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PO1 - Capítulo 3-0

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3 0 cap 003

  1. 1. Apostila de Exercícios da Disciplina de Pesquisa Operacional I Luís Alberto Duncan Rangel UFF – EEIMVR – Volta Redonda Departamento de Engenharia de Produção Capítulo 3
  2. 2. SUMÁRIO 3. Introdução à Pesquisa Operacional: 3.1 Histórico da Pesquisa Operacional Sociedades de Pesquisa Operacional 3.2 Áreas da Pesquisa Operacional Programação Linear Programação Inteira Programação Mista Programação por Metas Programação Não-Linear Programação Dinâmica Grafos Simulação Teoria das Filas
  3. 3. SUMÁRIO 3.2 Áreas da Pesquisa Operacional Teoria das Filas Tória dos Jogos Inteligência Artificial Redes Neurais Artificiais Análise Envoltória de Dados Apoio Multicritério à Decisão 3.3 Modelo 3.4 Introdução a Programação Linear (PL) 3.4.1 Hipóteses e Limitações da PL Aditividade, Constantes, Proporcionalidade, Divisibilidade 3.4.2 Definição de Conjuntos Convexos e Côncavos
  4. 4. SUMÁRIO 3.4.2 Definição de Conjuntos Convexos e Côncavos 3.4.3 Soluções viáveis e soluções ótimas 3.4.4 Variáveis de Decisão 3.4.5 Função Objetivo 3.4.6 Restrições Tecnológicas 3.4.7 Restrições de Não negatividades 3.4.8 Resumo dos Elementos de um PPL 3.5 Problemas de Programação Linear 3.5.1 Exemplo1: Problemas de Análise das Atividades 3.5.2 Exemplo2: Problemas de Análise das Atividades
  5. 5. 3.1 Histórico da Pesquisa Operacional A pesquisa operacional tem como marco inicial, considerado por pesquisadores, o período da segunda guerra mundial, quando diversos profissionais e pesquisadores graduados em diversas áreas foram reunidos em um grupo de pesquisa, para avaliar um modo de abastecimento das frentes de batalha, uma vez que os 3. Introdução a Pesquisa Operacional I modo de abastecimento das frentes de batalha, uma vez que os recursos eram escassos. Após a segunda guerra, pesquisadores e profissionais, que pertenciam ao grupo de trabalho montado na segunda guerra, foram trabalhar nas empresas, em universidades e em centros de pesquisas, dando continuidades as pesquisas iniciadas anteriormente.
  6. 6. 3.1 Histórico da Pesquisa Operacional Dantzig propôs em 1947 no método SIMPLEX para resolver problemas de programação linear. Este método é considerado um grande marco da área de pesquisa operacional. Em período anterior a Dantzig, o pesquisador russo Kantorovitch 1930 elaborou um modelo para alocação de recursos através do 3. Introdução a Pesquisa Operacional I elaborou um modelo para alocação de recursos através do planejamento econômico, mas somente publicou as suas pesquisas anos depois, que Dantzig havia publicado as suas pesquisas. A pesquisa operacional vem apresentando um crescimento muito grande em função do crescimento de utilização de computadores que facilitam o desenvolvimento de programas e a capacidade de processamento dos dados com maior quantidade de dados velocidade de processamento dos dados utilizados nos programas.
  7. 7. 3.1 Histórico da Pesquisa Operacional Sabe-se que diversos estudos foram realizados por muitos pesquisadores em muitas áreas, que hoje são consideradas como sub-áreas da pesquisa operacional como é o caso dos estudos realizados por Leonhard Euler em 1736 para atravessar as pontes de Kronenberg (Könisgberg), que hoje é marco para o estudo de 3. Introdução a Pesquisa Operacional I de Kronenberg (Könisgberg), que hoje é marco para o estudo de Grafos. Hoje, os problemas abordados pela pesquisa operacional crescem e exigem algoritmos cada vez mais eficientes na busca das soluções. Assim, o campo da pesquisa operacional continua crescendo e é extremamente dinâmico.
  8. 8. Sociedades de Pesquisa Operacional SOBRAPO – Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional. SBPO, Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional. ABEPRO – Associação Brasileira de Engenharia de Produção. ENEGEP, Encontro Nacional de Engenharia de Produção. 3. Introdução a Pesquisa Operacional I ENEGEP, Encontro Nacional de Engenharia de Produção. SIMPEP – Simpósio de Engenharia de Produção. Promovido pela UNESP, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. SPOLM – Simpósio de Pesquisa Operacional e Logística da Marinha. Promovido anualmente pela Marinha do Brasil. REDM – Red Multicriterio. Promove periodicamente o Encontro de Red Multicriterio de Evaluación y Decisión Multicriterio.
