Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Like this? Share it with your network

Share

Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

  • 273 views
Uploaded on

Μέρος πρώτο

Μέρος πρώτο

More in: Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
273
On Slideshare
273
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
7
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Γραμμικός προγραμματισμός 1 ΕΕιισσααγγωωγγήή
  • 2. • ΝΑ ελαχιστοποιήσουμε (ή να μεγιστοποιήσουμε) μια γραμμική συνάρτηση, κάτω από ένα σύνολο γραμμικών περιορισμών. • Το μοντέλο του ΓΠ αποτελείται από : – Ένα σύνολο μεταβλητών απόφασης (decision variables) – Μια συνάρτηση κόστους (objective function). – Ένα σύνολο περιορισμών. 2 ΕΕιισσααγγωωγγήή
  • 3. 3 ΣΣπποουυδδααιιόόττηητταα ΓΓΠΠ • Πολλά πραγματικά προβλήματα – μας οδηγούν σε μοντέλα ΓΠ – μπορούν να προσεγγισθούν με ΓΠ • Εφαρμογές σε διάφορες θεματικές περιοχές: – Βιομηχανία – Μάρκετινγκ – Επενδύσεις – Διαφήμιση – Γεωργία
  • 4. • Υπάρχουν αποδοτικές μέθοδοι επίλυσης μοντέλων ΓΠ • Τα αποτέλεσμα των λογισμικών πακέτων ΓΠ μπορούν να χρησιμοποιηθούν ποικιλοτρόπως 4 ΣΣπποουυδδααιιόόττηητταα ΓΓΠΠ
  • 5. 5 ΠΠααρρααδδοοχχέέςς μμοοννττέέλλωωνν ΓΓΠΠ • Οι τιμές των παραμέτρων είναι γνωστές με βεβαιότητα. • Η αντικειμενική συνάρτηση και οι περιορισμοί παρουσιάζουν σταθερές αποδόσεις κλίμακας. • Δεν υπάρχουν αλληλεπιδράσεις μεταξύ των μεταβλητών απόφασης. • Η υπόθεση συνέχειας: Οι μεταβλητές μπορεί να πάρουν οποιαδήποτε τιμή μέσα σε ένα δεδομένο εφικτό εύρος.
  • 6. 6 ΠΠααρράάδδεειιγγμμαα • Μια βιομηχανία παράγει δύο προϊόντα: – Π1. – Π2. • Διαθέτει – 1000 κιλά υλικού (πλαστικό). – 40 ώρες χρόνου παραγωγής την εβδομάδα.
  • 7. ΠΠααρράάδδεειιγγμμαα • Απαιτήσεις Marketing – Συνολική παραγωγή μικρότερη από 700 δωδεκάδες. – Πλήθος δωδεκάδων Π1 μπορεί να είναι το πολύ 350 7 περισσότερα από πλήθος των δωδεκάδων του Π2. • Τεχνολογικά δεδομένα – Η παραγωγή μια δωδεκάδας του Π1 απαιτεί 2 κιλά πλαστικό και 3’ παραγωγής. – Η του Π2 1 κιλό πλαστικό και 4’ παραγωγής.
  • 8. ΠΠααρράάδδεειιγγμμαα -- ΤΤοο ιισσχχύύωωνν ππλλάάννοο ππααρρααγγωωγγήήςς 8 • Aπαιτεί: – Όσο το δυνατόν μεγαλύτερη παραγωγή του πιο επικερδούς προϊόντος Π1 (κέρδος $8 στην δωδεκάδα). – Χρήση των υπολοίπων πόρων για την παραγωγή του Π2 κέρδος $8 στην δωδεκάδα), υπακούοντας τις απαιτήσεις του marketing. • Αποτελείται από: 8(450) + 5(100) Π1 = 450 δωδεκάδες Π2 = 100 δωδεκάδες Κέρδος = $4100 την εβδομάδα
  • 9. 9 Η διεύθυνση αναζητά ένα νέο πλάνο παραγωγής το οποίο θα αυξήσει το κέρδος της εταιρείας.
  • 10. 10 ΜΜοοννττέέλλοο ΓΓΠΠ • Μεταβλητές απόφασης:: – X1 = εβδομαδιαία παραγωγή Π1 (σε 12άδες) – X2 = εβδομαδιαία παραγωγή Π2 (σε 12άδες) • Συνάρτηση βελτιστοποίησης: – μεγιστοποίηση εβδομαδιαίου κέρδους
  • 11. 11 ΜΜοοννττέέλλοο ΓΓΠΠ max 8X1 + 5X2 (εβδομαδιαίο κέρδος) κάτω από τους εξής περιορισμούς 2X1 + 1X2 £ 1000 (Πρώτη ύλη ) 3X1 + 4X2 £ 2400 (Χρόνος παραγωγής) X1 + X2 £ 700 (Συνολική παραγωγή) X1 - X2 £ 350 (Ανάμειξη) Xj> = 0, j = 1,2 (Μη-αρνητικότητα)
  • 12. 12 ΓΓρρααφφιικκήή ααννάάλλυυσσηη μμοοννττέέλλοουυ ΓΓΠΠ Το σύνολο όλων των σημείων τα οποία ικανοποιούν όλους του περιορισμούς του μοντέλου ονομάζονται FFEEAASSIIBBLLEE RREEGGIIOONN
  • 13. 13 Η χρήση γραφικών μπορεί να αναπαραστήσει όλους του περιορισμούς, την συνάρτηση κόστους και τους τρείς τύπους εφικτών σημείων.
