1ο κεφάλαιο

126 views
67 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
126
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
1
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

1ο κεφάλαιο

  1. 1. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Συνήθεις ∆ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ∆Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, ´Υπαρξη και μοναδικότητα, ∆ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ∆ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 17 Μαρτίου 2013, Βόλος
  2. 2. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Σ∆Ε πρώτης τάξης dy = f (x, y) dx ή y = f (x, y)
  3. 3. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Σ∆Ε πρώτης τάξης dy = f (x, y) dx ή y = f (x, y)
  4. 4. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Σ∆Ε πρώτης τάξης dy = f (x, y) dx έστω ότι f (x, y) = f (x) ή y = f (x). y = f (x, y)
  5. 5. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Σ∆Ε πρώτης τάξης dy = f (x, y) dx έστω ότι f (x, y) = f (x) ή y = f (x, y) y = f (x). τότε y (x) d = f (x) dx + C, δηλαδή y(x) = f (x) dx + C.
  6. 6. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα 2 y(0) = 1. y = e−x , Λύση x y(x) = 0 2 e−s ds + 1.
  7. 7. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα 9yy = −4x. 9 y(x)y (x)dx + 4 xdx = C
  8. 8. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα 9yy = −4x. 9 9 y(x)y (x)dx + 4 xdx = C ydy + 4x2 = C ⇒ 9y2 + 4x2 = 2C
  9. 9. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα 9yy = −4x. 9 9 y(x)y (x)dx + 4 xdx = C ydy + 4x2 = C ⇒ 9y2 + 4x2 = 2C Σχήμα : y2 x2 4 + 9 = C
  10. 10. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y + yx = x.
  11. 11. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y + yx = x. y 1−y =x
  12. 12. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y + yx = x. y 1−y =x ⇒ dy = 1−y xdx
  13. 13. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y + yx = x. y 1−y =x − ln |1 − y| = ⇒ x2 +C 2 dy = 1−y xdx
  14. 14. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y + yx = x. y 1−y =x − ln |1 − y| = ⇒ x2 +C 2 dy = 1−y ⇒ xdx x2 y = 1 + Ce− 2
  15. 15. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y + yx = x. y 1−y =x − ln |1 − y| = ⇒ x2 +C 2 dy = 1−y ⇒ xdx x2 y = 1 + Ce− 2
  16. 16. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Σ∆Ε πρώτης τάξης dy = f (x, y) dx ή y = f (x, y)
  17. 17. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Σ∆Ε πρώτης τάξης ή dy = f (x, y) dx έστω ότι f (x, y) = f (y) y = f (x, y) dy dx 1 = f (y) ⇒ = . dx dy f (y) x(y) = Παραδείγματα • y = ky ⇒ y = Cekx . dy 1 • dx = y2 ⇒ y = C−x 1 dy + C. f (y) ή y = 0.
  18. 18. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα Πόσο μακριά θα έχει φθάσει ένα όχημα που κινείται με ταχύτητα et/2 μέτρα το δευτερόλεπτο σε 2 δευτερόλεπτα και πόσο σε 10 δευτερόλεπτα; x = et/2 ⇒ x(t) = 2et/2 + C. 0 = x(0) = 2e0/2 + C = 2 + C ⇒ C = −2. x(t) = et/2 − 2. x(2) = 2e2/2 −2 ≈ 3.44 μέτρα, x(10) = 2e10/2 −2 ≈ 294 μέτρα.
  19. 19. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα Πού θα βρίσκεται ένα όχημα την χρονική στιγμή t = 10 αν επιταχύνει με ρυθμό t2 sm και την χρονική στιγμή 2 t = 0 βρίσκεται σε απόσταση 1 μέτρου από την αρχική του θέση και κινείται με ταχύτητα 10 m ; s x = t2 , Αν θέσουμε x = v x(0) = 1, v = t2 , x (0) = 10. v(0) = 10, λύσουμε ως προς v, και κατόπιν ολοκληρώνουμε για να βρούμε το x.
  20. 20. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Πεδία κατευθύνσεων y = f (x, y) ⇒ τιμή της κλίσης της y σε κάθε σημείο του επιπέδου (x, y).
  21. 21. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Πεδία κατευθύνσεων y = f (x, y) ⇒ τιμή της κλίσης της y σε κάθε σημείο του επιπέδου (x, y). Σχήμα : Το πεδίο κατευθύνσεων της y = xy και η λύση που ικανοποιεί τις συνθήκες y(0) = 0.2, y(0) = 0, και y(0) = −0.2.
  22. 22. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Πεδία κατευθύνσεων y = f (x, y) ⇒ τιμή της κλίσης της y σε κάθε σημείο του επιπέδου (x, y). Σχήμα : Το πεδίο κατευθύνσεων της y = xy και η λύση που ικανοποιεί τις συνθήκες y(0) = 0.2, y(0) = 0, και y(0) = −0.2. -3 -2 -1 0 1 2 3 3 3 2 2 1 1 0 0 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3
  23. 23. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Πεδία κατευθύνσεων y = f (x, y) ⇒ τιμή της κλίσης της y σε κάθε σημείο του επιπέδου (x, y). Σχήμα : Το πεδίο κατευθύνσεων της y = xy και η λύση που ικανοποιεί τις συνθήκες y(0) = 0.2, y(0) = 0, και y(0) = −0.2. -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 -1 -1-1 -1 -2 -2-2 -2 -3 -3-3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3
  24. 24. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Είμαστε μηχανικοί Η/Υ Χρήση λογισμικού!
