• Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
No Downloads

Views

Total Views
10,923
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
446
Comments
0
Likes
1

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. BAB IX MATRIKS DAN DETERMINAN
  • 2. 9.1 Matriks Dalam kehidupan sehari-hari kita sering membuat hubunga antar dua atau beberapa besaran, seperti mata kuliah yang diikuti oleh mahasiswa pada suatu program studi tertentu atau nilai hasil semester mahasiswa seperti yang ditunjukk pada contoh berikut. Tek. Sist. Tek. Mtk. Str. Pemrogr. Basis Diskrit 45 Data 35 (P) 30 Dt. 40 40 42 42 31 29 22 29 37
  • 3. Dari bentuknya, matriks dapat didefinisikan sebagai susunan elemen-elemen sedemikian rupa sehingga membentuk baris kolom. Elemen-elemen tersebut diletakkan diantara dua bua kurung siku. Bentuk matriks dapat ditunjukkan sebagai berikut. Misal terdapat matriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom, maka bentuk matriks tersebut adalah,
  • 4. Ukuran suatu matriks ditunjukkan oleh jumlah baris m dan kolom n. Pada matriks diatas ukuran matriks A adalah m x n. Masing-masing elemen pada matriks disebut entri. Entri aij adalah elemen matriks yang berada pada baris ke i Umumnya ke j. dan kolom suatu matriks ditunjukkan dengan huruf kapital yang dicetak tebal. Selain cara penulisan diatas, ditulis sebagai A = [a ij ]. matriks dapat juga Jika m sama dengan n , maka matriks disebut matriks bujur sangkar dan entri-entri aij dengan i sama dengan j disebut diagonal matriks.
  • 5. 9.2 Matriks Bentuk Khusus Jika kita identifikasi masing-masing entri dari suatu matrik maka terdapat beberapa matriks yang dapat dikategorikan sebagai matriks berbentuk khusus yaitu, 9.2.1 Vektor Kolom Vektor kolom adalah matriks yang mempunyai m baris dan satu kolom. Berikut adalah contoh matriks 4 x 1 (4 baris dan 1 kolom). 40 32 25 12
  • 6. 9.2.2 Vektor Baris Vektor baris adalah matriks yang mempunyai satu baris dan n kolom. Contoh matriks 1 x 4 atau 1 baris dan 4 kolo adalah [4 2 5 1] 9.2.3 Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama. Berikut diberikan contoh matriks persegi yang berukuran 5 x 5 (5 baris dan 5 kolom
  • 7. .2.4 Matriks Segitiga Matriks segitiga dapat dikelompokkan menjadi dua bagian, yaitu matriks segitiga atas dan segitiga bawah. Jika seluruh entri yang berada diatas diagonal matriks mempunyai nilai 0 dan setidak-tidaknya ada satu entri yang berada dibawah diagonal ≠ 0, maka matriks tersebut adalah matriks segitiga bawah atau untuk setiap i<j, a ij = 0. Sedangkan matriks yang mempunyai entri dibawah diagona dan setidak-tidaknya ada satu entri yang berada diatas diagonal ≠ 0, maka matriks tersebut adalah matriks segitig atas atau untuk setiap i> j, a ij = 0
  • 8. 9.2.5 Matriks Diagonal Jika seluruh entri diatas dan dibawah diagonal sama denga dan setidak-tidaknya ada satu entri pada diagonal ≠ 0, maka matriks tersebut adalah matriks diagonal atau untuk etiap i ≠ j, a ij =0.
  • 9. 9.2.6 Matriks Skalar Matriks skalar adalah matriks yang mempunyai nilai entri yang sama pada diagonal. Jika matriks diagonal adalah matriks D, maka d 11 = d 22 = d.. ..= d nn 9.2.7 Matriks Identitas Matriks identitas adalah matriks yang mempunyai entri-e baik diatas maupun dibawah diagonal sama dengan nol d entri pada diagonal sama dengan 1.
  • 10. 9.2.8 Matriks 0 Matriks 0 adalah matriks yang seluruh entrinya sama deng .2.9 Matriks Transpose Contoh 9.1 Jika A = , maka A T = .10 Matriks Simetri dan Skew-Simetri Jika sebuah matriks sama dengan transposenya (A = A T ) maka matriks tersebut adalah matriks simetri. Contoh 9.2 Jika A = , maka A T =
  • 11. arena A = A T , maka A adalah matriks simetri. edangkan matriks skew- simetri adalah matriks yang memenuhi –A = A T . Contoh 9.3 Misal A = ,maka A T = , –A = Karena –A = A T , maka A adalah matriks skew-simetri .