  • 14. 14 Μη-αρνητικότητα X2 X1 FFeeaassiibbllee RReeggiioonn
  • 15. 15 FFeeaassiibbllee RReeggiioonn 1000 Περιορισμός πρώτης ύλης 2X1+X2 £ 1000 500 Feasible X2 Infeasible Χρόνος παραγωγής 3X1+4X2 £ 2400 περιορισμός συνολικής παραγωγής: X1+X2 £ 700 (άχρηστη) 500 700 X1 700
  • 16. GGrraapphhiiccaall AAnnaallyyssiiss –– tthhee FFeeaassiibbllee RReeggiioonn 16 1000 2X1+X2 £ 1000 500 Feasible X2 Infeasible 3X1+4X2£ 2400 X1+X2 £ 700 500 700 Production mix constraint: X1-X2 £ 350 X1 700 Εσωτερικά Σημεία. Συνοριακά σημεία. Ακραία σημεία.
  • 17. 17 ΒΒέέλλττιισσττηη λλύύσσηη Ξεκίνα με κάποια αυθαίρετη τιμή για το κέρδος, ας πούμε $2,000... Μετέβαλε το κέρδος μέχρι αυτό να γίνει infeasible Κέρδος=$4360 1000 700 500 500 X2 X1
  • 18. 18 ΗΗ ββέέλλττιισσττηη λλύύσσηη Π1 = 320 12άδες Π2 = 360 12άδες Κέρδος = $4360 – Αξιοποιεί όλη την πρώτη ύλη και όλο τον διαθέσιμο χρόνο παραγωγής. – Η συνολική παραγωγή είναι 680 (και όχι 700). – Π1 μόνον 40 12άδες περισσότερα από Π2.
  • 19. 19 ΑΑκκρρααίίαα σσηημμεείίαα κκααιι ββέέλλττιισσττεεςς λλύύσσεειιςς – Αν ένα πρόβλημα ΓΠ έχει βέλτιστη λύση τότε ένα από τα ακραία του σημεία είναι βέλτιστο.
  • 20. 20 ΠΠοολλλλααππλλέέςς ββέέλλττιισσττεεςς λλύύσσεειιςς • Για να υπάρξουν πολλαπλές βέλτιστες λύσεις πρέπει η συνάρτηση κέρδους να είναι παράλληλη σε μια συνάρτηση περιορισμού. •Κάθε σταθμισμένος μέσος όρος βέλτιστων λύσεων είναι επίσης βέλτιστη λύση.
  • 21. 21 ΕΕυυσσττάάθθεειιαα ββέέλλττιισσττηηςς λλύύσσηηςς • Πόσο ευαίσθητη είναι η βέλτιστη λύση αναφορικά με τις εμπλεκόμενες παραμέτρους; • Πιθανοί λόγοι ανάλυσης ευστάθειας: – Οι τιμές των παραμέτρων είναι προσεγγιστικές. – Το δυναμικό περιβάλλον επιφέρει αλλαγές. – …
  • 22. σσυυννττεελλεεσσττώώνν ττηηςς σσυυννάάρρττηησσηηςς κκέέρρδδοουυςς.. 22 ΑΑννάάλλυυσσηη εευυσσττάάθθεειιααςς ττωωνν • Εύρος βελτιστότητας – Η βέλτιστη λύση δεν θα μετακινηθεί όσο • Οι τιμές ενός συντελεστή της συνάρτησης κέρδους ανήκει σε μια περιοχή βελτιστότητας • Δεν υπάρχουν αλλαγές στις άλλες παραμέτρους εισόδου. – Η τιμή της συνάρτησης κέρδους θα αλλάξει αν ο συντελεστής πολλαπλασιάζεται με μια μη-μηδενική μεταβλητή.
