Probabilidadyestadistica(2 7-13)

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA.
APLICACIONES A LA INGENIERÍA
DEPOOL RIVERO, RAMÓN
MONASTERIO, DIÓSCORO
2013

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA.
APLICACIONES A LA INGENIERÍA
Dr. DEPOOL RIVERO, RAMÓN
Profesor Titular de la Unexpo
Vicerrectorado Barquisimeto
Ing. MONASTERIO, DIÓSCORO
Profesor Titular de la Unexpo
Vicerrectorado Barquisimeto
Depósito Legal Número: lfi 05120133102363
Publicado de manera gratuita por la Unexpo en la
página http://www.bqto.unexpo.edu.ve/

DEDICATORIA
A mi hija Mary Carlota.
Ramón Depool
A mi esposa Thais.
Dióscoro Monasterio

ÍNDICE
PÁGINA
INTRODUCCIÓN
CAPÍTULO 1. Nociones Básicas de Estadística.
Definiciones Básicas. Escalas de Medición. Elaboración de Tablas.
Representaciones Gráficas de Datos. Problemas propuestos.
1
CAPÍTULO 2. Medidas Descriptivas.
Medidas de Tendencia Central. Medidas de Dispersión. Medidas de
Posición. Problemas propuestos
26
CAPÍTULO 3. Probabilidades.
Definiciones Básicas. Conteo de Puntos Muestrales. Probabilidad de un
Evento. Problemas propuestos.
44
CAPÍTULO 4. Distribuciones de Probabilidad.
Variable Aleatoria. Distribución Discreta de Probabilidad. Distribución
Continua de Probabilidad. Distribución de Probabilidad Conjunta.
Problemas propuestos.
71
CAPÍTULO 5. Esperanza Matemática.
Medidas de Tendencia Central. Medidas de Dispersión. Propiedades de las
Medidas de Tendencia Central y de Dispersión. Teorema de Chebychev.
95
CAPÍTULO 6. Distribución de Probabilidad Discreta.
Distribución Uniforme. Distribución de Bernoulli. Distribución Binomial y
Multinomial. Distribución Hipergeométrica. Distribución Binomial
Negativa. Distribución Geométrica. Distribución de Poisson. Teoría de
Colas. Problemas propuestos.
117

CAPÍTULO 7. Distribución de Probabilidad Continua.
Distribución Normal. Aproximación Normal a la Distribución Binomial.
Aproximación Normal a la Distribución de Poisson. Distribución
Uniforme. Distribución Log-Normal. Distribución ji Cuadrada.
Distribución t de Student. Distribución F. Distribución Gamma.
Distribución Exponencial. Distribución de Weibull. Distribución Beta.
146
CAPÍTULO 8. Distribución de Muestreo, Estimación Puntual y por
Intervalo.
Distribución Muestral de la Media. Distribución Muestral de la Varianza.
Distribución Muestral del cociente de Varianzas. Inferencia Estadística.
Estimación Puntual. Estimación por Intervalo. Problemas propuestos.
191
CAPÍTULO 9. Pruebas de Hipótesis.
Prueba de Hipótesis relacionada con Medias. Prueba de Hipótesis
relacionada con Proporciones. Prueba de Hipótesis relacionada con
Varianzas. Problemas propuestos.
235
ANEXO I. TABLA DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 271
ANEXO II. TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE POISSON 279
ANEXO III. TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR 286
ANEXO IV. TABLA DE DISTRIBUCIÓN JI CUADRADA 289
ANEXO V. TABLA DE DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT 291

ANEXO VI. TABLA DE DISTRIBUCIÓN F 293
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS IMPARES 296
BIBLIOGRAFÍA 238

INTRODUCCIÓN
El presente libro tiene como finalidad fundamental servir como soporte
bibliográfico en un curso de Probabilidad y Estadística para estudiantes de Ingeniería,
aunque puede ser utilizado por otros profesionales, debido a que la teoría se presenta de una
manera sencilla y con muchas aplicaciones, que pueden adaptarse a otras disciplinas.
La Probabilidad y la Estadística son dos campos distintos aunque relacionados entre
sí. Utilizando la Probabilidad se obtiene la frecuencia de un suceso determinado mediante
la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles,
bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente
en áreas tales como: Física, Matemática, Economía, Ingeniería y Filosofía, para obtener
conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente
sistemas complejos. La Estadística es una ciencia formal que estudia la recolección,
análisis e interpretación de datos de una muestra representativa, ya sea para ayudar en
la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún
fenómeno o estudio aplicado. Sin embargo, la Estadística es más que eso, es decir, es el
vehículo que permite llevar a cabo el proceso relacionado con la investigación científica. La
Probabilidad y Estadística puede utilizarse para optimizar el uso del material y la fuerza de
trabajo. Al investigar el desarrollo de nuevos productos, éstas permiten comprender los
fenómenos sujetos a distintas variaciones y predecirlos, así como también controlarlos de
manera eficiente.
En este libro se presentan los temas, iniciando de lo más elemental, con un breve
resumen de Estadística General; luego se introduce la teoría básica de Probabilidad, para
entrar en el estudio, un tanto profundo, de las Distribuciones de Probabilidad para variables
continuas y discretas, con lo cual se logra tener una visión amplia del alcance, utilidad e
importancia de los conocimientos tantos de Estadísticos como de las Probabilidades.
Al principio de cada capítulo se expone un pequeño comentario introductorio. Cada
teoría es ilustrada con ejemplos prácticos; y se incluye una lista de problemas propuestos, al
final de cada capítulo, con sus respectivas respuestas a los problemas impares.

Para dar soporte informático al estudio de la Probabilidad y Estadística, se hace
necesario el manejo de algún software tanto Matemático como Estadístico, que permitan
realizar los cálculos y elaborar representaciones gráficas adecuadas. Para tal finalidad se
han escogido los software Matemático “Derive” y “GeoGebra”, el software Estadístico
“Statgraphics Centurion XVI” (versión 16.1.15) y el programa Microsoft Office Excel.
La distribución de libro es de manera gratuita a través de la página virtual de la
Universidad Politécnica Unexpo (http://www.bqto.unexpo.edu.ve/)

Probabilidad y Estadística
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CAPÍTULO 1
NOCIONES BÁSICAS DE
La estadística, como toda ciencia, utiliza una terminología con la cual el lector
debe estar familiarizado. En este capítulo enunciaremos una serie de definiciones
básicas; así como también desarrollaremos procedimientos para la elaboración de
tablas de datos y representaciones
particulares.
DEFINICIONES BÁSICAS.
DEFINICIÓN 1.1. Datos.
El dato es una representación
otros) de un atributo o característica de una entidad. Los datos describen hechos
empíricos, sucesos y entidades. Los
relevante. Sólo cuando un
enfoque, hipótesis o teoría se puede apreciar la información contenida en dichos datos.
Los datos pueden consistir en números, estadísticas o proposiciones descriptivas. Los
datos convenientemente agrupados, estructurados e interpretados s
la base de la información relevante que se pueden utilizar en la toma decisiones, la
reducción de la incertidumbre o la realización de cálculos. Es de empleo muy común en
el ámbito informático
En programación, un dato es la expresión general que describe las características de las
entidades sobre las cuales opera un
En estructura de datos
stadística Depool R.; Monasterio D.
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TULO 1
NOCIONES BÁSICAS DE ESTADÍSTICA
representaciones gráficas de información recolectadas de situaciones
Datos.
es una representación simbólica (numérica, alfabética, algorítmica, entre
empíricos, sucesos y entidades. Los datos aisladamente pueden no contener información
relevante. Sólo cuando un conjunto de datos se examina a través de un
o teoría se puede apreciar la información contenida en dichos datos.
datos convenientemente agrupados, estructurados e interpretados s
informático y, en general, prácticamente en cualquier investigación científica
, un dato es la expresión general que describe las características de las
entidades sobre las cuales opera un algoritmo.
estructura de datos, es la parte mínima de la información.
Depool R.; Monasterio D.
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1
ESTADÍSTICA
recolectadas de situaciones
(numérica, alfabética, algorítmica, entre
datos aisladamente pueden no contener información
se examina a través de un
o teoría se puede apreciar la información contenida en dichos datos.
datos convenientemente agrupados, estructurados e interpretados se consideran que son
investigación científica.
, un dato es la expresión general que describe las características de las

Probabilidad y Estadística Depool R.; Monasterio D.
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Un dato por sí mismo no constituye información, es el procesamiento de los datos lo que
nos proporciona información.
DEFINICIÓN 1.2. Sujeto.
Es el objeto de investigación; el cual puede ser animado o inanimado. Personas,
objetos, medidas, etc., son ejemplos de sujetos.
DEFINICIÓN 1.3. Población.
Conjunto de sujetos que poseen una característica común observable. El
investigador debe definir la población en estudio; la cual puede ser tan pequeña como se
quiera.
Ejemplo 1.1. La población en una empresa puede estar definida por la producción de
tornillos en un día determinado; por el personal de guardia en un turno de trabajo; por
las órdenes de pedido de un artículo producido; por los productos defectuosos en una
producción, etc.
DEFINICIÓN 1.4. Muestra.
Es un conjunto de sujetos tomados de una población. Ya que la muestra es parte
de una población, se debe tener cuidado que sea representativo de la población, es decir
que las características esenciales de la población estén reflejadas en la muestra.
Ejemplo 1.2. En relación con ejemplo 1.1, una muestra puede ser, los tornillos con un
tipo de rosca, el personal que estaba de guardia en la entrada, los artículos de una cierta
utilidad, los que tienen un tipo definido de defecto.
DEFINICIÓN 1.5. Variable.

Característica de los sujetos que puede tomar valores diferentes. Las variables a
estudiar son las variables discretas y las continuas. Las discretas tienen como caracteriza
la existencia de saltos o discontinuidades entre un valor y otro; además puede tomar sólo
valores enteros finitos o contables. Las continuas pueden tomar todos los valores
posibles dentro de un intervalo dado.
Ejemplo 1.3. El número de empleados en una fábrica, la producción de una determinada
pieza para automóvil, son ejemplos de variables discretas. La longitud de una barra de
metal, el tiempo, la velocidad, la temperatura, son ejemplos de variables continuas.
DEFINICIÓN 1.6. Parámetro.
Son valores constantes que definen una población. Los parámetros suelen notarse
con letras griegas (µ,σ).
Ejemplo 1.4. Supóngase que se está estudiando la población, constituida por la
producción semanal de una determinada pieza; un parámetro puede ser el promedio
poblacional de producción semanal.
DEFINICIÓN 1.7. Estadístico.
Valores calculados de los datos de una muestra y estiman a los parámetros de una
población.
Ejemplo 1.5. El promedio muestral de producción de una pieza determinada.
DEFINICIÓN 1.8. Exactitud y Precisión.
La exactitud expresa cuán cerca están las mediciones respecto al valor verdadero
o real de la magnitud que se mide. La precisión se refiere al grado con el que las
mediciones concuerdan entre sí.
DEFINICIÓN 1.9. Estadística y Probabilidad.

