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Unidad 3 la derivada
 

Unidad 3 la derivada

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    Unidad 3 la derivada Unidad 3 la derivada Document Transcript

    • UNIDAD III LA DERIVADA3.1 DEFINICIÓN Y SIMBOLOGÍA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. Uno de los problemas que dio origen a la derivada fue el cálculo de la velocidadinstantánea. Recordemos que la velocidad media se obtiene al dividir la distancia recorrida entreel intervalo de tiempo transcurrido. d vm t Esta cantidad nos proporciona una velocidad representativa de todo el recorrido. Porejemplo, si realizamos un viaje entre dos ciudades que se encuentran a una distancia de 300 Kmen un tiempo de 3 horas, entonces la velocidad media es de 100 Km/h. Esto no significa que sehaya viajado con esta velocidad todo el recorrido. Si queremos la velocidad exactamente en untiempo de una hora, estamos hablando de la velocidad instantánea. Si a cada valor del tiempo le asociamos una posición, es posible calcular la velocidad mediaentre dos posiciones cualesquiera: t1 t t1 t 2 t2 d1 d d2 d1 d2 Si deseamos la velocidad instantánea exactamente en t1 , es razonable pensar que elinstante de tiempo debe ser pequeño, es decir debe aproximarse a cero, más no puede ser cero,esto nos lleva al concepto de límite estudiado anteriormente, por lo tanto la velocidad instantáneaes el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero: d v lim t t 0 --------------- (1) Algo importante es que para poder utilizar esta fórmula debemos tener una función quenos dé la posición en función del tiempo d f (t ) . La función anterior nos permite calcular la posición para cualquier instante, para que ttienda a cero, es necesario que t 2 se aproxime a t1 , es posible escribir t 2 de la siguiente format 2 t1 t , entonces d1 f (t1 ) y d 2 f (t1 t ) , sustituyendo en la fórmula (1): d d2 d1 f (t1 t) f (t1 ) v lim lim lim t t t t 0 t 0 t 0 43
    • Ejemplo: Un cuerpo se mueve en lineal recta y su posición con respecto al tiempo se obtienemediante la función f (t ) t , es decir la posición es igual al tiempo transcurrido, determine suvelocidad instantánea exactamente en 1 segundo. En este ejemplo tenemos que t1 1 , si sustituimos en la fórmula de la velocidadinstantánea: d f (t1 t) f (t1 ) f (1 t) f (1) v lim lim lim t t t t 0 t 0 t 0 Utilizando la función f (t ) t (1 t) 1 t v lim lim lim 1 1 t t t 0 t 0 t 0 Tenemos que la velocidad instantánea es de 1 m/s, en este caso es constante. Es posible generalizar el resultado anterior para cualquier tiempo t , esto nos daría comoresultado la fórmula: f (t t) f (t ) v lim t t 0 Ejemplo: La posición de una partícula que se mueve en línea recta se obtiene mediante la expresiónf (t ) 2t 2 t 1 , determine la velocidad instantánea para cualquier tiempo t y calcule lavelocidad en 5 segundos. La velocidad instantánea para cualquier tiempo se obtiene con la fórmula: f (t t) f (t ) v lim t t 0 Sustituyendo los valores en la función: 2(t t)2 t t 1 (2t 2 t 1) v lim t t 0 Realizando operaciones y simplificando: 4t t 2 t2 t t (4t 2 t 1) v lim lim lim 4t 2 t 1 4t 1 t t t 0 t 0 t 0 44
    • La expresión de la velocidad instantánea es v 4t 1 , para t 5, la velocidad esv 4(5) 1 21 m / s Si la fórmula anterior la aplicamos a cualquier función f (x) nos proporciona la razón decambio instantánea, a esta se le da el nombre de Derivada, la cual se simboliza: f (x x) f ( x) f ( x) lim x x 0 Ejemplo: Usando la fórmula, derivar las siguientes funciones: a) f ( x) 3x 3 x2 1 b) h( x) x c) p ( x ) x Solución: a) f (x x) f ( x) 3( x x) 3 (x x) 2 ( 3x 3 x2 ) f ( x) lim lim x x x 0 x 0 Desarrollando y simplificando se obtiene: x( 9 x 2 9x x 3 x2 2x x)f ( x) lim lim ( 9 x 2 9x x 3 x2 2x x) x x 0 x 0f ( x) 9x2 2x 1 1 x x x h( x x ) h( x ) (x x)( x) x h ( x) lim lim x x x lim lim x x x x( x x)(x) b) x 0 x 0 x 0 x 0 1 1 h ( x) lim (x x)(x) x2 x 0 c) En este ejemplo es necesario racionalizar. p( x x) p( x) x x x x x x x x xp ( x) lim lim lim x x x x x x( x x x) x 0 x 0 x 0 1 1p ( x) lim x x x 2 x x 0 45
    • Ejercicio 1:1.- Usando la fórmula de la definición de derivada, obtener la derivada de las siguientesfunciones:a) b) c)3.2 INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA DERIVADA. Otro problema que origino el concepto de derivada fue el de obtener la ecuación de larecta tangente a un punto a una curva. Recordemos que una recta tangente es aquella que toca enun solo punto a una curva. Recta tangente Al estudiar la función lineal se obtuvo una fórmula para determinar la ecuación de unarecta conociendo dos puntos es y y1 m( x x1 ) , partiremos de la figura: P2 Recta secante y y2 y1 P1 Recta tangente x La pendiente de esta recta secante se obtiene usando las coordenadas de los puntos: y y2 y1 ms x x Si hacemos que x tienda a cero, el punto P2 se acerca al punto P1, de tal manera que enel límite estos dos puntos coinciden y es posible calcular la pendiente de la recta tangente alpunto P1: y mT Lím x x 0 Si conocemos la función y f (x) , es posible escribir y de la siguiente forma y y2 y1 f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) , sustituyendo el la fórmula: y f ( x1 x) f ( x1 ) mT lim lim x x x 0 x 0 46
