EL MOVIMENT ONDULATORI.EL SO. Física 2n batxillerat Lurdes Morral 1
1-Movimient ondulatori 5-Fenòmens ondulatoris1.1- Classificació d’ones 5.1-Principi de Huygens1.2- Ones mecàniques 5.2-Difracció 5.3-Reflexió d’ones2- Ones harmòniques. 5.4-Refracció d’ones2.1-Característiques d’ una ona 5.5-Reflexió total2.2-Funció d’ona 5.6-Polarització de la llum2.3-Diferències de fase 6-Superposició d’ones2.4-Doble periodicitat del 6.1-Principi de superposiciómoviment ondulatori 6.2-Interferència de dues ones3-Intensitat d’una ona harmòniques coherents4-Ones sonores 6.3- Batements o pulsacions4.1-Qualitats del so 6.4-Ones estacionàries 7-Efecte Doppler 2
1-MOVIMENT ONDULATORI 1• En desplaçar un tros de la molla en sentit longitudinal i deixar-ho anar, es produeix una oscil·lació que es propaga a totes les parts de la molla que comencen a oscil·lar• Si en una corda tibant horitzontal, es fa vibrar un dels seus extrems, l’altura d’aquest punt varia periòdicament • Un moviment ondulatori és la propagació d’una pertorbació d’alguna magnitud física a través de l’espai. Aquesta pertorbació s’anomena ona • El moviment ondulatori no transporta matèria, el que es propaga és la pertorbació • Les partícules del mitjà aconseguides per aquesta, vibren al voltant de la seva posició d’equilibri En un moviment ondulatori no hi ha transport de matèria, però sí hi ha transport d’energia. 3
1-MOVIMENT ONDULATORI1.1- CLASSIFICACIÓ D’ONES -Ones mecàniques o elàstiques: transporten energia mecànica i Segons que necessiten un medi material per a propagar-se, no es poden propagar en necessitin o el buit. Per exemple les ones en una corda, les ones en la superfície de l’aigua, les ones sonores, és a dir el so, les ones sísmiques. Són degudes no medi a la vibració del medi on es propaguen. material per -Ones electromagnètiques : no necessiten medi material per a propagar-se : propagar-se, es poden propagar en el buit, transporten energia electromagnètica i són el resultat de la propagació de dos camps oscil·latoris d’elèctric i el magnètic perpendiculars entre si. Per exemple la llum, els raig X 4
1-MOVIMENT ONDULATORI1.1- CLASSIFICACIÓ D’ONES Segons sigui la -Unidimensionals: en línia. Exemple: una corda o una molla propagació de vibrant. -Bidimensionals: en un plànol. Exemple: aigua oscil·lant en la l’energia : superfície d’un estany. -Tridimensionals: en tot l’espai. Exemple: el so o la llum.Segons la forma -Planes: si el front d’ones és pla, com les ones que es produeixen endel front d’ones : sacsejar un llençol -Circulars: si és circular , com les ones en la superfície d’un estany 5 -Esfèriques: si el front és esfèric , com la llum o el so.
1-MOVIMENT ONDULATORI 2 31.2- ONES MECÀNIQUESSegons la direcció de propagació, es classifiquen en: LONGITUDINALS • La direcció de propagació coincideix amb la direcció d’oscil·lació que provoca en les partícules del medi. Exemple: El so, les ones sísmiques P i les que es propaguen en una molla. 6
1-MOVIMENT ONDULATORI 41.2- ONES MECÀNIQUES TRANSVERSALS • La direcció de propagació es perpendicular a la direcció en que té lloc l’oscil·lació que provoca en els partícules del medi. Exemple: Les ones en una corda, les ones electromagnètiques i les ones sísmiques S. 7
2-ONES HARMÒNIQUES Una ona harmònica és la propagació d’una pertorbació originada per un M.H.S.• La seva forma es correspon amb una funció harmònica (sinus o cosinus) y ventre• Els punts que en un instant té A A node P P • ? • elongació màxima s’anomenen ? • o xp xp x ventres -A -A• Aquells que tenen elongació nul·la s’anomenen nodes • La funció d’ona és l’equació que descriu un moviment ondulatori • L’ elongació del punt xp en qualsevol instant t és: y ( xp, t ) = A sin (ωt + ϕ 0 ) 8
2-ONES HARMÒNIQUES2.1-CARACTERÍSTIQUES D’ UNA ONA : λ • La longitud d’ona (λ): És la distància mínima entre λ dos punts que es troben n el mateix estat de vibració. • Elongació(y,x): Distància fins a la posició d’equilibri. • Amplitud (A): Elongació màxima • El període (T): Temps que tarda un punt del medi a completar una vibració. Coincideix amb el temps que tarda l’ona per avança una longitud d’ona. • Freqüència (f, ν) : Nombre de vibracions que es produeixen en un segon.. És l’inversa del període. • Velocitat de propagació (v): distància a la qual es transmet l’ona dividida pel temps que empra a transmetre’s. λ ω= 2π v= =λ f λ = vT ω • La pulsació (ω) : T T 9