  25. 25. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ´Υπαρξη και μοναδικότητα y = f (x, y), y(x0 ) = y0 . (i) Υπάρχει λύση; (ii) Είναι η λύση μοναδική (εάν υπάρχει);
  26. 26. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ´Υπαρξη και μοναδικότητα y = f (x, y), y(x0 ) = y0 . (i) Υπάρχει λύση; (ii) Είναι η λύση μοναδική (εάν υπάρχει); Παράδειγμα: y = 1, y(0) = 0 ⇒ y = ln |x| + C. x
  27. 27. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Θεώρημα του Picard Θεώρημα Εάν η f (x, y) είναι συνεχής και εάν η ∂f παράγωγος ∂y υπάρχει και είναι συνεχής σε κάποια περιοχή γύρω από το (x0 , y0 ), τότε η λύση του προβλήματος y = f (x, y), y(x0 ) = y0 , υπάρχει (τουλάχιστον για κάποια x) και είναι μοναδική.
  28. 28. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Θεώρημα του Picard Θεώρημα Εάν η f (x, y) είναι συνεχής και εάν η ∂f παράγωγος ∂y υπάρχει και είναι συνεχής σε κάποια περιοχή γύρω από το (x0 , y0 ), τότε η λύση του προβλήματος y = f (x, y), y(x0 ) = y0 , υπάρχει (τουλάχιστον για κάποια x) και είναι μοναδική. Παραδείγματα 1. y = 1 , y(0) = 0 x 2. y = 2 |y|, y(0) = 0
  29. 29. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ´Υπαρξη και μοναδικότητα Παράδειγμα: y = 1 , x y(0) = 0 ⇒ y = ln |x| + C.
  30. 30. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ´Υπαρξη και μοναδικότητα Παράδειγμα: y = 1 , x y(0) = 0 ⇒ y = ln |x| + C. Σχήμα : Πεδίο διευθύνσεων της y = -3 -2 -1 0 1 2 3 3 3 2 2 1 1 0 0 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 1 x και της y = 2 |y|.
  31. 31. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ´Υπαρξη και μοναδικότητα Παράδειγμα: y = 1 , x y(0) = 0 ⇒ y = ln |x| + C. Σχήμα : Πεδίο διευθύνσεων της y = -3 -2 -1 0 1 2 -3 3 -2 1 x και της y = 2 |y|. -1 0 1 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 -1 -1-1 -1 -2 -2-2 -2 -3-3 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3
  32. 32. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Προσοχή στον γορίλα y = y2 , y(0) = A,
  33. 33. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Προσοχή στον γορίλα y = y2 , x = y(0) = A, 1 , y2
  34. 34. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Προσοχή στον γορίλα y = y2 , y(0) = A, x = άρα x= 1 , y2 −1 y + C,
  35. 35. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Προσοχή στον γορίλα y = y2 , y(0) = A, x = άρα x= 1 , y2 −1 συνεπώς y= y + C, 1 C−x .
  36. 36. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Προσοχή στον γορίλα y = y2 , y(0) = A, x = άρα x= −1 y συνεπώς y= οπότε 1 , y2 + C, 1 C−x y(0) = A ⇒ C = . 1 ⇒y= A 1 1 A −x .
  37. 37. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις Πίσω στην y = f (x, y),
  38. 38. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις Πίσω στην y = f (x, y), ´Εστω ότι f (x, y) = f (x)g(y),
  39. 39. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις Πίσω στην y = f (x, y), ´Εστω ότι f (x, y) = f (x)g(y), Τότε y = f (x)g(y),
  40. 40. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις Πίσω στην y = f (x, y), ´Εστω ότι f (x, y) = f (x)g(y), Τότε y = f (x)g(y), dy dy = f (x)g(y) ⇒ = f (x) dx ⇒ dx g(y) dy = g(y) f (x) dx + C.
  41. 41. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y = xy.
  42. 42. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y = xy. Μια λύση y = 0.
  43. 43. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y = xy. Μια λύση y = 0. dy = y x dx + C.
