Números naturales
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  • 1. Números naturalesSistema decimal de numeraciónEmplea diez símbolos y agrupa los elementos de diez en diezLos símbolos son:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9Unidades 1-5-4sueltas1er orden 10 unidades forman 1decena2do orden 100 u → 10 decenas → 1 centena3er orden 1000 u →100 decenas → 1 unidad de mil4to orden 10000 u → 1000 decenas → 1 decena de mil5to orden 100000 u → 10000 decenas → 1 centena de mil6to orden 1000000 u → 100000 decenas → 1 unidad de millónValor absoluto y valor relativoValor absoluto es el número de unidades que la cifra tiene por sí sola.Valor relativo es el que tiene la cifra de acuerdo con el lugar que ocupa en el número.Ejemplo:924 4 854Valores absolutos Valores absolutos
  • 2. 4 unidades 4 unidades2 unidades 5 unidades9 unidades 8 unidades 4 unidadesValor relativo Valor relativo4 unidades simples 4 unidades simples2 decenas simples 5 decenas simples9 centenas simples 8 centenas simples 4 unidades de mil Billones Millones UnidadesMil de billones Billones Mil de millones Millones De mil Simplesc d u c d u c d u c d u c d u c d uSetecientos veinte mil trescientos dieciocho 7 2 0 3 1 8Nueve millones cuatrocientos cincuenta y tres mil seis 9 4 5 3 0 0 6Doscientos cuatro millones cinco mil setecientos 2 0 4 0 0 5 7 5 3cincuenta y tresCuatro mil doscientos veinticuatro millones 4 2 2 4 0 0 0 8 2 5ochocientos veinticincoNovecientos ocho milseiscientos setenta millones 9 0 8 6 7 0 0 1 5 3 7 0quince mil trescientos sesentaSiete billones quinientoscuarenta y tres mil 7 5 4 3 0 0 0 6 0 4 2 0 7millones seiscientoscuatro mil doscientos sieteNombre correcto de algunos númerosDe 10 a 19
  • 3. Diez - veintiuno - once - doce - trece - catorce - quince - dieciséis - diecisiete - dieciocho -diecinueveDe 20 a 29Veinte - veintiuno .veintidós - veintitrés - veinticuatro - veinticinco - veintiséis -veintisiete - veintiocho - veintinueveDe 30 a 99 se escriben dos palabras separadas por la letra "y".34, treinta y cuatro; 87, ochenta y siete.De 100 a 999 se escribe el nombre de las centenas y seguidamente el nombre del númeroformado por las otras dos cifras.184, ciento ochenta y cuatro; 805, ochocientos cinco.1 000 000 se lee un millón1 000 000 000 000 se lee un billón.Composición y descomposición de números naturalesComponer5 billones + 9 decenas de millón + 5 centenas de mil + 2 unidades simples =5 000 000 000 000 90 000 000 500 000 2 5 000 090 500 002 Se lee: cinco billones noventa millones quinientos mildosComposición polinómica5 . 1012 + 9 . 10 7+ 5 . 105 + 2 . 100 = 5.000.090.500.002Descomponer352.016 = 6 u + 1 d + 2u de mil + 5d de mil + 3c de mil
