05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12

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Präsentation zur Vorlesung (5) Aussagenlogik und Prädikatenlogik - "Semantic Web Technologien WS 2011/12" am Hasso Plattner Institut, Potsdam, am 22.11.2011

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05 Aussagenlogik und Prädikatenlogik - Semantic Web Technologien WS 2011/12

  1. 1. Semantic Web Technologien Vorlesung Dr. Harald Sack Hasso-Plattner-Institut für Softwaresystemtechnik Universität Potsdam Wintersemester 2011/12 Blog zur Vorlesung: http://wwwsoup2011.blogspot.com/Montag, 5. Dezember 11
  2. 2. Semantic Web TechnologienSemantic Web TechnologienWiederholungWiederholung2 e n g i l o to O n Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  3. 3. Semantic Web Technologien Vorlesungsinhalt3 1. Einführung 2. Semantic Web Basisarchitektur Die Sprachen des Semantic Web - Teil 1 3. Wissensrepräsentation und Logik Die Sprachen des Semantic Web - Teil 2 4. Semantic Web Anwendungen Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  4. 4. Semantic Web Technologien Vorlesungsinhalt4 3. Wissensrepräsentation und Logik Die Sprachen des Semantic Web - Teil 2 3.1. Exkurs: Ontologien in Philosophie und Informatik 3.2. Wiederholung: Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.3. Beschreibungslogiken (Description Logics) 3.4. RDFS-Semantik 3.5. OWL und OWL-Semantik 3.6. OWL 2 und Regeln Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  5. 5. 5Logik zur Formalisierung ontologischer Modelle Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  6. 6. 3. Wissensrepräsentation und Logik 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik6 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.2.1 Logik Grundlagen 3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution 3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  7. 7. A friend of Einstein‘s, 3. Wissensrepräsentationen Kurt Gödel found a holeund Prädikatenlogik 3.2 Wiederholung Aussagenlogik in7 the center of Mathematics... Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Turmbau zu Babel, Pieter Brueghel, 1563Montag, 5. Dezember 11
  8. 8. 3. Wissensrepräsentation und Logik 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik8 Logik – Grundlagen ■ hier nur knappe und informelle Wiederholung □ siehe Bachelorstudium Mathematik I, etc. ■ im Weiteren Verlauf wird ein solides Verständnis der Grundlagen der Logik vorausgesetzt, daher bitte selbstständig wiederholen □ siehe auch U. Schöning: Logik für Informatiker, Spektrum Akademischer Verlag, 5. Aufl. 2000. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Turmbau zu Babel, Pieter Brueghel, 1563Montag, 5. Dezember 11
  9. 9. Logik - Grundlagen ■ Wortherkunft:9 λογος =[griech.] Wort, Lehre, Rede,... ■ Definition (für unsere Vorlesung): Logik ist die Lehre Raimundus Lullus (1232-1316) vom formal korrekten Schließen. ■ Als Logik bezeichnete ■ Warum „formale Logik“? Raimundus Lullus im 14. Jhd. die Kunst und die --> Automatisierbarkeit! Wissenschaft, mit Hilfe des ■ Konstruktion einer „Rechenmaschine“ für Verstandes Wahrheit und Logik Lüge zu unterscheiden, Wahrheit zu akzeptieren und Lüge von sich zu weisen. Arbor naturalis et logicalis, aus Turmbau zu Babel, Pieter Brueghel, 1563 Raimundus Lullus „Ars Magna“, um 1275 Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  10. 10. Logik - Grundlagen10 "... omnes h umanas ratio calculum aliqv cinationes ad em characterist Algebra comb icum qvalis in inatoriave ar habetur, revoc te et numeri andi, qvo no s arte inventio h n tantum cer umana promov ta controversiae m eri posset, sed e ultae tolli, cer t distingvi, et tum ab incert ipsi gradus o aestimari, dum probabilitatum disputantium al posset: calculem ter alteri dicere us." Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Ph. J. Spener, Juli 1687 Leibnitz in einem Brief anMontag, 5. Dezember 11
  11. 11. Logik - Grundlagen11 „ alle men schlichen irgendeine Schlussfolg mit Zeic erungen m zurückgefüh hen arbe üssten au rt werden itende R f Kombinator , wie es echnungsa ik und mi sie in der rt nur mit t den Zah Algebra un einer unzw len gibt, w d Erfindungs eifelhaften odurch nich gabe geförd Kunst die t viele Strei ert werde menschliche tigkeiten b n könnte, vom Unsi eendet we sondern au cheren unt rden könnt ch Wahrschein erschieden en, das Si lichkeiten a und selbst chere der eine d bgeschätzt die Grade er im Dis werden kö der könnte: La put Streiten nnten, da sst uns do den zum ja ch nachrec anderen sa hnen!“ gen Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Ph. J. Spener, Juli 1687 Leibnitz in einem Brief anMontag, 5. Dezember 11