    • Usando la fórmula podemos obtener la pendiente de la recta tangente, la ecuación de estarecta es y y1 mT ( x x1 ) . Obsérvese que solo es necesario dar las coordenadas de un puntoy conocer la función. La fórmula se puede generaliza para cualquier punto sobre la curva: f (x x) f ( x) mT lim f ( x) x x 0 Es importante hacer notar que el cálculo de la velocidad instantánea y el de la obtenciónde la recta tangente conducen al mismo concepto “La Derivada”. Ejemplo. Obtener la ecuación de la recta tangente a la función f ( x ) 3x 2 2 en el punto dondex=3. La ecuación de la recta tangente es y y1 mT ( x x1 ) , primero debemos obtener elvalor de la función que corresponde a x1 3 , para esto sustituimos este valor en al función: y1 f ( x1 ) f (3) 3(3) 2 2 29 Ahora necesitamos el valor de la pendiente, para calcularla usamos la fórmula: f (x x) f ( x) 3( x x) 2 2 (3x 2 2) mT lim lim x x x 0 x 0 Al efectuar las operaciones y evaluando el limite se obtiene mT 6 x usado el valorx1 3 , se obtiene mT 18 . La ecuación de la recta tangente es: y 29 18( x 3) 29 18x 54 25 18x Ejercicio 2: Obtener la ecuación de la recta tangente a las funciones, en el punto donde el valor de xse mencione. a) f ( x) 2x3 2 x 1 en x= -1 2 b) g ( x) en x= 5 x 1 c) h( x ) x 1 en x= 3 La derivada nos proporciona la pendiente de la recta tangente, está pendiente es latangente del ángulo que la recta forma con el eje horizontal: y y2 y1 dy Recta tangente dx = x 47
    • Esta pendiente se puede representar por media del cociente de dos números muypequeños llamados diferenciales: dy f ( x) dx3.3 REGLAS O FÓRMULAS PARA DERIVAR FUNCIONES. Como te habrás dado cuenta, el obtener la derivada de una función usando la fórmula f (x x) f ( x)f ( x) lim x , es un proceso tardado y en muchos casos difícil. Es posible x 0obtener la derivada utilizando fórmulas, las cuales se obtienen a partir de la definición dederivada.3.3.1 FÓRMULAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS. Caso 1.- Iniciaremos con las funciones polinomiales, el caso más sencillo es el de la funciónconstante f ( x) c . Usando la fórmula: f (x x) f ( x) c c f ( x) lim lim lim 0 0 x x x 0 x 0 x 0 Concluimos que f (x) 0 para una constante. Caso 2.-Si ahora se considera la función identidad f ( x) x f (x x) f ( x) x x x x f ( x) lim lim lim Lím 1 1 x x x x 0 x 0 x 0 x 0 La derivada de la función identidad es f (x) 1 Caso 3.- Si derivamos la función f ( x) x n para n entero positivo: f (x x) f ( x) (x x) n xn f ( x) lim lim x x x 0 x 0 Para esta función debemos utilizar el teorema del binomio de Newton, el cual sirve paraelevar un binomio a una potencia. (a b) n a n na n 1b n(n 1)a n 2 b 2 n(n 1)( n 2)a n 3b 3 .... b n Haciendo a x y b x xn nx n 1 x n(n 1) x n 2 x2 n(n 1)(n 2) x n 3 x 3 ... xn xn f ( x) lim x x 0 48
    • Factorizando x de cada término y eliminando con el del denominador, se obtiene: f ( x) lim nx n 1 n(n 1) x x n(n 1)( n 2) x n 3 x2 ... xn 1 nx n 1 x 0 Tenemos entonces, que si f ( x) x n entonces f ( x) nx n 1 Por ejemplo si queremos derivar f ( x) x 3 aplicando la fórmula obtenemos f ( x) 3x 2 Para obtener la derivada de una función se puede utilizar un operador, este es un símbolo dque nos indica que se realiza una operación definida de alguna forma, para la derivada se usan dxo D x . El ejemplo anterior lo podemos realizar: d 3 f ( x) ( x ) 3x 2 o f ( x) Dx ( x 3 ) 3x 2 dx Caso 4.- En los polinomios la potencia de la variable se encuentre multiplicada por unaconstante, por ejemplo 2x , podemos obtener una fórmula para derivar para derivar cualquier 3función multiplicada por una constante, consideremos cf (x) : d cf ( x x) cf ( x) f (x x) f ( x) d cf ( x) lim c lim c f ( x) dx x x dx Esta propiedad nos dice que podemos sacar una constante del operador. Derivando lafunción anterior: d d 3 (2 x 3 ) 2 (x ) 2(3x 2 ) 6x 2 dx dx Caso 5.- Ahora obtendremos una fórmula para derivar funciones donde tenemos suma detérminos, por ejemplo h( x) 2 x 2 . Esta función la podemos escribir como una suma de dosfunciones h( x) f ( x) g ( x) d d d f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) dx dx dx Derivemos la función h( x) 2 x2 : d d d 2 h ( x) (2 x2 ) (2) (x ) 0 2x 2x dx dx dx La deducción de las siguientes fórmulas se omite (puede consultarse en cualquier libro deCálculo). Caso 6.- Derivada de un producto de funciones h( x) f ( x) g ( x) su derivada es: d d d h ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) g ( x) f ( x) dx dx dx 49
    • Ejemplo: Derivar el siguiente producto de funciones f ( x) (5 x 4 2 x 2 )( x 2 3) usando la fórmuladel producto: d 2 df ( x) (5 x 4 2x 2 ) ( x 3) ( x 2 3) (5 x 4 2 x 2 ) dx dx (5 x 4 2 x )(2 x) ( x 3)(20 x 4 x) 10 x 5 2 x 3 2 2 3 20 x 5 60 x 3 8 x 3 12 x 30 x 5 70 x 3 12 x x(30 x 4 70 x 2 12) f ( x) Caso 7.- Derivada de un cociente h( x) g ( x) 0 g ( x) g ( x) D x f ( x) f ( x) D x g ( x) h ( x) 2 g ( x) Ejemplo: 3x 3 2x Derivar la función f ( x ) x2 4 (x2 4) D x (3x 3 2 x) (3x 3 2 x) D x ( x 2 4) (x2 4)(9 x 2 2) (3x 3 2 x)(2 x)f ( x) ( x 2 4) 2 ( x 2 4) 2 9x 4 2x 2 36 x 2 8 6 x 4 4x 2 3x 4 38x 2 8 ( x 2 4) 2 ( x 2 4) 2 Caso 7 Derivada de una función compuesta h( x) f g ( x) h ( x) f g ( x) D x g ( x) A esta fórmula se le conoce como la regla de la cadena. Ejemplo: 4 4 Derivar f ( x) 2x 2 5 en este caso g ( x) 2x 2 5 , entonces f ( x) g ( x)derivando tenemos: 4 1 3 3 f ( x) 4 g ( x) Dx g ( x) 4 2x 2 5 Dx (2 x 2 5) 4 2x 2 5 ( 4 x) En el caso de que se trate de potencias de funciones la regla de la cadena se puedeescribir: n n 1 Dx g ( x) n g ( x) Dx g ( x) Las funciones que contiene radicales se pueden derivar utilizando las fórmulas del caso 3y caso 7. Para esto es necesario transformar los radicales a potencias con exponentes mfraccionarios utilizando la propiedad a . n m n a Ejemplos: 50
