• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
20η Διάλεξη - Βάσεις και Διαστάσεις Θεμελιωδών Χώρων
 

20η Διάλεξη - Βάσεις και Διαστάσεις Θεμελιωδών Χώρων

on

  • 3,743 views

βάσεις και διάσταση θεμελιωδών χώρων

βάσεις και διάσταση θεμελιωδών χώρων

Statistics

Views

Total Views
3,743
Views on SlideShare
291
Embed Views
3,452

Actions

Likes
0
Downloads
50
Comments
0

1 Embed 3,452

http://inf-server.inf.uth.gr 3452

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    20η Διάλεξη - Βάσεις και Διαστάσεις Θεμελιωδών Χώρων 20η Διάλεξη - Βάσεις και Διαστάσεις Θεμελιωδών Χώρων Presentation Transcript

    • Γραμμική ΄Αλγεβρα Γραμμική Ανεξαρτησία - Βάση Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 2 Δεκεμβρίου 2013
    • Διαδικαστικά Η διάλεξη της Παρασκευής θα πραγματοποιηθεί στις 10-11. Κατά την διάρκεια των επόμενων διαλέξεων θα δωθεί μια ενδεικτική εξέταση προόδου. Θα μετρήσει μόνον θετικά και μόνον στην περίπτωση που ο βαθμός της τελικής εξέτασης είναι μεταξύ 4,0 και 4,9.
    • Γραμμική Εξάρτηση x = αy
    • Γραμμική Εξάρτηση x = αy xk = c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn
    • Γραμμική Εξάρτηση x = αy xk = c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων λέγονται γραμμικά εξαρτημένα αν το καθένα απο αυτά μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων.
    • Γραμμική Εξάρτηση ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων x1 , x2 , . . . , xk ∈ Rn λέγονται γραμμικά εξαρτημένα ανν υπάρχουν αριθμοί c1 , c2 , . . . , ck ∈ R εκ των οποίων τουλάχιστον ένας δεν είναι μηδέν και για τους οποίους ισχύει c1 x1 + c2 x2 . . . , ck xk = 0.
    • Γραμμική Εξάρτηση ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων x1 , x2 , . . . , xk ∈ Rn λέγονται γραμμικά εξαρτημένα ανν υπάρχουν αριθμοί c1 , c2 , . . . , ck ∈ R εκ των οποίων τουλάχιστον ένας δεν είναι μηδέν και για τους οποίους ισχύει c1 x1 + c2 x2 . . . , ck xk = 0. Για να ελέγξουμε την εξάρτηση των x1 , x2 , . . . , xk ∈ Rn Σχηματίζουμε τον πίνακα A οποίος έχει σαν στήλες τα διανύσματα αυτά Υπολογίζουμε τον μηδενόχωρο του A Αν αυτός περιλαμβάνει μόνον το μηδενικό διάνυσμα τοότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
    • Ορισμοί Εάν ένας διανυσματικός χώρος V αποτελείται από όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων w1 , w2 , . . . , wk τότε λέμε ότι αυτά παράγουν τον V .
    • Ορισμοί Εάν ένας διανυσματικός χώρος V αποτελείται από όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων w1 , w2 , . . . , wk τότε λέμε ότι αυτά παράγουν τον V . ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων παράγει έναν διανυσματικό χώρο ανν κάθε διάνυσμα του χώρου μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των εν λόγω διανυσμάτων.
    • Ορισμοί Εάν ένας διανυσματικός χώρος V αποτελείται από όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων w1 , w2 , . . . , wk τότε λέμε ότι αυτά παράγουν τον V . ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων παράγει έναν διανυσματικό χώρο ανν κάθε διάνυσμα του χώρου μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των εν λόγω διανυσμάτων. ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων αποτελεί βάση ενός διανυσματικού χώρου ανν αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα και παράγουν τον χώρο.
    • Ορισμοί Εάν ένας διανυσματικός χώρος V αποτελείται από όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων w1 , w2 , . . . , wk τότε λέμε ότι αυτά παράγουν τον V . ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων παράγει έναν διανυσματικό χώρο ανν κάθε διάνυσμα του χώρου μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των εν λόγω διανυσμάτων. ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων αποτελεί βάση ενός διανυσματικού χώρου ανν αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα και παράγουν τον χώρο. Διάσταση ενός υποχώρου είναι το πλήθος των στοιχείων της βάσης του.
    • Παρατηρήσεις Κάθε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων ενός χώρου V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, να επεκταθεί (με προσθήκη άλλων διανυσμάτων) έτσι ώστε να γίνει βάση του V .
    • Παρατηρήσεις Κάθε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων ενός χώρου V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, να επεκταθεί (με προσθήκη άλλων διανυσμάτων) έτσι ώστε να γίνει βάση του V . Κάθε σύνολο διανυσμάτων που παράγει έναν χώρο V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, να συρρικνωθεί (αφαιρώντας διανύσματα) έτσι ώστε να γίνει βάση του V .
    • Παρατηρήσεις Κάθε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων ενός χώρου V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, να επεκταθεί (με προσθήκη άλλων διανυσμάτων) έτσι ώστε να γίνει βάση του V . Κάθε σύνολο διανυσμάτων που παράγει έναν χώρο V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, να συρρικνωθεί (αφαιρώντας διανύσματα) έτσι ώστε να γίνει βάση του V . Υπάρχουν άπειρες διαφορετικές βάσεις ενός υπόχωρου.
    • Παρατηρήσεις Κάθε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων ενός χώρου V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, να επεκταθεί (με προσθήκη άλλων διανυσμάτων) έτσι ώστε να γίνει βάση του V . Κάθε σύνολο διανυσμάτων που παράγει έναν χώρο V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, να συρρικνωθεί (αφαιρώντας διανύσματα) έτσι ώστε να γίνει βάση του V . Υπάρχουν άπειρες διαφορετικές βάσεις ενός υπόχωρου. Δύο οποιεσδήποτε βάσεις ενός χώρου αποτελούνται από το ίδιο πλήθος διανυσμάτων.
    • Θεώρημα Εάν το σύνολο v1 , v2 , . . . , vm είναι βάση του χώρου V και το σύνολο w1 , w2 , . . . , wn είναι και αυτό βάση του ίδιου χώρου V τότε m = n. Απόδειξη. .