2-ONES HARMÒNIQUES• En col·locar una pantalla amb una escletxa perpendicular a la corda, que equival a fer x constant, s’observa com el punt P descriu un M.H.S. Escletxa Pantalla • • P • El seu període coincideix amb el període del M.H.S. del focus de la pertorbació• Si es té un punt P a una distancia x del focus vibrant, la funció d’ona per a x constant és:• y(x, t) = y(t). L’elongació de P solament depèn de t 10
2-ONES HARMÒNIQUES2.2-FUNCIÓ D’ONA.• El temps que tarda la pertorbació a arribar a un punt P de l’eix situat a una distancia xp del focus O, és : t’ = xp / vy (t , x ) = A sin ωt L’elongació en el punt P serà igual que la del punt 0 en l’instant t-t’ y (t − t ,0) = y (t , x p ) xp y (t, x p ) = A sin ω (t - t ,0) = Asin(ωt - ω ) v v = λf ω= 2π f π x 2π y (t , x p ) = A sin(ωt - 2πf p ) = A sin(ωt - xp ) 2π λf λ k= Anomenem nombre d’ona K: λ t x • L’equació d’ona o funció d’ona és: y (t , x ) = A sin 2π ( - ) T λ y (t , x ) = A sin (ωt − kx ) O també: y (t , x ) = A sin (kx - ωt ) Si l’ona viatja cap a l’esquerra: y (t , x ) = A sin (ωt + kx ) 11
2-ONES HARMÒNIQUES2.3-DIFERÈNCIES DE FASE: t x • El terme (ωt – kx) = 2π − S’anomena fase de l’ona T λ Per a un mateix instant t: la diferència de fase entre dos punts de l’ona situats respecte l’origen a les distàncies x1 i x2 serà: ϕ1 = ωt- kx1 i ϕ2 = ωt-kx2 llavors: ϕ2-ϕ1=(ω t-kx2)-(ω t-kx1)= ω t-kx2- ω t+kx1= k(x1-x2) ∆ϕ = k∆x En fase: Estan en fase els punts amb idèntic estat de pertorbació, es a dir si el seu desfasament és 0, π 2π, 4π…, en general n2π (on n nombre enter positiu o negatiu), i això passarà si la distància entre ells , ∆x, és igual a un nombre enter de a i a’ estan en fase longituds d’ona b i b’ estan en fase 2π → Els dos punts vibren en fase ∆ϕ = k∆x = ∆x = n 2π (x1-x2)=nλ λ 12
2-ONES HARMÒNIQUES En oposició de fase: Estan en oposició de fase els punts que es mouen de la mateixa manera, però en sentits oposats. i això vol dir que tenen un desfasament de π, 3π, 5π…, en general π (2n+1)π (on n nombre enter), Passa quan els dos punts estan separats per una distància, ∆x de λ/2,(3/2)λ, (5/2)λ, en general (2n+1)(λ/2), es a dir, un nombre imparell de semilongituds d’ona d i d’ estan en oposició de fase e i e’ estan en oposició de fase 2π (x1-x2)=(2n+1)(λ/2) → Els dos punts vibren en oposició ∆ϕ = ∆x = (2n + 1)π de fase λUn mateix punt de l’ ona en dos instants diferents estarà en diferents estats devibració, diferent fase: ϕ1= ω t1-kx i ϕ2= ω t2-kxllavors: ϕ2-ϕ1=(ω t2-kx)-(ω t1-kx)= ω t2-kx- ω t1+kx= ω(t1-t2) ∆ϕ = ω∆t 13
2-ONES HARMÒNIQUES2.4-DOBLE PERIODICITAT DEL MOVIMENT ONDULATORIEl moviment ondulatori harmònic és periòdic respecte a l’ espai i al temps. Respecte al temps:Per a un temps nT on n es un nombresencer i T és el període anem acomprovar si es repeteix el moviment ω Y=A sin (ωt-kx) 2π .t 2π .x t x però també es pot expressar com : Y = A sin ( - ) = A. sin 2π ( - ) T λ T λ Per a un temps t+nT queda: t + nT x t nT x 2πt 2πx Y = A sin 2π ( - ) = A sin 2π ( + - ) = A sin ( - + n 2π ) T λ T T λ T λ però com sabem que per trigonometria sinα=sin(α+2π) i és lògic ja que en donar una oscil·lació completa torna a estar com estava i llavors l’equació torna a ser la mateixa: y (t, x ) = y (t + nT , x ) En fase si difereixen nombre enter de períodes 14 En oposició de fase si nombre imparell de semiperíodes
2-ONES HARMÒNIQUES Respecte a l’espai:Passa el mateix si recorre un espai nλ on n és un nombre sencer i λ és lalongitud d’ona 2πt 2πx t x + nλ t x nλ 2πt 2πx Y = A sin ( - ) = A sin 2π ( - ) = A sin 2π ( - - ) = A sin ( - - n 2π ) T λ T λ T λ λ T λ igual que abans es tracta d’una oscil·lació completa i l’equació queda igual que al principi En fase si difereixen nombre enter de longituds d’ona y (t, x ) = y (t, x + nλ ) En oposició de fase si nombre imparell de semilongituds d’ona 15