    • Derivar las funciones: a) f ( x) x .Primero transformamos a un exponente fraccionario y utilizamos lafórmula del caso 3. 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 f ( x) Dx ( x ) x x 2 2 2 x b) x2 2 utilizando el caso 7 3 h( x) 1 1 2 1 1 1 2 2 2x h ( x) Dx x 2 2 3 x 2 3 Dx ( x 2 2) x 2 3 (2 x) 3 3 3 3 x2 2 2 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN ALGEBRAICAS: 1.- D x (c ) 0 2.- D x (x) 1 3.- D x ( x ) n nx n 1 4.- D x f ( x) g ( x) D x f ( x) D x g ( x) 5.- D x f ( x) g ( x) f ( x) D x g ( x) g ( x) D x f ( x) f ( x) g ( x) Dx f ( x) f ( x) Dx g ( x) 6.- Dx 2 g ( x) g ( x) n n 1 7.- Dx f ( x) n f ( x) Dx f ( x) La combinación adecuada de estas fórmulas permite derivar cualquier función algebraica. Ejemplos: Derivar la función f ( x) x 3 (x 2 2) 2 . En este caso debemos usar también la fórmulapara derivar una potencia: 51
    • d 3 2 d 2 d 3f ( x) x (x 2) 2 x3 (x 2) 2 ( x 2 2) 2 x dx dx dx d 2 x 3 2( x 2 2) 2 1 (x 2) (x2 2) 2 (3x 2 ) dx x 3 2( x 2 2) 2 1 (2 x) (x2 2) 2 (3x 2 ) 4x4 (x 2 2) 3x 3 ( x 2 2) 2La expresión obtenida, puede ser simplificada si usamos la factorización: x3 (x 2 2) 4 x 3( x 2 2) x3 (x 2 2) 4 x 3x 2 6 x2Derivar el siguiente cociente y (x 2 5) 3 d 2 d 2 ( x 2 5) 3 x x 2 ( x 2 5) 3 d x dx dxy dx ( x 5) 3 2 2 ( x 5) 3 2 ( x 2 5) 3 (2 x) ( x 2 ) 3( x 2 5) 2 (2 x) ( x 2 5) 6 2 x( x 2 5) 3 6 x 3 ( x 2 5) 2 2 x( x 2 5) 2 x 2 5 3 x 2 ( x 2 5) 6 ( x 2 5) 6 2 x(5 2 x 2 ) ( x 2 5) 4 1Derivar g ( x ) x 2 x 4 = x 2 ( x 4) 2 1 1 1 1g ( x) x 2 D x ( x 4) 2 ( x 4) 2 D x x 2 x 2 1 ( x 4) 2 2 (1) ( x 4) 2 (2 x) x2 1 x2 ( x 4)(2 x) 3x 2 8 x 3x 2 8x 1 ( x 4) 2 (2 x) 1 1 2( x 4) 2 2( x 4) 2 2( x 4) 2 2 x 4 52
    • Ejercicio 3: 1.- Utilizando las fórmulas de derivación algebraicas, derivar las siguientes funciones:a) f ( x) 4x3 2x 2 4b) p ( x) 6 x 3 (4 3x 4 ) 2 3(t 2 2)c) h(t ) (t 4) 3d) r ( x) (x2 3 x ) 3 (6 4 x 2 ) 2 x 1e) l ( x ) x x2 3xf) g ( x) x2 3g) 3 w(r ) 4r 2 r2 2 1h) t ( s) s2 s 2 2i) f ( x ) 3x 1 1j) p(t ) 1 1 t2k) q( x) ax 2 1 2ax 2l) y a bx cx 2Ejercicio 4:2.- Resuelve los siguientes problemas a) Una partícula se mueve sobre una línea recta y su posición con respecto al tiempo es x 3t 3 2t 5 determine:  La velocidad media entre 5 y 10 segundos  La velocidad instantánea en 5 segundos b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a las funciones en el valor indicado:  f ( x) 2x 2 3 x 6 en x=2 2 x  g ( x) en x= -4 x 2 53
    • 3.3.2 FUNCIONES EXPONENCIALES. Ahora se consideran las funciones trascendentes, iniciaremos con las exponenciales, estastienen la característica de estar formadas por una base numérica elevada a un exponentevariable, su forma general es: f ( x) bx Este tipo de funciones surge del estudio de cierto tipo de fenómenos naturales como laradiactividad, crecimiento de poblaciones, cálculo de intereses, etc. Consideremos el siguienteejemplo: Una persona deposita $1000 en una cuenta que paga una tasa de interés compuesto del3% capitalizable mensualmente, determine la cantidad de dinero que tiene al final de 5 meses. Al final del primer mes, la cuenta gana interese de I=1000(0.03)=30, si estos secapitalizan, para el segundo mes se tendrá un capital de C=1000+30=1030. Para el segundo mes losinterés son I=1030(0.03)=30.9, este proceso lo podemos resumir en la siguiente tabla: Mes Capital Intereses Capital Inicial Final 1 1000 30 1030 2 1030 30.9 1060.9 3 1060.9 31.875 1101.727 4 1101.727 33.05181 1167.83062 5 1167.83062 35.03492 1202.86553 Si quisiéramos la cantidad acumulada al final de 2 años, tendríamos que hacer la Tablahasta el mes 24, lo cual resulta impractico. En la tabla podemos observar que el procedimiento decálculo se repite de la misma manera, es posible obtener una fórmula que permita resumir loscálculos: Mes Capital Intereses Capital Inicial Final 1 C Ci C+Ci=C(1+i) 2 C(1+i) C(1+i)i C(1+i)+ C(1+i)i= C(1+I)2 3 C(1+i)2 C(1+i)2i C(1+i)2+ C(1+i)2i= C(1+I)3 4 C(1+I)3 C(1+i)3i C(1+i)3+ C(1+i)3i= C(1+i)4 . . . . . . . . x-1 x-1 x C(1+.i) C(1+i) i C(1+i) + C(1+i)x-1i= C(1+i)x x-1 Esta función depende de x que es el número de meses: f ( x) 1000 (1 i ) x La cantidad de dinero acumulada para 24 meses es: f (24 ) 1000 (1 0.03) 24 1000 (2,0327941) 2032.7941 El factor exponencial es 1.03 , donde 1.03 es la base. x Hagamos la gráfica de f ( x) 1.03 x 54
    • Para valores negativos la función tiende a cero, mientras que para valores positivos crecehacia el infinito. El dominio de la función son todos los Reales, su contradominio es 0, . Consideremos el caso en la capitalización de los intereses se hiciera de forma diaria, cadahora, cada segundo, en un periodo de un mes. Como la tasa de interés es mensual, debemos icalcularla para cada periodo z , donde x es el número de periodos de capitalización. xCapitalización Número Tasa de interés Factor exponencial de periodos Diaria 30 días 0.03 f (150 ) 1.001 30 z 0.001 30 1.03043908 Hora 720 0.03 f (720 ) 1.00004166 720 z 0.00004166 horas 720 1.03044894 Segundo 43200 0.03 f (43200 ) 1.0000006944 43200 z 0.00000069444 43200 1.0304545 En la tabla se observa que el valor de la función se acerca a un valor fijo cuando el númerode periodos se hace infinito, es posible calcular este valor a partir del número de Euler: i i z 1 x f ( x) (1 z ) 1 z 1 z z Si hacemos x muy grande, el valor de z tiende a cero, el límite de esta función de estafunción es: 55
    • 1 i 1 i z lim (1 z ) z lim (1 z ) z 0 z 0 El valor del límite no se puede obtener de manera directa, para calcularlo se puede hacerla tabla: z 1 (1 z ) z 0.1 2,5937424601 0.01 2,704813829421 0.001 2,716923932235 0.0001 2,716923932235 Este número se representa: e 2,716923932235.... Para nuestro ejemplo el factor exponencial es e i e 0.03 1.0304545 Cuando se usa el número de Euler como base de la función exponencial se tiene: f ( x) ex La gráfica de esta función es: Podemos observar que el dominio de esta función son los números reales y sucontradominio (0, ) . En general las funciones exponenciales se pueden escribir f ( x) bx Se utilizan valores de la base positiva y mayores de 1. 56
