2η διάλεξη - Εισαγωγή
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

2η διάλεξη - Εισαγωγή

on

  • 7,124 views

Γενικά εισαγωγικά στοιχεία

Γενικά εισαγωγικά στοιχεία

Statistics

Views

Total Views
7,124
Views on SlideShare
373
Embed Views
6,751

Actions

Likes
0
Downloads
37
Comments
0

1 Embed 6,751

http://inf-server.inf.uth.gr 6751

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    2η διάλεξη - Εισαγωγή 2η διάλεξη - Εισαγωγή Presentation Transcript

    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Γραμμική ΄Αλγεβρα Εισαγωγή Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Οκτωβρίου 2013
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Ιστοσελίδα του μαθήματος http://inf-server.inf.uth.gr/mavcourses/ga/
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Τι είναι Γραμμική ΄Αλγεβρα; Η γραμμική άλγεβρα είναι τομέας των μαθηματικών και της άλγεβρας ο οποίος ασχολείται με τη μελέτη διανυσμάτων, διανυσματικών χώρων, γραμμικών απεικονίσεων και συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Η αναλυτική γεωμετρία αποτελεί έκφρασή της και η ίδια αποτελεί κεντρικό συνδετικό ιστό των σύγχρονων μαθηματικών, ιδιαιτέρως μέσω της αφηρημένης έννοιας του διανυσματικού χώρου η οποία μπορεί να μοντελοποιήσει πολλά διαφορετικά προβλήματα που συναντώνται στην πράξη. (από την Βικιπαίδεια)
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Τι είναι Γραμμική ΄Αλγεβρα; ΄Αλγεβρα που έχει να κάνει με γραμμές:
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Τι είναι Γραμμική ΄Αλγεβρα; ΄Αλγεβρα που έχει να κάνει με γραμμές: y = 2x + 1 y = −3x + 7
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Τι είναι Γραμμική ΄Αλγεβρα; ΄Αλγεβρα που έχει να κάνει με γραμμές: y = 2x + 1 y = −3x + 7 αλλά τι γραμμές και πόσες;
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Χαρακτηριστικά Γραμμικής ΄Αλγεβρας Εύκολη
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Χαρακτηριστικά Γραμμικής ΄Αλγεβρας Εύκολη ΄Ομορφη
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Χαρακτηριστικά Γραμμικής ΄Αλγεβρας Εύκολη ΄Ομορφη Χρήσιμη
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Χαρακτηριστικά Γραμμικής ΄Αλγεβρας Εύκολη ΄Ομορφη Χρήσιμη Σημαντική
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Εξίσωση ευθείας γραμμής: b m 1 } x y
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Εξίσωση ευθείας γραμμής: b m 1 } x y y = mx + b
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Εξίσωση ευθείας γραμμής: b m 1 } x y y = mx + b y − mx = b
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Εξίσωση ευθείας γραμμής: b m 1 } x 1 2 x y = mx + b y − mx = b x2 − mx1 = b
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Εξίσωση ευθείας γραμμής: b m 1 } x 1 2 x y = mx + b y − mx = b x2 − mx1 = b −mx1 + x2 = b
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Εξίσωση ευθείας γραμμής: b m 1 } x 1 2 x y = mx + b y − mx = b x2 − mx1 = b −mx1 + x2 = b ⇓ (⇑ a2 = 0) a1x1 + a2x2 = b
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Γραμμική εξίσωση ως προς τις εξής μεταβλητές x1, ..., xn: a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b όπου τα a1, ..., an και ενδεχομένως το b είναι γνωστά εκ των προτέρω.
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Γραμμική εξίσωση ως προς τις εξής μεταβλητές x1, ..., xn: a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b όπου τα a1, ..., an και ενδεχομένως το b είναι γνωστά εκ των προτέρω. Λύση είναι μια λίστα αριθμών s1, ..., sn τέτοιων ώστε a1s1 + a2s2 + . . . + ansn = b
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Γραμμική εξίσωση ως προς τις εξής μεταβλητές x1, ..., xn: a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b όπου τα a1, ..., an και ενδεχομένως το b είναι γνωστά εκ των προτέρω. Λύση είναι μια λίστα αριθμών s1, ..., sn τέτοιων ώστε a1s1 + a2s2 + . . . + ansn = b Παράδειγμα 1: Για την εξίσωση της γραμμής a1x1 + a2x2 = b: Το ζεύγος s1, s2 είναι λύση ⇐⇒ το σημείο (s1, s2) βρίσκεται πάνω στην γραμμή.
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Παράδειγμα 2 Υπολογισμός του τελικού βαθμού στο μάθημα: x1 ο βαθμός της τελικής εξέτασης μου x2 ο μέσος όρος των βαθμών των εξετάσεων προόδου μου x3 ο μέσος όρος των βαθμών των τεστ μου x4 ο βαθμός των διαγωνισμών μου