3-INTENSITAT D’UNA ONA • L’energia que transporta un ona harmònica sense fregament, serà l’energia amb que vibra l’oscil·lador en el focus. k = m ω2 1 1 2 1 2 Ec = mv 2 Ep = ky E = Ec + Ep = kA 2π 2 2 2 ω= = 2π .f T 1 E = m.4π 2 .f 2 .A 2 = cte.f 2 .A 2 2L’energia de vibració és directament proporcional al quadrat de la freqüènciad’oscil·lació i al quadrat de l’amplitud de l’ona. • La potència d’una ona en un punt, és l’energia que transporta per unitat de temps. • La unitat en el SI és el watt: E W= 1J/s P= t 16
3-INTENSITAT D’UNA ONA• La intensitat (I) d’una ona tridimensional en un punt, és la potència per unitat de superfície situada perpendicularment a la direcció de propagació. E P I= = • La unitat d’intensitat és W m-2 St S Si l’ona és unidimensional o bidimensional les unitats seran W i Wm-1Es pot demostrar que la intensitat és proporcional al quadrat de l’amplitud I1 A12 I α A2 I2 = 2 A2• Es diu amortiment a la disminució de l’energia i per tant de l’amplitud d’una ona.• Una ona samortigua a mesura que avança, per dues causes: l’atenuació amb la distància i l’absorció del medi 17
3-INTENSITAT D’UNA ONA1-Atenuació • Quan el focus emissor és puntual es produeixen ones esfèriques i el seu front es propaga en totes direccions de l’espai • En avançar l’ona, augmenta la superfície del front i també les partícules en vibració, així l’ energia es reparteix entre més partícules i els toca menys quantitat a cada una, amb el que B2 r2 l’amplitud disminueix. r1 Aquest fenomen es produeix encara que no hi hagi B1 F dissipació d’energia al medi. • La intensitat de l’ona esfèrica en el punt B1 que dista r1 del focus emissor F és: P I1 = 4 π r1 2 • I en el punt B2 que dista r2 del focus P emissor F : I2 = 4 π r2 2 2 Per tant, I1 r2 En una ona tridimensional, la intensitat de l’ona en un punt és = inversament proporcional al quadrat de la distància al focus 18 2 I2 r1
3-INTENSITAT D’UNA ONA 2 I1 r2 i teniem I1 A12 A1 = r 2 = 2 = I2 r1 I2 A22 A2 r12. Absorció Els fregaments amb el medi produeixen una absorció d’energia, que depèn de les característiques del medi i de la freqüència de l’ona. Ex. Aigua absorbeix més el so audible que els ultrasons. La intensitat d’una ona després de travessar un gruix x és: − 2α x I = I0 e Io: Intensitat inicial de l’ona x: gruix del material α: coeficient d’absorció del medi 19
3-INTENSITAT D’UNA ONAS’anomena gruix de semiabsorció (D 1 /2 ): el gruix que ha detenir el material perquè la intensitat es redueixi a la meitat ln2 D1/2 = α El tipus de material amb que es revesteixen les parets de les sales daudició musical, condiciona la quantitat de so que es rep, ja que absorbeixen en diferent grau les ones sonores 20
4-ONES SONORES La vibració de les cordes d’una guitarra, mou les capes d’aire i es transmet mitjançant un moviment ondulatori, que arriba al nostre timpà i el fa vibrar.SO: vibració o pertorbaciómecànica d’algun cos quees propaga en formad’ones a través dequalsevol medi material.Les ones sonores són ones mecàniques longitudinals, tridimensionals iconsisteixen en successives compressions i dilatacions del medi de propagacióoriginant variacions periòdiques de pressió. 21
4-ONES SONORESL’orella humana percep un interval de freqüències, de 20 a 20 000 Hz. (Persota, ones infrasonores, i per sobre les ultrasonores).La velocitat de les ones sonores és independent de la fontsonora i només depèn del medi de propagació.v (sòlids)> v (líquids) > v (gasos) Medi Velocitat Aire 340 m/ sVelocitat del so en l’aire a 20oC Aigua 1.500 m/ s.és de 340 m/s. Sòlids 6.000 m/ s (ferro) Fusta 3900 m/s 22
4-ONES SONORES4.1-QUALITATS DEL SO a) INTENSITAT La intensitat sonora és el volum acústic que produeix un so. L’orella pot percebre un interval d’intensitats (des de la intensitat mínima audible 1.10-12W/m2 fins el llindar del dolor 1 W/m2) A A2 fort A1 dèbil O t 23 Per una mateixa freqüència, a major intensitat, major amplitud d’ ona sonora
4-ONES SONORES SENSACIÓ SONORA. ESCALA DECIBÈLICA I• El nivell d’intensitat sonora β es defineix com: βdb = 10 log I0Es mesura en dB en l’escala decibèlica (escala logarítmica) Intensitat sonora d’alguns sons habituals Font sonora Intensitat sonora en W m−2 en dB 10−12 Llindar d’audició 0 Respiració normal 10−11 quasi no audible 10 Soroll de fulles 10−10 20 Murmulleig a 5 m 10−9 30 Casa tranqui-la 10−8 40 Oficina tranqui-la 10−7 50 Veu humana a 1 m 10−6 60 Carrer amb tràfec intens 10−5 70 Fàbrica 10−4 80 Tren 10−2 100 Grans altaveus a 2 m 100 llindar de dolor 120 24 Enlairament d’un reactor 102 140
