• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
100 cau hoi phu kshs
 

100 cau hoi phu kshs

on

  • 21,323 views

 

Statistics

Views

Total Views
21,323
Views on SlideShare
21,323
Embed Views
0

Actions

Likes
11
Downloads
503
Comments
8

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel

18 of 8 previous next Post a comment

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
  • dow anh? thj` den bao h
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
  • k dow dc
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
  • ko pai down đâu...bạn chỉ cần kéo nó thả ra ngoài desktop là dk ak
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
  • bấm save file rồi vào email để download :) dành cho các bạn muốn down :D
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
  • download kieu gi :((
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    100 cau hoi phu kshs 100 cau hoi phu kshs Document Transcript

    • www.VNMATH.com TRAÀN SÓ TUØNG ---- ›š & ›š ----TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Naêm 2011
    • www.VNMATH.comTrần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1Câu 1. Cho hàm số y = (m - 1) x 3 + mx 2 + (3m - 2) x (1) 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 2 . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. · Tập xác định: D = R. y ¢= (m - 1) x 2 + 2mx + 3m - 2 . (1) đồng biến trên R Û y ¢³ 0, "x Û m ³ 2 mx + 4Câu 2. Cho hàm số y = (1) x+m 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -1 . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (-¥;1) . m2 - 4 · Tập xác định: D = R {–m}. y ¢= . ( x + m )2 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Û y ¢< 0 Û -2 < m < 2 (1) Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (-¥;1) thì ta phải có -m ³ 1 Û m £ -1 (2) Kết hợp (1) và (2) ta được: -2 < m £ -1 .Câu 3. Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 - mx - 4 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0 . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (-¥; 0) . · m £ -3Câu 4. Cho hàm số y = 2 x 3 - 3(2 m + 1) x 2 + 6 m ( m + 1) x + 1 có đồ thị (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; +¥) · y = 6 x 2 - 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) có D = (2 m + 1)2 - 4(m 2 + m ) = 1 > 0 éx = m y = 0 Û ê . Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; m ), (m + 1; +¥) ëx = m +1 Do đó: hàm số đồng biến trên (2; +¥) Û m + 1 £ 2 Û m £ 1Câu 5. Cho hàm số y = x 4 - 2 mx 2 - 3m + 1 (1), (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2). · Ta có y = 4 x 3 - 4mx = 4 x( x 2 - m) + m £ 0 , y ¢³ 0, "x Þ m £ 0 thoả mãn. + m > 0 , y ¢= 0 có 3 nghiệm phân biệt: - m , 0, m. Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi m £ 1 Û 0 < m £ 1. Vậy m Î ( -¥;1] .Câu 6. Cho hàm số y = x 3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để hàm đồng biến trên ( 0; +¥ ) . Trang 1
    • www.VNMATH.com100 Khảo sát hàm số · Hàm đồng biến trên (0; +¥) Û y ¢= 3 x 2 + 2(1 - 2m ) x + (2 - m ) ³ 0 với "x Î (0; +¥) 3x 2 + 2 x + 2 Û f ( x) = ³ m với "x Î (0; +¥) 4x +1 2(6 x 2 + x - 3) -1 ± 73 Ta có: f ¢( x ) = = 0 Û 6x2 + x - 3 = 0 Û x = (4 x + 1) 2 12 Lập bảng biến thiên của hàm f ( x ) trên (0; +¥) , từ đó ta đi đến kết luận: æ -1 + 73 ö 3 + 73 fç ÷³mÛ ³m ç 12 ÷ 8 è ø KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐCâu 7. Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + m – 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. · PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành: é x = -1 x 3 + 3 x 2 + mx + m – 2 = 0 (1) Û ê 2 ë g( x ) = x + 2 x + m - 2 = 0 (2) (Cm) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục 0x Û PT (1) có 3 nghiệm phân biệt ì ¢ Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 Û íD = 3 - m > 0 Û m<3 îg(-1) = m - 3 ¹ 0Câu 8. Cho hàm số y = - x 3 + (2 m + 1) x 2 - (m 2 - 3m + 2) x - 4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. · y ¢= -3 x 2 + 2(2 m + 1) x - (m 2 - 3m + 2) . (Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung Û PT y¢ = 0 có 2 nghiệm trái dấu Û 3(m 2 - 3m + 2) < 0 Û 1 < m < 2 . 1Câu 9. Cho hàm số y = x 3 - mx 2 + (2m - 1) x - 3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung. · TXĐ: D = R ; y ¢= x 2 – 2mx + 2 m – 1 . Đồ thị (Cm) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung Û y ¢= 0 có 2 nghiệm phân ì ¢ = m 2 - 2m + 1 > 0 ìm ¹ 1 ïD ï biệt cùng dấu Û í Ûí 1 ï2m - 1 > 0 î ïm > 2 îCâu 10. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 - mx + 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y = x - 1 . Trang 2
    • www.VNMATH.comTr n Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số · Ta có: y = 3 x 2 - 6 x - m . Hàm số có CĐ, CT Û y = 3 x 2 - 6 x - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 Û D = 9 + 3m > 0 Û m > -3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) æ1 1ö æ 2m ö æ mö Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: y = ç x - ÷ y - ç + 2÷ x + ç 2 - ÷ è3 3ø è 3 ø è 3ø æ 2m ö æ mö æ 2m ö æ mö Þ y1 = y ( x1 ) = - ç + 2 ÷ x1 + ç 2 - ÷ ; y2 = y ( x2 ) = - ç + 2 ÷ x2 + ç 2 - ÷ è 3 ø è 3ø è 3 ø è 3ø æ 2m ö æ mö Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: y = - ç + 2÷ x + ç 2 - ÷ è 3 ø è 3ø Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y = x - 1 Û xảy ra 1 trong 2 trường hợp: TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y = x - 1 æ 2m ö 3 Û -ç + 2 ÷ = 1 Û m = - (thỏa mãn) è 3 ø 2 TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y = x - 1 y + y2 x1 + x2 æ 2m ö æ mö Û yI = xI - 1 Û 1 = -1 Û - ç + 2 ÷ ( x1 + x2 ) + 2 ç 2 - ÷ = ( x1 + x2 ) - 2 2 2 è 3 ø è 3ø æ 2m ö 2m Ûç + 3 ÷ .2 = 6 - Ûm=0 è 3 ø 3 ì 3ü Vậy các giá trị cần tìm của m là: m = í0; - ý î 2þCâu 11. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 4m 3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. éx = 0 · Ta có: y¢ = 3 x 2 - 6 mx ; y¢ = 0 Û ê . Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ¹ 0. ë x = 2m uur Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Þ AB = (2m; -4 m3 ) Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3) ì AB ^ d ì ï2 m - 4 m 3 = 0 2 A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x Û í Û í 3 Û m=± îI Î d ï2 m = m î 2Câu 12. Cho hàm số y = - x 3 + 3mx 2 - 3m - 1 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y - 74 = 0 . · y ¢ = -3 x 2 + 6 mx ; y ¢= 0 Û x = 0 Ú x = 2 m . Hàm số có CĐ, CT Û PT y ¢= 0 có 2 nghiệm phân biệt Û m ¹ 0 . uuu r Khi đó 2 điểm cực trị là: A(0; -3m - 1), B(2 m; 4 m3 - 3m - 1) Þ AB(2m; 4m 3 ) Trung điểm I của AB có toạ độ: I (m; 2 m3 - 3m - 1) r Đường thẳng d: x + 8y - 74 = 0 có một VTCP u = (8; -1) . Trang 3
    • 100 Khảo sát hàm số ìI Î d ìm + 8(2m3 - 3m - 1) - 74 = 0 ï A và B đối xứng với nhau qua d Û í Û íuuu r r Û m=2 î AB ^ d ï î AB.u = 0Câu 13. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + mx (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x – 2 y – 5 = 0 . · Ta có y = x 3 - 3 x 2 + mx Þ y = 3 x 2 - 6 x + m Hàm số có cực đại, cực tiểu Û y ¢= 0 có hai nghiệm phân biệt Û D¢ = 9 - 3m > 0 Û m < 3 æ1 1ö æ2 ö 1 Ta có: y = ç x - ÷ y ¢+ ç m - 2 ÷ x + m è3 3ø è3 ø 3 Tại các điểm cực trị thì y ¢= 0 , do đó tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trình: æ2 ö 1 y = ç m - 2÷ x + m è3 ø 3 æ2 ö 1 Như vậy đường thẳng D đi qua các điểm cực trị có phương trình y = ç m - 2 ÷ x + m è3 ø 3 2 nên D có hệ số góc k1 = m - 2 . 3 1 5 1 d: x – 2 y – 5 = 0 Û y = x - Þ d có hệ số góc k2 = 2 2 2 Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d ^ D 1æ2 ö Þ k1k2 = -1 Û ç m - 2 ÷ = -1 Û m = 0 2è3 ø Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2). Ta thấy I Î d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d. Vậy: m = 0Câu 14. Cho hàm số y = x 3 - 3(m + 1) x 2 + 9 x + m - 2 (1) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với 1 nhau qua đường thẳng d: y = x . 2 · y = 3 x 2 - 6(m + 1) x + 9 Hàm số có CĐ, CT Û D = 9(m + 1)2 - 3.9 > 0 Û m Î (-¥; -1 - 3) È (-1 + 3; +¥) æ1 m +1 ö ¢ 2 Ta có y = ç x - ÷ y - 2(m + 2m - 2) x + 4m + 1 è 3 3 ø Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) , I là trung điểm của AB. Þ y1 = -2(m 2 + 2m - 2) x1 + 4 m + 1 ; y2 = -2(m 2 + 2 m - 2) x2 + 4 m + 1 ì x + x = 2(m + 1) và: í 1 2 î x1. x2 = 3 Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y = -2(m 2 + 2 m - 2) x + 4 m + 1 Trang 4
