15η διάλεξη - Διανυσματικοί χώροι και υπόχωροι
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Like this? Share it with your network

Share

15η διάλεξη - Διανυσματικοί χώροι και υπόχωροι

on

  • 4,552 views

Ορισμοί παραδείγματα

Ορισμοί παραδείγματα

Statistics

Views

Total Views
4,552
Views on SlideShare
228
Embed Views
4,324

Actions

Likes
0
Downloads
45
Comments
0

1 Embed 4,324

http://inf-server.inf.uth.gr 4324

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

15η διάλεξη - Διανυσματικοί χώροι και υπόχωροι Presentation Transcript

  • 1. Γραμμική ΄Αλγεβρα Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 15 Νοεμβρίου 2013
  • 2. Διανυσματικός Χώρος Ορισμός Διανυσματικός χώρος είναι ένα σύνολο ‘διανυσμάτων’ εξοπλισμένο με πρόσθεση διανυσμάτων και πολλαπλασιασμό διανύσματος με αριθμό. Παραδείγματα R, R 2 , R 3 , . . . Πίνακες 2-επι-3 Πολυώνυμα βαθμού το πολύ 4 ...
  • 3. Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον Rn
  • 4. Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον Rn Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν στοιχεία του Rn :
  • 5. Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον Rn Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν στοιχεία του Rn : Μπορώ να προσθέσω δύο συναρτήσεις f και g :
  • 6. Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον Rn Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν στοιχεία του Rn : Μπορώ να προσθέσω δύο συναρτήσεις f και g : f + g είναι μια συνάρτηση (f + g )(t) = f (t) + g (t) ∀t∈R
  • 7. Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον Rn Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν στοιχεία του Rn : Μπορώ να προσθέσω δύο συναρτήσεις f και g : f + g είναι μια συνάρτηση ∀t∈R (f + g )(t) = f (t) + g (t) παράδειγμα: ΄Εστω f (t) = t 2 , g (t) = et . (f + g )(t) = t 2 + e t . Τότε
  • 8. Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον Rn Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν στοιχεία του Rn : Μπορώ να προσθέσω δύο συναρτήσεις f και g : f + g είναι μια συνάρτηση ∀t∈R (f + g )(t) = f (t) + g (t) παράδειγμα: ΄Εστω f (t) = t 2 , g (t) = et . Τότε (f + g )(t) = t 2 + e t . Μπορώ να πολλαπλασιάσω μια συνάρτηση f με έναν αριθμό c:
  • 9. Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον Rn Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν στοιχεία του Rn : Μπορώ να προσθέσω δύο συναρτήσεις f και g : f + g είναι μια συνάρτηση ∀t∈R (f + g )(t) = f (t) + g (t) παράδειγμα: ΄Εστω f (t) = t 2 , g (t) = et . Τότε (f + g )(t) = t 2 + e t . Μπορώ να πολλαπλασιάσω μια συνάρτηση f με έναν αριθμό c: cf είναι η συνάρτηση (cf )(t) = c(f (t)) for all t ∈ R Παράδειγμα: ΄Εστω f (t) = sin(t). Τότε (5f )(t) = 5sin(t).
  • 10. Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον Rn Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν στοιχεία του Rn : Μπορώ να προσθέσω δύο συναρτήσεις f και g : f + g είναι μια συνάρτηση ∀t∈R (f + g )(t) = f (t) + g (t) παράδειγμα: ΄Εστω f (t) = t 2 , g (t) = et . Τότε (f + g )(t) = t 2 + e t . Μπορώ να πολλαπλασιάσω μια συνάρτηση f με έναν αριθμό c: cf είναι η συνάρτηση (cf )(t) = c(f (t)) for all t ∈ R Παράδειγμα: ΄Εστω f (t) = sin(t). Τότε (5f )(t) = 5sin(t).
