7η και 8η διάλεξη - Διανύσματα, Πίνακες, Πράξεις, Ομογενή Συστήματα

6,159 views
6,084 views

Published on

Διανύσματα, Πίνακες, Πράξεις, Ομογενή Συστήματα

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
6,159
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
5,802
Actions
Shares
0
Downloads
58
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

7η και 8η διάλεξη - Διανύσματα, Πίνακες, Πράξεις, Ομογενή Συστήματα

  1. 1. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Γραμμική ΄Αλγεβρα Διανύσματα, Πίνακες και Πράξεις Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 30 Οκτωβρίου 2013
  2. 2. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Διαδικαστικά Αντί του σημερινού φροντιστηρίου θα πραγματοποιηθεί αναπλήρωση διάλεξης. Απο σήμερα οι (σωστές) απαντήσεις των ερωτήσεων θα μετράνε θετικά στον τελικό βαθμό.
  3. 3. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις ΄Ασκηση ΄Εχει το παρακάτω σύστημα λύση; 2 sin α − cos β + 3 tan γ = 3 4 sin α + 2 cos β − 2 tan γ = 10 6 sin α − 3 cos β + tan γ = 9
  4. 4. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Διανύσματα και Πίνακες x2 + 2 x3 − x4 x1 + x3 + x4 −x1 + x2 − x4 2 x2 + 3 x3 − x4 =1 =4 =2 =7
  5. 5. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Διανύσματα και Πίνακες x2 + 2 x3 − x4 x1 + x3 + x4 −x1 + x2 − x4 2 x2 + 3 x3 − x4  0  1 A=  −1 0 1 0 1 2  2 −1 1 1   0 −1  3 −1 =1 =4 =2 =7
  6. 6. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Διανύσματα και Πίνακες x2 + 2 x3 − x4 x1 + x3 + x4 −x1 + x2 − x4 2 x2 + 3 x3 − x4  0  1 A=  −1 0 1 0 1 2  2 −1 1 1   0 −1  3 −1 =1 =4 =2 =7  1 4 b=  2 7 
  7. 7. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Διανύσματα και Πίνακες x2 + 2 x3 − x4 x1 + x3 + x4 −x1 + x2 − x4 2 x2 + 3 x3 − x4  0  1 A=  −1 0 1 0 1 2  2 −1 1 1   0 −1  3 −1 =1 =4 =2 =7  1 4 b=  2 7   x1 x  x = 2   x3  x4 
  8. 8. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Διανύσματα Ορισμός - Διάνυσμα είναι ένα σύνολο αριθμών διατεταγμένων σε μια σειρά. Συμβολισμός x1  x  x ∈ Rn ⇒ x =  2  , xi ∈ R, i = 1, . . . , n  ...  xn Στοιχεία διανύσματος - xi είναι η i-στη συνιστώσα του διανύσματος x.
  9. 9. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Πράξεις με διανύσματα      x1 + y1   x +y    2   2    x, y ∈ Rn , x + y =  = + . .      . xn + yn     x1 αx1  x   αx   2  2 α ∈ R, αx = α  .  =  .   .   .  . . xn αxn x1 x2 . . . xn y1 y2 . . . yn     
  10. 10. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Γραμμικός συνδοιασμός διανυσμάτων α, β, γ ∈ R, x, y , z ∈ Rn αx + βy + γz =    x1 x    2  = α  . +β  .   .  xn y1 y2 . . . yn       +γ    z1 z2 . . . zn   αx1 + βy1 + γz1   αx + βy + γz 2 2   2 = . .   . αxn + βyn + γzn     
  11. 11. Διανύσματα & Ευθείες Παραδείγματα       1 4 5 2 + 5 = 7 ; 3 6 9 ΄Αλλες πράξεις
  12. 12. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Παραδείγματα       1 4 5 2 + 5 = 7 ; 3 6 9     1 −1 2 = −2 −1· 3 −3
  13. 13. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Παραδείγματα       1 4 5 2 + 5 = 7 ; 3 6 9     1 −1 2 = −2 −1· 3 −3       1 0 1 2 − 7 · 2 + 2 · −1 = 3· 3 4 0
  14. 14. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Παραδείγματα       1 4 5 2 + 5 = 7 ; 3 6 9     1 −1 2 = −2 −1· 3 −3       1 0 1 2 − 7 · 2 + 2 · −1 = 3· 3 4 0   3·1−7·0+2·1 3 · 2 − 7 · 2 + 2 · (−1) = 3·3−7·4+2·0
