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4 ESO-A Tema09-Vectores y rectas en el plano

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  • 1. Tema 9 Vectores y rectas en el plano Luis Alonso CEIPS Adolfo Suárez Curso 2010-2011
  • 2. Curso 2010/2011 2 Tema 9 1.-Vectores en el plano 2.-Operaciones con vectores 3.-Ecuaciones de la recta a)Ecuación vectorial b)Ecuaciones paramétricas c)Ecuación continua d)Ecuación general e)Ecuación punto-pendiente f)Ecuación explícita 4.-Posiciones relativas
  • 3. Curso 2010/2011 3 1.- Vectores en el plano ● Las magnitudes que se expresan con un solo número se llaman magnitudes escalares, pero si además tenemos que saber la dirección y el sentido, tenemos magnitudes vectoriales y sus elementos son los vectores. ● Por ejemplo, un mapa del tiempo contiene magnitudes constantes, como la temperatura, y magnitudes en movimiento, como el viento.
  • 4. Curso 2010/2011 4 1.- Vectores en el plano ● Un vector AB es un segmento orientado con origen A y extremo B. ● Gráficamente es una flecha. ● Los elementos de un vector son: –Módulo de AB (|AB|) a la longitud del segmento AB –Dirección de AB a la recta que pasa por A y B –Sentido de AB a la orientación en la recta: de A a B ● Dos vectores son equipolentes (“iguales”) si tienen igual módulo, dirección y sentido. ● Todos los vectores equipolentes entre sí son el mismo vector libre.
  • 5. Curso 2010/2011 5 Cálculo de las coordenadas de un vector ● Dados A(4,1) y B(1,2) dibuja el vector AB y halla sus coordenadas. Para ir de A a B tenemos que ir 3 a la izquierda (-3) y 1 para arriba (+1). Luego el vector AB=(-3,1). Es decir, AB = ( 1-4 , 2-1 )
  • 6. Curso 2010/2011 6 Cálculo de las coordenadas de un vector ● Es decir, para calcular las coordenadas de un vector conocidos dos puntos, simplemente restamos sus coordenadas: A(x1 ,y1 ), B(x2 ,y2 ) entonces AB=(x2 -x1 ,y2 -y1 )
  • 7. Curso 2010/2011 7 Módulo de un vector ● El módulo de un vector es lo que “mide”. ● Veamos el dibujo que formamos. Luego podemos, por el Teorema de Pitágoras, calcular cuánto mide la hipotenusa del triángulo: ∣AB∣=d  A, B=x2−x1 2  y2−y1 2
  • 8. Curso 2010/2011 8 EJERCICIOS ● Realiza los siguientes ejercicios: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 14 (p. 153)
  • 9. Curso 2010/2011 9 Tema 9 1.-Vectores en el plano 2.-Operaciones con vectores 3.-Ecuaciones de la recta a)Ecuación vectorial b)Ecuaciones paramétricas c)Ecuación continua d)Ecuación general e)Ecuación punto-pendiente f)Ecuación explícita 4.-Posiciones relativas
  • 10. Curso 2010/2011 10 2.- Operaciones con vectores a) SUMA DE VECTORES: ● Para sumar gráficamente dos vectores u y v se toma uno de ellos ( u ) y con origen en su extremo se dibuja el otro vector ( v ). ● Y la suma es otro vector con origen el de u y extremo el de v. ● Se denota por u+v.
  • 11. Curso 2010/2011 11 2.- Operaciones con vectores a) SUMA DE VECTORES: ● En coordenadas, si el vector suma se calcula sumando: Ejemplo: Si A(0,0), B(-1,3), C(-2,-2), D(1,-3), calcula: AB, CD, AB+CD, CD+AB u=u1, u2 ,v=v1, v2 uv=u1, u2v1, v2=u1v1 ,u2v2
  • 12. Curso 2010/2011 12 2.- Operaciones con vectores b) PRODUCTO DE UN Nº POR UN VECTOR: ● Gráficamente, al multiplicar por un número un vector podemos modificar el módulo del vector, y el sentido si el número es negativo. ● En coordenadas, si el producto de un número real k por dicho vector es: u=u1, u2 k ·u=k ·u1, k ·u2
  • 13. Curso 2010/2011 13 2.- Operaciones con vectores b) PRODUCTO DE UN Nº POR UN VECTOR: ● OBSERVACIÓN: –El vector -v es el mismo que v pero de sentido contrario. –Restar dos vectores u y v es: u−v=u−v 
  • 14. Curso 2010/2011 14 EJERCICIOS ● Realiza los siguientes ejercicios: 16, 17, 19, 20, 21, 22 (p. 155)
  • 15. Curso 2010/2011 15 Tema 9 1.-Vectores en el plano 2.-Operaciones con vectores 3.-Ecuaciones de la recta a)Ecuación vectorial b)Ecuaciones paramétricas c)Ecuación continua d)Ecuación general e)Ecuación punto-pendiente f)Ecuación explícita 4.-Posiciones relativas
  • 16. Curso 2010/2011 16 3.- Ecuaciones de la recta ● Las rectas son funciones lineales y=mx+n donde m es la pendiente de la recta y n la ordenada en el origen. ● Veamos las distintas formas de expresarla.
