Sistemas de numeración

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Descripción sobre los sistemas de numeración utilizados en las técnicas digitales.

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Sistemas de numeración

  1. 1. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Unidad 1 – Sistemas de Numeración y CódigosTemasSistemas de numeración usuales en electrónicaRepresentación posicional de los númerosSistemas de numeración decimal, binario, octal y hexadecimalConversiones entre sistemasRepresentación de números enterosSigno y MóduloComplemento a C-1Complemento a C-2Exceso a 2 n-1Desbordamiento (OVERFLOW)Representación de números con punto fijoBinario puroDecimal codificado en binario (BCD)BCD natural, BCD Aiken, BCD Exceso 3, BCD 5421, GrayDecimal desempaquetadoDecimal empaquetadoCódigos detectores y correctores de erroresCódigos de HammingRepresentación en coma flotanteCódigos de entrada / salidaCódigo BCD de intercambio normalizadoCódigo EBDICCódigo ASCII 1
  2. 2. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Sistemas de Numeración Definición de Sistema de Numeración Cualquier sistema consta fundamentalmente de una serie de elementos que loconforman, una serie de reglas que permite establecer operaciones y relaciones entretales elementos. Por tanto, puede decirse que un Sistema de Numeración es el conjuntode elementos o símbolos, operaciones y relaciones que, a través de reglas propias,permite representar datos. Tiene como característica una base que determina el diferentenúmero de símbolos que lo componen. El más conocido y usado es el sistema de numeración decimal, no es el único y porel contrario los más utilizados en los circuitos digitales son el octal, el hexadecimal y sobretodo el binario. Estos sistemas de numeración son sistemas posicionales, que secaracterizan porque un símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupa en lacifra. Sistema de Numeración Decimal El sistema decimal, como ya mencionamos, es un sistema posicional, ya que elsignificado de un símbolo depende fundamentalmente de su posición relativa al símbolocoma (,), denominado coma decimal, que en caso de ausencia se supone colocadaimplícitamente a la derecha. Es el sistema de numeración que utilizamos habitualmente, y se compone de diezsímbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de laposición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, etc. El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número quecoincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual ala posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha (TeoremaFundamental de la Numeración). En el sistema decimal el número 528, por ejemplo, significa: 5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir: 5*102 + 2*101 + 8*100 o, lo que es lo mismo (según el TFN): 500 + 20 + 8 = 528 En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en estecaso, algunos exponentes de las potencias serán negativos, concretamente el de losdígitos colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el número 8245,97 secalcularía como:8 unidades de mil + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimas + 7 céntimas8*103 + 2*102 + 4*101 + 5*100 + 9*10-1 + 7*10-2, es decir:8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97 2
  3. 3. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Sistema de Numeración Binario El sistema binario es el sistema de numeración que utilizan internamente loscircuitos digitales, por ello será el sistema al que prestaremos mayor atención y estudio. Este sistema utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1). En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición queocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponenteigual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con elsistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2)para representar los números. De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calculaasí: 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 , es decir: 8 + 0 + 2 + 1 = 11 y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos así: 1011(2 = 11(10 Cada cifra o dígito de un número representado en este sistema se denomina bit(contracción de binary digit). Para la medida de cantidades de información representadas en binario se utilizanuna serie de múltiplos del bit que poseen nombre propio; éstos son los siguientes:  Nibble o cuarteto. Es el conjunto de cuatro bits (1001).  Byte u octeto. Es el conjunto de ocho bits (10101010).  Kilobyte (Kb). Es el conjunto de 1024 bytes (1024 * 8 bits).  Megabyte (Mb). Es el conjunto de 1024 kilobytes (10242 * 8 bits).  Gigabyte (Gb). Es el conjunto de 1024 megabytes (10243 * 8 bits).  Terabyte (Tb). Es el conjunto de 1024 gigabytes (10244 * 8 bits). La razón por la que se utiliza el factor multiplicador 1024 en lugar de 1000, comosucede en otras magnitudes físicas, es por ser el múltiplo de 2 más próximo a 1000,cuestión importante desde el punto de vista electrónico. La tabla de equivalencias entre los múltiplos del bit es la siguiente: 1 nibble = 4 bits. 1 byte = 2 nibbles = 8 bits. 1 kilobyte = 1024 bytes = 1024 * 8 bits = 8192 bits. 1 megabyte = 1024 kilobytes = 10242 bytes = 10242 * 8 bits = 8.388.608 bits. 1 gigabyte = 1024 megabytes = 10242 kilobytes = 10243 bytes = 10243 * 8 bits = = 8.589.934 592 bits. 1 terabyte = 1024 gigabytes = 10242 megabytes = 10243 kilobytes = 10244 bytes = = 10244 * 8 bits = 8.796.093.022.208 bits. El byte u octeto es considerado como la unidad básica de medida de la informaciónrepresentada en informática. 3
