Cinematica de cuerpos_rigidos
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Cinematica de cuerpos_rigidos Document Transcript

  • 1. Capítulo 3.- CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDOOBJETIVOS  Clasificar los diferentes tipos de movimiento plano de un cuerpo.  Investigar el movimiento de traslación de un cuerpo rígido y mostrar cómo se realiza el movimiento a través de un eje fijo.  Estudiar el movimiento plano usando un análisis de movimiento absoluto.  Proporcionar un análisis de movimiento relativo de velocidad y aceleración usando un marco de transferencia de rotaciónINTRODUCCIÓN
  • 2.  La cinemática de cuerpos rígidos estudia las relaciones existentes entre el tiempo, posición, velocidad, y aceleración de las diferentes partículas que forman un cuerpo rígido.  Los varios tipos de movimientos de los cuerpos rígidos pueden ser puestos en cinco categorías: traslación, rotación alrededor de un eje fijo, movimiento plano general, movimiento alrededor de un punto fijo y movimiento general.3.1 TIPOS DE MOVIMIENTOS DE UN CUERPO RÍGIDO3.1.1 TRASLACIÓNLa traslación ocurre cuando todas las partículas que forman el cuerpo rígido se mueven alo largo de trayectorias paralelas. Es decir cuando un segmento recto entre dos puntosdentro del cuerpo mantiene la misma dirección durante el movimiento.Traslación rectilínea: Cuando las trayectorias del movimiento de 2 partículas cualquieradel cuerpo forman líneas rectas equidistantes.Traslación curvilínea: Cuando las trayectorias del movimiento de 2 partículas cualquieradel cuerpo forman líneas curvas equidistantes. Figura 3.1 Traslación rectilínea Figura 3.2 Traslación curvilínea.
  • 3. 3.1.2 ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJOEn este movimiento las partículas del cuerpo se mueven en planos paralelos a través decírculos centrados sobre el mismo eje fijo. Si el eje interseca al cuerpo rígido, las partículaslocalizadas sobre el eje tienen velocidad cero, y aceleración cero. Figura 3.3 Rotación alrededor de un eje fijoNo confundir entre traslación curvilínea y rotación. Traslación curvilínea Rotación3.1.3. MOVIMIENTO PLANO GENERALCualquier movimiento en el plano que no esté destinado a ser cualquiera de los dos tiposde movimientos, ya sea traslación o rotación es determinado como movimiento planogeneral.
  • 4. En muchos casos el movimiento plano general se da cuando un cuerpo experimenta unacombinación de traslación y rotación. La traslación ocurre dentro de un plano d referenciay la rotación sobre un eje perpendicular a dicho plano de referencia. Por ejemplo elmovimiento de rodadura, el desplazamiento de varillas guiadas, movimientos deeslabones en mecanismos, etc. Rodadura Deslizamiento de varillas Movimientos en mecanismos3.1.4 MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONESEn el análisis tridimensional generalmente ocurren dos tipos de movimientos.Movimiento alrededor de un punto fijo ocurre cuando el cuerpo rígido rota alrededor deun punto fijo.
  • 5. Figura Movimiento con punto fijoCuando el movimiento de un cuerpo rígido no cae dentro de otras categorías, éste esdeterminado como movimiento en el plano.3.2 TRASLACIÓNCuando un cuerpo rígido está en traslación, todos los puntos del cuerpo tienen la mismavelocidad y la misma aceleración en cualquier instante dado. En el caso de traslacióncurvilínea, la velocidad y aceleración cambian en dirección y en magnitud. Movimiento de traslaciónConsiderando los puntos A y B sobre el cuerpo rígido mostrado, se cumple la siguienterelación entre las posiciones respecto a un sistema de coordenadas fijo:
  • 6. Como el vector mantiene una dirección y magnitud constante durante la traslaciónya que A y B permanecen en el mismo cuerpo rígido, la derivada dePor lo tanto:En el caso de traslación rectilínea todas las partículas del cuerpo se mueven a lo largo delíneas rectas paralelas y su velocidad y aceleración se mantienen en la misma aceleracióndurante el tiempo completo.3.3 ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJOLa relación entre velocidad, posición y aceleración para la rotación en un eje fijo puede serdemostrada en términos tridimensionales, o un acontecimiento plano. La presentacióngeneral proporciona un entorno fundamental para entender la presentación plana.
