INDICE
01) Plano Cartesiano y Funciones
02) Operaciones con Expresiones algebraicas, monomios y polinomios
03) Multiplicac...
23) Desigualdad, intervalos, notación de conjuntos e intervalos, ejercicios
24) Valor absoluto, propiedades de desigualdad...
“PLANO CARTESIANO”
Cualquier # se puede representar en 1 recta numérica.
Para representar cualquier punto en 1 plano neces...
Cuando B es igual a 0 la función es y.=ax
Teorema 1
La representación gráfica de 1 función de la forma y=ax es 1 linea rec...
“OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS”
Monomio:es 1 expresión algebraica que no contiene signos de +o –
ejem.
( ) 3
2
2...
“MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS”
El multiplicando y el multiplicador se llaman factores.
Ley conmutativa .- el orden de los ...
“DIVISIÓN DE MONOMIOS”
-Ley de signos.
-Ley de exponentes.
35
3
5
3
5
1
+
−
−
==
=
a
a
a
a
a
a
a
a mn
m
n
“DIVISIÓN POLINO...
ECUACIONES CUADRISTICAS 1er GRADO
El cuadrado del primero más doble del segundo multiplicado por el segundo más
el cuadrad...
SUMA Y RESTA
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE 3x3
PRODUCTOS NATURALES
Para complicarse, puede sacar cada una de las áreas y sumarlas, o dos fi...
“BINOMIOS CONJUGADOS”
22
))(( bababa −=−+
El primero por el segundo y se multiplican los signos.
Se llaman binomios conjug...
COMPLETAR EL TRINOMIO AL CUADRADO
PERFECTO
( ) 243
2496
91596
2
6
915
2
6
6
156
2
2
2
22
2
2
=+
=++
+=++






+=
...
FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE
CUADRADOS
( )( )
))((
...............
22
22
axax
ax
conjugadobinomioaxaxax
−+
−
−=−+
Co...
RESOLVER CUANDO FALTA EL TÉRMINO LINEAL
La raíz cuadrada del final, puede
retener ambos signos, + o –, x que, x
ejem.
3663...
SOLUCIÓN DE ECUACIONES COMPLETAS
DE SEGUNDO GRADO
Primer método factorización
TIPS.
Para los términos no comunes, se busca...
Si el término independiente es negativa, el primero de los términos no comunes
será negativo.
Si el término lineal es posi...
FORMULA GENERAL PARA LA SOLUCIÓN DE
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
( )
a
acbb
x
a
acb
abx
a
acb
abx
a
acb
abx
a
b
a
c
a
b
x
a...
GEOMETRÍA
TRIANGULOS
Es un polígono de tres lados y su suma de
los ángulos interiores es de 180°
Se clasifican por:
a)Tama...
Teorema 1
B + E + F = 180°
TIPS:
A = F
C = E
F = 180°- G
G = - F
D = 180°- E
E = 180°- D
Teorema 2
B + F = D G = B + E
TIP...
TEOREMA DE PITÁGORAS
Lados adyacentes al ángulo recto, son los catetos, (a y b )
El lado opuesto al ángulo recto se llama ...
Encontrar los valores.
( )
( )
7.3
9.6
)5(2
)128)(5(416
16
128
16
5
0128165
014416164
14416164
14442
2
1
2
2
22
22
22
−=
=...
CUADRILATEROS
Son las figuras de cuatro lados.
CLASIFICACIÓN DE CUADRILATEROS
3.- PARALELOGRAMOS.- Lados opuestos, iguales...
c) Los ángulos opuestos son congruentes.
d) La suma de los ángulos internos es de 360°
e) Los ángulos contiguos de un para...
En todo paralelogramo las diagonales se cortan en el punto medio.
CÍRCULO
Es el área plana e interior de una circunferencia y tiene área exclusiva.
Es una curva cerrada plana cuyos puntos ...
ÁNGULO INSCRITO.- Es el que está formado por dos cuerdas que no pasan
por el
centro de la circunferencia, y su vértice se ...
ÁNGULO EXCÉNTRICO.- ángulo interno formado por el cruce de dos cuerdas
que no
se cruzan en el centro de la circunferencia.
REPASO
REV. MARZO 27
Resuelve Factorización
( )
2
1
0
0)2(
02
2
02
02
3
1.........0
03
0
3
3
03
3
2
2
2
2
2
2
=
=
=−
=−
=−...
435
435
354
35)4(
35168
2
8
19
2
8
8
198
0198
2
1
2
2
22
2
2
2
−±=
−±=
±=+
=+
=++






+=





+
+=+
=−+
x
x
...
2
8
2
106
2
6436
6
2
)16(436
6
(/)2
)16)(1(436
6
.............
0166
166
2
1
2
2
−=
=
±
=
+
±=
−−
±=
−−
±=
=−−
=−
x
x
x
x
x...
TRIGONOMETRÍA
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
TIPS.
Seno, siempre es igual a
Coseno, siempre es igual
a
El seno del A es igual a...
sen A 4.
10
4 ==
cos A 8.
10
8 ==
tan A 5.
8
4 ==
cot A 2.
4
8 ==
sec A 25.1
8
10 ==
csc A 5.2
4
10 ==
FUNCIONES RECIPROCA...
c
a
senA
senAA
c
a
B
c
b
A
AAsen
c
b
senB
ABBA
=
=−=
=
=−=
−==+
)90cos(...........cos
cos
cos)90(...........
90.........90...
FUNCIONES RECIPROCAS
Sen A = 2/3 sen A = .52
csc A = 3/2 ? cos B = .52
cot A = 5/8 tan A = 3/7
tan A = 8/5 ? cot B = 3/7
E...
SEN 27° 32°
.4622
Tip : Las cós se restan y las demás se suman.
“ RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS USANDO FUNCIONES”
Resolución de ...
“ LEY DE LOS SENOS “
En todo triángulo los lados son directamente proporcionales a los senos de los
ángulos opuestos.
TIPS...
“ ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD “
1.- Rango: Lo obtenemos restando la cifra más baja a la mayor.
2.-Para saber cuántas estatu...
Media
Se multiplica el punto medio por la frecuencia se suman los resultados, se divide
la suma entre el número de datos
P...
RESUELVE POR SUTITUCIÓN
3
17
22
36
1325)
63
=
−=
−=
=−
=+
x
y
yx
yxa
yx
17
22
2217
5301317
13215
13215305
132)36(5
−=
−=−
...
27
1533
27
61
58
2587)
85
=
−
=
+=
=+−
=−
x
y
yx
yxd
yx
27
61
562527
25835
2583556
258)58(7
2557
−
=
+=−
=+−
=++−
=++−
=+−...
0
1
0
01
391015146535
639105143
)213(3)2(514)3(155
2
2
=
−
=
=−
++−−=+−+−
−+−+−−=
−+−+−−=+−
x
x
xxxx
xxxx
xxxxxx
Novecient...
REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS EN
NOTACIÓN EXPONENCIAL
Ejemplo:
586680500)10(6)10(8)10(5586
586680500)1(6)10(8)100(5586
012
=++...
Ejem. 20 X 0 =0
Múltiplos
4 X 0 =0
El número de multiplos de un número es infinito
“DIVISOR”
Es el número que divide exact...
SIMETRÍA AXIAL Y BILATERAL
INTRODUCCIÓN:
En éste tema estudiaremos las características que poseen las figuras como las
ref...
Si dos figuras son simétricas cualquier punto cualquiera punto de una de las
figuras es simétrico a su punto primo ( de la...
POLÍGONOS REGULARES;
Tienen el mismo número de ejes que de los lados que tiene.
POLÍGONOS IRREGULARES
Pueden o no tener ej...
A éste punto le llamaremos P’
.
B). Trazo de segmentos
simétricos.
1.-Localizamos los puntos
primos de A y B como en el
pr...
“NÚMEROS REALES”
El conjunto de número más fundamental con el que empezaremos, es el
conjunto de los naturales
N = 1, 2 , ...
NOTA
Cuando se dice el conjunto de números naturales <3 . el número, en este caso el
3 no se incluye.
E = 1, 2,
Cuando es ...
Los números racionales pueden ser decimales exactos o decimales periódicos
Algunos decimales no son exactos ni periódicos,...
LISTA LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO QUE SON:
a) Número Natural 18,
b) Números Naturales Aumentados 18,0
c) Números Enteros 18...
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Para números reales a, b, c Adición Multiplicación
Propiedad Conmutativa a + b = b + a a...
( )
( ) zyxzyx
yxyx
yy
xyyx
xx
xxyyyx
xx
yxyx
xx
xx
xx
xx
3333)18
7
3
7
3)17
88)(8)16
)359(9)35)(15
2,2)14
2
1,12)13
12,12...
“DESIGUALDAD”
Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de los números reales que la
hacen verdadera en contraste ...
Los paréntesis redondos ( ), no entran extremos
Con los paréntesis cuadrados [ ], sí entran los extremos
La flecha indica ...
Escribe en notación de conjuntos e intervalos
Notación conjunto Notación intervalos
(2, 7)
[-3 , 4)
(- , -2)
(-4 , )
[-1 ,...
“ VALOR ABSOLUTO “
El valor absoluto de un número es la distancia que hay entre el cero y ese
número sobre la recta numéri...
TIP. Resolver de adentro hacia fuera
Ejercicio
[ ]
[ ]
[ ]
1461442
122
)3(42
)25(4)24).(1
2
2
2
=+
+
+
−+÷
39126
9)6(2)2(3...
1) dos entre dos reflexiva
2) sí x = a 5, entonces 5x simétrica
3) sí x + 2 – 8 entonces 3 = x+2 simétrica
4) sí x = 3 y 3...
“ DESIGUALDADES “
Los símbolos de la desigualdad son:
> mayor que
≥mayor ó igual que
< menor que
≤menor ó igual que
Una ex...
El conjunto solución de 1 desigualdad con una variable puede graficarse en la
recta numérica o escribirse en la notación d...
“RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES”
3
2
6
62
6122
1262
<
<
<
−<
<+
x
x
x
x
x (- , 3)
7
2
14
142
8653
8563
85)2(3
−≤
−
≤
≤−
+≤−
+...
Un pequeño aeroplano puede transportar un peso máximo de 1500 cuando el
tanque de gasolina esta lleno. El piloto debe tran...
1
2
6
66
3924
9234)1
<
<
<
−+<+
+−<+
x
x
x
xx
xx
(- , 1)
00
8844
8484
84)2(4)2
≤
+−≤−
−≤−
−≤−
xx
xx
xx
NO HAY SOLUCIÓN
2
3...
9
.....
75
730
73075
17090075
≤
=
≤
≤
−≤
x
cajasdenúmerox
x
x
x
Un avión bimotor debe despegar con una carga máxima de 180...
( )
8
3
24
243
8161012
8101612
2
2
5
4
434
2
2
5
4
43
≤
+≤
+≤
++≤−+
+≤+−
+≤+−
+≥+−
x
x
x
xxx
xxx
xxx
xxx
[8 , )
2
1
8
4
48...
1.1
6
7
76
25137
5136
27
6
)13(52)23(12
23
52
13
12
2
2
≤
−
−≤
−≥−
−−≥−+
−+≥
++
−+≥++
+
+
≥
−
+
x
x
x
xx
xx
xx
xxxx
x
x
x
...
“OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS”
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Sumas
Resta
De 1969 23
−+− xxx restar 32
6432111 xxx +−+
...
Suma y resta combinada
Restar 53 24
+− aa de la suma de 13;19;819145 24523
−+−−++−+ aaaaaaa
Multiplicación
-Ley de los sig...
Debemos dejar sola la x en ½
424
.....5.............575551
−≤<−
−≤−+<−
x
todoenrestamosesoparax
(-4 , 5]
( ) ( )
126.4
3
3...
( )
666.11.1
6
4
6
6
6
7
467
81288681
12861
643
2
12
643
2
1)2
<<−
<<−
<<−
−<−+<−
<+<
<+<
<+<
x
x
x
x
x
x
x
(1.11 , .66)
5...
RADICALES
Radical es toda raíz indicada de una cantidad. Si una raíz es exacta es una
cantidad racional, y si no es irraci...
/1
33
39
218
2318 =
/1
33
26
212
224
248
483
321
48)3(4
3
3
22
21/2(4)
/1
22
24
28
216
232
264
2128
1282/1
=
1
22
510
550
...
232)1(
1-x
2-x71)-(
1-x
2-x
1)-(x
22)2(1
1)(x
21)(x
1
2x
1)(x
b)(a
)(ba
b)(a
b)(a
ba
a
ba
128)8(328)2(82a
168)2(642)4(24m
...
180
9
1
63
6
1
80
4
1
−−
/1
55
210
220
240
280
/1
33
39
763
/1
55
210
330
390
2180
7
2
1
5
3
1
5
3
2
7
2
1
51
5
1
6
9
1
7
...
“MULTIPLICACIÓN DE RADICALES COMPUESTOS”
El producto de un radical compuesto por uno simple se encuentra como el producto ...
“RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR”
Convertir una expresión radical con un radicando fraccionario en una forma la cual no
ap...
2252
3
2656
25
2656
25
2656
25
25
25
6
25
6
22
+=
+
=
−
+
=
−
+
=







+
+






−
=
−
( ) ( )
510
510
551...
“RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES (BINOMIO)”
Se multiplica el número y denominador por el conjunto del denominador
xa
axxa...
“EXPRESAR CON EXPONENTE POSITIVO”
27
1
3
13 3
3
==−
Se pasan Se resuelve
abajo
( ) 64
1
2
1
22
255
5
5
5
5
243
1
7
1
7
7
7...
SIMPLIFICAR Y EXPRESAR S/EXPONENTES ; NI CEROS
2
27
2
27
221
27
221
43
1402
321
181921321323 u
wy
u
wy
u
wy
u
wwvy
wyu
wyu...
x
xxx
xxxb
12
589
2516293) 222
−+
−+
( )( )
( )( )
79135111
81635111175
)7(8835111)5(35
4988355535562535
785571157
96)6(16...
4 34
3
44) xxd =
3 2223 5743
5
3
7
2
333) bccbacbacbae ==
2
1
) aaf =
3
5
3
2
3
1
3 52
55) cbacabg =
mnmnh 53125
5
3
) 36
...
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
1)1(2
1
1)1(2
)1(
1)1(2
)1(
)1()1()1(
1
1
1
1
) 72
22
++=
−
−+−
=
+−
−−+−
+−
+−+−+−
=
+−
+−
=
++
+...
Examen bimestral enero – febrero
Productos notables
1. 22
)68( xyx + 2324
369664 xyxyx ++=
2. )65)(65( 22
+++− xxxx 366025...
15. 60172
−− xx
)3()20( +− xx
FRACCIONES ALGEBRÁICAS
Todo es simplificar usando los casos anteriores.
65
6
6
2
4
1
222
+−
+
+
−−
−
+
−
−
aa
a
aa
a
a
a
)...
)49(
4
)23)(23(
23
)23)(23(23
1
4923
1
22
22
yx
yx
yxyx
yxyx
yxyx
yx
yx
yx
yx
yx
−
+
=
+−
−++
+−
−
+
−
−
−
+
−
)(
2
)(
)(
...
Cambiamos los signos
22
2
22
22
222
22
9
3
9
)3(
)9(
33
)3)(3(
)3()3(
3)3(
39
ba
a
ba
abaab
ba
abababa
baba
baabaab
ba
a
b...
Factorizar
Si hay paréntesis iguales arriba y abajo
se eliminan resultadosResultado
)2)(1()32(
47
)2)(1()32(
96142
)2)(1()...
Eliminamos los de
arriba con los de
abajo
Factorizamos
)1(2
1
)(6
)(3
)(6
3
*
)1)(1(
)1()1(
)(6
3
*
)1)(1(
)()(
66
3
*
12
...
49
32
)7)(7(
)3)(1(
2
2
−
−+
=
+−
+−
a
aa
aa
aa
32
2
22
3
22
2
5
)3(
*
)3(
3
3
5
96
3
a
baab
ba
a
abba
a
baba
a +
+
=
+
÷
...
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
3
22-
223x-
13954128
51341298
−
=
−=
−−=+−−
−−=−+
xxxx
xxxx
2x
32
64-
x
6432x
485216325
2164832...
1x
11
11
x
1111x
3210615
3261015
)3()2(6)1015(
=
=
=
+−=++−
+−−−=−
+−++−=−
xxxx
xxxx
xxxx
3x
62x
51251212252
5)4)(32()52)(...
Problemas
La suma de años de A y B es de 84. B tiene 8 años menos que A.
76-
8
84−
16
762
38
38
46
=
=
B
A
La edad de A es...
Reparte 300 entre A, B y C. La de B sea el 2 de A y la de C el 3 de A.
50,100,150x
x
6x
xxx
=
=
=
=++
50
300
30032
La edad...
DESPEJE DE FÓRMULAS
a
e
t
22
= )2(2 −= NRs aev 2=
R H B
r
A
rA
=
=
π
π 2
n
bB
A
bB
A
=
+





 +
=
)(
2
2
bB
n
bnA
b...
Mínimo común multiplode 8 y
ECUACIONES FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO






−−
=
−
+
− )5)(2(
7
2
5
5
1
xxxx
)5)(2(...
GRÁFICA DE UNA FUNCION LINEAL
Una función lineal se representa:
yxf
baxxf
=
+=
)(
)(
3
62
0652
652)(
−−
=
=++
++=
x
y
yx
y...
EXAMEN BIMESTRAL
Marzo – Abril
.I
)5)(3)(4(
50123
)5)(4(
3
)3)(5(
4
)3)(4(
5
209
3
152
4
12
5
2
222
+−+
++
=
++
−
+
−+
+
+...
SISTEMAS DE ECUACIONES
Gráfica
Si una recta pasa por un punto, las coordenadas de este punto satisfacen la
ecuación de la ...
TIP.
Podemos notificar que son
una misma recta desde
antes si una es multiplo de
la otra
MÉTODO DE IGUALACIÓN
3
7
13)2(4
2-y
5
192
7
134
5
192
7
134
1425
1347
=
+−−
=
=
+
==
+−
+
=
+−
=
=−
=+
x
y
x
y
y
x
y
x
yx
...
3x
4y
36/9y
45y180
4239189
3942189
39)627(7
7
39
1
627
937
726y
=
=
=
=
+=−
+=−
+=−
+
=
−
=
=−
=+
yy
yy
yy
yy
x
yx
x
41/6y...
135/57x
812445180
241808145
9
65
36
95
9
66
36
927
y
036297
686)(
0)18(297
6)86()(
−=
−=−
+−=+−
+−
=
+−
+−
=
++−
=
=+−−
−=...
y
y
y
y
yxyxxy
yxxy
xyyx
=
=
=+
−=
−
=
−
+−
=
−=−−−
=+−−
−=−−−
12/5
918/45
45108810
10845y-810
15
54
2
314
1432
54)9()6(
1...
METODO DE SUSTITUCION
2/1
546-30/2y
193
2
245
8
2
245
1938
2452
=
−==
=−




 −−−−
=
=−
−=+
x
y
yy
x
yx
yx
3
340
x
3...