    • 100 Khảo sát hàm số 1 ì AB ^ d A, B đối xứng qua (d): y = x Ûí Û m = 1. 2 îI Î dCâu 15. Cho hàm số y = x 3 - 3(m + 1) x 2 + 9 x - m , với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1 . 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x 2 sao cho x1 - x 2 £ 2 . · Ta có y = 3x 2 - 6(m + 1) x + 9. + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 , x 2 Û PT y = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 Û PT x 2 - 2(m + 1) x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1 , x 2 . ém > -1 + 3 Û D = (m + 1) 2 - 3 > 0 Û ê (1) ê ë m < -1 - 3 + Theo định lý Viet ta có x1 + x 2 = 2(m + 1); x1 x 2 = 3. Khi đó: x1 - x 2 £ 2 Û ( x1 + x 2 )2 - 4 x1 x 2 £ 4 Û 4(m + 1)2 - 12 £ 4 Û (m + 1)2 £ 4 Û -3 £ m £ 1 (2) + Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là - 3 £ m < -1 - 3 và - 1 + 3 < m £ 1.Câu 16. Cho hàm số y = x 3 + (1 - 2 m) x 2 + (2 - m ) x + m + 2 , với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1 . 1 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1 - x2 > . 3 · Ta có: y = 3 x 2 + 2(1 - 2 m) x + (2 - m) Hàm số có CĐ, CT Û y = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 (giả sử x1 < x2 ) é 5 Û D = (1 - 2 m )2 - 3(2 - m ) = 4 m 2 - m - 5 > 0 Û ê m > 4 (*) ê ë m < -1 ì 2(1 - 2 m) ï x1 + x2 = - 3 Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1 , x2 . Khi đó ta có: í ïx x = 2-m î 1 2 3 1 2 2 1 x1 - x2 > Û ( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - 4 x1x2 > 3 9 3 + 29 3 - 29 Û 4(1 - 2m )2 - 4(2 - m) > 1 Û 16m 2 - 12 m - 5 > 0 Û m > Úm< 8 8 3 + 29 Kết hợp (*), ta suy ra m > Ú m < -1 8 1 3 1Câu 17. Cho hàm số y = x - (m - 1) x 2 + 3(m - 2) x + , với m là tham số thực. 3 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 2 . 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1 + 2 x2 = 1 . · Ta có: y ¢= x 2 - 2(m - 1) x + 3(m - 2) Trang 5
    • 100 Khảo sát hàm số Hàm số có cực đại và cực tiểu Û y ¢= 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Û D¢ > 0 Û m 2 - 5m + 7 > 0 (luôn đúng với "m) ì x + x = 2(m - 1) ì x = 3 - 2m ï Khi đó ta có: í 1 2 Ûí 2 î x1 x2 = 3(m - 2) ï x2 (1 - 2 x2 ) = 3(m - 2) î -4 ± 34 Û 8m 2 + 16 m - 9 = 0 Û m = . 4Câu 18. Cho hàm số y = 4 x 3 + mx 2 – 3 x . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1 = -4 x2 . · y ¢= 12 x 2 + 2mx – 3 . Ta có: D¢ = m2 + 36 > 0, "m Þ hàm số luôn có 2 cực trị x1 , x2 . ì ï x1 = -4 x2 ï ï m 9 Khi đó: í x1 + x2 = - Þm=± ï 6 2 ï 1 ï x1 x2 = - 4 î Câu hỏi tương tự: a) y = x 3 + 3 x 2 + mx + 1 ; x1 + 2x2 = 3 ĐS: m = -105 .Câu 19. Cho hàm số y = (m + 2) x 3 + 3 x 2 + mx - 5 , m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương. · Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương Û PT y = 3(m + 2) x 2 + 6 x + m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt ìa = (m + 2) ¹ 0 ïD = 9 - 3m(m + 2) > 0 ï ìD = -m 2 - 2 m + 3 > 0 ì -3 < m < 1 ï m ï ï Û íP = >0 Û ím < 0 Û ím < 0 Û -3 < m < -2 ï 3(m + 2) ïm + 2 < 0 ïm < -2 î î ï S = -3 > 0 ï î m+2Câu 20. Cho hàm số y = x 3 – 3 x 2 + 2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y = 3 x - 2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất. · Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2). Xét biểu thức g( x, y ) = 3 x - y - 2 ta có: g( x A , y A ) = 3 x A - yA - 2 = -4 < 0; g( xB , yB ) = 3 x B - yB - 2 = 6 > 0 Þ 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: y = 3 x - 2 . Do đó MA + MB nhỏ nhất Û 3 điểm A, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của d và AB. Phương trình đường thẳng AB: y = -2 x + 2 Trang 6
    • 100 Khảo sát hàm số ì 4 ì y = 3x - 2 ïx = 5 ï æ4 2ö Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: í Ûí Þ Mç ; ÷ î y = -2 x + 2 ïy = 2 è5 5ø ï î 5Câu 21. Cho hàm số y = x 3 + (1 – 2 m) x 2 + (2 – m ) x + m + 2 (m là tham số) (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. · y ¢= 3 x 2 + 2(1 - 2 m) x + 2 - m = g( x ) YCBT Û phương trình y ¢= 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x1 < x2 < 1 . ìD¢ = 4m 2 - m - 5 > 0 ï 5 7 Û ïg(1) = -5m + 7 > 0 Û < m < . í 4 5 ï S = 2m - 1 < 1 ï2 î 3Câu 22. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - m3 + m (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O. · Ta có y ¢ = 3 x 2 - 6mx + 3(m 2 - 1) Hàm số (1) có cực trị thì PT y ¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Û x 2 - 2mx + m 2 - 1 = 0 có 2 nhiệm phân biệt Û D = 1 > 0, "m Khi đó: điểm cực đại A(m - 1; 2 - 2m ) và điểm cực tiểu B(m + 1; -2 - 2m ) é m = -3 + 2 2 Ta có OA = 2OB Û m 2 + 6m + 1 = 0 Û ê . ê m = -3 - 2 2 ëCâu 23. Cho hàm số y = - x 3 + 3mx 2 + 3(1 - m 2 ) x + m 3 - m 2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 . 2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). · y ¢ = -3 x 2 + 6 mx + 3(1 - m 2 ) . PT y ¢= 0 có D = 1 > 0, "m Þ Đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực trị ( x1; y1 ), ( x2 ; y2 ) . æ1 mö Chia y cho y¢ ta được: y = ç x - ÷ y ¢+ 2 x - m2 + m è3 3ø Khi đó: y1 = 2 x1 - m2 + m ; y2 = 2 x2 - m 2 + m PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là y = 2 x - m 2 + m .Câu 24. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 - mx + 2 có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: y = -4 x + 3 . Trang 7
    • 100 Khảo sát hàm số · Ta có: y = 3 x 2 - 6 x - m . Hàm số có CĐ, CT Û y = 3 x 2 - 6 x - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 Û D = 9 + 3m > 0 Û m > -3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) æ1 1ö æ 2m ö æ mö Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: y = ç x - ÷ y - ç + 2÷ x + ç 2 - ÷ è3 3ø è 3 ø è 3ø æ 2m ö æ mö æ 2m ö æ mö Þ y1 = y ( x1 ) = - ç + 2 ÷ x1 + ç 2 - ÷ ; y2 = y ( x2 ) = - ç + 2 ÷ x2 + ç 2 - ÷ è 3 ø è 3ø è 3 ø è 3ø æ 2m ö æ mö Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là d: y = - ç + 2÷ x + ç 2 - ÷ è 3 ø è 3ø Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với d: y = -4 x + 3 ì æ 2m ö ï - ç 3 + 2 ÷ = -4 ï è ø Ûí Û m = 3 (thỏa mãn) ïæ 2 - m ö ¹ 3 ïç îè 3÷øCâu 25. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 - mx + 2 có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x + 4 y – 5 = 0 một góc 450 . · Ta có: y = 3 x 2 - 6 x - m . Hàm số có CĐ, CT Û y = 3 x 2 - 6 x - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 Û D = 9 + 3m > 0 Û m > -3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) æ1 1ö æ 2m ö æ mö Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: y = ç x - ÷ y - ç + 2÷ x + ç 2 - ÷ è3 3ø è 3 ø è 3ø æ 2m ö æ mö æ 2m ö æ mö Þ y1 = y ( x1 ) = - ç + 2 ÷ x1 + ç 2 - ÷ ; y2 = y ( x2 ) = - ç + 2 ÷ x2 + ç 2 - ÷ è 3 ø è 3ø è 3 ø è 3ø æ 2m ö æ mö Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: y = - ç + 2÷ x + ç 2 - ÷ è 3 ø è 3ø æ 2m ö 1 Đặt k = - ç + 2 ÷ . Đường thẳng d: x + 4 y – 5 = 0 có hệ số góc bằng - . è 3 ø 4 1 é 1 1 é 3 é 39 k+ ê k + = 1- k ê k= ê m=- 4 Ûê 4 4 5 10 Ta có: tan 45o = Ûê Ûê 1 1 ê k + = -1 + k 1 êk = - 5 êm = - 1 1- k 4 ê ë 4 4 ê ë 3 ê ë 2 1 Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là: m = - 2Câu 26. Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + m (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -4 . · 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho AOB = 120 0 . Trang 8