  4. 4. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Sistema de Numeración Octal En el sistema octal, los números se representan mediante ocho dígitos diferentes:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo dellugar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por laspotencias de base 8. La conversión de un número decimal a octal, y viceversa, se realizadel mismo modo que la de los números binarios, aunque, lógicamente, se emplea comobase el número 8 en vez del 2. Por ejemplo, un número en octal sería 125. Estamos en base 8,así que el númerose traduce a decimal así: 1 * 82 + 2 * 81 + 5 * 80 = 64 + 16 + 5 = 85 (decimal) Sistema de Numeración Hexadecimal En este sistema, los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F, representandolas cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitosmayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende,como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16. Por ejemplo, un número hexadecimal 4F3D:4 * 163 + 15 * 162 + 3 * 161 + 13 * 160 = 4 * 4096 + 15 * 256 + 3 * 16 + 13 == 20285(10 Tabla de equivalencias entre los sistemas Decimal Binario Octal Hexadecimal Decimal Binario Octal Hexadecimal 0 0 0 0 16 10000 20 10 1 1 1 1 17 10001 21 11 2 10 2 2 18 10010 22 12 3 11 3 3 19 10011 23 13 4 100 4 4 20 10100 24 14 5 101 5 5 21 10101 25 15 6 110 6 6 22 10110 26 16 7 111 7 7 23 10111 27 17 8 1000 10 8 24 11000 30 18 9 1001 11 9 25 11001 31 19 10 1010 12 A 26 11010 32 1ª 11 1011 13 B 27 11011 33 1B 12 1100 14 C 28 11100 34 1C 13 1101 15 D 29 11101 35 1D 14 1110 16 E 30 11110 36 1E 15 1111 17 F 31 11111 37 1F 4
  5. 5. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Conversiones Entre Los Sistemas De Numeración Se denomina conversión entre números representados en distinto sistema denumeración a la transformación, de una determinada cantidad expresada en uno dedichos sistemas de numeración, a su representación equivalente en el otro sistema. A continuación vamos a analizar todas las posibles conversiones que existen entrelos sistemas de numeración estudiados (decimal, binario, octal y hexadecimal), teniendoen cuenta que hemos seleccionado aquellos métodos más utilizados y sencillos; por tanto,debemos considerar que existen otros muchos métodos de conversión que no vamos aestudiar. I – Conversión decimal-binario Los métodos más conocidos para convertir un número decimal a su equivalentenúmero en binario son los siguientes: 1) Divisiones sucesivas entre 2. Este método se utiliza para convertir númerosenteros en decimal a su respectivo número entero en binario. Se trata de dividirsucesivamente el número decimal y los sucesivos cocientes entre 2, hasta que el cocienteen una de las divisiones tome el valor “0”. La unión de todos los restos obtenidos, escritosen orden inverso, nos proporciona el número inicial expresado en el sistema binario.Por ejemplo, para convertir el número 10 de decimal a binario:Otro Ejemplo, convertir el número 15 a binario: 5
  6. 6. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis BiglieriConvertir el número 1994 a binario: 2) Multiplicaciones sucesivas por 2. Se utiliza para convertir una fraccióndecimal a su equivalente fracción en binario. Consiste en multiplicar dicha fracción por 2,obteniendo en la parte entera del resultado el primero de los dígitos binarios de la fracciónque buscamos. A continuación repetimos el mismo proceso con la parte fraccionaria delresultado anterior, obteniendo en la parte entera del nuevo resultado el segundo de losdígitos buscados. Iteraremos sucesivamente de esta forma, hasta que desaparezca laparte fraccionaria de los resultados parciales o hasta que tengamos los suficientes dígitosbinarios que nos permitan no sobrepasar un determinado error. En una fracción binaria, aligual que en una decimal, puede aparecer un conjunto de dígitos que se repitanperiódicamente.Convertir la fracción decimal 0.75 en fracción binaria:Convertir la fracción decimal 0.828125 en fracción binaria: 6
  7. 7. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis BiglieriConvertir la fracción decimal 0.333 en fracción binaria:Convertir la fracción decimal 0.3 en fracción binaria: a) Método de las restas sucesivas de las potencias de 2. Es un método válido para convertir cualquier número decimal con o sin decimales a binario. Para utilizarlo es necesario tener presente una tabla de potencias de 2 (positivas y negativas) similar a la representada en la siguiente tabla. Potencias de 2 Posición Potencias de 2 Posición …………….. …….… 32 5 65536 16 16 4 32768 15 8 3 16384 14 4 2 8192 13 2 1 4096 12 1 0 2048 11 0,5 -1 1024 10 0,25 -2 512 9 0,125 -3 256 8 0,0625 -4 128 7 0,03125 -5 64 6 …………….. …….… 7
  8. 8. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri El método consiste en tomar el número a convertir y buscar la potencia de 2 másgrande que se pueda restar de dicho número, tomando como nuevo número para seguirel proceso el resultado de la resta. Se repiten las mismas operaciones hasta que elnúmero resultante en una de las restas es “0” ó inferior al error que deseamos cometer enla conversión. El número binario resultante será el que tiene un 1 en las posicionescorrespondientes a las potencias restadas y un “0” en las que no se han podido restar. Ejemplo: convertir el número decimal 1994 a binario. • Paso 1. La potencia de 2 mayor que se puede restar es 1024. 1994 – 1024 =970, luego corresponderá un 1 en la posición 10. • Paso 2. La potencia a restar para 970 es 512. 970 – 512 =458, luego corresponderá un 1 en la posición 9. • Paso 3. La potencia a restar para 458 es 256. 458 – 256 =202, luego corresponderá un 1 en la posición 8. • Paso 4. La potencia a restar para 202 es 128. 202 – 128 =74, luego corresponderá un 1 en la posición 7. • Paso 5. La potencia a restar para 74 es 64. 74 – 64 = 10, luego corresponderá un 1 en la posición 6. • Paso 6. La potencia a restar para 10 es 8. 10 – 8 = 2, luego corresponderá un 1 en la posición 3. • Paso 7. La potencia a restar para 2 es 2. 2 – 2 = 0, luego corresponderá un 1 en la posición 1. El proceso se termina por haber aparecido “0” como resultado de las restas. Si escribimos un número binario con los bits a 1 en las posiciones indicadas y Oenel resto de posiciones, será el número buscado. Posición 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Dígito 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 Por lo tanto: 1994(10 =11111001010(2 8
