Γραμμική ΄Αλγεβρα
Αντίστροφοι και λύσεις
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

6 Νοεμβρίου 2013
Αντίστροφος του αντίστροφου

Θεώρημα
Ο αντίστροφος του αντίστροφου ενός πίνακα είναι ο ίδιος ο
πίνακας. Δηλαδή
−1
A−1
=A
....
Αντίστροφος του αντίστροφου

Θεώρημα
Ο αντίστροφος του αντίστροφου ενός πίνακα είναι ο ίδιος ο
πίνακας. Δηλαδή
−1
A−1
=A
....
Αντίστροφος γινομένου
Θεώρημα
Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
γινόμενο, με αντίστροφη σειρά, των αντ...
Αντίστροφος γινομένου
Θεώρημα
Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
γινόμενο, με αντίστροφη σειρά, των αντ...
Αντίστροφος γινομένου
Θεώρημα
Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
γινόμενο, με αντίστροφη σειρά, των αντ...
Αντίστροφος γινομένου
Θεώρημα
Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
γινόμενο, με αντίστροφη σειρά, των αντ...
Μοναδικότητα αντιστρόφου

Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.
Απόδειξη.
Μοναδικότητα αντιστρόφου

Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.
Απόδειξη.
΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστρ...
Μοναδικότητα αντιστρόφου

Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.
Απόδειξη.
΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστρ...
Μοναδικότητα αντιστρόφου

Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.
Απόδειξη.
΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστρ...
Μοναδικότητα αντιστρόφου

Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.
Απόδειξη.
΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστρ...
Μοναδικότητα αντιστρόφου

Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.
Απόδειξη.
΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστρ...
Αντίστροφος και λύσεις

Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότε
υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax = b γι...
Αντίστροφος και λύσεις

Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότε
υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax = b γι...
Αντίστροφος και λύσεις

Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότε
υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax = b γι...
Αντίστροφος και λύσεις

Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότε
υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax = b γι...
Υπολογισμός αντιστρόφου

1

Λύνω γιά k = 1, . . . , n τα γραμμικά συστήματα
Ax k = e k

2

όπου e k k-στη στήλη του I .
Τα...
Μοναδικότητα αντιστρόφου

Θεώρημα
Ο αντίστροφος ενός πίνακα A υπάρχει ανν όλα τα οδηγά
στοιχεία μετά την απαλοιφή με οδήγη...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

11η διάλεξη - Αντίστροφος πίνακας, ύπαρξη λύσεων

5,264
-1

Published on

Υπολογισμός αντιστρόφου

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
5,264
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
48
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

11η διάλεξη - Αντίστροφος πίνακας, ύπαρξη λύσεων

  1. 1. Γραμμική ΄Αλγεβρα Αντίστροφοι και λύσεις Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 6 Νοεμβρίου 2013
  2. 2. Αντίστροφος του αντίστροφου Θεώρημα Ο αντίστροφος του αντίστροφου ενός πίνακα είναι ο ίδιος ο πίνακας. Δηλαδή −1 A−1 =A . Απόδειξη.
  3. 3. Αντίστροφος του αντίστροφου Θεώρημα Ο αντίστροφος του αντίστροφου ενός πίνακα είναι ο ίδιος ο πίνακας. Δηλαδή −1 A−1 =A . Απόδειξη. AA−1 = A−1 A = I .
  4. 4. Αντίστροφος γινομένου Θεώρημα Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το γινόμενο, με αντίστροφη σειρά, των αντιστρόφων τους.
  5. 5. Αντίστροφος γινομένου Θεώρημα Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το γινόμενο, με αντίστροφη σειρά, των αντιστρόφων τους. Δηλαδή (AB)−1 = B −1 A−1 . Απόδειξη.
  6. 6. Αντίστροφος γινομένου Θεώρημα Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το γινόμενο, με αντίστροφη σειρά, των αντιστρόφων τους. Δηλαδή (AB)−1 = B −1 A−1 . Απόδειξη. B −1 A−1 (AB) = B −1 A−1 A B = B −1 IB = B −1 B = I .
  7. 7. Αντίστροφος γινομένου Θεώρημα Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το γινόμενο, με αντίστροφη σειρά, των αντιστρόφων τους. Δηλαδή (AB)−1 = B −1 A−1 . Απόδειξη. B −1 A−1 (AB) = B −1 A−1 A B = B −1 IB = B −1 B = I . (AB) B −1 A−1 = A BB −1 A−1 = AIA−1 = AA−1 = I .
  8. 8. Μοναδικότητα αντιστρόφου Θεώρημα Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός. Απόδειξη.
  9. 9. Μοναδικότητα αντιστρόφου Θεώρημα Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός. Απόδειξη. ΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C . Τότε B
  10. 10. Μοναδικότητα αντιστρόφου Θεώρημα Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός. Απόδειξη. ΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C . Τότε B = BI
  11. 11. Μοναδικότητα αντιστρόφου Θεώρημα Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός. Απόδειξη. ΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C . Τότε B = BI = B(AC )
  12. 12. Μοναδικότητα αντιστρόφου Θεώρημα Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός. Απόδειξη. ΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C . Τότε B = BI = B(AC ) = (BA)C =
  13. 13. Μοναδικότητα αντιστρόφου Θεώρημα Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός. Απόδειξη. ΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C . Τότε B = BI = B(AC ) = (BA)C = IC = C .
  14. 14. Αντίστροφος και λύσεις Θεώρημα Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότε υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax = b για οποιοδήποτε b
  15. 15. Αντίστροφος και λύσεις Θεώρημα Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότε υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax = b για οποιοδήποτε b και η μόνη λύση του ομογενούς συστήματος είναι η μηδενική. Απόδειξη. Ax = b
  16. 16. Αντίστροφος και λύσεις Θεώρημα Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότε υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax = b για οποιοδήποτε b και η μόνη λύση του ομογενούς συστήματος είναι η μηδενική. Απόδειξη. Ax = b ⇒ A−1 Ax = A−1 b
  17. 17. Αντίστροφος και λύσεις Θεώρημα Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότε υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax = b για οποιοδήποτε b και η μόνη λύση του ομογενούς συστήματος είναι η μηδενική. Απόδειξη. Ax = b ⇒ A−1 Ax = A−1 b ⇒ x = A−1 b.
  18. 18. Υπολογισμός αντιστρόφου 1 Λύνω γιά k = 1, . . . , n τα γραμμικά συστήματα Ax k = e k 2 όπου e k k-στη στήλη του I . Τα x k είναι οι αντίστοιχες στήλες του A−1 .
  19. 19. Μοναδικότητα αντιστρόφου Θεώρημα Ο αντίστροφος ενός πίνακα A υπάρχει ανν όλα τα οδηγά στοιχεία μετά την απαλοιφή με οδήγηση του A είναι μη μηδενικά.
  1. A particular slide catching your eye?

    Clipping is a handy way to collect important slides you want to go back to later.

×