetosti: I = 5e j 45 A in U = 20e − j10 V . Določimo 0 U 20e − j10 Vimpedanco: Z = = = 4e − j 55 0 j 450 . Sedaj zapišemo v obliki realnega in imaginarnega dela: I 5e AZ = 4 ( cos(-550 )+jsin(-550 ) ) ≅ ( 2 ,29 − j 3,28 ) . Očitno bo en element upor vrednosti 2,29 Ω, drug 1element pa bo kondenzator z reaktanco −3,28 = − ⇒ C = 6 ,1 µF . ωCDodatno: Določite elementa vzporedne vezave vezij za enak tok in napetost.Izračun: R ≅ 6,98 , C ≅ 97 ,66 µF . Vprašanja za obnovo: 1) Kako analizirano vezja, ki so vzbujana z izmeničnimi signali? 2) Kompleksno število: računanje s kompleksnimi števili, Eulerjev obrazec, zapis signala s kompleksorjem, prehod iz časovnega signala v kompleksni zapis in obratno. 3) Zveze med kompleksorji toka in napetosti na uporu, tuljavi in kondenzatorju. 4) Zapis Kirchoffovih zakonov s kompleksorji. 5) Definicija impedance in admitance. Impedanca in admitanca posameznih elemenotv vezja. 6) Definicija reaktance in susceptance. Reaktanca in susceptanca tuljave in kondenzatorja. 7) Zaporedna in vzporedna vezava impedanc in admitanc. Primeri izpitnih in kolokvijskih nalog Izpit, 19. 11. 2004 Izpit 20. 06. 2005 (4) Izpit, 17. 4. 2003 (3) Izpit, 17. 09.2002 (3) Izpit, 17.04.2003 Izpit, 11.12.2002 (3) 15/15
  • 225. Izmenični signali, kompleksna moč 21. Moč s kompleksnim računomVsebina: Zapis moči s kompleksnim računom, delovna, jalova, navidezna moč, bilanca moči,kompenzacija jalove moči, maksimalna moč.Ugotovili smo že, da moč poljubnega (linearnega) dvopola niha z dvojno frekvenco vzbujalnega Um Im U Isignala okoli povprečne – delovne moči P = cos(ϕ ) . Moč niha s amplitudo S = m m okoli 2 2povprečne (delovne) moči. S imenujemo navidezna moč. Jalovo moč, ki je definirana kot Um ImQ= sin(ϕ ) direktno iz časovnega signala moči ne moremo razbrati (razen če je breme čisto 2kapacitivno ali induktivno), lahko pa jo določimo iz. t.i. trikotnika moči, saj velja S 2 = P 2 + Q 2 .Lahko pa časovni signal moči razdelimo na dva signala: enega, ki je vedno pozitiven in niha okolipovprečne moči. To je skupna moč na uporih. Drug signal niha okoli ničle in predstavlja moč na Um Imtuljavah in kondenzatorjih, ki je v povprečju enaka nič, njena amplituda pa je Q = sin(ϕ ) . 2SLIKA: Prikaz časovnega signala moči in razdelitev na dva signala: enega, ki predstavljamoč na uporih in enega, ki predstavlja moč na tuljavah in kondenzatorjih.Navidezno moč lahko zapišemo tudi s kompleksorjem v obliki S = P + jQ , (21.1)oziroma S = S ( cos(ϕ ) + j sin(ϕ ) ) = Se jϕ (21.2)Fazni kot je razlika faznih kotov napetostnega in tokovnega signala: ϕ = ϕu − ϕi . Če to upoštevamo I mU m jϕu − jϕiv enačbi (21.2), lahko kompleksor moči zapišemo v obliki S = e e , oziroma kot 2 1/10
  • 226. Izmenični signali, kompleksna moč 21. 1 S = U ⋅I , * (21.3) 2pri čemer sta U = U m e jϕu in I = I m e jϕi kompeksorja napetosti in toka. Pri izračunu moči skompleksorji je torej potrebno upoštevati konjugirano vrednost kompleksorja toka.Če pri enačbi (21.3) upoštevamo še Ohmov zakon v kompleksnem zapisu, dobimo uporabne zveze: 1 1 2 1 1 S= I Z I = I Z = I 2 Z = U 2Y * * (21.4) 2 2 2 2Delovna moč predstavlja realno, jalova pa imaginarno komponento kompeksorja navidezne moči, 1  1 P = Re {S } = Re  I 2 Z  = I 2 Re {Z } (21.5) 2  2 1  1 Q = Im {S } = Im  I 2 Z  = I 2 Im {Z } (21.6) 2  2Pri gornjih zapisih je potrebno biti previden v toliko, da se zavedamo, da smo tvorili kompleksorjetoka in napetosti z upoštevanjem amplitude časovnega signala. Pogosto se v literaturi pojavljajotudi oblike zapisa moči z upoštevanjem efektivnih vrednosti toka in napetosti, ki so odmaksimalnih pri harmoničnih signalih manjše za 2 . Primer zapisa z efektivnimi vrednostmi tokain napetosti bi torej bil S = U ef ⋅ I ef , pri čemer se pogosto index ef kar izpušča. Za pravilno uporabe *formule za moč moramo torej vedeti, da pri uporabi amplitud signalov upoštevamo faktor 1 , pri 2efektivnih pa je že upoštevan.Primer: Izračunajmo delovno, jalovo in navidezno moč vezja nasliki, ki je vzbujano z napetostnim signalom u (t ) = 50sin(ωt ) V .R1 = 10 , R2 = 5 , L = 100 mH, ω = 50 s-1 .Izračun: V konkretnem primeru je najenostavneje izračunati admitanco vezja, ki je enaka 1 1Y= + , kar je z vstavitvijo vrednosti enako R1 R2 + jω L 1 1 1− jY= + = 0,1 S + S = 0,1(2 - j ) S . Za določitev moči zadostuje 10 (5 + j 50 ⋅ 0,1) 10poznavanje absolutne vrednosti napetosti (ali toka). Dobimo 2/10
  • 227. Izmenični signali, kompleksna moč 21. 1 1S = U 2 Y = ( 50 V) ⋅ 0,1(2 + j )S = 125(2 + j ) VA , torej je delovna moč 250 W, jalova 125 * 2 2 2 PVar-ov, navidezna pa 279,5 VA. Faktor moči je cos(ϕ ) = = 0, 45 . SDodatno: vprašajmo se o močeh na posameznih elementih vezja. Naredimo primerjavo tako, daizračunamo posebej moč na uporu R1 in R2. Moč na uporu R1 lahko izračunamo neposredno, saj je U 2 ( 50V) 2na tem uporu celotna priključena napetost in je torej PR1 = = = 125 W . Moč na uporu 2 R1 2 ⋅10 UR2 dobimo iz toka skozi ta upor, ki je I2 = , oziroma amplituda toka R2 + jω L U 1I2 = = 7, 07 A . Moč na tem uporu bo torej P = ( 7, 07 A) 5 = 125 W . 2 R2 + (ω L ) 2 2 2Oglejmo si še sliko, ki prikazuje posamezne prispevke moči v vezju ter seštevek. 600 p(R1) p(R2) p(L) 500 p(vezja) 400 Posamezne komponente moci 300 200 100 0 -100 -200 0 1 2 3 4 5 6 7 ωtSLIKA: Posamezne komponente moči na elementih vezja in skupna moč. Moč niha z dvojnofrekvenco, na uporih je vedno pozitivna, na tuljavi pa niha okoli ničle. Amplituda izmenjalne moči jejalova moč (125 VAr-ov), amplitudi posameznih delovnih moči pa sta tudi 125 W, skupaj 250 W.(moc2.m) 3/10
  • 228. Izmenični signali, kompleksna moč 21.Bilanca moči. Vzemi primer iz prejšnjega poglavja in izračunajmo moč, ki jo v vezje pošiljanapetostni generator. Ugotovimo lahko, da je ta moč pg (t ) = u g (t ) ⋅ ig (t ) enaka moči vezja. Torej jemoč, ki jo generator pošilja v vezje enaka potrošeni moči. Lahko ugotovimo še več: to moč lahkorazdelimo v jalovo in delovno in ugotovimo, da mora veljati tudi ta bilanca. Poleg tega velja tudisplošno, za več generatorjev.Vsota moči virov (generatorjev) = vsota moči na bremenih vezjaPrimer: Kot primer lahko vzamemo kar prejšnji primer, kjer smo že ugotovili, da je moč na uporihenaka 2x125 W, na tuljavi pa 125 Var-ov, skupaj torej S = 125(2 + j ) VA . Tok v vezje dobimo izadmitance in bo I = U ⋅ Y = 50 V ⋅ 0,1(2 - j ) S = 5(2 - j )A . Moč v vezje bo torej 1 1S = U ⋅ I = U 2 Y , kar pa je ista enačba, s katero smo že izračunali moč vezja. * * 2 2Kompenzacija jalove močiVečina električnih naprav ima induktivni karakter, saj za pretvarjanje iz električne v mehanskoenergijo potrebujejo razna navitja. To so predvsem razni motorji, transformatorji, dušilke, varilniaparati, indukcijske peči, fluorescenčne svetilke in podobno. Ti potrebujejo energijo zavzpostavljanje in »zmanjševanje« magnetnega polja, ki se manifestira v izmenjalni moči, ta pa vjalovi moči, ki je definirana kot amplituda te izmenjalne moči. Ta moč je potrebna a delovanjeelektričnih naprav, torej se ji ne moremo izogniti. Bremeni pa ta moč električno omrežje in jo v temsmislu porabnik tudi plačuje. Jalovo moč je navzven mogoče do določene mere kompenzirati, topomeni, da bremenu dodamo elemente, ki izmenjujejo energijo z bremenom. V ta namen seuporablja vzporedno vezavo kondenzatorjev. Ločimo popolno in nepopolno kompenzacijo. Pripopolni kompenzaciji breme navzven deluje kot ohmsko, torej je jalova moč navzven enaka nič. Prinepopolni kompenzaciji pa jalovo moč le zmanjšamo do določene mere. Pogosto za merokompenzacije uporabimo faktor delavnosti cos(ϕ ) . Popolna kompenzacija terja, da je faktordelavnosti enak 1.Primer: Določimo velikost kompenzacijskega kondenzatorja (kondezatorjev) za popolnokompenzacijo bremena iz primera 1. Kondenzator(je) vežemo vzporedno bremenu. 4/10
  • 229. Izmenični signali, kompleksna moč 21.Izračun: Tudi pri priključenem kondenzatorju je (jalova) moč tuljave še vedno enaka 125 Var-ov,zapišimo jo kot QL = 125 VAr . Ta je pozitivnega predznaka, ki jo kompenziramo z reaktivno 1 1 1 jQC = U 2 Y C = U 2 (− jωC ) , oziroma QC = − U 2ωC . *(jalovo) močjo kondezatorja, ki bo 2 2 2 2 ⋅125VArVeljati mora QL + QC = 0 , oziroma C = = 2 mF *. U ⋅ω 2SLIKA: Trikotnik moči s prikazom popolne kompenzacije jalove moči.Pogosto ne želimo ali pa ne potrebujemo popolne kompenzacije delovne moči. V tem primeruuporabimo kondenzatorje za zmanjšanje, ne pa tudi izničenje jalove moči. Poglejmo kar primer.Primer: Vzemimo, da želimo za kompenzacijo moči iz primera 1 in 2 uporabiti kondenzator skapacitivnostjo 0,5 mF. Za koliko procentov bomo zmanjšali jalovo energijo?Izračun: Z uporabo enakih zvez kot v primeru 2 ugotovimo jalovo komponento moči na 1kondenzatorju, ki bo QC = − U 2ωC = −31, 25VAr . Celotno jalovo komponento bomo zmanjšali 2za 125 VAr - 31, 25 VAr = 93, 75 VAr , kar je za 25%. Izračunajmo še faktor moči, ki bo sedaj PS = P 2 + Q 2 = 267 VA in cos(ϕ ) = ≅ 0,94 . SSLIKA: Trikotnik moči z delno kompenzacijo jalove moči.* To je precejšnja vrednost za kapacitivnost. V praksi je za izračun primerne kompenzacije potrebno vzeti v obzir vsestroške, torej tudi stroške nabave in vzdrževanja kondenzatorjev, dielektrične izgube, kot tudi število obratovalnih ur vvišji in nižji tarifi itd. 5/10