  44. 44. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y = xy. Μια λύση y = 0. dy = y x dx + C. ln |y| = x2 +C 2
  45. 45. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y = xy. Μια λύση y = 0. dy = y x dx + C. ln |y| = x2 +C 2 2 2 2 x x x |y| = e 2 +C = e 2 eC = De 2 ,
  46. 46. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y = xy. Μια λύση y = 0. dy = y x dx + C. ln |y| = x2 +C 2 2 2 2 x x x |y| = e 2 +C = e 2 eC = De 2 x2 y = De 2 ∀D. ,
  47. 47. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Κάπως ποιο προσεκτικά dy = f (x)g(y) dx
  48. 48. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Κάπως ποιο προσεκτικά dy = f (x)g(y) dx Η y = y(x) είναι συνάρτηση του x. ´Ομως και η συνάρτηση του x! dy dx είναι
  49. 49. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Κάπως ποιο προσεκτικά dy = f (x)g(y) dx Η y = y(x) είναι συνάρτηση του x. ´Ομως και η συνάρτηση του x! 1 dy = f (x) g(y) dx dy dx είναι
  50. 50. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Κάπως ποιο προσεκτικά dy = f (x)g(y) dx Η y = y(x) είναι συνάρτηση του x. ´Ομως και η συνάρτηση του x! 1 dy = f (x) g(y) dx Ολοκληρώνουμε και τα δύο μέρη ως προς x. 1 dy dx = g(y) dx f (x) dx + C. dy dx είναι
  51. 51. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Κάπως ποιο προσεκτικά dy = f (x)g(y) dx Η y = y(x) είναι συνάρτηση του x. ´Ομως και η συνάρτηση του x! 1 dy = f (x) g(y) dx Ολοκληρώνουμε και τα δύο μέρη ως προς x. 1 dy dx = g(y) dx f (x) dx + C. Αλλαγή μεταβλητών 1 dy = g(y) f (x) dx + C. dy dx είναι
  52. 52. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ´Εμμεσες Λύσεις y = xy y2 + 1 .
  53. 53. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ´Εμμεσες Λύσεις y = xy y2 + 1 1 y2 + 1 dy = y + y y . dy = x dx
  54. 54. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ´Εμμεσες Λύσεις y = xy y2 + 1 1 y2 + 1 dy = y + y y . dy = x dx y2 x2 + ln |y| = +C 2 2
  55. 55. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ´Εμμεσες Λύσεις y = xy y2 + 1 1 y2 + 1 dy = y + y y . dy = x dx y2 x2 + ln |y| = +C 2 2 y2 + 2 ln |y| = x2 + C. ´Εμμεση λύση. Επιβεβαίωση!
  56. 56. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ´Εμμεσες Λύσεις y = xy y2 + 1 1 y2 + 1 dy = y + y y . dy = x dx y2 x2 + ln |y| = +C 2 2 y2 + 2 ln |y| = x2 + C. ´Εμμεση λύση. Επιβεβαίωση! y 2y + 2 = 2x. y
  57. 57. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ´Εμμεσες Λύσεις y = xy y2 + 1 1 y2 + 1 dy = y + y y . dy = x dx y2 x2 + ln |y| = +C 2 2 y2 + 2 ln |y| = x2 + C. ´Εμμεση λύση. Επιβεβαίωση! y 2y + 2 = 2x. y Υπάρχει βεβαίως και η ιδιάζουσα λύση y(x) = 0.
  58. 58. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα x2 y = 1 − x2 + y2 − x2 y2 , y(1) = 0
  59. 59. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα x2 y = 1 − x2 + y2 − x2 y2 , y(1) = 0 x2 y = (1 − x2 )(1 + y2 ).
  60. 60. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα x2 y = 1 − x2 + y2 − x2 y2 , y(1) = 0 x2 y = (1 − x2 )(1 + y2 ). 1 − x2 y 1 ⇒ = − 1, x2 1 + y2 x2 −1 −1 − x + C, ⇒ y = tan −x+C . arctan(y) = x x y = 1 + y2 Από την αρχική συνθήκη, 0 = tan(−2 + C) έχουμε C = 2 (ή 2 + π, . . . ) και καταλήγουμε y = tan −1 x −x+2 .