  9. 9. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri II – Conversión binario-decimal El método práctico consiste en multiplicar cada uno de los dígitos binarios porpotencias crecientes de 2 a partir de la coma y hacia la izquierda, y por potenciasnegativas de 2 hacia la derecha de la coma, y realizar la suma de las operaciones, lo cualnos dará el número decimal buscado. Podemos decir que este método es la aplicación directa del teorema fundamentalde la numeración (TFN). Ejemplo: Convertir 1101,011(2 a base 10 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 + 0 x 2-1 + 1 x 2-2 + 1 x 2-3 = 1 x 8 + 1 x 4 + 0 + 1 x 1 + 0 + 1 x 0,25 + 1 x 0,125 = 8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 0,25 + 0,125 = 13,375 1101,011(2 = 13,375(10 III – Conversión decimal-octal Método de las divisiones sucesivas por 8. Se utiliza para convertir númerosdecimales enteros a octal y consiste en dividir el número y los sucesivos cocientesobtenidos por 8 hasta llegar a una división cuyo cociente sea 0. El número octal buscadoes el compuesto por todos los restos obtenidos, escritos en orden inverso a su obtención. Como puede observarse, este método es similar al método de conversión dedecimal a binario de las divisiones por 2. Convertir el número decimal 500 a octal: Por lo tanto, 500 (10 = 764 (8 Método de las multiplicaciones sucesivas por 8. Se utiliza para pasar a octal unafracción decimal. Se toma la fracción decimal y se multiplica por 8, obteniendo en la parteentera del resultado el primer dígito de la fracción octal resultante, y se repite el procesocon la parte decimal del resultado para obtener el segundo dígito y sucesivos. El procesotermina cuando desaparece la parte fraccionaria del resultado o dicha parte fraccionariaes inferior al error máximo que deseamos obtener. Convertir la fracción decimal 0.4 a octal: 9
  10. 10. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Donde 0.4 (10 = 0.3146 (8 IV – Conversión octal-decimal Existen varios métodos, siendo el más generalizado el indicado por el TFN quehace la conversión de forma directa por medio de la fórmula. a) Convertir el número octal 764 a decimal. 764(8 = 7 x 82 + 6 x 81 + 4 x 80 = 448 + 48 + 4 = 500(10 b) Convertir el número octal 222.3 a decimal. 222.3(8 = 2 x 82 + 2 x 81 + 2 x 80 + 3 x 8-1 = 128 + 16 + 2 + 0.375 = 146.375(10 V – Conversión decimal-hexadecimal Método de las divisiones sucesivas por 16. Sirve para convertir números decimalesenteros a hexadecimal. Se divide el número decimal y los cocientes sucesivos por 16hasta obtener un cociente igual a 0. El número hexadecimal buscado será el compuestopor todos los restos obtenidos en orden inverso a su obtención. a) Convertir el número decimal 1000 a hexadecimal. Por lo tanto, 1000(10 = 3E8(16 Método de las multiplicaciones sucesivas por 16. Este método convierte númerosdecimales fraccionarios a su correspondiente fracción hexadecimal. La fracción decimalse multiplica por 16, obteniendo en la parte entera del resultado el primer dígito de lafracción hexadecimal buscada, y se repite el proceso con la parte fraccionaria de esteresultado. El proceso se acaba cuando la parte fraccionaria desaparece o hemos obtenidoun número de dígitos suficiente que nos permita no sobrepasar el máximo error quedeseemos obtener. Convertir la fracción decimal 0.4 en fracción hexadecimal. 10
  11. 11. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri 0.4 * 16 = 6.4 0.4 * 16 = 6.4 0.4(10 = 0.6(16 VI – Conversión hexadecimal-decimal Existen varios métodos, siendo el más utilizado el que nos ofrece el TFN que nosda el resultado por aplicación directa de la fórmula. a) Convertir el número hexadecimal 3E8 a decimal. 3E8(16 = 3 x 162 + E x 161 + 8 x 160 = = 3 x 162 + 14 x 161 + 8 x 160 = = 768 + 224 + 8 = 1000(10 b) Convertir el número hexadecimal A3.1 a decimal. A3.1(16 = A x 161 + 3 x 160 + 1 x 16-1 = 10 x 161 + 3 x 160 + 1 x 16-1 = = 160 + 3 + 0.0625 = 163.0625(10 VII – Conversión octal-binario Para convertir un número octal a binario se sustituye cada dígito octal por suscorrespondientes tres dígitos binarios según la siguiente tabla.Dígito Dígitosoctal binarios a) Convertir el número octal 1274 a binario. 0 000 1 001 1 2 7 4 2 010 001 010 111 100 3 011 4 100 Por lo tanto: 1274(8 = 1010111100(2 5 101 6 110 a) Convertir el número octal 75643.57 a binario. 7 111 7 5 6 4 3 5 7 111 101 110 100 011 . 101 111Luego tendremos: 75643.57(8 =111101110100011.101111(2 VIII – Conversión binario-octal 11
  12. 12. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Para convertir un número binario a octal se realiza un proceso inverso al anterior.Se agrupan los dígitos binarios de 3 en 3 a partir del punto decimal hacia la izquierda yhacia la derecha, sustituyendo cada trío de dígitos binarios por su equivalente dígito octal. a) Convertir el número binario 1010111100 en octal.001 010 111 100 1 2 7 4Luego tendremos: 1010111100(2 = 1274(8 b) Convertir el número binario 1100101001000.1011011 en octal.001 100 101 001 000 . 101 101 100 1 4 5 1 0 . 5 5 4Por lo tanto: 1100101001000.1011011(2 = 14510.554(8 IX – Conversión hexadecimal-binario Para convertir un número hexadecimal a binario se sustituye cada dígitohexadecimal por su representación binaria con cuatro dígitos según la siguiente tabla. Dígito Dígitoshexadecimal binarios EJEMPLOS 0 0000 a) Convertir el número hexadecimal 2BC a binario. 1 0001 2 0010 2 B C 3 0011 0010 1011 1100 4 0100 5 0101 Luego: 2BC(16 = 1010111100(2 6 0110 7 0111 8 1000 b) Convertir el número hexadecimal 7BA3.BC a binario 9 1001 A 1010 7 B A 3 . B C B 1011 0111 1011 1010 0011 . 1011 1100 C 1100 Luego: 7BA3.BC(16 = 111101110100011.101111(2 D 1101 E 1110 F 1111 X – Conversión binario-hexadecimal 12
  13. 13. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Para convertir números binarios a hexadecimales se realiza un proceso inverso alanterior. Se agrupan los dígitos binarios de 4 en 4 a partir del punto decimal hacia laizquierda y hacia la derecha, sustituyendo cada cuarteto por su correspondiente dígitohexadecimal. Al ser esta conversión inmediata y sencilla, la codificación de programas enlenguaje máquina, se realiza utilizando el sistema hexadecimal en lugar del binario. a) Convertir el número binario 100101100 a hexadecimal.0001 0010 1100 1 2 CPor lo tanto: 100101100(2 = 12C(16b) Convertir el número binario 1100101001000.1011011 a hexadecimal.0001 1001 0100 1000 . 1011 0110 1 9 4 8 . B 6Luego tendremos: 1100101001000.1011011(2 = 1948.B6(16 XI – Conversión octal-hexadecimal Esta conversión realiza un paso intermedio utilizando el sistema binario. Primero seconvierte el número octal en binario y éste se pasa a hexadecimal. a) Convertir el número octal 144 en hexadecimal. 1 4 4 001 100 100 144(8 = 1100100(2 0110 0100 6 4 100100(2 = 64(16Por lo tanto: 144(8 = 64(16 XII – Conversión hexadecimal-octal Esta conversión, al igual que la anterior, realiza un paso intermedio utilizando elsistema binario. Se convierte el número hexadecimal en binario y éste en octal. a) Convertir el número hexadecimal 1F4 en octal. 13
