Γραμμική ΄Αλγεβρα
Απαλοιφή m × n πίνακα
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

20 Νοεμβρίου 2013
Απαλοιφή m × n πίνακα
Εάν τόσο το οδηγό στοιχείο όσο και όλα τα στοιχεία κάτω
από αυτό είναι 0 τότε πήγαινε στην επόμενη σ...
Παράδειγμα




1 3 3 2
 2 6 9 5
−1 −3 3 0
Παράδειγμα






1 3 3 2
1 3 3 2
 2 6 9 5 →0 0 3 1
−1 −3 3 0
0 0 6 2
Παράδειγμα








1 3 3 2
1 3 3 2
1 3 3 2
 2 6 9 5 →0 0 3 1 →0 0 3 1
−1 −3 3 0
0 0 6 2
0 0 0 0
Ανάλυση LU m × n πίνακα
Σε κάθε m × n πίνακα A αντιστοιχεί ένας πίνακας
μετάθεσης P, ένας κάτω τριγωνικός πίνακας L με 1
σ...
Ανάλυση LU m × n πίνακα
Σε κάθε m × n πίνακα A αντιστοιχεί ένας πίνακας
μετάθεσης P, ένας κάτω τριγωνικός πίνακας L με 1
σ...
Ανάλυση LU m × n πίνακα
Σε κάθε m × n πίνακα A αντιστοιχεί ένας πίνακας
μετάθεσης P, ένας κάτω τριγωνικός πίνακας L με 1
σ...
Επίλυση ομογενούς m × n
Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
Επίλυση ομογενούς m × n
Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0

 
 u
 
1 3 3 2  
0
 0 0 3 1   v  = 0
w 
0 0...
Επίλυση ομογενούς m × n
Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0

 
 u
 
1 3 3 2  
0
 0 0 3 1   v  = 0
w 
0 0...
Επίλυση ομογενούς m × n
Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0

 
 u
 
1 3 3 2  
0
 0 0 3 1   v  = 0
w 
0 0...
N (A) = N (U)

Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο...
N (A) = N (U)

Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο...
N (A) = N (U)

Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο...
N (A) = N (U)

Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο...
N (A) = N (U)

Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο...
N (A) = N (U)

Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο...
N (A) = N (U)

Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο...
N (A) = N (U)

Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο...
N (A) = N (U)

Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο...
N (A) = N (U)

Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο...
΄Υπαρξη λύσης ομογενούς

Θεώρημα
Εάν το Ax = 0 έχει περισσότερους αγνώστους από εξισώσεις
(n > m) τότε έχει μια τουλάχιστο...
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

17η Διάλεξη - Επίλυση μη-τετραγωνικού συστήματος

4,538

Published on

απαλοιφή, γενική λύση, ύπαρξη λύσης

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
4,538
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
42
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

