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05.01.2010 - 08 - Beschreibungslogiken 05.01.2010 - 08 - Beschreibungslogiken Presentation Transcript

  • Semantic Web Vorlesung Dr. Harald Sack Hasso-Plattner-Institut für Softwaresystemtechnik Universität Potsdam Wintersemester 2009/10 Blog zur Vorlesung: http://sewe0910.blogspot.com/ Die nichtkommerzielle Vervielfältigung, Verbreitung und Bearbeitung dieser Folien ist zulässig (Lizenzbestimmungen CC-BY-NC).
  • Semantic Web - Vorlesungsinhalt 2 1. Einführung 2. Semantic Web Basisarchitektur Die Sprachen des Semantic Web - Teil 1 3. Wissensrepräsentation und Logik Die Sprachen des Semantic Web - Teil 2 4. Ontology Engineering 5. Semantic Web Applications Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentation und Logik 3 Semantic Web Architektur Interface & Application Trust Proof Ontology-Level Unifying Logic Query: Ontology: OWL Rule: RIF Crypto SPARQL RDFS Data Interchange: RDF XML / XSD URI / IRI Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam View slide
  • Semantic Web - Vorlesungsinhalt 4 1 2 3 4 5 6 7 5.01.2010 – Vorlesung Nr. 8 9 10 11 12 13 14 3. Wissensrepräsentation und Logik Die Sprachen des Semantic Web - Teil 2 3.1.Ontologien in der Philosophie und der Informatik 3.2.Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.3.RDFS-Semantik 3.4.Beschreibungslogiken 3.5.OWL und OWL-Semantik 3.6.Regeln mit RIF/SWRL Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam View slide
  • 5 Beschreibungslogiken und OWL Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken 6 3.4 Beschreibungslogiken 3.4.1 Motivation 3.4.2 Beschreibungslogiken Überblick 3.4.3 ALC - Syntax und Semantik 3.4.4 Inferenz und Reasoning 3.4.5 Tableaux-Verfahren Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.1 Motivation 7 Ontologien in der Informatik An Ontology is a formal specification machine understandable of a shared group of people/agents conceptualization about concepts of a domain of interest between general description and individual use Tom Gruber, 1993 ...aber wozu braucht man in der Informatik überhaupt Ontologien? Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.1 Motivation 8 Ontologien und Kommunikation Agent 1 Agent 2 Person 1 Person 2 Ontology exchange exchange of symbols Symbol Description of symbols „Golf“ H1 H2 Semantics M1 M2 concept concept Concept agreement Ontology agreement specific domain, Thing e.g. sports Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.1 Motivation 9 RDF und RDFS a:v_name Springer • Definition von Klassen, Heidelberg Klassenhierarchien, a:v_ort Relationen, WWW - Kommunikation, Individuen Internetworking,Webtechnologien a:verlag • zur Definition a:titel einfacher http://.../isbn/000651409X a:jahr Ontologien geeignet a:autor 2004 • für komplexere Modellierung a:name aber nicht geeignet Harald Sack http://www.hpi.uni-potsdam.de/meinel/sack.html a:homepage Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 10 Wir benötigen ein ausdruckstärkeres Mittel zur Wissensrepräsentation Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken 11 3.4 Beschreibungslogiken 3.4.1 Motivation 3.4.2 Beschreibungslogiken Überblick 3.4.3 ALC - Syntax und Semantik 3.4.4 Inferenz und Reasoning 3.4.5 Tableaux-Verfahren Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.2 Beschreibungslogiken Überblick 12 FOL als Semantic Web Sprache? • Warum nicht einfach FOL für Ontologien hernehmen? • FOL kann alles • ….. Assembler auch • FOL ist • sehr ausdrucksstark • deshalb