    • Si en el problema del cálculo de intereses queremos saber el número de meses quedebemos invertir 1000 para obtener 5000, a una tasa de interés de 3% capitalizablemensualmente. Debemos usar la fórmula: f ( x) 1000 (1 i ) x 5000 1000 (1.03) x 5 (1.03) x Es decir tenemos que encontrar el exponente x al que hay que elevar la base 1.03 para elresultado sea 5. A este exponente se le conoce como Logaritmo, este tipo de problemas dioorigen a esta herramienta de la Matemática. Es posible establecer logaritmos para cualquierbase, por ejemplo, si buscamos a que exponente debemos elevar la base 2 para obtener 8,debemos escribir: 2x 8 Entonces: x log 2 8 3 Esto significa que el exponente (logaritmo) al que se debe elevar la base 2 para obtener 8es el número 2. En la práctica se utilizan dos logaritmos, los que tiene base 10 y los que usancomo base el número de Euler, los primeros se simbolizan log 10 o simplemente log , mientras quelos segundos se representan log e ln . Los valores de estos logaritmos se pueden obtenermediante tablas o con el uso de una calculadora científica. Ejemplo: Los logaritmos de los siguientes números se obtuvieron usando una calculadora científica: log 100 2 log 25 1.39794 log 2525 3.402261 ln 34 3.526361 ln 356 5.874931 ln 0.46 0.776529 No existen valores de los logaritmos para números negativos. Como es posible obtener el logaritmo para cualquier número positivo mayor que cero,entonces se pueden manejar estos valores como una función: f ( x) log x o g ( x) ln x Sus gráficas respectivas son: Existen propiedades muy útiles de los logaritmos para simplificar algunas operaciones: 57
    • log a AB log a A log a B A log a log a A log a B B log a A n n log a A log a a 1 Ejemplo: ( 2 x 1) 3 Usando las propiedades de los logaritmos, simplifique la función y . x 2 Aplicando el logaritmo a ambos miembros de la igualdad. Se puede usar logaritmos decualquier base. (2 x 1) 3 1 ln y ln 1 ln y ln( 2 x 1) 3 ln( x 2) 2 ln y 3 ln( 2 x 1) 1 2 ln( x 2) ( x 2) 23.3.2.1 DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. Para derivar las funciones exponenciales y logarítmicas se usan las fórmulas siguientes: Dx v 9.- Dx e v e v Dx v 11.- D x ln v v Dx v 10.- Dx b v b v ln bD x v 12.- Dx log b v Donde v f (x) v ln b A continuación se muestran las derivadas de algunas funciones: a) La derivada de f ( x ) 2e 3 x es f ( x) D x 2e 3 x 2Dx e 3 x 2e 3 x D x 3 x 6e 3 x D x (3x 2 5) 6x b) Si g ( x) 5) su derivada es g ( x) 2 ln(3 x 3x 2 5 3x 2 5 2 c) Si f ( x) x 2 e 2 x , debemos derivar como un producto, entonces: 2 2 2 2 f ( x) x 2 Dx e 2 x e 2 x Dx x 2 x 2 (e 2 x )( 2 x) e 2 x (2 x) 2 2 2 2 x 3e 2 x 2 xe 2 x 2 xe 2 x ( x 2 1) 3e x 5 d) h( x) derivando como un cociente: x3 x 3 Dx (3e x 5) (3e x 5) Dx ( x 3 ) 3x 3 e x 9 x 2 e x 15x 2 3xe x 9e x 15 h ( x) (x3 )2 x6 x4 Nótese que es posible combinar las fórmulas algebraicas con las exponenciales ylogarítmicas. 58
    • Ejercicio 5: Derivar las siguientes funciones. a) y 2x3 4e 3 x b) f ( x) (2 x 2 2x x 3e )2 x2 2te 3t c) t ( x ) ln d) r (t ) x3 2 t 2 5t e) p ( x) x 3 ln x f) q ( r ) 24x 2 ex g) f ( x ) h) y 3 (x e x )2 x3 Algunas funciones complicadas es posible derivarlas utilizando las propiedades de loslogaritmos, por ejemplo la función: 3 2x3 y e2x Si aplicamos ln a ambos miembros de la igualdad y aplicamos las propiedades en el segundomiembro: 1 (3 2 x 3 ) 2 1 ln y ln ln(3 2 x 3 ) 2 ln e 2 x 1 2 ln(3 2 x 3 ) 2 x e2x Derivando ambos miembros de la igualdad: D x ln y Dx 1 2 ln(3 2 x 3 ) D x 2 x y 1 6x 2 3x 2 3x 2 6 4 x 2 x2 6 2 2 y 2 3 2x 2 3 2x 2 3 2x 2 3 2x 2 Multiplicando ambos miembros por y : 1 x 2 6 (3 2 x 2 ) 2 x2 6 y 1 3 2x 2 e2x e 2 x (3 2 x 2 ) 2 Ejercicio 6: Usando las propiedades de los logaritmos, derivar las funciones: a) y (3 x 2 2) 3 (2 x3 )2 b) f ( x ) x2 x 2 3 2e 2 x c) y 3e 2 x ( x e x ) 2 d) r x 5 59
    • 3.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA. Existen muchas aplicaciones que dan origen a ecuaciones donde no es posible despejar lavariable dependiente en términos de la variable independiente o que se requiere derivar como unaecuación. Por ejemplo consideremos la posición de una partícula que se mueve siguiendo unatrayectoria circular que cumple la ecuación x 4 , su gráfica es: 2 y2 Se observa que no se trata de una función, pero es aun así se puede obtener su derivada,para esto se considera que y f (x) y se deriva usando la regla de la cadenaDx y 2 2 yD x y 2 y y , derivado la ecuación: Dx ( x 2 y2 ) Dx 4 2 2 Dx x Dx y 0 2 x 2 yy 0 x y y La derivada dio como resultado una función de dos variables, es decir necesitamossustituir el valor ambos valores. Si queremos la velocidad en el punto donde x=1, debemosdeterminar el valor de y de la ecuación: 12 y2 4 1 y2 4 2 y 3 0 (y 3 )( y 3) 0 Para este valor de x tenemos dos valore y 2 , y 2 , entonces se presentan dosvalores de velocidad: 2 1 1 y y y 3 2 3 60
    • Esto se interpreta que para x=1 puede estar acercando o alejando del origen la partícula.En forma gráfica, significa que para x=1 existen dos rectas tangentes. Ejemplo: Derivar en forma implícita la función 2xy 2 y 0 . La gráfica usando DERIVE 5 Recta tangente Para esta ecuación es imposible despejar y en términos de x, derivando en formaimplícita: 1 D x 2 xy 2 y 2 Dx 0 1 2 xD x y 2 y 2 Dx 2 x Dx y 2 0 1 2 x(2 yy ) y 2 ( 2) 1 2 y 2 y 0 y 4 xyy 2y2 1 0 2y 2 Pasamos los términos que no contengan y al segundo miembro y factorizamos la derivada y 4 xyy 1 2y2 2y 2 1 y 4 xy 1 2y2 2y 2 5 2y2 2y 2 y 3 1 4 xy 2 1 4 xy 1 2y 2 En la gráfica se observa que el dominio son los números reales negativos. Supongamos quese quiere obtener la ecuación de la recta tangente para x=-1. Primero debemos conocer el valorde y, si sustituimos x=-1 en la ecuación: 2( 1) y 2 y 0 2y2 y 0 61