  9. 9. Sociedades de Pesquisa Operacional CLAIO - Congreso Latino-Iberoamericano de Investigación Operativa. Este evento acontece de dois em dois anos e é patrocinado pela ALIO - Asociación Latino-Iberoamericana de Investigación Operativa. 3. Introdução a Pesquisa Operacional I INFORMS – Institute for Operations Research and the Management Science. Entre outras.
  10. 10. Revistas na Área de Pesquisa Operacional (Nacionais) Pesquisa Operacional;Gestão & Produção; Produção; entre outras. Revistas na Área de Pesquisa Operacional (Internacionais) Journal of the Operational Research Society 3. Introdução a Pesquisa Operacional I Journal of the Operational Research Society European Journal Operational Research Annals of Operational Research Mathematical Programming Omega Computers and Operations Research Decision Support Systems Management Science
  11. 11. Software na Área de Pesquisa Operacional SOLVER / EXCEL LINDO / LINGO 3. Introdução a Pesquisa Operacional I XPRESS WINPLOT GAMS Matlab Optimization Toolbox
  12. 12. 3.2 Áreas da Pesquisa Operacional Programação Linear Programação Inteira 3. Introdução a Pesquisa Operacional I Programação Mista Programação por Metas Programação Não-Linear Programação Dinâmica Grafos
  13. 13. 3.2 Áreas da Pesquisa Operacional Simulação Teoria das Filas 3. Introdução a Pesquisa Operacional I Teoria dos Jogos Inteligência Artificial Redes Neurais Artificiais Análise Envoltória de Dados Apoio Multicritério à Decisão
  14. 14. 3.3 Modelos Os modelos são empregados para nos ajudar a abordar e estruturar problemas complexos e a tratar incertezas que eventualmente um problema de decisão possa ter. A construção de modelos é a essência da abordagem de pesquisa 3. Introdução a Pesquisa Operacional I A construção de modelos é a essência da abordagem de pesquisa operacional (Wagner, 1986). Em suma, o termo modelo em Pesquisa Operacional é uma maneira de obter uma visão bem-estruturada da realidade, permitindo-nos uma abordagem “quase real” do problema de decisão.
  15. 15. 3.3 Modelos Identificam-se diversos significados do termo modelo, tais como: - uma miniatura de um prédio, de um carro ou de um avião são modelos em tamanho reduzido do prédio, do carro e do avião; 3. Introdução a Pesquisa Operacional I - uma idealização da realidade, neste caso, busca-se um simplificação da realidade permitindo a sua abordagem sem a total complexidade do problema real. Em Pesquisa Operacional, um modelo é quase sempre uma representação aproximada da realidade, traduzida através de formulações matemáticas. A figura 1 abaixo apresenta uma visão da diferença entre o modelo e o problema do mundo real.
  16. 16. 3.3 Modelos 3. Introdução a Pesquisa Operacional I M O D E L O M U N D O R E A L
  17. 17. 3.3 Modelos O termo representação aproximado da realidade significa que pequenos detalhes podem ser retirados ou descartados do problema de decisão, sem perda para a sua abordagem. Outros, que mais significativos para o problema abordado tem que ser considerados no modelo. 3. Introdução a Pesquisa Operacional I considerados no modelo. O modelo emprega símbolos matemáticos para serem associados a determinadas características ou variáveis do problema abordado. Estas variáveis são relacionadas por equações ou inequações matemáticas que expressam o funcionamento do sistema. A solução consiste em encontrar valores adequados das variáveis de decisão que otimizem o desempenho do sistema, segundo o critério desejado.
  18. 18. 3.3 Modelos Para a realização de uma análise quantitativa de um problema, através da pesquisa operacional, é necessária a sua fragmentação, identificando etapas para a sua abordagem, quais sejam: 3. Introdução a Pesquisa Operacional I
  19. 19. 3. Introdução a Pesquisa Operacional I
  20. 20. 3.4 Introdução à Programação Linear A Pesquisa Operacional primeiramente era associada à Programação Linear, pois foi a primeira área da PO que teve uma grande quantidade de aplicações. É ainda hoje uma das áreas mais importantes da Pesquisa Operacional. 3. Introdução a Pesquisa Operacional I O termo linear impõe restrições matemáticas, da seguinte forma: somente equações matemáticas lineares podem ser empregadas para escrever ou representar um modelo matemático. Se um modelo não puder ser escrito somente em termos de equações lineares, outras técnicas da pesquisa operacional devem ser empregadas e não a programação linear na abordagem deste problema.