  61. 61. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα Φτιάχνουμε καφέ χρησιμοποιώντας βραστό νερό (100o C). Μετά απο 1 η θερμοκρασία T του καφέ είναι 95o C. Η θερμοκρασία A του περιβάλοντος είναι 10o C και προτιμούμε τον καφέ μας στους 70o C. Πόσο πρέπει να περιμένουμε;
  62. 62. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα Φτιάχνουμε καφέ χρησιμοποιώντας βραστό νερό (100o C). Μετά απο 1 η θερμοκρασία T του καφέ είναι 95o C. Η θερμοκρασία A του περιβάλοντος είναι 10o C και προτιμούμε τον καφέ μας στους 70o C. Πόσο πρέπει να περιμένουμε; dT = k(A − T), A = 10, T(0) = 100, T(1) = 95. dt
  63. 63. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα Φτιάχνουμε καφέ χρησιμοποιώντας βραστό νερό (100o C). Μετά απο 1 η θερμοκρασία T του καφέ είναι 95o C. Η θερμοκρασία A του περιβάλοντος είναι 10o C και προτιμούμε τον καφέ μας στους 70o C. Πόσο πρέπει να περιμένουμε; dT = k(A − T), A = 10, T(0) = 100, T(1) = 95. dt 1 dT =k A − T dt
  64. 64. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα Φτιάχνουμε καφέ χρησιμοποιώντας βραστό νερό (100o C). Μετά απο 1 η θερμοκρασία T του καφέ είναι 95o C. Η θερμοκρασία A του περιβάλοντος είναι 10o C και προτιμούμε τον καφέ μας στους 70o C. Πόσο πρέπει να περιμένουμε; dT = k(A − T), A = 10, T(0) = 100, T(1) = 95. dt 1 dT = k ⇒ ln(A−T) = −kt+C ⇒ A−T = D e−kt , T = A−D e−kt A − T dt ∆ηλαδή T = 10 − D e−kt ⇒ 100 = T(0) = 10 − D ⇒ D = −90
  65. 65. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα Φτιάχνουμε καφέ χρησιμοποιώντας βραστό νερό (100o C). Μετά απο 1 η θερμοκρασία T του καφέ είναι 95o C. Η θερμοκρασία A του περιβάλοντος είναι 10o C και προτιμούμε τον καφέ μας στους 70o C. Πόσο πρέπει να περιμένουμε; dT = k(A − T), A = 10, T(0) = 100, T(1) = 95. dt 1 dT = k ⇒ ln(A−T) = −kt+C ⇒ A−T = D e−kt , T = A−D e−kt A − T dt ∆ηλαδή T = 10 − D e−kt ⇒ 100 = T(0) = 10 − D ⇒ D = −90 T = 10 + 90 e−kt ⇒ 95 = T(1) = 10 + 90 e−k ⇒ k = − − ln 959010 ≈ 0.06.
  66. 66. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα Φτιάχνουμε καφέ χρησιμοποιώντας βραστό νερό (100o C). Μετά απο 1 η θερμοκρασία T του καφέ είναι 95o C. Η θερμοκρασία A του περιβάλοντος είναι 10o C και προτιμούμε τον καφέ μας στους 70o C. Πόσο πρέπει να περιμένουμε; dT = k(A − T), A = 10, T(0) = 100, T(1) = 95. dt 1 dT = k ⇒ ln(A−T) = −kt+C ⇒ A−T = D e−kt , T = A−D e−kt A − T dt ∆ηλαδή T = 10 − D e−kt ⇒ 100 = T(0) = 10 − D ⇒ D = −90 T = 10 + 90 e−kt ⇒ 95 = T(1) = 10 + 90 e−k ⇒ k = − − ln 959010 ≈ 0.06. 70 = 10 + 90e−0.06t ⇒ t = − − ln 709010 0.06 ≈ 6, 8 λεπτά.
  67. 67. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Γραμμικές εξισώσεις Πρώτης τάξης y + p(x)y = f (x). (1)
  68. 68. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Γραμμικές εξισώσεις Πρώτης τάξης y + p(x)y = f (x). (1) Ιδιότητες • Η λύση υπάρχει αρκεί να ορίζονται οι p(x) και f (x) • Η ομαλότητα της λύσης ταυτίζεται με την ομαλότητα των p(x) και f (x)
  69. 69. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Μεθοδολογία επίλυσης y + p(x)y = f (x). (2)
  70. 70. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Μεθοδολογία επίλυσης y + p(x)y = f (x). r (x)y + r (x)p(x)y = d r (x)y . dx (2)
  71. 71. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Μεθοδολογία επίλυσης y + p(x)y = f (x). r (x)y + r (x)p(x)y = d r (x)y . dx d r (x)y = r (x)f (x). dx Παρατηρήστε ότι (2)
  72. 72. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Μεθοδολογία επίλυσης y + p(x)y = f (x). r (x)y + r (x)p(x)y = d r (x)y . dx d r (x)y = r (x)f (x). dx Παρατηρήστε ότι • το δεξιό μέρος δεν εξαρτάται από το y • το αριστερό μέρος είναι η αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης • μπορούμε να λύσουμε ως προς y (2)
  73. 73. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Μεθοδολογία επίλυσης y + p(x)y = f (x). r (x)y + r (x)p(x)y = d r (x)y . dx d r (x)y = r (x)f (x). dx Παρατηρήστε ότι • το δεξιό μέρος δεν εξαρτάται από το y • το αριστερό μέρος είναι η αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης • μπορούμε να λύσουμε ως προς y αν γνωρίζουμε την r (x)! (2)
  74. 74. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Ολοκληρωτικός Παράγοντας Βρές r (x) τέτοια ώστε εάν την παραγωγίσουμε, θα πάρουμε την ίδια την συνάρτηση πολλαπλασιασμένη με p(x).
  75. 75. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Ολοκληρωτικός Παράγοντας Βρές r (x) τέτοια ώστε εάν την παραγωγίσουμε, θα πάρουμε την ίδια την συνάρτηση πολλαπλασιασμένη με p(x). r (x) = e p(x)dx
  76. 76. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Ολοκληρωτικός Παράγοντας Βρές r (x) τέτοια ώστε εάν την παραγωγίσουμε, θα πάρουμε την ίδια την συνάρτηση πολλαπλασιασμένη με p(x). r (x) = e p(x)dx Μένει να κάνουμε ανιαρές πράξεις. y + p(x)y = f (x), e p(x)dx y + e p(x)dx p(x)y = e p(x)dx f (x), d e p(x)dx y = e p(x)dx f (x), dx e p(x)dx y = e p(x)dx f (x) dx + C, y = e− p(x)dx e p(x)dx f (x) dx + C .