  14. 14. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri 1 F 40001 1111 01001F4(16 = 111110100(2111 110 100 7 6 4111110100(2 = 764(8Por lo tanto: 1F4(16 = 764(8 Representación de números Enteros Signo y Módulo (SM) En este sistema de representación, el bit que está situado más a la izquierdarepresenta el signo, y su valor será 0 para el signo + y 1 para el signo -. El resto de bits(n-1) representan el módulo del número.Por ejemplo, representaremos el número 19 en 8 bits como: 0 0010011 signo móduloEl (-19) se representa: 1 0010011 signo móduloEn 16 bits: 19 se representa como 0 000000000010011 -19 se representa como 1 000000000010011 El conjunto de valores que se puede representar en un método determinado seconoce como rango de la representación. Para módulo y signo el rango de representaciónpara n dígitos es: -2n-1 +1 < x < 2n-1 -1Para 1 Byte (8 bits) es -127 < x < 127Para 2 Byte (16 bits) es -32767 < x < 32767Para 4 Byte (32 bits) es -2147483647 < x < 2147483647 Este método tiene la ventaja de poseer un rango simétrico, pero la desventaja deposeer dos representaciones para el número 0. Por ejemplo para 8 bits: el cero se puede representar como 00000000 y 10000000. Complemento a C-1 14
  15. 15. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Para representar un número positivo es igual al método de SM. Pero en el caso delos negativos, se obtiene complementando al positivo (cambiando 1 por 0 y viceversa)incluido el bit de signo. Por ejemplo representamos el número 19 en 8 bits como: 00010011el (-19): 11101100 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 en 16 bits: 19 se representa como 0 000000000010011 (-19) se representa 1 111111111101100 Para complemento a 1 el rango de representación para n dígitos es: - 2n-1 +1 < x < 2n-1 -1 Para 1 Byte (8 bits) es -127 < x < 127 Para 2 Byte (16 bits) es -32767 < x < 32767 Para 4 Byte (32 bits) es -2147483647 < x < 2147483647 La representación de complemento a uno no es de uso común. Esto se debe, almenos parcialmente, a la dificultad en la realización de comparaciones derivada de laexistencia de dos representaciones para el cero. Ofrece también una complejidadadicional en las operaciones aritméticas como la suma. Este método presenta igualesventajas y desventajas que el anterior. Suma en complemento a 1 En complemento a 1 dos números se suman igual que en binario, teniendo encuenta que si aparece acarreo en la suma parcial de los bits de más a la izquierda, esteacarreo se suma al resultado. Complemento a C-2 Este método es similar al anterior, la representación de los números positivos esigual a la anterior, pero los negativos se obtiene en dos pasos:  Se complementa a 1  Al resultado se le suma 1, despreciando el último acarreo si existe.Por ejemplo: 19 se representa en 8 bits como 0 0010011 15
  16. 16. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri -19 1 1 1 0 1 1 0 0 C-1 + 1 -19 1 1 1 0 1 1 0 1 C-2 Como regla práctica se puede seguir el siguiente procedimiento: se copian dederecha a izquierda los bits hasta el primer “1” inclusive, y luego se invierten los ceros porunos y los unos por ceros. 20 0 0 0 1 0 1 0 0 -20 1 1 1 0 1 1 0 0 C-2Para complemento a 2 el rango de representación para N dígitos es: - 2n-1 < x < 2n-1 -1Para 1 Byte (8 bits) es -128 " x " 127Para 2 Byte (16 bits) es -32768 " x " 32767Para 4 Byte (32 bits) es -2147483648 " x " 2147483647 Presenta las siguientes ventajas:  Tiene una única representación para 0.  En lugar de hacer A - B, puedo hacer A + B(C-2). (La unidad aritmético lógica del microprocesador solo suma, no resta.) Exceso a 2 n-1 En este método no hay bit de signo, todos los bits se utilizan para representar elvalor del número más el exceso, que para n bits viene dado por 2n-1, que para unarepresentación de 8 bits es 128. Para obtener un número en un exceso dado, se realiza la suma algebraica delexceso más el número. Solo se pueden representar valores en módulo menores o igualesal exceso.Por ejemplo:19 en SM para 8 bits: 0 001001119 en exceso 128 (2n-1 8 bits): 10010011 (128+19)Por ejemplo(-19) se representa en SM para 8 bits como 1 0010011(-19) en exceso 128 (2n-1, 8 bits): 01101101 (128+(-19)) 16
  17. 17. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri En este método el “0” tiene única representación (10000000), el rango derepresentación es asimétrico. Para Exceso a 2 n-1, el rango de representación para n dígitos es: - 2n-1 < x < 2n-1 -1Para 1 Byte (8 bits) es -128 " x " 127Para 2 Byte (16 bits) es -32768 " x " 32767Para 4 Byte (32 bits) es -2147483648 " x " 2147483647 La representación en exceso para un número cualquiera es igual a larepresentación en complemento a dos pero el valor del primer bit de la izquierda estainvertido. Desbordamiento (Overflow) Este hecho se puede producir cuando se suman dos números en un método derepresentación y el resultado no puede ser representado por dicho método, dándonos unresultado erróneo. Para visualizar esto usaremos la notación de SM.Ejemplo: 52 (0 0110100) + 97 (0 1100001) = 149 (1 0010101), pero en realidad en SM esel número (-21). Representación de números con punto fijo Binario puro (código binario natural o binario puro) Se corresponde con el sistema binario (base 2). Es una correspondencia biunívocasistemática entre el sistema de numeración de base 10 y el de base 2. La principal ventaja del código binario sobre los demás es que utiliza el mínimonúmero de bits para representar la información, como consecuencia de ello la circuiteríabasada en este código es sencilla, sin embargo presenta grandes inconvenientes:  Si el número es real, con parte entera y parte fraccionaria utiliza diferentes métodos y por ello los circuitos convertidores de decimal a binario son complejos.  La parte fraccionaria puede tener infinitos bits, lo cual implica pérdida de información y la necesidad de trabajar con una precisión determinada.  Al final del proceso hay que convertir de nuevo la información a decimal. Decimal codificado en binario (BCD) 17