    • 100 Khảo sát hàm số é x = -2 Þ y = m + 4 · Ta có: y ¢= 3 x 2 + 6 x ; y ¢= 0 Û ê ëx = 0 Þ y = m Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(-2 ; m + 4) uur uur · 1 OA = (0; m), OB = (-2; m + 4) . Để AOB = 120 0 thì cos AOB = - 2 m(m + 4) 1 ì-4 < m < 0 Û = - Û m 2 ( 4 + (m + 4)2 ) = -2m(m + 4) Û í 2 m 2 ( 4 + (m + 4)2 ) 2 î3m + 24m + 44 = 0 ì-4 < m < 0 ï -12 + 2 3 Ûí -12 ± 2 3 Û m = ïm = 3 î 3Câu 27. Cho hàm số y = x 3 – 3mx 2 + 3(m2 – 1) x – m 3 (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -2 . 2) Chứng minh rằng (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi đường thẳng cố định. éx = m +1 · y ¢= 3 x 2 - 6 mx + 3(m 2 - 1) ; y ¢= 0 Û ê ë x = m -1 ì x = -1 + t Điểm cực đại M (m –1;2 – 3m) chạy trên đường thẳng cố định: í î y = 2 - 3t ìx = 1+ t Điểm cực tiểu N (m + 1; -2 – m) chạy trên đường thẳng cố định: í î y = -2 - 3t 1 4 3Câu 28. Cho hàm số y = x - mx 2 + (1) 2 2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3 . 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại. éx = 0 · y ¢= 2 x3 - 2mx = 2 x ( x 2 - m) . y ¢ = 0 Û ê 2 ëx = m Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại Û PT y ¢= 0 có 1 nghiệm Û m £ 0Câu 29. Cho hàm số y = f ( x) = x 4 + 2(m - 2) x 2 + m 2 - 5m + 5 (Cm ) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm ) của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân. éx = 0 · Ta có f ¢( x ) = 4 x 3 + 4(m - 2) x = 0 Û ê 2 ëx = 2 - m Hàm số có CĐ, CT Û PT f ¢( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt Û m < 2 (*) Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A ( 0; m 2 - 5m + 5 ) , B ( 2 - m ;1 - m ) , C ( - 2 - m ;1 - m ) uur uuu r Þ AB = ( 2 - m ; -m 2 + 4 m - 4 ) , AC = ( - 2 - m ; - m 2 + 4m - 4 ) Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi DABC vuông tại A Û AB.AC = 0 Û (m - 2 ) = -1 Û m = 1 (thoả (*)) 3 Trang 9
    • 100 Khảo sát hàm sốCâu 30. Cho hàm số y = x 4 + 2(m - 2) x 2 + m 2 - 5m + 5 (C m ) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều. éx = 0 · Ta có f ¢( x ) = 4 x 3 + 4(m - 2) x = 0 Û ê 2 ëx = 2 - m Hàm số có CĐ, CT Û PT f ¢( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt Û m < 2 (*) Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A ( 0; m 2 - 5m + 5 ) , B ( 2 - m ;1 - m ) , C ( - 2 - m ;1 - m ) uur uuu r Þ AB = ( 2 - m ; -m 2 + 4 m - 4 ) , AC = ( - 2 - m ; - m 2 + 4m - 4 ) 1 Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi µ = 60 0 Û cos A = A uuu uuu r r 2 AB. AC 1 Û uuu uuu = Û m = 2 - 3 3 . r r AB . AC 2 Câu hỏi tương tự đối với hàm số: y = x 4 - 4(m - 1) x 2 + 2 m - 1Câu 31. Cho hàm số y = x 4 + 2 mx 2 + m 2 + m có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –2. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng 1200 . éx = 0 · Ta có y¢ = 4 x 3 + 4 mx ; y¢ = 0 Û 4 x( x 2 + m) = 0 Û ê (m < 0) ê x = ± -m ë Khi đó các điểm cực trị là: A(0; m 2 + m ), B ( - m ; m ) , C ( - - m ; m ) uur uuu r µ AB = ( - m ; - m 2 ) ; AC = (- - m ; -m 2 ) . DABC cân tại A nên góc 120o chính là A . uur uuur µ o 1 AB. AC 1 - -m . -m + m4 1 A = 120 Û cos A = - Û uur uuu = - Û r =- 2 AB . AC 2 m -m4 2 ém = 0 (loaïi) m + m4 1 Û = - Þ 2 m + 2 m = m - m Û 3m + m = 0 Û ê 4 4 4 1 m4 - m 2 êm = - 3 ê ë 3 1 Vậy m = - . 3 3Câu 32. Cho hàm số y = x 4 - 2 mx 2 + m - 1 có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. éx = 0 · Ta có y ¢= 4 x 3 - 4mx = 4 x( x 2 - m ) = 0 Û ê 2 ëx = m Hàm số đã cho có ba điểm cực trị Û PT y ¢= 0 có ba nghiệm phân biệt và y ¢ đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó Û m > 0 . Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị (Cm) là: A(0; m - 1), B ( - m ; - m 2 + m - 1) , C ( m ; - m 2 + m - 1) Trang 10
    • 100 Khảo sát hàm số 1 SV ABC = y - y A . xC - x B = m 2 m ; AB = AC = m 4 + m , BC = 2 m 2 B ém = 1 AB. AC.BC (m 4 + m)2 m R= =1Û = 1 Û m - 2m + 1 = 0 Û ê 3 4SV ABC 4m m2 êm = 5 - 1 ë 2 Câu hỏi tương tự: -1 + 5 a) y = x 4 - 2mx 2 + 1 ĐS: m = 1, m = 2Câu 33. Cho hàm số y = x 4 - 2mx 2 + 2m + m 4 có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4. éx = 0 · Ta có y = 4 x 3 - 4mx = 0 Û ê ë g ( x) = x - m = 0 2 Hàm số có 3 cực trị Û y = 0 có 3 nghiệm phân biệt Û D g = m > 0 Û m > 0 (*) Với điều kiện (*), phương trình y ¢= 0 có 3 nghiệm x1 = - m ; x2 = 0; x3 = m . Hàm số đạt cực trị tại x1 ; x2 ; x3 . Gọi A(0; 2m + m 4 ); B ( m ; m 4 - m 2 + 2m ) ; C ( - m ; m 4 - m2 + 2m ) là 3 điểm cực trị của (Cm) . Ta có: AB 2 = AC 2 = m 4 + m; BC 2 = 4m Þ DABC cân đỉnh A Gọi M là trung điểm của BC Þ M (0; m 4 - m 2 + 2 m) Þ AM = m 2 = m 2 Vì D ABC cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó: 5 1 1 SD ABC = AM .BC = .m 2 . 4m = 4 Û m 2 = 4 Û m 5 = 16 Û m = 5 16 2 2 Vậy m = 5 16 . Câu hỏi tương tự: a) y = x 4 - 2m 2 x 2 + 1 , S = 32 ĐS: m = ±2 KSHS 03: SỰ TƯƠNG GIAO 3 2Câu 34. Cho hàm số y = x + 3x + mx + 1 (m là tham số) (1) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 2) Tìm m để đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau. · PT hoành độ giao điểm của (1) và d: x 3 + 3 x 2 + mx + 1 = 1 Û x ( x 2 + 3 x + m) = 0 9 d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C Û m < , m ¹ 0 4 Khi đó: xB , xC là các nghiệm của PT: x 2 + 3 x + m = 0 Þ x B + xC = -3; x B . xC = m 2 2 Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là k1 = 3 x B + 6 xB + m và tại C là k2 = 3 xC + 6 xC + m Tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau Û k1.k2 = -1 Û 4m 2 - 9m + 1 = 0 9 - 65 9 + 65 Û m= Ú m= 8 8 Trang 11
    • www.VNMATH.com100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ TùngCâu 35. Cho hàm số y = x 3 – 3 x + 1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 3 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau. · Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): x 3 – (m + 3) x – m – 2 = 0 é x = -1 ( y = 3) Û ( x + 1)( x 2 – x – m – 2) = 0 Û ê 2 ë g( x ) = x - x - m - 2 = 0 9 d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt M(–1; 3), N, P Û m > - , m ¹ 0 4 Khi đó: xN , xP là các nghiệm của PT: x 2 - x - m - 2 = 0 Þ x N + x P = 1; x N . x P = - m - 2 2 2 Hệ số góc của tiếp tuyến tại N là k1 = 3 x N - 3 và tại P là k2 = 3 x P - 3 Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau Û k1.k2 = -1 Û 9m 2 + 18m + 1 = 0 -3 + 2 2 -3 - 2 2 Û m= Ú m= 3 3Câu 36. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + 4 (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau. · PT đường thẳng (d): y = k ( x - 2) + PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x 3 - 3 x 2 + 4 = k ( x - 2) é x = 2 = xA Û ( x - 2)( x 2 - x - 2 - k ) = 0 Û ê 2 ë g( x ) = x - x - 2 - k = 0 + (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N Û PT g( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt, khác 2 ìD > 0 9 Û í Û- <k¹0 (*) î f (2) ¹ 0 4 ì x + xN = 1 + Theo định lí Viet ta có: í M î xM xN = - k - 2 + Các tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau Û y ¢( x ).y ¢( x ) = -1 M N -3 ± 2 2 Û (3 xM - 6 xM )(3 xN - 6 xN ) = -1 Û 9k 2 + 18k + 1 = 0 Û k = 2 2 (thoả (*)) 3Câu 37. Cho hàm số y = x 3 - 3 x (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d): y = m( x + 1) + 2 luôn cắt đồ thị (C) tại một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau. éx +1 = 0 · PT hoành độ giao điểm ( x + 1)( x 2 - x - 2 - m ) = 0 (1) Û ê 2 ëx - x - 2 - m = 0 (2) (1) luôn có 1 nghiệm x = -1 ( y = 2 ) Þ (d) luôn cắt (C) tại điểm M(–1; 2). Trang 12
    • Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số ì 9 ïm > - (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û (2) có 2 nghiệm phân biệt, khác –1 Û í 4 (*) ïm ¹ 0 î -3 ± 2 2 Tiếp tuyến tại N, P vuông góc Û y ( xN ). y ( xP ) = -1 Û m = (thoả (*)) 3Câu 38. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 3(m2 - 1) x - (m 2 - 1) ( m là tham số) (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương. · Để ĐTHS (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương, ta phải có: ì(1) coù 2 cöïc trò ï y .y < 0 ï CÑ CT í (*) ï xCÑ > 0, xCT > 0 îa.y(0) < 0 ï Trong đó: + y = x 3 - 3mx 2 + 3(m2 - 1) x - (m 2 - 1) Þ y¢ = 3 x 2 - 6 mx + 3(m 2 - 1) + Dy ¢ = m 2 - m 2 + 1 = 0 > 0, "m é x = m - 1 = xCÑ + y ¢= 0 Û ê ë x = m + 1 = xCT ìm - 1 > 0 ïm + 1 > 0 ï Suy ra: (*) Û í 2 Û 3 < m < 1+ 2 ï (m - 1)(m 2 - 3)(m 2 - 2m - 1) < 0 ï- 2 î (m - 1) < 0 1 3 2Câu 39. Cho hàm số y = x - mx 2 - x + m + có đồ thị (Cm ) . 3 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –1. 2) Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có tổng bình phương các hoành độ lớn hơn 15. 1 3 2 · YCBT Û 2 x - mx 2 - x + m + = 0 (*) có 3 nghiệm phân biệt thỏa x1 + x2 + x3 > 15 .2 2 3 3 éx = 1 Ta có: (*) Û ( x - 1)( x 2 + (1 - 3m ) x - 2 - 3m ) = 0 Û ê 2 ë g( x ) = x + (1 - 3m) x - 2 - 3m = 0 2 2 Do đó: YCBT Û g( x ) = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 phân biệt khác 1 và thỏa x1 + x2 > 14 . Û m >1 Câu hỏi tương tự đối với hàm số: y = x3 - 3mx 2 - 3x + 3m + 2Câu 40. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 - 9 x + m , trong đó m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 0 . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. · Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Û Phương trình x 3 - 3 x 2 - 9 x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Trang 13
