Escola Básica 2,3/S de Vila Nova de
CERVEIRA
A c t i v i da d e d e I n v e s t i g a ç ã o
Ano de Escolaridade: 11º

Tema...
1997 – 2ª Fase
3. Considera o prisma representado num referencial o.n.
Oxyz. Sabe-se que:
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Exames nacionais geometria

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Exames nacionais geometria

  1. 1. Escola Básica 2,3/S de Vila Nova de CERVEIRA A c t i v i da d e d e I n v e s t i g a ç ã o Ano de Escolaridade: 11º Tema 1: Geometria Analítica 1997 -1ª Fase, 1ª Chamada 1. Considera, num referencial o.n. Oxyz, um cilindro de revolução como o representado na figura junta. A base inferior do cilindro tem centro na origem O do referencial e está contida no plano xOy. [BC] é um diâmetro da base inferior, contido no eixo Oy. O ponto C tem coordenadas (0; -5; 0). O ponto A pertence à circunferência que limita a base inferior do cilindro e tem coordenadas (4; 3; 0). A recta r passa no ponto B e é paralela ao eixo Oz. O ponto D pertence à recta e à circunferência que limita a base superior do cilindro. a) Justifica que a recta AC é perpendicular a AB. b) Escreve uma equação vectorial da recta r. c) Justifica que AC é um vector perpendicular ao plano ABD. Determina uma equação desse plano. d) Designando por α a amplitude, em radianos, do ângulo BOD, mostra que o volume  π do cilindro é dado por V (α) = 125tgα , com α ∈0;  .  2 1997 – 1ª Fase, 2ª Chamada 2. Considera, num referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide regular de base quadrada. O vértice V da pirâmide pertence ao semi-eixo positivo Oz. A base da pirâmide está contida no plano xOy. A aresta [PQ] é paralela ao eixo Oy. O ponto Q tem coordenadas (2; 2; 0). a) Sabendo que, na unidade considerada, o volume da pirâmide é igual a 32, mostra que o vértice tem de coordenada (0; 0; 6). b) Mostra que o plano QRV pode ser definido pela equação 3y + z = 6. c) Determina uma condição que defina a recta que passe pela origem do referencial e é perpendicular ao plano QRV. d) Justifica que a intersecção da aresta [QV] com o plano de equação z = 3 é o ponto M (1; 1; 3). Determina área da secção produzida na pirâmide por esse plano.
  2. 2. 1997 – 2ª Fase 3. Considera o prisma representado num referencial o.n. Oxyz. Sabe-se que: • • • os pontos A; B e C pertencem à base inferior do prisma, a qual está contida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial; os pontos D; E; F e G pertencem à base superior do prisma, a qual está contida no plano z = 12; o ponto C tem coordenadas (0; 4; 0). ( ) 12 ;2;0 e aproveita este resultado para a) Mostre que o ponto B tem coordenadas justificar que o ponto G em coordenadas − 12 ;2;12 . (o lado do hexágono regular é igual ao raio da circunferência circunscrita ao hexágono) 4 b) Mostra que a recta DG pode ser definida por 3 x + y =− ∧ z =12 . c) Determina a intersecção da recta DG com o plano que contém a face [ABFE] do prisma. ( ) 1998 -1ª Fase, 1ª Chamada Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um sólido formado por um cubo e uma pirâmide quadrangular regular. A base da pirâmide coincide com a face superior do cubo. O vértice O coincide com a origem do referencial; o vértice N pertence ao semi-eixo positivo Ox; o vértice P pertence ao semi-eixo positivo Oy; o vértice S pertence ao semi-eixo positivo Oz; a altura da pirâmide é igual ao comprimento da aresta do cubo; o vértice V tem coordenadas (3; 3; 12). a) Justifica que UQ = 6 e UV =3 6 . b) Determina a intersecção da recta que contém a aresta [UV] com o plano de equação x = 4. c) Considera um ponto A pertencente à aresta [UQ]. Um plano que contenha o ponto A e que seja paralelo ao plano xOy divide o sólido representado na figura em duas partes. Determina a cota do ponto A de modo que sejam iguais os volumes dessas partes.

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