  77. 77. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Γραμμικές εξισώσεις y + p(x)y = f (x).
  78. 78. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Γραμμικές εξισώσεις y + p(x)y = f (x). r (x)y + r (x)p(x)y = d r (x)y . dx
  79. 79. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Γραμμικές εξισώσεις y + p(x)y = f (x). r (x)y + r (x)p(x)y = d r (x)y . dx r (x) = p(x)r (x) ⇒ r (x) = e p(x)dx
  80. 80. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Γραμμικές εξισώσεις y + p(x)y = f (x). r (x)y + r (x)p(x)y = d r (x)y . dx r (x) = p(x)r (x) ⇒ r (x) = e e p(x)dx y + p(x)y = f (x), e p(x)dx f (x), p(x)dx y + e p(x)dx p(x)y = d e p(x)dx y = e p(x)dx f (x), dx e p(x)dx y = e p(x)dx f (x) dx + C y = e− p(x)dx e p(x)dx f (x) dx + C .
  81. 81. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y + 2xy = ex−x 2 y(0) = −1.
  82. 82. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y + 2xy = ex−x x−x2 p(x) = 2x, f (x) = e 2 , r (x) = e y(0) = −1. p(x) dx = ex2 .
  83. 83. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y + 2xy = ex−x x−x2 p(x) = 2x, f (x) = e 2 2 , r (x) = e 2 y(0) = −1. p(x) dx = ex2 . 2 2 ex y + 2xex y = ex−x ex , d x2 e y = ex . dx
  84. 84. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y + 2xy = ex−x x−x2 p(x) = 2x, f (x) = e 2 2 y(0) = −1. , r (x) = e p(x) dx = ex2 . 2 2 2 ex y + 2xex y = ex−x ex , d x2 e y = ex . dx Ολοκληρώνουμε 2 ex y = ex + C, 2 2 y = ex−x + Ce−x .
  85. 85. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y + 2xy = ex−x x−x2 p(x) = 2x, f (x) = e 2 2 y(0) = −1. , r (x) = e p(x) dx = ex2 . 2 2 2 ex y + 2xex y = ex−x ex , d x2 e y = ex . dx Ολοκληρώνουμε 2 ex y = ex + C, 2 2 y = ex−x + Ce−x . Από τις αρχικές συνθήκες −1 = y(0) = 1 + C ⇒ C = −2.
  86. 86. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y + 2xy = ex−x x−x2 p(x) = 2x, f (x) = e 2 2 y(0) = −1. , r (x) = e p(x) dx = ex2 . 2 2 2 ex y + 2xex y = ex−x ex , d x2 e y = ex . dx Ολοκληρώνουμε 2 ex y = ex + C, 2 2 y = ex−x + Ce−x . Από τις αρχικές συνθήκες −1 = y(0) = 1 + C ⇒ C = −2. 2 2 y = ex−x − 2e−x .
  87. 87. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού Μπορούμε να γράψουμε το f (x) dx + C ως εξής x f (t) dt + C. x0
  88. 88. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Ορισμένα Ολοκληρώματα y + p(x)y = f (x), y(x0 ) = y0 .
  89. 89. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Ορισμένα Ολοκληρώματα y + p(x)y = f (x), y(x) = e − xx 0 p(s) ds x y(x0 ) = y0 . t e x0 x0 p(s) ds f (t) dt + y0 . Μπορούμε να υλοποιήσουμε τον παραπάνω τύπο στον υπολογιστή για να πάρουμε την τιμή της λύσης σε όποιο σημείο επιθυμούμε.
  90. 90. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ∆ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει;
  91. 91. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ∆ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει; x(t) : αλάτι στη δεξαμενή την στιγμή t ∆x ≈ (ρυθμός εισαγωγής × συγκέντρωση εισαγωγής)∆t − (ρυθμός εξαγωγής × συγκέντρωση εξαγωγής)∆t.
  92. 92. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ∆ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει; x(t) : αλάτι στη δεξαμενή την στιγμή t ∆x ≈ (ρυθμός εισαγωγής × συγκέντρωση εισαγωγής)∆t − (ρυθμός εξαγωγής × συγκέντρωση εξαγωγής)∆t. dx = (ρυθμός εισαγωγής × συγκέντρωση εισαγωγής) − dt (ρυθμός εξαγωγής × συγκέντρωση εξαγωγής).