    • 100 Khảo sát hàm số Û Phương trình x 3 - 3 x 2 - 9 x = - m có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Û Đường thẳng y = - m đi qua điểm uốn của đồ thị (C) Û -m = -11 Û m = 11.Câu 41. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 9 x - 7 có đồ thị (Cm), trong đó m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 0 . 2) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. · Hoành độ các giao điểm là nghiệm của phương trình: x 3 - 3mx 2 + 9 x - 7 = 0 (1) Gọi hoành độ các giao điểm lần lượt là x1; x2 ; x3 ta có: x1 + x2 + x3 = 3m Để x1; x2 ; x3 lập thành cấp số cộng thì x2 = m là nghiệm của phương trình (1) é êm = 1 ê -1 + 15 Þ -2m 3 + 9m - 7 = 0 Û ê m = ê 2 ê -1 - 15 êm = ë 2 -1 - 15 Thử lại ta có m = là giá trị cần tìm. 2Câu 42. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 - mx có đồ thị (Cm), trong đó m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 1 . 2) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng d: y = x + 2 tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân. · Xét phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d: x 3 - 3mx 2 - mx = x + 2 Û g ( x ) = x3 - 3mx 2 - ( m + 1) x - 2 = 0 Đk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ; x3 lần lượt lập thành cấp số nhân. Khi đó ta có: g ( x ) = ( x - x1 )( x - x2 )( x - x3 ) ì x1 + x2 + x3 = 3m ï Suy ra: í x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 = - m - 1 ïx x x = 2 î 1 2 3 5 Vì x1 x3 = x2 Þ x2 = 2 Þ x2 = 3 2 nên ta có: -m - 1 = 4 + 3 2.3m Û m = - 2 3 3 2 +1 3 5 Đk đủ: Với m = - , thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn. 3 2 +1 3 5 Vậy m = - 3 2 +1 3Câu 43. Cho hàm số y = x 3 + 2mx 2 + (m + 3) x + 4 có đồ thị là (Cm) (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1. 2) Cho đường thẳng (d): y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 . · Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d là: x 3 + 2 mx 2 + (m + 3) x + 4 = x + 4 Û x( x 2 + 2 mx + m + 2) = 0 Trang 14
    • Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số é x = 0 ( y = 4) Ûê 2 ë g( x ) = x + 2 mx + m + 2 = 0 (1) (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. ì / 2 ì m £ -1 Ú m ³ 2 Û íD = m - m - 2 > 0 Û í (*) î g(0) = m + 2 ¹ 0 îm ¹ -2 Khi đó: xB + xC = -2m; xB . xC = m + 2 . 1- 3 + 4 Mặt khác: d (K , d ) = = 2 . Do đó: 2 1 SDKBC = 8 2 Û BC.d ( K , d ) = 8 2 Û BC = 16 Û BC 2 = 256 2 Û ( x B - xC )2 + ( yB - yC )2 = 256 Û ( x B - xC )2 + (( x B + 4) - ( xC + 4))2 = 256 Û 2( xB - xC )2 = 256 Û ( x B + xC )2 - 4 x B xC = 128 1 ± 137 Û 4 m 2 - 4(m + 2) = 128 Û m 2 - m - 34 = 0 Û m = (thỏa (*)). 2 1 ± 137 Vậy m = . 2Câu 44. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + 4 có đồ thị là (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi dk là đường thẳng đi qua điểm A(-1; 0) với hệ số góc k (k Î ¡ ) . Tìm k để đường thẳng dk cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1 . · Ta có: dk : y = kx + k Û kx - y + k = 0 Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d là: x 3 - 3 x 2 + 4 = kx + k Û ( x + 1) é( x - 2)2 - k ù = 0 Û x = -1 hoặc ( x - 2)2 = k ë û ìk > 0 dk cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û í îk ¹ 9 Khi đó các giao điểm là A(-1; 0), B ( 2 - k ;3k - k k ) , C ( 2 + k ;3k + k k ) . k BC = 2 k 1 + k 2 , d (O, BC ) = d (O, dk ) = 1+ k2 1 k SDOBC = . .2 k . 1 + k 2 = 1 Û k k = 1 Û k 3 = 1 Û k = 1 2 1+ k2Câu 45. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + 2 có đồ thị là (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2. · Ta có: E(1; 0). PT đường thẳng D qua E có dạng y = k ( x - 1) . PT hoành độ giao điểm của (C) và D: ( x - 1)( x 2 - 2 x - 2 - k ) = 0 D cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û PT x 2 - 2 x - 2 - k = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 Trang 15
    • 100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Û k > -3 1 é k = -1 SDOAB = d (O, D). AB = k k +3 Þ k k +3 = 2 Û ê 2 ë k = -1 ± 3 Vậy có 3 đường thẳng thoả YCBT: y = - x + 1; y = ( -1 ± 3 ) ( x - 1) .Câu 46. Cho hàm số y = x 3 + mx + 2 có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –3. 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. · Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành: 2 x 3 + mx + 2 = 0 Û m = - x 2 - ( x ¹ 0) x 2 2 -2 x 3 + 2 Xét hàm số: f ( x ) = - x 2 - Þ f ( x ) = -2 x + = x x2 x2 Ta có bảng biến thiên: -¥ +¥ f ¢( x) f (x) +¥ -¥ -¥ -¥ Đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất Û m > -3 .Câu 47. Cho hàm số y = 2 x 3 - 3(m + 1) x 2 + 6 mx - 2có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. · 1- 3 < m < 1+ 3Câu 48. Cho hàm số y = x 3 - 6 x 2 + 9 x - 6 có đồ thị là (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Định m để đường thẳng (d ) : y = mx - 2m - 4 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. · PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x 3 - 6 x 2 + 9 x - 6 = mx - 2m - 4 éx = 2 Û ( x - 2)( x 2 - 4 x + 1 - m ) = 0 Û ê 2 ë g( x ) = x - 4 x + 1 - m = 0 (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt Û PT g( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2 Û m > -3Câu 49. Cho hàm số y = x 3 – 3 x 2 + 1 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để đường thẳng (D): y = (2 m - 1) x – 4 m – 1 cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân biệt. · Phương trình hoành độ giao của (C) và (D): x 3 – 3 x 2 – (2 m – 1) x + 4 m + 2 = 0 éx = 2 Û ( x - 2)( x 2 – x – 2 m –1) = 0 Û ê 2 ë f ( x ) = x - x - 2m - 1 = 0 (1) é 2 ¹ x1 = x2 (D) cắt (C) tại đúng 2 điểm phân biệt Û (1) phải có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: ê ë x1 = 2 ¹ x2 Trang 16
    • Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số é ìD = 0 é ì8m + 5 = 0 êï b êï 1 é 5 í ê ï- ¹2 í êï ¹ 2 êm = - 8 Û ê î 2a Û êî 2 Ûê êìD > 0 ê ì8m + 5 > 0 êm = 1 ê í f (2) = 0 ê í-2 m + 1 = 0 ë 2 ëî ëî 5 1 Vậy: m = - ; m = . 8 2Câu 50. Cho hàm số y = x3 - 3m 2 x + 2m có đồ thị (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt. · Để (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt thì (Cm) phải có 2 điểm cực trị Þ y ¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Û 3x 2 - 3m 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt Û m ¹ 0 Khi đó y = 0 Û x = ± m . (Cm) cắt Ox tại đúng 2 điểm phân biệt Û yCĐ = 0 hoặc yCT = 0 Ta có: + y (- m) = 0 Û 2m3 + 2m = 0 Û m = 0 (loại) + y (m) = 0 Û -2m3 + 2m = 0 Û m = 0 Ú m = ±1 Vậy: m = ±1Câu 51. Cho hàm số y = x 4 - mx 2 + m - 1 có đồ thị là Cm ( ) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 8 . 2) Định m để đồ thị (Cm ) cắt trục trục hoành tại bốn điểm phân biệt. ìm > 1 · í îm ¹ 2 ( )Câu 52. Cho hàm số y = x 4 - 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 có đồ thị là Cm . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0 . 2) Định m để đồ thị (Cm ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. · Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 4 - 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 = 0 (1) Đặt t = x , t ³ 0 thì (1) trở thành: f (t ) = t - 2 ( m + 1) t + 2m + 1 = 0 . 2 2 Để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì f (t ) = 0 phải có 2 nghiệm dương phân biệt ìD = m 2 > 0 ì 1 ï ïm > - Û í S = 2 ( m + 1) > 0 Û í 2 (*) ï P = 2m + 1 > 0 ïm ¹ 0 î î Với (*), gọi t1 < t2 là 2 nghiệm của f (t ) = 0 , khi đó hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox lần lượt là: x1 = - t2 ; x2 = - t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2 x1 , x2 , x3 , x4 lập thành cấp số cộng Û x2 - x1 = x3 - x2 = x4 - x3 Û t2 = 9t1 ém = 4 é 5m = 4 m + 4 Û m + 1 + m = 9 ( m + 1 - m ) Û 5 m = 4 ( m + 1) Û ê Ûê ë -5m = 4m + 4 êm = - 4 ë 9 Trang 17
