12η διάλεξη - Ανάλυση LU, 1η εξέταση προόδου

5,301 views
5,270 views

Published on

εισαγωγή στην ανάλυση LU

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
5,301
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
5,029
Actions
Shares
0
Downloads
46
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

12η διάλεξη - Ανάλυση LU, 1η εξέταση προόδου

  1. 1. Γινόμενο Πινάκων Παραγοντοποίηση LU Γραμμική ΄Αλγεβρα 1η Εξέταση Προόδου, Ανάλυση LU Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 8 Νοεμβρίου 2013 Εξέταση Προόδου
  2. 2. Γινόμενο Πινάκων Παραγοντοποίηση LU Εξέταση Προόδου Γινόμενο Πινάκων Κάθε στήλη του γινομένου των δύο πινάκων A B ισούται με το γινόμενο του A με την αντίστοιχη στήλη του B.     . . . . . . . . .  . .   .  ··· A · Bστn  ··· Bστn  = A · Bστ1 A · Bστ1     . . . . . . . . . . . . Κάθε γραμμή του γινομένου των δύο πινάκων A B ισούται με το γινόμενο της αντίστοιχης γραμμής του A επί τον B.     · · · Aγρ1 · · · · · · Aγρ1 · B · · ·     . . . .  ·B =  . .     · · · Aγρn · · · · · · Aγρn · B · · ·
  3. 3. Γινόμενο Πινάκων Παραγοντοποίηση LU Εξέταση Προόδου Παραγοντοποίηση A = LU Κάθε τετραγωνικός πίνακας A μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο ενός κάτω τριγωνικού πίνακα L με μονάδες στην διαγώνιο και ενός άνω τριγωνικού πίνακα U. Ο L έχει τους πολλαπλασιαστές της απαλοιφής κάτω απο την διαγώνιο Ο U τα στοιχεία του A όπως αυτά προκύπτουν μετά την απαλοιφή
  4. 4. Παραγοντοποίηση LU Γινόμενο Πινάκων Παράδειγμα   −1 −1 1 2  2 1 −3 6   A=  0 0 −1 2  0 1 −1 4 Εξέταση Προόδου
  5. 5. Παραγοντοποίηση LU Γινόμενο Πινάκων Εξέταση Προόδου Παράδειγμα    −1 −1 1 2 −1 −1 1 2    2 1 −3 6   →  0 −1 −1 10  A=  0  0  0 −1 2  0 −1 2 0 1 −1 4 0 1 −1 4 
  6. 6. Παραγοντοποίηση LU Γινόμενο Πινάκων Εξέταση Προόδου Παράδειγμα    −1 −1 1 2 −1 −1 1 2    2 1 −3 6   →  0 −1 −1 10  A=  0  0  0 −1 2  0 −1 2 0 1 −1 4 0 1 −1 4    −1 −1 1 2  0 −1 −1 10   →  0 0 −1 2  0 0 −2 14
  7. 7. Παραγοντοποίηση LU Γινόμενο Πινάκων Εξέταση Προόδου Παράδειγμα    −1 −1 1 2 −1 −1 1 2    2 1 −3 6   →  0 −1 −1 10  A=  0  0  0 −1 2  0 −1 2 0 1 −1 4 0 1 −1 4    −1 −1 1 2 −1 −1 1 2  0 −1 −1 10  0 −1 −1 10   → →  0  0 0 −1 2 0 −1 2  0 0 0 10 0 0 −2 14     
  8. 8. Παραγοντοποίηση LU Γινόμενο Πινάκων Παράδειγμα A = LU   −1 −1 1 2  2 1 −3 6     0 0 −1 2  0 1 −1 4 Εξέταση Προόδου
  9. 9. Παραγοντοποίηση LU Γινόμενο Πινάκων Εξέταση Προόδου Παράδειγμα   A = LU  1 0 −1 −1 1 2  2 1 −3 6   −2 1   =  0 0 0 −1 2   0 0 −1 0 1 −1 4 0 0 1 2  −1 −1 1 2 0 0   0 −1 −1 10  0 −1 2 0  0 0 0 0 10 1    
  10. 10. Γινόμενο Πινάκων Παραγοντοποίηση LU Εξέταση Προόδου Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU παραγοντοποίηση του
  11. 11. Γινόμενο Πινάκων Παραγοντοποίηση LU Εξέταση Προόδου Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU παραγοντοποίηση του Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b
