Geometria analitica   fuller
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Geometria analitica fuller

on

  • 4,341 views

 

Statistics

Views

Total Views
4,341
Views on SlideShare
4,341
Embed Views
0

Actions

Likes
4
Downloads
352
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Geometria analitica   fuller Geometria analitica fuller Presentation Transcript

    • SÉPTIMA EDICIÓN , , anal Gordon FuUer Profesor emérito de matemáticas Texas Tech University Dalton Tarwater Profesor de matemáticas Texas Tech University Versión en español de Rafael Martínez Enríquez a Universidad Nacional Autónoma de México Con la colaboración técnica de Alberto Rosas Pérez Universidad Nacional Autónoma de México MÉXICO· ARGENTINA· BRASil.,· COLOMBIA· COSTA RICA· CHILE ESPAÑA· GUATEMALA· PERÚ· PUERTO RICO· VENEZUELA
    • Versión en español de la obra titulada Analityc Geometry, Seventh Edition, de Gordon Fuller y Dalton Tarwater, publicada originalmente en inglés por Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Reading Massachusetts, E.U.A., ©1986por Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Esta edición en español es la única autorizada. SÉPTIMA EDICiÓN, 1995 Primera reimpresión en México, 1999 • ©1995 por ADDISON WESLEY IBEROAMERICANA, S.A. • D.R. ©1999 por ADDISON WESLEY LONGMAN DE MEXICO, S.A. DE C.V. Calle Cuatro No. 25, 2° piso Fracc. Industrial Alce Blanco 53370 Naucalpan de Juárez, Estado de México CNIEM 1031 Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o sus representantes. ISBN 9 68-444 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 234 5 67890 03 020100 99 o MAY It.f'RESORA ROMA TOMAS VAZOUEZ No. 152 COL. SAN PEDRO IXTACALCOC P.08220 MEXICO. D. F. 2000 O
    • Dedicatoria Gordon Fuller nació en Joshua, Texas, el 17 de enero de 1894. Se graduó en matemáti­ cas en el West Texas State (licenciatura, 1926), y en la University of Michigan (maestría y doctorado, 1933). Después de 12 años de enseñanza en Auburn, se incorporó a la Te­ xas Tech University en 1950, donde permaneció hasta su retiro en 1968. Fue autor o coau­ tor de libros de texto de álgebra elemental, trigonometría plana, geometría analítica y cálculo. Se le recuerda como un profesor duro pero justo, un expositor lúcido, un caballero elegante y un colega cordial. Gordon Fuller murió en Dalias, Texas, el 17 de marzo de 1985. Este texto se dedica • a su memona. También se dedica a su hijo, el doctor Dwain Fuller, y a mi esposa, Nancy Tarwater, . . . , por su paCiencia, comprenSlOn y apoyo.
    • Prefacio Esta séptima edición de Geometría analítica (para matemáticas de preparatoria o mate­ máticas IV de CCH), se diseñó para un primer curso sobre el tema. En ella se destacan los elementos esenciales de la geometría analítica y se pone énfasis en aquellos concep­ tos necesarios en cálculo, ya sea el cálculo tradicional o el que se lleva en una carrera enfocada a los negocios. Si bien una gran parte de la edición anterior ha quedado intacta, esta edición presen­ ta los siguientes cambios importantes. l. A las muchas aplicaciones de la geometría analítica a la administración, a las cien­ cias sociales y a las ciencias físicas se han añadido nuevas aplicaciones en medici­ na, salud pública, probabilidad, estadística, además de una que se refiere a los gastos de traslado que repercuten en el pago de impuestos federales. 2. Se incluye un nuevo capítulo sobre ajuste de curvas, que contiene yl método de mí­ nimos cuadrados para modelos lineales y exponenciales, así como una nueva sec­ ción dedicada al estudio de coordenadas esféricas y cilíndricas. 3. Se presentan notas históricas que brindan al lector un sentido de continuidad con el pasado. 4. Se incluye una gran variedad de temas nuevos que versan sobre funciones crecien­ tes y decrecientes, desigualdades lineales y polinomiales, números complejos y fun­ ciones hiperbólicas. 5. Se espera que el lector utilice algún tipo de graficador, ya sea una calculadora o un computador con capacidad de graficación. A lo largo del texto, así como en los ejer­ cicios, aparecen referencias a las rutinas incluidas en el nuevo programa Explorer de Addison-Wesley, así como recomendaciones para quien utilice un graficador. Los ejercicios en los que podría usar una calculadora NO se diseñaron para que se recu­ rriera a dicha herramienta, sino para que las respuestas se obtuvieran usando "lápiz y papel" o algún tipo de graficador. Esto permite al estudiante (o profesor) decidir cuál método de solución resulta apropiado. 6. A cada capítulo se ha añadido un listado de términos clave y un conjunto de ejerci­ cios a manera examen. Al final del libro se encuentran las respuestas de los ejerci­ cios pares y de todos los ejercicios que aparecen en los exámenes. El texto va acompañado de un Students Solutions Manual, con las respuestas a los ejercicios pares, y de un Instructors Manual, con las respuestas a todos los ejercicios. Addison-Wesley también ha puesto a disposición del usuario un Graphing Calculator and Computer Graphing Laboratory Manual, que enseña el uso de varios tipos de cal­ culadoras y utilería de graficación MasterGrapher -3D Grapher. v
    • vi Se dan las más cumplidas gracias al doctor Henry PoIlack, de BeIl Labs, por sugerir el ejercicio que aparece en la sección 3.4 y que se refiere a los gastos de reacomodo deducibles de los impuestos federales. Agradecemos también al doctor William Howland, de Texas Tech, la aportación de los ejercicios sobre cónicas, así como al doctor Harold Bennet, de Texas Tech, por contribuir con las respuestas que aparecen al final del libro. Se ha contado con las sugerencias y consejos de Jerry L. Frang, de Rockford, Illinois, de Lance L. Littlejohn, de Utah Curbo, quien trabajara en Monterey High School de Lubbock, Texas. Nos entristece la muerte de tan excelente maestro. Agradecemos a los muchachos colegas y estudiantes que han sugerido mejoras al• texto. Finalmente, expresamos nuestra sincera gratitud por la magnífica labor de captura realizada por la señora Pam Newton. Lubbock, Texas
    • estudiante Bienvenido al estudio de la geometría analítica. Está en buena compañía. En los últimos dos mil años, millones de personas han estudiado algún aspecto de este tema. Entre ellos se encuentran muchos de los más grandes intelectos de los tiempos históricos y moder­ nos. Gran parte de estos estudiantes aprendieron geometría analítica por sus valores in­ trínsecos. Sin embargo, justo es decir que hoy día el tema se estudia principalmente como un curso preparatorio para el cálculo. Hemos tratado de mostrar, en ejemplos y ejercicios, que las ideas aquí expuestas son aplicables en muchos campos de estudio. Por desgracia es necesario estudiar cálculo, o incluso otros cursos posteriores, para ver las aplicaciones en toda su profundidad. Se es­ pera que las diversas aplicaciones presentadas basten para indicar la amplia utilidad de estos conceptos. Se supone que el lector ha tomado cursos de álgebra, geometría y trigonometría, y se espera que pueda resolver cuadráticas por fórmula y completando el cuadrado, resolver sistemas de ecuaciones y usar las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente, así como algunas identidades que las incluyan. Para algunos ejercicios será útil conocer de­ terminantes. Se recomienda leer el texto antes de intentar resolver los ejercicios. Mientras se lee el texto, se puede usar lápiz y papel para completar los pasos faltantes en los ejemplos y para copiar teoremas y fórmulas hasta aprenderlos. Se da por hecho que el estudiante tiene acceso a una calculadora que incluya las funciones trigonométricas, log, In, ex o yx. Se espera, además, que se cuente con algún tipo de sistema graficador, ya sea una calculadora con pantalla para gráficas o un com­ putador con paquetería para graficar funciones. Usados en forma adecuada, estos ele­ mentos pueden ampliar y aumentar el entendimiento de la geometría analítica, si bien No eliminan la necesidad de conocer los principios, teoremas, fórmulasy definiciones que aparecen en este texto. Es importante advertir que la posesión de una calculadora o de un computador con múltiples programas no libera al matemático, al científico o al ingeniero del conocimien­ to de los fundamentos de la geometría analítica. Simplemente les permite mejorar su ca­ pacidad para tratar aplicaciones más complicadas. El estudiante que tenga acceso a un computador de gráficas se beneficiará del uso de esa capacidad para graficar muchas de las funciones de este texto. Si bien no se requiere que el estudiante use un computador, los autores sugieren a todos los estudiantes que tengan acceso a uno, que apliquen los conocimientos adquiridos aquí y que programen el computador para elaborar gráficas siempre que les sea posible. Vii
    • , Indice general 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 1 2 1.1 Conceptos fundamentales 2 1.2 Inclinación y pt:ndiente de una recta 12 1.3 División de un segmento de recta 23 1.4 Demostraciones analíticas de teoremas geométricos 30 1.5 Relaciones y funciones 35 1.6 Ecuación de una gráfica 44 1.7 Algunas funciones especiales 50 Ejercicios de repaso 59 Términos clave 60 Examen sobre el capítulo 60 LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA 61 3 2.1 Rectas y ecuaciones de primer grado 61 2.2 Otras formas de ecuaciones de primer grado 69 2.3 Intersección de rectas 74 2.4 Distancia dirigida de una recta a un punto 79 2.5 Familias de rectas 86 2.6 La circunferencia 92 2.7 Familias de circunferencias 100 2.8 Traslación de ejes 104 Ejercicios de repaso 107 Términos clave108 Examen sobre el capítulo 108 CÓNICAS 111 3.1 La parábola 112 3.2 Parábola con vértice en (h, k) 120 3.3 Elipse 129 3.4 Hipérbola 142 ix
    • x 4 Ejercicios de repaso 152 Términos clave153 Examen sobre el capítulo 153 , SIMPLIFICACION DE ECUACIONES 155 5 4.1 4.2 4.3 4.4 Simplificación por traslación 155 Rotación de ejes 159 Simplificación por rotaciones y traslaciones 162 Identificación de una cónica 167 Ejercicios de repaso 172 Términos clave 172 • Examen sobre el capítulo 172 CURVAS ALGEBRAICAS 175 6 5.1 Polinomios 175 5.2 Ecuaciones racionales 179 5.3 Asíntotas inclinadas 184 5.4 Ecuaciones irracionales 188 Ejercicios de repaso 192 Términos clave 193 Examen sobre el capítulo 193 FUNCIONES TRASCENDENTES 195 7 6. 1 Funciones trigonométricas 195 6.2 La función exponencial 205 6.3 Logaritmos 210 6.4 Suma de ordenadas 216 6.5 Ecuaciones trigonométricas 221 Ejercicios de repaso 223 Términos clave 224 Examen sobre el capítulo 224 COORDENADAS POLARES 225 7. 1 Sistema de coordenadas polares 225 íNDICE
    • (ND/CE 8 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 Relaciones entre coordenadas polares y rectangulares 230 Gráficas de ecuaciones en coordenadas polares 237 Ayudas para graficar ecuaciones en coordenadas polares 241 Ecuaciones polares de rectas y circunferencias 249 Ecuaciones polares de las cónicas 253 Intersecciones de gráficas en coordenadas polares 259 Ejercicios de repaso 263 Términos clave 264 Examen sobre el capítulo 264 , ECUACIONES PARAMETRICAS 265 9 8.1 Ecuaciones paramétricas de las cónicas 266 8.2 Aplicaciones de las ecuaciones paramétricas 274 Ejercicios de repaso 279 Términos clave 279 Examen sobre, el capítulo 280 COORDENADAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES 281 9.1 Coordenadas en el espacio tridimensional 281 9.2 Superficies de revolución y superficies cuádricas 291 9.3 Coordenadas cílindricas y esféricas 306 10 Ejercicios de rep(lso 310 Términos clave 311 Examen sobre el capítulo 311 VECTORES, PLANOS Y RECTAS 313 10.1 Operaciones con vectores 314 10.2 Vectores en el espacio tridimensional 327 103 Producto escalar de dos vectores 330 10.4 Ecuación de un plano 337 10.5 Ecuación vectorial de una recta 342 10.6 El producto vectorial 349 Ejercicios de repaso 357 Términos clave 358 Examen sobre el capítulo 358 • XI
    • xii 11 AJUSTE DE CURVAS 359 11.1 Método de mínimos cuadrados 360 11.2 Modelos exponenciales 364 Ejercicios de repaso 366 Términos clave 366 Examen sobre el capítulo 367 Apéndice A Fórmulas 369 Apéndice B Tablas 375 Respuestas a ejercicios seleccionados 379 , Indice de materias 433 íNDICE •
    • Capítulo Conee tos fundame les A través de varios siglos el álgebra y la geometría se han desarrollado lentamente como disciplinas matemáticas distintas. En 1637 René Descartes matemático y filósofo fran­ cés, publicó su obra La Géométrie, en la cual introdujo un mecanismo para unir esas dos ramas de las matemáticas. La característica básica de este nuevo proceso, ahora llamado geometría analítica, es el uso de un sistema coordenado. Por medio de sistemas coordenados, los métodos algebraicos se pueden aplicar con rigor al estudio de la geo­ metría; quizá más sobresaliente sea el beneficio que representa para el álgebra la repre­ sentación gráfica de ecuaciones algebraicas. Descartes contribuyó notablemente a allanar el camino para alcanzar diferentes desarrollos en matemáticas, ya que nos brindó el mar­ co de referencia para la creación del cálculo. Muchos de los conceptos analizados en este libro son de origen antiguo pero no se debe caer en el error de pensar que se estudian sólo por su valor histórico. Por el contra­ rio, estas ideas han soportado el paso del tiempo y hoy día se estudian debido a su utili­ dad para tratar problemas presentes (y probablemente futuros). Los temas que son sólo de interés histórico y que no tienen ya ninguna utilidad casi han desaparecido como te­ mas de estudio. Los aspectos que se estudian en este libro tienen significativas aplicaciones en mul­ titud de investigaciones matemáticas y en disciplinas tan diversas como astronomía, fisi­ ca, química, biología, ingeniería, negocios, medicina, ciencias sociales, psicología, estadística, agricultura y economía. Sin embargo, cabe advertir a los estudiantes que si bien el conocimiento de la geometría analítica es esencial para comprender una gran can­ tidad de aplicaciones de las matemáticas, deberán profundizar mucho más en las mate­ máticas para poder apreciar toda la riqueza de las aplicaciones que aparecen en este libro. Quizás el principal propósito de este estudio consista en examinar, de manera elemental, conceptos que en una situación más abstracta se generalizan convirtiéndose en poderosas herramientas matemáticas. • NOTA HISTORICA . René Descartes (1596-1650), cuando joven, prefería dormir hasta tarde y meditar en cama después de despertar. Más tarde vagó durante años por Europa antes de asentarse en Holanda en 1628 para meditar aislado del mundo. Después de varios años publicó el Discurso del método, de gran importancia filosófica y matemática, en el qu� presentó la geometría analítica. , I
    • 2 CAP(TULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 1 .1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES Una recta dirigida es una recta en la cual una dirección se escoge como positiva y la dirección opuesta como negativa. Un segmento de la recta, formado por dos puntos cua­ lesquiera y la parte entre ellos, se llama segmento de recta dirigido. En la figura 1.1, la dirección positiva se indica con una flecha. Los puntos A y B determinan un segmen­ to, cuya denotación es AB o BA. Se dice que la distancia de A a B, medida en la direc­ ción positiva, es positiva, y que la distancia de B a A, medida en la dirección negativa,. es negativa. Estas dos distancias, cuya denotación es AB y BA se llaman distancias diri- . gidas. Si la longitud del segmento de recta es 3, entonces AB = 3 Y BA = -3. Por tanto, las distancias en un segmento de recta dirigido satisfacen la ecuación . • AB - -BA. B B A Figura 1.1 A Otro concepto relacionado con la distancia en el segmento AB es el de distancias no dirigidas entre A y B. La distancia no dirigida es la longitud del segmento que se considera positiva. Se usará la notación lABio IBAI para indicar la medición positiva de la distancia entre A y B, o la longitud del segmento de recta AB. En vista del análisis anterior, se puede escribir AB = IABI = IBAI = 3, BA = -IABI = -IBAI = -3. A menudo tiene particular importancia el concepto de valor absoluto de un núme­ ro. Al respecto, se da la siguiente definición. De acuerdo con esta definición, el valor absoluto de todo número distinto de cero es positivo y el valor absoluto de cero es cero. Así, 151 = 5, 1-5 1= -(-5) = 5, 101 = o.
    • 1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES Se observa entonces que para cualquier número real a, lal = W puesto que la raíz cuadrada de cualquier número no negativo es no negativa. Teorema 1.1 Si A, B Y C son tres puntos de una recta dirigida, entonces la distancia dirigida determi­ nada por estos puntos satisface las ecuaciones • • AB + BC = AC , AC + CB = AB, BA + AC = BC. � -=-:'" • Demostración Si B está entre A y C, las distancias AB, BC y AC tienen el mismo signo y, obviamente, AC es igual a la suma de las otras dos distancias (Fig. l.2). Las ecuaciones segunda y tercera resultan con facilidad de la primera. Para probar la segunda ecuación, se suma -BC en ambos lados de la primera y luego se usa la condición de que -BC = • CB. Así, AB = AC - BC = AC + CB. • •• Figura 1.2 A B e La recta numérica real 3 Un concepto fundamental en geometría analítica es la representación de todos los nú­ meros reales mediante puntos en una recta dirigida. Debe advertirse que los números reales están formados por los números positivos, los negativos y el cero. Para establecer la reptesentación deseada, primero se escoge en una recta una direc­ ción como la positiva (a la derecha en la Fig. 1.3) Y se elige un punto O de la recta, al cual se le llama origen, para representar el número cero. A continuación se marcan pun­ tos a las distancias 1, 2, 3, Y así sucesivamente, unidades a la derecha del origen. En­ tonces, los puntos así localizados representan los números 1, 2, 3, etcétera. De la misma manera,.se localizan puntos a la izquierda del origen para representar los números -1, -2, -3, Y así sucesivamente. Ya se han asignado 'puntos a los enteros positivos, a los enteros negativos y al entero cero. Los números cuyo valor esté entre dos enteros conse­ cutivos tienen sus puntos correspondientes entre los puritos asociados con dichos ente­ ros. De este modo, el número 21/4 corresponde al punto que se halla 21/4 unidades a la derecha del origen. En general, cualquier número positivo p se representa con el punto que se encuentra p unidades a la derecha del origen, y un número negativo q se repre­ senta con el punto q unidades a l a izquierda del origen. Además, se supone que todo número real corresponde a un punto en la recta y, recíprocamente, que todo punto en la recta corresponde a un número reaL Esta relación del conjunto de los números reales y el conjunto de puntos de una recta dirigida se llama correspondencia uno a uno.
    • 4 Figura 1.3 I I I I -4 - 3 -2 -1 CAPíTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES o I o I 1 I I 2 3 4 La recta dirigida de la figura 1.3, cuyos puntos corresponden a los números reales, se llama recta numérica real. El número que corresponde a un punto sobre la recta se llama coordenada del punto. Puesto que los números positivos corresponden a puntos en la dirección escogida como positiva a partir del origen y los números negativos co­ rresponden a puntos en la dirección opuesta o negativa a partir del origen, entonces las coordenadas de los puntos sobre una recta numérica se consideran como distancias diri­ gidas a partir del origen. Por conveniencia, algunas veces se hablará de un punto como si fuera un número y viceversa. Por ejemplo, podría decirse "el punto 5" en lugar de "el número 5", y "el número 5" en lugar de "el punto 5". Coordenadas rectangulares Una vez obtenida una correspondencia uno a uno entre los puntos sobre una recta y el sistema de los números reales, se desarrolla un esquema para poner en correspondencia uno a uno los puntos de un plano con un conjunto de pares ordenados de los números reales. en que están colocados y (x', y') son iguales si, y Observe que (3, 2) ;t= (2, 3) Y (l, 1) = (x, y) si, y sólo si, x = 1 Y Y = l. Se trazan una recta horizontal y una recta vertical que se crucen en el origen O (Fig. 1.4). La recta horizontal se llama eje x y la recta vertical eje y. El eje x y el eje y, considerados juntos, se llaman ejes coordenados, y el plano determinado por los ejes coordenados se llama plano coordenado. El eje x, que usualmente se traza de manera horizontal, se llama eje horizontal y el eje y, eje vertical. De cada eje coordenado se hace una escala numérica real con una unidad de longitud adecuada, donde el origen sea el punto cero. Se escoge la dirección positiva hacia la derecha del eje x y hacia arriba en el eje y, como lo indican las flechas de la figura. Es muy importante que los ejes coordenados tengan denominación. El estudiante debe acostumbrarse inmediatamente a hacerlo; bastará una flecha en la dirección positiva de cada eje. Sin embargo, en este caso también deberá indicarse el nombre x o y de cada coordenada, como se hace en la figura 1.4 y en el resto del libro. Si P es un punto en el plano coordenado, las distancias del punto a los ejes coordenados se definen como distancias dirigidas. Esto es, la distancia al eje y es
    • 1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 5 positiva si P se encuentra a la derecha del eje y, y negativa si P está a la izquierda, y la distancia al eje x es positiva si P está arriba del eje x, y negativa si P se.halla debajo del eje x. Cada punto P del plano está asociado con un par de números llamados coordena­ das. Las coordenadas se definen en función de las distancias perpendiculares de los ejes al punto. y 4 3 11 2 1 (-, +) (+, +) 1 x -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 -1 (-, -) -2 (+, -) 111 IV-3 -4 FIgura 1.4 • Un punto cuya abscisa es x y cuya ordenada es y se denominará (x, y), en ese or­ den; la abscÍsa siempl'e se coloca primero. Por ello, las coordenadas de un punto consti­ tuyen un par ordenado de números. Aunque un par de coordenadas determina un punto, a menudo se hace referencia a las coordenadas mismas como a un punto. Se supone que a cualquier par de números reales (coordenadas) le corresponde un punto definido. Recíprocamente, St'< supone que a cada punto del plano le correspon­ de un par definido de coordenadas. Esta relación de puntos sobre un plano y pares de números reales se llama correspondencia uno a uno. El mecanismo descrito para obte­ ner esta correspondencia se llama sistema de coordenadas rectangulares.
    • 6 CAPiTULO I CONCEPTOS FUNDAMENTALES Un punto de coordenadas dadas se localiza midiendo las distancias adecuadas a partir de los ejes y marcando ese punto. Por ejemplo, si las coordenadas de un punto son (- 4, 3), la abscisa - 4 significa que el punto está 4 unidades a la izquierda del eje y y la ordenada 3 (con el signo más sobreentendido) significa que el punto se halla 3 uni­ dades sobre el eje x. En consecuencia, se llegará al punto yendo desde el origen 4 unidades a la izquierda sobre el eje x y después 3 unidades hacia arriba paralelamente al eje y (Fig. 1.5). y 4 -r (-4,3) • 2 ·- 1+ o , , , 1 , x -4 , -3 , -2 , -1 , 1 , 2 , 3 , 4 Figura 1.5 -1 . • De manera análoga, si se desea localizar los puntos (5, -3), habrá que moverse 5 unidades a la derecha del origen sobre el eje x y después 3 unidades hacia abajo (pues la ordenada es negativa), paralelamente al eje y. Se habrá localizado así el punto deseado. En la figura 1.6 se tienen algunas coordenadas y se han localizado los puntos co­ rrespondientes. Figura 1.6 y •o " •••••••••••••••••••••••••••••••• • ••••••••• , • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • · . . . . . . . . . . · . . . . . . . . . . · . . . . . . . . . . · . . . . , . . . . . · , . . . . . . . . . . · . . . . . . . . ...... , . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . · . . . . . . . . . . . · . . . . . , . . . . . · . . . . . , . . . . , :. . . . . :. . . . . :.. . . . :.. . . . : . . . . . :. . . . , · · · · · :· · · · · :· · · · .· · · (3 4) ....:· . . . . . . . . , . · . . . . , . . . . · . . . . . . . . . . . · . . . . . . . . . . . · . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . , - . .. . . . . .. . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... . . . . . . . . . ... . . . . . . . · . . . . . . . . . . . · . . . . . . . . . . ." , . , . " " " :· · · · · : · · · · ..··(-4 2)· · · · :· " , · . . . . . :, . . . , ;, . . . , :. , . . . :. . . . . :. . . . . :. . , . . . . . . . · . . . . . . . . . · . . ' . . , . . ' : . . . . . :. . ... : . . . . . : . . . . .: .....:...... (O 1) ...:. . . . .:. . . . . :. . . . . : : : : : : : ' : : : :. . . . . . . , . . · . . . . . . . . . · . . . . . . . . . · • • · • O · · · · · • • · · · · • · · · · · · • · • · · · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . :· · . . · : · (- 2 - 2)· .. . · · · :. . . . · . . . . . : . . . . . :. . . . . :. . . . . :. . . .. :. . . . . :• • t • • • • • • • . ' . . . . . . . . . · . . . . . . . . . . . : . . . . . :. . . . . :. . . . .:. . . . . :. . . . . :. . . . · · (0 -3) ...:. . .. . :. . ...: . . .. . :• • • • • • t • • • • · . . . . . . . . . · . . . . . . . . . :. . . . . :. . . . . :. . . . . :. . , . . :: . . . . :. . . . . · · · · ·:· · · · .· · (2 - 4). . ·:. . · . . : : : : : : : : : t : :· . ' " . . :. . . . .· · · (- 5 -5) .....:. . . . . . . . . . :. . . . . :. . . . . :. .. . . : . . . . . : . . . . . :. . , . . . . . . . · . . . . . . . .· . . . ' . . . . . . . , . . . . . . . . . . . · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . , . . . . .. . . • x
    • 1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 7 Los ejes coordenados dividen el plano en cuatro partes, llamadas cuadrantes, que se numeran del 1 al IV en la figura 1.4. Las coordenadas de un punto en el primer cuadrante son positivas, lo cual se indica con (+, +) en la figura. Se indican de manera análoga los signos de las coordenadas en cada uno de los otros cuadrantes. Cuando las coordenadas de un punto no son enteros, se hará una aproximación para localizar el punto sobre la gráfica. Por ejemplo, para dibujar los puntos A(1t, .fi) y B= (-./5, 31t), localizemos el punto A en la gráfica en una vecindad de (3. 1, 1.4) análogamente el punto B cerca de (-2.2, 9.4) si se desea una mejor exactitud, la escala de ejes tiene que ser incrementada con más precisión. DistancIa entre dos puntos En muchos problemas se requiere conocer la distancia entre dos puntos del plano coordenado. La distancia entre dos puntos cualesquiera, o la longitud del segmento de recta que los U1�e, se puede calcular a partir de las coordenadas de los puntos. Un seg­ mento de recta (o una recta) se clasificará como horizontal, vertical o inclinado de­ pendiendo de si el segmento es paralelo al eje x, al eje y o a ningún eje. Con el fin de deducir fórmulas adecuadas para encontrar la longitud de estos tipos de segmentos, se usará el concepto de segmentos dirigidos. Sean PJx¡, y) y P2(X2, y) dos puntos sobre una recta horizontal, y sea A el punto donde la recta corta el eje y (Fig. 1.7). Por el teorema 1.1, se tiene que • AP¡ + p¡p2 = AP2 =X2-XI'. De manera análoga, para la distancia vertical Q1Q2' se tiene -=--=' . .QIQ2 = QIB + BQ2 • = BQ2 - BQI = Y2 - YI' Por consiguiente, la distancia dirigida desde un primer punto hasta un segundo punto sobre una recta horizontal es igual a la abscisa del segundo punto menos la abscisa del primero. La distancia es positiva o negativa dependiendo de si el segundo punto se en­ cuentra a la derecha o a la izquierda del primero. Se puede hacer un enunciado corres­ pondiente con respecto a un segmento vertical. En vista de que a menudo se requieren las longitudes de los segmentos, sin importar su dirección, se enuncia una regla que da resultados en cantidades positivas. La longitud de un segmento de recta horizontal que une dos puntos es la abscisa del punto de la derecha menos la abscisa del punto de la izquierda. La longitud de un segmento de recta vertical que une dos puntos es la ordenada del punto superior menos la ordenada del punto inferior.
    • 8 CAPíTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES FIgura 1.7 • A(O. y) B(x. O) o Q,(x. y,) y x • Si no se sabe cuál punto está a la derecha del otro, se puede usar la expresión equiva­ lente IpI�1 = IXI - .1:21 = V(XI- X2)2 (1.1) para la distancia no dirigida entre PI(XI,y) y P2(X2,y). De manera análoga, IQIQ21 = IYI - )'21 = V(YI - )'2) 2 es la distancia entre Q¡(x,YI) y Q2(X,yJ Estas reglas se aplican en la figura 1.8 para encontrar las longitudes de los seg­ mentos de recta. IAB1 = 5 - 1 = 4, IEFI = 1 - (-4) = 1 + 4 = 5. C(-2.4) F(-3, 1) ICDI = 6 - (-2) = 6 + 2 = 8, ICHI = -2 - (-5) = -2 + 5 = 3. y D(6,4) A(l,O) B(5,O) ----t----;::;t-- ••----.--.� x O H(3. -2) E(-3. -4) G(3. -5) Figura 1.8 . A continuación se consideran los puntos P,(xl, y) y P/x2, y) que determinan una recta inclinada. Trace una recta que pase por PI y sea paralela al eje x, y una recta que
    • 1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 9 pase por P2 y sea paralela al eje y (Fig. 1.9). Estas dos rectas se interseean en el punto R, cuya abscisa es x2 y cuya ordenada es YI• Por tanto, y y d o x FIgura 1.9 Por el teorema de Pitágoras, IPIP212 = (X2 - XI)2 + (Y2 - Ylf. Si d denota la longitud del segmento Pl2, se obtiene la fórmula (1.2) Para encontrar la distancia entre dos puntos, se suma el cuadrado de la diferencia de las abscisas con el cuadrado de la diferencia de las ordenadas y se obtiene la raíz cuadrada. • Al emplear la fórmula de la distancia, uno de los puntos se puede representar con (xI' y) y el otro con (x2' y2). Esto se debe a que las dos diferencias están elevadas al cuadrado. El cuadrado de la diferencia de los dos números no cambia cuando se invier­ te el orden de sustracción. • NOTA HISTORICA Pitágoras (c. 520 A. C.) integró una escuela para estudiar .números, música, astrono­ mía y geometría. En la escuela se admitían indistintamente hombres y mujeres, y se practicaba una extraña mezcla de religión, misticismo, política y matemáticas. El teo­ rema de Pitágoras establece que la suma de los cuadrados de los lados perpendicu­ lares de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa. Esto es, si a y b son las longitudes de los lados perpendiculares y c es la longitud de la hipotenusa, entonces a2 + b2 = c2•
    • 10 CAPíTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES Ejemplo 1 Encuentre las longitudes de los lados del triángulo (Fig. 1.10) con vértices A(-2, -3), B(6,1) Y q-2, 5). y C(-2,5) T".. :>8(6,1) o x • Figura 1.10 A(-2, -3) Solución Las abscisas de A y C son iguales y, por tanto, el lado AC es vertical. La lon­ gitud del lado vertical es la diferencia de las ordenadas. Los otros lados son segmentos inclinados y sus longitudes se obtienen con la fórlllula de la distancia. Se tiene, entonces, IACI = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8, IAB I = Y(6 + 2)2 + (l + 3f = v80 = 4Vs, IBCI = Y(6 + 2? + (1 - 5)2 = v80 = 4Vs. Las longitudes de los lados muestran que el triángulo es isósceles. • Ejercicios 1. Localice los puntos A(- 4, O), B(3, O) Y q5, O). A continuación encuentre las dis- -7-:::- � � --:::f-:.. . tancias dirigidas AB, AC, BC, CB, CA y BA. 2. Localice las coordenadas de los puntos A, B Y C que se señalan en la �ráfica de la Figura 1.11. A continuación encuentre las distancias I AB 1, lAC I y I CB I . y 5 4 3 2 A. 1 x O 1 3 4• C Figura l. I I
    • EJERCICIOS 1 1 3. Localice los puntos A(-2, -3),B(-2, O) Y C(-2, 4), Y verifique las siguientes ecuaciones mediante sustituciQnes numéricas. ""7"A"""c + C¡j = AB , BA + AC = BC, A-;-;::¡j + BC = AC. En los ejercicios 4 a 12 localice los pares de puntos y encuente la distancia entre ellos. 4. (3,1),(7,4) 6. (2,3),(-1,O) 8. (0,4),(-3,O) , 1O. (6,3),(-1,-1) 12. (-3,-3),(2,2) 5. (4.137,-2.394),(-8.419,2.843) 7. (13,--4), (O,O) 9. (-1,.Ji), (3,-.Ji) 11. (3,2),(-5,1) En los ejercicios 13 a 16 dibuje el triángulo con los vértices dados y encuentre las longi- . tudes de los lados. 13. A(-I,1), B(-I,4),C(3,4) 15. A(O,O),B(5,-2),C(-3,3) 14. A(2,-1),B(4,2),C(5,O) 16. A(O,-3),B(3,O),C(0,--4) En los ejercicios 17 a 20 dibuje el triángulo con los vértices dados y muestre que el trián­ gulo es isósceles. 17. A(6,2),B(2,-3),CC-2,2) 18. A(21t,2),B(O,-1),C(-21t,2) 19. A(2.l 07,-1.549),B(2.107,6.743),C(9.167,2.597) 20. A(-2,-3),B(4,3),C(-3,4) En los ejercicios 21 a 24,dibuje el triángulo con los vértices dados y muestre que se trata de un triángulo rectángulo. Esto es,que el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los lados restantes. 21. A(I,3),B(l 0,5),C(2,1) 23. A(O, 1),B(I,l/z), C(2,5/z) 22. A(-l,1),B(6,-2),C(4,3) 24. A(5,-2),B(l ,1),C(7,9) 25. Muestre que los puntos A(-2,O),B(2,O) Y C(O,2-J3) son los vértices de un trián­ gulo equilátero. 26. Muestre que los puntos A(--J3,1), B(2-J3,-2) Y C(2-J3,4) son los vértices de un triángulo equilátero. 27. Muestre que los puntos A(I,-1),B(5,2),C(2,6) Y D(-2,3) son lados iguales del cuadrilátero ABCD. 28. Determine si los puntos (-5,6),(2,5) Y (1,-2) tienen la misma distancia con res­ pecto a (-2,2). 29. Justifique que los puntos A(-2,7),B(5,4),C(-I,-10) Y D(-8,-7) son los vértices del rectángulo ABCD.
    • 12 CAPíTULO J CONCEPTOS FUNDAMENTALES Determine, usando la fórmula de la distancia, si los puntos de los ejercicios 30 a 33 están en una recta. 30. (3, 3),(0, 1),(9, 7) 31. (8.104,0.478), (-2.502, 3.766), (2.801, 2.122) 32. (-3, 1), (1, 3), (10, 8) 33. (-2, -2), (5, -2), (-11, 2) 34. Si (x, 4) equidista de (5, -2) Y (3, 4), encuentre x. 35. Si (-3, y) equidista de (2, 6) Y (7, -2), encuentre y. 36. Encuentre el punto sobre el eje y que equidista de (-4, -2) Y (3, 1). 37. Encuentre el punto sobre el eje x que equidista de (-2, 5) Y (4, 1). 38. El área del triángulo ABC se puede encontrar sumando las áreas de los trapecios DECA y EFBC y después restando el área de DFBA, como en la figura 1.12. Re­ cuerde que el área de un trapecio es igual a la mitad de la suma de los lados para­ lelos por la altura. Muestre que el área S del triángulo ABC es S = ;1 [x¡( Y2 - Y3) - Y¡(X2 - X3) + (X2Y3 - X3 Y2)JI,• y que esto es igual a la mitad del valor absoluto del determinante X¡ Y¡ 1 X2 Y2 1 x3 Y3 1 y x o D E F Figura 1.12 1.2 INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA La inclinación de una recta es un concepto de uso extendido en cálculo y en otras áreas de las matemáticas. Con respecto a este concepto, se da la siguiente definición.
    • 1.2 INCLINACiÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA De acuerdo con esta definición, la inclinación e de una recta es tal que 00 < e < 1800, o, en radianes, O � e < n. 13 En la figura 1.13, la inclinación de la recta L se indica mediante flechas curvadas. MX es el lado inicial y ML es el lado terminal. y y L L (J o x oM M x Figura 1.13 Una recta inclinada hacia la derecha tiene una pendiente positiva, pues la inclinación es un ángulo agudo. La pendiente de una recta inclinada hacia la izquierda es negativa. Sin embargo, las rectas verticales no tienen pendiente, pues 9Qo no tíene tangente. Si se conoce la inclinación de una recta no vertical, la pendiente se puede determi­ nar usando una tabla de funciones trigonométricas. Recíprocamente, si se conoce la pen­ diente de una recta, se puede determinar su inclinación. Sin embargo, en la mayoría de los problemas conviene más trabajar con la pendiente de una recta que con su inclinación. Ejemplo 1 Dibuje una recta que pase por P(2, 2) con inclinación de 35°. Solución Se traza una recta que pase por P y que forme un ángulo de 35° con la direc­ ción x positiva, como se muestra en la figura 1.14. La figura muestra también una recta que pasa por (--4, O) con inclinación de 135°. •
    • 14 CAPiTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES y x Figura 1.14 Ejemplo 2 Dibuje una recta que pase por el punto P(-2, 2) con pendiente _2/3. Solución Hay que moverse tres unidades a la izquierda de P y después 2 unidades ha­ cia arriba. La recta que pasa por el punto así localizado y por el punto dado P, tiene claramente la pendiente que se busca (Fig. 1.15). • y (- 5, 4) 3 P(-2,2) .-2 x Figura 1.15 Las definiciones de inclinación y pendiente llevan de inmediato a un teorema acer­ ca de rectas paralelas. Si dos rectas tienen la misma pendiente, sus inclinaciones son iguales. Por geometría se sabe que son paralelas. Recíprocamente, si dos rectas no ver­ ticales son paralelas, tendrán inclinaciones iguales y, por tanto, pendientes iguales. Teorema 1.2 Dos rectas no verticales son paralelas si, y sólo si, sus pendientes son iguales. Si se conocen las coordenadas de dos puntos sobre una recta, entonces la pendiente de la recta se puede encontrar a partir de las coordenadas dadas. Se deducirá a conti­ nuación una fórmula para ello. Sean PI(XI' YI) y P2(X2, y) dos puntos dados, y denote con m la pendiente. Enton­ ces, con referencia a la figura 1.16, se tiene
    • 1.2 INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA y o Figura 1.16 . m = tan (j = RP� = Y2 - YI PIR x2 - xI (J 15 x En la figura 1.17 la recta se inclina hacia la izquierda. Las cantidadesY¡ -Y2 y x2 -x¡ son positivas y los ángulos e y l/> son suplementarios. En consecuencia, Por tanto, y Figura 1.17 o YI - Y2 = tan 4> = -tan (j. x2 - xl m = tan (j = _ YI - Y2 = Y2 - YI X2 - Xl P2(X2, Y2) (J x Por consiguiente, las pendientes de las rectas se detenninan de la misma manera, sin importar si están inclinadas hacia la izquierda o hacia la derecha.
    • 16 , CAPíTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES Teorema 1.3 La pendiente m de una re.c:;ta que pasa por dos puntos dados PJx" YI) y P/x2, Y2) es igual a la diferencia de las ordenadas dividida entre la diferencia de las abscisas toma­ das en el mismo orden; esto es, m = Y2 - YI con x --- x" 2 +- IX2 - XI Con esta fórmula se obtiene la pendiente si los dos puntos se hallan en una recta inclinada u horizontal. Si la recta es vertical, el denominador de la fórmula se hace cero, lo cual se relaciona con el hecho de que la pen"diente vertical. Se observa, además, que cualquiera de los dos puntos se puede representar con PI(xl'Yj, y el otro cm Plx2,y.). ya que Y2 - Y¡ _ Y¡ - Y2 • x2 - x¡ x¡ - x2 Ejemplo 3 Dados los puntos A(-I, -1), B(5, O), C(4, 3) y D(-2, 2) muestre que ABCD es un paralelogramo. Solución Por las pendientes de los lados se determina si la figura es un paralelogramo. . 0-(·-1) l . 3-0 PendIente de AB = 5 _ (_ 1) = 6' PendIente de BC = 4 _ 5 = -3. 2 - 3 1 . 2-(-1) Pendiente de CD = -2 _ 4 = 6' PendIente de DA = -2 _ (-1) = -3 . Los lados opuestos tienen pendientes iguales y, por tanto, ABCD es un paralelogramo. • Angulo entre dos rectas Dos rectas que se intersecan forman dos pares de ángulos iguales, y un ángulo de un par es el suplemento de un ángulo del otro par. Se mostrará cómo encontrar una medida de cada ángulo en función'de las pendientes de las rectas. Si se observa la figura 1.18 y se recuerda que el ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interio­ res no adyacentes a él, se verá que <p + (J¡ = (J2 o <p = (J2 - (J¡, Mediante la fórmula para la tangente de la diferencia de dos ángulos, se tiene que tan (J2 - tan (J¡ tan <p = tan«(J2 - (J¡) = 1 + tan (J¡ tan (J2' Si m2 = tan 92 y mI = tan 91, se tiene entonces que
    • 1,2 INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA Figura 1.18 o 17 y x donde m2 es la pendiente del lado terminal y mi es la pendiente del lado inicial, mientras que cp se mide en dirección contraria al giro de las manecillas del reloj. El ángulo lfIes el suplemento de e y, por tanto, m - m tan !/J = - tan <p = ¡ 2 , 1 + m¡m2 Esta fórmula para tan lfI es la misma que para tan cp, excepto que los términos del numerador están invertidos. Sin embargo, se observa en el diagrama que el lado terminal de lfI es el lado inicial de cp y el lado inicial de lfIes el lado terminal de cp, como se indica con las flechas en dirección contraria al giro de las manecillas del reloj. Entonces, el numerador para tan lfI es igual a la pendiente del lado terminal de lfI menos la pendiente del lado inicial de 1fI. Lo mismo vale para tan cp; esto es, el numerador de tan cp es igual a la pendiente del lado terminal de cp menos la pendiente del lado inicial• de !/J. En consecuencia, en función de las pendientes de los lados inicial y terminal, la tangente de cualquiera de' los ángulos se puede encontrar mediante la misma regla. Esta conclusión se enuncia como un teorema. Teorema 1.4 Si rp es un ángulo, medido en dirección contraria al giro de las manecillas del reloj, en­ tre dos rectas, entonces (1.3) donde m 2 es la pendiente del lado terminal y m i es la pendiente del lado inicial. Esta fórmula no es aplicable cuando alguna de las rectas es vertical, pues una recta vertical no tiene pendiente. Para este caso, el problema sería encontrar el ángulo, o una
    • 18 CAPíTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES función trigonométrica del ángulo, que formara una recta de pendiente conocida con la vertical. Por ello, no se necesita otra fórmula. Para dos rectas inclinadas cualesquiera que no sean perpendiculares, la ecuación (1.3) dará un número definido como valor de tan fIJ. De manera recíproca, si las pendientes de las rectas son tales que la fórmula da un valor definido, las rectas no pueden ser perpen­ diculares, pues no existe la tangente de un ángulo recto. Como la fórmula sólo da un valor cuando el denominador es igual a cero, parece que las rectas son perpendiculares cuando, y sólo cuando, 1 + m l m 2 = O o 1 Observe, además, que si a 2 y al son las inclinaciones de las rectas inclinadas que son perpendiculares,entonces or en ambos casos, tan a 2 = -cot al y m 2 = - l/mi ' Teorema ' .5 Dos rectas inclinadas son perpendiculares si, y sólo si, la pendiente de una es el recípro­ co negativo de la pendiente de la otra. Como es natural, la perpendicularidad entre dos rectas se da si una es paralela al eje x y la otra es paralela al eje y. La pendiente de la recta paralela al eje x es cero, pero la recta paralela al eje y no tiene pendiente. Ejemplo 4 Ecuentre las tangentes de los ángulos de un triángulo cuyos vértices son A(3, -2), B(-5, 8) Y C(4, 5). A continuación consulte la tabla 1 del apéndice, o use una calculadora para aproximar cada ángulo al grado más cercano. Solución Primero se encuentra la pendiente de cada lado. Así, a partir de la figura 1.19, -2 - 8 5 Pendiente de AB = 3 - (-5) = - 4 ' 8 - 5 1 Pendiente de BC = ----:::----:­-5 - 4 - - 3' Pendiente de AC = -2 - 5 3 - 4 = 7. Se sustituye ahora en la ecuación (1.3) y se obtiene -� - 7 33 tan A = (5) - 31 = 1.06, A = 47°. 1+ -4(7)
    • 1.2 INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA Figura 1.19 B(-5,8) 5 m=--4 y m=-; C(4,5) m=7 o A(3, -2) tan B = -! - (-�) 11 1 + (-D(-�) = 17 = 0.647, 7 - (-�) 22 -5.5,tan e = --- 1 + 7(-!) 4 19 x B = 33°. e = 100°. • Ejemplo 5 La sección transversal de una cabaña en forma de A es un triángulo isósceles. Si la pendiente de uno de los lados es 1.8 y su altura es de 19 pies, ¿cuál es el ancho de la cabaña? Solución Si los ejes se cplocan como en la figura 1.20, y (O, 19) m= 1.8 o Figura 1.20 (x, O) x
    • 20 CAPíTULO) CONCEPTOS FUNDAMENTALES entonces 19 - O 1.8 O - x 19 1.8 -x 19 95 x= - -- 1.8 9' Por consiguiente, el ancho de la cabaña es de 2(95/9) = 211/9 pies. • Ejemplo 6 Una cámara de televisión se coloca a lo largo de la recta situada en la línea de 40 yardas en un partido de.fútbol americano. Si la cámara se encuentra a 20 yardas .de la banda, ¿qué ángulo debe describir para poder cubrir todo el campo de juego, inclu­ yendo las zonas finales, que se encuentran a 10 yardas de profundidad? Solución Coloque la cámara en el origen de modo que pueda cubrir la acción desde la recta que pasa por (70, 20) hasta la recta que pasa por (-50, 20). Si rp es el ángulo en cuestión, medido en dirección contraria al giro de las manecillas del reloj, entonces, por la figura 1.21, se verá que tan <jJ = <jJ= (-50, 20) Figura 1.21 2 2 -- - - 5 7 2 21 - - . - 5 7 142°. y La cámara debe describir un ángulo de 142°. • Ejercicios 24 31 ' (70, 20) x En los ejercicios l a 6, dibuje una recta que pase por el punto dado con la inclinación indicada 8.
    • EJERCICIOS 1. (2,3),8=30° 4. (-3,- 1),8=60° 2. (-2,1),8=45° 5. (.J5,-4),8=0° 3. (4,-3),8= 150° 6. (O, O), 8=75° 21 En los ejercicios7 a 12,dibuje una recta que pase por el punto dado con la pendiente dada m. 7. (2,2),m=3 10. (2,-2),m =112 8. (- 1,3),m= 1 1 1. (4,O), m =213 9. (.J3, 1),m=- 1 12. (-3,3),m=3/4 13. Una tabla plana se apoya contra un muro. El lado superior está a 6 metros sobre el piso y el lado inferior se halla a 2 m de distancia del muro. ¿Cuál es la pendiente de la tabla? 14. Una escalera de 3 m de largo se apoya contra un muro, tocándolo a 2.4 m sobre el piso. ¿Cuál es la pendiente de la escalera? ¿Es posible que una persona de 1.80 m de estatura pase bajo la escalera a 0.3 m del muro? ¿Es posible que la misma per­ sona pase bajo la escalera a 0.6 m del muro? 15. Una sección transversal de una cabaña de 5.5 m de ancho es un triángulo isósceles. Si la pendiente de un lado es 1.5,encuentre la altura de la cabaña. En los ejercicios 16 a 21 encuentre la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos. Encuentre además la inclinación, hasta el grado más cercano. 16. (2,3), (3,7) 19. (-9,0),(3,8 1) 2 1. (-2,8), (4,-3) 17. (.J7, 6),(4,O) 18. (3,-7),(4,8) 20. (1 1.7 142,4.00 15),(-3.8014,-2.8 1 17) Muestre que cada uno de los cuatro puntos de los ejercicios 22 a 25 son vértices del paralelogramo ABCD. 22. A(3,O), B(7,O), C(5,3),D(l, 3) 23. A(-2,3), B(6,1),C(5,-2),D(-3,O) 24. A(-I,-2), B(3,-6), C(l l, -1),D(7,3) 25. A(O, O), B(6,3),C(9,9),D(3,6) Verifique que cada triángulo con los puntos dados como vértices en los ejercicios 26 a 3 1 s.ea un triángulo rectángulo, pues la pendiente de un lado es el recíproco negativo de la pendiente de otro lado. 26. (4,-4), (4,4),(O, O) 28. (7, 1), (o., -2),(5,-4) 30. ( 1,1),(4, - 1),(3,4) 27. (- 1,2),(3,-6),(3,4) 29. (2,5),(-5,7), (-2,-9) 3 L (- 1,-1),(16, -1),(O, 3) Muestre que los cuatro puntos de los ejercicios 32 a 35 son vértices del rectángulo ABCD.
    • 22 CAPíTULO J CONCEPTOS FUNDAMENTALES 32. A(-4, 3), B(O, -2), C(5, 2), D(l, 7) 33. A(2, 2), B(7, -3), C(10, O), D(5, 5) 34. A(5, -1), B(7, 6), C(O, 8), D(-2, 1) 35. A(5, 7), B(l, 1), C(4, -1), D(8, 5) Usando pendientes, determine cuál de los conjuntos de tres puntos de los ejercicios 36 a 39 están sobre una recta. 36. (O, -2), (3, O), (9, 4) 38. (O, 1), (9, 6), (-4, -1) 37. (-1, 2), (2, 1), (5, O) 39. (-10, 2), (1, -2), (6, -5) En los ejercicios 40 a 43 encuentre las tangentes de los ángulos en cada triángulo ABe. Encuentre cada ángulo hasta el grado más próximo. 40. A(I, 1), B(5, 2), C(3, 5) 42. A(2, 2), B(-4, -1), C(6, -5) 41. A(-I, 1), B(2, -1), C(3, 5) 43. A(3, 8), B(-4, -3), C(6, -1) 44. La recta que pasa por los puntos (3, 4) Y (-5, O) interseca la recta que pasa por (O, O) Y (-5, O). Encuentre los ángul{)s de intersección. 45. Dos rectas que pasan por (3, 2) forman un ángulo de 45°. Si la pendiente de una de las rectas es 1, encuentre la pendiente de la otra recta (hay dos soluciones). 46. ¿Qué ángulo agudo forma con una recta vertical una pendiente -3h? En los ejercicios 47 a 52 encuentre las pendientes de las rectas que pasan por los dos pares de puntos. Indique después cuáles de las rectas son paralelas, perpendiculares o se intersecan oblicuamente. 47. (1, -1), (-5, -5); (1, -2), (7, 2) 48. (1, -1), (-4, -4); (1, 1), (4, -4) 49. (1, 8), (-3, -4); (-1, 8), (O, 10) 50. (2, - 3), (0,2); (1, O), (6, 2) 51. (6, 5), (11,9); (2, 5), (12, 9) 52. (-6, -4), (22, 8); (-5, 7), (7, -8) 53. Una sección transversal de una cabaña de 6 m de ancho es un triángulo isósceles. Si la pendiente de un lado es de 1.75 Y hay un segundo piso a 2.4 m sobre la planta baja, ¿cuál es el ancho del segundo piso? 54. Una cámara de televisión se coloca a 1° m de la línea lateral de una cancha de ba­ loncesto de 28.65 m de largo. La cámara se encuentra a 2.4 m del centro. ¿Qué án­ gulo debe abarcar para captar toda la acción de la cancha? 55. Se tiene un puente como en la figura 1.22. Encuentre las pendientes e inclinaciones de las seccionesAB y Be.
    • 1.3 DIVISiÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA 16' 12' 12' 12' y 18' 12' A B 16' 12' 12' 12' 12' '-----'---------"'--------"----------' ----+ x FIgura 1.22 , 1.3 DIVISION DE UN SEGMENTO DE RECTA 23 En esta sección se muestra cómo encontrar las coordenadas de un punto que divide un segmento de recta en dos partes que tienen una relación específica. Primero se encuen­ tran fónnulas para las coordenadas de un punto que se halla a la mitad entre dos puntos de coordenadas dadas. Sean A(xl, y) y B(x2, y) los extremos de un segmento de recta, y sea P(x, y) el punto medio de AB. Por triángulos semejantes (Fig. 1.22), se tiene que Figura 1.23 Por lo cual y o • • AP AB AM _ x - xI 1 AN x2 - xI 2 Despejando x y y se obtiene • AM MP 1 -- • AN . NB 2' P(x,y) � x • y MP Y - YI 1 ::=:NB�' - Y2 - YI - 2'
    • 24 CAPíT ULO J <:ONCEPTOS F UNDAMENTALES x = xI y Teorema 1.6 Y =YI + Y2 2 . (1.4) La abscisa del punto medio de un segmento de recta es la mitad de la suma de las abscisas de los extremos; la ordenada es la mitad de la suma de las ordenadas. • Este teorema se puede generalizar haciendo que P(x, y) sea cualquier punto de divi- sión de la recta que pasa por A y B. Si la razón de AP a AB es un número r en lugar de 112, entonces AP x - x =:=:. _ I =r y AB X2 - XI Estas ecuaciones, al despejar x y y, dan x = XI + r(x2 - XI), AP • AB y - YI Y2 - YI =r. y = YI + r(h - YI)' (1.5) Debe quedar claro que las fórmulas (1.5) se reducen a las fórmulas del punto medio (1.4) sir=lh. Quizá sería mejor que el estudiante recordara cómo deducir las fórmulas (1.5) usan­ do triángulos semejantes en lugar de memorizarlas. Los estudiantes tendrán muchas opor­ tunidades, en éste y en posteriores cursos de matemáticas, de usar triángulos semejantes en la solución de problemas. Hay comparativamente pocas ocasiones de usar las fórmu­ las (1.5). Ejemplo 1 Encuentre las coordenadas del punto medio del segmento de recta que une A(3, -4) Y B(7, 2). Solución Aplicando las fórmulas del punto medio (I.4), se tiene que x = XI ;X2 = 3 ; 7 = 5, y =YI + h _ 2 -4 + 2 2 -1. Por tanto, las coordenadas del punto medio son (5, -1), como se muestra en la figura 1.24. •
    • J.3 DIVISiÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA Figura 1.24 y o 25 8(7.2) x A(3. -4) Ejemplo 2 Un extremo de un segmento de recta es A(6, 4) Y el punto medio del seg­ mento es P(-2, 9). Encuentre las coordenadas del otro extremo. Solución Sean (x2, y) las coordenadas desconocidas. Entonces, en las fórmulas (lA) se reemplaza x por -2, y por 9, XI por 6 y YI por 4, y se obtiene -2 = 6 + x2 2 y 9 = 4 + Y2 2 . Estas ecuaciones dan x2= -10 Y Y2 = 14. Por tanto, las coordenadas que se buscan son (-10, 14). • Ejemplo 3 Encuentre los dos puntos que trisecan el segmento de recta que une A(-3,• -4) Y B(6, 11). Solución Sean PI(x, y) y P2(x, y) los puntos de trisección. Se usa r = 113 en las fónnu­ las (1.5) para encontrar PI y obtener x = XI + r(x2 - XI) = -3 + �(6 + 3) = O, I Y = YI + r(Y2 - YI) = -4 + 3( 1 1 + 4) = 1. A continuación se usa r = 2/3 en las fónnulas (1.5) para encontrar P2 y obtener 2 X = XI + r(x2 - XI) = -3 + 3(6 + 3) = 3, 2 Y = YI + r(Y2 - YI) = -4 + 3(1 1 + 4) = 6. Por tanto, las coordenadas de los puntos de trisección son (O, 1) Y (3, 6), como se muestra en la figura 1.25. •
    • 26 CAPíTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES y x Figura .1.25 A (-3, -4) En las fórmulas ( l.5), el punto P se halla entre A y B si, y sólo si, O < r < l. Sin• embargo, si P es un punto sobre el segmento AB extendido más allá de B, entonces la• longitud del segmento AP es mayor que la longitud de AB y r es mayor que l. Recípro- camente, si r es mayor que 1, las fórmulas (1.5) darán las coordenadas de un punto sobre la extensión del segmento más allá de B. Para encontrar un punto en el segmento extendido en la otra dirección (más allá de A), es posible usar las fórmulas (1.5) con r negativo o bien utilizar un argumento de triángulos semejantes análogo al usado en la deducción de (1.5). Ejemplo 4 Un punto P(x, y) está sobre la recta que pasa por A(--4, 4) Y B(5, 2). En­ cuentre (a) las coordenadas de P si el segmento AB se extendió de B a P de manera que P está alejado de A el doble que de B, y (b) las coordenadas de P si AB se extiende de A a P de manera que P se encuentra alejado de B el triple que de A. Solución (a) Como AP = 2BP, resulta que BP = AB (Fig. 1.26). Por lo tanto, la razón. de AP a AB es 2. En consecuencia, se usa r = 2 en las fórmulas ( l.5) y se escribe x = -4 + 2(5 + 4) = 14, y = 4 + 2(2 - 4) = O. Las coordenadas que se buscan son (14, O). y B (5,2) A(-4,4) P(x, y) o x Figura 1.26 (b) Primero se esboza una gráfica (Fig. 1.27) de manera que se puedan usar triángulos semejantes. En la figura se observa que
    • J.3 DIVISIÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA y PA -4 - x 1 • pE 5 - x 3 3(4 + x) = x - 5 x = -8.5, PA 4 - Y l ::;:;PB=::: = 2 - Y - 3 3(4 - y) = 2 - Y Y = 5. Por otro lado, se podrían usar las fórmulas (1.5) con r = _1/2 para obtener x = -4 + (-DC5 + 4) = -8.5 y y = 4 + (-�)(2 -4) = 5. y P(x, y) A( 4,4) B (5,2) o x Figura 1.27 • De cualquier manera, las coordenadas de P son (-8.5, 5). • 27 Ejemplo 5 El segmento de recta que une un vértice de un triángulo con el punto me­ dio del lado opuesto se llama mediana del triángulo. La figura 1.28 muestra un trián­ gulo con vértices A(4, -4), B(lO, 4), C(2, 6), Y los respectivos puntos medios de los lados opuestos D(6, 5), E(3, 1), F(7, O). Encuentre el punto de cada mediana que se halla dos tercios de la distancia del vértice al punto medio del lado opuesto. Solución Usando r = 2/3 para el punto de división en las fórmulas (1.5) se obtiene , para las medianas AD,BE Y CF, respectivamente, x = 4 + 2(6 - 4) = � 3 3' X = 10 + �(3 - 10) = � 3 3 ' X = 2 + �(7 - 2) = � 3 3' y = -4 + ;(5 + 4) = 2, Y = 4 + ;0 - 4) = 2, Y = 6 + ;(0 - 6) = 2. Estos resultados indican que las medianas son concurrentes en el punto (1(,13, 2). •
    • 28 CAPíTULO I CONCEPTOS FUNDAMENTALES y C(2,6) D(6,5) 8(10,4) E(3, 1) x o F(7, O) • Figura 1.28 A(4, -4) Ejercicios En los ejercicios I a 6 encuentre las coordenadas del punto medio de cada par de puntos. 1. (4, 3),(--4, -3) 4. (7, --4), (-9, 6) 2. (3, 2), (l, 6) 5. (-7, -11), (5, 15) 3. (21t, 1), (0, -1t) 6. (5, 7),(-3, 3) Encuentre las coordenadas de los puntos medios de los lados de cada triángulo cuyos vértices están dados en los ejercicios 7 a 10. 7. (1, 2),(2,5), (6, 3) 9. (8,3),(2,--4), (7,-6) 8. (4,4), (2,3),(5, 1) 10. (-1,-6),(-3, -5),(-2, -2) 11. El punto (7.3) biseca el segmento de recta que une (X I ' 6) Y (9, Y2)' Encuentre los valores de X I y Yz- 12. Encuentre las coordenadas del punto medio de la hipotenusa del triángulo rectán­ gulo cuyos vértices son (2, 2), (6, 3) Y (5, 7),Y muestre que el punto medio equidista de los tres vértices. • En los ejercicios 13 a 24, encuentre el punto P(x, y) tal que la razón de AP a AB sea igual a r. 13. A(4, 3), B(5,1),r = 1/3 15. A(-I,O),B(3,2), r = 4/) 17. A(6,-2),B(-I,7), r = 2 19. A(O, O), B(6,2),r = 2 14. A(2,--4), B(-3, 3), r = 2/3 16. A(5,6),B(O,-5), r = 2/5 18. A(-5, 1), B(3, 3), r = 512 20. A(4.1001,1.0952),B(-2.8763,0.0018), r = 0.2412
    • EJERCICIOS 21. A(-5, -5), B(l, 1), r == 1/5 23. A(2, 9), B(-4, -3), r == 113 22. A(I, 5), B(6, 3), r = 4/5 24. A(2, 5), B(5, -2), r = 3/4 29 25. Encuentre las coordenadas del punto que divide al segmento de recta que va de (-1,4) a (2, -3) en la razón de 3 a 4 (hay dos soluciones). 26. Encuentre las coordenadas de P si divide al segmento de recta que une A(2, -5) y ....,....".. . B(6, 3) de manera que AP/PB = 3/4. 27. El segmento de recta que une A(2, 4) Y B(-3, -5) se extiende por ambos extremos en una distancia igual al doble de su longitud original. Encuentre las coordenadas de los nuevos extremos. 28. Una recta pasa por A(2, 3) y B(5, 7). Encuentre (a) las coordenadas del punto P en, AB extendido de B hasta P, tal que P está alejado de A el doble de lo que estáx _ , alejado de B; (b) las coordenadas, si P está sobre AB extendido de A hasta P de modo que P está alejado de B el doble que de A. , . 29. Una recta pasa por A(-2, -1) Y B(3, 4). Encuentre (a) el pUnto P sobre AB extendi­ do a través de B, de manera que P está tres veces más lejos de A que de B; (b) el. punto, si P está sobre AB extendido desde A, de modo que P está tres veces más lejos de B que de A. 30. Encuentre el punto de la recta que pasa por A(-I, =1) y B(4, 4) que está (a) dos veces más lejos de A que de B (dos casos). (b) tres veces más lejos de B que de A (dos casos), 31. El segmento de recta que une A(1, 3) y B(-2, �l) sé extiende j:>or ambos extremos una distancia igual a su longitud original. Encuentre las coordenadas de los nue­ vos extremos. En los ejercicios 32 a 35, encuentre el punto de intersección de las diagonales del paralelogramo ABCD. 32. A(3, O), B(7, O), C(9, 3), D(5, 3) 33. A(-2, 3), 8(6, 1), C(5, -2), D(-3, O) 34. A(-I, -2), B(3, -6), C(II, -1), DO, 3) 35. A(O, 2), B(-3, 1), C(2, -1), D(5, O) 36. Un niño de 15 kg se sienta en A(2, 3) Y otro, de 25 kg, en B(12, 7), las unidades son metros. Encuentre el punto P entre A y B que pueda uSarse Como apoyo de un balancín que ponga a los dos niños en equilibrio [Sugerencia: 15AP = 25PB o (AP! PB) = 511. Use las formas para el punto de división.] 37. Un niño de 30 kg se sienta en un balancín en (1, 1) Y el:lpdyb está en (2.5, 1.3), las unidades son metros. ¿En qué punto debe sentarse un niño de 20 kg para estar en equilibrio? Véase la sugerencia del ejercicio 36. 38" Hay un árbol de 6 m de altura cerca de un edificio en cuya azotea hay un faro, de "modo que el árbol está a 4/10 de la distancia de la base del edificio al extremo de su
    • 30 CAPíTULO J CONCEPTOS FUNDAMENTALES sombra. ¿A qué distancia del piso está el faro? Si la punta del árbol está exacta­ mente a 5 m del faro, ¿qué distancia hay entre el árbol y el edificio, y cuál es la longitud de su sombra? 39. Un viajero de 2 metros de estatura observa la cima de una montaña reflejada sobre una pequeña laguna. Según un mapa, dicha laguna se encuantra a 3 km de la cima. Si el viajero está situado a 15 metros del punto donde ocurre la reflexión en la laguna,¿cuál es la altura de la cima con respecto al nivel de la laguna? 1.4 DEMOSTRACIONES ANALíTICAS DE TEOREMAS GEOMÉTRICOS Muchos teoremas de la geometría euclidiana clásica se pueden probar con sorprendente facilidad y en forma directa, mediante un sistema de coordenadas. El procedimiento se ilustra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1 Demuestre que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sÍ. Solución Primero se dibuja un paralelogramo y después se introduce un sistema de coordenadas. Una colocación acertada de los ejes con respecto a la figura hace que los vértices se puedan escribir sin dificultad, además de que facilita las operaciones algebraicas que requiere la demostración. Por tanto, se escoge un vértice como el ori­ gen y un eje coordenado a lo largo de un lado del paralelogramo (Fig. 1.29). Después se escriben las coordenadas de los vértices como 0(0, O),PI(a, O), P2(b, e) y P/a + b, ej. Es fundamental que las coordenadas de P2 y PJ expresen el hecho de que P2PJY OPI son paralelos y tienen la misma longitud. Esto se logra igualando las ordenadas de P2 y P3 Y haciendo que la abscisa de P3 exceda en a a la abscisa de P2• y PJ(a + b, e) x Figura 1.29 o P,(a, OL NOTA HISTÓRICA Euclides (c. 350 A. C.) estudió en Alejandría, en su tiempo el centro de conocimiento. Sus Elementos de la geometría, uno de los más antiguos escritos de los griegos que han sobrevivido completos, reunieron y unificaron muchos resultados conocidos. Hoy día constituyen la base de la geometría que se enseña a nivel de bachillerato.
    • 1.4 DEMOSTRACIONES ANALÍTICAS DE TEOREMAS GEOMÉTRICOS 31 Para mostrar que OP3 y Pl2 se bisecan mutuamente,se encuentran las coordena­ das del punto medio de cada diagonal. Punto medio OP3: a + b e x= 2 , Y = 2' a + b e x= 2 , Y = 2' Punto medio PIP2: a+b e Como el punto medio de cada diagonal es 2 '"2 . el teorema queda probado. • Al hacer una demostración es fundamental que se use una figura general. Por ejem­ plo, no se debe usar un rectángulo ni un rombo (un paralelogramo con todos sus lados iguales) como paralelogramo. La demostración de un teorema basada en un caso parti­ cular no es una demostración general. Ejemplo 2 Demuestre que en cualquier triángulo el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados es paralelo al tercer lado y tiene como longitud la mitad de • este. Solución El triángulo y los puntos medios de dos lados se muestran en la figura 1.30. Observe que los ejes coordenados están colocados, con respecto al triángulo, de modo que sea fácil escribir las coordenadas de los vértices. De acuerdo con el teorema 1.3, la pendiente de DC es (c/2) - (c/2) l l = O. -(a + b) --b 2 2 Por tanto, el segmento de recta DC y el tercer lado son paralelos pues la pendiente de cada uno es O. Para obtener la longitud de De. se usa la fórmula de la distancia y se encuentra que a + b b 2 e e 2 a Figura 1.30 o -,.-- -- + --- =- 2 2 ,2 2 2' y B(b. e) A(a. O) x
    • 32 CAPiTULO I CONCEPTOS FUNDAMENTALES lo cual es la mitad del tercer lado, como se pidió. • Ejemplo 3 Demuestre que un paralelogramo cuyas diagonales son perpendiculares es un rombo. Solución Primero debe recordarse que un paralelogramo cuyos lados son todos iguales se Hamarombo. La demostración empieza con el paralelogramo OACBy las diagonales perpendiculares AB y OC (Fig. 1.31). Si los lados de este paralelogramo son todos de la misma longitud, la figura satisface la definición de rombo. Se sabe que los lados opues­ tos de un paralelogramo son iguales. Entonces, si un lado de uno de los pares de lados opuestos tiene la misma longitud que uno de los lados del otro par de lados opuestos, todos los lados serán iguales y OACB será un rombo. Se mostrará ahora que el lado OA es igual al lado OB. Pendiente de Pendiente de e - O e OC = a + b- O - a+b' e - O e AB = = -- b-a b-a' Cada una de estas pendientes es el recíproco negativo de la otra (Teorema 1. 5). En otras palabras, su producto es-1. Por consiguiente, e . e =-1 b-a a+b o y El lado izquierdo de estaúltima ecuación es la longitud de OA y el lado derecho es la longitud de OB. Por tanto, OACB es un rombo. • y 8(b,e) e(a + b, e) x Figura 1.31 o A (a, O) Ejemplo 4 Los puntos A(x¡, y), B(x2, y) Y C(x3• yJ son los vértices de un triángulo. Encuentre las coordenadas del punto sobre cada mediana que está a dos tercios de la distancia del vértice al punto medio del lado opuesto. Solución La figura 1. 32 muestra el triángulo y las coordenadas de los puntos medios de los lados. Sean (x, y) las coordenadas del punto deseado sobre la mediana AD. En­ tonces, usando r = 2/3 en lasfórmulas de división [Ec. (1.5)], se obtiene
    • 1.4 DEMOSTRACIONES ANALfTICAS DE TEOREMAS GEOMÉTRICOS y FIgura 1.32 o X = XI 2 +- ,."2 + x3 - XI _ XI + x2 + x3- 3 2 3 2 Y2 + Y3 _ YI + Y2+Y3 Y = YI + 3 - YI - 2 3 • 33 x , De manera análoga, se llama (x, y) al punto que se busca sobre la mediana BE y se encuentra 2 x = X2 + 3 2 Y = Y2 + -3 XI + X3 2 - X2 YI + Y3 _ Y2 2 , _ Y2 + YI +Y3- 3 • A partir de los resultados anteriores, se verá que dos de las medianas se íntersecan en elpunto • XI + X2 + X3 YI +Y2 + Y33 ' 3 • Se puede concluir que las tres medianaspasanpor este punto. ¿Pudo haberse llegado a esta conclusión considerando sólo una mediana? • Con esto se ha establecido el siguiente teorema. TEOREMA 1.7 Las tres medianas de un triángulo se intersecan en el punto J' cuya abscisa es un ter­ cio de la suma de las abscisas de los vértices del triángulo y cuya ordenada es un tercio de la suma de las ordenadas de los vértices. * El punto de intersección de las medianas de un triángulo se llama baricentro, centroide o pun­ to mediano. (N. del R. T.)
    • 34 CAPíTULO 1 CONCEPTOS FUN'DAMENTAlES Ejemplo 5 Los vértices de un triángulo están en (-7, 3), (4, -2) Y (6, 5). Encuentre el punto de intersección de las medianas (baricentro). Solución La abscisa del punto de intersección es 1/3 (-7 + 4 + 6) = 1 Y la ordenada es 1/3 (3-2 + 5) = 2. Por consiguiente, las medianas se intersecan en (1, 2). • Ejercicios Proporcione demostraciones analíticas de los siguientes teoremas: l. Las diagonales de un rectángulo tienen la misma longitud y se bisecan mutuamente. 2. Si las diagonales de un paralelogramo tienen (gual longitud, la figura es un rectángulo. 3. Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares entre sí. 4. Los segmentos que conectan los puntos medios de lados consecutivos de un cua- drado forman un cuadrado cuya área es la mitad de la figura original.* 5. Si las diagonales de un rectángulo son perpendiculares entre sí, la figura es un cuadrado. 6. Las diagonales de un rombo son perpendiculares. 7. Los segmentos que unen los puntos medios de lados consecutivos de un cuadriláte­ ro plano forman un paralelogramo. 8. Los segmentos que unen los puntos medios de los lados consecutivos de un rombo forman un rectángulo. 9. Los segmentos de recta que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero se bisecan entre sÍ. 10. La suma de los cuadrados de las diagonales de un rombo es igual a cuatro veces el cuadrado de uno de sus lados. 11. El punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de los vértices. 12. Si el punto medio de un lado de un triángulo equidista de los tres vértices, el trián­ gulo es rectángulo. 13. Si la suma de los cuadrados de dos lados de un triángulo es igual al cuadrado del tercer lado, la figura es un triángulo rectángulo. 14. Si dos medianas de un triángulo son iguales, éste es isósceles. 15. El segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo biseca la mediana que va al tercer lado. * Este problema se menciona en el Menón de Platón.
    • • 1.5 RELACIONES Y FUNCIONES 35 16. La recta que pasa por el vértice de un triángulo isósceles y es paralela a la base, biseca el ángulo exterior. 17. El vértice y los puntos medios de los tres lados de un triángulo isósceles son los vértices de un rombo. 18. El segmento de recta que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es paralelo a las bases y su longitud es el promedio de las longitudes de las bases. 19. Las diagonales de un trapecio isósceles son iguales. 20. Si las diagonales de un trapecio son iguales, la figura es un trapecio isósceles. 21. La suma de los cuadrados de los cuatro lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de las dos diagonales. 22. Las rectas que van de un vértice de un paralelogramo a los puntos medios de los lados opuestos trisecan una diagonal. 23. La recta que une los puntos de trisección de una diagonal de un rectángulo con los otros vértices forma un paralelogramo. 24. Si Pea, b) está en una circunferencia con centro en el origen y radio r, entonces a2 + b2 = r. 25. Si P es un punto sobre la circunferencia de un círculo, entonces los segmentos de recta que unen P con los extremos de un diámetro son perpendiculares. [Sugeren­ cia: Escoja el centro en el origen y el diámetro a lo largo de un eje, y use el resulta­ do del ejercicio 24.] 1.5 RELACIONES Y FUNCIONES • Los conceptos de relación y función que se presentan en esta sección aparecen en todas las matemáticas; quizá sean los conceptos más importantes de muchas de sus ramas. De hecho, el lector ya ha encontrado estos conceptos en álgebra y en trigonometría. No obs­ tante, se presentarán ahora pues son centrales en la mayor parte del libro. Ejemplo 1 Encuentre el dominio y la imagen de la relación R = {(-5, -5), (-4, 2), (-2, -2), (O, 1), (O, -3), (2, -4), (3, 4)}
    • 36 CAPíTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES Solución El dominio es {-5, --4, -2, O, 2, 3) Y la imagen de R es {-5, -4, -3, -2, 1, 2, 4). Esta relación R no exhibe una conexión aparente entre los elementos de los pares ordenados, así que la mejor manera de presentarla es listar los pares. • Sucede a menudo que hay una "relación" específica entre los elementos de pares ordenados de una relación. Por ejemplo, el segundo elemento puede ser siempre el do­ ble del primer elemento. Cuando se tiene una regla o una receta que muestra cómo están relacionados los pares, no se necesita recurrir a una lista de ellos, como se hizo en el ejemplo l . La relación se puede describir usando la regla. Ejemplo 2 La relación S, cuyo dominio es el conjunto de los números reales y que tiene la propiedad de que cada par es de la forma (x, 2x) para algún número real x, tiene infinidad de pares ordenados. Se puede denotar con la regla y = 2x. • • En otras palabras, una función es una regla o ley que asocia a cada elemento de un conjunto A (dominio) uno y sólo un elemento de un conjunto B (codominio, contradominio o conjunto de imágenes). Si una relación es una función, entonces, para cada miembro del dominio corres­ ponde uno, y sólo uno, de los miembros de la imagen. Una función es, entonces, un tipo particular de relación. La relación R del ejemplo 1 no es una función pues (O, 1) Y (O, -3) están en R, esto es, el número O del dominio está relacionado con los números distintos 1 y -3 de la imagen. La relación S del ejemplo 2 es una función. Cuando a una función se le asigna un nombre, por ejemplo f, se acostumbra escri­ bir y = f(x) para especificar la relación funcional. El término ''f(x)'' se lee "fde x" e indica el punto en la imagen con el cual está asociado el elemento x del dominio me­ diante la función: Si S es la función del ejemplo 2, entonces la función se puede especi­ ficar con y = S(x) = 2x. Entonces, S(6) = 12, S(-../2 ) =-2../2 y S(1t) = 21t. Ejemplo 3 Sea r la relación cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales y con la propiedad de que (x, y) está en r siempre que y = Ixl. ¿Es r una función? ¿Cuál es la imagen de T? Solución Puede verse que tanto (2, 2) como (-2, 2) están en r, pero esto no contradice la definición de función. La cuestión es: ¿hay dos pares ordenados en r con el primer elemento igual y segundos elementos distintos? ¿Puede un número real tener dos valo­ res absolutos distintos? La respuesta, de acuerdo con la definición 1.1, es "no". La relación
    • J.5 RELACIONES Y FUNCIONES 37 • T es una función. La imagen de T es el conjunto de todos los resultados que se puedan obtener tomando el valor absoluto de cada número real. Por esta razón, la imagen de T es el conjunto de todos los números reales no negativos. • Una relación o unafunción puede determinarse totalmente especificando un domi­ nio y mediante una ecuación que relacione los elementos de los pares ordenados. Suce­ de con frecuencia que se da una ecuación sin especificar un dominio, en cuyo caso se sobreentiende que el dominio estáformado por el mayor conjunto de números reales x para los cuales la ecuación da números realesy=j(x). Ejemplo 4 Encuentre el dominio y la imagen de lafunción especificada pory = l/x. Solución Para cualquier número real x distinto de cero, la ecuaciónda un número real y*- O. Si x oy es O, la ecuación es un enunciado falso; por consiguiente, el dominio, al igual que la imagen, es el conjunto de todos los números reales distintos decero. • Ejemplo 5 Encuentre el dominio y la imagen dey= .J9 -X2 Solución El dominio está formado por todos los números reales x para los cuales9-r � O, pues si el radicando es negativo, y no será un número real. Por álgebra se sabe que 9 > X2 si, y sólo si, -3 < x < 3. Además, conforme x varía de-3 a 3, y varía de O a 3 y de nuevo aO. La imagen es el conjunto de números deO a 3, inclusive. • Las funciones seno y coseno de trigonometría tienen cada una como dominio el conjunto de números reales y como imagen el conjunto de los números reales de-1 al, inclusive. Más adelante se volverán a encontrar las funciones trigonométricas. Puede suceder que unafunción esté mejor definida por diferentes recetas sobre di­ ferentes intervalos. Por ejemplo, podría tenerse que x . ¡(x) = x2 2x + 3 entonces, ¡G) = 4,¡(2) = 4, y f(12) = 27. Gráficas de relaciones y funciones si O $ x < 1, si 1 $ x < 3, . 3 <SI - X. Al principio del capítulo se aludió alhecho de que la geometría analítica es la unión del álgebra y la geometría. En efecto, ahora se está en posición de ver algo de lafuerza de la geometría analítica. La fuerza de esta disciplina es que proporciona una manera de visualizar expresiones algebraicas y, por otrolado, brinda la forma de asociar una expre­ sión algebraica con una figura geométrica. Es posible, entonces, manejar las expresiones algebraicas para saber más acerca de la figura geométrica. Así mismo, dada una expresión algebraica, se le puede asociar una figura geométrica tal que el examen de la figura revele propiedades de la expresión algebraica que previa­ mente no eran aparentes.