unhandlich bei der Modellierung • schlecht geeignet um Konsens bei der Modellierung zu finden • Beweistheoretisch sehr komplex (semi-entscheidbar) • FOL ist keine Markupsprache Suche ein geeignetes Fragment von FOL Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.2 Beschreibungslogiken Überblick 13 Beschreibungslogiken (DLs) • engl.: description logics (DLs) • Fragmente von FOL • In DL werden mit Hilfe von Konstruktoren aus einfachen Beschreibungen (descriptions) komplexere Beschreibungen aufgebaut • DLs unterscheiden sich durch die Menge der verwendeten Konstruktoren (Ausdrucksmächtigkeit) • entwickelt aus „semantischen Netzwerken“ • meist entscheidbar • vergleichsweise ausdrucksstark • enge Verwandtschaft mit Modallogiken • W3C Standard OWL DL basiert auf der Beschreibungslogik SHOIN(D) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.2 Beschreibungslogiken Überblick 14 Allgemeine DL Architektur Knowledge Base TBox Terminological Knowledge Wissen über Konzepte einer Domäne (Klassen, Attribute, Eigenschaften,..) Inference Engine Student: {x | Student(x)} Interface nimmtTeilAn: {(x,y) | nimmtTeilAn(x,y)} ABox Assertional Knowledge Wissen über Instanzen / Entitäten Student(Christian) nimmtTeilAn(Christian, Semantic Web) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.2 Beschreibungslogiken Überblick 15 Allgemeiner DL Aufbau • DLs sind eine Familie logikbasierter Formalismen zur Wissensrepräsentation • Spezielle Sprachen u.a. charakterisiert durch: • Konstruktoren für komplexe Konzepte und Rollen aus einfacheren Konzepten und Rollen • Menge von Axiomen, um Fakten über Konzepte, Rollen und Individuen auszudrücken • ALC (Attribute Language with Complement) ist die kleinste DL, die aussagenlogisch abgeschlossen ist • Konjunktion, Disjunktion, Negation sind Klassenkonstruktoren, geschrieben ⊓, ⊔ , ¬ • Quantoren schränken Rollenbereiche ein: Man ⊓ ∃hasChild.Female ⊓ ∃hasChild.Male ⊓ ∀hasChild.(Rich ⊔ Happy) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.2 Beschreibungslogiken Überblick 16 Weitere DL Sprachmittel • Weitere Konstruktoren sind z.B. • Number restrictions (Kardinalitätseinschränkungen) für Rollen: ≥3 hasChild, ≤1 hasMother • Qualified number restrictions (klassenspezifische Kardinalitätseinschränkungen) für Rollen: ≥2 hasChild.Female, ≤1 hasParent.Male • Nominals (definition by extension, Aufzählungsklassen): {Italy, France, Spain} • Concrete domains (datatypes): hasAge.(≥21) • Inverse roles: hasChild– ≡ hasParent • Transitive roles: hasAncestor ⊑+ hasAncestor • Role composition: hasParent.hasBrother(uncle) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken 17 3.4 Beschreibungslogiken 3.4.1 Motivation 3.4.2 Beschreibungslogiken Überblick 3.4.3 ALC - Syntax und Semantik 3.4.4 Inferenz und Reasoning 3.4.5 Tableaux-Verfahren Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC - Syntax und Semantik 18 ALC Grundbausteine • Grundbausteine: • Klassen • Rollen • Individuen • Student(Christian) Individuum Christian ist in Klasse Student • nimmtTeilAn(Christian, VorlesungSemanticWeb) Christian nimmt an der Vorlesung SemanticWeb teil Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC - Syntax und Semantik 19 Attributive Language with Complement - ALC • Atomare Typen • Konzeptnamen A, B, ... • Spezielle Konzepte • ⊤ - Top (universelles Konzept) • ⊥ - Bottom Konzept • Rollennamen R,S, ... • Konstruktoren • Negation: ¬C • Konjunktion: C ⊓ D • Disjunktion: C ⊔ D • Existenzquantor: ∃R.C • Allquantor: ∀R.C Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC - Syntax und Semantik 20 ALC Grundbausteine • Klasseninklusion • Professor ⊑ Fakultaetsmitglied • jeder Professor ist ein Fakultätsmitglied • entspricht (∀x)(Professor(x) → Fakultaetsmitglied(x)) • Klassenäquivalenz • Professor ≡ Fakultaetsmitglied • Die Fakultätsmitglieder sind genau die Professoren • entspricht (∀x)(Professor(x) Fakultaetsmitglied(x)) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC - Syntax und Semantik 21 ALC komplexe Klassenbeziehungen • Konjunktion ⊓ • Disjunktion ⊔ • Negation ¬ Professor ⊑ (Person ⊓ Unversitaetsangehoeriger) ⊔ (Person ⊓ ¬Student) (∀x)(Professor(x) → ((Person(x) Λ Universitaetsangehoeriger(x)) V (Person(x) Λ ¬Student(x))) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC - Syntax und Semantik 22 ALC Quantoren auf Rollen • Strikte Bindung einer Klasse als Bildmenge (Range) einer Rolle • Pruefung ⊑ ∀hatPruefer.Professor • Eine Prüfung wird immer nur von einem Professor abgenommen • (∀x)(Pruefung(x) → (∀y)(hatPruefer(x,y) → Professor(y))) • Offene Bindung einer Klasse als Bildmenge einer Rolle • Pruefung ⊑ ∃hatPruefer.Person • Jede Prüfung hat mindestens einen Prüfer • (∀x)(Pruefung(x) → (∃y)(hatPruefer(x,y) Λ Person(y))) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC - Syntax und Semantik 23 ALC - formale Syntax • Folgende Syntaxregeln erzeugen Klassen in ALC, dabei ist A eine atomare Klasse, C und D komplexe Klassen und R eine Rolle: • C,D ::= A | ⊤ | | ¬C | C ⊓ D | C ⊔ D | ∃R.C | ∀R.C • Eine ALC TBox besteht aus Aussagen der Form C ⊑ D und C ≡ D, wobei C, D komplexe Klassen sind. • Eine ALC ABox besteht aus Aussagen der Form C(a) und R(a,b), wobei C eine komplexe Klasse, R eine Rolle und a,b Individuen sind. • Eine ALC-Wissensbasis besteht aus einer ABox und einer TBox. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC - Syntax und Semantik 24 ALC - Semantik (Interpretationen) • wir definieren eine modelltheoretische Semantik für ALC (d.h. Folgerung wird über Interpretationen definiert) • eine Interpretation I=(ΔI,.I) besteht aus • einer Menge ΔI, genannt Domäne und • einer Funktion .I, die abbildet von • Individuennamen a auf Domänenelemente aI ∈ ΔI • Klassennamen C auf Mengen von Domänenelementen CI ⊆ ΔI • Rollennamen R auf Mengen von Paaren von Domänenelementen RI ⊆ ΔI × ΔI Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC - Syntax und Semantik 25 ALC - Semantik (Interpretationen) • schematisch: Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC - Syntax und Semantik 26 ALC - Semantik • wird auf komplexe Klassen erweitert: • ⊤I = ΔI • ⊥I = ∅ • (C ⊔ D)I = CI ∪ DI • (C ⊓ D)I = CI ∩ DI • (¬C)I = ΔI CI • ∀R.C = { x | ∀(x,y) ∈ RI → y ∈ CI} • ∃R.C = { x | ∃(x,y) ∈ RI mit y ∈ CI} • und auf Axiome: • C(a) gilt, wenn aI ∈ CI • R(a,b) gilt, wenn (aI,bI) ∈ RI • C ⊑ D gilt, wenn CI ⊆ DI • C ≡ D gilt, wenn CI = DI Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC - Syntax und Semantik 27 ALC - alternative Semantik • Übersetzung in die Prädikatenlogik mittels der Abbildung π • ABox: π (C(a))=C(a) π (R(a,b))=R(a,b) • TBox: rekursive Definition • Dabei sind C,D komplexe Klassen, R eine Rolle und A eine atomare Klasse. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC - Syntax und Semantik 28 ALC - Wissensbasis • Terminologisches Wissen (TBox) Axiome, die die Struktur der zu modellierenden Domäne beschreiben (konzeptionelles Schema): • Human ⊑ ∃parentOf.Human • Orphan ≡ Human ⊓ ¬∃hasParent.Alive • Assertionales Wissen (ABox) Axiome, die konkrete Situationen (Daten) beschreiben: • Orphan(harrypotter) • hasParent(harrypotter,jamespotter) • Semantik und logische Konsequenzen klar, da übersetzbar nach FOL Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC - Syntax und Semantik 29 Beschreibungslogiken Operator/Construktor Syntax Sprache Konjunktion A⊓B Wertrestriktion ∀R.C FL Existenzquantor ∃R Top ⊤ Bottom ⊥ S* Negation ¬A Disjunktion A⊔B AL* Existentielle Restriktion ∃R.C Zahlenrestriktion (≤nR) (≥nR) Menge von Individuen {a1,...,a2} Beziehungshierarchie R⊑S H inverse Beziehung R-1 I Qualifizierte Zahlenrestriktion (≤nR.C) (≥nR.C) Q Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC - Syntax und Semantik 30 Beschreibungslogiken • ALC: Attribute Language with Complement • S: ALC + Rollentransitivität • H: Subrollenbeziehung • O: abgeschlossene Klassen • I: inverse Rollen • N: Zahlenrestriktionen ≤n R etc. • Q: Qualifizierende Zahlenrestriktionen ≤n R.C etc. • (D): Datentypen • F: Funktionale Rollen • OWL DL ist SHOIN(D) • OWL Lite ist SHIF(D) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken 31 3.4 Beschreibungslogiken 3.4.1 Motivation 3.4.2 Beschreibungslogiken Überblick 3.4.3 ALC - Syntax und Semantik 3.4.4 Inferenz und Reasoning 3.4.5 Tableaux-Verfahren Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.4 Inferenz und Reasoning 32 Open World vs Closed World Assumption • OWA: Open World Assumption Die Existenz von weiteren Individuen ist möglich, sofern sie nicht explizit ausgeschlossen wird. • CWA: Closed World Assumption Es wird angenommen, dass die Wissensbasis alle Individuen enthält. if we assume that we know no idea since everything about are all children we do not know Bill then all of his of Bill male? all children of Bill children are male child(Bill,Bob) DL answers PROLOG answers ? ⊨ ∀child.Man(Bill) Man(Bob) don‘t know yes now we know ≤ 1 child.⊤(Bill) ? ⊨ ∀child.Man(Bill) yes everything about Bill‘s children Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.4 Inferenz und Reasoning 33 Wichtige Inferenzprobleme I • Globale Konsistenz der Wissensbasis KB ⊨ false? • ist Wissensbasis sinnvoll? • Klassenkonsistenz C≡ ? • Muss Klasse C leer sein? • Klasseninklusion (Subsumption) C ⊑ D? • Strukturierung der Wissensbasis • Klassenäquivalenz C ≡ D? • Sind zwei Klassen eigentlich dieselbe? Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.4 Inferenz und Reasoning 34 Wichtige Inferenzprobleme II • Klassendisjunktheit C⊓D= ? • Sind zwei Klassen disjunkt? • Klassenzugehörigkeit C(a)? • Ist Individuum a in der Klasse C? • Instanzgenerierung (Retrieval) „alle x mit C(x) finden“ • Finde alle (bekannten!) Individuen zur Klasse C. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.4 Inferenz und Reasoning 35 Entscheidbarkeit und DLs • Entscheidbarkeit: zu jedem Inferenzproblem gibt es einen immer terminierenden Algorithmus • DLs sind Fragment von FOL, also könnten (im Prinzip) FOL- Inferenzalgorithmen (Resolution, Tableaux) verwendet werden. • Diese terminieren aber nicht immer! • Problem: Finde immer terminierende Algorithmen! • Keine „naiven“ Lösungen in Sicht! Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.4 Inferenz und Reasoning 36 Entscheidbarkeit und OWL DL • Tableaux- und Resolutionsverfahren müssen für DLs abgewandelt werden • Wir werden uns (zuerst) auf ALC beschränken • Tableaux- und Resolutionsverfahren zeigen Unerfüllbarkeit einer Theorie • Rückführung der Inferenzprobleme auf das Finden von Inkonsistenzen in der Wissensbasis, d.h. zeigen der Unerfüllbarkeit der Wissensbasis! Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.4 Inferenz und Reasoning 37 Rückführung der Inferenz auf Erfüllbarkeit / Konsistenz I • Klassenkonsistenz C≡ gdw • KB ⊔ {C(a)} unerfüllbar (a neu) • Klasseninklusion (Subsumption) C ⊑ D gdw • KB ⊔ {(C ⊓ ¬D)(a)} unerfüllbar (a neu) • Klassenäquivalenz C ≡ D gdw • C ⊑ D und D ⊑ C Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.4 Inferenz und Reasoning 38 Rückführung der Inferenz auf Erfüllbarkeit / Konsistenz II • Klassendisjunktheit C⊓D= gdw • KB ⊔ {(C ⊓ D)(a)} unerfüllbar (a neu) • Klassenzugehörigkeit C(a) gdw • KB ⊔ {¬C(a)} unerfüllbar • Instanzgenerierung (Retrieval) alle C(X) finden • Prüfe Klassenzugehörigkeit für alle Individuen. • Effiziente Implementation problematisch…. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken 39 3.4 Beschreibungslogiken 3.4.1 Motivation 3.4.2 Beschreibungslogiken Überblick 3.4.3 ALC - Syntax und Semantik 3.4.4 Inferenz und Reasoning 3.4.5 Tableaux-Verfahren Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableaux-Verfahren 40 Tableaux Verfahren in der Aussagenlogik (PL) • syntaktisches Verfahren zum Prüfen der Konsistenz logischer Ausdrücke • Grundidee (ähnlich Resolution): • Beweisverfahren, mit dem eine Formel dadurch bewiesen wird, dass ihre Negation als widersprüchlich abgeleitet wird (proof by refutation). • Tableaux basieren auf einer Darstellung von Formeln in disjunktiver Normalform (Resolution: konjunktive Normalform) • Konstruiere Baum, in dem jeder Knoten mit einer Formel markiert ist. Ein Pfad von der Wurzel zu einem Blatt stellt die Konjunktion aller Formeln der Knoten entlang des Pfads dar; eine Verzweigung stellt eine Disjunktion dar. • Der Baum wird durch sukzessive Anwendung der Tableaux- Erweiterungsregeln aufgebaut. • Ein Pfad in einem Tableaux ist abgeschlossen, wenn entlang des Pfads sowohl X wie ¬X für eine Formel X auftreten, oder wenn F auftritt (X muss nicht atomar sein.). Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableaux-Verfahren 41 Tableaux Verfahren in der Aussagenlogik (PL) • Grundidee (Fortsetzung): • Ein Tableaux heißt abgeschlossen, wenn alle seine Pfade abgeschlossen sind. • Ein Tableaux-Beweis für eine Formel X ist ein abgeschlossenes Tableaux für ¬X. • Die Auswahl der Regeln bei der Erweiterung eines Tableaus ist nichtdeterministisch. • Für aussagenlogische Tableaux kann die Auswahl etwas eingeschränkt werden Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableaux-Verfahren 42 Tableaux Erweiterungsregeln • für Aussagenlogik: ¬¬X ¬W ¬F X F W • für konjunktive Formeln (α-Regeln): α X∧Y ¬(X∨Y) ¬(X Y) α1 X ¬X X α2 Y ¬Y ¬Y • für disjunktive Formeln (β-Regeln): β X∨Y ¬(X∧Y) (X Y) β1 | β2 X|Y ¬X | ¬Y ¬X | Y Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableaux-Verfahren 43 Beispiel(1): zu zeigen: ((q ∧ r) (¬q ∨ r)) (1) ¬((q ∧ r) (¬q ∨ r)) (2) α,1: (q ∧ r) (3) α,1: ¬(¬q ∨ r) (4) α,2: q (5) α,2: r (6) α,3: ¬ ¬q (7) α,3: ¬r Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableaux-Verfahren 44 Beispiel(2): zu zeigen : (p (q r)) ((p q) (p r)) (1) ¬((p (q r)) ((p q) (p r))) (2|α aus 1) (p (q r)) (3|α aus 1) ¬((p q) (p r)) (4|α aus 3) (p q) (5|α aus 3) ¬(p r) (6|α aus 5) p (7|α aus 5) ¬r (8|β aus 2) ¬p | (9|β aus 2) (q r) (10|β aus 9) ¬q | (11|β aus 9) r (12|β aus 4) ¬p | (13|β aus 4) q Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableaux-Verfahren 45 Tableaux Erweiterungsregeln für FOL • wie für Aussagenlogik - in den Regeln stehen X und Y dann für beliebige (prädikatenlogische) Formeln: • Zusätzlich folgende Regeln für die Behandlung quantifizierter Formeln : γ δ γ[t] δ[c] • für γ universell quantifizierte Formel, δ existenziell quantifizierte Formel, mit: γ γ[t] δ δ[c] ∀x.