• Like
17η Διάλεξη - Επίλυση μη-τετραγωνικού συστήματος
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

17η Διάλεξη - Επίλυση μη-τετραγωνικού συστήματος

  • 4,534 views
Uploaded on

απαλοιφή, γενική λύση, ύπαρξη λύσης

απαλοιφή, γενική λύση, ύπαρξη λύσης

More in: Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
4,534
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2

Actions

Shares
Downloads
42
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Γραμμική ΄Αλγεβρα Απαλοιφή m × n πίνακα Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 20 Νοεμβρίου 2013
  • 2. Απαλοιφή m × n πίνακα Εάν τόσο το οδηγό στοιχείο όσο και όλα τα στοιχεία κάτω από αυτό είναι 0 τότε πήγαινε στην επόμενη στήλη Κάτω από κάθε οδηγό έχουμε μηδέν Κάθε οδηγός βρίσκεται στα δεξιά του οδηγού της από πάνω γραμμής Οι μη-μηδενικές γραμμές έρχονται πριν τις μηδενικές
  • 3. Παράδειγμα   1 3 3 2  2 6 9 5 −1 −3 3 0
  • 4. Παράδειγμα     1 3 3 2 1 3 3 2  2 6 9 5 →0 0 3 1 −1 −3 3 0 0 0 6 2
  • 5. Παράδειγμα       1 3 3 2 1 3 3 2 1 3 3 2  2 6 9 5 →0 0 3 1 →0 0 3 1 −1 −3 3 0 0 0 6 2 0 0 0 0
  • 6. Ανάλυση LU m × n πίνακα Σε κάθε m × n πίνακα A αντιστοιχεί ένας πίνακας μετάθεσης P, ένας κάτω τριγωνικός πίνακας L με 1 στην διαγώνιο και ένας m × n κλιμακωτός πίνακας U έτσι ώστε PA = LU.  1 3 3 2  2 6 9 5= −1 −3 3 0 
  • 7. Ανάλυση LU m × n πίνακα Σε κάθε m × n πίνακα A αντιστοιχεί ένας πίνακας μετάθεσης P, ένας κάτω τριγωνικός πίνακας L με 1 στην διαγώνιο και ένας m × n κλιμακωτός πίνακας U έτσι ώστε PA = LU.    1 0 0 1 3 3 2  2 6 9 5=  2 1 0 −1 2 1 −1 −3 3 0 
  • 8. Ανάλυση LU m × n πίνακα Σε κάθε m × n πίνακα A αντιστοιχεί ένας πίνακας μετάθεσης P, ένας κάτω τριγωνικός πίνακας L με 1 στην διαγώνιο και ένας m × n κλιμακωτός πίνακας U έτσι ώστε PA = LU.     1 0 0 1 3 3 2 1 3 3 2  2 6 9 5=  2 1 00 0 3 1 −1 2 1 0 0 0 0 −1 −3 3 0 
  • 9. Επίλυση ομογενούς m × n Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
  • 10. Επίλυση ομογενούς m × n Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0    u   1 3 3 2   0  0 0 3 1   v  = 0 w  0 0 0 0 0 y 
  • 11. Επίλυση ομογενούς m × n Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0    u   1 3 3 2   0  0 0 3 1   v  = 0 w  0 0 0 0 0 y    −3v − y  v  x = 1   −3y y
  • 12. Επίλυση ομογενούς m × n Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0    u   1 3 3 2   0  0 0 3 1   v  = 0 w  0 0 0 0 0 y        −3v − y −1 −3   1  0 v  = v   + y  1 x = 1   0 −  −3y 3 0 y 1
  • 13. N (A) = N (U) Θεώρημα Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία της απαλοιφής στον A.
  • 14. N (A) = N (U) Θεώρημα Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία της απαλοιφής στον A. Απόδειξη. x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0
  • 15. N (A) = N (U) Θεώρημα Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία της απαλοιφής στον A. Απόδειξη. x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
  • 16. N (A) = N (U) Θεώρημα Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία της απαλοιφής στον A. Απόδειξη. x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0 ⇒ x ∈ N (U).
  • 17. N (A) = N (U) Θεώρημα Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία της απαλοιφής στον A. Απόδειξη. x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0 ⇒ x ∈ N (U). ΄Αρα N (A) ⊂ N (U)
  • 18. N (A) = N (U) Θεώρημα Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία της απαλοιφής στον A. Απόδειξη. x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0 ⇒ x ∈ N (U). ΄Αρα N (A) ⊂ N (U) x ∈ N (U) ⇒ Ux = 0 ⇒ LUx = 0
  • 19. N (A) = N (U) Θεώρημα Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία της απαλοιφής στον A. Απόδειξη. x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0 ⇒ x ∈ N (U). ΄Αρα N (A) ⊂ N (U) x ∈ N (U) ⇒ Ux = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ax = 0
  • 20. N (A) = N (U) Θεώρημα Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία της απαλοιφής στον A. Απόδειξη. x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0 ⇒ x ∈ N (U). ΄Αρα N (A) ⊂ N (U) x ∈ N (U) ⇒ Ux = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ax = 0 ⇒ x ∈ N (A).
  • 21. N (A) = N (U) Θεώρημα Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία της απαλοιφής στον A. Απόδειξη. x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0 ⇒ x ∈ N (U). ΄Αρα N (A) ⊂ N (U) x ∈ N (U) ⇒ Ux = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ax = 0 ⇒ x ∈ N (A). ΄Αρα N (U) ⊂ N (A)
  • 22. N (A) = N (U) Θεώρημα Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία της απαλοιφής στον A. Απόδειξη. x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0 ⇒ x ∈ N (U). ΄Αρα N (A) ⊂ N (U) x ∈ N (U) ⇒ Ux = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ax = 0 ⇒ x ∈ N (A). ΄Αρα N (U) ⊂ N (A)
  • 23. ΄Υπαρξη λύσης ομογενούς Θεώρημα Εάν το Ax = 0 έχει περισσότερους αγνώστους από εξισώσεις (n > m) τότε έχει μια τουλάχιστον μη-τετριμμένη λύση.