  • 23. σσυυννττεελλεεσσττώώνν ττηηςς σσυυννάάρρττηησσηηςς κκέέρρδδοουυςς.. 23 ΑΑννάάλλυυσσηη εευυσσττάάθθεειιααςς ττωωνν 1000 500 500 800 X2 X1 Max 8X1 + 5X2 Max 4X1 + 5X2 Max 3.75X1 + 5X2 Max 2X1 + 5X2
  • 24. σσυυννττεελλεεσσττώώνν ττηηςς σσυυννάάρρττηησσηηςς κκέέρρδδοουυςς.. 24 1000 500 ΑΑννάάλλυυσσηη εευυσσττάάθθεειιααςς ττωωνν 400 600 800 X2 X1 Max8X1 + 5X2 Max 10 X1 + 5X2 Max 3.75X1 + 5X2 Εύρος βελτιστότητας: [3.75, 10]
  • 25. 25 • Μείωση κόστους Υποθέτοντας ότι δεν έχουμε άλλες αλλαγές στις παραμέτρους εισόδου, η μείωση κόστους μια μεταβλητής Xj της οποίας η τιμή στην βέλτιστη λύση “0” είναι: – Μείον το ποσό της αύξησης του συντελεστή της μεταβλητής Xj (-DCj) που απαιτείται για να γίνει η εν λόγω μεταβλητή θετική στην βέλτιστη λύση – Εναλλακτικά, είναι η αλλαγή που επιφέρει στην τιμή της βέλτιστης συνάρτησης η μονάδα μεταβολής της Xj. • Συμπληρωματικότητα Σε μια βέλτιστη λύση, είτε η τιμή μια μεταβλητής είναι μηδέν, είτε η μείωση κόστους της είναι μηδέν.
  • 26. 26 ΑΑννάάλλυυσσηη εευυσσττάάθθεειιααςς δδεεξξιιώώνν μμεελλώώνν • Μας απασχολούν ερωτήματα όπως τα παρακάτω: – Αν κρατήσουμε όλες τις άλλες παραμέτρους σταθερές, πόσο επηρεάζεται το βέλτιστο κέρδος από ενδεχόμενες αλλαγές της τιμής του δεξιού μέλους μιας από τις συναρτήσεις περιορισμού; – Πόση αλλαγή επιφέρει καταστροφή της υπολογισθήσας βέλτιστης λύσης;
  • 27. 28 ΣΣκκιιώώδδηηςς ττιιμμέέςς • Υποθέτοντας ότι δεν έχουμε άλλες αλλαγές στις τιμές των παραμέτρων εισόδου, η αλλαγή που επιφέρει η μεταβολή κατά μια μονάδα του δεξιού μέλους ενός περιορισμού στην συνάρτηση κέρδους ονομάζεται σκιώδης τιμή (Shadow Price)
  • 28. 29 1000 ΣΣκκιιώώδδηηςς ττιιμμέέςς Όταν μας διατεθεί επιπρόσθετο υλικό το δεξί μέλος της αντίστοιχης συνάρτησης περιορισμού αυξάνει. 500 X2 X1 500 2X1 + 1x2 <=1001 2X1 + 1x2 <=1000 Χρόνος παραγωγής Μέγιστο κέρδος = $4360 Μέγιστο κέρδος= $4363.4 Σκιώδης τιμή= 4363.40 – 4360.00 = 3.40 Πλαστικό
  • 29. ΕΕύύρροοςς ΕΕφφιικκττόόττηηττααςς ((RRaannggee ooff FFeeaassiibbiilliittyy)) • Υποθέτοντας ότι δεν έχουμε άλλες αλλαγές σε άλλες μεταβλητές, το εύρος εφικτότητας είναι 30 – Το εύρος των τιμών ενός δεξιού μέλους ενός περιορισμού, μέσα στο οποίο οι σκιώδης τιμές των περιορισμών παραμένουν αναλλοίωτες. – Μέσα στο εύρος σκοπιμότητας η τιμή της συνάρτησης κέρδους μεταβάλλεται ως εξής: Μεταβολή στην συνάρτηση κέρδους = [σκιώδης τιμή][αλλαγή τιμής δεξιού μέλους]
  • 30. 31 ΕΕύύρροοςς ΕΕφφιικκττόόττηηττααςς 2X1 + 1x2 <=1000 1000 500 X2 X1 500 Η αύξηση της ποσότητας του πλαστικού αρχίζει να επηρεάζει την βέλτιστη λύση μόνον όταν υπεισέλθει νέος περιορισμός. Περιορισμός πλαστικού Μη εφικτή λύση Περιορισμός αναλογίας X1 + X2 £ 700 Περιορισμός χρόνου παραγωγής Νέος ενεργός περιορισμός
  • 31. 32 ΕΕύύρροοςς ΕΕφφιικκττόόττηηττααςς 1000 500 X2 X1 500 πλαστικό Χρόνος παραγωγής Παρατηρήστε πώς αυξάνει το κέρδος με την αύξηση του διαθέσιμου πλαστικού. 2X1 + 1x2 £1000
  • 32. 33 ΕΕύύρροοςς ΕΕφφιικκττόόττηηττααςς 1000 Λιγότερο διαθέσιμο πλαστικό (ο περιορισμός του πλαστικού είναι ποιο περιοριστικός). Το κέρδος μειώνεται 500 X2 X1 500 2X1 + 1X2 £ 1100 Μη-εφικτή λύση Νέος ενεργός περιορισμός
  • 33. 35 ΆΆλλλλεεςς μμεεττααββοολλήήςς σσττηηνν ββέέλλττιισσττηη λλύύσσηη • Προσθήκη ενός περιορισμού. • Απάλειψη ενός περιορισμού. • Προσθήκη μιας μεταβλητής. • Απάλειψη μιας μεταβλητής. • Αλλαγές στο δεξί μέλος των περιορισμών.