  • 17. Curso 2010/2011 17 a) Ecuación vectorial ● Una recta queda definida por dos puntos A y B. ● Cualquier punto de la recta será una traslación del punto A. ● La ecuación vectorial de la recta que pasa por A y tiene por vector director v es: donde P es un punto de la recta y t un parámetro que puede valer cualquier nº real. OP=OAt ·v
  • 18. Curso 2010/2011 18 b) Ecuación paramétrica ● Si escribimos la ecuación vectorial en coordenadas: P(x,y), A(a,b), entonces: Luego las ecuaciones paramétricas de la recta son: con t un número real. v=v1, v2 x , y=a ,bt ·v1, v2 x , y=at ·v1 ,bt ·v2 {x=at ·v1 y=bt ·v2
  • 19. Curso 2010/2011 19 c) Ecuación continua ● Si despejamos el parámetro t de las dos ecuaciones, entonces nos queda: Como t es el mismo número, podemos igualar y obtenemos la ecuación continua de la recta: {x=at ·v1 y=bt ·v2 t= x−a v1 y t = y−b v2 x−a v1 = y−b v2
  • 20. Curso 2010/2011 20 d) Ecuación general ● De la ecuación continua, vamos a operar para dejarlo todo en una igualdad más sencilla. Ejemplo: x−2 3 = y−1 2
  • 21. Curso 2010/2011 21 d) Ecuación general ● Hemos obtenido por tanto la ecuación general de la recta: Ax+By+C=0 donde el vector director de la recta es v=−B , A
  • 22. Curso 2010/2011 22 e) Ecuación punto-pendiente ● Si despejamos de la ecuación continua, podemos obtener: La ecuación punto-pendiente de la recta es: donde m es la pendiente de la recta. x−a v1 = y−b v2  y−b= v2 v1 x−a=m x−a y−b=mx−a
  • 23. Curso 2010/2011 23 e) Ecuación punto-pendiente ● Si conocemos el vector director de la recta, entonces la pendiente es: ● Podemos decir también que la pendiente es la inclinación de la recta y está relacionada con la tangente del ángulo de inclinación. De ahí que se dividan de esa forma las coordenadas. v=v1, v2 m= v2 v1
  • 24. Curso 2010/2011 24 f) Ecuación explícita ● Si ahora despejamos la y de la ecuación punto- pendiente (o de la general o de la continua que son la misma) obtenemos la ecuación explícita de la recta que es: que es la forma general en la que nosotros conocemos las rectas. y=mxn
  • 25. Curso 2010/2011 25 EJERCICIOS ● Tienes que tener todos los ejercicios siguientes sobre ecuaciones de la recta: a) 29, 32 (p. 157) b) 30 (p. 157) c) 31, 33 (p. 157) d) 41, 42 (p. 159) e) 43, 44 (p. 159) f) 46, 47 (p. 159) 48, 49 (p. 159)
  • 26. Curso 2010/2011 26 Tema 9 1.-Vectores en el plano 2.-Operaciones con vectores 3.-Ecuaciones de la recta a)Ecuación vectorial b)Ecuaciones paramétricas c)Ecuación continua d)Ecuación general e)Ecuación punto-pendiente f)Ecuación explícita 4.-Posiciones relativas
  • 27. Curso 2010/2011 27 4.- Posiciones relativas ● En el plano dos rectas pueden ser paralelas, coincidentes o secantes: –Paralelas: tienen la misma dirección y no poseen puntos comunes. –Coincidentes: tienen la misma dirección y todos los puntos son comunes. –Secantes: sus direcciones son distintas y sólo tienen un punto en común, que es el punto de corte de ambas rectas.
  • 28. Curso 2010/2011 28 4.- Posiciones relativas ● Para estudiar las posiciones relativas debemos observar primero los vectores directores. –Si son proporcionales (dividimos sus coordenadas y vemos si son constantes), entonces tienen la misma dirección. Luego tenemos rectas paralelas o coincidentes. –Si no son proporcionales entonces son secantes.
  • 29. Curso 2010/2011 29 4.- Posiciones relativas ● Completa la siguiente tabla: Posiciones Vectores directores Pendientes Ecuación general Paralelas Proporcionales Coincidentes Secantes Distintas m ≠ m' A A' = B B' = C C' u2 u1 = v2 v1
  • 30. Curso 2010/2011 30 EJERCICIOS ● Realiza los siguientes ejercicios: 34, 35, 39 (p. 157), 50, 51, 52 (p. 159)

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