5
2
y
25y
5-7510
71055
710y
4
20y-20
710y
4
5y-5
4
4
55
x
7104
554
=
=
=−
=+−
=
=+





−
=
=+
=+
yy
yy
y
yx
yx
4
3
...
1x
8338
651520
-2715y-8x1
1334
956
=
=
=+
=
=+
−=−
x
yx
yx
yx
3y
15/5
515
956
=
=
=
−=−
y
y
y
Cuando hay
denominadores en
...
DETERMINANTES
115)20(351
724
55
46)81(35
727
35
23)12()35(
74
35
2774
535
=−=∆
−=−=∆
=−=∆
=+
=+
y
x
g
yx
yx
5
23
115
9
2
2...
RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE
3 ECUACIONES CON
3 INCOGNITAS
a) Determinantes
13
1426
132
=−+
−=−−
=++
zyx
zyx
zyx
126
132
11...
-108z81 =∆=∆x
Sacamos los valores dividiendo cada determinante entre la general.
4
27
108
3
27
81
2
27
54
−=
−
=
∆
∆
=
==
...
2
33
66
z
668620
)18464()42448(
143
824
312
143
824
3
33
99
y
9913839
)138(39
)120246()322720(
213
384
532
213
384
5
33
16...
b) Suma y resta
352.3
1243.2
8324.1
=+−
−=++
=++
zyx
zyx
zyx
4 2810 −=− zy
274 =− zy 5
5x
-2z
-3y
66-198/y
1986
=
=
=
=
=−...
1231433
11112327
12236
213510
3749
12236
=+
=+−
=++
=++
=+−
=++
zx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
4y
3/12y
306123y
126330
12)3(23(5)6...
ECUACION DE SEGUNDO GRADO
Es toda ecuacion en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita
es 2.
0157...
1.
1
28
28
7
10
28
40
28
346
28
11566
28
1120366
28
)280(4366
)14(2
)20)(14(4366
020614
01552430923
1524953023
)583(353023...
4.
01444
013594
01359664
0135)32)(32(
2
2
2
=−
=−−
=−−−+
=−+−
x
x
xxx
xx
6
6-
8
48
8
2304
8
)576(40
)4(2
)144)(4(40
±
=
±
...
INDICE
01) cálculo, funciones, diagrama de Venn, desigualdades, propiedades de las desigualdades,
intervalos
02) valor abs...
MATEMATICAS IV
BIBLIOGRAFÍA: Elementos de Cálculo Diferencial}
Juan Laredo Santín
Jorge Rojas González
Cálculo Diferencial...
CALCULO
CALCULO: Es una rama de las Matemáticas que se encarga del estudio, del
análisis y de la variación de las FUNCIONE...
-Números Reales (IR)
+ IR = Q U II
-Diagrama de Venn
DESIGUALDADES
Es una expresión que indica que una cantidad es mayor o...
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
1.- Si a los dos miembros de una Desigualdad se le suma ó resta la misma
cantidad, ya sea...
2. Intervalos Infinitos._
+ oo ó - oo
-oo +oo
(-oo:a) x < a
(-oo;a] x ≤ a
(a ; +oo) x > a
[a; +oo) x ≥ a
(-00; +oo) x ε IR...
4x –2 ≥ x + 3 (2x –1)
4x –2 ≥ x +6 x –3
4x –3x –3 +2
-3x ≥ -1
x ≥ 1/3
Comprobación Si x = -1
4 (-1) –2 ≥ -1 +3 (2(-1)-1)
-...
x > 3 ^ x < 2 (-.5) (.5) > 0 ) = (-) > 0 No
(-2) (1) > 0 = 2 > 0 Si
(-oo;2) ∩ (2; +oo)
2x2 –6x +3 <0 Posibles Sol. Sust.
x...
VALOR ABSOLUTO
SI a ε IR ó el valor absoluto de a que se denota por: │a│. Se define de la
siguiente manera.
│o│
a
0
-a
Si ...
Comprobación
Propiedades del valor absoluto
1.-
2.-
3.-
4.-
Ejem.
Resolver la siguiente desigualdades:
x b
14x –2| ≤ 6
Uti...
PRODUCTO CARTESIANO
Dados 2 conjuntos a ∧b en este orden el Producto Cartesiano de a b que se
denota A x B = es un nuevo c...
g) Un Conjunto G = {(x, y)| y > x}
h) Un Conjunto H = {(x, y)| y = x + 1}
Respuestas:
a) A X B ={(1,1), (1,2), (1, 3), (1,...
NOTAS DE FUNCIONES
Una función se denota por: “F, G, H” y su regla de correspondencia la vamos a
denotar “y = g (x)”, “y =...
f (h) = h3
+ 3h2
– 5 (h, h3
+ 3h2
–5)
3) f (x) = x3 –3x +2
en x=1, h, x+h
f(1) = (1)3 – 3(1) +2
1 – 3-+ 2 = 0
f(h) = h3 – ...
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES:
Polinomial
No polinomial
P (x)
a (x)
1er. Grado – Lineal
2do. Grado – Cuadrática
3er. Grado – ...
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
La gráfica de una función está formada por todo el conjunto de parejas
coordenadas (x,y); que cumpl...
2
3
4
5
6
3/2 –2 = E
3/3-2 = 3/2
3 /4-2 = 3/2
3/5 –2 = 1
3/6 –2 =3/4
E
(3, 3)
(4, 3/2)
(5, 3)
(6,3/4)
Dominio: Rango:
(x <...
3) FUNCIÓN CUADRÁTICA _
F ={(x,y)|y = x2
}
x Y = x2
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
Dominio: Rango:
x ε IR y ≥ 0
4) FUNCIÓN...
Dominio: Rango:
x ε IR ≠ 0 y ε IR y ≠ 0
6) FUNCION RECIPROCA _
x y = 1/x
-3
-2
-1
-.5
-.2
.1
.2
2
3
-1/3
-1/2
-1
-2
-5
10
...
F = {(x,y) | y = [x]}
Ejem.
[-2. 4} = -3
[-0.83] = -1
[3.14] = 3
[5] = 5
∩ y= [x] [x]
∩=-4
∩=-3
∩=-2
∩=-1
∩= 0
∩=-1
∩=-2
∩...
OPERACIONES CON FUNCIONES
Dadas las funciones F ^ G, con regla de correspondencia y = f (x) ∩ y = g (x)
respectivamente y ...
Las funciones: F = {(x,y) | y =x2
+ 2x –1}
G = {(x,y) | y = 2x –3}
DF = x ε IR DF ∩ DG = x ε IR
F + G = {(x,y) | y = (x2
+...
∩ y = g (x) y Dominios Df ∩ Dg respectivamente.
La composición de “F” con “G” que se denota “F ο G” ó y = f(g(x)) es una n...
F ο G ≠ G ο F
Ejemplo (2)
F={(x,y| y =x2-3x+4} F ο G , G ο F , G ο G
G={(x,y)|y=x-1
F ο G = {(x,y)| y = f (g(x))} G ο F ={...
Ejercicio:
F={x,y)| y=3x –1}
- La Regla de correspondencia de F es:
Y = 3x –1
- La Regla de correspondencia de F* es:
X= 3...
Estudios Límites.
x Y=x2
+5 (x,y)
0
1
2
3
4
5
5
6
9
14
21
30
(10,5)
(1,6)
(2,9)
(3,14)
(4,21)
(5,30)
Dominio:
X ≥ 0
Rango:...
LIMITES
NOTACIÓN.-
x a se lee “x tienda a a” y significa que los valores que se le asignen a la
variable independiente “x”...
Ejemplo:
Calcular numéricamente el “Lim x + 1” cuando X → 2 y comprobar el resultado
utilizando la definición.
x |f(x) – l...
10)(
4
3
63/92
→⇒
→
→
=−−
xf
x
cuando
x
xx
Lim
δ
ε
<−
<−
→
=−
ax
Lxf
x
x
Lim
)(
4
1023
a) Si para cada Є > 0, existe una δ...
3
4
43
123
)(
ε
ε
ε
ε
<−
<−
<−
<−
x
x
x
Lxf
δ
δ
>−
>−<
4
0
x
ax
cuando
ε<−− 10)23( x
Si para cada ε > 0 existe δ > 0 que c...
Ejem:
2410
8
1
4149
166
65
23
1
2
3
2
223
2
2
2
2
−+
−
=
−
+
=
++
=
−−
++
=
+−∧
−
xx
x
Lim
x
x
Lim
x
xxx
Lim
xx
xx
Lim
x
x...
Matemática i
Matemática i
Matemática i
Matemática i
Matemática i
Matemática i
Matemática i
Matemática i
Matemática i
Matemática i
Matemática i
Matemática i
Matemática i
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Matemática i
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Matemática i
Matemática i
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Matemática i
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  1. 1. INDICE 01) Plano Cartesiano y Funciones 02) Operaciones con Expresiones algebraicas, monomios y polinomios 03) Multiplicación y División de Monomios y Polinomios 04) Ecuaciones Cuadráticas de 1ª Grado, sistemas de ecuaciones suma y resta 05) Resolución de sistemas 3x3, productos naturales 06) Binomios conjugados, Factorizar, Raíz Cuadrada, completar el trinomio al cuadrado perfecto 07) Factorización de una diferencia de cuadrados, Factorización de un trinomio 08) Solución de ecuaciones completas de segundo grado, completar el trinomio al cuadrado perfecto con 3 términos 09) Formula General para la solución de ecuaciones de 2 grado 10) Geometría, triángulos_ Equilátero, Isósceles, Escaleno, Teorema de semejanza. 11) Teorema de Pitágoras y aplicación del teorema 12) Cuadriláteros_ paralelogramo, trapecios, trapezoides, propiedad de paralelogramos Teoremas 13) Circulo_ radio, diámetro, tangente, secante, cuerda, flecha, arco_ ángulo=central, inscrito, exterior 14) Repaso 15) Trigonometría, funciones trigonométricas Tangente y cotangente, obtener funciones trigonométricas 16) Funciones reciprocas, encontrar demás funciones, seno natural resolución de problemas usando función 17) Ley de senos, estadística y probabilidad 18) Resuelve por sustitución y ejercicios 19) Representación de números en notación exponencial, múltiplo, divisor y resta 20) Simetría Axial y bilateral, triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares e irregulares, aplicación 21) Números Reales 22) Lista de elementos del conjunto, propiedades de números reales, ejercicios
  2. 2. 23) Desigualdad, intervalos, notación de conjuntos e intervalos, ejercicios 24) Valor absoluto, propiedades de desigualdad 25) Resolución de desigualdades ejercicios 26) Operación con fracciones algebraicas_ suma, resta, con fracciones, suma y resta combinadas 27) Conversión a fracciones, decimal periódico a fracción común_ suma, resta, multiplicar, dividir 28) Multiplicación de polinomios con exponentes literales, multiplicación con fracciones, división de polinomios 29) Radicales, introducción al factor radical, resta y suma de radicales, multiplicación de radicales 30) Multiplicación de radicales compuestos, racionalización del denominador 31) Racionalización de denominadores (binomio), expresar con exponente positivo 32) Simplificar y expresar sin exponentes_ ni ceros_ 2do examen 33) Productos notables, producto de binomios conjugados, el cubo de productos notables, producto de binomios 34) Factorización factor común monomio, a) factor común polinomio b) factor común polinomio 35) Examen bimestral enero – febrero 36) Fracciones algebraicas, resta, multiplicación, división 37) Ecuaciones de primer grado, problemas 38) Despeje de fórmulas, ecuaciones fraccionarias de primer grado 39) Gráfica de una función lineal, examen bimestral 40) Sistema de Ecuaciones 41) Método de Igualación 42) método de sustitución, método de reducción ( + y - ) 43) Determinantes 44) Resolución de un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas 45) Ecuación de segundo grado
  3. 3. “PLANO CARTESIANO” Cualquier # se puede representar en 1 recta numérica. Para representar cualquier punto en 1 plano necesitamos una abcisa (eje de las x)y una ordenad (eje de las y)a este plano se le llama plano cartesiano Estás dos rectas numéricas se cruzan perpendicularmente y se subdividen en espacios equidistantes de tal forma que a cada extremo se le asignan 1 número (positivo hacia la . y y negativo hacia y hacia ) El punto donde se unen las 2 lineas se le llama origen y se le asigna el # 0 cero; de tal forma que forman 4 cuadrantes. Cualquiera. queda determinado inequivocamente x 2 distancias, pero si solo se tiene una sola distancia ésta en el mismo ambas medidas reciben el nombre de coordenadas. Nota: siempre se ponen primero las abcisas y despues las ordenadas para expresar 1coordenada ( 1,-2 ) FUNCIONES Y es función de X cuando por cada valor de X corresponde 1 valor Y como a X se le pueden dar valores advitrarios se le llama variable independiente, como y depende de X se le llama variable dependiente la forma general de las funciones de 1er grado es. y=ax+b
  4. 4. Cuando B es igual a 0 la función es y.=ax Teorema 1 La representación gráfica de 1 función de la forma y=ax es 1 linea recta que pasa por el origen. La representación gráfica de 1 función de la forma y=xb es 1 línea paralela a la línea yax que corta al eje de la y en el punto o,b Teorema 2 La graficación de las funciones de la forma x yfx x 1 , 2 == cbxy ax ++= 2 son siempre curvas 532 2............3 =+≤ =+≤ y xxy
  5. 5. “OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS” Monomio:es 1 expresión algebraica que no contiene signos de +o – ejem. ( ) 3 2 2 5220 53 .................... p xab ab− • coeficiente - números • literal –letras 2 monomios son similares cuando varios monomios lo unico que diferencia es el coeficiente. ejem. ba2 ....3 ba2 ...... 2 1 Polimonios. estan formados X monomios que se suman o restan . ejem. baba 22 2 13 + Se llama grado de 1 monomio en relación con 1 de sus letras al exponente de esa letra. un polinomio que tiene exponentes se ordena de mayor a menor o viseversa el grado de 1 litoral , siguiendo esta fórmula. Cuando son dos o más polinomios se ordena uno entre sí y luego se suman . ejem. [ ][ ] 21523 215223 521323 38425.6 384........26 2 1 438.. 2 126 yyxyx yyxyxx xyyxyx ++++ ++−++− −+−+
  6. 6. “MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS” El multiplicando y el multiplicador se llaman factores. Ley conmutativa .- el orden de los factores no altera el producto. abc = cba= bca= cab = bac Ley asosiativa .- los factores de la multiplicación pueden agruparse de cualquier modo. abc = ab C = bc a Ley de signo.- el signo producto de dos factores es más si los signos son iguales y menos si son distintos. Cuando multiplicamos más de dos factores el número de signos – es non el resultado será – si es par, es igual a más. Ley de exponentes. mnmn aaa + =• Ley de coeficientes.-el coeficiente del producto de dos factores es igual al producto de los coeficientes. aaa 933 =• Ley de Signos.- (+)(-)=- (-)(+)=- (+)(+)=+ (-)(-)=+ “MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS” -Se multiplican los coeficientes -Se acomodan las letras por orden alfabético poniendo a cada letra el exponente que le corresponde. “MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS” Se hace la multiplicación de cada monomio y el producto se suma. “PRODUCTO CONTINUADO DE POLINOMIOS”
  7. 7. “DIVISIÓN DE MONOMIOS” -Ley de signos. -Ley de exponentes. 35 3 5 3 5 1 + − − == = a a a a a a a a mn m n “DIVISIÓN POLINOMIOS”
  8. 8. ECUACIONES CUADRISTICAS 1er GRADO El cuadrado del primero más doble del segundo multiplicado por el segundo más el cuadrado del segundo. Así se reduce las elevadas al cuadrado a ecuaciones del 1er grado, y la ecuación cuadrática se resuelve como una de 1er grado. Sin embargo quedan por terminos cuadrativos, pero de ambos lados de igual distribución, que son eliminadas, por tener valor equittivo. SISTEMA DE ECUACIONES La edad de P es el triple de la de Juán y ambos suman 40.
  9. 9. SUMA Y RESTA
  10. 10. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE 3x3 PRODUCTOS NATURALES Para complicarse, puede sacar cada una de las áreas y sumarlas, o dos figuras más las otras dos, etc. TIPS: El primero al cuadrado, el Segundo al cuadrado , el primero por el segundo por dos. Al multiplicarse, los exponentes se suman. Al dividirse se restan.
  11. 11. “BINOMIOS CONJUGADOS” 22 ))(( bababa −=−+ El primero por el segundo y se multiplican los signos. Se llaman binomios conjugados porque a pesar de tener la misma literal, un signo es diferente. x+i Se suman : el cuadrado del termino común, el producto de esté termino x+n + nx +ni por la suma de los términos comunes y el producto de los x2+ix dos últimos . x2+ ( n+i )x +ni FACTORIZAR Es descomponer un número en sus factores primos Para factorizar un monomio: a) Se busca la raíz cuadrada del numero b) A los exponentes se dividen entre dos ( )24386 3............9 baba PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO a) Se busca el factor común ( M.C.D.) de los números b)Se toman las literales con los exponentes más chicos c) Se divide cada monomio entre a) y b). Ejem. )4(............4 223223 babababa ++ Para factorizar un trimonio al cuadrado perfecto 2 2 )3( 96 + ++ y yy Es como productos notables pero en retroceso. La raíz cuadrada del primer término más la de tercero al cuadrado RAÍZ CUADRADA 242 3......9 abba Raíz cuadrada de los números y los exponentes de los literales se dividen entre dos.
  12. 12. COMPLETAR EL TRINOMIO AL CUADRADO PERFECTO ( ) 243 2496 91596 2 6 915 2 6 6 156 2 2 2 22 2 2 =+ =++ +=++       +=      ++ =+ x xx xx xx xx El termino con número y literal al número se divide entre dos y luego al cuadrado. este resultado se suma en ambos lados del igual . Para encontrar el trinomio al cuadrado perfecto para quitarle el “cuadrado” se le saca raíz cuadrada y tan tan. se saca siempre y se comprueba.
  13. 13. FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS ( )( ) ))(( ............... 22 22 axax ax conjugadobinomioaxaxax −+ − −=−+ Con el resultado, buscamos el binomio conjugado. Tips. A los términos se le saca raíz cuadrada y los resultados se multiplican entre sí una vez con – y otra con +. Si no se puede sacar exacto se deja señalada FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA Tips. Ver productos de dos binomios de término común dos puntos atrás. Buscamos los números que multiplicados den el último termino y sumados den el segundo. Para factorizar siempre buscamos el número es más grande. Si el último término es una de ellas es negativo si el segundo término es positivo, el número mayor es el más y el menor el negativo y viceversa. Si el último término es positivo y el segundo negativo los dos números son negativos. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
  14. 14. RESOLVER CUANDO FALTA EL TÉRMINO LINEAL La raíz cuadrada del final, puede retener ambos signos, + o –, x que, x ejem. 366366 22 =+=− TIP. En el segundo valor de X, es el aditivo a la inversa. ( +5 - 5 )
  15. 15. SOLUCIÓN DE ECUACIONES COMPLETAS DE SEGUNDO GRADO Primer método factorización TIPS. Para los términos no comunes, se buscan los números que multiplicados den el término independiente (–4) y sumados den el termino lineal (3x). En los dos valores, se sacan por el aditiva a la inversa de los términos no comunes. Otra manera de obtener los términos no comunes es factorizando los términos independientes y el lineal.