    • 38 , CAPITULO J CONCEPTOS FUNDAMENTALES En esta sección se tratará el problema de asociar una figura geométrica a una ex­ presión (o ecuación) algebraica o analítica. La gráfica de la relación R del ejemplo 1 de esta sección es la figura 1.6 de la sec­ ción 1. 1. Es una gráfica discreta que consta de sólo siete puntos. Las gráficas de las funciones de los ejemplos 2 a 4 se dejan como ejercicios. La gráfica de y = .J9 - X2 del ejemplo 5 será un ejercicio de la sección 4 del capítulo 5. Ejemplo 6 Dibuje la gráfica de la función definida por la ecuación 2x + 3y = 6 Solución Para dibujar la gráfica, se asignan valores a x y se encuentran los valores de y correspondientes. Los pares ordenados resultantes se muestran en la tabla siguiente. Cada uno de los pares se localiza como la abscisa y la ordenada de un punto. Los pun­ tos así obtenidos parecen estar en una recta (Fig. 1 .33). Las variables x y y son de pri­ mer grado en la ecuación dada y, por ello, la ecuación se llama lineal. En el capítulo siguiente se probará que la gráfica de una ecuación lineal en dos variables es una recta. • x -3 -1.5 o 3 4.5 y 4 3 2 o -1 y (-1.5,3) u+ 3y=6 o Figura 1.33 Ejemplo 7 Construya la gráfica de la ecuación (4.5.-1) (6. -2) 6 -2 x
    • L5 RELACIONES Y FUNCIONES 39 y =x2 - 3x- 3. Solución Cualquier par de números para x y y que satisfaga la ecuación se llama solu­ ción de la ecuación. Si se asigna un valor a x, se podrá calcular el valor correspondien­ te de y. Así, al hacer x =-2 se encuentra y = 7. En la tabla se muestran varios valores de x y los valores correspondientes de y. Estos pares de valores, cada uno de los cuales constituye una solución, proporcionan una visión de la relación de x y y. Sin embargo, se obtiene una mejor representación localizando cada valor de x y el valor de y corres­ pondiente como la abscisa y la ordenada de un punto, y después dibujando una curva suave que pase por los puntos así obtenidos. Este proceso se llama graficación de la ecuación y la curva se conoce como gráfica de la ecuación. x -2 -1 O 1 1.5 2 3 4 5 Y 7 1 -3 -5 - 5. 25 -5 -3 1 7 Los puntos localizados (Fig. 1.34) van desde x = -2 hasta x = 5. Se podrían localizar puntos correspondientes a valores menores o mayores de x, y también se podría locali­ zar cualquier número de puntos intermedios. Sin embargo, los puntos localizados mues­ tran aproximadamente dónde estarían los puntos intermedios. Por ello, es posible usar sólo unos cuantos puntos para dibujar una curva con precisión razonable. La curva mostrada aquí se llama parábola. Como es natural, se dibuja sólo una parte de la gráfica, pues la grá­ fica completa se extiende indefinidamente en el primero y el segundo cuadrantes. • y (-2,7) (5,7) • (-1,1) (4, 1) o x (3, -3) Figura 1.34 (1.5, -5.25) Aquellos estudiantes que tienen acceso a utilizar un graficador notarán que en el ejemplo anterior, cuando un programa se utiliza para simplificar la gráfica y = X2-3x-3 como se muestra en la perspectiva de un rectángulo, entonces la utilización puede pro­ vocar una inadecuada porsión de la gráfica. En los intervalos-2 < x < 5 Y-6 < Y < 7, la
    • 40 CAPíTULO I CONCEPTOS FUNDAMENTALES gráfica se parecerá mucho a la fig. 1.34, tal vez en la pantalla, la escala vertical se vea distorcionada. El intervalo cerrado [a, b] denota al conjunto de todos Jos puntos x tales que a:S: x :s: b. Nótese que a es un elemento de [a, b]. Análogamente (a, b) denota el conjunto de todos los puntos x tales que a < x < b; los puntos a y b no pertenecen al intervalo cerrado (a, b) pero sí están incluidos en el intervalo cerrado [a, b]. Los inter­ valos semiabiertos y semicerrados se definen como [a, b) en el cual incluye al elemento a y excluye al b o (a, b) que excluye al elemento. a e incluye al elemento b. Finalmente (a, 00) representa la mitad de una recta, esto es, todas las x tales que x > a, también (-00, b) representa la semirecta x < b. Estableceremos una opinión del rectángulo sobre el graficador, especificando un intervalo [a, b] como subconjunto del dominio de la función a graficarse, y el intervalo [e, d] como subconjunto del conjunto de imágenes de dicha función. El éxito en el uso de un graficador a menudo depende en escoger.estos intervalos y también que la parte que nos interese de la curva se vea en pantalla. Ejemplo 8 Construya la gráfica de la relación definida por la ecuación 4X2 + 9y = 36. Solución Se despeja yen la ecuación para tener una forma adecuada de hacer una ta­ bla de valores. Se obtiene así Se observ� ahora que x puede tomar valores sólo desde -3hasta 3 (dominios); otros valores para x darían valores imaginarios para y. Los pares de números de la tabla si­ guiente dan puntos de la gráfica. La curva dibujada pasando por los puntos (Fig. 1. 35) se llama elipse. x -3 -2 -1 o 1 2 3 y o +1.5 + 1.9 +2 +1.9 + 1.5 o • Observe las gráficas de la figura 1.6 y de las figuras 1.33 a 1.35. A partir de la gráfica es relativamente fácil decir, mediante el siguiente criterio, si una relación es una función: Si cualquier recta vertical cruza o loca la gráfica de una relación en más de un punto entonces la relación no es unafunción. Entonces se tendrían al menos dos puntos, (x, y) y (x, z), en la gráfica, con y =1- z. Las relaciones graficadas en las figuras 1.6 y l. 35 no son funciones, mientras que las relaciones graficadas en las figuras 1.33 y 1.34es obvio que sí lo son.
    • EJERCICIOS FIgura 1.35 y (-1, 1.9) 2) 1.5) 4x2 +9y2 = 36 (-3, O) f------i--t--::t--t--t----<O (-1,-1.9) (0,-2) (2, -1.5) 41 Para encontrar las intersecciones con el eje x (si existen) de la gráfica de una ecua­ ción, se hace y = O Y se despeja x en la ecuación resultante. De manera análoga, para encontrar las intersecciones con el ejey sehacex =O Y se despejay. Así, las interseccio­ nes con el ejex de la ecuación y + x2-2x-3 =0 son-1 y 3, Y la intersección con el ejey es3. Las intersecciones seránútiles para dibujar las gráficas de las ecuaciones en los siguientes ejercicios. Ejercicios 1. ¿Forma la relación {(l, 5),(2,5), (3, 5)} unafunción? ¿Por qué? 2. ¿Forma la relación {(1, 2),(2, 3),(1, 1)} unafunción? ¿Por qué? En los ejercicios 3 a 15 localice unos cuantos puntos y dibuje la gráfica de cada ecua­ ción. Indique cuáles representanfunciones. 3. Y = 2x x si O::;; x < 1 5. Y = ¡(x) = x2 si 1::;; x < 3 2x + 3 si 3 <: X 6. 3x - 5y = 15 8. Y = x2 10. x = y2 4. Y = -3x 7. Y = Ixl 9. y = x2 - 4x + 2 1 11. Y = 2 3 si O::;; x::;; 1 si 1 < x <: 2 si 2 < x <: 3
    • 42 CAPiTULO J CONCEPTOS FUNDAMENTALES 12. Y=Ix - 11 14. x2 + y2=1 13.y=l/x 15. Y=-IX 16. ¿Cuáles gráficas son gráficas de una función? y y x (a) (b) y y - x (e) (d) x x 17. ¿Es una función la relación definida por la ecuación siguiente? Es decir, ¿es el·con­ junto de todos los pares (x, y) una función si x y y están relacionadas por la ecua­ ción? a) x=y2 b) Y=x2 d) Y=± IX e) y=± Ixl x c) y= O si x > O si x < O 18. Sifes una función con todos los números reales en su dominio y si fCx) = X2 + 1, ¿qué sonfC-I),fCl + h),fCl-h), fCO)? ¿Existe alguna x real para la cualfCx) = O?
    • EJERCICIOS 43 19. Las últimas investigaciones en sociología describen la relación entre la edad x en que la gente se casa por primera vez y los años y de educación terminados por la persona, mediante un modelo de la forma y= a:x + b, e, si 14 < x < 22 si 22 < x, donde los parámetros a, b y e son constantes que se encuentran empíricamente., Grafique el modelo (ecuación) particular y= 1 + x/2 12, si 14 < x < 22 si x > 22. 20. Los fisiólogos del ejercicio han determinado que cuando una persona se ejercita, su ritmo cardiaco debería ser 80% de la diferencia entre 220 y la edad de la persona. Para alguien de 20 años, el ritmo esperado durante el ejercicio es de 160 latidos por minuto. Grafique la curva que ilustra el ritmo cardiaco esperado como función de la edad, para edades de lO a 70 años. 21. Se dice que una función!cuyo dominio es el conjunto de los números reales es una funciónpar si fe-x)= f(x) para toda x. f(-x) = -f(x). Muestre que JCx) = X 2 es una función par y que g(x) = X l es una función impar. ¿Es h(x) = 2x - 1 una función impar? ¿Se trata de una función par? la función c(x) = sen x, ¿es par o impar? La función c(x) = cos x es par o impar? 22. Para cada una de las s. ción par o impar, o si es la gráfica de una función que no es par ni impar. y y x x (a) (b) --
    • 44 y (e) • , , x CAPíTULO) CONCEPTOS FUNDAMENTALES y x • (d) 1.6 ECUAClON DE UNA GRAFICA Una vez obtenidas gráficas de ecuaciones, se intuye naturalmente que una gráfica puede tener una ecuación correspondiente. Se considerará el problema de escribir la ecuación de una gráfica cuyos puntos están determinados por condiciones geométricas dadas. Este problema es el inverso al de dibujar la gráfica de una ecuación. El procedimiento para encontrar la ecuación de una gráfica es directo. Cada punto P(x, y) de la gráfica debe satisfacer las condiciones 'especificadas. La ecuación que se busca puede escribirse haciendo que P obedezca las condiciones. Los ejemplos siguien­ tes ilustran el método. * Una gráfica puede representarse co.n más de una ecuación, Po.r ejemplo., la gráfica de y = -x y (x2 + I)(x + y) = O es la misma recta. Sin embargo, algunas veces se habla de "la" ecuación cuan­ do. lo. que se quiere decir es la ecuación más sencilla que se puede o.btener.
    • J.6 ECUACIÓN DE UNA GRÁFICA 45 Ejemplo 1 Una recta pasa por el punto (-3, 1) con pendiente 312. Encuentre la ecua­ ción de la recta. Solución. Primero se dibuja la recta que pasa por (-3, 1) con la pendiente dada. Des­ pués se aplica la fÓlIllula para la pendiente de una recta que pasa por dos puntos (Sec. 1.2). Así, la pendiente m de la recta que pasa por P(x, y) y (-3, 1) es m= y-l = y-l x - (-3) x + 3' Esta expresión se iguala con la pendiente dada. Por tanto, y-l_ 3. - x + 3 2' o, simplificando, 3x - 2y + 11 =O. la gráfica de esta ecuación es la línea que aparece en la figura 1.36. • y 3x- 2y+ 11 =0 (-3, 1) o x • FIgura f .36 Ejemplo 2 Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (5, -2) con pen­ diente - 4/J. Solución Ahora se tiene que Por consiguiente, m = y - (-2) = Y + 2 x-S x-S' y + 2_- 4-- x-S 3' Simplificando esta ecuación se obtiene la ecuación que se busca, 4x + 3y - 14 = O. La gráfica de esta ecuación se halla en la figura 1.37. •
    • 46 CAPíTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES y 4x+3y-!4=0 o x -3 Figura 1.37 • Ejemplo 3 Encuentre la ecuación del conjunto de todos los puntos equidistantes del eje y y de (4, O). Solución Se toma un punto P(X, y) de la gráfica (Fig. 1.38). Entonces, teniendo en cuenta la fórmula de la distancia (Sec. 1.1), se encuentra que la distancia de P al eje y es la abscisa x, y que la distancia al punto (4, O) es Y(x - 4f + y2. Al igualar las dos distancias se obtiene Y(x - 4f + y2 = x. Si se elevan al cuadrado ambos lados y se simplifica, se tiene que Figura 1.38 y2 - 8x + 16 = O. • y (O,y) ----- P(x, y) o (4, O) x
    • ·J.6 ECUACIÓN DE UNA GRÁFICA 47 Ejemplo 4 Encuentre la ecuación del conjunto detodos los puntosque distan de (4, 4) el doble de loque distan de (1, 1). Solución Se aplica la fórmula de la distancia para encontrar la distancia de un punto P(x, y) a cada uno de los puntos dados. Se obtienen así las expresiones V(x - l? + (y - 1)2 Y V(x - 4)2 + (y - 4)2. Como la segunda distancia es el doble de la primera, se tiene la ecuación 2V(x - l? + (y - 1)2 = V(x - 4)2 + (y - 4? Al simplificar se obtiene 4(x2 - 2 x + 1 + y2 - 2y + 1) = x2 - 8 x + 16 + y2 - 8y + 16 o bien, X2 + y2 = 8. La gráfica de la ecuación aparece en la figura 1.39. • y (1, 1) / Figura 1.39 (4,4) , / / / P(x, y) x Ejemplo 5 Encuentre la ecuación delconjunto de·todos los puntosP(x, y) talesque la suma de las distancias deP a(-5, O) Y a (5, O) sea igual a 14. Solución Remítase a la figura 1.40 para obtener la ecuación V(x + 5)2 + y2 + V(x - 5)2 + y2 = 14. Trasponiendo el segundo radical, elevando al cuadrado y simplificando, se obtiene la • • ecuaclOn 7V( x - 5)2 + y2 = 49 - 5x. Al elevar de nuevo al cuadradoy simplificar, se obtiene la ecuación
    • 48 CAPíTULO I CONCEPTOS FUNDAMENTALES 24x2 + 49y2 = 1176. Como se muestra en la figura, las intersecciones con el eje x de la gráfica de esta ecuación son (-7 , O) Y (7, O) mientras que las intersecciones con el eje y son (O, -.J24) y (O, .J24). • Figura 1.40 (-7,0) (-5,0) o y -_� P(x,y) x (5, O) (7, O) (O,-m) Con frecuencia sucede que un investigador recolecta datos y desea encontrar una relación funcional entre las variables a las que corresponden sus datos. Si sólo cuenta con un número finito de observaciones, la gráfica de los datos será una gráfica discre­ ta, y puede ocurrir q!le no exista ninguna relación obvia que "acomode óptimamente" sus datos. Ejemplo 6 Durante un brote de sarampión, un oficial del servicio de salud pública en­ cuentra que ocurren 5 nuevos casos durante la primera semana, 18en la segunda, 36en la tercera y 59 en la cuarta. ¿Cuántos nuevos casos cabe esperar en la quinta semana? Solución Se grafican los puntos {el, 5), (2, 18), (3, 36),(4, 59)} como lo indica la fi­ gura 1. 41. En vista de que no se cuenta con una relación entre las variables, no hay una manera específica de determinar un valor exacto def(5). Aun así, se pueden hacer 'varias consi­ deraciones. La "pendiente" entre x = 3Y x = 4 es 23. Si se supone que la misma pendien­ te se mantiene entre x = 4y x = 5, entonces (5, 82)es el siguiente punto, de manera que se pueden anticipar 82nuevos casos de sarampión. Sin embargo, observe que la "pendiente" entre (1, 5) y (2, 18) es 13, entre (2, 18)y (3,36)es 18y entre (3,36)y (4, 59) es 23. Las pendientes están aumentando en 5 unida­ des cada semana. Si suponemos otro incremento similar, entonces (5, 87 )es el punto que se espera alcanzar y, por tanto, se anticipa que habrá 87 nuevos casos de sarampión.
    • EJERCICIOS 49 y El oficial del servicio de salud supondrá, con un alto grado de certeza, que en la quinta semana ocurrirán entre 80 y 90 nuevos casos. • Existen varios nuevos métodos para ajustar una curva continua a datos discretos. Más adelante se analizará en este texto otra manera de tratar el problema. Ejercicios En cada uno de los ejercicios 1 a 10, dibuje la recta que satisfaga las condiciones dadas. después encuentre la ecuación de la recta. l . La recta que pasa por (4, 2) con pendiente l. 2. La recta que pasa por el origen con pendiente -2. 3. La recta que pasa pQr (-1, 2) con pendiente 112. 4. La recta que pasa por (5, 7) con pendiente - 312. 5. La recta que pasa por (-1.8059, 2.1643) con pendiente -3.1786. 6. La recta horizontal que pasa por (-2,4). 7. La recta vertical que pasa por (3, -1 ). 8. La recta que está 2 unidades arriba del eje x. 9. La recta que pasa por (2, -3) con pendiente O. 1 0. La recta que está 4 unidades a la izquierda del eje y. En los ejercicios 11 a 25, encuentre la ecuación del conjunto de todos los puntos P(x, y) que satisfaga las condiciones dadas. 1 1 . P(x, y) equidista de (-2, 4) Y de (1, -5). 12. P(x, y) equidista de (-3, O) Y de (3, -5).
    • 50 13. P(x, y) equidista del ejey y de (4,O). CAPíTULO J CONCEPTOS FUNDAMENTALES 14. P(x, y) equidista de (4,O) Y de la recta x = -4. 15. P(x, y) dista de (4,-4) el doble de lo que dista de ( 1,- 1). 16. P(x, y) dista de (-8,8) el doble de lo que dista de (-2,2). 17. P(x, y) forma con (O, 3) Y (O, -3) los vértices de un triángulo rectángulo donde P es el vértice del ángulo recto. 18. P(x, y) forma con (4,O) Y (-4, O) los vértices de un triángulo rectángulo donde P es el vértice del ángulo recto. 19. La suma de las distancias de P(x, y) a (-4, O) Y a (4,O) es igual a 12. 20. La suma de las distancias de P(x, y) a (O, -3.) Y a (O, 3) es igual a 10. 2 1. La diferencia de las distancias de P(x, y) a (-3,O) Y a (3,O) es 2. 22. La diferencia de las distancias de P(x, y) a (O, -3) Y a (0,3) es 1. 23. La distancia de P(x, y) a (3,4) es 5. 24. La suma de los cuadrados de las distancias de P(x, y) a (O, 3) Y (O, -3) es 50. 25. El producto de las distancias de P(x, y) a los ejes coordenados es 5. 26. Un oficial del servicio de salud registra 6 casos de paperas durante la primera sema­ na de un brote de dicha afección. En la segunda semana registra 17 nuevos casos, en la tercera 30 y en la cuarta 48. Analice el número esperado de nuevos casos en la quinta semana. Si cuenta con alguna herramienta de graficación,grafique los puntos y trate de "ajustar" varias líneas a los datos con que cuenta. 1 .7 ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES Uno de los objetivos del presente libro es mostrar algunas funciones especiales,las cua­ les,combinados mediante las operaciones de suma,resta,multiplicación y otras,dan como resultado funciones polinamiales,racionales,trascedentes,etcétera. La gráfica es como se muestra en la figura 1.42.
    • J .7 ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES , Figura 1.42 51 y j(x) = k • -------+---------.x Ejemplo 1 Halle el dominio y el conjunto imagen,y haga un dibujo de la gráfica de f(x)= 3. Solución El dominio son todos los números R y la imagen es la ordenada y = 3. Esto es,para cualquier x E R que se considere,el valor que se asigna es siempre 3; la gráfica correspondiente es una recta paralela al eje x cuya distancia al eje x es de 3 unidades, (Fig. 1.43) . y y=3 ------1---------. x • Figura 1.43
    • 52 CAPiTULO J CONCEPTOS FUNDAMENTALES y f (x) = x '-'-'-------+ x • Figura 1.44 • La función linealy = mx + b se trata en el capítulo 2. y (x, .,fX ) o f(x) =.,fX x Figura 1.45 Ejemplo 2 Determine el dominio y el conjunto de imágenes, y haga un dibujo de la gráfica def(x) = ./x- 2 .
    • 1.7 ALGUNAS FUNCiONES ESPECIALES 53 Solución Dominio {x E R: x - 2 ?: O}Ox >2}, que suele representarse también como [2, 00); el conjunto imagen es [O, 00). Si se considerax � (2,00 ) Y se sustituye enf(x) = .Jx - 2 ,el resultado es la raíz de un número negativo, que no es un número real. La gráfica def(x) = .Jx - 2 es la figura 1.46. y Figura 1.46 La gráfica se muestra en la figura 1.47. y f(x) = Ixl ____________�----------. x Figura 1.47
    • 54 CAPíTULO ¡ CONCEPTOS FUNDAMENTALES Ejemplo 3 Determine el dominio y el conjunto imagen, y haga un dibujo de la gráfica def(x)= Ix + 21. Solución Dominio = R, conjunto imagen = [O, 00) ; la gráfica se muestra en la figura 1.48. FIgura 1.48 y �__�+-�____--.x - son los número.s r�a� . < el valor que se . . es. el x= 0.07, entoncesJ(O.07� -2]]=-1, etcétera. El significado geométrico de la función mayor entero es como se muestra en la figu­ ra 1.49. FIgura 1.49 • • o • o • • y • • • • e • o • o
    • ¡.7 ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES 55 Ejemplo 4 Determine el dominio y el conjunto imagen, y haga un dibujo de f (x) = [[ v'1- X2 ]]. Solución Dominio = {XE R: l-x2 > O} = -1 < x < l o [-1, 1] el conjunto imagen es --: . {O, 1}. La gráfica se muestra en la figura 1.50. y • ----____�--��------__. x Figura 1.50 Operaciones entre funciones Debe tenerse cuidado en el caso 4, ya que el dominio de (jIg)(x) son todos los ele­ mentos x del dominio de g(x) tal que g(x) 7:. O. Ejemplo 5 Sif(x) = v'x + 1 y g(x) = v'1-x , el dominio def(x) = [-1,00) y el dominio de g(x) = (-00, 1].
    • 56 - , CAPITULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES Luego, el dominio de f+g,f-g,f. ges Dom f(x)n Domg(x)= [-1,00 )n (-00 ,1] = (-00, 1] n [-1,00)= [-1,1] Sin embargo ,el dominio dej1ges Domf(x)n Domg(x) con g(x)* O, es decir ,[-1,00) n (-00, 1]= [-1,1). Composición de funciones Una vez definida la adición ,la diferencia, la multiplicación y la división de funciones ,se considera otra operación fundamental llamada composición, a saber: La figura 1.5.1da un panorama de fo g; en esta figura A es el dominio de g,B es el eodominio de gy el dominio del, e es el eodominio de fy de fo g. A B e g f � '---------� FIgura 1.5! fog Ejemplo 6 Sea f(x)=3x +2,g(x)= .Jx-1 ,h(x)=y y s(x)=X2 + l. Halle (a )fo g, (b )gol, (e )fo h, (d )h01, (e )g o s, (f )so g. Solución a ) (Jo g)(x) =f(g(x))=f(.Jx-1 )=3.Jx -1 +2. b ) (go f)(x) =g(J (x))= g(3x +2)=.J3x+2-1=.J3x+l . c ) (Jo h)(x) =f(h(x))=fC32)=3 C¡2)+2=x. d ) (hof)(x) = h(J (x))=h(3x+2)= ex+J-2)=x. e ) (go s)(x) =g(s(x))=g(x2+1)=.Jx2+1-1 =.Jx2 =x. f) (s o g)(x) =s(g(x))= s(.Jx-1) = (.Jx-1f +1=x -1+ 1 = x.
    • ) .7 ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES 57 Observe que, en general,fogte gof Sólo en algunos casos sucede quefog= gol, y es de esperar que, para que esto ocurra, fy gtienen que ser funciones con característi­ cas muy especiales. Las definiciones 1.12 y 1.13, del ejemplo 6. a y 6. b de esta sección cumplen con la definición uno-uno, así como también todas las funciones lineales cuyas gráficas no sean paralelas a los ejes coordenadosx-y. Una representación geométrica del enunciado anterior se muestra en la figura 1.52 1 B • • Figura 1.52 1-1 Sif I es la inversa del, entonces (jof-I y (1-1 of)(x)=f-I X Es decir,ff-I 1-10f El ejemplo 6. c y 6.d cumple confoh=x =h01, lo cual significa queh es la inversa def yfes la inversa deh.
    • 58 CAPíTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES Sin embargo, el problema reside en cómo determinar la inversa (si existe) de una función. El camino que se sugiere es: hacer ver que la función dada es uno-uno; si lo es, entonces con seguridad tiene inversa. Para hallar ésta se observa que x y y generalmente están relacionadas en la forma y =f(x) por lo que, si es posible, se despeja x. La nueva expresión será de la forma x =f(y), y ahora se intercambia la y por la x y la xporf-I(X), ya que se desea graficarfyf-I en un mismo sistema de referencia. Una forma de justifi­ car quef-[ realmente es la inversa defyfes la inversa de¡-[ es determinarfof-I yf-I o f, lo cual debe resultar en fof-I =X=f-I of; Finalmente, construya la gráfica (se sugiere usar colores). Ejemplo 7 . Hallef-I (si existe) def(x)=.Jx-.1 y construya la gráfica defyf-I en un mismo sistema de referencia. Solución fes uno-uno en [1, 00), ya quef(x) 7=f(x2) siempre que XI 7= x2 con X I y x2 E [1, 00). Ahora se despeja la xde y= .Jx-1, esto es, y2=x-1, 10 cual implica que x = y 2 + l . Luego se intercambia y por x y xporf-I:f-I(X) .,.. X2 + 1, Y se asegura que X2 + I sea la inversa def(x)= .Jx"":'1 y que .Jx-1 sea la inversa def-I y y Justificación: (fof-I )(X)=f(f-I(X»=f(x2+ 1)= .Jx'+l-l =x. (f-I of)(x)=f-I(f(X» =f-I(.Jx-l)= (.Jx-I)2 + I =x. Esto es,fof-I=f-I of=x. Observe que Domf=codf-I = [1, 00) codf= Domf-I= [O, 00) La gráfica se muestra en la figura 1.53. y f-[ = x' + 1 , ,, , , fof-l = X =f-[of , , (0,1) 1----'" ,,' ....----f(x) = ";x-l , , ,------------��---------.x , , ,, , , , , (1, O) Figura 1.53
    • EJERCICIOS DE REPASO 59 EjercIcIos En los ejercicios 1 a 13 determine el dominio y el conjunto de imágenes, y dibuje la función dada. 1. f(x)= 2x - 2 2. f(x)= 6 3. f(x)= Ix + 3 1 4. f(x) = 2x -2 six <O 5. h(x)= O six=O 2 six>O .Jx + 4 si- 4 <x <O 6. h(x) = 2 six=O X2 + 2 siO <x -x + 2 six < 3 7 . y(x) = x - 4 si 3:O;x 8. f(x)= _x3 9. s(x) = x3 10. g(x)= .Ji¡ - X2 O six E Z 11. f(x) = 1 six 9!0 Z O six E Z 12. f(x)= x six 9!0 Z 13. f(x)= 1 +[[x]] • 14. Sif(x)= -4x2 +1,determine a)f(O),b)f(lh),c)f(a +h), d) ( f(a +h-f(a»h 15. Hallef-I .Jx + 4 . Luego dibuje la gráfica def yf -1 en un mismo sistema de referencia. EJERCICIOS DE REPASO l. Defina los siguientes términos: recta dirigida, par ordenado, inclinación de una recta, pendiente de una recta, función algebraica explícita, función algebraica implícita, relación, función, gráfica de una función y recta numérica real. 2. Los puntos A(l, 2), B(4, 3) Y C(6, O) son los vérti­ ces de un triángulo. Encuentre las longitudes de los lados del triángulo. 3. Muestre que los puntos A(-I0, 2), B(4, -2), C(16, 2) y D(2, 6) son los vértices del paralelogramo ABCD.
    • 60 4. Encuentre las tangentes de los ángulos del trián­ gulo cuyos vértices son A(-2, 1), B(I, 3), C(6, -7). Encuentre, además, cada ángulo hasta el grado más cercano. 5. Los puntos A(-4, l) Y B(2, 7) determinan un seg­ mento de recta. Encuentre (a) las coordenadas del punto medio del segmento y (b) las coordenadas del punto I/J de A a B. 6. Una recta pasa por A(2, -2) Y 8(-4, 3). Encuentre las coordenadas del punto sobre la recta que dista el doble de A que de B (dos casos). Términos Clave valor absoluto, pág. 2 par ordenado, pág. 4 distancia entre puntos, pág. 9 pendiente de una recta, pág. 13 ángulo entre rectas, pág. 17 punto medio de un segmento, pág. 24 relación, pág. 35 dominio, pág. 35 , ',- . '�" --,. •.. L-<X '" , ;;"c' .. � ":.:: f .o - .( _ l. Encuentre la definición de valor absoluto, pendiente de una recta, relación, función y dominio de una función. 2. Usando los puntos A(2, 3) y B(- l , -4), calcule a) I AB I b) la pendiente del segmento de recta AB e) el punto medio del segmento de recta AB d) el ángulo entre AB y Ae si e es (O, -2) e) el punto a dos tercios de la distancia de A a B 3. Demuestre que los segmentos de recta que unen los puntos medios de los lados de un triángulo forman un triángulo similar al original. 4. Grafique las siguientes relaciones, sei'íalando cuá­ les de ellas son funciones: a) y = Ix+1 b) y = X2 + 1 c) x = y + l d) y = -x CAPíTULO l CONCEPTOS FUNDAMENTALES 7. Encuentre la ecuación del conjunto de todos los puntos P(x, y) equidistantes de A(-4, 3) Y B(2, -2). Dibuje la gráfica de la ecuación. 8. Construya la gráfica de la ecuación y = X2 - 4. 9. Encuentre la ecuación del conjunto de todos los puntos E(x, y), si la suma de las distancias de P a (-4, O) y a (4, O) es igual a 12. Dibuje la gráfica de la ecuación. • imagen, pág. 35 función, pág. 36 gráficas de una relación, pág. 38 intersección, pág. 40 función par o función impar, pág. 43 funciones especiales, pág. 50 función composición, pág. 56 función inversa, pág. 57 5. El correo de primera clase se define mediante una regla que establece que cualquier carta de hasta una onza requiere estampilla por un valor de $0.29, y que cada onza o fracción de onza adicional cuesta $0.23. Escriba una regla funcional para expresar esta relación. ¿Cuál es el dominio? ¿Cuál es la ima­ gen? Grafique la función para cartas de hasta 5 on­ zas. 6. Encuentre la ecuación para el conjunto de puntos que distan de (O, 1) el doble de lo que distan de (l,0). 7. Determine (a) Domf, (b) Domg y (e) Dom(f + g) si f(x) = .Jx -1 y g(x) = .Jl- x . 8. Determine el dominio (si existe) de f (x) - -j(X-1)/(I-X) .
    • Capítulo La recta la circunferencia 2.1 RECTAS Y ECUACIONES DE PRIMER GRADO Se iniciará el programa para descubrir la correspondencia entre curvas geométricas y ecuaciones con el caso más sencillo: la recta; como se verá, la ecuación de una recta es también bastante sencilla. Se verá también que, conforme crezca la complejidad de la curva geométrica, crecerá la complejidad de la ecuación analítica. A pesar de su senci­ llez, la recta es un concepto esencial en matemáticas, y se presenta continuamente en la experiencia diaria de manera útil e interesante. En el estudio de la recta se descubrirá primero una correspondencia entre una recta y una ecuación de primer grado en x y y. La ecuación representará la recta y ésta será la gráfica de la ecuación. Con respecto a esta relación, se enuncia el siguiente teorema. Teorema 2.1 La ecuación de toda recta se puede expresar en términos de primer grado. Recíproca­ mente, la gráfica de una. ecuación de primer grado es una recta. Demostración Suponga que se comienza con una recta fija en el plano coordenado. La recta puede ser o no paralela al ejey. Primero se considera una recta L paralela al eje ya una distancia a del eje (Fig. 2.1). Las abscisas de todos los puntos sobre la recta son iguales a a, de modo que se observa de inmediato que una ecuación de la recta es x = Q. (2.1) Recíprocamente, las coordenadas de todo punto sobre la recta a una distancia a del eje y satisfacen la ecuación x = a, por lo·que la recta L es la gráfica de la ecuación. A continuacíón se considera una recta que no es paralela al eje y(Fig. 2.2). Dicha recta tiene una pendiente e interseca el eje yen un punto cuya abscisa es cero. Se llama­ rá m a la pendiente y b a la ordenada del punto de intersección. Entonces, si (x, y) son las coordenadas de cualquier otro punto de la recta, se aplica la fórmula de la pendiente de una recta que pasa por dos puntos y se obtiene la ecuación •
    • 62 Figura 2.1 la cual se reduce a Figura 2.2 CAPíTULO 2 LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA y L o a y-b_ O-m,x- x=a y = mx + b. y Pendiente m (x, y) y=mx+b (O, b) o x (2.2) x Esta ecuación hace evidente la pendiente y la ordenada al origen de la recta que repre­ senta, y se dice que se encuentra en la forma pendiente-ordenada al origen. Se empezó con una recta fija y se obtuvo la ecuación (2.2). Suponga ahora que se comienza con la ecuación y se determina su gráfica. Es claro que la ecuación se satisfa­ ce si x = O Y Y = b. Sea (x, y) un punto sobre la gráfica distinto de (O, b). Esto significa que x y ysatisfacen la ecuación (2.2) y, en consecuencia, la ecuación equivalente. y-b_ O-m.x- Esta ecuación indica que el punto (x, y) de la gráfica debe estar sobre la recta que pasa por (O, b) con pendiente m. Por ello cualquier punto cuyas coordenadas satisfagan la ecuación (2.2) está sobre la recta. Se ha demostrado que las ecuaciones de todas las rectas en el plano se pueden ex­ presar en las formas (2.1) Y (2.2) y, recíprocamente, que las gráficas de dichas ecuaciones
    • 2. J RECTAS Y ECUACIONES DE PRIMER GRADO son rectas. Para completar la demostración del teorema, sólo se necesita señalar que la ecuación general de primer grado Ax + By + e = o (2.3) se puede poner en la forma (2.1) o (2.2). Se supone que A, B yC son constantes, donde A y B no son simultáneamente cero. En consecuencia, si B = O, entonces A "# O Y la ecuación (2.2) se reduce a e x= -- A continuación, si B "# O, se puede despejar yen la ecuación (2.3). Se obtiene así A e y = - B X - B' (2.4) (2.5) La ecuación (2.4) tiene la misma forma que la ecuación (2.1) con a = -(e/A), Y la ecuación (2.5) tiene la forma de la ecuación (2.2) con m= - (A/B) Y b = -(C/B). Esto completa la demostración del teorema. 63 Note que la ecuación (2.3), con B :f. 0, da un único valor correspondiente a y para cada valor dex. Esto significa que la ecuación define una función (Definición 1.7) cuya gráfica es una recta no paralela al ejey. Ejemplo 1 Escriba la ecuación de la recta con pendiente -3 y ordenada al origen 4. Grafique la recta. Solución En la forma pendiente-ordenada al origen (2.2), se sustituyen -3 por m y 4 por b. Esto da de inmediato la ecuacióny = -3x + 4, que aparece graficada en la figu­ ra 2.3. • • y (0,4) o x y=-3x+4 Figura 2.3
    • 64 CAPíTULO 2 lA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA Ejemplo 2 Exprese la ecuación 4x - 3y - 11 =: ° en la forma pendiente-ordenada al origen. Grafique. Solución La ecuación dada está en la forma general (2.3) y, al despejar y, se reduce a una ecuación en la cual el coeficiente de x es la pendiente de la gráfica y el término cons­ tante es la ordenada al origen, o intersección al eje y. Así, se despeja y y se obtiene la ecuación cuya gráfica aparece en la figura 2.4. Figura 2.4 4 11 Y = 3x - 3' y o (o, _131) • x La forma pendiente-ordenada al origen (2.2) representa una recta que pasa por el punto (O, b). La ecuación puede alterarse ligeramente para tomar en cuenta otro punto cual­ quiera de la recta. Si (XI' YI) es otro punto de la recta, se puede reemplazar X con XI y Y con YI en la forma (2.2). Esto da o b = YI - mxl' SustituyendoYI-/nXI por b en la ecuación (2.2) se obtiene y = mx + YI - mxl o, de manera equivalente, (2.6) Esta ecuación indica que el punto (XI' YI) se encuentra sobre la recta y que la pendiente es /n. Por tanto, se dice que la ecuación está en la forma punto-pendiente. Ejemplo 3 Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (2, -3) y tiene pendiente 5. Grafique la recta.
    • 2. J RECTAS Y ECUACIONES DE PRIMER GRADO 65 Solución Usando la forma punto pendiente (2.6) conXI = 2, YI= -3 Y m = 5, se obtiene y + 3 = 5(x - 2) o 5x - y = 13. La recta aparece graficada en la figura 2.5. y o (2, -3) Figura 2.5 x Recuerde que por geometría dos puntos diferentes en el plano determinan una recta. Su­ ponga que se tienen dos puntos dados(XI' YI) Y (x2, y) y se desea determinar la ecuación de la recta que pasa por ellos. Se puede usar la forma punto-pendiente de la recta con cualquiera dc los dos puntos (xl' YI) o (x2, Y2) como el punto escogido. Por el teorema ¡ .3, la pendiente de la recta debe ser m = Y2 - YI. X2 - XI• En consecuencia, la ecuación de la recta que pasa por (XI' YI) Y (x 2 , y) es y - YI = (2.7) La ecuación (2.7) es la forma dos-puntos de una recta. Ejemplo 4 Encuentre la ecuación de la recta determinada por los puntos(3, - 3) Y (2, 4). Solución Primero se encuentra la pendiente m de la recta que pasa por los puntos da­ dos. Así, por el teorema 1.3, se obtiene m = Y2 - YI X2 - XI 4 + 3 2 - 3 -7.
    • 66 CAPíTULO 2 lA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA Ahora se usa la fórmula punto-pendiente (2.6) cony] = -3 Y x] = 3 Y se obtiene y + 3 = -7(x - 3) o 7x + y - 18 = O. También se podría llegar a esta solución sustituyendo (y] = 4 Y x] = 2) en la fórmula (2.7). • Ejemplo 5 Suponga que un productor sabe que el costo total de la manufactura de 1000 unidades de su producto es de $8500, mientras que el costo total de la manufactura de 2000 unidades es de $11 500. Suponiendo que esta relación entre el costo y el número de unidades fabricadas es lineal, encuentre la relación, grafique la ecuación e interprete la gráfica. ¿Cuál es el costo total de la producción de2500 unidades? • Solución Se usa la forma dos-puntos de la recta con x igual al número de unidades fabricadas y y igual al costo total de la manufactura de x unidades. La recta pasa por (1000, 8500) y (2000, 11 500) y tiene por ecuación y - 8500 = 3(x - 1000) o bien 3x - y = -5500. Si x = 2500, entoncesy = 13 000, de modo que el costo total es de $13 000 para fabricar 2500 unidades. La gráfica está dada en la figura 2.6. La ordenada al origen es 5500; esto significa que si no se manufacturan unidades, el costo fijo (renta, equipo, etc.) será de $5500. La pendiente es 3, lo cual significa que cuesta $3.00 fabricar cada unidad. Observe que en esta aplicación los valores negativos de x yy carecen de significado. • y (2000, 11,5(0) (1000, 85(0) (0,5500) o x Figura .2.6
    • EJERCICIOS 67 Ejercicios Por inspección, indique la pendiente y las intersecciones de cada recta representada por las ecuaciones en los ejercicios 1 a 15. Escriba cada ecuación a la forma pendiente-ordenada al origen. . 1. x-4y=8 2. x- y=6 3. x- y +2=0 4. 9x+4y=36 5. 4x-3y=12 6. 3x- 6y +10 = O 7. 7x+y=11 8. 3x+2y=14 9. 3x+7y - 6 = O 1O. 8x- 2y=5 11. 8x- 3y=4 12. 5x+5y - 1 = ° 13. 6x+7y= 12 14. 4.0213x- 8.7631y = 11.3331 15. 3x+ 3y +4 = O En cada uno de los ejercicios 16 a 29,escriba la ecuación de la recta dada por la pen­ diente m y la ordenada al origenb. 16. 18. 20. 22. 24. 26. 28. m=2b=-3, m=Sb=O, m=312b=-4, m=413b = 3, m=-3, b=-4 m=-8,b=7 m=513 b =-4, 17. m=-4b=7, 19. m=--.213b=2, 21. m=Ob=11, 23. m=7b=O, 25. m=9,b=11 27. m = -.3/4b = 5, 29. m=7.0132,b=-4.9875 En cada uno de los ejercicios 30 a 39,encuentre la ecuación de la recta que pasa por A y que tiene pendiente m. Dibuje las rectas. 30. A(I,3),m =2 32. A(O,-2),m=° 34. A(-6,-3),m'- 1 36. A(4,O),m=-3 • 31. A(-S,3),m=I 33. A(-3,O),m=312 35. A(-2,5),m=-1/2 37. A(O,O),m=4/3 38. A(O.O1157,6.23981),m=-4.90032 39. A(-3,6),m = 2 Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B en cada uno de los si­ guientes ejercicios. 40. A(-I,3),B(5,-4) 42. A(2,O),B(-6,4) 44. A(O,O),B(-4,3) 46. A(-I,-6), B(-I,4) 48. A(O,O),B(3, 1) 41. A(S,1), B(l,4) 43. A(-2,3),B(7,4) 45. A(S,1/2), B(-l, 3/4) 47. A(lh,4),B(O,--.213) 49. A(4,1),B(-2,-5)
    • 68 CAPíTULO 2 lA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA 50. A(11.211567, -3.70014), B(2.59172, 13.00154) • 51. Demuestre que para el sistema de ecuaciones que se presenta a continuación existe otra solución diferente de x = y = O si y sólo si ad- be = o: ax + by = 0, ex + dy = O. • 52. En la escala F de Fahrenheit, el agua se congela a los 32° y hierve a los 212°. En la escala C de Celsius, el agua se congela a los 0° y hierve a los 100°. Así, 100 grados Celsius equivalen a 180 grados Fahrenheit. Suponga ahora que se tiene una lectura en grados C sobre la escala de Celsius y se desea encontrar la lectura F correspon­ diente en la escala de Fahrenheit. La lectura de C se mide desde el punto de conge­ lación, y F-32 es el número de grados Fahrenheit, medidos a partir del punto de congel ación. Por consiguiente, se tiene la proporción C: (F-32) = 100: 180. En una proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los me­ dios. Por tanto, 180C = 100(F - 32), 5 C = 9(F - 32), y despejando F se obtiene 9 F = 5C + 32. Grafique esta expresión, con el eje Fahrenheit horizontal y el eje Celsius vertical. 53. Escriba (a) 68°F en lecturaCelsius; eb) 70°C en lectura Fahrenheit. 54. ¿A qué temperatura serán iguales las lecturas C y F? 55. Sea R la resistencia eléctrica medida en ohms de una pieza de alambre de cobre de diámetro y longitud fijos a una temperatura de roe. Si R = 0.0170 ohm cuando T = 0° y R = 0.0245 ohm cuando T = 100° Y si la relación entreR y T es lineal, obtenga la ecuación que exprese esta relación entreR y T 56. Si la superficie curva de una varilla uniforme está perfectamente aislada (no hay escape de calor) y sus extremos se mantienen a temperatura constante, entonces la temperatura en cualquier punto de la varilla es una función lineal de la distancia a uno de los extremos. Suponga que un extremo de la varilla, de 8 metros de largo, se mantiene a 20°C mientras que el otro se mantiene a 140°C. Determínese la ecua­ ción para la temperatura, en términos de la distancia al extremo de 20°. Ahora es­ criba la ecuación para la temperatura, en términos de la distancia al extremo de 1400. ¿Concuerdan l os resultados? 57. Según la teoría de la probabilidad, lafunción de distribución de una variable aleatoria uniforme en el intervalo a < x 5 b está dada por 0, F(x) = (x - a)/(b - a), 1, si x < a, si a <: X <: b, si b < x.
    • 2.2 OTRAS FORMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO 69 Grafique la función de distribución de una variable aleatoria uniforme en el interva­ lo [1, 3], es decir grafiqueF(x) sia = 1 Y b = 3 58. Un productor sabe que le cuesta $2790 fabricar 2000 unidades de su producto cada mes, mientras que sus costos fijos son de otros $2500 por mes (el costo total de 2000 unidades es de $5290). Suponga que hay una relación lineal para encontrar el costo variable por unidad para fabricar el producto. ¿Cuál es el costo total de la fabricación de 1000 unidades? 59. (Para estudiantes que sepan determinantes.) Muestre que la ecuación de la recta que pasa por (XI' YI) Y (x2, y) es X Y 1 XI YI 1 = O. x2 Y2 1 2.2 OTRAS FORMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO La ecuación de una recta se puede expresar en varias formas diferentes, tales que cada una exhiba cierta propiedad geométrica de la recta. Como se ha visto, la forma pendiente-ordenada al origen concentra la atención en la pendiente y en la intersección con el eje y, mientras que la forma punto-pendiente se centra en la pendiente y en un punto de la recta. En esta sección se deducirán dos formas adicionales, cada una con sus ventajas en ciertas situaciones. Se presenta primero una forma altf";1ativa para la ecuación punto-pendiente. Para obtener esta forma se sustituye-(AIB) pUf m en la ecuación (2.6) y se tiene que A Y - YI = - B(X - XI)' Al multiplicar por B y trasponer términos se obtiene Ax + By = AxI + BYI' (2.8) Ejemplo 1 Encuentre la ecuación de la recta con pendiente 2/5 que pasa por el punto (-3, 4). Solución Como la pendiente -(AlB) es igual a 2/5, se hace A = 2 Y B = -5. Estos valo­ res, junto conXI = -3 Y YI = 4,pueden sustituirse en la ecuación (2.8). Se tiene así, 2x - 5y = 2(-3) - 5(4) = -26 . o, como resultado final, 2x - 5y + 26 = O. • Observe que esta ecuación se obtiene de manera más directa por la fórmula (2.8) que por la fórmula punto-pendiente (2.6). Suponga que la intersección con el ejeX de una recta esa y la intersección con el eje y es b, dondea :;t.O Y b:;t.O (Fig. 2.7). Luego la recta pasa por los puntos (a, O) y (O, b),
    • 70 CAPiTULO 2 LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA en consecuencia, la pendiente es-(b/a). Entonces, aplicando la fórmula punto-pendiente se encuentra la ecuación b Y - b = - a(x - O), la cual se puede reducir a (2.9) Esto se llama forma de coordenadas al origen o intersecciones con los ejes, pues se exhiben las intersecciones en los denominadores. Ejemplo 2 Escriba la ecuación de la recta cuya intersección con el ejex es 3 y cuya intersección con el eje y es -5. Se reemplaza a con 3 y b con-5 en la fórmula (2.9) y se obtiene de inmediato Figura 2.7 x y -+ =1 3 -5 (O. b) o o y 5x - 3y = 15. • x y- + - = 1 a b (a. O) x Ejemplo 3 Escriba la ecuación 4x - 9y = -36 en la forma de coordenadas al origen. Solución Para tener una ecuación con el miembro derecho igual a la unidad, como en la fórmula (2.9), los miembros de la ecuación dada se dividen entre -36. Esto da la-for­ ma que se busca: x y -9 + 4 = 1. • Está claro que este resultado se podría obtener encontrando primero las coordenadas al origen a partir de la ecuación dada y después sustituyendo en la fórmula (2.9). Ejemplo 4 Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (6, 2) Y que es per­ pendicular a la recta definida por la ecuación 4x + 5y + 7 = o. Grafique las rectas. Solución Se pone 5x - 4y como lado izquierdo de la ecuación. Esto proporciona la pendiente necesaria de la recta perpendicular. Para que la recta pase por el punto dado, se aplica la fórmula(2.8) conXI = 6 Y YI = 2. Así, se obtiene
    • 2.2 OTRAS FORMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO 5x - 4y = 5(6) - 4(2) La figura 2.8 muestra la gráfica. • 4x+ 5y + 7=O 5x-4y=22 FIgura 2.8 y 71 o 5x - 4y = 22. (6,2) x Ejemplo 5 Los extremos de un segmento de recta están en C(7, -2) Y D(l, 6). Encuen­ tre la ecuación del bisector perpendicular del segmento CD y trace una gráfica. Solución La pendiente CD es -413 y el punto medio se halla en (4, 2). Por tanto, el bisector perpendicular tiene pendiente 3/4 y pasa por (4, 2). Usando la fórmula (2.8) con A = 3, B = -4, XI = 4 Y YI = 2, se obtiene 3x - 4y = 3(4) - 4(2) o 3x - 4y = 4. La gráfica se muestra en hi figura 2.9. • y 3x-4y=4 o x FIgura 2.9 C(7, -2)
    • 72 CAPÍTULO 2 LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA Según las definiciones que siguen, las rectas proporcionan el conjunto más sencillo de ejemplos de funciones monótonas. Algunos textos utilizan los términos "estrictamente creciente" y "estrictamente de- ' creciente" en lugar de los aquí utilizados. . DEFINlCfÓN 2.2"�·� en su dominio D si es. Una funciónfes creciente en (a, b) si los valores mayores de x en (a, b) dan lugar a valores mayores de y =f(x). Así, para una función creciente, conforme ocurre un "des­ plazamiento hacia la derecha" a lo largo de la gráfica, dicha gráfica "sube". Así mismo,f es decreciente si a valores mayores de x corresponden valores menores de y f(x), y conforme se va hacia la derecha la gráfica se mueve hacia abajo. A continuación se muestra que las rectas con pendiente positiva representan fun­ ciones crecientes. Teorema 2.2 Si m> 0, entonces y f(x) = mx +b es una función creciente en cualquier intervalo. Demostración Ya que no existen restricciones en el intervalo, sólo es necesario mos­ trar que si XI y x2 son dos números reales cualesquiera, con XI < x2' entonces YI = f(xl) <f(x) = Y2. Por otra parte, si XI < x2 y m> O, se sabe que mXI < mx2. Sumando b a ambos lados se obtiene que es la conclusión deseada. Se deja al lector mostrar que si m < 0, entonces y =f(x) mx + b es una función decreciente en cualquier intervalo. Por consiguiente, si m *" O, Y =f(x) = mx +b es una
    • EJERCICIOS 73 función monótona en su dominio. Sin embargo, una función constante no es creciente ni decreciente. Se dice que una funciónfes no decreciente en un intervalo (a,b) si para X I < x2 resulta quef(XI ) <f(x2)· De manera similar,fes no creciente en (a,b) si para X I < x2 ocurre quef(xl) >f(x). Resulta sencillo apreciar que si una función es tanto no decre­ ciente como no creciente en un intervalo, entonces se trata de una función constante en . ese intervalo, esto es,f(x) =f(x2) para todo X I y x 2 del dominio de! Ejercicios - En los ejercicios 1 a 9 encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto indicado, con pendiente m. Use la fórmula (2.8). 1. (4,1),m=3f2 3. (5,O), m=-2/3 5. (0,4),m=-2 7. (2.1841,-3.0144),m=0.7642 8. (2,-3),m=_3/4, 2. (3,-5),m = _4/5 4. (2,2),m=2/5 6. (-1,2),m=-3 9. (O, O), m = 413 En los ejercicios lOa 15,escriba la ecuación de la recta cuya intersección con el eje X es a e intersección con el eje yes b. 10. a=3,b=2 12. a=3,b=-4 14. a = _3/5,b=-213 11. a=l,b=4 13. a =4/3,b =-2 15. a = 4/5,b = 3/4 Exprese cada una de las ecuaciones siguientes en la forma de coordenadas al origen 16. 4x- y=8 18. 4y=9x+36 20. 3x/S -12y/S = 4/3 17. 3x+2y=6 19. 2x/3 + y/2=5/6 21. 3x/4 - Sy/2 = 213 En los ejercicios siguientes encuentre la ecuación de dos rectas que pasen por el punto dado, una recta que sea paralela a la recta dada y la otra que sea perpendicular. 22. (1,4),3x-2y+40=O 24. (3,-2),x+8y= -3 26. (0,2),1492x+1776y=1985 23. (2,-1),x-2y-5=O 25. (6,O), 3x-3y=1 27. (1,-1),Y =1 Encuentre la ecuación de un bisector perpendicular de la recta que une los puntos A y B en los siguientes ejercicios. 28. A(6,4),B(4,-2) 30. A(O , 29. A(-I,-3),B(3,5) 31. A(I.784,2.562),B(-3.190,0.016)
    • 74 CAPiTULO 2 LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA 32. Muestre que Ax + By= 5 Y Bx -Ay=2 son ecuaciones de rectas perpendiculares. Suponga queA y B no son simultáneamente iguales a cero. 33. Los puntos A(-2, 3), B(6, -5), C(8, 5) son los vértices de un triángulo. Encuentre las ecuaciones de las medianas. 34. El alquiler de un auto cuesta $20 por día y 7 centavos el kilómetro. Suponga que el auto se alquila por un solo día; escriba una fórmula para los cargos de alquiler en términos de la distancia recorrida y grafique la ecuación. 35. Al final de una sesión de entrenamiento un atleta presenta un ritmo cardiaco de 140 latidos por minuto. Después de un minuto el pulso baja a I J O. Luego alcanza un "nivel" que lo lleva a que tres minutos después el pulso sea de 105.Finalmente, en los siguientes tres minutos cae hasta 70 latidos por minuto, que es el ritmo cardiaco del atleta en reposo. Trace la gráfica del ritmo cardiaco del atleta, mostrando la ma­ nera como el corazón se recupera después del ejercicio. Suponga que los cambios ocurren linealmente. 36. Muestre que si y=mx +b, Y m < O, entonces yes una función decreciente en cual- quier intervalo. 37. Muestre que si y=mx +b es creciente, entonces m > o. 38. Muestre que si y= mx + b es decreciente, entonces m < O. 39. Muestre que una función es tanto no decreciente como no creciente en (a, b) si y sólo si es una función constante en (a, b). Power6rapher / , 2.3 INTERSECCION DE RECTAS El interés principal en esta sección serán las rectas que se intersecan.Por conveniencia, durante el análisis se hará referencia a una ecuación lineal en dos variables como si fuera una recta. Ejemplo 1 Encuentre las coordenadas del punto de intersección de las rectas: 4x -5y=26, 3x +7y=-2 (2.10) (2.11) Solución Si se multiplican por 3 los miembros de la ecuación (2.10) Y por 4 los de la ecuación (2.JI), se obtendrán ecuaciones equivalentes con los coeficientes de x iguales.
    • 2.3 INTERSECCIÓN DE RECTAS 12x -15y= 78, 12x + 28y= -8. 75 (2.12) (2.13) Ahora se restan de la ecuación (2.13) los miembros correspondientes de la ecuación (2.12) para eliminar x, despejando y: 43y=-86, y= -2. Si se sustituye -2 por yen la ecuación (2.1O ) o en la (2.11), se encuentra que x = 4. Por tanto, la intersección de las rectas dadas es (4, -2). La gráfica de las rectas aparece en la figura 2.10. • y 4x-5y= 26 x 3x+ 7y=-2 Figura 2.10 Hay gran cantidad de problemas en los negocios y en la economía que se resuelven encontrando la intersección de dos rectas. Un ejemplo típico incluye lo que se llama aná­ lisis sin pérdidas ni ganancias. Suponga que un negocio tiene una función de costo li­ neal que relaciona el costo (y dólares) de fabricar y vender x unidades de su producto. Entonces, . y = vx + b, donde b es el costo fijo (alquiler, etc.) de sostener el negocio. Además, los ingresos obte­ nidos al vender x unidades a ddólares por unidad están dados por y = dx. El punto sin pérdidas ni ganancias es la intersección (X I ' YI) de la recta de costo y la recta de ingresos. La compañía debe fabricar mas de X I unidades para tener ganancias. Ejemplo 2 Suponga que la Corporación Doble T Roja tiene una función de costo de y = 500x + 4025, y una función de ingresos de y= 675x.
    • 76 CAPíTULO 2 lA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA ¿Cuál es el punto sin pérdidas ni ganancias para la corporación? Solución Se resuelven simultáneamente las dos ecuaciones lineales, igualando los va­ lores dey, para obtener 675x = 500x +4025, o bien 175x = 4025. Así, x = 23. La compañía debería fabricar 23 unidades para salir sin pérdidas ni ganancias y, por tanto, tendría que fabricar más de 23 unidades para tener ganancias. • • y x +y=I Figura 2.11 Una recta del tipoAx +By+e= ° separa el plano en tres regiones: los puntos a un lado de la recta, los puntos en el otro lado de la recta y los puntos sobre la recta misma. Los puntos sobre la recta satisfacen la ecuación, en tanto que los puntos a un lado satis­ facen la desigualdadAx +By+e> 0, y los del otro lado satisfacen la desigualdadAx + By+ e< O. Por ejemplo, los puntos por debajo de la recta x + y= I tienen ordenadas menores que las ordenádas sobre la recta. Por tanto, la región sombreada en la figura 2.11 queda descrita mediante la desigualdad y< l -x o por x + y- I < O. En esta forma se puede determinar una región en el'plano con la propiedad de que caoa punto de la región satisfaga cada una de diversas desigualdad:s lineales. Ejemplo 3 Grafique la región en el plano que satisface las desiguldades lineales x +y- 2< 0, y- x > 0, x > O.
    • EJERCICIOS 77 Solución Grafique y=x, seguido se encuentra que la región requerida se localiza por encima de la recta x= y (ya que y> x) , aparece sombreada en la gráfica. • y x FIgura 2.12 Ejercicios En los ejercicios 1 a 10, encuentre el punto de intersección del par de rectas de cada problema. 1 . 2x- 5y=20,3x+2y=11 3. 4x+3y=28,2x- 3y=5 5. 3x+2y= 30,3x-5y' -19 7. 2x+3y=8,2x-3y=4 9. 3x+5y=6,5x-y=10 2. 2x- 3y=6,x+y=3 4. 5x-4y=7,3x-2y= 4 6. 3x-6y=13,4x+3y=-1 8. 4x- 3y=8,2x+6y=-1 10. 5x+4y=50,5x-4y= 50 1 1 . Los lados de un triángulo se encuentran sobre las rectas x - 2y+1=O, 3x- y- 13= O y 2x+y- 13 = O. Encuentre los vértices. 12. Los lados de un triángulo están sobre las rectas x+y+6=O, x+2y-4 =O Y 3x+y +2 =O. Encuentre los vértices. 1 3. Una persona quiere mezclar gasolina superligera con gasolina ligera para obtener 500 galones de mezcla con valor de $600.00. Si la gasolina ligera cuesta $1.11 por galón y la superligera $1.25 por galón, ¿cuántos galones de cada una contiene la mezcla? 14. En investigación de mercado, una curva de demanda relaciona la demanda (xunida­ des) de un producto con el precio (y dólares) por unidad que el mercado está dis­ puesto a pagar. Una curva de oferta refleja el número de unidades que un fabricante
    • 78 CAPiTULO 2 lA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA está dispuesto a surtir a un precio dado. Las curvas de demanda tienen pendientes negativas, mientras que las curvas de oferta tienen pendientes positivas. Para cierto producto, se encuentra que la curva de demanda está dada por y = 80-3x,mientras que la curva de oferta está dada por y = 20+2x. Encuentre el punto de equilibrio de mercado para el producto (el precio y la cantidad que satisfagan tanto la oferta como la demanda). 15. Si la curva de demanda para un producto está dada por y = 400- O.Olx, mientras que la curva de oferta está dada por y = 300+0.15x, encuentre el punto de equili­ brio para el producto en el mercado. 16. Grafique la región descrita mediante cada una de las siguientes condiciones: a) 2x-3y<6 c) 2x-3y�6 b) 2x-3y>6 d) 2x--':3y�6,x+y� l,yx>O. 17. ¿Cuál gráfica describe la región especificada por la desigualdad 2x+y>47 y y o o x (a) (b) x (e) (d)
    • 2.4 DISTANCIA DIRIGIDA DE UNA RECTA A UN PUNTO 2.4 DISTANCIA DIRIGIDA DE UNA RECTA A UN PUNTO 79 La distancia dirigida de una recta a un punto puede encontrarse a partir de la ecuación de la recta y las coordenadas del punto. Para una recta vertical y una horizontal, las distan­ cias se determinan con facilidad. Se verán primero estos casos particulares y después se considerará una recta inclinada. Si el punto P(x" y¡) se encuentra a la derecha de la recta vertical x = a, entonces la distancia dirigida de la recta al punto es positiva e igual a x¡ - a. Si P(x¡, y¡) estuviera a la izquierda de la recta x=a, la distancia dirigida de la recta al punto sería negativa y, de nuevo, igual a x¡ - a. Puede verse que en cada caso la distancia dirigida de la recta verti­ cal x = a al punto P(x" y¡) está dada por d=x¡-a. Un argumento similar muestra de inmediato que la distancia dirigida desde una recta ho­ rizontal y=b al punto P(x¡, y) está dada por d=y¡-b. y L' L Q x o Figura 2.13 El caso general, el de una recta inclinada L y un punto PJx¡, y) fuera de L, conlleva un razonamiento algo más delicado que los casos particulares recién considerados. El lector debe seguir con cuidado el razonamiento, pues se usan muchas ideas de las sec­ ciones anteriores del libro, junto con algunos razonamientos algebraicos. Se considerará a continuación una recta inclinada L y un punto p¡(x¡, y¡) como se muestra en la figura 2.13. Se buscará ahora la distancia perpendicular de L al punto PI' La recta L' pasa por p¡ y es paralela a L. La recta que pasa por el origen y es perpendicu­ lar aL interseca a L y L' en P y Q. Se escoge la ecuación lineal general para representar la recta L. Entonces se pueden expresar las ecuaciones de L, L' Y de la recta perpendicu­ lar, respectivamente, mediante
    • 80 CAPíTULO 2 lA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA A.x + By + e = 0, A.x + By + C' = 0, Bx- Ay=O. (2.14) (2.15) (2.16) La solución simultánea de las ecuaciones (2.14) y (2.16) da las coordenadas de P, mientras que la solución simultánea de las ecuaciones (2.15) y (2.16) da las coordenadas de Q. Estas coordenadas son, como puede verificarse, -Ae -Be p A2+B2' A2+B2 y -AC' -Be' Q A2+B2' A2+B2 . Se llamará d a la distancia perpendicular de la recta dada L al punto p¡. Entonces, d tam­ bién es igual a la distancia de P a Q. Para encontrar la distancia de P a Q, se usa la fórmula de la distancia de la sección 1.1. Así, se obtiene y (e - e')2 A2 (e - C')2 B2 d2 = IPQI2 = (A2+82)2 + (A2+82)2 _ (e - e'f(A2+B2) (e - C')2 (A2+B2? - A2+B2 e - e' d = --;:=;;¡::==;< ±YA2+B2' Como la recta de la ecuación (2.15) pasa por p¡(x¡, y), se tiene que • A.x + By + e' = o y C'=-Ax -By¡ ¡ ¡ ¡ Por tanto, sustituyendo e' se obtiene d = Ax!+By!+e ±YA2+B2 . (2.17) Para eliminar la ambigüedad del signo en el denominador, se está de acuerdo en que d sea positiva si p¡ está arriba de la recta dada L y negativa si p¡ está debajo de la recta. Es posible lograr esto escogiendo el signo del denominador igual al signo de B. Esto es, el coeficiente deYI será BI.J A2+B2 cuando B sea positiva, y será BI-.J A2 + B2 cuan­ do B sea negativa. Por tanto, en cada caso el coeficiente dey¡ será positivo. Remitiéndo­ nos de nuevo a la figura 2.13, sea Po(x¡, Yo) un punto sobre la recta L tal que POp¡ sea paralelo al eje y. Como Po está sobre la recta L, se tiene la ecuación Ax!+Byo+e = o ±YA2+B2 . Suponga ahora que p¡(x¡,y¡) está arriba de la recta L. Entonces, YI es mayor que Yo' por lo cual
    • 2.4 DISTANCIA DIRIGIDA DE UNA RECTA A UN PUNTO y B B 81 ±YA2 +B2Y] > +yA2 + B2YO' (2.18) puesto que se acordó escoger el signo en el denominador de manera que la fracción B/±.JA2 + B2 sea positiva. Si se suma ahora (Axl+C)/±.JA2 + B2 en ambos lados de la ecuación (2.18), se'encuentra que d = Ax] + By] + e > Ax] + Byo+e = o +YA2 + B2 ±YA2+B2 . De este modo, si PI(XI, YI) está arriba de la recta L, entonces des positiva. Así mismo, si PI(XI,Y) está debajo de la recta L, entonces, con PO(xl, Yo) escogido como antes, se tiene que y B B ±YA2 + B2Yo > +YA2 + B2YJ. Sumando, como se hizo antes, se encuentra que 0= Ax] + Byo + e > Ax] + By] + e = d ±YA2 + B2 +YA2 +B2 . Por consiguiente, si PI(XI, YI) se encuentra debajo de la recta L, d es negativa. Con base en este análisis, se enuncia el siguiente teorema. Teorema 2.3 • La distancia dirigida de la recta inclinada Ax + By + e = o al punto p¡(xl' YI) está dada por la fórmula (2.19) d = Axl + BYI + e +YAz + BZ • - donde el denominador está dado por el signo de B. La distancia es positiva si el punto P se halla arriba de la recta, y negativa si P está debajo de lafecta. Ejemplo 1 Encuentre la distancia de la recta 5x = 12y+ 26 a los puntos pp, 5), P/--4, 1) Y P3(9, O). Solución La ecuación se escribe en la forma 5x - 12y- 26 = O Y se aplica la fórmula (2.19) con el denominador negativo. Entonces, remitiéndose a la figura 2.14, donde se localizan la recta y los puntos dados, se tiene que
    • 82 Figura 2.14 CAPíTULO 2 lA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA 5(3) - 12(-5) - 26 49 49 di = -V52 + 122 - -13 = 13' 5(-4) - 12(1) - 26 -58 58 d2 = _ 13 = - 13 = 13' d - 5(9) - 12(0) - 26 _ 19 __ 1.2 •3 - -13 - -13 - 13' y Pk4,1) d O2 d, • P,(3,-5) x Ejemplo 2 Encuentre la distancia entre las rectas paralelas 15x +8y+ 68 = OY 15x + 8y-51 = 0. Solución La distancia entre las rectas se puede encontrar calculando la distancia de cada recta a un punto particular.Para minimizar los cálculos, el origen se escoge como ese punto particular. Así, di _15....:...(0� r= + =:=;¡ 8 =(0=,= =:=;¡ + ,- 6_ _ 68 - 4 1152 + 82 - 17 - , 15(0) + 8(0) - 51 -51 17 = 17 = -3. Estas distancias revelan que el origen está 4 unidades sobre la primera recta y 3 unidades debajo de la segunda. Por tanto, las rectas dadas distan 7 unidades. Un método alternativo para este problema sería encontrar la distancia de una de las rectas a algún punto sobre la otra recta.El punto (3.4, O) se halla en la segunda recta dada, de modo que, usando este punto y la primera ecuación, se encuentra Ejemplo 3 Encuentre la ecuación del bisector del par de ángulos agudos formados por las rectas x - 2y + 1 = OY x + 3y- 3 = O.
    • 2.4 DISTANCIA DIRIGIDA DE UNA RECTA A UN PUNTO 83 Solución Se grafican las dos rectas para determinar cuál de los dos ángulos es el ángu­ lo agudo entre las rectas (Fig. 2.15). A partir de la gráfica, se observa que un punto P(x', y') está sobre el bisector del ángulo agudo si se encuentra arriba de una recta y debajo de la otra. Si las distancias dirigidas el, y d2 son como se indica en la figura 2.15, entonces, como P se halla arriba de una recta y debajo de la otra, deberá tenerse di = -d2• Por la fórmula 2.19, se tiene + 3y' - 3 - 2y' + I vIo y -Vs y x- 2y+ I =0 --- - P(x',y') Figura 2.15 x+3y- 3 =0 Se igualan estas distancias y se simplifica el resultado: + 1X ' + 3y' - 3 x' - 2y' - ----'::=--- vIo Vs ' X ' + 3y' - 3 V2 = X ' - 2y' + 1, � ' + 3y' - 3 = V2(x' - 2y' + 1), (1 - V2)x' + (3 + 2V2)y' = 3 + V2. Quitando las primas se obtiene la ecuación que se busca: (l - V2)x + (3 + 2V2)y = 3 + V2. • x • Ejemplo 4 Encuentre la ecuación del bisector del par de ángulos obtusos del ejemplo 3. Solución El ángulo obtuso entre las rectas, como se indica en la figura 2.16, está arriba de ambas rectas (o, si se quiere, debajo de ellas). Así, si el punto P(x', y') se baIla sobre el bisector del ángulo obtuso y si di y d2 son las distancias dirigidas, como se indica en la figura 2.16, entonces di y d2 tienen el mismo signo (ambos positivo o ambos negativo). De este modo se obtiene X ' di = - 2y' + 1 -Vs y X' + 3y' - 3 d2 = vIo •
    • 84 y P(x', y') d, Figura 2.16 CAPíTULO 2 LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA x - 2y+1 = O x x+3y-3=O Se igualan estas distancias y se simplifica el resultado: X ' - 2y' + 1 x' + 3y' - 3 -Y5 Vio , x' - 2y' + 1 - x' + 3y' - 3, - 1 V2 , V2(x' - 2y' + 1) = -x' - 3y' + 3, (1 + V2)x' + (3 - 2V2)y' + V2 - 3 = O. Quitando las primas, se obtiene la ecuación que se busca: (1 + V'z">x + (3 - 2V2)y - 3 + V2 = O. • Para utilizar la fÓllnula de la distancia dirigida (2.19) con el fin de encontrar la ecuación de un bisector de un ángulo, primero se deben graficar las rectas que forman el ángulo para determinar si el ángulo que se va a bisectar está sobre ambas rectas (como en el ejemplo 4) o si está sobre una y debajo de la otra (como en el ejemplo 3). Ejercicios Encuentre la distancia dirigida de la recta al punto en cada uno de los ejercicios 1 a 12. 1. 5x-12y+ 3 = O; (-2,1) 3. 12x+5y- 6 =0; (4,-6) 5. x+ y+4 = O; (5,4) 7. 2x+3y- 4 = O (0,4) 2. 4x+3y=5; (2,-5) 4. 3x- 4y=12; (-2, -1) 6. 3x- y= 10; (0,8) 8. x- 2y,.... 6; (2,2)
    • EJERCICIOS 9. x+5y+3=0; (3,3) 11. Y-6=O; (5, 3) 10. 4x -3y=7; (O , 12. x+3=0; (-1,--4) En los ejercicios 13 a 25 encuentre la distancia entre las dos rectas paralelas. 13. 3x-4y-9=O 3x+4y+3 = O 15.15x+8y+30=0 15x+8y+20 = O 17.10x+24y=14 5x+12y=-12 19.4x+y=6 12x+3y=14 2I.x-y=16 2x-2y=15 23. 2.371849x - 15.913565y = 7.109436 2.371849x-15.913565y=5.298325 24. 2x-5y=14 4x-10y=14 14. 12x+5y=15 12x+5y=12 16. x-y+7=0 x-y + ll =O 18. 2x+3y-6=0 2x + 3y+2=O 20.x+2y + 5=O x+2y-4 = O 22. 3x+2y - 6=O 3x+2y-4=0 25. 3x-2y+7=0 3x-2y-7 = O 26. Encuentre la ecuación de la recta que biseca el primer cuadrante. 85 27. Un circunferencia tiene su centro en (--4,-2) Y es tangente a la recta 3x+4y-5=O. ¿Cuál es el radio de"Ia circunferencia? ¿Cuál es la ecuación del diámetro que es perpendicular a la recta? 28. Encuentre la ecuación del bisector del par de ángulos agudos formados por las rec­ tas 4x -3y = 8 Y 2x +y = 4 29. Encuentrela ecuación del bisector de los ángulos agudos y también la ecuación del bisector de los ángulos obtusos formados por las rectas 7x - 24y=8 Y 3x + 4y = 12. 30. Encuentre la ecuación del bisector de los ángulos agudos y también la ecuación del bisector de los ángulos obtusos formados por las rectas x+y=2 Y x + 2y=3. 3l . Encuentre la ecuación del bisector de los ángulos agudos y también el bisector de los ángulos obtusos formados por las rectas 3x-y-5=O Y 3x+4y-12=O. 32. Los vértices de un triángulo se encuentran en A(2,4),B(-I, la longitud de la altura del vértice BaIlado AC A continuación, calcule el área del triángulo. •
    • 86 CAPiTULO 2 lA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA 33. Los vértices de un triángulo están enA(-3, -2), B(2, 1) Y C(6, 5). Encuentre la longi­ tud de la altura del vértice eal ladoAB. A continuación, calcule el área del triángulo. 34. La ecuación de una línea de gas es 2x + y = 2. Una fábrica localizada en (6, 7) se conectará perpendicularmente con la línea de gas. Encuentre la ecuación de la línea de conexión y la longitud de la tubería requerida, si las unidades son kilómetros. 35. Un tanque cilíndrico de 6 m de radio reposa sobre su lado paralelamente y contra la pared de un almacén. Hay una escalera de mano apoyada contra el edificio, que pasa sobre el tanque, apenas tocándolo, y tiene una pendiente de _3/4. Encuentre una ecua­ ción para la recta de la escalera y la longitud de la escalera. (Véase Fig. 2.1 7.) y �--------------��---. x o Figura 2.17 36. Con los datos del problema 33, determine la recta de Euler.* 2.5 FAMILIAS DE RECTAS Las ecuaciones de las rectas se han expresado en varias formas. Entre éstas se encuen­ tran las ecuaciones y=mx + b y * El boricentro, el ortocentro y el circuncentro de cualquier triángulo están alineados. La recta que los contiene se Ilarna recta de Euler. (Nota del R. T) I
    • 2.5 FAMILIAS DE RECTAS 87 Cada una de estas ecuaciones posee dos constantes que tienen importancia geométrica. Las constantes de la primera ecuación son m y b. Cuando se asignan valores definidos a estas letras, la recta queda completamente determinada. Por supuesto, que otros valores de estas constantes determinan otras rectas. ASÍ, las cantidades m y b están fijas para cualquier recta particular, pero cambian de una recta a otra. Estas letras se llaman parámetros. En la segunda ecuación los parámetros son a y b. Una ecuación lineal con un parámetro representa rectas, todas con una propiedad particular. Por ejemplo, la ecuación y=3x + b representa una recta con pendiente 3 y ordenada al origen b. Se considerará a b como un parámetro que puede tomar cualquier valor real. Como la pendiente es la misma para todos los valores de b, la ecuación repre­ senta un conjunto de rectas paralelas. La totalidad de las rectas así determinadas se llama familia de rectas. Es claro que hay infinidad de rectas en la familia. De hecho, por cada punto del plano coordenado pasa una recta de la familia. 2x-3y=k Ejemplo 1 Escriba la ecuación de la familia de rectas con pendiente 2/3. Solución Se escoge la ecuación 2x-3y=k para representar la familia de rectas. La gráfica de esta ecuación es una recta de pendien­ te 2/3 para cualquier valor particular del parámetro k. Por tanto, haciendo variar a k,se representa una familia de rectas paralelas. La figura 2.18 muestra unas cuantas rectas de la familia correspondientes a los valores indicados de k. • y 2 1 -3 4 5 Figura 2.18 Ejemplo 2 Analice la familia de rectas representadas por la ecuación y-2 = m(x - 4). x 6 Solución Ésta es una ecuación de una familia de rectas que pasan por el punto (4, 2). La familia está formada por todas las rectas que pasan por este punto, excepto la recta veltical. No hay valor alguno del parámetro m que dé una recta vertical. En la figura 2.19 se dibujan unas cuantas rectas de la familia.