La Estadística es una ciencia cuyo método consiste en recopilar, presentar,
analizar e interpretar datos numéricos extraídos de hechos reales e inferir de ellos,
conclusiones lógicamente aceptables. Si el objetivo es el análisis de la información de
una muestra o una población, sin que ello implique alguna relación con otras muestras o
poblaciones, la estadística es descriptiva. Pero si se utiliza para inducir información
referente a otra(s) muestra(s) o población(s), la estadística es inferencial. La
Probabilidad estudia la frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de
un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo
condiciones suficientemente estables.
DEFINICIÓN 1.10. Estadística industrial
La estadística industrial es la rama de la estadística que busca implementar los
procedimientos probabilísticos y estadísticos de análisis e interpretación de datos o
características de un conjunto de elementos al entorno industrial, a efectos de ayudar en
la toma de decisiones y en el control de los procesos industriales y organizacionales.
Pueden distinguirse tres partes:
• El estudio de las series temporales y las técnicas de previsión, y la descripción de los
pasos necesarios para el establecimiento de un sistema de previsión operativo y
duradero en una empresa;
• El análisis multivariante, necesario para la extracción de información de grandes
cantidades de datos, una de las necesidades más apremiantes;
• El control de calidad y la fiabilidad. Se pueden distinguir varios aspectos:
• Serie temporal o cronológica es una secuencia de datos, observaciones o
valores, medidos en determinados momentos del tiempo, ordenados
cronológicamente y, normalmente, espaciados entre sí de manera uniforme.
El análisis de series temporales comprende métodos que ayudan a interpretar
este tipo de datos, extrayendo información representativa, tanto referente a los
orígenes o relaciones subyacentes como a la posibilidad de extrapolar y predecir

su comportamiento futuro. De hecho, uno de los usos más habituales de las series
de datos temporales es su análisis para predicción y pronóstico. Por ejemplo, los
datos climáticos, las acciones de bolsa, o las series pluviométricas. Resulta difícil
imaginar una rama de las ciencias en la que no aparezcan datos que puedan ser
considerados como series temporales. Son estudiadas
en estadística, procesamiento de señales, econometría y muchas otras áreas.
• Control de calidad son todos los mecanismos, acciones, herramientas que se
realizan para detectar la presencia de errores. La función del control de calidad
existe primordialmente como una organización de servicio, para conocer las
especificaciones establecidas por la ingeniería del producto y proporcionar
asistencia al departamento de fabricación, para que la producción alcance estas
especificaciones. Como tal, la función consiste en la recolección y análisis de
grandes cantidades de datos que después se presentan a diferentes departamentos
para iniciar una acción correctiva adecuada. Todo producto que no cumpla las
características mínimas para decir que es correcto, será eliminado, sin poderse
corregir los posibles defectos de fabricación que podrían evitar esos costos
añadidos y desperdicios de material. Para controlar la calidad de un producto se
realizan inspecciones o pruebas de muestreo para verificar que las características
del mismo sean óptimas. El único inconveniente de estas pruebas es el gasto que
conlleva el control de cada producto fabricado, ya que se eliminan los
defectuosos, sin posibilidad de ser reutilizable. La función principal es asegurar
que los productos o servicios cumplan con los requisitos mínimos de calidad.
• El término fiabilidad es descrito en el diccionario de la Real Academia Española
(RAE) como "probabilidad de buen funcionamiento de algo". Por tanto,
extendiendo el significado a sistemas, se dice que la fiabilidad de un sistema es la
probabilidad de que ese sistema funcione o desarrolle una cierta función, bajo
condiciones fijadas y durante un período determinado. Por ejemplo, condiciones
de presión, temperatura, fricción, velocidad, tensión o forma de una onda
eléctrica, nivel de vibraciones. Consideramos dos aspectos: la fiabilidad de

sistemas y la fiabilidad humana. Un sistema es una colección de
componentes/subsistemas dispuestos de acuerdo a un diseño dado con el
propósito de lograr el cumplimiento de unas determinadas funciones con una
adecuación y fiabilidad aceptables. El tipo de componentes, su cantidad y el
modo en que están dispuestas tiene un efecto directo en la fiabilidad del sistema.
Se considera que el componente humano es de una complejidad mucho mayor
que cualquier otro componente y, por tanto, las técnicas aplicables al estudio de
la fiabilidad humana o, complementariamente, del error humano son específicos
e integran aspectos psicológicos y organizacionales a las habituales técnicas
matemáticas.
ESCALAS DE MEDICIÓN.
Las escalas de medición son utilizadas para diferenciar elementos en un proceso.
Se clasifican en nominal, ordinal, intervalo y de razón. En diversos estudios, la escala a
utilizar, depende de la naturaleza del elemento o del interés del investigador.
La Escala Nominal, se utiliza cuando un objeto o evento se diferencia de otro
solamente por la nominación con que se conoce. Se pueden utilizar numerales, letras o
cualquier otra nominación sin que ello represente orden o continuidad; solo se pretende
clasificar. El personal de una empresa puede ser clasificado, utilizando una escala de
letras como A-B-C.
La Escala Ordinal, se utiliza de manera nominal pero para jerarquizar datos. La
producción se puede clasificar con la escala alta, mediana y baja.
La Escala de Intervalo, esta escala posee todas las características de una escala
ordinal. Además se conoce la distancia entre dos números cualesquiera, y el valor cero
no representa ausencia de una característica. La escala utilizada en los termómetros, es
de tipo por intervalo ordinal y el valor cero representa punto de congelación, pero por
debajo de cero existen otros valores.

La Escala de Razón. Esta escala es similar a la anterior, excepto en que el cero sí
representa ausencia de una característica. La escala utilizada para el tiempo es de tipo
razón, ya que debajo de cero unidades de tiempo no hay valores.
ELABORACIÓN DE TABLAS DE DATOS.
DEFINICIÓN 1.11. Distribución de frecuencias
Una distribución de frecuencias es una tabla en la cual se agrupan en clases los
valores posibles para una variable y se registra el número de valores observados que
corresponde a cada clase.
DEFINICIÓN 1.12. Clase (xi)
La información recolectada puede ser presentada utilizando para ello, valores; es
decir clases.
Ejemplo 1.6. Supóngase que se desea elaborar una tabla con el número de horas
trabajadas por 5 empleados de una empresa manufacturera. La clase se puede establecer
con una escala nominal como Trabajador 1-2-3-4-5.
DEFINICIÓN 1.13. Frecuencia ( fi ).
Representa el número de veces que un dato se repite.
Ejemplo 1.7. En el ejemplo 1.6, supóngase que los empleados trabajaron 8, 11, 5, 7, 9
horas respectivamente; esta serie representa la frecuencia de horas trabajadas.
DEFINICIÓN 1.14. Total de datos (n).
Es la sumatoria de todos los datos.

Ejemplo 1.8. De acuerdo al ejemplo 1.7, éste sería ݊ = 40.
DEFINICIÓN 1.15. Frecuencia Relativa ( fr) y Frecuencia Relativa Porcentual ( fr%).
La frecuencia relativa representa el cociente entre cada frecuencia y total de
datos. En tanto que la porcentual, se obtiene convirtiendo la frecuencia relativa en
porcentaje.
݂‫%ݎ‬ =
݂‫ݎ‬
݊
× 100
Ejemplo.1.9. De acuerdo a los ejemplos 1.6 y 1.7, se tiene que las frecuencias relativas
son: 0,2; 0,27; 0,13; 0,17; 0,23. Las frecuencias relativas porcentuales son: 20%; 27%;
13%; 17%; 23%.
DEFINICIÓN 1.16. Frecuencia Acumulada. ( fai ) y Frecuencia Acumulada Porcentual
( fai %).
La frecuencia acumulada representa el número de datos que se acumulan al
pasar de una clase a otra. En tanto que la porcentual, se obtiene convirtiendo la
frecuencia acumulada en porcentaje.
݂ܽ௜% =
݂ܽ௜
݊
× 100
Ejemplo 1.10. De acuerdo al ejemplo 1.7, las frecuencias acumuladas son: 8, 19, 24, 31,
40. Las frecuencias relativas porcentuales son 20%; 47,5%; 60%; 77,5%; 100%.
La información anterior se puede representar por la siguiente tabla.

HORAS TRABAJADAS POR UN GRUPO DE EMPLEADOS DE UNA EMPRESA MANUFACTURERA
Trabajador N º de Horas Porcentaje de
horas trabajadas
N º de horas
acumuladas
Porcentaje de horas
acumuladas
1 8 20 8 20
2 11 27 19 48
3 5 13 24 60
4 7 17 31 78
5 9 23 40 100
Fig. 1.1 Tabla de frecuencia
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA DATOS AGRUPADOS EN
INTERVALOS DE CLASE.
Cuando se tienen datos muy numerosos es conveniente utilizar intervalos en los
cuales se agrupen clases, de tal manera de establecer una tabla más reducida. A estos
intervalos se le denominan intervalos de clase. Por razones de cálculo, generalmente es
deseable que todos los intervalos de clase, en una distribución de frecuencia, sean de
igual amplitud. Para datos distribuidos de manera irregular, como los datos anuales de
salario para diversas ocupaciones, pueden ser convenientes los intervalos desiguales de
clase; en este caso, se utilizan intervalos de clase de mayor amplitud para los rangos de
valores en que hay relativamente pocas observaciones.
Por lo general se recomienda que el número de intervalos esté entre 5 y 15.
Aunque existe una fórmula para el cálculo del número de intervalos, hay que hacer notar
que en algunos casos puede dar valores errados, esto sucede cuando el número de datos
n es muy grande; esta fórmula es:
ܰú݉݁‫ݏ݋݈ܽݒ݁ݐ݊݅ ݁݀ ݋ݎ‬ = 1 + 3,3 ݈‫݂( ݊݃݋‬ó‫)ݏ݁݃ݎݑݐܵ ݁݀ ݈ܽݑ݉ݎ‬.
El procedimiento para conformar los intervalos es el siguiente:
• Calcular la amplitud de los intervalos de frecuencia para datos no agrupados
(DNA), utilizando la fórmula:

‫݀ݑݐ݈݅݌݉ܣ‬ =
ܸ݈ܽ‫ܣܰܦ ݏ݋݈ ݊݁ ݎ݋ݕܽ݉ ݎ݋‬ − ‫ ܣܰܦ ݏ݋݈ ݊݁ ݎ݋݊݁݉ ݎ݋݈ܽݒ‬
ܰº ݀݁ ݅݊‫ݏ݋݀ܽ݁ݏ݁݀ ݏ݋݈ܽݒݎ݁ݐ‬
• El primer intervalo tiene como extremo izquierdo el menor valor de los datos
recolectados. El extremo derecho de este intervalo se obtiene, sumando al
menor valor la amplitud menos una unidad.
• El extremo izquierdo del segundo intervalo es el número entero siguiente al
extremo derecho del primer intervalo. El extremo derecho se obtiene
sumándole al izquierdo la amplitud menos una unidad. Utilizando este
mecanismo, se establecen todos los restantes intervalos.
• Puede suceder que al establecer los intervalos, el último número sea inferior o
superior al valor mayor, una manera de resolver esta dificultad, es jugar con
el número de intervalos, o si es posible, agregar un intervalo.
• Si los datos originales están en decimales es conveniente llevarlos a números
enteros; y una vez elaborada la tabla, restaurar la coma que tenían los datos
originales.
Ejemplo 1.11. La producción de Bandas (por pares) para frenos, en 34 días, en una
pequeña empresa (BANFRE) está dada por:
56 24 67 98 70 78 99 67 58
98 78 69 38 67 60 56 56 57
98 56 87 34 23 38 68 36
78 45 56 48 56 100 40 87
Elaborar una tabla de distribución de frecuencias.
Solución:
Para elaborar la tabla, primero hay que seleccionar el número de intervalos
deseado y luego calcular la amplitud.

Sea n = 6 el número de intervalos. De la tabla se tiene que el valor mayor es 100, y el
valor menor es 23. Utilizando la fórmula para el cálculo de la amplitud, se tiene que:
‫݀ݑݐ݈݅݌݉ܣ‬ =
100 − 23
6
= 12,83 ≈ 13
(Se recomienda tomar un valor de amplitud impar).
El extremo derecho del primer intervalo es 23 + (13 − 1) = 35. El primer intervalo va
de 23 hasta 35.
El extremo izquierdo del segundo intervalo es 35 + 1 = 36. El extremo derecho es
36 + (13 − 1) = 48. El segundo intervalo va de 36 hasta 48.
El resto de los intervalos son: de 49 hasta 61, de 62 hasta 74, de 75 hasta 87, y de 88
hasta 100.
DEFINICIÓN 1.17. Límite Inferior (‫)݅ܮ‬ y superior (‫)ݏܮ‬ de un Intervalo.
El límite inferior en un intervalo de clases de frecuencias lo representa el extremo
izquierdo de cada intervalo. En tanto que el superior lo representa el extremo derecho de
cada uno.
Ejemplo 1.12. En el ejemplo 1.11, en el intervalo que va desde 23 hasta 35; ‫݅ܮ‬ = 23;
‫ݏܮ‬ =35.
DEFINICIÓN 1.18. Marca de Clase. (xi).
Es el punto medio de cada intervalo. Hay que hacer notar que si se toma la
amplitud como un número impar, las marcas de clase darán números similares a los
usados en los límites de los intervalos.
Ejemplo 1.13. En el intervalo del ejemplo 1.12, la marca de clase xi = 29.