  16. 16. Si el término independiente es negativa, el primero de los términos no comunes será negativo. Si el término lineal es positivo, el negativo será el término no común mas chico Si el término independiente es primo, generalmente no se usa factorización. COMPLETAR EL TRINOMIO AL CUADRADO PERFECTO CON LOS TRES TÉRMINOS
  17. 17. FORMULA GENERAL PARA LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ( ) a acbb x a acb abx a acb abx a acb abx a b a c a b x a b a c a b x a b x a cx a bx a c x a b x a cbxax cbxax 2 4 2 4 2/ 2 4 2 4 4 2 42 42 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 −±− = − ±−= − ±=+ − =+ +−=      + +−=      ++ −=+ =++ =++ =++ todo se divide entre a el término independiente pasa al otro lado se factoriza lado izquierdo comúndenominador de a y 2 4a como en fracciones, la suma o de diferentes denominadores el cuadrado de la izquierda pasa como raíz cuadrada al lado derecho Nota:se saca raíz al denominador el término lineal pasa al otro lado
  18. 18. GEOMETRÍA TRIANGULOS Es un polígono de tres lados y su suma de los ángulos interiores es de 180° Se clasifican por: a)Tamaño de sus lados Equilátero: todos los lados iguales Isósceles: dos lados iguales y uno desigual Escaleno:todos los lados desiguales a)Por sus ángulos : Equiángulo: todos los ángulos iguales (cada uno 60°) Acutángulos: tres ángulos agudos Rectángulo: un ángulo de 90° Octusángulo: dos ángulos agudos y un obtuso TEOREMA 1 La suma de los ángulos interiores es 180°c TEOREMA 2 El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos no interiores adyacentes de él.
  19. 19. Teorema 1 B + E + F = 180° TIPS: A = F C = E F = 180°- G G = - F D = 180°- E E = 180°- D Teorema 2 B + F = D G = B + E TIPS: A = 180°- ( B + C) B = 180°- ( A + C) C = 180°- ( B + A) Dos triángulos son congruentes entre sí, si sus tres lados son iguales (LLL). Dos triángulos son congruentes entre sí, si tienen un congruente, y los lados que lo forman son iguales (LAL ). Dos triángulos son iguales si tienen un lado adyacente a 2 iguales. (ALA ). “SEMEJANZA” Dos figuras semejantes si existe entre ellas una relación a escala, donde la escala es la razón de proporcionalidad entre ellas. TEOREMA DE SEMEJANZA Si se traza una paralela a la base de un triángulo, el triángulo que se forma es semejante al triángulo original.
  20. 20. TEOREMA DE PITÁGORAS Lados adyacentes al ángulo recto, son los catetos, (a y b ) El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa ( c ) La suma de los cuadrados de los catetos es igual a el cuadrado de la hipotenusa. 22 22 22 222 acb bca bac cba −= −= += =+ APLICACIÓN DEL TEOREMA PITÁGORAS a = x b =2x – 4 hipotenusa = 12
  21. 21. Encontrar los valores. ( ) ( ) 7.3 9.6 )5(2 )128)(5(416 16 128 16 5 0128165 014416164 14416164 14442 2 1 2 2 22 22 22 −= = −−− ±−= −= −= = =−− =−+−+ =+−+ =−+ x x x c b a xx xxx xxx xx Se elevan al cuadrado los valores. Se hace el cuadrado del segundo término. El 144 pasa al otro lado y se iguala a cero. Los valores semejantes se suman. El valor de a es el término cuadrático. El de b será el del lineal. y de c el independiente. Con los valores de se sustituyen la ecuación de segundo grado, en su fórmula general. Se resuelve.
  22. 22. CUADRILATEROS Son las figuras de cuatro lados. CLASIFICACIÓN DE CUADRILATEROS 3.- PARALELOGRAMOS.- Lados opuestos, iguales y paralelos 2.- TRAPECIO.- 2 lados paralelos. 3.- TRAPEZOIDES.- Ningún lado paralelo. PROPIEDAD DE PARALELOGRAMOS a) Los diagonales se interceptan en su punto medio b)Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes.
  23. 23. c) Los ángulos opuestos son congruentes. d) La suma de los ángulos internos es de 360° e) Los ángulos contiguos de un paralelogramo, son suplementarios f) Los diagonales de un rombo, son bisectrices de sus ángulos internos g)Las diagonales de un rombo forman 4 ángulos de 90° TEOREMA 1 La sumatoria de los ángulos interiores son igual 360° TEOREMA 2 En todo paralelogramo los lados opuestos y los ángulos internos son iguales. TEOREMA 3
  24. 24. En todo paralelogramo las diagonales se cortan en el punto medio.
  25. 25. CÍRCULO Es el área plana e interior de una circunferencia y tiene área exclusiva. Es una curva cerrada plana cuyos puntos mantienen una distancia constante llamada radio, un punto fijo llamado centro circunferencia y sólo tiene longitud . RADIO.- Segmento que parte del centro de cualquier circunferencia a un punto de la misma. DIÁMETRO.- Es la línea que cruza la circunferencia sin cortarla y pasando por el centro. TANGENTE.- Es un segmento que toca a la circunferencia en un punto llamado de tangencia por fuera de ella. SECANTE.- Es un segmento que corta a la circunferencia en dos punto sin pasar por el centro. CUERDA.- Es el segmento que toca a la circunferencia en dos puntos sin cortarla y sin pasar por el centro. FLECHA.- Segmento que queda limitada entre la cuerda y la circunferencia. ARCO.- Línea curva limitada por dos puntos de la circunferencia. ÁNGULO CENTRAL.- Es aquel formado entre 2 radios y medido desde el centro de la circunferencia.
  26. 26. ÁNGULO INSCRITO.- Es el que está formado por dos cuerdas que no pasan por el centro de la circunferencia, y su vértice se encuentra en un punto de la misma . ÁNGULO EXTERIOR.- Formado por dos rectas secantes que se cortan fuera de de la circunferencia.
  27. 27. ÁNGULO EXCÉNTRICO.- ángulo interno formado por el cruce de dos cuerdas que no se cruzan en el centro de la circunferencia.
  28. 28. REPASO REV. MARZO 27 Resuelve Factorización ( ) 2 1 0 0)2( 02 2 02 02 3 1.........0 03 0 3 3 03 3 2 2 2 2 2 2 = = =− =− =− =− −== =+ =+ =+ −= x x xxx xx xx xx aa aaa aa aa aa 3 0 0)3( 03 3 2 2 = = =+−+ =− = m m mm mm mm )2)(1( 0914 914 )2)(2( 044 )2)(6( 0128 2 2 2 2 −− =−+ =+ ++ =++ ++ =++ cc cc cc xx xx aa aa ( ) 2 5 2 3 2 7 2 3 4 49 2 3 4 910 2 3 4 910 4 93 2 3 10 2 3 3 103 0103 2 1 2 2 22 2 2 2 −= = +±=− == =− =+−       +=      +− =− =−− y y y y y yy yy yy yy 5 3 41)4( 14 434 2 4 3 2 4 34 034 2 2 22 2 2 2 = −= −±=− ±= +−=−       +−=      − −=− =+− x x x xx x x xx xx
  29. 29. 435 435 354 35)4( 35168 2 8 19 2 8 8 198 0198 2 1 2 2 22 2 2 2 −±= −±= ±=+ =+ =++       +=      + +=+ =−+ x x x x xx xx xx xx 1 6 4 1014 4 10014 )2(2 )24(4196 14 )12)(2(419614 2 4 ................. 012142 2 1 2 2 = = ± = ± = − ±= −±= −±− = =+− x x x x x x a acbb x cba xx 121 321 12 1)2( 4344 2 1 2 2 =+−= =+= ±=− =− +−=+− x x x x xx 19.1 2 38.2 19.4 2 38.8 2 38.53 2 29 3 2 209 3 2 )5(49 3 )1(2 )5)(1(49 3 ............ 053 ............ 53 1 1 2 2 = + = −= − = +− = ±= + ±= −− ±= −− ±−= =+− −= x x x x x x x acb mm acb mm
  30. 30. 2 8 2 106 2 6436 6 2 )16(436 6 (/)2 )16)(1(436 6 ............. 0166 166 2 1 2 2 −= = ± = + ±= −− ±= −− ±= =−− =− x x x x x x cba xx xx 8.12 164 10064 22 = = += += c c c bac
  31. 31. TRIGONOMETRÍA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS TIPS. Seno, siempre es igual a Coseno, siempre es igual a El seno del A es igual al coseno de B El Coseno del A es igual al seno del B TANGENTE Y COTANGENTE OBTENER FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
  32. 32. sen A 4. 10 4 == cos A 8. 10 8 == tan A 5. 8 4 == cot A 2. 4 8 == sec A 25.1 8 10 == csc A 5.2 4 10 == FUNCIONES RECIPROCAS Son las que al multiplicarse da uno 2/1 y ½ son reciprocas por que : 2/1 x ½ = 2/2 = 1 a b A b c A a c A b a A c b A c a Asen = = = = = = cot sec csc tan cos 1(tan)(cot) 1(cos)(sec) 1)(csc)( ===•= ===•= ===•= ab ab ba ab a b b a bc bc cb bc b c c b ac ac ca ac a c c a sen
  33. 33. c a senA senAA c a B c b A AAsen c b senB ABBA = =−= = =−= −==+ )90cos(...........cos cos cos)90(........... 90.........90 AA AA AA a b A AA a b B sec)90csc( csc)90sec( tan)90cot( cot cot)90tan(..........tan =− =− =− = =−=
  34. 34. FUNCIONES RECIPROCAS Sen A = 2/3 sen A = .52 csc A = 3/2 ? cos B = .52 cot A = 5/8 tan A = 3/7 tan A = 8/5 ? cot B = 3/7 ENCONTRAR DEMAS FUNCIONES “ SENO NATURAL “ COPIA DE TABLA Para buscar el valor del seno natural, por el eje de 40°, como en el plano cartesiano buscamos el punto donde se unan la línea de 40°con 0 minutos. El resultado será: Buscar sen de :
  35. 35. SEN 27° 32° .4622 Tip : Las cós se restan y las demás se suman. “ RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS USANDO FUNCIONES” Resolución de triángulo. NOTA: No se usa ni la secante, ni la cosecante. Datos conocidos 85 m de altura 40°30’ Problema. Es saberlo plantear usando el método de arriba. Desde una embarcación se ve un faro con ángulo de elevación de 10°15’. Se sabe que el faro tiene 45 metros de altura sobre el nivel del mar. Calcular la distancia que hay entre la embarcación, y el faro.
  36. 36. “ LEY DE LOS SENOS “ En todo triángulo los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. TIPS. A los triángulos acutángulos, se dividen a la 1/2 para resolverlos como triángulos rectángulos. Alos triángulos obtusángulos se les toma en cuanta la altura. Para sacar la altura usamos 2 de las fórmulas de la ley de los senos que tengan los datos que conocemos.
  37. 37. “ ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD “ 1.- Rango: Lo obtenemos restando la cifra más baja a la mayor. 2.-Para saber cuántas estaturas hay entre 2 cifras determino la amplitud como yo quiera, en éste caso la amplitud es 3. 1.73 3.-Después obtenemos el punto medio que hay en la amplitud 4.- 5 moda =el dato que mas se repite 1.62 6 mediana =el dato de en medio de todos los datos 1.65 5 media =promedio aritmético 1.64
  38. 38. Media Se multiplica el punto medio por la frecuencia se suman los resultados, se divide la suma entre el número de datos Para la amplitud que es de 3 se hace contando
  39. 39. RESUELVE POR SUTITUCIÓN 3 17 22 36 1325) 63 = −= −= =− =+ x y yx yxa yx 17 22 2217 5301317 13215 13215305 132)36(5 −= −=− −−=− =−− =−−− =−− y y y yy yyx yyx 4 5 71 2443) 175 = − −− = −=+− −=+ x y x yxb yx ( ) 31201 )5(24 5 20 213 244 5 213 244 5 71 3 −−= −=++ −=+ + −=+ − −− − y y y y y y y 3 48 7798) 834 x x yxc xy − = −=+ =+ 5 3 295 3 56 3 231 6477 3 50 77 3 183264 779 3 3264 779 3 48 8 = −=− = −−=− −= −− −=− − −=−      − y y yy y x y y
  40. 40. 27 1533 27 61 58 2587) 85 = − = += =+− =− x y yx yxd yx 27 61 562527 25835 2583556 258)58(7 2557 − = +=− =+− =++− =++− =+− y y yy yy yy yx 5 0414235593 04)7(2)1()7(5)3(3 222 2 = =+−−−−++− =++−+−++− x xxxxxx xxxxxx 13 8 813 2012301698 25830121216912 )52)(46()34)(43( 22 = =+ +−=+−−+ +−−=+− −−=−− x x xxxx xxxxxx xxxx 1 12 12 1212 51283825 5123825252 5)4)(32()52)(1( 22 = −= −= +−−=++++ +−+−=+++ +−+=++ x x xxxx xxxxxx xxxx
  41. 41. 0 1 0 01 391015146535 639105143 )213(3)2(514)3(155 2 2 = − = =− ++−−=+−+− −+−+−−= −+−+−−=+− x x xxxx xxxx xxxxxx Novecientos ochenta billones. 980 000 000 000 000 000 Ejercicio. Valor absoluto y relativo 3480 3 3 000 6932 9 900 72 7 70 8 000 000 8 8 000 000 5 5 5
  42. 42. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS EN NOTACIÓN EXPONENCIAL Ejemplo: 586680500)10(6)10(8)10(5586 586680500)1(6)10(8)100(5586 012 =++=++= =++=++= Se pone el exponente correspondiente de acuerdo al número de números que esten al lado derecho del número. Cualquier número elevado a la cero potencia es uno. Cualquier número elevado a la un0 potencia es el mismo número. Ejercicio. Resuelve en la forma desarrollada y exponencial )10(3)10(3)10(4)10(5)10(3)10(2)10(24332000235000 433...235000..2000)1(3)10(3)100(4 )1000000(5)100000000(3)100000000(2)0001000000000(2433...000.2000235 4251)10(1)10(5)10(2)10(44251 4251)1(1)10(5)100(2)1000(44251 100032)10(2)10(3)10(11000032 1000032)1(2)10(3)1000000(21000032 895)10(5)10(9)10(8895 895)1(5)10(9)100(8895 353)310()10(5)10(3353 253)1(3)10(5)100(3353 253...4000)10(3)10(5)10(2)10(4253....4000 253..4000)1(3)10(5)100(2)1000000(4253....4000 01267812 0123 016 012 012 0126 ++++++= =+++ +++= =+++= =+++= =++= =++= =++= =++= =++= =++= =+++= =+++= MÚLTIPLO Es el resultado de multiplicar un número, por otro número natural. Ejem. 20 X 2 = 40 Múltiplos 4 X 2 = 8 El primer múltiplo de cualquier número siempre es cero
  43. 43. Ejem. 20 X 0 =0 Múltiplos 4 X 0 =0 El número de multiplos de un número es infinito “DIVISOR” Es el número que divide exactamente al número en cuestión Ejem. números en cuestión 10220 224 =÷ =÷ cocientes exactos divisor Los números primos nunca tienen un divisor. “ RESTA “ Es la operación que tiene por objeto encontrar la diferencia entre dos cantidades. signo de menos - 10 minuendo 5 sustraendo 5 resta o diferencia Comprobación: Se suma el sustraendo y la resta o diferencia y el resultado debe de ser igual al minuendo.
  44. 44. SIMETRÍA AXIAL Y BILATERAL INTRODUCCIÓN: En éste tema estudiaremos las características que poseen las figuras como las reflejadas en un espejo con respecto a las originales. SIMETRÍA AXIAL Y BILATERAL Las figuras reflejadas en un espejo son simétricas con respecto a la línea donde se apoya el espejo en el papel ; a está línea también se le llama eje de simetría Propiedades de la simetría con figuras respecto al eje de simetría: a)Simetría de puntos. El simétrico del punto P con respecto al eje de simetría es llamado P´ (se lee como P prisma ) y si éstos dos puntos son simétricos respecto a esta línea: 1.- P y P’ están a la misma distancia del eje de simetría . 2.- El segmento PP’ es perpendicular a dicha recta. b)Simetría de figuras.
  45. 45. Si dos figuras son simétricas cualquier punto cualquiera punto de una de las figuras es simétrico a su punto primo ( de la otra figura ) respecto al eje de simetría. c)Simetría de Figuras entre sí. También una sola figura puede ser simétrica y tener uno ó más ejes de simetría . ¿ Cuantos ejes de simetría puede tener una figura ? Triángulos: CUADRILÁTEROS:
  46. 46. POLÍGONOS REGULARES; Tienen el mismo número de ejes que de los lados que tiene. POLÍGONOS IRREGULARES Pueden o no tener ejes de simétria. APLICACIÓN DE LA SIMETRÍA AXIAL Sirve para: A. Trazo de puntos simétricos. 1.- Se baja una perpendicular desde el punto P hasta el eje de Simetría. 2.- Se prolonga la perpendicular hasta tener en el lado opuesto la misma distancia que hay entre P y el eje de simetría.
  47. 47. A éste punto le llamaremos P’ . B). Trazo de segmentos simétricos. 1.-Localizamos los puntos primos de A y B como en el procedimiento anterio. 2.- Unimos A’ y B’ para obtener el segmento A’B’ como simétrico de AB. C) Trazo de polígonos 1.-Se localizan los puntos primos como en el primer procedimiento. 2.-Se unen los puntos A’ y B’, B’ y C’ C’ y D’ y D’ con A’. COMENTARIO PERSONAL En realidad el tema de Simetría Axial y Bilateral, no está tan deficil como había oído. Lo único que si no puede comprender fue la diferencia entre la Simetría Axial y la Bilateral, así como su diferencia de la Simetría común que nos habían enseñado en la primaria.¿Es lo mismo o no?. Agradecería que explicara mi duda en clase. BIBLIOGRAFÍA Trate de buscarlo en mí enciclpedia pero n o venía nada. Así que únicamente lo pude sacar del libro que manejamos en la clase pero me parecío que trae una información muy completa, no tanto como lo traería uan enciclopedia, pero esta entendible el concepto. TITULO: Matemáticas 1 EDITORIAL: Limusa LUGAR: México FECHA:1993 EDICIÓN: primera AUTORES: Guadalupe Alamaguer,Leticia Rodríguez, Juan Manuel Balzadua. ILUSTRACIONES: Dolores Cortés, Edmundo Santamaría, Francisco Cantú
  48. 48. “NÚMEROS REALES” El conjunto de número más fundamental con el que empezaremos, es el conjunto de los naturales N = 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6, 7, 8, 9,................. Esté es un ejemplo de conjunto infinito, porque no existe el último número del conjunto. Los miembros de un conjunto finito se puede incluir en una lista y contar, por ejemplo el conjunto de los números naturales menores que 5. A = 1, 2, 3, 4. Otro conjunto es del de los números naturales aumentados, que es el conjunto de los números naturales incluyendo el cero. W = O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,.......... Sí tomamos la recta numérica que abarca los enteros positivos, negativos, y el que formamos el conjunto de los números enteros E = -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, -0, 1, 2, 3, 4, ............. El conjunto vacío carece de elementos y se simboliza así: Ó Aunque no hay número natural entre 5 y 6 existe infinidad de números en medio de ellos como 5.2 43/8, etc. Esté tipo de números que se puede escribir como el cociente de dos enteros ( a / b con b diferente a 0), es el conjunto de números racionales o fracciones . Todo entero es un número racional porque se puede escribir como el cociente de dos enteros ( 5/1, -10/1 ) Pero no todos los racionales son enteros .
