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Ecuaciones diferenciales homogeneas
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Ecuaciones diferenciales homogeneas

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Describe brevemente los pasos para resolver ecuaciones diferenciales homogeneas

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  • 1. Curso:
    Ecuaciones Diferenciales
    Nombre del maestro:
    César Octavio Martínez Padilla
    Tema:
    Ecuaciones Diferenciales Homogéneas (E.D.H.)
    Autor:
    Luis Angel León González
    Registro:
    10310209
    Salón:
    B: 212
    25 de Febrero de 2011
  • 2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas (E.D.H.)
    Si la ecuación diferencial está escrita en la forma:
    M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 //forma ordinaria
    sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes M(x,y)y N(x,y)
    son funciones homogéneas del mismo grado.
  • 3. Forma de sacar el grado de la ecuación homogénea
    1.Por Inspección
    M(tx,ty)
    N(tx,ty)
    tnf(x,y) // n = grado del exponente
  • 4. Ejemplo (por inspección)
    f(x,y) = (x3y – x2y2)/(x + 8y)//ecuacion original
    = [(tx)3ty – (tx)2(ty)2]/(tx + 8ty) //multiplicamos cada termino por ‘t’
    = (t3x3ty – t2x2t2y2)/(tx + 8ty) //eliminamos paréntesis
    = (t4x3y – t4 x2y2)/(tx + 8ty) //simplificamos un poco
    = (t4 (x3y – x2y2))/((t(x + 8y)) //se factoriza ‘t’ en ambos lados
    = t 3 ((x3y – x2y2)/(x + 8y)) // al dividir t4/t queda t3
    //indica el grado de la ecuacion homogénea
    //este es el primer paso (saber el grado de la ecuacion homogénea)
  • 5. Forma de sacar el grado de la ecuación homogénea
    2. Suma de los exponentes de c/literal o de c/término
    Ejemplo:
    f(x,y) = 6x2y1 + 5y3
    3° 3°
    //aquí podemos ver que la ecuación es homogénea, por tener el mismo grado en ambos términos
  • 6. Elementos claves para las E.D.H. (cambio de variables)
    1. y = uxdy = udx + xdu
    2. x = uydx = udy + ydu
    3. u = x + y y = u –x
    dy = du - dx
  • 7. Ejemplo
    Resuelve la E.D. por homogéneas
    (x2 + xy + 3y2)dx – (x2 + 2xy)dy = 0 //ecuacion original
    M(x2 + xy + 3y2) 2° //verificamos que fuera homogénea
    N(x2 + 2xy)2°//por el método de suma de exponentes de cada término
  • 8. //resolviendo paréntesis
    (x2 + x2u + 3u2x2)dx – [x2 + 2x2u][udx + xdu]
    //se factoriza x2 en ambos lados para poder eliminarla
    x2 (1 + u + 3u2)dx – x2(1 + 2u)(udx + xdu) = 0
    //quitando paréntesis
    dx + udx + 3u2dx – udx – xdu – 2u2dx – 2xudu = 0
    //agrupamos términos semejantes
    dx + u2dx – xdu – 2xudu = 0
    //factorizamos “dx” y “xdu”
    (1 + u2)dx – (1 + 2u)xdu = 0
    //despejando
    (1 + u2)dx = (1 + 2u)xdu
    //reacomodando
    dx/x = (du + 2udu)/(1 + u2)
    Simplificación para separar variables
  • 9. Solución:
    //usando el primer elemento clave, sustituimos ‘y’ por ‘ux’.
    [x2 + x(ux) + 3(ux)2]dx – [x2 + 2x(ux)][udx + xdu] = 0
    //separamos variables y resolvemos por ese método
    (dx/x) - du/(1 + u2) + (2udu)/(1 + u2) = 0
    //resolvemos las integrales
    ln x – arctg u – ln |1 + u2| = cte
    //sustituimos el valor de ‘u’ (u = y/x) para dar el resultado
    ln x – arctg (y/x) – ln |1 + y2/x2) = cte