17η Διάλεξη - Επίλυση μη-τετραγωνικού συστήματος

  1. 1. Γραμμική ΄Αλγεβρα Απαλοιφή m × n πίνακα Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 20 Νοεμβρίου 2013
  2. 2. Απαλοιφή m × n πίνακα Εάν τόσο το οδηγό στοιχείο όσο και όλα τα στοιχεία κάτω από αυτό είναι 0 τότε πήγαινε στην επόμενη στήλη Κάτω από κάθε οδηγό έχουμε μηδέν Κάθε οδηγός βρίσκεται στα δεξιά του οδηγού της από πάνω γραμμής Οι μη-μηδενικές γραμμές έρχονται πριν τις μηδενικές
  3. 3. Παράδειγμα   1 3 3 2  2 6 9 5 −1 −3 3 0
  4. 4. Παράδειγμα     1 3 3 2 1 3 3 2  2 6 9 5 →0 0 3 1 −1 −3 3 0 0 0 6 2
  5. 5. Παράδειγμα       1 3 3 2 1 3 3 2 1 3 3 2  2 6 9 5 →0 0 3 1 →0 0 3 1 −1 −3 3 0 0 0 6 2 0 0 0 0
  6. 6. Ανάλυση LU m × n πίνακα Σε κάθε m × n πίνακα A αντιστοιχεί ένας πίνακας μετάθεσης P, ένας κάτω τριγωνικός πίνακας L με 1 στην διαγώνιο και ένας m × n κλιμακωτός πίνακας U έτσι ώστε PA = LU.  1 3 3 2  2 6 9 5= −1 −3 3 0 
  7. 7. Ανάλυση LU m × n πίνακα Σε κάθε m × n πίνακα A αντιστοιχεί ένας πίνακας μετάθεσης P, ένας κάτω τριγωνικός πίνακας L με 1 στην διαγώνιο και ένας m × n κλιμακωτός πίνακας U έτσι ώστε PA = LU.    1 0 0 1 3 3 2  2 6 9 5=  2 1 0 −1 2 1 −1 −3 3 0 
  8. 8. Ανάλυση LU m × n πίνακα Σε κάθε m × n πίνακα A αντιστοιχεί ένας πίνακας μετάθεσης P, ένας κάτω τριγωνικός πίνακας L με 1 στην διαγώνιο και ένας m × n κλιμακωτός πίνακας U έτσι ώστε PA = LU.     1 0 0 1 3 3 2 1 3 3 2  2 6 9 5=  2 1 00 0 3 1 −1 2 1 0 0 0 0 −1 −3 3 0 
  9. 9. Επίλυση ομογενούς m × n Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
  10. 10. Επίλυση ομογενούς m × n Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0    u   1 3 3 2   0  0 0 3 1   v  = 0 w  0 0 0 0 0 y 
  11. 11. Επίλυση ομογενούς m × n Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0    u   1 3 3 2   0  0 0 3 1   v  = 0 w  0 0 0 0 0 y    −3v − y  v  x = 1   −3y y
  12. 12. Επίλυση ομογενούς m × n Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0    u   1 3 3 2   0  0 0 3 1   v  = 0 w  0 0 0 0 0 y        −3v − y −1 −3   1  0 v  = v   + y  1 x = 1   0 −  −3y 3 0 y 1
  13. 13. N (A) = N (U) Θεώρημα Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία της απαλοιφής στον A.
  14. 14. N (A) = N (U) Θεώρημα Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία της απαλοιφής στον A. Απόδειξη. x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0
  15. 15. N (A) = N (U) Θεώρημα Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία της απαλοιφής στον A. Απόδειξη. x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
  16. 16. N (A) = N (U) Θεώρημα Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία της απαλοιφής στον A. Απόδειξη. x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0 ⇒ x ∈ N (U).
  17. 17. N (A) = N (U) Θεώρημα Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία της απαλοιφής στον A. Απόδειξη. x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0 ⇒ x ∈ N (U). ΄Αρα N (A) ⊂ N (U)
  18. 18. N (A) = N (U) Θεώρημα Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία της απαλοιφής στον A. Απόδειξη. x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0 ⇒ x ∈ N (U). ΄Αρα N (A) ⊂ N (U) x ∈ N (U) ⇒ Ux = 0 ⇒ LUx = 0
  19. 19. N (A) = N (U) Θεώρημα Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία της απαλοιφής στον A. Απόδειξη. x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0 ⇒ x ∈ N (U). ΄Αρα N (A) ⊂ N (U) x ∈ N (U) ⇒ Ux = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ax = 0
  20. 20. N (A) = N (U) Θεώρημα Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία της απαλοιφής στον A. Απόδειξη. x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0 ⇒ x ∈ N (U). ΄Αρα N (A) ⊂ N (U) x ∈ N (U) ⇒ Ux = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ax = 0 ⇒ x ∈ N (A).
  21. 21. N (A) = N (U) Θεώρημα Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία της απαλοιφής στον A. Απόδειξη. x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0 ⇒ x ∈ N (U). ΄Αρα N (A) ⊂ N (U) x ∈ N (U) ⇒ Ux = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ax = 0 ⇒ x ∈ N (A). ΄Αρα N (U) ⊂ N (A)
  22. 22. N (A) = N (U) Θεώρημα Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία της απαλοιφής στον A. Απόδειξη. x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0 ⇒ x ∈ N (U). ΄Αρα N (A) ⊂ N (U) x ∈ N (U) ⇒ Ux = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ax = 0 ⇒ x ∈ N (A). ΄Αρα N (U) ⊂ N (A)
  23. 23. ΄Υπαρξη λύσης ομογενούς Θεώρημα Εάν το Ax = 0 έχει περισσότερους αγνώστους από εξισώσεις (n > m) τότε έχει μια τουλάχιστον μη-τετριμμένη λύση.
  1. A particular slide catching your eye?

    Clipping is a handy way to collect important slides you want to go back to later.

×