Your SlideShare is downloading. ×
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
1ο κεφάλαιο
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

1ο κεφάλαιο

56

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
56
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Συνήθεις ∆ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ∆Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, ´Υπαρξη και μοναδικότητα, ∆ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ∆ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 17 Μαρτίου 2013, Βόλος
  • 2. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Σ∆Ε πρώτης τάξης dy = f (x, y) dx ή y = f (x, y)
  • 3. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Σ∆Ε πρώτης τάξης dy = f (x, y) dx ή y = f (x, y)
  • 4. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Σ∆Ε πρώτης τάξης dy = f (x, y) dx έστω ότι f (x, y) = f (x) ή y = f (x). y = f (x, y)
  • 5. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Σ∆Ε πρώτης τάξης dy = f (x, y) dx έστω ότι f (x, y) = f (x) ή y = f (x, y) y = f (x). τότε y (x) d = f (x) dx + C, δηλαδή y(x) = f (x) dx + C.
  • 6. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα 2 y(0) = 1. y = e−x , Λύση x y(x) = 0 2 e−s ds + 1.
  • 7. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα 9yy = −4x. 9 y(x)y (x)dx + 4 xdx = C
  • 8. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα 9yy = −4x. 9 9 y(x)y (x)dx + 4 xdx = C ydy + 4x2 = C ⇒ 9y2 + 4x2 = 2C
  • 9. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα 9yy = −4x. 9 9 y(x)y (x)dx + 4 xdx = C ydy + 4x2 = C ⇒ 9y2 + 4x2 = 2C Σχήμα : y2 x2 4 + 9 = C
  • 10. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y + yx = x.
  • 11. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y + yx = x. y 1−y =x
  • 12. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y + yx = x. y 1−y =x ⇒ dy = 1−y xdx
  • 13. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y + yx = x. y 1−y =x − ln |1 − y| = ⇒ x2 +C 2 dy = 1−y xdx
  • 14. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y + yx = x. y 1−y =x − ln |1 − y| = ⇒ x2 +C 2 dy = 1−y ⇒ xdx x2 y = 1 + Ce− 2
  • 15. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y + yx = x. y 1−y =x − ln |1 − y| = ⇒ x2 +C 2 dy = 1−y ⇒ xdx x2 y = 1 + Ce− 2
  • 16. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Σ∆Ε πρώτης τάξης dy = f (x, y) dx ή y = f (x, y)
  • 17. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Σ∆Ε πρώτης τάξης ή dy = f (x, y) dx έστω ότι f (x, y) = f (y) y = f (x, y) dy dx 1 = f (y) ⇒ = . dx dy f (y) x(y) = Παραδείγματα • y = ky ⇒ y = Cekx . dy 1 • dx = y2 ⇒ y = C−x 1 dy + C. f (y) ή y = 0.
  • 18. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα Πόσο μακριά θα έχει φθάσει ένα όχημα που κινείται με ταχύτητα et/2 μέτρα το δευτερόλεπτο σε 2 δευτερόλεπτα και πόσο σε 10 δευτερόλεπτα; x = et/2 ⇒ x(t) = 2et/2 + C. 0 = x(0) = 2e0/2 + C = 2 + C ⇒ C = −2. x(t) = et/2 − 2. x(2) = 2e2/2 −2 ≈ 3.44 μέτρα, x(10) = 2e10/2 −2 ≈ 294 μέτρα.
  • 19. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα Πού θα βρίσκεται ένα όχημα την χρονική στιγμή t = 10 αν επιταχύνει με ρυθμό t2 sm και την χρονική στιγμή 2 t = 0 βρίσκεται σε απόσταση 1 μέτρου από την αρχική του θέση και κινείται με ταχύτητα 10 m ; s x = t2 , Αν θέσουμε x = v x(0) = 1, v = t2 , x (0) = 10. v(0) = 10, λύσουμε ως προς v, και κατόπιν ολοκληρώνουμε για να βρούμε το x.
  • 20. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Πεδία κατευθύνσεων y = f (x, y) ⇒ τιμή της κλίσης της y σε κάθε σημείο του επιπέδου (x, y).
  • 21. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Πεδία κατευθύνσεων y = f (x, y) ⇒ τιμή της κλίσης της y σε κάθε σημείο του επιπέδου (x, y). Σχήμα : Το πεδίο κατευθύνσεων της y = xy και η λύση που ικανοποιεί τις συνθήκες y(0) = 0.2, y(0) = 0, και y(0) = −0.2.
  • 22. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Πεδία κατευθύνσεων y = f (x, y) ⇒ τιμή της κλίσης της y σε κάθε σημείο του επιπέδου (x, y). Σχήμα : Το πεδίο κατευθύνσεων της y = xy και η λύση που ικανοποιεί τις συνθήκες y(0) = 0.2, y(0) = 0, και y(0) = −0.2. -3 -2 -1 0 1 2 3 3 3 2 2 1 1 0 0 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3
  • 23. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Πεδία κατευθύνσεων y = f (x, y) ⇒ τιμή της κλίσης της y σε κάθε σημείο του επιπέδου (x, y). Σχήμα : Το πεδίο κατευθύνσεων της y = xy και η λύση που ικανοποιεί τις συνθήκες y(0) = 0.2, y(0) = 0, και y(0) = −0.2. -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 -1 -1-1 -1 -2 -2-2 -2 -3 -3-3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3
  • 24. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Είμαστε μηχανικοί Η/Υ Χρήση λογισμικού!