  49. 49. NOTA Cuando se dice el conjunto de números naturales <3 . el número, en este caso el 3 no se incluye. E = 1, 2, Cuando es un conjunto de número natural mayores a 8, el número, en este caso el 8, no se incluye y el conjunto es infinito. E = 9, 10,.. En los conjuntos de número natural negativos los > -5 serían los menores E = - 4, -3, -2, -1, y viceversa. Cuando un conjunto es de número natural entre 8 y 12, estos dos números no se incluyen. E = 9, 10, 11, EJEMPLO 1. conjunto, de número natural <3 E = 1 ,2 2. conjunto, de número natural <8 D = 1,......7 3. conjunto, de número natural >10 X = 2......9 4. conjunto, de número natural entre 1 y 10 U = 11, 12 , 13 ........ 5. conjunto, de número natural entre -3 y 4 Y = -2, -1 , 0 , 1 , 2 , 3 6. conjunto, de número natural -> -5 A = - 4, -3 , -2 , - 1 7. conjunto, de número natural <2 R = 1 ,2 4. conjunto, de número natural entre 5 y 6 D =
  50. 50. Los números racionales pueden ser decimales exactos o decimales periódicos Algunos decimales no son exactos ni periódicos, porque no pueden expresarse como el cociente de A/ B, éste es el conjunto de los números irracionales, como el número π , raíz de 2, raíz de 5, etc. Cuando se combina el conjunto de los números racionales con los irracionales se obtiene, el conjunto de los números reales. Nat. 1 N . E – FRAC U RAÍCES NR = TODO Nat. AV 0,1 N . R – FRAC NR = RAÍCES Con el siguiente conjunto de elementos: π,23,62.4,18, 6 19 ,5,3,8.1, 5 3 ,0,4 −−−
  51. 51. LISTA LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO QUE SON: a) Número Natural 18, b) Números Naturales Aumentados 18,0 c) Números Enteros 18,0,- 4, - 23 d) Números Racionales 23,4,18,462,18 ,6 19 ,5 3 −− e) Números Irracionales ,5.3, −π f)Números Reales 6 19,5,3,8.1 ,5 3,0,4− π,23,62.4,18 − 4 ,10 9,23.1,3,7 ,3 15 ,2 1,4,6 −−− a) Número Natural 4 b) Número Natural Aumentado 4 c) Número Entero 4, - 6, - 4 d) Número Racional - 1.23, 10 9 ,2 1 ,3 15 e) Números Irracionales ,3,7 f) Números Reales 4 ,10 9,23.1,3,7 ,3 15 ,2 1,4,6 −−−
  52. 52. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Para números reales a, b, c Adición Multiplicación Propiedad Conmutativa a + b = b + a ab = ba Propiedad Asociativa ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( ab ) c = a ( bc ) Propiedad de Elemento Neutro a + 0 = a 0 cero Elemento neutro a – 1 = a 1 Elemento neutro Propiedad de los Inversos a + 0 ( -a ) = 0 11 ==− a a a a es para que el resultado sea el elemento neutro Propiedad distributiva a ( b + c ) = ab + ca Propiedad Multiplicativa del cero ( a ) a X 0 = 0 Propiedad de la doble negación - ( -a ) = a Ejercicio: Nombrar propiedades por cada expresión: . ciónMultiplicaInversos AdiciónInversos vaDistributiyxyx AdiciónInversos AdiciónNeutroExx ciónMultiplicaNeutroE vaDistributixx AdicióndeaConmutativxx AdicióndeAsociativaopiedadxx xx .........1 2 3 3 2)10 .........0)3(3)9 ......77)(7)8 .......0)4(4)7 .........0)6 .......414)5 ..... 6 )2(3 3)2(3)4 ...............33)3 ......Pr).........32(3)2)(2 66)1 =× =+− +=+ =−+ =+ =• +=+ +=+ ++=++ •=• Completa enunciados usando la propiedad indicada.
  53. 53. ( ) ( ) zyxzyx yxyx yy xyyx xx xxyyyx xx yxyx xx xx xx xx 3333)18 7 3 7 3)17 88)(8)16 )359(9)35)(15 2,2)14 2 1,12)13 12,12)12 4)4()11 1 3 13)10 5 2, 2 5)9 1 5 15)8 )35(2)32(5)7 )()6 1233)4(3)5 156)52(3)4 0)3 )32(3)2)(2 33)1 −+=−+ −+ +=+ +++=+++ ++ +− =−− =−•− =• ++=++ =−− ++=++ +=+ =+ +=++ +=+
  54. 54. “DESIGUALDAD” Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de los números reales que la hacen verdadera en contraste con una ecuación, cuyo conjunto solución consta de un solo número el conjunto solución de una desigualdad consta de un intervalo completo de números o en algunos casos la unión de algunos casos la unión de varios intervalos. 3 23 233 1763 6173 = = += =− x x x x 6.7 3 23 233 6173 617......3 < < < +< < x x x x x Intervalos La doble desigualdad describe un intervalo abierto ( a< x < b ) que consiste en todos los números comprendidos entre a y b sin incluir los extremos a y b la designaremos mediante el símbolo: La desigualdad a x b describe a un intervalo cerrado que si incluye los extremos a y b y se denota así: Nota: Observar forma de paréntesis ( [ siextremocerrado noextremoabierto .... .... ==≤=•= ==<== TIPS
  55. 55. Los paréntesis redondos ( ), no entran extremos Con los paréntesis cuadrados [ ], sí entran los extremos La flecha indica infinito Notación de conjuntos Notación de intervalos Gráfica x: a < x < b (a, b) x: a x b [a , b] x: a x < b [a , b) x : a < x b (a , b] x : x b (- , b ] x : x < b (- , b ) x : x a [a , ) x : x > a (a , ) R (- , ) Ejercicio: Dibujar cada uno de los siguientes intervalos en la recta numérica. Notación de conjuntos a) (-4 , 1) b) [0 , 6) c) [7 , ) d) [-7 , 2] e) [-3 , 5) f) (- , -2]
  56. 56. Escribe en notación de conjuntos e intervalos Notación conjunto Notación intervalos (2, 7) [-3 , 4) (- , -2) (-4 , ) [-1 , 3 ] Encontrar valor absoluto de Escribir > ó < = entre los dos valores para que sea positivo |-4|=4 |5/3|=5/3 |-8|=8 |0|=0 a) |-3| = |3| b) |-3| < |-4| c) |6| < |8| d) -|4| < |-3| e) -|-6| < |-5| f) |6| = |-6| g) |9| > |3| h) |-16| > |-5| i) |-9| < |3| j) –4 = -|4|
  57. 57. “ VALOR ABSOLUTO “ El valor absoluto de un número es la distancia que hay entre el cero y ese número sobre la recta numérica. El símbolo se utiliza para indicar el valor absoluto El valor absoluto de cualquier número diferente a 0, siempre es positivo. El valor absoluto de cero, es cero. Si a representa cualquier número real entonces: a si a≥ 0 ( positivos ) -a si a < 0 (negativos ) Ejercicio. Ordenar de mayor a menor a) 6, 2, - 1, I 3 I, I 5 I b) 4, -2, 8, l – 6 l, - l 3 l c) l 9 l, l 4 l, l –12 l, l 3 l, l –5 l d) – l 5 l, - l 6 l,- l 7 l, l –8 l, l –9 l 6, 5, 3, 2, - 1, 8, 6, 4, -2, 12, 9, 5, 4, 3 9, 8, -5, -6, -7 NOTA. En el ejercicio siguiente se deben resolver por orden así: 1.- [ ] 2.- ( ) 3.- valor absoluto 1.- Potencias y Raíces 2.- Multiplicaciones y divisiones 3.- Suma y Resta
  58. 58. TIP. Resolver de adentro hacia fuera Ejercicio [ ] [ ] [ ] 1461442 122 )3(42 )25(4)24).(1 2 2 2 =+ + + −+÷ 39126 9)6(2)2(3 9242643 3242643).3 2 =+− +− +−−−− +−−−− ( ) 23 1 23 12 203 222 )4(53 2532 37526 ).2 == − + = ÷− + ÷−+ −+÷ 0 7 0 92 44 9)1(2 3124 9)54(2 3124 ).4 == +− − = +− ÷− +− ÷−− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 105 9 3 7 15 3 6 14 15 3 6 14 15 13 3 2 2 6 15 1 15 109 3 2 5 33 3 12 2 16 3 2 5 33 3 12 2 16 3 2 5 33 ).5 − = − − − − −       −= − =− = − − −− −− ¿ Que propiedad se aplicó ?
  59. 59. 1) dos entre dos reflexiva 2) sí x = a 5, entonces 5x simétrica 3) sí x + 2 – 8 entonces 3 = x+2 simétrica 4) sí x = 3 y 3=y entonces x=y transitiva 5) sí x= 4 entonces x+3 = 4+3 reflexiva transitiva 6) sí 2x = 4 entonces 3 ( 2x ) = 3 ( 4 ) reflexiva PROPIEDADES DE LA DESIGUALDAD Para todos los números reales a, b, c a = a Propiedad Reflexiva sí a = b, entonces b = a Propiedad Simétrica sí a = b y b = c entonces a = c Propiedad Transitiva . Ejemplos. Propiedad Reflexiva. 3=3 x + 5 = x + 5 3232 22 −+=−+ xxxx Propiedad Simétrica sí x = 3 entonces 3 = x sí y x + 4 entonces x + 4y sí y = 2 x + 2x –3 entonces 2 x + 2x – 3 = y Propiedad Transitiva sí x = a y a = 4y entonces x = 4y sí a +b = c y c = 4r entonces a + b - 4r sí 4k +3r = 2m y 2m = 5w + 3 entonces 4k + 3r = 5w + 3
  60. 60. “ DESIGUALDADES “ Los símbolos de la desigualdad son: > mayor que ≥mayor ó igual que < menor que ≤menor ó igual que Una expresión matemática que contiene uno o mas de los símbolos anteriores se llama desigualdad. La dirección del símbolo de desigualdad es en ocasiones llamado sentido de la desigualdad. Algunos ejemplos de desigualdad con una variable son: 2x + 3 5≤ 4x < 3x –5 -3 5+−≤ x 032 ≥+x Para resolver una desigualdad se debe despejar la variable en un lado del símbolo de desigualdad. Para despejarla se usan las mismas técnicas empleadas en la solución de ecuaciones. PROPIEDADES 1) sí a > b, entonces a + c > b + c 2) sí a > b, entonces a-c > b - c 3) sí a > b y c > o, entonces ac > bc 4) sí a > b y c > o, entonces a/c > b/c 5) sí a > b y c < o, entonces ac < bc 6) sí a > b y c < o, entonces a/c < b/c Las dos primeras propiedades, establecen que el mismo número puede sumarse o restarse en ambos lados de la desigualdad. la tres y cuatro indican que ambos lados de la desigualdad pueden multiplicarse o dividirse por cualquier número real positivo. En la quinta y sexta indican que cuando ambos lados de la desigualdad se multiplican o dividen por un número negativo cambia el sentido de la desigualdad. Ejemplo. 7 > 2 12>8 7 ( - 1 ) 2 ( -1 ) 12 < 4 8 < 4 -7 < - 2 - 3 < - 2
  61. 61. El conjunto solución de 1 desigualdad con una variable puede graficarse en la recta numérica o escribirse en la notación de intervalos SOLUCION DE LA DESIGUALDAD SOLUCION INDICADA EN LA RECTA NUMERICA SOLUCION REPRESENTADA EN NOTACIÓN DE INTERVALOS x > a (a , ) x a [a , ) x < a (- , a) x a (- , a] a < x < b (a , b) a x b [a , b[ a < x b (a , b] a x < b [a , b) El circulo sombreado indica que el final es parte de la solución El circulo sin sombrear indica que el final no es parte de la solución En la notación de intervalos, los corchetes se utilizan para indicar que los intervalos finales son parte de la solución y los paréntesis, para indicar que los intervalos finales no son parte de la solución. El símbolo infinito indica que el conjunto solución continua indefinidamente y siempre se usa el paréntesis Ejercicio: SOLUCIÓN DESIGUALDAD RECTA NÚMERICA SOLUCIÓN EN NOT. INTERVALOS x 5 [5 , ) x < 3 ( , 3) 2 < x 6 (2 , 6] -6 x -1 [-6 , -1] -4 x <2 [-4 , 2)
  62. 62. “RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES” 3 2 6 62 6122 1262 < < < −< <+ x x x x x (- , 3) 7 2 14 142 8653 8563 85)2(3 −≤ − ≤ ≤− +≤− +≤− +≤− x x x xx xx xx Al multiplicar o dividir no cambia el signo La desigualdad cambia cuando el número es negativo (- , -7] multiplicamos por el mínimo común múltiplo de los denominadores (- , 3.7] EJERCICIO: ( ) ( ) 7.3 7 26 ......... 14 52 5214 163668 366816 3623244 3 4 2 3 24 12 3 4 2 3 24 =≤ − −≤ −≥− −−≥−− −≥− −≥−       −≥ − −≥ − y ddesigualdalacambiaojoy y yy yy yy yy yy
  63. 63. Un pequeño aeroplano puede transportar un peso máximo de 1500 cuando el tanque de gasolina esta lleno. El piloto debe transportar cajas de 80 a)Escribir una desigualdad que pueda utilizarse para determinar el número máximo de cajas que pueda transportar el piloto si él, pesa 125 b)calcular el número de cajas que se puede transportar en el viaje 1500 - 125 1375 cajas cajas x x x x ..17 ....1875.17 1875.17 80 1375 137580 125150080 ≤ ≤ ≤ −≤ 18.7500 - 1.5625 17.1875 La tarifa de un taxi es de 1.75 por la primera media milla, y 1.10 por cada media milla adicional. a)Escribir una desigualdad que pueda utilizarse para determinar la distancia máxima que una persona puede viajar con 12.35 pesos b) Resolver 10.1 00.10 60.1010.1 75.135.1210.1 ≤ ≤ −≤ x x x 12.35 - 1.75 10.00 9+1=10 medias millas 5. millas Tarea:
  64. 64. 1 2 6 66 3924 9234)1 < < < −+<+ +−<+ x x x xx xx (- , 1) 00 8844 8484 84)2(4)2 ≤ +−≤− −≤− −≤− xx xx xx NO HAY SOLUCIÓN 2 34 68 6834 1850259 2550189 )510(5)63(3 3 510 5 63 15 3 510 5 63 )3 ≥ ≥ ≥ +≥+ −≥− −≥−       − ≥ − − ≥ − x x x xx xx xx xx xx [2 , ) Un conserje debe llevar una remesa grande de libros del primer al quinto piso. En el ascensor hay un letrero que indica “peso máximo 900 ”.Si cada caja de libros pesa 75 . Calcular el número de cajas que se pueden meter en el elevador. 12 75 900 90075 ≤ ≤ ≤ x x x Si el conserje del ejercicio anterior pesa 170 . Debe subir con las cajas, determina el número de cajas.
  65. 65. 9 ..... 75 730 73075 17090075 ≤ = ≤ ≤ −≤ x cajasdenúmerox x x x Un avión bimotor debe despegar con una carga máxima de 1800 . Si el peso total de los pasajeros es de 725 . Señalar peso máximo de equipaje y carga. x x ≥− +≥ 7251800 7251800 1.075 Un estacionamiento cobra 75 por la primera hora de servicio y 50 por cada hora adicional. ¿Cuánto tiempo puede estar un auto si el dueño no quiere más de pagar 3.75? 7 horas 4 2 8 82 41235 43125 > > > −+>− −>− x x x xx xx ientoestacionamhorasx x x x x .. 7 6 50. 350 75.350 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ (4 , ) 3 4 12 124 14273 27143 −≥ − ≥ ≤− +−≤− −≤− x x x xx xx [-3 , ) ( ) 7 5 35 355 35306 3056 10 33 523 > > > ++>− +>− +>− x x x xx xx xx (6 , )
  66. 66. ( ) 8 3 24 243 8161012 8101612 2 2 5 4 434 2 2 5 4 43 ≤ +≤ +≤ ++≤−+ +≤+− +≤+− +≥+− x x x xxx xxx xxx xxx [8 , ) 2 1 8 4 48 48 22026452 20452226 )5)(4(26)1)(2( 22 > − −> −<− −<− ++−<−−+− +++<−+−+ ++<+−+ x x x x xxxx xxxxxx xxxxx 1 2 2 22 46763 4726263 )4)(12()3(2)2(3 22 ≥ ≥ ≥ −+≥−+ −+≥++− +−≥++− x x x xxx xxxxx xxxxx [1 , ) 7 7 49 497 686315124 63158124666 6315)81246(66 )215(3)23)(42()9(6 22 22 2 −> − > <− −−+<−+− +<++−−+ +<−−+−+ +<+−−+ x x x xxx xxx xx xxxxx xxxx (-7 , )
  67. 67. 1.1 6 7 76 25137 5136 27 6 )13(52)23(12 23 52 13 12 2 2 ≤ − −≤ −≥− −−≥−+ −+≥ ++ −+≥++ + + ≥ − + x x x xx xx xx xxxx x x x x (- , 1.1] ( ) 6 13 78 7813 4236103 3610342 6 3 5 2 76 > − −> −<− −−<−− −<− −<− x x x xx xx xx 5.72 2 15 2 2 2 4 1524 7877273 8723 <≤ <≤ <≤ +<+−≤+− <−≤− x x x x x [2 , 7.5) 123 575552 752 <≤ +<+−≤+− <−≤− x x x [3 , 12)
  68. 68. “OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS” OPERACIONES ALGEBRAICAS Sumas Resta De 1969 23 −+− xxx restar 32 6432111 xxx +−+ Con fracciones TIP: Se hace la suma de cada uno, como en cualquier fracción
  69. 69. Suma y resta combinada Restar 53 24 +− aa de la suma de 13;19;819145 24523 −+−−++−+ aaaaaaa Multiplicación -Ley de los signos -Multiplicar coeficientes -Copiar literales en orden alfabético -Sumar exponentes de letras iguales ( )( )2222 423652 yxyxyxyx −++− 22 2 423 652 yxyx yxyx −+ +− “DESIGUALDADES CONTINUAS” 151 ≤+< X
  70. 70. Debemos dejar sola la x en ½ 424 .....5.............575551 −≤<− −≤−+<− x todoenrestamosesoparax (-4 , 5] ( ) ( ) 126.4 3 36 3 3 3 14 3643414 440344410 403410 585 5 34 )5(2 8 5 34 2 −<< − < − < − − −<−<− −<−−−<−− <−<− <      − <− < − <− x x x x x x x (- , -12) (4.6 , ) Tarea: 55.3 2 10 2 2 2 7 1027 3733234 7324)1 <≤ <≤ <≤ +<+−≤+ <−≤ x x x x x [3.5 . 5)
  71. 71. ( ) 666.11.1 6 4 6 6 6 7 467 81288681 12861 643 2 12 643 2 1)2 <<− <<− <<− −<−+<− <+< <+< <+< x x x x x x x (1.11 , .66) 5.675.2 4 24 4 4 4 11 27411 32433438 24348 12 2 34 42 12 2 34 4)3 ≤< ≤< ≤< +≤−+<+ ≤−<       ≤ − < ≤ − < x x x x x x x (2.75 , 6.5] 01 2 0 2 2 2 2 022 4444242 4422 3 12 3 )42(3 3 6 12)42(36)4 <≤ <≤ <≤ +−<+−≤+− −<−≤− − < − −− ≤ − <−−≤ x x x x x x x (- , 0) [1 , ) 1333. 6 6 6 6 6 2 662 41064442 10642 )2(5)2( 2 64 )2(1 5 2 64 1)5 −<<+ − < − −<− <<− −<−−<− <−< < − < < − < x x x x x x x (.333 , ) (- , -1)
  72. 72. RADICALES Radical es toda raíz indicada de una cantidad. Si una raíz es exacta es una cantidad racional, y si no es irracional. Para simplificar un radical, se reduce a su más simple expresión. Un radical está reducido a su más simple expresión, cuando la cantidad subradical es entera y del menor grado posible. Se simplifica un radical descomponiendo el coeficiente en sus factores primos, y dividiendo los exponentes entre el índice de la raíz. Caso 1. Cuando la cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es divisible entre el índice de la raíz. 3 83 2504 ba /1 55 525 5125 2250 3 22 3 83 3 83 202 2 2 83 1 0 33 202 24)5( bab ba ba Lo descomponemos en factores primos Agrupamos en grupos de números iguales. El número de miembros lo determina la raíz, en este caso 3 (cúbica) El número que sobra 2 se queda adentro. El número igual queda afuera y multiplica Los exponentes de cada letra se dividen entre la raíz El cociente queda afuera y el residuo adentro TIP Si los exponentes no son divisibles se queda adentro Si el número es primo, se queda adentro.
