Your SlideShare is downloading. ×
06 Logik - Semantic Web Technologien WS10/11
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Introducing the official SlideShare app

Stunning, full-screen experience for iPhone and Android

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

06 Logik - Semantic Web Technologien WS10/11

761
views

Published on

Präsentation zur Vorlesung "Semantic Web Technologien" aus dem Wintersemester 2010/11, Hasso-Plattner Institut, Universität Potsdam. Thema: LOGIK

Präsentation zur Vorlesung "Semantic Web Technologien" aus dem Wintersemester 2010/11, Hasso-Plattner Institut, Universität Potsdam. Thema: LOGIK

Published in: Technology, Education

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
761
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
46
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Die nichtkommerzielle Vervielfältigung, Verbreitung und Bearbeitung dieser Folien ist zulässig (Lizenzbestimmungen CC-BY-NC). Vorlesung Dr. Harald Sack Hasso-Plattner-Institut für Softwaresystemtechnik Universität Potsdam Wintersemester 2010/11 Semantic Web Technologien Blog zur Vorlesung: http://web-flakes.blogspot.com/ Mittwoch, 24. November 2010
  • 2. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 2 Ontologien Wiederholung Mittwoch, 24. November 2010
  • 3. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 3 1. Einführung 2. Semantic Web Basisarchitektur Die Sprachen des Semantic Web - Teil 1 3. Wissensrepräsentation und Logik Die Sprachen des Semantic Web - Teil 2 4. Ontology Engineering 5. Linked Data und Semantic Web Anwendungen Semantic Web Technologien Vorlesungsinhalt Mittwoch, 24. November 2010
  • 4. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 4 URI / IRI XML / XSD Data Interchange: RDF RDFS Ontology: OWL Rule: RIF Query: SPARQL Proof Unifying Logic Crypto Trust Interface & Application Semantic Web Architektur 3. Wissensrepräsentation und Logik Die Sprachen des Semantic Web - Teil 2 Mittwoch, 24. November 2010
  • 5. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 4 URI / IRI XML / XSD Data Interchange: RDF RDFS Ontology: OWL Rule: RIF Query: SPARQL Proof Unifying Logic Crypto Trust Interface & Application Ontology-Level Semantic Web Architektur 3. Wissensrepräsentation und Logik Die Sprachen des Semantic Web - Teil 2 Mittwoch, 24. November 2010
  • 6. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 5 3. Wissensrepräsentation und Logik Die Sprachen des Semantic Web - Teil 2 Mittwoch, 24. November 2010
  • 7. 3. Wissensrepräsentation und Logik Die Sprachen des Semantic Web - Teil 2 3.1. Ontologien in der Philosophie und der Informatik 3.2. Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.3. RDFS-Semantik 3.4. Beschreibungslogiken 3.5. OWL und OWL-Semantik 3.6. Regeln mit RIF/SWRL Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 6 Semantic Web Technologien Vorlesungsinhalt Mittwoch, 24. November 2010
  • 8. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 7 3. Wissensrepräsentation und Logik 3.1 Ontologien in Philosophie und Informatik Logik zur Formalisierung ontologischer Modelle Mittwoch, 24. November 2010
  • 9. 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.2.1 Logik Grundlagen 3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution 3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 8 3. Wissensrepräsentation und Logik 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Mittwoch, 24. November 2010
  • 10. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 9 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik A friend of Einstein‘s, Kurt Gödel found a hole in the center of Mathematics... Mittwoch, 24. November 2010
  • 11. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 9 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik A friend of Einstein‘s, Kurt Gödel found a hole in the center of Mathematics... Mittwoch, 24. November 2010
  • 12. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 10 Logik – Grundlagen ■ hier nur knappe und informelle Wiederholung □ siehe Bachelorstudium Mathematik I, etc. ■ im Weiteren Verlauf wird ein solides Verständnis der Grundlagen der Logik vorausgesetzt, daher bitte selbstständig wiederholen □ siehe auch U. Schöning: Logik für Informatiker, Spektrum Akademischer Verlag, 5. Aufl. 2000. 3. Wissensrepräsentation und Logik 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Mittwoch, 24. November 2010
  • 13. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 11 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Logik – Grundlagen ■ Wortherkunft: λογος =[griech.] Wort, Lehre, Rede,... ■ Definition (für unsere Vorlesung): Logik ist die Lehre vom formal korrekten Schließen. ■ Warum „formale Logik“? --> Automatisierbarkeit! ■ Konstruktion einer „Rechenmaschine“ für Logik Arbor naturalis et logicalis, aus Raimundus Lullus „Ars Magna“, um 1275 Mittwoch, 24. November 2010
  • 14. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 12 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Logik – Grundlagen "... omnes humanas ratiocinationes ad calculumaliqvem characteristicum qvalis in Algebracombinatoriave arte et numeris habetur, revocandi, qvo non tantum certa arte inventio humana promoveri posset, sed et controversiae multae tolli, certum ab incerto distingvi, et ipsi gradus probabilitatum aestimari, dumdisputantium alter alteri dicere posset:calculemus." Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) aus einem Brief an Ph. J. Spencer, Juli 1687 Mittwoch, 24. November 2010
