32 θέματα επαναληπτικά προετοιμάζοντας για την γ λυκείου-stampa

Δπηκέιεηα: Φαηδόπνπινο Μάθεο http://lisari.blogspot.com

Δπαλαιεπηηθά ζέκαηα εμεηάζεσλ

Μαζεκαηηθά Β΄ Λπθείνπ

Θεηηθήο θαη Τερλνινγηθήο Καηεύζπλζεο

«Πξνεηνηκάδνληαο ηελ Γ Λπθείνπ»

 26 ππνδεηγκαηηθά ζέκαηα

 6 Αζθήζεηο πξνζνκνίωζεο γηα ηελ Γ Λπθείνπ (Καηεύζπλζεο)

 4 Καηεγνξίεο αζθήζεωλ

 4 Μεζνδνινγίεο θαη γελίθεπζε αζθήζεωλ

Εάθπλζνο 2010 – 11

Μαζεκαηηθά Καηεύζπλζεο Δπηκέιεηα: Φαηδόπνπινο Μάθεο
Β΄ Λπθείνπ http://lisari.blogspot.com

Θέκα 1ν
Γίλεηαη ε παξαβνιή ( C ): ρ 2 = 2y θαη ην ζεκείν Α(2, 2).
α) Αλ Δ είλαη εζηία ηεο παξαβνιήο, λα βξείηε ηα θνηλά ζεκεία ηεο επζείαο ΑΔ θαη ηεο παξαβνιήο ( C)
β) Να θέξεηαη ηηο εθαπηόκελεο ηεο παξαβνιήο ζηα θνηλά ζεκεία ηεο επζείαο ΑΔ θαη ηεο παξαβνιήο (C)
γ) Αλ Μ, Ν ηα ζεκεία ηνκήο ησλ εθαπηνκέλσλ κε ησλ άμνλα ρ΄ρ λα απνδείμεηε όηη ε εζηία Δ βξίζθεηαη ζε
θύθιν κε δηάκεηξν ΜΝ.
Λύζε

[2]


Θέκα 2ν
Γίλνληαη νη επζείεο (1 ) : x  y  1  0 θαη (2 ) :  x  y  1  0 κε   1 .
α. Να βξείηε ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ
β. Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν (ε) ησλ ζεκείσλ ηνκήο ησλ παξαπάλσ επζεηώλ, όηαλ ην θ παίξλεη ηηκέο ζην
ζύλνιν  {1,1} .
γ. Αλ v //  ,   (1,2) θαη   (3, 2) , λα αλαιύζεηε ην δηάλπζκα v ζε δύν ζπληζηώζεο v1 θαη v 2 , ώζηε v1 / /
θαη v2   .
δ. Έζησ ε παξαβνιή C : 2  2y θαη ε επζεία 3 πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α(1, -1 ) κε 3 / /v1 . Να βξείηε
ηα θνηλά ζεκεία ησλ 3 θαη ηεο παξαβνιήο C .
Λύζε

[3]


Θέκα 3ν
Γίλνληαη ην ζεκείν (0, 6) θαη ε επζεία () :y  3  0
α. Να πξνζδηνξίζεηε ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ Μ(x, y) ηνπ επηπέδνπ, γηα ηα νπνία ηζρύεη: 2  d(M, )  ()
β. Να πξνζδηνξίζεηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο () πνπ είλαη παξάιιειε ζην δηάλπζκα v  2i  j θαη πεξλάεη
από ην ζεκείν A(1,2)
γ. Να πξνζδηνξίζεηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ (1 ) θαη ( 2 ) ζηελ θακπύιε ηνπ εξσηήκαηνο (α), πνπ
είλαη παξάιιειε πξνο ηελ επζεία ηνπ εξσηήκαηνο (β).
Λύζε

[4]


Θέκα 4ν
Α. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο (ε) πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη ζρεκαηίδεη κε ηνλ άμνλα
ρ΄ρ γσλία 300
x 2 y2
Β. Να πξνζδηνξίζεηε ηα ζεκεία ηνκήο Α θαη Β ηεο επζείαο (ε) κε ηελ έιιεηςε (C) :  1
9 3
Γ. Αλ (ε 1) θαη (ε 2) αληίζηνηρα είλαη νη εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηεο παξαπάλσ έιιεηςεο ζηα ζεκεία Α θαη
Β, ηόηε:
α) Να απνδείμεηε όηη νη επζείεο ε 1 θαη ε 2 είλαη παξάιιειεο
β) Υπνινγίζηε ηελ απόζηαζε ησλ δύν επζεηώλ
γ) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο κεζνπαξάιιειεο (δ) ησλ δύν επζεηώλ (ε 1 ) θαη (ε 2).
Λύζε

[5]


Θέκα 5ν
Γίλεηαη ε εμίζσζε ( ) : (  1)x  y    3  0, 
α. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε   παξηζηάλεη επζεία
β. Να απνδείμεηε όηη όιεο νη επζείεο ηεο παξαπάλσ νηθνγέλεηαο δηέξρνληαη από ην ζηαζεξό ζεκείν.
y2 x 2
γ. Να απνδείμεηε όηη νη αζύκπησηεο ηεο ππεξβνιήο (C) :   1 δελ αλήθνπλ ζηελ νηθνγέλεηα ( )
16 9
δ. Να βξείηε ζπλαξηήζεη ηνπ ι, ην ζπλεκίηνλν ηεο νμείαο γσλίαο πνπ ζρεκαηίδεη θάζε επζεία ηεο νηθνγέλεηαο
( ) κε ηελ επζεία () : y  x  1

ε. Πνηεο επζείεο ηεο νηθνγέλεηαο ( ) ζρεκαηίδεη γσλία κε ηελ επζεία () : y  x  1 ;
4
Λύζε