  • 230. Izmenični signali, kompleksna moč 21. 400 celotna moc moc na R1 in R2 Moc / W moc na C in L 200 0 S=279.5085 Q=125 P=250 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 cas / sa) 400 celotna moc moc na R1 in R2 Moc / W moc na C in L 200 0 S=257.6941 Q=62.5 P=250 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 cas / sb) 400 celotna moc moc na R1 in R2 Moc / W moc na C in L 200 0 S=250 Q=0 P=250 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 cas / sc)SLIKA: Celotna moč, moč na uporih R1 in R2 ter moč na C in L pri a) nekompenziranem vezju, b)delno kompenziranem vezju (C = 1 mF) in c) popolnom kompenziranem vezju (C = 2 mF).(RL_kompenzacija_moci.m) 6/10
  • 231. Izmenični signali, kompleksna moč 21. 800 800 600 600 400 400 S, P, Q /VA S, P, Q /VA 200 200 S P 0 0 Q -200 -200 S P -400 Q -400 -600 -600 -7 -6 -5 -4 -3 -2 0 1 2 3 4 5 6 7 10 10 10 10 10 10 C/F C/F -3 x 10SLIKA: Spreminjanje S, P in Q s spreminjanjem vrednosti kompenzacijskega kondezatorja.Na desni linearna, na levi logaritemska skala abscise. Ko je Q = 0 Varov, je navidezna moč (S)najmanjša in enaka delovni moči (P). (RRL_kompenzacija_moci.m)Prilagoditev bremena – maksimalna delovna močV katerem primeru bo moč na bremenu največja? Enako vprašanje smo si zastavili tudi prienosmernih vezjih in prišli do zaključka, da bo to tedaj, ko bo upornost bremena enaka nadomestninotranji upornosti gledano s sponk bremena. Pogosto smo jo določili kot Theveninovo aliNortonovo nadomestno upornost. Tudi pri vezjih z izmeničnimi signali ni dosti drugače.Ogledati si moramo razmere, ko na realni vir, ki ga lahko opišemo s kompleksorjema napetostigeneratorja U g in notranje kompleksne upornosti generatorja Z g , priključimo kompleksno bremeZ b . Moč na bremenu dobimo kot realni del kompleksorja navidezne moči P = Re {S b } in je 1 2 1P= I Re {Z b } = I 2 Rb . Amplitudo toka dobimo iz preproste zveze 2 2U g = I ( Z g + Z b ) = I ( Rg + Rb + j ( X g + X b ) ) od koder izpeljemo 2 1 Ug Pb = Rb . (21.7) 2 ( Rg + Rb ) 2 + ( X g + X b ) 2Sedaj se vprašamo, v katerem primeru bo ta moč največja. Vsekakor tedaj, ko bo imenovalec čimmanjši, to pa bo tedaj, ko bo 7/10
  • 232. Izmenični signali, kompleksna moč 21. X g = −Xb . (21.8)Najprimernejši ohmski upornosti pa bi dobili z odvajanjem moči po določeni upornosti. Ugotovilibi podobno kot pri enosmernih vezjih, da bo delovna moč največja tedaj, kot bosta ohmskiupornosti bremena in generatorja enaki: Rg = Rb . (21.9)Če združimo ugotovitve o reaktivnih in ohmskih komponentah v en zapis, lahko zapišemo pogoj zamaksimalno delovno moč na bremenu Z g = Zb * (21.10)In seveda tudi obratno, Z b = Z g . Ko to velja rečemo tudi, da je breme prilagojeno na *harmoničen vir.Pogoja za maksimalno moč (21.8) in (21.9) vstavimo v enačbo (21.7) in dobimo† 2 Ug Pb ,max = (21.11) 8 RgPrimer: Vir z notranjo upornostjo, ki jo predstavimo z zaporedno vezavo upora Rg = 10 intuljave z X L = ω L = 10 je priključen na breme iz vzporedno vezanega upora in kondezatorja.Določimo vrednosti bremenskih upornosti, da bo na bremenu maksimalna moč. ω = 104 s -1 . 1 1 1 1+ jIzračun: Veljati mora Z b = Z g , torej tudi Y b = = = S= * S . Ker je Z g Rb − jω L 10 − j10 * 20Y b = Gb + jωC , mora biti ob izpolnitvi pogoja za maksimalno moč na bremenu 1 1Gb = S ⇒ Rb = 20 in C = = 5 µF . 20 ω ⋅ 20SLIKA: Vezje priključeno na kompleksno breme. 2 U g ,ef† Če je kompleksor napetosti določen iz efektivne vrednosti, velja U g ,ef = U g / 2 in Pb ,max = - 4 Rg 8/10
  • 233. Izmenični signali, kompleksna moč 21. 45 40 35 30 25 Moc / W 20 15 10 5 0 -7 -6 -5 -4 -3 -2 10 10 10 10 10 10 Kapacitivnost / FSLIKA: Slika prikazuje delovno moč na bremenu pri spreminjanju kapacitivnosti za različneupornosti bremena. Upornosti se vrstijo od 5 Ω, 20 Ω, 35 Ω in 50 Ω. Največjo moč dosežemo (kotpričakovano) pri kapacitivnosti 5 µF in upornosti bremena 20 Ω. (maxmoc.m)% maksimalna moc, Matlab programRg=10; L=1e-3; om=1e4; Rb=20; U=60;Zg=Rg+j*om*L;for Rb=5:15:50ii=2:0.01:7;C=10.^(-ii);Yb=1/Rb+j*om.*C;Zb=1./Yb;I=U./(Zg+Zb);Pb=0.5*I.*conj(I).*real(Zb);semilogx(C,Pb)hold onendxlabel(Kapacitivnost / F)ylabel(Moc / W)Maksimalna moč pri le ohmskem ali le induktivnem bremenuKaj pa če ne moremo poljubno izbirati vseh komponent? Na primer, da ima vir le ohmsko ali pa leinduktivno breme. Potem ugotovimo, da lahko Z g = Z b pomnožimo s konjugiranimi vrednostmi in *dobimo pravilo, da morajo biti enake absolutne vrednosti bremena in vira: 9/10
  • 234. Izmenični signali, kompleksna moč 21. Zb = Z g (21.12)Če imamo na razpolago le Rb ne pa tudi Xb, mora biti le ta za maksimalno moč enak Rb = Z g . 2 UgUstrezno se spremeni tudi izraz za maksimalno moč, ki bo sedaj Pb,max = . (21.13) 4 ( Rg + Z g ) Za obnovo: 1) Izračun moči s kompleksorjem toka in napetosti. 2) Zapis kompleksne moči z delovno in jalovo komponento. Trikotni moči. 3) Različni zapisi moči z upoštevanjem Ohmovega zakona. 4) Tellegenov stavek – bilanca moči. 5) Kompenzacija jalove moči. Priključitev kondenzatorja. Popolna in nepopolna kompenzacija. Izračun potrebne velikost kondenzatorja. 6) Prilagoditev moči – maksimalna moč na bremenu: kdaj nastopi, pogoj če je breme kompleksno ali če je čisto realno (upor). Kako določimo potrebno velikost bremena za optimalno prilagoditev? Enačba za določitev maksimalne moči. Primeri izpitnih in kolokvijskih nalog Izpit, 9. junij 2005 izpit, 14. junij 2006 izpit, 20. junij 2006 (5) izpit, 14. junij 2006 2. kolokvij, 16. junij 2004 2. kolokvij, 13. 06.2002 10/10
  • 235. Izmenični signali - Resonanca 22. Resonančni pojav Equation Section 2 2Vsebina: Zaporedni in vzporedni nihajni krog ali tokovna in napetostna resonanca. Pogo zaresonanco in določitev resonančne frekvence in bočnih frekvenc. Dodatni pojmi kot npr.pasovna širina, normirana pasovna širina, kvaliteta vezja, dušenje, razglašenost.V vezjih s harmoničnimi signali je posebno zanimiv pojav, ko na zunanjih sponkah vezja (pa tudina določenih elementih vezja) pri določeni frekvenci dosežemo izrazito visoke napetosti ali toke.Tej frekvenci rečemo resonančna frekvenca, vezje pa je tedaj v resonanci. Podrobneje si bomopogledali le vezji z zaporedno ali vzporedno vezavo upora, kondenzatorja in tuljave. Ti vezjiimenujemo tudi zaporedni in vzporedni nihajni krog.Resonančne pojave v elektrotehniki pogosto koristno uporabimo za različna filtriranja aliprilagoditve, lahko pa so tudi nezaželeni (samozagon motorjev, itd).Zaporedni nihajni krog - tokovna resonancaSLIKA: Zaporedni nihajni krog.Vzemimo najprej primer zaporednega nihajnega kroga, ki ga sestavljajo zaporedna vezavakondenzatorja, upora in tuljave. Na vhod priključimo napetostni harmonični vir u (t ) = U cos(ωt ) .Napetosti na kondenzatorju in tuljavi sta fazno zamaknjeni za π , rečemo tudi, da sta v protifazi.Ko je trenutna moč na tuljavi v naraščanju, je na kondenzatorju v upadanju. Njuna vsota je vresonanci enaka nič. Kompleksorji napetosti na posameznih elementih vezja so:U R = IRU L = I jω L 1UC = I jωC 1/10
  • 236. Izmenični signali - Resonanca 22. 1 1 1 1Moči določimo kot P = I 2 R , QL = I 2ω L in QC = − I 2 . Pri nizkih frekvencah (pred 2 2 2 ωCresonančno frekvenco) je amplituda moči na kondenzatorju velika, saj je na njem velika napetost. Zvišanjem frekvence se povečuje moč na tuljavi, ki je ves čas v protifazi z močjo na kondenzatorju(ti moči se torej (gledano iz zunanjih sponk) odštevata). Z bližanjem resonančni frekvenci sepovečuje tok skozi zaporedno vezavo in s tem tudi moč na uporu. V resonanci sta moči na tuljaviin kondenzatorju v protifazi in se s stališča zunanjih sponk popolnoma kompenzirata. Tedaj je»breme« čisto ohmsko, napetost in tok sta v fazi, tok je maksimalen in enak U/R.SLIKA: Kompleksorji napetosti in toka pred, pri in po resonančni frekvenco.Energija je integral moči. Na uporu se energija porablja, na tuljavi in kondenzatorju pa seshranjuje v obliki magnetnega in električnega polja. V resonanci je vezje čisto ohmsko, energijatuljave in kondenzatorja se izmenjuje 2x v periodi. frekvenca = 5011.8723 1 napetost 0.5 tok Napetost in tok 0 -0.5 -1 0 1 2 3 4 5 Cas /s x 10 -4 0.02 p 0.01 pR pL Moc 0 pC -0.01 -0.02 0 1 2 3 4 5 6 Cas /s x 10 -4 -7 x 10 6 wC wL 4 Energija 2 0 0 1 2 3 4 5 6 -4 x 10 2/10
  • 237. Izmenični signali - Resonanca 22.SLIKA: Prikaz napetosti in toka (zgoraj), moči na posameznih elementih vezja (sredina) inenergija na kondenzatorju in tuljavi v resonanci. Tok in napetost na zunanjih sponkah sta vfazi, moči na tuljavi in kondenzatorju sta v protifazi in se odštevata, energija medkondenzatorjem in tuljavo se izmenja 2x v periodi signala.Izračun resonančne frekvence in toka pri resonanci. 1  1 U = U R + U L + U C = IR + I jω L + I = I  R + jω L +  = IZ . jωC  jωC  1Impedanca vezja je torej: Z = R + jω L − j . ωC U U UTok v vezje je I = = = . Tok bo maksimalen, ko bo Z  1   1  2 R + j  ωL −  R +  ωL − 2  ωC    ωC   1 absolutna vrednost impedance najmanjša, ta pa bo tedaj, ko bo  ω L −  = 0 , kar bo pri t.i.  ωC  1resonančni frekvenci ω0 = . LCPri tej frekvenci bo imaginarni del impedance enak nič, impedanca vezja bo čisto ohmska, tok vvezje pa bo največji. Enak boI ( f = f0 ) = I 0 = U / R .Vezje bo torej v resonanci tedaj, ko bo navzven (na zunanjih sponkah) čisto ohmsko: tok innapetost bosta v fazi. Pogoj za resonanco zaporedne vezave RLC je ϕ = ϕu − ϕi = 0 , (22.1)oziroma, ko je Im {Z } = 0 (22.2)oziroma, ko je Im {Y } = 0 . (22.3)Za izračun resonance vezja je primerna enačba (22.1) ali (22.2) ali (22.3), odvisno pač od tega, skatero obliko lažje pridemo do izračuna. Potrebno pa je poudariti, da je lahko pri vezjih, ki nisoprimer zaporedne ali vzporedne vezave upora, kondenzatorja in tuljave maksimum amplitude tokaali napetosti dosežen tudi pri različnih vrednostih kot izhajajo iz gornjih pogojev. Značilnostresonančnega pojava je v tem, da tedaj prihaja do usklajenega prehajanja energije iz elementov 3/10
