• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
25η Διάλεξη - Καθετότητα, ορθογωνιότητα και Θεμελειώδες Θεώρημα (2ο μέρος)
 

25η Διάλεξη - Καθετότητα, ορθογωνιότητα και Θεμελειώδες Θεώρημα (2ο μέρος)

on

  • 2,925 views

Ορισμοί, έννοιες, θεωρήματα αποδέιξεις

Ορισμοί, έννοιες, θεωρήματα αποδέιξεις

Statistics

Views

Total Views
2,925
Views on SlideShare
177
Embed Views
2,748

Actions

Likes
0
Downloads
35
Comments
0

1 Embed 2,748

http://inf-server.inf.uth.gr 2748

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    25η Διάλεξη - Καθετότητα, ορθογωνιότητα και Θεμελειώδες Θεώρημα (2ο μέρος) 25η Διάλεξη - Καθετότητα, ορθογωνιότητα και Θεμελειώδες Θεώρημα (2ο μέρος) Presentation Transcript

    • Γραμμική ΄Αλγεβρα Καθετότητα και Ορθογωνιότητα Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 15 Δεκεμβρίου 2013
    • Μήκος Διανύσματος
    • Μήκος Διανύσματος x 2 2 2 2 = x1 + x2 + . . . + xn
    • Μήκος Διανύσματος x 2 2 2 2 = x1 + x2 + . . . + xn √ x = xT x
    • Καθετότητα Διανυσμάτων
    • Καθετότητα Διανυσμάτων
    • Καθετότητα Διανυσμάτων x 2 + y 2 = x −y 2
    • Καθετότητα Διανυσμάτων x 2 + y 2 = x −y Θεώρημα x και y είναι κάθετα μεταξύ τους ανν x T y = 0 Ορισμός Ο αριθμός x T y λέγεται εσωτερικό γινόμενο 2
    • Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία Θεώρημα Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
    • Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία Θεώρημα Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Απόδειξη. c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn = 0
    • Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία Θεώρημα Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Απόδειξη. c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn = 0 ⇒ T v1 (c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn ) = 0
    • Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία Θεώρημα Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Απόδειξη. c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn = 0 ⇒ T v1 (c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn ) = 0 ⇒ T T T c1 v1 v1 + c2 v1 v2 + . . . + cn v1 vn = 0
    • Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία Θεώρημα Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Απόδειξη. c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn = 0 ⇒ T v1 (c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn ) = 0 ⇒ T T T c1 v1 v1 + c2 v1 v2 + . . . + cn v1 vn = 0 ⇒ c1 ||v1 || = 0
    • Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία Θεώρημα Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Απόδειξη. c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn = 0 ⇒ T v1 (c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn ) = 0 ⇒ T T T c1 v1 v1 + c2 v1 v2 + . . . + cn v1 vn = 0 ⇒ c1 ||v1 || = 0 ⇒ c1 = 0
    • Ορθογώνιοι Υπόχωροι Ορισμός Δύο υπόχωροι V και W του ίδιου διανυσματικού χώρου (πχ του R n ) είναι ορθογώνιοι εάν κάθε διάνυσμα v ∈ V είναι ορθογώνιο σε κάθε διάνυσμα w ∈ W . Παράδειγμα:       1 −1   4 + c2  7 , c1 , c2 ∈ R V = c1   0 0     0   W = d  0 , d ∈ R   −3
    • Ορθογώνιοι Υπόχωροι - Ορθογώνιο Συμπλήρωμα Ορισμός Δύο υπόχωροι V και W του ίδιου διανυσματικού χώρου (πχ του R n ) είναι ορθογώνιοι εάν κάθε διάνυσμα v ∈ V είναι ορθογώνιο σε κάθε διάνυσμα w ∈ W . Ορισμός Δοθέντος ενός υπόχωρου V ⊂ Rn , ο χώρος όλων των ορθογωνίων διανυσμάτων στον V λέγεται ορθογώνιο συμπλήρωμα του V και συμβολίζεται με V ⊥ .
    • Ορθογώνιοι Υπόχωροι - Ορθογώνιο Συμπλήρωμα Ορισμός Δύο υπόχωροι V και W του ίδιου διανυσματικού χώρου (πχ του R n ) είναι ορθογώνιοι εάν κάθε διάνυσμα v ∈ V είναι ορθογώνιο σε κάθε διάνυσμα w ∈ W . Ορισμός Δοθέντος ενός υπόχωρου V ⊂ Rn , ο χώρος όλων των ορθογωνίων διανυσμάτων στον V λέγεται ορθογώνιο συμπλήρωμα του V και συμβολίζεται με V ⊥ . Θεώρημα W = V ⊥ ⇒ V = W ⊥,
    • Ορθογώνιοι Υπόχωροι - Ορθογώνιο Συμπλήρωμα Ορισμός Δύο υπόχωροι V και W του ίδιου διανυσματικού χώρου (πχ του R n ) είναι ορθογώνιοι εάν κάθε διάνυσμα v ∈ V είναι ορθογώνιο σε κάθε διάνυσμα w ∈ W . Ορισμός Δοθέντος ενός υπόχωρου V ⊂ Rn , ο χώρος όλων των ορθογωνίων διανυσμάτων στον V λέγεται ορθογώνιο συμπλήρωμα του V και συμβολίζεται με V ⊥ . Θεώρημα W = V ⊥ ⇒ V = W ⊥, V⊥ ⊥ =V
    • Παράδειγμα
    • Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής ΄Αλγεβρας (μέρος 2ο) T N (A) = R(A ) ⊥
    • Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής ΄Αλγεβρας (μέρος 2ο) T N (A) = R(A ) ⊥ R(AT ) = (N (A))⊥
    • Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής ΄Αλγεβρας (μέρος 2ο) T N (A) = R(A ) ⊥ R(AT ) = (N (A))⊥ N (AT ) = (R(A))⊥ T R(A) = N (A ) ⊥
    • Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής ΄Αλγεβρας (μέρος 2ο)
    • Πόρισμα Το Ax = b έχει λύση ανν b T y = 0 οποτεδήποτε AT y = 0
    • Πόρισμα Το Ax = b έχει λύση ανν b T y = 0 οποτεδήποτε AT y = 0 Το Ax = b έχει λύση ανν το b είναι ορθογώνιο σε κάθε διάνυσμα που είναι ορθογώνιο στις στήλες του A.
    • Πόρισμα Το Ax = b έχει λύση ανν b T y = 0 οποτεδήποτε AT y = 0 Το Ax = b έχει λύση ανν το b είναι ορθογώνιο σε κάθε διάνυσμα που είναι ορθογώνιο στις στήλες του A. Παράδειγμα: x1 − x2 = b1 x2 − x3 = b2 x3 − x1 = b3
    • Πόρισμα Η απεικόνιση του χώρου γραμμών στον χώρο στηλών είναι αντιστρέψιμη
    • Πόρισμα Η απεικόνιση του χώρου γραμμών στον χώρο στηλών είναι αντιστρέψιμη Για κάθε b στον χώρο στηλών υπάρχει μοναδικό xr στον χώρο γραμμών