4-ONES SONORESSENSACIÓ SONORA. ESCALA DECIBÈLICA Nivell d’intensitat sonora β i intensitat I (depenen de la freqüència) 25
4-ONES SONORES 14 15 b) TO • Permet distingir entre sons greus i aguts, i està relacionat amb la freqüència. Permet distingir les notes musicals. Les freqüències audibles estan entre 20 Hz i 20 kHz A greu • • • O T1 T2 t agut• Els de major freqüència es perceben com aguts , i els de menor, com greus. 26La freqüència és igual al nombre de compressions i dilatacions que es donen en un punt delmedi cada segon
4-ONES SONORES 15 c) TIMBRE• Permet distingir entre dos notes iguals emeses per diferents instruments. Permet distingir dos sons de la mateixa intensitat (amplitud) i del mateix to (freqüència) emesos per dos focus diferents. A clarinet O t violí• Excepte el diapassó, cap focus emissor, efectua una vibració harmònica pura, sinó una vibració harmònica de freqüència determinada (f) acompanyada d’un conjunt de vibracions de freqüències múltiples de la fonamental, 2 f, 3 f, ... anomenats harmònics 27
5-FENÒMENS ONDULATORIS5.1-PRINCIPI DE HUYGENS • Front d’ona: Superfície formada per tots els punts on hi arriba la ona al mateix moment i que per tant es troben en el mateix estat de vibració (estan en fase) • Raigs: Les línies perpendiculars al front d’ona en cada punt. Indiquen la direcció de propagació de l’ona. Front d’ona Front d’ esfèric ona pla Front d’ona pla Front pla Front esfèric Principi de Huygens: Cada punt d’un front d’ones es comporta com un focus emissor d’ones secundàries, la superfície envolupant del qual constitueix un nou front d’ona. 28
5-FENÒMENS ONDULATORIS5.2-DIFRACCIÓ • Un observador percep la llum d’un focus encara que no el pugui veure directament, i sent els sons d’un altaveu encara que es trobi darrera d’un obstacle. • Aquest fenomen s’anomena difracció • La difracció d’ones es produeix quan l’ona travessa una obertura o es troba un obstacle de tamany igual o inferior a la seva longitud d’ona. • Pot provocar un canvi en la direcció de propagació de l’ona. Difracció d’ones planes en la cubeta d’ones 29
5-FENÒMENS ONDULATORIS5.2-DIFRACCIÓ • La difracció s’explica pel principi de Huygens, l’orifici es converteix en un nou focus i permet a l’ona propagar-se darrere l’obstacle. 30
5-FENÒMENS ONDULATORIS Si un fenomen físic5.2-DIFRACCIÓ produeix difracció es pot assegurar que es propaga ondulatòriament • La difracció de la llum no és apreciable a simple vista perquè els obstacles han de ser molt petits (de l’ordre de la λ de la llum: 400-700 nm) • El so si perquè la λ està compresa entre cm i m) 31
5-FENÒMENS ONDULATORIS5.3-REFLEXIÓ D’ONES • La reflexió d’ones és el canvi de la direcció de propagació en incidir l’ona en el límit de separació de dos medis diferents; i retornar al mateix medi. Nus mòbil 32
5-FENÒMENS ONDULATORIS5.3-REFLEXIÓ D’ONES N A’ • Com que tA’B’ = tAB, essent v la velocitat de propagació de les A ones, resulta: ˆ i ˆ r B A’ A B AB = ⇒ A B = AB ∆x ∆x v v v= ⇒ t= t v A B’ t= • Els triangles AA’B’ i AA’B són iguals, i també ho seran els angles ˆ =r i ˆ 33
5-FENÒMENS ONDULATORIS 1LLEIS DE LA REFLEXIÓ• El raig incident, la normal a la superfície de separació i el raig reflectit estan situats en el mateix pla.• L’angle d’incidència i, i l’angle de reflexió r, són iguals. ˆ =r i ˆ 34
5-FENÒMENS ONDULATORIS APLICACIÓ DE LA REFLEXIÓ DEL SO. ECO.Ecografia:•L’ecografia envia ultrasons ( vones=1500 m/s) adiferents parts del cos.•Aquesta ultrasons penetren i es desplacen més omenys en funció de la densitat dels teixits.•Quan xoquen amb l’organ que es vol estudiar esprodueix eco.•El senyal rebut es transforma en elèctric i aquestes converteix en una imatge.
5-FENÒMENS ONDULATORISAPLICACIÓ DE LA REFLEXIÓ DEL SO. ECO.Sonar:Utilitzat en la navegació perlocalitzar el fons marí oaltres obstacles.•L’aparell emet ultrasons•Els ultrasons xoquen ambl’obstacle i es reflexen.•Els ultrasons són captatsper l’aparell. El sonar actua d’emissor i receptor. A partir del temps que transcorre entre que s’emet el so fins que es capta, permet calcular la distància a l’obstacle.