  • 7. 3.3.1 Rotación de una placa representativaLa rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo puede definirse mediante elmovimiento de una placa representativa en un plano de referencia perpendicular al eje derotación. El plano xy es el plano de referencia, y el eje de giro es el eje z perpendicular alplano xy.El vector velocidad angular w tiene la dirección k en el eje z positivo cuando gire ensentido anti horario.Por definición la velocidad de cualquier punto de la placa, está dada por el productovectorial:Puesto que r y k son perpendiculares, la magnitud de la velocidad v es:La dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria que forma la partícula en elmovimiento de rotación. Es decir a 90° de la dirección del radio en el sentido demovimiento.
  • 8. De igual manera el vector velocidad angular α tiene la dirección k en el eje z positivocuando gire en sentido anti horario.Por definición la aceleración tangencial de cualquier punto de la placa, está dada por elproducto vectorial:Puesto que r y k son perpendiculares, la magnitud de la aceleración tangencial es:La aceleración centrípeta o normal se define como el producto de:El módulo de la aceleración normal es:La dirección de la aceleración normal es siempre hacia el centro de rotación, es deciropuesta a la dirección radial.El vector aceleración total del movimiento de rotación es:
  • 9. 3.3.2 ECUACIONES QUE DEFINEN EL MOVIMIENTO ALREDEDOR DE UN EJE FIJOComo un cuerpo rígido rota alrededor de algunos ejes fijos, la coordenada  angularcambia con el tiempo. La coordenada angular puede ser expresada como una función deltiempo t. La relación entre la coordenada angular, velocidad, aceleración y tiempo son:Dos casos particulares de rotación en un eje fijo son frecuentemente encontrados:Rotación Uniforme.- en caso de rotación uniforme la aceleración angular es cero. Por lotanto, solo una de las ecuaciones es aplicable. Integrando resulta:
  • 10. Rotación Uniformemente Acelerada.- en este caso la aceleración angular es constante.Por lo tanto, tres ecuaciones pueden ser derivadas para dicho movimiento:Recuerde que estas ecuaciones son solo aplicables cuando la aceleración angular esconstante. Para otras situaciones se tiene que integrar de las anteriores.
  • 11. Para el caso de cuerpos rígidos en tres dimensiones se deberá tomar en cuenta un análisisvectorial de las variables posición, velocidad y aceleración.
  • 12. La aceleración angular de un eje (flecha) se define mediante la relación α=-0.25ω, donde αse expresa en rad/s2 y ω en rad/s. Si se sabe que en t=0 la velocidad angular del eje es 20rad/s, determine:a) el número de revoluciones que el eje ejecutará antes de detenerseb) el tiempo requerido para que el eje se detengac) el tiempo necesario para que la velocidad angular del eje se reduzca hasta el 1% de suvalor inicial.La varilla doblada ABCDE gira alrededor de unalínea que une los puntos A y E con unavelocidad angular constante de 9 rad/s. Si sesabe que la rotación es en el sentido de lasmanecillas del reloj según se observa desde E,determinar la velocidad y aceleración de laesquina C. Una serie de pequeños componentes de máquina se mueven por medio de una banda transportadora que pasa sobre una polea guía de 6 in de radio. En el instante que se muestra, la velocidad del punto A es 15 in/s hacia la izquierda, y su aceleración es de 9 in/s2 hacia la derecha. Determine:a) la velocidad angular y la aceleración angular de la polea guíab) la aceleración total de los componentes de máquina en B.Una polea y dos cargas se conectan mediante cuerdasinextensibles como se muestra en la figura. La carga A tiene unaaceleración constante de 300 mm/s2 y una velocidad inicial de240 mm/s, ambas dirigidas hacia arriba. Determine:a) el número de revoluciones ejecutadas por la polea en 3s.b) la velocidad y la posición de la carga B después de 3s.c) la aceleración del punto D sobre el aro de la polea en eltiempo t=0.
  • 13. 3.4 MOVIMIENTO PLANO GENERALEl movimiento plano general es un movimiento que puede ser modelado como unacombinación de dos tipos de movimientos. El movimiento general en el plano es la sumade la traslación pura y la rotación en un eje fijo.
  • 14. 3.4.1 Velocidad absoluta y velocidad relativa en el movimiento planoSegún el análisis gráfico del movimiento plano que se presenta, se puede deducir que:Donde r es la distancia de A a B.Para el movimiento de varillas:Suponiendo que se conoce la velocidad se propone encontrar la velocidad y lavelocidad angular de la varilla, la longitud y el ángulo .Se escoge al punto A como punto de referencia y se expresa que el movimiento dado esequivalente a la traslación con A y una rotación simultanea alrededor de A.