DEFINICIÓN 1.19. Límite Real Inferior (‫݅ݎܮ‬). Límite Real Superior (‫ݏݎܮ‬).
El límite real inferior, en cada intervalo, se obtiene restando cinco décimas al
límite inferior de éste ‫݅ݎܮ‬ = ‫݅ܮ‬ − 0,5. En tanto que el superior se obtiene, sumando
cinco décimas al límite superior del intervalo ‫ݏݎܮ‬ = ‫ݏܮ‬ + 0,5.
Ejemplo 1.14. En el intervalo del ejemplo 1.12; ‫݅ݎܮ‬ = 23 − 0,5 = 22,5; ‫ݏݎܮ‬ = 41 +
0,5 = 41,5.
DEFINICIÓN 1.20. Total de datos (n).
Es la sumatoria de las frecuencias.
݊ = ෍ ݂௜
௞
௜ୀଵ
Ejemplo 1.15. En el ejemplo 1.11, el total de datos es:
݊ = ෍ ݂௜ = 34
଺
௜ୀଵ
DEFINICIÓN 1.21 Frecuencia Acumulada (݂ܽ௜) y Frecuencia Acumulada Porcentual
(݂ܽ௜%).
La frecuencia acumulada, representa la suma de la frecuencia en cada intervalo,
con las anteriores. En tanto que la porcentual, se obtiene convirtiendo la frecuencia
acumulada en porcentaje.
݂ܽ௜% =
݂ܽ௜
݊
× 100
Ejemplo 1.16. De acuerdo al ejemplo 1.11, las frecuencias acumuladas son: 3, 9, 19, 24,
29, 34; respectivamente en cada intervalo. Las frecuencias acumuladas porcentuales son:
8,8%; 26,5%; 55,9%; 71%; 85%; 100%.

FÁBRICA DE BANDAS DE FRENO (BANFRE)
N° de
Bandas
N° de días, en el
cual se
fabricaron
Promedio de
bandas
fabricadas.
Acumulación de
días.
Porcentaje
acumulado de
días
23----35 3 29 3 8,8
36----48 6 42 9 26,5
49----61 10 55 19 55,9
62----74 5 68 24 71
75----87 5 81 29 85
88---100 5 94 34 100
Tabla 1.2. Tabla de Frecuencia.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS.
Uno de los recursos más útiles en el momento de diagramar la información que
se tiene en tablas, es usar gráficos. Existe una gama de éstos; en este capítulo se tratarán
los más usuales y sencillos. En capítulos posteriores se diseñarán los que se ajusten a la
teoría que se trate. Los diagramas que ilustraremos fueron diseñados con software para
computadoras.
DIAGRAMA PASTEL.
Destaca la información como porciones de un pastel; los datos se tienen que
transformar en frecuencias relativas porcentuales. Esto representa una ventaja; ya que se
le da un carácter de totalidad a lo que se quiere expresar.
Ejemplo 1.17. A continuación se presenta una tabla que establece la relación del
personal ocupado en una Empresa.

PERSONAL OCUPADO EN UNA EMPRESA
Mes N° de Técnicos Porcentaje de Técnicos
Enero 14 24
Febrero 10 17
Marzo 8 14
Abril 26 45
Tabla 1.3. Tabla de frecuencias
PERSONAL OCUPADO EN UNAEMPRESA
Enero
24%
Febrero
17%
Marzo
14%
Abril
45%
Gráfico 1.1. Diagrama Pastel
DIAGRAMA DE LÍNEA.
Se utiliza para representar los datos relacionados con sus respectivas frecuencias,
utilizando una línea continua. En la línea horizontal se ubican las distintas clases y en la
línea vertical sus frecuencias.

PERSONAL OCUPADO EN UNA EMPRESA
0
5
10
15
20
25
30
Enero Febrero Marzo Abril
Mes
Nro.deTécnicos
Gráfico 1.2 Diagrama de Línea.
DIAGRAMA DE BARRAS.
El uso es similar al de línea, con la diferencia de que se utilizan barras separadas.
Las barras pueden ser dibujadas en dos o tres dimensiones.
10
8
26
0
5
10
15
20
25
30
Nro.deTécnicos
Enero Febrero Marzo Abril
Mes
PERSONAL OCUPADO EN UNAEMPRESA
Gráfico 1.3. Diagrama de Barras

DIAGRAMAS DE ÁRBOL.
Estos diagramas son utilizados con frecuencia cuando en un proceso, la
escogencia de algún elemento produce nuevas alternativas. Se construye, uniendo, a
través de segmentos, elementos que se relacionan.
Ejemplo 1.18. El ejemplo siguiente se relaciona con el proceso de escogencia, en varios
pasos, de artículos defectuosos (D) y no defectuosos (N).
SELECCIÓN DE ARTÍCULOS EN UN PROCESO
D
N
D
N
D
N
{D,D}
{D,N}
{N,D}
{N,N}
Gráfico 1.4. Diagrama de Árbol
HISTOGRAMA.
Este tipo de diagrama es similar al de barras, pero difiere de éste, en que las
barras están unidas y se utiliza para representar información tabulada en tablas de
distribución de frecuencias. En la línea horizontal se ubica cada marca de clase, en el
punto medio de la base de su respectivo rectángulo; y en la línea vertical la frecuencia.
Ejemplo 1.19. El Promedio de lesiones ocurridas en 50 empresas esta dado por:
PROMEDIO DE LESIONES OCURRIDAS EN UNA EMPRESA
N° Promedio. de Lesiones por millar de
Horas – Hombre
N°. de Empresas Promedio en cada
intervalo
1,5---------1,7 20 1,6
1,8--------2,0 13 1,9
2,1--------2,3 10 2,2
2,4--------2,6 40 2,5
Tabla 1.4. Tabla de Frecuencia

1,6 20
1,9 13
2,2 10
2,5 40
PROMEDIO DE LESIONES OCURRIDAS EN 50 EMPRESAS
0
10
20
30
40
50
1,6 1,9 2,2 2,5
Nro Prom. de Lesionespor millar de Horas-Hombre
Nro.deEmpresas
Gráfico 1.5. Histograma
POLÍGONO DE FRECUENCIA.
Este diagrama tiene el mismo uso que el histograma, con la diferencia que se
utilizan líneas continuas para unir los puntos, estos puntos son la intersección de las
marcas de clase con las respectivas frecuencias.
1,4 0
1,6 20
1,9 13
2,2 10
2,5 40
2,7 0
PROMEDIO DE LESIONES OCURRIDAS EN 50 EMPRESAS
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
1,4 1,6 1,9 2,2 2,5 2,7
Nro prom. de Lesionespor millar de Horas-Hombre
NrodeEmpresas
Gráfico.1.6. Polígono de Frecuencia

DIAGRAMAS DE PUNTOS.
El diagrama de puntos tiene semejanza con el polígono de frecuencia, en cuanto
a correlacionar variables. El punto representa la intersección de un valor particular, de
una de las variables, relacionado con el valor de la otra variable.
Ejemplo 1.20. Al fabricar cierto tipo de recipiente donde se relaciona la variación de
presión de aire, con la resistencia de las paredes de éste, se obtuvieron los siguientes
resultados.
RELACIÓN ENTRE PRESIÓN DE AIRE Y LA RESISTENCIA
DE LAS PAREDES DE UN RECIPIENTE.
Presión del aire (kg/cm2
) Ancho de la pared (mm)
8,1 4,61
8,4 4,42
8,9 3,24
9,2 2,10
9,6 1,64
Tabla 1.5. Tabla de Frecuencia
Gráfico 1.7. Diagrama de puntos
DIAGRAMAS DE PARETO.
Los problemas que se presentan en un proceso, por lo general, dependen de la
combinación de pocos elementos principales y muchos secundarios. Si se pueden
controlar estos elementos principales, se puede reducir la frecuencia en que ocurren. El
diagrama de Pareto, puede representar ordenadamente cada tipo de falla o defecto que se

produce en un proceso, de acuerdo con su frecuencia; lo cual ayuda al Ingeniero a
detectar defectos y las causas que lo produzca.
Ejemplo 1.21. Representemos el problema siguiente a través de un diagrama de Pareto.
Las piezas elaboradas por un Torno controlado por una computadora, está saliendo fuera
de especificaciones, los operarios registraron las causas y sus frecuencias:
Controlador inestable 24
Error del operador 15
Fluctuación de corriente 7
Herramientas gastadas no cambiadas 6
Otros 3
El diagrama de Pareto se representa a continuación las causas de un defecto de
fabricación con la frecuencia en que ocurren.
Gráfico 1.8 Diagrama de Pareto.
Ejemplo 1.22. Una vez que se ha obtenido la información anterior, se calculó la
desviación de la velocidad de corte con respecto al valor deseado, ajustado por el

controlador. Dando los resultados: 4, 8, -3, 5, 7, 6, 4. Estos valores se representan en el
siguiente diagrama de puntos.
DESVIACIÓN DE LA VELOCIDAD DE CORTE CON RESPECTO AL VALOR
DESEADO Y AJUSTADO POR EL CONTROLADOR
Gráfico 1.9. Diagrama de puntos.
Observación 1.1.
En este último ejemplo se observa que el diagrama de Pareto puede ser
complementado con otros diagramas, como el de puntos, para visualizar la información
que se tiene.
Sugerencias para la elaboración de un diagrama de Pareto.
• Establezca el problema a investigar. Ejemplo: Objeto defectuoso.
• Qué datos necesita y cómo clasificarlos. Ejemplo: tipo de defecto.
• Establezca el método de recolección de los datos. Diseñe una tabla de
representación de datos. En esta tabla liste los totales individuales, los totales
acumulados y los porcentajes acumulados. Organice los datos por orden de
cantidad.
• El ítems “otros” debe ubicarse en el último renglón. No es conveniente que
“otros” represente un porcentaje de los más altos. Si esto ocurre debe
reclasificar.
Ejemplo 1.23. En un proceso se recolectaron los datos referentes a los defectos en
cuanto a: Fractura, Rayado, Mancha, Tensión, Rajadura, Burbuja y otros.
-4 -2 0 2 4 6 8

DESCRIPCIÓN DE DEFECTOS EN LA FABRICACIÓN DE UN ARTÍCULO.
Tipo de Defecto N ° de Defecto Total Acumulado Porcentaje Acumulado
Tensión 104 104 52
Rayado 40 144 72
Burbuja 20 164 82
Fractura 15 179 89
Mancha 12 191 96
Otros 9 200 100
Tabla 1.6. Tabla de Frecuencia.
Gráfico 1.10 Diagrama de Pareto.

PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Elaborar una tabla de distribución de Frecuencia. Los Datos representan las
mediciones de la resistencia a la ruptura (en Onzas) de una muestra de hilos de
cáñamo.
43,6 36,8 15,2 25,0 37,5 33,5 34,6 65,1 38,6 54,9 25,9
45,8 34,7 23,5 44,7 56,8 45,7 56,8 34,8 23,6 56,9 23,5
23,6 26,9 45,8 34,9 54,9 23,7 35,8 56,8 37,9 56,8 45,8
34,9 34,7 59,9 61,0 42,4 57,8 60,8 28,0 26,0 50,8 34,8
2. Elaborar una tabla de distribución de Frecuencia. En un estudio de tres semanas
sobre la productividad de los trabajadores, se recolectó la siguiente información
sobre el número de piezas aceptables que produjeron un grupo de empleados.
56 67 89 23 78 55 56 78 34 89 23
56 34 56 78 98 23 56 78 54 45 78
56 34 58 78 98 89 67 60 20 45 26
45 78 89 45 67 89 78 90 34 67 34
45 90 56 70 56 23 78 56 79 57 24
45 76 98 45 28 44 45 56 87
3. Los datos de la siguiente tabla representan el rendimiento de gasolina en 30 viajes de
los automóviles de una compañía de transporte.

RENDIMIENTO DE 30 VIAJES DE LOS AUTOMÓVILES
DE UNA COMPAÑÍA DE TRANSPORTE.
Kilómetros por Litro N° de Viajes
10,0------12,0 6
12,1------14,1 7
14,2------16,2 12
16,3------18,3 4
18,4------20,4 2
20,5------22,5 3
Elaborar un histograma y un polígono de frecuencia.
4. En una prueba de la elasticidad de 40 vigas formadas por láminas con adhesivo, se
obtuvieron los siguientes valores de su constante elástica (en MN/m), los cuales se
representan en la siguiente tabla:
ELASTICIDAD DE 40 VIGAS FORMADAS POR LÁMINAS ADHESIVAS.
Valores de la constante elástica N° de vigas
6,61-------6,65 9
6,66-------6,70 10
6,71-------6,75 6
6,76-------6,80 12
6,81-------6,85 3
Elaborar un histograma y un polígono de frecuencia.
5. Los datos siguientes representan la fabricación de varios tipos de tubos plásticos en
una compañía.