[6]


Θέκα 6ν
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθέο Α(2, 6) , Β(1, 1) θαη Γ(3, 2). Να βξείηε:
α. Τελ εμίζσζε ηεο ΒΓ
β. Τελ εμίζσζε ηεο επζείαο ηνπ ύςνπο ΑΓ.
γ. Τελ εμίζσζε ηεο δηακέζνπ ΒΜ
δ. Τελ εμίζσζε ηεο κεζνθαζέηνπ ηεο ΑΓ
γ. Τν εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ
Λύζε

[7]


Θέκα 7ν
Γίλεηαη ε έιιεηςε κε εμίζσζε 9x 2  16y2  144 . Να βξείηε
α. Τν κήθνο ηνπ κεγάινπ θαη ηνπ κηθξνύ άμνλα , θαζώο θαη ηηο εζηίεο Δ,Δ΄ ηεο έιιεηςεο.
β. Τελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο έιιεηςεο πνπ είλαη παξάιιειε κε ηελ επζεία ε: 9ρ +16ς = 0.
γ. Τελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη θέληξν ηελ εζηία Δ θαη εθάπηεηαη ηεο επζείαο ε: 9ρ + 16ς = 0
Λύζε

[8]


Θέκα 8ν
Γίλνληαη ν θύθινο C1 : x 2  y2  6x  1  0 θαη ε παξαβνιή C2 : y2  4x
α. Γηα ηνλ θύθιν C1 λα βξείηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα ηνπ θαη γηα ηελ παξαβνιή C 2 ηελ
εζηία θαη ηελ δηεπζεηνύζα ηεο.
β. Να βξείηε ηα θνηλά ζεκεία Α θαη Β ησλ C1 θαη C 2 .
γ. Να βξείηε ηηο εθαπηόκελεο 1 θαη  2 ηεο C 2 ζηα Α θαη Β αληίζηνηρα θαη λα απνδείμεηε όηη νη 1 θαη  2
εθάπηνληαη θαη ζηνλ θύθιν C1
Λύζε

[9]


Θέκα 9ν
Γίλεηαη ε εμίζσζε: ιρ−2ις + 3ρ + 6ι−ς −2 = 0 κε ι ∈ R. ( 1 )
a. Να δείμεηε όηη ε (1) είλαη εμίζσζε επζείαο γηα θάζε ι ∈ R.
b. Να δείμεηε όηη όιεο νη επζείεο πνπ νξίδεη ε εμίζσζε (1) δηέξρνληαη από ζηαζεξό ζεκείν γηα θάζε ι ∈ R
c. Να βξεζεί ν ι > 0 ώζηε νη επζείεο πνπ νξίδεη ε εμίζσζε (1) λα ζρεκαηίδνπλ κε ηνπο άμνλεο ζπληεηαγκέλσλ
ηξίγσλν κε εκβαδόλ Δ = 2 η.κ
Λύζε

[10]


Θέκα 10ν

Γίλνληαη δηαλύζκαηα ,  ηέηνηα ώζηε:   2 ,   3 θαη  ,    . Αλ u  3   θαη v  3  2 ηόηε λα
 
  3
ππνινγίζεηε:
α. Τν εζσηεξηθό γηλόκελν  
β. Τα κέηξα ησλ δηαλπζκάησλ u θαη v
γ. Τν εζσηεξηθό γηλόκελν u  v

δ. Τελ γσλία ησλ δηαλπζκάησλ  u, v 
 
 
Λύζε

[11]


Θέκα 11ν
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα   (  2,6) θαη   (1,2) , όπνπ 
α. Αλ  / / ηόηε ππνινγίζηε ην θ
β. Σηε ζπλέρεηα, βξείηε ηα ι, κ έηζη ώζηε     (5,10)
γ. Αλ δηάλπζκα   (2  , ) κε  είλαη θάζεην ζην δηάλπζκα  βξείηε ην ξ.
δ. Υπνινγίζηε ηελ πξνβνιή ηνπ δηαλύζκαηνο   (2, 6) πάλσ ζην δηάλπζκα 
Λύζε

[12]


Θέκα 12ν
Γίλεηαη έλα ηξίγσλν κε θνξπθέο A(2  1,3  2) , (1,2) θαη (2,3) όπνπ   κε   2 .
Α. Να απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Α θηλείηαη ζε επζεία, θαζώο ην ι κεηαβάιιεηαη ζην
Β. Δάλ, ι= 1, λα βξείηε:
α) Τν εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ
β) Τελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ, πνπ έρεη θέληξν ηελ θνξπθή Α(1, 5) θαη εθάπηεηαη ζηελ
επζεία ΒΓ.
Λύζε

[13]


Θέκα 13ν
Γίλεηαη ε εμίζσζε x 2 y2 2x 4y 0
α) Να απνδείμεηε όηη, ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη θύθιν θαη λα βξείηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα ηνπ.
β) Γίλεηαη ε παξαβνιή κε εμίζσζε y2 = -2x
i. Να βξείηε ηελ εζηία θαη ηελ δηεπζεηνύζα ηεο παξαβνιήο.
ii. Nα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο παξαβνιήο ζην ζεκείν Α(-2,2).
γ) Να απνδείμεηε όηη ε εθαπηνκέλε ηεο παξαπάλσ παξαβνιήο, εθάπηεηαη θαη ζην θύθιν .
Λύζε

[14]


Θέκα 14ν

Γίλνληαη ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα    , θαη ε εμίζσζε

x 2  y2  2   2 x  2 2   y   2  2  0 (1)

α. Γείμηε όηη ε εμίζσζε (1) παξηζηάλεη θύθιν αθηίλαο   2   

1
β. Γηα     1 θαη (, )  , λα απνδείμεηε όηη ν παξαπάλσ θύθινο (1) παίξλεη ηε κνξθή
4
C : (x  2)2  (y  2) 2  6

γ. Να εμεηάζεηε ηελ ζρεηηθή ζέζε ηεο εζηία Δ θαη ηεο δηεπζεηνύζαο (δ) παξαβνιήο y 2  8 x κε ηνλ
θύθιν C ηνπ πξνεγνύκελνπ εξσηήκαηνο (β).
Λύζε

[15]


Θέκα 15ν
Έζησ ηα ζεκεία Μ(1 + εκθ , 2 – ζπλθ) , θ  [0,2π]
α. Να δείμεηε όηη ηα ζεκεία Μ θηλνύληαη ζε θύθιν , ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα.