  • 15. Tomemos en cuenta que se desconoce la dirección de pero se conoce la dirección de , con lo que se puede completar el diagrama de velocidades del sistema.Al despejar las magnitudes de y utilizando el triángulo de velocidades, se tiene:El mismo resultado se consigue utilizando B como punto de referencia, de manera que:Nota: La velocidad angular de un cuerpo rígido en movimiento plano es independientedel punto de referencia.
  • 16. Mecanismo con cremallera inferior fija Movimiento planoMovimiento de mecanismo biela - manivela Movimiento de rotación Movimiento plano
  • 17. 3.4.2 PROCEDIMIENTO PARA LA SOLUCIÓNLos problemas generalmente se encuentran considerando las velocidades absolutas yrelativas que se requieren de ambas en el modelo, y resolver para una o más incógnitas.Subsecuentemente se consideran sólo problemas en el plano, pueden determinarse sólodos incógnitas para un problema dado. Un aspecto importante de tales problemas esreconocer que generalmente las soluciones requeridas para un momento específicodurante el movimiento del cuerpo, o cuerpos conectados. En estosinstantes la geometría juega un papel importante determinando larespuesta correcta. El sistema de barras fijas mostrado está librepara girar. Durante el movimiento existen cambios de posición delpasador B y C, así como en la orientación de la barra BC. Durante elmovimiento, y a cualquier momento dado, cada barra puede teneruna velocidad angular única.Al modelar el sistema definido por la declaración del problema, un diagrama es esencialpara observar la dirección de las velocidades en puntos discretos. 1. Identificar las incógnitas. 2. Determinar los tipos de movimiento involucrados en el problema. Para este ejemplo, barras AB y DC realizan rotación en un eje fijo. La barra BC tiene movimiento plano general. 3. La velocidad angular de las barras es explícitamente conocida de la declaración del problema, o debe asumirse. Si se asume una dirección incorrecta, la respuesta resultaránegativa4. Indicar velocidades conocidas en el diagrama. Para este ejemplo las velocidadesabsolutas a los puntos A y D son de cero. Ya que las barras AB y DC realizan rotación sobreun eje fijo, las velocidades absolutas en los puntos B y C se pueden encontrar. Sus
  • 18. magnitudes y direcciones dependen de las longitudes de las barras AB y DC, así como lasvelocidades angulares.5. El modelo para la barra BC puede ahora ser usada para establecer las relaciones entrelas velocidades absolutas en los puntos B y C y la velocidad relativa entre los dos puntos.Pueden usarse dos posibles modelos. En cualquier modelo, el ángulo θ y la longitud de BCson conocidos. Cualquier modelo puede usarse. Los dos rendirán los mismos resultados.No más de dos incógnitas pueden determinarse.
  • 19. El collarín A se mueve hacia arriba con una velocidad constante de 1.2 m/s. En el instante mostrado cuando , determine: a) la velocidad angular de la varilla AB b) la velocidad del collarín BEl brazo ACB gira alrededor del punto C con unavelocidad angular de 40 rad/s en sentido contrario alas manecillas del reloj. Por medio de pasadoresinsertados en sus centros, dos discos de fricción A yB se montan sobre el brazo ACB como se muestra enla figura. Si los dos discos ruedan sin deslizarse enlas superficies de contacto, determine:a) la velocidad angular del disco Ab) la velocidad angular del disco B En la posición mostrada, la barra AB tiene aceleración angular nula y una velocidad angular constante de 20 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine: a) la velocidad angular del elemento BDH b) la velocidad del punto H
  • 20. 3.5 CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN EN EL MOVIMIENTO PLANOConsiderando el movimiento plano general de una placa.El movimiento plano general de una placa puede sustituirse como una combinación de latraslación definida por el movimiento de un punto arbitrario A, y la rotación sobre un ejefijo que pasa por A.La traslación se caracteriza por la velocidad del punto de referencia A, y la rotación secaracteriza por la velocidad angular del cuerpo rígido que es independiente del punto dereferencia que se escoja. Por lo tanto la velocidad y la velocidad angular definen porcompleto todas las demás velocidades de la placa.Suponiendo que se conocen y , estas velocidades podrían obtenerse dejando que laplaca gire con la velocidad angular alrededor de un punto C ubicado sobre laperpendicular a la velocidad a una distancia desde A. Por lo tanto la placaparece girar alrededor del centro instantáneo C en ese instante considerado.