5-FENÒMENS ONDULATORIS ALTRES FENÒMENS ASSOCIATS A LA REFLEXIÓ DEL SO Galeries de murmuris: espais circulars o poligonals on les cares formen l’angle adequat perquè l’ona sonora s’hi reflecteixi. El so produït en A es pot sentir amb més intensitat en B que al centre. Prado, Alhambra... Perquè l’orella capti un eco, cal que el so original i el so reflectit Temple del Cel (Pequín) han d’estar espaiats 0,1 s. L’obstacle ha d’estar a més de 17m. Si la distància és més petita hi ha reverberació. (el so s’allarga)El con augmenta la intensitat del so (els sonsreflectits coincideixen en un punt) En els concerts cal reduir la reverberació amb cortines que absorbeixin una part del so reflectit. (no cal excedir-se, sinó problemes d’audició)
5-FENÒMENS ONDULATORIS5.4-REFRACCIÓ D’ONES • La refracció d’ones consisteix en el canvi de direcció de propagació de l’ona en passar d’ un medi a un altre diferent. Si el medi no permet la transmissió d’una ona a través seu, es diu que és un medi opac per aquest moviment ondulatori 38
5-FENÒMENS ONDULATORIS5. 4-REFRACCIÓ D’ONES Refracció d’un front d’ones AA’ AB A B t AB = t A B ⇒ = v2 v1 ˆ i A’ ∧ AB = AB sin r Medi 1 A ˆ i ∧ ˆ r B’ A B = AB sin i Medi 2 B AB sin r AB sin i ˆ = r v2 v1 ∧ ∧ sen i sen r ⇒ = (Llei de Snell) v1 v2 39
5-FENÒMENS ONDULATORIS 1 LLEIS DE LA REFRACCIÓ• El raig refractat, la normal a la superfície de separació i el raig incident són en el mateix pla.• L’angle d’incidència i l’ angle de refracció estan relacionats per: n21= índex de refracció relatiu del sin iˆ v1 n segon medi respecte = = n21 = 2 el primer sin rˆ v 2 n1 Refracció en la cubeta d’ ones 40
5-FENÒMENS ONDULATORIS ÍNDEX DE REFRACCIÓ• INDEX DE REFRACCIÓ: és la relació que existeix entre la velocitat de la llum en el buit i la velocitat de la llum en un determinat medi. n=c v• Pot definir-se l’índex de n2 Índex de refracció d’algunes refracción relatiu entre dos n 2,1 = n1 substàncies mitjans com: Aire 1,00 prenent-se en general al buit com medi 1 Aigua 1,33 Oli 1,45La velocitat de la llum en el buit és igual a Vidre d’ ampolles 1,523.108 m/s; i és la velocitat màxima que existeix. Vidre crown lleuger 1,54 Vidre flint lleuger 1,58Un índex de refracció petit indica una velocitat gran. Cristal·lí 1,44 Quars 1,54Líndex de refracció de l’aire es pot prendre com 1 ja que la Diamant 2,42velocitat de la llum en l’aire és aproximadament igual que en el Nailon 66 1,53buit. 41
5-FENÒMENS ONDULATORIS5.5-REFLEXIÓ TOTAL • Un raig de llum s’allunya de la normal quan passa d’un medi de major índex de refracció a un altre de menor, i s’acosta en cas contrari n aire=1, naigua=1’33 • Si els raigs incidents formen amb la normal angles cada cop majors, els refractats també augmenten, allunyant- se de la normal. • Angle límit, angle d’incidència pel qual l’angle de refracció val 900. • Per a angles > L, tenim reflexió total (la llum es reflecteix totalment) n1 sinˆ = n2 sinr i ˆ ˆ n1 sinL = n2 si r =90º sin r = 1 Angle límit Una aplicació reflexió de la llum ˆ = n2 sinL (reflexió total) és la fibra òptica n 42 1
5-FENÒMENS ONDULATORIS5.6-POLARITZACIÓ DE LA LLUM • La polarització només es pot presentar en els moviments ondulatoris de vibració transversal • Consisteix en la vibració del camp elèctric i del magnètic en una direcció preferent sobre les altres Polarització lineal• En general les ones electromagnètiques no → estan polaritzades, el que significa que el El vector E sempre vibra en camp elèctric i el magnètic poden vibrar en una mateixa direcció qualsevol de les infinites direccions que Z són perpendiculars a la direcció de propagació → E X• Es produeix la polarització quan → E s’aconsegueix que la vibració es faci en Y una direcció determinada • Per a estudiar el fenomen, s’observa la direcció de vibració del camp elèctric doncs el magnètic, per ser perpendicular a l’elèctric i a la direcció de propagació, queda fixat automàticament 43
5-FENÒMENS ONDULATORIS • La polarització consisteix en l’absorció de la llum que vibra en totes les direccions menys en una • Després de travessar la llum determinades substàncies, la vibració en un pla es manté, mentre que en la resta dels plans, està tan atenuada que no es percep• Aquest efecte es produeix en aquells materials sintètics denominats polaroides, i tenen Filtre gran poder antirreflectant polaritzador • Les turmalines són uns minerals que produeixen el mateix efecte que els polaroides 44