β. Γίλεηαη ν θύθινο x  1   y  2  1
2 2

Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηνπ θύθινπ πνπ άγνληαη από ην ζεκείν Ο(0,0).
    
γ. Αλ Α,Β είλαη ηα ζεκεία επαθήο ηνπ (β) εξσηήκαηνο , λα ππνινγίζεηε ην    ,   , όπνπ Κ ην θέληξν
 
 
ηνπ θύθινπ.
Λύζε

[16]


Θέκα 16ν (Δμεηάζεηο 2008)
Γίλεηαη ε εμίζσζε ρ2-ς2-4ρ-2ς+3=0 ( 1 )
i) Να δεηρζεί όηη ε ( 1 ) παξηζηάλεη 2 επζείεο θάζεηεο
ii) Αλ ε1, ε2 νη επζείεο πνπ παξηζηάλεη ε (1) λα βξεζεί ην ζεκείν ηνκήο ηνπο A
iii) Αλ ε ε3: -ρ+2ς-2=0 ηέκλεη ηηο ε1 , ε2 ζηα ζεκεία Β, Γ αληίζηνηρα, λα βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ
δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Α, Β, Γ, όπνπ Α ην ζεκείν ηνκήο ησλ ε1 , ε2
iv) Αλ Γ(2 , -1) ζεκείν ηνπ θύθινπ C: (ρ-4)2 + (ς-3 )2 = 20 λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ
θύθινπ ζην Γ
v) Αλ Δ(0,4) ηπραίν ζεκείν λα εμεηαζηεί αλ άγνληαη από απηό εθαπηόκελεο ζηνλ θύθιν C ηνπ (iv)
εξσηήκαηνο.
Λύζε

[17]


Θέκα 17ν

Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα :   (x  1,2x  4) θαη   (x  2, x  3) όπνπ x πξαγκαηηθόο αξηζκόο.
Α. Να βξείηε ην x ώζηε ηα παξαπάλσ δηαλύζκαηα λα είλαη θάζεηα.
Β. Γηα ηελ κεγαιύηεξε ηηκή ηνπ x πνπ βξήθαηε ζην πξνεγνύκελν ζθέινο,
α. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ κε δηάκεηξν ΓΓ.
β. Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηνπ θύθινπ ζηα ζεκεία Γ , Γ.
γ. Αλ Β ην ζεκείν ηνκήο ηεο εθαπηνκέλεο ζην Γ κε ηνλ άμνλα y’y θαη Α ην ζεκείν ηνκήο ηεο εθαπηνκέλεο
ζην Γ κε ηνλ x’x, λα βξεζεί ε εμίζσζε θαη ε εθθεληξόηεηα ηεο έιιεηςεο κε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη κηα
θνξπθή ζηνλ άμνλα y’y ην Β θαη κηα ζηνλ άμνλα x’x.
Λύζε

[18]


Θέκα 18ν

Γίλεηαη ε εμίζσζε ρ 2+ ς 2 – 2ιρ +2( 2 + ι)ς +4ι + 4 = 0 , ι∈ℝ-{0}.

Α. Να δεηρζεί όηη παξηζηάλεη θύθιν γηα θάζε ι∈ℝ-{0}.
Β . Βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ θέληξνπ ηνπ θύθινπ σο πξνο ι. Πνηνο είλαη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ
πνπ αλήθεη ην θέληξν;
Γ. Αλ ι = – 2, λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο ε νπνία έρεη εζηίεο ηα ζεκεία ζηα νπνία ν θύθινο ηέκλεη ηνλ
ς’ς θαη κήθνο κηθξνύ άμνλα ηε δηάκεηξν ηνπ θύθινπ.
Γ. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο κε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ, εζηίεο ζηνλ άμνλα ς’ς, αζύκπησηε

παξάιιειε ζην δηάλπζκα u  (4, 2) θαη εζηηαθή απόζηαζε ίζε κε ην κήθνο ηνπ κεγάινπ άμνλα ηεο έιιεηςεο.
Λύζε

[19]


Θέκα 19ν (Δμεηάζεηο 2002)
Σην νξζνθαλνληθό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ Οxy ηνπ παξαθάησ ζρήκαηνο, δίλνληαη ηα ζεκεία Α(4,0) θαη
Β(0,4), ε επζεία ε πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Α θαη Β θαη ε επζεία δ πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή Ο ησλ
αμόλσλ θαη είλαη θάζεηε πξνο ηελ επζεία ε.
α) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε ηεο επζείαο ε είλαη x+y=4.
y
Β(0,4) β) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο δ.

γ) Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο Μ ησλ επζεηώλ
δ
Μ δ θαη ε.

