Your SlideShare is downloading. ×
0
20η Διάλεξη - Βάσεις και Διαστάσεις Θεμελιωδών Χώρων
20η Διάλεξη - Βάσεις και Διαστάσεις Θεμελιωδών Χώρων
20η Διάλεξη - Βάσεις και Διαστάσεις Θεμελιωδών Χώρων
20η Διάλεξη - Βάσεις και Διαστάσεις Θεμελιωδών Χώρων
20η Διάλεξη - Βάσεις και Διαστάσεις Θεμελιωδών Χώρων
20η Διάλεξη - Βάσεις και Διαστάσεις Θεμελιωδών Χώρων
20η Διάλεξη - Βάσεις και Διαστάσεις Θεμελιωδών Χώρων
20η Διάλεξη - Βάσεις και Διαστάσεις Θεμελιωδών Χώρων
20η Διάλεξη - Βάσεις και Διαστάσεις Θεμελιωδών Χώρων
20η Διάλεξη - Βάσεις και Διαστάσεις Θεμελιωδών Χώρων
20η Διάλεξη - Βάσεις και Διαστάσεις Θεμελιωδών Χώρων
20η Διάλεξη - Βάσεις και Διαστάσεις Θεμελιωδών Χώρων
20η Διάλεξη - Βάσεις και Διαστάσεις Θεμελιωδών Χώρων
20η Διάλεξη - Βάσεις και Διαστάσεις Θεμελιωδών Χώρων
20η Διάλεξη - Βάσεις και Διαστάσεις Θεμελιωδών Χώρων
20η Διάλεξη - Βάσεις και Διαστάσεις Θεμελιωδών Χώρων
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

20η Διάλεξη - Βάσεις και Διαστάσεις Θεμελιωδών Χώρων

4,496

Published on

βάσεις και διάσταση θεμελιωδών χώρων

βάσεις και διάσταση θεμελιωδών χώρων

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
4,496
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
64
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Γραμμική ΄Αλγεβρα Γραμμική Ανεξαρτησία - Βάση Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 2 Δεκεμβρίου 2013
  • 2. Διαδικαστικά Η διάλεξη της Παρασκευής θα πραγματοποιηθεί στις 10-11. Κατά την διάρκεια των επόμενων διαλέξεων θα δωθεί μια ενδεικτική εξέταση προόδου. Θα μετρήσει μόνον θετικά και μόνον στην περίπτωση που ο βαθμός της τελικής εξέτασης είναι μεταξύ 4,0 και 4,9.
  • 3. Γραμμική Εξάρτηση x = αy
  • 4. Γραμμική Εξάρτηση x = αy xk = c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn
  • 5. Γραμμική Εξάρτηση x = αy xk = c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων λέγονται γραμμικά εξαρτημένα αν το καθένα απο αυτά μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων.
  • 6. Γραμμική Εξάρτηση ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων x1 , x2 , . . . , xk ∈ Rn λέγονται γραμμικά εξαρτημένα ανν υπάρχουν αριθμοί c1 , c2 , . . . , ck ∈ R εκ των οποίων τουλάχιστον ένας δεν είναι μηδέν και για τους οποίους ισχύει c1 x1 + c2 x2 . . . , ck xk = 0.
  • 7. Γραμμική Εξάρτηση ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων x1 , x2 , . . . , xk ∈ Rn λέγονται γραμμικά εξαρτημένα ανν υπάρχουν αριθμοί c1 , c2 , . . . , ck ∈ R εκ των οποίων τουλάχιστον ένας δεν είναι μηδέν και για τους οποίους ισχύει c1 x1 + c2 x2 . . . , ck xk = 0. Για να ελέγξουμε την εξάρτηση των x1 , x2 , . . . , xk ∈ Rn Σχηματίζουμε τον πίνακα A οποίος έχει σαν στήλες τα διανύσματα αυτά Υπολογίζουμε τον μηδενόχωρο του A Αν αυτός περιλαμβάνει μόνον το μηδενικό διάνυσμα τοότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
  • 8. Ορισμοί Εάν ένας διανυσματικός χώρος V αποτελείται από όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων w1 , w2 , . . . , wk τότε λέμε ότι αυτά παράγουν τον V .
  • 9. Ορισμοί Εάν ένας διανυσματικός χώρος V αποτελείται από όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων w1 , w2 , . . . , wk τότε λέμε ότι αυτά παράγουν τον V . ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων παράγει έναν διανυσματικό χώρο ανν κάθε διάνυσμα του χώρου μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των εν λόγω διανυσμάτων.
  • 10. Ορισμοί Εάν ένας διανυσματικός χώρος V αποτελείται από όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων w1 , w2 , . . . , wk τότε λέμε ότι αυτά παράγουν τον V . ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων παράγει έναν διανυσματικό χώρο ανν κάθε διάνυσμα του χώρου μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των εν λόγω διανυσμάτων. ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων αποτελεί βάση ενός διανυσματικού χώρου ανν αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα και παράγουν τον χώρο.
  • 11. Ορισμοί Εάν ένας διανυσματικός χώρος V αποτελείται από όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων w1 , w2 , . . . , wk τότε λέμε ότι αυτά παράγουν τον V . ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων παράγει έναν διανυσματικό χώρο ανν κάθε διάνυσμα του χώρου μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των εν λόγω διανυσμάτων. ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων αποτελεί βάση ενός διανυσματικού χώρου ανν αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα και παράγουν τον χώρο. Διάσταση ενός υποχώρου είναι το πλήθος των στοιχείων της βάσης του.
  • 12. Παρατηρήσεις Κάθε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων ενός χώρου V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, να επεκταθεί (με προσθήκη άλλων διανυσμάτων) έτσι ώστε να γίνει βάση του V .
  • 13. Παρατηρήσεις Κάθε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων ενός χώρου V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, να επεκταθεί (με προσθήκη άλλων διανυσμάτων) έτσι ώστε να γίνει βάση του V . Κάθε σύνολο διανυσμάτων που παράγει έναν χώρο V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, να συρρικνωθεί (αφαιρώντας διανύσματα) έτσι ώστε να γίνει βάση του V .
  • 14. Παρατηρήσεις Κάθε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων ενός χώρου V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, να επεκταθεί (με προσθήκη άλλων διανυσμάτων) έτσι ώστε να γίνει βάση του V . Κάθε σύνολο διανυσμάτων που παράγει έναν χώρο V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, να συρρικνωθεί (αφαιρώντας διανύσματα) έτσι ώστε να γίνει βάση του V . Υπάρχουν άπειρες διαφορετικές βάσεις ενός υπόχωρου.
  • 15. Παρατηρήσεις Κάθε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων ενός χώρου V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, να επεκταθεί (με προσθήκη άλλων διανυσμάτων) έτσι ώστε να γίνει βάση του V . Κάθε σύνολο διανυσμάτων που παράγει έναν χώρο V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, να συρρικνωθεί (αφαιρώντας διανύσματα) έτσι ώστε να γίνει βάση του V . Υπάρχουν άπειρες διαφορετικές βάσεις ενός υπόχωρου. Δύο οποιεσδήποτε βάσεις ενός χώρου αποτελούνται από το ίδιο πλήθος διανυσμάτων.
  • 16. Θεώρημα Εάν το σύνολο v1 , v2 , . . . , vm είναι βάση του χώρου V και το σύνολο w1 , w2 , . . . , wn είναι και αυτό βάση του ίδιου χώρου V τότε m = n. Απόδειξη. .

×