6-SUPERPOSICIÓ D’ONES suma applet beatsLa superposició (coincidència simultània)de dos o més moviments ondulatoris enun punt del medi s’anomena You tubeinterferència.És a dir, els fenòmens d’interferènciapassen quan a un punt de l’espai hi arribendues o més ones alhora. 6.1-Principi de superposició P Quan n moviments ondulatoris, cadascun amb la seva equació d’ona yi, coincideixen simultàniament en un punt, l’elongació resultant és la suma de les elongacions de cada un: y= y1 + y2 + ... + yn = Σyi 45
6-SUPERPOSICIÓ D’ONES 6.2-Interferència de dues ones harmòniques coherents.Coherents: Que estan en fase o la diferència de fase és constant Dos ones y i y’, coincideixen en el punt P, després de recórrer les distàncies d i d’. (suposem que tenen igual A, f, v i λ). d • y r = y1 + y 2 = A sin(ωt - kd ) + A sin(ωt - kd ) = A[sin(ωt - kd ) + sin(ωt - kd )] = O • P d’ (ωt - kd ) + (ωt - kd ) (ωt - kd ) - (ωt - kd ) = 2 A sin[ ]cos[ ]= • 2 2 O’ d - d d + d = 2 A cos( k ) sin(ωt - k ) 2 2 Igual f, λ. Amplitud, Ar, i la seva fase depenen de d i d’. 46 d + d d - d y r = Ar sin(ωt - k ) Ar = 2 A cos( k ) 2 2
6-SUPERPOSICIÓ D’ONES• La suma de varies pertorbacions en un punt pot donar com a resultat una pertorbació nul·la Exemple: llum + llum = foscorSi fem vibrar una corda pels dos extrems a la vegada, les ones espropagaran en sentit contrari, i cada pertorbació es mourà independent unade l’altra. Quan es creuin, tindrem la interferència i quan es separin,cadascuna segueix independentment amb la seva forma inicial. d - d d - d 2π Ar = 2 A cos( k ) = 2 A cos(π ) k= λ 2 λ Serà interferència constructiva quan Ar màxim i per tant cos sigui ±1. Serà interferència destructiva quan Ar mínim I per tant cos sigui 0. 47
6-SUPERPOSICIÓ D’ONESINTERFERÈNCIA CONSTRUCTIVA • Quan Ar és màxima: d - d d - d cos(π ) = ±1; π = nπ λ λ d − d = nλ ; essent n = 0,1,2…L’amplitud és màxima i igual al doblede l’amplitud dels movimentscomponents, en els punts on ladiferència de recorregut de les onesés 0 o un nombre enter de longitudsd’ona.Les ones arriben en concordança defase 48
6-SUPERPOSICIÓ D’ONESINTERFERÈNCIA DESTRUCTIVA• Quan Ar és mínima: d - d d - d π cos(π ) = 0; π = ( 2n + 1) λ λ 2 λ d - d = ( 2n + 1) ; essent n = 0,1,2... 2 L’amplitud s’anul·la, en els punts on la diferència de recorregut de les ones és un nombre imparell de semilongituds d’ona. Les ones arriben en oposició de fase. 49
6-SUPERPOSICIÓ D’ONES You tube quanticInterferència i difracció • Es forma una banda de interferències amb una sèrie de franges Màx. paral·leles clares i (n=2) fosques Min • S’observa que llum més S1 Màx. llum pot donar foscor (n=1) Min • La diferència de camins Màx. entre els raigs que surten d (n=0) dels dos orificis i arribenF Min a un mateix punt de la Màx. pantalla és: S2 (n=1) Min d sin θ Màx. (n=2) • Les franges il·luminades corresponen a ones que arriben en fase Pantalla x2 – x1 = d sin θ = nλ • Les franges fosques corresponen a ones que arriben en oposició de fase. Es produeix quan: (2n + 1) λ x2 – x1 = d sin θ = 50 2
6-SUPERPOSICIÓ D’ONES Young EXPERIMENT DE YOUNGL’experiment de Young va permetre estudiar el fenomen de la difracció en el casde la llum. Va treballar amb dos orificis molt petits que actuen com focusd’ones F1 i F2. Va observar les interferències entre ambdós focus en unapantalla. Raig 1 D=distància entre els orificis i la pantalla Y d=distància entre els dos orificis que es menor que la longitud d’ona de d la llum utilitzada. ϕ Y=alçada a la que es produeix la interferència en la pantalla respecte a l’orifici inferior Raig 2 x1-x2 x1-x2=diferència de camins entre els dos raigs que interfereixen: si observem interferència constructiva x1-x2=λ D pantalla si observem interferència destructiva x1-x2=λ/2 Veient els triangles que se formen : x − x2 tg ϕ = Y sen ϕ = 1 tgϕ = D = x1 − x2 Y d D d Y x1 − x2 Si un fenomen físic Per a valors de ϕ molt petits tgϕ=senϕ en radiants = produeix difracció es D d pot assegurar que es Permet calcular la longitud d’ona de la llum que s’utilitza ja que si per propaga exemple en aquest punt la interferència és Y ondulatòriament constructiva queda : λ = .d 51 D
6-SUPERPOSICIÓ D’ONES You tube porta Distància entre els punts obtinguts a la pantalla Yλ= .d Distància entre D els orificisDistància entre els orificisi la pantallaCada color té una λ → tindrà una Y diferent.Es difracta de manera diferent.