δ) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη δηάκεηξν ην

επζύγξακκν ηκήκα ΟΜ.
Α(4,0) Λύζε
O ε x

[20]


Θέκα 20ν
Γίλεηαη ε εμίζσζε ε: (ι –1)ρ + (ι + 1)ς – ι – 3=0, ι πξαγκαηηθόο αξηζκόο.
Α. α) Να δείμεηε όηη γηα θάζε ι ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη επζεία.
β) Να δείμεηε όηη γηα θάζε ι ε παξαπάλσ επζεία δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν.
Β. α) Αλ ε εμίζσζε (ε) πεξηγξάθεη ηηο δπλαηέο πνξείεο ηεο κπάιαο κεηά από ζνπη ηνπ Τζάβη, λα βξείηε ηηο
ζπληεηαγκέλεο ηεο ζέζεο ηνπ πνδνζθαηξηζηή.
β) Αλ νη ζπκπαίθηεο ηνπ, Μέζη θαη Ηληέζηα βξίζθνληαη ζηα ζεκεία Μ(2,2), Η(-1,5) αληίζηνηρα, λα ππνινγίζεηε
πνηνο από ηνπο δπν βξίζθεηαη πην θνληά ζηελ πνξεία ηεο κπάιαο πνπ θιώηζεζε ν Τζάβη.
γ) Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ γεπέδνπ πνπ νξίδνπλ νη πνδνζθαηξηζηέο Τζάβη, Μέζη θαη Ηληέζηα.
Σεκείωζε: Ο Τζάβη, Μέζη θαη Ιληέζηα είλαη πνδνζθαηξηζηέο (2010 – 11) ηεο …………………….. (Δμηξά 2
βαζκνύο)
Λύζε

[21]


Θέκα 21ν (Μ.Χ)

Γίλνληαη ηα κνλαδηαία δηαλύζκαηα , ,  θαη ε εμίζσζε: 4x 2  4y2  4  x  4  y  1         0 (1)

α) Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε (1) παξηζηάλεη θύθιν ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν ηνπ.
1
β) Αλ ν θύθινο ηεο εμίζσζεο (1) εθάπηεηαη κε ηελ επζεία    : x  y  ηόηε:
2 1
i. Να απνδείμεηε όηη ε αθηίλα ηνπ θύθινπ είλαη 1

ii. Υπνινγίζηε ηηο γσλίεο πνπ ζρεκαηίδνπλ κεηαμύ ηνπο ηα κνλαδηαία δηαλύζκαηα , , 
Λύζε

[22]


Θέκα 22ν
Έζησ ε εμίζσζε x 2  y2  2x  4y  5 2  1  0 1 ,  

α) Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε (1) παξηζηάλεη άπεηξνπο ίζνπο θύθινπο γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηεο παξακέηξνπ

β) Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ θέληξσλ ησλ παξαπάλσ θύθισλ
γ) Να απνδείμεηε όηη όινη νη θύθινη ηεο εμίζσζεο (1) εθάπηνληαη ζε δύν ζηαζεξέο παξάιιειεο επζείεο , ησλ
νπνίσλ λα
βξεζνύλ νη εμηζώζεηο

ηζρύνπλ νη ζρέζεηο:  1     1  2    2     2  2   1
2 2 2 2
δ) Γηα ηνπο 1 , 2 , 1 , 2 

Να απνδείμεηε όηη: 0   1  2   1  2   4
2 2

(Γείηε παξαθάηω ηε θαηεγνξία αζθήζεωλ: «Πξνεηνηκάδνληαο γηα ηελ Γ Λπθείνπ»)Μ.Χ
Λύζε

[23]


Θέκα 23ν
Γίλνληαη ηα ζεκεία Α(2,5)   3, 7  θαη   5  5,12  7  ,   , ελώ Μ ην κέζν ηνπ επζύγξακκνπ

ηκήκαηνο ΑΓ. Έζησ u  BM  v  AB . Να απνδείμεηε όηη:
α) Τα ζεκεία Α, Β, Γ είλαη θνξπθέο ηξηγώλνπ
β) Ζ εμίζσζε ηεο επζείαο ΑΒ είλαη ε    :12x  5y  1  0
γ) Τν ζεκείν Γ αλήθεη ζηελ επζεία (ε) ηνπ εξσηήκαηνο (β)
104
δ) Αλ ι = - 1, ηόηε v u   5,12
169
Λύζε

[24]


Θέκα 24ν

Γίλνληαη ηα κε κεδεληθά θαη κε παξάιιεια δηαλύζκαηα ,  θαη ε εμίζσζε

C : x 2  y2  2  x  4  y  4   0

α) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε C παξηζηάλεη θύθιν κε αθηίλα     2 ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν.

β) Αλ ν θύθινο C δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη εθάπηεηαη ηεο επζείαο    : y  x  2   4  ζην

 
ζεκείν A 2  ,4  λα απνδείμεηε όηη:

i.   

ii.  2

1 
iii. Τν θέληξν ηνπ θύθινπ είλαη ην K  2,2  κε αθηίλα   2 2 , αλ επηπιένλ ηζρύεη όηη     ,  3 
 2 
Λύζε

[25]


Θέκα 25ν
Α. Γίλεηαη ε παξαβνιή C :y2  2px, p  0 θαη ε επζεία    :22 x  2y  p  0,   0

Να απνδείμεηε όηη:
 p p
α) Τν θνηλό ζεκείν ηνκήο ηνπο είλαη ην   2 , 
 2  
β) Ζ επζεία (ε) εθάπηεηαη ζηελ παξαβνιή C ζην ζεκείν Μ
1 p
γ) Ζ απόζηαζε ηεο εζηίαο ηεο παξαβνιήο από ηελ επζεία (ε) είλαη d  2  1
2

Β. Γίλεηαη ε παξαβνιή C':y2  4x θαη ε επζεία (ε’) πνπ εθάπηεηαη ζηελ C’. Αλ ε (ε’) ζρεκαηίδεη κε ηνλ