  • 12. 3 Operasi Aritmatika pada Matriks Operasi aritmatika pada matriks terdiri dari penjumlahan, erkalian skalar dengan matriks, perkalian matriks dengan matriks serta kombinasi linier beberapa matriks. 9.3.1 Penjumlahan Misal terdapat matriks A = [a ij ] dan B = [b ij ] yang masing-masing berukuran m x n. Jumlah A dan B, ditulis A+B, adalah C = [c ij ], dengan [c ij ] = [a ij ] + [b ij ]. Perlu diingat, bahwa dua buah matriks hanya dapat dijumlahkan jika mempunyai orde yang sama. Contoh 9.4 Misal A = B=
  • 13. Maka A + B = C 3.2 Perkalian Skalar dengan Matriks Jika terdapat sebuah skalar c dan matriks A = [aij], maka perkalian antara skalar c dengan matriks A adalah cA = [c.a atau dapat ditulis dalam bentuk: cA = c
  • 14. Contoh 9.5 Jika A = maka 3A = 3.3 Perkalian Matriks dengan Matriks Perkalian dua buah matriks hanya dapat dilakukan jika jum kolom matriks pertama dan jumlah baris matriks kedua sam Misal matriks A = [aij] berukuran m x n dan matriks B = [bij] berukuran n x p, maka perkalian antara matriks A matriks B,
  • 15. Nilai dari c ij adalah, Contoh 9.6 Diketah A= ui B= ika terdapat matriks C = A.B, maka C=
  • 16. 3.4 Kombinasi linier matriks Jika A 1 , A 2 , … , A p adalah matriks yang mempunyai ukuran Sama, dan k 1 , k 2 , … , k p adalah skalar, maka k 1 A 1 + k 2 A 2 + … + k p A p disebut kombinasi linier dari A 1, A 2, … , A p Contoh 9.7 Jika , A1 = A2 = tentukan A 1 + 3A 2 – 2A 3 Penyelesaian A3 =
  • 17. A 1 + 3A 2 –2A 3 3.5 Sifat-sifat Operasi Matriks Jika a dan b adalah skalar dan A, B, dan C adalah matriks, maka berlaku:
  • 18. A+B=B+A ) A + (B + C) = (A + B) + C ) A(BC) = (AB)C ) A(B ± C) = AB ± AC (B ± C)A = BA ± CA vi) a(B ± C) = aB ± aC ii) (a ± b)C = aC ± bC ii) (ab)C = a(bC) ix) x) xi) xii) iii) a(BC) = (aB)C = B(aC) (A T ) T = A (A + B) T = A T ± B T (cA)T =cA T (AB)T = B T A T hukum komutatif penjumlaha hukum asosiatif penjumlahan hukum asosiatif perkalian hukum distributif kiri huklum distributif kanan
  • 19. 9.4 Matriks yang Diperluas ( Augmented matrix ) Matriks yang diperluas adalah matriks yang berhubungan dengan penyajian sebuah sistem persamaan linier. Misal terdapat sistem persamaan linier, Dari sistem persamaan linier tersebut, dapat disajikan matriks koeffisien,
  • 20. 5 Matriks dalam bentuk Eselon Baris atu matriks dikatakan mempunyai bentuk eselon baris jika emenuhi: ) Setiap baris yang keseluruhan elemennya nol diletakkan pada bagian bawah matriks ) Elemen pertama dari setiap baris yang bukan nol (disebut leading coefficient atau pivot ) harus terletak disebelah kanan leading coefficient pada baris sebelumny
  • 21. Contoh 9.8 Matriks dalam bentuk eselon baris ontoh 9.9 atriks berikut tidak/belum dalam bentuk eselon baris Matriks segitiga atas adalah matriks yang termasuk yang mempunyai bentuk eselon baris.