FABRICACIÓN DE TUBOS PLÁSTICOS SEGÚN SU TIPO.
Tipo de Tubo Cantidad Producida
A 28
B 34
C 12
D 3
Elaborar un diagrama Pastel, uno de Barras y uno de Línea.
6. Los empleados de una empresa manufacturera fueron clasificados según la cantidad
de sujetos, con lo cual se elaboró la siguiente tabla.
CLASIFICACIÓN DE LOS EMPLEADOS EN UNA EMPRESA MANUFACTURERA
Tipo de Empleado Cantidad
Gerente 2
Administrativos 8
Obreros 20
Mensajeros 1
Vigilantes 4
Elaborar un diagrama Pastel, uno de Barras y uno de Línea.
7. Con las mediciones de los puntos de ebullición de un compuesto de silicio(en
grados Celsius), que se presentan a continuación, elabórese un diagrama de puntos
135 150 158 171
135 178 146
8. Los recipientes que contienen las reacciones en algunas plantas nucleares, consisten
en dos componentes soldados entre sí. El cobre en las soldaduras podría hacer que se

volvieran frágiles después de años de servicio. Las muestras del material de
soldadura de una colada que se usó en una planta, tuvo contenidos de cobre de:
0,27 0,34
0,36
Las muestras de la siguiente colada tuvieron valores de:
0,24 0,10 0,30
0,26 0,22 0,27
Elabórese un diagrama de puntos, que muestre las diferencias posibles en las dos
corrientes de producción del material de soldadura.
9. Los accidentes en una empresa, que se dedica a la fabricación de Correas para
Damas, se clasificaron de acuerdo con la zona del daño en:
Dedos 16
0jos 6
Brazos 3
Piernas 1
Elaborar un diagrama de Pareto.
10. Los daños en una fábrica del papel, (en miles de Bolívares), debidos a la ruptura de
la hoja se pueden dividir de acuerdo con el producto:
Papel higiénico 123
Toallas 76
Servilletas 34
Otros productos
Elaborar un diagrama de Pareto.
11. En el diagrama del ejercicio 9, incluir la frecuencia porcentual acumulada.
12. En diagrama del ejercicio 10, incluir la frecuencia porcentual acumulada.

CAPÍTULO 2
MEDIDAS DESCRIPTIVAS
Las medidas de tendencia central, de dispersión y de posición, son de relevante
importancia en el momento de realizar estudios estadísticos. Las medidas de tendencia
central son utilizadas para localizar el centro de un grupo de datos. La dispersión
evalúa la separación o apartamiento de las medidas de los datos, respecto al centro.
Las medidas de posición ubican un elemento en un grupo de datos respecto a otro. En
este capítulo se estudiarán estas medidas para datos agrupados y no agrupados en
intervalo de frecuencia.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.
Cada medida de tendencia central proporciona un valor numérico, el cual es el
más representativo de los datos, es decir, el estudio de la tendencia generalizada de que
los datos se agrupen en su mayoría alrededor de un valor calculado. Entre las medidas de
tendencia central están la media aritmética, la mediana y la moda. Se debe hacer notar
que el valor de la medida de tendencia central calculado, no necesariamente coincide con
uno de los valores de los datos que se tienen. En este capítulo se estudiará la media
aritmética y la mediana.
DEFINICIÓN 2.1. Media Aritmética.
Si los datos no están agrupados en intervalos de frecuencia, la media aritmética
se define como la suma de las medidas de los datos entre el número de datos. En el caso
de que los datos estén agrupados en intervalos de frecuencia, la media aritmética se
define como el producto de cada frecuencia por su respectiva marca de clase, entre la
suma de las frecuencias. Si la media aritmética es un parámetro se denota por la letra
griega µ, y si es un estadístico por la letra x .

Caso 1: Media aritmética para datos no agrupados en intervalos de frecuencia.
El procedimiento que se debe utilizar es el siguiente:
• Se establece la cantidad de datos (n para muestra y N para población) con los
cuales se va a calcular la media o promedio.
• Se suman los valores numéricos de los datos.
• Se divide la suma entre la cantidad de datos; obteniendo así la media o
promedio aritmético.
Si la media es un parámetro µ, dado el conjunto N de datos Nxxx ,,, 21 K , entonces:
ߤ =
∑ ‫ݔ‬௜
ே
௜ୀଵ
ܰ
Si la media es un estadístico x , dado el conjunto n de datos nxxx ,,, 21 K , entonces:
‫̅ݔ‬ =
∑ ‫ݔ‬௜
௡
௜ୀଵ
݊
pequeña empresa (BANFRE) está dada por:
56 24 67 98 70 78 99 67 58
98 78 69 38 67 60 56 56 57
98 56 87 34 23 38 68 36
78 45 56 48 56 100 40 87
Calcular la media aritmética de la producción de bandas para frenos. Exprese los
resultados como parámetro y como estadístico.
Solución:
En el caso que la media fuese un parámetro.
ܰ = 34

෍ ‫ݔ‬௜
ଷସ
௜ୀଵ
= 2146
ߤ =
2146
34
= 63,12
En el caso que la media fuese un estadístico.
݊ = 34
෍ ‫ݔ‬௜
ଷସ
௜ୀଵ
= 2146
‫̅ݔ‬ =
2146
34
= 63,12
Este resultado se puede interpretar como que el promedio o media de la producción es de
63,12 pares de bandas. Es de resaltar que el resultado no es entero, como los datos
iniciales; ya que la media es un valor central y no necesariamente debe ser un valor de
los que se tienen en los datos.
Caso 2: Media aritmética para datos agrupados en intervalos de frecuencias:
El procedimiento que se debe utilizar es el siguiente:
• Se suman las frecuencias.
• Se multiplica cada marca clase con sus respectivas frecuencias, y se halla la
suma total. Luego se divide esta suma entre la suma de las frecuencias;
obteniendo así la media o promedio aritmético.
Si la media es un parámetro µ, donde ܰ = ∑ ݂௜
௞
௜ୀଵ la suma de las frecuencias y xi para
i=1, 2,..., k; las i-ésimas marcas de clase, entonces:
ߤ =
∑ ݂௜‫ݔ‬௜
௞
௜ୀଵ
ܰ
Si la media es un estadístico x , donde ∑=
=
k
i
ifn
1
la suma de las frecuencias y xi para
i=1, 2,..., k; las i-ésimas marcas de clase. Entonces:

‫̅ݔ‬ =
∑ ݂௜‫ݔ‬௜
௞
௜ୀଵ
݊
pequeña empresa (BANFRE) está dada por la siguiente tabla de distribución de
frecuencias.
Nº de Bandas fi
23-----35 3
36-----48 6
49-----61 10
62-----74 5
75-----87 5
88----100 5
Calcular la media aritmética de la producción de bandas para frenos. Exprese los
resultados como parámetro y como estadístico.
Solución:
Se calcula la suma de las frecuencias y la suma de los productos de las frecuencias por
las marcas de clase.
Nº de Bandas fi xi fi.xi
23-------35 3 29 87
36-------48 6 42 252
49-------61 10 55 550
62-------74 5 68 340
75-------87 5 81 405
88-----100 5 94 470
Suma 34 2104
En el caso que la media fuese un parámetro.
ܰ = 34
෍ ݂௜‫ݔ‬௜ = 2104
଺
௜ୀଵ
ߤ =
ଶଵ଴ସ
ଷସ
= 61,88

En el caso que la media fuese un estadístico.
݊ = 34
෍ ݂௜‫ݔ‬௜ = 2104
଺
௜ୀଵ
‫̅ݔ‬ =
ଶଵ଴ସ
ଷସ
= 61,88
Observación 2.1.
Este resultado difiere del calculado en el ejemplo 2.1, ya que aquí se utilizan las
marcas de clases y no los valores originales.
DEFINICIÓN 2.2. Mediana.
Se define como el valor que se encuentra en el punto medio o centro de un grupo
de datos ordenados de una manera creciente.
Observación 2.2
La mediana así como la media aritmética, proporciona un valor de tendencia
central, el cual puede coincidir o no con el de la media aritmética. En la práctica es
preferible trabajar con la media aritmética.
Caso 1: Mediana para datos no agrupados en intervalos de frecuencia.
Para calcular la mediana se procede de la siguiente manera:
• Se ordenan los números de forma creciente.
• La mediana es el valor medio o el promedio de los valores medios.
Ejemplo 2.3. Calcule la mediana de los datos del ejemplo 2.1.
Solución:
Ordenando los datos de manera creciente, se tiene:

23 24 34 36 38 38 40 45 48
56 56 56 56 56 56 57 58 60
67 67 67 68 69 70 78 78 78
87 87 98 98 98 99 100
Ya que hay 34 datos, la mediana está entre la posición 17 y 18; es decir el valor medio
entre 58 y 60. Por lo tanto, la mediana es el promedio de estos valores:
‫݀݁ܯ‬ =
58 + 60
2
= 59
Caso 2: Mediana para datos agrupados en intervalos de clase.
Para calcular la mediana se procede de la siguiente manera:
• Se identifica la clase mediana (esta clase contiene la mediana), la cual es la
primera cuya frecuencia acumulada iguala o excede la mitad del total de
datos. Para ubicar la clase mediana se puede utilizar la siguiente fórmula
ܰú݉݁‫݋ݐܽ݀ ݁݀ ݋ݎ‬ =
݊
2
• Para calcular la mediana se usa la fórmula.
‫݀݁ܯ‬ = ‫݅ݎܮ‬ + ቎
݊
2
− ݂ܽ‫ܣ‬
݂ܿ
቏ ݅
c: clase mediana.
Lri: Límite real inferior de la clase mediana.
n: Total de datos en caso de que sea una muestra y N: en caso de población
faA: Frecuencia acumulada de la clase que precede a la clase que contiene la mediana.
fc: Frecuencia en la clase mediana.
i: Tamaño del intervalo de clase.

Ejemplo 2.4. Calcular la mediana, utilizando la información del problema 2.2.
Solución
Para identificar la clase mediana calculemos
ܰú݉݁‫݋ݐܽ݀ ݁݀ ݋ݎ‬ =
34
2
= 17
Observando la columna de la frecuencia acumulada, el intervalo (49----61) contiene los
datos del 10 al 19. Por lo tanto la clase mediana se ubica en esta línea
Nº de Bandas fi fa
23-----35 3 3
36-----48 6 9
49-----61 10 19
62-----74 5 24
75-----87 5 29
88----100 5 34
Sustituyendo los siguientes valores en la fórmula se tiene:
Lri n faA fc i= = = + = = =48 5 34 3 6 9 10 13,
‫݀݁ܯ‬ = 48,5 + ቎
34
2
− 9
10
቏ 13 = 58,9
Observación 2.3. En los ejemplos anteriores se observa que la media aritmética difiere
de la mediana. Esto es importante, ya que pueden ocurrir tres situaciones:
• Si la mediana es mayor que la media, hay mayor cantidad de datos
superiores a la media que inferiores a ella.