  21. 21. 3.4 Introdução à Programação Linear Hipóteses e Limitações da Programação Linear: Além de somente poder tratar modelos matemáticos representados através de equações lineares, conforme comentado no parágrafo anterior, um Problema de Programação Linear deve: 3. Introdução a Pesquisa Operacional I no parágrafo anterior, um Problema de Programação Linear deve: Aditividade; consideram-se as variáveis de decisão como sendo totalmente independente uma das outras. Não permite que haja interdependência entre as variáveis de decisão, (ex: X1 + 3X2). Constantes; consideram-se os coeficientes a, b e c, que multiplicam as variáveis de decisão ou limitam uma equação de restrição, como sendo coeficientes constantes e na realidade podem não ser.
  22. 22. 3.4 Introdução à Programação Linear Hipóteses e Limitações da Programação Linear: Proporcionalidade; estes modelos, não consideram, por exemplo, a economia de escala. Quanto mais produzimos de um item mais reduzimos o custo de produção deste item. O lucro de 3. Introdução a Pesquisa Operacional I item mais reduzimos o custo de produção deste item. O lucro de cada atividade é proporcional ao lucro unitário de um item. Esta hipótese diz que o lucro unitário c independe do nível de produção de x (não considera a economia de escala). Divisibilidade: as soluções dos modelos de programação linear podem apresentar valores fracionários e em muitos problemas as variáveis de decisão não podem assumir valores fracionários.
  23. 23. 3.4 Introdução à Programação Linear Conjuntos Convexos e Não-Convexos: Conjuntos Convexos: 3. Introdução a Pesquisa Operacional I Conjuntos Não-Convexos:
  24. 24. 3.4 Introdução à Programação Linear Soluções Viáveis: O conjunto de todas as soluções viáveis de um problema de programação linear é um conjunto convexo. Uma solução viável é uma solução que respeita todas as restrições do modelo 3. Introdução a Pesquisa Operacional I uma solução que respeita todas as restrições do modelo matemático. Soluções Ótimas: Diz-se que uma solução é ótima em um PPL quando as variáveis assumem determinados valores que otimizam a função objetivo. A solução ótima é uma solução pertencente ao conjunto de soluções viáveis do PPL.
  25. 25. 3.4 Introdução à Programação Linear (Elementos de um modelo de PPL) - Identificar as variáveis de decisão: VD (X1, X2, . . . , Xn); 3. Introdução a Pesquisa Operacional I - Definir a função objetivo do problema: FO (Z-Max ou Z-Min); - Restrições tecnológicas: R1, R2, ..., Rn; - Restrições de não-negatividade: X1>=0; X2 >=0,...,Xn>=0.
  26. 26. 3.4 Programação Linear (Resumo de um PPL) - VD (X1, X2, . . . , Xn); - FO (Z-Max ou Z-Min); - Restrições tecnológicas, restrições de não-negatividade; - Escrever as restrições de não-negatividade: 3. Introdução a Pesquisa Operacional I - Escrever as restrições de não-negatividade: Em PPL as hipóteses limitadoras são: - Aditividade: as VD são independentes; - Constantes: consideram-se “a, b, c” como constantes; - Proporcionalidade: não considera a economia de escala; - Divisibilidade: as VD assumem valores reais. Em PPL os conjuntos de soluções viáveis são sempre conjuntos convexos, e a solução ótima esta na fronteira deste conjunto.
  27. 27. 3.5 Exemplos de Problema de Programação Linear Ex.1 (Kolman, Introdução à Álgebra Linear com Aplicações, pg.301) Um pequeno fabricante de produtos fotográficos prepara dois tipos de reveladores de filme por dia. Fino e Extrafino, usando como matéria-prima as soluções A e B. Suponha que cada litro do 3. Introdução a Pesquisa Operacional I matéria-prima as soluções A e B. Suponha que cada litro do revelador Fino contém 2 medidas da solução A e 1 medida da solução B, enquanto que o revelador Extrafino contém 1 medida da solução A e 2 medidas da solução B. Suponha, também que o lucro em cada litro do revelador Fino é de 8 centavos, enquanto que o lucro em cada litro do revelador Extrafino é de 10 centavos. Se a firma tem disponíveis 50 medidas da solução A e 70 da solução B por dia, quantos litros ela deve produzir de cada tipo de revelador por dia para maximizar o lucro (supondo que ela pode vender tudo que produzir)?
