Ecuaciones diferenciales homogeneas
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Ecuaciones diferenciales homogeneas

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Describe brevemente los pasos para resolver ecuaciones diferenciales homogeneas

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    Ecuaciones diferenciales homogeneas Ecuaciones diferenciales homogeneas Presentation Transcript

    • Curso:
      Ecuaciones Diferenciales
      Nombre del maestro:
      César Octavio Martínez Padilla
      Tema:
      Ecuaciones Diferenciales Homogéneas (E.D.H.)
      Autor:
      Luis Angel León González
      Registro:
      10310209
      Salón:
      B: 212
      25 de Febrero de 2011
    • Ecuaciones Diferenciales Homogéneas (E.D.H.)
      Si la ecuación diferencial está escrita en la forma:
      M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 //forma ordinaria
      sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes M(x,y)y N(x,y)
      son funciones homogéneas del mismo grado.
    • Forma de sacar el grado de la ecuación homogénea
      1.Por Inspección
      M(tx,ty)
      N(tx,ty)
      tnf(x,y) // n = grado del exponente
    • Ejemplo (por inspección)
      f(x,y) = (x3y – x2y2)/(x + 8y)//ecuacion original
      = [(tx)3ty – (tx)2(ty)2]/(tx + 8ty) //multiplicamos cada termino por ‘t’
      = (t3x3ty – t2x2t2y2)/(tx + 8ty) //eliminamos paréntesis
      = (t4x3y – t4 x2y2)/(tx + 8ty) //simplificamos un poco
      = (t4 (x3y – x2y2))/((t(x + 8y)) //se factoriza ‘t’ en ambos lados
      = t 3 ((x3y – x2y2)/(x + 8y)) // al dividir t4/t queda t3
      //indica el grado de la ecuacion homogénea
      //este es el primer paso (saber el grado de la ecuacion homogénea)
    • Forma de sacar el grado de la ecuación homogénea
      2. Suma de los exponentes de c/literal o de c/término
      Ejemplo:
      f(x,y) = 6x2y1 + 5y3
      3° 3°
      //aquí podemos ver que la ecuación es homogénea, por tener el mismo grado en ambos términos
    • Elementos claves para las E.D.H. (cambio de variables)
      1. y = uxdy = udx + xdu
      2. x = uydx = udy + ydu
      3. u = x + y y = u –x
      dy = du - dx
    • Ejemplo
      Resuelve la E.D. por homogéneas
      (x2 + xy + 3y2)dx – (x2 + 2xy)dy = 0 //ecuacion original
      M(x2 + xy + 3y2) 2° //verificamos que fuera homogénea
      N(x2 + 2xy)2°//por el método de suma de exponentes de cada término
    • //resolviendo paréntesis
      (x2 + x2u + 3u2x2)dx – [x2 + 2x2u][udx + xdu]
      //se factoriza x2 en ambos lados para poder eliminarla
      x2 (1 + u + 3u2)dx – x2(1 + 2u)(udx + xdu) = 0
      //quitando paréntesis
      dx + udx + 3u2dx – udx – xdu – 2u2dx – 2xudu = 0
      //agrupamos términos semejantes
      dx + u2dx – xdu – 2xudu = 0
      //factorizamos “dx” y “xdu”
      (1 + u2)dx – (1 + 2u)xdu = 0
      //despejando
      (1 + u2)dx = (1 + 2u)xdu
      //reacomodando
      dx/x = (du + 2udu)/(1 + u2)
      Simplificación para separar variables
    • Solución:
      //usando el primer elemento clave, sustituimos ‘y’ por ‘ux’.
      [x2 + x(ux) + 3(ux)2]dx – [x2 + 2x(ux)][udx + xdu] = 0
      //separamos variables y resolvemos por ese método
      (dx/x) - du/(1 + u2) + (2udu)/(1 + u2) = 0
      //resolvemos las integrales
      ln x – arctg u – ln |1 + u2| = cte
      //sustituimos el valor de ‘u’ (u = y/x) para dar el resultado
      ln x – arctg (y/x) – ln |1 + y2/x2) = cte