  • 15. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 13 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Logik – Grundlagen „alle menschlichen Schlussfolgerungen müssten auf irgendeine mit Zeichen arbeitende Rechnungsart zurückgeführt werden, wie es sie in der Algebra und Kombinatorik und mit den Zahlen gibt, wodurch nicht nur mit einer unzweifelhaften Kunst die menschliche Erfindungsgabe gefördert werden könnte, sondern auch viele Streitigkeiten beendet werden könnten, das Sichere vom Unsicheren unterschieden und selbst die Grade der Wahrscheinlichkeiten abgeschätzt werden könnten, da ja der eine der im Disput Streitenden zum anderen sagen könnte: Lasst uns doch nachrechnen!“ aus einem Brief an Ph. J. Spencer, Juli 1687 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Mittwoch, 24. November 2010
  • 16. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 14 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Logik – Grundlagen ■ Syntax: Zeichen ohne Bedeutung definiert Regeln, wie zulässige Zeichenfolgen gebildet werden dürfen ■ Semantik: Bedeutung der Syntax definiert Regeln, wie die Bedeutung von komplexen Zeichenfolgen aus der Bedeutung von atomaren Zeichenfolgen abgeleitet werden kann If (i<0) then display (“negatives Guthaben!“) Zuweisung von Bedeutung Syntax Bedeutung, z.B. ‘die reale Welt‘ Gebe die Meldung “negatives Guthaben!“ aus, wenn der Kontostand i unter 0 Euro sinkt. Mittwoch, 24. November 2010
  • 17. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 15 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Was ist Semantik ■ Bsp.: Programmiersprachen Berechnung der Fakultät Syntax Intendierte Semantik € f : n → n! formale Semantik Verhalten des Programms bei der Ausführung Prozedurale Semantik FUNCTION f(n:natural):natural; BEGIN IF n=0 THEN f:=1 ELSE f:=n*f(n-1); END; Mittwoch, 24. November 2010
  • 18. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 16 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Was ist Semantik ■ Modelltheoretische Semantik ■ Modelltheoretische Semantik nimmt die semantische Interpretation künstlicher und natürlicher Sprachen dadurch vor, indem sie „Bedeutung mit genau definierter Interpretation in einem Modell gleichsetzt“ ■ = formale Interpretation in einem Modell ■ z.B. modelltheoretische Semantik für Aussagenlogik ■ Zuweisung von Wahrheitswerten „wahr“ und „falsch“ zu atomaren Propositionen und ■ Beschreibung der Junktoren durch Wahrheitswertetafeln Alfred Tarski (1901-1983) Mittwoch, 24. November 2010
  • 19. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 17 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Wie funktioniert Logik? ■ Jede Logik L:=(S,⊨) besteht aus einer Menge von Sätzen S und einer Schlussfolgerungsrelation ⊨ ■ Sei Φ ⊆ S und φ ∈ S : ■ „ φ ist eine logische Konsequenz von Φ“ oder „aus den Sätzen von Φ folgt der Satz φ“ ■ Gilt für 2 Sätze φ,ψ ∈ S sowohl {φ} ⊨ ψ als auch {ψ} ⊨ φ, Dann sind die Sätze φ und ψ logisch äquivalent Φ ⊨ φ φ≡ψ Mittwoch, 24. November 2010
  • 20. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 18 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Aussagenlogik (Propositional Logic) ■ Bereits in der griechischen Antike legen Philosophen der Stoa die Grundlagen für die Aussagenlogik ■ Chrysipos von Soli beschreibt im 3. Jhd. v. Chr. in seiner „grammatikalischen Logik“ eine erste vollständige Junktorenlogik Chrysipos von Soli (281-208 v. Chr.) Mittwoch, 24. November 2010
  • 21. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 19 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Aussagenlogik (Propositional Logic) ■ Bereits in der griechischen Antike legen Philosophen der Stoa die Grundlagen für die Aussagenlogik ■ Chrysipos von Soli beschreibt im 3. Jhd. v. Chr. in seiner „grammatikalischen Logik“ eine erste vollständige Junktorenlogik ■ George Boole beschreibt die heutige Aussagenlogik 1854 in seinem Werk „An Investigation of the Laws of Thought“ Chrysipos von Soli (281-208 v. Chr.) George Boole (1815-1864) Mittwoch, 24. November 2010
  • 22. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 20 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Aussagenlogik (Propositional Logic) ■ Erzeugungsregeln für Sätze: ■ alle atomaren Propositionen sind Sätze (p,q,...) ■ ist φ ein Satz, dann auch ¬φ ■ sind φ und ψ Sätze, dann auch φ∧ψ, φ∨ψ, φ→ψ, φ ψ ■ Präzedenzen: ¬ vor ∧,∨ vor →, Junktor Name Intuitive Bedeutung ⌐ Negation „nicht“ ∧ Konjunktion „und“ ⋁ Disjunktion „oder“ → Implikation „wenn – dann“ ↔ Äquivalenz „genau dann, wenn“ Mittwoch, 24. November 2010
  • 23. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 21 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Aussagenlogik (Propositional Logic) • Formulierung von Sachverhalten Einfache Aussagen Modellierung Der Mond besteht aus grünem Käse g Es regnet r Die Straße wird nass n Mittwoch, 24. November 2010
  • 24. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 21 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Aussagenlogik (Propositional Logic) • Formulierung von Sachverhalten Einfache Aussagen Modellierung Der Mond besteht aus grünem Käse g Es regnet r Die Straße wird nass n Zusammengesetzte Aussagen Modellierung Wenn es regnet, dann wird die Straße nass r → n Wenn es regnet und die Straße nicht nass wird, dann besteht der Mond aus grünem Käse (r ∧ ⌐n) → g Mittwoch, 24. November 2010
  • 25. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 22 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Prädikatenlogik erster Stufe (First Order Logic, FOL) ■ Erste Ansätze einer Verallgemeinerung der Aussagenlogik finden sich bereits bei Aristoteles in seinen Syllogismen Aristoteles (384-322 v. Chr) source: wikipedia.org Mittwoch, 24. November 2010