  12. 12. Γινόμενο Πινάκων Παραγοντοποίηση LU Εξέταση Προόδου Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU παραγοντοποίηση του Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b Θέτω y = Ux και έχω Ly = b
  13. 13. Γινόμενο Πινάκων Παραγοντοποίηση LU Εξέταση Προόδου Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU παραγοντοποίηση του Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b Θέτω y = Ux και έχω Ly = b Λύνω το Ly = b για να υπολογίσω το y
  14. 14. Γινόμενο Πινάκων Παραγοντοποίηση LU Εξέταση Προόδου Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU παραγοντοποίηση του Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b Θέτω y = Ux και έχω Ly = b Λύνω το Ly = b για να υπολογίσω το y Λύνω το Ux = y για να υπολογίσω το x
  15. 15. Παραγοντοποίηση LU Γινόμενο Πινάκων Εξέταση Προόδου Παράδειγμα   1 −1 −1 1 2  6  2  1 −3 6  x = Να λυθεί το   1  0 0 −1 2  4 0 1 −1 4     
  16. 16. Παραγοντοποίηση LU Γινόμενο Πινάκων Εξέταση Προόδου Παράδειγμα   1 −1 −1 1 2  6  2  1 −3 6  x = Να λυθεί το   1  0 0 −1 2  4 0 1 −1 4     y1 1 0 0 0  −2 1 0 0   y2    = Ly = b ⇒   0 0 1 0   y3   y4 0 −1 2 1       1 6   1  4
  17. 17. Παραγοντοποίηση LU Γινόμενο Πινάκων Εξέταση Προόδου Παράδειγμα   1 −1 −1 1 2  6  2  1 −3 6  x = Να λυθεί το   1  0 0 −1 2  4 0 1 −1 4     y1 1 0 0 0  −2 1 0 0   y2    = Ly = b ⇒   0 0 1 0   y3   y4 0 −1 2 1        1 1  8 6   ⇒y =  1 1  10 4    
  18. 18. Παραγοντοποίηση LU Γινόμενο Πινάκων Εξέταση Προόδου Παράδειγμα   1 −1 −1 1 2  6  2  1 −3 6  x = Να λυθεί το   1  0 0 −1 2  4 0 1 −1 4     y1 1 0 0 0  −2 1 0 0   y2    = Ly = b ⇒   0 0 1 0   y3   y4 0 −1 2 1    −1 −1 1 2 x1  0 −1 −1 10   x2  Ux = y ⇒   0 0 −1 2   x3 x4 0 0 0 10        1 1  8 6   ⇒y =  1 1  10 4   1   8  =    1  10    
  19. 19. Παραγοντοποίηση LU Γινόμενο Πινάκων Εξέταση Προόδου Παράδειγμα   1 −1 −1 1 2  6  2  1 −3 6  x = Να λυθεί το   1  0 0 −1 2  4 0 1 −1 4     y1 1 0 0 0  −2 1 0 0   y2    = Ly = b ⇒   0 0 1 0   y3   y4 0 −1 2 1    −1 −1 1 2 x1  0 −1 −1 10   x2  Ux = y ⇒   0 0 −1 2   x3 x4 0 0 0 10        1 1  8 6   ⇒y =  1 1  10 4        1 1   8   1 =     1  ⇒x = 1 10 1    
  20. 20. Γινόμενο Πινάκων Παραγοντοποίηση LU Εξέταση Προόδου ΄Ασκηση    1 0 0 2 2 4 EA = 0 1 π   0 1 −3 =?? 0 0 1 −2 7 4     2 2 4 2 2 4 1 −3  Α) −2π 1 + 7π −3 + 4π  Β)  0 −2 7 4 2π − 2 2π + 7 4π + 4   2 2 4 + 2π Γ)  0 1 −3 + π  −2 7 4 + 7π   2 2 4 1 −3  Δ)  0 −2 π + 7 4 − 3π
  21. 21. Γινόμενο Πινάκων Παραγοντοποίηση LU ΄Ασκηση Ο αντίστροφος του πίνακα 3 1 3 −2 2 είναι ο . 2 4 1 −1 2 Εξέταση Προόδου
  22. 22. Γινόμενο Πινάκων Παραγοντοποίηση LU ΄Ασκηση Ο αντίστροφος του πίνακα 3 1 3 −2 2 είναι ο . 2 4 1 −1 2 Ποιά είναι η λύση του συστήματος 2x1 + 4x2 = 2 x1 + 3x2 = 1 Εξέταση Προόδου
