Capitulo1 grafos
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Capitulo1 grafos

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uso y aplicaciòn de los grafos

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  • 1. Grafos
  • 2. Objetivo:Comprenderá y resolveráproblemas de la teoría de grafos.
  • 3. IntroducciónHoy en día podemos ver muchas cosas quenos pueden parecer de lo mas cotidianas,carreteras, líneas telefónicas, líneas detelevisión por cable, el transporte colectivometro, circuitos eléctricos de nuestras casas,automóviles, y tantas cosas mas; lo que nopensamos frecuentemente es que estosforman parte de algo que en matemáticas sedenomina como grafos.
  • 4. Desde un punto de vista práctico, los grafos permitenestudiar las interrelaciones entre unidades queinteractúan unas con otras.Prácticamente cualquier problema puederepresentarse mediante un grafo, y su estudiotrasciende a las diversas áreas de las ciencias exactasy las ciencias sociales.Los árboles forman una de las subclases de gráficasque más se utilizan. En particular, la ciencia de lacomputación hace uso de los árboles ampliamente.En computación, los árboles son útiles para organizar yrelacionar datos en una base de datos.
  • 5. Concepto Es un conjunto de nodos unidos por un conjunto de líneas o flechas.N = nodo S = aristaPor lo general, los nodos son entes de procesamiento oestructuras que contienen algún tipo de información ylas líneas o flechas son conexiones o relaciones entreestos entes.
  • 6. La forma de representar los grafos es: G(N,S) y los segmentos serán: S = {u, v}Ejemplo:Representa un grafo plano con 5 nodos llamados a, b, c, d y e; y 6segmentos unidos de la siguiente forma: s1={a,b}, s2={c,d}, s3={b,e},s4={e,c}, s5={e,d}, s6={a,c} a s1 s3 b e s6 s4 s5 c d s2
  • 7. Camino: Es un recorrido que tiene aristas diferentes, o sea, que no use lamisma arista mas de una vez.Valencia:También llamadogrado de un vértice v, esel número de ladosincidentes en v. Pordefinición, si v tiene unlazo, entonces estecontribuye en 2 a lavalencia del v. El gradomáximo de un grafo G esdenotado por Δ(G) y elgrado mínimo de un grafoG es denotado por δ(G).Sendero: es un camino en el cual todos los segmentos son diferentesTrayectoria: es un camino en el cual todos los nodos son diferentes
  • 8. Lazo: bucle es una arista que Ramas paralelas: Las ramasrelaciona al mismo nodo; es paralelas o segmentosdecir, es aquél que va dirigido múltiples: son aristas quea sí mismo. conectan las mismas terminales. Es decir, que del mismo vértice parten 2 o más aristas a otro.
  • 9. Tipos de Grafos Grafo no dirigidoSon aquellos en los cuales los lados no están orientados (No sonflechas). Cada lado se representa entre paréntesis, separando susvértices por comas, y teniendo en cuenta (Vi,Vj)=(Vj,Vi). Grafo dirigido A un grafo dirigido se le puede definir como un grafo que contiene aristas dirigidas, como en el siguiente caso.
  • 10. Grafo regularEs un grafo donde cada vértice tiene el mismo grado ovalencia. Un grafo regular con vértices de grado k es llamadografo k-regular o grafo regular de grado k.Los Grafos regulares de grado hasta 2 son fáciles de clasificar:Un grafo 0-regular consiste en un grafo con vérticesdesconectados, un grafo 1-regular consiste en un grafo conaristas desconectadas, y un grafo 2-regular consiste en un ciclo.
  • 11. Grafo bipartitoEs aquel con cuyos vérticespueden formarse dos conjuntosdisjuntos de modo que no haya Grafo completoadyacencias entre vérticespertenecientes al mismo Aquel con una arista entreconjunto. cada par de vértices.