  • 26. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 23 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Prädikatenlogik erster Stufe (First Order Logic, FOL) ■ Gottlob Frege entwickelte und formalisierte ein prädikatenlogisches System in seiner 1879 erschienenen Begriffsschrift (Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, 1879) ■ Charles Sanders Peirce entwickelte gemeinsam mit seinem Studenten O.H. Mitchell unabhängig von Frege eine vollständige Syntax für eine Quantorenlogik in der heute üblichen Notation Gottlob Frege (1848-1925) Charles Sanders Peirce (1839-1914) Mittwoch, 24. November 2010
  • 27. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 24 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Prädikatenlogik erster Stufe (First Order Logic, FOL) □ Junktoren wie in der Aussagenlogik □ Variablen, z.B. X,Y,Z,… □ Konstantensymbole, z.B. a, b, c, … □ Funktionssymbole, z.B. f, g, h, … (mit Stelligkeit) □ Relations-/Prädikatssymbole, z.B. p, q, r, … (mit Stelligkeit) (∀X)(∃Y) ((p(X)∨ ¬q(f(X),Y))→ r(X)) Quantor Name Intuitive Bedeutung ∃ Existenzquantor „es existiert“ ∀ Allquantor, Universalquantor „für alle“ Mittwoch, 24. November 2010
  • 28. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 25 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik FOL: Syntax ■ „richtiges“ Formen von Termen aus Variablen, Konstanten- und Funktionssymbolen: □ f(X), g(a,f(Y)), s(a), .(H,T), x_location(Pixel) ■ „richtiges“ Formen von Atomen aus Relationssymbolen, deren Argumente Terme sind: □ p(f(X)), q (s(a),g(a,f(Y))), add(a,s(a),s(a)), greater_than(x_location(Pixel),128) ■ „richtiges“ Formen von Formeln aus Atomen, Junktoren und Quantoren: □ (∀Pixel) (greater_than(x_location(Pixel),128) → red(Pixel) ) ■ Im Zweifelsfall klammern! Alle Variablen quantifizieren! Mittwoch, 24. November 2010
  • 29. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 26 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Prädikatenlogik erster Stufe (First Order Logic, FOL) ■ Formulierung von Sachverhalten ■ „alle Kinder lieben Eiscreme.“ ∀X: Kind(X) → liebtEiscreme(X) Mittwoch, 24. November 2010
  • 30. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 26 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Prädikatenlogik erster Stufe (First Order Logic, FOL) ■ Formulierung von Sachverhalten ■ „alle Kinder lieben Eiscreme.“ ∀X: Kind(X) → liebtEiscreme(X) ■ „der Vater einer Person ist deren männlicher Elternteil.“ ∀X ∀Y: Vater(X,Y) (männlich(X) ∧ Elternteil(X,Y)) Mittwoch, 24. November 2010
  • 31. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 26 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Prädikatenlogik erster Stufe (First Order Logic, FOL) ■ Formulierung von Sachverhalten ■ „alle Kinder lieben Eiscreme.“ ∀X: Kind(X) → liebtEiscreme(X) ■ „der Vater einer Person ist deren männlicher Elternteil.“ ∀X ∀Y: Vater(X,Y) (männlich(X) ∧ Elternteil(X,Y)) ■ „Es gibt eine (oder mehrere) Vorlesung(en), die interessant ist(sind).“ ∃X: Vorlesung(X) ∧ istInteressant(X) Mittwoch, 24. November 2010
  • 32. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 26 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Prädikatenlogik erster Stufe (First Order Logic, FOL) ■ Formulierung von Sachverhalten ■ „alle Kinder lieben Eiscreme.“ ∀X: Kind(X) → liebtEiscreme(X) ■ „der Vater einer Person ist deren männlicher Elternteil.“ ∀X ∀Y: Vater(X,Y) (männlich(X) ∧ Elternteil(X,Y)) ■ „Es gibt eine (oder mehrere) Vorlesung(en), die interessant ist(sind).“ ∃X: Vorlesung(X) ∧ istInteressant(X) ■ „Die Relation ,istNachbar‘ ist symmetrisch.“ ∀X ∀Y: istNachbar(X,Y) → istNachbar(Y,X) Mittwoch, 24. November 2010
  • 33. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 27 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik FOL: Beispiel Verwandschaftsverhältnisse (∀X) ( parent(X) ( human(X) ∧ (∃Y) parent_of(X,Y) )) (∀X) ( human(X) → (∃Y) parent_of(Y,X) ) (∀X) (orphan(X) (human(X) ∧¬(∃Y) (parent_of(Y,X)∧ alive(Y)))) (∀X)(∀Y)(∀Z) (uncle_of(X,Z) (brother_of(X,Y) ∧ parent_of(Y,Z)) ) Intendierte Semantik: klar! Mittwoch, 24. November 2010
  • 34. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 28 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik FOL: Beispiel Pinguine ( (∀X)( penguin(X) → blackandwhite(X) ) ∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) ) ) → (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) ) Intendierte Semantik? Mittwoch, 24. November 2010
  • 35. 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.2.1 Logik Grundlagen 3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution 3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 29 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Mittwoch, 24. November 2010
  • 36. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 30 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Aussagenlogik: Modelltheoretische Semantik ■ Interpretation I: Abbildung aller atomaren Propositionen nach {w,f}. ■ Ist F eine Formel und I eine Interpretation, dann ist I(F) ein Wahrheitswert, der aus F und I mittels Wahrheitstafeln ermittelt wird. I(p) I(q) I(⌐p) I(p⋁q) I(p∧q) I(p→q) I(p↔q) f f w f w w w f w w w f w f w f f w f f f w w f w t w w Mittwoch, 24. November 2010
  • 37. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 31 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Aussagenlogik: Modelltheoretische Semantik ■ Wir schreiben I ⊨ F, wenn I(F)=w ist, und nennen dann die Interpretation I ein Modell der Formel F. ■ Semantik-Regeln: ■ I Modell von ¬φ genau dann, wenn I kein Modell von φ ■ I Modell von (φ∧ψ) genau dann, wenn I Modell von φ UND von ψ ■ ... ■ Zentrale Begriffe: □ allgemeingültig (Tautologie) □ erfüllbar □ widerlegbar □ unerfüllbar Mittwoch, 24. November 2010
