Your SlideShare is downloading. ×
  • Like
13η Διάλεξη - Ανάλυση LU (συνέχεια)
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Now you can save presentations on your phone or tablet

Available for both IPhone and Android

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

13η Διάλεξη - Ανάλυση LU (συνέχεια)

  • 5,069 views
Published

Ύπαρξη και μοναδικότητα

Ύπαρξη και μοναδικότητα

Published in Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
5,069
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2

Actions

Shares
Downloads
46
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Γραμμική ΄Αλγεβρα Ανάλυση LU (συνέχεια) Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 11 Νοεμβρίου 2013
  • 2. Παραγοντοποίηση A = LU Κάθε τετραγωνικός πίνακας A μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο ενός κάτω τριγωνικού πίνακα L με μονάδες στην διαγώνιο και ενός άνω τριγωνικού πίνακα U. Ο L έχει τους πολλαπλασιαστές της απαλοιφής κάτω απο την διαγώνιο Ο U τα στοιχεία του A όπως αυτά προκύπτουν μετά την απαλοιφή
  • 3. Παράδειγμα   −1 −1 1 2  2 1 −3 6   A=  0 0 −1 2  0 1 −1 4
  • 4. Παράδειγμα    −1 −1 1 2 −1 −1 1 2    2 1 −3 6   →  0 −1 −1 10  A=  0  0  0 −1 2  0 −1 2 0 1 −1 4 0 1 −1 4 
  • 5. Παράδειγμα    −1 −1 1 2 −1 −1 1 2    2 1 −3 6   →  0 −1 −1 10  A=  0  0  0 −1 2  0 −1 2 0 1 −1 4 0 1 −1 4    −1 −1 1 2  0 −1 −1 10   →  0 0 −1 2  0 0 −2 14
  • 6. Παράδειγμα    −1 −1 1 2 −1 −1 1 2    2 1 −3 6   →  0 −1 −1 10  A=  0  0  0 −1 2  0 −1 2 0 1 −1 4 0 1 −1 4    −1 −1 1 2 −1 −1 1 2  0 −1 −1 10  0 −1 −1 10   → →  0  0 0 −1 2 0 −1 2  0 0 0 10 0 0 −2 14     
  • 7. Παράδειγμα A = LU   −1 −1 1 2  2 1 −3 6     0 0 −1 2  0 1 −1 4
  • 8. Παράδειγμα   A = LU  1 0 −1 −1 1 2  2 1 −3 6   −2 1   =  0 0 0 −1 2   0 0 −1 0 1 −1 4 0 0 1 2  −1 −1 1 2 0 0   0 −1 −1 10  0 −1 2 0  0 0 0 0 10 1    
  • 9. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU παραγοντοποίηση του
  • 10. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU παραγοντοποίηση του Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b
  • 11. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU παραγοντοποίηση του Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b Θέτω y = Ux και έχω Ly = b
  • 12. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU παραγοντοποίηση του Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b Θέτω y = Ux και έχω Ly = b Λύνω το Ly = b για να υπολογίσω το y
  • 13. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU παραγοντοποίηση του Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b Θέτω y = Ux και έχω Ly = b Λύνω το Ly = b για να υπολογίσω το y Λύνω το Ux = y για να υπολογίσω το x
  • 14. Παράδειγμα   1 −1 −1 1 2  6  2  1 −3 6  x = Να λυθεί το   1  0 0 −1 2  4 0 1 −1 4     
  • 15. Παράδειγμα   1 −1 −1 1 2  6  2  1 −3 6  x = Να λυθεί το   1  0 0 −1 2  4 0 1 −1 4     y1 1 0 0 0  −2 1 0 0   y2    = Ly = b ⇒   0 0 1 0   y3   y4 0 −1 2 1       1 6   1  4
  • 16. Παράδειγμα   1 −1 −1 1 2  6  2  1 −3 6  x = Να λυθεί το   1  0 0 −1 2  4 0 1 −1 4     y1 1 0 0 0  −2 1 0 0   y2    = Ly = b ⇒   0 0 1 0   y3   y4 0 −1 2 1        1 1  8 6   ⇒y =  1 1  10 4    
  • 17. Παράδειγμα   1 −1 −1 1 2  6  2  1 −3 6  x = Να λυθεί το   1  0 0 −1 2  4 0 1 −1 4     y1 1 0 0 0  −2 1 0 0   y2    = Ly = b ⇒   0 0 1 0   y3   y4 0 −1 2 1    −1 −1 1 2 x1  0 −1 −1 10   x2  Ux = y ⇒   0 0 −1 2   x3 x4 0 0 0 10        1 1  8 6   ⇒y =  1 1  10 4   1   8  =    1  10    