  • 25. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ´Υπαρξη και μοναδικότητα y = f (x, y), y(x0 ) = y0 . (i) Υπάρχει λύση; (ii) Είναι η λύση μοναδική (εάν υπάρχει);
  • 26. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ´Υπαρξη και μοναδικότητα y = f (x, y), y(x0 ) = y0 . (i) Υπάρχει λύση; (ii) Είναι η λύση μοναδική (εάν υπάρχει); Παράδειγμα: y = 1, y(0) = 0 ⇒ y = ln |x| + C. x
  • 27. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Θεώρημα του Picard Θεώρημα Εάν η f (x, y) είναι συνεχής και εάν η ∂f παράγωγος ∂y υπάρχει και είναι συνεχής σε κάποια περιοχή γύρω από το (x0 , y0 ), τότε η λύση του προβλήματος y = f (x, y), y(x0 ) = y0 , υπάρχει (τουλάχιστον για κάποια x) και είναι μοναδική.
  • 28. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Θεώρημα του Picard Θεώρημα Εάν η f (x, y) είναι συνεχής και εάν η ∂f παράγωγος ∂y υπάρχει και είναι συνεχής σε κάποια περιοχή γύρω από το (x0 , y0 ), τότε η λύση του προβλήματος y = f (x, y), y(x0 ) = y0 , υπάρχει (τουλάχιστον για κάποια x) και είναι μοναδική. Παραδείγματα 1. y = 1 , y(0) = 0 x 2. y = 2 |y|, y(0) = 0
  • 29. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ´Υπαρξη και μοναδικότητα Παράδειγμα: y = 1 , x y(0) = 0 ⇒ y = ln |x| + C.
  • 30. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ´Υπαρξη και μοναδικότητα Παράδειγμα: y = 1 , x y(0) = 0 ⇒ y = ln |x| + C. Σχήμα : Πεδίο διευθύνσεων της y = -3 -2 -1 0 1 2 3 3 3 2 2 1 1 0 0 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 1 x και της y = 2 |y|.
  • 31. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ´Υπαρξη και μοναδικότητα Παράδειγμα: y = 1 , x y(0) = 0 ⇒ y = ln |x| + C. Σχήμα : Πεδίο διευθύνσεων της y = -3 -2 -1 0 1 2 -3 3 -2 1 x και της y = 2 |y|. -1 0 1 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 -1 -1-1 -1 -2 -2-2 -2 -3-3 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3
  • 32. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Προσοχή στον γορίλα y = y2 , y(0) = A,
  • 33. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Προσοχή στον γορίλα y = y2 , x = y(0) = A, 1 , y2
  • 34. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Προσοχή στον γορίλα y = y2 , y(0) = A, x = άρα x= 1 , y2 −1 y + C,
  • 35. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Προσοχή στον γορίλα y = y2 , y(0) = A, x = άρα x= 1 , y2 −1 συνεπώς y= y + C, 1 C−x .
  • 36. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Προσοχή στον γορίλα y = y2 , y(0) = A, x = άρα x= −1 y συνεπώς y= οπότε 1 , y2 + C, 1 C−x y(0) = A ⇒ C = . 1 ⇒y= A 1 1 A −x .
  • 37. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις Πίσω στην y = f (x, y),
  • 38. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις Πίσω στην y = f (x, y), ´Εστω ότι f (x, y) = f (x)g(y),
  • 39. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις Πίσω στην y = f (x, y), ´Εστω ότι f (x, y) = f (x)g(y), Τότε y = f (x)g(y),
  • 40. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις Πίσω στην y = f (x, y), ´Εστω ότι f (x, y) = f (x)g(y), Τότε y = f (x)g(y), dy dy = f (x)g(y) ⇒ = f (x) dx ⇒ dx g(y) dy = g(y) f (x) dx + C.
  • 41. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y = xy.
  • 42. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y = xy. Μια λύση y = 0.
  • 43. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y = xy. Μια λύση y = 0. dy = y x dx + C.
