26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Like this? Share it with your network

Share

26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

on

  • 3,413 views

 

Statistics

Views

Total Views
3,413
Views on SlideShare
291
Embed Views
3,122

Actions

Likes
0
Downloads
40
Comments
0

1 Embed 3,122

http://inf-server.inf.uth.gr 3122

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα Presentation Transcript

  • 1. Γραμμική ΄Αλγεβρα Προβολές και Ελάχιστα Τετράγωνα Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 18 Δεκεμβρίου 2013
  • 2. Προβολή σε ευθεία του R n Να βρεθεί η προβολή p του b επάνω στην ευθεία που ορίζει το a (το οποίο ας υποθέσουμε περνάει απο την αρχή των αξόνων)
  • 3. Γωνία μεταξύ διανυσμάτων στον R n cos θ = aT b ||a||||b||
  • 4. Προβολή σε ευθεία του R n Η προβολή p ενός διανύματος b ∈ Rn σε μια ευθεία a ∈ Rn που περνάει απο το 0
  • 5. Προβολή σε ευθεία του R n Η προβολή p ενός διανύματος b ∈ Rn σε μια ευθεία a ∈ Rn που περνάει απο το 0 T είναι το διάνυσμα p = aT b a a a
  • 6. Προβολή σε ευθεία του R n Η προβολή p ενός διανύματος b ∈ Rn σε μια ευθεία a ∈ Rn που περνάει απο το 0 T είναι το διάνυσμα p = aT b a a a με αντίστοιχο πίνακα προβολής aaT P = aT a
  • 7. Προβολή σε ευθεία του R n Η προβολή p ενός διανύματος b ∈ Rn σε μια ευθεία a ∈ Rn που περνάει απο το 0 T είναι το διάνυσμα p = aT b a a a με αντίστοιχο πίνακα προβολής aaT P = aT a ο οποίος είναι συμμετρικός και τάξης 1
  • 8. Παράδειγμα     1 1 Προβολή του 2 στο 1 3 1
  • 9. Παράδειγμα     1 1 Προβολή του 2 στο 1 3 1   1 Πίνακας προβολής στο 1 1
  • 10. Παράδειγμα     1 1 Προβολή του 2 στο 1 3 1   1 Πίνακας προβολής στο 1 1 Πίνακας προβολής στο cos θ sin θ
  • 11. Εφαρμογή
  • 12. Εφαρμογή Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b
  • 13. Εφαρμογή Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b ∈ R(A). /
  • 14. Εφαρμογή Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b ∈ R(A). /
  • 15. Ελάχιστα Τετράγωνα Αν Ax = b και b ∈ R(A) τότε /
  • 16. Ελάχιστα Τετράγωνα Αν Ax = b και b ∈ R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναι / η λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στον R(A).
  • 17. Ελάχιστα Τετράγωνα Αν Ax = b και b ∈ R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναι / η λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στον R(A). Ax = b
  • 18. Ελάχιστα Τετράγωνα Αν Ax = b και b ∈ R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναι / η λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στον R(A). Ax = b ⇒ AT Ax = AT b
  • 19. Ελάχιστα Τετράγωνα Αν Ax = b και b ∈ R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναι / η λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στον R(A). Ax = b ⇒ AT Ax = AT b ⇒ x = AT A −1 AT b
  • 20. Ελάχιστα Τετράγωνα Αν Ax = b και b ∈ R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναι / η λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στον R(A). Ax = b ⇒ AT Ax = AT b ⇒ x = AT A Πράγματι AT (Ax − b) = 0 −1 AT b
  • 21. Ελάχιστα Τετράγωνα Αν Ax = b και b ∈ R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναι / η λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στον R(A). Ax = b ⇒ AT Ax = AT b ⇒ x = AT A −1 AT b Πράγματι AT (Ax − b) = 0 Υπόθεση: οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες.
  • 22. Παράδειγμα   4 1 4  1 5  x = 5 6 0 6  
  • 23. Προβολή στον χώρο στηλών Ορισμός Η προβολή p ενός διανύσματος b ∈ Rn πάνω στον χώρο στηλών ενός πίνακα A ∈ Rm×n είναι p = A AT A −1 AT b Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός πίνακα A είναι ο −1 P = A AT A AT
  • 24. Προβολή στον χώρο στηλών Ορισμός Η προβολή p ενός διανύσματος b ∈ Rn πάνω στον χώρο στηλών ενός πίνακα A ∈ Rm×n είναι p = A AT A −1 AT b Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός πίνακα A είναι ο −1 P = A AT A AT για τον οποίο ισχύει ότι P k = P, k ∈ N, P T = P
  • 25. Λύση ελαχίστων τετραγώνων Θεώρημα Αν A ∈ Rm×n και b ∈ Rn τότε / Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = b ικανοποιεί την εξίσωση AT Ax = AT b