  • 38. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 32 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Prädikatenlogik: Modelltheoretische Semantik ■ Struktur: □ Festlegung eines Grundbereichs D. □ Konstantensymbole werden auf Elemente von D abgebildet. □ Funktionssymbole auf Funktionen nach D. □ Relationssymbole auf Relationen über D. ■ Dann: □ Terme werden zu Elementen von D. □ Relationssymbole mit Argumenten werden wahr oder falsch. □ Entsprechende Behandlung der Junktoren/Quantoren. Mittwoch, 24. November 2010
  • 39. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 33 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Prädikatenlogik: Modelltheoretische Semantik ( (∀X)( penguin(X) → blackandwhite(X) ) ∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) ) ) → (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) ) ■ Interpretation I: □ Grundbereich: eine Menge M, die Elemente a,b,c enthält. □ … keine Konstanten- oder Funktionssymbole … □ Wir zeigen: Die Formel ist widerlegbar (d.h. sie ist nicht allgemeingültig): □ Sind I(penguin)(a), I(blackandwhite)(a), I(oldTVshow)(b), I(blackandwhite)(b) wahr, I(oldTVshow)(a) jedoch falsch, dann ist die Formel unter I falsch, d.h. I ⊭ F. Mittwoch, 24. November 2010
  • 40. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 34 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Der Begriff der logischen Konsequenz ■ Eine Theorie T ist eine Menge von Formeln. ■ Eine Interpretation I ist ein Modell für T, wenn I ⊨ G für jede Formel G in T gilt. ■ Eine Formel F ist eine logische Konsequenz aus T, wenn jedes Modell von T auch Modell von F ist. ■ Wir schreiben dann T ⊨ F. ■ Zwei Formeln F,G heißen logisch (auch semantisch) äquivalent, wenn {F} ⊨ G und {G} ⊨ F gelten. ■ Wir schreiben dann F ≡ G. Mittwoch, 24. November 2010
  • 41. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 35 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Logische Äquivalenzen - Beispiele F ∧ G ≡ G ∧ F F ∨ G ≡ G ∨ F F → G ≡ ¬F ∨ G F ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F) ¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G ¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G ¬¬F ≡ F F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H) F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H) ¬(∀X) F ≡ (∃X) ¬F ¬(∃X) F ≡ (∀X) ¬F (∀X)(∀Y) F ≡ (∀Y)(∀X) F (∃X)(∃Y) F ≡ (∃Y)(∃X) F (∀X) (F ∧ G) ≡ (∀X) F ∧ (∀X) G (∃X) (F ∨ G) ≡ (∃X) F ∨ (∃X) G Mittwoch, 24. November 2010
  • 42. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 35 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Logische Äquivalenzen - Beispiele DeMorgan‘sche Gesetze F ∧ G ≡ G ∧ F F ∨ G ≡ G ∨ F F → G ≡ ¬F ∨ G F ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F) ¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G ¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G ¬¬F ≡ F F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H) F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H) ¬(∀X) F ≡ (∃X) ¬F ¬(∃X) F ≡ (∀X) ¬F (∀X)(∀Y) F ≡ (∀Y)(∀X) F (∃X)(∃Y) F ≡ (∃Y)(∃X) F (∀X) (F ∧ G) ≡ (∀X) F ∧ (∀X) G (∃X) (F ∨ G) ≡ (∃X) F ∨ (∃X) G Mittwoch, 24. November 2010
  • 43. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 35 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Logische Äquivalenzen - Beispiele DeMorgan‘sche Gesetze F ∧ G ≡ G ∧ F F ∨ G ≡ G ∨ F F → G ≡ ¬F ∨ G F ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F) ¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G ¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G ¬¬F ≡ F F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H) F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H) ¬(∀X) F ≡ (∃X) ¬F ¬(∃X) F ≡ (∀X) ¬F (∀X)(∀Y) F ≡ (∀Y)(∀X) F (∃X)(∃Y) F ≡ (∃Y)(∃X) F (∀X) (F ∧ G) ≡ (∀X) F ∧ (∀X) G (∃X) (F ∨ G) ≡ (∃X) F ∨ (∃X) G Augustus De Morgan (1806-1871) Mittwoch, 24. November 2010
  • 44. 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.2.1 Logik Grundlagen 3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution 3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 36 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Mittwoch, 24. November 2010
  • 45. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 37 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Normalformen ■ Zu jeder Formel gibt es unendlich viele logisch äquivalente Formeln. ■ Für jede solche Äquivalenzklasse sucht man nun möglichst einfache Repräsentanten. ■ Diese Repräsentanten werden Normalformen genannt. ■ Einfaches Beispiel: □ schreibe ¬F statt ¬¬¬¬¬F F ∧ G ≡ G ∧ F F ∨ G ≡ G ∨ F F → G ≡ ¬F ∨ G F ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F) ¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G ¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G ¬¬F ≡ F F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H) F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H) ¬(∀X) F ≡ (∃X) ¬F ¬(∃X) F ≡ (∀X) ¬F (∀X)(∀Y) F ≡ (∀Y)(∀X) F (∃X)(∃Y) F ≡ (∃Y)(∃X) F (∀X) (F ∧ G) ≡ (∀X) F ∧ (∀X) G (∃X) (F ∨ G) ≡ (∃X) F ∨ (∃X) G Mittwoch, 24. November 2010
  • 46. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 38 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Normalformen ■ Ziel: Umwandlung von Formeln in Klauselform. ■ (a∧(b∨¬c)∧(a∨d)) {a,{b,¬c},{a,d}} ■ Dazu notwendige Zwischenschritte: 1.Negationsnormalform □ alle Negationen stehen ganz innen 2.Pränexnormalform □ alle Quantoren stehen ganz vorne 3.Skolemnisierte Pränexnormalform □ Eliminierung der Existenzquantoren 4.konjunktive Normalform (CNF) = Klauselform □ Darstellung als Konjunktion von Disjunktionen (CNF) (Klausel) Mittwoch, 24. November 2010
  • 47. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 39 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Negationsnormalform ■ Alle Negationszeichen werden durch Verwendung der folgenden Äquivalenzen nach innen gezogen: F G ≡ (F → G)∧(G → F) ¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G F → G ≡ ¬F ∨ G ¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G ¬(∀X) F ≡ (∃X) ¬F ¬¬F ≡ F ¬(∃X) F ≡ (∀X) ¬F ■ Ergebnis: □ Implikationen und Äquivalenzen fallen weg □ mehrfachen Negationen fallen weg □ alle Negationszeichen stehen direkt vor Atomen Mittwoch, 24. November 2010