    • De esta ecuación es imposible despejar el valor de y, para estos casos se han ideadométodos que calculan estos valores en forma aproximada o podemos utilizar el programe Derive 5para calcular este valor. De la gráfica se puede observar que el valor de y que corresponde a x=-1se encuentra entre 0.5 y 1. Las instrucciones son las siguientes: 1.- Escribir la ecuación 2y2 y 2.- Activamos en la barra de herramientas la instrucción Solve y seleccionar Expresión 3.- En el cuadro de dialogo seleccionar Numericalli, Bounds, en el intervalo para estaecuación se toma Upper=1 y Lower= 0.5, dar OK. 4.- Enseguida aparece NSOLVE(- 2·y2 + y , y, 0.5, 1) 5.- De la barra de herramientas se selecciona = 6.- Se obtiene el resultado y = 0.6299605249 Para obtener la ecuación de la recta tangente utilizamos la ecuación y y1 mT ( x x1 ) ,la pendiente de la tangente se obtiene con la derivada: 2 y3 mT 4x y 3 1 Sustituyendo los valores de x=-1 , y = 0.6299605249: 2 (0.6299605249 ) 3 mT 1 4( 1) (0.6299605249 ) 3 1 La ecuación es y 0.6299605249 1( x 1) 1.6299605249 x Ejemplo: Derivar en forma implícita 3 xe 2y y2 x 0 2y 2 D x (3 xe y x) D x ( 0) 2y 2y 3 xD x e e Dx 3x Dx y 2 Dx x 0 2y 2y 3 xe D x 2 y 3e 2 yy 1 0 2y 2y 6 xe y 3e 2 yy 1 0 2y y (6 xe 2 y) 1 3e 2 y 1 3e 2 y y 6 xe 2 y 2 y Ejercicios 7: 1.-Derivar en forma implícita las ecuaciones. x a) 4 x y b) c) 2 y 5 xy y 0 2xe 3x y 2xy 0 0 y 2.- Obtenga la ecuación de la recta tangente a la ecuación 3 xy xe 0 en x=1, y 2xdibuje su gráfica y calcule el valor de y utilizando DERIVE 6. 62
    • 3.5 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. Hasta aquí solo se ha calculado la primera derivada de una función, existen aplicacionesdel calculo donde es necesario obtener la segundad, tercera derivada, a estas se les conoce comoderivadas de orden superior. Consideremos la función y 3x 3 2x 2 4 , si queremos la tercera derivada, derivamossucesivamente tres veces: y 9x 2 4x y 18 x 4 y 18 dny En general una derivada de orden n se puede representar f (n) n ( x) Dx dx n Ejemplo: Obtener la cuarta derivada de y x 2e x . y x 2e x 2 xe x y x 2e x 2 xe x 2 xe x 2e x x 2e x 4 xe x 2e x y x 2e x 2 xe x 4 xe x 4e x 2e x x 2e x 6 xe x 6e x y ( 4) x 2e x 2 xe x 6 xe x 6e x 6e x x 2e x 8 xe x 12e x Ejercicio 8: Obtener la tercera derivada de las siguientes funciones: 1 a) f ( x) x2 1 b) y c) y ln(x 1) ( x 2) 2 Una aplicación importante del cálculo fue desarrollada por Taylor, esta consiste enaproximar una función por medio de un polinomio de la forma: f ( x) a0 a1 ( x x0 ) a 2 ( x x0 ) 2 a3 ( x x0 ) 3 ... a n ( x x0 ) n Para realizar la aproximación es necesario conocer un punto de la función ( x0 , f ( x0 )) , apartir de este se desarrolla la serie. Los valores de los coeficientes a 0 , a1 , a 2 ,..., a n , se obtienenal sustituir el punto en la función y sus derivadas. Las fórmulas que se obtiene son: a0 f ( x0 ) a1 f ( x0 ) f ( x0 ) a2 2! (n) f ( x0 ) an n! 63
    • Esta serie es infinita para las funciones que se pueden derivar un infinito de veces, estosignifica que por más términos que agreguemos a la serie siempre tendremos un valor aproximado. Ejemplo: Obtener la serie de Taylor para la función f ( x) e x , utilizando el valor inicial x0 0. Para obtener los valores de los coeficientes se usa la tabla. Función y derivadas Valor en x0 0 Valor de los coeficientes x 0 f ( x) e f ( 0) e 1 a0 1 f ( x) ex f (0) e0 1 a1 1 f ( x) ex f (0) e0 1 a2 1 2 f ( x) ex f (0) e0 1 a3 1 6 . . . (n) x (n) 0 1 f ( x) e f (0) e 1 an n! Sustituyendo en la serie tenemos: f ( x) ex 1 x 1 2 x2 1 6 x3 1 24 x4 ... 1 n! xn ... Ejercicios 9: Desarrollar como una serie de Taylor las siguientes funciones usando el valor de x 0indicado: a) f ( x) x 1 x0 0 b) f ( x) sen x x0 0 c) f ( x) ln x x0 13.6 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Las funciones trigonométricas se obtienen a partir de las razones de los lados de untriángulo rectángulo. Se pueden obtener seis razones: Hipotenusa (c) Cateto opuesto a ángulo x (a) Cateto adyacente al ángulo x (b) Funciones trigonométricas directas: Cateto opuesto a Cateto adyacente b Cateto opuesto a Sen Cos Tan Hipotenusa c Hipotenusa c Cateto adyacente b Funciones trigonométricas reciprocas: Hipotenusa c Hipotenusa c Cateto adyacente b Csc Sec Ctg Cateto opuesto a Cateto adyacente b Cateto opuesto a 64
    • El ángulo se puede medir en grados o radianes. Un grado es igual a la magnitud de unángulo central al cual le corresponde una longitud de arco de 1/360 del perímetro de un circulo.Mientras que un radian equivale al ángulo central que corresponde una longitud de arco de unradio. Los valores de las funciones se pueden generar utilizando un círculo unitario, de talmanera que al girar el radio en el círculo, el ángulo puede tomar valores entre 0 y 360° o entre0 y 2 Radianes. r x2 y2 y x Usando el programa DERIVE 6 se pueden hacer las gráficas de las funcionestrigonométricas, por ejemplo para la función seno: 2 Esta función es periódica, puesto que la gráfica se repite a intervalos iguales, en estecaso se repite cada 2 , a este valor se le llama periodo. Las gráficas de otras funcionestrigonométricas se muestran a continuación. Coseno Tangente 65