  • 44. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y = xy. Μια λύση y = 0. dy = y x dx + C. ln |y| = x2 +C 2
  • 45. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y = xy. Μια λύση y = 0. dy = y x dx + C. ln |y| = x2 +C 2 2 2 2 x x x |y| = e 2 +C = e 2 eC = De 2 ,
  • 46. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y = xy. Μια λύση y = 0. dy = y x dx + C. ln |y| = x2 +C 2 2 2 2 x x x |y| = e 2 +C = e 2 eC = De 2 x2 y = De 2 ∀D. ,
  • 47. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Κάπως ποιο προσεκτικά dy = f (x)g(y) dx
  • 48. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Κάπως ποιο προσεκτικά dy = f (x)g(y) dx Η y = y(x) είναι συνάρτηση του x. ´Ομως και η συνάρτηση του x! dy dx είναι
  • 49. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Κάπως ποιο προσεκτικά dy = f (x)g(y) dx Η y = y(x) είναι συνάρτηση του x. ´Ομως και η συνάρτηση του x! 1 dy = f (x) g(y) dx dy dx είναι
  • 50. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Κάπως ποιο προσεκτικά dy = f (x)g(y) dx Η y = y(x) είναι συνάρτηση του x. ´Ομως και η συνάρτηση του x! 1 dy = f (x) g(y) dx Ολοκληρώνουμε και τα δύο μέρη ως προς x. 1 dy dx = g(y) dx f (x) dx + C. dy dx είναι
  • 51. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Κάπως ποιο προσεκτικά dy = f (x)g(y) dx Η y = y(x) είναι συνάρτηση του x. ´Ομως και η συνάρτηση του x! 1 dy = f (x) g(y) dx Ολοκληρώνουμε και τα δύο μέρη ως προς x. 1 dy dx = g(y) dx f (x) dx + C. Αλλαγή μεταβλητών 1 dy = g(y) f (x) dx + C. dy dx είναι
  • 52. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ´Εμμεσες Λύσεις y = xy y2 + 1 .
  • 53. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ´Εμμεσες Λύσεις y = xy y2 + 1 1 y2 + 1 dy = y + y y . dy = x dx
  • 54. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ´Εμμεσες Λύσεις y = xy y2 + 1 1 y2 + 1 dy = y + y y . dy = x dx y2 x2 + ln |y| = +C 2 2
  • 55. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ´Εμμεσες Λύσεις y = xy y2 + 1 1 y2 + 1 dy = y + y y . dy = x dx y2 x2 + ln |y| = +C 2 2 y2 + 2 ln |y| = x2 + C. ´Εμμεση λύση. Επιβεβαίωση!
  • 56. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ´Εμμεσες Λύσεις y = xy y2 + 1 1 y2 + 1 dy = y + y y . dy = x dx y2 x2 + ln |y| = +C 2 2 y2 + 2 ln |y| = x2 + C. ´Εμμεση λύση. Επιβεβαίωση! y 2y + 2 = 2x. y
  • 57. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ´Εμμεσες Λύσεις y = xy y2 + 1 1 y2 + 1 dy = y + y y . dy = x dx y2 x2 + ln |y| = +C 2 2 y2 + 2 ln |y| = x2 + C. ´Εμμεση λύση. Επιβεβαίωση! y 2y + 2 = 2x. y Υπάρχει βεβαίως και η ιδιάζουσα λύση y(x) = 0.
  • 58. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα x2 y = 1 − x2 + y2 − x2 y2 , y(1) = 0
  • 59. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα x2 y = 1 − x2 + y2 − x2 y2 , y(1) = 0 x2 y = (1 − x2 )(1 + y2 ).
  • 60. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα x2 y = 1 − x2 + y2 − x2 y2 , y(1) = 0 x2 y = (1 − x2 )(1 + y2 ). 1 − x2 y 1 ⇒ = − 1, x2 1 + y2 x2 −1 −1 − x + C, ⇒ y = tan −x+C . arctan(y) = x x y = 1 + y2 Από την αρχική συνθήκη, 0 = tan(−2 + C) έχουμε C = 2 (ή 2 + π, . . . ) και καταλήγουμε y = tan −1 x −x+2 .
  • 61. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα Φτιάχνουμε καφέ χρησιμοποιώντας βραστό νερό (100o C). Μετά απο 1 η θερμοκρασία T του καφέ είναι 95o C. Η θερμοκρασία A του περιβάλοντος είναι 10o C και προτιμούμε τον καφέ μας στους 70o C. Πόσο πρέπει να περιμένουμε;
  • 62. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα Φτιάχνουμε καφέ χρησιμοποιώντας βραστό νερό (100o C). Μετά απο 1 η θερμοκρασία T του καφέ είναι 95o C. Η θερμοκρασία A του περιβάλοντος είναι 10o C και προτιμούμε τον καφέ μας στους 70o C. Πόσο πρέπει να περιμένουμε; dT = k(A − T), A = 10, T(0) = 100, T(1) = 95. dt
  • 63. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα Φτιάχνουμε καφέ χρησιμοποιώντας βραστό νερό (100o C). Μετά απο 1 η θερμοκρασία T του καφέ είναι 95o C. Η θερμοκρασία A του περιβάλοντος είναι 10o C και προτιμούμε τον καφέ μας στους 70o C. Πόσο πρέπει να περιμένουμε; dT = k(A − T), A = 10, T(0) = 100, T(1) = 95. dt 1 dT =k A − T dt
  • 64. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα Φτιάχνουμε καφέ χρησιμοποιώντας βραστό νερό (100o C). Μετά απο 1 η θερμοκρασία T του καφέ είναι 95o C. Η θερμοκρασία A του περιβάλοντος είναι 10o C και προτιμούμε τον καφέ μας στους 70o C. Πόσο πρέπει να περιμένουμε; dT = k(A − T), A = 10, T(0) = 100, T(1) = 95. dt 1 dT = k ⇒ ln(A−T) = −kt+C ⇒ A−T = D e−kt , T = A−D e−kt A − T dt ∆ηλαδή T = 10 − D e−kt ⇒ 100 = T(0) = 10 − D ⇒ D = −90
  • 65. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα Φτιάχνουμε καφέ χρησιμοποιώντας βραστό νερό (100o C). Μετά απο 1 η θερμοκρασία T του καφέ είναι 95o C. Η θερμοκρασία A του περιβάλοντος είναι 10o C και προτιμούμε τον καφέ μας στους 70o C. Πόσο πρέπει να περιμένουμε; dT = k(A − T), A = 10, T(0) = 100, T(1) = 95. dt 1 dT = k ⇒ ln(A−T) = −kt+C ⇒ A−T = D e−kt , T = A−D e−kt A − T dt ∆ηλαδή T = 10 − D e−kt ⇒ 100 = T(0) = 10 − D ⇒ D = −90 T = 10 + 90 e−kt ⇒ 95 = T(1) = 10 + 90 e−k ⇒ k = − − ln 959010 ≈ 0.06.