  • 238. Izmenični signali - Resonanca 22.vezja, ki shranjujejo energijo v magnetnem polju (tuljave) v elemente, ki shranjujejo energijo velektričnem polju (kondenzatorji). Zaradi tega so napetosti ali toki na elementih vezja v resonancilahko mnogo večji kot na vhodnih sponkah. Razlog, da le te niso največje na vhodnih sponkah je vtem, da so ti toki ali napetosti v vezju v protifazi (zamaknjeni za 1800 ali blizu) in se navzven medseboj odštevajo.Lastnosti resonančnega vezja opisujemo z naslednjimi parametri:Razglašenost vezja je določena z izrazom ω ω0 β= − , (22.4) ω0 ωKvaliteta vezja je določena s kvocientom moči na reaktivnem elementu in delovno močjo QX 0 Q= (22.5) P 1 2 1 1 1kjer je QX 0 = I ω0 L = I 2 in P = I 2 R , torej 2 2 ω0 C 2 ω0 L L/C Q= = (22.6) R RKvaliteta vezja je mera za »ozkost« resonančne krivulje. Bolj kot je krivulja ozka (strma okoliresonančne frekvence), večja je njena kvaliteta. V primeru zaporedne vezave elementov R, L, C jekvaliteta večja pri manjši upornosti.Dušenje je soroden pojem kot kvaliteta, saj je definiran kot recipročna vrednost kvaliteteD = 1/Q.Bočni frekvenci in pasovna širinaSLIKA: Tok kot funkcija frekvence. Označimo resonančno frekvenco f 0 , tok pri resonančnifrekvenci I 0 = I ( f = f 0 ) , ter spodnjo in zgornjo bočno frekvenco ( f1 in f 2 ), ki nastopita priI0 ter pasovno širino. 2 4/10
  • 239. Izmenični signali - Resonanca 22.Bočni frekvenci (f2 in f1) sta določeni pri vrednostih toka, ki je od maksimalne vrednosti manjši za 2.Razlika med zgornjo in spodnjo bočno frekvenco je pasovna širina vezjaB = f 2 − f1 . Poznamo tudi normirano pasovno širino, ki je pasovna širina deljena z resonančno f 2 − f1frekvenco: Bnorm = . Kvaliteta je definirana tudi kot recipročna vrednost normirane pasovne f0 1 f0širine Q = = . Bnorm f 2 − f1Določimo pasovno širino za serijsko resonančno vezje. Poiskati moramo frekvenci, pri kateri pade U I max Uamplituda za 2 . Veljati mora I( ω1,2 ) = = = . Enačbi bo zadoščeno, 2  2 R 2 1  R 2 +  ω1,2 L −   ω1,2C  2  1  1 1če bo R +  ω1,2 L − 2  = 2 R oziroma ω1,2 L − 2 = R , to pa bo tedaj, ko bo ω1 L − = − R in  ω1,2C  ω1,2C ω1Cω2 L − 1 = R . Če enačbi seštejemo, dobimo zvezo LC = 1 1 = 2 oziroma f 02 = f1 f 2 . Če pa ω2C ω1ω2 ω0 Renačbi odštejemo izpeljemo zvezo Bnorm = . ω0 L 1Da bi določili pasovno širino, moramo rešiti kvadratno enačbo, saj iz ω1 L − = − R sledi ω1C 2 2  R  in ω1 =   + ω02 − . 1 R R Rω12 L − = ω1 R . Rešitvi za ω1 in ω2 sta: ω2 =   + ω0 + 2   C  2L  2L  2L  2L 5/10
  • 240. Izmenični signali - Resonanca 22.DODATNI SLIKOVNI MATERIAL:Slika A: Prikaz toka kot funkcijo frekvence (resonančna krivulja) za konkretne podatke za trirazlične vrednosti upornosti. Opazujemo lahko obliko krivulj, spreminjanje faznega kota inkvaliteto vezja.Slika B: Prikaz ohmskih upornosti kot funkcijo frekvence.Slika C: Prikaz časovnega signala toka in napetosti ter moči na posameznih elementih pri različnihfrekvencah (pred, po in pri resonanci). -3 x 10 8 6 Tok / A 4 2 0 3 4 5 10 10 10 f / Hz 2 1 fazni kot / rd 0 -1 -2 3 4 5 10 10 10 f / HzSLIKA A: Primer zaporedne resonance pri vrednostih elementov L = 10 mH, C = 10 µF, R = 100 Ω(polna črta), 316 Ω (prekinjena črta) in 1000 Ω (pikčasta črta). Pri manjši upornosti je krivulja tokabolj ozka, kar določimo tudi s pasovno širino ali kvaliteto nihanjega kroga. Na spodnji sliki vidimospreminjanje faznega kota, ki je pri resonančni frekvenci enak nič. Skala na abscisi je logaritemska.(RLC2.m) 6/10
  • 241. Izmenični signali - Resonanca 22. 2500 2000 1500 Upornosti / Ohm 1000 500 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 f / HzSLIKA B: Spreminjanje posamezne upornosti s frekvenco. Pri resonančni frekvenci sta reaktancituljave in kondenzatorja enaki. (RLC2.m) 501.187 1 1995.26 1 napetost napetost tok tok 0.5 0.5 Napetost in tok Napetost in tok 0 0 -0.5 -0.5 -1 -1 0 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 -3 -3 x 10 x 10 -4 -3 x 10 x 10 2 1 p p pR pR pL 0.5 pL pC pC Moc Moc 0 0 -0.5 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 -3 -3 x 10 x 10 19952.6 1 napetost 5011.87 tok 1 napetost 0.5 Napetost in tok tok 0.5 Napetost in tok 0 0 -0.5 -0.5 -1 0 0.5 1 1.5 -1 -4 0 1 2 3 4 5 x 10 -4 -4 x 10 x 10 5 0.02 p p pR pR pL 0.01 pL pC pC Moc 0 Moc 0 -0.01 -0.02 -5 0 2 4 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 -4 -4 x 10 x 10SLIKA C: Zgoraj: prikaz časovnega signala napetosti in toka pred (levo zgoraj, f = 901 Hz), tik pred(desno zgoraj, f = 2000 Hz) pri (levo spodaj, f = 5011 Hz) in za (desno spodaj, f = 901 Hz) resonančnofrekvenco. Spodaj: Moč na uporu (pR), moč na tuljavi (pL), moč na kondenzatorju (pC) in skupnamoč (p): Jalova moč v resonanci je enaka nič, na posameznih reaktivnih elementih (tuljava,kondenzator) pa je jalova moč velika vendar v protifazi. (RLC3.m) 7/10
  • 242. Izmenični signali - Resonanca 22.Vzporedni nihajni krog - napetostna resonancaImamo vzporedno vezavo upora, kondenzatorja in tuljave.SLIKA: Vzporedni nihajni krog. I INapetost na sponkah vezja je U = I Z = = . Napetost na sponkah vezja bo Y  1  2 G +  ωC − 2   ωL  1maksimalna, ko bo izpolnjen pogoj ωC − = 0 . To pa je tudi tedaj, ko bo admitanca vezja ωL 1( Y = G + jωC + ) čisto realna, oziroma, ko bo imaginarni del admitance enak nič. Iz tega sledi, jω L 1da bo resonančna frekvenca ω0 = , kar je enako kot pri zaporedni resonanci. LC 1Admitanca tega vezja je Y = G + jωC + . Vezje bo v resonanci, ko bo imaginarni del jω L 1admitance enak nič, to je, ko bo ωC − =0. ωLV čem je torej razlika med »vzporedno« in »zaporedno« resonanco? Razlika je v tem, da je sedajpri resonančni frekvenci na zunanjih sponkah maksimalna napetost, pri zaporedni resonanci pa tok.Vzporedno resonanco zato tudi imenujemo napetostna, zaporedno pa tokovna resonanca. ω ω0 ωCTudi pri vzporedni resonanci lahko govorimo o razglašenosti β = − , kvaliteti Q = 0 in ω0 ω G 1pasovni širini B = . Analogno zaporedni resonanci lahko izpeljemo zvezo med bočnima Qfrekvencama in resonančno frekvenco f 0 = f1 f 2 . 2 8/10
  • 243. Izmenični signali - Resonanca 22.Druga vezja. Vzemimo primer vezja vzporedno vezanih dveh impedanc: upora inkondenzatorja v eni veji in tuljave in kondenzatorja v drugi veji. Admitanca vezja bo 1 1Y= + . S pomočjo analize admitance lahko ugotovimo, da gre za primer R+ 1 R + jω L jωCnapetostne impedance, ki pa nima maksimuma vedno pri faznem kotu enakem nič. Pri R = 100 Ω(polna črta) je pri maksimumu impedance (toka) fazni kot enak 600, pri 316 Ω (prekinjena črta)11,80 in pri 1000 Ω (pikčasta črta) 1,70. Vidimo tudi, da se pri različnih vrednostih upornosti nespreminja le amplituda impedance (napetosti), pač pa tudi resonančna frekvenca. 2000 Impedanca / Ohm 1500 1000 500 0 3 4 5 10 10 10 f / Hz 2 1 fazni kot / rd 0 -1 -2 3 4 5 10 10 10 f / HzSLIKA: Primer resonance vezja pri faznem kotu, ki je različen od nič. (RLC.m) 9/10
  • 244. Izmenični signali - Resonanca 22. Vprašanja za obnovo: 1) Kaj je to resonančni pojav? Kaj je značilno za resonančni pojav? 2) Kakšne elemente moramo imeti v vezju, da pride do resonančnega pojava? 3) Kaj je to zaporedni in vzporedni nihajni krog? Kakšen je pogoj za resonanco? Kako določimo resonančno frekvenco? Kakšen je karakter bremena pri resonanci? 4) Prikaz časovnega poteka toka, napetosti in moči pred in ob resonanci. 5) Prikaz kazalcev napetosti/toka pri resonanci. 6) Razglašenost, kvaliteta vezja, dušenje, bočna frekvenca, pasovna širina. 7) Določitev resonančne frekvence za splošno vezje. Izpit 19. 1. 2006 Izpit, 28. avgust 2006 (4) Izpit, 6.02.2003 (4) 10/10
  • 245. * Nizkoprepustni filterNapetostni harmonični vir priklopimo na zaporedno vezana upor in kondenzator. Zanimanas napetost na kondenzatorju. Kompleksor te napetosti je 1 jω C 1UC =U =U R+ 1 1 + jω RC jω CRazmerje med amplitudama napetosti na kondenzatorju in vhodne napetosti lahkooznačimo kot ojačanje (ali tudi prenosna funkcija) UC 1A= = , fazni kot med napetostnima signaloma pa je ϕ = Atan(−ω RC ) . U 1 + (ω RC ) 2Ojačanje in fazni kot na sliki opisuje zmanjšanje napetosti na kondenzatorju pri višjihfrekvencah. To je tudi sicer pričakovano, saj se upornost kondenzatorja pri izmeničnih  1 signalih s frekvenco manjša   , torej se manjša tudi padec napetosti na njej. Hkrati se  ωC spreminja fazni kot izhodnega signala, ki je v konkretnem primeru enak razliki medfaznim kotom napetosti na kondenzatorju in faznim kotom vhodnega napetostnegasignala. Ta je pri nizkih frekvencah enak nič, saj je tedaj na kondenzatorju praktično vsavhodna napetost. Pri visokih frekvencah pa bo praktično vsa napetost na uporu, le majhendel pa na kondenzatorju.
  • 246. 1 Razmerje napetosti 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 10 10 10 10 10 Frekvenca /Hz 0 Fazni kot /rad -0.5 -1 -1.5 -2 0 1 2 3 4 10 10 10 10 10 Frekvenca /HzSLIKA: Zgoraj: razmerje napetosti na kondenzatorju in na vhodu kot funkcijafrkvence. Spodaj: fazni kot kot funkcija frekvence.To, da je napetost na kondenzatorju pri višjih frekvencah zelo nizka, lahko smatramo kotprimer preprostega nizkofrekvenčnega (prepustnega) RC filtra (sita), ki »ohrani«nizkofrekvenčne signale, visokofrekvenčne pa zmanjša oz. »izloči«.Običajno določimo frekvenco, pri kateri se začne napetost bistveno zmanjševati privrednosti U C = U / 2 = 0,707 ⋅ U . To imenujemo tudi mejna frekvenca f 0 : 1 1 1 = ⇒ 2 = 1 + ( 2πf 0 RC ) ⇒ f 0 = 2 1 + (ω0 RC ) 2πRC 2 2Pogosto uporabimo logaritemsko merilo za prikaz »ojačanja« filtra in sicer kot ADb = 20log( A) . Pri ojačanju ena je logaritem enak nič, pri mejni frekvenci pa je ojačanjeenako 20log(0.707) ≅ −3 dB .