    • 88 CAPíTULO 2 lA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA y m=2 m= 1 �-- m=O FIgura 2.19 m=-2 x Ejemplo 3 Escriba una ecuación de la familia de rectas perpendiculares a la recta. 3x- 2y= 5 Solución La pendiente de la recta dada es 312, de modo que se busca una familia de rectas con pendiente -2/3. Para ello, se escoge la ecuación 2x+3y= k. • Ejemplo 4 Escriba una ecuación de la familia de rectas donde el producto de las inter­ secciones es igual a 4. Solución Usando a como parámetro, se toman las intersecciones a y 4/a y se escribe x y a + 4/a = l. La familia también se puede expresar como 4x+ a2y= 4a, a*- O. • Ejemplo 5 Escriba la ecuación de la familia de rectas que son paralelas a la recta 5x+ 12y+7 = O. Encuentre las ecuaciones de los elementos de la familia que están a 3 unida­ des del punto (2, 1). Solución Cada miembro de la familia 5x+12y+C = O es paralelo a la recta dada. Se buscan valores del parámetro eque den rectas a 3 unidades del punto (2, 1), una arriba del punto y la otra debajo de éste. Usando la fórmula para la distancia de una recta a un punto, se obtienen las ecuaciones 5(2)+12(1) + e = 3 13 y 5(2) + 12(1)+e - - 3. 13 Las raíces de estas ecuaciones son e= 17 Y e = -61. Por consiguiente, las ecuaciones que se piden son 5x+ 12Y + 17 = O Y 5x+12Y - 61 = O. • La ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto de intersección de dos rectas dadas se puede escribir de inmediato. Como ilustración se consideran las dos rec­ tas que se intersecan
    • 2.5 FAMILIAS DE RECTAS 89 2x - 3y+ 5 = O Y 4x + y- 11 = O. De los miembros izquierdos de estas ecuaciones se forma la ecuación (2x - 3y+ 5) + k(4x + y- 11)=O, (2.20) donde k es un parámetro. Esta ecuación es de primer grado en x y ypara cualquier valor de k. Por ello, representa una familia de rectas. Además, cada recta de la familia pasa por la intersección de las rectas dadas. Se verificará esta afirmación, realizando la susti­ tución. Las rectas dadas se intersecan en (2, 3). Entonces, usando estos valores para x y y, se obtiene (4 - 9 + 5) + k(8 + 3 - 11)=O, 0 + k(O)=O, 0=0. Este resultado demuestra que la ecuación (2.20) es satisfecha por las coordenadas (2, 3), independientemente del valor de k. Por esta razón, la ecuación define una familia de rec­ tas que pasa por la intersección de las rectas dadas. En general, sean A,x+B,Y + C,=0 A¡: + B71 + C2=O las ecuaciones que definen dos rectas que se intersecan. Entonces, la ecuación A,x +B,Y + CI=O + k(A¡:+B71 + C2)=O representa una familia de rectas que pasan por la intersección de las rectas dadas. Para verificar esta afirmación, se observa ppr;lero que la ecuación sea lineal para cualquier valor de k. Después se observa que las coordenadas del punto de intersección reduz­ can a cero cada parte entre paréntesis y, por tanto, satisfagan la ecuación para cualquier valor de k. Ejemplo 6 Escriba la ecuación de la familia de rectas que pasan por la intersección de 2x - y- 1 = O y 3x + 2y- 12=O. Encuentre el miembro de la familia que pasa por (-2, 1). Trace una gráfica. Solución La ecuación de la familia de rectas que pasan por la intersección de las rectas dadas es (2x - y-I) + k(3x + 2y- 12)=0. (2.21) Para encontrar el miembro de la familia que pasa por (-2, 1), se reemplaza x por -2 y Y por 1. Esto da (-4 - 1 - 1) + k(-6 + 2 - 12) = O, 3 k = -s. Reemplazando k con -3/8 en la ecuación (2.21), se obtiene (2x - y - 1) - �(3x + 2y - 12) = O. o, simplificando,
    • 90 CAPíTULO 2 LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA x-2y+4=0 En la figura 2.20 se muestran esta recta y tres miembros de la familia. • y (-2, 1) -" x x-2y+4 = O Figura 2.20 Ejemplo 7 Escriba la ecuación de la familia de rectas que pasa por la intersección de x- 7y+ 3 =OY 4x+ 2y- 5 =O. Encuentre el miembro de la familia que tiene pendiente 3. Solución La ecuación de la familia de rectas que pasa por la intersección de las rectas dadas es (x- 7y+3) +k(4x+2y-5) =O o, agrupando términos, (1 +4k)x+(-7+2k)y+3-5k=0. La pendiente de cada miembro de esta familia, excepto para la recta vertical, es -(1 +4k)/(2k- 7). Si esta fracción se iguala con la pendiente que se pide, resulta _1 + 4k = 3 2k - 7 y k = 2. El miembro del sistema para k = 2 es 9x-3y- 7 =O. • Ejercicios En los·ejercicios 1 a 9 indique qué propiedad geométrica poseen todas las rectas de cada familia. Las letras distintas de xy yson parámetros. l . y=mx-4 2. y=3x-t b 3. 2x-9y= k 4. Y - 4 =m(x+3) 5 . ax-3y=a 6. x+ay=2a 7. 3x- ay= 3a 8. ax-2y=4a 9. ax +ay=3 En los ejercicios lOa 1 7 escriba laecuación dela familia de rectas que poseen lapropiedad dada. Encada caso, asigne tres valores alparámetro y grafique las rectas correspondientes.
    • EJERCICIOS 91 10. Las rectas son paralelas a 4x - 7y == 3. 11.Las rectas pasan por (3, - 4 ). 12. La intersección con el eje yes el doble de la intersección con el eje x. 13.Las rectas son perpendiculares a 3x - 4y = 5. 14. La abscisa al origen es igual a 3. 15.La suma de las intersecciones es igual a 5. 16.El producto de las intersecciones es igual a 8. 17.El producto de las intersecciones es 28. 18.Escriba la ecuación de la familia de rectas con pendiente -2, y encuentre las ecuaciones de dos rectas situadas a 4unidades del origen. 19.Escriba la ecuación de la familia de rectas paralelas a 4x -3y + 5 = 0, y encuentre las ecuaciones de las dos rectas que se hallan a 5 unidades del punto (2, -3). 20.Escriba la ecuación de la familia de rectas que es paralela a la recta 3x+4y+5 = O. Encuentre las ecuaciones de los dos miembros de la familia que están a 3 unidades del punto (1, 2). 21. Escriba la ecuación de la familia de rectas que es paralela a 5x + 12y+2 = O. En­ cuentre las ecuaciones de los dos miembros de la familia que están a 2 unidades del punto (2,2). 22.La recta 2x - 3y + 2 = °está a la mitad entre dos rectas paralelas que distan entre sí 6unidades . Encuentre las ecuaciones de las dos rectas. 23. La recta 3x+2y + 4 = ° se halla a la mitad entre dos rectas paralelas que distan 4 unidades entre sÍ. Encuentre las ecuaciones de las dos rectas . 24.La recta 3x - 4y = 4 está a la mitad entre dos rectas que distan 8 unidades entre sÍ. Encuentre las ecuaciones de las dos rectas. En los ejercicios 25 a 31 'encuentre la ecuación de la recta que pasa por la intersección del par de rectas dadas ysatisface la otra condición dada. 25. x - 5y - 4 = 0,2x + 3y+2 = O;pasa por (2,5). 26. 3x+5y - 2 = 0,x + y+2 = O;pasa por (-4, -2). 27.2x+5y+7 = 0,4x - 2y + 3 = O;la intersección con el eje xes 4. 28. x - y - 4 = 0,2x+y -5 == O;pasa por (O,O). 29.3x+4y- 2 == 0, 3x - 4y+1 == O;las intersecciones son iguales. 30.5x - 3y+2 = 0,x+y - 2 = O; m == 3. 31.3x+y - 4 == 0,x+ 11y = O;recta vertical. 32.Los lados de un triángulo están sobre las rectas 2x + 3y + 4 == 0, x - y + 3 == ° y 5x + 4y - 20 = O. Encuentre las ecuaciones de las alturas sin obtener los vértices. 33.Los lados de un triángulo están sobre las rectas 3x - 5y + 2 == 0,x+y - 2 == ° y 4x- 3y - 3 == O. Encuentre las ecuaciones de las alturas sin obtener los vértices.
    • 92 CAPíTULO 2 ,lA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA 34. Encuentre la ecuación de la familia de rectas donde cada uno de los miembros for­ ma, con los ejes coordenados, un triángulo cuya área es de 17 unidades cuadradas. 2.6 LA CIRCUNFERENCIA Ya se vio cómo se escribe la ecuación de una recta cuya posición en el plano coordenado se especifica. Se descubrirá que es igualmente fácil escribir la ecuación de una circunfe­ rencia, si se conoce la localización de su centro y el radio. Primero se dará una defini­ ción explícita de circunferencia ..... " .' . ...." los p�ntos sobIe 'El punt� fijo�e liama Ilam� rádio. Sea el centro de la circunferencia un punto fijo C(h, k) y sea el radio igual a r. En­ tonces, si P(x, y) es cualquier punto de la circunferencia, la distancia de e a P es igual a r (Fig. 2.21). Esta condición requiere que y'-:-(x-----:-h:-:<) ---:-( -,--,;)2 = r y C(h, k) o x Figura 2.21 y, elevando al cuadrado, (2.22) Esta fórmula exhibe las coordenadas del centro y la longitud del radio y, en consecuen­ cia, a menudo se le llama forma centro-radio de la ecuación de la circunferencia, Recíprocamente, la gráfica de una ecuación de la forma (2.22) es una circunferencia con centro en (h, k) y radio igual a r. Este hecho es evidente, puesto que la ecuación es ,
    • 2.6 LA CIRCUNFERENCIA 93 satisfecha por y sólo por los puntos cuya distancia a (h, k)es r. Por esta razón es una tarea fácil escribir la ecuación de una circunferencia cuyo centro y radio se conocen,o dibujar una circunferencia cuya ecuación esté expresada en lafor ma (2.22). Si el centro de una circunferencia está en el origen (h = O,k = O) y el radio es r, su . , ecuaClon es (2.23) Ejemplo 1 Encuentre la ecuación de una circunferencia de radio 4y centro en (3,-2). Solución Si el centro de la circunferencia está en (3,- 2) y el radio es 4,la ecuación del circunferencia resulta ser: o bien X2 + y2 - 6x + 4y - 3 =O. • La ecuación (2.22) se puede presentar en otra for ma, ele vando al cuadrado los bino mios y agrupando tér minos.Así x2 - 2hx + h2 + y2 - 2ky + k2 = r2, x2 + y2 - 2hx - 2ky + h2 + k2 - r2 = O. La últi ma ecuación es de lafor ma X2 + y2 + Dx + Ey + F = O. , Esta se lla ma forma generalde la ecuación de una circunferencia. (2.24) Recíproca mente,una ecuación de la for ma (2.24) se puede reducir a la for ma (2.22) mediante el si mple recurso de co mpletar los cuadrados en los tér minos xy en los tér mi­ nos y. Se ilustra el procedi miento. Se ca mbiará lafor ma general r+y + Dx + Ey + F=O a la for ma centro-radio.Para ello ,se separan los tér minos x y los tér minos yen el lado iz quierdo y se pone el tér mino constan te a la derecha.Luego , X2 + Dx + y2 + Ey =-F A continuación se su ma el cuadrado de la mitad del coeficiente de xa los tér minos x y el cuadrado de la mitad del coeficiente de ya los tér minos y, y se su ma la mis ma cantidad en el lado derecho. Esto da
    • 94 , CAPITULO 2 LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA Ahora los términos x y los términos y son cuadrados perfectos. Por tanto, se escribe D 2 E 2 x+- + y+- 2 2 Esta ecuación se encuentra en la forma centro-radio. La ecuación tendrá una gráfica, la cual es una circunferencia, si D2 E2 4 +-¡-F es positivo. También tendrá gráfica si el miembro de la derecha es igual a cero. Enton­ ces, la gráfica constará del único punto (-D/2, -E/2). En este caso, a la gráfica se le sue­ le llamar circunferencia puntual. Está claro que ningún valor de x y y satisface la ecuación cuando el miembro de la derecha es negativo. Ejemplo 2 Cambie la ecuación 2X2 + 2y2 - 8x + 5y - 80 = O a la forma (2.22). Solución Primero se divide entre 2para reducir la ecuación a la forma general (2.24). Así, XL+ y2 - 4x + ;y - 40 = O. A continuación, dejando los espacios para los términ<-. por sumar para completar los cuadrados, se tiene = 40. El cuadrado de la mitad del coeficiente de x va en el primer lugar y el cuadrado de la mitad del coeficiente de y va en el segundo lugar. Entonces, se tiene que o ( 2 5 25) 25 (X-- 4x + 4) + v + -" + - = 40 + 4 + -- 2- 16 16' (x - 2)2 + (y + ¡)2 = e:r. Esta ecuación se halla en la forma que se busca y revela que la ecuación dada es la de una circunferencia con centro en (2, -5/4) Y radio igual a 27/4. La gráfica se encuentra en la figura 2.22. En vista de que los paquetes de graficación sólo graficarán funciones y no relaciones que no sean funciones, si se desea usar algunas de estas herramientas de grafición para graficar resultará necesario separar la ecuación de la circunferencia en una semicircun­ ferencia superior y una inferior, cada una de las cuales es un función. En consecuencia, para graficar la circunferencia del Ejemplo 2 utilizando un paquete de graficación se debe despejar y para obtener 5 v = -- + 4 - y luego graficar las dos funciones (una con signo + y la otra con signo -) sobre la misma pantalla. El rectángulo de la pantalla debe ser suficientemente grande para incluir los intervalos [-6, 10] en el dominio y [-10, 6] en la imagen. Si las escalas horizontal y vertical no son las mismas, la gráfica quizá no luzca como una circunferencia.
    • 2.6 LA CIRCUNFERENCIA y o • Figura 2.22 Ejemplo 3 ¿Cuál es la gráfica, si existe, de la ecuación x2+y+4x-6y+14=0? Solución Al completar cuadrados se encuentra (x+2)2+(y - 3)2=-1 95 x Está claro que el miembro izquierdo de esta ecuación no puede ser negativo para valores reales de x y y. Por ello, la ecuación no tiene gráfica. • • Circunferencias determinadas por condiciones geométricas Se ha visto cómo escribir la ecuación de una recta a partir de cierta información que fija la posición de la recta en el plano coordenado. Se considerará ahora un problema análo­ go con respecto a la circunferencia. Tanto la forma centro-radio como la forma general de la ecuación de una circunferencia, serán útiles en esta relación. Hay innumerables con­ diciones geométricas que determinan una circunferencia. Se recordará, por ejemplo, que una circunferencia puede pasar por tres puntos que no se encuentren sobre una recta. Se ilustrará primero este caso. Ejemplo 4 Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P(l; -2), Q(5, 4) Y R(10, 5) Solución La ecuación de la circunferencia se puede expresar en la forma
    • 96 CAPiTULO 2 LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA X2 + y+ Dx + Ey + F = O El problema es encontrar valores para D, E Y F tales que la ecuación se satisfaga con las coordenadas de cada uno de los puntos dados. Por tanto, x y y se sustituyen con las coor­ denadas de estos puntos. Esto da el sistema 1 + 4 + D-2E + F=O, 25 + 16 + 5D + 4E + F = 0, 100 + 25 + lOD + 5E + F = O. La solución de estas ecuaciones es D = - 18, E =6 y F =25. Por tanto, la ecuación que se busca es xl +y2 - 18x+ 6y + 25 = O. De manera alternativa, este problema se puede resolver aplicando el hecho de que• los bisectores perpendiculares de dos cuerdas no paralelas de una cirqmfe..rencia se intersecan en el centro. Así, las ecuaciones de los bisectores perpendiculares de PQ y QR (Fig. 2.23) son 2x+ 3y=9 y 5x + y = 42. , La solución de estas ecuaciones es x=9, y=- 3. Estas Son las coordenadas del centro. El radio es la distancia del centro a cualquiera de los puntos dados. Por consi­ guiente, la ecuación resultante, en la forma centro-radio, es (x- 9)2 + (y + 3)2 = 65. • y Q(5,4) R(lO,5) , o x P(l, -2) (9, -3) . Flgura 2.23 Ejemplo S Una circunferencia es tangente a la recta 2x- y + 1 = O en el punto (2, 5) Y su centro se encuentra sobre la recta x+ y=9. Encuentre la ecuación de la circunferencia. Solución La recta que pasa por (2, 5) Y es perpendicular a la recta 2x - Y + 1 = O pasa por el centro de la circunferencia (Fig. 2.24). La ecuación de esta recta es x + 2y=12.
    • 2.6 LA CIRCUNFERENCIA Por tanto, la solución del sistema x+2y= 12, x+y = 9, 97 da las coordenadas del centro. En consecuencia, el centro se ubica en (6, 3). La distan­ cia de este punto a (2, 5) es J20. Por tanto, la ecuación de la circunferencia es (x- 6)2 + (y - 3) 2 = 20. • y x Figura 2.24 Ejemplo 6 Un triángulo tiene sus lados sobre las rectas x+2y - 5 = O, 2x - y - 10 = O Y 2x+y+2 =O. Encuentre la ecuación de la circunferncia inscrita en el triángulo. , Solución Por geometría, se sabe que el centro de la circunferencia inscrita es el pun- to de intersección de los bisectores de los ángulos del triángulo. Remitiéndose a la figu­ ra 2.25, el punto de intersección de los bisectores del ángulo A y del ángulo B se indica con P(x', y'). Las distancias de los lados del triángulo a P están indicadas por d." d2 Y d3• Las distancias d., y d2 son positivas, pero d3 es negativa. De este modo d., = d2 Y d2 = -d3' Ahora se escribe 2x' + y' + 2 _ 2x' - y ' - 10 2x' - V5 -V5 - y ' - 10 = _ x' + 2y' - 5 -V5 V5 ° X ' = 2, ° X ' - 3y' = 5. Al quitar las primas resulta x = 2 Y x - 3y = 5, que son las ecuaciones de los bisecto­ res de los ángulos A y B. La solución de este par de ecuaciones es x = 2 Y Y = -1. Por tanto, el punto (2, -1) es el centro de la circunferencia inscrita. El radio es la distancia de (2, -1) a cada uno de los tres lados, que es J5 . Por consiguiente, la ecuación que se busca es
    • 98 y e 2x+y+2=O FIgura 2.25 Ejercicios CAPíTULO 2 LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA x+ 2y-5 = o x 2x+y-IO=O • A En los ejercicios 1 a 16 escriba la ecuación de la circunferencia que satisface las condi­ ciones dadas. 1. Centro (3, -4), radio 6 2. Centro(O, 8), radio 5 3. Centro (5, -12), radio 13 4. Centro (O, 3), radio 7 5. Centro(5, -3), radioJ6 6. Centro (-1, -6), radio 8 7. Centro(1t, -112), radio Jf7 8. Centro (3/5, lh),radio JITj 9. El segmento que uneA(O, O) y B(6, -8) es un diámetro. lO. El segmento que uneA(-I, 5) y B(-5, -7) es un diámetro. 11. El segmento que uneA(-3, - 4) Y B(4, 3) es un diámetro. 12. El centro está en (1, -3) Y la circunferencia pasa por (-3, 5). 13. La circunferencia es tangente al eje yy el centro está en (5, 3). 14. La circunferencia es tangente al eje xy el centro está en (-3, -4). 15. La circunferencia es tangente a la recta 3x+4y=16 Y el centro está en (-3,-4) 16. La circunferencia es tangente a la recta 5x- 12y= 24 Y el centro está en (5, -5). En los ejercicios 17 a 26 reduzca cada ecuación a la forma centro-radio y dibuje la cir­ cunferencia. 17. X2+y+6x- 4x- 12 = O 19. X2 +y2 - 8x- 2y+ 1 = O 21. X2 +y2 - 8x- 2y+ 1 = O 18. X2 +y+4x12y + 36 = O 20. x2+y- 10x+ 4y-7=0 22. X2 + y- 1Ox- 24y+ 25 = O
    • EJERCICIOS 23. x2+y+4x +12y+3=O 25.2x2+2y2+ 12x - 2y -3=0 24. X2+y- 3x - 4y=O 26. 3X2 + 3),2 -6x+5y=° 99 En los ejercicios 27a 36determine cuáles de las ecuaciones representan una circunfe': rencia o un punto,o no tienen gráfica . 27.X2+ y- 2x +4y+5=O 29. X2+ y+ 4x - 8y - 5=O - 31. x2+ y- x=0 33. X2+ y- 4x - 4y + 9=° 35. X2+y2 - 5x - 3y+ 34/4=° 28. X2+ y- 6x + 2y+36=O 30. X2+ y+10 Y=° 32. X2+ y+8x + 15=° 34.X2+ y+ 7x+5y+ 16=° 36. X2+ 1/2X+Y+ lhy+ 13/¡44=° En los ejercicios del 37al 46encuentre la ecuación de la circunferencia descrita . 37. La circunferencia es tangente a la recta x - y=2en el punto(4,2) Yel centro está en el eje x. 38. La circunferencia es tangente a la recta x + 2y=3 en el punto(-1,2) Y el centro está en el eje y. 39.La circunferencia es tangente a la recta 4x + 3y=4en el punto(4,-4) Yel centro está en larecta x - y=7. 40.La circunferencia es tangente a la recta 5x + y=3 en el punto(2,-7) Y el centro está en la recta x - 2y=19. 41. La circunferencia es tangente a la recta 3x - 4y=34 en el punto(10,-1) Ytam- bién es tangente a la recta 4x +3y=12en el punto(3,O). 42. La circunferencia es tangente a ambos ejes coordenadosy contiene el punto(6,3). 43.La circunferencia pasapor los puntos(O, 3),(2,4) Y(1,O). 44.La circunferencia pasa por los puntos(O,O),(O,5) Y(3,3). 45. La circunferencia está circunscrita en un triángulo cuyos vértices son(3,-2),(2, 5)y(-1,6). 46. La circunferencia está circunscrita en un triángulo cuyos vértices son (-1, -3),(-2, 4)y(2,1). 47.Los lados de un triángulo se encuentran a lo largo de las rectas x - 2y=0,5x - 2y= 8 Y 3x + 2y=24. Encuentre la ecuación de la circunferencia que circunscribe al, triángulo. .. 48. Los lados de un triángulo están sobre las rectas 3x+ 4y+8=0,3x -4y - 32 = °y x=8. Encuentre la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo. 49. Los lados de un triángulo están sobre las rectas 3x -y -5=0, x + 3y - 1= °y x -3y+ 7=O. Encuentre la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo.
    • , 00 CAPiTULO 2 LA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA 50. Los lados de un triángulo se encuentran sobre las rectas 6x + 7y + 11 = O, 2x - 9y + 11 - O Y 9x + 2y - 11 = O. Encuentre la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo. 2.7 FAMILIAS DE CIRCUNFERENCIAS En la sección 2.5 se aprendió a encontrar la ecuación de la familia de rectas que pasan por la intersección de dos rectas. El método usado ahí también servirá para encontrar la ecuación de familias de circunferencias que pasen por las intersecciones de dos cir­ cunferencias. Para ello, se considerarán las ecuaciones • X2 + y + D,x + E¡)' + F, = 0, X2 + y + D� + E'll + F 2 = 0, y, tomando k como parámetro, la ecuación (X2 + y + D,x + E,y + F,) + k(x2 + y + D� + E'll + F 2 )= O. (2.25) (2.26) (2.27) Suponga ahora que las ecuaciones (2.25) y (2.26) representan circunferencias que se intersecan en dos puntos. Entonces, si k es un parámetro, con k distinto de -1, la ecua­ ción (2.27) representa una familia de circunferencias que pasan por los puntos de intersec­ ción de las ecuaciones dadas. Esto es cierto pues al sustituir las coordenadas de un punto de intersección por x y y, reducen la ecuación (2.27) a O + kO = O. Si las circunferencias dadas son tangentes entre sí, la ecuación (2.27) representa la familia de circunferen­ cias que pasan por el punto de tangencia. Se darán ejemplos de circunferencias que se intersecan en un solo punto. Ejemplo 1 Escriba la ecuación de la familia de circunferencias e3 cuyos miembros pasan por la intersección de las circunferencias e, y ei representadas por las ecuaciones el: X2 + y - 6x + 2y + 5 = O, e 2 : X2 + y - 12x - 2y + 29 = O. Encuentre el miembro de hi familia e3 que pasa por el punto (7, O). Solución Poniendo a k como parámetro, la familia de circunferencias se expresa me­ diante la ecuación (X2 + y - 6x + 2y + 5) + k(x2 + y - l2x - 2y + 29) = O. Reemplazando x con 7, y y con O en esta ecuación, se encuentra (49 - 42 + 5) + k(49 - 84 + 29) = O, 12 + k(-6) = O, k = 2. Para este valor de k la ecuación (2.28) se reduce a . 3x2+ 3y - 30x - 2y + 63 = ° (2.28)
    • 2.7 FAMILIAS DE CIRCUNFERENCIAS 101 o, en la forma centro-radio, e3: (x-S)2+(y - 113)2 = 37/9. Por tanto, el miembro requerido de la familia de circunferencias tiene su centro en (S, 113) Y radio igual a J37/3, lo cual es, aproximadamente, igual a 2.03. Esta circunfe­ rencia y las dos circunferencias dadas, se encuentran en la figura 2.26. • y x o FIgura 2.26 Ejemplo 2 Grafique las circunferencias e, y e2 cuyas ecuaciones son e,:.xl+Y-I2x-9y+SO=0, e2:.xl+y2-2S=O. Grafique, además, el miembro e3 de la iamilia de circunferencias (.xl+Y-12x- 9y+SO)+k(.xl+Y- 2S)=O, para el cual k = 1. Solución Al reemplazar k por 1 se obtiene, en la forma centro-radio, la ecuación • e3: (x - 3)2+(y-9/4)2=25/¡6 El centro de la circunferencia está en (3,9/4) y el radio es 5/4. Como se muestra en la figu­ ra 2.27, las circunferencias dadas se intersecan en un solo punto y la tercera circunferen­ cia pasa por el punto de tangencia. • La ecuación (2.27) representa, como ya se vio, una circunferencia si a k se le asigna cualquier número real excepto k=-1; Si, a pesar de todo, hacemos k=-1, la ecuación (2.27) se reduce a la ecuación lineal (D, -D)x+(E, -E2)y+F,-F2=O. La gráfica de esta ecuación es una recta llamada eje radical de las dos circunferencias dadas. Si las circunferencias dadas se intersecan en dos puntos, el eje radical pasa por los puntos de intersección; si las circunferencias dadas son tangentes, el eje radical es tangente a las circunferencias en su punto de tangencia. Si las circunferencias dadas no tienen puntos en común, el eje radical se halla entre las circunferencias. En cada una de las tres posibilidades, el eje radical es perpendicular a la recta que une los centros de las circunferencias dadas. Se deja al estudiante la demostración de esta afirmación.
    • 102 CAPíTULO 2 LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA y o Figura 2.27 Ejemplo 3 Dibuje la gráfica de las ecuaciones • x x2 +y/4x- 6y- 3=0 y x2 A continuación, encuentre la ecuación del eje radical y dibuje el eje. Solución Al restar la primera ecuación dada de la segunda se obtiene -8x- 8y+68=O,• lo cual equivale a 2x+2y- 17=O. Esta es la ecuación del eje radical. En la figura 2.28 se muestran las gráficas de las ecuaciones dadas y del eje radical. • y x Figura 2.28 2x+ 2y- 17 =0
    • EJERCICIOS 103 EjercicIos • 1.Escriba una ecuación de la familia de circunferencias que pasa por la intersección de las circunferencias X2+y- 2x -24 =O Y X2+ y+IOx+6y - 2=O. Encuentre el miembro de la familia para el cual k= 1. Construya las tres circunfe- . rencias en el mismo sistema coordenado. 2. Escriba una ecuación de la familia de circunferencias que pasa por la intersección de las circunferencias X2+y+ 2x+4y -4 =O Y X2+y+6x+2y+6=O. Encuentre el miembro de la familia para el cual k=2. 3. Escriba una ecuación de la familia de circunferencias que pasa por la intersección de 1as circunferencias X2+y+2x - 4y=4 Y X2+y2 -4x+6y=3. Encuentre. el miembro de la familia que pasa por(1, 2). 4. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos de intersección de las circunferencias X2+y-4x+2y -4 = O Y X2+y+4x=O. • 5. Encuentre la ecuación del eje radical representado por las circunferencias X2+y+14x+38=O y X2+ y-4=O. 6. Dibuje la gráfica de las ecuaciones X2+ y+4x+6y - 3 = O Y X2+y+12x+14y+60 = O. Después, encuentre la ecuación del eje radical y dibuje el eje. 7.Dibuje las circunferencias x2+y-14x+40=O y x2+y-4=O Encuentre la ecuación del eje radical y dibuje el eje. 8. Dibuje las circunferencias X2+ y+2x -5y - 4=O Y X2+y+12x+8y+36 = O. Encuentre la ecuación del eje radical y dibuje el eje. 9.Pruebe que el eje radical de dos circunferencias es perpendicular al segmento de. recta que conecta los centros de las circunferencias. 10.Escriba la ecuación de la familia de circunferencias que pasa por los puntos de intersección de X2+ y+16x+l Oy+24 . O Y X2+y+4x - 8y - 6=O . Encuentre el miembro de la familia que pasa por el origen. Construya las tres cir- cunferencias. - ,- - - -
    • . 104 , CAPiTULO 2 lA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA 2.8 TRASLACION DE EJES La ecuación de una circunferencia de radio r tiene la forma simple X2 + y = r si el ori­ gen de coordenadas está en el centro de la circunferencia. Si el origen no se encuentra en el centro, la ecuación correspondiente puede expresarse en cualquiera de las dos founas menos simples, (2.22) o (2.24), de la sección 2.6. Esto ilustra el hecho de que la senci­ llez de la ecuación de una curva depende de las posiciones relativas de la curva y los• • ejes. Suponga que se tiene una curva en el plano coordenado y la ecuación de la curva. Considere el problema de escribir la ecuación de la misma curva con respecto a otro par de ejes. El proceso de cambiar de un par de ejes a otro se llama transformación de coordenadas. La transformación más general es aquella en la cual los nuevos ejes no• son paralelos a los anteriores y los orígenes son diferentes. Sin embargo, ahora se consi- derarán transformaciones en las cuales los nuevos ejes son paralelos a los originales y están dirigidos de manera análoga. Una transfOlmación de este tipo se llama traslación de ejes. Las coordenadas de cada punto del plano cambian bajo una traslación de ejes. Para ver cómo cambian las coordenadas, se examinará la figura 2.29. Los nuevos ejes x' y y'• son paralelos, respectivamente, a los ejes x yy anteriores. Las coordenadas del origen O', referidas a los ejes originales, se representan con (h, k). Así, los nuevos ejes se pueden obtener desplazando los ejes anteriores h unidades horizontalmente y k unidades verti­ calmente, manteniendo sin cambio sus direcciones. Se llamarán x yy las coordenadas de cualquier punto P con respecto a los ejes anteriores y x' y y' las coordenadas de P con respecto a los nuevos ejes. Es evidente, a partir de la figura, que O Figura 2.29 Por consiguiente, x = ON = OM + O'Q = h + x', y = NP = MO I + QP = k + y ' . y y' • (h, k) O' k h M • r P. (x , y) �(x', y') Q N x = x' + h, Y =y' + k. • x' x
    • 2.8 TRASLACiÓN DE EJES 105 Estas fórmulas relacionan las anteriores coordenadas con las nuevas. Valen para todos los puntos del plano, donde el nuevo origen O' es cualquier punto del plano. En consecuencia, las sustituciones x' + h por x y y' + k por y en la ecuación de una curva referida a los ejes originales, dan la ecuación de la misma curva referida a los ejes trasladados. Es indispensable que cada conjunto de ejes se denomine de manera adecuada. De no ser así, una gráfica se convierte en una confusión de líneas. Ejemplo 1 Encuentre las nueva,s coordenadas del punto P(4,-2) si el origen se mue­ ve a (-2, 3) mediante una traslación. Solución Como hay que encontrar las nuevas coordenadas del punto dado, las fórmu­ las de la traslación se escriben como x' = x - h Y y' = y- k. Las coordenadas originales del punto dado son x = -2, Y = 3. Haciendo las sustituciones adecuadas, se encuentra x' = 4-{-2) = 6, y' = -2 - 3 =-5. Las nuevas coordenadas de P son (6, -5). Este resultado puede obtenerse directamente de la figura 2.30. • Figura 2.30 , y y • (4,-2) Ejemplo 2 Encuentre la nueva ecuación de la circunferencia X2 + y- 6x + 4y- 3 = O después de una traslación que mueve el origen al punto (3,-2). Solución Aquí las fórmulas de traslación se convierten en x = x' + 3 Y Y = y' - 2. Estas sustituciones para x y y en la ecuación dada producen
    • 106 CAPíTULO 2 lA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA (x' + 3)2 +(y' - 2)2 - 6(x' + 3) + 4(y' - 2) - 3 = O o, por simplificación, X'2 + y'2 = 16 En la figura 2.31 se dibujan ambos conjuntos de ejes y la gráfica. • Figura 2.31 y y' O' (3, -2) x x ' Ejemplo 3 Traslade los ejes de manera que no aparezcan términos de primer grado en la ecuación transformada de la circunferencia X2 + y+ 6x- lOy+ 12 = O Solución Se expresa primero la ecuación en la forma centro-radio y se obtiene (x+ 3)2 + (y - 5)2 = 22. Si se escoge el nuevo origen en el centro de la circunferencia, (-3, 5), las fórmulas de traslación son x= x' - 3 y Y = y' + 5. Estas sustituciones para xy y dan X'2 + y'2 = 22 como la ecuación de la circunferencia referida a los ejes trasladados. • EjerCicios En los ejercicios 1 a 6, determine las nuevas coordenadas de los puntos si los ejes se trasladan de manera que el nuevo origen esté en el punto dado O'. Dibuje ambos con­ juntos de ejes y verifique el resultado mediante una figura. 1. (3, 2), (3, -2), (-3, -2), (-3, 2); 0'(4, 1). 2. (7, 1), (4, 2), (4, -3), (2, 3); 0'(2, 3).
    • EJERCICIOS DE REPASO 3. (4,-3),(5,- 1),(-3,-2),(3,4); 0'(-3,1). 4.(6,3),(2,-3),(7, 4),(-4, -2);0'(-5,-2). 5. (5,3),(2,-3),(7,4),(-4,-2);0'(-2,2). 6. (3,1),(4,2),(5,3),(4,6),(-2,-3); 0'(-2,3). '07 - En los ejercicios 7 a 17,encuentre la nueva ecuación si el origen se mueve al punto dado O' mediante una traslación de ejes. Dibuje ambos conjuntos de ejes y la gráfica. 7. 2x+ y -6 = O;0'(-2,2) 9.3x+2y +5=0;O'(-1,2) 11. X2+y2 -2x+ 4y=O; 0'(2,2) 12.X2+ y+2x = O;0'(0,1) 13. x2 +y2 - 4x +4y -2=0;O'(1,3) 14. X2+y2+ 6x - 8y+5=O;0'(1,-4) 15.X2+y-16x+6y+ 8 = O;0'(-6,3) 16. X2+ y- 8x +12y - 7=O;0'(3,-8) 8. x - 2y- 4=O; 0'(3,-2) 10.4x -3y =0;O'(3,3) 17. X 2+ y+14x -IOy+20=O;0'(4.015,2. 193) En los ejercicios 18 a 23,encuentre el punto al cual debe trasladarse el origen para que la ecuación transformada no tenga términos de primer grado. Escriba la ecuación trans­ formada. 1 8. X2+ y+ 6x+4y+ 8=O 20. x2+ y+IOx -12y+3=0 • 22. X2+4y2 - 8x - 8y+5=_0 EJERCICIOS DE REPASO l. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (2, -3) Y es perpendicular a la recta definida por la ecuación 4x+5y + 6 = O. , 19. X2 +y2 - 4x+2y=5 21. 4X2+y2+16x - 6y = 3 • 23. X2+y2+ IOx - 14y=7 • 2. Encuentre la distancia dirigida desde la recta 5x - 2y - 26 = O hasta los puntos P,(4, -5), Pk4, 2) Y P)(9, 1).
    • 108 3. Encuentre la ecuación del bisector de los ángulos agudos formados por las rectas x - 2y + 6 = O.y x + 2y - 4 = O. 4. Escriba la ecuación de la familia de rectas que es paralela a la recta 5x + 12y + 6 = O. Encuentre el miembro de la familia que se halla a 3 unidades del punto (2, 1). 5. Escriba la ecuación de la familia de rectas que pasa por el punto (5, -2). Encuentre el miembro que pasa por (-3, 4). 6. El segmento de recta que une (5, -1) Y (-7, -5) es un diámetro de una circunferencia. Encuentre la ecuación de la circunferencia. 7. Una circunferencia es tangente a la recta 3x - 4y + 4 = O en el punto (-4, -4) Y el centro está sobre la recta x + y + 7 = O. Encuentre la ecuación de la circunferencia. 8. Reduzca la circunferencia X2 + y2 -IOx -7y = O a la forma centro-radio. 9. Escriba la ecuación de la familia de circunferen­ cias que pasan por la intersección de las circunfe- • renctas , Términos Clave forma pendiente-ordenada al origen, pág. 62 forma general, pág. 63 forma punto-pendiente, pág. 64 forma dos-puntos, pág. 65 forma de coordenadas al origen o de inter.secciones con los ejes, pág. 70 l. Enuncie las definiciones de función creciente, cir­ cunferencia y radio de una circunferencia. CAPíTULO 2 lA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA X2 + y- 2x- 24 = O Y X2 + y+ lOx- 9y+ 39 = O Encuentre el miembro de la familia para el cual k = l . Construya las tres circunferencias en los mis­ mos ejes coordenados. 10. Construya las gráficas de las circunferencias X2 + y + 4x= O Y X2 + y- 4 = O. Encuentre, en la forma centro-radio, la ecuación del miembro de la familia de circunferencias (X2 + y + 4x) + k(x2 + y - 4) = O para e.I cual k = l. Dibuje la gráfica de las circun­ ferencias dadas y de la circunferencia encontrada. Coloque las tres circunferencias en los mismos ejes coordenados. 1 1. Encuentre la nueva ecuación de la circunferencia X2 + y2 - 2x- 6y+ 4 = O si el origen se mueve a 0'(2, 3). 12. Encuentre el punto al cual debe trasladarse el ori­ gen para que la ecuación transformada de X2 + y2 + 10x- 12y- 3 = O no tenga términos de primer grado. función creciente, pág. 72 función monótona, pág. 72 distancia de una recta a un punto, pág. 81 circunferencia, pág. 92 forma centro-radio, pág. 92 familias de circunferencias, pág.l 00 traslación de ejes, pág. 104 2. Escriba la ecuación de la recta que pasa por a) (2, -1) con pendiente -7.
    • EJERCICIOS DE REPASO b) (3, 5) Y (-1, -9). c) (3, 5) Y (3, -9). d) (-1,2) Y es paralela a la recta 2x + 9y = 1 492. e) (-1, 2) Y es perpendicular a la recta 2x + 9y = 1 776. f) (-9, O) Y (O, -5). 3. Encuentre la ecuación de la circunferencia con cen­ tro en (-4, 5) Y radioJ7. 4. Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en (-4, 5) Y tangente a y = x - 4. 109 5. Encuentre la familia de rectas .paralelas a la recta que pasa por (2,-6) Y (O, -4). 6. Encuentre el punto al que debe trasladarse el ori­ gen para que la ecuación transformada de 2x2+ 20x + y2 - 4y - 1 2 = O no tenga términos de pri­ mer grado. ¿Cuál es esta nueva ecuación? 7. Encuentre el ejeradical de las circunferencias Xl + yl - 5 = O Y X2+ 2x +y -12y - 7 = O. Grafique las circunferencias y el eje radical. 8. ¿Cuál es el valor de m si las rectas x/a + ylb = 1, x/b + y/a = 1, Y = mx se tocan en un punto? • NOTA HISTOR/CA El problema 8 se tomó directamente de la obra de G. A. Wentworth, Elements ofAna/ytic Geometry, en su edición de 1 89L Dicho texto fue analizado hasta 1 898 por los estu­ diantes de ingeniería eléctrica del Instituto Politécnico de Alabama (hoy día Auburn University).
    • Capítulo Cónicas En el capítulo anterior se definió una circunferencia en términos de un conjunto de puntos. En este capítulo se darán nombres a otros conjuntos de puntos, o curvas, y se deducirán las ecuaciones correspondientes. Como en el caso de una circunferencia, las ecuaciones serán de segundo grado, o cuadráticas, en dos variables. Todas las ecuaciones, con algunas excepciones, definen relaciones que también son funciones (Definiciones 1.6 y 1.7). La ecuación cuadrática general en x y y se puede expresar en la forma Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = O. (3.1) La gráfica de una ecuación de segundo grado en las coordenadas x y y se llama sección cónica o simplemente cónica. Esta denominación viene del hecho de que la curva se puede obtener como la intersección de un cono circular recto y un plano.* El matemático griego Apolonio (262 A. C.-200 A. C.) escribió el tratado definitivo, Secciones cónicas, sobre este tema. Superó los trabajos de los geómetras griegos ante­ riores y formó la piedra angular del pensamiento acerca del tema por más de mil años. En efecto, pasaron dieciocho siglos antes de que Descartes escribiera su libro La Géométrie. • NOTA HISTÓRICA Apolonio es el responsable de la caracterización de las secciones cónicas que se mues­ tran en la figura 3.1. Fue quien dio a las cónicas sus nombres. Pensó que deberían ser estudiadps por la belleza de las demostraciones acerca de sus propiedades y no tanto por sus aplicaciones prácticas. *Sea P un punto sobre una recta fija L. Entonces, la superficie que consta de todas las rectas que pasan por P y forman un ángulo constante con L se llama cono circular recto. La recta L es el eje del cono, el punto P el vértice y cada recta que parte de la superficie del cono se llama ele­ mento. El vértice separa al cono en dos partes llamadas hojas.
    • 1 12 CAPíTULO 3 CÓNICAS Figura 3., Elipse Parábola Hipérbola La importancia de las secciones cónicas rebasa lo puramente histórico o académico; éstas tienen muchas aplicaciones interesantes e importantes en la ciencia,la ingeniería y la industria. Aunque no se examine con detalle cada aplicación, se puede señalar una rica variedad de aplicaciones conocidas de las cónicas. Además, se descubrirán nuevas aplica­ ciones en el futuro, como ha sucedido en los últimos veintidós siglos. Muchas de las aplicaciones de hoy día ni siquiera podrían haberse imaginado hace cincuenta o cien años. Obviamente hay diferentes tipos de secciones cónicas. Un plano que no pase por el vértice de un cono puede cortar todos los elementos de una hoja y formar una curva cerrada(Fig. 3.1). Si el plano es paralelo a un elemento, la intersección se extiende indefinidamente a lo largo de una hoja,pero no corta la otra. El plano puede cortar ambas hojas y formar una sección de dos partes, cada una extendiéndose indefinidamente a lo largo de la hoja. Además de estas secciones, el plano puede pasar por el vértice del cono y determinar un punto, una recta o dos rectas que se intersecan. Una intersección de cada uno de estos tipos se llama, algunas veces, cónica degenerada. , 3.1 LA PARABOLA Ahora se describirá y denominará una curva que, como la circunferencia, es un concepto importante en matemáticas y se usa con frecuencia en problemas aplicados. , NOTA HISTORICA La Rebelión de la sección cónica fue el nombre que se le dio a una protesta estudiantil ocu­ rrida en 1839, en contra de la manera como enseñaban las matemáticas en Yale. No se protes­ taba por el tema mismo. Los estudiantes de segundo año pidieron a la Universidad -sin ningún resultado- que se les permitiera hablar de las secciones cónicas desde su mesa y con el libro abierto, en lugar de pasar al pizarrón y hacer su presentación sobre un dibujo.
    • 3.1 LA PARÁBOLA 1 13 En la figura 3.2 el punto Fes el foco y la recta D la directriz. El punto V, a la mitad entre el foco y la directriz,debe pertenecer a la parábola(Definición 3. 1). Este punto se llama vértice. Otros puntos de la parábola se pueden localizar de la siguiente manera. Dibuje una recta L paralela a la directriz(Fig. 3.2). Con Fcomo centro y radio igual a la distancia entre las rectas D y L, describa arcos que corten a L en P y P'. Cada uno de estos puntos, al ser equidistantes del foco y de la directriz,se encuentra sobre la parábola. La curva se puede esbozar determinando,de esta manera,unos cuantos puntos. La recta VFque pasa por el vértice y el foco es el bisector perpendicular de PP' y de todas las demás cuerdas dibujadas de manera similar. Por esta razón, a la recta se le llama eje de la parábola y se dice que la parábola es simétrica con respecto a su eje. Figura 3.2 • D L V F Aunque los puntos de la parábola se pueden localizar mediante la aplicación directa de la definición de parábola,es más fácil obtenerlos a partir de la ecuación de la curva. Se puede escribir la ecuación más sencilla de la parábola si los ejes coordenados se colocan en una posición especial con respecto a la directriz y al foco. El eje x se coloca sobre la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz, en tanto que el origen se coloca en el vértice. Entonces, si se escoge a> O, las coordenadas del foco se represen­ tan con F(a, O) y la ecuación de la directriz con x = -a (Fig. 3.3). Como cualquier punto P(x, y) de la parábola dista lo mismo del foco que de la directriz, se tiene que Y(x - a)2 + y2 = X + a. Después, en esta ecuación se elevan al cuadrado los binomios y se agrupan términos. Así, (x - a)2 + Y2 = (x + a)2, x2 - 2ax + a2 + y2 = x2 + 2ax + a2, y2 = 4ax.
    • 114 CAPíTULO 3 CÓNICAS y D (-a,y) +-----+_� P(x,y) x=-a x (-a, O) o F(a, O) Figura 3,3 • , Esta es la ecuación de una parábola con el vértice en el origen y foco en(a, O). Como a> 0,x puede tomar cualquier valor positivo o cero, pero no valores negativos, la gráfi­ ca se aleja indefinidamente en el primer y cuarto cuadrantes y el eje de la parábola es el eje x positivo(Fig. 3.4). A partir de la ecuación, resulta evidente que la parábola es si­ métrica con respecto a su eje, pues y = +2.Jax . y Figura 3.4 y2=4ax a>O La cuerda trazada por el foco y perpendicular al eje de la parábola recibe el nombre de lado recto.La longitud del lado recto se puede determinar mediante las coordena­ das de sus extremos. Sustituyendo a por x en la ecuación y = 4ax, se encuentra y = ±2a.
    • 3. I LA PARÁBOLA FIgura 3.5 (a, -2a) I I I I I y F(a, O) I O I I I I y2 = 4ax a<O 115 x Por tanto, los extremos son (a, -2a) y (a, 2a). Esto hace que la longitud del lado recto sea igual a 4a. El vértice y las extremidades del lado recto son suficientes para hacer un esbozo de la parábola. Por supuesto, se puede tener el foco de una parábola a la izquierda del origen. Para este caso se escoge a < 0, el foco se representa con F(a, O) y la directriz con x = -a (Fig. 3.5). Entonces, la medición positiva desde un punto P(x, y) de la parábola a la directriz es -a-x. Por consiguiente, V(x - a)2 + y 2 = -a - x = la + xl, y esta ecuación, como antes, se reduce a• y 2 = 4ax. Como a < 0, la variable x sólo puede tomar valores negativos y cero, como se mues­ tra en la figura 3.5. y F(O, a) FIgura 3.6 O X2 = 4ay a>O (2a, a) x
    • 1 16 CAPíTULO 3 CÓNICAS En el análisis anterior, el eje xse colocó sobre la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz. Si se escoge esta posición para el eje y, se intercambiarán los papeles de xy y.Por tanto,la ecuación de la parábola sería x2 = 4ay. y o F(O, a) • Figura 3.7 X2 = 4ay a<O • x La gráfica de esta ecuación, cuando a> 0, está en la figura 3. 6 y cuando a < 0, en la figura 3.7. Se observa que cambiando el signo de a, la gráfica,en efecto,se refleja a través del eje x; surge así una nueva gráfica que es congruente con la original. Para resumir,se hacen las siguientes afirmaciones. Teorema 3.1 La ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en (a, O) es y = 4ax (3.2) La parábola se abre hacia la derecha si a> ° y se abre hacia la izquierda si a < O. La ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en (O, a) es X2 = 4ay (3.3) La parábola se abre hacia arriba si a> O Y hacia abajo si a < O. Se pueden aplicar las ecuaciones(3.2) y(3.3) para encontrar las ecuaciones de parábolas que satisfacen condiciones específicas. Su uso se ilustra con algunos ejemplos. Ejemplo 1 Escriba la ecuación de la parábola con vértice en el origen y el foco en(O, 4). Grafique la parábola. Solución Aquí se aplica la ecuación(3.3). La distancia del vértice al foco es 4 y,por tanto, a = 4. Sustituyendo este valor con a, se obtiene x2=1 6y.La gráfica aparece en la Figura 3.8. •
    • 3. J LA PARÁBOLA 117 y (0,4) (8,4) Figura 3.8 Ejemplo 2 Una parábola tiene su vértice en el origen, su eje a lo largo del eje x y pasa por el punto (-3, 6). Encuentre su ecuación. Solución La ecuación de la parábola es de la forma y = 4ax. Para determinar el valor de 4a, se sustituyen las coordenadas del punto dado en esta ecuación. Así, se obtiene 36 = 4a(-3) y 4a = -12. La ecuación requerida es y2 = -12x. El foco está en (-3, O) Y el punto dado es el extremo superior del lado recto. La gráfica se elaboró en la figura 3.9. • Figura 3.9 (-3,6) I I I I I I F(-3, O) I y o x Ejemplo 3 La ecuación de una parábola es X2 = -6y. Encuentre las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto. Solución La ecuación es de la fomla (3.3), donde a es negativa. Por ello, el foco se encuentra sobre el eje y negativo y la parábola se abre hacia abajo. A partir de la ecua­ ción 4a = -{) se encuentra a = - 312. Por tanto, las coordenadas del foco son (O, -312 ) Y la directriz es y = 312. La longitud del lado recto es igual al valor absoluto de 4a, y en este
    • 1 1B CAPíTULO 3 CÓNICAS caso es 6. El lado recto se extiende 3 unidades hacia la izquierda del foco y 3 unidades hacia la derecha. La gráfica se puede esbozar mediante un trazo que pase por el vértice y por los extremos del lado recto. Para una gráfica más precisa, podrían localizarse unos cuantos puntos más (Véase Fig. 3 .10 .) • )' ,o x (-3.-n. . --- Figura 3.10 Una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo se representa mediante la ecua­ ción 4 ay=x2 o, de manera equivalente, cony = (1/4a)x2• Esta presentación de la ecuación muestra quey es una ftmción cuadrática dex. Un examen de la gráfica revela que la fun­ ción cuadrática es una ftmción creciente en la mitad de su dominio y decreciente en la otra mitad. Ejemplo 4 Muestre que la parábola x2 = -6y representa una función creciente en el intervalo (-00, O), el de los números reales negativos. Solución Se debe mostrar que si X I <x2 < O,entonces _1/6x � > _1/6X �. Sin embargo si X I <x2 < O,resulta quex � <x �. La desigualdad se invierte si se multiplica por el número negativo _1/6, de manera que 1 --x2 < 6 1 Esto significa que siy =j(x) = _1/6X2 Y si X I <x2 < O,entoncesj(xl) <j(x2). • Ejercicios • En los ejercicios 1 a 9 encuentre las coordenadas del foco, la longitud del lado recto y las coordenadas de sus extremos para cada una de las parábolas dadas. Encuentre ade­ más la ecuación de la directriz de cada parábola. Esboce cada curva. . I. y=4x 2. y = - 16x 3. x 2 = 4y -'4. X 2 =- 10y 5. y2 + 3x=O 6 . X 2 - 8y=O 7. 2y=7x 8 . 2y 2 = -3x 9. X 2 -7y=O
    • EJERCICIOS 1 19 Escriba la ecuación de la parábola con vértice en el origen que satisface las condiciones dadas en los ejercicios 10 a 19. 10. Foco en(3,O) 12. Foco en (-4,O) 14. La directriz es x + 4 = O 11. Foco en(O,3) 13. Foco en(0,-3) 15. La directriz es y- 4 = O 16. La longitud del lado recto es 10 Y la parábola se abre hacia la derecha. 17. La longitud del lado recto es 8 y la parábola se abre hacia arriba. 1 8. El foco está sobre el eje x y la parábola pasa por el punto(3,4). 19. La parábola se abre hacia la izquierda y pasa por el punto(-3,4). 20. La gráfica de y= cx2 se obtiene a partir de la gráfica de y= X2 mediante una trans­ formación geométrica,llamada expansión o alargamiento,si e < 1, Y una contrac­ ción, o encogimiento,si 0< e < l . Si e = -1, lo que resulta es una reflexión a través del eje x. Usando los mismos ejes,esboce las parábolas X2 = 4aypara a = 1/4, 11z, 2, 4,Y observe el efecto en el aspecto de la parábola que resulta de cambiar el valor de a. Use un paquete de graficación si cuenta con él. 2'1. Un cable suspendido por soportes que se encuentran a la misma altura y que distan 240 m entre sí,cuelga en el centro 30 m. Si el cable cuelga en forma de parábola, encuentre su ecuación colocando el origen en el punto más bajo. 22. Encuentre la amplitud del cable del ejercicio 21 a una altura de 15 m sobre el punto más bajo. 23. Encuentre la ecuación del conjunto de todos los puntos en el plano coordenado que equidistan del punto(O; a) y la recta y- a, y por tanto,deduzca la ecuación(3.3) de la sección 3.1. • En los ejercicios 24 a 29 escriba las ecuaciones de las parábolas dadas; además propor­ cione el dominio y el conjur,to de imágenes. 24. y 25. y (2,4) (-2, 1) x x
    • 120 , CAPíTULO 3 CÓNICAS 26. y 27. y x (-4, -2) • 28. y 29. y o x (,-1) (-2,-4) 30. Muestre que y = X2es creciente en(O, 00) y decreciente en(-00, O). 3 l. Muestre que y = _x2es decreciente en(O, 00). (4, 2) x x • 32. Muestre que si y = j(x) = x2/4a y si a > 0,entonces fes una función creciente en (O, 00) y decreciente(-00, O). . � . , 3.2 PARÁBOLA CON VÉRTICE EN (h, kJ• " ,, • • • Considere"ahofcr una parábola cuyo eje es paralelo a un eje coordenado, pero no está" sobre él. EnJa' figura 3.11 el vértice está en (h, k).y el foco en (h + a, k). Se introduce. . otro par de efes mediante una traslación al punto (h, k). Como la distancia del vértice al foco es a, se obtiene en seguida la ecuación • • • y'2- = 4ax'. Para escribir la ecuación de la parábola con respecto a los ejes originales, se aplican las fórmulas de traslación de la sección 2.8 y se obtiene así (y - W = 4a(x - h).
    • 3.2 PARABOLA CON VÉRTICE EN (h, kj y y' O' F (h + a, k) --+-----"- (� k) k Figura 3.11 o h 121 x ' x Se observa de esta ecuación, y también de la figura, que cuando a> 0, el factor x-h del miembro derecho debe ser mayor o igual que cero. En consecuencia, la parábola se abre hacia la derecha. Para a < O el factor x-h debe ser menor o igual a cero y, por tanto, la parábola se abriría hacia la izquierda. El eje de la parábola se halla sobre la recta y - k = O. La longitud del rado recto es igual al valor absoluto de 4a y entonces los extre­ mos se pueden localizar con facilidad. Se puede hacer un análisis similar si el eje de una parábola es paralelo al eje y. En consecuencia, se tienen las siguientes afirmaciones. Teorema 3.2 La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) Y foco en (h+a, k) es (y - k) 2 = 4a(x - h). (3.4) La parábola se abre hacia la derecha si a> O Y hacia la izquierda si a < O. La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) Y foco en (h, k+a) es • (x - h)2 = 4a(y - k). (3.5) La parábola se abre hacia arriba si a> O Y hacia abajo si a < O. Se dice que las ecuaciones (3.4) y (3.5) se encuentran'en forma usual. Cuando h = ° Y k = O, aquéllas se reducen a las ecuaciones más sencillas de la sección anterior. Si la ecuación de una parábola está en su forma usual, su gráfica puede esbozarse con rapidez. Para ello bastan el vértice y los extremos del lado recto. Naturalmente, si se localizan algunos otros puntos, la precisión será mayor. .: ' Se observa que cada una de las ecuaciones (3.4) y (3.5) es cuadrática en una variable y lineal en la otra variable. Este hecho se puede expresar de manera más elocuente si se hacen los cuadrados indicados y se trasponen términos.para obtenedas formas generales X2 +Dx +Ey+F = O, . . (3.6)
    • 122 CAPíTULO 3 CÓNICAS y + Dx+ Ey + F=O. (3.7) Recíprocamente, una ecuación de la forma (3.6) o (3. 7) se puede presentar en forma usual siempre que E:;; O en (3. 6) y f):;; O en (3.7). Ejemplo 1 Dibuje la gráfica de la ecuación y + 8x- 6y+ 25 =O. Solución La ecuación representa una parábola pues y aparece al cuadrado y x linealmente. La gráfica se puede trazar con mayor rapidez si la ecuación se reduce a la forma usual. Así, completando el cuadrado, se obtiene y - 6y+ 9 = -8x- 25 +9, (y -3)2 = -8(x+ 2). • El vértice se ubica en (-2, 3). Como 4a = -8 y a = -2, el foco está dos unidades a la izquierda del vértice. La longitud del lado recto,igual al valor absoluto de 4a, es 8. Por consiguiente,el lado recto se extiende 4 unidades por arriba y por abajo del foco. La gráfica se construye en la figura 3. 12. • FIgura 3.12 I I I I I (-4,3) : Ejemplo 2 Construya la gráfica de la ecuación y o X2 - 6x- 12y-51 = O. x Solución La ecuación dada representa una parábola pues yaparece al cuadrado y xes lineal. Primero se expresa la ecuación en forma usual. x2-6x+ 9= 1 2y+ 51 +9, (x-3)2 = 12(y +5).
    • 3.2 PARÁBOLA CON VÉRTICE EN (h, kj 123 El vértice se ubica en (3, -5). Como 4a = 12, a = 3. De este modo, el foco está 3 unida­ des sobre el vértice, o en (3, -2). La longitud del lado recto es 12, y por tanto las coorde­ nadas de sus extremos son (-3, -2) Y (9, -2). La gráfica se construye en la figura 3.13. y x • (-3,-2) - - - (3, -2) - - - - r------ -- (9,-2) (3, -5) Figura 3.13 Ejemplo 3 Una parábola cuyo eje es paralelo al eje y pasa por los puntos (1, 1), (2, 2) Y (-1, 5). Encuentre su ecuación. Solución Como el eje de la parábola es paralelo al eje y, la ecuación debe ser cuadrática en x y lineal en y. Por ello se comienza con la forma general X2 + Dx + Ey + F = O. Las coordenadas de cada uno de los puntos dados deben satisfacer esta ecuación. Susti­ tuyendo las coordenadas de cada punto, uno por uno, se obtiene el sistema de ecuaciones: • l + D + E + F = 0, 4 + 2D + 2E + F = 0, 1 - D + 5E + F = O. La solución simultánea de estas ecuaciones es D = -2, E = -] Y F = 2. Entonces la ecua­ ción de la parábola es X2 - 2x - y + 2 = O. Véase la figura 3.14. y (-1,5) o Figura 3.14 • (2,2) (l, 1) • x
    • 124 Simetría • • CAPiTULO 3 CÓNICAS Se ha observado que el eje de una parábola biseca todas las cuerdas de la parábola que son perpendiculares a los ejes. Por esta razón, se dice que una parábola es simétrica con respecto a su eje. El hecho de que muchas otras curvas posean la propiedad de simetría conduce a la siguiente: fOllllaparte. . , . . son snnétncos • con , La simetría de una curva con respecto a un eje coordenado o al origen es de especial interés. Por esta razón se harán las observaciones siguientes. Los puntos (x, y) y (x, -y) son simétricos con respecto al eje x. En consecuencia, una curva es simétrica con respec­ to al eje x si para cada punto (x, y) de la curva, el punto (x, -y) también pertenece a la curva. De manera análoga, una curva es simétrica con respecto al eje y si, para cada pun­ to (x, y) de la curva, el punto (-x, y) también pertenece a la curva. Los puntos (x, y) y (-x, -y) son simétricos con respecto al origen. Por tanto, una curva es simétrica con res­ pecto al origen si para cada punto (x,y) de la curva, el punto (-x, -y) también pertenece a la curva (véase la Fig. 3.15). Es fácil comprobar, mediante su ecuación, si una gráfica es simétrica con respecto a algún eje coordenado o al origen, Considere, por ejemplo, la ecuación X2 = 4y + 6. Si x se reemplaza con -x, no se altera la ecuación. Esto significa que si a x se le da un valor y después el negativo de ese valor, los valores correspondientes de y son iguales. Por ello, para cada punto (x, y) de la gráfica existe el punto (-x, y) que también está en la gráfica. Por tanto, la gráfica es simétrica con respecto al eje y. Por otro lado, asignar valorcs a y con igual valor absoluto, uno positivo y otro negativo, conduce a diferentes valores correspondientes de x. En consecuencia, la gráfica no es simétrica con respecto al eje x. De manera análoga, la gráfica no es simétrica con respecto al origen. Los siguientes criterios se formulan a partir de la definición de simetría: l. Si una ecuación no se altera cuando y se reemplaza con -)', entonces la gráfica de la ecuación es simétrica con respecto al eje x. 2. Si una ecuación no se altera cuando x se reemplaza con -x, entonces la gráfica de la ecuación es simétrica con respecto al eje y. 3. Si una ecuación no se altera cuando x se reemplaza con -x y y con -y, entonces la gráfica de la ecuación es simétrica con respecto al origen.
    • 3.2 PARABOLA CON VÉRTICE EN (h, kj y (-x, y) _---.¡----." (x, y) (-x, -y) �---+------4 (x, -y) Figura 3.15 125 x Hay tres tipos de simetrías, y es fácil ver que una gráfica que posee dos de las sime­ trías también posee la tercera simetría. Suponga por ejemplo que el punto (x, y) está en la gráfica, la cual es simétrica tanto con respecto al eje x como al eje y. La simetría con respecto al eje y significa que el punto (-x, y) se encuentra en la gráfica. Por tanto, la simetría con respecto al eje x significa que el punto (-x,-y) está en la gráfica. Por tanto, la gráfica es simétrica con respecto al origen. Está claro que, además, una gráfica que sea simétrica con respecto a un eje coordenado y al origen es simétrica con respecto al otro eje. La gráfica de la ecuación xy = I es simétrica con respecto al origen. Esto es cierto, pues si un punto (XI' y) satisface la ecuación dada, entonces el producto xlYI = 1. En consecuencia, el producto (-x)(-YI) también es igual al. La ecuación se graficó en el ejercicio 13 de la sección 1.5. (Reaparecerá en el si- guiente capítulo). . Ejemplo 4 Construya la gráfica de la ecuación x4-36y2=O. Solución Es claro que la gráfica posee las tres simetrías. Para obtener la gráfica, pri­ mero se factoriza el lado izquierdo de la ecuación dada. Se obtiene así (X2 +6Y)(X2 - 6y) = O. Entonces, al igualar cada factor a O se obtiene X2 + 6y = ° o X2 - 6y = O. Por tanto, la gráfica deseada consta de dos parábolas, cada una con el vértice en el origen, una abriéndose hacia arriba y la otra hacia abajo. Se trazará la gráfica de X2 = 6y y des­ pués se obtendrá, por simetría, la gráfica de la otra parábola. Para la parábola que se abre hacia arriba, se tiene 4a=6Y a = 312. Por tanto, el foco está en el punto (O, 312) Y los extremos del lado recto se encuentran en (3,312) Y (-3,312). Localizando algunos otros pun­ tos, se puede obtener un buen dibujo. La gráfica completa se muestra en la figura 3.16.
    • 126 CAPíTULO 3 CÓNICAS y (-3.n (3. �) x O (-3. -n --- (3. -;)(O. -n Figura 3.16 x, -36y2 = O Un proyectil(p. ej.,una pelota o una bala) recorre una trayectoria que es aproxima­ damente una parábola(este hecho se analizará con mayor detalle en la sección 8.2). Sin embargo,la parábola tiene una característica muy importante que la hace útil en una am­ plia variedad de aplicaciones: tiene la propiedad de reflejar o enfocar. Los dos ángulos, e y c/J en la figura 3.17,formados por una recta paralela al eje y una tangente L a la pará­ bola en un punto,así como por la recta del foco Fal punto,son iguales. Si la parábola es una superficie reflejante,entonces los rayos de luz viajan paralelos al eje y se reflejan hacia el foco. Por ello,un paraboloide de revolución(superficie formada al rotar una parábola alrededor de su eje) es la forma ideal para telescopios retlejantes, faros de au­ tomóvil, antenas de radar y microondas,antenas caseras para T. V. por satélite y algunos generadores solares de electricidad. y ------�=+--�----------� x O F Figura 3.17
    • _ . - . EJERCICIOS 127 Ejercicios En los ejercicios 1 a 13 exprese la écuación, en forma usual, de la parábola que satisface las condiciones dadas. 1 . Vértice en (3, 2), foco en (3, 4). 2. Vértice en (3, -2), foco en (3, -8). 3. Vértice en (-6, -4), foco en (O, -4). 4. Vértice en (4, 1 ), directriz x=2. 5. Vértice en (4, 1 ), directriz y= -3. 6. Vértice en (4, -2), lado recto 8; se abre hacia la derecha. 7. Vértice en ( 1 , 2), lado recto 8; se abre hacia abajo. 8. Vértice en (3, -2), extremos del lado recto (-2, 112), (8, 112). 9. Vértice (2, 1 ), extremos del lado recto (-1, -5),(-1 , 7). 10. Foco en (2, -3), directriz x=6. 11. Foco en (5, O), directriz x=-l. 12. Foco en (-2, 2), directriz y=4. 1 3. Foco en (2, O), directriz y=-3. En los ejercicios 1 4 a 27 exprese cada ecuación en la forma usual. Indique las coordena­ das del vértice, del foco y de los extremos del lado recto. Esboce la gráfica. 14. y+8x+8=0 1 6. y2 _ 12x- 48=0 1 8. X2 +4x+16y+4=a 20. y2+8y+6x+16=0 22. y - 4y+8x- 28=O 24. X2 - 8x- 6y- 8=O 26. Y- 12.63y-2 1 .49x+ 1 20.09=0 1 5. 17. 1 9. 2 1 . 23. 25. 27. x2 +4y+ 8 = O X2 Y- 6y- 4x+9 = O X2 X2 y2 + 6y+1 0x- 1 =O X2 - 12x- 16y- 60 = O En los ejercicios 28 a 32 encuentre la ecuación de la parábola. 28. Vértice en (3, -4), eje horizontal; pasa por (2, -5). 29. Vértice en (-1, -2), eje vertical; pasa por (3, 6). 30. Eje vertical; pasa por (O, O), (3, O) Y (-1 , 4). 31. Eje horizontal; pasa por (1, 1), (I, -3) Y (-2, O). 32. Eje vertical; pasa por (- 1 , O), (5, O) Y (1, 8).
    • 128 CAPíTULO 3 CÓNICAS 33. Calcule las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede ser inscrito, con dos de sus lados a lo largo de los catetos, en un triángulo rectángulo de lados 3, 4 Y 5 unidades. 34. La ciudad de Galveston se encuentra, respecto de Corpus Christi, a 220 kilómetros en dirección este y 184 kilómetros en dirección norte. A mediodía un barco zarpa de cada puerto, uno de Corpus Christi, en dirección este y con velocidad de 24km/ h, en tanto que el otro se mueve hacia el sur, de Galveston a Corpus Christi, a 16km/ h. ¿En qué instante ocurre que la distancia entre los barcos es mínima, o lo que es lo mismo, en qué instante el cuadrado de la distancia alcanza su valor mínimo? ¿Cuán cerca están el uno del otro en ese instante? 35. Si Y *- O, se puede demostrar que la pendiente m de la recta L, tangente a la gráfica de y2 = 4ax en (x, y), es m=2a/y. Utilice este hecho para demostrar que la propiedad de reflección de las parábolas vale, probando que () = 1/> en la figura 3.17 36. Deduzca la ecuación (3.4) encontrando la ecuación del conjunto de todo los puntos equidistantes tanto del foco (h +a, k) como de la directriz x = h-a. 37. Deduzca la ecuación (3.5) encontrando la ecuación de la gráfica de un punto equi­ distante tanto del foco (h, k + a) como de la directriz y= k-a. 38. Dibuje la gráfica de y4 - 36x 2 = O. 39. Pruebe que una curva que es simétrica con respecto a ambos ejes coordenados lo es también con respecto al origen. 40. Pruebe que una curva que es simétrica con respecto a un eje coordenado y al ori­ gen, lo es también con respecto al otro eje coordenado. 41. La figura 3.18 muestra un armazón arqueado de 80 metros de longitud con las altu­ ras indicadas. Los "tirantes" verticales están a 10 metros uno del otro. Si tanto la parte superior como la inferior del arco son arcos de parábola, redondee hasta el metro más cercano la suma de longitudes de los tirantes verticales e inclinados. Figura 3.18 1414------ 80 metros -----+1.1 16 metros 16 metros
    • 3.3 ELIPSE 129 42. Una antena para T. Y. por satélite es parabólica y tiene su receptor a 70 centímetros de su vértice. Encuentre la ecuación de la sección transversal parabólica de la ante­ na (coloque el vértice en el origen). 3.3 ELIPSE Se obtuvieron ecuaciones de segundo grado para la circunferencia y la parábola; por tan­ to estas curvas son cónicas. Se verá ahora otro tipo de curva que, como la circunferencia pero a diferencia de la parábola, es una curva cerrada. La nueva curva es una cónica porque, como se demostrará, su ecuación, es de segundo grado en x y y. Cada uno de los puntos fijos se llama foco. La figura 3. 19 muestra cómo se pueden usar los focos para dibujar una elipse. Los extremos de una cuerda se aseguran en los focos F' y F. Conforme se mueve un lápiz en P, con la cuerda tensa, la curva que se traza es una elipse. p F Figura 3.19 Para encontrar la ecuación de una elipse, el origen de coordenadas se coloca a la mitad, entre los focos y un eje coordenado sobre la recta que pasa por los focos (Fig. 3.20). La distancia entre los focos se representa con 2e y, en consecuencia, los focos se denominan r(-e, O) y F(e, O). Ahora, si se hace que la suma de distancias de un punto P(x, y) de la elipse a los focos, sea 2a, se obtiene
    • 130 CAPíTULO 3 CÓNICAS Figura 3.20 PF' + PF = 2a, Y�(x-+-e---') ""'2 + Y(x - e)2 + y2 = 2a. y P(x, y) F'(-c,O) o x . F(c,O) Al trasponer el segundo radical,elevar al cuadrado y simplificar,se obtiene ex - a2 = -aY(x - e)2 + y2. Al elevar de nuevo al cuadrado y simplificar,se encuentra que (a2 - e2)x2 + a2y2 = a2(a2 - e2). A partir de la figura,se observa que la longitud de un lado del triángulo F'PFes 2e y que la suma de las longitudes de los otros lados es 2a. Por ello, 2a > 2e y,en consecuen­ cia, a2 - e 2 > O. Si se hace b2 = a2 - e 2 y se divide entre la cantidad distinta de cero a2b2, se obtiene la forma final (3.8) Se observa primero que la gráfica de la ecuación (3.8) es simétrica con respecto a ambos ejes coordenados. Cuando y=O,entonces x =±a y cuando x =O,Y =± b. Por tanto, la elipse corta el eje x en V'(-a, O) y Vea, O) y el eje yen B'(O,-b) y B(O,b), como en la figura 3.21.El segmento V' V(=2a) se llama eje mayor de la elipse y el segmento B 'B(= 2b), eje menor.Los extremos de los ejes mayores se llaman vértices.La intersec­ ción de los ejes de la elipse es el centro.La cuerda que pasa por un foco y es perpendi­ cular al eje mayor se llama lado recto. Al sustituir x =e en la ecuación (3.8) Y usar la relación e2 = a2 -b2,se encuentran los puntos (e, -b2/a) y (e, b2/a) como los extremos de un lado recto. Los extremos del otro lado recto están en (-e, -b2/a) y (-e, b2/a).Estos resultados muestran que la longitud de cada lado recto es 2b2/a. El eje mayor es más largo que el eje menor. Esto es cierto ya que b2 =a2 - e 2 < a2 y,por tanto,b < a. Observe también que los focos se encuentran sobre el eje mayor. La elipse y los puntos importan­ tes se muestran en la figura 3.21. Si se toman los focos de una elipse sobre el eje yen(O,-e) y(O,e), es posible obte­ ner, mediante pasos similares a los anteriores,la ecuación
    • 3.3 ELIPSE V'(-a,O) Figura 3.21 I F'(-e, O) I I y o B(O, b) B'(O,-b) F(e,O) 1 I I x Vea,O) En este caso el eje mayor está sobre el eje y y el eje menor sobre el eje x (Fig. 3.22). Figura 3.22 (-b,O) (_ :2 ,-e) __ _ o y (0, a) - -- F(O,e) (b, O) F'(O, -e) b2 --- (�,-e) (0, -a) x 13 1 (3.9)
    • 132 CAPiTULO 3 CÓNICAS Extensión de la elipse Se sabe, a partir de la definición de elipse, que sus puntos no se alejan indefinidamente de sus focos. El hecho de que una elipse tenga extensión limitada puede deducirse de su ecuación. Así, despejando x yy, una por una, en la ecuación (3.8), se obtiene y Estas ecuaciones revelan quey2 no puede exceder a b2 y que X2 no puede exceder a a 2 . En otras palabras, los valores permisibles son -b :s y <: b y -Q :s x <: Q. Por tanto, ningún punto de la elipse está fuera del rectángulo formado por las rectas horizontales y = -b, Y = b Y las rectas verticales x = -a, x = a. En muchas ecuaciones se puede determinar con rapidez la extensión de la gráfica, despejando cada variable en términos de la otra. El concepto de extensión, así como el de simetría, suelen ser de gran ayuda para dibujar una gráfica. Ejemplo 1 Encuentre la ecuación de una elipse con focos en (O, ±4 ) y un vértice en (0, 6). Solución La localización de los focos muestra que el centro de la elipse está en el ori­ gen, que e = 4 Y que la ecuación que se busca puede expresarse en la forma (3.9). El vértice dado, a 6 unidades del origen, hace que a = 6. Usando la relación b2 = a2- e2, se encuentra que b2 = 20. Así, se obtiene la ecuación • La figura 3.23 muestra los focos y los vértices de la elipse. • y (0, 6) (0,4) o x (0,-4) (0,-6) FIgura 3.23
    • 3.3 ELIPSE Ejemplo2 Esboce la elipse 9X2 + 25y2 = 225. Solución Al dividir entre 225se obtiene la forma X2 y 2 25+9=I. 133 Como el denominador de X2 es mayor que el denominador de y2, el eje mayor se halla a lo largo del eje x. Observe además que a2 = 25, b2 = 9 Y e = .Ja2 - b2 = 4. Por consi­ guiente, los vértices están en (+5, O), los extremos del eje menor en (O, +3) Y los focos en (+4, O). La longitud de un lado recto es 2b2/a = 18/5. La localización de los extremos de los ejes y de los extremos de cada lado recto bastan para esbozar la elipse. La figura 3.24muestra la curva y se indican varios puntos importantes. • y (-4, �) (0,3) (-5, O) I (-4,O (5, O) o x (-4,-f) (O, -3) Figura 3.24 • Propiedad foco-directriz de una elipse La parábola se definió en términos de un foco y una directriz, pero no se uso una direc­ triz para definir una elipse. Sin embargo, sucede que una elipse tiene directriz. Al dedu­ cir la ecuación de una elipse [Ec. (3.8)] se llega a la ecuación -aY(x - e)2 + y2 = ex - a2. Esta ecuación implica la existencia de una directriz que es evidente después de una lige­ ra modificación. Así, dividiendo entre -a y factorizando el miembro de la derecha, se obtiene e a2 Y(x- e)2 + y2 = - - - x . a e El miembro izquierdo de esta ecuación es la distancia de un punto (x, y) de la elipse al foco Ce, O). El factor (a2/e)-xdel miembro derecho es la distancia del punto de la elipse a la recta x = a2/e (Fig. 3.25), mientras que el factor e/a es una constante entre cero y
    • 134 CAPíTULO 3 CÓNICAS uno. Por tanto, con base en nuestra definición de elipse se ha demostrado el siguiente teorema. Figura 3.25 Teorema 3.3 y .........__ I ---.�(X�. ---l (:2 . y) (-c. O) a 2 x=- ­ e o (c. O) a 2 x=­ . e x Una elipse es el conjunto de puntos en el plano tal que la distancia de cada punto del conjunto a un punto fijo del plano es igual a una constante (entre O y l) por su distancia a una recta fija del plano. Algunas veces,la elipse se define en términos de un foco y directriz. Cuando se define así, es posible probar la afirmación contenida en la definición de elipse (Definición 3.3). La recta x = a2/c es la directriz correspondiente al foco (c, O). Es fácil mostrar que el punto (-c, O) y la recta x- a2/c constituyen otro foco y otra directriz. Sin embargo, este hecho es geométricamente evidente por consideraciones de simetría. Se desea analizar la cantidad e/a. Esta razón se llama excentricidad e de la elipse. El aspecto de una elipse depende del valor de su excentricidad. Suponga, por ejemplo, que se visualiza una elipse cuyo eje mayor permanece constante, mientras que e comien­ za en cero y se aproxima a la unidad. Si e = O, las ecuaciones e = cla y b2 = a2 - c2 muestran que c = O Y a = b. Entonces, los dos focos coinciden en el centro y la elipse es una circunferencia. Conforme e crece, los focos se separan, alejándose del centro y b decrece. Conforme e se acerca a l, e se acerca a a y b se acerca a O. Por esta razón, la elipse que comenzó como circunferencia se vuelve más y más angosta. Si e = loe = a, entonces'b = O. Debido a ello la ecuación (3.8) no se'aplicaría pues b2 es un denomina­ dor; pero si e = 1, la definición de elipse requiere que la gráfica sea el segmento de recta que conecta los focos. Resumiendo, se tiene una elipse real si e se ubica entre O y l . Cuando e es ligera­ mente mayor que O, la elipse es casi una circunferencia; cuando e es ligeramente menor que 1, la elipse es relativamente larga y angosta. En la figura 3.26 se construyen elipses con el mismo eje mayor y diferentes excentricidades.