  • 26. Λύση ελαχίστων τετραγώνων Θεώρημα Αν A ∈ Rm×n και b ∈ Rn τότε / Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = b ικανοποιεί την εξίσωση AT Ax = AT b Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο −1 T AT A είναι αντιστρέψιμος και x = AT A A b.
  • 27. Προβολές στον χώρο στηλών Αν το b ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι το ίδιο το b
  • 28. Προβολές στον χώρο στηλών Αν το b ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι το ίδιο το b είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι 0
  • 29. Προβολές στον χώρο στηλών Αν το b ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι το ίδιο το b είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι 0 Αν ο Α είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε διανύσματος είναι ο εαυτός του
  • 30. Προβολές στον χώρο στηλών Αν το b ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι το ίδιο το b είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι 0 Αν ο Α είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε διανύσματος είναι ο εαυτός του έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω σε ευθεία
  • 31. Ο πίνακας AT A Είναι τετραγωνικός Είναι συμμετρικός ΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικά ανεξάρτητες στήλες
  • 32. Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες Ορισμός Τα διανύσματα q1 , q2 , . . . , qk ∈ Rn είναι ορθοκανονικά όταν είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1.
  • 33. Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες Ορισμός Τα διανύσματα q1 , q2 , . . . , qk ∈ Rn είναι ορθοκανονικά όταν είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1. 0, i = j· δηλαδή όταν qiT qj = 1, i = j.
  • 34. Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες Ορισμός Τα διανύσματα q1 , q2 , . . . , qk ∈ Rn είναι ορθοκανονικά όταν είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1. 0, i = j· δηλαδή όταν qiT qj = 1, i = j. Ορισμός ΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλες του είναι ορθοκανονικές.       1 0 0 0 1 0       Παράδειγμα: e1 =  . , e2 =  . , . . . , en =  . . . . .  . . 0 0 1
  • 35. Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τον ανάστροφό του.
  • 36. Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τον ανάστροφό του. Q −1 = Q T
  • 37. Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τον ανάστροφό του. Q −1 = Q T Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη, τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
  • 38. Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τον ανάστροφό του. Q −1 = Q T Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη, τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες ||Qx|| = ||x||,
  • 39. Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τον ανάστροφό του. Q −1 = Q T Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη, τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες ||Qx|| = ||x||, Qx)T (Qx) = x T x,
  • 40. Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τον ανάστροφό του. Q −1 = Q T Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη, τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες ˆ ||Qx|| = ||x||, Qx)T (Qx) = x T x, (Qx, Qy ) = (x, y ) ˆ
  • 41. Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τον ανάστροφό του. Q −1 = Q T Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη, τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες ˆ ||Qx|| = ||x||, Qx)T (Qx) = x T x, (Qx, Qy ) = (x, y ) ˆ Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των στηλών του Q
  • 42. Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τον ανάστροφό του. Q −1 = Q T Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη, τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες ˆ ||Qx|| = ||x||, Qx)T (Qx) = x T x, (Qx, Qy ) = (x, y ) ˆ Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των στηλών του Q T T T b = (q1 b)q1 + (q2 b)q2 + . . . + (qn b)qn