  15. 15. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Παραδείγματα       1 4 5 2 + 5 = 7 ; 3 6 9     1 −1 2 = −2 −1· 3 −3       1 0 1 2 − 7 · 2 + 2 · −1 = 3· 3 4 0     3·1−7·0+2·1 5 3 · 2 − 7 · 2 + 2 · (−1) = −10 3·3−7·4+2·0 −19
  16. 16. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις ΄Ασκηση       1 0 1 7 · 2 − 3 · 2 − 2 · −1 = 3 4 0
  17. 17. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις ΄Ασκηση       1 0 1 7 · 2 − 3 · 2 − 2 · −1 = 3 4 0   5 Α) −10 −19   5 Β) −9 10   5 10 Γ) 9   5 Δ) −19 −10   5 10 Ε) 19
  18. 18. Διανύσματα & Ευθείες Περιγραφή ευθείας Μια ποιό βολική θεώρηση της ευθείας. ΄Αλλες πράξεις
  19. 19. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Περιγραφή ευθείας Μια ποιό βολική θεώρηση της ευθείας. Η εξίσωση μιας γραμμής που περνά απο το σημείο p, και έχει κατεύθυνση d, είναι x = p + t · d, t∈R Πράγματι: x 2 p d x1
  20. 20. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Η εξίσωση μιας γραμμής που περνά απο το σημείο p, και έχει κατεύθυνση d, είναι x = p + 1 · d, t=1 Πράγματι: x 2 p+d p d x1
  21. 21. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Η εξίσωση μιας γραμμής που περνά απο το σημείο p, και έχει κατεύθυνση d, είναι x = p + −1 · d, t = −1 Πράγματι: x 2 p p-d d x1
  22. 22. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Η εξίσωση μιας γραμμής που περνά απο το σημείο p, και έχει κατεύθυνση d, είναι x = p + t · d, t∈R Πράγματι: x 2 p p + td d x1
  23. 23. Διανύσματα & Ευθείες ΄Ασκηση Στο σχήμα δίνονται τα διανύσματα u, v ∈ R2 . ΄Αλλες πράξεις
  24. 24. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις ΄Ασκηση Στο σχήμα δίνονται τα διανύσματα u, v ∈ R2 . Ποιό σημείο παριστά το u − 3v ; x 2 u v x1
  25. 25. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις ΄Ασκηση Στο σχήμα δίνονται τα διανύσματα u, v ∈ R2 . Ποιό σημείο παριστά το u − 3v ; x D 2 C E B A v u x1
  26. 26. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις ΄Ασκηση Στο σχήμα δίνονται τα διανύσματα u, v ∈ R2 . Ποιό σημείο παριστά το u − 3v ; x 2 u v x1
  27. 27. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις ΄Ασκηση Στο σχήμα δίνονται τα διανύσματα u, v ∈ R2 . Ποιό σημείο παριστά το u − 3v ; x 2 -3v u -v v x1
  28. 28. Διανύσματα & Ευθείες Ιδιότητες ∀w , x, y ∈ Rn και s, t ∈ R, έχουμε. ΄Αλλες πράξεις
  29. 29. Διανύσματα & Ευθείες Ιδιότητες ∀w , x, y ∈ Rn και s, t ∈ R, έχουμε. x +y =y +x ΄Αλλες πράξεις
  30. 30. Διανύσματα & Ευθείες Ιδιότητες ∀w , x, y ∈ Rn και s, t ∈ R, έχουμε. x +y =y +x (x + y ) + w = x + (y + w ) ΄Αλλες πράξεις
  31. 31. Διανύσματα & Ευθείες Ιδιότητες ∀w , x, y ∈ Rn και s, t ∈ R, έχουμε. x +y =y +x (x + y ) + w = x + (y + w ) z +0=0+z =z ΄Αλλες πράξεις
  32. 32. Διανύσματα & Ευθείες Ιδιότητες ∀w , x, y ∈ Rn και s, t ∈ R, έχουμε. x +y =y +x (x + y ) + w = x + (y + w ) z +0=0+z =z x + (−x) = −x + x = 0 ΄Αλλες πράξεις
  33. 33. Διανύσματα & Ευθείες Ιδιότητες ∀w , x, y ∈ Rn και s, t ∈ R, έχουμε. x +y =y +x (x + y ) + w = x + (y + w ) z +0=0+z =z x + (−x) = −x + x = 0 t(x + y ) = tx + ty ΄Αλλες πράξεις
  34. 34. Διανύσματα & Ευθείες Ιδιότητες ∀w , x, y ∈ Rn και s, t ∈ R, έχουμε. x +y =y +x (x + y ) + w = x + (y + w ) z +0=0+z =z x + (−x) = −x + x = 0 t(x + y ) = tx + ty (s + t)x = sx + tx ΄Αλλες πράξεις
  35. 35. Διανύσματα & Ευθείες Ιδιότητες ∀w , x, y ∈ Rn και s, t ∈ R, έχουμε. x +y =y +x (x + y ) + w = x + (y + w ) z +0=0+z =z x + (−x) = −x + x = 0 t(x + y ) = tx + ty (s + t)x = sx + tx s(tx) = (st)x ΄Αλλες πράξεις