• Si la mediana es menor que la media, hay mayor cantidad de datos inferiores
a la media que superiores a ella.
• Si la mediana coincide con la media, los datos están distribuidos
equitativamente a ambos lados de la media.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN.
Las medidas de tendencia central sirven para ubicar el centro de un grupo de
datos; pero no dicen cómo se reparten o dispersan los datos a uno y otro lado del centro.
Esta última característica se denomina dispersión.
Si la dispersión es poca, indica gran uniformidad entre los valores; una gran
dispersión indica poca uniformidad; y una ausencia de dispersión es señal de
uniformidad completa, lo cual quiere decir que los datos tienen el mismo valor.
Entre las medidas de dispersión se encuentran: el rango, la desviación media, la
varianza y la desviación estándar. En este libro, se estudiarán las dos últimas.
DEFINICIÓN 2.3. Varianza y Desviación Estándar.
Se definen como los valores que determinan la dispersión o separación de las
medidas de los datos, respecto a un valor central. Si la varianza y la desviación estándar
son parámetros se denotaran por las letras griegas ߪଶ
y σ respectivamente; y si son
estadísticos por las letras s 2
y s respectivamente.
Caso 1 Varianza y desviación estándar para datos no agrupados en intervalos de
frecuencia.
Para calcular la varianza y la desviación estándar se procede de la siguiente
manera:
• Se calcula la media aritmética.
• Se eleva al cuadrado cada valor numérico y se calcula la suma total.
• Se usa una de las fórmulas siguientes, de acuerdo al caso.
Si se trata de un parámetro, entonces:

ܸܽ‫ߪ ܽݖ݊ܽ݅ݎ‬ଶ
=
(∑ ‫ݔ‬௜
ଶ௡
௜ୀଵ ) − ܰߤଶ
ܰ
‫݅ܿܽ݅ݒݏ݁ܦ‬ó݊ ݁‫ݐݏ‬á݊݀ܽ‫ߪ ݎ‬ = ඥߪଶ
Si se trata de un estadístico, entonces:
ܸܽ‫ݏ ܽݖ݊ܽ݅ݎ‬ଶ
=
(∑ ‫ݔ‬௜
ଶ௡
௜ୀଵ ) − ݊ߤଶ
݊ − 1
‫݅ܿܽ݅ݒݏ݁ܦ‬ó݊ ݁‫ݐݏ‬á݊݀ܽ‫ݏ ݎ‬ = ඥ‫ݏ‬ଶ
Ejemplo 2.5. Utilizando la información del ejemplo 2.1, calcular la varianza y la
desviación estándar, en los casos que sean parámetros o estadísticos.
Solución:
Del ejemplo 2.1 la media aritmética es µ = x = 63,12. El total de datos N=n=34.
La suma de los valores al cuadrado está dada por.
෍ ‫ݔ‬ଶ
= (56)ଶ
+ (24)ଶ
+ ⋯ + (87)ଶ
= 151158
En el caso de parámetros
=
(151158) − 34(63,12)ଶ
34
= 461,82
‫݅ܿܽ݅ݒݏ݁ܦ‬ó݊ ݁‫ݐݏ‬á݊݀ܽ‫ߪ ݎ‬ = ඥ461,82 = 21,49
=
(151158) − 34(63,12)ଶ
34 − 1
= 476,11
‫݅ܿܽ݅ݒݏ݁ܦ‬ó݊ ݁‫ݐݏ‬á݊݀ܽ‫ݏ ݎ‬ = ඥ476,11 = 21,82

Observación 2.4.
La Media Aritmética, la Varianza y la Desviación Estándar, para datos no
agrupados por intervalos, se pueden calcular usando una calculadora de bolsillo; con lo
cual se puede ahorrar tiempo y esfuerzo.
Caso 2. Varianza y Desviación Estándar para datos agrupados en intervalos de clase.
Para calcular la Varianza y la Desviación Estándar se procede de la siguiente
manera:
• Se calcula la Media Aritmética.
• Se eleva al cuadrado cada marca de clase y se multiplica por la respectiva
frecuencia, y se calcula la suma total.
• Se usa de las fórmulas siguientes, de acuerdo al caso.
Si se trata de un parámetro.
=
(∑ ݂௜‫ݔ‬௜
ଶ௡
௜ୀଵ ) − ܰߤଶ
ܰ
‫݅ܿܽ݅ݒݏ݁ܦ‬ó݊ ݁‫ݐݏ‬á݊݀ܽ‫ߪ ݎ‬ = ඥߪଶ
=
(∑ ݂௜‫ݔ‬௜
ଶ௡
௜ୀଵ ) − ݊ߤଶ
݊ − 1
‫݅ܿܽ݅ݒݏ݁ܦ‬ó݊ ݁‫ݐݏ‬á݊݀ܽ‫ݏ ݎ‬ = ඥ‫ݏ‬ଶ
.
Observación 2.4. Puede existen diferencia entre el valor de la varianza y la desviación
estándar, cuando se trata de un parámetro o un estadístico; a medida que se aumente el
número de datos esta diferencia se minimiza.

Ejemplo 2.3. Utilizando la información del ejemplo 2.2, calcular la varianza y la
desviación estándar, en los casos que sean parámetros o estadísticos.
Solución:
Nº de Bandas fi Xi fi.Xi
2
23-----35 3 29 2523
36-----48 6 42 10584
49-----61 10 55 30250
62---- 74 5 68 23120
75-----87 5 81 32805
88----100 5 94 44180
Suma 34 143462
Si se trata de un parámetro, entonces:
=
143462 − 34(61,88)ଶ
34
= 390,34
‫݅ܿܽ݅ݒݏ݁ܦ‬ó݊ ݁‫ݐݏ‬á݊݀ܽ‫ߪ ݎ‬ = ඥ390,34 = 19,76
=
143462 − 34(61,88)ଶ
34 − 1
= 402,16
‫݅ܿܽ݅ݒݏ݁ܦ‬ó݊ ݁‫ݐݏ‬á݊݀ܽ‫ݏ ݎ‬ = ඥ402,16 = 20,05
MEDIDAS DE POSICIÓN.
Estas medidas determinan la posición que ocupa un dato, al ser comparado con el
resto. Esto permite determinar qué porcentaje de datos se encuentran por debajo y por
encima, de uno en particular. Entre las medidas de posición se tienen los deciles,
cuartiles, percentiles y rango percentil. En este libro se estudiarán los dos últimos, para
datos agrupados en intervalos de frecuencia.
DEFINICIÓN 2.4. Percentiles.
El percentil Px es un valor tal que p% de las medidas son menores que ese valor
calculado, y (100-p)% son mayores.

Observación 2.5.
Si los datos están representados en una tabla de distribución de frecuencias. Los
percentiles dividen en 100 partes iguales la distribución de frecuencia. Los percentiles
son 99 y se denotan por P P P1 2 99, , ,K . El Percentil 25, o equivalentemente P25, establece
que el 25% de las observaciones están por debajo de un dato. El percentil 50 es la
mediana.
El percentil para datos agrupados en intervalos de clase.
Se calcula con el siguiente procedimiento.
• Se identifica la clase del percentil. Para ubicar esta clase, se puede utilizar la
fórmula
ܰú݉݁‫݋ݐܽ݀ ݁݀ ݋ݎ‬ =
௡௫
ଵ଴଴
• Para calcular el percentil se usa la fórmula.
ܲ௫ = ‫݅ݎܮ‬ + ቎
݊‫ݔ‬
100 − ݂ܽ‫ܣ‬
݂ܿ
቏ ݅
c: clase mediana.
Lri: Límite real inferior de la clase del percentil.
n: Total de datos en caso de que sea una muestra y N: en caso de población.
faA: Frecuencia acumulada de la clase que precede a la clase que contiene el percentil.
fc: Frecuencia en la clase del percentil.
i: Tamaño del intervalo de clase.
Ejemplo 2.4. Utilizando la información del ejemplo 2.2, calcule el percentil 50 y el
percentil 45.

Solución:
Percentil 50.
Para determinar la clase del percentil 50, sabiendo que n=34 y x=50, se tiene que:
ܰú݉݁‫݋ݐܽ݀ ݁݀ ݋ݎ‬ =
34,50
100
= 17
La clase mediana está ubicada en el intervalo (49----61), que contiene los datos del 10 al
19.
Nº de Bandas fi Fa
23----35 3 3
36----48 6 9
49----61 10 19
62----74 5 24
75----87 5 29
88---100 5 34
Los elementos necesarios para aplicar la fórmula son:
‫݅ݎܮ‬ = 48,5 ݊ = 34 ݂ܽ‫ܣ‬ = 3 + 6 = 9 ݂ܿ = 10 ݅ = 13
Sustituyendo
ܲହ଴ = 48,5 + ቎
(34)(50)
100
− 9
10
቏ 13 = 58,9
El percentil 50 igual a 58,9, significa que el 50% de los datos se encuentran por debajo
de 58,9. Esto equivale a que el 50% de las bandas producidas están por debajo de 58,9
pares de bandas.
Percentil 45.
Para determinar la clase del percentil 45, sabiendo que n=34 y x=45, se tiene que:

ܰú݉݁‫݋ݐܽ݀ ݁݀ ݋ݎ‬ =
34,45
100
= 15,3 ≈ 15
La clase mediana está ubicada en el intervalo (49----61), que contiene los datos del 10 al
19.
Para determinar la clase del percentil, sabiendo que x=45 y n=34, de tal manera que
esta clase se ubica en el dato 15,3 = (34.45/100). Este está en el intervalo (49---61), que
contiene los datos del 10 al 19. Los elementos necesarios para aplicar la fórmula son:
‫݅ݎܮ‬ = 48,5 ݊ = 34 ݂ܽ‫ܣ‬ = 3 + 6 = 9 ݂ܿ = 10 ݅ = 13
ܲସହ = 48,5 + ቎
(34)(45)
100
− 9
10
቏ 13 = 56,69
El percentil 45 igual a 56,69, significa que el 45% de bandas producidas se encuentran
por debajo de 56,69 pares de bandas.
DEFINICIÓN 2.5. Rango Percentil.
El Rango percentil Rpx es el porcentaje de las medidas que son menores que un
valor dado.
Observación 2.6.
Esta medida de posición proporciona una interpretación similar al del percentil;
con la diferencia que se calcula es el porcentaje de observaciones que hay por debajo de
un dato dado.
El rango percentil, se calcula con el siguiente procedimiento:
• Ya que el objetivo es calcular el porcentaje de valores que están por debajo
de uno en particular, se ubica este valor en el respectivo intervalo; obteniendo
así los elementos necesarios para aplicar la fórmula respectiva.

• Para calcular el rango percentil se usa la fórmula
ܴ‫݌‬௫ = ቈ
ቀ
ೣషಽೝ೔
೔
ቁ௙௖ା௙௔஺
௡
቉ 100
Ejemplo 2.5. Utilizando la información del ejemplo 2.4, calcular el rango percentil
correspondiente al número 58,9, o equivalentemente Rp58,9.
Solución:
Ubiquemos el valor 58,9 en los intervalos de frecuencia, que se encuentran en la tabla,
éste está en el intervalo (49----61). Los elementos para el uso de fórmula del cálculo del
rango percentil son:
‫݅ݎܮ‬ = 48,5 ݊ = 34 ݂ܽ‫ܣ‬ = 3 + 6 = 9 ݂ܿ = 10 ݅ = 13
ܴ‫݌‬ହ଼,ଽ = ቈ
ቀ
ఱఴ,వషరఴ,ఱ
భయ
ቁଵ଴ାଽ
ଷସ
቉ 100 = 50%
El rango percentil del número 58,9 igual al 50%, esto significa que se produce el 50% de
bandas por debajo de 58,9 pares de bandas.
1. Los datos representan las mediciones de la resistencia a la ruptura (en Onzas) de una
muestra de hilos de cáñamo:
43,6 36,8 15,2 25,0 37,5 33,5 34,6 65,1 38,6 54,9 25,9
45,8 34,7 23,5 44,7 56,8 45,7 56,8 34,8 23,6 56,9 23,5
23,6 26,9 45,8 34,9 54,9 23,7 35,8 56,8 37,9 56,8 45,8
34,9 34,7 59,9 61,0 42,4 57,8 60,8 28,0 26,0 50,8 34,8

Halle:
a. La media aritmética
b. La mediana.
c. La varianza y la desviación estándar, si se consideran los datos como medidas de
una población.
d. La varianza y la desviación estándar, si se consideran los datos como medidas de
una muestra.
2. En un estudio de tres semanas sobre la productividad de los trabajadores, se
recolectó la siguiente información sobre el número de piezas aceptables que
produjeron un grupo de empleados.
56 34 58 45 55 56 60 34 23 90 78
56 34 89 78 23 67 90 89 78 56 56
56 78 23 98 89 78 34 45 26 70 79
45 89 78 98 89 78 54 45 34 56 57
67 56 78 67 56 78 20 67 45 23 24
45 76 98 45 28 44 45 56 87
Halle:
a La media aritmética
b La mediana.
c La varianza y la desviación estándar, si se consideran los datos como medidas de
una población.
d La varianza y la desviación estándar, si se consideran los datos como medidas de
una muestra.
4. Los datos de la siguiente tabla representan el rendimiento de gasolina en 30 viajes de
los automóviles de una compañía de transporte.