  • 247. 0 Razmerje napetosti v Db -20 -40 -60 0 1 2 3 4 10 10 10 10 10 Frekvenca /HzSLIKA: Prikaz razmerja napetosti v decibelih. Bodejev graf.Poglejmo si preprost primer, ko imamo na vhodu zaporednega RC vezja napetostni signalsestavljen iz treh frekvenc: u (t ) = U1 cos(ω1t ) + U 2 cos(ω2t ) + U 3 cos(ω3t ) . Vzemimo, da sovse amplitude enake 10 V, frekvence pa so ω1 = 10 s −1 , ω1 = 102 s −2 , ω1 = 103 s −3 . Vzemimoše R = 1 k , C = 10 µF .Vhodni signal vidimo na sliki 30 20 10 Napetost /V 0 -10 -20 -30 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Cas /sSLIKA: Primer vhodnega signala, sestavljenega iz treh signalov različnih frekvec inenakih amplitud (10 V).
  • 248. Ta signal »spustimo« skozi RC filter in opazujemo napetost na kondenzatorju1. Ta jeprikazana skupaj z nizkofrekvenčnim signalom na sliki. 30 20 10 Napetost /V 0 -10 -20 -30 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Cas /sSLIKA: Vhodni signal (modra črta), ki vključuje signal nizke frekvence (rdečačrta). Izhodna napetost na kondenzatorju pri filtru z R = 1 k , C = 10 µF (črna črta).Vidimo, da že preprosti RC filter lepo prepusti signal nizke frekvence in mnogo manjkomponent visokih frekvenc. V primerjavi z delom vhodnega signala nizke frekvence palahko ugotovimo, da izhodni signal ni popolnoma identičen nizkofrekvenčnemu, pač paima nekoliko drugačno fazo in tudi amplitudo. To bi lahko pričakovali glede nafrekvenčno odvisnost faze in ojačanja.Pri tem nismo imeli mejne frekvence optimalno nastavljene, saj je bila približno 1 f0 = ≅ 16 Hz . Če povečamo upornost na 5 kΩ, dobimo mejno frekvenco 3 Hz, ki 2πRClepo ohrani nizkofrekvenčni signal in ga tudi mnogo manj »premakne v fazi«.1 Za izračun določimo kompleksor izhodne napetosti (na kondenzatorju) za vsako frekvenco posebej,kompleksorje pretvorimo v časovni signal in časovne signale seštejemo. Zaradi različnih frekvenc signalovne smemo seštevati posameznih kompleksorjev izhodnih signalov, pač pa jih moramo najprej pretvoriti včasovni prostor.
  • 249. 30 20 10 Napetost /V 0 -10 -20 -30 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Cas /sSLIKA: Vhodni signal (modra črta), ki vključuje signal nizke frekvence (rdečačrta). Izhodna napetost na kondenzatorju pri filtru z R = 5 k , C = 10 µF (črna črta).
  • 250. Izmenični signali, metode reševanja 23. Izmenični signali – metode reševanja vezijVsebina poglavja: Metode za analizo vezij z izmeničnimi signali (metoda Kirchoffovih zakonov,metoda zančnih tokov, metoda spojiščnih potencialov), stavki (superpozicije, Theveninovo inNortonovo nadomestno vezje, Tellegen). Posebnost pri izmeničnih vezjih – obravnavasklopljenih tuljav.Načine analize enosmernih vezij smo že spoznali. Pri vezjih z izmeničnimi signali lahkougotovimo, da smo z vpeljavo kompleksorjev toka in napetosti vpeljali sorodne relacije: skompleksorji smo zapisali Ohmov zakon ter oba Kirchoffova zakona. Za reševanje vezij zizmeničnimi signali lahko torej uporabimo iste metode reševanja kot pri enosmernih, le skompleksorji jih moramo pisati.Sklopljene tuljave. Imamo pa pri izmeničnih signalih še en poseben slučaj. In sicer magnetnosklopljene elemente, ki nastopajo v primeru obravnave vezij z najmanj dvema tuljavama, ki sidelita del (ali celoten) fluksa. Ti elementi imajo zaradi sklopitve dodaten padec napetosti natuljavi, ki se padcu napetosti zaradi lastne induktivnosti prišteva ali pa odšteva.O označevanju podpiranja fluksov smo že govorili v prejšnjih poglavjih, torej samo na kratko:podpiranje (seštevanje) fluksov označimo tako, da postavimo piko v obeh sklopljenihelementih na začetek ali konec elementa glede na tok v element.Ta dodatni padec napetosti lahko označimo s posebnim simbolom (romb) in ga imenujemotokovno krmiljen napetostni vir. S takimi in podobnimi elementi si pomagamo tudi prinadomestnih vezjih bolj zahtevnih elementov, kot so različni tipi nelinearnih elementov(tranzistorjev, ...).Primer: V veji s tokom I 1 = 10A je tuljava z X L1 = 10 , ki ima magnetni sklep (k = 0,8) stuljavo z X L 2 = 90 v sosednji veji s tokom I 2 = (2 + j 5) A . Fluksa se podpirata. Kolikšna jenapetost na tuljavama?Izračun: Določiti moramo medsebojno induktivnost oziroma upornost zaradi medsebojneinduktivnosti ω M = ω k L1 L2 = k ω L1 ⋅ ω L2 = k X L1 X L 2 , ki bo 24 Ω. Nato določimo šepadec napetosti kot 1/12
  • 251. Izmenični signali, metode reševanja 23.U 1 = I 1 ⋅ jX L1 + I 2 ⋅ jX M = 10A ⋅ j10 + (2 + j 5)A ⋅ j 24 = (−120 + j148) AU 2 = I 2 ⋅ jX L 2 + I 2 ⋅ jX M = (2 + j 5)A ⋅ j 90 +10A ⋅ j 24 + = (−450 + j 420) ASLIKA: Magnetno sklopljeni tuljavi. Napetost zaradi medsebojne induktivnosti lahkopredstavimo s tokovno krmiljenim napetostnim virom.Osnovne metode za analizo vezij: 1) Metoda Kirchoffovih zakonov 2) Metoda zančnih tokov 3) Metoda spojiščnih potencialovStavki (teoremi): 1) Stavek superpozicije 2) Stavek Thevenina / Nortona 3) Stavek Tellegena 4) Stavek o največji močiVse omenjene metode analize in stavkov bomo prikazali na sledečem primeru vezja. 2/12
  • 252. Izmenični signali, metode reševanja 23. Ig J3 I1 R1 (2) R2 I2 (3) (1) + I5Ug ~ J1 L2 J2 I3 C1 L1 I4 (0 V)SLIKA: Primer vezja za analizo vezij: R1 = 10 Ω, R2 = 5 Ω, C = 5 µF, L1 = 16,67 mH, L2 = 50 mH,ug = 100 cos(ωt) V, ig = 1 cos(ωt +π/2 ) A, ω = 33,34 s-1. (Matlab: metode.m) πTvorimo kompleksorje impedanc in virov: 1Z L1 = jω L = j 5 , Z L2 = j15 , ZC = = − j 20 , U g = 100 V , I g = j1 A . jωC 1. Metoda Kirchoffovih zakonov.Temelji na uporabi 1. in 2 K. Z.:1K.Z.: Vsota vseh tokov iz (ali v) spojišča je enaka nič, število enačb = število spojišč -1.spojišče (1): I 1 + I 4 + I g = 0spojišče (2): − I 1 + I 3 + I 2 = 0spojišče (3): − I 2 + I 5 − I g = 0spojišče (0): ni potrebno, odvečna enačba2.K. Z.: Vsota vseh napetosti v zanki je enaka nič, število enačb = številu dopolnilnih vej.zanka J1: I 1 R1 + I 3 Z L 2 + (− I 4 Z L1 ) − U g = 0zanka J 2 : − I 3 Z L1 + I 2 R2 + I 5 Z C = 0zanka J 3 : ni potrebna, niti je ne moremo zapisatiDobimo pet enačb za pet tokov. Reševanje takega sistema je lahko zamudno, običajno nam todelo poenostavijo računalniki. Mi moramo le poskrbeti, da sistem enačb zapišemo v matričniobliki. V našem primeru bi tvorili sistem: 3/12
  • 253. Izmenični signali, metode reševanja 23.1 0 0 1 0   I 1   − j1 −1 1 1 0 0  I 2   0       0 −1 0 0 1  ⋅  I 3  =  j1      10 0 j15 − j 5 0   I 4  100  0 5 − j15 0 − j 20   I 5   0      To je zapis v obliki A x=b Poglejmo si primer reševanja takega sistema s programom Matlab.Tvorimo matriko A, ki bo A=[1,0,0,1,0;-1,1,1,0,0;0,-1,0,0,1;10,0,15j,-5j,0;0,5,-15j,0,-20j] invektor b, ki bo b=[-j;0;j;100;0]. Matlab ponuja različne načine reševanja sistemov enačb. Šenajbolj enostavno dobimo rešitev tako, da invertiramo matriko A in jo pomnožimo zvektorjem b: Dobimo rešitev v obliki vektorja z iskanimi toki. Matlab: x=inv(A)*bRezultat: 1.0873 - 2.3450i -0.1135 + 3.1485i 1.2009 - 5.4934i -1.0873 + 1.3450i -0.1135 + 4.1485iTok I1 bo torej (1,0873-j2,3450) A itd.Drugi načini reševanja sistema enačb: Lahko uporabimo tudi Kramerjevo pravilo zreševanjem z determinanto in poddeterminantami, ki pa je nekoliko bolj zamudno.Determinanto dobimo z ukazom det(A), pri poddeterminantah pa moramo najprej sekvenčnomenjati stolpce z vektorjem b. To naredimo s sledečimi ukazi: D1=A, D1(:,1)=b,I1=det(D1)/det(D). Dobimo 1.0873 - 2.3450i, kar je seveda rešitev za tok I1. Tretji način jetako imenovana Gaussova eliminacija (več pri matematiki), kjer enak rezultat dobimo spreprostim Matlab ukazom x=Ab. IgAnaliza vezja v primeru sklopljenih tuljav. J3 I1 1 (2) R2 I2 (3)Slika: Enako kot predhodno vezje, le da sta tuljavi (1)sklopljeni s faktorjem sklopa k. + I5 Ug ~ J1 L2 J2 k I3 C1V tem primeru je potrebno upoštevati dodatna padca L1 I4 (0 V)napetosti na tuljavah, ki sta posledica fluksa iz 4/12
  • 254. Izmenični signali, metode reševanja 23.sosednjih tuljav. Ta se prišteva ali odšteva od napetosti na tuljavi v skladu z dogovorom o»pikah«. V konkretnem primeru gre v obeh tuljavah tok najprej skozi tuljavo in potem»skozi« piko, zato se prispevka prištevata. Določiti je potrebno kompleksno upornost zaradimedsebojne induktivnosti, ki je:jω M = jω k L1 L2 = jk ω L1ω L2 = j 0,8 5 Ω ⋅15 Ω ≅ j 6,93 ΩNapetosti na tuljavi L1 se prišteje prispevek I 3 Z M = I 3 jω M , napetosti na tuljavi L2 pa seprišteje prispevek I 4 Z M = I 4 jω M .Za vsoto napetosti v zankah sedaj dobimo enačbe:zanka J1: I 1 R1 + I 3 Z L 2 + I 4 Z M + (− I 4 Z L1 ) + (− I 3 Z M ) − U g = 0zanka J 2 : − I 3 Z L1 − I 4 Z M + I 2 R2 + I 5 Z C = 0zanka J 3 : ni potrebna, niti je ne moremo zapisatiNova matrika bo torej (spremenjeni sta le zadnji dve vrstici):1 0 0 1 0   I 1   − j1 −1 1 1 0 0  I 2   0       0 −1 0 0 1  ⋅  I 3  =  j1  .     10 0 j8, 07 j1, 93 0   I 4  100 0 5 − j15 − j 6,93 − j 20   I 5   0      Rešitev je sedaj seveda drugačna: I1=2.0536 - 3.6033i, I2=-2.9026 + 6.8662i, itd. 2. Metoda zančnih tokov.Označimo zanke z zančnimi toki in zapišemo enačbe v skladu z 2 K.Z. Vejske toke zapišemoz zančnimi. Število potrebnih enačb je enako številu dopolnilnih vej (ponovi pojme graf,drevo, veje, dopolnilne veje,... iz OE1).( J 1 − J 3 ) R1 + ( J 1 − J 2 ) Z L 2 + J 1 Z L1 − U g = 0( J 2 − J 1 ) Z L 2 + ( J 2 − J 3 ) R2 + J 2 Z C = 0J3 = IgDobimo sistem treh enačb, ki pa je pravzaprav le sistem dveh, saj je tok v tretji zanki določenkar s tokom Ig. Če to upoštevamo v naslednjem koraku, dobimo matrični sistem oblike1  R1 + Z L 2 + Z L1 − jZ L 2   J1  U g + I g R1   ⋅ =   −Z L 2 R2 + Z L 2 + Z C   J 2   I g R2     10 + j 20 − j15   J1  100 + j10 oziroma  ⋅ =  − j15 5 − j 5  J 2       j5   5/12