  12. 12. Logik - Grundlagen ■ Syntax: Zeichen ohne Bedeutung12 definiert Regeln, wie zulässige Zeichenfolgen gebildet werden dürfen ■ Semantik: Bedeutung der Syntax definiert Regeln, wie die Bedeutung von komplexen Zeichenfolgen aus der Bedeutung von atomaren Zeichenfolgen abgeleitet werden kann Syntax If (i<0) then display (“negatives Guthaben!“) Gebe die Meldung “negatives Guthaben!“ aus, Zuweisung von wenn der Kontostand i unter 0 Euro sinkt. Bedeutung Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  13. 13. Varianten der Semantik ■ Bsp.: Programmiersprachen13 Berechnung der Fakultät FUNCTION f(n:natural):natural; Intendierte Semantik BEGIN IF n=0 THEN f:=1 ELSE f:=n*f(n-1); END; • „die durch den Benutzer beabsichtigte Bedeutung“ Syntax • schränkt die Menge aller möglichen Modelle (Bedeutungen) auf die vom (menschlichen) Benutzer beabsichtigte Bedeutung ein. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  14. 14. Varianten der Semantik ■ Bsp.: Programmiersprachen14 Berechnung der Fakultät FUNCTION f(n:natural):natural; Intendierte Semantik BEGIN IF n=0 THEN f:=1 ELSE f:=n*f(n-1); END; f : n → n! formale Semantik Syntax € • hat zum Ziel, die Bedeutung von Zeichenketten (Programmen) in einer formalen Sprache auszudrücken, so dass sich über das Anwenden von Ableitungsregeln (Kalkülen) Aussagen über die Zeichenketten (Programmen) beweisen lassen. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  15. 15. Varianten der Semantik ■ Bsp.: Programmiersprachen15 Berechnung der Fakultät FUNCTION f(n:natural):natural; Intendierte Semantik BEGIN IF n=0 THEN f:=1 ELSE f:=n*f(n-1); END; f : n → n! formale Semantik Verhalten des Programms Syntax bei der Ausführung € Prozedurale Semantik • die Bedeutung eines sprachlichen Ausdrucks (Programms) ist die Prozedur, die intern abläuft, wenn dieser Ausdruck fällt. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  16. 16. Varianten der Semantik16 ■ Modelltheoretische Semantik nimmt die semantische Interpretation künstlicher und natürlicher Sprachen dadurch vor, indem sie „Bedeutung mit genau definierter Interpretation in einem Modell gleichsetzt“ ■ = formale Interpretation in einem Modell Alfred Tarski (1901-1983) ■ z.B. modelltheoretische Semantik für Aussagenlogik ■ Zuweisung von Wahrheitswerten „wahr“ und „falsch“ zu atomaren Aussagen und ■ Beschreibung der Junktoren durch Wahrheitswertetafeln Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  17. 17. Wie funktioniert Logik?17 ■ Jede Logik L:=(S,⊨) besteht aus einer Menge von Sätzen S und einer Schlussfolgerungsrelation ⊨ ■ Sei Φ ⊆ S und φ ∈ S : Φ⊨φ ■ „ φ ist eine logische Konsequenz von Φ“ oder „aus den Sätzen von Φ folgt der Satz φ“ Syntax ■ Gilt für 2 Sätze φ,ψ ∈ S sowohl {φ} ⊨ ψ als auch {ψ} ⊨ φ, Dann sind die Sätze φ und ψ logisch äquivalent φ≡ψ Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  18. 18. Aussagenlogik (Propositional Logic)18 ■ Bereits in der griechischen Antike legen Philosophen der Stoa die Grundlagen für die Aussagenlogik ■ Chrysipos von Soli beschreibt im 3. Jhd. v. Chr. in seiner „grammatikalischen Logik“ eine erste vollständige Junktorenlogik Syntax Chrysipos von Soli (279-206 v. Chr.) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  19. 19. Aussagenlogik (Propositional Logic)19 ■ George Boole schuf den ersten algebraischen Logikkalkül in seiner 1847 erschienenen Schrift „The Mathematical Analysis of Logic“ ■ er formalisiert klassische Logik und Aussagenlogik und entwickelt ein Entscheidungsverfahren für wahre Formeln über eine disjunktive Normalform George Boole (1815-1864) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  20. 20. Aussagenlogik (Propositional Logic)20 ■ Gottlob Frege formuliert den ersten aussagenlogischen Kalkül mit Schlussfolgerungsregeln im Rahmen seiner 1879 entwickelten „Begriffsschrift“ Gottlob Frege (1848-1925) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  21. 21. Aussagenlogik (Propositional Logic)21 ■ Bertrand Russel formulierte 1910 zusammen mit Alfred North Whitehead in der „Principia Mathematica“ einen Kalkül für die Aussagenlogik Bertrand Arthur William Russell, 3. Earl Russell (1872-1970) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  22. 22. Aussagenlogik (Propositional Logic)22 Junktor Name Intuitive Bedeutung ⌐ Negation „nicht“ ∧ Konjunktion „und“ ⋁ Disjunktion „oder“ → Implikation „wenn – dann“ ↔ Äquivalenz „genau dann, wenn“ ■ Erzeugungsregeln für Sätze: ■ alle atomaren Aussagen sind Sätze (p,q,...) ■ ist φ ein Satz, dann auch ¬φ ■ sind φ und ψ Sätze, dann auch φ∧ψ, φ∨ψ, φ→ψ, φ ψ ■ Präzedenzen: ¬ vor ∧,∨ vor →, Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  23. 