  • 66. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα Φτιάχνουμε καφέ χρησιμοποιώντας βραστό νερό (100o C). Μετά απο 1 η θερμοκρασία T του καφέ είναι 95o C. Η θερμοκρασία A του περιβάλοντος είναι 10o C και προτιμούμε τον καφέ μας στους 70o C. Πόσο πρέπει να περιμένουμε; dT = k(A − T), A = 10, T(0) = 100, T(1) = 95. dt 1 dT = k ⇒ ln(A−T) = −kt+C ⇒ A−T = D e−kt , T = A−D e−kt A − T dt ∆ηλαδή T = 10 − D e−kt ⇒ 100 = T(0) = 10 − D ⇒ D = −90 T = 10 + 90 e−kt ⇒ 95 = T(1) = 10 + 90 e−k ⇒ k = − − ln 959010 ≈ 0.06. 70 = 10 + 90e−0.06t ⇒ t = − − ln 709010 0.06 ≈ 6, 8 λεπτά.
  • 67. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Γραμμικές εξισώσεις Πρώτης τάξης y + p(x)y = f (x). (1)
  • 68. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Γραμμικές εξισώσεις Πρώτης τάξης y + p(x)y = f (x). (1) Ιδιότητες • Η λύση υπάρχει αρκεί να ορίζονται οι p(x) και f (x) • Η ομαλότητα της λύσης ταυτίζεται με την ομαλότητα των p(x) και f (x)
  • 69. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Μεθοδολογία επίλυσης y + p(x)y = f (x). (2)
  • 70. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Μεθοδολογία επίλυσης y + p(x)y = f (x). r (x)y + r (x)p(x)y = d r (x)y . dx (2)
  • 71. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Μεθοδολογία επίλυσης y + p(x)y = f (x). r (x)y + r (x)p(x)y = d r (x)y . dx d r (x)y = r (x)f (x). dx Παρατηρήστε ότι (2)
  • 72. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Μεθοδολογία επίλυσης y + p(x)y = f (x). r (x)y + r (x)p(x)y = d r (x)y . dx d r (x)y = r (x)f (x). dx Παρατηρήστε ότι • το δεξιό μέρος δεν εξαρτάται από το y • το αριστερό μέρος είναι η αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης • μπορούμε να λύσουμε ως προς y (2)
  • 73. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Μεθοδολογία επίλυσης y + p(x)y = f (x). r (x)y + r (x)p(x)y = d r (x)y . dx d r (x)y = r (x)f (x). dx Παρατηρήστε ότι • το δεξιό μέρος δεν εξαρτάται από το y • το αριστερό μέρος είναι η αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης • μπορούμε να λύσουμε ως προς y αν γνωρίζουμε την r (x)! (2)
  • 74. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Ολοκληρωτικός Παράγοντας Βρές r (x) τέτοια ώστε εάν την παραγωγίσουμε, θα πάρουμε την ίδια την συνάρτηση πολλαπλασιασμένη με p(x).
  • 75. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Ολοκληρωτικός Παράγοντας Βρές r (x) τέτοια ώστε εάν την παραγωγίσουμε, θα πάρουμε την ίδια την συνάρτηση πολλαπλασιασμένη με p(x). r (x) = e p(x)dx
  • 76. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Ολοκληρωτικός Παράγοντας Βρές r (x) τέτοια ώστε εάν την παραγωγίσουμε, θα πάρουμε την ίδια την συνάρτηση πολλαπλασιασμένη με p(x). r (x) = e p(x)dx Μένει να κάνουμε ανιαρές πράξεις. y + p(x)y = f (x), e p(x)dx y + e p(x)dx p(x)y = e p(x)dx f (x), d e p(x)dx y = e p(x)dx f (x), dx e p(x)dx y = e p(x)dx f (x) dx + C, y = e− p(x)dx e p(x)dx f (x) dx + C .