  • 255. Izmenični signali, metode reševanja 23.Tudi ta sistem enačb lahko preprosto rešimo z eno od zgoraj omenjenih načinov. Matrika Abo A=[10+20j,-15j;-15j,5-5j], b pa b=[100+10j;5j]. Rešitev dobimo z ukazom X=inv(A)*bin dobimo 1.0873 - 1.3450i -0.1135 + 4.1485iZančni tok J1 je torej (1,0873-j1,3450) A. Ta tok je tudi enak toku -I4, kar se lahko prepričamoiz prejšnje rešitve sistema petih enačb. 3. Metoda spojiščnih potencialov. Število enačb enako številu spojišč -1. Izhajamo iz tega, da izrazimo toke v vejah s potenciali spojišč.Če je v veji upor, izrazimo tok v veji s padcem napetosti na tem uporu, le-to pa izrazimo spotenciali spojišč, na katera je priključen. Če je v veji le napetostni vir, tok v tej veji izrazimos toki v sosednje spojišče (v skladu s 1 KZ). Potencial enega od spojišč lahko poljubnoizberemo (običajno ozemljimo). V 1 −U g V 1 −V 2spojišče (1): + + Ig = 0 Z L1 R1 V 2 −V 1 V 2 V 2 −V 3spojišče (2): + + =0 R1 Z L2 R2 V 3 −V 2 V 3spojišče (3): + −Ig = 0 R2 ZCDobimo sistem treh enačb, ki jih zapišemo v matrični obliki1/ j 5 + 1/10 −1/10 0  V 1   − j + 100 / j 5 −1/10 1/10 + 1/ 5 + 1/ j15 −1/ 5  ⋅ V 2  =  0       0 −1/ 5 1/ 5 − 1/ j 20  V 3       j  Rešitev so spojiščni potenciali, iz katerih lahko nato izračunamo vejske toke, itd.Izračun z Matlabom: A=[1/5j+1/10,-1/10,0; -1/10,1/10+1/5+1/15j,-1/5;0,-1/5,1/5-1/20j], b=[-j+100/5j;0;j], inv(A)*bRešitev je 93.2751 - 5.4367i 82.4017 +18.0131i 82.9694 + 2.2707i 6/12
  • 256. Izmenični signali, metode reševanja 23. STAVKI 1) Stavek superpozicijeČe imamo več različnih virov v vezju, lahko pri linearnem vezju odklopimo določen vir inanaliziramo vezje kot vsoto več poenostavljenih vezij. Če so viri različnih frekvenc, nesmemo izračunanih kompleksorjev tokov preprosto sešteti, saj gre za časovne signalerazličnih frekvenc. Seštejemo lahko časovne signale. Z metodo superpozicije lahkoanaliziramo tudi vezje, ki vključuje enosmerne in izmenične vire. Odklopljen napetostni virnadomestimo s kratkim stikom, tokovni vir pa z odprtimi sponkami.SLIKA: Razdelitev vezja v dve vezji s posameznimi vključenimi viri. 2) Theveninovo in Nortonovo nadomestno vezje.Enako kot je veljalo za enosmerna vezja, lahko pri (linearnih) izmeničnih vezjih vezje medpoljubnima dvema sponkama nadomestimo z realnim napetostnim ali tokovnim virom.Nortonovo nadomestno vezje je ekvivalentno Theveninovemu, le da ga predstavimo z realnim U Thtokovnim virom. Velja I N = in Z Th = Z N = 1 / Y N . Z ThSLIKA: Theveninovo in Nortonovo nadomestno vezje. 7/12
  • 257. Izmenični signali, metode reševanja 23.SLIKA: Levo: Nadomestimo vezje med sponkama upora R2 s Theveninovim nadomestnimvirom. Desno: Theveninov nadomestni vir.Osnovna pravila za izračun elementov Theveninovega (ali Nortonovega) nadomestnegavezja: - Theveninovo (ali Nortonovo) nadomestno upornost določimo kot kompleksno upornost med sponkama, kjer želimo določiti nadomestno vezje. Pri tem napetostne vire v vezju kratko sklenemo, tokovne pa odklopimo. Za lažje pomnjenje si lahko pomagamo z vedenjem, da je notranja upornost idealnega napetostnega vira enaka nič, tokovnega pa neskončna. Velja Z Th = Z N = 1/ Y N . - V primeru bolj kompleksnega vezja (če ni mogoče kar preprosto seštevati zaporedno in vzporedno vezane elemente vezja) moramo Theveninovo upornost določiti tako, da med sponki priključimo poljubno napetost (npr. Kar 1 V) in določimo tok v vezje. Razmerje med njima pa je vhodna impedanca oziroma Theveninova nadomestna (kompleksna) upornost. Tak primer vezja so tudi vezja s sklopljenimi elementi. - Theveninovo nadomestno napetost določimo kot napetost odprtih sponk med sponkama (seveda pri priključenih virih). - Vrednost Nortonovega tokovnega vira določimo kot tok kratkega stika med priključnima sponkama ( I N = I k.s. ) ali iz Theveninove napetosti: I N = U Th Z ThPrimer: Izračun toka skozi upor R2 z nadomestitvijo vezja med sponkama upora sTheveninovim nadomestnim virom.Recimo, da nas zanima le en tok v vezju, ki ga analiziramo. Naj bo to tok skozi upor R2 v žeanaliziranem vezju. Poiščimo nadomestno Theveninovo upornost in napetost. Theveninovaupornost je notranja upornost vezja gledana s sponk upora R2, pri čemer tokovni vir 8/12
  • 258. Izmenični signali, metode reševanja 23.odklopimo (odprte sponke), napetostnega pa kratko sklenemo. DobimoZ Th = ( R1 + Z L1 ) Z L 2 + Z C . Zopet si pomagajmo z Matlabom >>ZT=1/(1/(10+5j)+1/(15j))-20j. Rezultat je Z Th = 4,5 − j14 .Napetost Thevenina dobimo kot napetost med sponkama odklopljenega upora. Uporabitimoramo določeno metodo reševanja tudi za izračun te napetosti. Vzemimo za vajo metodospojiščnih potencialov, pri kateri upoštevamo, da mora biti vsota tokov v spojišče enaka nič:V 1 −U g V1  1 1  Ug +Ig + = 0 ⇒ V1  +  = −I g + . Z L1 R1 + Z L 2  Z L1 R1 + Z L 2  Z L1Rešitev z Matlabom: >> V1=(-j+100/5j)/(1/5j+1/(10+15j)). Rezultat je V1=(84-j10,5)V. Z L2Napetost Thevenina je U Th = U L 2 + U C = V 1 − I g ZC . R1 + Z L 2Rešitev z Matlabom >> UTh=V1*15j/(10+15j)-j*(-20j). Rezultat je UTh = (43+j31,5) V. U Th 43 + j 31,5 VTok skozi upor R2 je torej I R 2 = = = ( −0,1135 + j 3,1485) A . Z T + R2 4,5 − j14 + 5Rezultat je enak kot z metodo Kirchoffovih zakonov.Poskusimo še z metodo zančnih tokov (pri čemer je sedaj upor R2 odklopljen): NapetostThevenina bo U Th = ( J 1 − I g ) Z L 2 + ( − I g ) ( Z C ) . Tok J1 dobimo iz zančne enačbe−U g + J 1 ( R1 + Z L1 + Z L 2 ) − I g ( R1 + Z L 2 ) = 0 , od koder >> J1=(100+j*(10+15j))/(10+20j)J 1 = ( 2 ,1 − j 3,2 ) A in >> UTh=(J1-j)*15j-j*(-20j) U Th = ( 43 + j 31,5) V . 3) Tellegenov stavek.Tellegenov stavek pravi, da je vsota moči virov enaka vsoti moči bremen. V obravnavanemvezju bo moralo veljati1 1 1 1 1 1 2 1 U g (− I 4 ) + (V 3 − V 1 ) I g = I 42 Z L1 + I 32 Z L 2 + I 52 Z C + I 2 R2 + I12 R1 . * *2 2 2 2 2 2 2Izračunamo z Matlabom: >> PV=0.5*100*(-I(4))+0.5*j*(V(3)-V(1)). DobimoS virov = ( 50 ,5 − j122 ,4 ) VA .Moč na bremenih pa je >> PB=0.5*(I(4)^2*5j+I(3)^2*15j+I(5)^2*(-20j)+I(2)^2*5+I(1)^2*10). Dobimo S bremen = ( 50,5 − j122 ,4 ) VA . 9/12
  • 259. Izmenični signali, metode reševanja 23.Vidimo, da sta moči enaki, kar je tudi dober način preverjanja pravilnega rezultata analizevezja.Vprašanje: Zakaj smo množili z − I * in ne z I * . Odgovor: Zato, ker moramo upoštevati tok, ki 4 4izhaja iz + sponke. 4) Maksimalna moč.O maksimalni moči smo že govorili v poglavju o moči (PONOVI). Zato tokrat bolj na kratko.Vzemimo primer optimiranja upornosti R2 iz obravnavanega primera tako, da bo na njem(delovna) moč maksimalna. Iz teorije vemo, da bo to tedaj, ko bo upornost bremena (upora)enaka absolutni vrednosti Theveninove upornosti, ki je Z Th = 4 ,5 − j14 = 14,7 .Maksimalna moč pa bo2 >> Pmax=UTh*conj(UTh)/(4*(5+14.7)) 2 U ThPb ,max = ≈ 36 W . 4 ( R2 + Z Th )Poleg uporabljene metode lahko uporabimo tudi klasično analizo vezij za določitevmaksimalne moči. Uporaba programov Matlab je dobrodošla tudi v primeru optimiranjaelementov, saj je izračunavanje (linearnih) sistemov enačb izredno hitro. Naredimo preprostprogramček, ki povečuje vrednost upora R2 od 1 do 100 Ω, vsakič izračunamo toke in moč nauporu R2 ter na koncu izrišemo graf. Iz grafa ugotovimo, da bo največja moč dejansko priupornosti R2 med 10 in 20. Glede na natančnost izračuna, dobimo maksimum pri vrednostiupora 15 Ω. Poleg tega odčitamomaksimalno moč približno 36 W. 40 35SLIKA: Moč na uporu R2 ima maksimum 30pri vrednosti, ki je enaka absolutni 25 Moc na R2 / Wvrednosti Theveninove nadomestne 20upornosti. (Matlab: Moc_na_R2.m) 15 10 5 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 R2 / Ohm2 S »polovičko« pri izrazih za moč je potrebno biti vedno nekoliko previden. Včasih so moči izražene zefektivnimi vrednostmi, tedaj je izraz za moč brez polovičke, če pa so z maksimalnimi, pa je potrebno v izrazuupoštevati ½. 10/12
  • 260. Izmenični signali, metode reševanja 23.% Program v Matlabu za izris moči na uporu R2P=[]; % prazen arrayfor R2=0:1:100 % povečujem upornost od 0 do 100A=[1,0,0,1,0;-1,1,1,0,0;0,-1,0,0,1;10,0,15j,-5j,0;0,R2,-15j,0,-20j]; % matrikab=[-j;0;j;100;0];I=inv(A)*b; % resitev tokov, I(2) je tok skozi upor R2PR2=0.5*I(2).*conj(I(2))*R2 % izracun mociP=[P PR2] % shranjevanje vrednosti moci v vektor Pendplot(0:1:100,P) % izrisxlabel(R2 / Ohm)ylabel(Moc na R2 / W) Vprašanja za obnovo: 1) Upoštevanje sklopljenih tuljav pri analizi vezij. Tokovno krmiljen napetostni vir. 2) Metode reševanja vezij: način uporabe, primer. 3) Stavki: superpozicija, Thevenin/Norton, Tellegen, maksimalna moč: primer uporabe. izpit, 14. junij 2006 izpit, 28. junij 2006 2 kol. 9.6.1999 11/12
  • 261. Izmenični signali, metode reševanja 23.* Reševanje bolj kompleksnih vezij s programsko opremo. Programi za analizo vezij, kotje na primer Spice, najpogosteje uporabljajo kar »preprosto« metodo Kirchoffovih zakonov,saj reševanje večjega sistema enačb za računalnike ni težava. Reševanje postane težavnejše,ko v analizi upoštevamo kompleksnejše modele nelinearnih elementov. Ti imajo lahko tudimodele, ki so opisani z več kot deset parametri. Zaradi zahtevnosti določanja teh parametrov,pogosto proizvajalci podajajo kar SPICE parametre svojih izdelkov.SLIKA: Primer SPICE modela Schottky diode 10BQ100 (zaporna napetost 100 V) proizvajalcaInternational Rectifier. »Preprosto« diodo popišejo z nič manj kot 15 parametri. 12/12
  • 262. Izmenični signali, transformator 24. TransformatorVsebina: Zapis enačb transformatorja kot dveh sklopljenih tuljav, napetostna prestava, povezava medmaksimalnim fluksom in napetostjo, neobremenjen transformator in magnetilni tok, obremenjentransformator in ravnotežni tok, tokovna prestava, enačba magnetnega ravnotežja, ponazoritevtokov in napetosti na neobremenjenem in obremenjenem transformatorju s kazalci(kompleksorji), reducirane vrednosti (sekundarne napetosti, toka in impedance bremena),moč na primarju in bremenu, vhodna impedanca, realni transformator.SLIKA: Primer različnih tipov transformatorjev podjetja Elma TT. Osnovni informaciji stanavidezna moč in dimenzije transformatorja. http://www.elmatt.si/Transformator je primer posebno zanimive električne naprave, ki jo lahko obravnavamo kotposebno obliko vezja s sklopljenima tuljavama (lahko tudi več sklopljenih tuljav). Zanimiv ni leteoretično, temveč predvsem zaradi njegove pogoste uporabe. S transformatorjem lahko zvišamo aliznižamo izmenično napetost, prilagodimo breme, ga uporabimo za merjenja, kot ločilnitransformator, itd.. Ne vsebuje gibljivih delov in je s tem njegova življenjska doba dolga, poleg 1/11