    • 3.3 ELIPSE Figura 3.26 y e=O e=0.5 e=0.7 /-I-�""") e=0.9 e= 1 o 135 x Ejemplo 3 La órbita de la Luna fOlll1a una elipse con la Tierra en uno de los focos. La longitud del eje mayor es de 620444 km y la excentricidad es e = 0.549. Encuentre las distancias máxima y mínima de la Tierra a la Luna. y B(O, b) x V'(-a, O) Vea, O) F(c, O) Figura 3.27 B' (O, -b)
    • 136 CAPíTULO 3 CÓNICAS Solución En la figura 3.27, la elipse representa la trayectoria de la Luna alrededor de la Tierra. El eje mayor de la elipse va de V (-a, O) a Vea, O), y F(c, O) representa la posición de la Tierra, donde a = 310 222, e = ae = 17 000 km, redondeando. Entonces, la distancia mínima de la Tierra a la Luna es 310 222 - 17 000 = 293 222 km, y la dis­ tancia máxima es de 310 222 + 17 000 = 327 222 km. • Elipse con centro en (h, kJ Si los ejes de la elipse son paralelos a los ejes coordenados y el centro está en (h, k), se puede obtener su ecuación aplicando las fórmulas de traslación de la sección 2.8. Se tra­ za un nuevo par de ejes coordenados a lo largo de los ejes de la elipse (Fig. 3.28). La ecuación de la elipse referida a los nuevo� ejes es Figura 3.28 O x' 2 y'2 a2 + b2 = 1. y y ' b O' Ch, k) Las sustituciones x' = x-h Y y ' = y-k conducen a a x' x De manera análoga, cuando el eje mayor es paralelo al eje y, se obtiene , (3.10) (3.11) Estas son las formas usuales de las ecuaciones de elipses. Se pueden reducir a las ecuaciones (3.8) y (3.9) cuando h = k = O. Las cantidades a, b y e tienen el mismo signi­ ficado, ya sea que el centro de la elipse esté o no en el origen. Por tanto, construir la gráfica de una ecuación en cualquiera de las formas de las ecuaciones (3.10) o (3.11) no presenta mayor dificultad que dibujar la gráfica a partir de una de las ecuaciones más sencillas, la (3.8) o la (3.9).
    • 3.3 ELIPSE J37 Ejemplo 4 Encuentre la ecuación de la elipse con focos en (4, -2) Y (lO, -2), Y un vértice en (12, -2). Solución El centro, a la mitad entre los focos, está en (7, -2). La distancia entre los focos es 6 y el vértice dado está a 5 unidades del centro, de ahí que e = 3 Y a= 5. Enton­ ces, b2= a2 - e2 = 16. Como el eje mayor es paralelo al eje x, se sustituye en la ecuación (3.10) y se obtiene (x - 7)2 (y + 2f _ 1 25 + 16 - . La gráfica de esta elipse se construye en la figura 3.29. • Figura 3.29 Ejemplo 5 y (7,2) o (7,-2) (2, - 2) t--------<�---.:---<>--___4 (12, -2) (4,-2) (10,-2) (7,-6) Reduzca a la forma usual la ecuación 4y+9x2- 24y- 72x +144=0. • x Solución A continuación se darán los pasos esenciales del proceso. 4(y2 - 6y) + 9(x2 - 8x) = - 144, 4(y2 - 6y + 9) + 9(x2 - 8x + 16) = -144 + 36 + 144, 4(y - 3)2 + 9(x - 4)2 = 36 , (y - 3)2 (x - 4)2 9 + 4 =1. Las coordenadas del centro son (4, 3); a = 3, b=2 Y. e = Va2 - b2 = V9 - 4 = Ys. Los vértices se hallan en (4, O) y (4, 6), y los extremos del eje menor están en (2, 3) y (6,3). Las coordenadas de los focos son (4, 3- $) y (4, 3+ $). La gráfica se constru­ ye en la figura 3.30. • Las secciones cónicas se han usado para describir datos naturales y astronómicos. Las leyes de Kepler del movimiento planetario afirman que (1) los planetas siguen
    • 138 CAPíTULO 3 CÓNICAS trayectorias elípticas con el Sol en uno de sus focos; (2) la recta que conecta el Sol con un planeta abarca áreas iguales en intervalos de tiempo iguales; y (3) el cuadrado de la longitud de tiempo de una revolución completa de un planeta es proporcional al cubo de la mitad de la longitud del eje mayor, esto es, al. En la industria se usan muchos engra­ nes de forma elíptica y resortes semielípticos. y Figura 3.30 o • (4,6) (2,3)+--1>--'----+ (6,3) (4,3) • x (4, O) • La elipse tiene una propiedad reflexiva no totalmente diferente de la parábola: En la figura 3. 19, si se dibujara una recta tangente en el punto P, los ángulos fomlados por esa recta y las rectas PF' y PFserían iguales. Así, una onda de luz o de sonido que emane de un foco sería reflejada por una superficie elíptica para llegar al otro foco. Las llamadas "galerías de susurros" utilizan este principio; un susurro en un foco es audible en el otro. La figura 3.31 muestra cómo los rayos que emanan del foco del lado derecho se reflejan hacia el foco del lado izquierdo. Figura 3.31 • .,... • ----- -- •............ .,. .... - --- ---- . .. . .. . .; � ... _..... . ... , . .. . ... --- - .; . ". . . . . . ---- .; ; ... . ... - - - _ J .... .; ----- NOTA HISTÓRICA Johannes Kepler (1571-1630), de padres alemanes, fue un niño frágil y con una visión débil. Sin embargo, obtuvo el grado de maestro y en 1601 se convirtió en el Matemático Imperial, al servicio del sacro Emperador Romano Rodolfo II . Kepler utilizó como sus­ tento de sus leyes planetarias las precisas y desgastadoras observaciones astronómicas que sobre Marte llevó a cabo Tycho Brahe. Kepler también participó de ciertas extrava­ gancias al escribir predicciones astrológicas para algunos patronos adinerados. •
    • EJERCICIOS 139 Esta propiedad de reflexión es utilizada por los "trituradores de piedra" que funcio­ nan a base de ondas de choque, y que son empleados por los médicos para pulverizar piedras en los riñones sin necesidad de recurrir a la cirugía. En la sección 9.2 se analiza­ rá más ampliamente esta propiedad de reflexión.. . Ejercicios En cada unó de los ejercicios l a 16, encuentre las coordenadas de los focos, los extre­ mos de los ejes mayor y menor, y los extremos de cada lado recto. A partir de esta infor­ mación, esboce la curva. X2 y2 3 . 169 + 144 1 • y2 . x2 7. 169 + 144 = 1 9. 2x2 + 3y2 = 12 11. 2x2 + 3y2 = 18 (x - 3P (y - 2)2 13 . 16 + 9 = 1 (x - 5)2 (y + 5)2 15. 169 + 49 = 1 y2 x2 4. 9 + 4 = 1 2 . 2 . Y . x 6. 25 + 16 = 1 y2 x2 8. i5 + 4 = 1 10. x2 + 4y2 = 4 12. 16x2 + y2 :;: 16 (x - 3)2 (y - 2)2 14. 36 + 9 = 1 16 (y + 3)2 + (x - 6)2 = 1. 36 16 • En los ejercicios 17 a 24 reduzca cada ecuación a la forma usual. Después, encuentre las . coordenadas del centro, de los focos, de los extremos de los ejes mayor y menor, y de los extremos de cada lado recto. Esboce la curva. 17. 16x2+25y2+160x+200y+400 = O 18. X2 + 4y2 + 6x+16y+21 = O 19. 4X2 + i+8x - 4y - 8 = O 20. 3.104x2+2.078y2+8.219x - 1.734y-2.413=O 21. 4x2+8y2-4x-24y-13=0 22. 25(x + 1)2+169(y - 2)2=4225 23. 225(x - 2)2+289(y - W = 65025 24. 169(x - 1)2+144(y - 3)2 = 24336
    • 140 CAPiTULO 3 CÓNICAS Escriba la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas en cada uno de los ejercicios 25 a 36. Esboce cada curva. 25. Centro en (5,1), vértice en (5,4),extremo de un eje menor en (3,1). 26. Vértice en (6,3),focos en (-4,3) Y (4,3). 27. Extremos del eje menor en (-1,2) Y (-1, -4), foco en (1, -1). 28. Vértices en (- 1,3) Y (5,3), longitud del eje menor 4. 29. Centro en (O, O), un vértice en (O, -6) extremo de un eje menor en (4, O). 30. Vértices en (-5,O) Y (5,O), longitud de un lado recto 8/5. 31. Centro en (-2,2),un vértice en (-2,6), un foco en (-2,2+ Jf2). • 32. Focos en (-4,2) Y (4,2),longitud del eje mayor 10. 33. Centro en (5,4),longitud del eje mayor 16, longitud del eje menor 6, eje mayor paralelo al eje x. 34. Focos en (O, -8) y (O, 8), longitud del eje mayor 34. 35. Focos en (-5,O) y (5,O), longitud del eje menor 8. 36. Centro en (3,2),un foco en (3,7) Y un vértice en (3,-5). 37. Encuentre la intersección de las dos elipses, x2 y2 9" +-¡- = 1 y 38. El perímetro de un triángulo es 30 y los puntos (O, -5) y (O, 5) son dos de los vérti­ ces. Encuentre la gráfica del tercer vértice. 39. Encuentre la ecuación de la gráfica de los puntos medios de las ordenadas de la circunferenciax2 + y = 36. 40. Las ordenadas de una curva son k multiplicado por las ordenadas de la circunferen­ cia X2 + y = a2• Muestre que la curva es una elipse si k es un número positivo dife­ rente de l . 4 1. Un segmento de recta de longitud 12 se mueve de modo que sus extremos siempre tocan los ejes coordenados. Encuentre la ecuación de la gráfica del punto sobre el segmento que está a 4 unidades del extremo, en contacto con el eje x. 42. Un bastón de longitud a + b se mueve con sus extremos en contacto con los ejes coordenados. Muestre que el punto a una distancia a del extremo en contacto con el ejex describe una elipse si a =1= b. 43. La órbita de la Tierra es una elipse con el Sol en un foco. La longitud del eje mayor es de 241 428 000 kilómetros y la excentricidad, de 0.0167. Encuentre las distan­ cias de los extremos del eje mayor al Sol. Éstas son la mayor y la menor distancias de la Tierra al Sol.
    • EJERCICIOS , 4' 44. El arco de un túnel es una semielipse de 20 m de ancho y 7 m de alto. Encuentre la altura en la orilla de un carril, si la orilla está a 7 m del centro. 45. Un punto se mueve en el plano coordenado de modo que la suma de sus distancias a (1, 2) Y (5, 2) es igual a 16. Encuentre la ecuación de la trayectoria del punto en movimiento. 46. Encuentre la ecuación de la trayectoria de un punto P(x, y) que se mueve de modo que su distancia a (5, O) es la mitad de su distancia a la recta x = 20. 47. Encuentre la ecuación de la trayectoria de un punto P(x, y) que se mueve de modo que su distancia a (-4, O) es igual a dos tercios su distancia a la recta x =-9 48. Deduzca las ecuaciones (3.9) y (3.11). 49. Si p es un parámetro de números positivos, muestre que todos los miembros de la familia de elipses I tienen los mismos focos. 50. Una familia de elipses con los mismos focos se puede representar con la ecuación X2 y2 "C'C1S-+-p + p = 1 , p > O. Encuentre las coordenadas de los extremos de los ejes de las elipses cuando p = 1, 10, 21 Y 34. Esboce las cuatro elipses. 51. Escriba una ecuación de la familia de elipses cuyos focos comunes son (-6, O) y (6, O). Encuentre el miembro de la familia que pasa por (9, O). 52. Un arco de entrada a un zoológico tiene una sección transversal como se muestra en la figura 3.32, donde la curva es una semielipse. a) Encuentre las alturas del arco, medidas desde el suelo, cada 5 pies de distancia desde el punto P. b) Si tiene 10 pies de grosor, encuentre el número de yardas cúbicas de concreto que requiere su construcción. El área de una elipse de semiejes a y b está dada por nabo
    • 142 25' 1 ' Figura 3.32 1--1� ---¡.J_:- 20"--' S' S' CAPíTULO 3 CÓNICAS 10' 3.4 HIPÉRBOLA El tercer tipo de cónica que se considerará es la hipérbola. Las ecuaciones de las hipérbolas recuerdan a las de las elipses, pero las propiedades de estos dos tipos de cónicas difieren considerablemente en algunos aspectos. Para deducir la ecuación de una hipérbola, se coloca el origen a la mitad entre los focos y un eje coordenado sobre la recta que pasa por los focos (Fig. 3.33). Los focos se representan con F'(-c, O) y F(c, O), y la diferencia de las distancias entre un punto de la hipérbola y los focos, con una constante positiva 2a. Entonces, a partir de la defini- • • • Clon antenor, o bien lF'pl - FPI = 2a lF'pl - IFP = - 2a, dependiendo de si el punto P(x, y) de la hipérbola se encuentra a la derecha o a la iz­ quierda del eje y. Estas ecuaciones se combinan escribiendo lF'pl - IfPI = +2a o bien
    • 3.4 HIPÉRBOLA Ahora, al trasponer el segundo radical, elevar al cuadrado y simplificar, se obtiene ex - a2 = +aV(x - e)2 + y2. Al elevar al cuadrado los miembros de esta ecuación y simplificar, se obtiene (e2 - a2)x2 - a2y2 = a2(e2 - a2). Después, al hacer b2 = e2 - a2 y dividir entre a2b2, se tiene que y ,'- P(x, y) P(x,y) x Figura 3.33 F'(-c,O) o F(c,O) 143 (3.12) I - • Se puede hacer la división si e2 - a2 *' O. En la figura 3.33, la longitud de un lado del triángulo F'PF es 2e y la diferencia de los otros dos lados es 2a. Por tanto, e>a y La gráfica de la ecuación (3.12) es simétrica con respecto a los ejes coordenados. Los valores permitidos de x y y se vuelven evidentes al expresar uno en términos del otro. Así, se obtiene y De la primera de estas ecuaciones, se verá que y puede tomar cualquier valor real y de la segunda, que x puede tomar cualquier valor real excepto aquellos para los cuales X2 < a2• Por consiguiente, la hipérbola se extiende y aleja indefinidamente de los ejes en cada cuadrante. Sin embargo, no hay parte de la gráfica entre la recta x = -a y la recta x = a. En consecuencia, la hipérbola consta de dos partes separadas, o ramas (Fig. 3.34). Los puntos V'(-a, O) y Vea, O) se llaman vértices y el segmento V' V se llama eje trans­ versal. El segmento de B'(O, -b) a B(O, b) se llama eje conjugado. Aunque el eje conju­ gado no tiene ningún punto en común con la hipérbola., tiene una relación importante con la curva, como se descubrirá. La intersección de los ejes es el centro. La cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje transversal se llama lado recto. Al sustituir x = e en la ecuación (3.12) Y usar la relación e2 = a2 + b2, se encuentra que los extremos de un lado recto son (e, -b2/a) y (e, b2/a). Por tanto, la longitud es 2b2/a. Se observa que los significados de las tres cantidades positivas a, b y e que apare­ cen aquí son análogos a cuando se usaron con una elipse. La cantidad a es la distancia del centro de la hipérbola a un vértice, b es la distancia del centro a un extremo del eje
    • 144 CAPíTULO 3 CÓNICAS conjugado y e es la distancia del centro a un foco. Sin embargo, las relaciones de a, b y e para una elipse no son las mismas que para una hipérbola. Para una elipse, a> e, ¿ = a2_ b2 ya> b. Para una hipérbola, e> a, e2 = a2 + b2 Y no hay restricción acerca de los valores relativos dea y b. Figura 3.34 (-e, �2) F'(-c, O) ¡ ¡ ¡ V'(-a, O) y o B(O, b) Vea, O) ¡F(c,O) ¡ ¡ B'(O, -b) (e,_ �2) x Si los focos están sobre el eje y en F'(O, -e) y F(O, e), la ecuación de la hipérbola es (3.13) Los vértices están en V'(O, -a) y VeO, a) y las relaciones entre a, b y e no cambian. Las ecuaciones generalizadas de hipérbolas con ejes paralelos a los ejes coordenados y centro en (h, k) son (x - h)2 (y - k)2 _ l ,- - a2 b2 (3.14) (y - k? (x - h)2 l.- - a2 b2 - (3.15) Se dice que las ecuaciones (3.12) a (3.15) se hallan en la forma usual. Los signifi­ cados y los relaciones de a, b y e son iguales en todas las ecuaciones. Asíntotas de una hipérbola A diferencia de las otras cónicas, una hipérbola tiene asociadas dos rectas que guardan una relación importante con la curva. Estas rectas son las diagonales extendidas del
    • , 3.4 HIPERBOLA 1 45 rectángulo en la figura 3.35. Un par de lados del rectángulo pasa por los vértices y es perpendicular al eje transversal. El otro par pasa por los extremos del eje conjugado. Su­ ponga que se consideran la diagonal extendida y la parte de hipérbola en el primer cua­ drante. Las ecuaciones de la diagonal y esta parte de la hipérbola son, respectivamente, Figura 3.35 b Y = -x a by=--x a (-a, O) y y (0, b) (0, -b) by=-x a (a, O) • x Se observa que, para cualquier x > a, la ordenada de la hipérbola es menor que la ordenada de la recta. Sin embargo, si x es muchas veces el tamaño de a, las ordenadas correspondientes son casi iguales. Esto será más convincente si se examina la diferencia de las dos ordenadas. Así, 'restando y des ués multiplicando el numerador y el denomi­ nador de la fracción resultante por x + x2 - a2 , se obtiene b b b(x-v'x2-a2)- x--v'x2-a2 = --'---------'- a a a b(x- v'�x2..---- + v'x2 - a2)- - --'FiF==::¡ X + v'x2-a2' El numerador de la última fracción es constante. Sin embargo, el denominador crece cuando x crece. De hecho, es posible hacer que el denominador sea tan grande como se quiera, tomando un valor de xsuficientemente grande. Esto significa que la fracción, que es la diferencia de las ordenadas de la recta y de la hipérbola, se acerca más y más a cero conforme x es cada vez más grande. La distancia perpendicular de un punto P de la hi­ pérbola a la recta es menor que la fracción. En consecuencia, aunque la distancia per­ pendicular nunca se pueda hacer igual a cero, sí es posible hacerla tan cercana a cero
    • 146 CAPíTULO 3 CÓNICAS como se quiera tomando x suficientemente grande. Cuando la distancia perpendicular de una recta a la curva tiende a cero conforme la curva se aleja indefinidamente del origen, se dice que la recta es asíntota de la curva. Por consideraciones de simetría, se concluye que cada diagonal extendida es una asíntota de la curva. Por tanto, las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola representada por la ecuación (3.12) son b Y = -x a y b Y = --x. a De manera análoga, las ecuaciones de las asíntotas asociadas con la ecuación (3. 13) son a y = -x b y Se observa que para cada una de las hipérbolas, de la (3.12) a la (3.15), las ecuaciones de las asíntotas se pueden obtener factorizando el miembro izquierdo e igualando a cero cada factor. Las asíntotas de una hipérbola son útiles para esbozar la hipérbola. Se puede hacer un dibujo aproximado a partir del rectángulo asociado y de sus diagonales extendidas. Sin embargo, la precisión puede ser mucho mayor localizando los extremos de cada lado recto. Si a = b, el rectángulo asociado es un cuadrado y las asíntotas son perpendiculares entre sí. En este caso, se dice que la hipérbola es equilátera porque sus ejes son iguales, o se dice que es rectangular pues sus asíntotas se intersecan formando ángulos rectos. La razón e/a se llama excentricidad e de la hipérbola. El ángulo de intersección de las asíntotas y, por tanto, el aspecto de la hipérbola, dependen del valor de e. Como e> a, el valor de e es mayor que l. Si e es sólo un poco mayor que a, de modo que e está cerca de 1, la relación e2 = a2 + b2 muestra que b es pequeño comparado con a. Entonces, las asíntotas forman un par de ángulos pequeños. Las ramas de la hipérbola, encerradas por ángulos pequeños, divergen lentamente. Si e crece, las ramas están encerradas por ángu­ los mayores, y los ángulos pueden estar cerca de 1800 al tomar valores grandes de e. Una vez que se ha encontrado que la excentricidad de una elipse es un número entre O y l y que la excentricidad de una hipérbola es mayor que 1, hay que preguntarse, natural­ mente, si existe alguna cónica cuya excentricidad sea igual a l. Para tener una respuesta, recuerde que cualquier. punto de una parábola equidista de la directriz y del foco (Defini­ ción 3.1). La razón de estas distancias es l y, en consecuencia, este valor es la excentrici­ dad de una parábola. Ejemplo 1 Esboce la curva 36x2-64y2 = 2304 Solución Se divide entre 2304 y la ecuación se reduce a X2 y2 64 - 36 = 1. La gráfica es una hipérbola en la cual a = 8, b = 6 y e = .Ja2 + b2 = 10. Por tanto, los vértices son (±8, O) y los focos (±10, O). Cada lado recto tiene una longitud de 2b2/a = 9. .Las ecuaciones de las asíntotas son 3x - 4y = O y 3x + 4y = O. La hipérbola se puede trazar con esta información (Fig. 3.36). •
    • 3.4 HIPÉRBOLA y (0,6) (-10,4.5) (10, 4.5) (- 10, 0) I I (-8, O) (8, O) I (10,O) I FIgura 3.36 I (-lO, - 4.5) I (O, -6) Ejemplo 2 Dibuje la gráfica de l2y- 4�2 + 72y + l6x + 4 4 = O. Solución Primero se reduce la ecuación a una forma usual. Así, (lO,-4.5) 12(y2 + 6y + 9) - 4(x2 - 4x + 4) = -44 + 108 - 16, 12(y -+' 3)2 - 4(x-2)2 = 48, (y + 3)2 (x - 2)2 4 - 12 = 1. 147 x Se observa ahora que a = 2,b =2.J3 ,e = .J 4 + 12 = 4 Y que el centro de la hipérbola está en (2, - 3). Por tanto, los extremos del eje transversal se encuentran en (2, -5) Y (2, -1), Y los extremos del eje conjugado se ubican en (2-2.J3 , -3) Y (2+2.J3 , -3). Los lados del• rectángulo asociado pasan por estos puntos (Fig. 3.37). Las diagonales extendi- das del rectángulo son las asíntotas. Las coordenadas de los focos, a 4 unidades del cen­ tro, son (2, -7) Y (2, 1). La longitud de cada lado recto es 2b2/a = 12 y, por tanto, los extremos de cada lado recto se hallan a 6 unidades de un foco. Los vértices de la hipér­ bola, los extremos de cada lado recto y las asíntotas son suficientes para dibujar una grá­ fica razonablemente precisa. Las ecuaciones de las asíntotas, aunque no se necesitan para el dibujo, son y + 3 x-2 2 + 2Y3 = O y Estas ecuaciones se obtienen factorizando el miembro izquierdo e igualando a cero cada factor. • Es posible definir una elipse sólo en términos de un foco y la directriz; la hipérbola
    • 148 (-4, 1) (-4,-7) Figura 3.37 y (2, 1) (8, 1) --------- � o (2, -1) X(2, -3) (2,-5) - --- - -- -- - ........ (2, - 7) (8,-7) CAPíTULO 3 CÓNICAS x con foco (e, O) tiene x = a2fe como directriz y e = e/a> 1 como excentricidad. Este foco y directriz producen ambas ramas de la hipérbola como foco (-e, O) y directriz x = -a2fe (véase la figura 3.38). y O Figura 3.38 a2 I x=-I c I I I I I I I I I x (c,O) Una aplicación importante y muy interesante de la hipérbola es la de localizar un lu­ gar del cual emana un sonido, por ejemplo un disparo de cañón. A partir de la diferencia en los tiempos en los que llega el sonido a dos puestos de escucha, se puede determinar la diferencia de las distancias de los puestos al cañón. Entonces, se sabe que el cañón está colocado sobre una rama de una hipérbola de la cual los puestos son los focos. La posi­ ción del cañón en esta curva se puede encontrar usando un tercer puesto de escucha. Uno de los dos puestos y el tercero son los focos de una rama de otra hipérbola donde está colocado el cañón. Por tanto, el cañón está colocado en la intersección de las dos ramas. El mismo principio de la hipérbola se usa en los sistemas modernos de navegación para localizar la posición de un barco o de un aeroplano. En este caso la nave recibe
    • EJERCICIOS 149 sefiales de tres locaciones conocidas y, por tanto, se coloca en la intersección de dos hipérbolas. Ejemplo 3 El código de Ingresos al Erario señala que un contribuyente que cambia de empleo puede deducir sus gastos de cambio de domicilio si el nuevo empleo aumenta en al menos 35 km la distancia que había entre el lugar de trabajo y la residencia anterior. Una compafiía con una fábrica en F está por abrir una nueva fábrica en F', a 61 km de distan­ cia. Encuentre la región R alrededor de Fen la que los empleados, en caso de ser transferi­ dos, podrán deducir de sus ingresos gravables los gastos de cambio de residencia. Solución Sitúe las fábricas sobre el eje x, en F (e, O) y en F(-c, O). Si (x, y) es un punto sobre la frontera de la región R, entonces la distancia de (x, y) a (e, O) es igual a 35. Se tiene una hipérbola con focos en F y F', con 2c = 61 Y 2a = 35. Por consiguiente b2 = 624. Como en el ejemplo de la sección 2.3, en la figura 3.39 se ve que la rama de la hipérbola divide el plano en tres regiones: los puntos sobre la rama (que se encuentran exactamente 35 km más alejados de F' que de F), y los puntos en la región sin sombrear (que están al menos de 35 km de F' que de F). • y F' (-30.5, O) o Figura 3.39 Ejercicios (x, y) X' Y 1 306.25 - 624 = I • • :.rl--t-+--+ x ••" O) En cada uno de los ejercicios 1 a 12, encuentre las coordenadas de los vértices y de los focos, la longitud de cada lado recto y las ecuaciones de las asíntotas. Dibuje las asíntotas y esboce la hipérbola.
    • ISO 1 X2 y2 5. 25 - '9 - 1 X2 y2 7. 49 49 1 (x + 2)2 9. 16 (x - 4)2 11. 25 (y - 3)2 _ 1 9 (y - 5)2 _ 1 25 CAPíTULO 3 CÓNICAS y2 x� 4. 36 - 9 = 1 y2 x2 8. 64 - 64 = 1 (y - 3)2 (x + 2P 10. 16 - 9 = 1 . (y - 5?12. 36 (x + 5? 36 1 En los ejercicios 13 a 18 reduzca cada ecuación a la forma usual. Después encuentre las coordenadas del centro, de los vértices y de los focos. Dibuje las asíntotas y esboce la gráfica de la ecuación. 13. 3x2-2Y+ 4y-26=0 15. 9x2-4Y+ 36x-16y-16=0 17. 49y2 -4X2 + 98y- 48x- 291 = O 14. 9x2- 4y2+90x+ 189=0 16. X2 - 2y + 6x+ 4y+ 5=O 18. 4y -9X2 + 8y-54x- 81=O En cada uno de los ejercicios 19 a 28, encuentre la ecuación de la hipérbola que satisfa­ ce las condiciones dadas. y 19. 20. y F(O. 10) -t-t-t-t-t-�é--t-+-+-l-lf--f--. x x
    • EJERCICIOS 21. 22. y y (4, 2) x F(-I,O) 23. Centro en (2,2),un foco en (10,2),un vértice en (5, 2). 24. Centro en (-2,2),un vértice en (4, 2),un foco en (6,2). 151 V(2, O) 25. Centro en (4.1025, -2.1374), un vértice en (4.1025, 1.7144), un foco en (4.1025, 2.4198). 26. Centro en (2, -2),eje transversal paralelo al eje x,eje transversal 6,eje conjugado 10. 27. Centro en (O,O),eje transversal a lo largo del eje x y pasa por los puntos (3,5),(2, -3) 28. Centro en (6,5),eje conjugado a lo largo del eje x,asíntotas 5x-6y-30 = O Y 5x + 6y - 30 = O. 29. El par de hipérbolas • x2 y2 a2 - b2 = 1 y se llaman hipérbolas conjugadas. Muestre que estas hipérbolas tienen las mismas , asmtotas. 30. Esboce,en los mismos ejes coordenados,las hipérbolas conjugadas y . 3l. Encuentre la ecuación de la trayectoria de un punto que se mueve de modo que su distancia a (4,O) es el doble de su distancia a la recta x = l. 32. Encuentre la ecuación de la trayectoria de un punto que se mueve de modo tal que su distancia a (5,O) es 5/4 de su distancia a la recta x = 16/5. .r
    • 152 CAPíTULO 3 CÓNICAS 33. Muestre que (e, O) es un foco y x - (a2/e) es una directriz de la hipérbola x2 y2 a2 - b2 - 1. Proceda como en el caso de la elipse (Sec. 3.3). 34. En A, B Y e hay puestos de escucha. El punto A está 600 m al norte del punto B y el punto e está 600 m al este de B. El sonido de un disparo llega a A y a B simultánea­ mente, un segundo después de llegar a C. Muestre que las coordenadas de la posi­ ción del cañón son, aproximadamente (262, 300), donde el eje x pasa por B y e y el origen se halla a la mitad entre B y C. Suponga que el sonido viaja a 335 m/seg. 35. Si a y b son constantes yp es un parámetro tal quep > O Y b2 -P > O, muestre que la • • ecuaclOn representa una familia de hipérbolas con focos comunes sobre el eje x. 36. Escriba una ecuación de la familia de hipérbolas cuyos focos son (-4, O) Y (4, O). Encuentre el miembro de la familia que pasa por (2, O). 37. Suponga que las fábricas del ejemplo 3 de esta sección están separadas 80 km. En­ cuentre la región alrededor de la fábrica inicial en la que los empleados residentes podrán reclamar gastos de cambio de residencia en caso de ser transferidos de una fábrica a la otra. EJERCICIOS DE REPASO 1. Defina: parábola, elipse, hipérbola. 2. Deduzca la ecuación de la gráfica de un punto equi­ distante del punto (a, O) y la recta x = -o. 3. Exprese en forma usual la ecuación Xl + 16y - 32 = O. Indique las coordenadas del vértice, del foco, y de los extremos del lado recto. Esboce la gráfica. 4. Exprese en forma usual la ecuación y2 - 6y - 8x - 7 = O. A continuación, indique las coordenadas del vér­ tice de la parábola, el foco y los extremos del lado recto. Esboce la gráfica. 5. Esboce la elipse 16x2 + 25y2 = 40. Indique las coordenadas de los focos, los extremos de los ejes mayor y menor, y los extremos de cada lado recto.
    • EJERCICIOS DE REPASO 6. Reduzca la ecuación 3X2 + 2y2 - 24x + 12y + 60 = O a la forma usual. A continuación, encuentre las co­ ordenadas del centro, los focos y de extremos del eje mayor y menor. Esboce la elipse. 7. Indique las coordenadas de los vértices, de los fo­ cos, de los extremos del eje conjugado y de los ex­ tremos de cada lado recto de la hipérbola Términos clave parábola, focos, directriz, pág. l 13 lado recto de la parábola, pág. 114 simetría, pág. 124 criterios de simetría, pág. 124 elipse, focos, ejes, vértices, centro. lado recto, pág. 129, 130 l. Define parábola, elipse e hipérbola. 2. Una parábola satisface la ecuación Xl + 2x 12y + 37 = O. Encuentre el vértice, el foco y la directriz. Esboce su gráfica. 153 Indique también las ecuaciones de las asíntotas. Es­ boce la gráfica de la hipérbola. 8. Construya la gráfica de la ecuación 12x2 - 4y2 + 72x + 16y + 44 = O. Indique las coordenadas del centro, de los vérti­ ces, de los focos y de los extremos de cada lado recto de la hipérbola. • elipse, forma usual, pág. 136 hipérbola, focos, vértices, ejes, centro, lado recto, pág. 142, 143 hipérbola, forma usal, pág. 144 hipérbola, asíntotas, excentricidad, pág. 146 (x - 1)2 64 (y - 2)2 _ 16 - 1 , mostrando los focos, vértices y asíntotas. 5. Encuentre la ecuación de la parábola con vértice en (3, 1) Y foco en (6, 2).3. Encuentre la ecuación de la elipse con focos en (2, -7) Y (2, 9), y con eje mayor de 34 unidades de longitud. 6. Encuentre la ecuación cuadrática que pasa por (2, 1), (0,-1), Y (-1, 4). 4. Esboce la sección cónica cuya ecuación es
    • Capítulo Sim lificación de ecuaciones 4.1 SIMPLIFICACiÓN POR TRASLACiÓN En la sección 2.8 se descubrió que la ecuación de una circunferencia cuyo centro no está en el origen se puede expresar en una forma más sencilla, mediante una traslación adecuada de los ejes. Además, en el capítulo 3 se usó la idea de traslación de ejes para expresar las ecuaciones de parábolas, elipses e hipérbolas en formas usuales. Se puede concluir, entonces, que las ecuaciones generales de las cónicas pueden expresarse en for­ mas simples. En efecto, esto es cierto, coIp.o ya se verá. La ecuación general de segundo grado puede presentarse en la forma Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = O. (4.1) Sin embargo, antes de trabajar con la ecuación general, se tratarán los casos particulares obtenidos igualando uno o más de los coeficientes a cero. Se aconseja a los estudiantes revisar la deducción de las fórmulas de traslación (Sec. 2.8) y después estudiar con cui­ dado los siguientes ejemplos. Ejemplo 1 Simplifique la ecuación mediante una traslación de ejes. X2 - 6x - 6y - 15 = O. Solución El cuadrado se completará en los términos x, y se seleccionará la traslación que eliminará el término x' y el término constante en la nueva ecuación. De esta manera, se tiene X2 - 6x + 9 = 6y + 15 + 9, (x - 3)2 = 6(y + 4). El vértice de la parábola está en (3, -4). De modo que se hace h = 3 Y k = -4 en las fórmulas de traslación x = x' + h Y Y =y' + k, y se obtiene (x' + 3 - 3)2 = 6(y' - 4 + 4), x'2 = 6y'. La parábola de la figura 4.1 es la gráfica de la ecuación dada, referida a los ejes origina­ les, y también es la gráfica de la nueva ecuación referida a los nuevos ejes. •
    • 156 y FIgura 4.1 CAPíTULO 4 SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES y' x x' • Cabe hacer notar que la traslación de ejes está vinculada con la realización de dos transformaciones geométricas: un desplazamiento horizontal y un desplazamiento ver­ tical. Dada una función f, la gráfica de y = f (x - h) es congruente con la gráfica de y = f(x), pero se desplaza Ihl unidades a la derecha si h > O o a la izquierda si h < O. De manera similar, la gráfica de y - k = f(x), o y = f (x) + k, se encuentra situada a Ikl unidades sobre la gráfica dey =f(x) si k > O, o debajo de ella si k < O. Por ejemplo, se puede obtener la gráfica de y = -2 (x - 3)2 - 4 a partir de la gráfica de y X2 mediante una serie de transformaciones geométricas: primero se expande X2 en un factor de 2 (véase el Ejercicio 20 de la Seco 3.1), luego se refleja a través del eje x, a continuación se desplaza 3 unidades hacia la derecha y, finalmente, se desplaza 4 unida­ des hacia abajo. Ejemplo 2 Traslade los ejes de modo que se simplifique la ecuación 2X2 + 3y2 + lOx - 18y + 26 = O. Solución La simplificación se puede hacer completando los cuadrados en los térmi­ nos x y y. Con este plan, se obtiene 2(x2 + 5x) + 3(y2 - 6y) = -26, 25 25 2 x2 + 5x + 4" + 3(y2 - 6y + 9) = -26 + 2 + 27, 5 2 27 2 x + 2 + 3(y - 3)2 .,.. 2' Las fórmulas de traslación x = x'- Sjz y Y = y ' + 3 reducirán esta ecuación a otra que no tenga términos de primer grado. Haciendo estas sustituciones, se encuentra que 2 x' 5 5 2 27 - 2 + 2 + 3(y' + 3 - 3)2 = 2 '
    • 4.1 SIMPLIFICACIÓN POR TRASLACIÓN 157 La gráfica es una elipse con a = 312 .J3, b = 312 J2y e = 312. Ambos conjuntos de ejes y la gráfica se encuentran en la figura 4.2. • Los ejemplos 1 y 2 ilustran el hecho de que los ejes se pueden trasladar para reducir (-2.5,3) Figura 4.2 y' y O' una ecuación de segundo grado de la fonna a otra de las fonnas Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = ° A'X'2 + E'y' = 0, C'y'2 + D'x' = 0, A'x'2 + C'y'2 + F' = O. x' En los dos ejemplos se completan los cuadrados para localizar los orígenes de los nuevos sistemas de coordenadas. El plan necesita modificarse cuando se presenta algún , . tennmo.xy. Ejemplo 3 Traslade los ejes para eliminar los ténninos de primer grado de la ecuación 2.xy+3x-4y= 12. Solución Para esta ecuación se usan las fónnulas de traslación con h y k desconoci­ das. Entonces, la ecuación se vuelve 2(x' + h)( y' + k) + 3(x' + h) - 4( y' + k) = 12 o, al multiplicar y agrupar ténninos, 2x'y' + (2k + 3) x' + (2h - 4)y' + 2hk + 3h - 4 k = 12. Para eliminar el ténnino x' y el télJl1ino y se igualan a cero sus coeficientes, obteniendo así h = 2 Y k = - 312. Usando estos valores de h y k se obtiene x'y' = 3.
    • 158 CAPíTULO 4 SIMPLIFICACiÓN DE ECUACIONES En la sección 4.4 se verá que la gráfica de esta ecuación, y de la ecuación dada, es una hipérbola. Ambos conjuntos de ejes y la hipérbola se dibujan en la figura 4.3. • y y' x x ' Figura 4.3 Ejercicios En cada uno de los ejercicios 1 a 11 detelll1ine la nueva ecuación si el origen se traslada al punto dado. l. 3x -2y= 6, (4, -3) 3. y2 - 6x+4y+22 = 0, (3, 2) 5. 3x2+4y2+12x -8y + 8 = 0, 6. 9x2+y2+36x+8y+43 = 0, 2. 5x+4y+3= 0, 4. x2+4x+7y= 0, (-2, -1) (-2, 4) 7. 4y2 -5x2+8y -l Ox -21= 0, (-1, 1) 8. 16x2 - 4y2 - 160x+24y+300 = 0, (5, - 3) (l, 2) (2, 6) 9. xy - x+y-lO= 0, (1, 1) 10. 3xy - 21x -6y - 47= 0, (-2, 7) 11. 3. 015x2-2.991x+0. 005y -0.123= 0, (1.028, 2. 314) 12. Explique cómo se obtiene la gráfica de y = -4 (x - ,.)2 + ..Ji partir de la gráfica de y = X2mediante transformaciones geométricas. En cada uno de los ejercicios 13 a 22 encuentre el punto al cual debe trasladarse el ori­ gen para que la ecuación transformada no tenga términos de primer grado. Encuen­ tre además la nueva ecuación. 13. xy -2x+4y -4= ° 14. xy+3x+3y - 3 = ° 15. 2x2+2y2-8x+5= ° 16. x2+2y2+6x -4y+2 = ° 17. 3x2 -2y2+24x+8y -34= O 18. 2y2-3x2-12x - 16y+14=0 19. x2 -xy+y2- 9x - 6y-27 = O 20. 2x2 - 3xy - y2+X - 5y -3= °
    • 4.2 ROTACiÓN DE EJES 159 21.x3 + 5x2 + 2xy + 4x - 4y - 4=O 22.xy + 2.8761x - 3.0019y - 9.6338 = O En cada uno de los ejercicios 23 a 28, elimine el término C0nstante y uno de los términos de primer grado. 23. y2 + 6y + 4x + 5 = O 25.y2 + lOx - 4y + 24 = O 27. 2x2 - 20x + 7y + 36=O 24.x2 - 2x + 8y - 15=O 26. y2 + 4y - x + 1 = O 28.3y2 + l1x - 6y - 19=O En los ejercicios 29 a 31, indique la secuencia de transformaciones geométricas por usar para obtener la segunda función a partir de la primera. Grafique ambas en el mismo siste­ ma coordenado, usando de ser posible un graficador. 29.y=x3, y=2(x-l)3 30. y=x3, 31. Y=x4 + 1, y=(x + 2)4 - 7 , 4.2 ROTACION DE EJES y= • • Se considerará ahora una transformación de coordenadas donde los nuevos ejes tengan el mismo origen, pero direcciones diferentes de los ejes originales. Puesto que los nue­ vos ejes se pueden obtener rotando los ejes originales en un ángulo alrededor del ori­ gen, la transformación se Harna rotación de ejes. Para una rotación en un ángulo e se deducirán fórmulas de transformación, que ex­ presen las coordenadas anteriores en términos de e y de las nuevas coordenadas. En la figura 4.4 las coordenadas del punto P son (x, y) cuando están referidas a los ejes origi­ nales OXy OY, y son (x', y') cuando están referidas a los nuevos ejes OX' y OY'. Se.· notará que . �,..,. . x = OM Y Y = MP, -::;-;:. . x' =OS Y y' = SP. El segmento RS se traza paralelo al eje x y NS es paralelo al ejey. Por tanto, se tiene que -:::-;-:;. . x=OM = ON - MN = ON - RS=x' cos (J - y' sen e, . . . y = MP = MR + RP=NS + RP=x' sen e + y' cos e. Las fórmulas de rotación son, entonces, x = x' cos e - y' sen e,• y=x' sen e + y' cos e. (4.2) Estas fórmulas se dedujeron para el caso especial en el cual e es un ángulo agudo y el punto P está en el primer cuadrante de ambos pares de ejes. Sin embargo, las fórmulas valen para cualquier e y para todas las posiciones de P. Se podría demostrar que las fórmulas valen en general, si se observan las convenciones adecuadas con respecto al signo de e y a los signos de todas las distancias incluidas.
    • 160 CAPiTULO 4 SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES y' y x' Figura 4.4 x (x, y) p y'y � R M N (x', y') • x' x Ejemplo 1 Transforme la ecuación X2 - y - 9 = O mediante una rotación de 45° de los • ejes. Solución Cuando () = 45°, las fórmulas de rotación (4.2) son y' Figura 4.5 x' y' x= - Vz Vz' X ' y' Y = Vz + Vz' y x' :-+...L.T---t--+---t--. x Se hacen las sustituciones en la ecuación dada y se obtiene X' y' 2 X' y' 2 Vz - Vz - Vz + Vz - 9 = O , . 2x'y' + 9 = O . •
    • 4.2 ROTACIÓN DE EJES 161 • Tanto la gráfica como ambos conjuntos de ejes se construyen en la figura 4.5. • Ejemplo 2 Encuentre el ángulo de rotación agudo tal que la ecuación transformada de 2X2 + -J3 xy +y = 8 no tenga término x'y'. Solución Se emplean las fórmulas de rotación para encontrar el ángulo 8 requerido. Sustituyendo para x y y, se obtiene 2(x' cos fJ - y' sen fJ)2 + v'3(x' cos fJ - y' sen fJ)(x' sen fJ + y' cos fJ) +(x' sen fJ + y' cos fJ)2 = 8. Se efectúan las multiplicaciones indicadas, se agrupan términos semejantes y se obtiene (2 cos2fJ + v'3sen fJ cos fJ +sen 2fJ)x'2 + (-2sen fJ cos 8 + v'3 cos28 - v'3sen2fJ)xly' + (2sen2fJ - v'3 sen 8 cos fJ + cos28)y'2 = 8. (4.3) Como se va a eliminar el término x'y', su coeficiente se iguala a cero. De este modo se obtiene -2sen 8 cos 8 + v'3(cos2fJ -sen 2(]) = O. Usando las identidades sen 28 = 2 senO cos 8 y cos 28 = cos28 -sen28, se obtiene la ecuación en la forma -sen28 + v'3 cos 28 = O. Por tanto, tan 28 = v'3' Una rotación de 30° elimina el término x y '. Este valor de 8 reduce la ecuación (4.3) a 5X'2 + y'2 = 16. La figura 4.6 muestra ambos conjuntos de ejes y la gráfica. • • y y' X ' 3D· x Figura 4.6 •
    • 162 CAPíTULO 4 SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES Ejercicios En los ejercicios l a 8 encuentre la nueva ecuación cuando los ejes se rotan en el ángulo dado 8. Esboce la gráfica de la nueva ecuación, mostrando ambos conjuntos de ejes. l . x + y =6, 3.x2 + y2=a2, ()=50° 5.x2 - v3xy + 2y2=2, 7. X2 + v3xy + 2y2=3, 2. v3x - y=4, 4. xy= 1, ()=30° 6. x2 + xy + y2= 1 , ()=arctan v3 8. x2 - 4xy + 4y2 - 8Vsx=O, (}=arctan � • En cada uno de los ejercicios 9 a 12 encuentre el ángulo de rotación tal que la ecuación transformada no tenga términox y '. 9. x2 - xy + 3 =O 1 0. 3xy + y - 2 =O 1 1. x2 + 3xy - x + y=O 1 2. x2 - 3xy + 4y2 + 7=O Los ejercicios 13 Y 14 están dirigidos a estudiantes con conocimientos sobre matrices. 13. Muestre que la fórmula de rotación (4.2) puede expresarse mediante la ecuación matricial 14. Muestre que la matriz cos () - sen () x' x sen () cos () y' y cos () sen () -sen() cos () es la inversa de la matriz que aparece en el ejercicio 13. Concluya que cos () sen () x x' -sen () cos () y y' . 4.3 SIMPLIFICACIÓN POR ROTACIONES Y TRASLACIONES La ecuación general de segundo grado, o cuadrática, enx yy se representa con Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F=O. (4.1) Al menos una 4e las constantes A, B Y C debe ser diferente de cero para que la ecuación sea de segundo grado. Se supone, además, que no todos los coeficientes de los términos que incluyen una de las variables son cero; esto es, que tanto x como y aparecen en la • • ecuaClOn.
    • 4.3 SIMPLIFICACIÓNPOR ROTACIONESYTRASLACIONES 163 En la sección 4. 1 se analizó el procedimiento para simplificar la écuación (4.1) cuan­ do B = O. Si B:f. 0, una parte esenGial de la simplificación consiste en obtener una ecua­ ción transformada sin el término producto x'y'. Se mostrará cómo determinar de inmediato un ángulo de rotación que servirá para este propósito. En la ecuación (4. 1) se sustituyen para x yy los miembros derechos de las fórmulas de rotación. Después de agrupar térmi­ nos semejantes, se obtiene AIX'2 + B'x'y' + el y'2 + D'X' + E'y' + F' = 0, donde los nuevos coeficientes son A' = A cos28 + Bsen 8 cos 8 + e sen28, B' = B cos 28 - (A - e)sen20, e' = A sen20 - Bsen O cos O + e cos20, D' = D cos O + E sen 8, E' = E cos 8 - D sen 8, F' = F. El término x'y' se anulará sólo si su coeficiente es cero. Por tanto, 8 debe satisfacer la ecuación B' = B cos 28- (A-C)sen 28 = O. Si A :f. e, la solución es B tan 20 = A - C' Esta fórmula proporciona el ángulo de rotación, excepto cuando A = C. Si A = C, el coefi­ ciente de x'y' es B cos 28. Entonces, el término se anula al dar a 8 el valor de 45°. Se observa, así, que una ecuación de la forma (4. 1) con Un término xy puede transformarse en una ecuación libre del término producto x'y'. Los resultados anteriores se resumen en el siguiente teorema. • Teorema 4.1 Una ecuación de segundo grado Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = O, en la cual B = O, se puede transformar mediante una traslación de ejes en una ecuación de las formas A'x'2 + C/y'2 + F' = 0, A'x'2 + E'y' = O, C'y'2 + D'x' = O. (4.4) Si B '# O, una de estas formas se puede obtener mediante una rotación y una traslación (si es necesario). El ángulo de rotación e (se escogió agudo) se obtiene a partir de la • • ecuaclOn •
    • 164 CAPíTULO 4 SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES o bien B tan 20 = A _ C' si A *- C, • SI A = C. • Por este teorema se ve cómo se encuentra el valor de tan 28. Sin embargo, las fórmu­ las de rotación contienen a sen 8 y cos 8. Estas funciones se pueden obtener a partir de las identidades trigonométricas sen 0= 1 - cos 20 2 , • cos 0= 1 + cos 20 2 • Se escoge el signo positivo antes de cada radical, pues se restringirá 8 a un ángulo agudo. Las transformaciones que reducen la ecuación de una cónica a una ecuación en for­ ma simplificada se pueden interpretar geométricamente. La rotación orienta los ejes coordenados en las direcciones de los ejes de una elipse o hipérbola, y la traslación lle­ va el origen al centro de la cónica. Para una parábola, la rotación hace que uno de los ejes coordenados sea paralelo al eje de la parábola, y la traslación: mueve el origen al , . " vertlce. ' Aunque las ecuaciones (4. 4) anteriores usualmente representan cónicas, hay casos excepcionales, según los valores de los coeficientes. Los casos excepcionales no son de especial interés, pero se mencionarán. La primera de las ecuaciones no tiene gráfica si A', C' Y F' tienen todos el mismo signo, pues entonces no habrá valores reales de x' yy' para los cuales los términos del miembro izquierdo sumen cero. Si F' = O Y A' Y C' tie­ nen el mismo signo, sólo las coordenadas del origen satisfacen la ecuación. Los valores para los coeficientes se pueden escoger arbitrariamente de manera que la ecuación re­ presente dos rectas que se intersecan, dos rectas paralelas o una recta. Cada una de las otras ecuaciones siempre tiene gráfica, pero ésta es una recta si el coeficiente del térmi­ no de primer grado es cero. Las gráficas de punto y de recta de ecuaciones de segundo grado se llaman cónicas degeneradas, como ya se apuntó. Ejemplo 1 Exprese, en alguna ecuación de la forma (4. 4), la ecuación 3x2 + 2V3xy + y2 - 2x - 2V3y - 2= O. Solución Primero se rotan los ejes de modo que se eliminen los.términos x'y'. Así, se obtiene B 2V3 tan 20= A _ C = 3 _ 1 = V3. Por consiguiente, 28= 60°,8= 30°Y las fórmulas de rotación son 2 2' x= V3x' y'
    • 4.3 SIMPLIFICACIÓNPOR ROTACIONESYTRASLAClONES Sustituyendo para x y y en la ecuación dada, se obtiene /3x' y' 2 /3x' y' x' /3y' x' /3y' 2 3 2 - 2 + 2/3 2 - 2' 2' + 2 + 2' + 2 /3x' y' . ;;; x' /3y' - 2 2 -2 - 2v 32'+ ' 2 165 - 2=O. Ahora se sacan los coeficientes de cada variable que surge de esta ecuación. Se igno­ ran los términos x 'y' que suman cero y se encuentra 9 6 1 '2 3 6 3 '2 • ;;; 3 ' ;;; 3 ' 3 '-+-+- x + - - - +-y +(-v-,- v-,)x +(I - )y - 2=0 4 4 4 4 4 4 y 4X'2 - 2/3x' - 2y' - 2=O. Al dividir entre 2 y completar el cuadrado en los términos x', se obtiene o bien '2 /3, 3 , 3 2 x - 2 x + 16 = Y + 1 + 8 2 ' /32 , Il x - 4 =Y + 8' Una traslación de los ejes que mueve el origen al punto ( ..J3j; , _11/8) produce la ecua­ ción final 2x"2 = y". La gráfica es la parábola dibujada en la figura 4.7 junto con los tres conjuntos de ejes. • y ' y " • Figura 4.7· y J3 [1 X ,- -- O" 4' 8 X' X"
    • 166 CAPíTULO 4 SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES Ejemplo 2 Reduzca la ecuación 73x2 - 72xy + 52y2 + loox - 200y + 100= O a una de las formas (4.4). Solución Primero se transforma la ecuación, de modo que el término producto x'y' desaparezca. Para encontrar el ángulo de rotación, se usa y por tanto, B -72 tan 20= A - e - 73 - 52 = -7 cos 20= 25 ' -24- 7 0= I - cos 20 2 4- 5 y cos 0= 1 + cos 20 2 Entonces, las fÓllllUlas de rotación son 3x' - 4y' x= 5 y 4x' + 3y' y= 5 • Al sustituir para x y y en la ecuación dada y simplificar, se obtiene x'2 + 4y'2 - 4x' - 8y' + 4= O. Completando los cuadrados en los términos x' y y', se obtiene (x' - 2)2 + 4( y' - 1)2 - 4= O. - Por último, una traslación del punto (2, 1) produce la forma que se busca x"2 + 4y"2 - 4= O. 3- 5' Es mucho más fácil dibujar la gráfica a partir de esta ecuación, que mediante la ecuación original. La gráfica y los tres conjuntos de ejes están construidos en la figura 4.8. • Figura 4.8 y ' y" O" (2, 1) X y x" X '
    • 4.4 IDENTIFICACIÓN DE UNA CÓNICA 167 Ejercicios Reduzca cada ecuación a una de las formas simplificadas (4.4).. Dibuje la gráfica de la ecuación resultante, mostrando todos los ejes coordenados. 1. x2 + 4xy + 4y2 + 2Vsx - Vsy = O 2. x2 - 2xy + y2 - 8V2x - 8 = O 3. x2 - xy + y2 - 3 = O 4. xy - x + y = O 5. x2 + 4xy - 2y2 + Vsx + 2Vsy - 1: = O 6. 3x2 - lOxy + 3y2 + 22x - 26y + 43 = O 7. 7x2 + 48xy - 7y2 - 150x - 50y + 100 = O 8. 73x2 - 72xy + 52y2 + 380x - 160y + 400 = O 9. 30x2 - 12xy + 35y2 - 60x + 12y - 48 = O 10. 104x2 + 60xy + 41y2 - 60x - 82y - 75 = O 11. 9x2 - 6xy + y2 + X + I = O 12. Escriba la ecuación de la parabola que tiene su foco en (-4, 1) Y vértice en (-2, 4). Exprese la ecuación en una de las formas (4.4). Dibuje la gráfica mostrando todos los ejes. . 13. Pruebe que una traslación de ejes no introduce términos de segundo grado en la ecua­ ción de una cónica, y que una rotación no introduce términos de primer grado. • 4.4 IDENTIFICACIÓN DE UNA CÓNICA Se ha visto que la gráfica -cuando la hay- de la ecuación general de segundo grado A,t2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = O se puede determinar de inmediato cuando la ecuación se reduce a una de las formas sim­ plificadas (4.4). La determinación también puede hacerse a partir de los coeficientes de la ecuación general. Para mostrar que esto es cierto, se supondrá primero que la gráfica de la ecuación (4.1) es una parábola, una elipse o una hipérbola. Entonces, al aplicar las fórmulas de rotación (4.2), se obtiene
    • 168 CAPíTULO 4 SIMPLIFICACIÓN DE ECLlAClONES donde A'x'2 + B'x'y' + C'y'2 + D'x' + E'y' + F' = 0, A' = A cos20 + B sen O cos O + Csen20, B' = B cos 20 - (A - C)sen20, C' = Asen20 - B sen O cos O + C cos20. Si las expresiones para A " B' Y e' se sustituyen en B'2- 4A 'e'Y se simplifican, el resul­ tado es B'2 - 4A'C' = B2 - 4AC. Esta relación entre los coeficientes de la ecuación original y la ecuación transformada vale para cualquier rotación. Por esta razón, B2_ 4AC se Hama invariante. Eligiendo la rotación particular para la cual B' = 0, se tiene -4A'C' = B2 - 4AC. Con B' = 0, el tipo de cónica representado por la ecuación transformada, y por tanto po� la ecuación original, puede determinarse a partir de los signos de A' Y C'. La cónica es una elipse si A' Y C' tienen el mismo signo y es una hipérbola si los signos son distintos. Si A' o C' es cero, la cónica es una parábola. Estas relaciones entre A�.y C', en el orden mencionado, harían que - 4A'C' fuera negativo, positivo o cero. Por tanto, se tiene el siguiente teorema importante. Teorema 4.2 Sean los coeficientes de la ecuación Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = O (4.1) tales que la gráfica sea una cónica no degenerada. Entonces, la gráfica es 1. una elipse si B2_ 4AC < O; 2. una parábola si B2_ 4AC = O; 3. una hipérbola si B2- 4AC > O. En vista de que el término B2_ 4AC discrimina, o distingue, el tipo de cónica que se representa en la ecuación, dicho término recibe el nombre de discriminante de la ecua­ ción, al igual que b2-4ac es el discriminante de la ecuación cuadrática ax2+ bx = e = 0, dado que su signo determina la naturaleza de las raíces. El teorema 4.2 se basa en la condición de que la ecuación tiene una gráfica y que la gráfica no es una cónica degenerada. Las cónicas degeneradas, como ya se ha menciona­ do, constan de dos rectas que se intersecan, dos rectas paralelas, una recta o un solo pun­ to. De este modo, para usar el teorema con seguridad es necesario saber cómo detectar
    • 4.4 IDENTIFICACIÓN DE UNA CÓNICA 169 los casos excepcionales. Un análisis general de esta cuestión es algo tedioso; en con­ secuencia, se omitirá. Sin embargo, se ilustrará un plan realizable, cuando A y C no son simultáneamente cero, y se expondrá el enfoque para la situación más sencilla: cuando A y C son cero y B es diferente de cero. Ejemplo 1 Determine la naturaleza de la gráfica, si la hay, de la ecuación 2X2 + 7xy + 3y2 + X - 7y - 6 = O. Solución Se encuentra que B2 - 4AC = 49 - 4(2)(3) = 25 > o. Este resultado positivo no indica que la gráfica sea una hipérbola. Para hacer la determinación, la ecuación se trata como una ecuación cuadrática en x y se aplica la fórmula cuadrática. ASÍ, se obtiene Por tanto, x= - 2x2 + (7y + l)x + (3y2 - 7y - 6)= O; - (7y + 1) ± V(7y + 1)2 - 8(3y2 - 7y - 6) 4 -7y - 1 ± V25y2 + 70y + 49 4 _ -7y - 1 ± (5y + 7) - x= 4 . -y + 3 2 y x= -3y - 2 son las soluciones. Esto significa que la ecuación dada se puede presentar en la forma factorizada (2x -t Y - 3)(x + 3y + 2) = o. Si las coordenadas de un punto hacen uno de estos factores igual a cero, harán que el producto sea igual a cero, y por tanto satisfacen la ecuación original. Por ello, la gráfica consta de dos rectas cuyas ecuaciones son y - 2x - 3 = O y y - 2x + 4= o. Ejemplo 2 Pruebe la ecuación y - 4xy + 4X2 - 2x + y -12 = _0. Solución Despejando en la ecuación para y en términos de x se encuentran las • ecuacIOnes y - 2x - 3= O y y - 2x + 4= o. Por consiguiente, la gráfica de la ecuación dada consta de dos rectas paralelas. • Ejemplo 3 Pruebe la ecuación 4X2 - 12.� - 9y2 + 20x -30 y + 25 = O. Solución La prueba se puede hacer despejando una variable en téllninos de la otra. Sin embargo si se analiza la ecuación se observa que el miembro izquierdo es fácil­ mente factorizable. Por tanto, se encuentra
    • 170 CAPiTULO 4 SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES (4x2-12xy + 9y2) + 1O(2x -3y) + 25= O, (2x -3y)2+ 1O(2x -3y) + 25= O, (2x - 3y + 5)(2x -3y + 5)= O. La gráfica es la recta 2x -3y + 5 = O. • Ejemplo 4 Determine la gráfica, si es que la hay, de la ecuación X2 + y2-4x + 2y + 6= O. Solución El estudiante puede verificar que esta ecuación produce x= 2 ± V_y2-2y - 2, = 2 + V- [(y +. 1)2 + 1]. Es evidente que el radicando es negativo para todos los valores reales de y; esto signifi­ ca que x es imaginario. En consecuencia, la ecuación dada no tiene gráfica. • - Ejemplo 5 Determine si la ecuación X2 + 3xy + 3y2-X + 1= O tiene gráfica. Solución Al despejar x en la ecuación se obtiene x= - x2 + (3y -l)x + 3y2 + 1= O, 1 -3y ± V(3y -1)2 - 12y2-4 2 1 - 3y ± V- 3y2 - 6y -3 2 1 - 3y ± (y + 1)v=3 2 • Como se observa, x será imaginario si y toma cualquier valor real excepto y = -l. Para este valor de y el valor de x es 2,por lo cual la gráfica de la ecuación dada consta del único punto (2,-1). • Si faltan los términos cuadrados en una ecuación de segundo grado de la forma (4, 1), se puede dividir entre el coeficiente dexy y expresar la ecuacIón como xy + Dx + Ey + F = O. El procedimiento para probar este caso consiste en trasladar los ejes de manera que la nueva ecuación no tenga término x' oy'. Como puede verificarse, la ecuación transfor­ mada es x'y' + (F - DE)= O.
    • EJERCICIOS 171 Está claro que la gráfica es una hipérbola si F-DE :;t: O; de la misma manera, es evidente que la gráfica consta de dos rectas que se intersecan si F-DE = O. Se han señalado las cinco formas en que la ecuación (4.1) no representa una cónica. Es importante entender que la ecuación representa una cónica siempre que no confor­ me uno de estos casos excepcionales. Entonces, será aplicable el criterio de B2 - 4AC del teorema 4.2. Ejercicios Suponiendo que las ecuaciones de los ejercicios 1 a 8 representan cónicas degeneradas, clasifique cada una mediante el cálculo de B2 - 4AC l. 3x2 + xy + x - 4 = O 3. x2 + 5xy + l5y2 = 1 5. X2 - 2xy + y2 + 3x = O 7. 4x2 - 3xy + y2 + 13 = O 2. 2x2 - 4xy + 8y2 + 7 = O 4. 2xy - x + y - 3 = O 6. X2 - y2 + 4 = O 8. 3x2 + 6xy + 5y2 - X + Y = O En los ejercicios 9 a 24 pruebe cada ecuación y diga si la gráfica es una cónica 'o una cónica degenerada, o si no hay gráfica. Escriba la ecuación (o ecuaciones) de cualquier gráfica degenerada. 9. y2 - 8xy + 17x2 + 4 = O 11. y2 + 2xy + x2 - 2x - 2y = O 13. y2 - 2xy + 2x2 + 1 = O 15. 2x2 - xy - y2 + 2x + y = O 17. 9x2 - 6xy + y2 + 3x - y = O 19. 9x2 - 6xy + y2 = O 21. xy + 4x - 4y + 20 = O 23. 3x2 + 3xy - y2 - X + Y = O 10. 6X2 - xy - 2y2 + 2x + y = O 12. x2 + 2xy + y2 - 2x + 1 = O 14. y2 - 4xy + 4X2 + 4x + 1 = 2y 16. 4y2 - 12xy + IOx2 + 2x + 1 = O 18. y2 - 2xy + 2x2 - 5x = O 20. 9x2 - 6xy + y2 + X + 1 = O 22. xy - 6x + 5y + 30 = O 24. 2x2 + xy - y2 + X - Y = O En los ejercicios 25 a 29 suponga que la gráfica de la ecuación Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = O es una cónica no degenerada. 25. Si,A y e tienen signos opuestos, pruebe que la gráfica es una hipérbola. •
    • 172 CAPíTULO 4 SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES 26. Si B *- O Y A o e es cero, pruebe que la gráfica es una hipérbola. 27. Si D Y E son cero, pruebe que la gráfica no es una parábola. 28. Si D Y E son cero, pruebe que el centro de la cónica está en el origen. 29. Si el centro de la cónica está en el origen, pruebe que D y E son cero. 30. Complete todos los pasos en la demostración de que B'2_ 4A'C' = B2- 4AC. Mues­ tre también que A' + C' = A + C. EJERCICIOS DE REPASO En los ejercicios 1, 2 Y 3 determine la nueva ecuación si el origen se traslada al punto indicado. l. 5x - 3y + 2 = O, 2. x2 + 3x + 2y = O, (2, 1) (4, -2) 3. 9x2 + 2y2 - 18x + 14y + 28 = O, En los ejercicios 4, 5 Y 6 encuentre la nueva ecuación si los ejes se rotan en el ángulo 8 dado. 4. X2 - xy + y2 = 1, () = 4Y 5. 3x2 + V3xy + 2y2 = O, () = 30° 6. x2 - 4xy + 4y2 + 6Vsx - 4Vsy + I = O, () = arc tan � 7. Traslade los ejes a un punto tal que la ecuación 2X2 + 3y2 + 18x - 16y + 61 = O Términos clave fórmulas de rotación de ejes, pág. 159 l. Rote los ejes para quitar el término xy de xy -x + y = o. Esboce una gráfica. se transforme en una ecuación sin los términos de primer grado. 8. Encuentre la ecuación en la cual X2 - V3xy + 2y2 = 2 se transformará mediante una rotación de 30°. 9. Si los ejes se rotan 45°, encuentre la nueva ecua­ ción correspondiente a x -y = 6. 10. Simplifique la ecuación 2X2 + xy + 2y2 - 12V2x - 16V2y + 12 = O mediante una rotación adecuada seguida de una tras­ lación. 11. Rote los ejes para eliminar el término xy en xy = l . Grafique la ecuación. discriminante, pág. 168 2. Si las siguientes ecuaciones representan cónicas no degeneradas, identifique la cónica: •
    • EJERCICIOS DE REPASO a) X 2 = 1 + y2 b) X 2 - 4xy + 4y - 2x + 3y - 4 = O e) X 2 + 2xy + y2_ 2x + 3y - 4 = O 173 3. ¿Con qué ángulo 8 se debe rotar los ejes para qui­ tar el término xy en x2_xy + 1492x + 1776y=O?
    • Capítulo Curvas al ebraicas En el capítulo 2 se consideraron ecuaciones de primer grado y en los capítulos 3 y 4, ecuaciones de segundo grado; En este capítulo se abordará el problema de dibujar las gráficas de ecuaciones de grado mayor que dos. Todas las ecuaciones definen relaciones, y algunas de las relaciones definen funciones (Definiciones 1.6 y 1.7). El método de punto por punto para construir una gráfica es tedioso, excepto para ecuaciones sencillas. Sin embargo, con frecuencia es posible aligerar la tarea, descubriendo primero ciertas carac­ terísticas de la gráfica reveladas por la ecuación. Ya se analizaron los conceptos de inter­ sección, simetría y extensión de una curva. Estos temas aparecieron en las secciones 3.1, 3.2,3.3 y 3.5,y deberán reestudiarse. En la siguiente sección se da otra idea útil, la cual se presentará antes de dibujar gráficas de ecuaciones particulares. 5.1 POLINOMIOS La atención se enfocará ahora en un nuevo tipo de funciones que deberían ser familiares para el lector. • Se verá como se esboza la gráfica de una función polinominal (el dominio de una función polinominal son todos los números reales lR ), y =f(x) = x"+ al X"-l +... + a " cuando se presenta en la forma factorizada. y = (x - r()al(x - r2)a2 ••• (x - rk)ak,
    • 176 CAPITULO 5 CURVAS ALGEBRAICAS con raíces r l , r 2 ,...,r k de multiplicidad al' a 2 , ak respectivamente. Con frecuencia ocurre • que se necesita esbozar la gráfica de un polinomio que se presenta bajo la forma factorizada. Se comienza con una ilustración del proceso Ejemplo 1 Examine la ecuación y dibuje la gráfica de y = (x2 - I)(x - 2f Solución Las tres pruebas para simetría (Sec. 3.2) revelan que la gráfica no tiene sime­ tría con respecto a ningún eje o al origen. Las intersecciones con el eje x son -1, l Y 2, Y la intersección con el eje y es -4. Estos puntos facilitan mucho la graficación. Conforme x crece más allá de 2, los valores dey se incrementan con rapidez (Fig. 5.1). Si x tiene un valor entre l y 2, la ecuación muestra que y es positivo porque los dos factores x2-1 y (x- 2)2 son, entonces, positivos. Si x toma un valor entre -1 y 1, el factor X2_ es negati­ vo y la curva se encuentra debajo del eje x. Conforme x toma valores a la izquierda de x = -1, los valores de y crecen. Con la información anterior se puede esbozar rápidamente la curva. Localizar otros puntos, además de los cruces, hace posible una gráfica bastante • precisa. • FIgura 5.1 y - + -r , •,J. O T I I + - -- x El ejemplo l ilustra una técnica para graficar una función polinomial en forma factorizada: la gráfica de y = (x - rl)al(x - r2)a2 • • • (x - rn)an cruza el eje x en r¡ si � es un entero impar, pero toca el eje x sin atravesarlo en r ¡ si es un entero par. Se puede obtener un rápido esbozo de la gráfica utilizando este hecho y esco­ giendo algunos puntos para localizar. Si se observa de nuevo el ejemplo 1, como y = (x + 1 )(x - l )(x - 2)2, Y como los exponentes de x + 1 Y de x - 1 son el entero impar 1, se observa que la curva interseca el eje en -1 y en 1, Y lo toca sin atravesarlo en x = 2. Por último, como y es -4 si x es 0, se puede obtener un esbozo como el de la figura 5. .