  • 34. 36 ΧΧρρήήσσηη EExxcceell γγιιαα ττοονν ππρροοσσδδιιοορριισσμμόό ττηηςς ββέέλλττιισσττηηςς ττιιμμήήςς κκααιι ττηηνν ααννάάλλυυσσηη ττωωνν ααπποοττεελλεεσσμμάάττωωνν • Galaxy.xls Set Target cell $D$6 Equal To: To enter constraints click…
  • 35. • Μη-εφικτό: Όταν το μοντέλο δεν έχει κανένα εφικτό σημείο Occurs. • Μη-φραγμένο: όταν η συνάρτηση κέρδους μπορεί να γίνει απεριόριστα μεγάλη (max), ή μικρή (min). • Μη-μοναδικότητα: Όταν περισσότερα από ένα σημεία μας οδηγούν σε βέλτιστη λύση 37 Μοντέλα χχωωρρίίςς μμοοννααδδιικκήή ββέέλλττιισσττηη λλύύσσηη
  • 36. 38 ΜΜηη--εεφφιικκττόό Κανένα σημείο δε βρίσκεται, Πάνω από την γραμμή και κάτω από τις . 1 1 2 3 2 3
  • 37. 39 ΜΜηη φφρρααγγμμέέννοο Περιοχή εφικτότητας ¥
  • 38. • Ένας επιλυτής ενδεχομένως να μην ενημερώσει τον χρήστη για την ύπαρξη και άλλων βέλτιστων λύσεων. 40 ΜΜηη--μμοοννααδδιικκόόττηητταα
  • 39. 41 ΤΤοο ππρρόόββλληημμαα ττηηςς δδίίααιιττααςς • Μείξη δύο πρώτων υλών: Υ1, Υ2. • Ελαχιστοποίησε το συνολικό κόστος του μείγματος. • Ικανοποιώντας τις απαιτήσεις σε Vitamin A, Vitamin D, και σίδηρο.
  • 40. 42 • Decision variables ΜΜοοννττέέλλοο – X1 (X2) -- το πλήθος των μερίδων κάθε προϊόντος. • Το μοντέλο Min 0.60X1 + 0.50X2 Ως προς Κόστος μονάδας 20X1 + 50X2 ³ 100 Vitamin A 25X1 + 25X2 ³ 100 Vitamin D 50X1 + 10X2 ³ 100 Σίδηρος X1, X2 ³ 0 % Vitamin A Από μια μερίδα % απαιτήσεις
  • 41. 43 10 ΓΓρρααφφιικκήή λλύύσσηη Σίδηρος περιορισμός ΠΠεερριιοοχχήή εεφφιικκττόόττηηττααςς Vitamin “D” περιορισμός Vitamin “A” περιορισμός 2 44 5
  • 42. 44 ΣΣυυννοοππττιικκήή εειικκόόνναα ββέέλλττιισσηηςς λλύύσσηηςς – Υ1 = 1.5 μερίδα Υ2 = 2.5 μερίδες – Κόστος =$ 2.15 ανά μερίδα σερβιρίσματος. – Δεν απομένει περίσσευμα Vitamin D και σιδήρου. – Το μείγμα προσδίδει 155% των απαιτήσεων σε Vitamin A.
  • 43. 45 • Πληθώρα ΛΛοογγιισσμμιικκάά ΓΓΠΠ
  • 44. ΘΘέέμμαατταα ΟΟρργγάάννωωσσηηςς • Δηλώστε συμμετοχή στο μάθημα μέχρι και τις 8.00πμ της Δευτέρας 29 Σεπτεμβρίου • Θα δοθεί ένα προκαταρτικό τεστ γνώσεων στην Γραμμική Άλγεβρα στην Δευτέρα 29 Σεπτεμβρίου την ώρα της διάλεξης • Ο τελικός βαθμός θα υπολογισθεί με βάση τον βαθμό μιας προόδου και τον βαθμό της τελικής εξέτασης 46
  • 45. ΆΆλλλλαα ΣΣττοοιιχχεείίαα • Ιστοσελίδα • Βιβλίο 47