  • 263. Izmenični signali, transformator 24.tega pa z dokaj dobrim magnetnim sklepom omogoča relativno majhne izgube pri pretvarjanju izvišje v nižjo napetost in obratno.V osnovi lahko transformator predstavimo kot dvovhodno vezje s sklopljenima tuljavama. Vhodnain izhodna stran sta v principu enakovredni, saj lahko z zamenjavo strani zvišamo ali znižamoizhodno napetost, impedanco, tok.SLIKA: Transformator je naprava, ki ima dve navitji na skupnem jedru iz feromagnetnegamateriala. Ločimo primarno in sekundarno navitje. a) transformator v obliki dveh navitij na jedru, b)transformator predstavljen s koncentriranimi elementi in c) transformator kot dvovhodno vezje.V obliki koncentriranih elementov ga lahko predstavimo s sklopljenima tuljavama. Vzemimoidealno sklopljeni tuljavi s faktorjem sklopa enak 1. Tedaj bo zveza med lastnima induktivnostimanavitij in medsebojno induktivnostjo sledeča: M = L1 L2 .Vhodno napetost na eni strani zapišemo kot U 1 = jω L1 I 1 + jω M I 2 . (24.1)To stran bomo imenovali primarna, drugo stran pa sekundarna. Primarna stran je običajnopriključena na napajalno napetost (vir), sekundarna pa na breme. Ker smo toka in pike označilitako, da se fluksa obeh tuljav podpirata, bo napetost na drugi strani (sekundarni) enaka U 2 = jω L2 I 2 + jω M I 1 . (24.2)Če iz te enačbe izrazimo vhodni tok, dobimo U2 L I1 = − 2 I2. (24.3) jω M MČe sedaj to enačbo vstavimo v prvo (24.1), dobimo:  U2 L  U 1 = jω L1  − 2 I 2  + jω M I 2 (24.4)  jω M M  2/11
  • 264. Izmenični signali, transformator 24.S preureditvijo dobimo jω L1  LL  U1 = U 2 + jω  M − 1 2  I 2 (24.5) jω M  M Ker pa je pri idealnem sklepu (k = 1) M = L1 L2 , je drugi člen enačbe (24.5) enak nič, in je L1 L1 L1 U1 = U2 = U2 = U2. (24.6) M L1 L2 L2Pridemo do zanimivega zaključka, da je izhodna napetost odvisna le od razmerja lastnih N2induktivnosti tuljav. Za te pa vemo, da so sorazmerne kvadratu ovojev, saj velja L = , kjer je Rm Rmmagnetna upornost tuljave in bo torej U1 L1 N12 Rm N1 = = 2 = =n (24.7) U2 L2 N 2 Rm N 2To enačbo lahko zapišemo tudi samo z amplitudami vhodne in izhodne napetosti: U1 N1 = =n. U2 N2Dobili smo mnogim srednješolcem znan izraz, da je razmerje med vhodno in izhodno napetostjoenako razmerju števila ovojev n. Temu razmerju rečemo tudi napetostna prestava.Primer: Na primarju s100 ovoji imamo priključen generator izmenične napetosti z amplitudo 320V. Kolikšno število ovojev potrebujemo za sekundarno navitje , da bo amplituda izhodne napetosti50 V? U2 50VIzračun: N 2 = N1 = 100 ≈ 15, 6. U1 320VNapetostna prestava in maksimalni fluks v jedru. Do izraza za napetostno prestavo lahkopridemo tudi na nekoliko bolj preprost način, če predpostavimo idealni transformator brezpriključenega bremena. Potem je inducirana napetost na primarni strani enaka časovni spremembi d Φ gl d Φ glmagnetnega sklepa, torej ui1 = − N1 , na sekundarni pa ui 2 = − N 2 . Če trenutne vrednosti dt dtnapetosti izrazimo z maksimalnimi (ali efektivnimi), dobimo 3/11
  • 265. Izmenični signali, transformator 24.U2 N2 = = n . Pogosto se zapis inducirane napetost s spremembo fluksa izkoristi za izpeljavo zvezeU1 N1 d Φ glmed inducirano napetostjo in fluksom. Če izraz zapišemo s kompleksorji v obliki u i1 = − N1 dtin predpostavimo, da se glavni fluks spreminja harmonično, bo kompleksor inducirane napetosti naprimarni strani U i1 = − N1 jω Φ gl . (24.8)Fluks običajno zapišemo z maksimalno vrednostjo, napetost pa z efektivno. V tem smislu boefektivna vrednost inducirane napetosti na primarni strani Φ gl ,max U i1,ef = U i1,ef = N1 2π f = 4, 44 fN1Φ gl ,max . (24.9) 2Na enak način bi lahko zapisali za sekundarno stran U i 2,ef = 4, 44 fN 2Φ gl ,max Ti enačbi pogostozasledimo v učbenikih, pa tudi v priročnikih, saj lahko služijo oceni velikosti gostote magnetnegapretoka v jedru, to pa je pomembno za pravilno dimenzioniranje transformatorja. Enačba je»nerodna« le v toliko, da je inducirana napetost izražena z efektivno, fluks pa z maksimalnovrednostjo.Primer: Enofazni 50 Hz transformator ima na primarni strani 25, na sekundarni pa 300 ovojev.Jedro ima presek 300 cm2. Določimo največjo gostoto pretoka v jedru, če je transformator naprimarni strani priključen na napetost 250 V (efektivno).Izračun: 250 V = 4, 44 ⋅ 50 Hz ⋅ 25 ⋅ B ⋅ 300cm 2 , B = 1,5T .Komentar: v smislu načrtovanja transformatorja bi morali sedaj preveriti, ali smo pri ocenjenivrednosti polja posegli v področje magnetilne krivulje, ki se približuje ali celo presega nasičenje. Vtem primeru lahko zaradi izrazite nelinearnosti induktivnosti v tem območju pričakujemo tudinelinearno (popačeno glede na vhodni signal) izhodno napetost. Rešitev moramo v tem primeruiskati v primerni izbiri materiala za jedro, večjem preseku jedra, ...Magnetilni tok. Vrnimo se še malo na naš zapis enačb transformatorja z lastnimi in medsebojnimiinduktivnostmi. Če so na sekundarni strani sponke odprte, teče na primarni strani tok U1 I1 = = I1m . (24.10) jω L1 4/11
  • 266. Izmenični signali, transformator 24.Temu toku rečemo magnetilni tok, ki je očitno tok, ki povzroča fluks v jedru transformatorja. Tatok je v fazi s fluksom.Obremenjen transformator. Če na sekundarno navitje transformatorja priključimo breme, U2rečemo, da je transformator obremenjen. Tedaj tok I2 ni več enak nič, pač pa je − I 2 = I b = . ZbSedaj bomo imeli dva toka, ki magnetita jedro. Celotna magnetna napetost bo torej (glede naoznačbe) vsota posameznih magnetnih napetosti: Θ = N1 I 1 + N 2 I 2 . (24.11)Ta magnetna napetost bo neodvisna od bremenskega toka, saj se priključena napetost in s teminducirana napetost na primarni strani (ki je v idealnih razmerah enaka priključeni napetosti) nispremenila. Nespremenjena magnetna napetost bo torej enaka Θ = N1 I 1m , (24.12)kjer I1m imenujemo magnetilni tok. Veljati mora torej N1 I 1m = N1 I 1 + N 2 I 2 oziroma spreureditvijo N1 ( I 1 − I 1m ) = − N 2 I 2 . Razliko celotnega toka v primarju in magnetilnega tokaimenujemo ravnotežni tok: I 1r = I 1 − I 1m . To je tok, ki mora teči v primarnem navitju polegmagnetilnega. Velja torej N1 I 1r = − N 2 I 2 . (24.13)Ta tok bo očitno »držal ravnotežje« vplivu toka I2 na primarni strani, tako, da bo inducirananapetost nespremenjena.Povzemimo: Če je transformator neobremenjen, je vhodni tok enak magnetilnemu toku, ki jepotreben za magnetenje (in razmagnetenje jedra). Če pa je transformator obremenjen, je tokprimarja vsota magnetilnega in ravnotežnega toka, pri čemer je magnetilni tok običajno dostimanjši od ravnotežnega: N2I 1 = I 1m + I 1r ≈ I 1r = − I2. N1* Ta pomemben rezultat, da bo razmerje tokov (približno) obratno sorazmerno številu ovojevzapišimo še enkrat: I1 1 =− (24.14) I2 n* Negativen predznak pri tokovni prestavi se pogosto v literaturi ne pojavlja. Tu je posledica tega, da tokove pišemo skompleksorji in da smo označili tok I2 v nasprotni smeri kot tok bremena. 5/11
  • 267. Izmenični signali, transformator 24.Ta izraz imenujemo tudi tokovna prestava. I1 1Če upoštevamo le absolutne vrednosti tokov, je enačba enaka le brez minusa: = . I2 nPrimer: Idealni transformator je priključen na izmenično napetost z efektivno vrednostjo 240 V inima na sekundarju z napetostjo 12 V (efektivno) priključeno 150 W žarnico. Določimo napetostnoprestavo in tok bremena in tok primarja. N1 240 V P 150 W I 12,5 AIzračun: n = = = 20 . I b = b = = 12, 5A , I1 = b = = 0,625 A . N 2 12 V U2 12 V n 20Združeni enačbi (24.11) in (24.12) imenujemo tudi enačba magnetnega ravnotežja N1 I 1 + N 2 I 2 = N1 I 1m , (24.15)saj pove, da je v idealiziranem transformatorju rezultatna (celotna) magnetna napetost konstantna –neodvisna od obremenitve. To pa tudi pomeni, da je v idealnem transformatorju glavni fluks vjedru neodvisen od obremenitve, enak je v primeru, ko je transformator neobremenjen kot tedaj, koje obremenjen. Pri realnem transformatorju se zaradi izgub glavni fluks pri obremenitvi celonekoliko zmanjša.Ponazoritev tokov in napetosti na neobremenjenem in obremenjenem transformatorju skazalci (kompleksorji).Neobremenjen transformator: Običajno rišemo kazalce (kompleksorje) tako, da postavimo kazalecglavnega fluksa v jedru v smeri realne osi (predpostavimo, da je kosinusna funkcija). Kazalec πinducirane napetosti na primarju v skladu z enačbo U i1 = − N1 jω Φ gl zaostaja za . Hkrati 2ugotovimo, da je kazalec priključene napetosti pri neobremenjenem transformatorju ravno πnasprotnega predznaka od inducirane napetosti: U 1 = −U i1 in torej prehiteva kazalec fluksa za . 2Magnetilni tok je v fazi z glavnim fluksom, saj je to tok, ki ta fluks povzroča. V skladu znapetostno prestavo je kazalec inducirane napetosti sekundarja enako usmerjen kot kazalecinducirane napetosti primarja, kar je hkrati tudi napetost na zunanjih sponkah sekundarja.Obremenjen transformator: Vzemimo, da obremenimo transformator z bremenom induktivnegaznačaja. V tem primeru tok Ib zaostaja za napetostjo sekundarja za določen kot ϕ2 . Kot 6/11
  • 268. Izmenični signali, transformator 24.kompenzacija teče v primarju t.i. magnetilni tok, ki je nasprotnega predznaka glede na tok I2 inenakega kot Ib. Tok primarja je sedaj vsota ravnotežnega in magnetilnega toka.SLIKA: Kompleksorji glavnega fluksa, priključene napetosti, induciranih napetosti in napetosti nabremenu: a) neobremenjen transformator, b) obremenjen transformator.Reducirane vrednosti napetosti in tokov.Za analizo delovanja se pogosto uporabljajo t.i. reducirane veličine, ki jih dobimo na sledeči način:enačbo (24.15) delimo z N1 in dobimo enačbo oblike I 1 + I 2 = I 1m , (24.16) N2 Ikjer smo zapisali tok I 2 zapisali kot I 2 = I 2 = 2 . Ta tok imenujemo reducirana vrednost N1 nsekundarnega toka, namen tega zapisa pa je predvsem v tem, da lahko tvorimo preprostonadomestno vezje z nereducirano primarno stranjo in reducirano sekundarno stranjo. Pri tem jepotrebno »reduciratni« tudi sekundarno napetost kot U 2 = nU 2 , pa tudi bremensko upornost, saj Uvelja Z = 2 = n 2 Z b . b I2 7/11