  • 18. Παράδειγμα   1 −1 −1 1 2  6  2  1 −3 6  x = Να λυθεί το   1  0 0 −1 2  4 0 1 −1 4     y1 1 0 0 0  −2 1 0 0   y2    = Ly = b ⇒   0 0 1 0   y3   y4 0 −1 2 1    −1 −1 1 2 x1  0 −1 −1 10   x2  Ux = y ⇒   0 0 −1 2   x3 x4 0 0 0 10        1 1  8 6   ⇒y =  1 1  10 4        1 1   8   1 =     1  ⇒x = 1 10 1    
  • 19. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU   2 1 1  4 −6 0  −2 7 2
  • 20. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU   2 1 1  4 −6 0  −2 7 2     2 1 1 2 1 1 1 0 0  0 −8 −2  =  −2 1 0   4 −6 0  0 0 1 −2 7 2 −2 7 2 
  • 21. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU   2 1 1  4 −6 0  −2 7 2     2 1 1 2 1 1 1 0 0  0 −8 −2  =  −2 1 0   4 −6 0  0 0 1 −2 7 2 −2 7 2       2 1 1 1 0 0 1 0 0 2 1 1  0 −8 −2  =    −2 1 0   4 −6 0 0 1 0 0 8 3 −(−1) 0 1 0 0 1 −2 7 2
  • 22. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU U = E 3,2 (−(−1))E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A
  • 23. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU U = E 3,2 (−(−1))E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A ⇒ E 3,2 (−1)U = E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A
  • 24. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU U = E 3,2 (−(−1))E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A ⇒ E 3,2 (−1)U = E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A ⇒ E 3,1 (−1)E 3,2 (−1)U = E 2,1 (−2)A
  • 25. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU U = E 3,2 (−(−1))E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A ⇒ E 3,2 (−1)U = E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A ⇒ E 3,1 (−1)E 3,2 (−1)U = E 2,1 (−2)A ⇒ E 2,1 (2)E 3,1 (−1)E 3,2 (−1)U = A
  • 26. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU U = E 3,2 (−(−1))E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A ⇒ E 3,2 (−1)U = E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A ⇒ E 3,1 (−1)E 3,2 (−1)U = E 2,1 (−2)A ⇒ E 2,1 (2)E 3,1 (−1)E 3,2 (−1)U = A ⇒ LU = A
  • 27. Απόδειξη Μοναδικότητας LU Θεώρημα Η ανάλυση A = LU κάθε αντιστρέψιμου πίνακα A είναι μοναδική. Απόδειξη. L1 U1 = L2 U2
  • 28. Απόδειξη Μοναδικότητας LU Θεώρημα Η ανάλυση A = LU κάθε αντιστρέψιμου πίνακα A είναι μοναδική. Απόδειξη. L1 U1 = L2 U2 ⇒ L−1 L1 U1 = U2 2
  • 29. Απόδειξη Μοναδικότητας LU Θεώρημα Η ανάλυση A = LU κάθε αντιστρέψιμου πίνακα A είναι μοναδική. Απόδειξη. −1 L1 U1 = L2 U2 ⇒ L−1 L1 U1 = U2 ⇒ L−1 L1 = U2 U1 2 2
  • 30. Απόδειξη Μοναδικότητας LU Θεώρημα Η ανάλυση A = LU κάθε αντιστρέψιμου πίνακα A είναι μοναδική. Απόδειξη. −1 L1 U1 = L2 U2 ⇒ L−1 L1 U1 = U2 ⇒ L−1 L1 = U2 U1 2 2 Γινόμενο άνω (ή κάτω) τριγωνικού είναι άνω (η κάτω) τριγωνικός Αντίστροφος άνω (ή κάτω) τριγωνικού είναι άνω (η κάτω) τριγωνικός −1 ⇒ L−1 L1 = U2 U1 = D όπου D διαγώνιος 2
  • 31. Απόδειξη Μοναδικότητας LU Θεώρημα Η ανάλυση A = LU κάθε αντιστρέψιμου πίνακα A είναι μοναδική. Απόδειξη. −1 L1 U1 = L2 U2 ⇒ L−1 L1 U1 = U2 ⇒ L−1 L1 = U2 U1 2 2 Γινόμενο άνω (ή κάτω) τριγωνικού είναι άνω (η κάτω) τριγωνικός Αντίστροφος άνω (ή κάτω) τριγωνικού είναι άνω (η κάτω) τριγωνικός −1 ⇒ L−1 L1 = U2 U1 = D όπου D διαγώνιος 2 −1 ⇒ L2 L1 = D ⇒ L1 = L2 D
  • 32. Απόδειξη Μοναδικότητας LU Θεώρημα Η ανάλυση A = LU κάθε αντιστρέψιμου πίνακα A είναι μοναδική. Απόδειξη. −1 L1 U1 = L2 U2 ⇒ L−1 L1 U1 = U2 ⇒ L−1 L1 = U2 U1 2 2 Γινόμενο άνω (ή κάτω) τριγωνικού είναι άνω (η κάτω) τριγωνικός Αντίστροφος άνω (ή κάτω) τριγωνικού είναι άνω (η κάτω) τριγωνικός −1 ⇒ L−1 L1 = U2 U1 = D όπου D διαγώνιος 2 −1 ⇒ L2 L1 = D ⇒ L1 = L2 D −1 ⇒ D = I ⇒ L−1 L1 = U2 U1 = I ⇒ U1 = U2 2