άμνλα x’x γσλία 450 , ηόηε:
1) Να απνδείμεηε όηη:   ' : x  y  1  0
2) Να βξείηε ηα ζεκεία ηνκήο Β θαη Γ ηεο (ε’) κε ηνπο άμνλεο x’x θαη y’y αληίζηνηρα.
3) Αλ Δ εζηία ηεο παξαβνιήο C’, λα ππνινγίζεηε ην εκβαδό ηνπ ηξηγώλνπ ΓΔΒ.
Λύζε

[26]


Θέκα 26ν
Γίλεηαη ε εμίζσζε x  y  2    x  2    y  2  0 (1) κε ,   0 θαη    .
2 2

1. Να απνδείμεηε όηη ε (1) παξηζηάλεη θύθιν C κε αθηίλα ξ =   

2. Αλ ηα δηαλύζκαηα  θαη  είλαη κνλαδηαία θαη θάζεηα ,
α. Να δείμεηε όηη ην θέληξν ηνπ θύθινπ είλαη Κ(-1,1) θαη ε αθηίλα ηνπ ξ= 2 .
β. Να δείμεηε όηη ε επζεία ε: y = x + 4 εθάπηεηαη ηνπ θύθινπ C.
θαη ηζρύνπλ νη ζρέζεηο    1     1     1     1  2 .
2 2 2 2
γ. Αλ θ, ι, κ, λ 

0              8 . Πόηε ηζρύνπλ νη ηζόηεηεο;
2 2
Να απνδείμεηε όηη:
Γείηε παξαθάηω ηε θαηεγνξία αζθήζεωλ: «Πξνεηνηκάδνληαο γηα ηελ Γ Λπθείνπ»)-Μ.Χ
Λύζε

[27]


Καηεγνξία Αζθήζεωλ: «Πξνεηνηκάδνληαο ηελ Γ΄ Λπθείνπ»

Καηεγνξία 1ε: Χνξδή – δηάκεηξνο

Γεληθή άζθεζε

Έζησ ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ C :  x      y     2 θαη νη πξαγκαηηθνί αξηζκνί x1 , x 2 , y1 , y2 ηέηνηνη ώζηε
2 2

 x1      y1      x 2      y2     2 ,
2 2 2 2

λα απνδείμεηε όηη: 0   x1  x 2    y1  y2   42
2 2

Λύζε
ζρήκα:

Από ηελ ζρέζε  x1      y1     2 ζπκπεξαίλνπκε όηη ην   x1 , y1  είλαη ζεκείν ηνπ θύθινπ
2 2

Δπίζεο, από ηελ ζρέζε  x 2      y2     2 ζπκπεξαίλνπκε όηη ην   x 2 , y2   C είλαη ζεκείν ηνπ
2 2

θύθινπ, άξα ε δεηνύκελε ζρέζε γίλεηαη:

0   x1  x 2    y1  y2   42  0   x1  x 2    y1  y2   2  0       , όπνπ δ ε δηάκεηξνο ηνπ
2 2 2 2

θύθινπ, πνπ ηζρύεη αθνύ ε δηάκεηξνο ΑΒ είλαη κηθξόηεξε ή ίζε από ηελ δηάκεηξν ηνπ θύθινπ.
Πόηε ηζρύεη ε ηζόηεηα;
    0     , δειαδή όηαλ x1  x 2  y1  y2 

     2 , όηαλ ηα ζεκεία Α, Β είλαη αληηδηακεηξηθά ηνπ θύθινπ, δειαδή ηα Α, Ο, Β είλαη ζπλεπζεηαθά

ζεκεία θαη Ο κέζν ηνπ ΑΒ, όπνπ Ο ην θέληξν ηνπ θύθινπ.
Παξάδεηγκα 1
Γεο άζθεζε 22

Γεο άζθεζε 26

Καηεγνξία 2ε: Μέγηζηε – Διάρηζηε απόζηαζε ζεκείνπ από θύθιν
Γίλεηαη ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ C: x 2  y2  Ax  By    0, A2  B2  4  0
Βξείηε ηα ζεκεία ηνπ θύθινπ C ηα νπνία απέρνπλ κέγηζηε – ειάρηζηε απόζηαζε από:
α) Τελ αξρή ησλ αμόλσλ Ο(0, 0)
β) Τν ζεκείν   ,  

θαη λα βξείηε θάζε θνξά ηελ απόζηαζε απηή.

[28]


Σρήκα (α):
Aπόδεημε
Αξρηθά ζα απνδείμνπκε όηη ηα ζεκεία ηνπ
θύθινπ πνπ απέρνπλ ηελ κέγηζηε θαη ειάρηζηε
απόζηαζε από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ είλαη ηα
ζεκεία Β θαη Α αληίζηνηρα όπσο θαίλεηαη ζην
ζρήκα.
Θα δείμνπκε όηη γηα ηπραίν ζεκείν Μ ηνπ
θύθινπ ηζρύεη:  OA    OM    OB

Δθαξκόδνπκε ηελ ηξηγσληθή αληζόηεηα ζην
ηξίγσλν ΜΟΚ,
 OK    KM    OM   OK    KM    OK      OM    OK     Β ηνπ θύθινπ απέρνπλ ειάρηζηε θαη κέγηζηε
Τα ζεκεία Α θαη
OA   OM    OB