    • La derivada de las funciones trigonométricas de obtiene con las fórmulas: 12.- D x Sen v Cos v Dx v 13.- D x Cos v Sen v D x v 14.- D x tg v sec2 v D x v 15.- D x ctg v csc2 v D x v 16.- D x sec v sec v tgv D x v 17.- D x csc v csc v ctg v D x v Ejemplos: Derivar las siguientes funciones: a) f ( x) 4sen(2 x 2 ) su derivada es: f ( x) 4Cos(2 x 2 ) D x (2 x 2 ) 16 xCos(2 x 2 ) b) y x 2 tg ( x 3) derivando como un producto: y x 2 D x tg ( x 3) tg ( x 3) D x x 2 x 2 sec2 ( x 3) 2 xtg ( x 3) cos(x 2 2) c) y Usando la fórmula del cociente e2x e 2 x Dx cos(x 2 2) cos(x 2 2) Dx e 2 x e2x 2 xsen( x 2 2) 2e 2 x cos(x 2 2) y (e 2 x ) 2 e4x e2x 2 xsen( x 2 2) 2 cos(x 2 2) 2 xsen( x 2 1) 2 cos(x 2 2) 4x e e2x Ejercicios 10: Derivar las siguientes funciones: a) f ( x) sec(3x 3 ) b) y ln(sec 2 x) c) y cos 2 (2 4 x 2 ) d) g ( x) 3 x 3 ctg (e 2x ) e) y ( x cos x) 3 f) p 2 sec x 2 1 cos x cos x g) t h) y 1 cos x 1 tg 2 x Para manejar de forma adecuada las funciones trigonométricas, es necesario conoceralgunas identidades importantes: 66
    • sen x cos x 1 1.- tg x 2.- ctg x 3.- sec x cos x sen x cos x 1 4.- csc x 5.- sen x 6.- tg x 2 2 cos2 x 1 sec2 x 1 sen x 7.- ctg x 2 csc2 x 1 Las identidades nos permiten simplificar expresiones donde que contengan funcionestrigonométricas, resolver ecuaciones y son la base de algunas técnicas de integración.3.7 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS. Estas funciones se usan cuando se tiene el valor de la función y se quiere conocer el valordel ángulo que le corresponde, por ejemplo si sen 0.245 el valor del ángulo se representa sen 1 0.245 , usando una calculadora se obtiene =0.247 Rad = 14.18º. Cada funcióntrigonometrica tiene su inversa. Por ejemplo y Sen x es la inversa de la función seno, esta 1solo se encuentra definida en el intervalo 1 2 x 1 , su gráfica es: 2 La derivada de estas funciones se obtiene con las fórmulas: Dx v Dx v 14.- Dx Sen 1v 15.- Dx Cos 1v 1 v2 1 v2 Dx v Dx v 16.- D x tg 1v 17.- Dx ctg 1v 1 v2 1 v2 Dx v Dx v 18.- Dx Sec 1v 19.- Dx csc 1 v 2 v v 1 v v2 1 67
    • Ejemplos 12.Derivar la función y x 2 sen 1 ( x 2 1) . Usando primero la regla del producto.y x 2 D x sen 1 ( x 2 1) sen 1 ( x 2 1) D x x 2 2x 2x3 x2 2 xsen 1 ( x 2 1) 2 xsen 1 ( x 2 1) 2 2 2 2 1 (x 1) 1 (x 1)Ejercicios 11:a) Derivar las siguientes funciones: 2x1.- f ( x) 2.- g ( x) 1 1 4 cos x tg 1 x2 1 2 x3.- y ln(tg 1 3x) 4.- F ( x) ctg 1 tg x 25.- r 6.- p ( x) e sec x 2x 1 2 sen x cos 1 2 xb) Derivar en forma implícita las funciones:1.- 2 x sec 2.- sen xy 1 y ln x 2 0 1 cos 1 ( x y)c) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la función en el punto donde x 4 x 2 1.- y x cos 1 x 2.- y 1 sen x 68
    • 3.8 APLICACIONES DE LA DERIVADA. La derivada se puede utilizar en diferentes aplicaciones, entre la más importantes está laobtención de la ecuación de la recta tangente, lo cual permite determinar los intervalos donde lafunción es creciente, decreciente o estacionaria. Primero daremos una definición más precisa de función creciente: Sea f (x) una función definida en un intervalo, se dice que es creciente el intervalo si ysolo si: f ( x1 ) f ( x2 ) siempre que x1 x2 En forma gráfica: f ( x2 ) f ( x1 ) x1 x2 Se puede definir una función decreciente de la misma manera. Existe una relación entre laderivada (pendiente de la tangente) y las funciones crecientes y decrecientes, esto se establececon el siguiente teorema: Sea f (x) una función continua en un intervalo a, b : a) si f (x) 0 para toda x en el intervalo, entonces f (x) es creciente b) si f (x) 0 para toda x en el intervalo, entonces f (x) es decreciente c) si f (x) 0 en algún valor de x en el intervalo, entonces f (x) es estacionaria Es posible que exista un cuarto caso, que es cuando la derivada no existe, esto sepresenta cuando hay un cambio brusco de dirección o si la derivada no esta definida para algúnvalor. 69
    • A los valores que hacen cero la derivada o donde no exista se les conoce como valorescríticos, estos valores dividen el dominio de la función en intervalos crecientes o decrecientes. Ejemplo: Sea la función f ( x) x3 6x 2 9 x 1 determine sus valores críticos y los intervalosdonde es creciente o decreciente. Primero derivamos e igualamos a cero: f ( x) 3x 2 12 x 9 0 Calculamos las raíces de la ecuación: 3 x 2 12 x 9 0 2 3( x 4 x 3) 0 3( x 3)( x 1) 0 x 3 y x 1 Debemos determinar ¿cómo es la derivada en los intervalos en que dividen estos valoresel dominio de f (x) ? la forma más sencilla es utilizando valores de prueba. Valore crítico x=1 x=3 Valor x=0 x=2 x=4 de prueba Valor De la derivada f (0) 9 0 f (2) 3 0 f (4) 9 0 Concluimos lo siguiente: a) f (x) es creciente en los intervalos ,1 y 3, b) f (x) es decreciente en el intervalo 1,3 c) f (x) es estacionaria en x=1 y x=3 La gráfica es: 70
    • Se observa en la gráfica que en los valores donde es estacionaria, la función toma un valormayor que los que están en las cercanías de x=1 y un valor menor que los que se encuentrancercanos a x=3. A estos valores se les conoce como extremos relativos, puesto que no son losvalores mayores o menores que toma la función en su dominio. Otra cosa importante es ¿cómo cambia la función antes y después de estos valores?, parax=1, tenemos un máximo relativo y la función pasa de creciente a decreciente, es decir, suderivada cambia de positivo a negativo. En el caso de x=3 se tiene un mínimo relativo y la derivadacambia de negativo a positivo. A lo anterior se le conoce como el criterio de la primera derivadapara obtener valores extremos relativos, el proceso se puede resumir en los siguientes pasos: 1.- Obtener la primera derivada de la función f (x) 2.- Calcular los valores críticos, estos se encuentran donde f (x) 0 o donde se tiene unvalor singular ( f (x) existe pero no su derivada) 3.- Probar valores antes y después a cada valor crítico en la derivada para determinar sise trata de un valor máximo o mínimo.  Si f (x) cambia de positivo a negativa, se tiene un valor máximo  Si f (x) cambia de negativa a positiva, se tiene un valor mínimo. 4.- Calcular los valores extremos, sustituyendo los valores críticos en la función. Ejemplo: Usando el procedimiento anterior, determine los valores máximos y mínimos ( si los hay)de las siguientes funciones: a) f ( x) 2x3 x2 3x 1 Primero derivamos la función y la igualamos a cero: f ( x) 6x 2 2x 3 0 Utilizando la fórmula general para calcular los valores críticos: 71