  18. 18. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Este código se utiliza para representar los dígitos el sistema de numeracióndecimal en binario, los guarismos son del 0 al 9. Utilizará para ello agrupamientos de 4bits. Pueden ser:  Ponderados y no ponderados.  Auto complementarios y no auto complementarios. Un código es ponderado: cuando el número decimal equivalente se obtienemediante la suma ponderada de los dígitos binarios que forman el código. Un código es auto complementario: cuando se obtiene el complemento a 9 delnúmero decimal en la codificación binaria, sin más que intercambiar los “0” por los “1”(BCD Aiken, BCD Exceso a tres. El complemento a 9 de un dígito decimal es su diferenciaa 9. Los códigos no auto-complementarios presentan inconvenientes para la resta. Código BCD – Natural (BCD –N) Es un código ponderado de pesos 8,4,2,1, lo que nos indica que el bit mássignificativo (el de más a la izquierda) posee un valor de 8, el segundo posee un valor de4, el tercero tiene un valor de 2 y menos significativo (el de la derecha) tiene un valor de 1. Cada una de las cifras decimales (0 a 9) se representanDecimal BCD Natural mediante un grupo de 4 bits, según la siguiente tabla: 8421 0 0000 1 0001 Las restantes combinaciones no son válidas. 2 0010 No es un código auto-complementario. 3 0011 4 0100 Ejemplo: 5063.47(10 = 0101 0000 0110 0011 . 0100 0111 (BCD-N 5 0101 6 0110 5 0 6 3 . 4 7 7 0111 0101 0000 0110 0011 . 0100 0111 8 1000 9 1001 Código BCD-AikenDecimal BCD Aiken Decimal BCD Aiken El código Aiken, además de ser 2421 2421 BCD ponderado es autocomplementario: la0 0000 5 1011 combinación correspondiente al1 0001 6 1100 complemento a nueve de n, es decir 9 - n,2 0010 7 1101 se obtiene invirtiendo la combinación3 0011 8 1110 correspondiente a n, es decir cambiando4 0100 9 1111 los ceros por unos y viceversa. Ej.: si n = 4, entonces tenemos que 9 – 4 = 5, luegocomo la combinación para 4 es 0 1 0 0, su complemento es 1 0 1 1 que corresponde a lacombinación para 5. La razón de esta codificación es la de conseguir simetría entre ciertos números. 18
  19. 19. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis BiglieriEjemplo: 5063.47(10 = 1011 0000 1100 0011.0100 1101 (BCD-Aiken 5 0 6 3 . 4 7 1011 0000 1100 0011 . 0100 1101 Código 5421Decimal BCD Natural 5421 Ejemplo: 5063.47(10 = 1000 0000 1001 0110.0111 1010 (BCD-5421 0 0000 1 0001 5 0 6 3 . 4 7 2 0010 1000 0000 1001 0011 . 0100 1010 3 0011 4 0100 5 1000 6 1001 7 1010 8 1011 9 1100 Código Exceso 3 (XS3) A pesar de ser un código binario sin peso, el código de exceso 3 guarda unaestrecha relación con el código BCD 8421 por el hecho de que cada grupo de 4 bits solopueden representar a un único dígito decimal (del 0 al 9), y deriva su nombre de exceso 3debido a que cada grupo de 4 bits equivale al número BCD 8421 más 3. Es un código auto-complementario.Decimal XS3 0 0011 1 0100 Ejemplo: 5063.47(10 = 1000 0000 1001 0110.0111 1010 (BCD-XS3 2 0101 3 0110 5 0 6 3 . 4 7 4 0111 1000 0000 1001 0110 . 0111 1010 5 1000 6 1001 7 1010 8 1011 9 1100 Código Gray 19
  20. 20. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri El código Gray pertenece a una clase de códigos llamados códigos de cambiomínimo, en los cuales sólo cambia un bit en el grupo codificado cuando se va de un pasoal siguiente. El código Gray es un código no ponderado, es decir que las posiciones delos bits en los grupos codificados no tienen un peso asignado. Debido a esto, el códigoGray no es apropiado para operaciones aritméticas, pero encuentra aplicaciones endispositivos de entrada/salida y en algunos tipos de convertidores analógicos a digital. La siguiente tabla muestra la representación en Código Gray para los númerosdecimales 0 al 15, junto con el código binario directo. Si examinamos los gruposcodificados Gray para cada número decimal, puede verse que al ir desde cualquiernúmero decimal al siguiente, sólo un bit del código Gray cambia. Por ejemplo, al ir desde3 a 4, el código Gray cambia de 0010 a 0110, con solo el segundo bit desde la izquierdaexperimentando cambio. Yendo de 14 a 15 los bits del código Gray cambian de 1001 a1000, con una sola variación en el último bit. Esta es la principal característica del códigoGray.Decimal Código Gray El código Gray se usa a menudo donde otros códigos 0 0000 tales como el binario, pudieran producir resultados erróneos o 1 0001 ambiguos durante esas transiciones en las cuales más de un bit 2 0011 del código está cambiando. Usando el código binario, por 3 0010 ejemplo, y yendo de 0111 a 1000 requiere que todos los 4 bits 4 0110 cambien simultáneamente. Dependiendo del dispositivo o 5 0111 circuito que está generando los bits, puede haber una diferencia 6 0101 significativa en los tiempos de transición de los diferentes bits. Si 7 0100 esto es así, las transiciones de 0111 a 1000 pudiera producir 8 1100 uno o más estados intermedios. Por ejemplo, si el bit más 9 1101 significativo cambia más rápido que el resto, ocurrirán las 10 1111 siguientes transiciones: 11 1110 12 1010 0111 decimal 13 1011 1111 código erróneo 14 1001 1000 decimal 8 15 1000 La ocurrencia de 1111 es sólo momentánea pero pudieraconcebiblemente producir una operación errónea de los elementos que están siendocontrolados por los bits. Obviamente, usando el código Gray se elimina este problema,puesto que sólo ocurre el cambio de un bit por transición y no puede ocurrir una carrera. Conversión de Binario a Gray Cualquier número binario puede convertirse a su representación en código Graycomo sigue: 1. El primer bit del código Gray es el mismo como el primer bit del número binario. 2. El segundo bit del código Gray es igual a la operación O EXCLUSIVA del primer y segundo bits del número binario; esto es, será 1 si estos bits del código binario son diferentes y 0 si son los mismos. 3. El tercer bit del código Gray es igual a la O EXCLUSIVA del segundo y tercer bits del número binario y así sucesivamente. 20