  • 22. 9.6 Matriks dalam bentuk Eselon Baris Tereduksi Suatu matriks dikatakan mempunyai bentuk eselon baris tereduksi jika: i) Matriks tersebut sudah dalam bentuk eselon baris ii) Elemen leading coefficient harus mempunyai nilai 1 (selanjutnya disebut leading 1 ) dan satu-satunya eleme matriks yang bukan 0 pada kolom yang bersangkutan. Perlu diketahui bahwa matriks satuan adalah bentuk khusu dari matriks eselon baris tereduksi Contoh 9.10 Suatu matriks yang belum dalam bentuk eselon baris dapat ditransformasikan kedalam bentuk matriks eselon tereduksi
  • 23. 7 Operasi Baris Elementer perasi yang dapat dilakukan terhadap baris dan kolom suatu atriks adalah: ) Perkalian sembarang baris dengan skalar ) Penukaran posisi suatu baris dengan baris tertentu ) Penjumlahan antara i) dan ii). etiga operasi diatas disebut Operasi Baris Elementer (OBE) ontoh penggunaan notasi yang digunakan pada operasi baris an kolom: ) R 3 → 2R 3 artinya baris ketiga matriks diganti dengan 2 kal baris ke tiga ) R 1 ↔ R 2 artinya baris pertama dan kedua saling dipertuka ) R 2 → R 2 + 3R 3 artinya baris kedua diganti dengan baris ke ditambah dengan tiga kali baris ketiga
  • 24. Contoh 9.11 kukan OBE terhadap matriks berikut, sehingga menjadi matr elon baris tereduksi. Penyelesian Elemen pivot 2 1 –1 5 3 4 7 4 Elemen dieliminasi 5
  • 25. Langkah pertama ah elemen pivot menjadi 1 dengan cara mengalikan baris rtama dengan 1/2. ½ R1 –5R 1 +R 2 2R2 –4R 1 +R 3
  • 26. 9.8 Determinan eterminan adalah besaran atau nilai yang berhubungan engan matriks persegi. Jika determinan suatu matriks ersegi tidak sama dengan nol maka matriks persegi ersebut mempunyai balikan ( inverse ). ebaliknya, jika determinan suatu matriks persegi tidak sam engan nol, maka matriks tersebut tidak mempunyai balikan
  • 27. Jika terdapat matriks dari matriks A adalah , maka determina Contoh 9.12 Tentukan determinan dari Penyelesaian 9.8.1 Sifat-sifat determinan i) Setiap matriks dan transposenya mempunyai determin yang sama atau det A = det A T
  • 28. ) Jika terdapat matriks A dan matriks B, maka berlaku det(AB)=det (A) det (B) iii) Determinan dari matriks segitiga adalah perkalian dari diagonalnya a matriks B adalah matriks yang didapat dari empertukarkan dua buah baris matriks A, maka determinan matriks B berlawanan dengan determinan matriks A
  • 29. ka matriks a) dan c adalah konstanta, ma b) ka seluruh elemen dari salah satu baris suatu matriks sama engan nol, maka determinan matriks tersebut sama dengan nol.
  • 30. Misal A = [a ij ] adalah matriks nxn, dan misalkan M adalah 9.8.2 Kofaktor matriks (n-1)x(n-1) yang diperoleh dari A dengan menghapus baris ke i dan kolomn ke j pada matriks A. Determinan dari M disebut minor dari a ij (selanjutnya ditulis M ij ). Sedangkan c ij adalah kofaktor a ij dan didefinisikan sebagai, Contoh 9.9 Diketahui Tentukan minor dan kofaktor dari a 11 dan a 13 Penyelesaian
  • 31. 8.3 Determinan dari matriks n x n Secara umum untuk menghitung determinan dari matriks orde n x n adalah sebagai berikut. Jika A adalah matriks persegi n x n, maka determinan dari matriks A adalah
  • 32. Contoh 9.10 Tentukan determinan dari enyelesaian Karena A adaah matriks 3 x 3, maka nilai i diambil antara , 2, atau 3. Kita tentukan i=1 Dari rumus 9.4a didapat, det A =
  • 33. = –8 det A =(–4)(2)+(1)(9)+(5)(–6) + 9 – 30 = –29 Kerjakan ulang contoh 9.10 dengan menggunakan rumus 9.4b dengan nilai j = 2. Selain menggunakan rumus 9.4, menentukan determinan matriks orde 3 dapat juga menggunakan cara Sarrus. Jika terdapat matriks
  • 34. Maka det A = –( ) –( ) – ( ) +( ) +( ) + ( ) A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 34 + a 13 a 21 a 32 – a 31 a 22 a 13 – a 32 a 23 a 11 – a 33 a 21 a 12
  • 35. 9.9 Adjoin Matriks Jika terdapat matriks A = [aij], maka Contoh 9.11 Penyelesaian , tentukan adjoin A
  • 36. 0 Balikan Matriks ( Inverse of a Matrix ) Jika matriks A = [a ij ] adalah matriks persegi n x n, maka balikan ( inverse ) dari A dilambangkan dengan A -1 merupa matriks n x n sehingga memenuhi 9.10.1 Menentukan balikan matriks dengan rumus
  • 37. ah satu cara untuk menentukan balikan matriks adalah deng ncari adjoin dan determinan dari matriks yang dicari balikan ebih dahulu. Setelah itu gunakan rumus Contoh 9.12 Penyelesaian , tentukan
  • 38. 9.10.2 Balikan matriks dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan Untuk menentukan balikan matriks A dengan eliminasi Gauss-Jordan berarti kita harus melakukan eliminasi matriks A menjadi bentuk eselon baris tereduksi. Misal A adalah matriks non-singular n x n. AB = I jika dan hanya jika B =A-1 Bukti AB = I → A -1 AB = A -1 I → IB = A -1 → B = A -1 atau A|I → AB |B → I|A -1 Berarti, jika kita berhasil mengeliminasi A|I menjadi I|X, maka kita dapat memastikan bahwa X = A -1
  • 39. Contoh 9.13 ri contoh 9.12, tentukan A -1 dengan metode eliminasi uss-Jordan Penyelesaian R 2 –2/3 R 1 R 3 –R 1 R 3 –6/7 R 2
  • 40. R 1 + 2/3R 2 R 2 +4/7R 3 R 1 –9/7R 3