    • www.VNMATH.com100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng ì 4ü Vậy m = í 4; - ý î 9þ 13 Câu hỏi tương tự đối với hàm số y = - x 4 + 2(m + 2) x 2 - 2 m - 3 ĐS: m = 3, m = - . 9Câu 53. Cho hàm số y = x 4 – (3m + 2) x 2 + 3m có đồ thị là (Cm), m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. · Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = -1 : é x = ±1 x 4 – (3m + 2) x 2 + 3m = -1 Û x 4 – (3m + 2) x 2 + 3m + 1 = 0 Û ê 2 ë x = 3m + 1 (*) Đường thẳng y = -1 cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác ±1 và nhỏ hơn 2 ì 1 ì0 < 3m + 1 < 4 ï ï- < m < 1 Û í Ûí 3 ï3m + 1 ¹ 1 î ïm ¹ 0 îCâu 54. Cho hàm số y = x 4 - 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 có đồ thị là (Cm), m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3. · Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 4 - 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 = 0 (1) Đặt t = x 2 , t ³ 0 thì (1) trở thành: f (t ) = t 2 - 2 ( m + 1) t + 2m + 1 = 0 . (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 é 0 = t1 < t2 < 3 Û f ( t ) có 2 nghiệm phân biệt t1 , t2 sao cho: ê ë 0 < t1 < 3 £ t2 ìD = m 2 > 0 ìD = m > 0 2 ï ï ï f ( 3) = 4 - 4m £ 0 1 Û í f (0) = 2m + 1 = 0 í Û m = - Ú m ³1 ï S = 2 ( m + 1) < 3 ï S = 2 ( m + 1) > 0 2 î ï P = 2m + 1 > 0 î 1 Vậy: m = - Ú m ³ 1 . 2Câu 55. Cho hàm số y = x 4 - 2m 2 x 2 + m 4 + 2m (1), với m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 .. 2) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi m < 0. · Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (1) và trục Ox: x 4 - 2m 2 x 2 + m 4 + 2m = 0 (1) Đặt t = x 2 ( t ³ 0 ) , (1) trở thành : t 2 - 2m 2t + m4 + 2m = 0 (2) Ta có : D = -2m > 0 và S = 2m2 > 0 với mọi m > 0 . Nên (2) có nghiệm dương Þ (1) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt Þ đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt. Trang 18
    • www.VNMATH.comTrần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số 2x +1Câu 56. Cho hàm số y = có đồ thị là (C). x+2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Chứng minh rằng đường thẳng d: y = - x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. 2x +1 · PT hoành độ giao điểm của (C) và d: = -x + m x+2 ì x ¹ -2 Û í 2 î f ( x ) = x + (4 - m ) x + 1 - 2 m = 0 (1) Do (1) có D = m 2 + 1 > 0 và f (-2) = (-2)2 + (4 - m).(-2) + 1 - 2 m = -3 ¹ 0, "m nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B. Ta có: y A = m - x A ; yB = m - xB nên AB 2 = ( x B - x A )2 + ( yB - y A )2 = 2(m 2 + 12) Suy ra AB ngắn nhất Û AB 2 nhỏ nhất Û m = 0 . Khi đó: AB = 24 . Câu hỏi tương tự đối với hàm số: x-2 x -1 1 a) y = ĐS: m = 2 b) y = ĐS: m = x -1 2x 2 x-3Câu 57. Cho hàm số y = . x +1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I (-1;1) và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của đoạn MN. · Phương trình đường thẳng d : y = k ( x + 1) + 1 x -3 d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N Û = kx + k + 1 có 2 nghiệm phân biệt khác -1 . x +1 Û f ( x ) = kx 2 + 2kx + k + 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1 ìk ¹ 0 ï Û íD = -4k > 0 Û k < 0 ï f (-1) = 4 ¹ 0 î Mặt khác: xM + xN = -2 = 2 xI Û I là trung điểm MN với "k < 0 . Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là y = kx + k + 1 với k < 0 . 2x + 4Câu 58. Cho hàm số y = (C). 1- x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho MN = 3 10 . · Phương trình đường thẳng (d ) : y = k ( x - 1) + 1. Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm ( x1; y1 ), ( x2 ; y2 ) phân biệt sao cho ( x2 - x1 ) + ( y2 - y1 ) = 90 2 2 (a) ì 2x + 4 ï = k ( x - 1) + 1 ìkx 2 - (2k - 3) x + k + 3 = 0 í -x +1 (I). Ta có: ( I ) Û í ï y = k ( x - 1) + 1 î y = k ( x - 1) + 1 î Trang 19
    • www.VNMATH.com100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng (I) có hai nghiệm phân biệt Û PT kx 2 - (2k - 3) x + k + 3 = 0 (b) có hai nghiệm phân biệt. 3 Û k ¹ 0, k < . 8 Ta biến đổi (a) trở thành: (1 + k 2 ) ( x2 - x1 ) = 90 Û (1 + k 2 ) é( x2 + x1 ) - 4 x2 x1 ù = 90 (c) 2 2 ë û 2k - 3 k +3 Theo định lí Viet cho (b) ta có: x1 + x2 = , x1 x2 = , thế vào (c) ta có phương k k trình: 8k 3 + 27k 2 + 8k - 3 = 0 Û (k + 3)(8k 2 + 3k - 1) = 0 -3 + 41 -3 - 41 Û k = -3; k = ; k= . 16 16 Kết luận: Vậy có 3 giá trị của k thoả mãn như trên. 2x - 2Câu 59. Cho hàm số y = (C). x +1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để đường thẳng (d): y = 2 x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 5 . 2x - 2 · PT hoành độ giao điểm: = 2 x + m Û 2 x 2 + mx + m + 2 = 0 ( x ¹ -1) (1) x +1 d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Û (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 khác –1 Û m2 - 8m - 16 > 0 (2) ì m ï x1 + x2 = - 2 ï Khi đó ta có: í . Gọi A ( x1; 2 x1 + m ) , B ( x2 ; 2 x2 + m ) . ï x1 x2 = m+2 ï î 2 AB2 = 5 Û ( x1 - x2 )2 + 4( x1 - x2 )2 = 5 Û ( x1 + x2 )2 - 4x1 x2 = 1 Û m2 - 8m - 20 = 0 é m = 10 Ûê (thoả (2)) ë m = -2 Vậy: m = 10; m = -2 . x -1Câu 60. Cho hàm số y = (1). x+m 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 . 2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y = x + 2 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho AB = 2 2 . x -1 ì x ¹ -m · PT hoành độ giao điểm: = x+2 Û í 2 x+m î x + (m + 1) x + 2 m + 1 = 0 (*) d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B phân biệt Û (*) có hai nghiệm phân biệt khác -m ìD > 0 ì 2 ì Ûí Û ím - 6 m - 3 > 0 Û ím < 3 - 2 3 Ú m > 3 + 2 3 (**) î x ¹ -m îm ¹ -1 îm ¹ -1 ì x + x = -(m + 1) Khi đó gọi x1 , x2 là các nghiệm của (*), ta có í 1 2 î x1. x2 = 2m + 1 Các giao điểm của d và đồ thị hàm số (1) là A( x1; x1 + 2), B( x2 ; x2 + 2) . Trang 20
    • www.VNMATH.comTrần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số Suy ra AB 2 = 2( x1 - x2 )2 = 2 é( x1 + x2 )2 - 4 x1 x2 ù = 2(m2 - 6 m - 3) ë û é m = -1 Theo giả thiết ta được 2(m 2 - 6 m - 3) = 8 Û m 2 - 6m - 7 = 0 Û ê ëm = 7 Kết hợp với điều kiện (**) ta được m = 7 là giá trị cần tìm. 2x - 1Câu 61. Cho hàm số y = (C). x -1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho DOAB vuông tại O. · Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: x 2 + (m - 3) x + 1 - m = 0, x ¹ 1 (*) (*) có D = m 2 - 2 m + 5 > 0, "m Î R và (*) không có nghiệm x = 1. ì x + xB = 3 - m Þ (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt là x A , xB . Theo định lí Viét: í A î x A .xB = 1 - m Khi đó: A ( x A ; x A + m ) , B ( x B ; x B + m ) uur uur DOAB vuông tại O thì OA.OB = 0 Û x A xB + ( x A + m )( xB + m ) = 0 Û 2 x A x B + m( x A + x B ) + m 2 = 0 Û m = -2 Vậy: m = –2. x+2Câu 62. Cho hàm số: y = . x-2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Chứng minh rằng với mọi giá trị m thì trên (C) luôn có cặp điểm A, B nằm về hai nhánh ì x - yA + m = 0 của (C) và thỏa í A . î x B - yB + m = 0 ì x - yA + m = 0 ìy = xA + m · Ta có: í A Ûí A Þ A, B Î (d ) : y = x + m î x B - yB + m = 0 î yB = x B + m Þ A, B là giao điểm của (C) và (d). Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): x+2 x+m = Û f ( x ) = x 2 + (m - 3) x - (2 m + 2) = 0 ( x ¹ 2) (*). x-2 (*) có D = m2 + 2m + 17 > 0, "m Þ (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Và 1. f (2) = -4 < 0 Þ x A < 2 < x B hoặc xB < 2 < x A (đpcm). KSHS 04: TIẾP TUYẾNCâu 63. Cho hàm số y = x 3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2 (1) (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m = 2. 2) Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 1 góc a , biết cos a = . 26 Trang 21