  • 77. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Γραμμικές εξισώσεις y + p(x)y = f (x).
  • 78. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Γραμμικές εξισώσεις y + p(x)y = f (x). r (x)y + r (x)p(x)y = d r (x)y . dx
  • 79. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Γραμμικές εξισώσεις y + p(x)y = f (x). r (x)y + r (x)p(x)y = d r (x)y . dx r (x) = p(x)r (x) ⇒ r (x) = e p(x)dx
  • 80. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Γραμμικές εξισώσεις y + p(x)y = f (x). r (x)y + r (x)p(x)y = d r (x)y . dx r (x) = p(x)r (x) ⇒ r (x) = e e p(x)dx y + p(x)y = f (x), e p(x)dx f (x), p(x)dx y + e p(x)dx p(x)y = d e p(x)dx y = e p(x)dx f (x), dx e p(x)dx y = e p(x)dx f (x) dx + C y = e− p(x)dx e p(x)dx f (x) dx + C .
  • 81. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y + 2xy = ex−x 2 y(0) = −1.
  • 82. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y + 2xy = ex−x x−x2 p(x) = 2x, f (x) = e 2 , r (x) = e y(0) = −1. p(x) dx = ex2 .
  • 83. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y + 2xy = ex−x x−x2 p(x) = 2x, f (x) = e 2 2 , r (x) = e 2 y(0) = −1. p(x) dx = ex2 . 2 2 ex y + 2xex y = ex−x ex , d x2 e y = ex . dx
  • 84. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y + 2xy = ex−x x−x2 p(x) = 2x, f (x) = e 2 2 y(0) = −1. , r (x) = e p(x) dx = ex2 . 2 2 2 ex y + 2xex y = ex−x ex , d x2 e y = ex . dx Ολοκληρώνουμε 2 ex y = ex + C, 2 2 y = ex−x + Ce−x .
  • 85. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y + 2xy = ex−x x−x2 p(x) = 2x, f (x) = e 2 2 y(0) = −1. , r (x) = e p(x) dx = ex2 . 2 2 2 ex y + 2xex y = ex−x ex , d x2 e y = ex . dx Ολοκληρώνουμε 2 ex y = ex + C, 2 2 y = ex−x + Ce−x . Από τις αρχικές συνθήκες −1 = y(0) = 1 + C ⇒ C = −2.
  • 86. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y + 2xy = ex−x x−x2 p(x) = 2x, f (x) = e 2 2 y(0) = −1. , r (x) = e p(x) dx = ex2 . 2 2 2 ex y + 2xex y = ex−x ex , d x2 e y = ex . dx Ολοκληρώνουμε 2 ex y = ex + C, 2 2 y = ex−x + Ce−x . Από τις αρχικές συνθήκες −1 = y(0) = 1 + C ⇒ C = −2. 2 2 y = ex−x − 2e−x .
  • 87. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού Μπορούμε να γράψουμε το f (x) dx + C ως εξής x f (t) dt + C. x0
  • 88. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Ορισμένα Ολοκληρώματα y + p(x)y = f (x), y(x0 ) = y0 .
  • 89. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Ορισμένα Ολοκληρώματα y + p(x)y = f (x), y(x) = e − xx 0 p(s) ds x y(x0 ) = y0 . t e x0 x0 p(s) ds f (t) dt + y0 . Μπορούμε να υλοποιήσουμε τον παραπάνω τύπο στον υπολογιστή για να πάρουμε την τιμή της λύσης σε όποιο σημείο επιθυμούμε.
  • 90. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ∆ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει;
  • 91. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ∆ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει; x(t) : αλάτι στη δεξαμενή την στιγμή t ∆x ≈ (ρυθμός εισαγωγής × συγκέντρωση εισαγωγής)∆t − (ρυθμός εξαγωγής × συγκέντρωση εξαγωγής)∆t.
  • 92. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ∆ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει; x(t) : αλάτι στη δεξαμενή την στιγμή t ∆x ≈ (ρυθμός εισαγωγής × συγκέντρωση εισαγωγής)∆t − (ρυθμός εξαγωγής × συγκέντρωση εξαγωγής)∆t. dx = (ρυθμός εισαγωγής × συγκέντρωση εισαγωγής) − dt (ρυθμός εξαγωγής × συγκέντρωση εξαγωγής).