    • b b2 4ac ( 2) ( 2) 2 4(6)( 3) 2 76 x 2a 2(6) 12 Tomando valores aproximados: 2 76 x1 0.89 12 2 76 x2 0.56 12 Aplicando la prueba de la primara derivada: -0.56 0.89 f ( 0.6) 0.36 0 f (0) 3 0 f (1) 1 0 En x= -0.56 se tiene un máximo relativo y en x = 0.89 hay un mínimo relativo, sus valorescorrespondientes son: f ( 0.56) 0.0152 y f (0.89) 3.0522 Grafica de la función: b) y 2x 3 x Derivando e igualando a cero: 1 1 x 1 6 3x y 2 xDx (3 x) 2 (3 x) 2 D x 2 x 1 2(3 x) 2 1 0 (3 x) 2 (3 x) 2 Aquí se presentan dos valores críticos, uno donde se hace el numerador cero x = 2 y elotro es un valor singular, puesto que para x = 3 la derivada no existe pero si la función. Usaremosla gráfica para observar el comportamiento de la función en estos valores: 72
    • En x = 2 podemos usar la prueba de la primera derivada y esta da como resultado que hayun máximo, para esta función es absoluto, puesto que es el valor máximo que toma en todo sudominio, mientras que en x = 3 la prueba falla, puesto que la derivada no existe para valoresposteriores, pero concluimos que toma un mínimo relativo. Los valores de la función son: f (2) 4 y f (3) 0 x2 4 si x 3 c) f ( x) 8 x si x 3 Esta es una función definida por secciones, para analizarla primero debemos saber si escontinua en todo su dominio, en x = 3 la función se divide, para este valor la función existe f (3) 8 3 5 , el límite por la izquierda y derecha son: Lim f ( x) Lim x 2 4 5 x 3 x 3 Lím f ( x) Lím 8 x 5 x 3 x 3 Como el límite y el valor de la función son iguales, es continua en este valor. ¿Pero quesucede con la derivada?. Para x 3 la derivada es f ( x) 2 x y para x 3 la derivada es f (x) 1 , entoncesel valor de la derivada para x = 3 se debe considerar por la izquierda y derecha, entonces: f (3) 2(3) 6 y f (3) 1 Concluimos que la derivada no existe, tenemos un valor singular en x=3. Ahora debemos determinar si las funciones por separado tienen otros valores críticos: Para f ( x) x2 4 con x 3 , derivamos e igualamos a cero f ( x) 2x 0 , tenemos unvalor critico en x = 0 el cual pertenece a su dominio de definición. Para f ( x) 8 x con x 3 , al derivar se obtiene f (x) 1 lo cual nos indica que supendiente es constante. 73
    • Concluimos que hay dos valores críticos x = 0 y x = 3, usando el criterio de la primeraderivada. En la siguiente tabla podemos resumir los resultados: f (x) f (x) Conclusión x 0 Negativa Decreciente x 0 0 0 Mínimo relativo 0 x 3 Positiva Creciente x 3 5 No existe Máximo relativo x 3 Negativa Decreciente3.9 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN. En la sección anterior se estableció un procedimiento para obtener los valores máximos ymínimos de diferentes funciones. En el caso de que la función este asociada a un modelomatemático, es posible determinar el valor optimo, ya sea un máximo o un mínimo. Tomaremosalgunos problemas estudiados en la Modelación Matemática. 1.- Un agricultor desea colocar una cerca que delimite un terreno rectangular de 5000 m 2de superficie, determine una expresión que permita calcular el perímetro del terreno en funciónde uno de sus lados y para que valor de sus lados se tiene el perímetro máximo. Es muy común utilizar figuras que nos permitan entender mejor el problema, en este casoel perímetro del terreno rectangular depende de las medidas de sus lados. x y El perímetro del terreno los podemos obtener mediante la expresión: P 2x 2 y Esta es una función que depende de dos variables, para poderla escribir en términos deuna sola, debemos encontrar una relación entre las variables x y y . En este problema contamoscon la información del área: A xy 5000 Si despejamos una de las variables y las sustituimos en el perímetro: 5000 y x Sustituyendo: 5000 10000 P 2x 2 2x x x Esta expresión es una función de una variable, la cual depende de los valores asignados auno de sus lados. Su dominio es 0, , esto nos indica que podemos tener un infinito de 74
    • rectángulos cuya área es 5000 m2. Para obtener el valor máximo, derivamos la función yobtenemos los valores críticos. 10000 P 2 0 x2 x2 5000 x 70.11 m Existe un solo valor crítico, usando el criterio de la primera derivada: 70.11 m P 70 0.0344 0 P (71) 0.016 0 Se tiene un valor máximo y su valor es P 2(70.11) 2(70.11) 280.44 m 2.- Un estudiante cuenta con un cartón de 80 cm por lado y quiere construir una caja paraguardar sus útiles. Ha decidido cortar cuadrados idénticos en las esquinas y luego doblar las carapara formar la caja. Antes de hacer los cortes quiere estimar cuanto debe cortar para tener elvolumen más grande de la caja. Como en el problema anterior, primero debemos obtener un modelo matemático que nospermita calcular el volumen de la caja en función de lo que se va cortar. Dibujemos el cartón,indicando los cuadrados idénticos que se cortarán en las esquinas: x x x x x 80 - 2 x 80 - 2 x x x x x Las medidas de la caja en función de lo que se va a cortar se muestran en la figura.Entonces el volumen de la caja se obtiene multiplicando el área de la base por la altura: 2 V 80 2x x El dominio de esta función esta restringido por las dimensiones del cartón, 0 x 40 cm.Si dibujamos la gráfica podemos hacer una estimación del valor de x que hace máximo elvolumen. 75