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Παράδειγμα 2 Υπολογισμός του τελικού βαθμού στο μάθημα: x1 ο βαθμός της τελικής εξέτασης μου x2 ο μέσος όρος των βαθμών των εξετάσεων προόδου μου x3 ο μέσος όρος των βαθμών των τεστ μου x4 ο βαθμός των διαγωνισμών μου Τότε συνεπάγεται 0.5x1 + 0.4x2 + 0.1x3 + 0.05x4 = b
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο γραμμικών εξισώσεων:
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο γραμμικών εξισώσεων: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο γραμμικών εξισώσεων: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm Λύση του συστήματος είναι μια λίστα s1, ..., sn ∈ R η οποία αποτελεί λύση όλων των m εξισώσεων ταυτόχρονα.
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο γραμμικών εξισώσεων: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm Λύση του συστήματος είναι μια λίστα s1, ..., sn ∈ R η οποία αποτελεί λύση όλων των m εξισώσεων ταυτόχρονα. Δηλαδή, όλες οι m εξισώσεις αληθεύουν όταν x1 = s1, x2 = s2, ..., xn = sn.
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Εννοιλογικό παράδειγμα: a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Εννοιλογικό παράδειγμα: a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 Λύση ⇔ η τομή των δύο γραμμών: 1x 2 x
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Εννοιλογικό παράδειγμα: a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 Λύση ⇔ η τομή των δύο γραμμών: 1x 2 x Παράδειγμα: 1x1 + 2x2 = 3 2x1 + 1x2 = 3 ⇔ (x1, x2) = (1, 1)
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε ΄Αλλες πιθανότητες: 1 x 2 x 1 x 2 x
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε ΄Αλλες πιθανότητες: 1 x 2 x 1 x 2 x 1x1 + 2x2 = 3 1x1 + 2x2 = 4 ασυνέπεια
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε ΄Αλλες πιθανότητες: 1 x 2 x 1 x 2 x 1x1 + 2x2 = 3 1x1 + 2x2 = 4 ασυνέπεια 1x1 + 2x2 = 3 2x1 + 4x2 = 6 αοριστία
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα Δεν υπάρχει καμμία λύση
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα Δεν υπάρχει καμμία λύση Υπάρχει μια μοναδική λύση
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα Δεν υπάρχει καμμία λύση Υπάρχει μια μοναδική λύση Υπάρχει απειρία λύσεων
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα Δεν υπάρχει καμμία λύση Υπάρχει μια μοναδική λύση Υπάρχει απειρία λύσεων Στόχοι: Μελέτησε το ποιό ενδεχόμενο ισχύει.
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα Δεν υπάρχει καμμία λύση Υπάρχει μια μοναδική λύση Υπάρχει απειρία λύσεων Στόχοι: Μελέτησε το ποιό ενδεχόμενο ισχύει. Δώσε την λύση αν είναι μοναδική.
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα Δεν υπάρχει καμμία λύση Υπάρχει μια μοναδική λύση Υπάρχει απειρία λύσεων Στόχοι: Μελέτησε το ποιό ενδεχόμενο ισχύει. Δώσε την λύση αν είναι μοναδική. Βρές έναν τρόπο να περιγράψεις όλες τις λύσεις όταν αυτές είναι πολλές.
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Η κρίσιμη πληροφορία βρίσκεται στα aij , bi .
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Η κρίσιμη πληροφορία βρίσκεται στα aij , bi . ΄Αρα τοποθέτησε όλους αυτούς τους αριθμούς σε έναν πίνακα a11x1 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + . . . + a2nxn = b2 ... am1x1 + . . . + amnxn = bm
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Η κρίσιμη πληροφορία βρίσκεται στα aij , bi . ΄Αρα τοποθέτησε όλους αυτούς τους αριθμούς σε έναν πίνακα a11x1 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + . . . + a2nxn = b2 ... am1x1 + . . . + amnxn = bm      a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn      m × n πίνακας συντελεστών
    • Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε Η κρίσιμη πληροφορία βρίσκεται στα aij , bi . ΄Αρα τοποθέτησε όλους αυτούς τους αριθμούς σε έναν πίνακα a11x1 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + . . . + a2nxn = b2 ... am1x1 + . . . + amnxn = bm      a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn      m × n πίνακας συντελεστών      a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2 ... ... ... ... ... am1 am2 . . . amn bm      m × (n + 1) επαυξημένος πίνακας