  21. 21. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Para ilustrar esto, convirtamos el binario 10110 al código Gray: 1 0 1 1 0 código binario ^ ^ ^ ^ ^ 1 1 1 0 1 código Gray El primer bit del código Gray es el mismo como el primer bit del código binario. Elprimero y segundo bits del código binario son diferentes, dando un 1 para el segundobit Gray. El segundo y tercer bits del número binario son diferentes, dando un 1 para eltercer bit Gray. El tercero y cuarto bits del número binario son lo mismo, así que elcuarto bit Gray es 0. Finalmente, el cuarto y quinto bits binarios son diferentes, dandoun quinto bit Gray de 1. Otro ejemplo es como sigue: 1 0 0 1 1 0 0 1 binario ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 1 1 0 1 0 1 0 1 Gray Conversión de Gray a Binario Para convertir de Gray a binario se requiere el procedimiento opuesto dadopreviamente: 1. El primer bit binario es el mismo que el primer bit Gray. 2. Si el segundo bit Gray es 0, el segundo bit binario es el mismo como el primero; si el segundo bit Gray es 1, el segundo bit binario es el inverso del primer bit binario. 3. El paso 2 se repite para el bit sucesivo. Para ilustrar esto, convirtamos 1101 de Gray a binario: 1 1 0 1 Gray ^ ^ ^ ^ 1 0 0 1 binario El primer bit Gray es 1, así que el primer bit binario se escribe como 1. Elsegundo bit Gray es un 1, así que el segundo bit binario se hace un 0 (inverso delprimer bit binario). El tercer bit Gray es un 0. así que el tercer bit binario se hace un 0(lo mismo como el segundo bit binario). El cuarto bit Gray es 1, haciendo el cuarto bitun 1 (inverso del tercer bit binario). Este proceso puede ser visto de otra manera: Cada bit binario (exceptuando elprimero) puede obtenerse tomando la O EXCLUSIVA del bit correspondiente del códigoGray y el bit binario previo. Decimal Johnson Decimal Johnson 0 00000 5 11111 21
  22. 22. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Código progresivo Johnson 1 00001 6 11110 2 00011 7 11100 Es otro código continuo y 3 00111 8 11000cíclico. Es muy práctico para sistemas 4 01111 9 10000electrónicos de conteo. Decimal desempaquetado Un número decimal se representa de forma que cada una de sus cifras ocupa unocteto o byte. Cada uno de los octetos lleva en su cuarteto de la izquierda cuatro unos (1111)denominados bits de zona y en el cuarteto de la derecha, la codificación de la cifra enBCD, denominándose bits de dígito. El cuarteto de la izquierda de la última cifra (cifra de la derecha) representa el signodel número, siendo 1100 para el signo positivo (+) y 1101 para el signo negativo (-). Ejemplo: el número 1994(10 1111 0001 1111 1001 1111 1001 1100 0100 1 9 9 4 el número (-1994)(10 1111 0001 1111 1001 1111 1001 1101 0100 1 9 9 4 Decimal empaquetado En este sistema de codificación se representa cada cifra decimal de un cuarteto (seeliminan los bits de zona), salvo el primer octeto de la derecha en el que su cuartetotambién de la derecha lleva el signo con las mismas consideraciones que en el casoanterior). Ejemplo: el número 1994(10 0001 1001 1001 0100 1100 1 9 9 4 el número (-1994)(10 0001 1001 1001 0100 1101 1 9 9 4 22
  23. 23. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Códigos detectores y correctores de errores Cuando hay una transmisión entre un emisor y un receptor se pueden producirerrores, es decir que un “1” pase a ser un “0” ó viceversa. Las causas del error suelen ser por el efecto ruido. El ruido se define como todaperturbación de la señal.  Ruido blando o de fondo, es imposible de eliminar. Al propagarse la onda por el aire o material conductor se producen choques de moléculas produciendo ruido. Normalmente este ruido no causa error en la señal digital.  Ruido impulsivo, si se puede generar por error, pero no siempre lo genera, siendo las causas: los motores de explosión cerca de las líneas de comunicaciones, inducción de las líneas de alta tensión al lado de las líneas de comunicaciones, fenómenos atmosféricos. Estadísticamente la probabilidad de que haya más de un error por carácter es muypequeña, por eso se utiliza principalmente códigos detectores de 1 error. Los códigos detectores de error, utilizan códigos de tal manera que siempre que seproduzca un error, se produzca un número no perteneciente al código de transmisión.  Distancia entre dos combinaciones de un código es igual al nº de bits distintos entre las combinaciones.  Distancia mínima de un código es la menor de todas sus distancias. Si en un código existe la distancia 1, esa será su distancia mínima. No pueden existir códigos con distancia 0. Para poder detectar errores es necesario diseñar códigos cuya distancia mínimasea superior o igual a 2. Distancia mínima de un código. En un código se define a la distancia mínima, como la menor de las distanciasentre dos combinaciones binarias pertenecientes al mismo. El valor de la distancia mínimade los códigos estudiados hasta ahora, es la unidad, y, por lo tanto, un error en uno solode los bits de una combinación binaria perteneciente a cualquiera de ellos, puedeconvertirlo en otra combinación valida para dicho código, haciendo que el error no seadetectable. De todo lo dicho se deduce que, para que un código pueda detectar errores, sudistancia mínima ha de ser superior a la unidad. Existen diversos tipos de códigos detectores de errores, entre los cuales seencuentran los códigos de control de paridad. Códigos de control de paridad Los códigos de control de paridad se obtienen añadiendo a las combinaciones delos códigos de distancia unidad anteriormente estudiados, un bit llamado de paridad. Si elcódigo que se desea obtener es de paridad par, dicho bit será tal que el número de unosen cada combinación del nuevo código sea par. Si, por el contrario, se desea un código 23