    • De la gráfica podemos estimar que valor máximo se encuentra entre 12 y 14 cm. Paracalcular este valor utilizaremos la derivada. Derivando la función objetivo V 2 x x como un producto: 2 80 V (80 2 x) 2 D x x xD x (80 2 x) 2 (80 2 x) 2 4 x(80 2 x) 0 Factorizando para obtener los valores críticos. (80 2 x)(80 6 x) 0 Los valores críticos son x 40 y x 13.333 cm . El segundo valor es la solución y elvolumen máximo es V (80 26 .666 ) 2 (13 .333 ) 37926 .78 cm 3 3.- Una compañía ha encontrado que la ecuación de demanda en función del precio deventa se obtiene mediante la expresión x 20000 5000 p , además se tienen costos fijos de$600 y costos variables de $3 por unidad, determine: a) La ecuación de costo b) La ecuación de ingreso en función del precio c) La ecuación de utilidad en función del precio d) El precio al que se tiene la utilidad máxima. Solución: a) La ecuación de costo es lineal, puesto que hay un incremento constante de $3 porcada unidad y costos fijos de $600. C 600 3x b) El ingreso se obtiene multiplicando el número de unidades vendidas por el precio deventa: I xp (20000 5000 p) p 20000 p 5000 p 2 76
    • Esta función debe estar definida para los valores del precio que hagan que el ingreso seapositivo, entonces 0 p 4 . c) La utilidad es la diferencia entre el ingreso y los costos: U I C 20000 p 5000 p 2 600 3x Al sustituir la ecuación de demanda, se obtiene la utilidad en términos del precio. U 20000 p 5000 p 2 600 60000 15000 p U 5000 p 2 35000 p 60600 d) Para obtener la utilidad máxima, debemos calcular los valores críticos, derivando e igualando a cero. U 10000 p 35000 0 p 3.5 El número de unidades para este valor es: x 20000 5000 p 20000 5000(3.5) 2500 Ejercicio: 1.- Una persona tiene 800 m de cerca, determine las dimensiones del terreno rectangularde mayor área posible que puede cercar. 2.- Un artesano tiene una lamina de estaño de 40 cm por 60 cm y quiere hacer una caja sintapa, para esto cortará cuadrados idénticos en las esquinas, determine cuanto debe cortar paraformar la caja de mayor volumen posible. 3.- La compañía enlatadora Herdez, va a lanzar un nuevo producto y utilizará una lata enforma de cilindro regular, el costo del material de las tapas es de $40 el m 2 y el material delcuerpo tiene un costo de $30 el m2, si debe contener un volumen de 120 cm 3, ¿Cuáles deben serlas dimensiones para tener el menor costo posible?. 4.- Un fabricante puede tener una utilidad de $20 en cada artículo si se producensemanalmente 800 o menos. Si la utilidad decrece en 2 centavos por cada artículo que sobrepaselos 800, determine ¿Cuántos artículos debe fabricar para obtener la utilidad máxima? 5.- Un trozo de alambre de 10 cm de longitud se corta en dos partes. Una parte serádoblada para formar un círculo y la otra será doblada para formar un cuadrado. Como se debecortar el alambre para que el área combinada de las dos figuras sea lo más grande posible. 6.- La empresa Plásticos S.A. estima que sus costos fijos son de $300 diarios, mientrasque sus costos variables son de $5 por cada unidad que produce, actualmente se sabe que lademanda se mantiene constante en 150 unidades diarias cuando se venden a $5.5. Se ha estimadoque por cada centavo que se incremente el precio la demanda disminuye en 2 unidades, determineel precio de venta al que se tiene la utilidad máxima. 77
    • 3.10 LA DIFERENCIAL. En el cálculo de la derivada se involucra el cociente de dos cantidades muy pequeñas, aestas se les conoce como diferenciales. Recordemos que la derivada se obtiene como el límite delcociente de dos incrementos, cuando el incremento del denominador tiende a cero: y dy f ( x) Lím x dx x 0 Los diferenciales dy y dx son dos números muy pequeños, mas no pueden ser cero. Esposible separar este cociente para formar lo que se conoce como una ecuación diferencial: dy f ( x)dx Podemos hacer una interpretación gráfica de esta operación. Recordemos que la derivadanos proporciona la pendiente de la recta tangente, obtenida a partir de la pendiente de una rectasecante. Recta secante y y2 y1 dy Recta tangente dx = x En figura se observa que el valor del incremento x es igual al diferencial dx , losvalores de y y dy , se aproximan conforme x 0. Para obtener el diferencial basta derivar la función y multiplicar ambos miembros por eldiferencial de la variable independiente. Ejemplo: Obtener el diferencial de las siguientes funciones. a) f ( x) 3x 2 5x dy Primero derivamos la función y la escribimos usando la notación dx dy f ( x) 6 x 5 , entonces el diferencial es dy (6 x 5)dx dx b) y 2e x cos x 78
    • dy Derivando como un producto 2e x cos x 2e x senx el diferencial es dxdy (2e x cos x 2e x senx)dx c) 2 xy y2 3x 0 dy dy Derivando en forma implícita 2 x 2y 2y 3 0 despejando la derivada dx dx dy 3 2y 2x 2 y 3 2 y entonces dy dx , obsérvese que en este caso la función dx 2x 2 yque acompaña al diferencial es de dos variables, esto se representa dy f ( x, y)dy . dy dy Si multiplicamos la ecuación 2 x 2y 2y 3 0 por el diferencial dx la podemos dx dxescribir de la forma: 2 xdy 2 ydx 2 ydy 3dx 0 (2 x 2 y )dy (2 y 3)dx 0 Tenemos aquí una ecuación en términos de diferenciales, la búsqueda de la ecuación osolución a esta Ecuación Diferencial , da origen a una importante rama de las matemáticas,llamada Ecuaciones Diferenciales. Ejercicios: 1.- Obtenga el diferencial de las siguientes funciones. 3t 1 2x a) y 3x( x 2) 3 b) v c) y ln e 2t 3x 1 2.- Determina la ecuación diferencial la que da origen cada una de las siguientesecuaciones: a) x y b) 3 x ln x c) x cos y 2 xy 3 0 2 xy 0 0 79