  73. 73. /1 33 39 218 2318 = /1 33 26 212 224 248 483 321 48)3(4 3 3 22 21/2(4) /1 22 24 28 216 232 264 2128 1282/1 = 1 22 510 550 25 505 2 ba ba INTRODUCCION AL FACTOR RADICAL Para introducir factores en un radical se eleva dicho coeficiente a la potencia que indique el índice del radical. 1)1)(1( a)-(1 )1(a)(1 a-1 a1 a-1 27)(27)()3(3a 422 2 2 3 83 263 2323 22 22 aaa a babaabaaba aaa −=+−= +− ⇒ + ==⇒ =→ 2 2 4 Se multiplican
  74. 74. 232)1( 1-x 2-x71)-( 1-x 2-x 1)-(x 22)2(1 1)(x 21)(x 1 2x 1)(x b)(a )(ba b)(a b)(a ba a ba 128)8(328)2(82a 168)2(642)4(24m )()(a 2/14/2)4/1(2)2/1(221/2 25)5(5a 45)5(953 2 2 2 2 222 4 354 344 334 3 433 33 2 342222222 2 22 +−=−−=⇒ +=+= + + = + + += + + = + + = + + === === === ==== == == xxxx x xxxx x x ba aa baabaabaab mmmmmm babababaabbab aab RESTA Y SUMA DE RADICALES Se simplifican los radicales dados, se reducen los radicales semejantes y se escriben los radicales no semejantes con su mismo signo. 9834871294502 −−+ /1 55 525 375 3225 2450 /1 33 26 212 /1 33 26 212 224 248 /1 77 749 298 31029 328221 318230 221328318230 2)7(33)4(73)2(92)15(2 − +− ++ −−+ −−+ Todas deben tener indice igual para hacer el paso El primer paso es simplificar cada raíz TIP Los términos semejantes son los que están dentro de la raíz, osea los que hacen al número de adentro en común. Resultado
  75. 75. 180 9 1 63 6 1 80 4 1 −− /1 55 210 220 240 280 /1 33 39 763 /1 55 210 330 390 2180 7 2 1 5 3 1 5 3 2 7 2 1 51 5 1 6 9 1 7 1 3 6 1 5 1 4 4 1 − −−       −      −      MULTIPLICACIÓN DE RADICALES Se multiplican los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre sí, colocando este último producto bajo el signo radical comúny se simplifica el resultado. 630 1506 )103)(152( 6 6)217/2)(142/1( 23 18)6)(3( = = 10 10 a ax 10 a x 10)5/1)(2( 2 x a a a x aaax = Resultado TIP Con fracciones las operaciones y el procedimiento es igual Se simplifica TIP. Se multiplica lo de afuera con lo de afuera y lo de adentro con lo de adentro No se puede simplificar
  76. 76. “MULTIPLICACIÓN DE RADICALES COMPUESTOS” El producto de un radical compuesto por uno simple se encuentra como el producto de un polinomio, y el producto de dos radicales compuestos como el producto de dos polinomios. Tip Cada termino del primer paréntesis se multiplica con cada termino del segunda paréntesis. Luego los resultados de cada multiplicación se simplifican y si hay términos semejantes se suman.
  77. 77. “RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR” Convertir una expresión radical con un radicando fraccionario en una forma la cual no aparezcan radicales en el denominador, se llama racionalización del denominador. Para racionalizar el denominador se multiplica el numerador y denominador por la expresión con las potencias, que hagan exacto al denominador para poderlo extraer de la raíz Lo que hay que hacer es sacar el denominador afuera, por que adentro no puede estar. Tip Lo que hay que hacer es descomponer al número de denominador para que quede en forma de potencia. Luego agregar (si es necesario) ese mismo número para que el exponente del número sea múltiplo del radical, (raíz cuadrada, cúbica) 3 27 27 27 27 27 27 1 27 1 22 + = − + =        + +       − = −
  78. 78. 2252 3 2656 25 2656 25 2656 25 25 25 6 25 6 22 += + = − + = − + =        + +       − = − ( ) ( ) 510 510 55105 510 55105 510 510 510 5 510 5 22 −= − − = − − =        − −       + = + ( ) ( ) 72132 6 7121312 713 7121312 713 7121312 713 713 713 6 713 12 22 += + = − + = − + =        + +       − = − ( ) ( ) 2 3153252 35 9153252 35 9153252 35 35 35 32 35 32 22 +++ = − +++ = − +++ =        + +         − + = − + 2 1015253 2 1015253 53 25215253 53 53 53 521 53 521 +−+− = − −+− = − −+− =        − −         + + = + + 763 1 4363 32 624296 32 32 32 223 −−= − ++ = − +++ =        + + = − +
  79. 79. “RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES (BINOMIO)” Se multiplica el número y denominador por el conjunto del denominador xa axxa xa xaxaxa xa xa xa xa xa xa − +− = − −+− =        − −         + + = + + 4 2 )()2( 22 2 2 22 22 22
  80. 80. “EXPRESAR CON EXPONENTE POSITIVO” 27 1 3 13 3 3 ==− Se pasan Se resuelve abajo ( ) 64 1 2 1 22 255 5 5 5 5 243 1 7 1 7 7 7 7 3 1 3 3 3 3 3 3 16 1 2 1 22 1 22 1 1 1 1 11 6 632 2 1 3 3 1 46 2 2 6 22 1 1 2 431 31 7 7 === === === === == × =× === −− − − − − − − −− se multiplican los exponentes ( ) ( ) ( ) 9 3 9 33 3 1 4 2 2 42 1 2 2 2 2 2221 2 21121 331 333 16 9 2 3 3 2 3 2 25 9 25 3 5 3 5353 9 2 3 2 3232 2733 aaa ==      ===      ==== === == − − − − − − − −−− −−− −− Escribir s/denominador, usando exponentes -, si es necesario 231 423 431 253131 233 310 4321 211321 24 32 6246322 632 2 33 3 3 32 3 2 23 2 3 5 32 3 31 3 23 23 2 3 33 3 ba a cba cbacb cba cba cba bcaba bac ba cbacbbaa cba ba ba b a ba b a ba b a − −− − −−−− − − −− −− − − −−−− − − − − − − − − − = − −= == = = =
  81. 81. SIMPLIFICAR Y EXPRESAR S/EXPONENTES ; NI CEROS 2 27 2 27 221 27 221 43 1402 321 181921321323 u wy u wy u wy u wwvy wyu wyuz = •• ===−− −− 3 35 3 33 3 33 412 3323 324 0312 2 27 16 216 16 1216 4 16 36 4 f hg f hg f hg ff hgfg hgf hgf ==== − −− −− 69 6 93 2 3 dc d c d c ==      − −− 6 6 2 6 6 22 3 0 1 2 1 1 z z zz w ===      +− −− 3 12 3 2 2 1 1010325353555 ==== 4 13 4 3 8 1 774842423939 ===== 9 1 81 1 81 1 8111121121 2 1 2 1- 2 1 ===== + 164096364353644643 22 3 2 ===== 251562531253125 2 3 2 === 9)3)(3()9)(273(927 27 9 3 1 3 1 ===− 501250003)1000)(125(3 =+=−− + ++ yx yxyxy 222 2008xa) aaaaaaaa aaa 5754552 80520aa)2 23 =++ ++
  82. 82. x xxx xxxb 12 589 2516293) 222 −+ −+ ( )( ) ( )( ) 79135111 81635111175 )7(8835111)5(35 4988355535562535 785571157 96)6(162566 32382 324 3 +− +− +− +−− −− == xxxx xxx ciónMultiplica ( )( ) 151355 45151310 )3(151510153)5(2 9151510153252 3352355 + ++ +++ +++ ++ ( )( ) xaxa xaxaxa xaxa 253 263 32 22 −− −−+ +− 2do examen 3 9 4 43 64 125 4 5 ) x y yx yx a =      1) 0 =      b ( )( ) ( ) 56234 11123 3 232 ) yxyx yxyx c = −−−
  83. 83. 4 34 3 44) xxd = 3 2223 5743 5 3 7 2 333) bccbacbacbae == 2 1 ) aaf = 3 5 3 2 3 1 3 52 55) cbacabg = mnmnh 53125 5 3 ) 36 = 3443 13124 235) yyxyxi = 242 7535) yxyxj = 23)1)(2( )1( )1)(2( )1( )2( )1)( 2 2 +−=−−= − −− = − − − xxxx x xx x x xk nmmnmnmnnmnm mnmnnmnml −=−+− −+−= 22432 41692) 2222 ( )( ) )(5666 )(6)(56 )(6)(4)(96 3223) 72 xaaxaa xaxaaa xaxaaxaaa xaaxaam ++−− +−++ +−+−++ +++− axaax x x x a x xa xax n == 2 2 2 4 ) 32 23 σ xy x y yx xx yx xx xyx x yx o 3 3 5 75 3 1 3 75 33 325 3 25 ) 2 53 242 53 3 52 3 52 === • • = zx x zy zyx xx zyx xx xzy x zy p 2 34 10122 33 3 33 10122 3 22 221012 3 1012 2 2 128 2 1 2 128 .2.2 232 2 32 ) ===
  84. 84. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1)1(2 1 1)1(2 )1( 1)1(2 )1( )1()1()1( 1 1 1 1 ) 72 22 ++= − −+− = +− −−+− +− +−+−+− = +− +− = ++ +− aa aa aa aaaa aa aaaaaaa aa aa aa aa q
  85. 85. Examen bimestral enero – febrero Productos notables 1. 22 )68( xyx + 2324 369664 xyxyx ++= 2. )65)(65( 22 +++− xxxx 366025 24 −+−= xxx 3. )35)(53( 22 xyyx mm +− ma yx 22 259 −= 4. 322 )3/22/1( yx + 642246 27/83/22/18/1 yyxyxx +++= 5. )8)(6( 3333 +− yxyx 482 3366 −+= yxyx Factorización 6. )48362412 4534232 nmnmnmnm +−+ )4321(12 33222 nmnmmnnm +−+ 7. )2(2)2(3 −−− xyxx )23)(2( yxx −− 8. nmmnm 8463 2 −+− )23)(2( +− mnm 9. 3/36/2525/1 24 xx −+ 36/253/25/1 42 xx +− 10. 22 )(4))((12)(9 yxyxyxyx +++−+− )5( 2 yx − 11. 1242 225196 zyx − )15z14()15z-14( 6262 +xyxy 12. 22 49)(4 yax −+ )722()722( yxayxa −+++ 13. abbxyayx 10251249 222 −−−−+ )235()235( yxbayxba −+−−−++ 14. 1281 48 ++ mm )149()149( 2424 +−++ mmmm
  86. 86. 15. 60172 −− xx )3()20( +− xx
  87. 87. FRACCIONES ALGEBRÁICAS Todo es simplificar usando los casos anteriores. 65 6 6 2 4 1 222 +− + + −− − + − − aa a aa a a a )2)(3( 6 )2)(3( 2 )2)(2( 1 −− + + +− − + −+ − aa a aa a aa a )3)(2)(2( )6)(2()2()1)(3( 2 −−+ +++−+−− aaa aaaaa )3)(2)(2( 1284434 222 −−+ ++++−++− aaa aaaaaa )3)(4( 193 2 2 −− + aa a )1)(1(6 633x22 )1)(1(6 6)1(3)1(2 )1)(1( 1 )1(2 1 )1(3 1 1 1 22 1 33 1 2 −+ −+ +++− −+ + − + + − + − + + xx x xx xx xxxx xxx TIP En suma y resta no se factoriza el numerador x # ? Resultado = ? d# : - término común
  88. 88. )49( 4 )23)(23( 23 )23)(23(23 1 4923 1 22 22 yx yx yxyx yxyx yxyx yx yx yx yx yx − + = +− −++ +− − + − − − + − )( 2 )( )( )()()( )()( 22222 22 xaax a xaax axax xaax aaxaxaxx xax a ax xa xaa x xax a ax xa axa x − = − +−+ − +−++ − + + + − − + + + − 2222 2222 22 22 22 22 9 2 9 332 )3)(3( 3))(3( )3)(3( 3 3 9 3 3 ax ax ax xaaaxx axax xaaxax axax xa ax ax ax xa ax ax − − = − −+−− +− −++− +− − + + + − − + + + )2)(2(2 86 )2)(2(2 162263 )( 2)8()2)(1()2(3 )2)(2( 8 )2(2 1 )2(2 3 4 8 42 1 42 3 2 2 2 +− ++ = +− ++−++− − +++−+− −+ + + − − + + − + + − − + + xx xx xx xxxx xaax xxxx xx x x x x x x x x x )( 22 )( 2222 ))(( )(2)(2 )( 2 )( 2 22 22 22 22 22 22 baab ba baab ababab babaab baabab babbaa bababa − + = − −++ −+ −++ + + − + + − )5)(4( 50123 )5)(3)(4( 961682510 )5)(3)(4( )3)(3()4)(4()5)(5( )5)(4( 3 )3)(5( 4 )3)(4( 5 209 3 152 4 12 5 2 222 222 ++ ++ = +−+ +−++++++ +−+ −−++++++ ++ − + −+ + + −+ + ++ − + −+ + + −+ + xx xx xxx xxxxxx xxx xxxxxx xx x xx x xx x xx x xx x xx x
  89. 89. Cambiamos los signos 22 2 22 22 222 22 9 3 9 )3( )9( 33 )3)(3( )3()3( 3)3( 39 ba a ba abaab ba abababa baba baabaab ba a ba ab ba a ba ab − = − −+ − −++ +− −++ = + + − + + − Resta )1(8 7 )1)(1(8 23242 )1)(1(8 )23()12(2 )1(8 2 )1(4 1 88 2 44 1 2 2 22 22 − − −+ −−−+− −+ ++−+− − + − + − − + − + − x xx xx xxx xx xxxx x x x x x x x x )1(8 22 )1)(1(8 6427844 )1)(1(8 )3))(1(2(7)1(4)(2( )1(4 44 3 )1)(1(8 1(8 88 7 )1(2( 22 2 2 2 22 2 2 − −+ = −+ ++−−−+ −+ −+−−−+ − − − + +− − − − + + + a aa aa aaaaa aa aaaaa a a a aa a a a a a a )1(24 73113 )1)(1(24 73113 )1)(1)(1(24 2233336666 )1()1)(1(24 )1)(1(2)1)(1(3)1)(1(6 )1(12 1 )1(8 1 )1(4 1 1212 1 88 1 44 1 4 2 22 23 2 22323 2 22 2 2 − −+− = +− −+− +−+ +−−−−−−+− +−+ −+−++−+− + + − − + + + − − + a aaa aa aaa aaa aaaaaaa aaa aaaaaa aaa aaa
  90. 90. Factorizar Si hay paréntesis iguales arriba y abajo se eliminan resultadosResultado )2)(1()32( 47 )2)(1()32( 96142 )2)(1()32( )32(3)1()2(2 )2)(2( 2 3 )32)(2( 62 1 )1)(32( 352 2 222 −++ + −++ ++−−− = −++ +++−− +− −− + +− −− − ++ ++ xxx x xxx xxx xxx xxx xx xx xx xx xx xx Multiplicación Se factorizan numerador y denominador. Se simplifica suprimiendo los factores comunes en numeradores y denominadores. se multiplican entre sí las expresiones que queden. )1)(3( )13( * )1)(43( )2)(3( * )2( )1)(1( 34 43 62 6 2 1 22 2 2 2 −− + ++ +− + −+ +− + + −− −− − + − aa a aa aa aa aa aa a xx aa aa a a 1 2 2 22 2 2 )( )2( ))(( * )( )2( 2 2 * 2 x yxy yxx yxyx yxx yxy xyx yxyx xyx yxy + = − ++ + − − ++ + − 1 2 2 2 )(2 )1)(3( )3( * 2 )1(2 32 3 * 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 === +− −+ −− −+ x x x xx xx xx x xx xx xx x xx TIP Los productos notables se dejan igual.