  • 21. Eje de rotación instantáneo.- Eje perpendicular al plano sobre el punto C, sobre el cual lavelocidad de las diferentes partículas de la placa es la misma como que si la placa giraraalrededor de dicho eje.Determinación del centro instantáneo de rotación:a) Conociendo las direcciones de las velocidades absolutas de dos partículas A y B, siendoestas diferentes, el centro instantáneo de rotación C se obtiene dibujandoperpendiculares a las velocidades y a través de los puntos A y B respectivamente. Elpunto de intersección de estas rectas perpendiculares determina el centro instantáneo derotación C.
  • 22. Nota: Si las velocidades y fueran paralelas, el centro instantáneo de rotación Cestaría a una distancia infinita y sería cero. Todos los puntos de la placa tendrían lamisma velocidad resultando un movimiento de traslación pura.b) Si se conocen las magnitudes las velocidades y de los puntos A y B, y éstas sonperpendiculares a la línea AB, el centro instantáneo de rotación puede encontrarseintersecando la línea AB con la línea que une los extremos de los vectores y .Nota: Si las velocidades y fueran iguales, el centro instantáneo de rotación C estaríaa una distancia infinita y sería cero. Todos los puntos de la placa tendrían la mismavelocidad resultando un movimiento de traslación pura.NOTA: La velocidad en el punto C es cero. Debido a esto, el punto C a veces se lo llama elcentro instantáneo de velocidad cero.Aplicando la teoría de centro instantáneo de rotación se puede analizar la siguiente varillaconociendo la .
  • 23. Mecanismo con cremallera inferior fijaEn este método de cálculo solo intervienen las velocidades absolutas de los puntos deinterés.
  • 24. Movimiento de mecanismo biela – manivelaConsulta:¿Qué es la centroda corporal y la centroda espacial?Si se sabe que en el instante mostrado, la velocidad angular de la varilla AB es de 15 rad/sen el sentido de las manecillas del reloj, determine:a) La velocidad angular de la varilla BDb) La velocidad del punto medio de la varilla BD
  • 25. Un tambor de 3 in de radio se une de manera rígida aun tambor de 5 in de radio en laforma que se indica. Uno de los tambores rueda sin deslizarse sobre la otra superficiemostrada y una cuerda se enrolla alrededor del otro tambor. Si se sabe que el extremo Ede la cuerda se hala hacia la izquierda con una velocidad de 6 in/s, determine:a) la velocidad angular de los tamboresb) la velocidad del centro de los tamboresc) la longitud de la cuerda en rollada o desenrollada por segundo.El brazo ABD se une mediante pasadores a un collarín en B y a la manivela DE. Si lavelocidad del collarín B es de 400 mm/s hacia arriba, determinar:a) La velocidad angular del brazo ABDb) La velocidad del punto A
  • 26. Dos varillas AB y DE están conectadas como se indica en la figura. Si el punto D se muevehacia la izquierda con una velocidad de 40 in/s , determine:a) La velocidad angular de cada varillab) La velocidad del punto A
  • 27. 3.6 ACELERACIÓN ABSOLUTA Y RELATIVA EN EL MOVIMIENTO PLANOVectorialmente:Escalarmente:Conociendo la velocidad y la aceleración , se determina la aceleración y laaceleración angular de la varilla. Al elegir a A como punto de referencia, se expresa queel movimiento dado es equivalente a una traslación con A y a una rotación alrededor de A.La aceleración absoluta de B debe ser igual a la suma:
  • 28. Dirigida hacia A Perpendicular a ABSi se conoce que se dirige hacia la derecha y hacia la derecha:Si se conoce que se dirige hacia la izquierda y hacia la izquierda:
  • 29. 3.6.1 Análisis del movimiento plano en términos de un parámetro
  • 30. Para el mecanismo biela – manivela se tiene la velocidad angular constante de AB de20000 rpm y se pide calcular la aceleración angular de la biela y la aceleración del pistón.
  • 31. La barra BDE está unida a dos eslabones AB y CD. Si en el instante que se muestra eleslabón AB tiene una aceleración angular nula y una velocidad angular de 3 rad/s en elsentido de las manecillas del reloj. Determine:a) La aceleración del punto Db) La aceleración del punto E
  • 32. El tambor de 150 mm de radio rueda sin deslizarse sobre una banda que se mueve hacia laizquierda con una velocidad constante de 300 mm/s. En el instante en que la velocidad yla aceleración del centro D del tambor son como se muestra, determine las aceleracionesde los puntos A,B y C del tambor.Si se sabe que en el instante mostrado la barra AB tiene una velocidad angular constantede 6 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj, determine:a) La aceleración del punto Db) La aceleración angular del elemento BDEc) La aceleración del punto E