  24. 24. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieride paridad impar, el bit añadido a cada combinación ha deser tal que la combinación resultante tenga un número Decimal Bit de BCD-Nimpar de unos. Es decir, el bit de paridad par vale “0” si la paridadcantidad de unos es par, y vale “1”, si la cantidad de unos pares impar. Si se quiere obtener un código con bit de paridad 0 0 0000impar, se realiza un procedimiento inverso al anterior. 1 1 0001 La detección de errores en estos códigos consiste en 2 1 0010comprobar al recibir la información, si el número de unos de 3 0 0011cada combinación es par (códigos de paridad par) o impar 4 1 0100(códigos de paridad impar). 5 0 0101 La principal ventaja de estos códigos es que se 6 0 0110forman a partir de cualquier otro código o combinación 7 1 0111binaria. 8 1 1000 Si el error se produce en una transmisión en tiempo 9 0 1001no real se puede reenviar la información hasta que sereciba correcta. Si la transmisión es en tiempo real no se pueden utilizar estos códigos yes necesario el uso de los códigos correctores de error. Códigos Correctores de Errores Los códigos correctores de errores, no sólo indican la existencia de un error, sinoque proporcionan información de cual es la cifra o cifras binarias erróneas y, porconsiguiente permiten su corrección invirtiendo simplemente el bit correspondiente. Estos códigos se utilizan cuando no es posible o se hace muy difícil pedir laretransmisión de una información frente a la detección de un error. De producirse un error en un código detector de errores, la combinación erróneaobtenida posee como mínimo dos adyacentes pertenecientes al código, y no es posiblediscernir de cual de estos procede. Por ejemplo, en el código BCD Exceso 3 (XS3) con paridad impar la distanciamínima es dos, si se detecta la combinación errónea “10001” es imposible conocer si elerror se ha producido en el primer bit y la combinación correcta es “10000”, en el segundoy es correcto “10011”, tercero y es “10101” o el cuarto y es “11001”. Por lo tanto, para poder corregir errores, la distancia mínima del código ha de sersuperior a dos. Si la distancia mínima de un código es tres, la combinación obtenida porerror en un bit, es adyacente a una sola combinación del código y es posible conocer cuáles el bit erróneo. Así, un código de distancia mínima tres, permite detectar errores de 2bits o corregir errores de 1 bit. En general, la distancia mínima de un código para quepermita corregir errores de n bits ha de ser dm = 2n + 1. Nos limitaremos a estudiar los códigos correctores de errores de un bit, cuyadistancia mínima es tres y entre ellos los de mayor difusión, que son los códigos deHAMMING. 24
  25. 25. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Código corrector de HAMMING Estos códigos están basados en la adición de un código de distancia unidad para nbits, de p bits, obteniéndose un nuevo código de n + p bits. En este nuevo código serealizan p detecciones de paridad en bits preseleccionados del mismo, obteniéndose unbit de paridad PAR. El conjunto de las ecuaciones de control de paridad forman unnúmero del sistema binario que indica la posición del bit erróneo. En caso que no existaerror, el número binario logrado debe ser igual a cero. El número de p bits añadidos ha deser suficiente para permitir la detección de error en alguna de las n + p posiciones o laausencia del mismo. Dado que con p bits se obtienen 2p combinaciones, se ha de cumplir la relación p2 >= n + p + 1. Como ejemplo realizaremos el código de Hamming obtenido a partir del códigoBCD Natural. En este código n = 4 y, por lo tanto el número de bits que se han de añadires 3, dado que 23 = 4 + 3 + 1. Para detectar los siete posibles errores de un bit en cadauna de las posiciones y la ausencia de error son necesarias ocho combinaciones binariasque denominaremos correctoras de error. Dichas combinaciones se obtienen mediante 3bits, c3, c2, c1 , y el número decimal equivalente al binario formado por ellos ha de indicarla posición errónea. Veremos ahora la forma de generar cada uno de los bits de la combinacióncorrectora de errores. En la tabla, se presentan todas las combinaciones de los bits c3, c2, c1. c3 c2 c1 Corregir 000 Nada 001 b1 010 b2 011 b3 100 b4 101 b5 110 b6 111 b7 El bit c1 ha de tomar el valor 1 si se produce un error en los bits b1, b3, b5, b7, de lacombinación del código. Si el número de unos existentes en esas cuatro posiciones essiempre par, un error en uno cualquiera de esos cuatro bits lo convierte en impar. Por lotanto c1 ha de valer 1 si el número de unos en las posiciones b1, b3, b5, b7, es impar y ceroen caso contrario. Esto se expresa algebraicamente de la siguiente forma: c1 = b1  b3  b5  b7 Donde  es el símbolo de la función suma excluyente que puede verse en lasiguiente tabla: A B AB De igual forma se deduce que c2 y c3 han de obtenerse por medio de 0 0 0las expresiones: 0 1 1 c2 = b2  b3  b6  b7 1 0 1 c3 = b4  b5  b6  b7 1 1 0 25
  26. 26. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri para lo cual ha de cumplirse la condición de que el número de unos ha de ser paren las combinaciones b2, b3, b6, b7 y b4, b5, b6, b7 . Para lograr estas condiciones se han de generar adecuadamente los tres bits quese añaden a los cuatro de la combinación BCD Natural. Dado que b1, b2, b4, por ser potencias de 2 (tienen un solo 1 en su combinaciónbinaria) aparecen en una sola expresión cada uno, los elegiremos como bits de control ylo añadimos a la combinación de entrada que será volcada en b3, b5, b6, b7. El bit b1 ha devaler uno si el número de unos de b3, b5 y b7, es impar y cero en caso contrario, por lotanto. b1 = b3  b5  b7 De igual forma b2 y b4; se han de obtener respectivamente: b2 = b3  b6  b7 b4 = b5  b6  b7 De todo lo anterior se deduce el código de Hamming siguiente: Número b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 decimal 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 2 0 0 1 1 0 0 1 3 0 0 1 1 1 1 0 4 0 1 0 1 0 1 0 5 0 1 0 1 1 0 1 6 0 1 1 0 0 1 1 7 0 1 1 0 1 0 0 8 1 0 0 1 0 1 1 9 1 0 0 1 1 0 0 Como ejemplo, comprobaremos la detección de un error en el b6; de lacombinación 0011001 correspondiente al número decimal 2, la combinación errónea es0111001. Para detectarlo comprobaremos el valor lógico de c3, c2, c1. c3 = b4  b5  b6  b7 = 1  1  1  0 = 1 c2 = b2  b3  b6  b7 = 0  0  1  0 = 1 c1 = b1  b3  b5  b7 = 1  0  1  0 = 0 En efecto, la combinación c3, c2, c1, es 110(2, equivalente al número decimal 6. 26