  • 93. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ∆ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει; x(t) : αλάτι στη δεξαμενή την στιγμή t ∆x ≈ (ρυθμός εισαγωγής × συγκέντρωση εισαγωγής)∆t − (ρυθμός εξαγωγής × συγκέντρωση εξαγωγής)∆t. dx = (ρυθμός εισαγωγής × συγκέντρωση εισαγωγής) − dt (ρυθμός εξαγωγής × συγκέντρωση εξαγωγής). dx x dx 3 = (5 × 0.1) − 3 ⇔ + x = 0.5. dt 60 + 2t dt 60 + 2t
  • 94. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) dx 3 + x = 0.5. dt 60 + 2t
  • 95. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) r (t) = exp dx 3 + x = 0.5. dt 60 + 2t 3 3 dt = exp ln(60 + 2t) = (60 + 2t)3/2 . 60 + 2t 2
  • 96. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) r (t) = exp dx 3 + x = 0.5. dt 60 + 2t 3 3 dt = exp ln(60 + 2t) = (60 + 2t)3/2 . 60 + 2t 2 (60 + 2t) 3/2 dx + (60 + 2t)3/2 dt 3 x = 0.5(60 + 2t)3/2 , 60 + 2t d 3/2 x = 0.5(60 + 2t)3/2 , (60 + 2t) dt (60 + 2t) 3/2 x = 0.5(60 + 2t)3/2 dt + C,
  • 97. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) r (t) = exp dx 3 + x = 0.5. dt 60 + 2t 3 3 dt = exp ln(60 + 2t) = (60 + 2t)3/2 . 60 + 2t 2 (60 + 2t) 3/2 dx + (60 + 2t)3/2 dt 3 x = 0.5(60 + 2t)3/2 , 60 + 2t d 3/2 x = 0.5(60 + 2t)3/2 , (60 + 2t) dt (60 + 2t) x = (60 + 2t)−3/2 x = (60 + 2t)−3/2 3/2 x = (60 + 2t)3/2 2 0.5(60 + 2t)3/2 dt + C, dt + C(60 + 2t)−3/2 , 1 (60 + 2t)5/2 + C(60 + 2t)−3/2 10
  • 98. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) r (t) = exp dx 3 + x = 0.5. dt 60 + 2t 3 3 dt = exp ln(60 + 2t) = (60 + 2t)3/2 . 60 + 2t 2 (60 + 2t) 3/2 dx + (60 + 2t)3/2 dt 3 x = 0.5(60 + 2t)3/2 , 60 + 2t d 3/2 x = 0.5(60 + 2t)3/2 , (60 + 2t) dt (60 + 2t) x = (60 + 2t)−3/2 x = (60 + 2t)−3/2 3/2 x = (60 + 2t)3/2 2 0.5(60 + 2t)3/2 dt + C, dt + C(60 + 2t)−3/2 , 1 (60 + 2t)5/2 + C(60 + 2t)−3/2 10
  • 99. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ∆ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει; x(t) = 60 + 2t + C(60 + 2t)−3/2 . 10
  • 100. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ∆ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει; x(t) = 60 + 2t + C(60 + 2t)−3/2 . 10 10 = x(0) = 6 + C(60)−3/2 ⇒ C = 4(603/2 ) ≈ 1859.03
  • 101. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ∆ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει; x(t) = 60 + 2t + C(60 + 2t)−3/2 . 10 10 = x(0) = 6 + C(60)−3/2 ⇒ C = 4(603/2 ) ≈ 1859.03 ∆εξαμενή γεμάτη όταν 60 + 2t = 100, δηλ. όταν t = 20 x(20) ≈ 10 + 1859.03(100)−3/2 ≈ 11.86.
  • 102. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y = (x − y + 1)2 .
  • 103. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y = (x − y + 1)2 . v=x−y+1 ⇒ v =1−y, y =1−v.
  • 104. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y = (x − y + 1)2 . v=x−y+1 ⇒ v =1−y, y =1−v. 1−v = v2 ⇒ v = 1−v2 ⇒ 1 1−v dv = dx ⇒ 2 1 v+1 = x+C, ln 2 v−1
  • 105. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y = (x − y + 1)2 . v=x−y+1 ⇒ v =1−y, y =1−v. 1−v = v2 ⇒ v = 1−v2 ⇒ 1 1−v dv = dx ⇒ 2 1 v+1 = x+C, ln 2 v−1 v+1 v+1 = De2x = e2x+2C ⇒ v−1 v−1
  • 106. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y = (x − y + 1)2 . v=x−y+1 ⇒ v =1−y, y =1−v. 1−v = v2 ⇒ v = 1−v2 ⇒ 1 1−v dv = dx ⇒ 2 1 v+1 = x+C, ln 2 v−1 v+1 v+1 = De2x = e2x+2C ⇒ v−1 v−1 x−y+2 x−y = De2x και y = x, και y = x + 2.
  • 107. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα y = (x − y + 1)2 . v=x−y+1 ⇒ v =1−y, y =1−v. 1−v = v2 ⇒ v = 1−v2 ⇒ 1 1−v dv = dx ⇒ 2 1 v+1 = x+C, ln 2 v−1 v+1 v+1 = De2x = e2x+2C ⇒ v−1 v−1 x−y+2 x−y = De2x και y = x, και y = x + 2. x − y + 2 = (x − y)De2x ⇒ y= Dxe2x − x − 2 . De2x − 1
  • 108. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Μαντεψιές ´Οταν δεις yy y2 y (cos y)y (sin y)y y ey δοκίμασε y2 y3 sin y cos y ey
  • 109. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Εξισώσεις Bernoulli y + p(x)y = q(x)yn . Μαντεψιά: v = y1−n
  • 110. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα xy + y(x + 1) + xy5 = 0, Αντικατάσταση v = y1−5 = y−4 , ⇒ y(1) = 1. v = −4y−5 y ⇒ −y5 4 v =y.