  • 4. 352.016 = 6.10 0+ 1.101 +0.102 + 2.103 + 5.10 4+ 3.10 5Operaciones con números naturalesAdición de varios números naturales5 + 3 + 8 +1 = Los números 5, 3, 8 y 1 se llaman sumandos o términos. 8+ 8 + 1 = 16 + 1 = 17 El número 17 se llama sumaSe suman los dos primeros ,el resultado se suma con el tercero.el nuevo resultado con elcuarto y así sucesivamente.Resta de números naturales Prueba 584 231- 231 + 353 353 584El número 584 se llama minuendo, el 231 sustraendo. Ambos números son los términosde la resta. El resultado 353, es la diferencia.Multiplicación Prueba 823 205 x 205 x 823 4115 615 16 460 410 168715 1640 168715 Cambiando el orden de los factores no se altera el producto
  • 5. El número 823 se llama multiplicando y el 205, multiplicador.Ambos números también se llaman factores.El resultado 168715, es el producto.DivisiónEl número 982 se llama dividendo; 23, divisor; 42, cociente; y 16 resto .Cuando el resto es 0, la división es exacta.La división también se puede indicar982 : 23 = 982 = 23Propiedades de los números naturalesSumas algebraica: toda operación que combina sumas y resta, es una suma algebraica20 + 5 - 3 - 2 + 1 - 4 =25 - 3 - 2 + 1 - 4=22 - 2 + 1 - 4 =20 + 1 - 4 =21 - 4 = 17Uso de paréntesis{ [ ( 50- 8 ) - 2 ] + 5 } - 1 =Debe resolverse primero la operación encerrada entre paréntesis,luego la encerradaentre corchetes y por último la encerrada entre llaves.La colocación de unparéntesis(corchete o llave) puede cambiar la operación
  • 6. Ejemplo:8 - 2 + 4 = 10Si se coloca un paréntesis así:(8-2)+4=6 + 4 = 10 Si se coloca un paréntesis así:8 - ( 2 + 4 )=8-6=2El paréntesis debe ser respetado, resolviendo la operación que encierra para no alterar elresultado del ejercicio.{ [ ( 50- 8 ) - 2 ] + 5 } - 1 ={ [ 42 - 2] + 5 } - 1 ={ 40 + 5} - 1 =45 - 1 = 44Números racionalesNúmeros naturales Números enteros Números negativos Números fraccionarios puros Fracción Número decimal1/4 propia es siempre < 1 1 : 4 = 0,257/2 impropia es siempre > 7 : 2 = 3, 511 / 10 es decimal 1: 10 = 0,11/9 periódica 1: 9 = 0,11111........Números fraccionarios purosEl número fraccionario puro es un cociente entre dosnúmeros enteros , distintos de ceroy tales que el dividendo no sea múltiplo del divisor.Fracción pura :1 numerador Siempre es < 1. 1: 4 = 0,25 4 denominadorFracción impura :5 numerador Siempre es > 1 5: 2 = 2,5 2 denominador
  • 7. Fracción aparente :8 numerador es múltiplo del denominador 8:4=2 4 denominadorFracción decimal : 1 ; 5 ; 7 10 100 1000Números decimalesRepresentar en la recta numérica1/4 - 3/4 - 4/4 - 9/4 - 12/4____,____,____,____,____,____,___,____,____,____,____,____,______________ 1/4 3/4 4/4 8/4 9/4 12/4 1 2 3Suma de fracciones de igual denominadora) 2/7 + 4/7 = 6/7Sumo los numeradores Dejo el mismo denominador 2+4=6 7b) 2/9 +5/9 + 1/9= 8/9Sumo los numeradores Dejo el mismo denominador 2+5+1=8 9Suma de fracciones con distinto denominador 3/4 + 1/6 =Factoreom.c.m = 2 2 . 3 = 12 Divido 12 ( m.c.m) por cada uno de los denominadores 12 : 4 = 3.3 = 9 12 : 6 = 2.1 = 2 9 /12 + 2 /12 = 11 /12