    • 5. I POLINOMIOS 177 Ejemplo 2 Esboce una gráfica para la función y = (X2 - 4)(x2 - 1). • Solución Se observa que y = (x - 2)(x - I)(x + I)(x + 2) Y que cada exponente de los factores lineales es l . Por tanto, la curva interseca el eje cuando x es 2, 1, -1 Y -2. Cuan­ do x es O, y es 4, de manera que la gráfica es como en la figura 5.2. Observe que la gráfica es simétrica con respecto al eje y, pues x está elevado sólo a potencias pares. • Figura 5.2 1 1 , , y + -r- o -- -- - 1 1 1 1 1 , ' " , , x Si y =f(x) es una función polinominal que se presenta factorizada, resulta especial­ mente sencillo resolver desigualdades del tipof(x) > O mediante un análisis de la gráfica de y =f(x) . Para resolver la desigualdad polinomialf(x) > O, sólo se necesita encontrar todos los valores de x para los cuales la curva y :; f(x) se encuentra encima del eje x. Asimismo, la desigualdadf(x) < O se resuelve encontrando los valores de x para los cua­ les la gráfica de y =f(x) está por debajo del eje x. Ejemplo 3 Resuelva la desigualdad (X2 - 4) (X2 - 1) > O. Solución La gráfica de y = (X2 - 4) (r - 1) aparece esbozada en la figura 5.2. Para resolver la desigualdad, se buscan aquellos valores de x. para los cuales la curva se en­ cuentran por encima del eje x (por que se desea que y>O). De la figura, resulta claro que la solución son aquellos valores de x tales que x < �2 o -1 < x < I o 2 < x. Cabe mencio­ nar que el dominio son todos los números reales y el c;onjunto de imágenes son todas las y E JR tales que y � _17/4. Ejemplo 4 Resuelva la desigualdad (x+1)3(x._1)4(x-4)(x-$)<0. ¡(x) = (x + 1)3(x - 1)4(x - 4)(x � 5) -< O. Solución Un esbozo de la gráfica de y = f(x) muestra de inmediato que en x = 1 la curva no cruza el eje ya que el exponente 4 que afecta a x - 1 es par. La curva cruza el eje x en x = -1, x = 4 Y en x = 5, debido a que todos IQS exponentes asociados a los factores correspondientes son impares. La forma general de la curva se muestra en la Figura 5. 3. La curva se encuentra bajo el eje x. para x « �I o para 4 <: x < 5. Aquí el dominio y el conjunto de imágenes son todos los números reales. •
    • 178 Figura 5.3 Ejercicios y 4000 2000 (-1, O) (1, O) -2000 -4000 -6000 CAPíTULO 5 CURVAS ALGEBRAICAS 25 -1 1 (3,2048) (5, O) -- x • (4.5, -6242) Encuentre las intersecciones con el eje x de las gráficas correspondientes a las ecuaciones que aparecen en los ejercicios del l al 10. Determine el signo deya la izquierda de la in­ tersección con menor valor de x, entre intersecciones consecutivas y a la derecha de la intersección con mayor valor de x. A continuación, esboce la gráfica de la ecuación dada. Si es posible utilizar algún paquete de graficación, úselo a fin de encontrar los intervalos para los cuales cada ecuación es creciente y los intervalos para los cuales cada una es decreciente. Use colores para el trazado de la figura correspondiente. 1. y = x(x2 - 16) 2. Y = (x - 2)2(x - 4) 3. Y = x2(4 - x) 5. y = (x + 3)(x2 - 9) 7. Y = (x2 - 9)(x + 1)2 9. Y = x2(x + 2)(x - 3) Resuelva las siguientes desigualdades. 1 1. x(x2 - 16) > O 13. x2(4 - x) > O 4. Y = (x - 3)2(x + 2) 6. Y = (x2 - 4)(x - 3)2 8. Y = x(x2 - 1)(x2 - 16) 10. Y = (x - 4)(x + 1)(x + 3) 12. (x - 2?(x - 4) < O 14. (x - 3?(x + 2) > O
    • 5.2 FUNCIONES RACIONALES 179 15. (x2 - 9)(x + 1)2 > O 16. x(x2 - 1)(x2 - 16) < O 17. x4(x + 2)(x - 3)(x - 2) > O 18. (x + 4)(x2 - 3)(x - 3) > O 5.2 FUNCIONES RACIONALES Se procede ahora a estudiar las funciones que se pueden expresar como cocientes de polinomios. Se puede suponer que el numerador N (x) y el denominador D (x) no tiene factores en común. El proceso de graficar funciones racionales es un poco más complejo que el de graficar polinomios. Si la distancia de una recta a un punto de la curva tiende a cero conforme el punto se aleja del origen a lo largo de dicha curva, entonces la recta se l.Iama asíntota de la curva. Al dibujar la gráfica de una ecuación es conveniente determinar las asíntotas, en caso de que las haya. Usualmente son fáciles de encontrar y facilitan el trazo de la gráfica. La utilidad de las asíntotas ya fue puesta de manifiesto cuando se trazó la hipérbola (Sec.• 3.4). Aquí, sin embargo, se trabajará principalmente con curvas cuyas asíntotas, si las hay, son horizontales o verticales. Las asíntotas verticales de la función racional y = N (x)/D (x) corresponden a los ceros del denominador D (x). En consecuencia, si D (a) = O, entoncesx = a es una asíntota vertical. Ejemplo 1 - Examine la ecuación y dibuje la gráfica de x2v - 4v = 8.- , Solución La ordenada al origen es -2. Sin embargo si se escribe y = 0, es obvio que ningún valor de x satisface la ecuación. Por tanto, no hay intersección con el eje x. La gráfica tiene simetría con respecto al eje y pero no con respecto al eje x. Se puede deter­ minar primero la parte de la gráfica a la derecha del eje y y después dibujarse la otra parte, usando simetría. Despejando y de la ecuación, se obtiene
    • 180 CAPíTULO 5 CURVAS ALGEBRAICAS 8 Y = 2 4' (5.1)x - Se observa que el miembro derecho de esta ecuación es ne.gativo para -2 < x < 2 , Y en consecuencia, en este intervalo la gráfica se encuentra debajo del eje x. Además, si x tiene un valor ligeramente menor que 2, el denominador está cerca de cero. Entonces la fracción que es igual a y tiene valor absoluto grande. Conforme se asignan a x valores menores que 2 pero aún más cercanos a éste, los valores correspondientes de lYl se incrementan y pueden ser mayores que cualquier número escogido si x se toma suficien­ temente cerca de 2. Esta propiedad de la ecuación dada se indica en la tabla de valores correspondientes de x y y. Sin embargo, si x es mayor que 2, el valor de y es positivo. Además, es posible que y exceda cualquier número positivo escogido; basta hacer a x mayor que 2 pero suficientemente cercano a él. Por tanto, la recta x = 2 es una asíntota vertical de la gráfica, tanto arriba como debajo del eje x. Para verificar el caso de una asíntota horizontal, pueden asignarse valores positivos a x cada vez más grandes en la ecuación (5.1). Es evidente que así se puede hacer que y, aunque es positivo, esté tan cerca de O como se desee. Esto significa quey = O es una asíntota. La intersección con el eje y, las asíntotas y la propiedad simétrica constituyen una gran ayuda al construir la gráfica de la ecuación dada, cuyo conjunto de imágenes es el conjunto de lasy E R tales que y�(O, 2), (Fig. 5.4). x o 1 1.5 1.9 1.99 1.999 y -2 -2.7 - 4. 6 - 20. 5 -200 -2000 y
    • 5.2 FUNCIONES RACIONALES 181 También se pueden determinar las asíntotas el} este ejemplo, despejando en la ecua­ ción ax en términos de y. Así, si se toman las raíces cuadradas positivas, se encuentra x=2 y + 2 Y • • (5.2) En esta ecuación el radicando no debe ser negativo. Por consiguiente, se excluyen los valores de y, -2 < Y < O. Si se observa la ecuación (5.2), se verá que un valor positivo de y cerca de O hace que x sea grande y que se puede hacerx tan grande como se desee tomando y lo suficientemente cerca de O. Además, al tomar valores positivos de y cada vez más grandes, se puede hacer que los valores correspondientes de x estén tan cerca de 2 como se quiera. Puede concluirse entonces que y = O, x = -2 Y x = 2 son asíntotas de la gráfica. • A continuación se analiza un procedimiel}to alternativo para determinar asíntotas horizontales cuandoy es igual al cociente de dos polinomios enx. Considere, por ejemplo, la ecuación 3x3-2x2 + x-S Y=2x3 + 4x2-8x - l' donde el numerador y el denominador son del mismo grado. Para determinar el com­ portamiento del miembro derecho cuando Ixl nador se dividen entrex3• Esto da la ecuación 3 - (2/x) + (l/x2) - (5/x3) y=2 + (4/x)-(8/x2) - (l/x3)" Ahora, si a Ixl minador, después del primero, se encuentra cerca de cero. En consecuencia, el valor de la fracción está cerca de 312 . Además, el valor se puede acercar tanto como se quiera a 312 asignando a Ixl 312 es una asíntota. A continuación se supondrá que el grado del numerador es menor que el grado del denominador, como en 3X2 - 5x2 + 6 (3/x) - (5/x) + (6/x3) y=2x3 + 7x2 + 5= 2 + (7/x) + (5/x3) . Está claro que para Ixl cerca de 2. La fracción se puede hacer arbitrariamente cercana a O si Ixl cientemente grande. En consecuencia, y = O es una asíntota. Finalmente, sea el grado del numerador mayor que el del denominador, como en x3 - 3x + 1 x - (3/x) + " O/X2) y = 3x2 + 4x + 5 = 3 + (4/x) + (S/x2)" En este caso, lYl será mayor que cualquier número escogido cuando Ixl es grande. Este análisis se generaliza con el ejemplo de la ecuación
    • 182 CAPiTULO 5 CURVAS ALGEBRAICAS Axn + (términos de grado menor) y = Bxd + (términos de grado menor) , donde n es el grado del numerador y del del denominador, con d, n E Z+. Aquí hay tres posibilidades, dependiendo de los valores relativos de dy n. Si d = n, y = AIB es una asíntota horizontal. Si d> n, y = O es una asíntota horizontal. Si d < n, no hay asíntota horizontal. Ejemplo 2 Dibuje la gráfica de la ecuación (x + 3)(x - 1) Y = (x + I)(x - 2)" (5.3) Solución Las intersecciones con el eje x son -3 y 1, y la ordenada al origen es 312. Las rectas x = -1 y x = 2 son asíntotas verticales. El numerador y el denominador de la fracción son cuadráticos y el coeficiente de X2 en cada uno es la unidad. Por tanto, y = I es una asíntota horizontal. Como hay dos asíntotas verticales, la gráfica consta de tres partes separadas. Como ayuda al esbozo, se examina la ecuación dada para determinar los signos dey a la derecha e izquierda de cada asíntota vertical y a la derecha e izquierda de cada intersección con el eje x. En este examen, las notaciones (+) y (-) indican los signos de los factores del numerador y del denominador para los valores específicos de x. Cuando x < :-J, los signos son (-)( - ) , y por tanto y> O. ( - ) ( -). (+)(-)Cuando -3 < x < -1, los signos son , y por tanto y < O. (-)(-). (+)(-)Cuando -1 < x < 1, los signos son , y por tanto y> O. (+)(-). (+)(+)Cuando 1 < x < 2, los signos son , y por tanto y < O. (+)(-). (+)(+)Cuando x> 2, los signos son , y por tanto y> O. (+)(+) Las asíntotas, los signos dey en los distintos intervalos y algunos otros puntos locali­ zados además de las intersecciones, nos permiten trazar una buena gráfica (Fig. 5.5). • En esta sección se ha hecho un uso informal del concepto matemático de límite. Siem­ pre que se ha dicho "confollne x se acerca a a, entonces y =f(x) aumenta", o "conforme Ixl aumenta, y = f(x) se acerca a b", se ha usado el lenguaje vinculado al concepto del límite matemático. Aun cuando definir límites y aprender sus propiedades rebasa el pro­ pósito de este libro, el estudiante podrá examinar con profundidad el concepto de límite en un curso de cálculo.
    • EJERCICIOS Figura S.S Ejercicios I I I I I I I I y I I I I I I I I - - ------ T � - ' - - ----· I 10 I I I I I I I I I I I I I I I I 183 x Analice cada una de las siguientes ecuaciones observando las intersecciones, la simetría, la extensión de la curva y las asíntotas verticales y horizontales. Dibuje las asíntotas y haga al menos una gráfica aproximada de la ecuación dada. Use colores. Si utiliza un paquete de graficación, asegúrese de obtener la gráfica completa. l.xy - x+3=O 3. x2y + 4y - 3x=O 3x+2 5 . Y = (x - 1? x2 - 9 7. Y= 2 4x - 9 = (x - l)(x + 2) . Y x(x2 - 4) 11 = (x + l)(x - 2) . Y x(x - 3)(x+2) • x2(x - 2)(x - 4)13. Y=(4 - :X2)(25 - X2) 2. x2y - 9y + 4 =O 4. x2y - y - x=O x2 - 4 6. Y=x2+4 X2 - 1 8. Y= 2 4x - (x + l)(x - 2) 10. Y = (x+3)(x - 1) (2 - x)(3 - x) 12 . y = ( 1 - x2)(x - 4) 14 = (x + 2)(x + 4)(x + 6) . Y x(x - l)(x+3) Encuentre las ecuaciones de las asíntotas horizontales, cuando existan, de las gráficas de las siguientes ecuaciones. Use la ecuación (5.3).
    • 184 xl.l + 2 15. Y = x + 3 17. 5x4 - 5 Y = 3x4 + 7 X2.4 - x2 + 2 19. Y = x2.5 - x + 10 X3.OO1 + 3 21. Y = 3 3x - • CAPíTULO 5 CURVAS ALGEBRAICAS x 3 + x - 1 16. Y = 2X2 - X + 3 4x5 + x4 + 2 18. Y = 3x6 + x5 - 3 x + 3 20. Y = xO.9 - 3 x + 5 22. Y = xO.99 + 4 23. En un ecosistema en el cual una especie es la presa de un número fijo de predadores, el número y de presas consumidas durante un periodo dado depende de la densidad • x de la presa. Una ecuación que puede usarse para modelar esta situación es ax v = �--:- - 1 + abx' x > o. Como un predador sólo puede consumir cierto número de presas, la curva tiene una asíntota horizontal. Esboce esta curva cuando a = 6 Y b = Y2, identificando la asíntota horizontal. 5.3 AsíNTOTAS INCLINADAS Cuando una función racional posee la propiedad de que el grado n del numerador N (x) exede exactamente en una unidad el grado d del denominador D (x), por lo general la gráfica tendrá una asíntota inclinada. Esto significa que cuando n = d + 1, no habrá asíntotas horizontales, pero puede suceder que sí exista una asíntota con pendiente di­ ferente de cero. El caso más sencillo surge cuando el numerador es cuadrático y el de- .. nominador es un polinomio lineal. Ejemplo 1 Dibuje la gráfica de la ecuación 2xy - x2 + 6x - 4y - 10 = O. Solución El criterio de B2 - 4AC revela que la gráfica es una hipérbola o una cónica degenerada (Sec. 4.4). Para determinar cuál es la situación que existe, se despeja y en la ecuación. Así, se obtiene
    • 5.3 IIsíNTOTAS INCLINADAS • • I y, dividiendo, y= X2 - 6x+ 10 2x - 4 l l Y= 2 x - 2+ x - 2' 185 Para todos los valores reales de x, excepto x == 2, esta ecuación proporciona valores rea­ les para y. Por tanto, la gráfica de la ecuación, y también de la ecuación dada, sea una hipérbola, no una cónica degenerada. Está claro que x == 2 es una asíntota vertical. Con­ forme Ixl crece, l/u-2. Y la diferencia de las dos ordenadas puede hacerse arbitrariamente cercana a cero, tomando Ixl suficientemente grande. Por tanto, la recta y == l/u - 2 es una asíntota. La asíntota y sólo unos cuantos puntos localizados proporcionan una guía para dibujar la gráfica (Fig. 5.6). • FIgura 5.6 .. y t­ 'r + I I I ,(3, 0.5) --::./ I " / " /" J I // + /-1/ -v/ I // -, I y=- x-2 ",/ � I 7/ ' 2 "" I I IX=2-- -- .... (O,-2.5) - - I I I I Ejemplo 2 Dibuje la gráfica de la ecuación x 2x2y - x3 - 8xy + 8x2 - 20x+8y+ 14= O. Solución Despejandoy y realizando una división, se obtiene . 1 l Y = -x - 2+--� 2 (x - 2)2' La recta x -2 = O es una asíntota vertical y la recta y == l/u-2 es una asíntota inclinada. La fracción del lado derecho de la ecuación es positiva para todos los valores permitidos de x. En consecuencia, la gráfica está por arriba de la asíntota inclinada, como se muestra en la figura 5.7. •
    • 186 , CAPITULO 5 CURVAS ALGEBRAICAS y o Figura 5,7 I I i I I I I I I l. 1// I /1 Y=Tx-2 / I I I Ix=2 I . I Ejemplo 3 Dibuje la gráfica de la ecuación x2-3.xy- 13x+ 12y + 39 = O. Solución Despejandoy y realizando una división, se obtiene x 1 y = 3-3+ x-4' x Por tanto, la recta x - 4 = O es una asíntota vertical y la recta y = l/3x- 3 es una asíntota inclinada. El término l/ex - 4) de la derecha de la ecuación es positivo para todos los valores de x> 4 Y es negativo si x < 4. Esto significa que la gráfica de la ecuación dada se encuentra arriba de la asíntota inclinada, a la derecha de x= 4 Y debajo de la asíntota a la izquierda de x = 4 (Fig. 5.8). • .> y x x-3y= I IX= 4 I I I I I I Figura 5,8 ,
    • EJERCICIOS 187 Ejemplo 4 Analice la ecuación y construya la gráfica de x2 + 2xy + llx + 6y - 26 = O. Solución Despejandoy y realizando una división, se obtiene x 25 Y = - - - 4 + . 2 x + 3 Se observa que x = -3 es una asíntota vertical de esta ecuación y, en consecuencia, de la ecuación dada. Además, y = -(xl2)--4 es una asíntota inclinada de ambas ecuaciones. La gráfica se muestra en la figura 5.9. • • I (-13, O) Figura 5.9 • Ejercicios I I I I I I I I I x= -3 I I I I " I 'f'­ l ' I I I I I I I I I I y x Dibuje las asíntotas y haga un esbozo de la gráfica de cada uno de los ejercicios l a 1 4 (use colores). l. xy + x2 - 2 = O 3. x2 + xy + x - 1 = O 5. x2 + xy + x - y + 2 = O 7. 2x2 - 2xy + 3x + 6y + 25 = O 9. x2y - x3 - 1 = O 2. xy - X2 + 3 = O 4. X2 - xy + 2x - 1 = O 6. x2 + xy + 3x - 2y + 1 = O 8. 2x2 + 2xy - x - y - 2 = O 10. x2y - x3 + 1 = O •
    • , 88 CAPíTULO 5 CURVAS ALGEBRAICAS 11. x2y - x3 - 4xy + 12x + 4y - 14 = O 12. x2y - x3 - 4xy + llx + 4y - 16 = O . 13. x2y - x3 - x2 - X + Y - 2 = O 14. x2y - x3 - x2 - X + Y = O 5.4 ECUACIONES IRRACIONALES En esta sección se consideran las ecuaciones en las cuales y es igual a la raíz cuadrada de un polinomio en x o la raíz cuadrada del cociente de dos polinomios. El procedimiento para construir las gráficas es como el de la sección anterior. Ejemplo 1 Dibuje la gráfica de la ecuación y = Vx(x2 - 16). Solución Las intersecciones con el eje x son O, ±4. Los valores permisibles de x son aquellos para los cuales el radicando es no negativo. El radicando es positivo cuando -4 < x < O Y también si x > 4. El radicando es negativo si x < -4 Y si O < x < 4, por lo cual estos valores deben excluirse. Esta información y algunos puntos localizados son suficientes para dibujar la gráfica (Fig. 5.10). Compare con los ejercicios 1 a 1I de la sección 5.1. x -3 -2 -1 y (aprox.) 4.6 4.9 3.9 y o Figura 5.10 Ejemplo 2 Dibuje la gráfica de la ecuación X2 - 9 Y2 - --..-----,- x2 - 16' 4.5 5 4.4 6.7 • x
    • 5.4 ECUACIONES IRRACIONALES 189 Solución La gráfica es simétrica con respecto a ambos ejes. Por tanto, se puede dibu­ jar la parte en el primer cuadrante y finalizar con facilidad la construcción, mediante el uso de simetría. La intersección con el eje x positiva es 3 y la intersección con el eje y positiva es 3/4. La recta x = 4 es una asíntota vertical y la recta y = 1 es una asíntota horizontal. Se observa quey 2 es positiva cuando O � x < 3 Y cuandox > 4; sin embargoy es negativa cuandox tiene un valor entre 3 y 4, por lo cual deben excluirse estos valores. A partir del análisis de la ecuación dada se esboza la gráfica (Fig. 5. l 1). Se puede obte­ ner una mejor precisión localizando los puntos en la tabla adjunta. x y (aprox.) FIgura 5.11 1 2 4.2 5 6 0.7 0.6 2.3 1.3 1.2 y I I I I I ___L_____ _____L___ o ___L_____ _____L___ I I I I I I Gráfica de una ecuación en forma factorizada 7 1.1 x Algunas veces, las ecuaciones aparecen con un miembro igual a cero y el otro miembro expresado como el producto de factores en términos dex y y. Cuando una ecuación está en esta forma, su gráfica se puede obtener con mayor facilidad haciendo primero que cada uno de los factores sea igual a cero. Si las coordenadas de un punto igualan a cero uno de los factores, igualarán a cero el producto y por tanto satisfarán la ecuación dada. Por otro lado, las coordenadas de un plinto que no igualan a cero ningún factor, no satisfacen la ecuación. En consecuencia, la gráfica de la ecuación dada consta de las gráficas de la ecuación formadas al igualar a cero cada uno de los factores del miembro distinto de cero. Ejemplo 3 La gráfica de la ecuación (3x -y - 1)(y2_ 9x) = O consta de la recta 3x -y­ l = O y de la parábolay- 9x = O. • •
    • 190 CAPíTULO 5 CURVAS ALGEBRAICAS Ejemplo 4 Analice la gráfica de la ecuación (x2 + I)(x - 3)(4x2 + 9y2 - 36) = O. Solución Al igualar a cero cada factor, se tienen las ecuaciones x2 + 1 = 0, x - 3 = 0, 4x2 + 9y2 - 36 = O. La primera ecuación no tiene cero real y, en consecuencia, no tiene gráfica. La gráfica de la segunda ecuación es la recta paralela al eje y y 3 unidades a la derecha del origen. La gráfica de la tercera ecuación es una elipse con centro en el origen y semiejes 3 y 2. • Intersecciones de gráficas • Si las gráficas de dos ecuaciones en dos variables tienen un punto en común, entonces, a partir de la definición de gráfica, las coordenadas del punto satisfacen cada ecuación por separado. Por ello, el punto de intersección proporciona un par de números reales que es una solución simultánea de las ecuaciones. Recíprocamente, si las dos ecuaciones po­ seen solución simultánea real, entonces sus gráficas tienen en común el punto correspon­ diente. Así, es posible obtener gráficamente soluciones simultáneas reales de dos ecuaciones en dos variables, leyendo las coordenadas de sus puntos de intersección. De­ bido a las imperfecciones en el proceso, los resultados encontrados de esta manera sue­ len ser sólo aproximados. Si las gráficas no tienen punto de intersección, no hay solución real. En casos sencillos, las soluciones, tanto reales como imaginarias, se pueden encon­ trar mediante procesos algebraicos. Ejemplo 5 Encuentre los puntos de intersección de las gráficas de y y = 2 - x. y • o x y=2-x Figura 5.1 2
    • EJERCICIOS 191 Solución Las gráficas (Fig. 5.12) se intersecan en un punto cuyas coordenadas son (1, 1). Al eliminar y entre las ecuaciones se obtiene x3+ x - 2 = O o (x - 1)(x2+ X+ 2) = O. Por tanto las raíces de esta ecuación son -1+� -1-� x = 1, x = -- --- , 2 x = 2 • Los valores correspondientes de y se obtienen de la ecuación lineal. Las soluciones, rea­ les e imaginarias, son -1+� 5-� -I-� 5+� (1, 1), 2 , 2 El método gráfico da sólo la solución real. • , 2 , Ejemplo 6 Encuentre los puntos de intersección de las gráficas de X2 + 4y = O y x + y = O. 2 Solución Las gráficas (Fig. 5.13) se intersecan en los puntos (O, O) y (4, -4). • y x+y=O x (4, -4) x2+4y=O Figura 5.13 Ejercicios Esboce la gráfica de cada ecuación que aparece en los ejercicios1 a 10. 1. Y = v'9 - x2 x 3. Y = X2 - 25 2 _ 6 5 . Y - x+ 3 2. Y = v'x(x2 - 25) 3x x2+ 1 4 . Y = 6 6 Y2- ---=--­ . - x2+ 9
    • 192 X2 -4 7 Y 2 - -,.--,­. - x2 -9 9 2 _ x(x - 1) . Y - 2 9x - CAPíTULO 5 CURVAS ALGEBRAICAS X2 -9 8 Y2 - ---;;--�. - x2 - 25 2 _ x(x+3) 10. Y - (x2 - 16) En los ejercicios 11 a 18 describa la gráfica de cada ecuación. 1 1. (x2+y2)(x+1) = O 13. xy(x+y+2)=O 15. x3y2+xy4=4xy2 17. (xy+3)(x3 -xy2)= O 12. (x2+y2+ 1)(3x+2y)= O 14. 2X3+3xy2=6x 16.. 4x2y -y2=O 18. (x3 - 1)(x3 + 1) = O En los ejercicios 19 a 24, construya la gráfica de cada par de ecuaciones. Encuentre o• calcule las coordenadas de los posibles puntos de intersección. Si es posible, verifique obteniendo algebraicamente las soluciones. 19. Y=x3 20. y=x3 -4x 21. x2 + y2 = 16 y=x+ 1 y=x+4 y2=6x 22. X2+y2= 13 23. x2 -4y = O 24 . X2 + y2 = 25 2x - 3y = O x -y=O y2 _ x2= 1 , 25. Un fabricante de calculadoras manuales desea hacery (medido en miles) calculado­ ras cada semana si el precio del producto es de x dólares, siempre que y = (1/100)X3. Una compañía de mercadotecnia encuentra que el público comprará1000 y de ellos a x dólares cada uno si y = IDO/x. Encuentre el precio de equilibrio en el mercado y la cantidad que debería producirse cada semana para mantener el equilibrio. Esboce ambas gráficas sobre los mismos ejes coordenados. (Véase el Ejer. 14 después de la Seco 2.3.) EJERCICIOS DE REPASO l. Analice la gráfica de la siguiente ecuación obser­ vando las intersecciones, la simetría, la extensión de la curva, las asíntotas y esboce la gráfica X2 - 4 Y = 2 9'x -
    • EJERCICIOS DE REPASO 2. Dibuje la gráfica de la ecuación (x - 3)(x + 1) Y = (x - 1)(x + 2)' 3. Esboce la gráfica de la ecuación y = Yx(x2 - 25). 4. Esboce la gráfica de la ecuación 2 _ 4 Y - x + 2' 5. Dibuje las asíntotas y esboce la gráfica de la . , ecuaClOn 2xy + X2 - 6x + 4y + 14 = O. Términos Clave polinomio, pág. 175 función racional, pág. 179 asíntota vertical, pág. 179 l. Esboce la gráfica de y = (x + 2)' (x - 1)'2 (x -2) y use el dibujo para resolver la desigualdad 2. Esboce la grática, mostrando todas las asíntotas y las intersecciones de X2 - I a) y = X2 - 4 X2 - 1 b) Y = x - 2 6. Describa la gráfica de la ecuación (xy - 3) (x - 3y + 2) (X2 + y2 - 9) = O. 7. Construya las gráficas del par de ecuaciones X2 +y2 = 25 y x - y = 1. 193 Y calcule las coordenadas de los posibles puntos de intersección. Verifique obteniendo algebraica­ mente la solución. 8. Esboce una gráfica de y = (x + 2)1 (x _1)4 (x-3). 9. Resuelva la desigualdad (x + 2)3 (x _1)4 (x-3) > O. asíntota horizontal, pág. 182 asíntota inclinada, pág. 184 d) Y = Yx(x2 - 1) 3. Encuentre los puntos de intersección de las gráfi­ cas de 2X2 + 3y2 = 8 Y X2_ y2 = -1 4. Haga un esbozo de la gráfica de y = {x} si x E R y {x} significa la distancia más corta al entero más próximo, según la x considerada.
    • Capítulo Funciones trascendentes En los capítulos anteriores se estudiaron funciones algebraicas y sus gráficas. En este capítulo se considerará una clase de funciones que no son algebraicas; se les llama fun­ ciones trascendentes y entre ellas se encuentran las conocidas funciones trigonométricas. Representan una clase de funciones que tiene amplia aplicación en la tecnología y en las ciencias sociales y naturales. El estudiante deberá revisar la definición de función antes de leer este capítulo. Aquí se mencionan los signos de las funciones trigonométricas, cuando e está en cualquiera de los cuadrantes y P(x, y) es un punto del lado terminal del ángulo correspondiente. La tabla 6.1 muestra el signo en cada cuadrante. Tabla 6.1 Cuadrante Función 1 11 III IV sen + + - - , , , cos + , +-' . - , . • tan + - + - cot + - + - sec + - - + csc + + - - 6.1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS , En los primeros capítulos de este libro los ángulos se midieron en grados, pues quizá dicha unidad sea la más conocida para la mayoría de los estudiantes. En este capítulo la unidad de medición se restringirá a radianes para presentar las funciones trigonométricas en la forma en que se usan en el cálculo y en las ciencias aplicadas. El estudiante debe conocer ambas unidades de medida.
    • 196 CAPíTULO 6 FUNCIONES TRASCENDENTES La relación entre grados y radianes se puede determinar con facilidad. Toda circun­ ferencia de un círculo subtiende un ángulo central de 2nunidades si se trabaja con radianes, o de 360 unidades si se trabaja con grados. Por consiguiente, se tiene que 2nradianes = 3600 Y nradianes = 1800• La segunda ecuación se usa para expresar un radián en términos de grados y un grado en términos de radianes. Así, 1800 1 radián = 7t y 10 7t 180 radianes. Los términos "ángulo" y "medida de un ángulo" se pueden usar indistintamente. Por ejem­ plo, si e representa un ángulo de medida n13, se escribe e = nl3 cuando realmente es la medida del ángulo que es n13. Recuerde que un ángulo e está en posición usual si su lado se encuentra a lo largo del eje horizontal y si está medido en sentido contrario al del giro de las manecillas del reloj para los valores positivos de e o en el sentido en que giran las manecillas del reloj para valores negativos de e, hasta su lado terminal. Considere el círculo u2 + v2 = I Y el ángulo e (medido en radianes) como se muestra en la figura 6.1. Se sabe que la longitud del arco del círculo del punto (1, O) a (u, v) es de e unidades si e se mide en radianes, y que el área del sector en forma de rebanada de pastel es el2. También se sabe que u = cos e y v = sen e y v/u = tan e. Esto determina las conocidas funciones trigonométricas seno y coseno como funciones cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales e y cuya imagen es el conjunto de todos los números reales z con -1 < z < l. Para trazar la gráfica de y = sen x se puede hacer una tabla (tabla 6.2) calculando valores conocidos, mediante una calculadora, o usando una tabla de funciones trigonométricas naturales (tabla II del apéndice). La gráfica se esboza en la figura 6.2. Como hay 2nradianes en una revolución completa, vemos que sen (e + 27T) = sen e para cualquier e. Una función con dicha propiedad se conoce como función periódica. v (1. O) o u Figura 6.1
    • 6. J FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Tabla 6.2 Valores correspondientes de x y sen x. x 7Tj6 Y = senx 0.5 x 77T/6 Y = senx -0.5 y 1 7r 2 -1 FIgura 6.2 7T/3 7T/2 0.87 l 47T/3 37T/2 -0.87 -1 y = sen x ,.--4� " " "- 6 3 2 27T/3 0.87 57T/3 -0.87 . )" 2 197 57T/6 7T 0.5 O 117T/6 27T -0.5 O x La [unción seno es periódica con periodo 27<, como lo es también la [unción coseno. El periodo de la función tangente es 7<. Cuando se localizan los valores de la tabla, se tiene un periodo de la curva seno (Fig. 6.2). Se pueden duplicar periodos adicionales a la derecha y a la izquierda. Las gráficas de y = cos x y y = tan x se pueden obtener si se procede de la misma manera que como con la. [unción seno. En la figura 6.3 se esboza una parte de y = cos x, mientras que en la figura 6.4 se grafican tres periodos de y = tan x. La gráfica de y = a sen x se obtiene de la curva seno, multiplicando cada ordenada • por a, si a es positivo, esto produce la gráfica de la figura 6.5. Esta es la transformación geométrica llamada expansión, cuando a> 1, o contracción, cuando O < a < l.
    • 198 Figura 6.3 Figura 6.4 Figura 6.5 7T 1r 1r 2 3 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1_ 311" 1 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , -1 y a 7T 2 -a I y o 1r 6 1r 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 _!! 1 2 1 y 4 3 2 1 -2 1 -1 1T 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , -1 -2 -3 -4 y=asenx a>O CAPíTULO 6 FUNCIONES TRASCENDENTES y=cosx 1T 1 1 1 1 1 y = tan x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11r 131r 12 1 2 1 1 x 1 1 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , x Si a < 0, la gráfica dey = a sen x, dada en la figura 6.6, en la reflexión de la gráfica en la figura 6.5 a través de eje x
    • 6. J FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS FIgura 6.6 1T 2 y laI -Ial 1T 2 y = asenx a<O 31T 2 199 x 7T Se dice que la amplitud de y = a sen x es lal. Así mismo, la gráfica de y = sen bx, con b > O, se obtiene de la curva seno alterando su periodo a 2n/b, pues, conforme x va de O a 2n/b, bx va de O a 2n, y sen bx recorre un periodo completo, como se observa en la figura 6.7. Las gráficas de las ecuaciones y = a sen bx y y = sen (bx + e), cuando se colocan en los mismos ejes coordenados, son iguales, excepto por la posición. Esto es cierto pues los dos valores de y son iguales si x se reemplaza con x - (c/b) en la segunda ecuación. Por tanto, un desplazamiento de c/b unidades a lo largo del eje x hará coincidir la gráfica de la• segunda ecuación con la gráfica de la primera ecuación. El desplazamiento es a la dere- cha o a la izquierda, dependiendo de si b y e tienen signos iguales o desiguales. 1 • 1T-- 2 b -1 FIgura 6.7 y 1T 2b y = sen bx 1T b x Se observa entonces que y = a sen ( bx + e ) tiene amplitud lal, periodo 2n/b y desfase e/b. Exactamente el mismo razonamiento se aplica a la curvay = a cos (bx + e). Ejemplo 1 Construya la gráfica de la ecuación y = sen 3x. Solución La función definida por esta ecuación tiene una amplitud de 1 y un periodo de 2n!3. En consecuencia, sen 3x y sen x tienen la misma amplitud, pero el periodo de sen
    • 200 CAPíTULO 6 FUNCIONES TRASCENDENTES 3x es un tercio el periodo de sen x. Estos hechos se muestran en las gráficas de y = sen x y y = sen 3x (Fig. 6.8). • y y =sen x 1 o ,--+--f----1f---t--+----:'--- x 11 6 -1 FIgura 6.8 11 2 y=sen3x 51T 7T' 6 Ejemplo 2 Dibuje la gráfica dey = 2 cos Ihx. 311 2 217" Solución La amplitud es 2. El periodo, 2n dividido entre Ih, es 4n. La gráfica construi­ da a partir de la tabla de valores adjunta (Tabla 6.3) se exhibe en la figura 6.9. Cada Tabla 6.3 Valores dey = 2 cos +x X Ix2 2 cos �x- y 2 t--........ I o -1 -2 Figura 6.9 O O 2 11"- 2 11"- 4 1.4 1 y=2cos IX 11" 11" - 2 O 311" 511" 711" 211" 311" 411" 2 2 2 311" 511" 311" 711" 211"11" 4 4 2 4 -1.4 -2 -1.4 O 1.4 2 .• x y =cos �x
    • 6. I FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 201 valor de y es el doble del valor correspondiente de y en la gráfica de y = cos 2x, la cual se incluye a manera de comparación. • Ejemplo 3 Construya la gráfica de y = -2 sen 7rX. Solución La amplitud es 1-21 = 2, mientras que el periodo es 2n/n = 2. La gráfica se muestra en la figura 6.10. • y f -1- f f 1- 4-2 o x - v __ v v y=-2sen1Tx Figura 6.10 Ejemplo 4 Dibuje, en los mismos ejes coordenados, las gráficas de las ecuaciones y = 1.5 sen 2x y y = 1.5 sen (2x + �7T) Solución Las gráficas de las dos ecuaciones son iguales, excepto por la posición (Fig. 6.11). Las curvas coincidirían si la gráfica de la segunda ecuación se moviera 1/6n unida­ des a la derecha. • Figura 6.1 1 • 1T 1T 3 /1; / / ./ / / -1.5 y o 1T 6 y= l.5sen (2x + ;) = 1.5sen 2x / / / I !!: 1T 3 2 ,� 21T /51T 3 / 6 / / / / / x
    • 202 CAPiTULO 6 FUNCIONES TRASCENDENTES Ejemplo 5 Construya las gráficas de las dos ecuaciones y = cos 3x y 2rr y = cos 3x + 3 . Solución En la figura 6.12 las gráficas están dibujadas hasta dos periodos. Se hace no­ tar que los puntos de intersección están en x = 2n/9, 5n/9, 8n/9 Y lln/9. Las gráficas co­ incidirían si la gráfica de la segunda ecuación se moviera 2n/9 unidades a la derecha. • 1 o -1 Figura 6.12 y / " / / " / / / / / 1T 3 y=cos3x 217 3 / " / • • / / / / / 1T - / " / • 5" 3 x Las funciones trigonométricas se han usado para describir muchos fenómenos natu­ rales. El hecho de que una función seno generalizada sea periódica con cualquier perio­ do prescrito es de inmenso valor para describir ondas de sonido, corriente eléctrica, ondas de radio y las oscilaciones de un péndulo. Es posible que otras funciones periódicas no se puedan expresar como una función seno generalizada, pero pueden expresarse, según se verá más adelante, como una suma de funciones seno y coseno generalizadas. Ejemplo 6 Un sonido puede ser generado por un instrumento musical, un diapasón, un órgano eléctrico, el zumbido de un motor, o un transformador eléctrico. Si el sonido tie­ ne el tono del do medio, entonces causa una vibración en la presión de aire sobre el oído con una frecuencia de alrededor de 260 Hz (un hertz es una frecuencia de un ciclo por segundo). Suponga que la potencia de la onda de sonido es de 3.6 x 1010 watts por centí­ metro cuadrado, es decir, que la onda ejerce toda esta presión sobre el oído en su punto más fuerte. Determine la ecuación de la onda de"sonido. Solución La amplitud de la curva seno generalizada es de 3.6 x 1010, mientras que el periodo es 1/260. Entonces, su ecuación es y = 3.6 X 1010 sen 520 7T't. Esto representa la presión del aire a los t segundos de iniciarse el sonido. •
    • EJERCICIOS Ejercicios Encuentre el periodo y la amplitud de las siguientes funciones. l. Y = sen 4x 4. y= -2 cos 6x 7. y= -cos 2Trx 2. 5. y= 3 sen �x 1 Y -:- 2 cos TrX 3. 1 y= -sen -x2 6. y= 1 -- COS TrX 3 • 8. ¿Cuál de las siguientes gráficas es un esbozo de la gráfica de y = 2 sen (-3x)? a) y b) y c) 3 2 1 o 1T x - 2 -1 -2 -3 y 2 1 -...",.f--t---f--t---+xo -1 -2 1T 21T 1f 3 3 · 3 2 1 o --- - .- -1 -2 -3 d) y 2 o -1 -2 1T 2 1T 21T 3 3 x x 9. ¿Cuál de las siguientes gráficas es un esbozo de la gráfica de y = 2 cos (x - re)? a) y b) y 3 ] 2 2 1 I +-...... x 21T 2.". - 1 -1 -2 -2 -3 -3 203 X
    • 204 CAPíTULO 6 FUNCIONES TRASCENDENTES c) 2 1 o -1 -2 -3 • y d) 271' 3 2 1 o -1 -2 -3 y Construya un periodo de la gráfica de cada ecuación. 10. Y = sen 4x 1 1. Y = 3 sen �x 13. y= -2 cos 6x 14. Y = -cos 21TX 16. y= 2 sen 1TX cos 1TX 12. Y = 1 -sen-x2 x 15. Y = -2 sen81TX Esboce un periodo de la gráfica de cada par de ecuaciones sobre los coordenados. • • mIsmos ejes 17. Y = cosx, 19. y= cos x, 2 1. Y = cos x, 23. Y = 2 cos x, 25. Y = tanx, y = 2 cosx y = -cosx Y = 2 cos 2x y = 2 cos 1T 2x- - 6 y = 2 tan 2x 18. Y = -senx, 20. y=sen x, 22. y = sen x, 24. Y = 2 sen x, y= -2 sen x I y= sen 2x 1T y=sen x-- 2 y=-2 sen 2x 26. Para cada una de las siguientes funciones indique si es una función par o impar, o ninguna de las dos opciones ( véase la Seco 1.5). f(x)=-cosx f(x) = senx f(x) = senx + cosx f(x) = 2 senx f(x) = senx tanx f(x) =x + senx 27. Durante una prueba de alerta de emergencia, una estación de radio trasmitió una señal con una frecuencia de 60 Hz. Si la intensidad del sonido ( medida en decibeles) es de 90 dB, grafique la ecuación que representa la intensidad del sonido a t segun­ dos de haber comenzado. 28. Un avión a reacción produce, al aterrizar, un sonido con la ecuación y = ISO sen 1000n!, medido en decibeles, mientras que t está medido en segundos. ¿Cuál es la frecuencia del sonido? ¿Cuál es la amplitud?
    • 6.2 LA FUNCION EXPONENCIAL 205 29. ¿Puede obtenerse la función y = cos ax a partir de y = cos x mediante alguna de las siguientes transformaciones geométricas: expansión o contracción, desplazamiento horizontal o vertical, o refleción a través del eje x? ¿Por qué? 30. ¿Se puede obtenery = cos x a partir de y = sen x mediante una de las transformacio­ nes geométricas? , 6.2 LA FUNCION EXPONENCIAL La función exponencial, que se presenta en esta sección, es muy importante en el estudio de diversos fenómenos físicos, biológicos, químicos, etcétera. Se verá que para a > 1, conforme x crece a través de los valores positivos, y crece muy rápidamente, y conforme x se toma más lejos del origen en la dirección negativa, y se acerca a cero. Ejemplo 1 Esboce las gráficas de las funciones definidas por las ecuaciones y = 2' y Y = 3'. Use los mismos ejes coordenados. Solución Se usan valores enteros de x para formar la tabla de los valores correspon­ dientes de x y los valores de la función: x -2 -1 O 1 2 2x I I 1 2 4- - 4 2 ]X I I 1 3 99 3 Las gráficas se construyen en la figura 6.13. • ASÍ, las curvas tienen el eje x negativo como asíntota. Si se graficara y = 10' Y curvas exponenciales con otras bases, se concluiría que, conforme se escoja una base mayor, la curva se vuelve más empinada para x > O. Una base importante es e = 2.71828. . . , y la gráfica de y = e' está entre las de y = 2x y y = Yen la figura 6.13.
    • 206 CAPíTULO 6 FUNCIONES TRÁSCENDENTES y - - - - - - Figura 6.13 -3 -2 - 1 o La curva exponencial generalizada y = cabX, a > O, x I 2 puede obtenerse multiplicando cada ordenada de y = (ab), = abx por c. • Ejemplo 2 Dibuje la gráfica de la función definida por y = 2-x o, en forma equivalente, de y = (112)'. Solución Se forma la tabla para ayudar a dibujar la gráfica en la figura 6.14. • x -2 y 4 y 4 3 2 Figura 6.14 -3 -2 -1 o -1 o 2 1I I 2 1 1 2 3 2 1 4 x
    • 6.2 LA FUNClON EXPONENCIAL Ejemplo 3 Esboce la gráfica dey =1(x) = (lh)e2X 207 Solución Se usa una calculadora manual, o la tabla III del apéndice, para calcular algu-• nos valores de la función. Se encuentra que1(-1) = (113)e-2 = 0.05,1(0)= 0.33, mientras que 1(1) = (113 )e2 = 2.5 Y 1(2) = ( 113 )e4 = 18.2. En la figura 6.15 se da un esbozo de la gráfica. Note que en la figura 6.15 las escalas se han trazado desiguales para facilitar la presentación de la función. • y 18 16 14 12 10 8 6 4 2 Figura 6.15 x -1 o 1 2 Ejemplo 4 El númeroy de bacterias, medido en millones, en un cultivo 1 horas después de la introducción inicial, está dado por y =f(t) = 20et/3. . ¿Cuántas bacterias están presentes al principio? ¿Cuántas después de una hora? ¿Cuán­ tas luego de dos horas? Grafique la función y =1(/) para O <1 <4. Solución El número de bacterias al principio es y =1(0) = 20eo = 20 millones. Se en- cuentra además f(1) = 20el/3 = 20(1.396) = 27.9, f(2) = 20(1.95) = 39, f(3) = 20(e) = 54.4, f(4) = 20(3.79) = 75.9. De este modo había 20 millones de bacterias al principio, 27.9 millones después de una hora y 39 millones después de dos horas. La población se duplicaría en un poco más de dos horas. La función se grafica en la figura 6.16. •
    • 208 CAPíTULO 6 FUNCIONES TRASCENDENTES y 80 (4,75.9) 70 60 50 40 y = 20e,/3 30 20 10 FIgura 6.16 o 1 2 3 4 Las funciones hiperbólicas se definen sobre la hipérbola X 2 - y = l de manera aná­ loga a como se definieron las funciones trigonométricas circulares, las cuales se definie­ ron en la sección 6.1 utilizando el círculo unitario X 2 + y 2 = l. En la figura 6.17 se puede observar que sobre el círculo unitario, tanto el arco BP como el ángulo e y el área del sector OABP tienen cada uno la misma medida e. En estas condiciones, x = cos y = sene. Análogamente, y considerando la hipérbola X 2 - y 2 = l de la figura 6.18, si e es la medida del área OAVP, como se indica entonces x = cosh e y y = senh e son las funciones coseno hipérbolico y seno hiperbólico, res­ pectivamente. Es posible demostrar que para cualquier número real, se pueden utilizar las siguientes expresiones, de uso más común: e(] + e-o cosh () = 2 ' e(] - e-(] senh () = 2 . y y _____-t-----�p(x y) B o x x o FIgura 6,17 FIgura 6.18
    • EJERCICIOS Ejemplo 5 Grafique y = cosh x. 209 Solución Se observa que la gráfica es simétrica con respecto al eje y, que (O, 1) es el punto más bajo sobre la gráfica y que conforme x aumenta en la dirección positiva, lo mismo ocurre con y. La curva aparece graficada en la figura 6.19. • y (0, 1) x Figura 6.19 o Ejercicios En cada uno de los ejercicios siguientes, esboce la gráfica de la función definida por la ecuación usando calculadoras cuando sea necesario. l. Y = eX 3. Y = 4x 4. Y = -ex 5. y = -e-X 6. y = 2ex 7. y = 5e2x 8. y = e x2 - 1 9. y = 2-x2 10. Grafique y = senh x. ¿Es ésta una función par o impar? ¿Es el cosh x una función par o impar? • 11. Deduzca las siguientes identidades: coshx + senh x = eX, cosh2 x + senh2 x = l . 12. Defina las restantes funciones hiperbólicas: tanh, cosh, y así sucesivamente, de ma­ nera análoga a como se hizo con las funciones circulares, en términos de cosh y senh. Grafique y = tanh x. 13. En estadística, una variable aleatoria normal tiene una función de distribución dada por donde (J y f.1 son constantes. Grafique la función de distribución de una variable aleatoria normal para la que /1 = O Y (J =l. 14. Cuando se invierten P dólares a una tasa de interés anual del r por ciento compuesto continuamente durante t años, la cantidad A presente después de t años está dada por
    • 210 CAPíTULO 6 FUNCIONES TRASCENDENTES A = Pert!l00 Si se invierten $1000 a un 10 % de interés compuesto continuamente ¿cuánto habrá en la cuenta después de dos años?; ¿cuánto habrá después de cuatro años? Grafique la curva para O < t < 4. 15. El epidemiólogo del departamento de salud encontró que el número y de nuevos casos de catarro, medido en cientos, estaba relacionado con el tiempo t, en sema­ nas, después de la aparición de la enfermedad, mediante y = f(t) t2, t + 2, IOO.5e-t, si O <: t <: 2, si 2 < t <: 3 , si 3 < t. Grafique la función y = f (t). ¿Cuántos nHevos casos hubo en la quinta semana? ¿Cuántos en la séptima semana? 6.3 LOGARITMOS En 1614 John Napier publicó un folleto en el cual presentaba los logaritmos. La ampli­ tud de la posible aplicación de los logaritmos a problemas de cálculo se percibió rápida­ mente, y fue así como comenzó el desarrollo de una rama muy importante de las matemáticas. Aunque la aplicación inmediata de los logaritmos hace 300 años fue para ayudar a calcular expresiones como (3. 1742)Y1842 (91.45)85.94)2/3' hoy resulta fácil usar, para esta tarea, una calculadora manual. Sin embargo, los logaritmos mantienen su importancia en muchas áreas de las matemáticas. Tienen una utilidad teóri­ ca muy valiosa y se siguen usando para describir fenómenos naturales. Así, 10g"N = x significa que b' = N. A partir de la definición, se obtiene en seguida quc b1ug¡,N = N y que 10g"bN = N. De la definición se deduce que 10gb es una función cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales positivos. La imagen de log" es el conjunto de todos los números reales. Aunque es posible calcular logaritmos para cualquier base b, hay dos bases de parti­ cular importancia, e y 10. Cuando la.base del logaritmo es 10, se suprime el subíndice 10
    • 6.3 LOGARITMOS 211 , en loglO y se escribe simplemente log. Este es el logaritmo común. Así mismo, cuando la base es.e, a loge se le llama logaritmo natural y se usa In en lugar de log. Las ecuaciones bY = X y expresan la misma relación entre los números b, y Y x. La primera ecuación se encuen­ tra enforma exponencial y la segunda enforma logarítmica. Para ayudar a entender el significado de los logaritmos, en la tabla 6.4 se listan varias ecuaciones logarítmicas y la correspondiente ecuación exponencial, una junto a la otra. Tabla 6.4 Forma logarítmica log216 = 4 log 100 = 2 In e = 1 Forma exponencial 24 = 16 l()2 = 100 e l = e Ejemplo 1 Encuentre la x si log6 x = -3. Solución Se usa la forma equivalente y se obtiene x = 6-3 = 1/63 = 11216. • Ejemplo 2 Encuentre a si loga49 = 213. Solución La fOllna exponencial es a2/3 = 49. Por ende, al tomar la potencia 2/3 en ambos lados se obtiene a = 343. • Ejemplo 3 Encuentre el :valor de logs (1125). Solución Tomey = logs (1125). Cambiando a la forma exponencial se obtiene 5Y = ...!.. = 5-2 25 y y = -2 . • NOTA HISTÓRICA John Napier (1550-1617) trabajó durante veinte años diseñando una tabla de logaritmos, a la cual veía como una herramienta que simplificaba tediosos cálculos donde participa­ ban números muy grandes así como productos y cocientes que contenían valores trigonométricos. Su creación fue sumamente apreciada y tuvo una gran acogida entre los matemáticos y los astrónomos, en especial J. Kepler. Por más de tres siglos una tabla de logaritmos fue la mejor "calculadora de mano" que se podía encontrar.
    • 212 CAPíTULO 6 FUNCIONES TRASCENDENTES Las funcionesj(x) = In x y g(x) = e' son inversas de acuerdo con la definición l.l9. Ahora, sij(x) = In x y g(x) = e', se tiene f(g(x» =f(eX) = In eX = x y g(f(x» = g(ln x) = e1n x = x. así, In x y e' son funciones inversas. De la misma manera, log x y 10x son funciones in­ versas, como también lo son logbx y fr, para cualquier base positiva b. Ahora, e' = Y si, y sólo si, In y = x, de modo que el punto (x, y) está sobre la gráfica de e' si, y sólo si, el punto (y, x) se encuentra sobre la gráfica de la función logaritmo natural. Como los pun­ tos (x, y) y (y, x) equidistan de la rectay = x, se puede obtener una de la otra mediante reflexión en esa recta. Así, las curvas In x y e' son reflexiones mutuas en la rectay = x, como lo muestra la figura 6.20. y y=e X )' = In x x Figura 6.20 De igual manera, se ve que cualesquiera dos funciones inversas son siempre reflexio­ nes mutuas a través de la líneay = x. Ejemplo 4 Dibuje, sobre los mismos ejes coordenados, las gráficas de las funciones y = log x y y = In x. Solución Se usa una calculadora para �eterminar algunos puntos en cada curva. x 1/10 l/e 1 e e2 10 e3 log x - 1 -0.43 O 0.43 0.868 1 1.30 In x -2.30 - 1 O Las gráficas se esbozan en la figura 6.21. • 1 2 2.30 3
    • 6.3 LOGARITMOS 5 o Figura 6.21 y --- - e 5 y= lnx ------- ____..J_�� 10 15 20 25 Ejemplo 5 Esboce las gráficas de las funciones definidas por las ecuaciones y =2" y y = logzX· 213 x Solución Estas funciones son inversas entre sí, de modo que se dibujará la gráfica de y = 2" Y después se obtendrá la gráfica de y = logzX por la propiedad de simetría. Así, se forma y prepara la siguiente tabla de valores dex y los correspondientes valores de 2". x -2 1 4 -1 1 2 o 1 1 2 3 2 4 8 Estos valores tabulados de x y 2" permiten dibujar la gráfica de y = 2x, como se muestra en la figura 6.22. La gráfica dey = logzX se obtiene mediante simetría. • Figura 6.22 • (-1, t) (-2. !) / / / / / / / y (3.8) (l. O) ti. - 1) � (t·-2) (8.3) • x
    • 214 CAPíTULO 6 FUNCIONES TRASCENDENTES Recuerde que la función seno tiene como dominio el conjunto de todos los números reales y su imagen es el conjunto de todos los números realesycon-1 <Y < 1. Sin embar­ go, para cualquier ycon -1 < Y < 1 existen muchasx que satisfacen la igualdad senx = y. Por tanto, la relación que asocia cualquier yen [-1,1] con los valores de x tales que y= sen x no es una función. Si el dominio de la función seno se limita a- n/2 < x < n/2, entonces para cualquier yen [-1, 1] existe unax única,con-n/2 <x :s; n/2, que satisface la igualdad senx = y. Estax se denota con sen-l y o con arcsen y, y con ello queda definido el inverso de la función seno,denotado por sen-l, como una función cuyo dominio es el intervalo -1 < u < 1 Y tiene por imagen el intervalo-n/2 < v < n/2. Se tiene,entonces,que sen v = u si y sólo si sen-J u = v para u en [-1,1] Y v en [-n/2,n/2]. Se puede proceder de igual manera con las otras funciones trigonométricas,restrin­ giendo su dominio de manera que cada valor en la imagen sea asignado sólo una vez para el número en el dominio restringido. Con ello se puede definir el inverso de la fun­ ción trigonométrica restringida. Ejemplo 6 Limite el dominio de la función tangente con el fin de definir y= tan-J x. Grafique, sobre el mismo eje,y= tanx, y= tan-Jx y y= x. Solución La restricción del dominio de y = tan x a -n/2 < x <n/2 asegura que cada número real ysea la tangente de uno y sólo un valor dex (véase la Fig. 6.23). Así,tan-Jx es una función cuya imagen es el conjunto de todos los números reales que yacen estric­ tamente entre -n/2 y n/2. Se puede esbozar rápidamente y= tan x para-n/2 < x <n/2 tomando como referencia la figura 6.23. Luego,para terminar de resolver el problema se puede utilizar una calculadora (en el modo de radianes) para graficar y = tan-J x, o se puede reflejar la curva tangente a través de la recta y=x. La figura 6.23 muestra las gráficas. • Figura 6.23 JJ J J J J J 1 " 1 2 y y=tan x 1 1 1 1 1 1 J J--------- : --- -0:-::'::'-�-y:;=-�-;:t��-:¡:J-=:x1 -------- 1" I 2 __ L________ J J I 1 I J I I 1 x •
    • EJERCICIOS 215 Ejemplo 7 Si el número y, en millones, de bacterias en un cultivo después de t horas de la introducción está dado por y = f(t) = 20et/3, como en el ejemplo 4 de la sección anterior, ¿cuánto tarda en duplicarse el número de bacterias?, ¿y cuánto en triplicarse? Solución Puesto que hay veinte millones de bacterias en t = 0,se busca un valor de t tal que Por tanto, y También se busca t tal que 40 =f(t) = 20é/3. t = 3 In 2 = 3(0.69 3) = 2.08. f(t) = 20et/3 = 60, et/3 = 3, t 3 = In 3, t = 3 In 3 = 3.30. ASÍ, las bacterias tardan 2 horas y 5 minutos en duplicarse y 3 horas 18 minutos en triplicarse. • • Ejercicios Escriba la forma logarítmica de cada una de las siguientes ecuaciones exponenciales. 1. 33 = 27 2. 24 = 16 3. 6-1 = 1.6 4. 81 = 8 5. 15° = 1 6. 272/3 = 9 7. 4-3/2 = � 8. 322/5 = 4 9. 53 = 125• 10. m-2 = � 11. W3 = 2 8 7 12. G5f3/2 = 125 Escriba la forma exponencial de cada una de las siguientes ecuaciones logarítmicas. 1 3. log 3 1 = O 14. log66 = 1 15. log525 = 2 16. log91 = O 17. 1IOg216 = -4 18. I IOgl64 = 2 1 19. log28 = - 3 20. 1log4 16 = -2 21. IOgl/3 27 = -3
    • 216 , CAPITULO 6 fUNCIONES TRASCENDENTES Encuentre x, a oyen cada una de las ecuaciones siguientes. 22. log3x = -3 23. log4x = ; 25. 28. 3I. logl/2x = -3 l loga16 = 2 log 64 = -�a 2 34. Y = log5 2� 26. loga4 = 2 29. l log 9 = --a 2 32. Y = Iog216 24. logl(iX = 3- -2 30. 1 lloga4 = -2 33. Y = Iog381 . V2 y = cos-I_- 2 36. 37. Y = tan-1(-1) 39. Y = 71' + tan-I 1 38. Y = tan-I 2 40. Y = -71' + tan-le-1/13)• Esboce una gráfica de la función definida por la ecuación en cada uno de los siguientes • • • eJerCICIOS. 41. Y = sen-I x, después de restringir el dominio de la función seno. 42. y= cos-I x, después de restringir el dominio de la función coseno. 43. Y = log x 2 46. y = Iog2(x + 1) 44. Y = Iog(x + 1) 47. Y = 2 In x 45. y = In(x + 1) 48. Y = In 2x 49. Se usa la escala de Richter para medir la intensidad de los temblores de tierra. Si E es la energía (en ergios) liberada por un temblor, entonces la magnitud M en la es­ cala de Richter está relacionada con E mediante log E = 1.5M + 11.4, donde las constantes 1.5 y 11.4 se determinaron empíricamente y pueden ajustarse. ¿Cuánta energía es liberada por un temblor de rango 5 en la escala de Richter? Mues­ tre que un temblor de rango 7 es como 30 veces más fuerte que uno de rango 6. 50. El número de decibeles D para medir la intensidad de un sonido se relaciona con la potenciaP del sonido mediante la ecuación D = 10 log 1016p, donde P está medida en watts por centímetro cuadrado. Encuentre el número de decibeles en un sonido en el nivel de conversación de 3.2 x 1010 watts por centíme­ tro cuadrado. ¿Cuánta potencia hay en un sonido de 30 decibeles? 6.4 SUMA DE ORDENADAS A menudo se da el caso de que es necesario enfrentarse con la graficación de una función expresada como suma de dos o más funciones. En esta sección se analiza una técnica para esbozar dicho tipo de gráfica al esbozar primero cada sumando. Siy=f(x)+ g(x), la gráfica se puede esbozar si primero se dibujan las gráficas deYI = f(x) y Y2 =g(x)sobre los mismosejes coordenados. Entonces, las ordenadas delas curvas, cuando se suman gráficamente, producen las ordenadas de la gráfica dey f(x)+g(x).
    • 6.4 SUMA DE ORDENADAS 217 Como se vio en el capítulo 4, la presencia de un término xy en una ecuación de segundo grado hace más dificil la construcción de una gráfica. En ese caso, preparar una tabla de valores para x yy se vuelve una tarea tediosa. Las transformaciones de rotación pueden complicarse debido a radicales en las fórmulas de rotación. Si es relativamente fácil despejar una variable en la ecuación, por ejemplo y, en .términos de x, y tener una suma de ordenadas, esto puede ser útil. La técnica se ilustra con algunos ejemplos. • NOTA HISTORICA Charles F. Richter (1900-1985), sismólogo norteamericano nacido en Ohio, diseñó la escala que lleva su nombre. Su primera expresión de la escala se basaba en la destruc­ ción observada: un temblor de rango 4 rompía ventanas, platos y un poco más. Se cal­ cula que cada año ocurren alrededor de 5000 temblores de rango 4. Ejemplo 1 Dibuje la gráfica de la ecuación. 2X2 - 2xy + y2 + 8x - 12y + 36 = O. Solución Para expresary como la suma de dos cantidades, la ecuación se trata como si fuera cuadrática eny. Así, se tiene y 2 + (-2x - 12)y + (2x2 + 8x + 36) = 0, al despejary, se obtiene 2x + 12 + Y(-2x - 12f - 4(2x2 + 8x + 36) y=------'-----'-----'------ -'- 2 = x + 6 ± Y4x - x2. Ahora se dibujan las gráficas de las ecuaciones YI = X + 6 y La gráfica de la primera ecuación es una recta. Elevando al cuadrado y después comple­ tando el cuadrado en los términos x, la segunda ecuación se reduce a (x - 2 )2 +y21z = 4. La gráfica es una circunferencia de radiu 2 y centro en (2, O). En la figura 6.24 están' dibujadas la recta y la circunferencia. El punto D sobre la gráfica de la ecuación original se obtuvo al sumar'las ordenadas AB y AC; esto es, AC se extiende en una longitud igual a AB, Para este propósito, la suma de ordenadas debe ser algebraica. Así, MN es negativo y el punto Q se encuentra al medir hacia abajo, desde P, de modo que PQ = MN. Locali­ zando de esta manera un número suficiente de puntos, se puede construir la gráfica que se busca. •
    • 218 y 10 8 (0,6) 4 2 O Figura 6.24 Ejemplo 2 Esboce la gráfica de I I I pi I I (2, O) I I 1M I I N CAPíTULO 6 FUNCIONES TRASCENDENTES (4, 10) • X (4, O) y = x + cos x. Solución Sea YI = X Y Y2 = COS X y esboce cada una sobre el mismo eje de coordenadas. Ahora, sume las ordenadas para valores fáciles (y¡ = 0, Y2 = O), así como para puntos "críticos" donde cos x es un máximo o un mínimo. Los puntos oscuros en la figura 6.25 indican puntos sobre la suma. y • • Figura 6.25 • Y2 =cos X x
    • 6.4 SUMA DE ORDENADAS 219 A continuación se dibuja la curva que pasa por los puntos, usando puntos adiciona­ les si así se requiere, como en la figura 6.26. • Mientras estudiaba la propagacion de las ondas de calor, J. B. 1. Fourier descubrió, alrededor de 1800, que cualquier función se puede expresar como una suma de "sufi­ cientes" funciones seno y coseno generalizadas. Este asombroso resultado es la espina dorsal teórica de muchas actividades de hoy día: la música electrónica producida, por ejemplo, por órganos de acordes, sintetizadores de voz; casi cualquier tipo de trasmisión de señales entre aparatos electrónicos como radios, televisores y computadores; y el aná­ lisis de datos presentados en forma gráfica, como los datos sismográficos usados en la búsqueda de petróleo y gas. y y=x+cosx x • rz=cosx Figura 6.26 El siguiente ejemplo muest · ra cómo pueden sumarse funciones seno y coseno generaliza­ das. Los lectores que tengan acceso a un computador pueden encontrar útil sumar gráfi­ camente tres o más de dichas funciones. Ejemplo 3 Esboce un periodo de la gráfica dey j(x)= senx + cos 2x. Solución El periodo de sen es 2n, mientras que el de cos 2x es n, de modo que el periodo dej{x) será 2n. Las curvas se esbozan en la figura 6.27. • NOTA HISTÓRICA. Jean Baptiste J. Fourier (1768-1830) era huérfano, debido a lo cual inició su educación bajo los auspicios de la iglesia, y ya adulto participó activamente en la Revolución Fran­ cesa. Más tarde, en 1789, fue uno de los científicos que acompañó a Napoleón en su des­ afortunada expedición a Egipto. Capturados por los británicos, a los científicos se les permitió retornar a Francia, donde recopilaron los descubrimientos realizados en Egipto. Años más tarde, Fourier llegó a ocupar un puesto en la Academia de Ciencias en París.
    • 220 , CAPITULO 6 FUNCIONES TRASCENDENTES y y=senx x o y=cos Ix Figura 6.27 y = senx + cos Ix Ejercicios En los ejercicios 1 a 14 esboce la gráfica de cada ecuación mediante suma de ordenadas. l. Y = 6 - x + V4 - x2 3. y2 - 2 y + 2x2 - 1 = O 5. y2 + 2xy - 3x2 + 4 = O 7. Y = x + senx 9. y = senx + sen x/2 11. y = 3 + 2 sen7TX 13. y = 2 senx + cos x/2 2. Y = 1 ± Yx 4 . Y = 2x + V5 + 6x - x2 6. y2 - 4.xy + 3x2 + 1 = O 8. y = sen x + cos x 10, y = x + In x, x>O 12. y = - 1 + In x, x>O I 1 14. Y = 2 sen7Tx + 3 cos 2 7TX 15. En psicofisica se usa el modelo Weber-Fechner para relacionar la magnitud de un estímulo con una respuesta en una amplia variedad de contextos, como escuchar en respuesta a un sonido. Siy es el nivel de respuesta al nivelx de estímulo, el modelo afirma quex y y están relacionadas por la ecuación y = a + b In x, a>O. - Hace poco, la evidencia sugirió que la ecuación a < O, modela mejor lá situación. Esboce una gráfica de cada una de las siguientes . . ecuacIOnes: y = 0.05 + 0.1 In x, y = -0.1 + 0. lxl/2. •
    • 6.5 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 221 , 6.5 ECUACIONES TRIGONOMETRICAS En esta sección se resolverán,a manera de repaso,algunas ecuaciones trigonométricas. Después se dará un conjunto de ecuaciones para resolver. Ejemplo 1 Encuentre todos los valores de een el intervalo O < e < 2n que satisfagan la • • ecuaclOn 2cos2(J - 5cos (J + 2 =' O. Solución Primero se factoriza el miembro izquierdo yseobtiene (cos e- 2) ( 2cos e-I) = O. Si se hacecada factor igual a cero,se obtienen las sencillas ecuaciones cos e- 2=O y 2cos e-I=O. La primera de estas ecuaciones no tiene solución,pues el valor del coseno nunca excede de l. La segunda produce cos e= 1/2 Ylas soluciones son (J = 1T 3 y 51T (J= 3 . Cada una de estas soluciones se puede cambiar en cualquier intervalo de 2n. Sin embar­ golas soluciones se limitan al intervalo O <e < 2n. Se pueden verificar los resultados sustituyendo en la ecuación dada. Por tanto, 1T 1T l 2cos2- - 5cos- + 2 = 2 - 3 3 2 251T 51T _ l 2cos 3 - 5cos 3 + 2 - 2 "2 2 l - 5 2 2 l - 5 2 + 2 = O, + 2 = O. Estos valores satisfacen la ecuación dada,luego el conjunto solución es 1T 51T 3' 3 • E.jemplo 2 Encuentre el conjunto solución en el intervalo O <e < 2n,de la ecuación 3 senze-4sene- 2=O. Solución No es posible encontrar factores reales d<;:l lado izquierdo,como se hizo en el ejemplo 1,asíque se recurrirá a la fórmula cuadrática. Para adaptar la fórmula al proble­ ma,sereemplaza xpor sene apor 3, bpor -4 Y epor - 2. Por tanto,setiene
    • 222 CAPíTULO 6 FUNCIONES TRASCENDENTES 4 ± Y16 - 4(3)( -2) 4 ± v'4Osen ()= 6 = 6 = 1.72 o -0.387. Se rechaza el1.72, pues el seno de un ángulo no puede exceder a la unidad en valor absoluto. De modo que se usa - 0.387 como el valor de sene. El valor negativo muestra que e se halla en el tercer o cuarto cuadrante. En la tabla II del apéndice se encuentra que si+ sene=+ 0.387, entonces e=0.397. Por tanto, se toma como resultado e=n+ 0.397=3.538 Y e=2n- 0.397 = 5.886. • Ejemplo 3 Resuelva la ecuación 1- sene=cose en el intervalo O < e < 2n. Solución Para tener una ecuación con sólo una función de e, se elevan al cuadrado ambos lados de la ecuación dada y se sustituye cos2e. De esta manera se obtiene • 1 - 2 sen() +sen2() = cos28 = 1 - sen2e, 2sen2() - 2 sen 8 = O, 2 sen 8(sen8 - 1) = O. Los factores del miembro izquierdo dan e=O, n/2, n. Estos resultados son soluciones de la ecuación obtenida al elevar al cuadrado los miembros de la ecuación original. Esta operación pudo introducir raíces extrañas. Por tanto, se prueban. Al sustituir en cada lado de la ecuación dada, se encuentra que () = O nos da1 - O = 1, 1T () = 2 nos da I - 1 = O, 8 = 1T nos da 1 - O * -1. Esto muestra que O y n/2 son raíces, pero n'DO es una raíz. Por ende, el conjunto de solución es {O, n/2}. • Ejemplo 4 Encuentre el conjunto solución en el intervalo O < e < 2n de la ecuación 2cos22e + cos2e-1=O Solución Como el ángulo en esta ecuación es 2e en lugar de e, el intervalo para 2e debe ser O < 2e < 4n. Primero se factoriza el miembro izquierdo de la ecuación dada y se obtiene (cos 2e+1)(2 cos 2-1)=O. Al igualar a e cada factor se produce cos2e=-1 y cos2e=112. Del primer factor se tiene que 28 = 1T, 31T, 57T, 77T, y 7T 37T 57T 77T 8 = 2 ' 2' 2' 2'
    • EJERCICIOS DE REPASO Del segundo factor se tiene que 1T 2e = "3' 51T 71T 3 ' 3' El conjunto solución es 111T 3 ' y 1T 51T e = 6' 6' 71T 6' II 1T 6 . 1T 51T 1T 71T ll1T 31T •- - 6' 6'2' 6' 6 ' 2 Ejercicios Encuentre el conjunto solución de cada problema en el intervalo O < () < 2 7r. 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13 . 15. 2 sen 2 e - 1 = o V2 sen 3 e - l = o 2 cos 3 6 + 1 = o 2 sen2 6 - 5 sen 6 + 2 = O l - cos 6 = sen e 4 cos22e + cos 2e - 2 1 I 2 cos - e + cos - () -2 2 2 sen e = 1 + 2 cos e 1 = O 1 = o EJERCICIOS DE REPASO • 1. Defina las funciones seno y coseno, amplitud y pe­ riodo, funciones exponenciales y logarítmicas. 2. Esboce un periodo de y -2 sen 7rX e indique el periodo y la amplitud de la función. 2 . 4. 6. 8. 10. 12. 14. 2 cos 2e - l = o V2 cos 3e + l = o 2 sen36 + l = o 8 cos26 - 4 cos 6 - 2 = O 2 sen22 e + sen 2e - l = O 2I I 2 sen - e + sen - e - l = O2 2 2 I I 2 sen 2 e + 5 sen 2 6 + 2 = O 6. Esboce la gráfica de y =2'-'. 7. Esboce, en los mismos ejes coordenados, y= log2x y y = logJx 223 3. Esboce, sobre los mismos ejes coordenados, las gráficas de 8. Esboce y = x + l/x mediante suma de ordenadas. y= 10' Y Y= log x. 4. Encuentre x si log 5 x=-3. 5. Encuentre a si log 64 = 2!J.a 9. Encuentre el número de soluciones de a) x - sen x = O, b) xJ -2x-2cos x=0.
    • 224 Términos clave función con periodo p, pág. 196 función exponencial, pág. 205 l . Enuncie las definiciones de periodo de una función, función exponencial, logaritmo, inverso de una función trigonométrica. 2. Encuentre el periodo y la amplitud de a) y = -..fi COS (lrX - 1) b) y = sen x + cos x 3. Las funciones del ejercicio 2 ¿son pares o impares? CAPíTULO 6 FUNCIONES TRASCENDENTES función trigonométrica hiperbólica, seno y coseno, pág 208 logaritmo, pág. 210 4. ¿Se puede obtener y = 2 sen x a partir de y = cos x mediante una transformación geométrica? Si la res­ puesta' es afirmativa, muestre cómo lograrlo. Si la respuesta es negativa, señale por qué no. 5. Grafique y = In x y y = e' y analice por qué son • • • Slmetncas respecto a y = x. 6. Grafique y = 2x - cos x mediante la suma de ordenadas al origen.
    • - Capítulo • • Coordenadas lares Hay varios tipos de sistemas coordenados. El sistema rectangular, con el cual se ha tra­ bajado, es quizás el más importante. En este sistema se localiza un punto mediante sus distancias a dos rectas perpendiculares. En este capítulo se presentará un sistema coordenado en el cual las coordenadas de un punto en un plano son su distancia a un punto fijo y su dirección a partir de una recta fija. Las coordenadas dadas de este modo se llaman coordenadas polares. La selección adecuada de un sistema de coordenadas depende de la naturaleza del problema que se tenga. Para algunos problemas puede ser satisfactorio cualquiera de los sistemas, el rectangular o el polar; sin embargo, suele su­ ceder que uno de los dos es preferible, y en algunas situaciones es conveniente usar ambos, cambiando de uno a otro. 7.1 SISTEMA DE COORDENADAS POLARES , El marco de referencia en el sistema de coordenadas polares es una semirrecta trazada a partir de algún punto en el plano. En la figura 7.1 una semirrecta se representa con OA. El punto O se llama origen o polo y OA eje polar. r"a posición de cualquier punto P en el plano queda bien determinada por la distancia OP y el ángulo AOP. El segmento OP, denotado con r, se conoce como radio vector; el ángulo AOP, denotado mediante 8, se llama ángulo vectorial. Las coordenadas de P se escriben, entonces, como P(r, 8) o sim­ plemente (r, 8). Se acostumbra considerar a las coordenadas polares como cantidades con signo. El ángulo vectorial, como en trigonometría, se define como positivo o negativo, según se mida en el sentido contrario al que giran las manecillas del reloj o en el sentido en que , NOTA HISTORICA Isaac Newton (1642-1727) nació de parto prematuro y durante su niñez no fue parti­ cularmente sano. Su temprano interés por la química pronto fue superado por su fasci­ nación por la matemática. Siendo el primero que utilizó las coordenadas polares, Newton postuló el teorema del binomio y, usando prismas, las propiedades refractivas de la luz, Sus logros más espectaculares fueron .el descubrimiento de la ley de gravitación y la invención del cálculo.
    • 226 , CAPITULO 7 COORDENADAS POLARES giran éstas, a partir del eje polar. La coordenada r se define como positiva si se mide desde el polo a lo largo del lado terminal de e, y negativa si se mide a lo largo del lado terminal extendido al otro lado del polo. P(r, (J) Figura 7.1 o A • Un par de coordenadas polares dado localiza perfectamente un punto. Por ejemplo, las coordenadas (3, n/6 ) determinan un punto particular. Para localizar el punto, se tra­ za primero el lado terminal de un ángulo de n/6 radianes medido en sentido contrario al del giro de las manecillas del reloj desde OA (Fig. 7.2), Y después se marcan tres unida­ des a lo largo del lado terminal. Aunque este par de coordenadas define un punto parti­ cular, hay otros valores coordenados que definen este mismo punto. Esto es evidente, pues al ángulo vectorial puede sumarse o restarse repetidas veces 2n sin alterar el pun­ to representado. También se pueden obtener coordenadas adicionales del punto, usando un valor negativo para la distancia coordenada. Si se restringe el ángulo vectorial a va­ lores entre - 2n y 2n, se observa (Figs. 7.2 a 7.5) que los siguientes pares de coordena­ das definen el mismo punto: Figura 7.2 o Figura 7.3 3 _ 1 171' , 6 3 -3 771', 6 . 571' -3, - 6 . A A
    • 7. J SISTEMA DE COORDENADAS POLARES Figura 7.4 Figura 7.5 Lado terminal 7 ." 6 o Lado terminal 51T-- 6 A continuación se escriben las fÓIInulas generales (r, (J) = (-r, (J + 1T) = (-r, (J - 7T) P(-3. 7 n A A = (r, (J + 27Tn), n = Cualquier integral. Estas fórmulas proporcionan diferentes maneras de representar un solo punto. Ejemplo 1 Si se usa r = 4, e = nl3 y n = 1 en las fórmulas, se obtiene 1T 7T 7T 7T 4, 3" -4 - + 7T - -4 -- 7T - 4, 3" + 27T- - , 3 ' 3 • 41T 27T 77T1T -4 -4 4,4, 3" - - - - - - , 3 , 3 3 • , Las figuras 7.6 a 7.9 ilustran cuatro maneras de representar un solo punto. • y y 227 (7.1) P(-4. 4n -4 x x o FIgura 7.6 FIgura 7.7
    • 228 CAPíTULO 7 COORDENADAS POLARES y o x 2"-- J Figura 7.8 Figura 7.9 • y o Ejemplo 2 Sean ahora r= -4, 8= -n13 y n = 1 en las fórmulas (7.1). De aquí se obtiene 1T'-4 -- , 3 1T'-4 - - , 3 1T' 4 -- + 1T'' 3 21T' 4, -- 3 - 4, - 4, 41T' 3 1T'- - - 3 1T' -4, - - 51T' 3 • 1T'-4 - - + 21T'' 3 • , • x Se sugiere al estudiante que pondere cuidadosamente las fórmulas (7.1) Y los dos ejemplos. Dibuje figuras y verifique mentalmente las distintas maneras de representar el mismo punto. (1SO') 5JT 6 (180') n 7" (210') 6 Figura 7.10 (120') 2" J (240') 4n J (90') � (60") 2f (300') � (30') ¡¡" (330')6 A
    • EJERCICIOS 229 Un punto decoordenadas dadas sepuedelocalizar calculando de un vistazo el án­ gulo vectorial y el radio vector. Sin embargo,la precisión sepuedemejorar considera­ blcmenteusando papel en coordenadas polares. Estepapel tienecircunfcrencias igualmente espaciadas con sus centros en el origen y rectas radiales igualmenteespaciadas quepa­ san por el origen (Fig. 7.10). Un punto de coordenadas dadas puede localizarse esco­ giendo las coordenadas ey radecuadas. En la tigura selocalizan varios puntos. El papel en coordenadas polares quesuele conseguirse hoy día todavía mideángulos en grados en lugar deradianes. Una vez más,el estudiantedeberá ser capaz detraducir deun sistema a otro siemprequeseutilicepapel en coordenadas polares comercial. Ejercicios Exprese en radianes cada uno delos siguientes ángulos. l. 15°,30°,45°,90° 3. 2 10°,225°,240°,255° 5. Usando coordenadas polares identifiquecada punto (r, 8)sobrela figura 7.11,con­ siderando que r > O Y O < e < 21!. • e Figura 7.11 6. Resuelva el ejercicio 5,tomando ahora r � O Y - 1! < e < 1!. A 7. Resuelva el ejercicio 5tomando - "12 < e < "12y sin que haya ninguna restriccíÓI1 sobre r. Localicelos puntos dados en un sistema coordenado polar.