  23. 23. Παραγοντοποίηση LU Γινόμενο Πινάκων Εξέταση Προόδου ΄Ασκηση 3 1 3 −2 2 είναι ο . 2 4 1 −1 2 Ο αντίστροφος του πίνακα Ποιά είναι η λύση του συστήματος 2x1 + 4x2 = 2 x1 + 3x2 = 1 Α) 1 2 3 1 Β) 1 0 Γ) 0 3 Δ) 1 2 0 −0 1
  24. 24. Παραγοντοποίηση LU Γινόμενο Πινάκων Εξέταση Προόδου ΄Ασκηση 3 1 3 −2 2 είναι ο . 2 4 1 −1 2 Ο αντίστροφος του πίνακα Ποιά είναι η λύση του συστήματος 2x1 + 4x2 = 2 x1 + 3x2 = 1 Α) 1 2 3 1 Β) 1 0 Γ) 0 3 Δικαιολογήστε την απάντησή σας Δ) 1 2 0 −0 1
  25. 25. Παραγοντοποίηση LU Γινόμενο Πινάκων Εξέταση Προόδου ΄Ασκηση 3 1 3 −2 2 είναι ο . 2 4 1 −1 2 Ο αντίστροφος του πίνακα Ποιά είναι η λύση του συστήματος 2x1 + 4x2 = 2 x1 + 3x2 = 1 Α) 1 2 3 1 Β) 1 0 Γ) 0 3 Δ) 1 2 0 −0 1 Δικαιολογήστε την απάντησή σας Απάντηση: Το σύστημα σε μορφή πινάκων λύση είναι η Β): −2 3 2 1 −1 2 1 1 = 2 0 1 3 1 x= άρα 2 4 2
  26. 26. Γινόμενο Πινάκων Παραγοντοποίηση LU ΄Ασκηση Αποδείξτε ότι για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα A για κάθε πραγματικό αριθμό r = 0 ισχύει 1 (rA)−1 = A−1 r Εξέταση Προόδου
  27. 27. Γινόμενο Πινάκων Παραγοντοποίηση LU ΄Ασκηση Αποδείξτε ότι για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα A για κάθε πραγματικό αριθμό r = 0 ισχύει 1 (rA)−1 = A−1 r 1 1 ( A−1 )rA = (r ( A−1 ))A = A−1 A = I r r Εξέταση Προόδου
  28. 28. Γινόμενο Πινάκων Παραγοντοποίηση LU ΄Ασκηση Είναι ο πίνακας   1 2 3 A = 1 2 4 1 2 5 Αντιστρέψιμος; Α Ναι. Β ΄Οχι. Γ ΄Ισως. Εξέταση Προόδου
  29. 29. Γινόμενο Πινάκων Παραγοντοποίηση LU ΄Ασκηση Είναι ο πίνακας   1 1 1 B = 2 2 2 3 4 5 αντιστρέψιμος; Α Ναι. Β ΄Οχι. Γ ΄Ισως. Εξέταση Προόδου
  30. 30. Γινόμενο Πινάκων Παραγοντοποίηση LU ΄Ασκηση Αν γνωρίζουμε ότι το σύστημα  1 1 2 −1 3 4    1 0 0 x = 0 5 0 έχει σαν λύση μόνον την x = 0 τι ισχύει για το σύστημα     1 1 1 −1 2 −1 0 x =  7 ? 3 4 5 −3 Εξέταση Προόδου
  31. 31. Γινόμενο Πινάκων Παραγοντοποίηση LU ΄Ασκηση Αν γνωρίζουμε ότι το σύστημα  1 1 2 −1 3 4    1 0 0 x = 0 5 0 έχει σαν λύση μόνον την x = 0 τι ισχύει για το σύστημα     1 1 1 −1 2 −1 0 x =  7 ? 3 4 5 −3 Α Β Γ Δ Υπάρχει τουλάχιστον μία λύση x. Υπάρχει το πολύ μια λύση x. Και τα δύο απο τα παραπάνω Τίποτε απο τα παραπάνω. Εξέταση Προόδου
  32. 32. Γινόμενο Πινάκων Παραγοντοποίηση LU Εξέταση Προόδου ΄Ασκηση Η ισότητα (A + B)T = AT + B T ισχύει Α Για κάθε ζεύγος n × n πινάκων A και B. Β Για κανένα ζεύγος n × n πινάκων A και B. Γ Για μερικά μόνον ζεύγη n × n πινάκων A και B ενώ για άλλα δεν ισχύει
  33. 33. Γινόμενο Πινάκων Παραγοντοποίηση LU Εξέταση Προόδου ΄Ασκηση Η ισότητα (A + B)−1 = A−1 + B −1 ισχύει Α Για κάθε ζεύγος n × n αντιστρέψιμων πινάκων A και B. Β Για κανένα ζεύγος n × n αντιστρέψιμων πινάκων A και B. Γ Για μερικά μόνον ζεύγη n × n αντιστρέψιμων πινάκων A και B ενώ για άλλα δεν ισχύει

×