21η Διάλεξη - Βάση και διάσταση θεμελιωδών χώρων

137 views
116 views

Published on

συνέχεια

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
137
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4
Actions
Shares
0
Downloads
14
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

21η Διάλεξη - Βάση και διάσταση θεμελιωδών χώρων

  1. 1. Γραμμική ΄Αλγεβρα Θεμελιώδεις Θεώρημα (μέρος 1ο) Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 2 Δεκεμβρίου 2013
  2. 2. Θεώρημα Εάν το σύνολο v1 , v2 , . . . , vm είναι βάση του χώρου V και το σύνολο w1 , w2 , . . . , wn είναι και αυτό βάση του ίδιου χώρου V τότε m = n.
  3. 3. Θεώρημα Εάν το σύνολο v1 , v2 , . . . , vm είναι βάση του χώρου V και το σύνολο w1 , w2 , . . . , wn είναι και αυτό βάση του ίδιου χώρου V τότε m = n. ΄Εστω m < n W = VC ⇒ Wx = VCx ⇒ Wx = V (Cx) Ο μηδενόχωσρος του πίνακα C έχει μη-μηδενικά στοιχεία. ΄Αρα το Cx = 0 έχει μη-τετριμένη λύση Οπότε και το Wx = VCx = 0 έχει μη-τετριμένη λύση ΄Ατοπο επειδή τα wi είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Απόδειξη. .
  4. 4. Θεώρημα Ο χώρος γραμμών του A έχει την ίδια διάσταση r και την ίδια βάση με τον χώρο γραμμών του U.
  5. 5. Θεώρημα Ο χώρος γραμμών του A έχει την ίδια διάσταση r και την ίδια βάση με τον χώρο γραμμών του U. (΄Αρα οι δύο χώροι ταυτίζονται).
  6. 6. Θεώρημα Ο χώρος γραμμών του A έχει την ίδια διάσταση r και την ίδια βάση με τον χώρο γραμμών του U. (΄Αρα οι δύο χώροι ταυτίζονται). Απόδειξη.     1 3 0 2 −1 1 3 0 2 −1 A =  0 0 1 4 −3  , U =  0 0 1 4 −3  1 3 1 6 −4 0 0 0 0 −0
  7. 7. Θεώρημα Ο χώρος στηλών του A δεν είναι ίδιος με τον χώρο στηλών του U. Απόδειξη.     1 3 0 2 −1 1 3 0 2 −1 A =  0 0 1 4 −3  , U =  0 0 1 4 −3  1 3 1 6 −4 0 0 0 0 −0
  8. 8. Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U.     1 3 0 2 −1 1 3 0 2 −1 A =  0 0 1 4 −3  , U =  0 0 1 4 −3  1 3 1 6 −4 0 0 0 0 −0
  9. 9. Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U.     1 3 0 2 −1 1 3 0 2 −1 A =  0 0 1 4 −3  , U =  0 0 1 4 −3  1 3 1 6 −4 0 0 0 0 −0 Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο του U
  10. 10. Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U.     1 3 0 2 −1 1 3 0 2 −1 A =  0 0 1 4 −3  , U =  0 0 1 4 −3  1 3 1 6 −4 0 0 0 0 −0 Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο του U Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται με τον χώρος γραμμών του U
  11. 11. Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U.     1 3 0 2 −1 1 3 0 2 −1 A =  0 0 1 4 −3  , U =  0 0 1 4 −3  1 3 1 6 −4 0 0 0 0 −0 Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο του U Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται με τον χώρος γραμμών του U Ο χώρος στηλών του A δεν είναι ίσος με τον χώρο στηλών του U
  12. 12. Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U.     1 3 0 2 −1 1 3 0 2 −1 A =  0 0 1 4 −3  , U =  0 0 1 4 −3  1 3 1 6 −4 0 0 0 0 −0 Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο του U Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται με τον χώρος γραμμών του U Ο χώρος στηλών του A δεν είναι ίσος με τον χώρο στηλών του U Βάση του χώρου στηλών του A είναι οι στήλες του A που αντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουν οδηγό.

×