6-SUPERPOSICIÓ D’ONES video beats6.3- BATEMENTS O PULSACIONS Caixa musica Quan en un punt interfereixen dues ones de freqüències lleugerament diferents, l’amplitud de l’ona resultant varia periòdicament. Anomenem batements a aquesta variació. 53
6-SUPERPOSICIÓ D’ONES6.3- BATEMENTS O PULSACIONS Si suposem 2 ones d’igual amplitud i f diferents. En sumar-les, veiem que l’A varia amb el temps, passant successivament per valors màxims i mínims. Freqüència de batement: freqüència amb que un punt donat es converteix en node. Es a dir, el nombre de batements per segon. fb= f1-f2 f1 + f2 Freqüència resultant: f= 2 Període, T: interval de temps que separa dos batements. Aplicació: Afinar un instrument. 54
6-SUPERPOSICIÓ D’ONES A Franco6.4-ONES ESTACIONÀRIES Ona estacionària: l’ona produïda per interferència de dues ones harmòniques de la mateixa amplitud i la mateixa freqüència, que es propaguen en la mateixa direcció i en sentit contrari. Equació de l’ona estacionària: y1 = A sin(ωt - kx ); y 2 = A sin(ωt + kx ) yr = y1 + y2 = A sin(ωt - kx) + A sin(ωt + kx ) = A[sin(ωt - kx) + sin(ωt + kx )] = (ωt + kx ) + (ωt − kx) (ωt + kx) − (ωt − kx) = 2 A sin cos = 2 A cos( kx) sin(ωt ) 2 2 y r = 2A cos(kx ) sin(ωt ) = A r sin(ωt ) O també: y r = 2A sin(kx ) cos(ωt ) Ona estacionària té igual f que les components, i Ar, és independent del temps, però varia sinusoïdalment amb x. Excepte els punts on l’amplitud és nul·la, que no oscil·len, la resta oscil·len harmònicament i verticalment respecte l’eix OX i assoleixen alhora la posició d’equilibri. L’ona sembla fixa, no viatja. 55
6-SUPERPOSICIÓ D’ONES sociedad6.4-ONES ESTACIONÀRIES Posició dels ventres: Ar max→ cos (kx)= ±1 nπ kx = nπ ; x= k λ 2π x = 2n n = 0,1,2,3,.... k= 4 λ Posició dels nodes: Ar =0 → cos (kx)= 0 π 1 π kx = + nπ ; x = ( + nπ ) = 2 k 2 λ x = (2n + 1) n = 0,1,2,3,.... λ π λ 4 = ( + nπ ) = π ( 2n + 1) 2π 2 4π λ Distància entre nodes= Distància entre ventres = Distància entre node i ventre= λ/4 2 56
6-SUPERPOSICIÓ D’ONES harmònics You tubeInstruments musicals. Ones estacionàries en una cordaLes ones que es propaguen en sentits contraris deguts a les reflexionsoriginen diverses ones estacionàries, amb una freqüència característicaanomenada mode normal de vibració. Perquè es produeixi una ona estacionària en una corda fixada pels dos extrems, cal que la llargada de la corda (en l’extrem es produirà la reflexió), sigui un múltiple de semilongituds d’ona. Distància entre nodes = λ/2 57
6-SUPERPOSICIÓ D’ONES acustica surendraCorda fixa en els dos extrems: Instruments musicals.Corda fixa en els dos extremsSuposem corda de longitud L. Els extrems de la corda x= 0 o x=L, són nodes.Distància entre dos nodes consecutius= λ/2. λ 2L λ1=2L, λ2=L, λ3=2L/3 L=n λ= n = 1,2,3.... 2 n v f= Cada mode normal té associada una freqüència. λ f1= freqüència fonamental v v v 3vf =n n = 1,2,3.... f1 = ; f2 = ; f3 = 2L 2L L 2L video 58
6-SUPERPOSICIÓ D’ONES Instruments de corda Cordes piano vCordes més llargues (L) →sons més greus f =n n = 1,2,3.... 2LCordes més gruixudes (ρ) → sons més greusCorda més tensa (T) →so més agut n T f= n = 1,2,3.... 2L ρ 59
6-SUPERPOSICIÓ D’ONES v f =n n = 1,2,3.... 2L Cordes guitarra Es va variant la L Cordes violí 60
6-SUPERPOSICIÓ D’ONESAnàlisi de Fourier 61
6-SUPERPOSICIÓ D’ONES Corda fixa en un extrem:Corda fixa en els dos exSuposem corda de longitud L. En l’extrem fix, x= 0 ,hi ha node i el lliure, x=L,un ventre.Distància entre node i ventre consecutius= λ/4. λ 4L λ1=4L, λ2=4L/3, λ3=4L/5 L=n λ= n = 1,3,5.... 4 n vCada mode normal té associada una freqüència. f= λ v v 3v 5v f =n n = 1,3,5.... f1 = ; f = ; f = 4L 4L 2 4L 3 4L Només es formen els harmònics senars 62