απόζηαζε αληίζηνηρα από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ
α) Γηα λα βξνύκε ηα ζεκεία Α, Β πξέπεη αξρηθά λα
βξνύκε ηελ επζεία (δηαθεληξηθή) ΑΒ.
Δύξεζε ηεο επζείαο ΑΒ
y0  0 y0
Δίλαη ηεο κνξθήο y  x , όπνπ    γηα AB / / yy θαη K  x 0 , y0  ην θέληξν ηνπ θύθινπ
x0  0 x0

y0
άξα ε εμίζσζε ηεο ΑΒ είλαη    : y  x
x0

Δύξεζε ηωλ ζεκείωλ Α θαη Β
 x  x 0 2   y  y 0 2  2

Λύλνπκε ην ζύζηεκα ησλ εμηζώζεσλ  y ηνπ θύθινπ κε ηελ επζεία
 y 0 x
 x0

Οη ιύζεηο καο δίλνπλ ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ Α θαη Β

Ζ κέγηζηε θαη ειάρηζηε απόζηαζε
Μπνξνύκε λα ηηο ππνινγίζνπκε κε δύν ηξόπνπο:

Α΄ ηξόπνο:   min      x 2  yA θαη   max   B  x 2  y2
A
2
B B

Β ηξόπνο:   min   OA    OK     x 0  y0   θαη
2 2
  max   O   OK     x 0  y0  
2 2

(θαη κε απηόλ ηνλ ηξόπν δελ ρξεηάδεηαη λα γλσξίδνπκε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ Α θαη Β)

β) Με αλάινγν ζθεπηηθό αθνινπζνύκε όηαλ ην ζεκείν δελ είλαη ε αξρή ησλ αμόλσλ, αιιά ην ζεκείν Λ(α, β)

[29]


Σρήκα (β)
Γηα λα βξνύκε ηα ζεκεία Α, Β πξέπεη αξρηθά λα βξνύκε ηελ
(δηαθεληξηθή) επζεία ΑΒ.
 Δύξεζε ηεο επζείαο ΑΒ
y0  
Δίλαη ηεο κνξθήο y  y0    x  x 0  , όπνπ   γηα
x0  

AB / / yy θαη K  x 0 , y0  ην θέληξν ηνπ θύθινπ

y0  
άξα ε εμίζσζε ηεο ΑΒ είλαη    : y  y0   x  x0 
x0  

 Δύξεζε ηωλ ζεκείωλ Α θαη Β
Λύλνπκε ην ζύζηεκα ησλ εμηζώζεσλ
 x  x 0 2   y  y0 2  2

 y0   ηνπ θύθινπ κε ηελ επζεία
 y  y0   x  x0 
 x0   Τα ζεκεία Α θαη Β ηνπ θύθινπ απέρνπλ ειάρηζηε θαη
κέγηζηε απόζηαζε αληίζηνηρα από ην ζεκείν Λ
Οη ιύζεηο καο δίλνπλ ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ Α θαη Β

 Ζ κέγηζηε θαη ειάρηζηε απόζηαζε

Μπνξνύκε λα ηηο ππνινγίζνπκε κε δύν ηξόπνπο:

Α΄ ηξόπνο:   min       x       y    θαη   max   B   x B      yB   
2 2 2 2

Β ηξόπνο:   min   A    K      x 0      y0    
2 2

  max   B   K      x 0      y0    
2 2
θαη

(θαη κε απηόλ ηνλ ηξόπν δελ ρξεηάδεηαη λα γλωξίδνπκε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηωλ ζεκείωλ Α θαη Β)

[30]



Γίλεηαη ν θύθινο C :  x  2    y  2   2 θαη Μ ηπραίν ζεκείν ηνπ θύθινπ. Αλ Ο είλαη ε αξρή ησλ αμόλσλ
2 2

ηόηε:
α) Να δείμεηε όηη: 2   OM   3 2

β) Γηα πνηα ζεκεία Μ ηνπ θύθινπ έρνπκε
i)  OM   2

ii)  OM   3 2

γ) Βξείηε ηα ζεκεία ηνπ θύθινπ πνπ απέρνπλ κέγηζηε θαη ειάρηζηε απόζηαζε από ην ζεκείν Α( 4, 0) θαη ύζηεξα
βξείηε θάζε θνξά ηελ απόζηαζε απηή.
Λύζε

[31]


Καηεγνξία 3ε: Διάρηζηε απόζηαζε ζεκείνπ ζε επζεία
Έζησ ε επζεία    : Ax  By    0, A  B  0 θαη αλαδεηνύκε πνην ζεκείν ηεο επζείαο (ε) απέρεη ειάρηζηε

απόζηαζε
α) Από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ
β) Από ην ζεκείν   x 0 , y0 

θαη λα ππνινγίζεηε θάζε θνξά ηελ απόζηαζε απηή.

ζρήκα (α) θαη (β)

Τν ζεκείν Δ ηεο επζείαο (ε) απέρεη ηελ ειάρηζηε απόζηαζε από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ, ελώ ην
ζεκείν Ε ηεο επζείαο (ε) απέρεη ηελ ειάρηζηε απόζηαζε από ην ζεκείν Λ

Ζ απόζηαζε ζεκείν Ο σο πξνο επζεία όπσο γλσξίδνπκε ζεκαίλεη θάζεηε από ην Ο ζηελ επζεία (ε), άξα ε
απόζηαζε είλαη ε ΟΔ πνπ είλαη θαη ειάρηζηε (εμ’ νξηζκνύ, δειαδή  OE    OM  ). Όκνηα ζθεθηόκαζηε θαη γηα

ηελ απόζηαζε ΛΕ, δειαδή θάζεηε από ην ζεκείν Λ ζηελ επζεία (ε).