RENDIMIENTO DE 30 VIAJES DE LOS AUTOMÓVILES
DE UNA COMPAÑÍA DE TRANSPORTE.
Kilómetros por Litro N° de Viajes
10,0-----12,0 6
12,1-----14,1 7
14,2-----16,2 12
16,3-----18,3 4
18,4-----20,4 2
Halle:
b La mediana.
una población.
una muestra.
e Los percentiles P P P50 30 75, , .
f El rango percentil Rp13 8, .
5. En una prueba de la elasticidad de 40 vigas formadas por láminas con adhesivo, se
obtuvieron los siguientes valores de su constante elástica (en MN/m), los cuales se
representan en la siguiente tabla:
ELASTICIDAD DE 40 VIGAS FORMADAS POR LÁMINAS ADHESIVAS.
Valores de la constante elástica N° de vigas
6,61-----6,65 9
6,66-----6,70 10
6,71-----6,75 6
6,76-----6,80 12
6,81-----6,85 3

Halle:
b La mediana.
una población.
una muestra.
e P P P5 0 4 0 6 1, ,
f Rp7 2,

CAPÍTULO 3
PROBABILIDADES
Es común que las personas se refieran a las probabilidades para indicar la
posibilidad de ocurrencia de un evento futuro. Esta interpretación puede considerarse
aceptable, pero no clarifica de forma explícita de cómo se mide y de qué manera se
utilizan las probabilidades para hacer inferencias. Las probabilidades son de gran
utilidad cuando se opera con problemas físicos que generan observaciones, las cuales
no son factibles predecir con exactitud. Por ejemplo, el número de artículos defectuosos
en un proceso de la fabricación de tubos plásticos. Los eventos que poseen estas
propiedades se denominan eventos aleatorios.
En este capítulo se hará un enfoque de estas dos alternativas, así como también
la teoría básica de las probabilidades.
DEFINICIÓN 3.1. Experimento.
Es el proceso a través del cual se obtienen observaciones.
Ejemplo 3.1. Considere el experimento siguiente: en una empresa existe una grúa que
tiene un sistema de guayas, las cuales requieren ser reemplazadas cada cierto tiempo de
uso. Para probar si se debe cambiar, se somete el sistema a una tensión exagerada, si se
rompen 2 o más hilos, se dice que la guaya no sobrevive y por lo tanto debe ser
reemplazada. Se sabe por experiencia, que en cada tensión exagerada, se rompe a lo más
un hilo y que la probabilidad de que se rompan más de uno es despreciable

DEFINICIÓN 3.2. Espacio Muestral.
Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento estadístico. El
espacio muestral suele denotarse por la letra S. Los elementos del espacio muestral, se
denominan puntos muestrales.
DEFINICIÓN 3.3. Espacio Muestral Discreto.
Es un espacio muestral que contiene un número finito o numerablemente infinito
de puntos muestrales.
Ejemplo 3.2. En el ejemplo 3.1, el espacio muestral es discreto finito. Para definir este
espacio muestral elaboraremos un diagrama de árbol. Codifiquemos como cero (0) si no
se rompe algún hilo y uno (1) si se rompe un hilo (ver gráfico 3.1).
S={{0,0,0},{0,0,1},{0,1,0},{0,1,1},{1,0,0},{1,0,1},{1,1,0},{1,1,1}}.
Como puede observarse existen 8 puntos muestrales en este experimento.
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
{ 0,0,0}
{ 0,0,1}
{ 0,1,0}
{ 0,1,1}
{1,0,0}
{1,0,1}
{1,1,0}
{1,1,1}
R ESU LTA DO S D E LA SOB R EVIVEN C IA D E LA
G UA YA D E UN A G RU A
Gráfico 3.1.Espacio muestral.
Ejemplo 3.3. Supóngase el experimento que consiste en el registro del número de
automóviles que le suministran gasolina de un cierto octanaje, en una estación de

servicio. El espacio muestral es discreto (numerablemente infinito). El espacio muestral
se puede definir así:
S= {0, 1, 2, 3, 4, 5,6,...}.
DEFINICIÓN 3.4. Espacio Muestral Continuo.
Es un espacio muestral que contiene un número infinito de posibilidades iguales
al número de puntos que existen en un segmento de línea.
Ejemplo 3.4. Supóngase el experimento que consiste en investigar la distancia que
recorrerá un automóvil en un trayecto de prueba prescrito con 8 litros de gasolina.
DEFINICIÓN 3.5. Evento.
Es un subconjunto de un espacio muestral. Debido a esto, un evento puede estar
formado por todo el espacio muestral, parte de éste o por el conjunto vacío ∅, el cual no
contiene puntos muestrales.
Ejemplo 3.5. En el ejemplo 3.1, un evento puede estar definido por los puntos
muestrales en los cuales se rompan dos o más hilos. Este evento se puede denotar por:
A={{0,1,1},{1,1,0},{1,0,1},{1,1,1}}.
DEFINICIÓN 3.6.Complemento de un Evento.
Es el conjunto de puntos muestrales, del espacio muestral, que no están en el
evento. Si el evento lo denotamos por A, el complemento esta denotado por A’.
Ejemplo 3.6. En el ejemplo 3.5, el complemento de este evento sería definido por los
puntos muestrales en los cuales se rompan menos de dos hilos. Este evento se puede
denotar por:
A’={{0,0,0},{0,0,1},{0,1,0},{1,0,0}}.

DEFINICIÓN 3.7. Intersección de dos Eventos.
Es el evento que contiene los puntos muestrales comunes de los dos eventos. Si
denotamos por A y por B los dos eventos, entonces la intersección se denota por A∩B.
Ejemplo 3.7. Sea el evento A definido en el ejemplo 3.5 y sea el evento C definido por
los puntos muestrales de que se rompan dos hilos. Este evento se denota por:
C= {{0,1,1}, {1,0,1}, {1,1,0}}.
La intersección de estos dos eventos sería: A∩C= C.
Ejemplo 3.8. La intersección de los eventos de los ejemplos 3.5 y 3.6 sería vacía; ya
que no tienen puntos en común. Esto se denota por A∩A’=∅.
DEFINICIÓN 3.8. Eventos Mutuamente Excluyentes.
Se dice que dos o más eventos son mutuamente excluyentes si no ocurren al
mismo tiempo, y además la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia del otro. La
intersección de estos eventos es vacía.
Ejemplo 3.9. En una sala están reunidos 4 personas, que pertenecen respectivamente al
departamento de ventas, al departamento de compras, al departamento de producción y
al departamento de personal de una empresa que fabrica neumáticos para camiones.
Pertenecer a ventas, producción o personal, excluye pertenecer a compras.
DEFINICIÓN 3.9. Eventos Independientes.
Se dice que dos eventos son independientes, si la ocurrencia de uno de ellos, no
excluye la ocurrencia del otro.
Ejemplo 3.10. De los artículos producidos por una fábrica, 40% provienen de la línea 1
y el 60% de la línea 2. La escogencia al azar de artículos de cada línea, para determinar
si tienen defectos, son eventos independientes.

DEFINICIÓN 3.10. Unión de dos Eventos.
Es el evento formado por todos los puntos muestrales que pertenecen a uno, al
otro, o a ambos eventos. Si denotamos por A y B, dos eventos, la unión de ellos se
denota por A∪B.
Ejemplo 3.11. Sean los eventos A y C definidos en los ejemplos 3.5 y 3.7; la unión de
estos eventos es el evento A. Se denotan de la siguiente manera A∪C= A.
Observación 3.1. Diagramas de Venn.
Estos diagramas se utilizan para verificar relaciones que se pueden establecer
entre conjuntos. El espacio muestral está representado por un rectángulo y los eventos a
través de cualquier figura geométrica, que se dibujan dentro del rectángulo. A
continuación se ilustra un diagrama de Venn.
Gráfico 3.2. Diagramas de Venn.
Ejemplo 3.12. Veintidós automóviles se sacan de una línea de ensamblaje y se
examinan para ver si tienen defectos. Doce de los automóviles no tienen defectos, nueve
tienen defectos de acabado exterior, y cuatro tienen defectos en su ensamblaje. Sea A, el
evento formado por el conjunto de automóviles que tienen defectos de ensamblaje y sea

B el evento formado por el conjunto de automóviles que tienen defectos en el acabado
exterior. Elabore un diagrama de Venn para simbolizar:
a) El evento formado por los automóviles que tienen los dos tipos de defectos.
b) El evento formado por los automóviles que tienen por lo menos un tipo de
defectos.
c) El evento formado por los automóviles que no tienen defectos.
d) El evento formado por los automóviles que tienen exactamente un tipo de
defecto.
Solución:
Gráfico 3.3. Diagrama de Venn.
a Los automóviles con ambos tipos de defectos deben estar en A y en B; por lo
tanto, este evento se puede representar con A B∩ Como sólo 10 de los
automóviles tienen defectos; y A contiene 4 con defectos y B contiene 9 con
defectos, entonces 3 automóviles están en la intersección, es decir tienen los
dos tipos de defectos.
b Los automóviles que tienen por lo menos un tipo de defecto deben tener un
defecto de ensamblaje o un defecto de acabado. Este evento está representado
por A B∪ ; Por lo tanto existen 10 automóviles que tienen por lo menos un
tipo de defecto.

c El evento representado por los automóviles que no tienen defectos es el
complemento del evento de los que tienen defectos; es decir, ( )A B c
∪ , por lo
tanto existen 12 automóviles que no tienen defectos.
d El evento representado por los automóviles que tienen exactamente un tipo de
defecto es( ) ( )A B A B∪ − ∩ , por lo tanto existen 7 automóviles con un sólo
tipo de defecto.
CONTEO DE PUNTOS MUESTRALES.
Teorema 3.1. Regla de la Multiplicación.
Si una operación puede realizarse en n1 maneras y si para cada una de éstas se
puede efectuar una segunda operación en n2 maneras, y para cada una de las dos
primeras se puede efectuar una tercera operación en n3 formas, y así sucesivamente;
entonces la secuencia de k operaciones puede llevarse a cabo en ݊ଵ, ݊ଶ, ݊ଷ, ⋯ , ݊௞
maneras.
Ejemplo 3.13. En un estudio sobre economía de combustible, se prueba cada uno de 5
automóviles, utilizando 3 tipos de gasolina en relación con su octanaje, en 7 lugares
geográficos del país. Si se utilizan 3 conductores en el estudio y las corridas de prueba se
llevan a cabo una vez bajo cada uno de los diferentes conjuntos de condiciones ¿Cuántas
corridas de prueba se necesitan?
Solución:
Sean las siguientes designaciones:
n1=5 Automóviles n2=3 tipos de Gasolina
n3= 7 lugares n4=3 Conductores

Lo anterior expresa la manera en las cuales se pueden efectuar cada operación, por lo
tanto las corridas de prueba que se necesitan son: ݊ଵ ∙ ݊ଶ ∙ ݊ଷ ∙ ݊ସ = 5 ∙ 3 ∙ 7 ∙ 3 = 31
DEFINICIÓN 3.11. Permutación.
Es el número de arreglos diferentes en un orden específico.
DEFINICIÓN 3.12.
El número de permutaciones de n objetos distintos es
݊! = ݊(݊ − 1)(݊ − 2)(݊ − 3) ⋯ 1
Teorema 3.2.
El número de permutaciones de n objetos diferentes, tomados r a la vez es:
ܲ௡,௥ =
௡!
(௡ି௥)!
ܵ݅ ݊ = ‫,ݎ‬ ݁݊‫ܲ ݏ݁ܿ݊݋ݐ‬௡,௥ = ݊!
Ejemplo 3.14. Un mecanismo de control electrónico necesita 6 circuitos idénticos de
memoria ¿De cuántas maneras se puede armar este mecanismo, usando los seis
circuitos?
Solución:
Sea n=6 (número de circuitos); ya que son tomados los seis circuitos a la vez, se trata de
una permutación, donde n= r. Por tanto, la cantidad de maneras en que puede armarse el
mecanismo es:
ܲ଺,଺ = 6! = 720
Ejemplo 3.15. En relación con ejemplo 3.14. Supóngase que los circuitos son tomados
dos a la vez ¿De cuántas maneras puede ser armado el mecanismo?
ܲ଺,ଶ =
଺!
(଺ିଶ)!
= 30

Teorema 3.3.
El número de permutaciones diferentes de n objetos, de los cuales n1 son de una
clase, n2 de una segunda clase, ... , nk de una k- ésima clase, es:
ቀ
݊
݊ଵ, ݊ଶ, ⋯ , ݊௞
ቁ =
݊!
݊ଵ! ∙ ݊ଶ! ∙ ݊ଷ! ⋯ ݊௞!
Ejemplo 3.16. Se necesitan instalar 5 bombillos de 45 vatios, 8 bombillos de 60 vatios y
4 bombillos de 100 vatios ¿De cuántas maneras se pueden colocar en una instalación en
serie?
Solución:
El total de objetos es n=17 bombillos discriminados en:
n1=5 bombillos de 45 vatios.
El número total de arreglos distintos es:
17!
5! ∙ 8! ∙ 4!
= 3063060
DEFINICIÓN 3.13. Combinación.
Es el número de arreglos distintos en el cual no se especifica el orden o
colocación de los elementos.
Teorema 3.4.
El número de combinaciones de n objetos distintos tomados r a la vez es:
ቀ
݊
‫ݎ‬
ቁ =
݊!
‫!ݎ‬ (݊ − ‫ݎ‬)!