  27. 27. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Representación de Números RealesRepresentación de Coma Fijanúmeros reales Coma flotanteRepresentación en coma flotante:Se llama así a la representación de la forma:Representación en binario en coma flotanteComponentes de la - Signo: 0 para números mayores que 0 /1 para menores que 0representación en - Mantisa: se representa en coma fija y formato normalizadocoma flotante - Exponente: se representa en exceso 2n-1-1 - BaseNúmeros con representación especial 27
  28. 28. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis BiglieriProcedimiento para pasar de decimal a coma flotanteEjemplo: Pasar el nº -6,125(10 a binario IEEE7541º El bit 31 tomará el valor del signo de la mantisa. (-6,125 ⇒ - ⇒ 1)2º Pasar a binario la mantisa decimal. 6=110 0,125=0,001 6,125=110,001(23º Normalizar. Correr la coma a derecha o izquierda hasta convertir el número binario enun numero de la forma 1,…….. El número de desplazamientos va a dar valor al exponente de forma que: Desplazamiento a la derecha ⇒ Exponente negativo Desplazamiento a la izquierda ⇒ Exponente positivo 6,125=110,001(2 ⇒ 1,10001 ⇒ Exponente = 2 2 expresado en exceso 127 ⇒ 129 ⇒ 10000001(24º Mantisa representada con bit implícito ⇒ 1,10001 ⇒ 10001 (el bit 1 de la parte entera nose representa)5º El número final es 1 10000001 10001000000000000000000 (Se agregan a la derechalos “0” necesarios para completar los 23 bits de la mantisa)6º Pasado a hexadecimal 1 100 0000 1 100 0100 0000 0000 0000 0000 = C0C40000(16Procedimiento para pasar de coma flotante a decimal1º Convertir a binario el número hexadecimal C0C40000(16 = 1100 0000 1100 0100 0000 0000 0000 0000(22º Identificar los campos del número binario 1 10000001 10001000000000000000000 Signo de la mantisa Exponente representado en exceso 127 Mantisa normalizada con bit ímplicito3º Convertir cada uno de los campos a decimal 1 ⇒ Mantisa negativa 10000001(2 ⇒ 129 ⇒ +2 10001000000000000000000 (2 ⇒ 1,10001000000000000000000(2 ⇒ Con exponente +2 ⇒ Hay que desplazar la coma a la derecha (+2) 2 posiciones ⇒ 110,001000000000000000000(2 ⇒ 6,125(10 28
  29. 29. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri4º El número final es la combinación de todos los valores de los campos -6,125 Códigos de entrada / salida Código BCD de intercambio normalizado (Standard Binary Code Decimal Interchange Code) Utiliza 6 bits, por lo que puede asignar 26 = 64 valores (no incluye letrasminúsculas). A veces se añade un bit de paridad impar, para comprobar errores, con loque se tiene una longitud de 7 bits, pero sólo 64 valores válidos. El formato que siguen las palabras de éste código es el siguiente: • Bit de paridad (o de verificación): (Opcional) Sirve para detectar errores en loscaracteres. • Bits de zona: Sirve para distinguir entre un número y otro carácter (00 para loscaracteres numéricos). • Bits de posición: para los valores numéricos, se codifica en código binario natural(excepto el cero, que se codifica como un 10, esto es, 10102). Ejemplo: Suponer un teclado en el que se pulsan estos caracteres: 754.32 BEATRIZ La secuencia de códigos que se generará0000111 1000101 1000100 0111011 1000011 0000010 1000000 0110010 11101010110001 0010011 0101001 1111001 0011001 Código EBDIC El código EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code) utiliza n=8bits para representar cada carácter de un total de m = 28 = 256 caracteres (se codificanmayúsculas, minúsculas, números e incluso caracteres de control). Formato: • Bits de zona: Si valen 00 : El carácter es de control. Si valen 01 : Se trata de un carácter especial (no letra ni número). Si valen 10 : Es un carácter en minúscula. Si valen 11 : Es un carácter en mayúscula o numérico. • Bits de posición: Si los bits 2 y 3 valen 00 : Carácter en el rango A-I (o a-i). 29
  30. 30. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Si los bits 2 y 3 valen 01 : Carácter en el rango J-R (o j-r). Si los bits 2 y 3 valen 10 : Carácter en el rango S-Z (o s-z). Si los bits 2 y 3 valen 11 : Carácter numérico. Código ASCII (American Standard Code for Information Interchange) Es el más ampliamente utilizado. Tiene una longitud de siete bits (n=7), a la que aveces se añade, en algunos sistemas, otro bit más (bien para comprobar errores medianteparidad, o bien para doblar el número de caracteres representables de 128 a 256, y asíañadir un amplio conjunto de caracteres gráficos, por ejemplo, como es el caso del PC). Otros códigos Existen otros muchos códigos de E/S, si bien comienzan, afortunadamente, a caeren desuso. Como ejemplo tenemos el código FIELDATA que usaban los computadores Sperry-Univac de la serie 1100, hoy día Unisys. Código Fieldata 30
  31. 31. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis BiglieriCódigo EBCDIC 31
  32. 32. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis BiglieriCódigo ASCII 32
  33. 33. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis BiglieriBibliografía Problemas de Circuitos y Sistemas Digitales - Carmen Baena Oliva; Manuel Jesús Bellido Díaz; Alberto Jesús Molina Cantero; María del Pilar Parra Fernández; Manuel Valencia; Barrero. Ed. McGraw-Hill, 1997. Introducción a la Informática - Albarracín; Alcalde Lancharro y López –. Editorial: Mc Graw-Hill, 1996. Arquitectura de Computadoras - Ingeniería en Sistemas de Información Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Santa Fe. Circuitos Y Sistemas Digitales - Departamento de Electrónica y Comunicaciones Universidad Pontifica de Salamanca en Madrid - Apuntes de clase Ejercicios básicos de sistemas digitales - Javier García Zubía - Universidad de Deusto Bilbao – 2006 Electrónica Digital - Cuesta - Gil Padilla – Remiro - Ed. Mc Graw Hill. 1992 Técnicas Digitales - Telefónica De Argentina – Dirección de RRHH, Gerencia de Capacitación.Internet http://www.isa.cie.uva.es/proyectos/codec/teoria2.html http://www.unicrom.com/default.asp http://electronred.iespana.es/sist_numera.htm http://www.ifent.org/default.htm http://fismat.umich.mx/~elizalde/curso/node114.html http://atc.ugr.es/docencia/udigital/01.html 33

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