α) Γηα λα βξνύκε ην ζεκείν Δ πξέπεη αξρηθά λα βξνύκε ηελ επζεία ΟΔ

 Δύξεζε ηεο επζείαο ΟΔ
1
Δπεηδή νη επζείεο ΟΔ θαη ε είλαη θάζεηεο έρνπκε,      1     


1
άξα OE : y   OE  x  y   x


 Δύξεζε ζπληεηαγκέλωλ ηνπ ζεκείνπ Δ
Ax  By    0

Δπηιύνπκε ην ζύζηεκα ησλ εμηζώζεσλ ηεο επζείαο (ε) θαη ΟΔ, δειαδή,  1  E  x E , yE 
 y   x
 

[32]


 Δύξεζε ηεο ειάρηζηεο απόζηαζεο
Γηα λα βξνύκε ηελ ειάρηζηε απόζηαζε πνπ απέρεη έλα ζεκείν ηεο επζείαο (ε) από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ
ππάξρνπλ νη εμήο ηξόπνη:

Α΄ ηξόπνο:  OE   x 2  yE
E
2

0  0   
Β΄ ηξόπνο:  OE   d  O,    
 
2 2
  2
2

πνπ ππνινγίδνπκε ηελ ειάρηζηε απόζηαζε ρσξίο λα έρνπκε βξεη ην ζεκείν Δ
β) Γεύηεξε πεξίπησζε πνπ αλαδεηνύκε ζεκείν ηεο επζείαο (ε) πνπ απέρεη ηελ ειάρηζηε απόζηαζε από ην
γλσζηό ζεκείν   x 0 , y0  , ηα βήκαηα είλαη ηα ίδηα,

 Δύξεζε εμίζωζε επζείαο ΛΕ
1 1
Έρνπκε,      1      νπόηε  : y  y0      x  x 0   y  y0     x  x 0 
 

 Δύξεζε ηνπ ζεκείνπ Ε
 Ax  By    0

Λύλνπκε ην ζύζηεκα  1  Z  x Z , yZ 
 y  y0      x  x 0 
 

 Δύξεζε ηεο ειάρηζηεο απόζηαζεο
Γηα λα βξνύκε ηελ ειάρηζηε απόζηαζε πνπ απέρεη έλα ζεκείν ηεο επζείαο (ε) από ην ζεκείν   x 0 , y0 

ππάξρνπλ νη εμήο ηξόπνη:

Α΄ ηξόπνο:      x 0  x z    y0  y z 
2 2

  x 0    y0  
Β΄ ηξόπνο:     d  ,   
2  2
πνπ ππνινγίδνπκε ηελ ειάρηζηε απόζηαζε ρσξίο λα έρνπκε βξεη ην ζεκείν Ε

[33]



Ζ πνξεία ηνπ ελόο ππξαύινπ (εδάθνπο – εδάθνπο) πνπ θηλείηαη επζύγξακκα ζηελ επηθάλεηα ηεο ζάιαζζαο,

δηαγξάθεη ζε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ (νη απνζηάζεηο είλαη ζε ρηιηόκεηξα) ηξνρηά κε εμίζσζε (ε):

3x  4y  10  0 ,όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα.

α) Πόζν θνληά ζα πεξάζεη ν πύξαπινο από ην ζεκείν Ο; Σε πνηα ζέζε ηεο ηξνρηάο (ε) βξίζθεηαη ν πύξαπινο

πνην θνληά ζην ζεκείν Ο(0,0);

β) Αλ βξηζθόκαζηε ζην ζεκείν Α(4, - 0,75), λα δείμεηε όηη ν πύξαπινο απέρεη από εκάο ηνπιάρηζηνλ 1

ρηιηόκεηξν.

γ) Αλ Μ έλα ηπραίν ζεκείν ηεο ηξνρηάο ηνπ ππξαύινπ, λα βξείηε ην ζεκείν Μ όηαλ (ΑΜ) = 1 ρηιηόκεηξν.

Λύζε

[34]


Καηεγνξία 3ε: Γύν θύθινη θαη ηα ζεκεία ηνπο πνπ απέρνπλ κέγηζηε – ειάρηζηε απόζηαζε

Γίλνληαη νη εμηζώζεηο δύν θύθισλ C1 :  x  x1    y  y1   1
2 2 2

 C2 :  x  x 2    y  y2   2
2 2
2

πνπ δελ έρνπλ θνηλά ζεκεία θαη είλαη εμσηεξηθνί. Βξείηε ηα ζεκεία ησλ θύθισλ πνπ απέρνπλ κέγηζηε θαη
ειάρηζηε απόζηαζε κεηαμύ ηνπο θαη ηελ απόζηαζε απηή.
ζρήκα:
Γηα λα βξνύκε ηα ζεκεία ηνπ θύθινπ (Κ1, ξ1)
πνπ απέρνπλ από ην ζεκείν Κ2 ειάρηζηε θαη
κέγηζηε απόζηαζε, πξέπεη λα θέξνπκε ηελ
δηαθεληξηθή επζεία Κ1Κ2 , όπσο δείμακε ζηελ
Καηεγνξία 1.
Όκνηα πξάηηνπκε θαη από ην ζεκείν Κ1 γηα ηνλ
θύθιν (Κ2, ξ2).
 Δύξεζε ηεο εμίζωζεο ηεο δηαθέληξνπ
y2  y1
Έρνπκε,  1 2  ,  x1  x 2
x 2  x1
άξα ε εμίζσζε ηεο δηαθέληξνπ είλαη
y2  y1
K1K 2 : y  y1   x  x1 
x 2  x1 Ζ δηάθεληξνο καο δίλεη ηα ζεκεία ηνπ θύθινπ πνπ βξίζθνληαη ζηελ ειάρηζηε
απόζηαζε ην ΒΓ θαη ηα ζεκεία πνπ απέρνπλ ζηελ κέγηζηε απόζηαζε ην ΑΓ.
 Δύξεζε ηωλ ζεκείωλ Α θαη Β
Λύλνπκε ην ζύζηεκα
 x  x1 2   y  y1 2  1
2


 y 2  y1  A  x  , y     x  , y 
 y  y1  x  x  x  x1 
 2 1

 Δύξεζε ηωλ ζεκείωλ Γ θαη Γ
Λύλνπκε ην ζύζηεκα
 x  x 2 2   y  y 2 2  2
2


 y 2  y1    x  , y      x  , y  
 y  y1  x  x  x  x1 
 2 1

 Δύξεζε κέγηζηεο θαη ειάρηζηεο απόζηαζεο ηωλ ζεκείωλ ηνπ θύθινπ

Α΄ ηξόπνο κέγηζηεο απόζηαζεο: Από ηνλ ηύπν,      x   x     y  y 
2 2

Β΄ ηξόπνο κέγηζηεο απόζηαζεο: Από ηελ ζρέζε,      1 2   1  2 ε νπνία έρεη ην πιενλέθηεκα όηη