  36. 36. Διανύσματα & Ευθείες Ιδιότητες ∀w , x, y ∈ Rn και s, t ∈ R, έχουμε. x +y =y +x (x + y ) + w = x + (y + w ) z +0=0+z =z x + (−x) = −x + x = 0 t(x + y ) = tx + ty (s + t)x = sx + tx s(tx) = (st)x 1x = x ΄Αλλες πράξεις
  37. 37. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων x, y ∈ Rn x · y = x1y1 + x2y2 + . . . + xn yn Προσοχή x · y ∈ R
  38. 38. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Πίνακας Ορισμός - Πίνακας είναι ένα σύνολο αριθμών διατεταγμένων σε γραμμές και στήλες. Συμβολισμός  a1,1 a1,2 . . . a1,j . . . a1,n  a2,1 a2,2 . . . a2,j . . . a2,n  .  . .  m×n A∈R ⇒A=  ai,1 ai,2 . . . ai,j . . . ai,n  . .  . am,1 am,2 . . . am,j . . . am,n Στοιχεία πίνακα: ai,j ∈ R, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.         
  39. 39. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Πίνακας επί διάνυσμα Ορισμός - Γινόμενο ενός πίνακα με ένα διάνυσμα είναι ένα άλλο διάνυσμα τα στοιχεία του οποίου είναι το εσωτερικό γινόμενο της αντίστοιχης γραμμής του πίνακα με το διάνυσμα.
  40. 40. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Πίνακας επί διάνυσμα Ορισμός - Γινόμενο ενός πίνακα με ένα διάνυσμα είναι ένα άλλο διάνυσμα τα στοιχεία του οποίου είναι το εσωτερικό γινόμενο της αντίστοιχης γραμμής του πίνακα με το διάνυσμα. Συμβολισμός - A ∈ Rm×n , b ∈ Rn ⇒
  41. 41. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Πίνακας επί διάνυσμα Ορισμός - Γινόμενο ενός πίνακα με ένα διάνυσμα είναι ένα άλλο διάνυσμα τα στοιχεία του οποίου είναι το εσωτερικό γινόμενο της αντίστοιχης γραμμής του πίνακα με το διάνυσμα. Συμβολισμός - A ∈ Rm×n , b ∈ Rn  a1,1 a1,2  a2,1 a2,2    ⇒ Ab =   ai,1 ai,2   am,1 am,2 . . . a1,j . . . a2,j . . . . . . ai,j . . . . . . am,j  . . . a1,n b1 . . . a2,n   b2  .  .  .  . . . ai,n   bj  .  . . . . . am,n bn      =   
  42. 42. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Πίνακας επί διάνυσμα  a1,1 a1,2  a2,1 a2,2      ai,1 ai,2    am,1 am,2          ... ... a1,j a2,j . . . ... ai,j . . . . . . am,j  a1,n a2,n       . . . ai,n      . . . am,n ... ... b1 b2 . . . bj . . .      =     bn a1,1 b1 + a1,2 b2 + . . . a1,j bj + . . . a1,n bn a2,1 b1 + a2,2 b2 + . . . a2,j bj + . . . a2,n bn . . . ai,1 b1 + ai,2 b2 + . . . ai,j bj + . . . ai,n bn . . . am,1 b1 + am,2 b2 + . . . am,j bj + . . . am,n bn         
  43. 43. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Πίνακας επί πίνακα Ορισμός - Αν A ∈ Rm×n και B ∈ Rn×k τότε το γινόμενο AB είναι ένας νέος πίνακας C ∈ Rm×k το στοιχείο ci,j του οποίου είναι το εσωτερικό γινόμενο της i γραμμής του A με την j στήλη του B.
  44. 44. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Πίνακας επί πίνακα Ορισμός - Αν A ∈ Rm×n και B ∈ Rn×k τότε το γινόμενο AB είναι ένας νέος πίνακας C ∈ Rm×k το στοιχείο ci,j του οποίου είναι το εσωτερικό γινόμενο της i γραμμής του A με την j στήλη του B.
  45. 45. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Πίνακας επί πίνακα Ορισμός - Αν A ∈ Rm×n και B ∈ Rn×k τότε το γινόμενο AB είναι ένας νέος πίνακας C ∈ Rm×k το στοιχείο ci,j του οποίου είναι το εσωτερικό γινόμενο της i γραμμής του A με την j στήλη του B.
  46. 46. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Παρατηρήσεις 1 ΄Ενα γραμμικό σύστημα μπορεί να εκφραστεί σαν Ax = b
  47. 47. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Παρατηρήσεις 1 2 ΄Ενα γραμμικό σύστημα μπορεί να εκφραστεί σαν Ax = b Εν γένει AB = BA
