Your SlideShare is downloading. ×
22η Διάλεξη - Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής Άλγεβρας (μέρος 1ο)
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

22η Διάλεξη - Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής Άλγεβρας (μέρος 1ο)

3,602
views

Published on

Υπόβαθρο και εικόνα θεωρήματος

Υπόβαθρο και εικόνα θεωρήματος

Published in: Education

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
3,602
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
43
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Γραμμική ΄Αλγεβρα Θεμελιώδεις Θεώρημα (μέρος 1ο) Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 15 Δεκεμβρίου 2013
  • 2. Βάση του αριστερού μηδενόχωρου Θεώρημα Βάση του αριστερού μηδενόχωρου του A είναι οι γραμμές του L−1 που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του U.
  • 3. Βάση του αριστερού μηδενόχωρου Θεώρημα Βάση του αριστερού μηδενόχωρου του A είναι οι γραμμές του L−1 που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του U. Απόδειξη. A = LU ⇒ L−1 A = U
  • 4. Βάση του αριστερού μηδενόχωρου Θεώρημα Βάση του αριστερού μηδενόχωρου του A είναι οι γραμμές του L−1 που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του U. Απόδειξη. A = LU ⇒ L−1 A = U
  • 5. Σύνοψη - Βάσεις θεμελιωδών υποχώρων 1 Χώρος γραμμών - Οι γραμμές του A ή του U που φέρουν οδηγό.
  • 6. Σύνοψη - Βάσεις θεμελιωδών υποχώρων 1 2 Χώρος γραμμών - Οι γραμμές του A ή του U που φέρουν οδηγό. Χώρος στηλών - Οι στήλες του A που αντιστοιχούν στις στήλες του U που φέρουν οδηγό.
  • 7. Σύνοψη - Βάσεις θεμελιωδών υποχώρων 1 2 3 Χώρος γραμμών - Οι γραμμές του A ή του U που φέρουν οδηγό. Χώρος στηλών - Οι στήλες του A που αντιστοιχούν στις στήλες του U που φέρουν οδηγό. Μηδενόχωρος - ΄Ενα σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων του ομογενούς (δες αλγόριθμο).
  • 8. Σύνοψη - Βάσεις θεμελιωδών υποχώρων 1 2 3 4 Χώρος γραμμών - Οι γραμμές του A ή του U που φέρουν οδηγό. Χώρος στηλών - Οι στήλες του A που αντιστοιχούν στις στήλες του U που φέρουν οδηγό. Μηδενόχωρος - ΄Ενα σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων του ομογενούς (δες αλγόριθμο). Αριστερός Μηδενόχωρος - οι γραμμές του L−1 που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του U.
  • 9. Συμπληρωματικότητα Χώρων Θεώρημα Το άθροισμα της διάστασης του χώρου γραμμών και του μηδενόχωρου ισούται με n. Απόδειξη.
  • 10. Συμπληρωματικότητα Χώρων Θεώρημα Το άθροισμα της διάστασης του χώρου γραμμών και του μηδενόχωρου ισούται με n. Απόδειξη. Θεώρημα Το άθροισμα της διάστασης του χώρου στηλών και του αριστερού μηδενόχωρου ισούται με m.
  • 11. Συμπληρωματικότητα Χώρων Θεώρημα Το άθροισμα της διάστασης του χώρου γραμμών και του μηδενόχωρου ισούται με n. Απόδειξη. Θεώρημα Το άθροισμα της διάστασης του χώρου στηλών και του αριστερού μηδενόχωρου ισούται με m. Απόδειξη. Ανέστρεψε τον πίνακα και επανέλαβε την προηγούμενη απόδειξη.
  • 12. Θεμελιώδες Θεώρημα Γραμμικής ΄Αλγεβρας
  • 13. ΄Υπαρξη Αντιστρόφων Ορισμός Ο B είναι αριστερός αντίστροφος του A ανν BA = I
  • 14. ΄Υπαρξη Αντιστρόφων Ορισμός Ο B είναι αριστερός αντίστροφος του A ανν BA = I Ο C είναι δεξιός αντίστροφος του A ανν AC = I
  • 15. ΄Υπαρξη Αντιστρόφων Ορισμός Ο B είναι αριστερός αντίστροφος του A ανν BA = I Ο C είναι δεξιός αντίστροφος του A ανν AC = I Εάν n = m = r τότε ο αριστερός αντίστροφος ταυτίζεται με τον δεξιό και είναι μοναδικός.
  • 16. Τύποι Αντιστρόφων B = AT A −1 AT
  • 17. Τύποι Αντιστρόφων B = AT A −1 C = AT AAT AT −1
  • 18. Τύποι Αντιστρόφων B = AT A −1 C = AT AAT AT −1 Γιατί (και πότε) αντιστρέφονται οι AT A AAT ;
  • 19. ΄Υπαρξη Λύσης
  • 20. ΄Υπαρξη Λύσης Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν οι στήλες του A παράγουν τον Rm
  • 21. ΄Υπαρξη Λύσης Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν οι στήλες του A παράγουν τον Rm Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν r = m (και m ≤ n)
  • 22. ΄Υπαρξη Λύσης Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν οι στήλες του A παράγουν τον Rm Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν r = m (και m ≤ n) Εάν r = m (και m ≤ n) τότε υπάρχει δεξιός αντίστροφος του A
  • 23. ΄Υπαρξη Λύσης Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν οι στήλες του A παράγουν τον Rm Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν r = m (και m ≤ n) Εάν r = m (και m ≤ n) τότε υπάρχει δεξιός αντίστροφος του A
  • 24. Μοναδικότητα Λύσης
  • 25. Μοναδικότητα Λύσης Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
  • 26. Μοναδικότητα Λύσης Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν r = n (και n ≤ m)
  • 27. Μοναδικότητα Λύσης Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν r = n (και n ≤ m) Εάν r = n (και n ≤ m) τότε υπάρχει αριστερός αντίστροφος του A
  • 28. Μοναδικότητα Λύσης Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν r = n (και n ≤ m) Εάν r = n (και n ≤ m) τότε υπάρχει αριστερός αντίστροφος του A
  • 29. ΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης
  • 30. ΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης Μια πιθανή λύση του Ax = b είναι η x = Cb
  • 31. ΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης Μια πιθανή λύση του Ax = b είναι η x = Cb μια και Ax = ACb = b,
  • 32. ΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης Μια πιθανή λύση του Ax = b είναι η x = Cb μια και Ax = ACb = b, μπορεί όμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις (C ).
  • 33. ΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης Μια πιθανή λύση του Ax = b είναι η x = Cb μια και Ax = ACb = b, μπορεί όμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις (C ). Αν το Ax = b έχει λύση τότε αυτή θα είναι της μορφής x = BAx = Bb .
  • 34. Παράδειγμα A= 4 0 0 0 5 0
  • 35. Παράδειγμα A= 4 0 0 0 5 0 m = 2, n = 3, r = 2
  • 36. Πίνακες τάξης 1   2 1 1  4 2 2   A=  8 4 4  −2 −1 −1
  • 37. Πίνακες τάξης 1     2 1 1 1  4  2 2 2   =  2 1 1 A=  8  4 4 4  −2 −1 −1 −1
  • 38. Πίνακες τάξης 1     2 1 1 1  4  2 2 2   =  2 1 1 A=  8  4 4 4  −2 −1 −1 −1 Κάθε πίνακας A τάξης 1 μπορεί να γραφθεί στην μορφή A = uv T

×