  • 48. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 40 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Negationsnormalform ■ Beispiel ( (∀X)( penguin(X) → blackandwhite(X) ) ∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) ) ) → (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) ) wird zu Mittwoch, 24. November 2010
  • 49. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 40 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Negationsnormalform ■ Beispiel ( (∀X)( penguin(X) → blackandwhite(X) ) ∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) ) ) → (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) ) wird zu ¬( (∀X)( ¬penguin(X) ∨ blackandwhite(X) ) ∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) ) ) ∨ (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) ) Mittwoch, 24. November 2010
  • 50. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 40 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Negationsnormalform ■ Beispiel ( (∀X)( penguin(X) → blackandwhite(X) ) ∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) ) ) → (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) ) wird zu ¬( (∀X)( ¬penguin(X) ∨ blackandwhite(X) ) ∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) ) ) ∨ (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) ) und dann zu ( (∃X)( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) ) ∨ (∀X)(¬oldTVshow(X) ∨ ¬blackandwhite(X) ) ) ∨ (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) ) Mittwoch, 24. November 2010
  • 51. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 41 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Pränexnormalform (I) ■ erst Formel bereinigen (Quantoren binden verschiedene Variablen). ( (∃X)( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) ) ∨ (∀X)( ¬oldTVshow(X) ∨ ¬blackandwhite(X) ) ) ∨ (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) ) wird zu ( (∃X)( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) ) ∨ (∀Y)( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ (∃Z)( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) ) Mittwoch, 24. November 2010
  • 52. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 42 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Pränexnormalform (II) ■ Dann aus der Negationsnormalform einfach alle Quantoren in derselben Reihenfolge nach vorne ziehen. ( (∃X)( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) ) ∨ (∀Y)( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ (∃Z)( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) ) wird zu (∃X)(∀Y)(∃Z)( ( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) ) ∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ ( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) ) Mittwoch, 24. November 2010
  • 53. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 43 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Skolemnisierte Pränexnormalform (I) ■ “Existenzquantoren entfernen” (∃X) (∀Y) (∃Z) ( ( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) ) ∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ ( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) ) wird zu … (∀Y)( ( penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) ) ∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ ( penguin( f(Y) ) ∧ oldTVshow( f(Y) ) ) ■ wobei a und f neue Symbole sind (sog. Skolemkonstanten bzw. Skolemfunktionen). Mittwoch, 24. November 2010
  • 54. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 44 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Skolemnisierte Pränexnormalform (II) ■ Vorgehensweise: 1.Entfernen der Existenzquantoren von links nach rechts. 2.Gibt es keinen Allquantor links des zu entfernenden Existenzquantors, so wird die entsprechende Variable durch ein neues Konstantensymbol ersetzt. 3.Gibt es n Allquantoren links des zu entfernenden Existenzquantors, so wird die entsprechende Variable durch ein neues Funktionssymbol mit Stelligkeit n ersetzt, dessen Argumente genau die Variablen der n Allquantoren sind. Mittwoch, 24. November 2010
  • 55. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 45 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Skolemnisierte Pränexnormalform (III) ■ “Existenzquantoren entfernen” (∃X) (∀Y) (∃Z) ( ( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) ) ∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ ( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) ) wird zu … (∀Y)( ( penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) ) ∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ ( penguin( f(Y) ) ∧ oldTVshow( f(Y) ) ) ■ wobei a und f neue Symbole sind (sog. Skolemkonstanten bzw. Skolemfunktionen). Mittwoch, 24. November 2010
  • 56. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 46 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Konjunktive Normalform (Klauselform) ■ Es gibt nur noch Allquantoren, also lassen wir sie weg: ( penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) ) ∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ ( penguin(f(Y)) ∧ oldTVshow(f(Y)) ■ Mit Hilfe semantischer Äquivalenzen wird die Formel nun als Konjunktion von Disjunktionen geschrieben. F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H) F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H) Mittwoch, 24. November 2010