  93. 93. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ∆ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει; x(t) : αλάτι στη δεξαμενή την στιγμή t ∆x ≈ (ρυθμός εισαγωγής × συγκέντρωση εισαγωγής)∆t − (ρυθμός εξαγωγής × συγκέντρωση εξαγωγής)∆t. dx = (ρυθμός εισαγωγής × συγκέντρωση εισαγωγής) − dt (ρυθμός εξαγωγής × συγκέντρωση εξαγωγής). dx x dx 3 = (5 × 0.1) − 3 ⇔ + x = 0.5. dt 60 + 2t dt 60 + 2t
  94. 94. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) dx 3 + x = 0.5. dt 60 + 2t
  95. 95. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) r (t) = exp dx 3 + x = 0.5. dt 60 + 2t 3 3 dt = exp ln(60 + 2t) = (60 + 2t)3/2 . 60 + 2t 2
  96. 96. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) r (t) = exp dx 3 + x = 0.5. dt 60 + 2t 3 3 dt = exp ln(60 + 2t) = (60 + 2t)3/2 . 60 + 2t 2 (60 + 2t) 3/2 dx + (60 + 2t)3/2 dt 3 x = 0.5(60 + 2t)3/2 , 60 + 2t d 3/2 x = 0.5(60 + 2t)3/2 , (60 + 2t) dt (60 + 2t) 3/2 x = 0.5(60 + 2t)3/2 dt + C,
  97. 97. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) r (t) = exp dx 3 + x = 0.5. dt 60 + 2t 3 3 dt = exp ln(60 + 2t) = (60 + 2t)3/2 . 60 + 2t 2 (60 + 2t) 3/2 dx + (60 + 2t)3/2 dt 3 x = 0.5(60 + 2t)3/2 , 60 + 2t d 3/2 x = 0.5(60 + 2t)3/2 , (60 + 2t) dt (60 + 2t) x = (60 + 2t)−3/2 x = (60 + 2t)−3/2 3/2 x = (60 + 2t)3/2 2 0.5(60 + 2t)3/2 dt + C, dt + C(60 + 2t)−3/2 , 1 (60 + 2t)5/2 + C(60 + 2t)−3/2 10
  98. 98. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) r (t) = exp dx 3 + x = 0.5. dt 60 + 2t 3 3 dt = exp ln(60 + 2t) = (60 + 2t)3/2 . 60 + 2t 2 (60 + 2t) 3/2 dx + (60 + 2t)3/2 dt 3 x = 0.5(60 + 2t)3/2 , 60 + 2t d 3/2 x = 0.5(60 + 2t)3/2 , (60 + 2t) dt (60 + 2t) x = (60 + 2t)−3/2 x = (60 + 2t)−3/2 3/2 x = (60 + 2t)3/2 2 0.5(60 + 2t)3/2 dt + C, dt + C(60 + 2t)−3/2 , 1 (60 + 2t)5/2 + C(60 + 2t)−3/2 10
  99. 99. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ∆ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει; x(t) = 60 + 2t + C(60 + 2t)−3/2 . 10
  100. 100. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ∆ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει; x(t) = 60 + 2t + C(60 + 2t)−3/2 . 10 10 = x(0) = 6 + C(60)−3/2 ⇒ C = 4(603/2 ) ≈ 1859.03
  101. 101. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ∆ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει; x(t) = 60 + 2t + C(60 + 2t)−3/2 . 10 10 = x(0) = 6 + C(60)−3/2 ⇒ C = 4(603/2 ) ≈ 1859.03 ∆εξαμενή γεμάτη όταν 60 + 2t = 100, δηλ. όταν t = 20 x(20) ≈ 10 + 1859.03(100)−3/2 ≈ 11.86.
  102. 102. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y = (x − y + 1)2 .
  103. 103. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y = (x − y + 1)2 . v=x−y+1 ⇒ v =1−y, y =1−v.
  104. 104. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y = (x − y + 1)2 . v=x−y+1 ⇒ v =1−y, y =1−v. 1−v = v2 ⇒ v = 1−v2 ⇒ 1 1−v dv = dx ⇒ 2 1 v+1 = x+C, ln 2 v−1
  105. 105. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y = (x − y + 1)2 . v=x−y+1 ⇒ v =1−y, y =1−v. 1−v = v2 ⇒ v = 1−v2 ⇒ 1 1−v dv = dx ⇒ 2 1 v+1 = x+C, ln 2 v−1 v+1 v+1 = De2x = e2x+2C ⇒ v−1 v−1
  106. 106. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y = (x − y + 1)2 . v=x−y+1 ⇒ v =1−y, y =1−v. 1−v = v2 ⇒ v = 1−v2 ⇒ 1 1−v dv = dx ⇒ 2 1 v+1 = x+C, ln 2 v−1 v+1 v+1 = De2x = e2x+2C ⇒ v−1 v−1 x−y+2 x−y = De2x και y = x, και y = x + 2.
