Your SlideShare is downloading. ×
19η Διάλεξη - Επανάληψη & Εισαγωγή στου Θεμελειώδεις Υπόχωρους
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Introducing the official SlideShare app

Stunning, full-screen experience for iPhone and Android

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

19η Διάλεξη - Επανάληψη & Εισαγωγή στου Θεμελειώδεις Υπόχωρους

4,486
views

Published on

επανάληψη

επανάληψη


0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
4,486
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
52
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Γραμμική ΄Αλγεβρα Επίλυση m × n συστήματος Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 26 Νοεμβρίου 2013
  • 2. Υπολογισμός Γενικευμένης Λύσης Ax = b 1 Απαλοιφή στο Ax = b (Ax = b ⇒ Ux = c) 2 Μηδένισε τις ελεύθερες μεταβλητές και λύσε (xειδικη ) 3 4 Θέσε b = 0 και διαδοχικά, σε κάθε ελεύθερη μεταβλητή 1 θέτοντας ταυτόχρονα τις υπόλοιπες μεταβλητές ίσες με 0 και βρες μια ομογενή λύση (xoµoγ νoυς ) xγ νικη = xειδικη + xoµoγ νoυς
  • 3. Εξαμπλε μη-ομογενές x1 + 2x2 − 3x3 + 2x4 − 4x5 = 1 2x1 + 4x2 − 5x3 + 1x4 − 6x5 = 3 5x1 + 10x2 − 13x3 + 4x4 − 16x5 = 7
  • 4. Εξαμπλε μη-ομογενές x1 + 2x2 − 3x3 + 2x4 − 4x5 = 1 2x1 + 4x2 − 5x3 + 1x4 − 6x5 = 3 5x1 + 10x2 − 13x3 + 4x4 − 16x5 = 7 x1 + 2x2 − 3x3 + 2x4 − 4x5 = 0 2x1 + 4x2 − 5x3 + 1x4 − 6x5 = 0 5x1 + 10x2 − 13x3 + 4x4 − 16x5 = 0
  • 5. Επαυξημένος πίνακας:   1 2 −3 2 −4 1  2 4 −5 1 −6 3  5 10 −13 4 −16 7
  • 6. Επαυξημένος πίνακας:   1 2 −3 2 −4 1  2 4 −5 1 −6 3  5 10 −13 4 −16 7 L2 → −2L1 + L2 ανδ L3  1  0 0 → −5L1 + L3 :  2 −3 2 −4 1 0 1 −3 2 1  0 2 −6 4 2
  • 7. Επαυξημένος πίνακας:   1 2 −3 2 −4 1  2 4 −5 1 −6 3  5 10 −13 4 −16 7 L2 → −2L1 + L2 ανδ L3  1  0 0 → −5L1 + L3 :  2 −3 2 −4 1 0 1 −3 2 1  0 2 −6 4 2 L3 → −2L2 + L3 :   1 2 −3 2 −4 1  0 0 1 −3 2 1  0 0 0 0 0 0
  • 8. Επαυξημένος πίνακας:   1 2 −3 2 −4 1  2 4 −5 1 −6 3  5 10 −13 4 −16 7 L2 → −2L1 + L2 ανδ L3  1  0 0 → −5L1 + L3 :  2 −3 2 −4 1 0 1 −3 2 1  0 2 −6 4 2 L3 → −2L2 + L3 :   1 2 −3 2 −4 1  0 0 1 −3 2 1  0 0 0 0 0 0 Υπάρχει λύση.
  • 9.   1 2 −3 2 −4 1  0 0 1 −3 2 1  0 0 0 0 0 0
  • 10.   1 2 −3 2 −4 1  0 0 1 −3 2 1  0 0 0 0 0 0 L1 → L1 + 3L3   1 2 0 −7 2 4  0 0 1 −3 2 1  0 0 0 0 0 0
  • 11.   1 2 −3 2 −4 1  0 0 1 −3 2 1  0 0 0 0 0 0 L1 → L1 + 3L3   1 2 0 −7 2 4  0 0 1 −3 2 1  0 0 0 0 0 0 Ελεύθερες μεταβλητές: x2 , x4 , x5 .
  • 12.   1 2 −3 2 −4 1  0 0 1 −3 2 1  0 0 0 0 0 0 L1 → L1 + 3L3   1 2 0 −7 2 4  0 0 1 −3 2 1  0 0 0 0 0 0 Ελεύθερες μεταβλητές: x2 , x4 , x5 . Θέτοντάς τες 0 έχουμε:
  • 13.   1 2 −3 2 −4 1  0 0 1 −3 2 1  0 0 0 0 0 0 L1 → L1 + 3L3   1 2 0 −7 2 4  0 0 1 −3 2 1  0 0 0 0 0 0 Ελεύθερες μεταβλητές: x2 , x4 , x5 . Θέτοντάς τες 0 έχουμε: x1 = 4, x3 = 1. ΄Αρα μια λύση είναι η   4  0    s0 =  1  .    0  0
  • 14. Για την γενικευμένη λύση  1  0 0 του ομογενούς  2 0 −7 2 0 0 1 −3 2 0  0 0 0 0 0 έχουμε           x1 −2x2 + 7x4 − 2x5 −2 7 −2  x2   1 0 0 x2            = x2  0  + x4 3 + x5 −2 x3  =  3x4 − 2x5            x4   0 1 0 x4 x5 x5 0 0 1
  • 15. Συνεπώς όλες οι λύσεις του ομογενούς συστήματος δίνονται απο την σχέση:       −2  7  −2          1    0  0  Span  0  , 3 , −2        0  1  0        1 0 0 Εικόνα: Span{u,v} u v
  • 16. ΄Ολες οι λύσεις του μη ομογενούς συστήματος δίνονται απο την σχέση:         −2  7 4  −2          1 0    0  0    1 + Span  0  , 3 , −2          0  1  0  0       1 0 0 0 Εικόνα: s0+Span{ u,v} s0 u v
  • 17. ΄Υπαρξη Λύσης Θεώρημα Εάν από την απαλοιφή του m × n συστήματος Ax = b(⇒ Ux = c) προκύψουν r οδηγοί τότε:
  • 18. ΄Υπαρξη Λύσης Θεώρημα Εάν από την απαλοιφή του m × n συστήματος Ax = b(⇒ Ux = c) προκύψουν r οδηγοί τότε: r = m ⇒ υπάρχει πάντα μια λύση
  • 19. ΄Υπαρξη Λύσης Θεώρημα Εάν από την απαλοιφή του m × n συστήματος Ax = b(⇒ Ux = c) προκύψουν r οδηγοί τότε: r = m ⇒ υπάρχει πάντα μια λύση r = m ⇒ υπάρχει λύση αν οι τελευταίες m − r συνιστώσες του c είναι 0 Ορισμός Ο αριθμός r λέγεται τάξη του A