  91. 91. Eliminamos los de arriba con los de abajo Factorizamos )1(2 1 )(6 )(3 )(6 3 * )1)(1( )1()1( )(6 3 * )1)(1( )()( 66 3 * 12 2 22 2 + = − − = −++ +−+ −++ +−+ −++ −+− aabaa ba baaaa abaa baaaa babaa abaaa baaba )1( )( ))(1( )( )( 1 * )1)(1( )( )( 1 * 1 )( 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 − − = −− − − ++ ++− + = − ++ − − x yx yxx yx yx xx xxx yx yx xx x yx x x x a x xx aa a x a x xx aa a x == − + + − = − + + − 222 2 2 * )1( )1( * 1 1 ** 1 1 = + −+ + − + −+ +− − = ++ + + −+ − + 4 1 * )1( )4)(2( * )4( )2( 4 1 * )1( )4)(2( * )4)(4( )2( 44 4 * 82 * 16 2 2 22 2 23 2 2 2 xx xx x xx xx xx xx xx xx xx xx xx x xx División Se hace lo mismo que en la multiplicación; pero antes del segundo término se invierten el numerador y el denominador. xx −3 )3)(8( )5)(7( )8)(7( )1)(5( 245 352 5615 56 2 2 2 2 +− −+ ÷ −− −− ⇒ −− −+ ÷ +− +− aa aa aa aa aa aa aa aa )5)(7( )3)(8( * )8)(7( )1)(5( −+ +− −− −− aa aa aa aa No eliminar directo El numerador del segundo lo pasamos abajo y viceversa
  92. 92. 49 32 )7)(7( )3)(1( 2 2 − −+ = +− +− a aa aa aa 32 2 22 3 22 2 5 )3( * )3( 3 3 5 96 3 a baab ba a abba a baba a + + = + ÷ ++ 102 7 2)5( )7( 2 )6)(7( * )6( 1 42 2 30 1 22 + + = + + = −+ − = −+ ÷ −− a a a aaa aaaaa xx x x x xx xx x x xx xx 3 2 15 10 )32(2 1 * )1(15 )32(10 1 64 1515 3020 2232 2 == − + + − = + − ÷ + − )7)(7( )3)(1( )5)(7( )3)(8( * )8)(7( ))(5( 245 352 5615 56 2 2 2 2 −+ ++ = −+ +− −− +− = −− −+ ÷ ++ +− aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa = 49 32 2 2 − −+ a aa 34 13 )13)(52( )13)(13( * )34)(34( )34)(52( 16 5136 916 15268 2 2 2 2 − + = −+ −+ −+ ++ = − −+ ÷ − ++ x x xx xx xx xx x xx x xx 3 )3)(1(3 )1)(3( )3(3 )1( )1)(1( 93 341 222 2 2 22 23 4 23 4 + +− = ++ + ÷ − +− = + ++ ÷ − − a aa aa aa aa aa aa aa aa a xx xx xxx xx xx xxx xx xxx x x )8( )7)(5( )255( )7)(8( )8)(8( )255)(5( 56 255 64 125 2 2 2 23 2 3 − −+ = +− −+ ÷ −+ +−+ = −+ +− ÷ − + 3 1 )9)(6( )9( )3( )6)(( 9 543 3 6 22 2 23 2 + = +− + ÷ + − = + −+ ÷ + − aaa aa aa aa aa aa aa aa
  93. 93. ECUACIONES DE PRIMER GRADO 3 22- 223x- 13954128 51341298 − = −= −−=+−− −−=−+ xxxx xxxx 2x 32 64- x 6432x 485216325 216483255 )72(3)32(16)1(5 −= = −= −+−=+−+ −−=++− −−=++− xxxx xxxx xxxx 6x 3 18 x 183x 414738 1497348 = = = +=−−+ ++=+− xxxx xxxx 3x 5 15- x 41413595 04142135593 04)7(2)0()7(5)3(3 222 2 −= = −++−= =+−−−−++− =++−+−++− x xxxx xxxxx 7x 2 14 x 142x 5163117 3115716 = = = +−−=+−+ −−=+−+ xxxx xxxx 13 8 x 12203825 203812122512 )52)(46()34)(43( 22 = −=+− +−=+− −−=−− xx xxxx xxxx
  94. 94. 1x 11 11 x 1111x 3210615 3261015 )3()2(6)1015( = = = +−=++− +−−−=− +−++−=− xxxx xxxx xxxx 3x 62x 51251212252 5)4)(32()52)(1( 22 −= −= +−+=+− +−+=++ xxxx xxxx 1x 6 6- x 66x- 935853 958353 958)35(3 )95(8))3(5(3 = − = −= −=+−−− −−=−−− −−=−−−+ −−+=+−−+ xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 3x 2 6 x 1942x 16944 1)69(44 1)3()2( 22 22 22 = = ++−= =−+−+− =+−−+− =−−− xxxx xxxx xx 3 2 12 8 x 812x 52197859 095782159 09)5782(159 09))57(82()15(9 == = ++=++−− =+−+−−−− =++−+−−− =+−−+−+− xxxxx xxxxx xxxxx xxxxxx 5 1 x 20 4- x 420x- 2910131256 02359124105169 0235)9124(105169 0)1)(25()32()2(5)13( 222 222 22 = − = −= −+−−=+−−− =++−−−−+−+− =++−++−+−+− =−+−+−−−− xxxx xxxxxxx xxxxxxx xxxxx
  95. 95. Problemas La suma de años de A y B es de 84. B tiene 8 años menos que A. 76- 8 84− 16 762 38 38 46 = = B A La edad de A es el doble de la B. Las 2 suman 36. 12a a 3a aa = = = =+ 3 36 36 362 363 12 12 24 = = B A La suma de tres numeros consecutivos es 204, cuales son. 69,68,7 3/201 12204 20421 6R x 3x xxx = = −−= =++++ 1 coche, 1 caballo y arreos, x$350. El coche es el 3 de los arreos, y el caballo el doble del coche. 35 350 35063 = = =++ x 10x xxx En un hotel de 2 pisos hay 48 habitaciones. Si las del segundo piso son la mitad del primero. 32yx x xx 16 3/48 482 = = =+ Arreos = 35 Coche = 105 Caballo = 210
  96. 96. Reparte 300 entre A, B y C. La de B sea el 2 de A y la de C el 3 de A. 50,100,150x x 6x xxx = = = =++ 50 300 30032 La edad de Enrique es la mitad de Pedro, la de Juan es 3 de la de Enrique y la de Eugenio es el doble de la de Juan. Todas suman 132. Enrique = x Pedro = 2x 11 12/132 132632 = = =+++ x x xxxx Un hacendado compró el doble de vacas que de caballos. Por cada vaca pagó $70 y por cada caballo $85. El total fue de $2,700 ¿Cuántas vacas y caballos? Un padre pone 16 problemas a su hijo con la condición de que por cada problema que resuelva le dara $12 y por cada que no resuelva perderá $5. recibió $73. 7 x 9 73 1821216 − = Un hombre al morir deja $16,500. Los reparte entre 3 hijos y 2 hijas. Cada hija $2,000 más que cada hijo. _ 16,500 3 hijos = 2,500 4,000 2 hijas = 4,500 12,500 Enrique = 11 Pedro = 22 Juan = 33 Eugenio = 66 Resueltos No resueltos
  97. 97. DESPEJE DE FÓRMULAS a e t 22 = )2(2 −= NRs aev 2= R H B r A rA = = π π 2 n bB A bB A = +       + = )( 2 2 bB n bnA bB n A bBnA += − += += 2 2 )(2 Vo a b VoatV atVoV =− += a t VoV = − 22 222 222 cab bca cba −= =− += a R P V a r U raU n n = = − − 1 1 r a U n r a U n =− = − 1 1 DVP V P D = = D P V = a R n r raU rnraU arnU rnaU = +− −=− =−− −+= )1( )1( r n aU rnaU = − − −=− )1( )1(
  98. 98. Mínimo común multiplode 8 y ECUACIONES FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO       −− = − + − )5)(2( 7 2 5 5 1 xxxx )5)(2( −− xx 7/36 7)5(5)2(2 = =−+− x xx 3 412255 )13(42415 2 13 3 8 15 8 = +=+ +=++       + =+ + x xx xx xx -4x 3x 3x xx xx xxxx = −= −−= =+++ ++      ++ = + + + 12 952 2592 )92)(5( )92)(5( 2 92 1 5 1 x4 x44 xx xx xx xx = = −=−+ −=+− −=+−       − =+ − 11 9206545 5204569 )14(545)23(3 3 14 3 5 23 15 1t 4141t 3567043015 6470303515 5 32 73 2 73 10 = = −+=−+ +=−++ =      + =−+ + ttt ttt t t t Dividimos los de afuera (lo de afuera es el común) entre un denominador y lo multiplicamos por el numerador Resolvemos normal TIP. Cuando tienen 2 términos los cruzamos multiplicando x/y = z/w xw = yz
  99. 99. GRÁFICA DE UNA FUNCION LINEAL Una función lineal se representa: yxf baxxf = += )( )( 3 62 0652 652)( −− = =++ ++= x y yx yxxf a y b = Números reales GRAFICA = Linea recta Primero igualamos a 0 Despejamos “y” Damos diferentes valores a x, que los sustituimos en la y despejada y obtenemos otros valores de y.
  100. 100. EXAMEN BIMESTRAL Marzo – Abril .I )5)(3)(4( 50123 )5)(4( 3 )3)(5( 4 )3)(4( 5 209 3 152 4 12 5 2 222 +−+ ++ = ++ − + −+ + + −+ + = ++ − + −+ + + −+ + xxx xx xx x xx x xx x xx x xx x xx x 244 9 )6(4 )9( )11(2 )5( * )9(2 )6(2 * )6)(6( )11( * )5(2 )9)(9( 222 5 * 182 122 * 36 11 * 102 81 22 23 22 2 + − = + − = + + + − −+ + + −+ = + + + − − + + − a aa a aa a aa a a aa a aa aa a aa a a a a aa a .II { } 2/38/12x 09)57(82)15(9 == =+−−+−+− xxxxx 3x 1)3()2( 22 = =−−− xx 1 10 57 )15( = − −−− x xx 5/1 10)57(10501 10 57 1510 −= =−−+−→      = − −+− x xxx x xx I .II Si un señor compró 96 aves y lo quepagó en total fueron $6,930. ¿Cuántas gallinas y palomas compró. Palomas = $65 46 gallinas Gallinas = $90 50 palomas a v e 2 2 = aev 2= 3 2 rh v π = 2 3 r v h π =
  101. 101. SISTEMAS DE ECUACIONES Gráfica Si una recta pasa por un punto, las coordenadas de este punto satisfacen la ecuación de la recta. Para saber, pasa por (2,3) 254y3x 183y(2,4)2x 1919 19154 15)3(5)(2 1952 =+ =+ = =+ =+ =+ a yx Este sistema consiste en hallar el punto de intersección de las dos rectas. Si no tienen resolución, quiere decir que las rectas son paralelas; las ecuaciones incompatibles y tampoco hay solución si se trata de una misma linea recta. Sustituimos coordenadas en ecuaciones Si las coordenadas satisfacen, quiere decir que dichas coordenadas pertenecen a la recta Sustituimos en ambas ecuaciones con 0 en x y y.
  102. 102. TIP. Podemos notificar que son una misma recta desde antes si una es multiplo de la otra
  103. 103. MÉTODO DE IGUALACIÓN 3 7 13)2(4 2-y 5 192 7 134 5 192 7 134 1425 1347 = +−− = = + == +− + = +− = =− =+ x y x y y x y x yx yx Para sacar el valor de x, sustituimos el valor de y en cualquiera de la dos o x despejadas Despejar y Los igualamos Despejar la misma variable en las 2 (x o y) Nota. Haz la comprobación
  104. 104. 3x 4y 36/9y 45y180 4239189 3942189 39)627(7 7 39 1 627 937 726y = = = = +=− +=− +=− + = − = =− =+ yy yy yy yy x yx x 41/6y 12/28y 822y1 4260614 6064214 7 102 3 2 7102 263 7)5(2 2)2(3 = = = +=− +=− + = − =+ =+ =+ =+ yy yy yby xy yx xy yx 4x 9y 18 46 3 6/46 3 66/82 3 6)6/41(2 = = = − − -2y 4x 6/71-y 167y 2487y 6248 4 424 1 82 45295 302830 )45(295 302)8(30 = = = −= −= +=+ +− = + +−=− +=+− −−=− +=−− yy yy yxx yx yxx yx 5-y 34/170y 17034y 241802410 241801010 5 860 3 22 6085 223 = −= −= −−=+ −−=+− −− = +− −=+ −=− yyy yy yy yx yx 4 3/12 3 102 3 )5(22 −= −= −− = −+ = x x x x
  105. 105. 135/57x 812445180 241808145 9 65 36 95 9 66 36 927 y 036297 686)( 0)18(297 6)86()( −= −=− +−=+− +− = +− +− = ++− = =+−− −=−−− =−−− −=+−− xx xx xx xxxx yxx yyyx yxx yxyx 3y 22/66y 170522y 12570-0y2 5 525 1 144 1 144 x- 1444x-3x 014443 0)12()1(5 0)72(243 = = ++−= +−−= −+ = − − − − = −= =+−− =−−− =−−− y yxy y y xyx yx xyx 2x 1/2x 2x- 14124x-x3 0144x-4(3)-x3 5 125 x 01255 = −−= −= −= =+ −++ = =+−− y yx x = 9 / 5 y = - 1 / 3 x - 6x + 6 = 9y 9
  106. 106. y y y y yxyxxy yxxy xyyx = = =+ −= − = − +− = −=−−− =+−− −=−−− 12/5 918/45 45108810 10845y-810 15 54 2 314 1432 54)9()6( 14)3()2( 17 2 34- 36/55/70- 2 /56314- 2 12/5)(314- 15-54/x 5415x- 5496 = − + − + − + = = =−−− xxyxxy x = 17 y = 12 / 5
  107. 107. METODO DE SUSTITUCION 2/1 546-30/2y 193 2 245 8 2 245 1938 2452 = −== =−      −−−− = =− −=+ x y yy x yx yx 3 340 x 3 841/12 x 3 8)41/3(4 x 3/41y 12339 9627192-231 23127y-8)-24(-4y 779y-8/3)-8(-4y 3 84 x 7798 843 − = −− = −− = = = += −= −= −− = =− =+ y yy y yx yx 36/43x 180/152x 180215 2020035-250 35200x-50220 354x)-50(520 74x)-10(54x 5 45 x 7104 554 = = = −= =+ =+ =+ − = =+ =+ x x x x yx yx Despejamos x en una ecuación Sustituimos en la otra Resolvemos y el valor de y lo sustituimos ahi Resolver Finalmente hacemos la comprobación en una original x = -4 y = 5 x = 3/4 y = 2/5
  108. 108. 5 2 y 25y 5-7510 71055 710y 4 20y-20 710y 4 5y-5 4 4 55 x 7104 554 = = =− =+− = =+      − = =+ =+ yy yy y yx yx 4 3 4 15/5 4 10/5-25/5 4 10/5-5 x 4 )5/2(55 x = = = = − = x x x MÉTODO DE REDUCCIÓN ( + y - ) 2x 2613x 206y5x -466y5x -23)3y-(4x2 2334 2065 −= −= =+ =+ = −=− =+ yx yx 5y = multiplicamos para que una variable elimine al - sumamos con la otra despejamos Sustituimos el valor de x en un original y resolvemos
  109. 109. 1x 8338 651520 -2715y-8x1 1334 956 = = =+ = =+ −=− x yx yx yx 3y 15/5 515 956 = = = −=− y y y Cuando hay denominadores en cualquiera, hay que sacarlos primero.