    • 230 8. P( -1, 7T) 11. 14. 17. p(-3, - �7T) P(3, -�7T) P(3, -;;7T) 9. P(3, �7T) 12. Pt4, ;7T) 15. p(-3, �7T) 18. P(2, �7T) CAPíTULO 7 COORDENADAS POLARES 10. P(2, �7T) 13. P(2, -;7T) 16. P(4, �7T) 19. P(5, -�7T) En cada uno de los ejercicios 20 a 27 escriba otros tres pares de coordenadas polares para el punto. Restrinja los ángulos vectoriales de modo que no excedan de 2n en valor absoluto. 7T20. P 3, '3 23. 7TP 4, T2 26. P(-4, 7T) 7T 21. P 6, - 6 24. p(-1, �7T) 27. P(4, -;7T) 22. P(2, 7T) 25. p(-3, � 7T) 7.2 RELACIONES ENTRE COORDENADAS POLARES Y RECTANGULARES Como ya se mencionó, suele ser conveniente, al resolver un problema, desplazarse de un sistema coordenado a otro. Para ello se deducirán fórmulas de transformación que ex­ presen coordenadas polares en términos de coordenadas rectangulares y viceversa. En la figura 7.12 se colocan los dos sistemas, de modo que los orígenes coincidan y el eje polar esté a lo largo del eje positivo x. Entonces, un punto P tiene las coordenadas (x, y) y (/; 8). A partir del triángulo OMP se tiene y por tanto, Figura 7.12 x cos e = - y r sen e=Y r ' x = r cos e, y= r sen e. y IJ o x M p (x, y) (r, IJ) y (7.2) (7.3) x •
    • 7.2 RELACIONES ENTRE COORDENADAS POLARES Y RECTANGULARES Para obtener r y e en términos de x y y se deduce de la figura 7.12 que y tan {}=Y. x 231 Por desgracia, estas ecuaciones no determinan de manera única a r y a e. Se debe, por tanto, imponer condiciones sobre r y e para realizar el paso de coordenad. res a polares. En particular, se puede elegir que r sea no negativa. Esto lleva a que r = Yx2 +y2. (7.4) Si se toma tan e = y/x, se obtiene x * o. (7.5) Como la imagen de tan-I es -n/2 < e < n/2, entonces el valor de e que se obtiene de la ecuación 7.5, junto con la ecuación 7.4, no representará ningún punto a la izquierda del eje y. Por ejemplo, si x = -1, y = 1, se tendría r = .JLy e = tan-I(-J) = -n/4, lo cual representa un punto en el cuarto cuadrante. Existen varias formas para salir de este em­ brollo. Una consiste en permitir que r tome valores negativos, manteniendo la validez de la ecuación 7.5. Otra es retener la ecuación 7.4 y en lugar de la ecuación 7.5 utilizar si x > O {}= si x < O (7.6) La mayoría de las calculadoras con capacidad de gratificación transforman las coor­ denadas rectangulares en polares. Mantienen r > O Y utilizan la fórmula {}= ;+tan-¡Y x si (x, y) está en los cuadrantes 1, IV si (x, y) está en el cuadrantes II si (x, y) está en el cuadrantes III (7.7) Finalmente, tanto a r como a e se pueden mantener como positivos si se usa la ecuación 7.4 y se toma si (x, y) está en el cuadrante 1 {}= si (x, y) está en Jos cuadrantes II o III (7.8) si (x, y) está en el cuadrante IV. Naturalmente, en todas estas expresiones resulta que si x = O entonces tan-Iy/x está indefinido. Así que se toma r = lYl y e = n/2 si y> O, Y si y < O, se toma e = -n/2 o e = 3n/2.
    • 232 CAPíTULO 7 COORDENADAS POLARES Ejemplo 1 Encuentre las coordenadas rectangulares del punto definido por las coorde­ . nadas polares (6, 2m3). Solución Si se usan las ecuaciones (7.2) y (7.3), se tiene (Fig. 7. J 3) 21T X = r cos (} = 6 cos = -3 3 ' 21T • ¡;:;y = r sen (} = 6 sen 3 = 3 v3. Las coordenadas que se buscan son (-3, 3 -J3). • y y Agura 7.13 x O x Ejemplo 2 Exprese las coordenadas rectangulares (-2, -2) en términos de coordena­ das polares. Solución Las ecuaciones (7.4) y (7.6) dan r = Vx2 + y2 = 212 y, como x < O, 8 = 1T + tan-¡ I 51T 4' Por consiguiente, el par de coordenadas (2.J1 , 5ni4) es una representación polar del punto dado. • Ejemplo 3 Encuentre la ecuación coordenada polar correspondiente a 2x -3y = 5. ,solución Sustituyendo x yy se tiene o 2(r cos 8) - 3(r sen e) = 5 r(2 cos (} - 3 sen e) = 5. • Ej-emplo 4 Transfonne la ecuación r = 4sen f) a coordenadas rectangulares. Solución Como r = ..jX2 + y2 Y sen e = y/r = y ..JX2 +y 2 se sustituye en la ecuación dada y se obtiene
    • 7.2 RELACIONES ENTRE COORDENADAS POLARES Y RECTANGULARES o X2 + y2 = 4y. 233 La ecuación que se busca, así como la ecuación original, representa una circun­ ferencia. • Ejemplo 5 Transforme la ecuación coordenada polar 1 r = --�__�--� cos (J + 3 sen (J a la ecuación coordenada rectangular correspondiente. Solución Se multiplican ambos miembros de la ecuación por cos e +3 sen e y se obtiene r(cos (J + 3 sen (J) = 1 o r cos (J + 3rsen (J = l. De las ecuaciones 7.2 y 7.3 se obtiene la ecuacion lineal x + 3y = l. La ecuación final indica que la gráfica de la ecuación dada es una recta. • Recuerde que un número complejo es un número de la forma a + bi, donde a y b son números reales e P = -1 . El punto (a, b) en el plano se puede asociar con el número complejo a + bi, Y así obtener una correspondencia uno a uno entre el conjunto de los puntos en el plano y el conjunto de todos los números complejos. En este caso el eje x se llama "eje real" y el eje y se llama "eje imaginario". Al escribir las coordenadas de los puntos en su forma polar se lleva a cabo una aplicación interesante de las ecuaciones 7.2 y 7.3, ya que el número complejo x + iy se puede escribir en forma polar como x + iy = r (cos e + i sen fJ) donde r > O Y O < e < 211:. Ejemplo 6 Escriba I + i, I - i Y -1 - i en forma polar Solución Note que en cada caso r = .JL., y que fas ángulos vectoriales son 11:/4, 711:/4, Y 511:/4, respectivamente. Con ello se obtiene l+i=Y2 1-i=Y2 1T . 1T cos "4 + 1 sen 4 ' 71T . 71T cos 4 + I sen 4 '
    • 234 y -1 - i = v'2 57T COS 4 + , CAPITULO 7 COORDENADAS POLARES . 57T 1 sen 4 • • El siguiente teorema, conocido como teorema de De Moivre, muestra la facilidad con que se pueden multiplicar números complejos expresados en su forma polar. Teorema 7.1 (Teorema de De Molvrel Si Z = r (cas e+ i sen e) y OJ = 7r (cos ifi + 1 sen ifi) son números complejos y si n es , . . un numero entero POSItiVO, entonces ZOJ = rp (cos (e+ ifi) + i sen (e+ ifi», y zn = r" (cos (ne +. ¡sen (ne» (7.9) (7.10) Demostración La demostración de la ecuación (7.9) es una aplicación sencilla de la ma­ nera como se multiplican los números complejos (véase el Apéndice) y de las fórmulas trigonométricas para sen (A + E) Y cos (A + E). Se deja como ejercicio demostrarlo. Para demostrar la validez de la ecuación (7.10) se usa la ecuación (7.9), con z = (¡) y se obtiene y, en general, Z2 = r2(cos(1J + IJ) + isen(1J + IJ», = r2(cos 21J + i sen 21J). Entonces z3 = Z .z2 = r3(cos 31J + i sen 31J), z" = z . z"-1 = rr"-I(cos(1J + (n - I)IJ) + isen(1J + (n - 1)1J» = r"(cos nlJ + i sen nlJ). El teorema de De Moivre se puede utilizar para calcular las enésimas raíces de un número complejo r ( cos e + i sen e ). Están dadas por l/ (] + 2k7T . (] + 2k7T r n cos + 1 sen n n , (7.11) donde r Jln es la enésima raíz positiva del número positivo r y donde k toma Jos valores 0, 1, 2, oO., n-l. Resulta fácil ver que estos n números son distintos.Usando el teorema de De Moivre y el hecho de que tanto el seno como el coseno tienen periodo 2n, se encuentra que NOTA HISTÓRICA Siendo un hombrejoven, el francés Abrabam de Moivre (1667-1754) se mudó a Inglate­ rra, donde llegó a conocer a Isaac Newton y a Edmund Halley (quien diera su nombre al famoso cometa). De Moivre hizo varias contribuciones importantes a la entonces joven teoría de la probabilidad y a la ciencia actuarial, la matemática de la industria de seguros.
    • EJERCICIOS 8 + 2k7r . 8 + 2k7r rlln COS - + I sen --- n n = r(cos(8 + 2k7r) + isen(8 + 2k7r» = r(cos 8 + i sen 8 ). Ejemplo 7 Calcule (1 + i)8 Solución 1r 1r 8 COS 4 + i sen¡ , C. 81r . 81r = (v2)8 COS 4 + 1 sen 4 = 24(cos 21r + i sen 21r) = 16. • 235 n Ejemplo 8 Encuentre las tres raíces cúbicas de 27i, y muestre sus gráficas, en forma polar, en el plano complejo. Solución Se puede observar que 27i = 27 (cos n/2+ i sen rt/2), de manera que, usando la ecuación 7.11 con r = 27, e= n/2, y n = 3, se obtiene 1r '2 + 2k1r 3 1r '2 + 2k1r 3 271/3 cos + isen , donde k = 0, 1, 2. Sustituyendo estos valores para k se encuentra que las raíces son 3 1r . 1r COS '6 + 1 sen '6 ' 5 1r . 5 1r 3 COS 6 + I sen 6 ' 3 1r . 3 1r Y 3 cos 2 + 1 sen 2 . Las tres raíces cúbicas de 27i están igualmente espaciadas sobre una circunferencia de radio 3 con centro en el origen (véase la Fig. 7.14). • • Imaginario Real o Figura 7.14 Ejercicios 1. En la transformación de coordenadas rectangulares a polares, si se usan: a ) Las ecuaciones (7.4) y ( 7.6), entonces r > ° y < e::; ___ o
    • 236 CAPíTULO 7 COORDENADAS POLARES b) Las ecuaciones (7.4) Y (7.7), entonces r > O Y ___ < e < ___ o c) Las ecuaciones (7.4) Y (7.8), entonces r > O Y < e < ___ o 2. Usando la ecuación (7.5) y tomando una r negativa, convierta (-1, 1) Y (-1, -1) de coordenadas rectangulares a polares. Dé una fórmula que reemplace a la ecuación (7.4) si desea mantener la validez de la ecuación (7.5). 3. Muestre que los puntos que se encuentran sobre el eje x tienen las mismas coorde­ nadas en el sistema de coordenadas polares y en el de coordenadas rectangulares. 4. Deduzca la ecuación (7.9) que aparece en el teorema de De Moivre. Encuentre las coordenadas rectangulares de los siguientes puntos dados en coordena­ das polares. 5. (0, 1T) 8. 11. 4 51T , 6 6. 9. 12. -3 31T , 2 3Y2 _ 31T , 4 4 31T , 4 7. 1T -2 -­ , 3 10. (6, 1T) 13. 5 51T , 4 Encuentre coordenadas polares no negativas de los siguientes puntos expresados en coordenadas rectangulares. 14. (O, 4) 15. (4 , O) 16. (O, O) l7. (-2, O) 18. (O, -5) 19. (v2, v2) 20. (2v3, -2) 21. (-4v3,4) 22. (-v2, -v2) 23. (-4,-4) 24. (v3, -1) 25. (v2, -1) 26. (-4, 3) 27. (5,12) 28. (-5,-12) Transforme las siguientes ecuaciones en las ecuaciones correspondientes en coordena­ das polares. 29. x = -3 32. 3x - y = O 35. X2 + y2 = 9 38. x2 - 2y2 = 4 30. Y = 4 33. y2 = 9x 36. x2 - y2 = a2 39. X2 + y2 = '2x 31. 2x + y = 3 34. x2 = 4y 37. x2 - 9y = O 40. x2 + y2 = 2y Transforme las siguientes ecuaciones en las correspondientes ecuaciones coordenadas rec­ tangulares. 41. r = 3 44. reos e = 4 47. r = 8 sen e 42. e = 1T 4 45. r sen e = 4 48. r2sen 2e = a2 43. 46. r = 6 cos e 49. r2cos 2e = a2
    • 7.3 GRAFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 2 50. r = -'-1 -- c - --= 6 3 51. 2 r== - - -- 2 + cos 6 4 237 52. r == 1 3 - 2 cos 6 1 53. r = -,------.,-----.,.----:: 3 sen 6 + 4 cos 6 54. r = ------ sen 6 - 2 cos 6 55. r== -- ---- cos 8 + 3 sen 6 2 56 r = -----:c----::. l + 2 sen 6 Escriba los siguientes números complejos en forma polar: 57. 4i 58. 4 60. Y2 + Y2i 61. 5 + 12i Encuentre las potencias indicadas: 63. (4i)9 65. (Y2 + Y2i)5 59. -2 + 2i 62. - 2 + i 64. (-2 + 2i)4 66. (-2 + i)6 Encuentre las potencias indicadas y grafique en el plano complejo: 67. Las raíces cúbicas de 8i 69. Las raíces cuartas de i • 68. Las raíces cuartas de ..)2 + ..)2 i 70. Las raíces quintas de l 7.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES En esta sección se considerará el problema de localizar las gráficas de ecuaciones r = f(e) expresadas en coordenadas polares. Se supone queles alguna función cuyo dominio incluye los números reales de O a 21C. La definición de una gráfica en coordenadas pola­ res es muy parecida a la definición de una gráfica en coordenadas rectangulares.
    • 238 o r O r CAPíTULO 7 COORD ENADAS POLARES Las gráficas de las ecuaciones que se determinan con más facilidad son aquellas en las cuales cada coordenada es igual a una constante. Por ejemplo, la gráfica de e = n/8 es la recta que pasa por el origen y forma un ángulo de n/8 con el eje polar. Si se usa n/8 como la coordenada e de todos los puntos de la recta, las correspondientes coorde­ nadas r serán positivas sobre el lado terminal de n/8 y negativas sobre la extensión del lado terminal al otro lado del origen. Esto lo ilustran los puntos (4, n/8) y (-4, n/8). De manera análoga, la gráfica de r = a, donde a es cualquier número real distinto de cero, es una circunferencia con centro en el origen y radio lal. Ejemplo 1 Construya la gráfica de r = 3 + sen e. Solución Se asignan ciertos valores a e, de 0° a 2n, y se prepara una tabla de valores correspondientes de e y r (véase la Tabla 7.1). Los valores fraccionarios de r se redon-. . dean hasta un decimal. Localizando estos puntos y dibujando una curva que pase por ellos, se obtiene la gráfica de la figura 7.15. • Tabla 7.1 O 1T/6 3 3.5 71T/6 51T/4 2.5 2.3 Figura 7.15 1T/4 3.7 41T/3 2. I 'Tr/3 3.9 31T/2 2 " 2 J" 2 1T/2 4 51T/3 2. I 21T/3 3.9 71T/4 2.3 " J 5" J 51T/6 3.5 111T/6 " ..". 6 I 1" (, 2.5 1T 3 21T 3 A •
    • 7.3 GRAFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 239 () r Ejemplo 2 Dibuje la gráfica de r = 4cos e. Solución Primero se prepara una tabla de valores correspondientes de r y e. O 1T/6 1T/4 1T/3 51T/12 1T/2 21T/3 31T/4 51T/6 4 3. 5 2. 2.0 1.0 O -2.0 -2.8 -3. 1T -4 Esta tabla da lugar a la gráfica que aparece en la figura 7.16. La tabla no se extenderá para incluir los valores de e en el intervalo que va de n a 2n, ya que los valores de e en este intervalo sólo repetirían la gráfica ya obtenida. sobre la gráfica, pero este punto también está definido por las coordenadas (3.5, n/6). La gráfica semeja ser una circunferencia. ecuación a coordenadas rectangulares. ¡¡ Figura 7.16 7" (, 2" ) (x - 2)2 + y2 = 4. • " 2 )" 2 5" ) Ejemplo 3 Dibuje la gráfica de la ecuación 1 r = ---- 1 + sen ()' " 6 I 1" 6 A Solución La tabla de los valores correspondientes de r y e nos permite dibujar la curva en la figura 7.17.
    • 240 CAPíTULO 7 COORDENADAS POLARES () o r 1 Figura 7.17 EjercIcios 1T/2 1T 71T/6 0.50 1 2 n I--I--+--+-+-- 7" 6 4" 3 n 2 51T/4 3.41 71T/4 3.41 ll1T/6 "- 6 � I 1" 6 2 • A Dibuje las gráficas de las siguientes ecuaciones. En las ecuaciones que incluyan sen e y cos e será suficiente localizar puntos en intervalos de n/6. 1. r= 4 2. r= -4 4. ()= _ 21T 3 5. ()=o 7. r= 2 + sen () 8. r= 4 + sen () 10. r= 4 - sen () 11. r= 4 - cos () 13. r= -3 cos () 14. r= 2 sen () 1 1 16. r= 2 + sen () 17. r= 2 - sen () 3 3 19. r= 20. r= 3 + cos () 3 - cos () 4 -2 22. r= 23. r= 3 + 2 sen (J 3 + 2 cos (J 3 () = 21T . 3 6. r= 2 - cos () 9. r= 4 + cos () 12. r= 3 cos () 15. r= -2 sen () 18. r= 2 2 - sen () 4 21. r= 2 + sen () -3 24. r= 4 - 3 sen (J
    • 7.4 AYUDAS PARA GRAFICAR ECUACIONES 7.4 AYUDAS PARA GRAFICAR ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES .. - . � , - = 241 Un examen cuidadoso de una ecuación en coordenadas polares con frecuencia revelará atajos para la construcción de su gráfica. Es mejor, para economizar tiempo, extraer toda la información útil de una ecuaci6n y mantener en un mínimo la localización de punto por punto, para esbozar una gráfica. Se analizarán e ilustrarán algunos recursos sencillos que faciliten el trazado de curvas polares. Variación de r con 8 .. . " -- 'O Muchas ecuaciones son suficientemente sencillas para que sea evidente la manera en que r varía conforme 8 crece. gráfica. al observar la ecuación e incrementar e a través de todos los valores necesarios. Se pue­ de hacer un esbozo aproximado con unos cuantos trazos. Se ilustrará con Un ejemplo. Ejemplo 1 Esboce la grafica de la ecuación r =- 3(1+sen 8). Solución Si 8 comienza enO y se incrementa en pasos de ft/2 hasta 2.1t, es fácil ver cómo varía r en cada intervalo (vease la Tabla 7.2). Esta variación Se representa en el diagrama. La gráfica (Fig. 7.18) es una clirVa con aspecto de corazól1.lIamada cardioide. • Tabla 7.2 Conforme 8 crece de Oan/2 n/2an na 3n/ 2 3n/ 2a 2n Sen 8 varía de Oa l 1 aO Oa-l �l aO r varía de Ja6 3aO 6a3 O a3
    • 242 , rr Figura 7.18 5" 6 �. 7" 6 2rr ] .././ 4" 3 3{ I " 2 CAPíTULO 7 COORDENADAS POLARES ¡¡; 3 )" , ., " ...._ 6 I 1" 6 ¡f Rectas tangentes en el origen Simetría Si r se encoge hasta cero conforme e se aproxima y toma un valor fijo �J' entonces la recta e = B¡¡ es tangente a la curva en el origen. Intuitivamente, esta afirmación parece correcta: puede probarse. En la ecuación del ejemplo 1, r = 3( I + sen e), el valor de r disminuye hasta cero conforme e crece hasta 3n/2. Por tanto, la curva es tangente a la recta vertical en el origen (Fig. 7.18). Para encontrar las tangentes a una curva en el origen, sea r = O en la ecuación y despeje e para encontrar sus valores correspondientes. En la sección 3.2 se analizó la simetría de las curvas y se formularon criterios aplicables en un sistema de coordenadas rectangulares. Los siguientes criterios para simetría en un sistema de coordenadas polares se pueden deducir observando la figura 7.19. l. La gráfica es simétrica con respecto al polo si la ecuación no se altera cuando al r se reemplaza con - 1; o b) e se reemplaza con n+B.
    • 7.4 AYUDAS PARA GRAFICAR ECUACIONES 243 2. La gráfica es simétrica con respecto al eje polar si la ecuación no se altera cuando a ) 8 se reemplaza con -8, o b) 8 se reemplaza con n-8 y r se reemplaza con - r. 3. La gráfica es simétrica con respecto a la recta vertical 8 = n/2 si la ecuación no se altera cuando a) 8 se reemplaza con n- 8, o b) 8 se reemplaza con - 8 Y r con - r. FIgura 7.19 (-r.-8) (r, 7/'- 8) (-r, 8) (r, 7/'+ e) (r, 8) (r, -e) (-r, 7/'- e) A Estos criterios serán útiles. Cada simetría particular ocurre si se cumple alguna de las partes (a) o (h) del criterio. Si ninguna de las partes (a) y (h) se satisfacen, entonces la curva no tiene la simetría en cuestión. Cuando una gráfica tiene cualesquiera dos de los tres tipos de simetría, necesariamente tiene el tercer tipo de simetría. Esta afirmación deberá verificarse examinando la figura 7.19. Las siguientes identidades trigonométricas pueden ser útiles para usar los criterios de simetría de gráficas. sen (- O) = -senO, sen (17' - 8) = sen8, sen (17' + O) = -sen8, cos(-8) = cos O, cos(17' - 8) = -cos 8, cos(17' + 8) = -cos 8. Las siguientes identidades se necesitarán más adelante en este capítulo:, , sen20 + cos20 = 1, sen 28 = 2 sen O cos O, cos 28 = cos20 -sen 28.
    • 244 CAPíTULO 7 COORD ENADAS POLARES Valores excluidos Con frecuencia se encontrarán ecuaciones en las cuales se han excluido ciertos valores de las variables. Por ejemplo, ¡2 = a 2 sen 8 coloca restricciones tanto en r como en 8. Los valores de r pueden estar entre -a y a, y 8 no puede tomar un valor que haga a sen 8 negativo, ya que r sería imaginario. En particular, están excluidos los ángulos entre re y 2re. Sin embargo, la gráfica se extiende en el tercer y cuarto cuadrantes para otros valo­ res de 8, pues la ecuación satisface la prueba de simetría con respecto al origen. Intersecciones • Los puntos en los cuales la curva toca o corta las rectas horizontal y vertical que pasan por el polo se llaman puntos de intersección; algunas veces son útiles para dibujar la gráfica de una ecuación polar. Los puntos de intersección se pueden encontrar usan­ do los valores de 0, rc/2, re, 3re/2, o ángulos coterminales, para 8, y encontrando los va­ lores correspondientes de r. De esta manera se puede encontrar, por ejemplo, que los puntos de intersección para r = 3 + sen 8 son (3, O), (4, re/2), (3, re) y (2, 3re/2). Los puntos de intersección de r = 28 son un número ilimitado. Se presentan en 8 = nre y 8 = (n + Ih)re, con n E Z. Sin embargo, se hace hincapié en que una curva puede pasar por el origen formando otros ángulos además de los que constituyen los cuadrantes. El criterio para esta situa­ ción, como ya se afirmó, es encontrar los valores de 8 cuando r = O. Tipos particulares de ecuaciones , Hay varios tipos de ecuaciones en coordenadas polares a cuyas gráficas se les han dado nombres especiales. Se considerarán algunas de estas ecuaciones. Las gráficas de ecuaciones de las formas r = a sen nO y r = a cos nO, donde n es un entero positivo mayor que 1, se llaman curvas de trébol. La gráfica de una curva de trébol está formada por lazos cerrados igualmente espaciados que parten del origen. El número de lazos, hojas o pétalos depende del entero n. Si n es impar, hay n hojas; si es par, hay 2n hojas. Ejemplo 2 Construya la gráfica de r = sen 28. Solución Se aplican primero los tres criterios para simetría, Si se reemplaza r por - r, la ecuación r = sen 28 se convierte en - r = sen 28, Esto no establece simetría con respecto al polo, pero al sustituir re + 8 por 8 da
    • 7.4 AYUDAS PARA GRAFICAR ECUACIONES r=sen 2( n+ 8 )= sen (2n+28)= sen28. Este resultado muestra que la gráfica es simétrica con respecto al polo. 245 De la misma manera, se ve que la curva es simétrica con respecto a la recta vertical 8=n /2 por la parte (b) del criterio, pues al sustituir - r y - 8 por r y 8 se tiene - r=sen2(- 8)=- sen28, r=sen28. Además, hay simetría con respecto al eje polar pues existe simetría con respecto al polo y con respecto a la recta 8=n/2. Observe que fallan los criterios (a) para simetría polar y para simetría con respecto a la recta vertical. Como se tienen las tres simetrías, sólo se necesita determinar la gráfica en el primer cuadrante y después usar las simetrías para graficar toda la curva. Para determinar cómo varía r con 8, se hace la tabla 7.3 para 8, incrementando los pasos en n/4. Además, si r = O se encuentra que 8 =O, n/2, n y 3n/2. Esto muestra que la gráfica es tangente al eje polar y a la recta vertical 8 = n/2. La gráfica completa, llamada trébol de cuatro hojas debido a su aspecto, se ve en la figura 7.20. Las flechas numeradas indican cómo se mo­ vería un punto conforme e crece de O a2n. • Tabla 7.3 o Figura 7.20 20 o ---+ 1r/2 1r/2 ---+ 1r sen 20, o r O�l l�O Ejemplo 3 Construya la gráfica de la ecuación r=cos 3e. A Solución Si se reemplaza e por - e, no se altera r; entonces la gráfica es simétrica con respecto al eje polar. La tabla 7.4 indica la manera en que cambia r en cada uno de los pasos. Esta informa­ ción permite dibujar la gráfica en la figura 7.21.
    • 246 CAPíTULO 7 COORDENADAS POLARES Tabla 7.4 8 38 cos 38. o r O� 'Tr/6 O� 'Tr/2 )� O 'Tr/6� 'Tr/3 'Tr/2� 'Tr O� -) 'Tr/3 � 'Tr/2 'Tr�3'Tr/2 -)� O 'Tr/2� h/3 3'Tr/2�2'Tr O� I 2'Tr/3� 5'Tr/6 2'Tr� 5'Tr/2 )� O 5'Tr/6� 'Tr 5'Tr/2�3'Tr O� -) A FIgura 7.21 • La gráfica de una ecuación de la forma r = b + a sen e o r = b + a cos e se llama Iima¡;on. El aspecto de la gráfica depende de los valores relativos de a y b. Si a = b la Iima¡;:on se llama cardioide por su aspecto de corazón, como se ilustra en la figura 7.18. Si el valor absoluto de b es mayor que el valor absoluto de a, la gráfica es una curva que rodea el origen (véase la Fig. 7.15). Se introduce una característica intere­ sante en la gráfica, cuando el valor absoluto de a es mayor que el valor absoluto de b. La gráfica tiene, entonces, un lazo interno, el cual se ilustra en un ejemplo. Ejemplo 4 Construya la gráfica de la limac;on r = 2 + 4 cos e. Solución La ecuación no se altera cuando e es reemplazada por -e, pues cose-e) = cos e. Por tanto, la gráfica es simétrica con respecto al eje polar. Al hacer r = O se tiene 2 + 4 cos f) = O, I cos f) = -- 2' II = 2'Tr 47Tu 3' 3'
    • 7.4 AYUDAS PARA GRAFICAR ECUACIONES 247 Por tanto, las rectas e = 2n y e = 4/3n son tangentes a la gráfica en el origen. Para obtener mayor ayuda en la construcción de la gráfica, se preparó la tabla 7.5. Tabla 7.5 () 0-> 11/2 11/2 -> 211/3 211/3 -> 11 cos () 1-> O 0->_12 -1->-12 r 6-> 2 2-> O 0->-2 La gráfica se muestra en la figura 7.22. La mitad inferior del lazo grande y la mitad superior del lazo pequeño se dibujaron mediante el uso de simetría. • Figura 7.22 9= 27t 3 9 = 47t 3 + Las gráficas de las ecuaciones polares ,2 = a2sen 28 y A son lemniscatas. La segunda se conoce como lemniscata de Bernoulli. En cada una de estas ecuaciones r varía de -a a a, y se excluyen los valores de e que hacen negativo al miembro derecho. Los valores excluidos en la primera ecuación son n/2 < e < n y 3n/2< e < 2n. En la segunda ecuación, los valores excluidos son n/4 < e < 3n/4 y 5n/4 < e < 77d4. NOTA HISTÓRICA Los descendientes de NichJlas Bernoulli (1623-1708) fueron una familia extremada­ mente talentosa, creativa y competitiva. Su hijo John (1667-1748) arrojó de su casa a su propio hijo Daniel (1700-1782) cuando éste ganó un premio de matemáticas para el cual también John estaba compitiendo. James (1654-1705), hermano de John, es considera­ do el descubridor de las coordenadas polares, lo cual realizó en 1691, en forma inde­ pendiente de Newton. Es de James de quien la lemniscata recibe su nombre.
    • 248 CAPíTULO 7 COORDENADAS POLARES Ejemplo 5 Dibuje la gráfica de la ecuación? = 9 cos 2e. Solución Se observa que la ecuación es simétrica con respecto al polo, al eje polar y a la recta vertical que pasa por el polo. Conforme e crece de O a n/4, los valores positivos de r varían de 3 a O y los negativos de - 3 a O. Por tanto, este intervalo para e da lugar a la mitad del lazo en el primer cuadrante y a la mitad del lazo en el tercer cuadrante. Cual­ quiera de estos semilazos, combinado con las simetrías conocidas, es suficiente para com­ pletar la gráfica (Fig. 7.23). La gráfica de? = 9 sen 2e (Fig. 7.24) es análoga, excepto por la posición. • 1t Figura 7.23 Ejercicios 7!t 6 ,.2 4" J n 2 J" 2 2l!. J .!Jlr. 6 A Esboce la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones. Examine primero la ecuación a fin de encontrar propiedades que sean útiles para trazar la gráfica. Cuando se presente la constante literal a, asigne un valor positivo conveniente. 1. r = 4(1+sen 8) 2. r=3(1 - sen 8) 3. r=4(1 +cos 8) 4. r = 3(1 -cos8) 5. r =cos28 6. r=sen 48 7. r = acos38 8. r = a sen 38 9. r= 2 sen 58 10. r=acos58 11. r=6 - 3 sen 8 12. r=6+3cos8 13. r=2 + 4 sen 8 14. r = 3 +6cos8 15. r = 16 sen 28
    • 7.5 ECUACIONES POLARES DE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS n 5" Ú 7" 6 Figura 7.24 16. r2 = 25 cos 2e 19. r2 = 16 cos 2e 22. I r= cos 2.e 25. r= cos 1.8e I 27. r= 1 - 2 sen () 4" 3 17. 20. 23. 26. 28. • 1C 2 3" 2 r=4 + 8 cos e r2 =sen 2e r= sen 1.5e r= cos �e I r= 1 + 2 cos () 5" 3 1C 3 18. 21. 24. A r = 4 - 8 sen e I r=sen 2 e r2 = sen () 7.5 ECUACIONES POLARES DE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS 249 Las ecuaciones de rectas y circunferencias se pueden obtener en ecuaciones polares trans­ formando las ecuaciones coordenadas rectangulares de estas curvas. Las ecuaciones po­ lares también se pueden deducir directamente. recta, y también de una circunferencia, en posiciones generales y en ciertas condiciones especiales.
    • 250 CAPíTULO 7 COORDENADAS POLARES P(r, e) r R w A o Figura 7.25 • En la figura 7.25 el segmento OR se traza perpendicularmente a la recta L. La longi­ tud de este segmento se representa conp y el ángulo que forma con el eje polar se repre­ senta con úJ. Las coordenadas de un punto variable sobre la recta son (r, e). A partir del triángulo rectángulo ORP se obtiene o p = cos(8 - w) r reos (8 - w) = p. (7.12) Esta ecuación vale para todos los puntos de la recta. Si P se escoge debajo de OA, en­ tonces el ángulo ROP es igual a (úJ + 2'Ir - e). Aunque este ángulo no es igual a (e -úJ), • • SI se tIene que cos(w + 21T - 8) = cos(w - 8) = cos(e - w). De manera similar, la ecuación podría deducirse para la recta L en cualquier otra posi­ ción, sin pasar por el origen. La ecuación (7.12) se llama forma polar normal de la ecuación de una recta. Si cos (e - úJ) se expande mediante la fórmula para el coseno de la diferencia de dos ángulos, la ecuación se vuelve r(cos e cos O) + sen e sen 0)) = P (7.13) Para úJ = O esta ecuación se vuelve rcos e =p, y la recta correspondiente es perpendicu­ lar al eje polar,p unidades a la derecha del origen (se supone quep es positivo). Si úJ =p, la ecuación (7. 13) se vuelve reos e= -p. En este caso, la recta se encuentrap unidades a la izquierda del origen. Si O) = 'Ir /2, se tiene la ecuación rsen e = p, y la recta es paralela al eje polar a p unidades arriba del eje. Si O)= 3'1r/2, la recta se hallap unidades por deba­ jo del eje. Así, para estos casos particulares se tienen las ecuaciones r cos e= ± P (7.14)
    • 75 ECUACIONES POLARES DE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS y r sen e= ± P 251 (7.15) La gráfica de r cos e = - 4 es la recta perpendicular al eje polar y 4 unidades a la izquierda del origen. La gráfica de r sen e = -5 es la recta paralela al eje polar y 5 unidades debajo del eje. La coordenada e es constante para puntos sobre una recta que pasan por el origen. Por consiguiente, la ecuación de una recta que pasa por el origen con inclinación a es e= a. (7.16) Una ecuación de la forma Ax + By = e, con c:t o y A Y B no iguales a cero, se puede usar para representar cualquier recta en el plano coordenado que no pase por el origen. Al expresarse en forma polar, la ecuación dada puede reducirse a e r = ----=---::----= A cos e + B sen e' Si se asignan valores permisibles a los coeficientes, la gráfica es una recta particular. Cualquier cambio en los coeficientes produciría otra recta. Por ejemplo, la ecuación 4 r = ::---::---,------:: 2 cos e - 4 sen e representa una recta particular. Se pueden determinar coordenadas de puntos sobre la recta, asignando valores a e y calculando los valores correspondientes para r. Por tanto, para e= o el valor de r es 2, y para e= n/2 el valor de r es -l. De este modo, los puntos (2, O) Y (- 1, n/2) se hallan sobre la recta en cuestión, y la recta se puede dibujar. A continuación se escribe la ecuación de una circunferencia de radio a y centro en R(rl, el)' Observando la figura 7.26 y aplicando la ley de los cosenos al triángulo ORP, se obtiene la ecuación de la circunferencia en la forma (7.17) Si el centro está en (a, O) entonces rl= a y el= O. Por tanto, la ecuación se reduce a r = 2a cos e. (7.18) Si el centro está en (a, n/2) la ecuación se vuelve r = 2a sen e. (7.19) Ejemplo 1 Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en (5, n13) y radio 3. Solución Al sustituir en la ecuación (7.17) se tiene que
    • 252 CAPíTULO 7 COORDENADAS POLARES Figura 7.26 o P(r, (J) .............. a R(r,. (J,) (J, • 7r lOr cos (} - - 3 = 9, A r2 - lOr cos 7r (} -- 3 + 16 = O. • Ejercicios l. A partir de una figura, encuentre la ecuación de una recta perpendicular al eje polar Ca) cuatro unidades a la derecha del polo, (b) 4 unidades a la izquierda del polo. Compare sus resultados con la fórmula (7.14). 2. A partir de una figura, encuentre la ecuación de la recta paralela al eje polar y (a) 4 unidades debajo del eje, (b) 4 unidades arriba del eje. Compare sus resultados con la fórmula (7.15). Asigne valores convenientes a e y encuentre las coordenadas de dos puntos sobre la recta representada por cada uno de los ejercicios 3 a 8. Localice los puntos y dibuje la recta.. 2 J. r = -----=---::----: cos () + 3 sen (} - 10 6. r = 2 (} 5 (} cos + sen ; 3 4. r = 2 cos (} - 2 sen (} 3 7 . r = 6 () 3 (}sen '. � cos -8 5. r = 4 (} 2cos + (} -4 8. r = 2 sen (} + 3 cos (} Escriba. la ecuación polar de cada recta descrita en los ejercicios 9 a 15. 9'. La recta horizontal que pasa por el punto (3, "12). ID:. La recta horizontal que pasa por el punto (- 3, "12). 11. La recta verticat que pasa por el punto (4, O). 12. La recta vertic.al que pasa por el punto (4, 7r).
    • 7.6 ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICAS 13. La recta vertical que pasa por el polo. 14. La recta tangente a la circunferencia r = 3 en el punto (3,"13) 15. La recta tangente a la circunferencia r = 4 en el punto (4,5"/4). 253 Indique las coordenadas polares del centro y el radio de la circunferencia definido por cada uno de los ejercicios 16 a 21. 16. r = 4 cos (J 19. r = - 2 cos (J 17. r = 6 sen (J 20. r = 9 cos (J 18. r = - 8 sen (J 21. r = - 5 sen (J En cada uno de los ejercicios 22 a 32 encuentre la ecuación polar de la circunferencia. 22. Centro en (4, O) Y radio 4. 24. Centro en (8,"13) Y radio 8. 26. Centro en (5, O) Y radio 4. 28. Centro en (5, "/4) Y radio 4. 30. Centro en (8,4"13) Y radio 7. 32. Centro en (9, 5"/4) Y radio 8. 23. Centro en (5, O) Y radio 5. 25. Centro en (- 4, O) Y radio 4. 27. Centro en (6,"13) Y radio 3. 29. Centro en (3,2"13) radio 2. 31. Centro en (7, 2"13) Y radio S. 33. Deduzca las fórmulas (7.18) y (7.19) directamente de las figuras. Puede usarse la condición de que clalquier ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángu­ lo recto. Programa Explorer PowerGrapher 7.6 ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICAS Se usa la propiedad'foco-directriz de las cónicas (Sec. 3.3) para deducir ecuaciones po­ lares de cónicas. Las ecuaciones se pueden obtener en formas simples si un foco está en el origen y la directriz es paralela o perpendicular al eje polar. En la figura 7.27 la direc­ triz D es perpendicular al eje polar y se encuentra a la izquierda del origen. La excentri­ cidad se indica con e y la longitud de BO con p. Entonces, para cualquier punto P(r, 8) de la cónica, se tiene, por definición, lopl IEPI = e.
    • 254 CAPíTULO 7 COORDENADAS POLARES Sin embargo el numerador IOPI = r y el denominador IEPI = IBRI = IBol + 10pI cos e = p + reos e. Por tanto, r/(p + r cos 8) = e, y despejando r, se obtiene ep r = -,---------''----..- 1 - ecos rJ" (7.20) Si un foco está en el polo y la directriz se halla ap unidades a la derecha del polo, la . , ecuaclOn es epr = --'--- 1 + ecos O' (7.21) D E 1-----------11 pero (}) AFigura 7.27 B p o R Si un foco está en el polo y la directriz D es paralela al eje polar y está p unidades arriba del eje, se tiene entonces (Fig. 7.28) Figura 7.28 10pI IEPI p o = e. E D P(r, (}) A R
    • 7,6 ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICAS 255 Se observa que IOPI = r y IEPI = p - IPRI = p - r sen e, Por tanto, r/(p - r sen e) = e, y despejando r, se obtiene ep r = -,----'!:....-----, 1 + e sen O' (7.22) Si un foco se halla en el polo y la directriz está p unidades debajo del eje polar, la , , ecuaCIOn es ep r = ---''---- 1 - e sen O' (7.23) Una ecuación en cualquiera de las formas (7.20) a (7.23) representa una parábola si e = 1 una elipse si e está entre O y 1 Y una hipérbola si e es mayor que 1, En cada caso, la gráfica puede esbozarse de inmediato, Una vez observado el tipo de cónica a partir del valor de e, el siguiente paso es encontrar los puntos donde las curvas cortan el eje polar, la extensión del eje que pasa por ° y de la recta que pasa por el polo y es perpendicular al eje polar. Estos puntos se lIaman puntos de intersección y pueden obtenerse usan­ do para e los valores de n/2, n y 3nl2, Para una parábola, sólo se pueden usar tres de estos valores pues uno de ellos haría cero al denominador. Los puntos de intersección son suficientes para una gráfica aproximada, Para mayor precisión, deben localizarse unos cuantos puntos adicionales. Ejemplo 1 Esboce la gráfica de la ecuación 8 r = -=-----::---: 3 + 3 cos O' Solución El numerador y el denominador de la fracción se dividen entre 3, y se tiene 8/3 r = ..,...-----'----,- 1 + cos O' Esta ecuación es de la forma (7,21) con e = l . Por tanto, la gráfica es una parábola con eje a lo largo de la extensión del eje polar, Al sustituir e sucesivamente por O, n/2 y 3n/ 2, se encuentra que los puntos de intersección son 8 1T'- - 3' 2 ' 8 31T' 3' 2 , El primero de estos puntos es el vértice de la parábola y el segundo y tercero son los extremos del lado recto, Al sustituir e = n/6 y e = 27d3 en la ecuación dada y notar que la gráfica es simétrica con respecto a sus ejes, se encuentran los puntos adicionales 16 1T'- - 9 ' 3 ' 16 21T' 3' 3 , 16 41T'- 3' 3 , 16 51T' 9' 3 ,
    • 256 CAPíTULO 7 COORDENADAS POLARES Estos puntos, junto con los puntos de intersección, permiten dibujar la gráfica (Fig. 7.29). • Figura 7.29 5n 6 7" 6 2n J 41t l Ejemplo 2 Esboce la gráfica de "- 2 lit 2 15 r = -::----::---..." 3 - 2 cos (r " ....., 6 1 1" 6 A Solución La ecuación toma la forma de la ecuación (7.20) cuando el numerador y el denominador del miembro derecho se dividen entre tres. Esto produce 5 r = ----=-,--- 2 3 cos (J1- En esta forma, se observa que e = 2/3 y, por tanto, la gráfica es una elipse. Al sustituir e sucesivamente con O, "12, 1(; y 3"12 en la ecuación original, se encuentra que los puntos de intersección son (15, O), (3, 7T), 5 37T , 2 . • Estos puntos se localizan en la figura 7.30. Los puntos (15, O) y (3, 1(;) son los vértices y los otros puntos de intersección son los extremos de un lado recto. El centro, a la mitad entre los vértices, se ubica en (6, O). Entonces, si la distancia del centro a un vértice se
    • 7.6 ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICAS 257 denota con a, la distancia del centro a un foco con e y , la distancia del centro a un extre­ mo del eje menor, con b, se tiene a = 9, e = 6, b = .Ja 2 + e 2 = 3.f5. • (5, f) 15I 13ÍS r= ·3-2cos9 I I I (6, O) I (12, O) I I 13ÍS (5, �) I FIgura 7.30 Ejemplo 3 Esboce la gráfica de la ecuación 4 r = ----- 2 + 3 sen O' I I O) A Solución Al dividir entre 2 el numerador y el denominador de la fracción, se tiene 2 r = --:-1-+---=-1-=. =- s - ---=0• Esta ecuación se encuen�ra en la forma (7.22) con e = 1.5, por lo que la gráfica es una hipérbola. Aunque la gráfica podría esbozarse a partir de las intersecciones, se localiza­ rán unos cuantos puntos adicionales mediante el uso de una tabla de valores. O O 1T/6 1T/2 51T/6 1T 3.6 31T/2 5. 8 2 8 4 8 2 5.5 -4 5.5r - - - 7 5 7 El punto (0.8, "12) es el vértice de la rama inferior de la hipérbola y el punto (- 4, 3"12) es el vértice de la rama superior. El centro de la hipérbola se ubica a la mitad entre los vértices, en el punto (2.4, "12). El denominador de la fracción dada es igual a cero cuando sen e = - 2/3. Si este ángulo se representa mediante n + eo' entonces, para todos los valores de e tales que n + eo < e < 2n- eo' los valores de r son negativos y producen los puntos sobre la rama superior. Está claro que la rama superior se pue­ de dibujar notando que la hipérbola es simétrica con respecto a su centro (2.4, "12). La gráfica se muestra en la figura 7.31. •
    • 258 Figura 7.31 Ejercicios 5/r • ),.- • 2,. 3 1r 2 3,. 2 CAPíTULO 7 COORDENADAS POLARES ,. 3 51r 3 1r 6 1 1/r 6 A .-- - -- -- _ 0 - -- Exprese cada una de las siguientes ecuaciones en alguna de las formas (7.20) a (7.23) y esboce la gráfica de la cónica. 6 1 . r = -:-1-+-s- ----:8 94 . r = 2 + 2 cos 8 15 7. r = 5 - 4 sen 8 2 10. r = 1 - 2 cos 8 4 2. r = -:-1- --c-os----:8 1 2 5. r = 2 + sen 8 16 8. r = 4 + 3 cos 8 6 1 1 . r = 3 - 4 sen 8 1 0 3. r = 3 - 3 sen 8 1 2 6. r = 2 - cos 8 4 9. r = 2 + 3 cos 8 8 12. r = 3 + 5 cos 8
    • 7.7 INTERSECCIONES DE GRÁFICAS EN COORDENADAS POLARES , 7.7 INTERSECCIONES DE GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES 259 Una solución simultánea real de dos ecuaciones en coordenadas rectangulares repre­ senta un punto de intersección de sus gráficas. Recíprocamente, las coordenadas de un punto de intersección producen una solución simultánea. Sin embargo, en coordena­ das polares no siempre vale esta afirmación recíproca. Esta diferencia en los dos sistemas es consecuencia del hecho de que un punto tenga más de un par de coordenadas polares. Como ilustración, se consideran las ecuaciones r = -2, r = l + sen e y los dos pares de coordenadas (2, "h),(-2, 3"12). La ecuación r = -2 es satisfecha con el segundo par de coordenadas, pero no por el primero. La ecuación r = l + sen e se satisface por el pri­ mer par de coordenadas, pero no por el segundo. Sin embargo, los dos pares de coordena­ das determinan el mismo punto. Aunque las dos curvas pasen por este punto, ningún par de coordenadas del punto satisface ambas ecuaciones. El proceso usual que consiste en resolver simultáneamente dos ecuaciones, no produce un punto de intersección de este tipo. Por supuesto, las gráficas de las ecuaciones muestran todas las intersecciones. Ejemplo 1 Resuelva simultáneamente y esboce las gráficas de r = 6 sen e y r = 6 cos e. Solución Igualando los miembros derechos de las ecuaciones, se obtiene Figura 7.32 6 sen 8 = 6 cos 8, tan 8 = 1, o 7T 57T 8 = 4 ' 4 ' r = 3v2, - 3v2. (6, �) r=6sen 8 r=6cos8 A (6, O)
    • 260 CAPíTULO 7 COORDENADAS POLARES Las coordenadas (3 -J'I, 1C/4) Y (-3 -J'I, 5 1C/4) definen el mismo punto. En la figura 7.32 se muestra este punto, además de las dos curvas que pasan por el origen. Las coor­ denadas (O, O) satisfacen la primera ecuación y (O, 1Ch) satisfacen la segunda ecua­ ción. Sin embargo, el origen no tiene ningún par de coordenadas que satisfagan ambas . ecuaciones. • Ejemplo 2 Resuelva simultáneamente y dibuje las gráficas de r = 4 sen 8 y r = 4 cos 28. SolUción Al eliminar r y usar la identidad trigonométrica cos 28 = 1 -2 sen28, se obtiene 4 sen(J = 4(1 - 2 sen2(J), 2 sen2(J + sen (J - 1 = 0, (2 sen(J - l)(sen(J + 1) = 0, 1 sen(J = 2 ' - 1 , 1T 51T 31T (J = 6' 6' 2' r = 2, 2, -4. Las soluciones son (2, "/6), (2, 5"/6) Y (- 4, 31Ch). La figura 7.33 muestra que las curvas también se cruzan en el origen, pero el origen no tiene ningún par de coordenadas que satisfagan ambas ecuaciones. • (-4, 3rl ...-+"'" r = 4sen 6 (2. :l A r=4cos 26 Figura 7.33 Ejemplo 3 Resuelva simultáneamente y esboce las gráficas de las ecuaciones
    • 7.7 INTERSECCIONES DE GRÁFICAS EN COORDENADAS POLARES r cos e= 2 y r = 2 + 4 cos e. 261 Solución Eliminando r entre las ecuaciones y simplificando el resultado, se obtiene 2 cos28+ cos 8-1 = O o (2 cos e - l)(cos 8+ 1) = O. Se observa, a partir de la última ecuación, que e = "13, e = 5rr13 y 8= n son soluciones. Los valores correspondientes de r son, respectivamente, r = 4, r = 4, r = - 2. Puede veri­ ficarse que las coordenadas de los puntos (4, rrl3), (4, 5"13) Y (-2, n) satisfacen ambas ecuaciones dadas. Las gráficas se muestran en la figura 7.34. • rr Figura 7.34 Ejemplo 4 2rr 3 Ir 2 rr 3 e 7n Iln 6 6 reos = 2 4lt SJr J 3 llr 2 A Resuelva simultáneamente y esboce las gráficas de las ecuaciones 1 r = -:-----:: 1 + sen 8 y r sen 8 = -l. Solución Al eliminar r de entre las ecuaciones y al simplificar el resultado, se obtiene sen 8= - Ijz Y 8= 7"/6 Y 11"/6. Cada uno de estos valores de 8produce r = 2. Por consi­ guiente, los puntos de intersección de las dos gráficas están en (2, 7rrl6) y (2, 11"/6); (véase la Fig. 7.35). •
    • 262 7t Figura 7.35 7" 6 r CAPíTULO 7 COORDENADAS POLARES " 6 1 l¡r 6 A Ejemplo 5 Resuelva simultáneamente y esboce las gráficas de las ecuaciones r = 4 cos e y r cos e = l. Solución Al eliminar r entre las ecuaciones y al simplificar el resultado, se encuentra cos e = ±Ih y e = ,,/3 Y 5"13. Cada uno de estos valores de e produce r = 2. Por tanto, los puntos de intersección de las dos gráficas están en (2, "/3) Y (2, 5"/3). Las gráficas se encuentran en la figura 7.36. • 7t Figura 7.36 7" 6 2rr 3 4", 3 3" 2 A
    • EJERCICIOS DE REPASO 263 Ejercicios En cada uno de los siguientes ejércicios resuelva simultáneamente el par de ecuaciones. Esboce sus gráficas en los mismos ejes coordenados. En ocasiones se presentan soluciones extrañas durante el proceso de resolución, de modo que se sugiere verificar todas las respuestas. 1. r=2 sen B r=1 4. r + 6 sen B=O r + 6 cos B = O 7. r sen B=1 r=4 sen B 2 10. r= 1 + sen B 3r sen B=2 13. r2=a2cos 2B r=aV2 sen B 1 16. r=2 sen 2 B 19. 22. 25. 28. 31. r=1 r = 4 - cos B reos B=3 r=4 cos B r=2 r2 = a2cos 2(} r = aV2 cos (} r=-3 cos () r=-4 sen () r = 2 sen B r2=4 sen (} EJERCICIOS DE REPASO 2. r=cos 2B r = 1 5. r=6 senB r senB=3 8. r2 = 4 sen 2B r=2 3 11. r= 4 - 3 senB r=3 senB 14. r = 4 cos B r=4 sen 2B 17. r=a(l + sen B) r=a(l - sen B) 20. r=2 senB + 1 r sen B=1 23. r=3 sen B r=3 cos B 26. r=2 cos (} r2=4 cos B 29. r=1 + cos (} r=3 cos (} 3. r=4 cos B r=4 sen 2B 6. r=a(l + cosB) r = 2a cos B 9. r=1 + cos B r=1 + sen B 12. r=sen B r=1 - cos B 15. r = cos22B r=sen22B 18. r=1 - sen B r=cos 2B 21. 24. 27. r=4 cos 2B r=4 sen2B r=senB r2=sen 2B r=-cos B r=2 - 3 cos B 30. r=2 cos B + I r=2 sen (} l. Escriba otros tres pares de coordenadas polares para el punto (5, n/12). Restrinja los ángulos vectoriales de modo que no excedan a 2n en valor absoluto.
    • 264 2. Escriba otros tres pares de coordenadas para el punto (3, � 4h,,). Restrinja los ángulos vectoriales 8 de modo que �21C < e < 21C. 3. Encuentre las coordenadas rectangulares para los puntos cuyas coordenadas polares son (4, "13) y (3, 5"/4). 4. Encuentre coordenadas polares no negativas ,para los puntos de coordenadas rectangulares (..ti , �..ti) Y (-4, � S). 5. Transforme la ecuación 3x � 2y = 4 en la corres­ pondiente ecuación en coordenadas polares. 6. Esboce la gráfica de la ecuación r = 3 sen e. Términos clave eje polar, pág. 225 radio vector, pág. 225 ángulo vectorial, pág. 225 transformación de coordenadas rectangulares en polares, pág. 231 transformación de coordenadas polares en rectangulares, pág. 230 • l . Transforme (�3, �I) a coordenadas polares y (3, 3"/4) a coordenadas rectangulares. 2. Reescriba X2 � 2y2 = 2 en coordenadas polares y grafique la ecuación polar. 3. Escriba el número complejo z = ..ti � ..ti i en su forma polar. Calcule Z6 y encuentre las raíces cua­ dradas de z. CAPíTULO 7 COORDENADAS POLARES 7. Escriba la ecuación polar de la recta horizontal que pasa por el punto (3, "13). 8. Encuentre la ecuación polar del círculo con centro en (6, 1C /6) y radio 4. 9. Esboce la gráfica de la cónica definida por 4 r = 7 1 - + - c - 10. Encuentre el conjunto solución en el intervalo 0° < e < 21C de la ecuación 2 sen2e + sen e �1 = O. 11. Resuelva simultáneamente y dibuje las gráficas de r = 3(1 + sen e) y r = 3(1 � sen e). 12. Encuentre (1 � i)7 Y las raíces cúbicas de 1 � i. teorema de De Moivre, pág. 234 gráfica en coordenadas polares , pág. 237 cirterio para simetría en coordenadas polares, pág. 242 4. Grafique r = 2 cos 3e y r = 3 cos 2e. 5. Encuentre las intersecciones, si las hay, de las curvas r = cos e y r = I + sen 8.
    • Capítulo • • • • Ecuaciones ramétricas . En capítulos anteriores se vio cómo graficar en el plano usando dos variables,x y y o r y e, cuando se da una relación entre las variables, por ejemplo r=f (e), para alguna función f En este capítulo analizaremos la situación en la cual cada una de las variables x y y es especificada en términos de una tercera variable, el parámetro. Hacemos esta situación más precisa en la siguiente definición. Para facilitar dicha definición, conside­ ramos a T como cualquier conjunto de números reales o como algún intervalo, por ejem­ plo de todos los números reales t con a < t < b. Por ejemplo, las ecuaciones x=1+2 y y=3/-1, son ecuaciones paramétricas, y 1 es el parámetro. Las ecuaciones definen una gráfica. Si a t se le asigna un valor, quedan determinados los valores correspondientes parax y y. El par de valores para x y y constituyen las cooordenadas de un punto de la gráfica. La gráfica completa está formada por el conjunto de todos los puntos determinados de esta manera, conforme 1 varía en todos sus valores escogidos. Se puede eliminar 1 entre las ecuaciones y obtener una ecuación en x y y. De esta manera, al despejar t en cualquier ecuación y sustituir en la otra, se obtiene 3x - y=7. La gráfica de esta ecuación, que también es la gráfica de las ecuaciones paramétricas, es una recta. Con frecuencia se puede eliminar el parámetro, como se ilustró, para obtener una ecuación en x y y. En ocasiones, sin embargo, el proceso no es fácil (e incluso no es posible) pues el parámetro se presenta de manera complicada. Las ecuaciones x=15 + senh 1 y Y=13 + arc tan t ilustran esta afirmación.
    • 266 , , CAPITULO 8 ' ECUACIONES PARAMETRICAS Cabe preguntarse qué se gana con una representación paramétrica de esta naturale­ za. Existe una diferencia entre la recta 3x -y = 7 Y las ecuaciones paramétricas de esa recta y consiste en que el párametro 1 bien podría considerarse una variable temporal. En tal caso las ecuaciones paramétricas especifican en qué momento fue visitado el punto (x, y). En el ejemplo anterior, cuando t = O estamos en el punto (2, - 1 ), Y cuando t = 5 estamos en el punto (7,14). Por ello cabe asociar con las ecuaciones paramétricas una noción de movimiento a lo largo de la curva, lo cual contrasta con el carácter estático de la gráfica de la ecuación 3x -y = 7. Esto resulta especialmente sorprendente cuando se grafica en forma paramétrica una curva usando un computador o una calculadora con graficador. Al recurrir a la paquete­ ría de graficación se debe especificar el intervalo T de valores de la variable t, así como el tamaño de los incrementos de 1 en el intervalo. El cursor traza la curva conforme 1 se mueve a lo largo de T. i La sensación de movimiento es muy gráfica! Lograr algo pareci­ do en un texto sólo se puede hacer etiquetando los valores del parámetro junto al punto apropiado sobre la gráfica, como se hace en las figuras 8.4 y 8.5. Algunas veces es útil, para resolver un problema, cambiar una ecuación en x y ya la forma paramétrica. Este proceso se ilustra con la ecuación X2 + 2x + y= 4, la cual define una parábola. Si se sustituye 2t por x y se despejay; se obtieney= 4 - 41 - 4t2. Por tanto, las ecuaciones paramétricas x = 21 Y y = 4 - 41 - 4t2 también representan la parábola. Es evidente que se pudieron haber obtenido otras repre­ sentaciones al igualar x a otras expresiones en l. De nuevo, este procedimiento no es con­ veniente o quizá sea imposible en ecuaciones que contienen ambas variables de manera complicada. La representación de ecuaciones mediante ecuaciones paramétricas se usa con fre­ cuencia en situaciones matemáticas. Note, sin embargo, que no hay un procedimiento general para escoger un par de ecuaciones paramétricas simples. Veremos que una ecuación polar r =f(e ) puede convertirse a ecuaciones paramétricas x = g(e), y= h(e) para facilitar el trazado sobre una gráfica conveniente. Finalmente examinaremos algunas aplicaciones que ilustren el sentido del movimiento, las cuales pueden ser descritas por ecuaciones paramétricas. 8.1 ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LAS CÓNICAS Se han ilustrado representaciones paramétricas de una recta y de una parábola. Se consi­ derarán ahora la circunferencia y las cónicas restantes. Para encontrar una representación paramétrica de la circunferencia de radio a y centro en el origen, se escoge como parámetro el ángulo e, como se indica en la figura 8. 1 . Al recordar las definiciones de seno y coseno de un ángulo, se tiene que x - = cos e a y y = sen e a
    • 8. J ECUACIONES PARAMÉTR/CAS DE LAS CÓNICAS o, de manera equivalente, el par de ecuaciones x=a cos e y y=a sen e. y o x Figura 8.1 267 x Si e se incrementa de O a 27r, el punto P(x, y) definido por estas ecuaciones comenzará en (a, O) y se moverá alrededor de la circunferencia en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj. A continuación, el centro de la circunferencia se coloca en (h, k) con radio a (Fig. 8.2). Para las distancias dirigidas CQ y QP se obtiene • CQ = x - h = a cos e y Q? = Y - k = a sen e, o bien el par de ecuaciones y o Figura 8.2 x = h + a cos e y = k + a sen e (J P(x,y) e(h, k) �--L..-:::-Q+---j k h (h, O) (x, O) x
    • 268 CAPíTULO 8 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Por tanto, estas ecuaciones constituyen una representación paramétrica de una circunfe­ rencia con centro en (h,k) y radio a. Para encontrar una representación paramétrica de la elipse, se usan las ecuaciones donde a > b. x = a cos e y y = b sen e, Estas ecuaciones definen una elipse, como puede verificarse eliminando el parámetro e. Así, al escribir las ecuaciones como x/a = cos e y y/b = sen e, elevar al cuadrado los miembros de cada ecuación y sumar, se obtiene X 2 a o bien + 2Y = cos28 + sen 28 b A partir de este resultado se observa que las ecuaciones paramétricas representan una elipse con a y b como semiejes. La importancia geométrica de e se puede determinar remitiéndose a la figura 8.3. El radio de la circunferencia menor es b y el radio de la circunferencia mayor es a. El lado terminal de e corta las circunferencias en E y A. La recta horizontal que pasa por E y la recta vertical que pasa por A se intersecan en P(x, y). Para este punto, se tiene x = oi! = lOAI cos 8 = a cos 8, y = MP = NB = IOEI 8 = b sen8. Por consiguiente, P(x, y) es un punto de la elipse. Conforme e varía, P se mueve a lo largo de la elipse. Si e comienza en O y se incrementa hasta 2n, el punto P comienza en (a, O) y viaja por la elipse en dirección contraria al giro de las manecillas del reloj. Figura 8.3 y o N M , y) x
    • 8. J ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LAS CÓNICAS . 269 Para obtener una representación paramétrica de una hipérbola, se usan las ecuaciones x = a sec e y y = b tan e, donde a y b son números positivos. Como sec2e - tan2e = 1, se puede escribir o bien X 2 a y 2 b X2 y2 a2 - b2 = l. Se observa que sec e y tan e existen para todos los ángulos, excepto para aquellos donde e es un múltiplo impar de n/2. Suponga que e toma todos los valores tales que °< e< n/2. En 0, sec e = 1 Y tan e = O. Conforme e crece en este intervalo específico, sec e comienza en 1 y toma todos los valores positivos mayores que 1 mientras que tan e co­ mienza en O y toma todos los valores positivos. Por tanto, x comienza en a y toma todos los valores positivos mayores que a, y y comienza en ° y toma todos los valores positi­ vos. Se observa, entonces, que este intervalo escogido para e proporciona la parte de la hipérbola en el primer cuadrante. De manera análoga, los valores de e tales que n/2 < e < n representan la' parte de la hipérbola en el tercer cuadrante. El estudiante puede continuar el análisis para los cuadrantes restantes. Se procede ahora a resolver el problema de construir la gráfica definida por dos ecuaciones paramétricas. El método es directo. Primero se asigna al parámetro un con­ junto de valores y se calculan los valores correspondientes de x y y. Los puntos localiza­ dos (x, y) son una guía para dibujar la gráfica. Por lo general, basta localizar unos cuantos puntos. Esto es particularmente cierto cuando, a partir de la ecuación, son aparentes cier­ tas propiedades de la gráfica como la extensión, las intersecciones y la simetría. El estu­ diante que sepa graficación por computador podrá trazar, con el computador, gráficas de ecuaciones paramétricas de manera satisfactoria. Cuando un par de ecuaciones paramétricas va a representar una ecuación rectangu­ lar, conviene determinar si las ecuaciones y el dominio del parámetro están bien escogi­ dos. Es decir, si las coordenadas P(x, y) satisfacen la ecuación rectangular, debe existir un valor del parámetro de manera que las ecuaciones paramétricas produzcan las mismas coordenadas. Recíprocamente, cualquier par de coordenadas obtenidas a partir de las ecuaciones paramétricas debe satisfacer la ecuación rectangular. En algunos casos, la grá­ fica de las ecuaciones paramétricas y la gráfica de la ecuación rectangular correspon­ diente no coinciden por completo. El ejemplo 2 ilustra dicho caso. Ejemplo 1 Esboce la gráfica de las ecuaciones paramétricas x =2 + t Y Y = 3 - 12• Solución Al examinar las ecuaciones se observa que x puede alcanzar cualquier valor real y quey puede tener cualquier valor real que no exceda de 3. Usando los valores lista­ dos en la tabla 8.1, se podrá esbozar la parte de la gráflca que se muestra en la figura 8.4. La verdadera gráfica se extiende indefinidamente en los cuadrantes tercero y cuarto. •
    • 270 CAPíTULO 8 ECUACIONES PARAMÉTR/CAS Tabla 8.1 t -3 -2 -] -O ] x -J O ] 2 3 Y -6 -J 2 3 2 - y t = O o Figura 8.4 t =-3 Ejemplo 2 Construya la gráfica de las ecuaciones 2 4 - ] t = 2 t = 3 y y = 2 sen e. 3 5 -6 x Solución Se elimina de estas ecuaciones el parámetro e. La segunda ecuación produce y2/4 = sen2e. Entonces, sumando los miembros correspondientes de esta ecuación y de la primera ecuación dada, se obtiene • y, en consecuencIa, y +x=! 4 ' y= - 4(x - l ). La gráfica de esta ecuación es la parábola dibujada en la figura 8.5. Note, sin embargo, que la gráfica de las ecuaciones paramétricas no incluye la parte de la parábola a la iz­ quierda del ejey. Esto resulta del hecho de que los valores de x no son negativos. • Puede suceder que una ecuación en su forma original sea difícil de graficar, pero que aun así pueda representarse en forma paramétrica por medio de ecuaciones mas fáciles de manejar. Esta situación se ilustra en un ejemplo.
    • 8. ¡ ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LAS CÓNICAS ..... ..... ..... "- "- "- "- " (} = ;, St, ... y o Figura 8.5 () = 3;, 7 2 "" . . . / / ./ ./ ./ ./ /' /' /' (0,2) (J = 0, TT', 2TT', ... (1, O) Ejemplo 3 Encuentre una representación paramétrica de la ecuación y2/3 + X2/3 = a2l3. Solución Despejando y2/3 en la ecuación, se obtiene y2l3 = a2/3 - X2/3 x 213 = a2/3 1 - - a 271 x Se observa que la expresión entre corchetes se puede simplificar al hacer (x/a)21J = sen2e o x = a senJe. Cuando x tiene este valor, se encuentra que y = a cosJe. Por tanto, la ecua­ ción dada está representada en forma paramétrica por las ecuaciones • Figura 8.6 x = a sen3e, y = a cos3e. y x
    • 272 CAPíTULO 8 ECUACIONES PARAMÉTRICAS La gráfica se puede visualizar incrementando e, en pasos de 77:/2, desde O hasta 277:. Así, en el primer paso x crece de O a a y ydecrece de a a O. La gráfica (Fig. 8.6) se llama hipocicloide de cuatro cúspides. Se puede mostrar que la trayectoria trazada por un punto dado sobre una circunferencia de radio a/4 conforme rueda dentro y a lo largo de una circunferencia de radio a, es una hipocicloide. • Como ya se mencionó, una función r=f(e )expresada en coordenadas polares puede transformarse fácilmente a una forma paramétrica. Si se combinan las ecuacio­ nes (7.2)y (7.3)con la ecuación r =f(e )se obtiene x=rcos e=f(e)cos e, y= r sen e=f(e)sene, (8.1) expresando así xyyen términos del parámetro. De hecho, para graficar r= f(e)en coor­ denadas polares, algunas calculadoras con graficador requieren que la ecuación esté ex­ presada en la forma paramétrica que aparece en la ecuación (8.1). Ejemplo 4 Transforme r= 4 cos e, con O < e < 277:, de su forma polar a una forma paramétrica y a continuación grafique la curva. Solución De la ecuación (8.1) se obtiene x (e)= 4 cos2e y y«())= 4 sen e cos e Entonces (x(O), y (O» = (4, O), (x(77:/4), Y(77:/4» = (2, 2), Y (x(77:I2), y (77:/2» = (O, O). Para O � e < 277:, la gráfica es la circunferencia que aparece en la figura 7.16. El movimiento en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj se inicia en (4, O) Y completa una revolución cuando e = 277:. Ejercicios En los ejercicios l a 8, esboce la gráfica representada por las ecuaciones paramétricas. Después, compare la gráfica con la de la ecuación rectangular obtenida al eliminar el , parametro. 1. x= 3(; y= 2( 2. x = 4 - 3(; y= 1 + ( 3. x= ( 2 - 2', Y = ( + 3 4. x = 1 + 2(', Y = 2 - [ 2 5. x= 2 + (. , y= 1 + [2 6. x = 3 - [., y = [ 2 - 2 7. x= 1 + (2. , y = 1 + ( 8. x = 2 + (2; Y = 3 + [
    • EJERCICIOS 273 Encuentre la forma rectangular de cada par de ecuaciones paramétricas . la gráfica usando la más sencilla de las dos formas. 9.x = 5cos e; 11.x = 3 sen e; 13. x = 2sen(J; y=5sen(J y = 4 cos e y = cos 2e 10.x = 2 + .cos e; y = 2 + sen e 12. x = 3 tan2(J; y = 2sec2e 14 . x = tan e; y = sec e 15. x = 3 + 4 sen e; y = -4 + 3 cos(J 16. x = -2 + 2sen e; y = 3 + 2cos(J 2 17. x = - 1 -+-t"2 ; 2t y= 1 + t2 6t 18. x= 1 + t2; 6t2 y= 1 + t2 Elimine el parámetro de cada par de ecuaciones. Dibuje la gráfica de la ecuación resul­ tante y diga qué parte de la gráfica cubren las ecuaciones paramétricas. 20. x = sec2e; 21. x= 1 + 3 cos2(J; 22. 23. x= 4 sen(J; 24. x = t ; Use la ecuación adjunta y exprese cada ecuación rectangular en fonna paramétrica. 25. 2x + xy - 1 = O', y = t + 2 26. x3 + y3 + 3xy = O; Y = tx 27. X 112 + Y 1/2 = a"2; x = a sen4e 28. x2(y + 3) =y3; X = ty 29. x2y2 = x2 _ y2; Y = sen e 30. y3 _ 2y2 =X2; y = (2 + 2 Tome valores de t, en pasos de n/2, de O a 4n y encuentre los valores correspondientes de x y y. Localice los puntos P(x, y) así determinados y dibuje una curva suave que pase por cada uno de los puntos, en orden creciente de t. 31.x = I sen t; y= cos ( 32. x = t cos t; y = sen t Use la ecuación (8.1) para convertir las ecuaciones polares a la forma paramétrica. A continuación grafique usando alguna utilería de graficación si dispone de ella. 33. r = 4 sen e; O < (J < 27T 35. r=f(8) = 8; 37.r = 4/cos (J; 39. r = 4(1 + cos e); 41. r = 2 sen 58; O < 8 < 67T I el < 7T/2 O :S; e < 27T O < e < 27T 34. r = 4 cos 2e; 36.r = 3 38. r = 3(1 - sen(J); O < e < 27T O :S; e < 27T 40. r = sen 4(J; o :S; e < 27T
    • 274 CAPíTULO 8 ECUACIONES PARAMÉTRICAS 8.2 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS* Las ecuaciones de ciertas curvas se pueden determinar con mayor rapidez si se usa un parámetro que de otra manera. De hecho, éste es uno de los usos principales de las ecuaciones paramétricas. En el resto de este capítulo se exploran ecuaciones paramétricas de curvas. Se considerará primero la trayectoria de un proyectil en el aire. Suponga que a un cuerpo se le da una velocidad inicial, hacia arriba, de Vo metros por segundo en una di­ rección que forma un ángulo a con la horizontal. Si la resistencia del aire es pequeña y puede despreciarse sin dar lugar a un gran error, el objeto se moverá, sujeto a la fuerza vertical de la gravedad. Esto significa que no hay fuerza horizontal que pueda cambiar la velocidad en la dirección horizontal. Observando la figura 8.7 con el origen de coorde­ nadas en el punto donde se dispara el proyectil, se aprecia que la velocidad en la direc­ ción x es vocos a. f:ntonces, la distancia que ha viajado horizontalmente después de t segundos es (vocos a)t metros. Ahora el proyectil se dispara con una componente verti­ cal de velocidad de vosen a metros por segundo. Esta velocidad causaría que el proyectil subiera hasta alcanzar una altura de (vosen a)t metros en t segundos. Sin embargo, el efecto de atracción de la gravedad reduce esta distancia. De acuerdo con una fórmula de la física, la cantidad por restar es Ihgt2, donde g es una constante aproximadamente igual a 9.8. Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son x= (vacos a)t, (8.2) Si se despeja t en la primera ecuación y se sustituye el resultado en la segunda, se obtie­ ne la ecuación de la trayectoria en la forma rectangular gx2 y= (tan a)x - 2 2 2 ' VaCOS a (8.3) Esta ecuación, queesdesegundogradoen x ydeprimer gradoeny, representa una parábola. y I I vosena I o vocos a x FIgura 8.7 *Si se desea, se puede omitir el resto de este capítulo o cualquiera de sus partes.
    • 8.2 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS 275 Ejemplo 1 Se tira una piedra con velocidad de 48.5 mis en una dirección 45° sobre la horizontal. Encuentre la distancia a la cual la piedra toca el piso y su altura máxima. Solución Se sustituye Vo = 48.5, ex = nl4 y g = 9.8 en la ecuación (8.2). Esto da las • • • ecuacIOnes parametncas x = (48.5/2)t.J2, y = (48.5/2)t.J2- 4.9(2. La piedra llega al piso cuandoy = O. Este valor de y se sustituye en la segunda ecua­ ción y se encuentra que t = 7 segundos como tiempo de vuelo. El valor de x en este tiem­ po es x = 4R5h7.J2 = 240 m. Se sabe que la piedra se mueve a lo largo de una parábola que se abre hacia abajo y que una parábola es simétrica con respecto a su eje. Por ello, la altura máxima es el valor de y cuando t está a la mitad del tiempo de vuelo. Al susti­ tuir t = 712 en la segunda ecuación, se encuentra que y = 60 m. La piedra llegó al piso a 240 m del punto del disparo y alcanzó una altura máxima de 60 m. De manera alternativa, es posible obtener los resultados deseados por medio de la ecuación rectangular de la trayectoria. Así, al sustituir VD' ex y y en la ecuación (8.3), se obtiene x2 )' = X - 800' Esta ecuación, reducida a su forma normal, se convierte en ex - 120)2 = -240(y - 60). El vértice, en (120, 60), es el punto más alto. Al hacer y = O se encuentra x = 240. Por tanto, la piedra llega al piso en el punto (240, O). • La trayectoria trazada por un punto dado sobre la circunferencia de otra circunferen­ cia que rueda a lo largo de una recta se llama cicloide. Para deducir la ecuación de la cicloide, la recta se selecciona como el eje x y el origen se toma en una posición donde el punto que la traza esté en contacto con el eje x. Figura S.S y C D p ...--TC a D __�__L-__�-L��____________________�____________--. x O A B En la figura 8.8 el radio de la circunferencia rodante es a, y P es el punto que lo traza. En la posición dibujada, la circunferencia ha rodado de modo que CP forma un ángulo e (radianes) con la vertical. Puesto que la circunferencia rueda sin resbalar, el segmento de recta OE y el arco PE son de igual longitud. Por consiguiente,
    • 276 CAPíTULO 8 ECUACIONES pARAMÉTRICAS ---=--=" " OB = are PB =aO. Al observar el triángulo rectángulo PDC, se podría escribir x = DA = OB - PD =aO - asen O, y = AP = BC - DC = a - a cos O. Las ecuaciones de la cicloide, en forma paramétrica, son x = a(O - sen O), y = a(l - cos O). El resultado de eliminar e de estas ecuaciones es la complicada ecuación a-yx=acos-I + Y2ay-y2. a Si una circunferencia rueda debajo de una recta, un punto de la circunferencia gene­ raría una cicloide invertida (Fig. 8.9). Esta curva tiene una propiedad fisica importante e interesante. Un cuerpo que resbale sin fricción se moverá de A a B, dos puntos en una parte de abajo de la curva, en un tiempo menor de lo que requeriría hacerlo a lo largo de cualquier otra trayectoria que conecte los dos puntos. Una demostración de esta propie­ dad, queda fuera de los objetivos de este libro. y o x Figura 8.9 B Ejercicios En Jos ejercicios I a 4 escriba las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del objeto, usando g = 9.8. Escriba, además, la ecuación rectangular de la trayectoria y proporcione la información requerida. l. Se lanza una pelota con velocidad inicial de 29.4 mis y a un ángulo de 45° sobre la horizontal. ¿Qué altura alcanza la pelota y a qué distancia toca el piso? Suponga que el piso es llano. 2. Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 58.8 mis y a un ángulo de 30° sobre la horizontal. Encuentre las coordenadas de su posición después de (a) 1 s, (b) 3 s, (c) 5 s. ¿En qué tiempo está el proyectil a 29.4 m sobre el piso?