23. Aussagenlogik (Propositional Logic)23 • Formulierung von Sachverhalten Einfache Aussagen Modellierung Der Mond besteht aus grünem Käse g Es regnet r Die Straße wird nass n Zusammengesetzte Aussagen Modellierung Wenn es regnet, dann wird die Straße nass r →n Wenn es regnet und die Straße nicht nass wird, dann besteht der Mond aus grünem (r ∧ ⌐n) → g Käse Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  24. 24. Prädikatenlogik 1. Stufe (First Order Logic, FOL)24 ■ Erste Ansätze einer Verallgemeinerung der Aussagenlogik finden sich bereits bei Aristoteles in seinen Syllogismen Aristoteles (384-322 v. Chr) wikipedia.org Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  25. 25. Prädikatenlogik 1. Stufe (First Order Logic, FOL)25 ■ Gottlob Frege Gottlob Frege entwickelte und formalisierte ein prädikatenlogisches System in seiner 1879 erschienenen „Begriffsschrift - eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens“ Gottlob Frege (1848-1925) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  26. 26. Prädikatenlogik 1. Stufe (First Order Logic, FOL)26 ■ Charles Sanders Peirce entwickelte gemeinsam mit seinem Studenten O.H. Mitchell unabhängig von Gottlob Frege eine vollständige Syntax für eine Quantorenlogik in der heute üblichen Notation Charles Sanders Peirce (1839-1914) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  27. 27. Prädikatenlogik 1. Stufe (First Order Logic, FOL)27 Quantor Name Intuitive Bedeutung ∃ Existenzquantor „es existiert“ ∀ Allquantor, „für alle“ Universalquantor □ Junktoren wie in der Aussagenlogik □ Variablen, z.B. X,Y,Z,… □ Konstantensymbole, z.B. a, b, c, … □ Funktionssymbole, z.B. f, g, h, … (mit Stelligkeit) □ Relations-/Prädikatssymbole, z.B. p, q, r, … (mit Stelligkeit) (∀X)(∃Y) ((p(X)∨ ¬q(f(X),Y))→ r(X)) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  28. 28. Prädikatenlogik 1. Stufe (First Order Logic, FOL)28 FOL: Syntax ■ „richtiges“ Formen von Termen aus Variablen, Konstanten- und Funktionssymbolen: □ f(X), g(a,f(Y)), s(a), .(H,T), x_location(Pixel) ■ „richtiges“ Formen von Atomen aus Relationssymbolen, deren Argumente Terme sind: □ p(f(X)), q (s(a),g(a,f(Y))), add(a,s(a),s(a)), greater_than(x_location(Pixel),128) ■ „richtiges“ Formen von Formeln aus Atomen, Junktoren und Quantoren: □ (∀Pixel) (greater_than(x_location(Pixel),128) → red(Pixel) ) ■ Im Zweifelsfall klammern! Alle Variablen quantifizieren! Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  29. 29. Prädikatenlogik 1. Stufe (First Order Logic, FOL)29 ■ Formulierung von Sachverhalten ■ „alle Kinder lieben Eiscreme.“ ∀X: Kind(X) → liebtEiscreme(X) ■ „der Vater einer Person ist deren männlicher Elternteil.“ ∀X ∀Y: Vater(X,Y) (männlich(X) ∧ Elternteil(X,Y)) ■ „Es gibt eine (oder mehrere) Vorlesung(en), die interessant ist(sind).“ ∃X: Vorlesung(X) ∧ istInteressant(X) ■ „Die Relation ,istNachbar‘ ist symmetrisch.“ ∀X ∀Y: istNachbar(X,Y) → istNachbar(Y,X) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  30. 30. Prädikatenlogik 1. Stufe (First Order Logic, FOL)30 ■ Beispiel: Verwandschaftsverhältnisse (∀X) ( parent(X) ( human(X) ∧ (∃Y) parent_of(X,Y) )) (∀X) ( human(X) → (∃Y) parent_of(Y,X) ) (∀X) (orphan(X) (human(X) ∧¬(∃Y) (parent_of(Y,X)∧ alive(Y)))) (∀X)(∀Y)(∀Z) (uncle_of(X,Z) (brother_of(X,Y) ∧ parent_of(Y,Z)) ) Intendierte Semantik: klar! Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  31. 31. Prädikatenlogik 1. Stufe (First Order Logic, FOL)31 ■ Beispiel: Pinguine ( (∀X)( penguin(X) → blackandwhite(X) ) ∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) ) ) → (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) ) Intendierte Semantik? Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  32. 32. 3. Wissensrepräsentation und Logik 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik32 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.2.1 Logik Grundlagen 3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution 3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  33. 33. Aussagenlogik Modelltheoretische Semantik3033 ■ Interpretation I: Abbildung aller atomaren Aussagen nach {w,f}. ■ Ist F eine Formel und I eine Interpretation, dann ist I(F) ein Wahrheitswert, der aus F und I mittels Wahrheitstafeln ermittelt wird. I(p) I(q) I(⌐p) I(p⋁q) I(p∧q) I(p→q) I(p↔q) f f w f w w w f w w w f w f w f f w f f f w w f w w w w Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  34. 34. Aussagenlogik Modelltheoretische Semantik3034 ■ Wir schreiben I ⊨ F, wenn I(F)=w ist, und nennen dann die Interpretation I ein Modell der Formel F. ■ Semantik-Regeln: ■ I Modell von ¬φ genau dann, wenn I kein Modell von φ ■ I Modell von (φ∧ψ) genau dann, wenn I Modell von φ UND von ψ ■ ... ■ Zentrale Begriffe: □ allgemeingültig (Tautologie) □ erfüllbar □ widerlegbar □ unerfüllbar Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  35. 35. Prädikatenlogik Modelltheoretische Semantik3035 ■ Struktur: □ Festlegung eines Grundbereichs D. □ Konstantensymbole werden auf Elemente von D abgebildet. □ Funktionssymbole auf Funktionen nach D. □ Relationssymbole auf Relationen über D. ■ Dann: □ Terme werden zu Elementen von D. □ Relationssymbole mit Argumenten werden wahr oder falsch. □ Entsprechende Behandlung der Junktoren/Quantoren. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  36. 36. Prädikatenlogik Modelltheoretische Semantik3036 ( (∀X)( penguin(X) → blackandwhite(X) ) ∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) ) ) → (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) ) ■ Interpretation I: □ Grundbereich: eine Menge M, die die Elemente a,b enthält. □ … keine Konstanten- oder Funktionssymbole … □ Wir zeigen: Die Formel ist widerlegbar (d.h. sie ist nicht allgemeingültig): □ Sind I(penguin)(a), I(blackandwhite)(a), I(oldTVshow)(b), I(blackandwhite)(b) wahr, I(oldTVshow)(a) und I(penguin)(b) jedoch falsch, dann ist die Formel unter I falsch, d.h. I ⊭ F. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  37. 37. Der Begriff der logischen Konsequenz3037 ■ Eine Theorie T ist eine Menge von Formeln. ■ Eine Interpretation I ist ein Modell für T, wenn I ⊨ G für jede Formel G in T gilt. ■ Eine Formel F ist eine logische Konsequenz aus T, wenn jedes Modell von T auch Modell von F ist. ■ Wir schreiben dann T ⊨ F. ■ Zwei Formeln F,G heißen logisch (auch semantisch) äquivalent, wenn {F} ⊨ G und {G} ⊨ F gelten. ■ Wir schreiben dann F ≡ G. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  38. 38. Logische Äquivalenzen3038 F∧G≡G∧F ¬(∀X) F ≡ (∃X) ¬F F∨G≡G∨F ¬(∃X) F ≡ (∀X) ¬F Augustus De Morgan (1806-1871) F → G ≡ ¬F ∨ G (∀X)(∀Y) F ≡ (∀Y)(∀X) F F ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F) (∃X)(∃Y) F ≡ (∃Y)(∃X) F ¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G (∀X) (F ∧ G) ≡ (∀X) F ∧ (∀X) G ¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G (∃X) (F ∨ G) ≡ (∃X) F ∨ (∃X) G DeMorgan‘sche Gesetze ¬¬F ≡ F F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H) F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  39. 39. 39 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.2.1 Logik Grundlagen 3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution 3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  40. 40. Normalformen ■ Zu jeder Formel gibt es unendlich viele logisch äquivalente3040 Formeln. F∧G≡G∧F F∨G≡G∨F F → G ≡ ¬F ∨ G F ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F) ¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G ¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G ¬¬F ≡ F F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H) F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H) ¬(∀X) F ≡ (∃X) ¬F ¬(∃X) F ≡ (∀X) ¬F (∀X)(∀Y) F ≡ (∀Y)(∀X) F (∃X)(∃Y) F ≡ (∃Y)(∃X) F (∀X) (F ∧ G) ≡ (∀X) F ∧ (∀X) G (∃X) (F ∨ G) ≡ (∃X) F ∨ (∃X) G Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  41. 41. Normalformen3041 F∧G≡G∧F F∨G≡G∨F ¬(∀X) F ≡ (∃X) ¬F F → G ≡ ¬F ∨ G ¬(∃X) F ≡ (∀X) ¬F F ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F) (∀X)(∀Y) F ≡ (∀Y)(∀X) F ¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G (∃X)(∃Y) F ≡ (∃Y)(∃X) F ¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G (∀X) (F ∧ G) ≡ (∀X) F ∧ (∀X) G ¬¬F ≡ F (∃X) (F ∨ G) ≡ (∃X) F ∨ (∃X) G F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H) F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H) ■ Für jede dieser Äquivalenzklassen sucht man nun möglichst einfache (eindeutige) Repräsentanten. ■ Diese Repräsentanten werden Normalformen genannt. ■ Einfaches Beispiel: □ schreibe ¬F statt ¬¬¬¬¬F Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  42. 42. Normalformen30 ■ Ziel: Umwandlung von Formeln in Klauselform.42 ■ (a∧(b∨¬c)∧(a∨d)) {a,{b,¬c},{a,d}} (CNF) (Klausel) ■ Dazu notwendige Zwischenschritte: 1. Negationsnormalform □ alle Negationen stehen ganz innen 2. Pränexnormalform □ alle Quantoren stehen ganz vorne 3. Skolemnisierte Pränexnormalform □ Eliminierung der Existenzquantoren 4. konjunktive Normalform (CNF) = Klauselform □ Darstellung als Konjunktion von Disjunktionen Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  43. 43. Negationsnormalform3043 ■ Alle Negationszeichen werden durch Verwendung der folgenden Äquivalenzen nach innen gezogen: F G ≡ (F → G)∧(G → F) ¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G F → G ≡ ¬F ∨ G ¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G ¬(∀X) F ≡ (∃X) ¬F ¬¬F ≡ F ¬(∃X) F ≡ (∀X) ¬F ■ Ergebnis: □ Implikationen und Äquivalenzen fallen weg □ mehrfachen Negationen fallen weg □ alle Negationszeichen stehen direkt vor Atomen Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  44. 44. Negationsnormalform3044 ■ Beispiel ( (∀X)( penguin(X) → blackandwhite(X) ) ∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) ) ) → (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) ) wird zu ¬( (∀X)( ¬penguin(X) ∨ blackandwhite(X) ) ∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) ) ) ∨ (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) ) und dann zu ( (∃X)( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) ) ∨ (∀X)(¬oldTVshow(X) ∨ ¬blackandwhite(X) ) ) ∨ (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) ) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  45. 45. Pränexnormalform3045 ■ erst Formel bereinigen (Quantoren binden verschiedene Variablen). ( (∃X)( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) ) ∨ (∀X)( ¬oldTVshow(X) ∨ ¬blackandwhite(X) ) ) ∨ (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) ) wird zu ( (∃X)( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) ) ∨ (∀Y)( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ (∃Z)( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) ) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  46. 46. Pränexnormalform3046 ■ Dann aus der Negationsnormalform einfach alle Quantoren in derselben Reihenfolge nach vorne ziehen. ( (∃X)( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) ) ∨ (∀Y)( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ (∃Z)( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) ) wird zu (∃X)(∀Y)(∃Z)( ( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) ) ∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ ( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) ) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  47. 47. Skolemnisierte Pränexnormalform3047 ■ “Existenzquantoren entfernen” (∃X) (∀Y) (∃Z) ( ( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) ) ∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ ( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) ) wird zu … (∀Y)( ( penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) ) ∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ ( penguin( f(Y) ) ∧ oldTVshow( f(Y) ) ) ■ wobei a und f neue Symbole sind (sog. Skolemkonstanten bzw. Skolemfunktionen). Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  48. 48. Skolemnisierte Pränexnormalform3048 ■ Vorgehensweise: 1. Entfernen der Existenzquantoren von links nach rechts. 2. Gibt es keinen Allquantor links des zu entfernenden Existenzquantors, so wird die entsprechende Variable durch ein neues Konstantensymbol ersetzt. 3. Gibt es n Allquantoren links des zu entfernenden Existenzquantors, so wird die entsprechende Variable durch ein neues Funktionssymbol mit Stelligkeit n ersetzt, dessen Argumente genau die Variablen der n Allquantoren sind. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  49. 49. Skolemnisierte Pränexnormalform3049 ■ “Existenzquantoren entfernen” (∃X) (∀Y) (∃Z) ( ( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) ) ∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ ( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) ) wird zu … (∀Y)( ( penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) ) ∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ ( penguin( f(Y) ) ∧ oldTVshow( f(Y) ) ) ■ wobei a und f neue Symbole sind (sog. Skolemkonstanten bzw. Skolemfunktionen). Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  50. 50. Konjunktive Normalform (Klauselform)3050 ■ Es gibt nur noch Allquantoren, also lassen wir sie weg: ( penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) ) ∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ ( penguin(f(Y)) ∧ oldTVshow(f(Y)) ■ Mit Hilfe semantischer Äquivalenzen wird die Formel nun als Konjunktion von Disjunktionen geschrieben. F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H) F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  51. 51. Konjunktive Normalform (Klauselform)3051 (penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) ) ∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ∨ ( penguin(f(Y)) ∧ oldTVshow(f(Y)) wird zu ( penguin(a)∨¬oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨penguin(f(Y)) ) ∧ ( penguin(a)∨¬oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨oldTVshow(f(Y)) ) ∧ ( ¬blackandwhite(a)∨¬oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨penguin(f(Y)) ) ∧ ( ¬blackandwhite(a)∨¬oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨oldTVshow(f(Y)) ) wird zu { {penguin(a),¬oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),penguin(f(Y))}, {penguin(a),¬oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),oldTVshow(f(Y))}, { ¬blackandwhite(a),¬oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),penguin(f(Y))}, {¬blackandwhite(a),¬oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),oldTVshow(f(Y))} } Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  52. 52. Eigenschaften von Normalformen3052 ■ Sei F eine Formel, ■ G die Pränexnormalform von F, ■ H die skolemisierte Pränexnormalform von G, ■ K die Klauselform von H. ■ Dann ist F ≡ G und H ≡ K aber i.A. F ≢ K. ■ Es gilt jedoch: □ F ist unerfüllbar genau dann, wenn K unerfüllbar ist. (Grundlage des Resolutionsverfahrens) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  53. 53. Skolemnisierung ist keine Äquivalenztransformation3053 ■ Die Formel (∃x) p(x) ∨ ¬(∃x) p(x) ist eine Tautologie. ■ Negationsnormalform: (∃x) p(x) ∨ (∀x) ¬p(x) ■ Pränexnormalform: (∃x) (∀y) (p(x) ∨ ¬p(y)) ■ Skolemnormalform: (∀y) (p(a) ∨ ¬p(y)) ■ Äquivalent dazu: p(a) ∨ ¬(∃y) p(y) ■ Die resultierende Formel ist keine Tautologie! ■ z.B. Interpretation I mit □ I(p(a)) = f □ I(p(b)) = w Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  54. 54. 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.2.1 Logik Grundlagen 3.2.2 Modelltheoretische Semantik54 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution 3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  55. 55. Eine Rechenmaschine für die Logik3055 ■ Erinnern wir uns: ■ Eine Formel F ist eine logische Konsequenz aus einer Theorie T, wenn jedes Modell von T auch Modell von F ist. ■ Problem: ■ Wie arbeite ich direkt mit allen möglichen Interpretationen? Gottfried Wilhelm Leibniz ■ Daher wird die logische Konsequenz mit Hilfe rein (1646-1716) syntaktischer Verfahren nachgebildet ■ Entscheidungsverfahren (Entscheidbarkeit) ■ Aufzählungsverfahren (Semientscheidbarkeit) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  56. 56. Eine Rechenmaschine für die Logik3056 ■ Entscheidungsverfahren (Entscheidbarkeit) ■ Eingabe: {φ1,..., φn} und Satz φ ■ Ausgabe: ■ „Ja“, falls Sätze φ existieren, für die gilt: {φ1,..., φn} ⊨ φ ■ „Nein“ sonst. ■ Aufzählungsverfahren (Semientscheidbarkeit) ■ Eingabe: {φ1,..., φn} ■ Ausgabe: ■ Sätze φ für die gilt: {φ1,..., φn} ⊨ φ Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  57. 57. Resolution3057 Theorie {F1,…,Fn} hat F0 als logische Konsequenz Äquivalente Aussagen {F1,…,Fn} ⊨ F0 F1 ∧… ∧ Fn → F0 ist allgemeingültig ¬(F1 ∧… ∧ Fn → F0) ist unerfüllbar John Alan Robinson (*1930) G1 ∧ …∧ Gk ist unerfüllbar □ Das Resolutionsverfahren erlaubt die Ableitung eines Widerspruchs aus G1 ∧ …∧ Gk. John Alan Robinson, "A Machine-Oriented Logic Based on the Resolution Principle", Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Communications of the ACM, 5:23–41, 1965.Montag, 5. Dezember 11
  58. 58. Resolution (Aussagenlogik) ■ Ist (p1∨…∨pk∨p∨¬q1∨…∨¬ql)∧(r1∨…∨rm∨¬p∨¬s1∨…∨¬sn)3058 wahr, dann: ■ Eines von p, ¬p muss falsch sein. ■ Also: Eines der anderen Literale muss wahr sein, d.h. p1∨…∨pk∨¬q1∨…∨¬ql∨r1∨…∨rm∨¬s1∨…∨¬sn muss wahr sein. ■ Ergo: Ist p1∨…∨pk∨¬q1∨…∨¬ql∨r1∨…∨rm∨¬s1∨…∨¬sn unerfüllbar, dann auch (p1∨…∨pk∨p∨¬q1∨…∨¬ql)∧(r1∨…∨rm∨¬p∨¬s1∨…∨¬sn) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  59. 59. Resolution (Aussagenlogik)3059 (p1∨…∨pk∨p∨¬q1∨…∨¬ql) ∧ (r1∨…∨rm∨¬p∨¬s1∨…∨¬sn) K1 K2 Resolutionsschritt {K1,K 2} ⊨ K3 p1∨…∨pk∨¬q1∨…∨¬ql∨r1∨…∨rm∨¬s1∨…∨¬sn K3 ■ Aus zwei Klauseln wird eine neue ■ Ende des Verfahrens: ■ Werden Klauseln resolviert, die nur noch aus je einem Atom bzw. negierten Atom bestehen, dann entsteht eine „leere Klausel“, bezeichnet mit ⊥. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  60. 60. Resolution (Aussagenlogik)3060 • Vorgehensweise, um einen Widerspruch aus einer Menge M von Klauseln abzuleiten: 1. Wähle zwei Klauseln aus M und erzeuge aus ihnen eine neue Klausel K durch einen Resolutionsschritt. 2. Ist K =⊥ , dann ist ein Widerspruch gefunden. 3. Falls K ≠⊥ , füge K zur Menge M hinzu und gehe zu 1. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  61. 61. Resolution (Prädikatenlogik)3061 ■ In der Prädikatenlogik müssen bei der Resolution zusätzlich Variablenbindungen mit Hilfe von Substitutionen berücksichtigt werden ■ z.B. (p(X,f(Y)) ∨ q( f(X),Y)) (¬p(a,Z) ∨ r(Z) ) Resolution mit [X/a, Z/f(Y)] ergibt (q( f(a),Y) ∨ r(f(Y))). Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  62. 62. Resolution (Prädikatenlogik)3062 ■ Unifikation von Termen ■ Geg.: Literale L1, L2 ■ Ges.: Variablensubstitution σ derart, dass nach Anwendung auf L1 und L2 gilt: L1σ = L2σ ■ Existiert eine solche Variablensubstitution σ, dann heißt σ Unifikator von L1 und L2. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  63. 63. Resolution (Prädikatenlogik)3063 Unifikationsalgorithmus ■ Geg.: Literale L1, L2 ■ Ges.: Unifikator σ von L1 und L2. 1. L1 und L2 sind Konstanten: nur unifizierbar, falls L1 = L2 . 2. L1 ist Variable und L2 beliebiger Term: unifizierbar, falls für Variable L1 der Term L2 eingesetzt wird und Variable L1 nicht in L2 vorkommt. 3. L1 und L2 sind Prädikate oder Funktionen PL1(s1,...,sm) und PL2(t1,...,tn): unifizierbar, falls 1. PL1 = PL2 oder 2. n=m und sich jeder Term si mit einem Term ti unifizieren lässt Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  64. 64. Resolution (Prädikatenlogik)3064 Beispiele zur Unifikation L1 L2 σ p(X,X) p(a,a) [X/a] p(X,X) p(a,b) n.a. p(X,Y) p(a,b) [X/a, Y/b] p(X,Y) p(a,a) [X/a, Y/a] p(f(X),b) p(f(c),Z) [X/c, Z/b] p(X,f(X)) p(Y,Z) [X/Y, Z/f(Y)] p(X,f(X)) p(Y,Y) n.a. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  65. 65. Resolution (Prädikatenlogik)3065 ■ In der Prädikatenlogik müssen bei der Resolution zusätzlich Variablenbindungen mit Hilfe von Substitutionen berücksichtigt werden ■ z.B. (p(X,f(Y)) ∨ q( f(X),Y)) (¬p(a,Z) ∨ r(Z) ) Resolution mit [X/a, Z/f(Y)] ergibt (q( f(a),Y) ∨ r(f(Y))). Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  66. 66. Resolution (Prädikatenlogik)3066 Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution: ■ Terminologisches Wissen (TBox): (∀X) ( human(X) → (∃Y) parent_of(Y,X) ) (∀X) ( orphan(X) (human(X) ∧ ¬(∃Y) (parent_of(Y,X) ∧ alive(Y))) ■ Wissen um Individuen (ABox): orphan(harrypotter) parent_of(jamespotter,harrypotter) ■ Können wir folgern: ¬alive(jamespotter)? Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  67. 67. Resolution (Prädikatenlogik)3067 Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution Zu zeigen: ((∀X) ( human(X) → (∃Y) parent_of(Y,X) ) ∧ (∀X) (orphan(X) (human(X) ∧ ¬(∃Y) (parent_of(Y,X) ∧ alive(Y))) ∧ orphan(harrypotter) ∧ parent_of(jamespotter,harrypotter)) → ¬alive(jamespotter)) ist allgemeingültig. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  68. 68. Resolution (Prädikatenlogik)3068 Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution Zu zeigen: ¬((∀X) ( human(X) → (∃Y) parent_of(Y,X) ) ∧ (∀X) (orphan(X) (human(X) ∧ ¬(∃Y) (parent_of(Y,X) ∧ alive(Y))) ∧ orphan(harrypotter) ∧ parent_of(jamespotter,harrypotter)) → ¬alive(jamespotter)) ist unerfüllbar. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  69. 69. Resolution (Prädikatenlogik)3069 Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution ■ Pränexnormalform: (∀X)(∃Y)(∀X1)(∀Y1)(∀X2)(∃Y2) (( ¬human(X) ∨ parent_of(Y,X) ) ∧ (¬orphan(X1)∨ (human(X1) ∧ (¬parent_of(Y1,X1) ∨ ¬alive(Y1))) ∧ (orphan(X2) ∨ (¬human(X2) ∨ (parent_of(Y2,X2) ∧ alive(Y2))) ∧ orphan(harrypotter) ∧ parent_of(jamespotter,harrypotter)) ∧ alive(jamespotter)) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  70. 70. Resolution (Prädikatenlogik)3070 Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution ■ Klauselform (CNF): ( ¬human(X) ∨ parent_of(f(X),X) ) ∧ (¬orphan(X1) ∨ human(X1)) ∧ (¬orphan(X1) ∨ ¬parent_of(Y1,X1) ∨ ¬alive(Y1)) ∧ (orphan(X2) ∨ ¬human(X2) ∨ parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)) ∧ (orphan(X2) ∨ ¬human(X2) ∨ alive(g(X,X1,Y1,X2))) ∧ orphan(harrypotter) ∧ parent_of(jamespotter,harrypotter)) ∧ alive(jamespotter) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  71. 71. Resolution (Prädikatenlogik)3071 Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution ■ Klauselform: { {¬human(X), parent_of(f(X),X)}, {¬orphan(X1), human(X1)}, {¬orphan(X1),¬parent_of(Y1,X1),¬alive(Y1)}, {orphan(X2),¬human(X2),parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)}, {orphan(X2) ,¬human(X2),alive(g(X,X1,Y1,X2))}, {orphan(harrypotter)}, {parent_of(jamespotter,harrypotter)}, {alive(jamespotter)} } Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  72. 72. Resolution (Prädikatenlogik)3072 Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution Wissen: 1. {¬human(X), parent_of(f(X),X)} 2. {(¬orphan(X1), human(X1)} 3. {¬orphan(X1), ¬parent_of(Y1,X1),¬alive(Y1))} 4. {(orphan(X2), ¬human(X2), parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)} 5. {orphan(X2), ¬human(X2), alive(g(X,X1,Y1,X2))} 6. {orphan(harrypotter)} 7. {parent_of(jamespotter,harrypotter)} 8. {alive(jamespotter)} Abgeleitete Klauseln: 9. {¬orphan(harrypotter), ¬alive(jamespotter)} (3,7) [X1/harrypotter, Y1/jamespotter] Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  73. 73. Resolution (Prädikatenlogik)3073 Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution Wissen: 1. {¬human(X), parent_of(f(X),X)} 2. {(¬orphan(X1), human(X1)} 3. {¬orphan(X1), ¬parent_of(Y1,X1),¬alive(Y1))} 4. {(orphan(X2), ¬human(X2), parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)} 5. {orphan(X2), ¬human(X2), alive(g(X,X1,Y1,X2))} 6. {orphan(harrypotter)} 7. {parent_of(jamespotter,harrypotter)} 8. {alive(jamespotter)} Abgeleitete Klauseln: 9. {¬orphan(harrypotter), ¬alive(jamespotter)} (3,7) 10. {¬orphan(harrypotter)} (8,9) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  74. 74. Resolution (Prädikatenlogik)3074 Beispiel zur prädikatenlogischen Resolution Wissen: 1. {¬human(X), parent_of(f(X),X)} 2. {(¬orphan(X1), human(X1)} 3. {¬orphan(X1), ¬parent_of(Y1,X1),¬alive(Y1))} 4. {(orphan(X2), ¬human(X2), parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)} 5. {orphan(X2), ¬human(X2), alive(g(X,X1,Y1,X2))} 6. {orphan(harrypotter)} 7. {parent_of(jamespotter,harrypotter)} 8. {alive(jamespotter)} Abgeleitete Klauseln: 9. {¬orphan(harrypotter), ¬alive(jamespotter)} (3,7) 10. {¬orphan(harrypotter)} (8,9) 11. ⊥ (6,10) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  75. 75. Resolution (Prädikatenlogik)3075 Eigenschaften der Resolution für FOL ■ Widerlegungsvollständigkeit □ Wird Resolution auf widersprüchliche Klauselmenge angewandt, dann existiert eine endliche Folge von Resolutionsschritten, mit denen der Widerspruch entdeckt werden kann. □ Die Anzahl n der notwendigen Beweisschritte kann dabei sehr groß werden (ineffizient) □ Resolution in FOL ist nicht entscheidbar □ Ist die Klauselmenge nicht widersprüchlich, lässt sich die Terminierung des Verfahrens nicht garantieren. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  76. 76. 76 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.2.1 Logik Grundlagen 3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution 3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  77. 77. Eigenschaften der Prädikatenlogik (FOL)3077 ■ Monotonie □ Bei Vergrößerung des Wissens gehen keine Schlussfolgerungen verloren. □ Sind S und T Theorien, mit S⊆T □ Dann gilt {F|S ⊨ F} ⊆ {F|T ⊨ F} Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  78. 78. Eigenschaften der Prädikatenlogik (FOL)3078 ■ Kompaktheit □ Für jede Schlussfolgerung aus einer Theorie genügt eine endliche Teilmenge der Theorie. ■ Semientscheidbarkeit □ Prädikatenlogik erster Stufe ist unentscheidbar. □ Aber sie ist semientscheidbar in dem Sinne, dass eine logische Konsequenz T ⊨ F immer in endlicher Zeit nachgewiesen werden kann (nicht aber T⊭F) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  79. 79. Eigenschaften der Aussagenlogik (PL)3079 ■ Alle genannten Eigenschaften der Prädikatenlogik. ■ Entscheidbarkeit □ Alle wahren Schlüsse lassen sich finden, und alle falschen Schlüsse lassen sich widerlegen, wenn man lange genug sucht. ■ es gibt immer terminierende automatische Beweiser ■ Nützliche Eigenschaft: ■ {φ1,...,φn} ⊨ φ gilt genau dann, wenn (φ1 ∧...∧ φn) → φ eine Tautologie ist ■ Entscheidung, ob Satz eine Tautologie ist, kann über Wahrheitswerttabelle getroffen werden ■ Entspricht im Prinzip der Überprüfung aller Interpretationen Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  80. 80. 3. Wissensrepräsentation und Logik 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik80 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.2.1 Logik Grundlagen 3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution 3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  81. 81. Semantic Web Technologien Vorlesungsinhalt81 3. Wissensrepräsentation und Logik Die Sprachen des Semantic Web - Teil 2 3.1. Exkurs: Ontologien in Philosophie und Informatik 3.2. Wiederholung: Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.3. Beschreibungslogiken (Description Logics) 3.4. RDFS-Semantik 3.5. OWL und OWL-Semantik 3.6. OWL 2 und Regeln Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  82. 82. die nächste Vorlesung.... s - n g82 bu i n e e r k h i c g s o e l B Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  83. 83. 3. Wissensrepräsentation und Logik 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik83 • P. Hitzler, S. Roschke, Y. Sure: Semantic Web Grundlagen, Springer, 2007. • U. Schöning: Logik für Informatiker, Spektrum Akademischer Verlag, 5. Aufl. 2000. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  84. 84. 3. Wissensrepräsentation und Logik 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik84 Extra-Literatur • A. Doxiadis, C.H. Papadimitriou: Logicomix: eine epische Suche nach der Wahrheit, Atrium Verlag, 2010. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11
  85. 85. 3. Wissensrepräsentation und Logik 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik85 Materialien □Blog http://wwwsoup2011.blogspot.com/ □Webseite http://www.hpi.uni-potsdam.de/studium/lehrangebot/veranstaltung/ semantic_web_technologien.html □bibsonomy - Bookmarks http://www.bibsonomy.org/user/lysander07/swt1112_05 Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität PotsdamMontag, 5. Dezember 11

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