    • www.VNMATH.com100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng r · Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến Þ tiếp tuyến có VTPT n1 = (k; -1) r Đường thẳng d có VTPT n2 = (1;1) . r r é 3 n1.n2 1 k -1 êk = 2 Ta có cos a = r r Û = Û 12 k 2 - 26 k + 12 = 0 Û ê n1 . n2 26 2 2 k +1 êk = 2 ë 3 YCBT thoả mãn Û ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: é ¢ 3 é 2 3 ê y = ê3 x + 2(1 - 2m) x + 2 - m = 2 é D/ 1 ³ 0 é8m 2 - 2m - 1 ³ 0 ê 2 Ûê Ûê / Ûê 2 ê y ¢= 2 ê3 x 2 + 2(1 - 2m) x + 2 - m = 2 êD 2 ³ 0 ë ê 4m - m - 3 ³ 0 ë ë 3 ê ë 3 é 1 1 êm £ - 4 ; m ³ 2 1 1 Û ê Û m £ - hoặc m ³ êm £ - 3 ; m ³ 1 4 2 ê ë 4Câu 64. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + 1 có đồ thị (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 . · Giả sử A(a; a3 - 3a2 + 1), B(b; b3 - 3b2 + 1) thuộc (C), với a ¹ b . Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nên: y ¢(a) = y ¢(b) Û 3a2 - 6a = 3b2 - 6 b Û a 2 - b2 - 2(a - b) = 0 Û (a - b)(a + b - 2) = 0 Û a + b - 2 = 0 Û b = 2 - a . Vì a ¹ b nên a ¹ 2 - a Û a ¹ 1 Ta có: AB = (b - a)2 + (b3 - 3b2 + 1 - a3 + 3a2 - 1)2 = (b - a)2 + (b3 - a3 - 3(b2 - a2 ))2 2 = (b - a)2 + é(b - a)3 + 3ab(b - a) - 3(b - a)(b + a) ù ë û 2 = (b - a)2 + (b - a)2 é(b - a)2 + 3ab - 3.2 ù ë û 2 = (b - a)2 + (b - a)2 é(b + a)2 - ab - 6 ù = (b - a)2 + (b - a)2 (-2 - ab)2 ë û AB 2 = (b - a)2 é1 + (-2 - ab)2 ù = (2 - 2a)2 é1 + (a2 - 2a - 2)2 ù ë û ë û é 2ù = 4(a - 1)2 ê1 + é(a - 1)2 - 3ù ú = 4(a - 1)2 é(a - 1)4 - 6(a - 1)2 + 10 ù ë ë û û ë û = 4(a - 1)6 - 24(a - 1)4 + 40(a - 1)2 Mà AB = 4 2 nên 4(a - 1)6 - 24(a - 1)4 + 40(a - 1)2 = 32 Û (a - 1)6 - 6(a - 1)4 + 10(a - 1)2 - 8 = 0 (*) Đặt t = (a - 1)2 , t > 0 . Khi đó (*) trở thành: é a = 3 Þ b = -1 t 3 - 6t 2 + 10t - 8 = 0 Û (t - 4)(t 2 - 2t + 2) = 0 Û t = 4 Þ (a - 1)2 = 4 Û ê ë a = -1 Þ b = 3 Vậy 2 điểm thoả mãn YCBT là: A(3;1), B(-1; -3) . Trang 22
    • www.VNMATH.comTrần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm sốCâu 65. Cho hàm số y = 3 x - x 3 (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên đường thẳng (d): y = - x các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C). · Các điểm cần tìm là: A(2; –2) và B(–2; 2).Câu 66. Cho hàm số y = - x 3 + 3 x 2 - 2 (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C). · Gọi M ( m;2) Î ( d ) . PT đường thẳng D đi qua điểm M và có hệ số góc k có dạng : y = k ( x - m ) + 2 ì 3+ 2 D là tiếp tuyến của (C) Û hệ PT sau có nghiệm ï- x 2 3 x - 2 = k ( x - m) + 2 (1) í (*). ï-3 x + 6 x = k î (2) Thay (2) và (1) ta được: 2 x 3 - 3(m + 1) x 2 + 6 mx - 4 = 0 Û ( x - 2) é2 x 2 - (3m - 1) x + 2 ù = 0 ë û éx = 2 Û ê ë f ( x ) = 2 x - (3m - 1) x + 2 = 0 (3) 2 Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) Û hệ (*) có 3 nghiệm x phân biệt ì 5 ìD > 0 ï m < -1 hoÆc m > Û (3) có hai nghiệm phân biệt khác 2 Û í Ûí 3 . î f (2) ¹ 0 ï m ¹ 2 î ì 5 ïm < -1 hoÆc m > Vậy từ các điểm M(m; 2) Î (d): y = 2 với í 3 có thể kẻ được 3 tiếp tuyến ïm ¹ 2 î đến (C). 1 3Câu 67. Cho hàm số y = f ( x ) = mx + (m - 1) x 2 + (4 - 3m) x + 1 có đồ thị là (Cm). 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm các giá trị m sao cho trên đồ thị (Cm) tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (d): x + 2 y - 3 = 0 . 1 · (d) có hệ số góc - Þ tiếp tuyến có hệ số góc k = 2 . Gọi x là hoành độ tiếp điểm thì: 2 f ( x ) = 2 Û mx 2 + 2(m - 1) x + (4 - 3m) = 2 Û mx 2 + 2(m - 1) x + 2 - 3m = 0 (1) YCBT Û (1) có đúng một nghiệm âm. + Nếu m = 0 thì (1) Û -2 x = -2 Û x = 1 (loại) 2 - 3m + Nếu m ¹ 0 thì dễ thấy phương trình (1) có 2 nghiệm là x = 1 hay x= m ém < 0 2 - 3m Do đó để (1) có một nghiệm âm thì <0Ûê m êm > 2 ê ë 3 2 Vậy m < 0 hay m > . 3 Trang 23
    • www.VNMATH.com100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 2 2Câu 68. Cho hàm số y = ( x + 1) . ( x - 1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Cho điểm A(a; 0) . Tìm a để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C). · Ta có y = x 4 - 2 x 2 + 1 . Phương trình đường thẳng d đi qua A(a; 0) và có hệ số góc k : y = k ( x - a) ì x 4 - 2 x 2 + 1 = k ( x - a) ï d là tiếp tuyến của (C) Û hệ phương trình sau có nghiệm: ( I ) í ï î 4 x3 - 4 x = k ìk = 0 ì4 x ( x 2 - 1) = k ï Ta có: ( I ) Û í 2 ( A) hoặc í 2 ( B) îx -1 = 0 ï f ( x ) = 3 x - 4 ax + 1 = 0 (1) î + Từ hệ (A), chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là d1 : y = 0 . + Vậy để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với (C) thì điều kiện cần và đủ là hệ (B) phải có 2 nghiệm phân biệt ( x; k ) với x ¹ ±1 , tức là phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân ì ¢ 2 3 3 biệt khác ±1 Û íD = 4 a - 3 > 0 Û -1 ¹ a < - hoÆc 1 ¹ a > î f (±1) ¹ 0 2 2Câu 69. Cho hàm số y = f ( x ) = x 4 - 2 x 2 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a và b. Tìm điều kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau. · Ta có: f ( x ) = 4 x 3 - 4 x Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là k A = f (a) = 4 a3 - 4 a, kB = f (b) = 4b3 - 4 b Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là: y = f ¢(a)( x - a) + f (a) Û y = f ¢(a) x + f (a) - af ¢(a) y = f ¢(b)( x - b) + f (b) Û y = f ¢(b) x + f (b) - bf ¢(b) Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi: k A = kB Û 4 a 3 - 4 a = 4b 3 - 4 b Û (a - b)(a2 + ab + b2 - 1) = 0 (1) Vì A và B phân biệt nên a ¹ b , do đó (1) Û a2 + ab + b 2 - 1 = 0 (2) Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau khi và chỉ khi: ì a2 + ab + b2 - 1 = 0 ï ì ï a2 + ab + b2 - 1 = 0 Ûí ( a ¹ b) Û í 4 2 4 2 ï f (a) - af ¢(a) = f (b) - bf ¢(b) î ï -3a + 2 a = -3b + 2 b î Giải hệ này ta được nghiệm là (a; b) = (-1;1) hoặc (a; b) = (1; -1) , hai nghiệm này tương ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là (-1; -1) và (1; -1) Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là: ìa2 + ab + b 2 - 1 = 0 í îa ¹ ±1; a ¹ b 2xCâu 70. Cho hàm số y = (C). x+2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. Trang 24
    • www.VNMATH.comTrần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số · Tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ a ¹ -2 thuộc (C) có phương trình: 4 2a y= ( x - a) + Û 4 x - (a + 2)2 y + 2 a2 = 0 (a + 2) 2 a+2 Tâm đối xứng của (C) là I ( -2; 2 ) . Ta có: 8 a+2 8 a+2 8 a+2 d (I , d ) = £ = =2 2 16 + (a + 2) 4 2.4.(a + 2) 2 2 2 a+2 éa = 0 d ( I , d ) lớn nhất khi (a + 2)2 = 4 Û ê . ë a = -4 Từ đó suy ra có hai tiếp tuyến y = x và y = x + 8 . x+2Câu 71. Cho hàm số y = (1). 2x + 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. -1 · Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm Þ y ¢( x0 ) = <0 (2 x0 + 3)2 DOAB cân tại O nên tiếp tuyến D song song với đường thẳng y = - x (vì tiếp tuyến có hệ số -1 é x 0 = -1 Þ y0 = 1 góc âm). Nghĩa là: y ¢( x0 ) = = -1 Þ ê (2 x0 + 3)2 ê x 0 = -2 Þ y0 = 0 ë + Với x0 = -1; y0 = 1 Þ D: y - 1 = -( x + 1) Û y = - x (loại) + Với x0 = -2; y0 = 0 Þ D: y - 0 = -( x + 2) Û y = - x - 2 (nhận) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = - x - 2 . 2x - 1Câu 72. Cho hàm số y = . x -1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thoả mãn OA = 4OB. · Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M ( x0 ; y0 ) Î (C ) cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OA = 4OB . OB 1 1 1 Do DOAB vuông tại O nên tan A = = Þ Hệ số góc của d bằng hoặc - . OA 4 4 4 é 3 1 1 1 ê x0 = -1 ( y0 = 2 ) Hệ số góc của d là y ¢( x0 ) = - <0Þ- =- Û ê ( x0 - 1)2 ( x0 - 1)2 4 ê x = 3 (y = 5) ë 0 0 2 é 1 3 é 1 5 ê y = - 4 ( x + 1) + 2 êy = - 4 x + 4 Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả mãn là: ê Ûê . 1 ê y = - ( x - 3) + 5 1 êy = - x + 13 ë 4 2 ë 4 4 2x - 3Câu 73. Cho hàm số y = có đồ thị (C). x-2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Trang 25
    • www.VNMATH.com100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất. æ 1 ö 1 · Lấy điểm M ç m; 2 + ÷ Î ( C ) . Ta có: y¢ (m ) = - è m-2 ø (m - 2)2 1 1 Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình: y = - ( x - m) + 2 + (m - 2) 2 m-2 æ 2 ö Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là: A ç 2;2 + ÷ è m-2ø Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là: B(2m – 2; 2) é 1 ù ém = 3 Ta có: AB 2 = 4 ê(m - 2)2 + ú ³ 8 . Dấu “=” xảy ra Û ê ê ë 2 (m - 2) úû ëm = 1 Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là: M(3;3) hoặc M(1;1) 2x - 3Câu 74. Cho hàm số y = . x-2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. æ 2x - 3 ö -1 · Giả sử M ç x0 ; 0 ç ÷ , x0 ¹ 2 , y ( x0 ) = ÷ x0 - 2 ø 2 è ( x0 - 2 ) -1 2 x0 - 3 Phương trình tiếp tuyến (D) với ( C) tại M: y = ( x - x0 ) + 2 x0 - 2 ( x0 - 2 ) æ 2x - 2 ö ç x - 2 ÷ ; B ( 2 x0 - 2; 2 ) Toạ độ giao điểm A, B của (D) với hai tiệm cận là: A ç 2; 0 ÷ è 0 ø x + xB 2 + 2 x0 - 2 y +y 2x - 3 Ta thấy A = = x0 = x M , A B = 0 = yM suy ra M là trung điểm 2 2 2 x0 - 2 của AB. Mặt khác I(2; 2) và DIAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích é 2ù é ù 2 S = p IM = p ê( x - 2)2 + æ 2 x0 - 3 - 2 ö ú = p ê( x - 2)2 + ç ÷ 1 ú ³ 2p ê 0 ç x -2 ÷ ú ê 0 ( x 0 - 2)2 ú ë è 0 ø û ë û 1 éx = 1 Dấu “=” xảy ra khi ( x0 - 2)2 = Ûê 0 ( x0 - 2)2 ë x0 = 3 Do đó điểm M cần tìm là M(1; 1) hoặc M(3; 3) 2x + 1Câu 75. Cho hàm số y = có đồ thị (C). x -1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. Trang 26