  • 57. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 47 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Konjunktive Normalform (Klauselform) (penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) ) ∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ∨ ( penguin(f(Y)) ∧ oldTVshow(f(Y)) wird zu ( penguin(a)∨¬oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨penguin(f(Y)) ) ∧ ( penguin(a)∨¬oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨oldTVshow(f(Y)) ) ∧ ( ¬blackandwhite(a)∨¬oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨penguin(f(Y)) ) ∧ ( ¬blackandwhite(a)∨¬oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨oldTVshow(f(Y)) ) wird zu { {penguin(a),¬oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),penguin(f(Y))}, {penguin(a),¬oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),oldTVshow(f(Y))}, { ¬blackandwhite(a),¬oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),penguin(f(Y))}, {¬blackandwhite(a),¬oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),oldTVshow(f(Y))} } Mittwoch, 24. November 2010
  • 58. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 47 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Konjunktive Normalform (Klauselform) (penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) ) ∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ∨ ( penguin(f(Y)) ∧ oldTVshow(f(Y)) wird zu ( penguin(a)∨¬oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨penguin(f(Y)) ) ∧ ( penguin(a)∨¬oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨oldTVshow(f(Y)) ) ∧ ( ¬blackandwhite(a)∨¬oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨penguin(f(Y)) ) ∧ ( ¬blackandwhite(a)∨¬oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨oldTVshow(f(Y)) ) wird zu { {penguin(a),¬oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),penguin(f(Y))}, {penguin(a),¬oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),oldTVshow(f(Y))}, { ¬blackandwhite(a),¬oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),penguin(f(Y))}, {¬blackandwhite(a),¬oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),oldTVshow(f(Y))} } Mittwoch, 24. November 2010
  • 59. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 48 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Eigenschaften von Normalformen ■ Sei F eine Formel, ■ G die Pränexnormalform von F, ■ H die skolemisierte Pränexnormalform von G, ■ K die Klauselform von H. ■ Dann ist F ≡ G und H ≡ K aber i.A. F ≢ K. ■ Es gilt jedoch: □ F ist unerfüllbar genau dann, wenn K unerfüllbar ist. (Grundlage des Resolutionsverfahrens) Mittwoch, 24. November 2010
  • 60. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 49 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Skolemnisierung ist keine Äquivalenztransformation ■ Die Formel (∃x) p(x) ∨ ¬(∃x) p(x) ist eine Tautologie. ■ Negationsnormalform: (∃x) p(x) ∨ (∀y) ¬p(y) ■ Pränexnormalform: (∃x) (∀y) (p(x) ∨ ¬p(y)) ■ Skolemnormalform: (∀y) (p(a) ∨ ¬p(y)) ■ Äquivalent dazu: p(a) ∨ ¬(∃y) p(y) ■ Die resultierende Formel ist keine Tautologie! ■ z.B. Interpretation I mit □ I(p(a)) = f □ I(p(b)) = w Mittwoch, 24. November 2010
  • 61. 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.2.1 Logik Grundlagen 3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution 3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 50 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Mittwoch, 24. November 2010
  • 62. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 51 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Eine Rechenmaschine für die Logik.... ■ Erinnern wir uns: ■ Eine Formel F ist eine logische Konsequenz aus einer Theorie T, wenn jedes Modell von T auch Modell von F ist. ■ Problem: ■ Wie arbeite ich direkt mit allen möglichen Interpretationen? ■ Daher wird die logische Konsequenz mit Hilfe rein syntaktischer Verfahren nachgebildet ■ Entscheidungsverfahren (Entscheidbarkeit) ■ Aufzählungsverfahren (Semientscheidbarkeit) Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Mittwoch, 24. November 2010
  • 63. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 52 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Eine Rechenmaschine für die Logik.... ■ Entscheidungsverfahren (Entscheidbarkeit) ■ Eingabe: {φ1,..., φn} und Satz φ ■ Ausgabe: ■ „Ja“, falls Sätze φ existieren, für die gilt: {φ1,..., φn} ⊨ φ ■ „Nein“ sonst. ■ Aufzählungsverfahren (Semientscheidbarkeit) ■ Eingabe: {φ1,..., φn} ■ Ausgabe: ■ Sätze φ für die gilt: {φ1,..., φn} ⊨ φ Mittwoch, 24. November 2010
  • 64. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 53 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Resolution {F1,…,Fn} hat F0 als logische Konsequenz {F1,…,Fn} ⊨ F0 F1 ∧… ∧ Fn → F0 ist allgemeingültig ¬(F1 ∧… ∧ Fn → F0) ist unerfüllbar G1 ∧ …∧ Gk ist unerfüllbar □ Das Resolutionsverfahren erlaubt die Ableitung eines Widerspruchs aus G1 ∧ …∧ Gk. Theorie ÄquivalenteAussagen John Alan Robinson, "A Machine-Oriented Logic Based on the Resolution Principle", Communications of the ACM, 5:23–41, 1965. John Alan Robinson (*1930) Mittwoch, 24. November 2010
  • 65. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 54 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Resolution (Aussagenlogik) ■ Ist (p1∨…∨pk∨p∨¬q1∨…∨¬ql)∧(r1∨…∨rm∨¬p∨¬s1∨…∨¬sn) wahr, dann: ■ Eines von p, ¬p muss falsch sein. ■ Also: Eines der anderen Literale muss wahr sein, d.h. p1∨…∨pk∨¬q1∨…∨¬ql∨r1∨…∨rm∨¬s1∨…∨¬sn muss wahr sein. ■ Ergo: Ist p1∨…∨pk∨¬q1∨…∨¬ql∨r1∨…∨rm∨¬s1∨…∨¬sn unerfüllbar, dann auch (p1∨…∨pk∨p∨¬q1∨…∨¬ql)∧(r1∨…∨rm∨¬p∨¬s1∨…∨¬sn) Mittwoch, 24. November 2010
  • 66. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 55 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Resolution (Aussagenlogik) (p1∨…∨pk∨p∨¬q1∨…∨¬ql) (r1∨…∨rm∨¬p∨¬s1∨…∨¬sn) p1∨…∨pk∨¬q1∨…∨¬ql∨r1∨…∨rm∨¬s1∨…∨¬sn ■ Aus zwei Klauseln wird eine neue ■ Ende des Verfahrens: ■ Werden Klauseln resolviert, die nur noch aus je einem Atom bzw. negierten Atom bestehen, dann entsteht eine „leere Klausel“, bezeichnet mit ⊥. K2 K3 {K1,K 2} ⊨ K3Resolutionsschritt K1 Mittwoch, 24. November 2010