  • 8. Número mixto 23/5De número mixto a fracción 5.2 + 3 = 13/ 5De fracción a número mixto 13 : 5 = 2 resto = 3Resta de números fraccionariosDe igual de nominador 2/4 - 1/4 = 1/ 4De diferente denominador 2 /3 - 1/4 = 8/12 - 3/12 = 5 /12Encuentro m.c.m entre 3 y 4 = 12 12: 3 = 4 4.2=8 12 : 4 = 3 3.1=3Mínimo común múltiplo :m.c.mMultiplico los números comunes y no comunes con su mayor exponente.Máximo común divisor :d.c.mMultiplico los números comunes con su menor exponente.Divisibilidad
  • 9. Factorizar6:23:31:16 = 2 .3 . 1 [el número 6 expresado en sus factores primos]9:33:31:19 = 32 . 1 [ el número 9 expresado en sus factores primos]Multiplicación División → 5 . 4 = 20 5 : 4 = 35 3 7 21 3 7 12 a) 5 .7 = 35 4 .3 12 b) 5 . 7 = 35 3 4 12Simplificación 9 . 14 = 9: 3 . 14 :2= 3 . 7 = 21 : 3 = 7
  • 10. 16 27 16: 2 27 :3 8.9 72 :3 24 Ampliación o fracción equivalente 1 . 2 = 2 . 3= 3 2 2 4 3 6En la simplificación puedo dividir por un mismo número En la división solo puedo:numerador y denominador de distintas fracciones, dividir por un mismo númerosolo una vez y por un mismo número. al numerador y denominador de una misma fracción. Si aplico la regla de invertir la segunda fracción: 24 . 12 = 36 15 ya puedo simplificar como en la multiplicación. Radicación Propiedad distributiva / 81/100 . 9/4 =( Se aplica con la multiplicación y división ) 9/10 . 3/2 = 27/20Raíz de índice par y radicando positivo tienen 2 resultados, √ 16/9 =que son 2 números opuestos. 4/ 3 y - 4/3Raíz de índice impar y radicando positivo tiene resultado 3positivo √ 27/8 = 3/2
  • 11. 3 √ - 27/8 = Raíz de índice impar y radicando negativo resultado negativo. - 3/2 Raíz de índice par y radicando negativo carece de solución en el campo de los números racionales. √ - 4/9 =∃ Se simplifican la raíz y la potencia . (√ 1/4 )2 = 1/4 . PotenciaciónPotencia 0 ( 5/8 ) 0 = 1Potencia 1 ( 5/8 )1 = 5/8 ( 5/8 ) - 1 = 8/5Potencia negativa ( 5/8 )- 2 = ( 8/5 )2 = 64/25 ( - 5/3 )- 2 = (-3/5)2=9/25Base y exponente negativo (-2/3)-3= (-3/2)3= - 9/4Base negativa, exponente par es siempre positivo (-3/5)2=9/25Base negativa exponente impar es siempre negativo (-3/5)3Producto de potencias de igual base 1/4 . ( 1/4 )2 = 1/4(1+2)= 1/43 = 1/64División de potencias de igual base ( 1/3 ) 7 : ( 1/3 )2 = 1/3 (7 - 2) = 1/3 5Potencia de potencia [ ( 1/2 )2 ] 3= 1/2(2×3) = 1/26 Números decimales Número Fracción decimal 1/4 propia es siempre < 1 1 ÷ 4 = 0,25 7/2 impropia es siempre > 1 7 ÷ 2 = 3,5 8/2 aparente 8÷2=4 1/10 decimal 1 ÷ 10 = 0,1 1÷ 9 = 1/9 periódica 0,11111........