Ejemplo 3.17. En una empresa se necesita elegir 5 obreros de un grupo de 24 obreros
¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir el grupo de obreros?
Solución:
Este ejemplo representa una combinación, ya que los grupos formados por los mismos
obreros, no importando el orden en que se escogieron, representan el mismo grupo.
Se tiene n=24 obreros; de los cuales se van a tomar r=5.
El total de maneras diferentes es:
ቀ
24
5
ቁ =
24!
5! (24 − 5)!
= 42504
PROBABILIDAD DE UN EVENTO.
DEFINICIÓN 3.14.
Supóngase que un espacio muestral S está asociado con un experimento. A cada
evento A definido en S, se le asigna un número, P(A), denominado probabilidad de A, de
tal manera que se cumplen los axiomas siguientes:
‫0 :1 ܽ݉݋݅ݔܣ‬ ≤ ܲ(‫)ܣ‬ ≤ 1
‫ܲ :2 ܽ݉݋݅ݔܣ‬(∅) = 0
‫ܲ :3 ܽ݉݋݅ݔܣ‬(ܵ) = 1
DEFINICIÓN 3.15.
Si un experimento puede dar como resultado cualquiera de N resultados
diferentes igualmente probables, y si exactamente n de estos resultados corresponde al
evento A, entonces la probabilidad del evento A es:
ܲ(‫ܣ‬) =
݊
ܰ

Observación 3.2.
Aunque el valor calculado de una probabilidad se encuentra en el intervalo [0,1],
también suele interpretarse como una proporción (frecuencia relativa). Por ejemplo, si la
probabilidad es de 0,23, esto equivale al 23%.
Ejemplo 3.18: Un empresario desea saber la probabilidad de escoger un artículo
defectuoso en la producción de vasos plásticos; para ello tomo una muestra de 500
vasos, mediante un proceso de muestreo, y encuentra que 17 vasos tienen defectos. Con
estos datos calculó la probabilidad, quedando así:
A: El evento formado por los vasos plásticos que tienen defectos.
n=17 vasos (resultados en el evento A).
N=500 vasos (Total de resultados posibles).
ܲ(‫ܣ‬) =
ଵ଻
ହ଴଴
= 0,034
.
En conclusión, la probabilidad de escoger un artículo defectuoso en la producción de
vasos plásticos es 0,034. Equivalentemente, en porcentaje, la probabilidad es del 3,4%.
Teorema 3.6. Reglas Aditivas.
Si A y B son dos eventos cualesquiera, entonces:
ܲ(‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬) = ܲ(‫ܣ‬) + ܲ(‫ܤ‬) − ܲ(‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬)
Corolario 1.
Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces:
ܲ(‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬) = ܲ(‫ܣ‬) + ܲ(‫ܤ‬)
Corolario 2.
Si A1, A2, A3,..., An son mutuamente excluyentes, entonces:
ܲ(‫ܣ‬ଵ ∪ ‫ܣ‬ଶ ∪ … ∪ ‫ܣ‬௡) = ܲ(‫ܣ‬ଵ) + ܲ(‫ܣ‬ଶ) + ⋯ + ܲ(‫ܣ‬௡)

Ejemplo 3.19. Un sistema contiene dos componentes C1 y C2 y se conecta de tal
manera que éste funciona si cualesquiera de los componentes funcionan. Se sabe que la
probabilidad de que el sistema funcione con sólo el componente C1 es 0,8 y la
probabilidad de que funcione con sólo el componente C2 es 0,7; y la probabilidad de
que funcione con ambos componentes es 0,71. Calcular la probabilidad de que el sistema
funcione.
Solución:
Sea A: el evento de que el sistema funcione con sólo el componente C1.
Sea B: el evento de que el sistema funcione con sólo el componente C2.
Sea A B∩ : el evento de que el sistema funcione con ambos componentes.
ܲ(‫)ܣ‬ = 0,8 ܲ(‫)ܤ‬ = 0,7 ܲ(‫ܣ‬ ∩ ‫)ܤ‬ = 0,71
Entonces:
ܲ(‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬) = 0,8 + 0,7 − 0,71 = 0,79
Ejemplo 3.20. Se tienen 8 tarjetas de computadora de la marca T1 , 5 tarjetas de la marca
T2 y 4 tarjetas de la marca T3 ¿Cuál es la probabilidad de que se escoja una tarjeta de
la marca T1 o una de la marca T2?
Solución:
Sea A: el evento de seleccionar la tarjeta de la marca T1.
Sea B: el evento de seleccionar la tarjeta de la marca T2.
La probabilidad de escogencia de una tarjeta de la marca T1 es
ܲ(‫)ܣ‬ =
଼
ଵ଻
= 0,47
.
La probabilidad de escogencia de una tarjeta de la marca T2 es
ܲ(‫ܤ‬) =
ହ
ଵ଻
= 0,29

Los dos eventos son mutuamente excluyentes, ya que, al tomar una tarjeta de una
marca elimina la posibilidad de escogencia de la otra.
La probabilidad de escogencia de una tarjeta de una de estas dos marcas es:
ܲ(‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬) = 0,47 + 0,29 = 0,76
Teorema 3.7.
Si A y A’ son eventos complementarios, entonces:
ܲ(‫ܣ‬) + ܲ(‫′ܣ‬) = 1
Ejemplo 3.21. Las probabilidades de que en una estación de servicio sirvan gasolina a
0, 1, 2, 3, 4, 5 o más automóviles durante un período de 30 minutos, son de: 0,03; 0,18;
0,24; 0,28; 0,10; 0,17 respectivamente. Encuentre la probabilidad de que, en un período
de 30 minutos, 4 o más automóviles reciban gasolina.
Solución:
A: es el evento de que 4 o más automóviles reciban gasolina.
A’: es el complemento del evento A.
P(A’)= 0,03+0,18+0,24+0,28=0,73.
P(A)=1-P (A’)= 1-0,73=0,27.
DEFINICIÓN 3.16.
La probabilidad condicional de un evento A, dado que el evento B ha ocurrido, es
igual a:
ܲ(‫ܤܣ‬) =
ܲ(‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬)
ܲ(‫)ܤ‬
Siempre que P(A)>0. El símbolo P(A B) se lee “la probabilidad de A dada la ocurrencia
de B.

Ejemplo 3.22. Una compañía de transporte cuenta con un grupo de camiones movidos
por gasolina o por gasoil, lleva registros anuales de las reparaciones generales de los
motores. En la tabla siguiente se representan la cantidad de kilómetros recorridos por un
camión antes de tener que ser sometido a la revisión necesaria para cada tipo de
vehículo.
KILÓMETROS RECORRIDOS POR UN VEHÍCULO ANTES DE SU REVISIÓN
Kilómetros recorridos Vehículos con
Motor de Gasolina Motor de Gasoil
Total
0------20.000 36 11 47
20.001-------40.000 58 55 113
40.001 o más 12 23 35
Total 106 89 195
Tabla 3.1.Distribución de frecuencias.
¿De qué manera influye el tipo de motor en la probabilidad?
Solución:
Se trata de una probabilidad condicional, ya que se desea saber la probabilidad de
que un vehículo haya tenido un recorrido mayor a 40.000 km, antes de ser reparado, de
acuerdo al tipo de motor (a gasolina o a gasoil).
Sea A: el evento de que el vehículo funcione con gasolina.
Sea B: el evento de que el vehículo funcione con gasoil.
Sea C: el evento de que el vehículo que rebase 40.000 km, necesite reparación.
La probabilidad de que un vehículo funcione con gasolina es:
ܲ(‫)ܣ‬ =
ଵ଴଺
ଵଽହ
= 0,54

ܲ(‫ܣ‬ ∩ ‫ܥ‬): Probabilidad de que el vehículo sea de gasolina y necesite ser
reparado porque rebasó los 40.000 km es:
ܲ(‫ܣ‬ ∩ ‫ܥ‬) =
ଵଶ
ଵଽହ
= 0,06
P(C| A): Probabilidad de que el vehículo sea reparado, dado que es de gasolina
es:
ܲ(‫ܣܥ‬) =
଴,଴଺
଴,ହସ
= 0,11
La probabilidad de que un vehículo funcione con gasoil es:
ܲ(‫ܤ‬) =
89
195
= 0,46
P B C( )∩ : Probabilidad de que el vehículo sea de gasoil y necesite ser reparado
porque rebasó los 40.000 km. es:
ܲ(‫ܤ‬ ∩ ‫ܥ‬) =
ଶଷ
ଵଽହ
= 0,12
P(C |B): probabilidad de que el vehículo sea reparado, dado que es de gasoil
ܲ(‫ܤܥ‬) =
଴,ଵଶ
଴,ସ଺
= 0,26
Como se puede observar, la probabilidad se ve afectada por el hecho de que los
motores usan distinto tipo de combustible.
Observación 3.3. Muestreo con reposición
La probabilidad de un evento donde se extraen dos o más artículos, no se ve
afectada cuando se extrae el primero y se repone al sistema de donde se extrajo.

Observación 3.4. Muestreo sin reposición
Al hacer un muestreo sin reposición, el resultado de la primero extracción
influye en los resultados posibles de la segunda. En este caso, se dice que los sucesos no
son independientes. Otro hecho importante en este tipo de muestreo es que después de
haber obtenido un resultado en la primera extracción, es mayor la probabilidad de cada
uno de los resultados restantes que serán seleccionados en la segunda extracción. Debe
tenerse en cuenta que la diferencia entre el muestreo con reposición y sin reposición, es
despreciable cuando la población es grande respecto a la muestra.
Ejemplo 3.23. En una caja se tienen 8 bujías para automóviles. Es evidente que cada
bujía tiene la misma probabilidad de ser seleccionada; es decir, 1/8. Supóngase que se
extrae una de ellas y luego se repone a la caja, la segunda bujía que se extrae tiene la
misma probabilidad que la primera; es decir 1/8. No obstante, si no se repone a la caja,
la probabilidad de la segunda bujía es diferente a la de la primera; es decir, 1/7. Aquí se
evidencia que al reponer o no un artículo, puede alterarse las probabilidades.
Teorema 3.8. Reglas multiplicativas.
Si A y B son eventos en un espacio muestral S, entonces:
ܲ(‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬) = ܲ(‫ܣ‬)ܲ(‫ܣܤ‬) ܵ݅ ܲ(‫ܣ‬) ≠ 0
ܲ(‫ܣ‬ ∩ ‫)ܤ‬ = ܲ(‫)ܤ(ܲ ݅ܵ )ܤܣ(ܲ)ܤ‬ ≠ 0
Corolario 1.
Si A y B son eventos independientes, entonces:
ܲ(‫ܤܣ‬) = ܲ(‫)ܣ‬
ܲ(‫ܣܤ‬) = ܲ(‫)ܤ‬
ܲ(‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬) = ܲ(‫ܣ‬)ܲ(‫)ܤ‬
Corolario 2.
Si en un experimento pueden ocurrir eventos ‫ܣ‬ଵ, ‫ܣ‬ଶ, ‫ܣ‬ଷ, … , ‫ܣ‬௞ entonces:
ܲ(‫ܣ‬ଵ ∩ ‫ܣ‬ଶ‫ܣ‬ଷ ∩ … ∩ ‫ܣ‬௞)
= ܲ(‫ܣ‬ଵ)ܲ(‫ܣ‬ଶ‫ܣ‬ଵ)ܲ(‫ܣ‬ଷ‫ܣ‬ଵ ∩ ‫ܣ‬ଶ) ⋯ ܲ(‫ܣ‬௞‫ܣ‬ଵ ∩ ‫ܣ‬ଶ‫ܣ‬ଷ ∩ … ∩ ‫ܣ‬௞ିଵ)

Si los eventos son independientes:
ܲ(‫ܣ‬ଵ ∩ ‫ܣ‬ଶ‫ܣ‬ଷ ∩ … ∩ ‫ܣ‬௞) = ܲ(‫ܣ‬ଵ)ܲ(‫ܣ‬ଶ)ܲ(‫ܣ‬ଷ) ⋯ ܲ(‫ܣ‬௞)
Ejemplo 3.24. Si elegimos al azar en sucesión dos tarjetas de vídeo para computadora
de un cargamento de 250, de los cuales, 17 están defectuosos ¿Cuál es la probabilidad de
que ambas estarán defectuosos?
Solución:
Sea A: el evento de que la primera unidad esté defectuosa.
B: el evento de que la segunda esté defectuosa.
B A: el evento de que la segunda unidad esté defectuosa, dado que la primera lo
está.
‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬: El evento de que la primera y segunda unidad esté defectuosa.
ܲ(‫ܣ‬) =
17
250
= 0,07
ܲ(‫ܣܤ‬) =
16
249
= 0,6
ܲ(‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬) = (0,07)(0,06) = 0,004
Observación 3.5.
En el ejercicio 3.24 se observa que el objeto es tomado sin reposición en el lote,
esto influye en el cálculo de la probabilidad de la selección del segundo objeto.
Ejemplo 3.25. En una fábrica existen dos trenes de producción. Se sabe en el primero
12 de 34 piezas son defectuosas; y en el otro tren, 9 de 40 piezas son defectuosas ¿Cuál
es la probabilidad de escoger una pieza de cada tren que tenga defectos?
Solución:
Los eventos son independientes, ya que se trata de trenes diferentes.