  48. 48. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Παρατηρήσεις 1 2 3 ΄Ενα γραμμικό σύστημα μπορεί να εκφραστεί σαν Ax = b Εν γένει AB = BA Για να μπορέσω να πολλαπλασιάσω δύο πίνακες πρέπει το πλήθος των στηλών του πρώτου να είναι ίσο με το πλήθος των γραμμών του δεύτερου.
  49. 49. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Παρατηρήσεις 1 2 3 4 ΄Ενα γραμμικό σύστημα μπορεί να εκφραστεί σαν Ax = b Εν γένει AB = BA Για να μπορέσω να πολλαπλασιάσω δύο πίνακες πρέπει το πλήθος των στηλών του πρώτου να είναι ίσο με το πλήθος των γραμμών του δεύτερου. AI = IA = A όπου με I συμβολίζουμε τον ταυτοτικό πίνακα.
  50. 50. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Θεώρημα Αν v είναι λύση ενός συστήματος Ax = 0 τότε και το αv είναι λύση του ίδιου συστήματος όπου α είναι ένας οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.
  51. 51. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Θεώρημα Αν v είναι λύση ενός συστήματος Ax = 0 τότε και το αv είναι λύση του ίδιου συστήματος όπου α είναι ένας οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. Απόδειξη u λύση του Ax = 0
  52. 52. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Θεώρημα Αν v είναι λύση ενός συστήματος Ax = 0 τότε και το αv είναι λύση του ίδιου συστήματος όπου α είναι ένας οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. Απόδειξη u λύση του Ax = 0 ⇒ Au = 0
  53. 53. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Θεώρημα Αν v είναι λύση ενός συστήματος Ax = 0 τότε και το αv είναι λύση του ίδιου συστήματος όπου α είναι ένας οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. Απόδειξη u λύση του Ax = 0 ⇒ Au = 0 ⇒ αAu = 0
  54. 54. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Θεώρημα Αν v είναι λύση ενός συστήματος Ax = 0 τότε και το αv είναι λύση του ίδιου συστήματος όπου α είναι ένας οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. Απόδειξη u λύση του Ax = 0 ⇒ Au = 0 ⇒ αAu = 0 ⇒ Aαu = 0
  55. 55. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Θεώρημα Αν v είναι λύση ενός συστήματος Ax = 0 τότε και το αv είναι λύση του ίδιου συστήματος όπου α είναι ένας οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. Απόδειξη u λύση του Ax = 0 ⇒ Au = 0 ⇒ αAu = 0 ⇒ Aαu = 0 ⇒ A(αu) = 0
  56. 56. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Θεώρημα Αν v είναι λύση ενός συστήματος Ax = 0 τότε και το αv είναι λύση του ίδιου συστήματος όπου α είναι ένας οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. Απόδειξη u λύση του Ax = 0 ⇒ Au = 0 ⇒ αAu = 0 ⇒ Aαu = 0 ⇒ A(αu) = 0 ⇒ αu είναι λύση του Ax = 0.
  57. 57. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Ομογενή Συστήματα ΄Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους) είναι μηδέν. Ορισμός
  58. 58. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις Ομογενή Συστήματα ΄Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους) είναι μηδέν. Ορισμός Αν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι λύση ενός ομογενούς συστήματος τότε και κάθε γραμμικός συνδοιασμός τους είναι λύση του.
  59. 59. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις ΄Ασκηση Το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας.
  60. 60. Διανύσματα & Ευθείες ΄Αλλες πράξεις ΄Ασκηση Το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας.

×