  • 111. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα xy + y(x + 1) + xy5 = 0, Αντικατάσταση v = y1−5 = y−4 , ⇒ y(1) = 1. v = −4y−5 y xy + y(x + 1) + xy5 = 0, −xy5 4 v + y(x + 1) + xy5 = 0, −x 4 v + y−4 (x + 1) + x = 0, −x v + v(x + 1) + x = 0, 4 v− 4(x + 1) v = 4. x ⇒ −y5 4 v =y.
  • 112. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) v− 4(x + 1) v = 4. x
  • 113. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) v− r (x) = exp −4(x + 1) x 4(x + 1) v = 4. x dx = e−4x−4 ln(x) = e−4x x−4 = e−4x . x4
  • 114. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) v− r (x) = exp −4(x + 1) x d dx 4(x + 1) v = 4. x dx = e−4x−4 ln(x) = e−4x x−4 = e−4x e−4x v =4 4 , x4 x x e−4s e−4x v= 4 4 ds + 1, 4 x s 1 x e−4s v = e4x x4 4 ds + 1 . s4 1 e−4x . x4
  • 115. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) v− r (x) = exp −4(x + 1) x d dx 4(x + 1) v = 4. x dx = e−4x−4 ln(x) = e−4x x−4 = e−4x e−4x v =4 4 , x4 x x e−4s e−4x v= 4 4 ds + 1, 4 x s 1 x e−4s v = e4x x4 4 ds + 1 . s4 1 y−4 = e4x x4 4 y= x e−4s s4 1 ds + 1 , e−x x 4 x e−4s ds + 1 1/4 . e−4x . x4
  • 116. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Ομογενείς εξισώσεις y =F y . x Μετασχηματισμός v= y x ⇒ y = v + xv .
  • 117. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Ομογενείς εξισώσεις y =F y . x Μετασχηματισμός v= v+xv = F(v) y x ⇒ ⇒ y = v + xv . xv = F(v)−v ´Εμμεση λύση 1 dv = ln |x| + C. F(v) − v ⇒ v 1 = . F(v) − v x
  • 118. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα x2 y = y2 + xy, y(1) = 1.
  • 119. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα x2 y = y2 + xy, y(1) = 1. y = (y/x)2 + y/x. Μετασχηματισμός v = y/x
  • 120. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα x2 y = y2 + xy, y(1) = 1. y = (y/x)2 + y/x. Μετασχηματισμός v = y/x xv = v2 + v − v = v2 ,
  • 121. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα x2 y = y2 + xy, y(1) = 1. y = (y/x)2 + y/x. Μετασχηματισμός v = y/x xv = v2 + v − v = v2 , 1 dv = ln |x| + C, v2 −1 = ln |x| + C, v −1 v= . ln |x| + C
  • 122. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) −1 , ln |x| + C −x y= . ln |x| + C y/x =
  • 123. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) −1 , ln |x| + C −x y= . ln |x| + C y/x = 1 = y(1) = −1 −1 = . ln |1| + C C
  • 124. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) −1 , ln |x| + C −x y= . ln |x| + C y/x = 1 = y(1) = y= −1 −1 = . ln |1| + C C −x . ln |x| − 1
  • 125. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) −1 , ln |x| + C −x y= . ln |x| + C y/x =
  • 126. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) −1 , ln |x| + C −x y= . ln |x| + C y/x = 1 = y(1) = −1 −1 = . ln |1| + C C
  • 127. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα (συνέχεια) −1 , ln |x| + C −x y= . ln |x| + C y/x = 1 = y(1) = y= −1 −1 = . ln |1| + C C −x . ln |x| − 1
  • 128. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Αυτόνομες Εξισώσεις dx = f (x). dt
  • 129. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Αυτόνομες Εξισώσεις dx = f (x). dt Μοντέλα • Το πρόβλημα του καφέ dx = −k(x − A). dt • Πληθυσμιακό μοντέλο (βακτηρίδια) dP = kP. dt
  • 130. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Αυτόνομες Εξισώσεις dx = f (x). dt Μοντέλα • Το πρόβλημα του καφέ dx = −k(x − A). dt • Πληθυσμιακό μοντέλο (βακτηρίδια) dP = kP. dt Ορισμοί • Τα σημεία του x άξονα στα οποία έχουμε f (x) = 0 τα λέμε κρίσιμα σημεία. • Αποτελούν λύσεις των αυτόνομων εξισώσεων και τις λέμε λύσεις ισορροπίας.