  110. 110. DETERMINANTES 115)20(351 724 55 46)81(35 727 35 23)12()35( 74 35 2774 535 =−=∆ −=−=∆ =−=∆ =+ =+ y x g yx yx 5 23 115 9 2 23 46 9 == ∆ ∆ = −= − = ∆ ∆ = y y x x 7 17 119 5 17 85 119)104()15( 58 133 85)20(-(-65) 55 4-13 17)32()15( 58 43 558 1343 −= − = −= − = −=−−= − =∆ −== −− =∆ =−−−= − − =∆ −=− =− y x y x g yx yx Primero sacamos los determinantes general, de las x y de las y X’s Y’s X’s Con las determinantes sacamos el valor de x y y Valor de la ecuación Valor de la ecuación Y’s
  111. 111. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE 3 ECUACIONES CON 3 INCOGNITAS a) Determinantes 13 1426 132 =−+ −=−− =++ zyx zyx zyx 126 132 113 126 132 −− − − =∆g 27261)26(1)6218()964( =+=−−=−−−−−+=∆g 1214 131 111 1214 131 −−− − −−− =∆x Las demás determinantes se sacan de la misma forma: poniendo el valor de la ecuación en el lugar de la letra de la determinante. Sacamos determinantes g,x y y. Repetimos los 2 primeros renglones Multiplicamos en diagonal. (la suma ) – (la suma ) Repetimos las 2 primeras Valor de la ecuación Y Z Multiplicamos y hacemos lo mismo ∆x = -54
  112. 112. -108z81 =∆=∆x Sacamos los valores dividiendo cada determinante entre la general. 4 27 108 3 27 81 2 27 54 −= − = ∆ ∆ = == ∆ ∆ = −= − = ∆ ∆ = g z x g y y g x x 334679 )30824()8980( 243 324 51-2 243 324 352 1243 8324 =− +−−+− =∆ =+− −=++ =++ g zyx zyx zyx _(Suma productos ) (Suma productos ) Valor de la ∆
  113. 113. 2 33 66 z 668620 )18464()42448( 143 824 312 143 824 3 33 99 y 9913839 )138(39 )120246()322720( 213 384 532 213 384 5 33 165 x 16510175 )2636(175 )101636()123160( 241 348 513 241 328 −= − = −=− ++−−− − − − =∆ −= − = −=− − ++−−++− − − =∆ == =+ −− −−−++ − − − =∆ z y x 360198162 )18180()9072( 3012 1833 02-1 3012 1833 24096144 )6036()5430( 3302 2183 101 3302 2183 12018102 )10890()12018( 3130- 2318 12-0 3130- 2318 20222 )2186()983( 312 233 12-1 312 233 1820/360z0206/3/6/ 1220--240/y303212/6/3/ 620/120x1823333/2/2/ −=−− −−−− − − =∆ −=−− +−−− −− − −− − =∆ −=−− −−−− − − − − =∆ −=− −+−−+ − − − − =∆ =−−==+−→=+− ==−=−+→−=−+ =−−==−+→=−+ zy xg zyxzyx zyxzyx zyxzyx
  114. 114. b) Suma y resta 352.3 1243.2 8324.1 =+− −=++ =++ zyx zyx zyx 4 2810 −=− zy 274 =− zy 5 5x -2z -3y 66-198/y 1986 = = = = =− y 2z3y1x 777 523 132 237 24462 132 523 12232 132 === −=+− −=−− −=−+ = =+ =++− −=−+ −=−− −=−− −=−+ zy zyx zyx zy zyx zyx zyx zyx zyx Tomo las 2 primeras ecuaciones y elimino x, el resultado va a ser la ecuación 4. Hago lo mismo con la 1 y 3, determino x. Hago todo el mismo procedimiento con la 4 y 5. En la eciación 5 sustituimos el valor de y para obtener z y resolvemos. Para obtener x sustituimos en 1 de las originales y resolvemos
  115. 115. 1231433 11112327 12236 213510 3749 12236 =+ =+− =++ =++ =+− =++ zx zyx zyx zyx zyx zyx 4y 3/12y 306123y 126330 12)3(23(5)6 5x 33/165 1234233 123)3(1433 −= −= −+= =−+ =−++ = = =− =−+ y y x x x 3z 6391530- 60101530 )3(213510 )5(12236 −= −=−− =++ −=++ =++ zyx zyx zyx zyx Problemas 6 kg de café y 5 kg de azúcar = $22.70 5 kg de café y 4 kg de azúcar = $18.80 6-18.80)4y5x( 5)70.2256( =+ =+ yx 20.3x 6/20.19x 20.19x6 70.2250.3x6 = = = =+ 70.y 80.11224x30 50.11325x30 = =−− =+ y y 4 vacas y 7 caballos = 514 8 vacas y 9 caballos = 818 )1889y8x( 2)51474( =+ −=+ yx 42y 5/210y- 210y5- 8189yx8 102814x8 = −= −= =+ −=−− y 55x 4/220x 2204x 2945144x 514294x4 514)42(7x4 = = = += =+ =+ 10 boletos adulto y 9 de niño = $51.20 15 boletos adulto y 17 de niño = $83.10 -0)21.38y715x1( 3)20.51910( =+ =+ yx 80.1y 7/60.12y 60.127 20.16034x30 60.15327x30 = −= −= −=− =+ y y y 5.3x 3510x 20.5120.16x10 = = =+ Azúcar = $.70 Café = $3.20 Caballos = $55 Vacas = $42 Niño = $1.80 Adulto = $3.5
  116. 116. ECUACION DE SEGUNDO GRADO Es toda ecuacion en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2. 01573 2 =+− xx Completas Incompletas )0( 2 =++ cbxax )0ax0( 22 =+=+ cbxax 1.Factorizando (ver caso VII) 3/1x 13x2x 01-3x02-x 01)-(3x2)-(x 1 )13( 3 )63( 06)3(79x )0273(3 0273 2 1 2 2 2 = == == = −− =+− =+− =+− xx x xx xx )3(2 )2)(3(4)7()7( 2 4 2 2 −−±−− = −±− = x a acbb x 3/1 6 2 6 57 2 6 16 6 57 6 257 6 257 6 24497 == − == + ± = ± = −± =x 8 35293 8 )88(493 )4(2 )22)(4(4)3()3( 02234 2 2 +±− = −−±− = −−±− = =−+ x x x xx 8 193 8 3613 ± = ±− = x x 2 8/21 2 1 = −= x x Se toma cada paréntesis como una ecuación 0 a = Coeficiente término al cuadrado b = Coeficiente término en primer exponente c = Término independiente 2. Fórmula
  117. 117. 1. 1 28 28 7 10 28 40 28 346 28 11566 28 1120366 28 )280(4366 )14(2 )20)(14(4366 020614 01552430923 1524953023 )583(353023 )1)(53(3 1 53251588 3 )1)(53( 3)53(15)1(8 3 1 15 53 8 2 1 2 22 22 22 22 == − = − = ±− = ±− = +±− = −−±− = −−±− = =−+ =−−−+− ++=−+ ++=−+ ++= −−+++ = ++ −+−++ = + + + + x x x xx xxxx xxxx xxxx xx xxxxx xx xxxx x x x x 2. 18 0 2 0182 027979 27799 2 22 22 −= = = =− =−+− +=+ c b a x xx xx 3- 3 4 12 4 144 )2(2 )18)(2(40 === −− = xx 3. 04425 4245 )2(245 2 2 2 =−+− +=+ +=+ xx xx xx 0 4- 10 22 10 42 )5(2 )0)(5(4)2()2( 2 = ± = ± = −−±−− = xx
  118. 118. 4. 01444 013594 01359664 0135)32)(32( 2 2 2 =− =−− =−−−+ =−+− x x xxx xx 6 6- 8 48 8 2304 8 )576(40 )4(2 )144)(4(40 ± = ± = −−± = −−± = x x 5. 03 0632 6233322 )3)(2()1)(32( )1)(3(. 1 2 3 32 2 22 22 =− =−+− +−−=+−− −−=−+ −−      − − = − − x xx xxxxxx xxxx xx x x x x 1.7- 1.7 2 4.3 2 12 )1(2 )3)(1(4)0()0( 2 = ± = −−±− = x x 6. 0182 0992 992 6. 2 3 6 9 3 2 2 2 2 =−− =−−−− =−−       =      − − xx xx xx xx 0 1/2 4 1451 4 )36(411 )2(2 )18)(2(4)1()1( 2 ± = −−± = −−−±−− = x x
  119. 119. INDICE 01) cálculo, funciones, diagrama de Venn, desigualdades, propiedades de las desigualdades, intervalos 02) valor absoluto, ejercicios, producto cartesiano, funciones, relaciones pruebas de la vertical 03) clasificación de funciones, gráfica de una función, funciones de uso frecuente 04) operaciones con funciones, ejercicios de función, estudios límites 05) limites, ejercicios 06) teoremas para el cálculo de límites, ejercicios 07) racionalización, ejercicios, límites trigonométricos, identidades trigonométricas 08) ejercicios, límites laterales 09) continuidad, tipos de continuidad 10) derivada de una función, cálculo de derivadas, demostración de teoremas 11) derivada de una composición de funciones, derivadas de funciones trascendentes (directa) 12) funciones trigonométricas inversas, ejercicios, teoremas 13) derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales, propiedades de los logaritmos, gráfica de una función 14) derivadas sucesivas de una función, derivada implícita, ejercicios 15) aplicaciones de la derivada, ejemplos
  120. 120. MATEMATICAS IV BIBLIOGRAFÍA: Elementos de Cálculo Diferencial} Juan Laredo Santín Jorge Rojas González Cálculo Diferencial e Integral Taylor y Wade Introducción al Cálculo Diferencial e Integral Javier Barras Sierra Cálculo Diferencial e Integral Serie Shaum’s PROGRAMA: I. Funciones II. Límites III. Continuidad IV. Derivada de Funciones Algebráicas V. Derivada de Funciones Trascendentes VI. Derivadas Sucesivas de una Función VII. Derivadas de Funciones Implícitas VIII. Aplicación de la Derivada EVALUACIÓN: Si la calificación de > 6.0 las tarea tiene un valor extra de un punto. Si la calificación es < 6.0 las tareas no tienen valor. * Estudiar Factorización con Productos Notables.
  121. 121. CALCULO CALCULO: Es una rama de las Matemáticas que se encarga del estudio, del análisis y de la variación de las FUNCIONES. APLICACIONES: Obtención de Ecuaciones de Rectas Tangentes a una curva. Velocidades y Aceleraciones Problemas de Optimización FUNCIONES SISTEMAS NUMERICOS: - Números Naturales (ΙΝ) + 1, 2, 3, 4, 5, 6… + Operaciones: Suma 2 + 3 = 5 ε IN Multiplicación 2 x 3 = 6 ε IN + IN = {1, 2, 3,... } -Números Enteros (IE) + …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… + Operaciones: Resta 2 – 3 = -1 ε IE + IE = {x │x = b – a, b ϖ ε IN} IE= {…-3, -2, –1, 0, 1, 2, 3,} + Operaciones: Suma Multiplicación Resta -Números Racionales (Q) + Q = { x │x = b/a, a ϖ b ε IE a ≠ 0) Q = { x │x tiene parte decimal periódica} + Operaciones: Suma Producto Resta División -Números Irracionales (II) + II = { x │ x tiene parte decimal NO periódica] + Ejem: 71.2 1416.3 4142135.12 = =∏ ΙΙ∈= e
  122. 122. -Números Reales (IR) + IR = Q U II -Diagrama de Venn DESIGUALDADES Es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra, mediante los símbolos <, <, >, > Ejem: 3x + 2 = 5 (x + 1) Ecuación 3x + 2 > 5 (x + 1) Desigualdad LEYES DE LAS DESIGUALDADES I.- LEY DE TRICOTOMÍA V a ϖ ε IR se cumple únicamente una de las siguientes expresiones: a < b, a = b, a > b. Ejem: 5 > 3 II.- LEY DE TRANSITIVIDAD V a ϖ ε IR si a < b ϖ b < c ⇒ a < c Ejem: 4, 7, 15 4 < 7 ϖ 7 < 15 ⇒ 4 < 15 5 IE Q II IR IN
  123. 123. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES 1.- Si a los dos miembros de una Desigualdad se le suma ó resta la misma cantidad, ya sea positiva o negativa el sentido de la Desigualdad no se altera. Ejem: 4 < 15 4 + 8 < 15 + 8 12 < 23 2.- Si a los dos miembros de una Desigualdad se les multiplica ó divide por la misma cantidad positiva, el sentido de la Desigualdad no se invierte. Ejem: -4 < 10 9 > -6 -4(2) < 10(2) 9/3 > -6/3 -8 < 20 3 > -2 3.- Si a los dos miembros de una Desigualdad se les multiplica ó divide por la misma cantidad negativa, el sentido de la Desigualdad se invierte. Ejem: -2 < 11 -2(-4) < 10(2) -8 < -44 INTERVALOS: Es un conjunto de números IR que cumple con ciertas desigualdades. Existen los siguientes tipos: 1. Intervalos Finitos._ son aquellos intervalos que tienen como extremos a 2 números IR y pueden ser: a) Intervalo Cerrado ._ es aquel intervalo que incluye a sus extremos. Si a x b ε IR donde a < b son los extremos del intervalo. [ a: b] a ≤ x ≤ b b) Intervalo Abierto ._ es aquel intervalo que no incluye a los extremos c) Intervalo semiabierto o semicerrado [a ; b) a ≤ x < b (a ; b] a < x ≤ b x x a b x x a b x x a b
  124. 124. 2. Intervalos Infinitos._ + oo ó - oo -oo +oo (-oo:a) x < a (-oo;a] x ≤ a (a ; +oo) x > a [a; +oo) x ≥ a (-00; +oo) x ε IR Ejem: Obtener las otras dos formas de representación de los siguientes intervalos: [-3 ; 0) - 3 ≤ x < 0 (- 4 ; + oo) x > -4 [- 6 ; - 1] - 6 ≤ x ≤ -1 Ejem. Resolver las siguientes desigualdades: 5 x –3 < x + 5 Incógnitas constantes 5 x –3 +3 < x + 5 + 3 5 x < x + 8 5 x – x < + 8 4 x < 8 Comprobación 9/4 x < 8/4 Si x –1 Sust: 5 x –3 < x + 5 x < 2 5 – 3 < 1 + 5 Si se cumple 2 < 6 4x – 2 ≥ x + 3 (2x –1) 4x –x ≥ 6 x –3 +2 3x 6x ≥ -1 * Imp. -3 x ≥ -1 -4 –2 ≤ 1 +3(-2 –1) x ≤ 1/3 Comprobación Sust. 2 ≤ 1 –6 -1 Si x > -1 +4 x –2 ≥ x+3(2x-1) 6 ≤ 4 -4x-2≤ x +3 (-2x –1) -4 –1 ≤1 –6 –3 -4 5 ≤ - 9 ≤ x < 2 x ≤ 1/3 xa a x a a x x x xx 0 x x x-3 -4 0 -6 -10 x 20 x 10 NO
  125. 125. 4x –2 ≥ x + 3 (2x –1) 4x –2 ≥ x +6 x –3 4x –3x –3 +2 -3x ≥ -1 x ≥ 1/3 Comprobación Si x = -1 4 (-1) –2 ≥ -1 +3 (2(-1)-1) -7 ≥ -1 –6 –3 -7 ≥ -10 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS Tienen como forma general: Ax2 +bx +c 0 Para obtener su solución se sigue el siguiente procedimiento: 1. Se considera primera la Ecuación y se resuelve esta, obteniéndose 2 valores: x, ^ x2 2. Se suponen las posibles soluciones de la Desigualdad que son: x > x1, x> x4, z > x2 ^ x < x2 3. Se obtiene la solución de la desigualdad sustituyendo las 4 desigualdades anteriores en la desigualdad original. Ejem: Resolver las siguientes desigualdades: x2 –2x –8 < 0 1.- x2 –2x –8 = 0 2.-Posibles Sol. Sust. (x – 4) (x+2) < 0 (x – 4) (x + 2) = 0 x > 4 x = 5 (1) (7) <0 = 7<0 No x –4=0 x+2=0 x < 4 x = 3 (-1) (5) <0 = 5<0 Si x1 =4 x2= -2 x > 2 x = -1 (-5) (1) <0 = -5<0 Si x < -2 x= -3 (-7) (-1) <0 =7 <0No -2 < x < 4 x2 –5x +6 > 0 Posibles Sol. Sust. x2 –5x +6 = 0 x < 3 x = 2.5 (x –3) (x –2) = 6 x > 3 x = 4 x –3=0 x –2 = 0 x > 2 x = 2.5 x = 3 x = 2 x < 2 x = 1 (x –3) (x –2) > 0 (= -5) (.5) > = 2 >0 No ( 1) (2) > 0 = 2 > 0 Si <2 > ≤ ≥ x 10 -2 -1 0 1 2 3 4 0 1 2 3
  126. 126. x > 3 ^ x < 2 (-.5) (.5) > 0 ) = (-) > 0 No (-2) (1) > 0 = 2 > 0 Si (-oo;2) ∩ (2; +oo) 2x2 –6x +3 <0 Posibles Sol. Sust. x > 2.35 x = 3 x < 2.35 x = 2 x > 0.63 x = 1 x < 0.63 x = 0 x < 2.35 ^ x > 0.63 (x – 2.35) (x-0.63) < 0 ( .65) (2.37) < 0 (+) < 0 No 0.63 < x < 2.35 (-.35) (1.37) < 0 (-) < 0 Si (1.35 ( .37) < 0 (+) < 0 No 4 126 4 24366 2 4 0362 2 2 ± = −± = −±− = =+− x x o acbb x xx 63.0 4 126 35.2 4 126 2 2 1 1 = = = −− x x x x 0 1 2 3 x
  127. 127. VALOR ABSOLUTO SI a ε IR ó el valor absoluto de a que se denota por: │a│. Se define de la siguiente manera. │o│ a 0 -a Si a > 0 Si a = 0 Si a < 0 Ejem: │4│= 4 │0│ = 0 │3│ = - (-3) = 3 Ejem. Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto. │3x - 4│ = 8 La sol. Son: 3 x – 4 = 8 3 x = 8 + 4 3 x = 12 x1 = 4 3 x – 4 = - 8 3 x = - 8 + 4 3 x = - 4 x 2 = - 4/3 Comprobación: Si x = 4 |3 x – 4| = 8 |3 (4) – 4| = 8 |12 – 4| = 8 |8| = 8 8 = 8 Si x = - 4/3 |3 x – 4| = 8 |3 (-4/3) – 4| = 8 |- 4 – 4| = 8 |- 8| = 8 8= 8 |3 x2 – 1| = 3 x2 – 1 = 3 x2 = 3 + 1 x2 – 1 = - 3 x2 = - 3 + 1 41 ±=x 22 −±=x
  128. 128. Comprobación Propiedades del valor absoluto 1.- 2.- 3.- 4.- Ejem. Resolver la siguiente desigualdades: x b 14x –2| ≤ 6 Utilizando la propiedad # 1 ( ) 33 3|3| 3|14| 3|14| 31| 4 2 = = =− =− = = x x xSi ( ) 33 3|3| 3|12| 3|12| 31| 2Si 2 = =− −−− =−− =− −= x x x |||||| |||||| || || yxyx yxxy bxbxbx bxbbx +=+ = ≥∧−≤⇔≥ ≤≤−⇔≤ 21 844 6246 246 ≤≤− ≤≤− ≤−≤− ≤−≤− ≤≤−⇔= x x x bx bxbb|x| 2 3 2 632 42342 2432 | propiedad1a.laUtilizando 2|43| ≤≤ ≤≤ +≤≤+− ≤−≤− ≤≤−⇔≤ =− x x x x bxbb|x x 41 2 8 2 2 532532 352352 | propiedad2a.laUtilizando 3|52| >∧< >∧< +>∧+−< >−∧<− >−<⇔> >− xx xx xx xx bxbxb|x x η -1 0 1 2 x
  129. 129. PRODUCTO CARTESIANO Dados 2 conjuntos a ∧b en este orden el Producto Cartesiano de a b que se denota A x B = es un nuevo conjunto formado por partes ordenadas cuyos primeros elementos pertenecen al 1er. Conjunto y los segundos elementos al segundo conjunto, es decir, Ax B = a un conjunto de pares ordenados {(x,y)| x εA ∧ y εB} RELACIÓN → Es un subconjunto del Producto Cartesiano FUNCIÓN → Es un subconjunto del P.L cuyos primeros elementos son diferentes. Ejem. Dados los conjuntos A= {1, 2, 3} ∧ B {1, 2, 3, 4,5}, Obtener. a) A x B b) Una Relación c) Una Función d) Un Conjunto D = {(x, y)| y = x} e) Un Conjunto E = {(x, y)| y = 2 x} f) Un Conjunto F = {(x, y)| y < x} 2 1 2 13 672672 26726 267|| 2a.Prop.7|26| −≤≥ −≥−−−≤− ≥−∧−≤− ≥−∧−≤⇔≥ ≥− xx xx bxx bxxbx x 5 3265 2535 2635 positivo. siempreesabsolutovalorel porquehacerpuedeseNo 4|2| −= += += += −≤+ -x xx - xx - |x|x-| x 0 1 2 0 1 2 3 4 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
  130. 130. g) Un Conjunto G = {(x, y)| y > x} h) Un Conjunto H = {(x, y)| y = x + 1} Respuestas: a) A X B ={(1,1), (1,2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2,1), (2,2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3,1), (3,2), (3, 3), (3, 4), (3, 5)} b) R = {(1,1), (2,4), (3,5), (3,4)} c) F= {(1,1), (2,1), (3,1)} d) {(1,1), (1,2), (1, 3), (1, 4), (1, 5),Es una función y Relación e) E = {(1,2), (2,4)} Función f) F = {(3,2), (3,1), (2,1)} Relación g) G = {(-1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5)} Relación h) H = {1,2) (2,3) (3,4)} Función PRUEBAS DE LA VERTICAL y x FUNCION * * * * y x FUNCION ** * * y x FUNCION * ** * * ** *
  131. 131. NOTAS DE FUNCIONES Una función se denota por: “F, G, H” y su regla de correspondencia la vamos a denotar “y = g (x)”, “y = h(x)” A la variable “x” se le llama variable INDEPENDIENTE A la variable “g” se le denomina variable DEPENDIENTE Al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, se le llama: DOMINIO. Al conjunto de valores que toma la variable dependiente, se le llama: RANGO ó CONTRADOMINIO. VALOR DE UNA FUNCIÓN Si a la variable independiente “x” se le asigna un valor “a” a Є IR, el par ordenado (a,b) pertenece a la función. Si solo si ⇔ b, f(a), donde a “b” se le llama VALOR DE LA FUNCIÓN y=f (x) en x = a Ejemplo: Obtener el valor de las siguientes funciones. 1) y = x –3 en x = 4, 0, -5 y = f(x) f(x) =x-3 f (4) = 4–3 = 1 (4,1) f (0) = 0–3 = -3 (0,-3) f (-5) = -5 –3 = -8 (-3, -8) 2) f (x) = x3 + 3x2 –5 en x=2 –1, a, h f(2) =(2)3 + 3(2)2 –5 =8 +12-5 = 15 (2.15) f(-1) = (-1)3 +3 (-1)-5 = -1 +3 –5 =-3 (-1, -3) f (a) = a3 + 3a2 –5 (a, a3 +3a2 –5)
  132. 132. f (h) = h3 + 3h2 – 5 (h, h3 + 3h2 –5) 3) f (x) = x3 –3x +2 en x=1, h, x+h f(1) = (1)3 – 3(1) +2 1 – 3-+ 2 = 0 f(h) = h3 – 3h + 2 f(x + h) = (x + h)3 – 3 (x+h)+2 x3 + 3x2h + 3xh2+h3 –3x-3h+2 4)Dada La función f(x) = x2 2x-1 obtener el cociente f (x+h) –f (x) h f(x+h) = (x+h)2 –2(x+h) –1 x2 +2x h+h2 –2x –2h –1 f(x+h) – fx) (x2 +2xh+h2 -2x-2h –1)-(x2 -2x-1) h h = x2 + 2xh+h2 -2x-2h-1-x2 -+2x+1 h = 2xh + h2 – 2h h = h (2x + h-2) h = 2x + h - 2
  133. 133. CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES: Polinomial No polinomial P (x) a (x) 1er. Grado – Lineal 2do. Grado – Cuadrática 3er. Grado – Cúbica FUNCIÓN Explícitas ó Implícitas Algebraica Racional P (x) a (x) Iracional Trascendental Logarítmica Exponencial Trigonométrica Otras Directa Inversa FUNCIÓN EXPLÍCITA: Es aquella función cuya Regla de correspondencia parece despejada de una variante. Ejemplo: y = 3x2 + 2x – 1 FUNCIÓN IMPLICITA: Es aquella función en cuya Regla de correspondencia no aparece despejada ninguna variable. Ejemplo: 4x + 3y = 5 Ejemplo: 1) F={(x,y) | 2x + 5y – 8 Implícita, algebraica, racional, polinominal, lineal. 2) G={(x,y) | y = se x + tan x} Explícita, trascendente, trigonométrica, directa. 3) Explícita, algebraica, irracional. x ( ){ }xyyxH −== 1|,
  134. 134. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN La gráfica de una función está formada por todo el conjunto de parejas coordenadas (x,y); que cumplen o satisfacen la regla de correspondencia. Ejemplo. 1) F={(x,y) | y = x2 –3x +2} Para –3 ≤ x < 2 x y= x2 –3x +2 (x,y) -3 -2 -1 0 1 1.5 1.9 2 9 + 9 + 2 = 20 4 + 6 + 2 = 12 1 + 3 + 2 = 6 (0) + 0 + 2 = 2 1 – 3 + 2 = 0 – 4.5 + 2 = -.25 3.61+ 5.7 + 2 = -.09 4 - 6 + 2 = 0 (-3, 20) (-2, 12) (-2, 6) (0, 2) (1, 0) (1.5, -.25) (19, -.09) (2, 0) DOMINIO RANGO -3 ≤ x < 2 -.25 ≤ y ≤ 20 x ε IR x [-3, 2) y ε IR ^ [-.25, 20] 2) F = {(x,y)|y = x2 – 2} Si x > 2 x y= x2 –2; x > 2 (x,y) 2 3 4 5 ( 2 )2 - 2 = 2 ( 3 )2 - 2 = 7 ( 4 )2 - 2 = 17 ( 5 )2 - 2 = 23 (2,2) (3,7) (4,14 ) (5,(23) Dominio: Rango: x > 2 y > 2 3) X y= x2 –3x +2 (x,y) -3 -2 -1 0 1 3/-3-2 = -3/5 3/-2-2 = -3/4 3/-1-2 = -1 3/0-2 = -3/2 3/1-2 = -3 (-3, -3/5) (-2, -3/4) (-1, -1) (0, -3/2) (1, -3) ( )       − == 2 3 ]|, x yxyF -3-2-1 1 2 3 20 15 10 5 ..... ....