  • 12. Lectura de números decimales2, 124....................... dos enteros , ciento veinticuatro milésimos15, 4............................. quince enteros , cuatro décimos18, 35.......................... dieciocho, treinta y cinco centésimosFracciones decimales 1/10 1/100 1/100 un décimo un centésimo un milésimoLa fracción decimal 8/10 puede representarse por un número decimal8/10 ocho décimos------------------------------------------0,8 cero enteros,ocho décimosCada cifra escrita inmediatamente a la derecha de la coma pertenece a la parte decimalde nuestro sistema de numeración y representa unidades diez veces menores.4,97624 = 4 + 0,9 + 0,07 + 0,006 + 0,0002 + 0,00004En todo número decimal los ceros agregados a la derecha de la última cifra significativano alteran su valor:0,47 = 0,470 = 0,4700 = son números decimales equivalentes.Adición 0,8 + 2,25 + 4,129 = 0,8 + 2,25 4,129 _____________ 7,179Sustracción 9,5 - 0,028 = 9,500
  • 13. 0,028 _______ 9,472Multiplicación por la unidad seguida de ceros 5,29 x 10 = 52,9 5,29 x 100 = 529División por la unidad seguida de ceros 5,29 : 10 = 0,529 5,29 : 100 = 0,0529Multiplicación 5,8 1 lugar decimal x 0,008 3 lugares decimales ______ 0,0464 4 lugares decimalesDivisión 0,675 : 0,32 = 67,5 |__32___ 035 2,109 0300 12Como el divisor tiene dos lugares decimales y conviene que quede espresadocom númeroentero,se multiplican dividendo y divisor por 100. 0,675 x 100 = 67,5 0,32 x 100 = 32Potencia de base 10 100 1
  • 14. 101 10 102 100 103 1000 104 10000 105 100000 6 10 1000000 100 1 10-1 0,1 10-2 0,01 10-3 0,001 10-4 0,0001 10-5 0,00001 10-6 0,000001Composición polinómica de un número8. 104 + 5. 102 + 3. 101 + 2 . 100 + 7. 10-2 =8. 10.000 + 5 . 100 + 3. 10 + 2. 1 + 7. 0,01=80.000 + 500 + 30 + 2 + 0,07 = 80.532,07Transformar un número decimal en fracción decimal0,37 ( se lee cero entero treinta y siete centésimos) = 37/100 ( se lee treinta y sietecentésimos )Transformar una fracción decimal en número decimal145/10 ( se lee ciento cuarenta y cinco décimos ) = 14,5 ( se lee 14 enteros cinco décimos)Notación cientifica Número Notación científica 450.000 4,5 . 105
  • 15. 0,008543 8,543 . 10-3 50.000 5. 104 0,00009 9 . 10-5Números RealesEl conjunto de números racionales y el de los irracionales constituye el conjunto de losnúmeros reales.√2= 1,41421356237309............... no es una expresión decimal periódica, no puedeexpresarse como un número racional.Número irracional : Son números de infinitas cifras decimales no periódicas y que enconsecuencia no pueden representarse por un número racional.Entre los números irracionales se encuentran las raíces cuadradas de los números queno son cuadrados perfectos , el número π que establece larelación entre la longitud de lacircunferencia y su diámetro y el número e que se eligió como base en los primerossitemas de logaritmos. π = 3,14159265358979 ............. e = 2,71828182845904............Operaciones con números realesPropiedades de la radicaciónReducir a mínimo común índice6 √a5 ;4√2 y 3√x2El m.c.m de los índices 6, 4 y 3 es 12. Luego, 12 es el mínimo común índice buscado.Como 12 ÷ 6 = 2. Luego el exponente de multiplicarse también por 26 √a5 = 6.2 √a5.2 = 12 √a10