    • www.VNMATH.comTrần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số æ 3 ö · Giao điểm của 2 tiệm cận là I (1; 2) . Gọi M ç x0 ;2 + ç ÷ Î (C). è x0 - 1 ÷ ø -3 3 + PTTT tại M có dạng: y = ( x - x0 ) + 2 + 2 x0 - 1 ( x 0 - 1) + Toạ độ các giao điểm của tiếp tuyến với 2 tiệm cận: A æ 1; 2 + ç 6 ö , B (2 x - 1;2) ÷ 0 ç x0 - 1 ÷ è ø 1 1 6 + Ta có: SDIAB = IA.IB = × × 2 x0 - 1 = 2.3 = 6 (đvdt) 2 2 x0 - 1 + DIAB vuông có diện tích không đổi Þ chu vi DIAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB 6 é x0 = 1 + 3 Û = 2 x0 - 1 Þ ê x0 - 1 ê x0 = 1 - 3 ë Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M1 (1 + 3;2 + 3 ) , M2 (1 - 3;2 - 3 ) Khi đó chu vi DAIB = 4 3 + 2 6 . Chú ý: Với 2 số dương a, b thoả ab = S (không đổi) thì biểu thức P = a + b + a2 + b2 nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b. Thật vậy: P = a + b + a2 + b2 ³ 2 ab + 2 ab = (2 + 2) ab = (2 + 2) S . Dấu "=" xảy ra Û a = b. x +2Câu 76. Cho hàm số: y = (C). x -1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Cho điểm A(0; a) . Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành. · Phương trình đường thẳng d đi qua A(0; a) và có hệ số góc k: y = kx + a ìx +2 ï x - 1 = kx + a ï d là tiếp tuyến của (C) Û Hệ PT í có nghiệm -3 ïk = ï î ( x - 1)2 Û PT: (1 - a) x 2 + 2(a + 2) x - (a + 2) = 0 (1) có nghiệm x ¹ 1 . Để qua A có 2 tiếp tuyến thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 ìa ¹ 1 ìa ¹ 1 Û í Ûí (*) îD¢ = 3a + 6 > 0 îa > -2 2(a + 2) a+2 3 3 Khi đó ta có: x1 + x2 = ; x1 x2 = và y1 = 1 + ; y2 = 1 + a -1 a -1 x1 - 1 x2 - 1 Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía đối với trục hoành thì y1. y2 < 0 æ 3 öæ 3 ö x1 .x2 + 2( x1 + x2 ) + 4 2 Û ç1 + ÷ . ç1 + ÷<0 Û < 0 Û 3a + 2 > 0 Û a > - è x1 - 1 ø è x2 - 1 ø x1. x2 - ( x1 + x2 ) + 1 3 ì 2 ïa > - Kết hợp với điều kiện (*) ta được: í 3. ïa ¹ 1 î Trang 27
    • www.VNMATH.com100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng x +3Câu 77. Cho hàm số y = . x -1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Cho điểm Mo ( xo ; yo ) thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại M0 cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B. Chứng minh Mo là trung điểm của đoạn thẳng AB. 4 · Mo ( xo ; yo ) Î (C) Þ y0 = 1 + . x0 - 1 4 Phương trình tiếp tuyến (d) tại M0 : y - y0 = - ( x - x0 ) ( x0 - 1)2 Giao điểm của (d) với các tiệm cận là: A(2 x0 - 1;1), B(1;2 y0 - 1) . x A + xB y + yB Þ = x0 ; A = y0 Þ M0 là trung điểm AB. 2 2 x +2Câu 78. Cho hàm số : y = (C) x -1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi. æ a+2ö · Giả sử M ç a; ÷ Î (C). è a -1 ø 2 PTTT (d) của (C) tại M: y = y ¢(a).( x - a) + a + 2 Û y = -3 x + a + 4 a - 2 a -1 (a - 1)2 (a - 1) 2 æ a+5ö Các giao điểm của (d) với các tiệm cận là: A ç 1; ÷ , B(2a - 1;1) . è a -1 ø ® ® æ 6 ö 6 IA = ç 0; ÷ Þ IA = ; IB = (2 a - 2; 0) Þ IB = 2 a - 1 è a -1 ø a -1 1 Diện tích DIAB : S DIAB = IA.IB = 6 (đvdt) Þ ĐPCM. 2 2x - 4 Câu hỏi tương tự đối với hàm số y = ĐS: S = 12. x +1 x+2Câu 79. Cho hàm số y = . x +1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận, D là một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị (C). d là khoảng cách từ I đến D . Tìm giá trị lớn nhất của d. -1 æ x +2 ö · y¢ = . Giao điểm của hai đường tiệm cận là I(–1; 1). Giả sử M ç x 0 ; 0 ÷ Î (C ) ( x + 1)2 è x0 + 1 ø Phương trình tiếp tuyến D với đồ thi hàm số tại M là: -1 x +2 2 y= ( x - x0 ) + 0 Û x + ( x0 + 1) y - x0 - ( x0 + 1)( x0 + 2 ) = 0 2 x0 + 1 ( x +10 ) Trang 28
    • www.VNMATH.comTrần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số 2 x0 + 1 2 Khoảng cách từ I đến D là d = = £ 2 1 + ( x 0 + 1) 4 1 2 + ( x 0 + 1) 2 ( x0 + 1) Vậy GTLN của d bằng 2 khi x0 = 0 hoặc x0 = -2 . 2x -1Câu 80. Cho hàm số y = . x -1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng 2. · Tiếp tuyến của (C) tại điểm M ( x0 ; f ( x0 )) Î (C ) có phương trình: y = f ( x0 )( x - x0 ) + f ( x0 ) Û x + ( x 0 - 1)2 y - 2 x0 2 + 2 x0 - 1 = 0 (*) 2 - 2 x0 éx = 0 Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) bằng 2 Û = 2Û ê 0 1 + ( x0 - 1)4 ë x0 = 2 Các tiếp tuyến cần tìm : x + y - 1 = 0 và x + y - 5 = 0 x +1Câu 81. Cho hàm số y = (C). x -1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên Oy tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C). · Gọi M (0; yo ) là điểm cần tìm. PT đường thẳng qua M có dạng: y = kx + yo (d) ì x +1 ì( y - 1) x 2 - 2( y + 1) x + y + 1 = 0 (1) ï x - 1 = kx + yo ï ï o o o (d) là tiếp tuyến của (C) Û í -2 Ûí -2 (*) ï =k ï x ¹ 1; =k ï ( x - 1)2 î ( x - 1)2 î YCBT Û hệ (*) có 1nghiệm Û (1) có 1 nghiệm khác 1 ì yo = 1 ìy ¹ 1 é 1 ï ï x = ; yo = 1 Þ k = -8 Ûí 1 Ú í o 2 Ûê 2 ïx = 2 ïD = ( yo + 1) - ( yo - 1)( yo + 1) = 0 ê î î ë x = 0; yo = -1 Þ k = -2 Vậy có 2 điểm cần tìm là: M(0; 1) và M(0; –1). 2x +1Câu 82. Cho hàm số y = . x +1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(-4; -2). · Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ( x0 ¹ -1 ). 1 2 x0 + 1 PTTT (d) là y = ( x - x0 ) + Û x - ( x0 + 1)2 y + 2 x0 + 2 x0 + 1 = 0 2 2 x0 + 1 ( x0 + 1) Ta có: d ( A, d ) = d ( B, d ) Û 2 - 4( x0 + 1)2 + 2 x0 + 2 x 0 + 1 = -4 + 2( x0 + 1)2 + 2 x 0 + 2 x 0 + 1 2 2 Û x0 = 1 Ú x 0 = 0 Ú x0 = -2 Trang 29
    • www.VNMATH.com100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 1 5 Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y = x + ; y = x + 1; y = x + 5 4 4 2x -1Câu 83. Cho hàm số y = . 1- x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hoành độ là a. Tiếp tuyến tại A của (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và Q. Chứng tỏ rằng A là trung điểm của PQ và tính diện tích tam giác IPQ. æ 2a - 1 ö 1 2a - 1 · I (1; -2), A ç a; ÷ . PT tiếp tuyến d tại A: y = ( x - a) + è 1- a ø (1 - a ) 2 1- a æ 2a ö Giao điểm của tiệm cận đứng và tiếp tuyến d: P ç1; ÷ è 1- a ø Giao điểm của tiệm cận ngang và tiếp tuyến d: Q(2 a – 1; -2) Ta có: xP + xQ = 2 a = 2 x A . Vậy A là trung điểm của PQ. 2a 2 IP = +2 = ; IQ = 2(a - 1) 1- a 1- a 1 SIPQ = IP.IQ = 2 (đvdt) 2 2x - 3Câu 84. Cho hàm số y = (C). x-2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và · 4 tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho côsin góc ABI bằng , với I là giao 2 tiệm cận. 17 æ 2x - 3 ö · I(2; 2). Gọi M ç x0 ; 0 ÷ Î (C ) , x0 ¹ 2 è x0 - 2 ø 1 2 x0 - 3 Phương trình tiếp tuyến D tại M: y=- ( x - x0 ) + ( x 0 - 2)2 x0 - 2 æ 2x - 2 ö Giao điểm của D với các tiệm cận: A ç 2; 0 ÷ , B(2 x0 - 2; 2) . è x0 - 2 ø · 4 · 1 IA éx = 0 Do cos ABI = nên tan ABI = = Û IB2 = 16.IA2 Û ( x0 - 2)4 = 16 Û ê 0 17 4 IB ë x0 = 4 æ 3ö 1 3 Kết luận: Tại M ç 0; ÷ phương trình tiếp tuyến: y = - x + è 2ø 4 2 æ 5ö 1 7 Tại M ç 4; ÷ phương trình tiếp tuyến: y = - x + è 3ø 4 2 Trang 30
    • www.VNMATH.comTrần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số KSHS 05: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNHCâu 85. Cho hàm số y = - x 3 + 3 x 2 + 1 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để phương trình x 3 - 3 x 2 = m3 - 3m 2 có ba nghiệm phân biệt. · PT x 3 - 3 x 2 = m3 - 3m 2 Û - x 3 + 3 x 2 + 1 = - m3 + 3m2 + 1 . Đặt k = - m 3 + 3m 2 + 1 Số nghiệm của PT bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng d: y = k Dựa vào đồ thị (C) ta có PT có 3 nghiệm phân biệt Û 1 < k < 5 Û m Î (-1;3) {0; 2}Câu 86. Cho hàm số y = x 4 - 5 x 2 + 4 có đồ thị (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để phương trình | x 4 - 5 x 2 + 4 |= log 2 m có 6 nghiệm. 9 9 · Dựa vào đồ thị ta có PT có 6 nghiệm Û log12 m = Û m = 12 4 = 144 4 12 . 4Câu 87. Cho hàm số y = f ( x ) = 8 x 4 - 9 x 2 + 1 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 8cos 4 x - 9 cos2 x + m = 0 với x Î [0; p ] · Xét phương trình: 8cos 4 x - 9 cos2 x + m = 0 với x Î [0; p ] (1) 4 2 Đặt t = cos x , phương trình (1) trở thành: 8t - 9t + m = 0 (2) Vì x Î [0; p ] nên t Î [-1;1] , giữa x và t có sự tương ứng một đối một, do đó số nghiệm của phương trình (1) và (2) bằng nhau. Ta có: (2) Û 8t 4 - 9t 2 + 1 = 1 - m (3) Gọi (C1): y = 8t 4 - 9t 2 + 1 với t Î [-1;1] và (d): y = 1 - m . Phương trình (3) là phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (d). Chú ý rằng (C1) giống như đồ thị (C) trong miền -1 £ x £ 1 . Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau: 81 81 81 m<0 m=0 0 < m <1 1£ m < m= m> 32 32 32 vô nghiệm 1 nghiệm 2 nghiệm 4 nghiệm 2 nghiệm vô nghiệm 3x - 4Câu 88. Cho hàm số y = (C). x -2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. é 2p ù 2) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm trên đoạn ê 0; ú : ë 3 û sin 6 x + cos6 x = m ( sin 4 x + cos4 x ) · Xét phương trình: sin 6 x + cos6 x = m ( sin 4 x + cos4 x ) (*) 3 æ 1 ö Û 1 - sin 2 2 x = m ç 1 - sin 2 2 x ÷ Û 4 - 3sin 2 2 x = 2 m(2 - sin2 2 x ) (1) 4 è 2 ø é 2p ù Đặt t = sin 2 2 x . Với x Î ê 0; ú thì t Î [ 0;1] . Khi đó (1) trở thành: ë 3 û Trang 31