  107. 107. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y = (x − y + 1)2 . v=x−y+1 ⇒ v =1−y, y =1−v. 1−v = v2 ⇒ v = 1−v2 ⇒ 1 1−v dv = dx ⇒ 2 1 v+1 = x+C, ln 2 v−1 v+1 v+1 = De2x = e2x+2C ⇒ v−1 v−1 x−y+2 x−y = De2x και y = x, και y = x + 2. x − y + 2 = (x − y)De2x ⇒ y= Dxe2x − x − 2 . De2x − 1
  108. 108. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Μαντεψιές ´Οταν δεις yy y2 y (cos y)y (sin y)y y ey δοκίμασε y2 y3 sin y cos y ey
  109. 109. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Εξισώσεις Bernoulli y + p(x)y = q(x)yn . Μαντεψιά: v = y1−n
  110. 110. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα xy + y(x + 1) + xy5 = 0, Αντικατάσταση v = y1−5 = y−4 , ⇒ y(1) = 1. v = −4y−5 y ⇒ −y5 4 v =y.
  111. 111. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα xy + y(x + 1) + xy5 = 0, Αντικατάσταση v = y1−5 = y−4 , ⇒ y(1) = 1. v = −4y−5 y xy + y(x + 1) + xy5 = 0, −xy5 4 v + y(x + 1) + xy5 = 0, −x 4 v + y−4 (x + 1) + x = 0, −x v + v(x + 1) + x = 0, 4 v− 4(x + 1) v = 4. x ⇒ −y5 4 v =y.
  112. 112. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) v− 4(x + 1) v = 4. x
  113. 113. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) v− r (x) = exp −4(x + 1) x 4(x + 1) v = 4. x dx = e−4x−4 ln(x) = e−4x x−4 = e−4x . x4
  114. 114. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) v− r (x) = exp −4(x + 1) x d dx 4(x + 1) v = 4. x dx = e−4x−4 ln(x) = e−4x x−4 = e−4x e−4x v =4 4 , x4 x x e−4s e−4x v= 4 4 ds + 1, 4 x s 1 x e−4s v = e4x x4 4 ds + 1 . s4 1 e−4x . x4
  115. 115. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) v− r (x) = exp −4(x + 1) x d dx 4(x + 1) v = 4. x dx = e−4x−4 ln(x) = e−4x x−4 = e−4x e−4x v =4 4 , x4 x x e−4s e−4x v= 4 4 ds + 1, 4 x s 1 x e−4s v = e4x x4 4 ds + 1 . s4 1 y−4 = e4x x4 4 y= x e−4s s4 1 ds + 1 , e−x x 4 x e−4s ds + 1 1/4 . e−4x . x4
  116. 116. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Ομογενείς εξισώσεις y =F y . x Μετασχηματισμός v= y x ⇒ y = v + xv .
  117. 117. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Ομογενείς εξισώσεις y =F y . x Μετασχηματισμός v= v+xv = F(v) y x ⇒ ⇒ y = v + xv . xv = F(v)−v ´Εμμεση λύση 1 dv = ln |x| + C. F(v) − v ⇒ v 1 = . F(v) − v x
  118. 118. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα x2 y = y2 + xy, y(1) = 1.
  119. 119. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα x2 y = y2 + xy, y(1) = 1. y = (y/x)2 + y/x. Μετασχηματισμός v = y/x
  120. 120. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα x2 y = y2 + xy, y(1) = 1. y = (y/x)2 + y/x. Μετασχηματισμός v = y/x xv = v2 + v − v = v2 ,
  121. 121. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα x2 y = y2 + xy, y(1) = 1. y = (y/x)2 + y/x. Μετασχηματισμός v = y/x xv = v2 + v − v = v2 , 1 dv = ln |x| + C, v2 −1 = ln |x| + C, v −1 v= . ln |x| + C
  122. 122. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) −1 , ln |x| + C −x y= . ln |x| + C y/x =
  123. 123. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) −1 , ln |x| + C −x y= . ln |x| + C y/x = 1 = y(1) = −1 −1 = . ln |1| + C C
  124. 124. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) −1 , ln |x| + C −x y= . ln |x| + C y/x = 1 = y(1) = y= −1 −1 = . ln |1| + C C −x . ln |x| − 1
  125. 125. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) −1 , ln |x| + C −x y= . ln |x| + C y/x =
  126. 126. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) −1 , ln |x| + C −x y= . ln |x| + C y/x = 1 = y(1) = −1 −1 = . ln |1| + C C
  127. 127. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) −1 , ln |x| + C −x y= . ln |x| + C y/x = 1 = y(1) = y= −1 −1 = . ln |1| + C C −x . ln |x| − 1
  128. 128. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Αυτόνομες Εξισώσεις dx = f (x). dt
  129. 129. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Αυτόνομες Εξισώσεις dx = f (x). dt Μοντέλα • Το πρόβλημα του καφέ dx = −k(x − A). dt • Πληθυσμιακό μοντέλο (βακτηρίδια) dP = kP. dt
  130. 130. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Αυτόνομες Εξισώσεις dx = f (x). dt Μοντέλα • Το πρόβλημα του καφέ dx = −k(x − A). dt • Πληθυσμιακό μοντέλο (βακτηρίδια) dP = kP. dt Ορισμοί • Τα σημεία του x άξονα στα οποία έχουμε f (x) = 0 τα λέμε κρίσιμα σημεία. • Αποτελούν λύσεις των αυτόνομων εξισώσεων και τις λέμε λύσεις ισορροπίας.