  • 269. Izmenični signali, transformator 24.SLIKA: Nadomestna shema idealnega transformatorja prikazana z reduciranimi vrednostmi.Moč. Kompleksor moči na primarju je 1 2 1 2 ( * * ) 1 2 * 1 S 1 = U 1 I 1 = U 1 I 1m + I 1r = U 1 I 1m − U 2 I 2 = S 1m + S 2 * 2 * (24.17)Moč na bremenu je manjša od moči na vhodu za jalovo moč magnetenja S 1m . Le-ta pa je običajnodosti manjša od moči na bremenu, torej bo veljalo S1 ≅ S 2 (24.18)Kar pomeni, da je v idealnih razmerah moč bremena enaka moči na vhodu.Vhodna impedanca transformatorja. Vhodno impedanco dobimo iz kvocienta U1 Z vh = . (24.19) I1S preureditvijo osnovnih enačb transformatorja in ob predpostavki, da bo bremenska upornost U1 U1 I 2 U 2 Umnogo manjša od induktivnih upornosti, bo Z vh = = = −n2 2 = n2 Z b I1 I1 U 2 I 2 −I b Z vh ≈ n 2 Z b (24.20)Rezultat, ki bi ga pričakovali tudi iz nadomestnega vezja idealnega transformatorja z reduciranimikomponentami.Realni transformator z železnim jedrom. Realni transformator se od idealnega razlikujepredvsem po tem, da pri upoštevamo še ohmske upornosti primarnega in sekundarnega navitja tersipana magnetna pretoka primarne in sekundarne tuljave (tisti pretok, ki gre le skozi ovoje ene, nepa tudi druge tuljave).To lahko v nadomestnem vezju predstavimo z ohmskima upornostima terinduktivnostima v primarnem (sekundarnem) tokokrogu. 8/11
  • 270. Izmenični signali, transformator 24.SLIKA: Nadomestna shema realnega transformatorja z upoštevanjem ohmske upornosti primarnegain sekundarnega navitja in sipanih magnetnih pretokov primarne in sekundarne tuljave (navitja). Vprašanja za obnovo: 1) Ponazoritev transformatorja kot dvopolno vezje s sklopljenima tuljavama. 2) Zapis enačb za analizo idealnega transformatorja. 3) Napetostna prestava. 4) Neobremenjen transformator. Magnetilni tok. Kaj je njegova »funkcija«. 5) Zveza med fluksom v jedru in napetostjo na primarju. 6) Obremenjen transformator. Ravnotežni tok. 7) Tokovna prestava. 8) Ponazoritev tokov in napetosti neobremenjenega in obremenjenega transformatorja s kompleksorji v kompleksni ravnini. 9) Enačba magnetnega ravnotežja. 10) Vhodna in izhodna moč transformatorja. 11) Vhodna impedanca transformatorja. 12) Izgube v transformatorju. 13) Nadomestno vezje idealnega in realnega transformatorja.* Osnove dimenzioniranja transformatorjev v praksi.Za optimalno načrtovanje transformatorjev je potrebno upoštevati mnogo dejavnikov, od katerih je 1najpomembnejša moč primarja, ki je določena s produktom toka in napetosti primarja† U1 I 1 , 2podana v VA. Pravilna izbira jedra bo odvisna od tega, da pri tej moči jedro še ne bo prišlo vnasičenje. V ta namen moramo poznati vrednost gostote magnetnega pretoka v nasičenju oz. točko,do katere je magnetilna krivulja še razmeroma linearna. Do primerne enačbe za potreben presekjedra pridemo z množenjem enačbe (24.9) z efektivnim tokom primarja. Dobimo 1S1 = U1,ef I1,ef = 4, 44 fN1Φ I1,ef = 4, 44 fB 2 AFe 2 N1 I1,ef . S preureditvijo enačbe dobimo Φaproksimativni izraz, ki je znan v praksi, to je, da je primerna površina preseka jedra približnoAFe = C S1 / f , (24.21)† Pogosto se pri dimenzioniranju transformatorjev uporabljajo efektivne vrednosti tokov in napetosti. To smo ugotoviliže pri enačbi (24.9), kjer je bila inducirana napetost izražena kot efektivna vrednost, fluks v jedru pa kot maksimalni. 9/11
  • 271. Izmenični signali, transformator 24.kjer je konstanta C odvisna od oblike transformatorja. Po praksi in izkušnjah je njena vrednostenaka 7 ⋅ 10−4 m2 / Ws , kar pri gostoti 1 T in frekvenci 50 Hz da znan aproksimativni izrazA fe ≈ S1 v cm 2 . Iz enačbe (24.21) je razvidno, da je potreben presek jedra manjši pri višjihfrekvencah. To je t.i. čisti presek jedra, ki ne upošteva površine laminacije, za določitev končnega(geometričnega preseka) je potrebno upoštevati še t.i. polnilni faktor jedra.Tudi število ovojev primarja določimo iz enačbe (24.9), ki jo zapišemo v oblikiU i ,ef = 4, 44 fN1 BAFe . Površino AFe smo določili iz (24.21), gostota magnetnega pretoka je okoli 1do 1,2 T za vroče valjano silicijevo-železno pločevino. Za število ovojev sekundarja lahkoupoštevamo napetostno prestavo, v praksi pa lahko zaradi izgub upoštevamo potrebno povečanještevila ovojev z množenjem s faktorjem 1,1, do 1,2.Potrebno površino prereza (premera) žice določimo iz toka v primarnem in sekundarnem navitju S1glede na še dopustno segretje navitja, ki je določeno z gostoto toka. Tok primarja je I1,ef = , U1,ef I1,ef I1,efgostota toka pa J = , od koder je ACu = . Če vzamemo v praksi pogosto uporabljeno ACu Jvrednost gostote toka 2,55 A/mm2, dobimo za premer žice izraz 0,5 I mm .Vir: F. Mlakar, I Kloar: Mali transformatorji in dušilke, Elektrotehniški vestnik, Ljubljana, 1970.Dostopen v knjižnici FE.Še nedokončano ….* Izvedbe.Mnogo transformatorjev je izdelanih tako, da imajo na sekundarju dva odcepa. Npr 2x25 V toroidnitransformator pri 5 A (250 VA) ima na sekundarju dve navitji. Ti lahko vežemo vzporedno, karomogoča toke do 10 A vendar le napetost do 25 V ali pa zaporedno, pri čemer dobimo nasekundarju napetost 50 V pri toku 5 A ali pa v primeru vezave sredinskega odcepa na ozemljitevnapetost +25 V in -25 V. 10/11
  • 272. Izmenični signali, transformator 24.SLIKA: Primeri vezave transformatorja z odcepom na sekundarju. Vir: R. Elliott, Transformers –Part II, http://sound.westhost.com/xfmr.htmIzgube. Izgube v jedru zaradi histereznih in vrtinčnih tokov lahko predstavimo z upornostjo Rp, kije vzporedna induktivnosti primarnega navitja Lp. L predstavlja stresano induktivnost zaradi sipanjamagnetnega polja (nepopoln magnetni sklep). Rw so izgube zaradi upornosti navitja, C1 in C2 papredstavljata kapacitivnosti med posameznimi ovoji navitja. Cp-s predstavlja kapacitivnost medprimarnim in sekundarnim navitjem, ki običajno predstavlja probleme šuma transformatorja.Toroidni transformatorji imajo v tem oziru večje težave kot transformatorji iz E-I jedra. V primeruda je ta kapacitivnost velika, prenaša šume iz primarja (npr omrežja) na sekundarno stran.SLIKA: Nekaj primerov feritnih jedr.Posebni transformatorji: avtotransformator, trifazni tranformatorji, ...Viri na spletu:http://www.ee.lsu.edu/mendrela/transformers.pdf 11/11
  • 273. Vrtilno magnetno polje 25. Vrtilno magnetno poljeSLIKA: Paroma dve tuljavi postavljeni pravokotno in napajani s tokom, ki je v fazi premaknjenza pi/2 povzročata v središču vrtilno magnetno polje s konstantno amplitudo.Vzemimo primer dveh parov tuljav, ki sta postavljeni kot kaže skica in napajani s tokoma  πiA (t ) = I m sin(ωt ) in iB (t ) = I m sin  ωt +  = I m cos(ωt ) . Poglejmo kakšno magnetno polje  2povzročajo tuljave v središču, ki ga obenem označimo kot središče koordinatnega sistema.Tuljavi s tokom iA imata os v smeri Y osi, tuljavi s tokom iB pa imata os v smeri X osi. Polje vosi tuljave (pa tudi izven osi) je sorazmerno in v fazi s tokom tuljave, torej sta poljiB A (0, t ) = e y Bm .sin(ωt ) in B B (0, t ) = e x Bm .cos(ωt ) . Skupno polje je vsota obeh polj in jeenako B = B A + B B = e y Bm .sin(ωt ) + e x Bm .cos(ωt ) .Poglejmo, kolikšna je amplituda polja:B = ( Bm .sin(ωt ) ) + ( Bm .cos(ωt ) ) = Bm 2 2Amplituda tega polja je konstantna in torej neodvisna od časa, oziroma od kotne frekvence.In kakšna je smer polja? Bm sin(ωt ) tan(α ) = = tan(ωt ) ⇒ α = ωt . Bm cos(ωt )Ves čas konstantno veliko magnetno polje se vrti s konstantno kotno hitrostjo ω.Uporaba vrtilnega magnetnega poljaAsinhroni stroji delujejo na principu kratko sklenjene vrtljive tuljave (zanke) v vrtilnemmagnetnem polju. V kratko sklenjeni tuljavici se pod vplivom časovne spremembe fluksainducira napetost, ki požene t.i. kratkostični tok v tuljavi. Ta tok povzroča lastno polje tuljave.Vemo, da na vodnike s tokom deluje magnetna sila (d F = Idl × B ) in navor T = r × F . Za
  • 274. Vrtilno magnetno polje 25.analizo vrtljivih delov tokovodnikov je bolj primeren izraz za navor na magnetni dipolnimoment tuljavice m = en IA , ki je T = m × B vrt . Na tuljavico torej deluje navor, ki zavrti zanko.Ker magnetni moment nastaja pod vplivom toka v zanki, ta je pa posledica induciranenapetosti v tuljavi (ki zaostaja za tokom, ki tvori vrtilno magnetno polje), se vrteča tuljavicavrti počasneje kot vrtilno magnetno polje. Temu rečemo asinhrono ali nesočasno vrtenje.Asinhroni stroji so predvsem motorji, lahko pa so tudi generatorji. V slednjem primer se moatuljavica vrteti hitreje od vrtilnega polja, ki ga dobimo v stacionarnih tuljavah.SLIKA: Navor na kratko sklenjeno tuljavico v vrtilnem magnetnem polju povzroča vrtenjezanke. Hitrost vrtenja zaostaja za hitrostjo vrtenja magnetnega polja.Sinhroni stroji. Poleg asinhronih motorjev poznamo tudi sinhrone motorje. Pri teh je narotorju trajni magnet ali pa ima dodatno navitje, ki je napajano z enosmernim tokom(elektromagnet). Tak rotor se vrti sinhrono z vrtilnim magnetnim poljem. Zopet bi lahkoupoštevali zapis za navor T = m × B vrt . Sinhrone motorje uporabljamo predvsem kotgeneratorje. V tem primeru magnetni dipolni moment prehiteva vektor vrtilnega magnetnegapolja. Kot motorje jih uporabljamo za kompenzacijo jalove moči. Se pa ti motorji ne morejovzbuditi sami, zato imajo na rotorju dve navitji, eno kratkostično, ki je potrebno pri zagonu ineno navitje, ki ga napajamo z enosmernim tokom. Ko vklopimo ta tok, potegne rotor vsinhronizem z »zunanjim« vrtilnim poljem.