καο βξίζθεη ηελ κέγηζηε απόζηαζε ησλ ζεκείσλ ηνπ θύθινπ ρσξίο λα γλσξίδνπκε ηα ζεκεία Α, Β, Γ, Γ.

[35]


Όκνηα γηα ηελ ειάρηζηε απόζηαζε, από ηνλ ηύπν     x  x     y  y  ή από ηελ ζρέζε
2 2


     1 2   1  2


Γίλνληαη νη εμηζώζεηο δύν θύθισλ C1 :  x  2    y  4   1  C2 : x 2  y2  4x  8y  19  0
2 2

α) Να βξείηε ηα θέληξα θαη ηηο αθηίλεο ησλ θύθισλ C1 ,C2
β) Βξείηε ηελ ζρεηηθή ζέζε ησλ δύν θύθισλ θαη λα ηνπο ζρεδηάζεηε ζε έλα νξζνθαλνληθό ζύζηεκα
ζπληεηαγκέλσλ
γ) Βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο δηαθέληξνπ
δ) Βξείηε πνηα ζεκεία ησλ θύθισλ απέρνπλ ηελ ειάρηζηε απόζηαζε κεηαμύ ηνπο θαη ππνινγίζηε ηελ απόζηαζε
απηή.
ε) Βξείηε πνηα ζεκεία ησλ θύθισλ απέρνπλ ηελ κέγηζηε απόζηαζε κεηαμύ ηνπο θαη ππνινγίζηε ηελ απόζηαζε
απηή.
Λύζε

[36]


Καηεγνξία 4ε: Σεκεία ηνπ θύθινπ πνπ απέρνπλ κέγηζηε – ειάρηζηε απόζηαζε από επζεία

Γίλνληαη νη εμηζώζεηο ηνπ θύθινπ C :  x  x 0    y  y0   2 θαη ηεο επζείαο (ε): Αx + By + Γ = 0 δελ έρεη
2 2

θνηλά ζεκεία κε ηνλ θύθιν. Βξείηε ηα ζεκεία ηνπ θύθινπ, πνπ απέρνπλ από ηελ επζεία κέγηζηε θαη ειάρηζηε
απόζηαζε θαη λα βξείηε ηελ απόζηαζε απηή.

 Δύξεζε εμίζωζεο ηεο επζείαο ΒΓ

1
Έρνπκε,       1     
 

άξα ε εμίζσζε ηεο επζείαο ΒΓ είλαη

1
B : y  y0    x  x0 
 

 Δύξεζε ζπληεηαγκέλωλ ηνπ ζεκείνπ Γ

Λύλνπκε ην ζύζηεκα ησλ εμηζώζεσλ,

 Ax  By    0

   x  , y 
Τν ζεκείν Α ηνπ θύθινπ απέρεη ηελ ειάρηζηε απόζηαζε από ηελ επζεία (ε),
 1
 y  y0     x  x 0  ελώ ην ζεκείν Β θύθινπ απέρεη ηελ κέγηζηε απόζηαζε από ηελ επζεία (ε).
 

 Δύξεζε κέγηζηεο απόζηαζεο

Α΄ ηξόπνο:     x  x     y  y  
2 2


x 0  By0  
Β ΄ ηξόπνο:  A   d  K,        ρσξίο λα γλσξίδνπκε ην ζεκείν Α
2  2

 Δύξεζε ειάρηζηεο απόζηαζεο

Α΄ ηξόπνο:     x  x     y  y 
2 2


x 0  By0  
Β΄ ηξόπνο:     d  K,      
2  2

[37]



Γίλεηαη θύθινο κε θέληξν Κ(0, 1) θαη αθηίλα ξ = 3 θαη επζεία (ε): y = 2x – 6.

α) Βξείηε ηελ ζρεηηθή ζέζε επζείαο θαη θύθινπ θαη λα ηα ζρεδηάζεηε ζε έλα νξζνθαλνληθό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ

β) Βξείηε πνην ζεκείν Μ ηνπ θύθινπ απέρεη ηελ ειάρηζηε απόζηαζε από ηελ επζεία (ε) θαη λα βξείηε ηελ απόζηαζε απηή.

γ) Βξείηε πνην ζεκείν Ν ηνπ θύθινπ απέρεη ηελ κέγηζηε απόζηαζε από ηελ επζεία (ε) θαη λα βξείηε ηελ απόζηαζε απηή.

Λύζε

[38]

32 θέματα επαναληπτικά προετοιμάζοντας για την γ λυκείου-stampa

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to 32 θέματα επαναληπτικά προετοιμάζοντας για την γ λυκείου-stampa

Similar to 32 θέματα επαναληπτικά προετοιμάζοντας για την γ λυκείου-stampa (20)

More from Μάκης Χατζόπουλος

More from Μάκης Χατζόπουλος (20)

32 θέματα επαναληπτικά προετοιμάζοντας για την γ λυκείου-stampa