  131. 131. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παραδείγματα 0 10 20 30 40 50 60 6000 6000 5000 5000 4000 4000 3000 3000 2000 2000 1000 1000 0 0 0 10 20 30 40 Σχήμα : Πληθυσμιακό μοντέλο. 50 60
  132. 132. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παραδείγματα 0 5 10 15 0 20 5 10 15 20 5 10 5 0 10 10 5 10 0 5 0 0 -5 -5 -10 -5 -10 0 5 10 15 20 -5 0 5 10 15 Σχήμα : Πεδία κατευθύνσεων και γραφική παράσταση μερικών λύσεων των εξισώσεων x = −0.3(x − 5) και x = −0.1x(5 − x). 20
  133. 133. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Ευσταθείς Λύσεις Μιά λύση (ή ένα κρίσιμο σημείο) λέγετε ‘ευσταθής’ όταν μικρές διαταραχές στο x δεν οδηγούν σε ουσιαστικά διαφορετικές λύσεις για αρκετά μεγάλο t.
  134. 134. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα - Λογιστική Εξίσωση dx = kx(M − x), dt Πληθυσμιακό μοντέλο εάν γνωρίσουμε ότι ο πληθυσμός ενός είδους δεν μπορεί να υπερβεί τον αριθμό M.
  135. 135. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα - Λογιστική Εξίσωση dx = kx(M − x), dt Πληθυσμιακό μοντέλο εάν γνωρίσουμε ότι ο πληθυσμός ενός είδους δεν μπορεί να υπερβεί τον αριθμό M.  5  lim x(t) = 0   ∆Υ ή − ∞ t→∞ αν x(0) > 0, αν x(0) = 0, αν x(0) < 0.
  136. 136. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ∆ιάγραμμα Φάσης Συμπεριφορά της λύσης σε βάθος χρόνου y=5 y=0
  137. 137. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ∆ιάγραμμα Φάσης Συμπεριφορά της λύσης σε βάθος χρόνου y=5 y=0 Γενικά ασταθής ευσταθής
  138. 138. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Λογιστική Εξίσωση με Κατανάλωση Μια ομάδα ανθρώπων βασίζει την επιβιωσή της εκτρέφοντας μια αγέλη ζώων
  139. 139. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Λογιστική Εξίσωση με Κατανάλωση Μια ομάδα ανθρώπων βασίζει την επιβιωσή της εκτρέφοντας μια αγέλη ζώων ´Εστω • Τα καταναλώνει με ρυθμό h ζώα τον χρόνο. • x πλήθος ζώων (χιλιάδες) • t χρόνος (έτη). • M ελάχιστος πληθυσμός κάτω από τον οποίο δεν επιτρέπεται η κατανάλωση ζώων. • k > 0 σταθερά αναπαραγωγής των ζώων.
  140. 140. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Λογιστική Εξίσωση με Κατανάλωση Μια ομάδα ανθρώπων βασίζει την επιβιωσή της εκτρέφοντας μια αγέλη ζώων ´Εστω • Τα καταναλώνει με ρυθμό h ζώα τον χρόνο. • x πλήθος ζώων (χιλιάδες) • t χρόνος (έτη). • M ελάχιστος πληθυσμός κάτω από τον οποίο δεν επιτρέπεται η κατανάλωση ζώων. • k > 0 σταθερά αναπαραγωγής των ζώων. dx = kx(M − x) − h. dt
  141. 141. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Λογιστική Εξίσωση με Κατανάλωση Μια ομάδα ανθρώπων βασίζει την επιβιωσή της εκτρέφοντας μια αγέλη ζώων ´Εστω • Τα καταναλώνει με ρυθμό h ζώα τον χρόνο. • x πλήθος ζώων (χιλιάδες) • t χρόνος (έτη). • M ελάχιστος πληθυσμός κάτω από τον οποίο δεν επιτρέπεται η κατανάλωση ζώων. • k > 0 σταθερά αναπαραγωγής των ζώων. dx = kx(M − x) − h. dt √ Κρίσιμα σημεία: A, B = kM± (kM)2 −4hk . 2k
  142. 142. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Λογιστική Εξίσωση με Κατανάλωση (h 1, 1.6) 0 5 10 15 20 10 0 5 10 15 20 1010 10 8 8 8 8 5 5 5 5 2 2 2 2 0 0 0 0 0 5 10 15 20 0 5 10 15 Σχήμα : Πεδία κατευθύνσεων και μερικές λύσεις των εξισώσεων x = −0.1x(8 − x) − 1 και x = −0.1x(8 − x) − 1.6. 20
  143. 143. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Λογιστική Εξίσωση με Κατανάλωση (h 2) 0 5 10 15 20 10 10 8 8 5 5 2 2 0 0 0 5 10 15 20 Σχήμα : Πεδία κατευθύνσεων και μερικές λύσεις των εξισώσεων x = −0.1x(8 − x) − 2.

×