  • 67. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 56 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Resolution (Aussagenlogik) • Vorgehensweise, um einen Widerspruch aus einer Menge M von Klauseln abzuleiten: 1.Wähle zwei Klauseln aus M und erzeuge aus ihnen eine neue Klausel K durch einen Resolutionsschritt. 2.Ist K =⊥ , dann ist ein Widerspruch gefunden. 3.Falls K ≠⊥ , füge K zur Menge M hinzu und gehe zu 1. Mittwoch, 24. November 2010
  • 68. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 57 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Resolution (Prädikatenlogik) ■ In der Prädikatenlogik müssen bei der Resolution zusätzlich Variablenbindungen mit Hilfe von Substitutionen berücksichtigt werden ■ z.B. (p(X,f(Y)) ∨ q( f(X),Y)) (¬p(a,Z) ∨ r(Z) ) (q( f(a),Y) ∨ r(f(Y))). Resolution mit [X/a, Z/f(Y)] ergibt Mittwoch, 24. November 2010
  • 69. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 58 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Resolution (Prädikatenlogik) ■ Unifikation von Termen ■ Geg.: Literale L1, L2 ■ Ges.: Variablensubstitution σ derart, dass nach Anwendung auf L1 und L2 gilt: L1σ = L2σ ■ Existiert eine solche Variablensubstitution σ, dann heißt σ Unifikator von L1 und L2. Mittwoch, 24. November 2010
  • 70. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 59 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Unifikationsalgorithmus ■ Geg.: Literale L1, L2 ■ Ges.: Unifikator σ von L1 und L2. 1. L1 und L2 sind Konstanten: nur unifizierbar, falls L1 = L2 . 2. L1 ist Variable und L2 beliebiger Term: unifizierbar, falls für Variable L1 der Term L2 eingesetzt wird und Variable L1 nicht in L2 vorkommt. 3. L1 und L2 sind Prädikate oder Funktionen PL1(s1,...,sm) und PL2(t1,...,tn): unifizierbar, falls 1. PL1 = PL2 oder 2. n=m und sich jeder Term si mit einem Term ti unifizieren lässt Mittwoch, 24. November 2010
  • 71. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 60 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Unifikation L1 L2 σ p(X,X) p(a,a) [X/a] p(X,X) p(a,b) n.a. p(X,Y) p(a,b) [X/a, Y/b] p(X,Y) p(a,a) [X/a, Y/a] p(f(X),b) p(f(c),Z) [X/c, Z/b] p(X,f(X)) p(Y,Z) [X/Y, Z/f(Y)] p(X,f(X)) p(Y,Y) n.a. Mittwoch, 24. November 2010
  • 72. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 61 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Resolution (Prädikatenlogik) ■ In der Prädikatenlogik müssen bei der Resolution zusätzlich Variablenbindungen mit Hilfe von Substitutionen berücksichtigt werden ■ z.B. (p(X,f(Y)) ∨ q( f(X),Y)) (¬p(a,Z) ∨ r(Z) ) (q( f(a),Y) ∨ r(f(Y))). Resolution mit [X/a, Z/f(Y)] ergibt Mittwoch, 24. November 2010
  • 73. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 62 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel ■ Terminologisches Wissen (DL: TBox): (∀X) ( human(X) → (∃Y) parent_of(Y,X) ) (∀X) ( orphan(X) (human(X) ∧ ¬(∃Y) (parent_of(Y,X) ∧ alive(Y))) ■ Wissen um Individuen (DL: ABox): orphan(harrypotter) parent_of(jamespotter,harrypotter) ■ Können wir folgern: ¬alive(jamespotter)? Mittwoch, 24. November 2010
  • 74. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 63 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel ■ Zu zeigen: ((∀X) ( human(X) → (∃Y) parent_of(Y,X) ) ∧ (∀X) (orphan(X) (human(X) ∧ ¬(∃Y) (parent_of(Y,X) ∧ alive(Y))) ∧ orphan(harrypotter) ∧ parent_of(jamespotter,harrypotter)) → ¬alive(jamespotter)) ist allgemeingültig. Mittwoch, 24. November 2010
  • 75. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 64 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel ■ Zu zeigen: ¬((∀X) ( human(X) → (∃Y) parent_of(Y,X) ) ∧ (∀X) (orphan(X) (human(X) ∧ ¬(∃Y) (parent_of(Y,X) ∧ alive(Y))) ∧ orphan(harrypotter) ∧ parent_of(jamespotter,harrypotter)) → ¬alive(jamespotter)) ist unerfüllbar. Mittwoch, 24. November 2010
  • 76. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 65 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel ■ Pränexnormalform: (∀X)(∃Y)(∀X1)(∀Y1)(∀X2)(∃Y2) (( ¬human(X) ∨ parent_of(Y,X) ) ∧ (¬orphan(X1)∨ (human(X1) ∧ (¬parent_of(Y1,X1) ∨ ¬alive(Y1))) ∧ (orphan(X2) ∨ (¬human(X2) ∨ (parent_of(Y2,X2) ∧ alive(Y2))) ∧ orphan(harrypotter) ∧ parent_of(jamespotter,harrypotter)) ∧ alive(jamespotter)) Mittwoch, 24. November 2010
  • 77. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 66 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel ■ Klauselform (CNF): ( ¬human(X) ∨ parent_of(f(X),X) ) ∧ (¬orphan(X1) ∨ human(X1)) ∧ (¬orphan(X1) ∨ ¬parent_of(Y1,X1) ∨ ¬alive(Y1)) ∧ (orphan(X2) ∨ ¬human(X2) ∨ parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)) ∧ (orphan(X2) ∨ ¬human(X2) ∨ alive(g(X,X1,Y1,X2))) ∧ orphan(harrypotter) ∧ parent_of(jamespotter,harrypotter)) ∧ alive(jamespotter) Mittwoch, 24. November 2010
  • 78. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 67 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel ■ Klauselform: { {¬human(X), parent_of(f(X),X)}, {¬orphan(X1), human(X1)}, {¬orphan(X1),¬parent_of(Y1,X1),¬alive(Y1)}, {orphan(X2),¬human(X2),parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)}, {orphan(X2) ,¬human(X2),alive(g(X,X1,Y1,X2))}, {orphan(harrypotter)}, {parent_of(jamespotter,harrypotter)}, {alive(jamespotter)} } Mittwoch, 24. November 2010
  • 79. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 68 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel 1. {¬human(X), parent_of(f(X),X)} 2. {(¬orphan(X1), human(X1)} 3. {¬orphan(X1), ¬parent_of(Y1,X1),¬alive(Y1))} 4. {(orphan(X2), ¬human(X2), parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)} 5. {orphan(X2), ¬human(X2), alive(g(X,X1,Y1,X2))} 6. {orphan(harrypotter)} 7. {parent_of(jamespotter,harrypotter)} 8. {alive(jamespotter)} 9. {¬orphan(harrypotter), ¬alive(jamespotter)} (3,7) [X1/harrypotter, Y1/jamespotter] Wissen: Abgeleitete Klauseln: Mittwoch, 24. November 2010