  135. 135. 2 3 4 5 6 3/2 –2 = E 3/3-2 = 3/2 3 /4-2 = 3/2 3/5 –2 = 1 3/6 –2 =3/4 E (3, 3) (4, 3/2) (5, 3) (6,3/4) Dominio: Rango: (x < 2) ∩ (x > 2) (y < 0) ∩ (y > 0) FUNCIONES DE USO FRECUENTE 1) FUNCIÓN CONSTANTE _ F ={(x,y)|y = k} , k = CTE. x y - 4 -.3 0 3 4 4 4 Dominio: Rango: x ε IR y -4 2) FUNCIÓN IDENTICA _ F ={(x,y)|y = k} , k = CTE. x y - 4 -.3 0 3 4 4 4 Dominio: Rango: x ε IR y ε IR y = K y = x
  136. 136. 3) FUNCIÓN CUADRÁTICA _ F ={(x,y)|y = x2 } x Y = x2 -3 -2 -1 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9 Dominio: Rango: x ε IR y ≥ 0 4) FUNCIÓN CÚBICA _ F ={(x,y)|y = x3 } x y = x3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -27 -8 -1 0 1 8 27 Dominio: Rango: x ε IR y ε IR 5) FUNCIÓN DE RAÍZ CUADRADA _ x -2 -1 0 1 2 3 4 ( ){ }xyyxF == |, xy = 24 3 4142.12 1 0 2 = = = =∉− 1- y = x parábola y = x parábola cúbica
  137. 137. Dominio: Rango: x ε IR ≠ 0 y ε IR y ≠ 0 6) FUNCION RECIPROCA _ x y = 1/x -3 -2 -1 -.5 -.2 .1 .2 2 3 -1/3 -1/2 -1 -2 -5 10 5 1 /2 1/3 Dominio: Rango: x ε IR x≠ 0 y ε IR y ≠ 0 7) FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO _ F ={(x,y)| = |x|} x y = |x| -3 -2 -1 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3 Dominio: Rango: x ε IR y ≥ 0 8) FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO.- Máximo Entero: Si x ε IR, el máximo entero de x que se denota [^] se define para: ∩ ≤ (x < ∩ + 1, ∩ ε E ⇒ [ x ] = ∩ { } 0),( 1 ≠== xyyxF x
  138. 138. F = {(x,y) | y = [x]} Ejem. [-2. 4} = -3 [-0.83] = -1 [3.14] = 3 [5] = 5 ∩ y= [x] [x] ∩=-4 ∩=-3 ∩=-2 ∩=-1 ∩= 0 ∩=-1 ∩=-2 ∩=-3 -4 ≤ x < - 3 -3 ≤ x < - 2 -2 ≤ x < - 1 -1 ≤ x < 0 0 ≤ x < 1 1 ≤ x < 2 2 ≤ x < 3 3 ≤ x < 4 [x]= -4 [x]= -3 [x]= -2 [x]= -1 [x]= 0 [x]= 1 [x]= 2 [x]= 3 Dominio: Rango: x ε IR y ε IE Función Escalonada y = [x]
  139. 139. OPERACIONES CON FUNCIONES Dadas las funciones F ^ G, con regla de correspondencia y = f (x) ∩ y = g (x) respectivamente y Dominio Df y Dg, se definen las siguientes operaciones: 1) SUMA DE FUNCIONES F + G = {(x,y) | y = f(x) + g(x)} Df + g = Df ∩ Dg 2) RESTA DE FUNCIONES F + G = {(x,y) | y = f(x) – g (x)} = Df - g = Df ∩ Dg 3) PRODUCTO DE FUNCIONES F - G = {(x,y) | y = f(x) – g (x)} - Df - g = Df ∩ Dg 4) DIVISION DE FUNCIONES F/G = {(x,y) | y = f(x)/g(x) g (x) ≠0} - Df/g = Df ∩ Dg Ejemplo: Dadas las funciones F-{(1,3) (2,4) (3,5) (4,7) (5,9) (6,11)} ^ G = {(10,3) (2,2) (3,5) (5,3) (7,2) (8,4)} obtener las cuatro operaciones. F + G = { ( x,y ) | y = f (x) + g+(x)} = { (2,6) (3,10) (5,12) F - G = { ( x,y ) | y = f (x) – g (x)} = { (2,2) (3,0) (5,6)} F - G = { ( x,y ) | y = f (x) g (x)} = { (2,8) (3,25) (5,27)} F/G = { ( x,y ) | y = f (x)/g(x), g(x) ≠0} = { (2,2) (3,1) (5,3)}
  140. 140. Las funciones: F = {(x,y) | y =x2 + 2x –1} G = {(x,y) | y = 2x –3} DF = x ε IR DF ∩ DG = x ε IR F + G = {(x,y) | y = (x2 + 2x –1) + (2x – 3)} = {(x,y) | y = x2 + 4x –4} F - G = {(x,y) | y = (x2 + 2x –1) + (2x – 3)} = {(x,y) | y = x2 + 4x +2} F - G = {(x,y) | y = (x2 + 2x –1) = (2x – 3)} = {(x,y) | y =2x3 + 4x2 x-3x2 – 6x +3} = {(x,y) | y = 2x3 + x2 –8x + 3} F/G = {(x,y) | y = (x2 + 2x –1)/(2x – 3, x ≠ 3/2} porque 2x-3 = 0 x = 3/2 F = { ( x,y ) | y = x2 } Para 3 ≤ x ≤ 5 G = { (y,y ) | t = x } Para x ≥ 0 DF = x ε IR [-3, 5] DG = x ε IR [0, oo] DF ∩ DG = x ε IR [0, 5] F + G = { (x,y) | y = f (x) + g (x)} = { (x,y) | y = x2 + x} F - G = { (x,y) | y = f (x) - g (x)} = { (x,y) | y = x2 - x} F + G = { (x,y) | y = f (x) + g (x)} = { (x,y) | y = x3 + x} F/G = { (x,y) | y = x2 /x, x ≠ 0} = { (x,y) | y = x} X ≠ 0 5) COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dadas dos funciones F ^ G, con regla de correspondencias y = f (x)
  141. 141. ∩ y = g (x) y Dominios Df ∩ Dg respectivamente. La composición de “F” con “G” que se denota “F ο G” ó y = f(g(x)) es una nueva función definida de la siguiente manera: F ο G = [ (x,y) | y = f (g(x)) ∴∴∴∴ DF ο G = {x| x ε DG, g(x) = DF} Ejemplo: Dadas las siguientes funciones F = {(1,2) (3,4) (4,7) (5,10) (6,0)} ^ G = {(2,1) (4,4) (5,6) (8,3) (9,11) (12,11)} obtener F ο G F ο G = {(2,2) (4,7) (5,0) (8,4)} DG = {2, 4, 5, 8, 9, 12} X=2 g(2) = 1 ε Df ⇒ g = f(g(x)) = f(1) =2 X=4 g(4) = 4 ε Df ⇒ g = f (4) = 7 X=5 g(5) = 6 ε Df ⇒ g = f(6) =0 X=8 g(8) = 3 ε DF ⇒ g = f(3) = 4 X=9 g(9) = 11 ε DF X=12 g(12) = 11 ε DF F={(1,9 (2,3) (5,7) (10,3) (11,7)} G={(0,0) (4,2) (7,2) (8,10) (15,11)} F ο G = {(4,3) 7,3) (8,3) (15,7)} Dadas las funciones Obtener F ο G ^ G ο F ( ){ } ( ){ }1 23 −== −== xyyxG xygxF |, |, ( ) ( )( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ }213 1 −−== −== == xyyx xfyyx xgfyyxGF |, |, |, ( ) ( )( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ }33 23 −== −== == xyyx xgyyx xfgyyxFG |, |, |,
  142. 142. F ο G ≠ G ο F Ejemplo (2) F={(x,y| y =x2-3x+4} F ο G , G ο F , G ο G G={(x,y)|y=x-1 F ο G = {(x,y)| y = f (g(x))} G ο F ={(x,y)| y= g (f (x))} = {(x,y)| y = f (x-1)} ={(x,y)| y= h (x2 -3x +4)} = {(x,y)| y = (x-1)2 –3(x-1) +4} ={(x,y)| y= x2 –3x +3 = {(x,y)| y = x2 –2x +| -3x + 3+4} ={ (x,y)| y= x2 +5x+8} G ο G ={(x,y)| y = g(g(x)) = {(x,y)|y = g(x-1) = {(x,y) | y= x-2} 6) FUNCIÓN INVERSA: F-1 , F* Si se intercambian los elementos de los pares ordenados de una función se obtiene una nueva relación ó función llamada “Relación ó función Inversa “ y se denota F*. Obtener la inversa de las siguientes funciones: F={(1,2) (3,5) (5,9) (7,10) (8,4)} Función Inyectiva F*= {(2,1) (5,3) (9,5) (10,7) (4,8)} Función Inversa (Inyectiva) G={(3,2) (4,5) (6,2) (7,6) (8,8)} Función Suprayectiva. G*= {(2,3) (5,4) (2,6) (6,7) (8,8)} Inversa (inyectiva). Para que la inversa de una función sea también función ésta debe ser INYECTIVA.
  143. 143. Ejercicio: F={x,y)| y=3x –1} - La Regla de correspondencia de F es: Y = 3x –1 - La Regla de correspondencia de F* es: X= 3y –1 x + 1 =3y Y = x+1/3 Ejercicio (2): Ejercicio (3): x (x,y) Dominio: Rango: y ≥ 5 y ≥ 0 ( ){ }3 1+==∗ xyyxF |, ( ){ } ( ){ } 55 5 55 5 55 2 2 2 ≥+== += −=→−=− −=− ≥−== yyyxG xy yyx xy xxyyxG x x |,* |, ( ){ } 55 ≥−== yxyyxG si|, 5−= xy 9 8 7 6 5 2 3 2 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )29 38 27 16 05 , , , , , ( ){ } ( ){ } 55 55 2 ≥+== ≥−== xsiyyx xsixyyxG x|, |,* 55 −=−= yxxy 55 22 +−= yx y 05 ≥≥ xy
  144. 144. Estudios Límites. x Y=x2 +5 (x,y) 0 1 2 3 4 5 5 6 9 14 21 30 (10,5) (1,6) (2,9) (3,14) (4,21) (5,30) Dominio: X ≥ 0 Rango: y ≥ 5 F={(x,y)|y=3x2 } G={(x,y)|y=2x-1} (G*)* ={(x,y)|y=2x-1} y=2x-1 x=2y-1 2y=x+1 y=x+1/2 ={(x,y)|y=x+1/2 y=x+1/2 x=y+1/2 2x=y+1 y=2x-1 ={(x,y)|y=2x-1} F º F* ={(x,y)|y=f(f*(x))} f*=y]=3x2 x=3y2 y2=x/3 y= = { (x,y) | f } ={ (x,y) | y=3 } { (x,y) | y=x } F** = x ( )3x 3 x ( )3x F º F** = x
  145. 145. LIMITES NOTACIÓN.- x a se lee “x tienda a a” y significa que los valores que se le asignen a la variable independiente “x” serán sucesivamente cada vez más cercanas “a” pero sin llegar a tomar el valor de “a”. x 2 -1, 0, 1.5, 1.9, 1.99, 1.999, 1.9 → ← 5,4,3,2.5,2.1,2.0001 Dada una función con regla de correspondencia y=f(x) cuando x →a, la función tiene a un valor fijo llamado “LIMITE” , lo cual se denota: LIMITE.- Se dice que “L” es el límite de la función f (x) cuando x tiende a un valor fija “a”, si existe una Є > 0 lo suficientemente pequeña para que: Cuando Donde “δ” es un valor positivo que depende del valor de Є *Lim 3 x – 2 = 5 a) Comprobarlo utilizando la def. x → 4 b) Comprobarlo numéricamente. Lim f (x) = L x → a Concepto Intuitivo | f (x) – L | < Є 0 < °x-a °< δ 2
  146. 146. Ejemplo: Calcular numéricamente el “Lim x + 1” cuando X → 2 y comprobar el resultado utilizando la definición. x |f(x) – l| |f(x)) – l| 1 x-a | x f(x) – x + 1 -1 0 1 1.9 1.99 1.999 1.9999 1.9 -1.5 2.7 0 1 2 2.9 2.99 2.999 2.9999 2.9 2.5 2.7 3 2 1 -1 .01 .001 →* .0001 1000---1 .5 .3 3 .001 5 4 3 2.5 2.2 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 6 5 4 3.5 3.2 3.1 3.01 3.001 3.0001 3.00001 Cuando: x → 2 ∴∴∴∴ Para cada Є > 0 | f(x) – L | > Є cuando 0 < |x-a| < | δ | δ x + 1 – 3 | < Є | x – 2 | < δ | x – 2 | < Є ⇒ Existe una δ > = δ – Є que | f(x) – L | > Є cuando 0 < |x-a| < δ Lim 3 x –2 = 5 x 4 a) Comprobarlo utilizando la def. b) Comprobarlo numéricamente c) Comprobarlo nuevamente utilizando la def. Lim x + 1 = 3 ^ → 2 Є = 0.002 δ = 0.002 Lim f (x) = L x → a
  147. 147. 10)( 4 3 63/92 →⇒ → → =−− xf x cuando x xx Lim δ ε <− <− → =− ax Lxf x x Lim )( 4 1023 a) Si para cada Є > 0, existe una δ > 0 lo suficientemente pequeña para que cumpla: | f (x) – L | < Є cuando 0 < | x-a | < δ | 3 x –2 –5 | < Є | x –4| = δ | 3 x - 7| < Є No existe ninguna δ que cumpla | 3 (x-7/3)| < Є ∴∴∴∴ Lim 3x – 2 = 5 3 | (x-7/3) < Є x → 4 | x – 7/3 | < Є/3 b) x F(x) = 3x-2 | f (x)-L |x-a| x F(x)- 3x –2 | f (x) –| |x-a| 0 1 2 3 3.5 3.7 3.9 3.99 3.999 -2 1 4 7 8.5 9.1 9.7 9.97 9.997 12 9 6 3 1.5 0.9 0.3 0.03 0.003 4 3 2 1 .5 .3 .1 .01 0.001 4.0001 4.001 4.01 4.1 4.2 4.5 4.7 5 6 7 10.0003 10.003 10.03 10.3 10.6 11.5 12.1 13 16 19 0.0003 0.003 .03 .3 .6 1.5 2.1 3 6 9 0.0001 0.001 .01 .1 .6 .5 .7 1 2 3
  148. 148. 3 4 43 123 )( ε ε ε ε <− <− <− <− x x x Lxf δ δ >− >−< 4 0 x ax cuando ε<−− 10)23( x Si para cada ε > 0 existe δ > 0 que cumpla: Existe una δ > 0 cuya δ = ε/3 Tal que: cuando Ejem: Existe una δ > 0 cuya δ = ε/2 Tal que: cuando δ<−< 40 x 4 1023 → =− ∴ x x Lim 3 932 → =+ x x Lim 2 3 62 )( ε ε ε <− <− <− x x Lxf δ δ <− <−< 3 30 x x cuando ε>−+ 9)32( x δ<−< 30 x
  149. 149. Ejem: 2410 8 1 4149 166 65 23 1 2 3 2 223 2 2 2 2 −+ − = − + = ++ = −− ++ = +−∧ − xx x Lim x x Lim x xxx Lim xx xx Lim x xLim 1→x 2−→x 0→x 1−→x 2→x

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