  28. 28. 3.5 Exemplos de Problema de Programação Linear - Variáveis de Decisão: X1 - número de litros do revelador Fino a ser produzido por dia; X2 - número de litros do revelador Extrafino a ser produzido por dia. 3. Introdução a Pesquisa Operacional I - Restrições Tecnológicas: Restrição devido a solução A: Cada litro do revelador Fino contém 2 medidas da solução A, Cada litro do revelador Extrafino contém 1 medida da solução A, A quantidade total da solução A necessária é: 2.X1 + X2.
  29. 29. 3.5 Exemplos de Problema de Programação Linear Restrição devido a solução B: Cada litro do revelador Fino contém 1 medidas da solução B, Cada litro do revelador Extrafino contém 2 medida da solução B, A quantidade total da solução B necessária é: 3. Introdução a Pesquisa Operacional I A quantidade total da solução B necessária é: X1 + 2.X2. A disponibilidade das soluções A e B, são 50 medidas da solução A e 70 medidas da solução B, assim temos: 2.X1 + X2 < 50 ===> (Restrição devido a solução A) X1 + 2.X2 < 70 ===> (Restrição devido a solução B)
  30. 30. 3.5 Exemplos de Problema de Programação Linear - Restrições de não-negatividade: Como as soluções não podem ser negativas para produzir os reveladores, temos: X1 > 0 3. Introdução a Pesquisa Operacional I X1 > 0 X2 > 0 - Função Objetiva: O lucro em cada litro dos reveladores Fino e Extrafino é de, respectivamente, 8 e 10 centavos, o lucro total (em centavos) é: FO Max: Z = 8.X1 + 10.X2
  31. 31. 3.5 Exemplos de Problema de Programação Linear - Modelo Matemático do Ex. 1: FO Max: Z = 8.X1 + 10.X2 3. Introdução a Pesquisa Operacional I FO Max: Z = 8.X1 + 10.X2 Sujeito à: 2.X1 + X2 < 50 X1 + 2.X2 < 70 X1 > 0 X2 > 0
  32. 32. 3.5 Exemplos de Problema de Programação Linear Ex.2 (Kolman, Introdução à Álgebra Linear com Aplicações, pg.301) Um fabricante de determinado produto químico tem duas fábricas onde o produto é feito. A fábrica X pode fabricar no máximo 30 toneladas por semana, enquanto a fábrica Y pode fabricar no 3. Introdução a Pesquisa Operacional I toneladas por semana, enquanto a fábrica Y pode fabricar no máximo 40 toneladas por semana. O fabricante quer fazer um total de pelo menos 50 toneladas por semana. A quantidade de partículas poluentes encontradas semanalmente na atmosfera de uma cidade próxima às fábricas é de 20 quilos por cada tonelada fabricada em X e de 30 quilos por cada tonelada fabricada em Y. Quantas toneladas devem ser fabricadas em cada fábrica por semana de modo a minimizar as partículas poluentes na atmosfera?
  33. 33. 3.5 Exemplos de Problema de Programação Linear - Variáveis de Decisão: X - número de toneladas fabricadas em X por semana; Y - número de toneladas fabricadas em Y por semana. 3. Introdução a Pesquisa Operacional I - Restrições Tecnológicas: 1) Restrição devido a quantidade de toneladas fabricadas: X+Y>50 2) A fábrica X pode fabricar no máximo 30 toneladas: X < 30 3) A fábrica Y pode fabricar no máximo 40 toneladas: Y < 40 3) X e Y não podem ser negativos: X > 0; Y > 0
  34. 34. 3.5 Exemplos de Problema de Programação Linear - Função Objetiva: A quantidade total de partículas poluentes (em quilos) é: FO Min: Z = 20.X + 30.Y 3. Introdução a Pesquisa Operacional I - Modelo Matemático do Ex. 1: FO Max: Z = 8.X1 + 10.X2 Sujeito à: 2.X1 + X2 < 50 X1 + 2.X2 < 70 X1 > 0 X2 > 0

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