  • 16. Como 12 ÷ 4 = 34 3.4 1.3 12 √2 = √2 = √23Como 12÷ 3 = 43 √x2 = 4.3 √x4.2= 12 √28Extraer los factores fuera del radicalSe realiza el cociente entre el exponente del número o letra que se está dentro de la raíz yel índice de la raíz.Introducción de factores dentro del radicalSe realiza la multiplicación entre el exponente del factor que se desea introducir y elíndice de la raízx2 3 √a ==Multiplicación de radicalesSe reduce a mínimo común índice los radicales. En este caso: 2 . 3 = 6
  • 17. División de radicalesEl m.c.m es de 4 y 6 es 12Al tener ambas el mismo esponente, se dividen:Racionalización1) a5 √x2 a 5√x3 a . 5√x3 a 5√x3 a 5√x3________ = _________ = _______ = __________5 √x2. 5√x3 5 √x2. x3 5 √x5 x2) 2√5 - 1
  • 18. 2 .( √5 + 1 ) = 2√5 + 2 = 2√5 + 2 = 2√5 + 2________________ ____________ ________________(√5 - 1 ) . ( √5 + 1 ) (√5 )2 - ( 1 )2 5-1 4__↑diferencia de cuadrados_Simplificando 2√5 + 2 = √5 + 1 2 2Números complejosNúmeros complejos C : En los números reales no hay solución de por ejemplo √-25 porque -5 .--5 = +25 5 . 5 = +25Para resolver estas operaciones se amplia el conjunto de los números introduciendonuevos números llamados imaginarios.Número racional : a/b en orden y siendo b diferente de 0 ,determinan el númerofraccionario a/b,del cual el primer número a es el numerador y el segundo número b esel denominador.Análogamente, un par de números reales a y b, dados en un cierto orden, definen unnúmero complejo que se representa ( a ; b ), del cual el primer número a se llamacomponente real, y el segundo b,componente imaginaria. ( -1 ; 4 )La componente real es -1 y la componente imaginaria es 4Los números imaginarios se representan por la componente imaginaria seguida de launidad imaginaria iAdición de números complejos:
  • 19. Se llama suma de dos o más números complejos al complejo que tiene como componentereal la suma de las componentes reales y como componente imaginaria la suma de lascomponentes imaginarias de los números sumandos.Suma = ( 2 ; 3 ) + ( 4; 5 ) =[ ( 2 + 4 ) ; ( 3 +5 )] = (6 ; 8 )Representar en forma binómica( 2/3 ; 5 ) = ( 2/3 + 5i ) ( 1/3 ; -2 ) = ( 1/3 - 2i)Complejos conjugados : Son iguales en valor absoluto tanto reales como imaginarios,pero éstos últimos tienendiferente signo.Suma (3 + 2i ) + (3 - 2i ) = 3 +3 = 2.3 Su resultado es el DUPLO REALResta ( 3 + 2i ) - ( 3 - 2i ) = 2i+2i = 2.2 = 4i Su resultado es DUPLO IMAGINARIOPotencia de números complejos i0 = 1 i4 = 1 i8 = 1 i1 = i i5 = i i9 = i i2 = -1 i6 = - 1 i10= -1 i3= - i i7= - i i11 = - iMultiplicaciónProducto de una unidad imaginaria( 2 + 4i ) .( 1 - 2i ) = Se aplica propiedad distributiva( 2 . 1 ) + ( 2 . - 2i ) + ( 4i . 1 ) + ( 4i . - 2i ) = 2 4i + 4i + 4i2= 2+4.-1= 2 - 4 = -3Complejosconjugados :El producto de dos complejos conjugados es igual a la suma de los cuadrados de las doscomponentes
  • 20. ( 3 + 2i ) . ( 3 - 2i ) = ( 3 )2 - ( 2i )2 = 9 - 4i2 = 9 - 4 . -1 = 9 + 4 = 13Aplicandopropiedaddistributiva( 3 + 2i ) . ( 3 - 2i ) =( 3 . 3 ) + ( 3 . - 2i ) + ( 2i . 3 )+ ( 2i . - 2i ) = 9 - 6i + 6i - - 4i2 = 9 - 4 . - 1= 9 + 4 = 13Ejemplo de no conjugado( 3 + 2i ) . ( 4 - 3i ) =( 3 . 4) + ( 3.- 3i ) + ( 2i . 4 )+ ( 2 i. - 3i ) = 12 - 9i +8i - 6i = 12 -9i + 8i - 6 .(- 1)= 12 - i + 6 = ( 18 - i )División de números complejos 5 - 2i = 4 + 3i ( 5 - 2i ) . ( 4 - 3i )= ( 4 + 3i) . ( 4 - 3i ) 20 - 8i - 15i + 6i2 = 42 + 32 20 - 8i - 15i - 6 = 16 + 9 14 - 23i = 25