  • 11. Διανυσματικός Υπόχωρος Ορισμός Ο U ⊂ V είναι ένας υποχώρος του διανυσματικού χώρου V αν 0 ∈ U,
  • 12. Διανυσματικός Υπόχωρος Ορισμός Ο U ⊂ V είναι ένας υποχώρος του διανυσματικού χώρου V αν 0 ∈ U, ∀x, y ∈ U, x + y ∈ U
  • 13. Διανυσματικός Υπόχωρος Ορισμός Ο U ⊂ V είναι ένας υποχώρος του διανυσματικού χώρου V αν 0 ∈ U, ∀x, y ∈ U, x + y ∈ U ∀c ∈ R και ∀x ∈ U, cx ∈ U
  • 14. Μηδενόχωρος Θεώρημα Το σύνολο των λύσεων ενός ομογενούς συστήματος είναι διανυσματικός υπόχωρος (λέγεται μηδενόχωρος του A και συμβολίζεται με N (A)). Απόδειξη. ΄Εστω δύο τυχαίες λύσεις v , w του ομογενούς συστήματος Ax = 0.
  • 15. Μηδενόχωρος Θεώρημα Το σύνολο των λύσεων ενός ομογενούς συστήματος είναι διανυσματικός υπόχωρος (λέγεται μηδενόχωρος του A και συμβολίζεται με N (A)). Απόδειξη. ΄Εστω δύο τυχαίες λύσεις v , w του ομογενούς συστήματος Ax = 0. Av = 0, Aw = 0 ⇒ Av + Aw = 0 ⇒ A(v + w ) = 0 ⇒ v + w είναι λύση του ομογενούς.
  • 16. Μηδενόχωρος Θεώρημα Το σύνολο των λύσεων ενός ομογενούς συστήματος είναι διανυσματικός υπόχωρος (λέγεται μηδενόχωρος του A και συμβολίζεται με N (A)). Απόδειξη. ΄Εστω δύο τυχαίες λύσεις v , w του ομογενούς συστήματος Ax = 0. Av = 0, Aw = 0 ⇒ Av + Aw = 0 ⇒ A(v + w ) = 0 ⇒ v + w είναι λύση του ομογενούς. Av = 0, ⇒ λAv = 0 ⇒ A(λv ) = 0 ⇒ λv είναι λύση του ομογενούς.
  • 17. ΄Ασκηση Αν ο A είναι ένας m × n πίνακας τότε ο N (A) είναι υπόχωρος του 1 Rn 2 Rm 3 R n και του R m 4 δεν μπορούμε να αποφανθούμε
  • 18. ΄Ασκηση Αν ο A είναι ένας m × n πίνακας τότε είναι το σύνολο των λύσεων του μη-ομογενούς συστήματος Ax = b = 0 διανυσματικός υπόχωρος;
  • 19. ΄Ασκηση Ποιός είναι N (A) αν ο A είναι ένας n × n αντιστρέψιμος πίνακας;
  • 20. Χώρος στηλών Ορισμός Χώρος στηλών ενός m × n πίνακα A είναι όλα τα διανύσματα που μπορούν να γραφθούν σαν γραμμικός συνδυασμός των στηλών του πίνακα A και συμβολίζεται με R(A).
  • 21. Χώρος στηλών Ορισμός Χώρος στηλών ενός m × n πίνακα A είναι όλα τα διανύσματα που μπορούν να γραφθούν σαν γραμμικός συνδυασμός των στηλών του πίνακα A και συμβολίζεται με R(A). Παρατήρηση - Ο R(A) είναι διανυσματικός υπόχωρος του R m .
  • 22. Χώρος γραμμών Ορισμός Χώρος γραμμών ενός m × n πίνακα A είναι όλα τα διανύσματα που μπορούν να γραφθούν σαν γραμμικός συνδυασμός των γραμμών του πίνακα A και συμβολίζεται με R(AT ).
  • 23. Χώρος γραμμών Ορισμός Χώρος γραμμών ενός m × n πίνακα A είναι όλα τα διανύσματα που μπορούν να γραφθούν σαν γραμμικός συνδυασμός των γραμμών του πίνακα A και συμβολίζεται με R(AT ). Παρατήρηση - Ο R(AT ) είναι διανυσματικός υπόχωρος του R n .
  • 24. Αριστερός μηδενόχωρος Ορισμός Αριστερός μηδενόχωρος ενός m × n πίνακα A είναι όλα τα διανύσματα x που ικανοποιούν την εξίσωση x T A = 0T και συμβολίζεται με N (AT ).
  • 25. Αριστερός μηδενόχωρος Ορισμός Αριστερός μηδενόχωρος ενός m × n πίνακα A είναι όλα τα διανύσματα x που ικανοποιούν την εξίσωση x T A = 0T και συμβολίζεται με N (AT ). Παρατήρηση - Ο N (AT ) είναι διανυσματικός υπόχωρος του R ? .