    • EJERCICIOS 277 3. Se dispara horizontalmente un proyectil (a = 0°) desde un edificio de 29.4 m de altura. Si la velocidad inicial es de Vo mis, encuentre la distancia hacia abajo y la distancia horizontal que recorre el proyectil en 2 segundos. 4. Un lanzador tira una pelota horizontalmente con una velocidad inicial de 33 mis. Si el punto de salida está a 1.83 m sobre el piso, (a) ¿a qué altura llega la pelota a home, situado a 18.44 m del montículo de lanzamiento? (b) ¿Cuál sería la respuesta si la velocidad inicial es de 40 mis? Suponga que la resistencia del aire es despreciable. 5. Una circunferencia de radio a rueda sobre una recta. Un punto sobre un radio, a b unidades del centro, describe una trayectoria. Paralelo a la deducción de la sección 8.2, muestre que la trayectoria está representada por las ecuaciones x = a8 - b sen 8, y = a - b cos 8. La curva se llama cicloide reducida si b < a y cicloide alargada si b > a. 6. Esboce la curva de las ecuaciones del ejercicio 5, tomando a = 4 y b = 3. Esboce la curva si a = 4 y b = 6. 7. Una circunferencia de radio 4 rueda a lo largo de una recta y completa una revolu­ ción en 2 segundos. Un punto, que comienza a bajar sobre un radio vertical, se mueve alejándose del centro de la circunferencia a lo largo del radio a razón de 2.5 mis. Encuentre las ecuaciones de la trayectoria del punto. 8. El extremo de un hilo que se mantiene en el plano de una circunferencia describe una trayectoria, llamada envolvente de la circunferencia, conforme se desenrolla de la circunferencia, manteniéndolo tenso. Use la figura 8.10 para mostrar que las ecuaciones paramétricas de la envolvente son x = a(cos 8+ e sen 8), y = a(sen 8- 8 cos 8). y QI--+--i P(x. y) o A S B x Figura 8.10
    • 278 CAPíTULO 8 ECUACIONES PARAMÉTRICAS 9. En la figura 8.11 una circunferencia de radio a es tangente a las dos rectas paralelas OXy AC. La recta OC corta a la circunferencia en B, y P(x,y) es la intersección de una recta horizontal que pasa por B y una recta vertical que pasa por C. Mues­ tre que las ecuaciones de la gráfica de P, conforme e se mueve a lo largo de la tan- • gente supenor, son Figura 8.11 x = 2a cot e, y = 2a sen2e. y A o ::-----,--"71 e L-_�¿P(x,y) Esta curva se llama bruja de Agnesi. Muestre que su ecuación rectangular es 8a3 y = x2 + 4a2' x 10. En la figura 8.12, OP = AB. Muestre que las ecuaciones de la trayectoria trazada por P, conforme A se mueve alrededor de la circunferencia, son Figura 8.12 x = 2a sen28, y = 2a sen28 tan 8 y B A o (a. O) x
    • EJERCICIOS DE REPASO 279 La curva se llama cisoide de DiocIes. La ecuación rectangular es x3 Y2 _ --- 2a - x' NOTA HISTÓRICA María G. Agnesi (1718-1799), brillante joven italiana, publicó varios ensayos desde temprana edad. Escribió uno de los primeros textos de cálculo, que debido a su popula­ ridad se tradujo al francés y al inglés. El traductor al inglés cometió un error al traducir el nombre que la Agnesi daba a la curva recién mencionada líneas arriba, y por ello du­ rante 250 años ha sido conocida en los países de habla inglesa como la "bruja" de Agnesi. EJERClCrOS DE REPASO l . Esboce la gráfica representada por las ecuaciones paramétricas x = 2/; Y = 3/. 2. Encuentre la forma rectangular del par de ecuaciones paramétricas x = 4 sen e y y = 3 cose. Después, esboce la gráfica representada usando la más sencilla de las dos formas. 3. Elimine el parámetro de las ecuaciones paramétricas x = 2 sen2e y y = 3 cos2e. Dibuje la gráfica de la ecuación resultante y diga qué parte de la gráfica se cubre con las ecuaciones • • parametncas. • 4. Se deja caer un objeto desde una altura de 19.6 m sobre el piso, con un viento constante de 17.64 km por hora (4.9 mIs) desde el norte. La localización t segundos después de haberse dejado caer está dada por y(t)= - 4.9/2 + 19.6 x(t) = 4.9/. Términos clave ecuaciones paramétricas, pág. 265 conversión de coordenadas polares a paramétricas, pág. 272 Grafique la trayectoria del objeto. ¿Cuándo y dónde llega al piso? 5. Se tira una piedra con velocidad de 24.25 mIs en una dirección a 45° sobre la horizontal. Encuentre a qué distancia llega la piedra al piso y su altura • • maxlma. 6. Usando la ecuación adjunta, exprese la ecuación rectangular en forma paramétrica. 2x + xy- 1 = O; y = t + 2. 7. Transfonne r = sen e 12 a la forma parmétrica y grafique usando alguna utilería de graficación si se dispone de ella. cicloide, pág. 275
    • 2BO l. Esboce la gráfica representada por las ecuaciones , . parametncas x = 3 sen e, y = cos e. 2. Elimine el parámetro de las ecuaciones y esboce la gráfica y = sen e CAPíTULO 8 ECUACIONES PARAMÉTRICAS 3. Convierta la ecuación polar a la forma paramétrica y grafique usando alguna utilería de graficación si cuenta con ella. a) r = 2 + cos 8, O <8 < 27r, b) r = 1 + 2 cos (J, O < 8 <27r. 4. Se lanza un obús con una velocidad inicial de 152.3 mis a una elevación de 30° sobre la horizontal. En­ cuentre su posición después de 5 segundos. ¿Dón­ de y en qué instante llega al piso? •
    • Capítulo Coordenadas en el e eio tridimensional su erfieies Como se verá,buena parte del conocimiento de la geometría analítica plana servirá como base ymodelo para la geometría analítica sólida. En efecto,muchas de las fórmulas que se desarrollarán para espacios coordenados son "extenciones" de las fórmulas correspon­ dientes en dos dimensiones. Hasta ahora,en este estudio se han tratado ecuaciones en dos variables yse han ilustrado ecuaciones en un sistema coordenado plano. Cuando se introduce una tercera variable,el plano es insuficiente para ilustrar una ecuación. Es por ello que el sistema coordenado se extiende a tres dimensiones. 9.1 COORDENADAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Sean OX, OY yOZ tres rectas mutuamente perpendiculares (Fig. 9.1). Estas rectas for­ man el eje x,el eje y yel eje z de un sistema coordenado rectangular de tres dimen­ siones. En este dibujo,yen otros que se harán,el eje y yel eje z están en el plano de la página. El eje x se visualiza como perpendicular a la página. El eje z se puede considerar vertical ylos otros,horizontales. Los ejes,por pares,determinan tres planos mutuamente perpendiculares,llamados planos coordenados. Los planos se designan como el plano XOY, el plano XOZ yel plano YOZ o,de manera más sencilla,el plano xy,el plano xz y el plano yz. Los planos coordenados dividen el espacio en ocho regiones llamadas octantes. A continuación se dará una escala numérica en cada eje, con el punto O como el origen. La posición de un punto P en este sistema coordenado es determinado por sus distancias a los planos coordenados. La distancia de P al plano yz se llama coordenada x, la distancia al plano xz coordenada y yla distancia al plano xy coordenada z. Las coordenadas de un punto se escriben en la forma (x,y,z),en este orden, x primero, y segundo yz tercero. Por ejemplo,para localizar el punto (1.5,-1, 2) se va l.5 unidades desde el origen a lo largo del eje x positivo,después 1 unidad a la izquierda, paralela­ mente al eje y, yfinalmente 2 unidades hacia arriba,paralelamente al eje z. Los signos de las coordenadas detelminan el octante en el cual se encuentra
    • 282 Figura 9.1 CAPíTULO 9 COORDENADAS EN El ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES z 3 2 1 o 1 2 3 y x el punto. Se dice que los puntos cuyas coordenadas son todas positivas pertenecen al primer octante, y no se acostumbra asignar número a los demás octantes. Si un punto se ubica sobre un eje coordenado, dos de sus coordenadas son cero. Para localizar puntos y dibujar figuras, las distancias unitarias en los ejes y y z se harán iguales. Una distancia unitaria sobre el eje x se representará mediante una longitud real de 0.7 de unidad. El eje x se dibujará formando un ángulo de 135° con el eje y. Esta posición del eje x y la reducción en la dirección x ayudan a visualizar figuras en el espa­ cio. Véase el cubo y los puntos localizados en la figura 9.2. - X Figura 9.2. • (1.5,-1,2) • I I I - - _ I--1- -- I - _ I I 1.. -- - - - z 4 3 (O,O,3) 2 - - • (2,2.5, 3) I I I (1,1,1) I - - I 1: I I I I - I - - _ 1..- ..... 2 I " " (O,3, O)" "1 I I I I I • (0,2, -2) Y
    • 9.1 COORDENADAS EN El ESPACIO TR/D/MENC/ONAl 283 En la primera aplicación del sistema coordenado tridimensional,se considera la dis­ tancia entre dos puntos de coordenadas conocidas. En la sección 1.1 se trató esta cues­ tión para el caso bidimensional. Exactamente el mismo plan servirá en el nuevo sistema, excepto para los ejes adicionales. De esta manera,P(xl' Y" z,) y Q(x2, Y" z, ) representan los extremos del segmento de recta PQ paralelo al eje x. La distancia de P a Q es x2-x,. Esta distancia es positiva si x2 > x, y negativa,si x2 < x,. En cada caso,usando símbolos de valor absoluto,IPQ! = Ix2-x,," Una situación análoga es aplicable a los segmentos pa­ ralelos al eje Y y al eje z. Una vez que esto se haya comprendido,es posible deducir una fórmula para la distancia entre dos puntos de coordenadas conocidas. Teorema 9.1 Sean P,(x"Y" z) y P2(X2'Y2' Z2) las coordenadas de dos puntos en un sistema coordenado tridimensional. Entonces la distancia entre P, y P2 esta dada por Ip,p21 = V(X2 - X,)2 + (Y2 - y,)2 + (Z2 - Z,)2. (9.1) Demostración En la figura 9.3 cada arista del paralelepípedo rectangular (figura con forma de caja) es paralelo a un eje coordenado y cada cara es paralela a un plano coordenado. Las coordenadas de PI' P2, Q y R, respectivamente, se indican con P,(x" y" z,), Pz{X2' Y2, Z2), Q(X2, y" z,), R(X2, Y2' z,). Se observa que P,QR es un triángulo rectángulo con hipotenusa P,R, y P,RP2 es un triángulo rectángulo con hipotenusa Plr Además, z • o Q Figura 9.3 y R x Por tanto, 1p,p21 2 = 1P,R12 + 1RPll2 = !p,Qll + IQRll + IRPll 2 = (Xl - XY + (Y2 - y,)2 + (Z2 - z,)2
    • 284 CAPíTULO 9 COORDENADAS EN El ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES o bien, IpIP21 = Y(X2·- XI)2 + (Yz - YI)2 + (Z2 - ZI)2 Se han escrito las coordenadas de cuatro de los vértices del paralelepípedo. El estudian­ te puede escribir las coordenadas de los otros cuatro vértices. Ejemplo 1 Encuentre la distancia entre los puntos Pl-4,4,1) Y P 2(-3,5, -4). Solución Se sustituye en la fórmula (9.1) Y se obtiene IpIP21 = Y(-3 + 4)2 + (5 - 4)2 + (-4 - I? = YI + I + 25 =.3V3. • La división de un segmento de recta, analizada en la sección 1.3, se puede extender con facilidad al caso tridimensional. Teorema 9.2 Las coordenadas P(x, y, z) del punto medio del segmento de recta que une A(x" YI' ZI) y B(x2, Y2, Z2) están dadas por las ecuaciones, Xl + x2 X = 2 ' Y = YI + Y2 2 ' Zl + Z2 Z = 2 • (9.2) Este teorema se puede generalizar si se hace que P(x,y, z) sea cualquier punto de división de la recta que pasa por A y B. Si la razón de AP a AB es un número r, entonces x= XI + r(x2 - XI), Y= YI + r(Y2 - YI), Z = ZI + r(z2 - zl). (9.3) Ejemplo 2 Encuentre las coordenadas del punto medio del segmento de recta que une A(3, -2, 4) Y B(-6, 5, 8). Solución Al sustituir en las fórmulas (9.2) se obtiene X= 3 - 6 3 = -- 2 2' y= -2 + 5 2 3- - 2' 4 + 8 Z= 2 = 6. Por tanto, las coordenadas del punto medio del segmento de recta son P(312,3/2,6). • Ejemplo 3 Encuentre las coordenadas de P(x,y, z) el cual está a un tercio de la distan­ cia de A(l,3, 5) a B(5, 7, 9). Solución Se usan las ecuaciones (9.3) con r =113. Por consiguiente,
    • 9.1 COORDENADAS EN EL ESPACIO TRIDIMENClONAL • 285 • x =1+ �(5 - 1)=�, 1 13 Y = 3 + 3 (7 - 3) = 3' 1 19 z =5+ "3(9 - 5) = 3' • Las coordenadas deseadas son (713, l313, 1913). Este es el punto de trisección del segmento de recta que se encuentra más cerca del punto A. • Ejemplo 4 Dado que A = (1 , 4, 7) Y B = (5, -1, 1 1 ), encuentre el punto P de modo que• la razón de AP a PB sea igual a 4 a 7. �. . Solución Para usar las ecuaciones (9.3) se necesita la razón de AP a AB, la cual es 4 a 11. Por tanto, las ecuaciones (9.3) se usan con r= 4/11. De este modo, se obtiene 4 27 x =1+ U(5 - 1)= 11' 4 24 y=4+ 11 (-1-4)=U' 4 93 z =7+ U(l1-7) = U ' Las coordenadas deseadas son (27/11, 24/11, 93/11). • Gráfica de una ecuación La gráfica de una ecuación en el sistema tridimensional se define exactamente de la mis­ ma manera que en el sistema bidimensional. Al estudiar gráficas se usará el concepto de simetría, análogo al analizado en la sec­ ción 3.2. Para ello, se afirma lo siguiente: 1. Si una ecuación no se altera cuando x se reemplaza por -x, entonces la gráfica de la ecuación es simétrica con respecto al plano yz. 2. Si una ecuación no se altera cuando y se reemplaza por -y, entonces la gráfica de la ecuación es simétrica con respecto al plano xz. 3. Si una ecuación no se altera cuando z se reemplaza por -z, entonces la gráfica de la ecuación es simétrica con respecto al plano xy.
    • 286 CAPíTULO 9 COORDENADAS EN El ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES En el sistema bidimensional se encontró que rectas y curvas eran gráficas de ecuaciones. En tres dimensiones, la gráfica de una ecuación se llama superficie. Hay ecuaciones cuyas gráficas, en tres dimensiones, son curvas en el espacio tridimensional (curvas que no están en un plano). En lo que sigue no se consideran las curvas en tres dimensiones. Por supuesto, se ha observado que algunas ecuaciones bidimensionales no tienen gráfica y que otras constan de uno o más puntos aislados. De manera análoga, hay casos excepcionales en un sistema tridimensional. Sin embargo, se estudiarán ecuaciones cuyas gráficas existan y sean superficies. El estudio de gráficas se iniciará considerando ecuaciones en una y dos variables. Como otra restricción, sólo se usarán ecuaciones de primero y segundo grados. Las grá­ ficas de ecuaciones de esta clase son relativamente fáciles de determinar. Ejemplo 5 Grafique la ecuación y = 4. . Solución Se observa que la ecuación se satisface sólo dando a y el valor 4. Como la ecuación no contiene a x o z, no hay restricciones para estas variables, por ello, la gráfica consta de todos los puntos que tienen coordenada y igual a 4. Es claro que esta gráfica constituye el plano paralelo al plano xz, ubicado 4 unidades a la derecha. • Ejemplo 6 Grafique la ecuación . 2x + 3z = 6. Solución En el plano xz esta ecuación representa una recta. Considere ahora un plano que pase por esta recta y sea paralelo al eje y (Fig. 9.4). Correspondiente a cualquier punto P(x, y, z) sobre este plano, existe un punto sobre la recta con las mismas coordena­ das x y z. Por tanto, las coordenadas de P satisfacen la ecuación dada. Se concluye, en­ tonces, que el plano es la gráfica de la ecuación. • Los dos ejemplos muestran que el siguiente teorema es correcto. Teorema 9.3 La gráfica de una ecuación de primer grado en una o dos variables es un plano paralelo al eje de cada variable faltante. (x, O, z) Figura 9.4 x z . . - . , . , ..
    • 9.1 COORDENADAS EN El ESPACIO TRIDIMENCIONAl 287 Cilindros Ejemplo 7 Grafique la ecuación X2 + (y - 2)2 = 4. Solución En el plano xy la gráfica de esta ecuación es una circunferencia de radio 2, con el centro sobre el eje y positivo a dos unidades del origen (Fig. 9.5). Sean (x,y, O) las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia. Entonces el punto (x,y, z) don­ de z es cualquier número real,satisface la ecuación. En consecuencia,se observa que la gráfica manera que se mantiene paralela al eje z e interseca la circunferencia. Por tinto,la su­ perficie es un cilindro circular recto,simétrico con respecto al plano yz. En la figura sólo se indica la parte de la superficie que se encuentra en el primer octante. • z ..�:0"- __ --"'y (x, y, O) Figura 9.5 x • Una superficie generada por una recta que se mueve de manera que se mantiene paralela a una recta fija e interseca una curva fija en un plano se llama superficie cilíndrica o cilindro. La curva se llama directriz y la recta generadora en cualquier posición se lla­ ma elemento del cilindro. De acuerdo con esta definición,un plano es un caso particular de un cilindro con una recta como directriz. Por consiguiente,la gráfica de cada una de las tres ecuaciones consideradas es un cilindro. Es fácil generalizar el análisis anterior para aplicarlo a ecuaciones en dos variables, aun sin restricción de grado, y enunciar el siguiente teorema. Teorema 9.4 La gráfica de una ecuación en dos variables es un cilindro cuyos elementos son parale­ los al eje de la variable faltante.
    • 288 CAPíTULO 9 COORDENADAS EN El ESPACIO TRIDIMENSIONAL YSUPERFICIES Ecuación líneal general En coordenadas rectangulares de dos dimensiones se vio que una ecuación lineal, ya sea en una o en dos variables, representa una recta. En el sistema tridimensional sería posi­ ble concluir, por analogía, que las ecuaciones lineales en una, dos o tres variables repre­ sentan superficies del mismo tipo. La conclusión es correcta. La demostración se deja para el siguiente capítulo. Teorema 9.5 La gráfica en tres dimensiones de la ecuación Ax + By + Cz + D = 0, • donde las constantes A, B Y e no son cero simultáneamente, representa un plano. Las curvas en las cuales un plano, u otra superficie, interseca los planos coordenados se llaman trazas. Las curvas en las cuales una superficie interseca planos paralelos a los planos coordenados se llaman secciones transversales o simplemente secciones. Las tra­ zas y las secciones pueden ser útiles para esbozar la superficie. Ejemplo 8 Esboce la superficie • y =x2• Solución Como z no está en la ecuación, la superficie es un cilindro paralelo al eje z. La traza en el plano xy, obtenida al hacer z = 0, es la parábola y =X2. La traza en el plano xz (hacer y = O) es x = O ° el eje z. La traza en el plano yz (hacer x = O) es y = O o, de nuevo, el eje z. Se obtiene ayuda adicional para visualizar la superficie si se hace z = e para obtener secciones paralelas al plano xy. Estas secciones son, de nuevo, la parábola y = xl, pues z no aparece en la ecuación. Las secciones paralelas al plano xz(y = e, e > O) son las rectas x = +.JC. La superficie se esboza en la figura 9.6. • z I . I / 1 I _ _ - - FIgura 9.6 x . . . . , lo y
    • EJERCICIOS Ejemplo 9 Esboce el plano 3x+4y+6z= 12. 289 Solución La intersección con el eje x del plano,obtenido.al hacer y = O Y z = O,es 4. Por ende, el plano pasa por el punto (4, O,O). De manera análoga,el plano pasa por los puntos (O,3,O) Y (O, 0,2). Las trazas del plano dado son las rectas que pasan por estos pun­ tos y forman el triángulo que se dibuja en la figura 9.7. El triángulo es una excelente ayuda para visualizar la posición del plano dado. • 3x + 6z = 12 (4, O, O) FIgura 9.7 x z I T I < I 4y + 6z = 12 3x + 4y = 12 y Es fácil esbozar un plano que sea paralelo a un eje coordenado y que no pase por el origen. Por ejemplo, la traza del plano 2y + 3z -6 = ° en el plano yz pasa por los puntos (O,3, O) Y (O, O, 2). La traza en el plano xy pasa por (O, 3, O) Y es paralela al eje x, mientras que la traza en el plano yz pasa por (O,0, 2) Y es paralela al eje x. EjercicIos En los ejercicios 1 a 8 localize los puntos. 1. (3,0,O) 5. (-3,4,2) 2. (O,0,3) 6. (4,-3, O) 3. (0,3,O) 7. (-3, -5,-2) 4. (3,5, O) 8. (4,5, -6) En los ejercicios 9 a 12 encuentre la distancia entre los puntos A y B. 9. A(-2,0,-3),B(7,-6,-1) 11. A(1,-6,-2),B(S,4, 1) lO. A(-S,2,4),B(4,O, -2) 12. A(l, -2,3),B(3,4,-5)
    • 290 CAPiTULO 9 COORDENADAS EN El ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES Encuentre las coordenadas del punto medio del segmento de recta que une A y B en los ejercicios 13 a 16. 13. A(-3, --4, -5), B(S, 6, 7) 15. A(1, 2, -3), B(7, -10, 9) 14. A(O, -5, 8), B(8, -3, 12) 16. A(I, -8, 2), B(11, 9, 5) 17. Encuentre las coordenadas del punto que se encuentra a dos tercios de la distancia de A(-7, -5, 3) a B(--4, 13, 6). 18. Encuentre las coordenadas del punto que se encuentra a un quinto de la distancia de A(-7, 2, 1) a B(3, 7, 11). 19. Dados A(1,-1,2) y B(3,3,-I), encuentre las coordenadas de un punto P sobre AB si AP/PB = 37. • 20. Dados A(-S, 8, -3) Y B(6, 5, -5), encuentre las coordenadas de un punto P sobre AB extendido a través de B de modo que JAPJ= 21. Dibuje un cubo que tenga el origen y el punto (6, 6, 6) como vértices opuestos. Es­ criba las coordenadas de los otras vértices si el cubo tiene una cara en cada plano coordenado. 22. Dibuje el paralelepípedo rectangular que tiene tres de sus caras en los planos coordenados así como la recta que une (O, 0, O) Y (5, 6, 8) como extremos de una diagonal. Escriba las coordenadas de los vértices restantes. Describa la superficie representada por cada una de las siguientes ecuaciones. 23. Y = ° 24. z = ° 27. z = --4 28.y =-5 25. x = ° 26. x = 6 29. x = -3 30. z= 1 Describa la superficie representada por cada una de las siguientes ecuaciones. Haga un esbozo de cada una. 31. 2x + 3z = 6 34. x2 + y2 = 9 37. (y - 2)2 + z2 = 4 40. x2 = Z 43. 3x + 2y + z = 6 32. 2y + 3z = 12 35. y2 + z2 = 4 38. (x - 3)2 + Z 2 = 1 41. x2 =y - 1 44. 3x + 3y + z = 9 Progra� �rore�. , , , , Gr¡¡ph'er •• 33. 2x + 5y = 10 36. 4X2 + y2 = 36 39. y2 = 4z 42. 3x + 2y + 2z = 12
    • 9.2 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Y SUPERFICIES CUÁDR/CAS , , 9.2 SUPERFICIES DE REVOLUCION y SUPERFICIES CUADRICAS 291 Se dice que se genera una superficie'de revolución cuando se gira una curva plana alre­ dedor de una recta fija en el plano de la curva. La recta fija se llama eje de la superficie. La trayectoria de cada punto de la curva es una circunferencia con su centro sobre el eje de la superficie. Las superficies de revolución se usan mucho en aplicaciones de mate- , . matIcas. Ejemplo 1 Encuentre la ecuación de la superficie generada al girar la elipse x2 y2 2 + 2 = 1 a b alrededor del eje x. Solución La superficie es simétrica con respecto a cada plano coordenado. Además, si a > b, la superficie tiene un aspecto parecido al de una pelota de fútbol americano. Sea P(x, y, z) cualquier punto sobre la superficie y sea un plano perpendicular al eje x que pase por P (Fig. 9.8). La intersección del plano y de la superficie es una circunferencia. El centro de la circunferencia está en C(x, O, O) Y una intersección de la circunferencia y la elipse dada se ubica en A(x, y ' , O). Los segmentos CP y CA, al ser radios de una circun­ ferencia, tienen la misma longitud. Por tanto, ICPI2 = ICAI2• Sin embargo, • y, en consecuencia, o bien , y • b2 ICA 12 = y'2 = 2(a2 - X2) a Esta es la ecuación de la superficie de revolución. Observe que esta ecuación se obten- dría también reemplazando y2 pory + Z2 en la ecuación dada de la elipse. • La superficie de revolución elíptica que se acaba de mostrar se llama elipsoide y es la superficie que se utiliza para fragmentar piedras en los riñones mediante un triturador de piedras que utiliza ondas de choque. Si una elipse se hace rotar alrededor de su eje mayor para formar un elipsoide, entonces, como se vio en la sección 3.3, cualquier señal que emane de un foco será reflejada hacia el otro foco. Las ondas de luz, las de calor y, en particular, las de choque serán reflejadas de un foco a otro. El triturador de piedras renales es un elipsoide que ha sido partido a lo largo del eje menor de la elipse. Con una fuente de ondas de choque en uno de los focos del interior de la media elipsoide, el mé­ dico coloca al paciente de manera que la piedra en el riñón quede situada en el otro foco. Después de muchos pulsos emitidos por la fuente de ondas, cada uno reflejado hacia el
    • 292 CAPíTULO 9 COORDENADAS EN El ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES otro foco, la piedra se fragmenta en pedazos que pueden ser eliminados por el paciente mediante los procesos naturales de eliminación que posee el·cuerpo. Esta "revoluciona­ ria" técnica que permite evitar la cirugía no es sino otra aplicación moderna de la teoría de las secciones cónicas, la cual se conoce desde hace más de 2000 años. z r-__ y Figura 9.8 x Ejemplo 2 Una recta que forme un ángulo agudo a constante con el eje z se hace rotar alrededor del eje z. Encuentre la ecuación de la superficie así generada. Solución Sea P(x, y, z) cualquier punto sobre la superficie y sea un plano perpendicular al eje z que pase por P (Fig. 9.9). El plano interseca la superficie en una circunferencia con centro en C(O, O, z). El triángulo OCP es un triángulo rectángulo donde C es el vérti­ ce del ángulo recto. En consecuencia, ICPlIlOq = tan a y eco, o, z) . , . . y Figura 9.9 x
    • 9.1 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Y SUPERFICIES CUADR/CAS 293 Esferas • 1CP 12 = 1OC 12tan2a. Sin embargo, ICPl2 == X2 + y y IOC¡2 == Z2 y, por tanto, o bien , donde k == tan a. Esta es la ecuación de un cono circular recto. • Una esfera se puede generar haciendo girar un círculo (o un semicírculo) alrededor de un diámetro. Sin embargo, este método no se usará para encontrar la ecuación de una esfera. Ejemplo 3 Encuentre la ecuación del conjunto de puntos que se hallan a una distancia a del punto C(h, k, 1). Solución Usando la fórmula de la distancia (Sec. 9.1) se escribe inmediatamente I (x - h)2 + (y - k)2 + (z - l? = a2 I (9.4) , Esta se llama forma centro-radio de la ecuación de una superficie esférica. • Al realizar los cuadrados indicados en la ecuación (9.4) se obtiene una ecuación en la forma general X2 + y2 + z2 + Dx + Ey + Fz - H = O. (9.5) Recíprocamente, una ecuación de la forma (9.5) se puede reducir a una de la forma (9.4). Esto se ilustra con la ecuacion x2 + y2 + z2 - 2x + 6y + 8z + 17 = O. Al completar los cuadrados en los términos x, y y z se obtiene (X2- 2x + 1) + (y2 + 6y + 9) + (z2 + 8z + 16) == -17 + 1 + 9 + 16 o bien Esta ecuación, en forma centro-radio, representa una esfera con centró en (1, -3,--4) Y radio3. Ecuaciones de segundo grado La gráfica de una ecuación de segundo grado se llama superficie cuádrica. No es fácil determinar las características y la ubicación de una superficie cuádrica correspondiente a una ecuación general. Para simplificar, se considerarán sólo términos de segundo grado que sean cuadrados de variables y no el producto de dos variables.
    • 294 CAPíTULO 9 COORDENADAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES El recurso principal para examinar la gráfica de una ecuación es observar sus trazas en los planos coordenados y adel!lás, si es necesario, las secciones hechas por planos paralelos a los planos coordenados. Por supuesto, el concepto de simetría puede ser útil. Las trazas y secciones se pueden dibujar con cierto "descuido". De hecho, estas curvas se suelen distorsionar un poco cuando ello ayuda a visualizar la superficie. Para ilustrar el método se utilizan algunos ejemplos. Ejemplo 4 Esboce la superficie cuya ecuación es X2 + y=4z. Solución Al reemplazar x por -x y y por -y no se altera la ecuación; por consiguiente, la superficie es simétrica a los planos yz y xz. No deben asignarse valores negativos a z y, por tanto, ninguna parte de la superficie se encuentra debajo del plano xy. Como x = O, Y= O Y z = O satisface la ecuación, el origen está en la superficie. La traza en el plano yz (x= O) es la parábolay= 4z. La traza en el plano xz (y= O) es la parábola X2=4z, y la traza en el plano xy (z= O) es X2 +y = O, el origen. Cuando se dibujan sólo estas trazas, puede ser dificil visualizar el aspecto de la superficie. Sin embargo, si se obtienen ahora algunas secciones, ello puede conducir­ nos a "atar cabos". Se sustituye z = 1 para obtener una sección paralela al plano xy. El plano z = 1 interseca la superficie en la circunferencia. Figura 9.10 y2 =4z x=O X2 = 4z y=0 x x2+y=4 z o (0,2, 1) X2 = 4(z - 1) y=2 y Se obtienen circunferencias de radios mayores a medida que el plano de intersección se toma cada vez más alejado del plano xy. Debe tenerse ya suficiente información para formar una imagen mental de la superficie, la cual parece un plato de cereal y, como se
    • 9. I SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Y SUPERFICIES CUADRICAS 295 verá (en la subsección titulada "Superficies cuádricas"), se llama paraboloide. (Véase Fig. 9.10.) Como algo interesante, se observa que las secciones paralelas a los planos xz y yz son parábolas. Cuando y = 2, por ejemplo, se encuentra que las otras coordenadas deben satisfacer la ecuación X2 = 4(z - 1). Esta parábola, mostrada en la figura, tiene su vértice en (O, 2, 1). • Ejemplo 5 Esboce la superficie cuya ecuación es 4X2+y+4z2=16. Solución Al reemplazar x por -x, y por -y o z por -z no se altera la ecuación, por lo cual la superficie es simétrica a cada uno de los planos coordenados. A continuación se . obtienen y esbozan las trazas. La traza en el plano yz es la elipse y2 Z2 16+4=1. La traza en el plano xz es la circunferencia X2+Z2 = 4. La traza en el plano xy es la elipse X2 y2 "4 + 16 = L Cuando se dibujen estas trazas, se sugiere una superficie parecida a una pelota de fútbol americano (véase la Fig. 9.11.) Si aún se dificulta la visualización de la superficie, debe­ rán encontrarse secciones en planos paralelos a los ejes coordenados. Por ejemplo, cuan­ do y = ±2, las otras coordenadas deben satisfacer la ecuación X2 + Z2 = 3 Y = - 2 X2 v2 -+ L-=1 4 16 z=O Flgúra 9.11 • X2 + Z2 = 4 y=O X x2+z2 = 3. z , . I ' . ¡" :<'-1 " , .. , �'I· -;· - 1 ' L+ Z"" = 1 16 4 x=O X2 y2 -+-=1 3 12 Z=1 -----y Xl + Z2 = 3 y=2
    • 296 CAPíTULO 9 COORDENADAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES la cual representa una circunferencia de radio.J3. Si continúan las dificultades, pueden obtenerse secciones paralelas al plano xy. Si z = ±1, las otras coordenadas deben satisfa­ cer la ecuación X2 y2 3 + 12 = 1, la cual representa una elipse. Se pueden encontrar otras secciones, pero hay que usar libremente la imaginación; la figura puede enredarse si se dibujan demasiadas curvas auxi­ liares. Esta superficie se llama elipsoide. • Superficies cuádricas • Se analizarán ahora ciertas ecuaciones de segundo grado o cuadráticas, presentadas, se­ gún se dice, en su forma normal. El estudio de estas ecuaciones y sus gráficas, aunque por ahora es sólo de interés geométrico, proporciona información y experiencia que de­ mostrarán su utilidad en otras situaciones matemáticas, particularmente en cálculo. En esta sección se supondrá que a, b y e son constantes positivas. La elipsoide La superficie representada por la ecuación se llama elipsoide (véase la Fig. 9.l2). Se observa en seguida que la superficie es simé­ trica con respecto a cada plano coordenado. Al hacer una por una de las variables igual a cero, se encuentra que las ecuaciones de las trazas son Figura 9.12 X2 y2 a2 + ¡;z = 1 z = O . .. . . .. ,' : ;.' ''',. 'd, o , 1"' - '. , , x2 z2 2+2=a e 1 Y = O , y2 z2 b2 + e2 = 1 x= O . �- , , " -, � ,• c' .!. � /�
    • 9. J SUPERFICIES DE REVOLUCiÓN Y SUPERFICIES CUADRICAS 297 Todas las trazas son elipses. A continuación, se asigna a y un valor definido y = Yo tal que O < Yo < b, Y la ecuación dada se escribe en la forma X2 z2 ,2 a2 + e2 = 1 - b�' Esta ecuación muestra que las secciones hechas por planos paralelos al plano xz son elipses. Además, el tamaño de las secciones elípticas decrece conforme el plano de inter­ sección se aleja del plano xz. Cuando el plano en movimiento alcanza una distancia b del plano xz, la ecuación de la sección se vuelve simplemente X2 z2 2: + 2: = O, a e y, por tanto, la sección es el punto (O, b, O). Se observa entonces que cada uno de los planos Y = b yY = -b contiene un solo punto del elipsoide, y que todos los otros puntos de la superficie se hallan entre estos planos. De manera análoga, se obtienen secciones elípticas para valores de x entre -a ya y para z entre -c y c. De este modo, por el método de las secciones, se obtiene una imagen mental cIara del elipsoide (Fig. 9.13). En el análisis se ha supuesto que a, b y c son constantes positivas cualesquiera. Sin embargo, si dos de las cantidades son iguales, las secciones paralelas a uno de los planos coordenados son circunferencias. Por ejemplo, al tomar a = c y seleccionar un valor ade­ cuadoYo paray, se tiene la ecuación a2 x 2 + z2 = b2(b2 - y6). Se ve, entonces, que los planos paralelos al plano xz cortan la superficie en circunferen­ cias. En este ejemplo, la elipsoide pudo generarse al hacer girar la traza xy o la traza yz alrededor del eje y. Finalmente, sia = b = c, la elipsoide es una esfera. X2 L-2 + 2 - 1 a b z=O x Figura 9.13 • . , , z , . " "" ... I _ .... . � . , i ... 1'"_ " ,._ .... o'. - .... . . I .---- � , J - J � y
    • 298 CAPíTULO 9 COORDENADAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES Hiperboloide de una hoja La superficie representada por la ecuación se llama hiperboloide de una hoja (Fig.9.14). La superficie es simétrica con respecto a cada uno de los planos coordenados. Al hacer z = O, se obtiene la ecuación X2 v2 a2 + b2 = l. Por tanto, la traza xy es una elipse. Si en la ecuación dada se reemplaza z por un valor fijo zo' se obtiene Z61 + 2'e Esta ecuación muestra que las secciones paralelas al plano xy son elipses y que el tama­ ño de las secciones crece conforme el plano de intersección z = Zo se aparta del origen. Si a = b, las secciones son circunferencias y la superficie es una superficie de revolución. Las trazas en los planos xz y yz, son respectivamente, las hipérbolas. X2 z2 a2 - ? = 1 y y2 z2 b2 - e2 = 1 v = O x = O• FIgura 9.14
    • 9.1 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Y SUPERFICIES CUADR/CAS 299 También las secciones paralelas a los planos xz y yz son hipérbolas. (Véase la Fig. 9.15). .,.' x FIgura 9.15 Así mismo, cada una de las ecuaciones x2 y2 z2 - - - + - = 1 a2 b2 c2 z y y representa una hiperboloide de una hoja. La primera rodea al eje y y la segunda al ejex. Es interesante notar que las torres de enfriamiento de plantas generadoras de energía nuclear son hiperboloides de una hoja. Dicha superficie tiene características de resisten­ cia excepcionales. Hiperboloide de dos hojas La superficie representada por la ecuación se llama hiperboloide de dos hojas (Fig. 9.16). La superficie es simétrica con respecto a cada plano coordenado. Al hacer una por una de las variables iguales a cero, se obtie­ nen las ecuaciones y2 z2 - b2 - c2 - I z = O y = O x = O
    • 300 CAPíTULO 9 COORDENADAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES Estas ecuaciones revelan que las trazas xy y xz son hipérbolas y que no hay traza en el plano yz. Las secciones hechas por �l plano x = Xo están dadas por la ecuación Figura 9.1 6 : <� � .<. -,.... . . . ' ., ." , .. . y2 z2 x2 b2 + c2 = a� - l. . -,,- ',' . . . • • Esta ecuación representa un punto o una elipse, dependiendo de si el valor absoluto de Xo es igual o mayor que a. Por ello, la gráfica de la ecuación dada consta de dos partes separadas. Las secciones paralelas a los planos xz y xy son hipérbolas. Sí b = e, las sec­ ciones paralelas al plano yz son circunferencias y, en este caso, la hiperboloide de dos hojas es una superficíe de revolución. Las hiperboloides de dos hojas también se representan con las ecuaciones y La superficie correspondiente a esta última ecuación se presenta en la figura 9.17. Paraboloide elíptica La superficie representada por la ecuación
    • 9. I SUPERFICIES OE REVOLUCiÓN Y SUPERFICIES CUÁORtCAS Figura 9.17 x " . ..,. .... . • z 301 se llama paraboloide elíptica (Fig. 9.18). La traza xy, obtenida al hacer z = O, es el ori­ gen. Como se supone qle a, b y e son constantes positivas, la superficie, excepto por el origen, está arriba del plano xy. Un plano paralelo al plano xy que corte la superficie lo hará en una sección elíptica, cuyo tamaño crecerá conforme el plano se aleje del origen. A partir de esta información, la superficie se puede visualizar fácilmente (véase la Fig. 9.19). Si a = b, las secciones paralelas al plano xy son circunferencias. En este caso, la superficie se puede obtener girando la traza xz o bien la traza yz alrededor del eje z. Figura 9.18
    • , CAPITULO 9 COORDENADAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES Las paraholoides elípticas también se representan con las ecuaciones by, Figura 9.19 x y .' ... o o y- z- h2 + e2 = ax. z . . • _. • p , I ' '---..._ - ;��•,�I J:-:;.�.f . ¡; .. , .. ., " "' Paraboloide hiperbólica La superficie representada por la ecuación o 1 x- y- a2 - b" -e; y se llama paraboloide hiperbólica (Fig. 9.20). La superficie es simétrica con respecto a los planos y= y.Yo? La traza xy está dada por el par de ecuaciones simultáneas o o x- ,,- a2 - h" = O z = O o bien I (X v - + '­ a b X V, - - - a b = O • z = O Por tanto, la traza es un par de rectas que se intersecan en el origen. La sección de un plano paralelo al eje xy se representa con la ecuación x2 ,,2 -" - b' J = -czo· a- -
    • 9. I SUPERFICIES DE REVOLUCiÓN Y SUPERFICIES CUÁDRICAS Figura 9.20 • 303 Esta es una hipérbola con eje transversal paralelo al eje r cuando Zo es positivo y parale- lo al eje x cuando Zo es negativo. Las secciones paralelas al plano "z y al plano )'Z son parábolas. El análisis anterior sugiere que la paraboloide hiperbólica es una superficie con aspecto de silla de montar. La figura 9.21 ayudará a visualizar la superficie. z Figura 9.21 Cono elíptico La superficie representada por la ecuación - - -, c- se llama cono elíptico (Fig. 9.22). Al hacer x, y y z, una por una, iguales a cero se en­ cuentra que las ecuaciones de las trazas son X2 y2 x2 z2 y2 z2 a2 + b2 = O -¡¡¡ -2 P - c2, e , z = O Y = O x = O
    • 304 , CAPITULO 9 COORDENADAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES z y x Figura 9.22 Las ecuaciones revelan que la traza xy es el origen y que cada una de las otras trazas es un par de rectas que se intersecan en el origen. Las secciones paralelas al plano xy son elipses, mientras que las paralelas a los otros planos coordenados son hipérbolas. Si a = h, el cono es un cono circular recto. Los conos elípticos también se representan con las • ecuaciones y Es posible lograr traslaciones de los ejes al nuevo origen (h; k, 1) usando las ecuaciones x' = x - h , y' = y - k, z' = z-/, Así, la ecuación (x - 1)2 + (y - 2)2 = 4(z - 3) representa el mismo paraboloide del ejemplo 4 de esta sección, excepto que el vértice está localizado ahora en el punto (1, 2,3). Para graficar la ecuación sólo se necesita tras­ ladar el punto (1, 2,3), construir un conjunto de ejes x', y' y z' y graficar la ecuación x'2 + y'2 = 4z', Así mismo, si la ecuación se presentara en la forma X2 + y - 2x - 4y - 4z + 17 = 0, sólo se añadiría una pequeña dificultad, pues al completar los cuadrados y trasladar, se llega a la misma ecuación, Vale la pena notar que todas. las ecuaciones mencionadas en esta sección se pueden encontrar en estas formas. " o
    • EJERCICIOS 305 Ejercicios Las siguientes ecuaciones representan esferas. Encuentre las coordenadas del centro de la esfera, el radio y esboce cada una. 3. X2 + .1+ Z2 - 6x +4y - 8z - 7 = O 4. X2 +.1 + Z2 + 4x + 6y + 8z = O 2. X2 +y + Z2-2y - 6z = O 5. Encuentre la ecuación de la superficie generada al girar la elipse alrededor del eje y. 6. Encuentre la ecuación de la superficie generada al girar la parábola y2 = 4x alrede­ dor del eje x. En los ejercicios 7 a 16 identifique y esboce cada superficie cuádrica. x2 y2 z2 x2 y2 z2 7. 4"" + 16 + 9 = 1 8. 4"" + 9 + 9 = 1 10. 16x2 - 16y2 + 9z2 = 144 1 12. z2 - 4x2 - 9y2 = 36 X2 y2 13. 4 + 9 = z 14. x2 + y2 + z + 4 = O • 15. 9x2 + 9y2 = z2 En los ejercicios 17 a 20 esboce cada superficie cuádrica después de completar cuadra­ dos y trasladar los ejes. 17. X2 + 2y2 - 2x - 8y - 3z + 9 = O 18. 9X2 + 16.1 - 36z2 - 18x + 72z = 171 19. 4x2 + 4y2 + Z2 - 16x - 8y- 6z + 25 = O 20. X2 +.1- Z2- 2x + 2y + 2 = O 21. La superficie de una antena para TV por satélite se obtiene haciendo girar una pará­ bola alrededor de su eje (véase la Fig. 9.23). El receptor se encuentra a 70 centíme­ tros del vértice, como en el ejercicio 42 de la sección 3.2. Encuentre la ecuación de la superficie de la antena parabólica.
    • 306 FIgura 9.23 CAPíTULO 9 COORDENADAS EN El ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES 22. ¿Por qué no se usa una paraboloide de revolución en lugar de una elipsoide de re­ volución en el diseño del triturador de piedras que recurre a ondas de choque? , , 9.3 COORDENADAS CllINDRICAS y ESFERICAS* Es natural plantear la pregunta de si existe un sistema coordenado tridimiensional que generaliza el sistema coordenado polar en el plano. En esta sección se responderá a di­ cha pregunta. De hecho, existen dos sistemas de coordenadas en el espacio que extien­ den el sistema de coordenadas polares en el plano. Uno de tales sistemas, el sistema coordenado cilíndrico, utiliza coordenadas polares en el plano xy junto con la coordenada z tal y como se presentó antes en este capítulo. Así, a cada punto en el espacio se le asigna una o más ternas P(r, e, z), como se ilustra en la figura 9.24, donde z es la distancia a la que P está del plano xy, ya sea por arriba o por abajo, en tanto que r y e son las coordenadas polares de la proyección de P sobre el plano xv. * Esta sección puede omitirse.
    • 9.3 COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS Figura 9.24 x z o 307 P(r. O. z) z y Fácilmente se puede observar que la gráfica en coordenadas cilíndricas de la ecua­ ción r = l es un cilindro de radio I alrededor del ejez (véase la Fig. 9.25). z .'. I . ,c,..... ::: r -, �., • y x Figura 9.25 El sistema coordenadoesférico es el otro sistemaque generaliza las coordenadas pola­ res y que posee un valor considerable para ciertos problemas. En coordenadas esféricas, a cada punto P en el espacio se le asocia una terna (p, e, ep) de números que representan una distancia r y dos ángulos e y ep. El númeror es la distancia IOPI del puntoP al origen y, por ende, se trata de una cantidad no negativa. El ángulo ep representa el ángulo entre el eje z . positivo y la línea OP, tal y como se ilustra en la figura 9.26. Se necesita que O < ep < n. La segunda coordenada, e, es la misma que en coordenadas cilíndricas. Es el ángulo entre el. ejex positivo y la proyección OQ de OP sobre el planoxy, como se muestra enla figura9.26.
    • 30B Figura 9.26 CAPíTULO 9 COORDENADAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES z pepo (). rp) y x Q En coordenadas esféricas, la gráfica de la ecuación r = 1 es una esfera de radio 1 con centro en el origen. Cabe aclarar que algunos textos invierten el orden en que 8 y (jl aparecen en coorde­ nadas esféricas; así podría aparecer (p, ({J, 8), donde aparece (p, 8, CP). Se considera ahora el problema del paso de un sistema coordenado tridimtmsional a otro. Teorema 9.6 Si (x, y, z) y (r, 8, z) son las cootdenadas rectangulares y cilíndricas, respectivamente, del mismo punto en el e'spacio, y x = r cos (J, y = r sen (J, z = z (9.6) tan (J=y/x, z = z. (9.7) Demostración Estas ecuaciones simplemente son las relaciones que aparecen en las ecuaciones (7, 1) a (7.5) del capítulo 7, junto con el hecho de que la coordenada z es la misma tanto en coordenadas rectangulares como en cilíndricas. Ejemplo 1 Encuentre las coordenadas cilíndricas del punto con coordenadas rectangu­ lares (-1, -1, -1). Solución Se tiene r =../2, tan (J = 1, Y x < O; de manera qUe se puede utilizar la ecua­ ción (7.6) para encontrar que 8 = 51t/4. Las coordenadas cilíndricas de (-1, -1; -1) son (../2, 51t/4, -1). •
    • 309 Ejemplo 2 Describa la gráfica en coordenadas cilíndricas de la superficie que tiene por ecuación r= 3(1 +senO) Solución Note que zno aparece en la ecuación, así que para cada valor de z, la curva es la cardioide r= 3(1+senO), como la de la figura 7.18. La superficie es un cilindro infinitamente largo en forma de corazón como se muestra en la figura 9.27. • z y FIgura 9.27 x Teorema 9.7 Si (x. y. z) y (p, e, 'P) son las coordenadas rectangulares y esféricas, respectivamente, de un punto P en el espacio, entonces x = p sen cp cosO, y=psen cpsenO, z =pcos cp (9.8) y (9.9) Demostración En la figura 9.26 se puede ver que si OQ es la proyección de OP sobre el plano xy, entonces IOQI = r senj, y por ende x= IOQIcos 0=psen cpcos 0, y=IOQIseri 6 = Psen qJsen 6. Así mismo, z = p cos 'P. La ecuación (9.9) se obtiene de inmediato a partir de la fórmula para la distancia [véase la eco (9.1)]. Ejemplo 3 Encuentre las coordenadas esféricas del punto que en coordenadas rectan­ gulares se expresa como (2, 2, O). Solución Se tiene p=../8= 2 ,J2,de manera que z=pcos cpse obtiene O= 2 ,J2cos qJ Por consiguiente, cp = tr/2. Finalmente,sustituyendo los valores de p yde qJen x=psen qJcos 0,resulta que
    • 310 CAPíTULO 9 COORDENADAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES 2 = 21'2 sen ;cos 8, 1 cos 8 = 1'2' 1T 8 = ¡. Las coordenadas esféricas de (2,2,O) son (2.J2, n/4, n/2). • EJERCICIOS l. Encuentre las coordenadas cilíndricas de <oualquier punto en el plano xy. 2. Encuentre las coordenadas esféricas de cualquier punto en el planoxy. En los ejercicios 3 a 6 convierta de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas. 3. (0,1,0) 4. (2,2,-4) 5. (-2,2,4) 6. (1,2,3) En los ejercicios 7 a 10 convierta de coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangula­ res y a coordenadas esféricas. 7. (O, 1, O) 8. (2,2,-4) 9. (-2,2,4) 10. (O, 0,1) En los ejercicios11 a 14 convierta de coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangula­ res y a coordenadas esféricas. 11. (1, n/2, 1) 12. (1,0,2) 13. (O, n/4, -1) 14. (2,-n/4,-I) 15. Grafique e = n/6 en coordenadas cilíndricas y en coordenadas esféricas. 16. Grafique <p = n/6 en coordenadas esféricas. 17. Un insecto se arrastra a lo largo de un tubo de 3 pulgadas de radio según la regla z = 2e, O < e < 4n. Esboce la trayectoria que se conoce como hélice. EJERCICIOS DE REPASO En cada uno de los ejercicios 1 a 4,encuentre la dis­ tancia de A aB,el punto medio de AB, el punto P que' está a 1/5 de la distancia de A aB y un punto P sobre AB extendido más allá de B, de modo que AB sea 1/4 deBP 1. A(l, 2, 3),B(II, 12,5) 2. A(D,-2,3),B(5, 3, -7) 3. A(I,-I,-I),B(-4,9,4) 4. A(-2,-3, -4), B( 3,7, 11) Dibuje los planos cuyas ecuaciones son 5. Y = 4 6. z = - 3 7. x = 5 8. x + 2' = 4 9. 3x + 4y + z = 12 1 D. ¿Cuál es la ecuación general de un plano si pasa por el origen?
    • 11. ¿Cuál es la ecuación de (a)el plano xy, (b) el pla­ no yz (c) el plano xz? 12. ¿Qué superficies están representadas por (a) xy = O, (b)xz = O Y (c)yz = O? 13. Dado el plano cuya ecuación es Ax + By + Cz + D = O. Encuentre las intersecciones con cada uno de los ejes y la traza en cada plano coordenado. Describa la superficie representada por cada una de las siguientes ecuaciones. Esboce cada una. 14. x - y = O 16. y2 = 9 15. 4x + 3z = 12 17. X2 - 6x + 9 = O 18. X2 + y2 = 9 20. Y = 4x2 19. (x - 3)2 + z2 = 4 21. Y = sin x 22. x2 + y2 + z2 = 25 Términos Clave coordenadas rectangulares tridimensionales, pág. 281 octantes, pág. 281 distancia entre puntos, pág. 281 simetría, pág. 285 cilindro, pág. 272 superficie de revolución, pág. 287 • 1. Encuentre la distancia entre los puntos (2, 3, 5) Y (-1, 2, -3). 2. Encuentre el punto medio del segmento que une los puntos (2, 3,5) Y (-1, 2, -3). 3. Describa la superficie representada por la ecuación a)X2 + z = 1 b)x+2y=4 c) X2 + y +Z2 +2x + 8y + 6z = O 311 En los ejercicios 23 a 28 identifique y esboce cada su­ perficie cuádrica. X2 y2 Z2 23. "9 + '4 + 16 = 1 X2 y2 25 . 16 + "9 = z y2 x2 z2 . 27. 16 - "9 - ¡ = 1 X2 y2 Z2 26 - + - = -. 9 4 16 En los ejercicios 29 a 32 convierta de coordenadas rec­ tangulares a coordenadas cil.índricas y esféricas. 29. (O, 1, -1) 31. (2, 1, O) 30. (-2,-1,0) 32. (-1,-1,-3) 33. Encuentre la ecuación que representa la superficie x2y2 +Z2 = 4 en coordenadas cilíndricas y en coor­ denadas esféricas. superficie cuadrática, pág. 29 I elipsoide, pág. 296 hiperboloide, págs. 298, 299 paraboloide, págs. 300, 301,302 coordenadas cilíndricas, pág. 306 coordenadas esféricas, pág. 307 d) y2/9 -x2/4 - z2116 = 1 e)X2 +y + z + 9 = O 4. Grafique e = 1t/4 en coordenadas cilíndricas y en coordenadas esféricas. 5. Convierta (1, 1,1) de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas y a coordenadas esféricas. 6. Transforme la ecuación X2 + y2 + Z2 = 9 a coorde­ nadas esféricas.
    • Capítulo Vectores, lanos s Muchas cantidades físicas tienen las propiedades de magnitud y dirección. Una canti­ dad de este tipo se llama cantidad vectorial. Por ejemplo, una fuerza se caracteriza por su magnitud y su dirección de acción. Si se excluyera alglJna de estas propiedades, la fuerza no quedaría completamente especificada. La velocidad de un cuerpo en movimiento se detellllina por su velocidad (magnitud) y su dirección de movimiento. La aceleración y el desplazamiento son otros ejemplos de cantidades vectoriales. Los vectores son de gran importancia en física e ingeniería. También se obtiene gran provecho de ellos en las matemáticas puras. En particular, el estudio de geometría analíti­ ca sólida se facilita con la ¡tplicación vo inmediato al introducir vectores es usarlos para trabajar con planos y rectasen el espacio. Es importante notar que el tratamiento de vectores presentado aquí es primitivo en comparación con las complejas formulaciones sofisticadas que hoy día usan los matemáti­ cos y los ingenieros. Los vectores, en cualquier nivel de abstracción, se han convertido en uno de los conceptos más útiles en las matemáticas modernas. Buena parte de las ma­ temáticas aplicadas dependen de la comprensión de la noción de vector. Para obtener una representación geométrica de una cantidad vectorial, se empleará un segmento de recta dirigido diferente de cero (Sec. 1. 1) cuya longitud y dirección representan la magnitud y la dirección, respectivamente, de la cantidad vectorial. A fin de tener una base para investigar problemas que incluyan cantidades vectoriales, se pre­ sentarán algunas definiciones y se enunciarán algunos teoremas útiles. La denotación de un vector se hará mediante una letra en negrita o dando su punto inicial y su punto final. De este modo,en la figura 10.1el vector (flecha)se traza de Oa P y se indica por OPo A. El punto Ose llama piedel vector y el punto P se llama cabeza. Los vectores B y -B de la figura tienen la misma longitud que A. Los vectores A y B tienen la misma dirección, pero -B tiene dirección opuesta. Los tres vectores están relacionados de acuerdo con la siguiente definición.
    • 3J4 Figura 10. I � . ' . -- •• A o .." . _- p B , CAPITULO J O VECTORES, PLANOS Y RECTAS -B De acuerdo con esta definición, se notará que los vectores con igual longitud y di­ recciones distintas no son iguales, y que los vectores con la misma dirección y longitu­ des distintas no son iguales. 10.1 OPERACIONES CON VECTORES • Las operaciones de suma, resta y multiplicación de vectores se definen de manera dife- rente de las operaciones correspondientes con números reales. Las nuevas operaciones se denominan así para enunciar una teoría adecuada para el estudio de fuerzas, velocidades y otros conceptos físicos. , NOTA HISTORICA La noción de vector, como se presenta aquí, se debe al físico matemático estadounidense Josiah WilIard Gibbs (1839-1903), de Yale. Su obra Vector Analysis (1881) hizo que estas ideas fueran accesibles a un público más amplio. La American Mathematical Society lo honra en cada una de sus reuniones anuales con una conferencia en su nombre.
    • 10.1 OPERACIONES CON VECTORES 315 Esta definición se ilustra en la figura 10.2. La suma de los vectores se llama resul­ tante y cada uno de los vectores que forma la suma se llama componente. El triángulo formado por los tres vectores, A, B Y A + B, se llamatriángulo vectorial. Este método de sumar vectores se usa enfísica en donde se muestra, por ejemplo, que dosfuerzas apli­ cadas a un punto de un cuerpo tienen exactamente el mismo efecto que una sol a fuerza igual a su resultante. FIgura 10.2 A Teorema 10.1 La suma vectorial es conmutativa. Demostración Es necesario demostrar que si A y B son dos vectores cualesquiera, en­ tonces A + B = B + A. Para ello, se dibujan A y B a partir del punto O (Fig. 10.3) Y después, se completa un paralelogramo con los vectores formando lados adyacentes. Como los lados opuestos de un paralelogramo son iguales y paralelos, se observa que el pie de B en la parte inferior de la figura está en la cabeza de A. Por tanto, la suma A + B se encuentra a lo largo d� la diagonal que se extiende desde O y, de la parte superior de la figura, se observa que B + A está a lo largo de la misma diagonal. Se concluye enton­ ces que A + B = B + A, lo cual significa que los vectores son conmutativos con respecto a la suma. A B FIgura 10.3 o A
    • 316 CAPíTULO 1,0 VECTORES, PLANOS Y RECTAS Teorema 10.2 Los vectores obedecen la ley asociativa de la suma. Demostración Dados tres vectores A, B Y C, se probará que (A + B) + e = A + (B + C). A partir de la figura 10.4 se observa que OE = A + B Y que al agregar C a esta suma se obtiene , OF = (A + B) + C. De manera análoga, DF = B + C y, al agregar esta suma a A, se tiene OF = (A + B) + C. F E A +B o A Figura 10.4 D Por tanto, las sumas (A + B) + C Y A + (B + C) tienen la misma resultante; en conse­ cuencia, la suma vectorial es asociativa. Figura 10.5 R A-B ---------------------- B o A-B Q -B
    • 10.1 OPERACIONES CON VECTORES 317 Con referencia al paralelogramo OPQR en la figura 10.5, se observa que el vector de O a P es igual a A - B Y que el vector de R a Q también es igual a A-B. De modo que, de manera alternativa, si A y B se dibujan desde un punto común, el vector que va de la cabeza de B a la cabeza de A es igual a A-B. Cuando en un problema o en un análisis se incluyen números y vectores, algunas veces a los números se les llama escalares para distinguirlos de los vectores. Esta definición se ilustraen la figura 10.6, dondeelescalarm tiene los valores-2 y4/3. A -2A .. Figura !0.6 • Teorema 10.3 Si m y n son escalares y A Y B son vectores, entonces (m + n)A = mA + nA y meA + B) = mA + mB. (10.1) (10.2) Demostració" Se deja al estudiante la demostración de la ecuación (10.1). Para probar la ecuación (10.2), se nota que A, B Y A + B forman los lados de un triángulo (Fig. 10.7). Si cada uno de estos vectores se multiplica por un escalar m distinto de cero, los produc­ tos mA, mB y meA + B) pueden colocarse de modo que formen un triángulo en el cual meA + B) = mA + mB (Fig. 10.8). Por tanto, como lo expresan las ecuaciones ( 10.1) Y ( 10.2), los escalares y los vectores obedecen la ley distributiva de la multiplicación.
    • 318 Figura 10,7 B CAPíTULO 10 VECTORES, PLANOS Y RECTAS m(A+B) mB A mA Figura 10.8 Se buscará una interpretación de la diferencia de un vector con él mismo y el pro­ ducto de cero y un vector. Esto es, si A es un vector, ¿qué significado debe darse a A - A Y a (O)A? Para que estas cantidades sean vectores, las definiciones (10.4) Y (10.5) requieren que, en cada caso, la longitud sea igual a cero. Para manejar una situación de este tipo, se acostumbra ampliar el concepto de vector hasta incluir a uno de longitud cero, el cual se conoce como vector cero. Algunas veces conviene encontrar dos vectores cuya suma sea igual a un vector dado. Se dice, entonces, que el vector dado se ha descompuesto en dos componentes. Las com­ ponentes pueden estar a lo largo de dos direcciones cualesquiera en un plano que conten­ ga al vector dado. Una construcción gráfica de las componentes se puede obtener al formar un triángulo vectorial en el cual un lado sea el vector dado. Así, las componentes están a lo largo de los otros lados. Vectores en un plano de coordenadas rectangulares Hasta ahora no se ha usado un sistema coordenado al considerar los vectores. Sin embar­ go, muchas operaciones de vectores se pueden realizar fácilmente con la ayuda de un sistema coordenado. Para comenzar el estudio de vectores en un plano coordenado se presentan dos vectores especiales, cada uno de longitud unitaria. Uno de estos vectores, cuya denotación es i, tiene la dirección del eje x positivo; el otro vector, cuya denotación es j, tiene la dirección del eje positivo y. Cada uno de estos vectores, así como cualquier vector de longitud unitaria, se llama vector unitario. Como los vectores con la misma longitud y la misma dirección son iguales (Defini­ ción 10.2), cada uno de los vectores i y j puede extenderse desde cualquier punto escogi­ do del plano coordenado, pero suele ser conveniente colocarlos de modo que se extiendan desde el origen (Fig. 10.9). El producto mi es un vector de longitud m unidades y tiene la dirección de i si m es positivo y la dirección opuesta si m es negativo (Definición 10.5). Una afirmación análoga se aplica al producto mj. Usando estos hechos, se señalará que cualquier vector puede expresarse en términos de los vectores unitarios i y j. Sea V un vector desde el origen al punto (a, b), como se muestra en la figura 10.10. Está claro que aí y bj son las
    • JO. J OPERACIONES CON VECTORES Figura 10.9 319 y (O. 1) • J ---r----------�� -------.� x O • I (1. O) componentes horizontaly vertical del vector dado y, por tanto, V = ai + bj. El vector ai se llama componentex deV y bj, componente y. y (a. b) bj x OFigura 10.10 • al • Continuando con el vector V, se hacen las siguientes observaciones: como la longi­ tud de la componentex deV es a y la longitud de la componentey esb, se puedeusar el teorema de Pitágoras para hallar la longitud o magnitud de V. De esta manera, si la denotación de la longitud es IVI. se tiene IVI = Va2 + b2. Si se divideV entre IVI, el resultado es un vector unitario con la misma direcciónqueV. Por ejemplo, la longitud deV = 3i - 4j es y IVI = jC'9-+-1 '-:6 = 5. V IVI 3i - 4j 3. 4.= -1 - -J 5 5 5 es un vector unitario con la misma direcciónque 3i - 4j.
    • 320 Teorema'0,4 CAPíTULO 10 VECTORES, PL ANOS Y RECTAS Si los vectores V, y V2, en términos de sus componentes x y de sus componentesy, son V¡=a¡i+bd y V2=a2i + b2j, entonces, (10.3) y (10.4) Demostración Si el pie de V, está en el origen, la cabeza Se hallará en el punto (a" b,). Entonces, si el pie de V2 está en la cabeza de VI' la cabeza estará en el punto (a, + a2, b, + b), Y el vector del origen a este punto se expresa como • (a, + a2)i + (b, + b2)j, lo cual, por la definición 10.3, es igual a V, + V2. Se deja al estudiante la demostración de la fórmula (10.4). Aunque la fórmula (10.3) resulta fácilmente de la definición de la suma de dos vectores, vale la pena notar que la fórmula se puede probar usando los teoremas 1O.l, 10. 2 Y 10.3. Por consiguiente, VI + V2 = (alí + b¡j) + (a2i + b2j) = ali + a2i + bd + b2j = (al + a2)í + (b¡ + b2)j· Debería mencionarse aquí que si P,(x" y¡) y P2(X2,y) son dos puntos, entonces . PIP2 = (x2 - xl)i + (h - YI)j. Esto es fácil de observar pues si O es el origen, entonces OPI = Xli + y¡j, y PIP2 = OP2 - OPI' Ejemplo 1 Se dibujan vectores del origen a los puntos P(3,-2) Y Q(l, 5). Señalando, estos vectores como OP = A Y OQ=D, encuentre A + D Y A-D. Solución Los vectores dados, en términos de sus componentes x y sus componentesy, son A = 3i - 2j Entonces, por el teorema anterior, y B = i + 5j. y A + B = (3 + l)i + (- 2 + 5)j = 4i + 3j A - B = (3 - l)i + (-2 - 5)j = 2i - 7j.
    • 10.1 OPERACIONES CON VECTORES 321 Estos dos resultados se ilustran en la figura 10.11. Como se señaló en la figura 10.5, el vector A - B, es igual al vector que se extiende de la cabeza de B a la cabeza de A. En la figura, el pie de A - B no está en el origen. Sin embargo, un vector igual a A - B con su pie en el origen tendría (2, -7) como coordenadas de su cabeza. • y y Q(1,5) Q(1,5) B (4, 3) B A - B B x x P(3, -2) P(3, -2) Figura 10.11 Ejemplo 2 Encuentre las coordenadas del punto medio del segmento de recta que une los puntos P(-2, 4) Y Q(8, 2). Solución Se encuentra primero el vector que va del origen al punto medio del segmento de recta. Este vector es igual al vectorque va del origen a P más la mitad del vector que va de P a Q (Fig. 10.12). Si las denotaciones de los vectores del origen a P y a Q son A y B, respectivamente, se tiene A = -2i + 4j, B = 8i + 2j, B - A = lOi - 2j. Entonces, el vectorV que se busca es 1 V = A + 2(B - A) = (- 2i + 4j) + �(lOi - 2j) = 3i + 3j. Este resultado muestraque la cabeza deV se encuentra en el punto(3, 3) Y que éstas son las coordenadas del punto medio de PQ. •
    • 322 CAPíTULO J O VECTORES, PL ANOS Y RECTAS y P(-2,4) Q(8, 2) B x Figura 10,12 o Ejemplo 3 Encuentre los vectores del origen a los puntos de trisección del segmento de recta que une los puntos P(l, 3) Y Q(4, -3). Indique las coordenadas de los pun­ tos de trisección. Solución Uno de los vectores que se buscan es igual al vector que va del origen a P más un tercio del vector que va de P a Q (Fig. 10.13). El otro vector deseado es igual al vector que va del origen a P más dos tercios del vector que va de P a Q. Si los vec­ tores que van del origen a P y Q se denotan como A y B, respectivamente, se escribe y o Figura 10.13 P(l,3) A PQ = B - A Q(4,-3) A = i + 3j, B = 4i - 3j, B - A = 3i - 6j. Por tanto, uno de los vectores VI que se busca es x
    • 10.1 OPERACIONES CON VECTORES El otro vector V2 es 1 VI = A + -(B - A) 3 = (i + 3j) + �(3i - 6j) = 2i + j. V2 = (i + 3j) + �(3i - 6j) = 3i - j. 323 Los vectores2i + jy3i - j indican que las coordenadas de los puntos de trisección son (2,I)y(3,-I). • Los ejemplos2y3 duplican, en terminología vectorial, los resultados de la sección 1.3 e ilustran una técnica más general. Para encontrar la ecuación de todos los vectores V que van del origen a la rectaque pasa por los extremos de los vectores A = a]i + a2jy B = b]i + b2j, debe notarse queV = A + t (B - A) para algún número real t. Entonces, V = A + t(B - A) = alí + a2j + t(b¡ - a¡)i + l(b2 - a2)j = «(1 - t)a¡ + lb¡)i + «(1 - t)a2 + tb2)j· Esto determina el vector V en términos del parámetro t. Observe que cuando t = 0, V = A; Y que cuando t = 1, V = B. Para O < t < 1, el extremo de V cae a lo largo deB - A. Ejemplo 4 Encuentre la ecuación paramétrica para los vectoresque van del origen a la rectaque uneP(1, 3) Y Q(4, -3). Solución Los puntos son los mismosque los del ejemplo 3,y es suficiente con la figura 10.13. A partir del análisis, se sabe que el vector V que va del origen aPQ = B - A está re presentado por V = A + t(B - A) = (i + 3j) + t(3i - 6j) = (3t + l)i + (3 - 6t)j, donde t es un número real arbitrario. • Ejemplo 5 Una fuerza está representada en magnitud (kilogramos) y dirección por el vector 6í+8j. Una segunda fuerza está representada por !Oí + 24j. Encuentre una re­ presentación vectorial para una sola fuerza que sea exactamente .equivalente a estas dos
    • 324 CAPíTULO 10 VECTORES, PLANOS Y RECTAS fuerzas actuando simultáneamente, ¿Cuáles son las magnitudes de las tres fuerzas? Pro­ porcione la dirección de la resultante, indicando el ángulo (al grado más cercano) que forma con el eje x positivo, ¿Qué ángulo (al grado más cercano) forma la resultante con la dirección de la primera fuerza? Solución Sean VI' V2 y V los vectores que representan a las fuerzas primera, segunda y resultante, respectivamente (Fig, 10,14), Entonces, , V = VI + V2, V = (6i + 8j) + (lOi + 24j) = 16i + 32j. Esta es la representación vectorial de la fuerza que reemplaza a las otras dos. Ahora bien, Ivll = Y36 + 64 = víOO = 10 libras Iv21 = Y100 + 576 = v'676 = 26 libras y Ivl = Y256 + 1024 = YI280 = 16Vs libras Si e es el ángulo que forma la resultante con el eje x positivo (Fig. 10.14), entonces 32 tan () = 16 = 2, () = tan-12 = 63°. y 30 1 1 25 1 1 1 20 1 1 v2 1 15 1 1 1 10 1 1 1 5 1 1 1 x FIgura 10.14 O 5 10 15 20
    • 10. I OPERACIONES CON VECTORES 325 Si cp es el á ngulo que forma la resultante con la dirección de la primera fuerza (Fig. 10.14), entonces, por la ley de los cosenos, 102 + ( 161'5)2 - (26)2 cos 4J = 2(10)(16Vs) = 0.9839, 4J = cos-10.9839 = 10°. • Ejemplo 6 En el lenguaje de la navegación aérea el rumbo de un vector V es el ángu-, lo, medido en el sentido en que giran las manecillas del reloj, que V forma con el ejey positivo (dirección norte) . Un aeroplano se desplaza en dirección este (rumbo 90°) con una velocidad con respecto al viento (como si éste fuera el sistema de referencia) de 200 km/h. El viento sopla a razón de20 km/h desde el suroeste. Encuentre la velocidad con respecto al suelo y la trayectoria real del aeroplano. Solución Si se permite que los vectores H y W representen las direcciones en que se mueven el aeroplano y el viento, respectivamente, resulta que H = 200i, IWI = 20, Y el rumbo de W es de 45°. Así, W queda representado por un vector de la forma ai + aj, donde a2 + a2 = 202 , o a = 10.J1 . Se tiene que W = 10.J1 i + 10.J1 j, y se buscan la orientación y la magnitud de H + W = (200 + 10.J1)i + 10.J1 j. De la figura 10. 15 se observa que si f) es la orientación deH + W, entonces y IH + WI N w Figura 10.15 s V(200 + 1012)2 + ( 1012)2 10(21.46) = 214.6. H+ H E
    • 326 CAPíTULO J O VECTORES, PLANOS Y RECTAS la trayectoria del avión tiene rumbo de 86° con una velocidad de 215 km/h con respec­ to al suelo. • Ejercicios En cada uno de los ejercicios I a 8, sea P el vector dibujado del origen al primer punto y Q el vector dibujado del origen al segundo punto, Encuentre, en forma de componentes, P, Q, PQ,P + Q y P - Q, Encuentre la longitud o magnitud de P en cada caso. Dibuje todos los vectores. l. P(3, 2), Q(S, -4) 3. P(-4,5), Q(-2,-3) 5. P(O,3), Q(-4,-2) 7. P(- I , -3),Q(3,4) 2. P(4,O),Q(O,5) 4, peS, 6),Q(-3, -3) 6. P(-I, 7), Q(2, -3) 8. P(3, -12),Q(4, -1) En cada uno de los ejercicios 9 a 12 determine un vector unitario que tenga la dirección del vector. 9. 4i - 3j 10. Si+12j 11. i+Sj 12. -i- 7j En los ejercicios 13 a 16 determine un vector que tenga la dirección del vector dado y con la longitud dada. 13. 3i + 4j, longitud 8 15. i - j, longitud S 14. -Si + 12j, longitud 15 16. 2i - 3j,longitud 10 En cada uno de los ejercicios 17 a 20,use el método del ejemplo 2 para encontrar las coordenadas del punto medio del segmento de recta que une a P y Q. 17. P(2, 3), Q(6, -5) 19. P(-3,-2), Q(7,4) 18. P(3,8), Q(-7, 2) 20. P(al' b),Q(a2, b2) En cada uno de los ejercicios 21 a 24,use el método del ejemplo 3 para encontrar las coordenadas de los puntos de trisección de los segmentos de recta que unen P y Q. 21. P(-4, -4), Q(S, 2) 23. P(3, 3), Q(-6, -3) 22. P(-8, 5), Q(1, -7) 24. P(al' bl), Q(a2,b) En los ejercicio 25 a 28,use el método del ejemplo 4 para encontrar la representación paramétrica de un vector que va del origen a la recta que pasa por P y Q. • 25. P(-4, -4), Q(S, 2) 27. P(O, 1), Q(-3,-2) 26. P(3,8),Q(-7,2) 28. P(O. a), Q(b,O) 29. Una fuerza se representa con 2i + 8j Y una segunda fuerza se representa con 3i + 4j. Encuentre el vector que representa la fuerza resultante y el ángulo (al grado más próximo) que forma con la dirección de la segunda fuerza.
    • J 0.2 VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL 327 30. La resultante de dos fuerzas está dada por 9i + 15j. Si una de las fuerzas está dada por 4i + 3j, encuentre un vector para la segunda fuerza y el ángulo (al grado más próximo) entre las direcciones positivas de las dosfuerzas componentes. 31. Un aeroplano tiene una velocidad de crucero de 300 km/h. Se dirige en dirección sur (rumbo 180°) , pero, debido a un fuerte vientoque viene del oeste, su velocidad con respecto al suelo es de 310 km/h. Encuentre la velocidad del viento y la trayec­ toria del aeroplano. 32. Un piloto desea volar a una ciudadque se encuentra 330 kmhacia el este. El viento sopla a 27.5 km/h con rumbo 101. 2°. Si el viaje ha de tomar una hora, ¿cuál es la dirección y la velocidad con respecto al viento que debería escoger el pil oto? 10.2 VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL En el sistema coordenado rectangular tridimensional, los vectores unitarios que van del origen a los puntos (1, 0, O), (O, 1, O) Y (O, 0, 1) se representan, respectiva mente, coni, j Y k. Cualquier vector se puede expresar entérminos de estos vectores unitarios. Por con­ siguiente, el vector del origen al punto Pea, b, e) está dado por OP = A = ai + bj + ek. Los vectores ai, bj y ck son los componentesx, y y z del vector A. La longitud de A se puede obtener usando las longitudes de l os lados de los triángulos rectángulos vectoriales OCP y ODC (Fig. 10.16) . A partir de la relación pitagórica se encuentra Figura 10.16 x lopI2 = IOCI" + IcpI2 = IOD 2 + IDCl2 + IcpI2 = a2 + b2 + e2. z k A Pea, b, el o • J ck bj e y
    • 328 CAPíTULO 10 VECTORES, PLANOS Y RECTAS Teorema 10,5 Si los vectores V, y V2, en términos de sus componentes x, y y z son y entonces, (10.5) y (10.6) Demostración Si el pie de V, está en el origen, la cabeza estaría en el punto (a" b" e ). Entonces, si el pie de V2 se encuentra en la cabeza de V" la cabeza de Vl se halla en el punto (a, + al' b, + b2, e, + el) y, por la definición 10.3, el vector del origen a este punto es igual a la suma de los dos vectores dados. Por tanto, VI + V2 = (al + a2)i + (bl +b2)j + (el + e2)k. Esto prueba la fórmula (10.5). Se deja al estudiante la demostración de la fórmula (10.6). Se hace incapié, en que las fónnulas (10.5) Y (10.6) también se pueden obtener mediante los teoremas 10.1, 10.2 Y 10.3. Como en el caso del plano, y por las mismas razones, se menciona que si PI(XI, Y" ZI) y PzCX2' Y2, Z2) son dos puntos en el espacio, entonces p¡p2 = (x2 - x¡)i + (Y2 - y¡)j + (Z2 - z¡)k. Ejemplo 1 Dados los vectores del origen a los puntos P(3, -2, 4) Y Q(1, 5, -1), indique -=-=" • estos vectores mediante OP = A Y OQ = B Y encuentre A +B Y A-B. Solución En términos de sus componentes x, Y y z, los vectores dados son A = 3i - 2j + 4k Entonces, por el teorema anterior, y B = i + 5j - k. A + B = (3 + l)i + (-2 + 5)j + (4 - l)k = 4i + 3j + 3k, A - B = (3 - l )i + (-2 - 5)j + (4 + l)k = 2i - 7j + 5k. • Ejemplo 2 Encuentre las coordenadas del punto medio del segmento de recta que une los puntos P(2, 4, -1) Y Q(3, O, 5). Solución Se encuentra primero el vector del origen al punto medio del segmento de recta. Este vector es igual al vector que va desde el origen hasta P más la mitad del vector de P a Q. Al señalar como A y B a los vectores que van del origen a P y a Q, respectiva­ mente, se tiene A = 2i + 4j - k, B = 3i + Oj + 5k, B - A = i - 4j + 6k.