  • 131. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παραδείγματα 0 10 20 30 40 50 60 6000 6000 5000 5000 4000 4000 3000 3000 2000 2000 1000 1000 0 0 0 10 20 30 40 Σχήμα : Πληθυσμιακό μοντέλο. 50 60
  • 132. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παραδείγματα 0 5 10 15 0 20 5 10 15 20 5 10 5 0 10 10 5 10 0 5 0 0 -5 -5 -10 -5 -10 0 5 10 15 20 -5 0 5 10 15 Σχήμα : Πεδία κατευθύνσεων και γραφική παράσταση μερικών λύσεων των εξισώσεων x = −0.3(x − 5) και x = −0.1x(5 − x). 20
  • 133. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Ευσταθείς Λύσεις Μιά λύση (ή ένα κρίσιμο σημείο) λέγετε ‘ευσταθής’ όταν μικρές διαταραχές στο x δεν οδηγούν σε ουσιαστικά διαφορετικές λύσεις για αρκετά μεγάλο t.
  • 134. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα - Λογιστική Εξίσωση dx = kx(M − x), dt Πληθυσμιακό μοντέλο εάν γνωρίσουμε ότι ο πληθυσμός ενός είδους δεν μπορεί να υπερβεί τον αριθμό M.
  • 135. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Παράδειγμα - Λογιστική Εξίσωση dx = kx(M − x), dt Πληθυσμιακό μοντέλο εάν γνωρίσουμε ότι ο πληθυσμός ενός είδους δεν μπορεί να υπερβεί τον αριθμό M.  5  lim x(t) = 0   ∆Υ ή − ∞ t→∞ αν x(0) > 0, αν x(0) = 0, αν x(0) < 0.
  • 136. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ∆ιάγραμμα Φάσης Συμπεριφορά της λύσης σε βάθος χρόνου y=5 y=0
  • 137. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ ∆ιάγραμμα Φάσης Συμπεριφορά της λύσης σε βάθος χρόνου y=5 y=0 Γενικά ασταθής ευσταθής
  • 138. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Λογιστική Εξίσωση με Κατανάλωση Μια ομάδα ανθρώπων βασίζει την επιβιωσή της εκτρέφοντας μια αγέλη ζώων
  • 139. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Λογιστική Εξίσωση με Κατανάλωση Μια ομάδα ανθρώπων βασίζει την επιβιωσή της εκτρέφοντας μια αγέλη ζώων ´Εστω • Τα καταναλώνει με ρυθμό h ζώα τον χρόνο. • x πλήθος ζώων (χιλιάδες) • t χρόνος (έτη). • M ελάχιστος πληθυσμός κάτω από τον οποίο δεν επιτρέπεται η κατανάλωση ζώων. • k > 0 σταθερά αναπαραγωγής των ζώων.
  • 140. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Λογιστική Εξίσωση με Κατανάλωση Μια ομάδα ανθρώπων βασίζει την επιβιωσή της εκτρέφοντας μια αγέλη ζώων ´Εστω • Τα καταναλώνει με ρυθμό h ζώα τον χρόνο. • x πλήθος ζώων (χιλιάδες) • t χρόνος (έτη). • M ελάχιστος πληθυσμός κάτω από τον οποίο δεν επιτρέπεται η κατανάλωση ζώων. • k > 0 σταθερά αναπαραγωγής των ζώων. dx = kx(M − x) − h. dt
  • 141. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Λογιστική Εξίσωση με Κατανάλωση Μια ομάδα ανθρώπων βασίζει την επιβιωσή της εκτρέφοντας μια αγέλη ζώων ´Εστω • Τα καταναλώνει με ρυθμό h ζώα τον χρόνο. • x πλήθος ζώων (χιλιάδες) • t χρόνος (έτη). • M ελάχιστος πληθυσμός κάτω από τον οποίο δεν επιτρέπεται η κατανάλωση ζώων. • k > 0 σταθερά αναπαραγωγής των ζώων. dx = kx(M − x) − h. dt √ Κρίσιμα σημεία: A, B = kM± (kM)2 −4hk . 2k
  • 142. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Λογιστική Εξίσωση με Κατανάλωση (h 1, 1.6) 0 5 10 15 20 10 0 5 10 15 20 1010 10 8 8 8 8 5 5 5 5 2 2 2 2 0 0 0 0 0 5 10 15 20 0 5 10 15 Σχήμα : Πεδία κατευθύνσεων και μερικές λύσεις των εξισώσεων x = −0.1x(8 − x) − 1 και x = −0.1x(8 − x) − 1.6. 20
  • 143. Σ∆Ε πρώτης τάξης Πεδία Κατευθύνσεων ´Υπαρξη και μοναδικότητα ∆ιαχωρίσιμες Εξισώσεις ´Εμμεσες Λύσεις Ολοκλ Λογιστική Εξίσωση με Κατανάλωση (h 2) 0 5 10 15 20 10 10 8 8 5 5 2 2 0 0 0 5 10 15 20 Σχήμα : Πεδία κατευθύνσεων και μερικές λύσεις των εξισώσεων x = −0.1x(8 − x) − 2.

×