Φ Φ[x←t] ∃x.Φ Φ[x←c] ¬∃x.Φ ¬Φ[x←t] ¬∀x.Φ ¬Φ[x←c] • t ist Grundterm (d.h. enthält keine in Φ gebundenen Variablen), c ist eine „neue“ Konstante Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableaux-Verfahren 46 Beispiel(3): zu zeigen: (∀x.P(x)∨Q(x)) (∃x.P(x))∨(∀x.Q(x)) (1) ¬((∀x.P(x)∨Q(x)) (∃x.P(x))∨(∀x.Q(x))) (2|α aus 1) (∀x.P(x)∨Q(x)) (3|α aus 1) ¬((∃x.P(x))∨(∀x.Q(x))) (4|α aus 3) ¬(∃x.P(x)) (5|α aus 3) ¬(∀x.Q(x)) (6|δ aus 5) ¬Q(c) (7|γ aus 4) ¬P(c) (8|γ aus 2) P(c)∨Q(c) (9|β aus 8) P(c) | (10|β aus 8) Q(c) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableaux-Verfahren 47 Tableaux Transformation in Negationsnormalform • Gegeben eine Wissensbasis W. • Ersetze C ≡ D durch C ⊑ D und D ⊑ C • Ersetze C ⊑ D durch ¬C ⊔ D. • Wende die NNF-Transformationen auf der nächsten Seite an • Resultierende Wissensbasis: NNF(W) • Negationsnormalform von W. • Negation steht nur noch direkt vor atomaren Klassen Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableaux-Verfahren 48 Tableaux Transformation in Negationsnormalform • NNF Transformationen NNF(C) = C, falls C atomar ist NNF(¬C) = ¬C, falls C atomar ist NNF(¬¬C) = NNF(C) NNF(C ⊔ D) = NNF(C) ⊔ NNF(D) NNF(C ⊓ D) = NNF(C) ⊓ NNF(D) NNF(¬(C ⊔ D)) = NNF(¬C) ⊓ NNF(¬D) NNF(¬(C ⊓ D)) = NNF(¬C) ⊔ NNF(¬D) NNF(∀R.C) = ∀ R.NNF(C) NNF(∃R.C) = ∃ R.NNF(C) NNF(¬∀R.C) = ∃R.NNF(¬C) NNF(¬∃R.C) = ∀R.NNF(¬C) • W und NNF(W) sind logisch äquivalent. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableaux-Verfahren 49 Tableaux Transformation in Negationsnormalform • Beispiel: P ⊑ (E ⊓ U) ⊔ ¬(¬E ⊔ D) • In NNF: ¬P ⊔ (E ⊓ U) ⊔ (E ⊓ ¬D). Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableaux-Verfahren 50 Tableaux Erweiterungsregeln für OWL DL Auswahl Aktion C(a)∈W (ABox) Füge C(a) hinzu R(a,b)∈W (ABox) Füge R(a,b) hinzu C∈W (TBox) Füge C(a) für ein bekanntes Individuum a hinzu (C⊓D)(a)∈A Füge C(a) und D(a) hinzu (C⊔D)(a)∈A Splitte den Zweig. Füge zu (1) C(a) und zu (2) D(a) hinzu (∃R.C)(a)∈A Füge R(a,b) und C(b) für neues Individuum b hinzu (∀R.C)(a)∈A Falls R(a,b)∈A, dann füge C(b) hinzu • Ist das resultierende Tableaux abgeschlossen, so ist die ursprüngliche Wissensbasis unerfüllbar. • Man wählt dabei immer nur solche Elemente aus, die auch wirklich zu neuen Elementen im Tableaux führen. Ist dies nicht möglich, so terminiert der Algorithmus und die Wissensbasis ist erfüllbar. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableaux-Verfahren 51 Beispiel: • P … Professor • E … Person • U … Universitätsangehöriger • D … Doktorand • Wissensbasis: P ⊑ (E ⊓ U) ⊔ (E ⊓ ¬D) • Ist P ⊑ E logische Konsequenz? • Wissensbasis (mit Anfrage) in NNF: {¬P⊔ (E ⊓ U) ⊔ (E ⊓ ¬D), (P ⊓ ¬E)(a)} Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableaux-Verfahren 52 Beispiel (Fortsetzung): • TBox: ¬P ⊔ (E ⊓ U) ⊔ (E ⊓ ¬D) • Tableaux: (1) (P ⊓ ¬E)(a) (aus Wissensbasis) (2|α aus 1) P(a) (3|α aus 1) ¬E(a) (4) (¬P ⊔ (E ⊓ U) ⊔ (E ⊓ ¬D))(a) (aus Wissensbasis) (5) ¬P(a) | (6) ((E ⊓ U) ⊔ (E ⊓ ¬D))(a) (7) (E ⊓ U)(a) | (8) (E ⊓ ¬D)(a) (9) E(a) (10) E(a) (11) U(a) (12) ¬D(a) Die Wissensbasis ist unerfüllbar, d.h. P ⊑ E. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableaux-Verfahren 53 • Wissensbasis: ¬Person ⊔ ∃hasParent.Person • abzuleiten: ¬Person(Bill) Person(Bill) (¬Person ⊔ ∃hasParent.Person)(Bill) ¬Person(Bill) ∃hasParent.Person(Bill) ⊔ hasParent(Bill,x1) ∃ Person(x1) (¬Person ⊔ ∃hasParent.Person)(x1) ¬Person(x1) ∃hasParent.Person(x1) ⊔ hasParent(x1,x2) ∃ Person(x2) Problem tritt bei (¬Person ⊔ ∃hasParent.Person)(x2) Existenzquantoren auf bzw. bei OWL:minCardinality ¬Person(x2) ∃hasParent.Person(x2) ⊔ Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableaux-Verfahren 54 Idee des Blocking • wir hatten folgendes konstruiert: Person Person Person ∃hasParent.Person ∃hasParent.Person ∃hasParent.Person hasParent hasParent hasParent • Idee: Wiederverwendung alter Knoten Person Person ∃hasParent.Person ∃hasParent.Person hasParent Blocking Korrektheit muss natürlich hasParent bewiesen werden... Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableaux-Verfahren 55 • Wissensbasis: ¬Person ⊔ ∃hasParent.Person • abzuleiten: ¬Person(Bill) Person(Bill) (¬Person ⊔ ∃hasParent.Person)(Bill) ¬Person(Bill) ∃hasParent.Person(Bill) ⊔ hasParent(Bill,x1) ∃ Person(x1) (¬Person ⊔ ∃hasParent.Person)(x1) ¬Person(x1) ∃hasParent.Person(x1) ⊔ σ(Βill) = {Person, Person Person ¬Person ⊔ ∃hasParent.Person, ∃hasParent.Person ∃hasParent.Person ∃hasParent.Person} σ(x1) = { Person, hasParent ¬Person ⊔ ∃hasParent.Person, ∃hasParent.Person } hasParent σ(x1) ⊆ σ(Bill), so Bill blocks x1 Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableaux-Verfahren 56 Tableaux Blocking Definition • Die Auswahl von (∃R.C)(a) im Tableauzweig A ist blockiert, falls es ein Individuum b gibt, so dass {C | C(a) ∈ A} ⊆ {C | C(b) ∈ A} ist. • Zwei Möglichkeiten der Terminierung: 1.Abschluss des Tableaus. Dann Wissensbasis unerfüllbar. 2.Keine ungeblockte Auswahl führt zu Erweiterung. Dann Wissensbasis erfüllbar. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentationen 3.4 Beschreibungslogiken 57 3.4 Beschreibungslogiken 3.4.1 Motivation 3.4.2 Beschreibungslogiken Überblick 3.4.3 ALC - Syntax und Semantik 3.4.4 Inferenz und Reasoning 3.4.5 Tableaux-Verfahren Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • Semantic Web - Vorlesungsinhalt 58 1 2 3 4 5 6 7 5.01.2010 – Vorlesung Nr. 8 9 10 11 12 13 14 3. Wissensrepräsentation und Logik Die Sprachen des Semantic Web - Teil 2 3.1.Ontologien in der Philosophie und der Informatik 3.2.Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.3.RDFS-Semantik 3.4.Beschreibungslogiken 3.5.OWL und OWL-Semantik 3.6.Regeln mit RIF/SWRL Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentation und Logik 59 Semantic Web Architektur Interface & Application Trust Proof Ontology-Level Unifying Logic Query: Ontology: OWL Rule: RIF Crypto SPARQL RDFS Data Interchange: RDF XML / XSD URI / IRI Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • Semantic Web 60 OWL Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 3. Wissensrepräsentation und Logik 61 Literatur » P. Hitzler, M. Krötzsch, S. Rudolph, Y. Sure Semantic Web Grundlagen, Springer, 2008. » F. Baader, D. McGuinness, D. Nardi, P. Patel-Schneider (eds.) The Description Logic Handbook - Theory, Implementation, and Application, 2001. (siehe online-Materialien) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  • 2. Semantic Web Basisarchitektur 62 Literatur •Blog http://sewe0910.blogspot.com/ •Materialien-Webseite http://www.hpi.uni-potsdam.de/meinel/teaching/lectures_classes/semanticweb_ws0910.html • bibsonomy - Bookmarks http://www.bibsonomy.org/user/lysander07/sw0910_08 Besten Dank auch an Pascal Hitzler, Sebastian Rudolph und Markus Krötzsch für die Vorlesungsunterlagen auf semantic-web-grundlagen.de Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam