Conjunto.122

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Conjunto.122

  1. 1. Prof. LUZ MARIA ROJAS COZ MATEMATICA Primero de Secundaria
  2. 2. Inicio Aun así, toda esta controversia produjo a finales del Siglo XIX una de las teorías más importantes de la historia de las matemáticas: la teoría de conjuntos, que fue desarrollada sobre todo por el matemático Georg Cantor. Cantor definió los conjuntos como colecciones de objetos reales o abstractos. Idea que tuvo grandes consecuencias sobre la noción de infinito Cantor demostró también que para cada conjunto infinito, existe otro de mayor cardinalidad. Y aunque ahora nos parezca extraño, muchos matemáticos de la época encontraron absurda la noción de conjunto infinito como ente individual. A él se debe una buena parte de los conceptos que aparecen recogidos en esta sesión. Aun así, toda esta controversia produjo a finales del Siglo XIX una de las teorías más importantes de la historia de las matemáticas: la teoría de conjuntos, que fue desarrollada sobre todo por el matemático Georg Cantor. Cantor definió los conjuntos como colecciones de objetos reales o abstractos. Idea que tuvo grandes consecuencias sobre la noción de infinito Cantor demostró también que para cada conjunto infinito, existe otro de mayor cardinalidad. Y aunque ahora nos parezca extraño, muchos matemáticos de la época encontraron absurda la noción de conjunto infinito como ente individual. A él se debe una buena parte de los conceptos que aparecen recogidos en esta sesión. INFINITO
  3. 3. Inicio  El concepto de conjunto, de singular importancia en la ciencia matemática y objeto de estudio de una de sus disciplinas más recientes, está presente, aunque en forma informal, desde los primeros años de formación del hombre. Desde el momento que el ser humano tomó entre sus manos un puñado de piedras u observó un grupo de animales, tomó conocimiento del "conjunto". Sin embargo, por tratarse de conceptos matemáticos debemos fijar con exactitud el significado de cada término para no dar lugar a contradicciones o interpretaciones erróneas.
  4. 4. Inicio GEORG CANTOR NOCION DE CONJUNTO NOTACION DIAGRAMAS DE VENN DETERMINACION DE CONJUNTOS CONJUNTOS ESPECIALES RELACIONES ENTRE CONJUNTOS OPERACIONES CON CONJUNTOS PROBLEMAS Y SOLUCIONARIO GEORG CANTOR NOCION DE CONJUNTO NOTACION DIAGRAMAS DE VENN DETERMINACION DE CONJUNTOS CONJUNTOS ESPECIALES RELACIONES ENTRE CONJUNTOS OPERACIONES CON CONJUNTOS PROBLEMAS Y SOLUCIONARIO
  5. 5. Inicio Descendiente de judíos por ambas ramas, Georg Cantor fue hijo mayor del próspero comerciante Georg Waldemar Cantor y de su mujer María Bohm.   El padre había nacido en Copenhague, Dinamarca, pero emigró siendo joven a San Petersburgo, Rusia, donde nació el matemático Georg Cantor el 3 de marzo de 1845. Una enfermedad pulmonar fue causa de que el padre se trasladara en 1856 a Francfort, Alemania, donde vivió en el cómodo retiro hasta su muerte en 1863. Debido a esta curiosa mezcla de nacionalidades es posible que diversas patrias reclaman a Cantor como hijo. Cantor se inclinó hacia Alemania, pero no puede decirse que Alemania le favoreciera muy cordialmente. Descendiente de judíos por ambas ramas, Georg Cantor fue hijo mayor del próspero comerciante Georg Waldemar Cantor y de su mujer María Bohm.   El padre había nacido en Copenhague, Dinamarca, pero emigró siendo joven a San Petersburgo, Rusia, donde nació el matemático Georg Cantor el 3 de marzo de 1845. Una enfermedad pulmonar fue causa de que el padre se trasladara en 1856 a Francfort, Alemania, donde vivió en el cómodo retiro hasta su muerte en 1863. Debido a esta curiosa mezcla de nacionalidades es posible que diversas patrias reclaman a Cantor como hijo. Cantor se inclinó hacia Alemania, pero no puede decirse que Alemania le favoreciera muy cordialmente. (1845 - 1918)
  6. 6. Inicio El año 1874, apareció el primer trabajo revolucionario de Cantor sobre la teoría de conjuntos. El estudio de los infinitos por parte de Cantor fue considerado por Kronecker con una locura matemática. Creyendo que la matemática sería llevada al manicomio bajo la dirección de Cantor, Kronecker lo atacó vigorosamente con toda las armas que tuvo en su mano, con el trágico resultado de que no fue la teoría de conjuntos la que cayó en el manicomio, sino el propio Cantor. Cantor murió en Halle (ciudad del centro de Alemania), el 6 de enero de 1918, teniendo 73 años de edad. Ya le habían sido concedidos múltiples honores y su obra había logrado ser reconocida. El año 1874, apareció el primer trabajo revolucionario de Cantor sobre la teoría de conjuntos. El estudio de los infinitos por parte de Cantor fue considerado por Kronecker con una locura matemática. Creyendo que la matemática sería llevada al manicomio bajo la dirección de Cantor, Kronecker lo atacó vigorosamente con toda las armas que tuvo en su mano, con el trágico resultado de que no fue la teoría de conjuntos la que cayó en el manicomio, sino el propio Cantor. Cantor murió en Halle (ciudad del centro de Alemania), el 6 de enero de 1918, teniendo 73 años de edad. Ya le habían sido concedidos múltiples honores y su obra había logrado ser reconocida.
  7. 7. Inicio Ejemplo: El término conjunto constituye al igual que el punto, la recta y el plano en la geometría plana, uno de los términos no definidos exactamente en las matemáticas, sin embargo podemos aceptar, que conjunto es la reunión, colección o agrupación de entes materiales e inmateriales, los integrantes que forman parte de un conjunto reciben el nombre de elementos del conjunto. CONJUNTO DE PERSONAS
  8. 8. Inicio  Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se le denota mediante letras mayúsculas A, B, C, ...,sus elementos se separan mediante punto y coma.  Ejemplo:  El conjunto de las números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ………….. se puede escribir así: L={ 1; 2; 3; 4; 5;6;……..}
  9. 9. Inicio Los diagramas de Venn que se deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para representar conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas que pueden ser círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada.
  10. 10. Inicio Es aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto. Ejemplo: D = { x / x día de la semana } Hay dos formas de determinar un conjunto:
  11. 11. Inicio Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplo: D={ lunes, martes, miércoles, jueves , viernes , sábado, domingo}
  12. 12. Inicio Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo: ∈ Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el símbolo:∉ Ejemplo: Sea M = { a; b; c; d; e; f,…………., z } a ∈ M se lee : a pertenece al conjunto M 5 ∉ M se lee : 5 no pertenece al conjunto M M e
  13. 13. Inicio Es el conjunto que tiene un solo elemento Ejemplo: Alan García Pérez es el presidente del Perú
  14. 14. Inicio El conjunto vacío es un conjunto que no tiene elementos. A este conjunto lo denotamos por ∅ o por { } Ejemplo: Un extraterrestre que nació en el Perú No confundir con { ∅ }. Este sería un conjunto que tiene un elemento.
  15. 15. Inicio Es el conjunto con limitado número de elementos. Ejemplo: E = { x / x es un número impar positivo menor que 10 } E = {1,3,5,7,9 }
  16. 16. Inicio Es el conjunto con ilimitado número de elementos. Ejemplo: S = { x / x es un número natural } NUMEROS NATURALES
  17. 17. Inicio Es un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular. Generalmente se le representa por la letra U. El conjunto Universal es el complemento del ∅ ∅ ’ = U
  18. 18. Inicio  Decimos que A es subconjunto de B , si dado cualquier elemento del conjunto A, entonces éste está en B.  Un conjunto A esta incluido en otro conjunto B ,sí y sólo sí, todo elemento de A es también elemento de B  Esto lo escribimos como:  A ⊂ B ≡ ∀x : x ∈ A → x ∈  B BA
  19. 19. Inicio Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si: A ⊂ B y B ⊂ A Es decir : A = B ≡ ∀ x : (x ∈ A → x ∈ B y x ∈ B → x ∈ A) Ejemplo: Sean: A= { a, b } ; B= { a, b ,c ,d ,e } ; C = { {a , b },{c} }. Diga si las siguientes aseveraciones son Verdaderas o Falsas.  { c} ⊂ B o { c} ⊂ A (V)  { c} ⊂ B y { c} ⊂ A (F)   c ∈ A (F)  { c, d, a } ⊄ B (F)  { c} ∈ C (V)  {a,b,c} ∈ B (F)  {{a,b }} ⊂ C (V)
  20. 20. Inicio El conjunto potencia de un conjunto A denotado por P(A) o Pot(A) es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Ejemplo: Sea A = { m;n;p } Los subconjuntos de A son: {m};{n};{p};{m;n};{m;p};{n;p};{m:n;p};Φ Entonces el conjunto potencia de A es: P(A) = { {m};{n};{p};{m;n};{m;p};{n;p};{m:n;p};Φ }
  21. 21. Inicio Los conjuntos no vacíos A y B, se dice que son equivalentes o coordinables. Si existe una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre todos sus elementos, es decir que pueden formarse parejas de tal manera que cada pareja esta formada por un elemento de cada conjunto empleado todo los elementos de ambos conjuntos una sola vez. Si A y B son equivalentes => se denota por A º B.