  • 80. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 69 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel 1. {¬human(X), parent_of(f(X),X)} 2. {(¬orphan(X1), human(X1)} 3. {¬orphan(X1), ¬parent_of(Y1,X1),¬alive(Y1))} 4. {(orphan(X2), ¬human(X2), parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)} 5. {orphan(X2), ¬human(X2), alive(g(X,X1,Y1,X2))} 6. {orphan(harrypotter)} 7. {parent_of(jamespotter,harrypotter)} 8. {alive(jamespotter)} Wissen: Abgeleitete Klauseln: 9. {¬orphan(harrypotter), ¬alive(jamespotter)} (3,7) 10. {¬orphan(harrypotter)} (8,9) Mittwoch, 24. November 2010
  • 81. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 70 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel 1. {¬human(X), parent_of(f(X),X)} 2. {(¬orphan(X1), human(X1)} 3. {¬orphan(X1), ¬parent_of(Y1,X1),¬alive(Y1))} 4. {(orphan(X2), ¬human(X2), parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)} 5. {orphan(X2), ¬human(X2), alive(g(X,X1,Y1,X2))} 6. {orphan(harrypotter)} 7. {parent_of(jamespotter,harrypotter)} 8. {alive(jamespotter)} 9. {¬orphan(harrypotter), ¬alive(jamespotter)} (3,7) 10. {¬orphan(harrypotter)} (8,9) 11. ⊥ (6,10) Wissen: Abgeleitete Klauseln: Mittwoch, 24. November 2010
  • 82. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 71 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Eigenschaften der Resolution für FOL ■ Widerlegungsvollständigkeit □ Wird Resolution auf widersprüchliche Klauselmenge angewandt, dann existiert eine endliche Folge von Resolutionsschritten, mit denen der Widerspruch entdeckt werden kann. □ Die Anzahl n der notwendigen Beweisschritte kann dabei sehr groß werden (ineffizient) □ Resolution in FOL ist nicht entscheidbar □ Ist die Klauselmenge nicht widersprüchlich, lässt sich die Terminierung des Verfahrens nicht garantieren. Mittwoch, 24. November 2010
  • 83. 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.2.1 Logik Grundlagen 3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution 3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 72 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Mittwoch, 24. November 2010
  • 84. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 73 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Eigenschaften der Prädikatenlogik (FOL) ■ Monotonie □ Bei Vergrößerung des Wissens gehen keine Schlussfolgerungen verloren. □ Sind S und T Theorien, mit S⊆T □ Dann gilt {F|S ⊨ F} ⊆ {F|T ⊨ F} Mittwoch, 24. November 2010
  • 85. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 74 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Eigenschaften der Prädikatenlogik (FOL) ■ Kompaktheit □ Für jede Schlussfolgerung aus einer Theorie genügt eine endliche Teilmenge der Theorie. ■ Semientscheidbarkeit □ Prädikatenlogik erster Stufe ist unentscheidbar. □ Aber sie ist semientscheidbar in dem Sinne, dass eine logische Konsequenz T ⊨ F immer in endlicher Zeit nachgewiesen werden kann (nicht aber T⊭F) Mittwoch, 24. November 2010
  • 86. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 75 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Eigenschaften der Aussagenlogik (PL) ■ Alle genannten Eigenschaften der Prädikatenlogik. ■ Entscheidbarkeit □ Alle wahren Schlüsse lassen sich finden, und alle falschen Schlüsse lassen sich widerlegen, wenn man lange genug sucht. ■ D.h. es gibt immer terminierende automatische Beweiser. ■ Nützliche Eigenschaft: ■ {φ1,...,φn} ⊨ φ gilt genau dann, wenn (φ1 ∧...∧ φn) → φ eine Tautologie ist ■ Entscheidung, ob Satz eine Tautologie ist, kann über Wahrheitswerttabelle getroffen werden ■ Entspricht im Prinzip der Überprüfung aller Interpretationen Mittwoch, 24. November 2010
  • 87. 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.2.1 Logik Grundlagen 3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution 3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 76 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Mittwoch, 24. November 2010
  • 88. 3. Wissensrepräsentation und Logik Die Sprachen des Semantic Web - Teil 2 3.1. Ontologien in der Philosophie und der Informatik 3.2. Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.3. RDFS-Semantik 3.4. Beschreibungslogiken 3.5. OWL und OWL-Semantik 3.6. Regeln mit RIF/SWRL Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 77 Semantic Web Technologien Vorlesungsinhalt Mittwoch, 24. November 2010
  • 89. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 78 Wie geht‘s weiter? Formale Semantik für RDF(S) Rembrandt van Rijn, Die Anatomie des Dr. Tulp, 1632 Mittwoch, 24. November 2010
  • 90. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 79 Literatur • P. Hitzler, M. Krötzsch, S. Rudolph, Y. Sure: Semantic Web Grundlagen, Springer, 2008. • U. Schöning: Logik für Informatiker, Spektrum Akademischer Verlag, 5. Aufl. 2000. 3. Wissensrepräsentation und Logik 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Mittwoch, 24. November 2010
  • 91. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 80 Extra-Literatur • A. Doxiadis, C.H. Papadimitriou: Logicomix: eine epische Suche nach der Wahrheit, Atrium Verlag, 2010. 3. Wissensrepräsentation und Logik 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Mittwoch, 24. November 2010
  • 92. Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam 81 Materialien □Blog http://web-flakes.blogspot.com/ □Materialien-Webseite http://www.hpi.uni-potsdam.de/meinel/lehre/lectures_classes/ semanticweb_ws1011.html □bibsonomy - Bookmarks http://www.bibsonomy.org/user/lysander07/swt1011_06 3. Wissensrepräsentation und Logik 3.1 Ontologien in Philosophie und Informatik Mittwoch, 24. November 2010