Διαγώνισμα προσομοίωσης από τη lisari team στα Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης

1. Διαγώνισμα προσομοίωσης 2015
Μαθηματικά θετικής και
τεχνολογικής κατεύθυνσης
από τη lisari team
# Εκφωνήσεις #
Σάββατο 23 – 05 – 2015
lisari.blogspot.gr
Ομάδα Α΄
εργασιών:
Νίκος
Σπλήνης
Παύλος
Σταυρόπουλος
Σταύρος
Σταυρόπουλος
Ομάδα Β΄
εργασιών:
Νίκος
Αντωνόπουλος
Αντώνης
Σπυριδάκης
Περικλής
Παντούλας
Συντονιστής
Παύλος
Τρύφων

2. ΠΡΟΛΟΓΟΣ
Το διαγώνισμα που περιλαμβάνεται στην παρούσα ανάρτηση αντιστοιχεί στο
μάθημα Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης και ακολουθεί τις
προδιαγραφές που αναφέρονται στο αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών της Γ΄ τάξης του
Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2014-2015.
Το διαγώνισμα είναι αποτέλεσμα σύνθεσης δυνάμεων της lisari team. Η πρώτη
διστακτική απόπειρα προσομοιωτικών διαγωνισμάτων ξεκινά από τη φετινή χρονιά
(2015). Δεν ξέρουμε αν η ομάδα μας θα προσφέρει κάτι διαφορετικό από τα έως τώρα
αναρτηθέντα διαγωνίσματα , αλλά πρόκειται για μια προσπάθεια να παρουσιαστεί –
όσο είναι δυνατόν- ένα πλήρες διαγώνισμα.
Η lisari team δεν επιθυμεί, δε φιλοδοξεί ούτε δύναται τα προτεινόμενα θέματά της να
γίνουν τα μελλοντικά θέματα των εξετάσεων. Ωστόσο, θα επιχειρήσει
να προετοιμάσει, να ελέγξει και να δώσει την ευκαιρία στο μαθητή να εξασκηθεί.
Αν παράλληλα καταφέρει να προβληματίσει και τον καθηγητή, τότε θα έχει πετύχει το
σκοπό της στο μέγιστο.
Δεν έχουμε σκοπό, ούτε διεκδικούμε να ανεβάσουμε τον «πήχη» δυσκολίας, δε
θέλουμε να φοβίσουμε ή να απογοητεύσουμε τους μαθητές μας. Εντούτοις, όταν
χαρακτηρίζεις ένα διαγώνισμα «προσομοιωτικό» οφείλεις να προσομοιάζεις, όσο
είναι δυνατόν, το στυλ, το επίπεδο και τη μορφή των θεμάτων με εκείνα που
προτείνονται στις Πανελλαδικές Εξετάσεις. Η ενασχόληση των μαθητών με το
διαγώνισμα προσομοίωσης της lisari team προϋποθέτει τη γνώση της θεωρίας, την
επίλυση όλων των σχολικών ασκήσεων, καθώς και όλων των προηγούμενων
θεμάτων από τις κανονικές και επαναληπτικές εξετάσεις (‘00 – ‘14).
Μην ξεχνάτε ότι το διαγώνισμα, με το οποίο θα ασχοληθείτε, είναι ανθρώπινο
δημιούργημα, οπότε εξ’ ορισμού δεν είναι τέλειο. Γι’ αυτό το λόγο, η συγγραφική
ομάδα που το επιμελήθηκε με ιδιαίτερη ικανοποίηση θα δέχεται στην παρούσα
ανάρτηση τα σχόλια και τις παρατηρήσεις από οποιονδήποτε συνάδελφο, μαθητή ή
πολίτη που ασχολείται με θέματα παιδείας.
Με εκτίμηση,
lisari team
“verba volant, scripta manent” = τα λόγια πετούν-χάνονται, τα γραπτά μένουν

3. Πρόσφεραν θέματα – Τράπεζα Θεμάτων
1. Αντωνόπουλος Νίκος
2. Αυγερινός Βασίλης
3. Βελαώρας Γιάννης
4. Βοσκάκης Σήφης
5. Γιαννόπουλος Μιχάλης
6. Γκριμπαβιώτης Πάνος
7. Κάκανος Γιάννης
8. Κανάβης Χρήστος
9. Κοπάδης Θανάσης
10. Παντούλας Περικλής
11. Παπαμικρούλης Δημήτρης
12. Σκομπρής Νίκος
13. Σπλήνης Νίκος
14. Σπυριδάκης Αντώνης
15. Σταυρόπουλος Σταύρος
16. Τηλέγραφος Κώστας
17. Τρύφων Παύλος
18. Φιλιππίδης Χαράλαμπος
19. Χατζόπουλος Μάκης
Ομάδα Α΄ (επιλογή και επεξεργασία των θεμάτων):
α) Νίκος Σπλήνης β) Παύλος Σταυρόπουλος γ) Σταύρος Σταυρόπουλος
Ομάδα Β΄ (επιλογή και επεξεργασία των θεμάτων):
α) Νίκος Αντωνόπουλος β) Περικλής Παντούλας γ) Αντώνης Σπυριδάκης
Επιμέλεια: Παύλος Τρύφων
Γενικός Συντονιστής: Παύλος Τρύφων

4. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
Γ΄ ΤΑΞΗ
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΣΑΒΒΑΤΟ 23 ΜΑΙΟΥ 2015
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ / ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΣΕΛΙΔΕΣ
Επιμέλεια διαγωνίσματος: lisari team
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω πολυώνυμα  P x ,  Q x και o
x R. Να αποδείξετε ότι:
    o
ox x
limP x P x
 (μονάδες 4)

 
 
 
 o
o
x x
o
P x P x
lim
Q x Q x
 , εφόσον  o
Q x 0 (μονάδες 3)
Μονάδες 7
Α2. Διατυπώστε το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής.
Μονάδες 4
Α3. Βρείτε μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0, ενώ
δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό. Δικαιολογήστε τον ισχυρισμό σας.
Μονάδες 4
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο
τετράδιό σας δίπλα, στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη
λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση
είναι λανθασμένη.
1) Για κάθε xR ισχύει: ημx x
2) Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν όριο στο o
x και ισχύει    f x g x
κοντά στο o
x , τότε    o ox x x x
limf x limg x 

3) Μία συνάρτηση f :A R λέγεται συνάρτηση «1-1», όταν για
οποιαδήποτε 1 2
x ,x A ισχύει η συνεπαγωγή: αν    1 2
f x f x , τότε
1 2
x x
4) Αν η συνάρτηση f είναι κοίλη στο διάστημα Δ, και ορίζεται η f στο
εσωτερικό του Δ, τότε σε κάθε περίπτωση f (x) 0  , για κάθε x
εσωτερικό σημείο του Δ.
5) Αν για τις συναρτήσεις f,g,h ισχύει      h x f x g x  κοντά στο
o
x και    o ox x x x
limh x limg x λ 
  , τότε  ox x
limf x λ

Μονάδες 10

5. ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
Γ΄ ΤΑΞΗ
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΘΕΜΑ Β
Έστω Α, Β είναι αντίστοιχα οι εικόνες των μη μηδενικών μιγαδικών
z, wγια τους οποίους ισχύει:
2 2
z zw w 0  
Β1. Να αποδείξετε ότι:
z w και 3 3
z w 0 
Μονάδες 7
Β2. Να αποδείξετε ότι:
OA OB
 
 ,όπου Ο η αρχή των αξόνων.
Μονάδες 5
Β3. Αν είναι OA OB ρ 0
 
   , να αποδείξετε ότι:
i.
z w
z w ρ
3

  
Μονάδες 6
ii. Η γωνία των διανυσματικών ακτίνων των μιγαδικών z,w είναι 0
120
Μονάδες 7

6. ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
Γ΄ ΤΑΞΗ
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση  f : 0,  με  f 1 0 και
 f ' 1 1 για την οποία ισχύει,
     f xy xf y yf x  , για κάθε x,y 0
Επίσης δίνονται οι συναρτήσεις
   g x f x lnx  , x 0 και  
 x
ln 1 e
h x x 2 , x 0
x


   
Γ1. Να δείξετε ότι
 f x x lnx , x>0 
Μονάδες 7
Γ2. Να βρείτε όλες τις πλάγιες - οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής
παράστασης της συνάρτησης h
Μονάδες 5
Γ3. Αν η ευθεία y x 1  είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης h στο  , να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της
συνάρτησης g και η παραπάνω ευθεία , έχουν δύο ακριβώς κοινά σημεία
με τετμημένες 1 2
x ,x για τα οποία ισχύει 1 2
x x 1 
Μονάδες 8
Γ4. Αποδείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα  ξ 1,e τέτοιο, ώστε
    
2 2
ξ
t ξ
1
f ξ e dt e f ξ e  
Μονάδες 5

7. ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
Γ΄ ΤΑΞΗ
ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΘΕΜΑ Δ
Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις  f,g: 1,2015  Rμε
1 1
2015 2015 20152 2x x
1 1 1
e f (x)dx x e dx 2xf(x)dx,

    για κάθε  x 1,2015
και οι συναρτήσεις
1
t
x
31
e
h(x) dt
t
  και
x
1
H(x) h(t)dt e  , για κάθε  x 1,2015
Δ1. Να αποδείξετε ότι:
1
x
f(x) xe ,  x 1,2015
Μονάδες 5
Δ2. Να αποδείξετε ότι:
   H x f x , για κάθε  x 1,2015
Μονάδες 5
Δ3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα (μονάδες 2)
και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι
2 3
1 1
2 h(t)dt h(t)dt  (μονάδες 4)
Μονάδες 6
Δ4. Αν η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο [1, 2015] , τότε:
i. Να μελετήσετε τη συνάρτηση
x
1
g(t)
G(x) dt
x 1



ως προς τη μονοτονία στο διάστημα  1,2015
Μονάδες 6
ii. Να αποδείξετε ότι:
2014 2015
1 1
2014 g(t)dt 2013 g(t)dt 
Μονάδες 3