  • 275. Vrtilno magnetno polje 25.SLIKA: Primer trajektorije vrtilnega magnetnega polja, ki ga dobimo s preprostimi ukazi vMatlabu. Poskusite spreminjati amplitudo in fazo posameznega toka (polja). Na zaslonu dobimorazlične oblike elips.% prikaz trajektorije vrtilnega polja s programom Matlabot=0:0.01:2*pi; % kotna hitrostBx=1*sin(ot);By=1*cos(ot)plot(Bx,By)axis equal% Bolj dovršen program v Matlabu, ki riše trajektorijo gibanja:% Definicija tocke, ki se rise na zaslonutocka=line(Xdata,[],Ydata,[],marker,o,markersize,8,markerfacecolor,b);% Definiranje poljt=[0:0.01:4*pi];x=zeros(1,length(t)); y=zeros(1,length(t));% Enacbe, ki mi predstavljajo gibanje elektrona v magnetnem polju v vseh treh koordinatahx=0.5*sin(t); y=1*cos(t);% prikaz na zaslonugrid; axis([min(x) max(x) min(y) max(y)]); axis equalxlabel(x / m); ylabel(y / m);% izris koordinat gibajoce tockei=0;while 1 i=i+1; set(tocka,Xdata,x(i),Ydata,y(i),erasemode,xor);% set(tocka1,Xdata,x(i),Ydata,y(i),erasemode,none); for j=1:50000; j; end; drawnow; if i>length(t)-2; i=0; endend
  • 276. Izmenični signali, trifazni sistemi 26. Trifazni sistemi Equation Section 2 6Vsebina poglavja: sistem trifaznih napetosti, zapis faznih napetosti, efektivne vrednostiin prikaz kompleksorji. Fazne in medfazne napetosti. Vezava bremena v trikot, vezavabremena v zvezdo z ali brez ničelnega vodnika. Potencial zvezdišča. Simetrično innesimetrično breme.Spoznali smo že primer dvofaznega sistema pri vrtilnem magnetnem polju, ki sta gaustvarjala dva para prečno postavljenih tuljav s fazno zamaknjenim tokom za ¼periode. Ugotovili smo, da bi tako ustvarjeno vrtilno magnetno polje ustvarjalo navorna kratko sklenjeno vrtljivo tuljavico in njeno vrtenje (laboratorijske vaje). Vrtenjetuljavice bi dosegli tudi, če bi vrtljivo tuljavo napajali s konstantnim tokom. V prvemprimeru dobimo asinhrono vrtenje (tuljava se vrti z manjšo frekvenco kot je frekvencavzbujanja), v drugem pa sinhrono (frekvenca vrtenja je enaka frekvenci vzbujanja).Možen pa je tudi obraten postopek: da se vrti magnet ali vrtljiva tuljava napajana zenosmernim tokom, v stranskih tuljavah pa se inducirajo napetosti, ki so faznozamaknjene v skladu z lego tuljav. V že obravnavanem primeru bi dobili induciranenapetosti na tuljavah, ki bi bile fazno zamaknjene za četrtino periode. Z ustreznopriključitvijo dobimo dvofazni sistem napetosti. Na podoben način, le z uporabo trehparov navitij na fiksnem delu (statorju) okoli vrtečega dela (rotorja) z(elektro)magnetom, dobimo trifazni sistem napetosti. Za vrtenje rotorja uporabimorecimo vodno energijo (hidroelektrarne). Že Nikola Tesla je ugotovil, da ima trifaznisistem kar nekaj prednosti pred enosmernim, ki ga je v začetnem obdobjuelektrifikacije promoviral Edison. Glavna prednost trifaznega sistema je bila lažjiprenos energije na večje oddaljenosti, ki je bil v primeru Edisonovega enosmernegazaradi Ohmskih izgub na »omrežju« praktično onemogočen in omejen le na krajšerazdalje. Poleg tega večfazni simetrični sistemi omogočajo dodatno zmanjšanjekoličine materiala, saj lahko en vodnik uporabimo skupno (povratni ali ničelnivodnik). V primeru, da je na simetrični trifazni sistem generatorjev priključenosimetrično trifazno breme, je vsota vseh faznih tokov v skupno spojišče enaka nič, karpomeni, da v ničelnem vodniku ni toka. V takem primeru bi lahko ta vodnik»izpustili«, lahko pa ga obdržimo za primer, ko breme ni popolnoma simetrično. Vtakem primeru bo tok v ničelnem vodniku različen od nič, vendar običajno še vedno 1/13
  • 277. Izmenični signali, trifazni sistemi 26.manjši od tokov v faznih vodnikih. Premer ničelnega vodnika je v takih primerihlahko manjši od faznih vodnikov.Sistem trifaznih napetosti.V poglavju o vrtilnem polju smo spoznali, da je le-ta posledica krmiljenja sistemazasukanih tuljav s fazno zamaknjenim tokom. Ugotovili smo, da to polje omogočavrtenje trajnega magneta ali kratkostične tuljavice, kar je osnova za razumevanjedelovanja motorjev. Režim motorja lahko tudi obrnemo. Če namesto vzbujanja tuljavs tokom vrtimo rotor, se bo v tuljavah inducirala napetost. Če so tuljave zamanjene zadoločen kot, bomo dobili več virov napetosti s faznim zamikom določenim z kotomzamika tuljav. Če imamo sistem treh tuljav zavrtenih za kot 1200, dobimo na izhodu 0tuljav napetosti, ki so fazno zamaknjene za kot 120 .Slika: Postavitev tuljav in generacija faznih napetosti.Glej še:http://www.k-wz.de/physik/threephasegenerator.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Three-phase_electric_powerhttp://www.windpower.org/en/tour/wtrb/syncgen.htmZapis faznih napetosti.V primeru trifaznega sistema bomo na sponkah parov tuljav, ki zajemajo šestineoboda statorja, dobili napetosti: 2/13
  • 278. Izmenični signali, trifazni sistemi 26.u1 = U m cos(ω t + α ),  2π u2 = U m cos  ω t + α − ,  3   2π u3 = U m cos  ω t + α + .  3 Trifazni sistem s takim zaporedjem faz imenujemo pozitiven, saj se kompleksorjinapetosti izmenjujejo v smeri urinega kazalca. V nasprotnem primeru imamo opravkaz negativnim trifaznim sistemom. Mi bomo obravnavali na strani generatorjev lesimetrične trifazne sisteme, to so taki, katerih amplituda vseh treh virov je enaka, faze 2πpa so zamaknjene za . 3SLIKA: Trifazni sistem prikažemo kot tri generatorje z enako amplitudo in faznim  2π zamikom za 1/3 periode   . Prikazana je vezava v »zvezdo«, pri kateri vežemo  3 negativne sponke v skupno točko, ki jo ozemljimo.Efektivne vrednosti in prikaz s kazalci (kompleksorji).Običajno si pri analizi vezij s trifaznimi sistemi pomagamo s kazalčnimi diagrami(kompleksorji), kjer običajno namesto amplitud napetosti in tokov uporabljamoefektivne vrednosti. Razlog je preprosto v tem, da sta v energetiki prenos in porabamoči izredno pomembni, ti pa sta direktno povezani z efektivnimi vrednostmisignalov. Za kompleksor napetosti harmoničnega signala v poljubni fazi bo torejefektivna vrednost napetosti enaka U = U ef = U m / 2 . 3/13
  • 279. Izmenični signali, trifazni sistemi 26.Za kot α si lahko izberemo poljubno vrednost, saj gre v principu za časovno vrtenje πtreh fazno zamaknjenih kazalcev. Mi si bomo izbrali kot , lahko pa bi si izbrali tudi 2drugega (pogosto je v uporabi tudi α = 0 ). V primeru vezave v zvezdo je medničelnim vodnikom in faznim vodnikom t.i. fazna napetost, torej bi lahko pisali tudiU = Uf. Nam vsem sta znani fazna (efektivna) napetost 230 V in medfazna napetost400 V, ki jo dobimo iz domače vtičnice. Kompleksorji napetosti bodo torej π j U1 = U f e = U f e j 90 = jU f 0 2 (26.1)  π 2π  π j −  −j U2 =Ufe =Ufe = U f e − j 30 0 2 3  6 (26.2)  π 2π  j +  U3 =U fe = U f e − j150 0 2 3  (26.3)Najlepše to prikažemo na sliki, kjer so kazalci zarotirani za 2π / 3 (za 1200).SLIKA: Kazalčni diagram faznih napetosti simetričnega pozitivnega trifaznega sistema.Pogosto potrebujemo tudi zapise napetosti v obliki realnega in imaginarnega dela.Tedaj pišemo U 1 = jU f  3 1 U2 =Uf   2 −j   (26.4)  2  3 1 U3 =U f −  2 −j    2 4/13
  • 280. Izmenični signali, trifazni sistemi 26.Medfazne napetosti.Pogosto se trifazne vire priključuje na breme tudi tako, da se uporabi medfaznenapetosti. Te dobimo tako, da priključimo breme med sponke faznih napetosti.Matematičo jih dobimo z odštevanjem kompleksorjev faznih napetosti, kot na primer  3 1  3 3  1 3 U 12 = U 1 − U 2 = jU f − U f   2 − j 2 =Uf  −  2 − j 2  = 3U f  − − j  2        2  (26.5)  3 1  3 1 U 23 = U 2 − U 3 = U f   2 − j 2  −  − 2 − j 2  = 3U f    (26.6)      3 1  1 3 U 31 = U 3 − U 1 = U f  −  2 − j  − jU f = 3U f  − − j  2   (26.7)  2  2 Prikažimo medfazne napetosti še v kompleksni ravnini. Tu dobimo kompleksormedfazne napetosti preprosto z odštevanjem kazalcev dveh faznih napetosti.SLIKA: Prikaz faznih in medfaznih napetosti v kompleksni ravnini.Tako iz matematičnega zapisa medfaznih napetosti, kot iz prikaza v kompleksniravnini, lahko ugotovimo, da so medfazne napetosti za 3 večje od faznih( U mf = 3U f ), kar lahko s pridom izkoriščamo npr. za povečanje moči na bremenu.V drugih primerih pa lahko s tako vezavo uničimo napravo, ki je namenjenapriključitvi le na fazne napetosti. 5/13
  • 281. Izmenični signali, trifazni sistemi 26.Vezava bremen.Najpogosteje se uporabljata dva načina vezave bremen na trifazni sistem.Poimenujemo ju vezava v trikot in vezava v zvezdo. V prvem primeru ločimo ševezavo v zvezdo z ničelnim vodnikom in brez ničelnega vodnika. Pri vezavi vtrikot uporabimo za priklop bremena medfazne napetosti in ničelnega vodnika nepotrebujemo.Vezava bremena v zvezdo z ničelnim vodnikom.Ta vezava je morda najbolj enostavna za obravnavo, saj je vsako od bremenpriključeno na eno od faznih napetosti. Fazni toki so zato U1 I1 = = U 1Y 1 Z1 U2 I2 = = U 2Y 2 (26.8) Z2 U I 3 = 3 = U 3Y 3 Z3Vsota faznih tokov je enaka toku v ničelnem vodniku I 0 = I1 + I 2 + I 3 (26.9)Moč bremena je enaka vsoti moči posameznih bremen S = S1 + S 2 + S 3 , (26.10)kjer posamezno moč lahko določimo z že znanimi zvezami. Npr, moč v fazi 1 je1 S 1 = U 1 I 1 = I12 Z 1 = U12 Y 1 * * (26.11)SLIKA: Vezava bremena na trifazni sistem v obliki trikot.1 Pri zapisu enačb za moč smo upoštevali (kot je v navadi pri obravnavi trifaznih sistemov) efektivnevrednosti tokov in napetosti. V primeru obravnave z maksimalnimi vrednostmi je potrebno izrazepomnožiti z 0,5. 6/13
  • 282. Izmenični signali, trifazni sistemi 26.Primer: Trifazno breme, ki ga sestavljajo impedanceZ 1 = 100 Ω, Z 2 = ( 50 + j 50 ) Ω, Z 3 = − j100 Ω priključimo na trifazni sistem 230/400V v vezavi v zvezdo z ničelnim vodnikom. Določimo delovno moč bremena.Izračun: Delovno moč lahko izračunamo na enak način, kot smo že spoznali prienofaznih sistemih. Zopet imamo na razpolago dva načina. Pri prvem uporabimozvezo P = UI cos(ϕ ) , pri drugem pa P = Re {S } = U 2 Re Y { } . V fazi 1 imamo le * (230V) 2upor, moč na njem je P = = 529 W . Za moč na bremenu v fazi 2 zapišemo 100 Ω 1 π π j 1 j 1  2 2impedanco Z 2 = 50 2e 4 Ω in Y 2 = +j * e 4S=   S . Realni del 50 2 50 2  2 