  • 21. ( 14/25 - 23/25i )Raíces de índice par de números negativos√-25 no tenía solución en el conjunto de los números reales, pero al considerar losnúmeros complejos este problema queda resuelto. √-25 = + 5 y - 5 + 5i . + 5i = ( 5i )2 = 25i2 = -25 - 5i . - 5i = ( - 5i )2 = 25i2= - 25Representación geométrica o gráfica de los números ComplejosA cada complejo le corresponde el punto del plano cuya abscisa es la componente real ysu ordenada la componente imaginaria.1) Al número complejo ( - 3; 2 ) = - 3 + 2i le corresponde el punto A de abscisa - 3 yordenada 22) A todo número imaginario que tiene componente real 0, tiene el punto que lecorresponde sobre el eje de las ordenadas:a) ( 0 ; 3) = 3i le corresponde el punto Bb) ( 0 ; - 2 ) = - 2i le corresponde el punto Cc) (0 ; 1) = 1i le corresponde el punto U3) Todos los números reales, que son complejos que tienen componente imaginaria 0,están representados por el eje de las xa) ( 5 ; 0 ) = 5 le corresponde el punto D.Forma polar trigonométrica
  • 22. Si se considera el vector que tiene por origen O de coordenadas ypor estremo el punto P, es decir ,semirrecta OP, el módulo de este vector se llama módulodel complejo ( a ; b ).Lo denominamos módulo δ de ( a ; b )El ángulo que forma dicho vector con el semieje positivo de las x en el sentido contrarioa las agujas del reloj, en este caso ω, se llama argumento del número complejo ( a ; b )Se tiene que: cos ω = a ⇒a= δ. cos ω δ senω = a ⇒b= δ. senω δ bi = δ. sen ω i Sumando miembro a miembro [ 1 ] y [ 2 ] a + bi = δ. cosω + δ. senω Sacando factor común: a + bi = δ.( cosω + i senω )Ejemplo:a = √3 y b=1
  • 23. + √4 = + 2 cos ω = √3 2 sen ω = 1 2 ⇒ ω = 30º La forma trigonométrica del número complejo dado: √3 + i = 2 ( cos 30º + i sen 30º )ConjuntosEs un grupo de elementos que tienen una característica común.Por ejemplo:Un conjunto de lápices.Un conjunto de flores.Un conjunto de países.ComprensiónUn conjunto está definido por comprensión cuando se da un criterio que permite decidirsi un elemento pertenece o no al conjunto. Notas musicales Vocales Libros de historiaExtensiónUn comjunto está definido por extensión cuando se nombran cada uno de sus elementos.
  • 24. Do - Re - Mi - Fa - Sol - La - Si a-e-i-o-uLenguaje simbólicoPara representar por símbolos los conjuntos, los elementos y la relación de pertenenciase tiene en cuenta las siguientes convenciones: Los elementos que forman un conjunto se encierran entre llaves. Los conjuntos se designan con letra mayúscula de imprenta. A = { do, re, mi, fa, sol, la, si} se lee: "A es igual al conjunto formado por do, re, mi, fa, sol, la, si" Los elementos se designan con letras minúsculas. a = do b = re c = mi d = fa e= sol f = la g = si A = { a, b, c, d, e, f, g} Mientras trabajamos con este conjunto a, b, c, d, e, f, g mantienen siempre el mismo significado a designa sólo a do y g sólo a si, a - b - c - d - e - f - g, son constantes. Para indicar que un elemento pertenece al conjunto se escribe:∈ Para indicar que no pertenece al conjunto se escribe:Lenguaje gráfico Los conjuntos se representan por un curva cerrada. Los elementos que pertenecen al conjunto se representan por puntos interiores a la curva. Los elementos que no pertenecen al conjunto se representan por puntos exteriores a la curva. Ningún punto se representa sobre la curva.Diagrama de VennComjuntos infinitos