6-SUPERPOSICIÓ D’ONESEls instruments de vent, produeixen sons per la vibració de la columna d’aire del’interior del tub. Podem variar la longitud del tub obrint algun orifici. En disminuir lalongitud, augmenta la freqüència i el so és més agut. Tub obert en els dos extrems (Igual que corda fixa pels dos extrems. Ara la longitud ha de ser ún múltiple de la distància entre dos ventres = λ/2. ) 2Lλ= n = 1,2,3.... n vf =n n = 1,2,3.... 2L Flauta 63
6-SUPERPOSICIÓ D’ONES harmònics Tub obert només en un extrem (Igual que corda fixa per un extrem. Ara la longitud ha de ser ún múltiple de la 4L vλ= n = 1,3,5.... f =n n = 1,3,5.... distància entre un ventre i n 4L un node = λ/4. ) Clarinet 64
7-EFECTE DOPPLER You tubeS’anomena efecte Doppler al canvi que s’esdevé en la freqüència i la longitudd’ona d’una ona com a conseqüència del moviment de l’emissor, del receptor o detots dos.Si estem aturats i s’acosta unaambulància, el so que percebem es famés agut a mesura que s’acosta. (lafreqüència es fa major i la λ menor). S’acosta Quan l’ambulància s’allunya, la freqüència es fa menor i per tant percebem un so més greu. S’allunya
7-EFECTE DOPPLER Tot això queda recollit en les següents expressions generals:Emissor i receptor s’allunyen: Emissor i receptor s’acosten v − vR v + vR fR = f ⋅ v+v fR = f ⋅ v−v F F Es percep so més greu Es percep so més agut vR: velocitat del receptor vF: velocitat de l’emissor f: freqüència de l’emissor fR: freqüència que rep el receptor Equacions vàlides també quan un dels dos està en repòs (velocitat=0)
7-EFECTE DOPPLEROnes de xocLa majoria dels avions volen a velocitat subsònica. Quan igualen la velocitat delso, els fronts d’ona successius coincideixen. Això produeix una gran resistència al’avanç que s’aprecia com a sacsejades: es diu que l’avió travessa la barrera delso.Per un avió que vola a 10.000 m d’altitud (T=-50oC), vso≅300 m/s= 1080 km/h). Si vola a velocitat supersònica, es produeix una ona de xoc (o de Mach), que en actuar en l’aire, origina una ona sonora encara que l’avió mateix no emeti so; aquesta ona és la responsable del so dels míssils. Hi haurà ona de xoc sempre que el focus es mogui amb una velocitat més gran que la propagació de l’ona.
Velocitat de propagació λ v= =λ f 2π T k=Funció d’ona λ Nombre d’ona t xy (t , x ) = A sin(ωt − kx ) = A sin 2π ( - ) Propagació en sentit positiu T λy (t , x ) = A sin (ωt + kx ) Propagació en sentit negatiuDesfasament (x1-x2)=nλ → Els dos punts vibren en fase ∆ϕ=k∆x (x1-x2)=(2n+1)(λ/2) → Els dos punts vibren en oposició de fase ∆ϕ = ω∆tRefracció ∧ sin i = v1 = n2 (Llei de Snell) Reflexió ˆ =r i ˆ n=c ∧ v sin r v 2 n1 Reflexió total n2 ˆ sin L = n1 P I1 = 4 π r1 2 Intensitat I1 2 r2 I1 A12 A1 = r 2 β = log I ⇒ βdb = 10 log I = = I0 I0 I2 2 r1 I2 A22 A 2 r1
Interf. constructiva Interf. destructiva d − d = nλ ; essent n = 0,1,2… λ d - d = ( 2n + 1) 2 Batements o pulsacions f1 + f2 f= fb= f1-f2 2 Ones estacionàriesy r = 2A cos(kx ) sin(ωt ) = A r sin(ωt ) y r = 2A sin(kx ) cos(ωt ) ventres nodes λ λ x = 2n n = 0,1,2,3,.... x = (2n + 1) n = 0,1,2,3,.... 4 4 λ Efecte Doppler Distància entre nodes= Distància entre ventres = S’allunya Distància entre node i ventre= λ/4 2 v − vR fR = f ⋅ v+v Modes normals de vibració en cordes i tubs F Obert per 2 extrems Obert per un extrem v + vR v v fR = f ⋅ v−v f =n n = 1,2,3... f =n n = 1,3,5.... F 2L 4L S’acosta 69
8-APLICACIÓ DE LES ONESSonar i ecògraf: (reflexió del so). Permet determinar la distància a obstacles oòrgans en mesurar el temps que triga en reflectir-se el so.Fibra òptica: (reflexió total). La llum que ha entrat dins la fibra no pot escapar.Difracció de raigs X: (interferència). Els raigs X de λ inferior a la llum, esdifracten degut a la separació dels àtoms en els cristalls. Estudiant lesinterferències produïdes es pot deduir l’estructura interna del cristall.Afinar un instrument: (Batements)Laser: medicina, eina de tall, transmissió d’informació en fibra òptica, lectorsd’informació òptica en CD.Radiografies: (Absorció)Ultrasons: Medicina. Destruir càlculs biliars o renals (pedres) 70