  • 12. Grafos Isomorfos Grafos PlatónicosDos grafos son isomorfos Son los Grafos formados por loscuando existe una vértices y aristas de los cincocorrespondencia biunívoca sólidos regulares (Sólidos(uno a uno), entre sus vértices Platónicos), a saber, elde tal forma que dos de estos tetraedro, el cubo, elquedan unidos por una arista octaedro, el dodecaedro y elen común. icosaedro.
  • 13. Grafos conexos Grafos eulerianosUn grafo se puede definir Un camino euleriano contienecomo conexo si cualquier todos los arcos del grafo.vértice V pertenece alconjunto de vértices y esalcanzable por algún otro.Otra definición que dejaríaesto más claro sería: “un grafoconexo es un grafo no dirigidode modo que para cualquierpar de nodos existe al menosun camino que los une”. Grafos hamilyaneano Un camino hamiltoneano contiene todos los nodos del grafo.
  • 14. Grafos rotuladoUn grafo rotulados es aquel en el a sus segmentos se les asigna undato, es decir un número no negativo l(s), llamado peso olongitud de s a 1 3 b e 2 4 1 c a 1 2 b d 3 e 2 4 1 c 2 d
  • 15. Grafos árbolUn nodo es la unidad sobre la que se construye el árbol y puedetener cero o más nodos hijos conectados a él. Se dice que unnodo a es padre de un nodo b si existe un enlace desde a hasta b(en ese caso, también decimos que b es hijo de a). Sólo puedehaber un único nodo sin padres, que llamaremos raíz. Un nodoque no tiene hijos se conoce como hoja. Los demás nodos (tienenpadre y uno o varios hijos) se les conoce como rama.
  • 16. Relación en Di-grafos o Grafos dirigidosUna relación R de un grafo es el subconjunto de elementos quepertenezcan al grafo,es decir los elementos del conjunto A están relacionados con A.La forma de representar una relación de un di-grafo y en lasiguiente:Matriz de Relación: se representa MR = [mij}, mij = 1 Si (ai, aj) R 0 Si (ai, aj) REjemplo: Sea A = { 1, 2, 3, 4}, y R ={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,4), (4,1)}Genera la matriz de relación y el grafo dirigido
  • 17. Serie de ejercicios:1.- del libro Matemáticas discretas , Kolma hacer: Página 116, del 19 al 222.- del libro Matemáticas discretas , Johnsonbaugh Página 116, del 1 al 3 y el 7
  • 18. Matriz de adyacenciaEs una matriz cuadrada en la cual los nodos del grafo se indicancomo renglones y como columnas. El orden de los nodos es el mismoque guardan los renglones y las columnas de la matriz. Se coloca 1como elemento de la matriz cuando existe una relación entre uno yotro vértice, o bien un 0 cuando no exista relación alguna. En unamatriz de adyacencia no es posible representar lados paralelos.
  • 19. Ejemplos
  • 20. Matriz de incidenciaEn esta matriz se colocan los nodos del grafo como renglones ylas aristas como columnas. En esta matriz si es posible representarlados paralelos. Al sumar los elementos de cada una de losrenglones se obtiene la valencia de los nodos, al sumar lascolumnas es posible distinguir cuando se trata de un lazo ya quesu suma es 1.
  • 21. Serie de ejercicios:1.- del libro Matemáticas discretas , Johnsonbaugh Página 348, del 1, 3, 5 y el 7, 9, 14, 22 gpo A Página 355 1, 4, 9 Página 348 el 2, 4, 6 y el 8, 13, 16, 26 gpo B Página 355 el 3, 8, 10
  • 22. AplicacionesGracias a la teoría de grafos se pueden resolverdiversos problemas como por ejemplo la síntesis decircuitos secuenciales, contadores o sistemas deapertura.Los grafos se utilizan también para modelar trayectoscomo el de una línea de autobús a través de las callesde una ciudad, en el que podemos obtener caminosóptimos para el trayecto aplicando diversos algoritmoscomo puede ser el algoritmo de Floyd.