  • 25. A = { los peces del mar}B= { los números impares}C = {las estrellas del universo}Conjuntos según el número de elementosA tiene 3 elementos→ A es una TernaB tiene 2 elementos → A es un ParC tiene 1 elemento →C es un Conjunto UnitarioD no tiene elementos →D es un Conjunto VacíoConjunto vacíoDefinir un conjunto vacío por comprensión equivale a enunciar una propiedad que no escumplida por ningún elemento.Z = {vacas que vuelan}T = { peces que corren en la pradera}Z={Ø}T= {Ø}Conjunto referencial o universalEs el conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia.Paralelogramo, trapecio, rectángulo, rombo, romboide, cuadrado.El referencial = {cuadriláteros}Si el universal es:{x/x es un número menor o igual que 50}"No existen" los números 51 - 70 ó 94, ningún punto puede representarse fuera deldiagrama de referencia.Ejemplo:
  • 26. U = {x/x es una flor}A = {es un clavel}Los siguientes elementos:a = clavelb = rosac = gusanoaε Abε AEl gusano no tiene sentido representarlo porque no es flor.ComplementoSe llama complemento de A al conjunto de elementos que no pertenecen a AEn símbolos---A = {x/x ε A}Si P = {vocales} = {a, e, i, o, u}y A = {vocales abiertas} = {a, e, o}entonces---A = {vocales cerradas} = {i, u}Conjuntos igualesCuando están formados por los mismos elementos.A = {alumnos que tocan la guitarra}
  • 27. A= {Molina, Gasparino, Baltazarre}B={alumnos que forman parte del equipo de natación}B= {Molina, Gasparino, Baltazarre}A=BPartes de un conjuntoInclusiónUn conjunto B está estrictamente incluído en un conjunto A si todo elemento de Bpertenece a A pero no existe por lo menos un elemento de A que no pertenece a B. B⊂ A B⊆ A B=AUn conjunto B está incluído en otro conjunto A si y sólo si todo elemento de B perteneceaAA = B ⇔→ x ε A ⇒ x ε B ⇒ A ⊆ BA = B ⇔→ x ε B ⇒ x ε A ⇒ B ⊆ ADos conjuntos A y B son iguales si y sólo si cada uno de ellos está incluído en el otro.A = B ⇔A ⊆ B y B ⊆ AEl conjunto vacío está incluído en todo conjuntoØ⊆APropiedades de la inclusión1) Propiedad reflexiva :A⊆A Todo conjunto está incluído en sí mismo.2) A ⊆B y B ⊆ A ⇒ A ≠ B
  • 28. A ⊆B y B ⊆A⇒ A = BA⊆ByB⊆A⇒A=B Propiedad antisimétricaA ⊆ By B ⊆ C⇒ A ⊆ C Propiedad transitivaDiferencia entre la relación de pertenencia y la relación de inclusiónLa relación de pertenencia vincula un elemento con un conjunto.La relación de inclusión vincula dos conjuntos.Ejemplo:D = {vocales} = {a, e, i, o, u}F= {vocales abiertas} = {a, e, o}G = {vocales cerradas} = {i, u}F⊂DC⊂DSi relacionamos elementos:aε A aεBiεAConjuntos de partes ASe llama potencial de A y se escribe: P(A)P(A)= {{a,b}, {a}, {b}, {Ø}}{a,b} → 1 par{a}, {b} → 2 conjuntos unitariosØ → 1 conjunto vacíoTotal 4 subconjuntos o partes de AOperaciones con conjuntos
  • 29. IntersecciónDe dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a Ay a B.A = {estudiantes de inglés}B = {estudiantes de francés}A ∩ B = {estudiantes de inglés y francés}Representación gráfica. Diagrama de Venn A ∩ B = { 2, 3 }Conjuntos disjuntosSi dos conjuntos no tienen elementos comunes la intersección es vacía.A = {a, b, c}B = {k, m}A ∩B = Ø no hay ningún elemento que pertenezca a A y a B.UniónEs el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B.A = {naranja, verde, azul}B = {amarillo, gris}A ∪ B = {naranja, verde, azul, amarillo, gris}
  • 30. DiferenciaEs el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.B - A = {4, 5}Diferencia simétricaEs el conjunto formado por todos los elementos que pertenenecen a A o a B pero no aambos.A Δ B = ( A - B) ∪(B - A)A ΔB = {1, 2, 4, 5}ComplementoEs el conjunto formado por todos los elementos que no pertenecen a A.----A=U-AU = {1, 2, 3, 4, 5, 6}A = {1, 2, 3}----A = {4, 5, 6}