Sea A: el evento de seleccionar una pieza del primer tren.
Sea B: el evento de seleccionar una pieza del segundo tren.
Sea A B∩ : el evento de seleccionar una pieza de cada tren.
ܲ(‫ܣ‬) =
12
34
= 0,35
ܲ(‫)ܤ‬ =
9
40
= 0,23
ܲ(‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬) = (0,35)(0,23) = 0,08
Ejemplo 3.26. Una caja de fusibles contiene 25 piezas, de las cuales 8 están defectuosas.
Si se seleccionan al azar tres de los fusibles y se sacan de la caja en sucesión sin
reemplazo ¿Cuál es la probabilidad de que los tres fusibles estén defectuosos?
Solución:
Sea A: el evento de que el primer fusible esté defectuoso.
Sea B: el evento de que el segundo fusible esté defectuoso.
Sea C: el evento de que el tercer fusible esté defectuoso.
Sea B| A: el evento de que el segundo fusible, dado que el primero lo está.
Sea ‫ܣܥ‬ ∩ ‫ܤ‬: el evento de que el tercero esté defectuoso, dado que los dos
anteriores lo están. Entonces:
ܲ(‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ ∩ ‫ܥ‬) = ܲ(‫ܣ‬)ܲ(‫ܣܤ‬)ܲ(‫ܣܥ‬ ∩ ‫)ܤ‬
ܲ(‫ܣ‬) =
8
25
= 0,32 ܲ(‫ܣܤ‬) =
7
24
= 0,29 ܲ(‫ܣܥ‬ ∩ ‫ܤ‬) =
6
23
= 0,26
ܲ(‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ ∩ ‫ܥ‬) = (0,32)(0,29)(0,26) = 0,02
DEFINICIÓN 3.17. Partición de un espacio muestral.
Los eventos B1, B2, B3,..., Bk determinan una partición del espacio muestral si se
cumplen con las dos condiciones siguientes:
ܵ = ‫ܤ‬ଵ ∪ ‫ܤ‬ଶ ∪ ‫ܤ‬ଷ ∪ … ∪ ‫ܤ‬௞

‫ܤ‬௜ ∩ ‫ܤ‬௝ = ∅ ‫݅ ܽݎܽ݌‬ ≠ ݆
Teorema 3.9. Regla de eliminación.
Si los eventos B1, B2, B3,..., Bk constituyen una partición del espacio muestral S
tal que P Bi( ) ≠ 0 para i=1, 2,3,..., k, entonces, para cualquier evento A de S,
ܲ(‫ܣ‬) = ෍ ܲ(‫ܤ‬௜ ∩ ‫)ܣ‬
௞
௜ୀଵ
= ෍ ܲ(‫ܤ‬௜)ܲ(‫ܤܣ‬௜ )
௞
௜ୀଵ
Observación 3.6.
El teorema anterior es útil en los casos donde la fase intermedia admite K
alternativas, cuya incidencia se denota por B1,B2,B3,...,Bk.
La relación se puede representar a través de un diagrama de árbol.
P(B1 )
B1
P(AB1 )
A
A
A
P(AB2 )
P(Bn )
P(ABn )
B2
Bn
Gráfico 3.4 Diagrama de árbol
Ejemplo 3.27. Una planta de ensamblado recibe sus reguladores de corriente de tres
diferentes distribuidores: 45% del distribuidor B1 , 35% del distribuidor B2, y 20% del
distribuidor B3. Si el 85% de los reguladores del distribuidor B1, el 76% de los
reguladores del distribuidor B2, y el 60% de los reguladores del distribuidor B3, tienen
un rendimiento de acuerdo con las especificaciones. Calcule la probabilidad de que
cualquier regulador de voltaje recibido por la planta dé un rendimiento según las
especificaciones.
Solución:
B1: el evento de recibir reguladores del distribuidor B1.

A: el evento de que el regulador de voltaje recibido por la planta dé un
rendimiento según especificaciones.
A B1: el evento de que el regulador de voltaje recibido esté bajo
especificaciones, dado que fue enviado por el distribuidor B1.
El diagrama de árbol que establece las relaciones anteriores es:
A
A
A
B1
B2
B3
P(AB1)=0,85
P(AB2)=0,76
P(AB3)=0,60
P(B1)=0,45
P(B3)=0,20
P(B2)=0,35
Gráfico 3.5 Diagrama de árbol.
ܲ(‫ܣ‬) = ܲ(‫ܤ‬ଵ)ܲ(‫ܤܣ‬ଵ) + ܲ(‫ܤ‬ଶ)ܲ(‫ܤܣ‬ଶ) + ܲ(‫ܤ‬ଷ)ܲ(‫ܤܣ‬ଷ)
P(B1)=0,45 P(B2)=0,35 P(B3)=0,20
P(AB1)=0,85 P(AB2)=0,76 P(AB3)=0,60.
ܲ(‫)ܣ‬ = (0,45)(0,85) + (0,35)(0,76) + (0,20)(0,60) = 0,77
En conclusión, la probabilidad de que cualquier regulador de voltaje recibido por la
planta, dé un rendimiento según las especificaciones es 0,77. Equivalentemente el 77%.

Teorema 3.10. Teorema de Bayes.
Si los eventos B1,B2,B3,...,Bk constituyen una partición del espacio muestral S tal
que P Bk( ) ≠ 0 para i=1, 2,3,..,k, entonces, para cualquier evento A de S tal que
P A( ) ≠ 0.
ܲ(‫ܤ‬௥‫ܣ‬) =
ܲ(‫ܤ‬௥ ∩ ‫ܣ‬)
∑ ܲ(‫ܤ‬௜ ∩ ‫ܣ‬)௞
௜ୀଵ
=
ܲ(‫ܤ‬௥)ܲ(‫ܤܣ‬௥)
∑ ܲ(‫ܤ‬௜)ܲ(‫ܤܣ‬௥)௞
௜ୀଵ
‫ݎ ܽݎܽ݌‬ = 1,2,3, … , ݇
Observación 3.5.
Este teorema proporciona una fórmula para calcular la probabilidad de que el
“efecto” A fue “causado” por el evento Bi.
El numerador, en el teorema de Bayes, expresa la probabilidad de llegar a A por
la i- ésima rama del árbol y que la expresión del denominador es la suma de las
probabilidades de llegar a A por las n ramas del árbol.
Ejemplo 3.28. En relación con ejemplo 3.27, supóngase que se desea conocer la
probabilidad de que un regulador de voltaje específico, cuyo rendimiento corresponde a
las especificaciones, provenga del distribuidor B2.
Solución:
El teorema de Bayes, aplicado a este ejemplo, quedaría así:
ܲ(‫ܤ‬ଶ‫ܣ‬) =
ܲ(‫ܤ‬ଶ)ܲ(‫ܤܣ‬ଶ)
∑ ܲ(‫ܤ‬௜)ܲ(‫ܤܣ‬௜)ଷ
௜ୀଵ
ܲ(‫ܤ‬ଶ‫)ܣ‬ =
(0,35)(0,76)
(0,45)(0,85) + (0,35)(0,76) + (0,20)(0,60)
= 0,35

En conclusión, La probabilidad de que un regulador de voltaje específico, cuyo
rendimiento corresponde a las especificaciones, provenga del distribuidor B2 es 0,35.
Equivalentemente 35%.
1. Cuatro personas, numerados como 1, 2, 3 y 4, solicitan dos puestos idénticos en una
compañía. Los puestos se otorgan seleccionando dos de los aspirantes al azar:
a Establezca el espacio muestral.
b Establezca el evento A de que si el sujeto 1 es seleccionado, el segundo sea
seleccionado del resto.
c Repita el aparte b, si el sujeto 2 sea seleccionado. Evento B
d Halle A B∪ .
e Halle .BA ∩
f Halle A’.
.
2. Un inspector de edificios debe revisar la instalación eléctrica de un nuevo edificio de
departamentos, el Lunes, Miércoles, Viernes y Sábado; a las 9 am, 11 am y a las 2
pm. Dibuje un diagrama de árbol que represente el espacio muestral.
3. A un grupo de electricistas se le preguntan si es muy fácil, fácil, regular, difícil o
muy difícil reparar un modelo específico de automóvil; codifique las respuestas
como 1, 2, 3, 4,5, respectivamente. Si A= {1,2}, B= {3,4}, C= {4,5}. Halle:
a A B∪ .
b A B∩ .
c A B∪ ' .
d C'.
e Escriba con palabras el significado de cada resultado.

4. De 25 computadoras disponibles en un almacén, 10 de ellas tienen tarjetas
adaptadoras para una impresora, 5 tienen tarjetas adaptadoras para un modem, y 13
no tienen ninguna de éstas. Utilizar A, para representar el evento de aquellas que
tengan tarjetas de impresora, B para representar el evento de las que tienen tarjetas
de modem y, luego, representar en un diagrama de Venn los siguientes eventos, así
como mencionar el número de computadoras que hay en cada uno.
a Las que tengan ambas tarjetas.
b Las que no tengan tarjetas alguna.
c Las que sólo tengan tarjetas para impresora.
d Las que tengan exactamente una de las tarjetas.
5. El constructor de una Urbanización ofrece a sus posibles compradores viviendas las
cuales se pueden seleccionar entre 5 diseños, con tres diferentes sistemas de
calefacción, un garaje cerrado o abierto, y un patio o un porche cubierto. ¿De cuántas
formas diferentes están disponibles para un comprador?
6. Un envío de 15 celulares contienen 4 defectuosos. ¿De cuántas formas puede un
distribuidor adquirir 6 de esos aparatos y recibir cuando menos 3 de los defectuosos?
7. Una caja con 15 baterías contiene una que está defectuosa.
a ¿En cuántas formas diferentes un supervisor puede elegir 4 de estas baterías y
obtener la defectuosa?
b ¿En cuántas formas diferentes un supervisor puede elegir 4 de estas baterías y
obtener ninguna defectuosa?
8. Con respecto al ejercicio 7, supóngase que dos baterías están defectuosas.
a ¿De cuántas maneras diferentes puede el supervisor escoger tres de las baterías y
obtener ninguna batería defectuosa?

b ¿De cuántas maneras diferentes puede el supervisor escoger tres de las baterías y
obtener ambas baterías defectuosas?
c ¿De cuántas maneras diferentes puede el supervisor escoger tres de las baterías y
obtener una defectuosa?
9. Una tienda de artículos posee en existencia 9 clases de cocinas, 7 tipos de neveras y
7 clases de televisores ¿En cuántas formas diferentes pueden elegirse dos artículos
de cada clase?
10. Una operación de ensamblaje en una fábrica consta de 5 pasos, que se pueden llevar
a cabo en cualquier orden. Si el fabricante quiere comparar los tiempos de
ensamblaje para cada arreglo posible de los pasos, ¿cuántos arreglos habrá en el
experimento?
11. Para usar un telecajero se requiere de la selección de un conjunto de cuatro dígitos en
sucesión. Supóngase que no se utiliza el mismo dígito dos veces. Encuentre el
número total de los posibles arreglos
12. De un conjunto de 7 hombres y 6 mujeres ¿cuántas cuadrillas de trabajadores de de
9 miembros se pueden formar si cada uno de ellos debe contener cuando menos 4
mujeres?
13. Se sacan 12 cajas recibidas en diferentes épocas de cierto proveedor. Cada caja
contiene 600 artículos con las mismas especificaciones. Al examinar el contenido de
las cajas se encuentra en cada caja el siguiente número de piezas con
especificaciones equivocadas, debido a errores al empacar:
ሼ7, 4, 9, 5, 8,10,12,8,9,9,6,9ሽ ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una pieza con
especificaciones erróneas en una caja cualquiera enviada por el proveedor?

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