  22. 22. Inicio Definimos la unión de dos conjuntos A y B a otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a cualquiera de los dos conjuntos.  A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B }
  23. 23. Inicio Ejemplo: A = { a,b,c } B = { d, e } A ∪ B = { a,b,c,d,e } a b c d e A ∪ B
  24. 24. Inicio Definimos la intersección de dos conjuntos A y B a otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos.  A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B }
  25. 25. Inicio  Ejemplo:  A = { a,b,c, d, e }  B = { d, e , f }  A ∩ B = {d, e } A B d e a b c f A ∩ B
  26. 26. Inicio Definimos la diferencia de dos conjuntos A y B a otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B  A -B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B }
  27. 27. Inicio  Ejemplo:  A = { a,b,c, d, e }  B = { d, e , f }  A - B = {a,b,c } d e f a b c A - B
  28. 28. Inicio  El conjunto “A diferencia simétrica B ” que se representa A B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a (A-B) o(B-A).  Se simboliza:  A B = { x/x ε (A-B) x ε (B- A)}
  29. 29. Inicio Ejemplo: Sea:  A= {1,2,3,4,5,6,7}  B={5,6,7,8,9} A B = {1,2,3,4} U {8,9} A B = {1;2;3;4;8;9} 1 2 3 5 6 7 4 8 9
  30. 30. Inicio Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa:  A' = { x/x ε U y x ε A }
  31. 31. Inicio Ejemplo: Sean U = { m, a, r, t, e }   y    A = { t, e }   Su complemento de A es:        A' = { m, a, r }                  
  32. 32. Inicio Sean U = { letras de la palabra aritmética}   y   B = { vocales de la palabra vida }   Determinado por extensión tenemos           U = { a, r, i, t, m, e, c }       B = { i, a }   Halla el complemento de B El complemento de B es: B' = { r, t, m, e, c }
  33. 33. Inicio
  34. 34. Inicio  A U B = {1;2;3;4;5;6;7;8;9} A B 1 7 5 3 9 2 4 8 6
  35. 35. Inicio  Dados los conjuntos  A = { 1,2,3, 4, 5,6 }  B = { 5, 6 , 7 }  Hallar:  A ∩ B
  36. 36. Inicio  A ∩ B = {5, 6 } A B A ∩ B6 5 1 2 3 4 7
  37. 37. Inicio Imagen de Georg Cantor http://www.facebook.com/people/Georg-Cantor/619166648 http://arieder.files.wordpress.com/2009/10/cantor_maxima_demo_big.png Imagen Infinito http://lh3.ggpht.com/hypercreacion/R_rSU9GlqUI/AAAAAAAAAMo/N33K_14Qpo8/s800/escher_infinito.jpg Imagen Matemáticas http://4.bp.blogspot.com/_EuVEw9tXB-4/TBmut0192sI/AAAAAAAANiQ/AQs4Fe3r5Ug/s400/matematicas.jpg http://2.bp.blogspot.com/_s5C3hEVYndg/TATXd-xoyDI/AAAAAAAAABs/ZQnbY0SoQCc/s1600/2mathgr.gif Imagen Números Impares http://1.bp.blogspot.com/_e6ns2w7oOIs/SrJy3w7dDnI/AAAAAAAACPI/0c7rJsLI6qs/s400/Suma+N%C3%BAmeros+Impares.JPG Imagen Alan Garcia Pérez http://www.landcoalition.org/cpl-blog/wp-content/uploads/alan-garcia.jpg Imagen del extraterrestre http://www.omco.org/coleccion/ediciones/edicion230/images_edic229/ciencia_extraterrestres.jpg Contenidos conceptuales http://luzrivero.tripod.com/id26.html http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conjuntos/marco_conjuntos.htm http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/conjuntos.htm Imagen de conjuntos http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Conjuntos_01.svg/300px-Conjuntos_0 http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Alumnos/al-18/d-5.JPG http://2.bp.blogspot.com/_LEjH34qtcRM/SWcbmmXi05I/AAAAAAAAABg/Y6c_xP5gRvY/s320/teria http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Conjuntos_01.svg/300px-Conjuntos_0 Imágenes de días de la semana http://www.teachersparadise.com/c/images/prods/1T/T-38511 Imagen Diferencia Simétrica http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b8/Conjuntos_01e.svg/300px- Conjuntos_01e.svg.pngl Imagen unión de conjuntos http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Conjuntos_02.svg/300px- Conjuntos_02.svg.png Conjuntos http://colposfesz.galeon.com/est501/conjunto/teoconj.htm http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/conjuntos.html Conjunto vacio http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vac%C3%ADo http://enciclopedia.us.es/index.php/Conjunto_vac%C3%ADo Conjuntos iguales http://www.profesorenlinea.cl/quinto/matematica/ConjuntosIguales.htm http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/conjuntos.html

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