    • 100 Khảo sát hàm số 3t - 4 2m = với t Î é 0;1ù ë û t-2 ésin 2 x = - t Nhận xét : với mỗi t Î é 0;1ù ta có : ê ë û Û sin 2 x = t ësin 2 x = t é 2p ù é 3 ö é3 ö Để (*) có 2 nghiệm thuộc đoạn ê 0; ú thì t Î ê ;1 ÷ Þ t Î ê ;1÷ ë 3 û ê 2 ø ÷ ë4 ø ë æ3ö 7 1 7 Dưa vào đồ thị (C) ta có: y (1) < 2m £ y ç ÷ Û 1 < 2m £ Û < m £ . è4ø 5 2 10 x +1Câu 89. Cho hàm số y = . x -1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. x +1 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình = m. x -1 x +1 x +1 · Số nghiệm của = m bằng số giao điểm của đồ thị (C¢): y = và y = m. x -1 x -1 Dựa vào đồ thị ta suy ra được: m < -1; m > 1 m = -1 -1 < m £ 1 2 nghiệm 1 nghiệm vô nghiệmCâu 90. Cho hàm số: y = x 4 - 2 x 2 + 1 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 4 - 2 x 2 + 1 + log2 m = 0 (m > 0) · x 4 - 2 x 2 + 1 + log2 m = 0 Û x 4 - 2 x 2 + 1 = - log2 m (*) + Số nghiệm của (*) là số giao điểm của 2 đồ thị y = x 4 - 2 x 2 + 1 và y = - log 2 m + Từ đồ thị suy ra: 1 1 1 0<m< m= < m <1 m =1 m >1 2 2 2 2 nghiệm 3 nghiệm 4 nghiệm 2 nghiệm vô nghiệm KSHS 06: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ 2x + 1Câu 91. Cho hàm số y = (C). x +1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất. 2x + 1 1 · Gọi M ( x0 ; y0 ) Î (C), ( x0 ¹ -1 ) thì y0 = 0 =2- x0 + 1 x0 + 1 Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì: Trang 32
    • www.VNMATH.comTrần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số 1 MA = x0 + 1 , MB = y0 - 2 = x0 + 1 1 Áp dụng BĐT Cô-si ta có: MA + MB ³ 2 MA.MB = 2 x0 + 1 . =2 x0 + 1 1 éx = 0 Þ MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi x0 + 1 = Ûê 0 . x0 + 1 ë x0 = -2 Vậy ta có hai điểm cần tìm là (0; 1) và (–2; 3). Câu hỏi tương tự: 2x -1 a) y = ĐS: x0 = -1 ± 3 x +1 3x - 4Câu 92. Cho hàm số y = (C). x -2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm các điểm thuộc (C) cách đều 2 tiệm cận. · Gọi M ( x; y) Î (C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3. 3x - 4 x x éx = 1 Ta có: x - 2 = y - 3 Û x - 2 = -2 Û x-2 = Û = ± ( x - 2) Û ê x -2 x -2 x -2 ëx = 4 Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là : M1( 1; 1) và M2(4; 6) 2x - 4Câu 93. Cho hàm số y= . x +1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) và N(–1; –1). uuur · MN = (2; -1) Þ Phương trình MN: x + 2 y + 3 = 0 . Phương trình đường thẳng (d) ^ MN có dạng: y = 2 x + m . Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): 2x - 4 = 2 x + m Û 2 x 2 + mx + m + 4 = 0 ( x ¹ -1) (1) x +1 (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Û D = m2 – 8m – 32 > 0 (2) Khi đó A( x1; 2 x1 + m), B( x2 ;2 x2 + m ) với x1 , x2 là các nghiệm của (1) æx +x ö æ m mö Trung điểm của AB là I ç 1 2 ; x1 + x2 + m ÷ º I ç - ; ÷ (theo định lý Vi-et) è 2 ø è 4 2ø A, B đối xứng nhau qua MN Û I Î MN Û m = -4 éx = 0 Suy ra (1) Û 2 x 2 - 4 x = 0 Û ê Þ A(0; –4), B(2; 0). ëx = 2Câu 94. Cho hàm số y = - x3 + 3 x + 2 (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d: 2 x – y + 2 = 0 . · Gọi M ( x1; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) thuộc (C) là hai điểm đối xứng qua đường thẳng d æ x + x y + y2 ö I là trung điểm của AB nên I ç 1 2 ; 1 ÷ , ta có I Î d è 2 2 ø Trang 33
    • www.VNMATH.com100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng y1 + y2 ( - x1 + 3 x1 + 2 ) + ( - x2 + 3x2 + 2 ) 3 3 x +x Có: = = 2. 1 2 + 2 2 2 2 é x1 + x2 = 0 Þ - ( x1 + x2 ) + 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) + 3 ( x1 + x2 ) = 2 ( x1 + x2 ) Þ ê 2 3 ë x1 - x1 x2 + x2 = 1 2 Lại có: MN ^ d Þ ( x2 - x1 ) .1 + ( y2 - y1 ) .2 = 0 7 Þ 7 ( x2 - x1 ) - 2 ( x2 - x1 ) ( x12 + x1 x2 + x2 ) = 0 Þ x12 + x1 x2 + x2 = 2 2 2 7 7 - Xét x1 + x2 = 0 Þ x1 = ± ; x2 = m 2 2 ì 2 9 ì x12 - x1 x2 + x2 = 1 2 ï x1 + x2 = 4 2 ï ï - Xét í 2 7Ûí Þ vô nghiệm ï x1 + x1 x2 + x2 = ïx x = 5 2 î 2 ï 1 2 4 î æ 7 1 7ö æ 7 1 7ö Vậy 2 điểm cần tìm là: ç ç 2 ; 2 - 2 2 ÷;ç - 2 ; 2 + 2 2 ÷ ÷ ç ÷ è ø è ø 2x -1Câu 95. Cho hàm số y = (C). x +1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích các hệ số góc bằng –9. · Giao điểm 2 tiệm cận là I (-1; 2) . æ 3 ö y M - yI -3 Gọi M ç x0 ; 2 - ÷ Î (C ) Þ kIM = = è x0 + 1 ø x M - x I ( x + 1)2 0 3 + Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: kM = y ¢( x 0 ) = 2 ( x0 + 1) éx = 0 + YCBT Û kM .kIM = - 9 Û ê 0 . Vậy có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; –3) và M(–2; 5) ë x 0 = -2 x3 11Câu 96. Cho hàm số y = - + x2 + 3x - . 3 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung. ï x = - x1 ¹ 0 ì · Hai điểm M ( x1; y1 ), N ( x2 ; y2 ) Î (C ) đối xứng nhau qua Oy Û í 2 ï y1 = y2 î ì x2 = - x1 ¹ 0 ï ì x =3 ï ì x = -3 ï Û í x3 11 x23 11 Ûí 1 hoặc í 1 1 2 ï- + x1 + 3 x1 - = - + x2 + 3 x 2 - 3 ï x2 = -3 î ï x2 = 3 î î 3 3 3 3 æ 16 ö æ 16 ö Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) và đối xứng qua Oy là: M ç 3; ÷ , N ç -3; ÷ . è 3 ø è 3ø Trang 34
    • www.VNMATH.comTrần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số 2xCâu 97. Cho hàm số y = . x -1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A với A(2; 0). 2 æ 2 ö æ 2 ö · Ta có (C ) : y = 2 + . Gọi B ç b; 2 + ÷ , C ç c; 2 + ÷ với b < 1 < c . x -1 è b -1 ø è c -1 ø Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C lên trục Ox. · · · · · · · Ta có: AB = AC; BAC = 90 0 Þ CAK + BAH = 90 0 = CAK + ACK Þ BAH = ACK · · {AH = CK C và: BHA = CKA = 90 0 Þ D ABH = DCAK Þ HB = AK ì 2 B ï2 - b = 2 + c - 1 ï Hay: í ï2+ 2 = c-2 Û b = -1 c=3 . { H A K ï î b -1 Vậy B(-1;1), C (3;3) 2x - 1Câu 98. Cho hàm số y= . x +1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm tọa độ điểm M Î (C) sao cho khoảng cách từ điểm I (-1; 2) tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất. æ 3 ö · Giả sử M ç x0 ; 2 - ç ÷ Î (C ) . PTTT D của (C) tại M là: è x0 + 1 ÷ ø 3 3 y-2+ = ( x - x0 ) Û 3( x - x0 ) - ( x0 + 1)2 ( y - 2) - 3( x0 + 1) = 0 x0 + 1 ( x0 + 1) 2 Khoảng cách từ I (-1;2) tới tiếp tuyến D là: 3(-1 - x0 ) - 3( x0 + 1) 6 x0 + 1 6 d= = = . 9+( x0 + 1) 9 + ( x0 + 1) 9 4 4 + ( x0 + 1) 2 ( x0 + 1)2 9 Theo BĐT Cô–si: + ( x0 + 1)2 ³ 2 9 = 6 Þ d £ 6 . ( x0 + 1) 2 9 = ( x0 + 1) 2 Û ( x0 + 1) = 3 Û x0 = -1 ± 3 . 2 Khoảng cách d lớn nhất bằng 6 khi ( x0 + 1) 2 ( ) Vậy có hai điểm cần tìm là: M - 1 + 3 ;2 - 3 hoặc M - 1 - 3 ;2 + 3( )Câu 99. Cho hàm số y = - x3 + 3 x + 2 (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(–1; 3). · Gọi A ( x0 ; y0 ) , B là điểm đối xứng với A qua điểm M(-1;3) Þ B ( -2 - x0 ; 6 - y0 ) ì y = - x3 + 3 x + 2 ï A, B Î (C ) Û í 0 0 0 ï î 6 - y0 = -(-2 - x0 )3 + 3(-2 - x0 ) + 2 3 Û 6 = - x0 + 3 x 0 + 2 - ( -2 - x0 ) + 3 ( -2 - x0 ) + 2 Û 6 x0 + 12 x 0 + 6 = 0 3 2 Trang 35
    • www.VNMATH.com100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Û x0 = -1 Þ y0 = 0 Vậy 2 điểm cần tìm là: ( -1; 0 ) và ( -1;6 ) x+2Câu 100. Cho hàm số y = . 2x -1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2; 0) và B(0; 2). · PT đường trung trực đọan AB: y = x . Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoành độ là nghiệm của PT: é 1- 5 x+2 êx = = x Û x2 - x - 1 = 0 Û ê 2 2x -1 ê 1+ 5 êx = 2 ë æ 1- 5 1- 5 ö æ 1+ 5 1+ 5 ö Hai điểm cần tìm là: ç , ÷;ç , ÷ ç 2 2 ÷ ç 2 2 ÷ è ø è ø Trang 36