    • EJERCICIOS 329 Como B- Aes el vector de la cabeza deA a la cabeza de B, el vectorV que se busca es l V = A + -(B - A) 2 = (2i + 4j - k) + �(i - 4j + 6k) = �i + 2j + 2k. A partir de cste resultado se observa que la cabeza de V se halla en el punto (512, 2, 2), Y éstas son las coordenadas del punto medio de PQ. • Ejemplo 3 Encuentre las coordenadas del punto que está a 3/4 de la distancia de P(2, 5, 6) a Q(6, -7,-2). • • Solución Observandoque el vector de P a Q es OQ - OP, se desea encontrar la cabeza -::=:-:::-. . del vector OP + 3/4 (OQ - OP). Por tanto, se tiene OP = 2i + 5j + 6k, OQ = 6i - 7j - 2k, OQ - OP = 4i - 12j - 8k. Entonces, el vectorV del origen alpunto en cuestión es V = 2i + Sj + 6k + �(4i - 12j - 8k) = Si - 4j + Ok. En consecuencia, (5, -4, O) son las coordenadas del punto a 3/4 de la distancia deP aQ. • Ejercicios • En cada uno de los ejercicios l a8, sea P un vector dibujado del origen al primer punto y Q el vector dibujado del origen al segundopunto. Encuentre, en forma de componen­ tes, P, Q, PQ, P + Q y P - Q. Encuentre en cada caso la longitud o magnitud de P. 1. P(l, 2, 2), Q(1, -4,-2) 2. P(3, O, 4), Q(O, 7, 8) 3. P(3,-2, 4), Q(-l,-2, -3) 4. P(7, 8, 5), Q(3, -3, 2) 5. P(-4, -4, -4), Q(l, 3, 7) 6. P(-2, 1, -2), Q(5, 1, O) 7. P(O, 8, -6), Q(4, -3, 6) 8. P(4,-2, -4), Q(l, 9, 12) En cada uno de los ejercicios del9 al 12 determine un vector unitario que tenga la direc­ ción del vector. 9. 2i-2j+k 11. 3j-4k 10. 3i - 4j + 4k 12. i- 5j- 2k
    • 330 CAPíTULO 10 VECTORES, PL ANOS Y RECTAS En los ejercicios del 13 al 16 determine un vector que tenga la dirección del vector dado y con la longitud dada. 13. i + 2j - 2k,longitud 12 15. Si + 6j + 7k, longitud 5 14. i + 3j - 4k,longitud 3 16. 2i - 3j - 4k,longitud 10 En cada uno de los ejercicios 17 a 20,encuentre los vectores del origen al punto medio del segmento de recta que une a los puntos P y Q. ¿Cuáles son las coordenadas de las cabezas de estos vectores? 17. P(3,-4,5), Q(S,-6, 3) 19. P(8,7, -6),Q(3, 4, 5) 18. P(-7, -4,-5), Q(-3, 2, -1 1) 20. P(3,5,4),Q(4,-2,7) En los ejercicios 21 y 22 encuentre los vectores 'del origen a los puntos de trisección del segmento de recta que une P y Q. Indique las coordenadas de las cabezas de estos vectores. 2 1. P(5, 1, -1), Q(lI, 1O, 5) 22. P(-2, 3, -4), Q(-8, 15,14) En los ejercicios 23 y 24 encuentre la representación paramétrica de un vector del origen a la recta que pasa por P y Q. 23. P(3,5, 6), Q(7, 1,4) 24. Pea, b, e), Q(d, e,j) 25. El segmento de recta de P(-2,3,5) a Q(l, 2, -2) se prolonga por cada extremo en una cantidad igual a su longitud. Use vectores para encontrar las coordenadas de los nuevos extremos. 10.3 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES Hasta ahora no se ha definido el producto de dos vectores. En realidad, hay dos tipos de productos de vectores que son importantes en física, ingeniería y otros campos. Se pre­ sentará el más sencillo de los dos productos. Se usa el término "escalar"porque el producto es una cantidad escalar. El producto también se conoce como producto punto. No hay diferencia si el ángulo ees positivo o negativo, pues cose = cos(-e). Sin embargo, e se restringirá al intervalo O < e< 2re. El ángulo es igual a O si A y B apuntan en la misma dirección, y es igual a re, si apuntan en direcciones opuestas.
    • 10.3 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES 331 Como cos n/2 = O Y cos O = 1, es evidente que el producto escalar de dos vectores . perpendiculares es cero y el producto escalar de dos vectores en la misma dirección es el producto de sus longitudes. El producto punto de un vector por él mismo es el cuadrado de la longitud del vector. Esto es, En la figura 10. 17, el punto M es el pie de la perpendic1,llar al vector A dibujado desde la punta de B. Al vector de O a M se llama vector proyección de B sobre A. El vector proyección y A apuntan en la misma dirección, puesto que e es un ángulo agudo., Si e excede los n/2, entonces A y el vector de O a M apuntan en direcciones opuestas. La proyección escalar de B sobre A se define como IBI cos e; el signo de la proyección escalar depende de cos e. Usando la idea de proyección escalar de un vector sobre otro, es posible interpretar geométricamente el producto punto como A • B = IAllBlcos e = (longitud de A) por (la proyección escalar de B sobre A). También se podría decir que el producto punto de A y B es la longitud de B por la pro­ yección escalar de A sobre B. Quizás el ejemplo' más sencillo de producto escalar se obtenga al ilustrar el trabajo mecánico. Sea F una fuerza aplicada a un objeto O (Fig. 10. 17). Si la fuerza mueve el objeto una distancia representada en magnitud y dirección por un vector S, se dice que la fuerza F realiza un trabajo. La medida del trabajo se define como el producto de la dis­ tancia que se ha movido y la componente de F en la dirección de S. Esto es, Trabajo = ISllFlcos e donde e es el ángulo entre F y S. Esto puede expresarse en forma equivalente como Trabajo = F • S. • B A Figura 10.17 o�--�------------�------ M Ejemplo 1 En la figura 10.18, sea la longitud de F = 10 m, la longitud de S = 6 m y e = n/3. Entonces, el trabajo realizado por F está dádo P¡or , !
    • 332 CAP{TULO 10 VECTORES, PL ANOS Y RECTAS Trabajo = !4(10)(6)=30 m-kg. • Por definición, AoB y BoA tienen exactamente los mismos factores escalares y, por tanto, AoB=BoA (10.7) Esta ecuación expresa la propiedad conmutativa para la multiplicación escalar de vectores. A continuación se enunciará la ley distributiva. o '------1-___--1-_ FIgura 10.18 s Teorema 10.6 El producto escalar de vectores es distributivo. Esto es, Ao(B + C)=AoB + AoC. B Figura 10.19 - o , . b I I I e (10.8) A
    • 10.3 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES 333 Demostración Si se denomina b y e a las proyecciones escalares de B y e sobre A, se observa (Fig. lQ.19) que la suma de las proyecciones escalares de B y e sobre A es la misma que la proyección escalar de (B+C) sobre A. Por tanto, IAI(b+e) = IAlb+IAle y Ao(B+C)=AoB+AoC. (10.9) A partir de las ecuaciones (10.7) Y (10.8), es posible deducir que el producto escalar de sumas de vectores puede realizarse como si se estuvieran multiplicando dos expresio­ nes algebraicas, cada una de más de un término. Así, por ejemplo, (A+B)o(e+D)= Ao(e+D)+Bo(e+D) = Aoe+AoD+Boe+BoD. Sim y n son escalares, entonces (mA) (nB) = mn(AoB). (10.10) La ecuación es cierta aun sim o n es igual a cero, pero si tantom como n son positivos o negativos, entonces mn es positivo y, en consecuencia, (mA) . (nB) = ImAllnBI cos () = mn(A . B). Sim y n tienen signos opuestos, el ángulo entreA y B Y el ángulo entremA y nB difieren en n. Entonces, al observar la figura 10.20 Y notar quemn es negativo, se puede escribir (mA) • (nB) = ImAllnBI COS(7T - (}) = - ImA1 1nBI cos () = mn(A . B). Por tanto, la ecuación (10.10) es cierta para todos los escalaresm y n y todos los vectores A y B. . o nB Figura 10.20 B () A mA
    • 334 CAPíTULO 10 VECTORES, PLANOS Y RECTAS Teorema 10.7 Si los vectores A y B están expresados en términos de los vectores unitarios i, j Y k, mediante entonces A = a¡i + bd + c¡k, B = azi + bzj + czk, (10.11) Demostración Para obtener el producto punto de A y B, se determinan primero los productos punto de los vectores unitarios i, j Y k.. De esta manera, se obtiene i· i = j ' j = k· k = 1, i . j = j . k = k . i = O. Luego, se encuentra A . B = (a¡i + bd + c¡k) . (azi + b2j + czk) Por tanto, = a¡i • (azi + bzj + czk) + bd . (azi + bzj + czk) + c¡k • (azi + bzj + czk) = a¡azi • i + O + O + O + b¡bzj • j + O + O + O + c¡cZk . k. A . B = a¡aZ + b¡bz + C¡Cz. Esta ecuación muestra que el producto punto se obtiene mediante un simple proceso de suma de los productos de los coeficientes de i, j Y k correspondientes. Antes de dar algunos ejemplos, hay que insistir en que si A y B son vectores distin­ tos de cero, entonces A es perpendicular a B si y sólo si A • B = 0, y A es paralelo a B si y sólo si A • B = ±IAIIBI. Ejemplo 2 Determine si los vectores son perpendiculares. Solución El producto escalar es A = 3i+4j - 8k, B = 4i - 7j - 2k A . B = (3)(4)+(4)(-7)+(-8)(-2) = O. Como este producto es cero, los vectores son perpendiculares. •
    • J 0.3 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES Ejemplo 3 Pruebe que los vectores A = 2i - 3j - 4k, B = -6i + 9j + 12k son paralelos. Solución El producto escalar es A - B = -12 - 27 - 48 = -87. Ahora, IAI = 14 + 9 + 16 = 129, lB = 136 + 81 + 144 = v'26t = 3129, y AIIBI = 3(29) = 87. Como en este caso A • B = -IAIIBI, los vectores son paralelos. • 335 Ejemplo 4 Se dibujan vectores del origen a los puntos P(6, -3,2) Y Q(-2,1,2). En­ cuentre el ángulo POQ. _. . Solución La denotación de OP es A y la de OQ es B,y se escribe A = 6i - 3j + 2k, B = -2i + j+ 2k. Para encontrar el ángulo, se sustituye en ambos miembros de la ecuación A - B = AIIB cos (J. El producto en el miembro.izquierdo es A • B = -12 - 3 + 4 = -11. Las longitudes de A y B son IAI = .J36 + 9 + 4 = 7,IBI = .J4 +1+ 4 = 3 . Por tanto, A-B -11 cos (J = AII B I - 21 = -0.524 e = 2.12 radianes o e = 122° (al grado más próximo). • Ejemplo 5 Encuentre la proyección escalar y la proyección vectorial de B = 2i - 3j - k sobre A = 3i -6j+ 2k. Solución La proyección escalar de B sobre A es IBI cos (J, donde (J es el ángulo entre los vectores. Al usar la ecuación A -B = IAIIBI cos e, se obtiene
    • 336 A·BI B I cos 8 = IA I 6+18 - 2 - -:-yC9=+====36:=+=4 22- - VECTORES, PLANOS Y RECTAS La proyección escalar de B sobre A es de 22/7. Como la proyección escalar es po­ sitiva,la proyección vectorial está en la dirección de A.El vector proyección es, por tan­ to, el producto de laproyecciónescalar y unvector unitario en la dirección deA. Estevector unitario esA dividido entre su longitud. Por ello, la proyección vectorial de B sobreA es 22 . 3i - 6j+2k = � �3 ' _ 6 ' 2k) • 7 7 49 � I J + . Ejercicios En los ejercicios l a 6 encuentreA . B y el coseno del ángulo entre los vectores. 1. A = 8i+8j- 4k, B=i-2j- 3k 4. A=i- j-k, B=4i- 8j+k 2. A=i - 2j+2k, B=i+j+k 5. A=2i- 2j- k, B =1 6i+8j + 2k 3. A=i+10j+2k, B=3i-4k 6. A=2i- j+3k, B=i+j-k En los ejercicios 7 y 8 encuentre la proyección escalar y la proyección vectorial de B sobreA. 7. A=4i-4j+2k B=i + j+2k 8. A=8i+4j- k B=2i-3j+k En los ejercicios 9 y 10 encuentre la proyección escalar y la proyección vectorial de A sobre B. 9. A = i - j - k B=5i-12k lO.A=2i+j+k B=2i- 2j- k En los ejercicios11 a 14, determine cuáles de los pares de vectoreS son perpendiculares y cuáles paralelos. 11. A=i+3j- 5k, B=4i + 2j+2k 13. A=6i+9j-15k, B=2i + 3j - 5k 12. A=2i -3j+4k, B=- i+3hj- 2k 14. A=3i-2j+7k, B=i - 2j- k
    • J0.4 LA ECUACiÓN DE l)N PLANO 15. Encuentre el ángulo que forma una diagonal de un cubo con una de sus aristas. 337 16. Se dibujan desde un vértice de un cubo una diagonal de una cara y una diagonal del cubo. Encuentre el ángulo que forman. En los ejercicios 17 y 18 los puntos son los vértices de un triángulo. En cada uno, deter­ mine el vector de A a B y el vector de A a C. Encuentre el ángulo formado entre estos vectores. De manera análoga, encuentre los otros ángulos interiores del triángulo. 17. A(2, 4, 3), B(l,7, 1), Q-5, 3, -2) 18. A(l, -l, -2), B(-2, 0,1), CCI, -3, O) 10.4 LA ECUACiÓN DE UN PLANO . En la sección 9.1 se descubrió que una ecuación lineal en una o dos variables representa un plano y se enunció,sin demostración,que una ecuación lineal en tres variables tam­ bién representa un plano (Teorema 9. 3). Se prueba ahora que una ecuación lineal en una, dos o tres variables representa un plano. Teorema 10.8 " • .L_ .. " . ' . • Cualquier plano en un sistema coordenado rectangular tridimensional sepuede representar• • con una ecuación lineal. Recíprocamente,la gráfica de una ecuación lineal esun plano. lJemostración Suponga que un punto P,(x" y".z,) está en un plano dado y que un vector distinto de cero N ""Ai+ Bj + Ck es perpendicular, o normal, al plano (Fig. 10.21). Un punto P(x, y, z) estará en el plano dado si y sólo si el vector PIP = (x - xl)i + (y - y,)j + (z - zl)k es perpendicular a N. Al hacer el producto escalax de estos vectores igual a cero, se ob­ tiene la ecuación N· PIP = O o bien, A(x - XI) + B(y - )', ) + C(z - zl) ;;= O. (10.12) • Esta es la ecuación del plano que pasa por P,(xl' YI' z,) y es perpendicular al vector N = Ai + Bj +Ck. Al sustituir la constante -Ax,- By, - Cz, con D, la ecuación se escribe en la forma Ax + By + Cz + D --c Q. (10.13) Recíprocamente, cualquier ecuación lineal de la forma (10.13) representa un plano. Si se comienza con esta ecuación, es posible encontrar un punto P/x, ,y" z,) cuyas co­ ordenadas la satisfagan. Se tiene entonces
    • 338 CAPíTULO) O VEGORES, PLANOS y RECTAS N . Figura 10.21 Esta ecuación y la ecuación (10.13) producen, por resta,• A(x-xl) + B(y-YI) + C(Z-ZI)+D=O, la cual es de la forma (10.12). Por tanto, la ecuación (10.13) representa un plano per­ pendicular al vector N = Ai + Bj + Ck. •• Ejemplo 1 Escriba la ecuación del plano que contiene al punto PI(4,-3, 2) Y es perpen­ dicular al vector N=2i - 3j + 5k. Solución Los coefici.mtes de i, j Y k se usan como los coeficientes de x, y y Z y se escribe la ecuación 2x - 3y+ 5z + D=O. Para cualquier valor de D, esta ecuación representa un plano perpendicular al vector dado. Las coordenadas del punto dado satisfarán la ecuación si 8+9+10+D =0 o D =-27. Por tanto, la ecuación que se busca es 2x - 3y + 5z - 27=O. • Ejemplo 2 Halle la ecuación del plano determinado por los puntos P/1, 2,6), P2(4,4,1) Y P3(2,3,5). Solución Un vector que sea perpendicular a dos lados del triángulo PIP2P3 es normal al plano del triángulo. Para encontrar dicho vector, se escribe
    • J 0.4 LA ECUACIÓN DE UN PLANO . 1'.1'2 = 3i + 2j - 5k, 1'.1'3 = i + j - k, N = Ai + Bj + Ck. 339 Los coeficientesA, B Y C se encontrarán de manera que N sea perpendicular a cada uno de los otros vectores. De esta manera, . N . 1'.1'2 = 3A + 2B - 5C = O, • N • 1'1'3 = A + B - C = O. Estas ecuaciones danA = 3C y B = -2e. Al escoger e= 1, se tiene N = 3i - 2j+k. El plano 3x - 2y + z+D=O es normal a N y pasa por los puntos dados si D=-5. Por tanto, 3x - 2y+z - 5=O. • Ejemplo 3 Encuentre el ángulo 8entre losplanos 4x- 8y-z + 5 = O Y x + 2y- 2z + 3 = O. Solución El ángulo entre dos planos es igual al ángulo entre sus normales. Los vectores 4i - 8j - k N. = ---" 9 =----- y N _ i + 2j - 2k 2 - 3 son vectores unitarios normales a los planos dados. El producto punto da cos 8=N . N =- 10 Y 8= 1 95 radianes} 2 27 . Los planos se intersecan formando un par de ángulos igual a (es una aproximación) 112° y un segundo par igual a 68°. Al escoger el ángulo menor se da el ángulo entre los planos como de 68°, o 1.19 radianes. • Teorema 10.9 Sea Ax + By + Cz + D . O un plano y PI (xl' Yl' Zl) un punto fuera del plano. Entonces, la distancia perpendicular d del plano a PI está dada por • d = IAA} + By} + eZI + DI YA2 + B2 + e2 . (10.14) Demostración Sea P2(X2, Y2' Z2) algún punto sobre el plano dado y sea N= ±(Ai + Bj + Ck) perpendicular al plano, con su pie en P2. El signo de N se escoge de modo que esté del mismo lado del plano que PI' según se ilustra en la figura 10.22. A partir de la figu­ ra se observa que la distancia d que se busca es igual a la proyección escalar de P2PI sobre N. Al observar que se tiene P2PI = (XI - x2)i + (YI - Y2)j +(ZI - z2)k. N' P2PId =IP2PI I cos ()= INI _ ±(Ai+Bj + ek) . [(x} - x2)i + (YI - Y2)j + (ZI - z2)kj YA2+B2 + e2
    • 340 Figura 10.22 N CAPfTULO J O VECTORES, PLANOS Y RECTAS . - = ± [A(x¡ - x2) + B(y¡ � Y2) + C(zl - z2)] VA2 + B2 + C2 = ±(M¡ + By¡ + Cz¡ - M2 - BY2 - Cz2) VA2 + B2 + C2 . Como P2 está sobre el plano -Ax2 - BY2 - CZ2 = D. Ahora, para eliminar la ambigüedad del signo se toma el valor absoluto del numerador y se tiene d = IM¡ + By¡ + CZ1 + DI VA2 + B2 + C2 El lector debe observar que la fórmula (10.14) para la distancia de un punto a un plano es una generalización directa de la ecuación (2.19) para la distancia de un punto en un plano a una recta. Así mismo, la ecuación (1.1) para la distancia entre dos puntos en una recta, �(X¡-X 2 )2, se generaliza a la ecuación, (1.2) �(x¡ -X 2 )2 +(y¡ -Y 2 )2 para la distancia entre puntos en un plano, y a la ecuación (9. 1), Y(XI - X2)2 + (YI - Y2)2 + (zl - Z2)2, para la distancia entre puntos en el espacio. En cursos de matemáticas superiores, la fór­ mula se extiende para describir la distancia entre cuartetas ordenadas
    • EJERCICIOS 341 y o entre n-adas ordenadas, donde n es cualquier entero positivo. Ejemplo 4 Encuentre la distancia del plano 2x + 3y - 6z - 2 = ° al punto (4,-6, 1). Solución Sustituyendo los valores adecuados para A, B, e, D, XI' YI' ZI en la ecuación (10.14),se obtiene Ejercicios d = 1 2(4) + 3(-6) + (-6)(1) - 21 Y22 + 32 + (-6)2 _ 18 - 18 - 6 - 21 - Y4 + 9 + 36 18 7' • Escriba la ecuación del plano que satisface las condiciones dadas en los ejercicios 1 a 8. l. Es perpendicular a N = 3i - 2j + Sk Y pasa por el punto (1, 1, 2). 2. Es perpendicular a N = 4i - j - k y pasa por el origen. . ' 3. Es paralelo al plano 2x - 3y - 4z = 5 Y pasa por (1,2,-3). 4. Es perpendicular al segmento de recta que une (4, 0, 6) Y (O,-8, 2), y pasa por el punto medio del segmento. 5. Pasa por el origen y es perpendicular a la recta que pasa por (2, -3,4) Y (5, 6,O). • 6. Pasa por los puntos (O,1, 2), (2, 0,3),(4,3,O). 7. Pasa por los puntos (2, -2, -1), (-3,4,1), (4,2, 3). • 8. Pasa por (0,0,O),(3,O,O),(1, 1, 1). En los ejercicios 9 a 12 encuentre el coseno del ángulo agudo entre cada par de planos. 9. 2x+y+Z + 3 = 0, 2x - 2y+ z - 7 = O 1O. 2x + y+2z - 5 = 0, 2x - 3y+ 6z + 5 = O 11. 3x - 2y + z - 9 = 0, X - 3y - 9z + 4 = ° 12. X - 8y + 4z - 3 = 0, 4x+2y - 4z + 3 = O 13. Muestre que los planos
    • 342 CAPÍTULO 10, VECTORES. PLANOS Y RECTAS son perpendiculares si, y sólo si, A)A2+B)B2+ C)C2 = O. 14. Determine el valor de C de modo que los planos 2x- 6y+ Cz = 5 Y x - 3y+2z = 4 sean perpendiculares. En los ejercicios 15 a 18 encuentre la distancia del plano dado al punto dado. 15. 2x - y+2z+ 3 = 0, (O, 1,3) 16. 6x+2y - 3z+2 = 0, (2,--4, 3) 17. 4x-2y+z- 2 = 0, (-1,1,2) 18. 3x - 4y- 5z = 0, (5,-1,3) 19. Encuentre la ecuación de la esfera con centro en (1, 1,7) Y tangente al plano x + 2y- 4z+ 3 = O. , 10.5 ECUACION VECTORIAL DE UNA RECTA Sea L una recta que pasa por un punto dado P/x),Y), z) y es paralela a un vector distinto de cero dado v = Ai + Bj + Ck. Si P(x, y, z) es un punto sobre la recta, entonces el vector Pl es paralelo a V (Fig. 10.23). Recíprocamente, si p)p es paralelo a V, el punto P está sobre la recta L. Por tanto, P está sobre L si, y sólo si, existe un escalar t tal que • PIP = tV z P(x, y, z) L , v o Figura 10.23 x y o bien (10.15)
    • 10.5 ECUACIÓN VECTORIAL DE UNA RECTA 343 Igualando los coeficientes correspondientes de i, jY k se obtienen las ecuaciones x-XI = At, o, trasponiendo, X = XI + At, y - YI = Bt, y = YI + Bt, Z - ZI = Cl, Z = ZI + Ct. (10.16) Cuando se da a t cualquier valor real,las ecuaciones (10.16) determinan las coordenadas (x, y, z) de un punto sobre la recta L. Además,hay un valor de t que corresponde a cual­ quier punto de la recta. Las ecuaciones (10.16) se llaman ecuacion es paramétricas de la recta. • Despejando I en cada ecuación paramétrica e igualando valores iguales,se obtiene , X-X y-y z-z __-<1 _ 1 _ I A B C ' Estas se llaman ecuacion es simétricas de la recta. si ABC *- O. (10.17) Los planos que contienen una recta y son perpendiculares a los planos coordenados se llaman planos proyectantes. Las ecuaciones (10.17) representan tres planos proyectantes. Esto se hace evidente cuando las ecuaciones se escriben como X-XI _ Y - YI A B ' X - XI A Z - ZI C , y-YI B Z - Z_ I C • Estas ecuaciones,cada una en dos variables,representan planos perpendiculares,respec­ tivamente, a los planos xy, xz y yz. Estas ecuaciones representan una recta y,por ende,la recta es la intersección de los planos. Por supuesto, cualesquiera dos de las ecuaciones determinan la recta. Se observa además que cualquiera de las ecuaciones se puede obte­ ner de las otras dos. Una recta en el espacio puede definirse mediante dos planos que pasen por la recta. Por ello,hay infinidad de maneras de definir una recta,pues hay infinidad de planos que• pasan por una recta. Sin embargo,suele ser conveniente tratar con los planos proyectantes. Si una recta es paralela a un plano coordenado, una de las cantidades A, BY C en las ecuaciones (10.17) es igual a cero y reciprocamente. En este caso, un miembro de la ecuación tendría cero en el denominador y no podría usarse. Si,por ejemplo,A = O Y By C no fueran cero, entonces la recta que pasa por PI(XI, Yl' Zl ) es paralela al vector V = Bj + Ck. Por tanto, la recta es paralela al planoyz y,en consecuencia,el plano x = XI contie­ ne a la recta. Si de A, By C dos son cero, por ejemplo A = B= O, entonces la recta es paralela al eje z. Así la recta es la intersección de los planosX = XI Y Y = YI' Se observa entonces que cuando el denominador de un miembro de las ecuaciones (10.17) es cero, el numerador correspondiente, igualado a cero,representa un plano que pasa por la recta . , en cuestlOn. Ejemplo 1 Encuentre ecuaciones simétricas que representen una recta que pase por el punto (2, - 1,3) y sea paralela al vector V = 2i - 5j + 6k. Encuentre, además, un con­ junto de ecuaciones paramétricas que representen la recta.
    • 344 CAPíTULO 10 VECTORES, PLANOS Y RECTAS Solución Los coeficientes de i, j Y k del vector dado son los denominadores en la fórmu­ la (10. 17) Y xI' YI y ZI deben reemplazarse, respectivamente,por 2,-1 Y 3. Así, se tiene x-2_y+l_z-3 2 5 6 · Las ecuaciones paramétricas, obtenidas al igualar cada uno de los miembros de estas ecuaciones a un escalar 1 y despejando x,yy z, son x=2+2/, y=-1-5/, z=3+6/. El escalar t es un parámetro al cual puede asignarse cualquier valor real. Aquí se pasó de las ecuaciones simétricas a las ecuaciones paramétricas. Claro que,de manera recíproca,, las ecuaciones simétricas se pueden encontrar a partir de las ecuaciones paramétricas. Ejemplo 2 úna recta pasa por los puntos PI(2,-4, S) Y P2(-I,3, 1). Encuentre las ecuaciones simétricas de la reCta. Solución El vector de PI a P2 es paralelo a la recta. Por tanto, se tiene , PtP2 = -3i+7j - 4k, y, en consecuencia, las ecuaciones x -·2 _ Y+4 _ z-5 -3 7 -4 . • • Ejemplo 3 Escriba las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos PI(2, 6, 4) Y • pp,-2, 4). • Solución El vector de PI a P2 es PtPZ = i - 8j. Por tanto, la recta que se busca es paralela al plano xy. El plano z=4 contiene a la recta. Este plano es perpendicular a dos de los planos coordenados. Se usan los dos primeros miembros de las ecuaciones (10.17) para obtener otro plano que contenga a la recta. Se tienen, entonces, ecuaciones que definen z = 4, o bien z = 4, 8x+y - 22 = O. Observe que no se pudo usar el tercer miembro de las ecuaciones simétricas, porque su denominador sería cero. Sin embargo,el numerador de ese miembro se igualó a cero para obtener uno de los planos. • Ejemplo 4 Encuentre ecuaciones, en forma simétrica, de la recta de intersección de los planos x +y- z - 7=0 y X + Sy+Sz+5 = O.
    • J0.5 ECUACIÓN VECTORIAL DE UNA RECTA 345 Solución La primera ecuación se multiplica por 5 y se suma a la segunda ecuación pa­ ra eliminar z. De la segunda ecuación se resta la primera para eliminar x. Esto da las • ecuacIOnes 6x+ 10y-30=0 y 4y+6z+ 12=0. Despejando yen cada una, se encuentra Por tanto, , -3x + 15 y = 5 -3x + 5 y 15 - y -- - y = -3z - 6 2 -3z - 6 2 • • Estas ecuaciones simétricas se pueden convertir a una forma más sencilla si cada miem­ bro se divide entre -3. Esto da x - 5 _ Y - 5 -3 z + 2 2 • Las ecuaciones simétricas también se pueden escribir, encontrando primero las coor­ denadas de dos puntos sobre la recta definida por las ecuaciones dadas. Cuando y=O las ecuaciones se vuelven x - z- 7=O Y x+ 5z+5 = O. La solución de estas ecuaciones es x = 5, z = -2. Por ello, el punto PI(5, O,-2) se ubica sobre la recta de intersección de los planos dados. De manera análoga, se encuentra que P2(0, 3, -4) está sobre la recta. Entonces, el vector P2PI = 5i - 3j + 2k es paralelo a la recta cuyas ecuaciones se buscan. En consecuencia se obtienen, como antes, las ecuaciones simétricas • x - 5 _ Y - 5 -3 - z + 2 2 • • , Angulos directores, coseno.s directores y números directores Se usó el vector V=Ai+ Bj+Ck para deducir las ecuaciones paramétricas de una recta. Las cantidades A, B y e, como se señala ahora, tienen una importancia geométrica con respecto a'la recta. DEFINICIÓN 10.7 Los ángulos a,[3 y rque una recta dirigida forma con los ejes positivos x, y y z se lla­ man ángulos directores. Los cosenos de los ángulos directores se llaman cosenos directores.
    • 346 CAPíTULO 10 VECTORES, PLANOS Y RECTAS Los cosenos 'directores de una recta representada por ecuaciones de la forma (10.16) o ( 10,17) se pueden encontrar mediante el uso de vectores. El vector V -Ai+Bj+Ck. es paralelo a la recta, Por consiguiente,es posible escoger la dirección positiva de la recta como V o -V, Si se escoge V como dirección positiva, se toma el producto escalar de V y cada uno de los vectores unitarios i, j Y k. Se observa que el ángulo formado por dos vectores que no se intersecan se define como igual al ángulo formado por dos vectores que sí se intersecan y son paralelos a los vectores dados y con la misma direcCión, Si se denomina da la longitud de V, por la definición de producto escalar se tiene (Ai + Bj + Ck) . i = IAi + Bj + cklli I cos a, A = d cos a. • De manera análoga,B = dcos f3 y C = dcos y. Por tanto, A B C cos a = d' cos f3 = d' cos y = d' Las cantidades A, B y C se llaman números directores, Además,los productos de los cosenos directores por cualquier número positivo también se llaman números directores. Teorema 10.10 La suma de los cuadrados de los cosenos directores de una recta es igual a l. Esto es, cos2a + cos2f3 + COS21 = 1, Se deja al estudiante la demostración de este teorema. Ejemplo 5 Los números 4, 1 Y 8 son números directores de una recta. Encuentre los cosenos directores de la recta. Solución Para obtener los cosenos directores, cada número director se divide entre .J42 +12+82 = 9 .Esto da 4 cos a = 9' 1 cos {3 = 9' 8 cos 'Y = 9' • Ejemplo 6 Una recta forma un ángulo de nl3 con el eje x positivo y de n/4 con el eje y positivo. ¿Qué ángulo forma la recta con el eje z positivo? . . �----- Solución Usando el teorema 10.10, se tiene , 1T 1T cos2 3+cos2 4 + cos2y = 1, l l 4 + "2 + cos2y = l. .-
    • EJERCICIOS 347 Entonces cos2y= 1/4 y, por tanto, cos y= 112 o cos y= -112. De este modo, y= n/3 ó 2n/3. • Los ángulos directores de una recta dada dependen de la dirección positiva de la recta que se haya escogido. Sean a"f3¡ y Y¡ los ángulos para una dirección y a2,f32 y }2 los ángulos para la dirección opuesta. Entonces a2=n-a¡, /32=n-/31' }2=n-y¡ Las ecuaciones producen cos a2 = -cos al' COS 132 = -cos f3¡, COS 1'2 = -cos 1'1' De modo que hay dos conjuntos posibles de cosenos directores para una recta, donde un conjunto es el negativo del otro. • Ejemplo 7 Una recta pasa porPI(-4,9,5) y P2(2,12,3). Encuentre los cosenos directo- res si la recta va dirigida de p¡ a P2• Solución El vector de p¡ a P2 es -=-=' PIP2 = 6i + 3j - 2k. Por tanto, 6, 3 Y -2 es un conjunto de números directores. Como �62 + 32 + (-2)2 = 7 se tiene 6 cos a = 7' 3 cos f3 = 7' cos 'Y = 2-- • Ejemplo 8 Asígnese una dirección positiva para la recta representada por las ecuaciones x-l_y + 3_z-5- 4 -3 -2 y encuentre los cosenos directores. Solución Se puede escoger 4,-3,-2 como un conjunto de números directores, o el con­ junto -4,3,2. Al escoger el segundo conjunto y notar que �(-4)2 + 32 + 22 =.J29 se tiene -4 cos a = 129' Ejercicios 3 cos 13 = , � , v29 2 cos 'Y = 129' • En los ejercicios l a 8, encuentre ecuaciones simétricas y ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P y es paralela al vector dado'. l. P(4,-3,5); -2i + 3j+ 4k 3. P(l,1,2);2i + 3j-k 2. P(O,1 -2); i -j+ 2k 4. P(-2,-2,3); 5i + 4j+ k
    • 348 5. P(2,-I,I);2i+j 7. P(O,0,O); j CAPíTULO J O VECTORES, PLANOS Y RECTAS 6. P(3,3,3); i+j 8. P(O,0,O); k En los ejercicios 9 a 16 escriba ecuaciones simétricas para la recta que pasa por PI y P2. 9. PI(l,2,3),P/-2,4,O) 11. PI(l,0,2),P/O,2,1) 13. PJ2,5,4), P2(2,4,3) 15. PI(I,3,4),pp,3,4) 10. PI(O,0,O),pp,4,5) 12. pp,4,O),P2(l,2,8) 14. PI(O,4,3),P2(0,4,4) 16. PI(O,0,2),P2(0,0,4) En los ejercicios 17 a 20 encuentre una forma simétrica para cada par de ecuaciones. .17. x-y- 2z +I=0, x - 3y- 3z + 7 = ° 19. x+y+z - 9=0, 2x + y- z + 3=0 18. x + y- 2z+8=0, 2'x- y- 2z + 4=0 20. x + y- z +8=0, 2x - y+ 2z + 6=0 21. Una recta forma un ángulo de 45° con el eje x positivo y de 60° con el eje z positi­ vo. ¿Qué ángulo forma con el eje ypositivo? 22. Una recta forma un ángulo de 135° con el eje x positivo y de 60° con el eje ypositi­ vo. ¿Qué ángulo forma con el eje z positivo? En los ejercicios 23 a 28 una recta pasa por PI y P2• Encuentre los cosenos directores si la recta va dirigida de PI a P2• - 23. PI(-3,4, -2),Pz<I,5,6) 25. PI(-5,1,8), P2(5,3, -3) 27. Pp,2,D, P2(4,5,6) 24. PI(l,-1,4),P2(3,1,5) 26. pp,1,-6),P2(0,5,6) 28. pp,-3,4),P2(5,-6, 7) 29. Los números 4,1,8 Y 2,2,1 son números directores de dos rectas. Encuentre el coseno del ángulo agudo () entre las rectas. 30. Los números 3,4,12 Y 6,3,2 son números directores de dos rectas. Encuentre el coseno del ángulo agudo () entre las rectas. En los ejercicios 31 a 34 igualando x,yy z,una por una,a cero,encuentre las coordena­ das de los puntos donde la recta corta los planos coordenados. 31. 33. x-6_y+2_z+3 - 2 1 3 x-3 3 y _ z - 4 -1 2 x y-2 z-3 32. -2 = 1 = 1 34.
    • 10.6 EL PRODUCTO VECTORIAL 349 10.6 El PRODUCTO VECTORfAL • Se presenta ahora otro tipo de producto de dos vectores. Sean A y B dos vectores no paralelos y distintos de cero que forman un ángulo (J, donde O < (J < 'Ir (Fig. 10.24). El producto vectorial o producto cruz, cuya denotación es A x B se define mediante los siguientes enuncifldos: l. A x B es un vector perpendicular al plano determinado por A y B. 2. A x B apunta en la dirección en la que un tornillo de rosca derecha avanzaría al girar su cabeza de A (primer vector) a B por el ángulo (J. 3. lA x BI = IAI/BI sen (J. A x B FIgura 10.24 A Si A y B son paralelos «(J= O o (J = 'Ir), el producto vectorial está definido por el enuncia­ do3. Esto hace que el producto sea igual a cero, pues sen(J= O. El producto vectorial es cero si A o B, o ambos, son igúales a cero. A B x A FIgura 10.25
    • 350 CAPíTULO 10 VECTORES, PLANOS Y RECTAS A partir del enunciado 2 se observa que el intercambio de los factores en la multipli­ cación vectorial invierte la dirección del producto (Fig. 10.25). Por tanto, AxB==-BxA, y la multiplicación de este tipo no es conmutativa. La magnitud del producto cruz tiene una interpretación geométrica simple. El área del paralelogramo en la figura 10.26 es IAlh. l • h Figura 10.26 A Por consiguiente, el área del paralelogramo del cual dos lados adyacentes son vectores es igual al valor absoluto del producto vectorial de los vectores. La mitad del valor abso­ luto del producto vectorial es, por supuesto, igual al área del triángulo determinado por los vectores. Se puede mostrar que esta multiplicación vectorial es distributiva. (Véase el Ejer. 34 al final de esta sección). La propiedad distributiva se expresa mediante la ecuación Ax(B+C) == (AxB) + (AxC). Suponga que la definición de multiplicación vectorial se aplica a los vectores unita­ rios i, j Y k (Fig. 10.27). z k - j �-----. y Figura 10.27 x Claramente, resulta que
    • 10.6 EL PRODUCTO VECTORIAL 351 i x j = k Y j xi = -k, j x k = i Y kxj = -i, k x i = j y i x k = -j, I ixi = j x j = kxk = O. Estas ecuaciones y la propiedad distributiva de la multiplicación vectorial permiten deducir una fónllula adecuada para el producto vectorial cuando los vectores están ex­ presados en términos de i, j Y k. De este modo, si entonces Por lo cual A = a)i + bd + c)k y B = a2i + b2j + c2k, A X B = (a)i + bd + c)k) X (a2i + b2j + C2k) = a)a2i X i + a)b2i x j + alc2i X k + a2bd X i + b)b2j X j + blC2j X k + a2clk X i + b2clk X j + CIC2k X k = O + alb2k - alc2j - a2blk + O + blC2i + a2cd - b2cli + O. • Esta ecuación proporciona una fórmula para el producto vectorial; sin embargo, resulta una forma* más conveniente cuando el miembro derecho de la ecuación se expresa como determinante. • • I J A X B = al b) k a2 b2 e2 Ejemplo 1 Los vectoresA y B fOIman un ángulo detr/6. Si la longitud deA es5 y la longi­ tud de B es 8, encuentre el área del paralelogramo del cualA y B son lados consecutivos.• Solución El área del paralelogramo es igual al valor absoluto de A X B. A partir de la definición de producto vectorial, lA x BI = IAIIBlsen (J= (5)(8)sen tr/6 = 20• El área del paralelogramo es de 20 unidades cuadradas. • Ejemplo 2 Los puntosA(I, O, -1), B(3, -1, -5) Y C(4, 2, O) son los vértices de un trián­ gulo. . Solución Los vectoresAB yAC fOIman dos lados del triángulo. ducto vectorial es igual al área del paralelogramo del cual los vectores son lados adya­ centes. encuentra , *Véase el apéndice A para la definición de determinante. •
    • 352 AB = 2i - j - 4k, y • • I J AB x AC = 2 -1 3 2 CAPiTULO 10 YECTORES, PLANOS y RECTAS . AC = 3i + 2j + k, k -4 = 7i - 14j + 7k. 1 La magnitud de este vector es .J49+ 196+49 = 7.J6; por tanto, el área del triángulo es 7h.J6 • Ejemplo 3 Los puntos A(2, - 1 , 3), B(4, 2,5) Y CC-l, -1, 6) detelluinan un plano. En-. cuentre la distancia del plano al punto D(5, 4,8). Solución Los vectores AB y AC determinan un plano, como se indica en la figura10.28.• El producto cruz AB x AC es perpendicular al plano, y AD es el vector de A al punto dado D. El producto escalar de AD y un vector unitario perpendicular al plano produce la distancia requerida d. En consecuencia, se escribe AD = 3i + 5j + 5k, AB = 2i + 3j + 2k, AC = -3i + 3k, i j k• AB x AC = 2 3 2 = 9i - 12j + 9k. , -3 O 3 El vector 9i - 12j + 9k es perpendicular a AB y AC y, por tanto, es perpendicular al plano de A, B Y C. Este vector se divide entre su longitud,3 ..J34 , para obtener un vector unitario. Finalmente, la distancia d del plano a D está dada por d = (3i + 5j + 5k) • 3i -.Jk + 3k = 2Yf. • • FIgura 10.28 Ejemplo 4 Encuentre las ecuaciones, en forma simétrica, de la recta de intersección de los planos 2x- y + 4z = 3 y 3x+ y + z = 7. Solución Las ecuaciones deseadas pueden escribirse inmediatamente si se conocen las coordenadas de cualquier punto de la recta y cualquier vector paralelo a la recta. Si z = O
    • 10.6 EL PRODUCTO VECTORIAL 353 en las ecuaciones de los planos y se despejan x y y, se encuentra que (2, 1, O) es un punto de la recta. Las normales a los planos están dadas por los vectores NI = 2i- j + 4k Y N2 = 3i + j + k. El producto vectorial es paralelo a la recta de intersección de los planos. Se encuentra • • 1 J NI X N2 = 2 -1 3 1 k 4 = -Si +.1Oj + Sk. 1 Este vector se divide entre 5 y la ecuación de la recta se escribe como x-2_y- 1_z - - - -1 2 1· . Se observa que éste es el mismo tipo de problema que el del ejemplo 4 de la sección 10.5. • Distancia de una recta a un punto Sea L (Fig. 10.29) una recta que pasa por el punto Po(xo' Yo' zo) y es paralela al vector unitario u. Después, sea PI(X¡>YI, ZI) cualquier punto que no esté sobre la recta y sea V el vector PoPI. Para hallar la distancia perpendicular de la recta L a PI' se toma el producto vectorial de V y u. De esta manera, . d = 1 Vi sen (1 = 1u11V1 sen (1 = 1u X Vl. Ejemplo 5 Encuentre la distancia de la recta que pasa por pp, O, 6) Y P/5, -2, 7) al punto PI(8, 1, -3). • v L u 8 Figura '0.29 • Solución El vector P3P2 = - 2i + 2j - k, y así u= 113 (-2i + 2j -k). Ahora P2PI = V = Si + j - 9k. Por tanto,
    • 354 y 1 uxv=- 3 , 1 - 2 5 j 2 1 k -1 - 9 CAPiTULO 10 VECTORES, PL ANOS Y RECTAS = �(-17i - 23j -14k) 13 d = luxvi = 3 V6. • En la sección2. cuando ambas se encuentran en el plano xy. Se da ahora una deducción mucho más corta, usando vectores. La ecuación Ax + By + C = O en el espacio tridimensional representa un plano para­ lelo al eje z (Teorema 9.2); intersección del plano y del plano xy es una recta, y las coordenadas x y y de todos los puntos de intersección satisfacen la ecuación Ax + By + C = O. Al restringirse al plano xy, se tiene una recta y un vector perpendicular a la recta. Ahora, sea P/xl,YI) cualquier punto en el plano xy (Fig. 10.30). Si B :t; O, la recta corta el eje y en P(O, - C/B). El producto escalar del vector PPI y un vector unitario u, perpendicular a la recta, propor­ ciona la distancia d. Figura 10.30 Como se tiene • PP, = xi + y o C , y, + Ji J x y d = xli + C , Ai + Bj _ Ax, + By, + C y, + Ji J '±v'A2 + B2 - ±v'A2 + B2 . Así, un producto escalar proporciona de inmediato la fórmula que se busca. güedad del signo se examinó en la sección2.
    • EJERCICIOS 355 Ejercicios En los ejercicios del 1 al 6, encuentre el producto cruz, Ax B, de los vectores y un vector unitario perpendicular a los dos vectores dados. 1. A= 3i- 4j - 2k, B = i- 2j - 2k 3. A= i+ j + k, B=i-j - k 5. A- 4i- 3j, B=3i+ 4j 2. A=6i- 3j + 14k, B = 3i - 2j + 3k 4. A= 2i - k, B=j + 2k 6. A=i - 2j + 3k, B = 4i + Sj - 6k Calcúlese el área del paralelogramo descrito en los ejercicios 7 a 10. 7. A=3i+ 2j Y B=i- j son lados adyacentes. 8. A= 4i - j + k Y B=3i+ j + k son lados adyacentes. 9. Los puntos A(4, 1, O), B(1, 2, 1), C(O, 0,6) y D(3, -1, 5) son vértices del paralelogramo ABCD. 10. Los puntos A(I,-1, 1), B(3, 3, 1), C(4, -1,4) y D(2, -5, 4) son vértices del paralelogramo ABCD. Encuentre el área del triángulo descrito en cada uno de los ejercicios 11 a 14. 11. Los vértices sonA(-I,3,4),B(I,2,5) y C(2,-3,1). 12. Los vértices sonA(1,0,4),B(3,-3,O) y C(O,1,2). 13. Los vectores A=2i- 3j y B=i- j,dibujados desde el origen,son dos lados. • 14. Los extremos de los vectores A= 4i+ j,B=i+ 2j + k y e=3i- j + Sk,dibujados desde el origen,son los vértices. 15. Encuentre el área del triángulo en el plano xy cuyos vértices son los puntos (xl' yl), (x2' Y2 ) y (x3' yJ Use producto vectorial. 16. Escriba la ecuación del plano que pasa por los puntos (2,-4,3),(-3,5,1) y (4,O,6). 17. Escriba la ecuación del plano que contiene los puntos (2,1,O),(3,0,2) y (O,4,�). 18. Encuentre la distancia del punto (6, 7, 8) al plano que contiene a los puntos (-1,3, O),(2,2,1),(1,1,3). 19. Encuentre la distancia del punto (-4,-5,-3) al plano que pasa por los puntos . (4,O,O), (O,6,O) y (O, 0,7). 20. Encuentre las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (3,1,-2) Y es paralela a cada uno de los planos x - y + Z = 4 Y 3x + y- Z = 5.
    • 356 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. CAPíTULO 10 VECTORES, PLANOS Y RECTAS Encuentre las ecuaciones de la recta que pasa por el origeny es paralela a la recta de intersección de los planos 2x - y - z - 2 Y 4x + 2y - 4z = l . Encuentre una representación paramétrica de la recta de intersección de los dos pla­ nos del ejercicio 20y también del ejercicio 21. Un plano pasa por el punto (1,1,1) Y es perpendicular a cada uno de los planos 2x + 2y + z = 3 Y 3x - y - 2z = 5. Encuentre su ecuación. Un plano pasa por el punto (O,0,O) Y es perpendicular a la recta de intersección de los planos 5x - 4y + 3z = 2 Y x + 2y - 3z = 4. Encuentre la ecuación del plano. Una recta pasa por los puntos (1,3,1) Y (3,4,-1). Encuentre la distancia de la recta al punto (4, 4, 4). Una recta pasa por (3,2, 1) Y es paralela al vector 2i + j - 2k. Encuentre la distan- cia de la recta a (-3,-1,3). . Encuentre la distancia de la recta xl2 = y/3 = z/1 al punto (3,4,1). Encuentre la distancia de la recta (x - 2)/2,= y/2 = (z - 1)/1 al punto (O,0,O). . Sean LIY L2 (Fig. 10.31) rectas que no son paralelas ni se intersecan. Sea PIP2 un vector que va de cualquier punto sobre LI a cualquier punto sobre L2,V2 un vector paralelo a L2 y V2 paralelo a L2• Entonces VI x V2 es perpendicular a ambas rectas. Muestre que la distancia perpendicular entre LIy L2 es d = I P'P2 • u l. donde u es un vector unitario paralelo a VIx V2• En los ejercicios 30 a 33 encuentre la distancia perpendicular entre las dos rectas. d FIgura 10.31 I I I I I I I I I • 30. LIpasa por PP,3,1) en la dirección de VI = i + 2j - 3k,Y L2 pasa por P2 (4,2,O) en la dirección de V2 = 3i - j + k. 31. LIpasa por (2,1,-1)y (-1,3,2). L2 pasa por (4,0,5)y (3,4,0). 32. Las ecuaciones de LI son (x + 2)/3 = (y + 3)/2 = zl2. Las ecuaciones de L2 son (x - 1)/2 = (y + 4)/3 = (z- 2)/4.
    • EJERCICIOS DE REPASO 357 33. LI pasa por (4,1,O) Y (O,O, 6). L2 pasa por (1,2,1) Y (3,-1,5). ¿Se intersecan las rectas? 34. En la figura 10. A. El vector E se rota 90°,como se indica,y después se multiplica por IAI para producir A x B. Diga por qué estas operaciones conducen a A x B. A Figura 10.32 A continuación,B,e y B+e forman un triángulo. Proyecte este triángulo sobre el plano perpendicular a A, formando así otro triángulo vectorial. Haga rotar 90° el nuevo triángulo y multiplique cada lado por IAI. Observe que los lados del triángulo final son A x B,A x e y A x (B + C),y que ' A x (B+C)=A x B+A x C. EJERCICIOS DE REPASO En cada uno de los ejercicios I a4, encuentre las lon­ gitudes de A y B, A • B, A x B, la proyección escalar de B sobre A, el vector proyección de B sobre A, el coseno del ángulo entre los vectores y un vector uni­ tario en la dirección de A. l. A=2i- 2j+k, B=i+j+k 2. A = i- 2j - k, B = 2i- 3j + 6k 3. A = i+8j -4k, B=i- j + 2k 4. A=2i+ 9j - 6k, B = i- j - 2k 5. Encuentre la ecuación del plano perpendicular al vector 3i- 2j - 5k Y que pasa por el punto . (3, -4, -2). 6. Encuentre la ecuación del plano paralelo al plano 3x -4y + 7z = 3 Y que pasa por el punto (1,-1,3).
    • 358 7. Encuentre la ecuación del plano que pasa por los tres puntos (1, 2, -1), (-2, 1, 1) Y (2, 4, 2). , 8. Encuentre la distancia del plano x -2y +2z= 5 al punto (-1, 3, 2). 9. Encuentre ecuaciones simétricas y paramétricas para la recta paralela al vector 3i+2j - 4k Y que pasa por el punto (1, -2, 3). 10. Encuentre ecuaciones simétricas para la recta que pasa por los puntos (2, -3, 4) Y (-3, 5, 7). 11. Encuentre ecuaciones simétricas para la recta de in­ tersección de los planos 2.x +y -z+3=O y x -y+3z+ 5 = O. - Términos clave vector, pág.313 suma y diferencia de vectores, pág.314,3IS escalar, pág.317 vector unitario, pág.318 producto escalar (punto), pág.330 normal a un plano, pág.337 distancia de un punto a un plano, pág.337 - 1. Si A = 2i - 4j + 4k Y H = 2i + j - k, encuentre - a) I - - c) B - A - - b) A+B - - d) A· B - - e) proyección vectorial de A sobre B - - f) ángulo entre A y B - - g) A xB ---" - ---" - h) A • (B x (B - A)) 2. Encuentre la ecuación de la esfera con centro (-1,2, 7) Y tangente a x +2y - 4z+ 3 = O. 3. Si A(I, 2, -1) Y B(3, 1,2) son puntos dados, encuentre CAPíTULO 10 VECTORES, PL ANOS Y RECTAS 12. Encuentre los cosenos directores y la recta dirigi­ da de A(-6, 2, 1) a B(3, 5, 4). 13. Encuentre la distancia de la recta que pasa por A( I, -2, -3) Y B(3, -5, -3) al punto C(1, -3, O). 14. Encuentre las coordenadas de los puntos donde la recta x y-S z - 6 3 - 1 - - - - 4 '- corta cada uno de los planos coordenados, 15. Si A = 2i + j + k, B = 2i + j, e = j + k, encuentre un valor para A·(BxC). ecuaciones simétricas de una recta, pág.343 ángulos directores, números directores, cosenos directores, pág.345 producto vectorial (cruz), pág.349 distancia de una línea a un punto, pág.3S3 a) ecuaciones simétricas para la línea de A a B b) cosenos directores de la línea de A a B 4. Encuentre la ecuación del plano paralelo a x - Sy -7z- 4 = O Y que pasa por el punto (O, 1, - 4). 5. Encuentre el' ángulo entre los planos x - Sy + z- 12 = O Y2x + 4y + 3z = 9. 6. Un aeroplano tiene una velocidad de 315 km/h res­ pecto al viento y se desplaza con rumbo de 90°. Sopla un viento del noroeste (rumbo 135°) a 45 km/h. Encuentre la trayectoria del aeroplano y la velocidad respecto al suelo.
    • Capítulo uste de curvas En capítulos anteriores se encontraron ecuaciones de curvas que satisfacen condiciones geométricas dadas. En cada caso todos los puntos de la curva se fijaron de manera defi­ nitiva mediante las condiciones prescritas. A partir de ahora se aborda un aspecto dife­ rente y más complicado del problema de encontrar ecuaciones que representen información conocida. El problema no posee una importancia geométrica fundamental, sino que más bien adquiere relevancia en cuanto que la geometría analítica resulta útil al científico. Los científicos experimentales realizan observaciones y mediciones de varios tipos de fenómenos naturales. Las mediciones en una investigación con frecuencia representan a dos variables relacionadas entre sí. En muchas situaciones el estudio que se lleva a cabo puede avanzar con la presentación de una ecuación que exprese la relación, o relación aproximada, entre las dos variables involucradas. En ese momento la ecuación puede uti­ lizarse para calcular valores correspondientes de las variables, diferentes de aquellos obtenidos mediante mediciones. La ecuación se conoce como ecuación empírica y el proceso seguido se llama ajuste de la curva. Suponga, por ejeinplo, que se han colocado varios pesos sobre el punto medio de una viga sostenida en sus extremos. Si para cada peso se mide la deflexión de la viga en . su punto medio, se obtiene una serie de valores correspondientes. En cada pareja un va­ lor es el peso y el otro la deflexión producida por el peso. La tabla muestra las lecturas realizadas, con x representando el peso en kilos y yla deflexión en centímetros. Las pa­ rejas de valores se grafican en la figura11.1. Los puntos parecen encontrarse muy cerca de lo que sería una línea recta y sugieren que la deflexión es proporcional al peso; es decir, una ecuación de la forma y=mx+b representa la relación, o relación aproximada, entre el peso y la deflexión. En vista de que los puntos no yacen exactamente sobre una línea recta, ninguna ecuación lineal pue­ de ser satisfecha por todas las parejas de datos. Se presenta entonces el problema de ele­ gir una ecuación lineal particular. Se podría trazar una recta que pasara muy cerca de cada punto. Es deseable, sin embargo, seguir un procedimiento que localice una recta definida. x 100 120 140 160 180 200 y 0.45 0.55 0.60 0.70 0.80 0.85
    • 360 FIgura 11.1 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 y CAPíTULO 11 AJUSTE DE CURVAS O �--�--�----�__-L____L-_ x O 50 100 150 200 250 11.1 MÉTODO DE MíNIMOS CUADRADOS Suponga que se han dado n puntos sobre un plano cuyas coordenadas son (x " y), (x 2 ' y),...(x n , yJ El residuo de cada uno de los puntos relativo a una curva se define como la ordenada del punto menos la ordenada de la curva para el mismo valor de x. El total de los residuos puede examinarse para determinar si la curva representa un buen ajuste para los puntos. Una curva se considera un buen ajuste si cada uno de los resi­ duos es pequeño. Como algunos de los residuos pueden ser positivos y otros negativos, su suma podría estar cerca de cero en el caso de una curva que fuera un mal ajuste para los puntos. Por consiguiente, la suma de los residuos no proporciona una medida ade­ cuada de la precisión del ajuste. Por esta razón se recurre a los cuadrados de los resi­ duos, evitando así las cantidades negativas. Si la suma de los cuadrados de los residuos es pequeña, se sabría que la curva pasa cerca de cada uno de los n puntos. El mejor ajus­ te proporcionado por dos curvas del mismo tipo es aquel para el cual la suma de los cuadrados de los residuos es más pequeña. La mejor curva de ajuste de cierto tipo es aquella para la cual la suma de los cuadrados de los residuos es un mínimo. , NOTA HISTORICA Parece ser que Carl Gauss (1777-1855) diseñó el método de mínimos cuadrados cuan­ do aún era un adolescente, pero fue Adrien-Marie Legendre (1752-1833) quien pri­ mero publicó el método y lo bautizó. Ambos matemáticos usaron el método para calcular las órbitas de asteroides y cometas. También disputaron entre sí respecto a quién había sido el descubridor de tan fructífero método.
    • 1 1. 1 MÉTODO DE MíNIMOS CUADRADOS 361 Iniciando con la situación más sencilla,se mostrará cómo determinar la recta que mejor ajusta los n puntos dados. Se escribe el modelo lineal y=mx+b donde se han de encontrar valores para m y n de manera que la suma de los cuadrados de los residuos de los n puntos sea un mínimo. El residuo del punto (x¡, y) esy¡ - (mx¡ + b). La cantidad y¡ es la ordenada del punto y (mx¡ + b) es la ordenada de la recta cuando x = Xl' Por ello los residuos de los puntos son y¡- (mx¡+b), Y2- (mx2 + b), ...'Yn- (mxn + b) y sus cuadrados son YI - 2mx,y, - 2y,b + m2xI + 2mx,b + b2, y� - 2mx 2Y2 - 2Y 2 b + m2x� + 2mx 2 b + b2, • • • y� - 2mxnYn - 2Yn b + m2x� + 2mxn b + b2. Se usa la siguiente notación para expresar de manera conveniente la suma de estas ex- • presIOnes. Lx = x, + X2 + ...+ xn, Lx2 = XI + x� + ... + x�, LXY = x, y, + XÚ'2 + .. . + XnYn' Representando mediante R la suma de los cuadrados de los residuos,se obtiene R = Ly2 - 2mLXY - 2bLY + m2Lx2 + 2mbLx + nb2. (11.1) • Cabe señalar que todas las cantidades que aparecen en el miembro derecho de esta ecua- ción tienen un valor fijo, salvo m y b.Por ejemplo, Iy no es una variable; representa la suma de los cuadrados de las ordenadas de los n puntos fijos. En esta situación el problema es determinar valores de m y b que hagan de R un mínimo. La expresión para R contiene la primera y la segunda potencias tanto de m como de b.Sin embargo,si se trata a b como una constante no especificada,entonces las varia­ bles en la ecuación son R y m. Dado que R aparece de manera lineal y m de manera cuadrática,la gráfica de la ecuación es una parábola. Eligiendo como horizontal al eje m y como vertical al eje R , se observa que la parábola tendría un eje vertical. Además,la parábola se abre hacia arriba debido a que R, por ser la suma de expresiones cuadradas, no es negati, .. En consecuencia,el valor mínimo de R es la ordenada del vértice. Por tanto R alcanza el menor valor posible cuando m es igual a la abscisa del vértice de la parábola. La abscisa del vértice se encuentra escribiendo la ecuación (11.1) en la forma usual (Sec. 3.2). De esta manera se puede mostrar que R alcanza su valor mínimo cuando mLx2 + bLx - Lxy = O. De manera similar, se puede considerar a m como una constante y así obtener la • • ecuaclOn mLx + nb - LY = O. Resolviendo de manera simultánea las dos ecuaciones anteriores para obtener los valo­ res de m y de b, se obtiene (Sec. 2.3)
    • 362 CAPíTULO 1 1 AJUSTE DE CURVAS Estas fórmulas permiten calcular los valores de m y de b de la recta que mejor se ajusta a un conjunto de puntos. Su uso se ilustra en un ejemplo. Ejemplo 1 Encuentre la recta que mejor se ajusta a los datos graficados en la figura 11.1. . Solución En la página 344 se presentan las seis parejas de valores de x y y. Estos datos se utilizan para calcular las sumas que aparecen en la ecuación (11.2) y obtener ¿x = 100 + 120 + 140 + 160 + 180 + 400 == 900, ¿y = 0.45 + 0.55 + 0.60 + 0.70 + 0.80 + 0.85 = 3.95, ¿x2 = 1002 + 1202 + 1402 + 1602 + 1802 + 2002 = 142,000, ¿xy = 100(.45) + 120(.55) + 140(.60) + 160(.70) + 180(.80) + 200(.85) = 621. Estos resultados, al sustituirse en la ecuación (11.2) para calcular m y b, producen lo • • sigUiente: m = 6(621) - 900(3.95) _ 171 = 0 0041 6(142,000) - 9002 42,000 . , b = 142,000(3.95) - 900(621) = 0 048 42,000 . . Usando estos valores para m y b se encuentra que la ecuación de la recta que mejor se adapta a los datos es y = 0.0041 x + 0.048 Esta ecuación proporciona de manera aproximada la relación que existe entre el peso y la deflexión, y es válida para pesos que no hacen flexionar la viga más allá de su límite elástico. Por ejemplo, la deflexión producida por un peso de 400 kg es y = 0.0041 (400) + 0.048 = 1.69 centímetros. Los datos y la recta se muestran en la figura 11.1. • Debería resultar evidente para el lector que no se trata de resolver muchos proble­ mas como el presentado en el ejemplo 1, sin el uso de la calculadora. De hecho, el méto­ do de los mínimos cuadrados, si bien es deducible a partir de propiedades básicas de funciones cuadráticas (parábolas), constituye un tema del análisis numérico y puede �na­ lizarse en términos muy abstractos. Aun así las ecuaciones básicas, como se vio en la ecuación 11.2, son sumas, diferencias, productos y cocientes de números reales. Es rela­ tivamente sencillo programar un computador para tomar los datos correspondientes a los puntos dados, y calcular la pendiente y la ordenada al origen de la recta que "mejor se ajusta". De hecho, muchas de las calculadoras "para científicos" ya incluyen el progra­ ma, generalmente en un modo de "estadística". Se recomienda al lector que utilice dicho tipo de calculadora, y si es posible que use una calculadora con pantalla para graficación que grafique los datos y la recta que mejor se ajuste a ellos. Busque el apartado de "Re­ gresión lineal" en el manual que acompaña a la calculadora.
    • EJERCICIOS 3.63 En opinión del autor de este texto, no es importante que los estudiantes memoricen las ecuaciones (11.2). En el ejemplo que sigue se retoma el problema del inicio de una epidemia de saram­ pión, el cual ya se presentó en el ejemplo6 de la sección1.6. Ejemplo 2 A raíz de la aparición de una epidemia de sarampión, un representante del departamento de salud pública observa que ocurren 5 nuevos casos durante la primer se­ mana, 18 nuevos casos en la segunda, 36 en la tercera y 59 en la cuarta. ¿Cuántos nuevos casos cabría esperar en la quinta semana? Solución Los datos son {(1,5),(2,18),(3,36),(4,59)} y, por ende, n =4. Usando una calculadora científica se encuentra que m =18 Y b =-15.5. La recta que mejor ajusta los datos, calculada mediante el método de mínimos cuadrados, está dada por y=18x- 15.5. Así, six = 5,entonces y= 74.5. El representante del departamento de salud pública puede esperar que aparezcan 74 o 75 nuevos casos durante la quinta semana. • Ejercicios Encuentre la ecuación de la recta que mejor se ajuste a los conjuntos de puntos que co­ rresponden a los ejercicios 1 y 2. Grafique los puntos y trace las rectas. 1. (1,8),(4,6),(5,5),(8,3),(9,2), (11,1) 2. (-2,-10),(0,-5),(1,0),(2,5),(4,8) 3. En la tabla que aparece a continuación se registran las longitudes y (en cm) que alcanza un resorte y que corresponden a distintos pesosx (en kg) que se le han col­ gado. Encuentre la recta, y= mx + b, que mejor se ajuste a los datos. Utilice la ecua­ ción resultante para encontrar la longitud del resorte cuando el peso sea de 17 kilos. x 10 20 30 40 50 y 11.0 12.1 13.0 13.9 15. 1 4. Un negocio obtuvo, al final de cada año, las ganancias netas que se detallan en la siguiente tabla Año 1989 1990 1991 1992 Ganancia $10,000 $12,000 $13,000 $15,000 Determine el mejor ajuste lineal y prediga la ganancia para 1993. 5. En la siguiente tabla se muestra, para cinco décadas, el número de alumnos inscri· tos en un colegio a final de cada década l. Encuentre la recta de la forma N = mI + b
    • 364 CAp.íTULO 1 1 AJUSTE DE CURVAS que mejor se ajuste a estos datos. Haga una predicción de la matrícula al final de la sexta década. t 1 2 3 4 5 N 8,000 9,000 10,100 11,400 13,700 6. La relación entre la cantidad total de calor H en un kg de vapor saturado a Tgrados Celsius es H = mT + b. Determine los valores de m y b que mejor se ajusten a estos datos. T 50 70 90 110 • H 623 627 632 636 11.2 MODELOS EXPONENCIALES Como se vio en el capítulo 6, muchas situaciones que se refieren al crecimiento o decai­ miento se modelan en términos de funciones exponenciales de la forma (11.3) Si bien ninguna recta puede ajustarse adecuadamente a un modelo exponencial, se pueden tomar los logaritmos naturales de los miembros de ambos lados de la ecuación 11.3 y obtener In y = In a + bx, la cual resulta lineal en x y z = Iny, por ser a y b constantes. Se puede entonces aplicar el método de mínimos cuadrados a los nuevos datos, que consisten en los puntos (x,In y) para los que (x,y) satisface la ecuación (11.3). Ejemplo 1 En cierto cultivo el número N de bacterias por unidad de volumen,después de t horas, está dado mediante la tabla que aparece a continuación. Encuentre a y b de manera que N = aebt se ajuste a los siguientes datos: t 1 2 3 4 N 70 88 111 127 Solución Tomando logaritmos como se sugiere,los datos se transforman para obtener lo siguiente: '. t 1 2 3 4 • In N 4.25 4.48 4.71 4.84
    • EJERCICIOS 365 Según el análisis de regresión lineal,la recta que mejor se ajusta a los datos está dada por y = In N = In a + bt donde In a = 4.07 Y b = 0.2. deseado,como se ilustra en la figura 11.2,está dado por N 200 ISO 100 FIgura 11. 2 1 • Ejercicios N = 58. e02t • • 2 3 4 5 1 En los ejercicios 1 a 3,encuentre el mejor ajuste utilizando el modelo exponencial. 1. x -3 -1 1 3 5 y 0.8 1.5 2.7 4.9 9.0 2. x o 1 2 3 5 y 3.0 2.5 2.1 1.6 1.1 3. x 1 2 3 4 y 3 4.5 7.8 16
    • 366 CAPíTULO J J AJUSTE DE CURVAS 4. ,En un cultivo el número de bacterias N por unidad de volumen un cierto tiempo t corresponde a lo que aparece en la tabla. Encuentre la mejor relación de la forma N= aebl• t o 2 4 6 8 N 10 16 25 40 63 5. La temperatura T (en grados Celsius) de un cuerpo que está siendo enfriado se mi­ dió en distintos tiempos t (minutos), como lo indica la tabla. Encuentre la fórmula exponencial que mejor se ajuste a T en términos de t. t o l 2 3 4 5 T lOO 79 63 50 . 40 32 6. En la tabla se muestra la presión atmosférica p en unidades de libras por pulgada cuadrada, a una altura h expresada en miles de pies. Proporcione una fórmula exponencial parap expresada en términos de h. h o 5 10 15 20 p 14.6 12.1 10.1 8.4 7.0 7. Considere nuevamente los datos de la epidemia de sarampión que aparecen en el ejemplo 2, sección 11.1, Y utilice un modelo exponencial. Bajo el supuesto de un modelo exponencial, ¿cuántos nuevos casos cabría esperar para la quinta semana? ¿Qué modelo parece ser el más adecuado? ¿Por qué? EJERCICIOS DE REPASO l. Una compañía de encurtidos tuvo una ganancia de $ 5218 en 1990, $ 8795 en 1991 y 11350 en 1992. Encuentre el ajuste lineal para los datos que resul­ ta de usar el método de mínímos cuadrados, y pre­ diga la ganancia para 1993. Grafique la curva. 2. Para la compañía de encurtidos que se trató en el ejercicio 1, use el modelo exponencial para pre­ decir las ganancias de 1993 y 1994. Grafique la curva. Términos clave método de mínimos cuadrados, pág. 360 3. Convierta el modelo logarítmico y = a + b In x a un modelo lineal, utilizando para ello la sustitución z = eln Y. A continuación use el método de mínimos cuadrados a fin de encontrar el mejor ajuste (en el modelo logarítmico) para los datos siguientes: x y 0.5 1 3 5 8 o 3.1 7.8 9.9 12 modelo lineal, pág. 361 modelo exponencial, pág. 364
    • EJERCICIOS DE REPASO 367 1. Use el modelo lineal para ajustar los datos {(1, 2.06), (4, 6. 39), (lO ,14. 87 )}. Grafique los datos y la recta. 2. Use un modelo exponencial para ajustar los datos {l, 1.09), (10 ,8.73), ( 16, 20.17)}. ¿Qué valor se puede predecir para x = 20? Grafique la curva. 3. ¿Qué modelo se debe usar para ajustar los datos {(1, 2), (2, 4),(3, 6), (5, 11)}?¿Por qué?
    • Apéndice A Fórmulas
    • 370 , ALGEBRA 1. Fórmula cuadrática -b + v'b2 - 4ac Las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = O Ca "t: O) son x = - -- 2=- a --- 2. Determinantes al El valor de una determinante de dos por dos es El valor de una determinante de tres por tres es al bl el a2 b2 e2 a3 b3 e3 • = al(b2c3 - b3e2) - bl(a2e3 - a3e2) + el(a2b3 - a3b2)' 3. Números complejos Si z = a + bi Y w = c + di, con w "t: O, entonces z + w = (a + e) + (b + d)i, , z - w = (a - e) + (b - d)i, z . w = (ac - bd) + (ad + be)i, z _ ae + bd) + w e2 + d2 be - ad . 1. APÉNDICE A TRIGONOMETRíA 4. Relación entre grados y radianes Toda la circunferencia de un círculo subtiende un ángulo central de 2n: radianes y de 360 grados. 2n: radianes = l revolución = 360° De este modo, 1 d· , 180 ra lan = n: grados, y n: 1 grado = 180 5. Definiciones e identidades fundamentales radianes. sen (J = y = l . cos (J = x = l . tan (J = y = 1 r ese (J' r sec (J' x cot (J sen2(J + eos2(J = 1; 1 + tan2(J = sec2(J; 1 + cot2(J = cse2(J; sen (J = cos(90° - (J) = sen(l80° - (J); cos (J = sen(90° - (J) = sen (1 cos (J' -cos(l80° - O);
    • APÉNDICE A FÓRMULAS 371 tan 0= cot(90° - O) = -tan(180° - O); COlO = tan(90° - O) = -cot(180° - O); O csc O= cot 2 - cot O; sen(O+ rJ» = senOcos rJ> + cos O senrJ>; sen(O- rJ» = senOcos rJ> - cos OsenrJ>; cos(O- rJ» = cos Ocas rJ> + sen OsenrJ>; cos(O+ rJ» = cos Ocas rJ> - senO senrJ>; (O Á-.) tan O+ tan rJ> tan + '1' = . 1 - tan Otan rJ>' (O Á-.) tan O- tan rJ> tan - '1' = I + tan Otan rJ>; sen20= 2 sen Ocos O; tan 20 = 2 tan O • I - tan20' cos 20 = cos20 - sen20 = 2 cos20 - I = I - 2 seriO; O 1 + cos () cos -= + 2 2 COl20 - 1 O 1 - cos () cot 20 = • sen- = + • 2 cot O , 2 - 2 , O 1 - cos () I - cos O senO tan- = + • 2 1 + cos () senO 1 + cos O' • , senO+ O+ rJ> O- rJ> senrJ>= 2sen 2 cos 2 ; O+ rJ> O- rJ> sen O- sen rJ>= 2 cos 2 sen 2 ; O+ rJ> O- rJ> cos O+ cos rJ> = 2 cos 2 cos 2 ; O+ rJ> O- rJ>. cos O- cos rJ>= -2 sen 2 sen 2 ' I senOcos rJ> = 2 (sen(O+ rJ» + sen(O - rJ»]; 1 cos Ocas rJ> = 2[cos(O+ rJ» + cosCO- rJ»]; I senOsenrJ> = - 2 [cos(O+ rJ» - cosCO - rJ»]. , 6. Angulos y lados de triángulos Ley de cosenos: a2 = b2 + e2 - 4be cos A. Ley de los senos: , sen A sen B sen e a - - b • e • Area = Ihbe sen A= l12ae sen B = l12ab sen C. GEOMETRíA ANALíTICA 7. Fórmulas básicas Distancia entre dos punto�: PIP2 = Y(X2 - XI)2 + (Y2' - YI )2. Punto medio: p(XI ;x2 , YI ;Y2). Pendiente de una recta: m = Yz - YI = YI - Y2. con X2;éX,. x2 - XI XI - X2 Condición para rectas paralelas: m, = m2• Condición para rectas perpendiculares: m,m2 =-1.
    • 372 , lfIJ. - m Angulo entre dos rectas: tan (J = I . l + m2ml PQ -_ IAxI + BYI + el Distancia entre un punto y una recta: VA2 + B2 8. Ecuación de la recta Ecuación general: Ax + By + e= O. Forma dos puntos: Y-Y, = Yz - YI(x - XI)' X2 - XI Forma punto-pendiente: Y-Y, = m(x - x,). Forma pendiente-ordenada al origen: y = mx + b. Forma intersecciones: • 9. Circunferencia Ecuación general: X 2 + y + Dx + Ey + F = O. Centro en el origen, radio r: X 2 + y = r2, o x = r cos e, Y = r sen e. Ecuación de la recta tangente en (x" Y,): x,x + Y,Y = ,:J.. Centro en (h, k), radio r: (x - h)2 + (y - k)2 = r2. 10. Parábola Vértice en el origen,se abre en la dirección x positiva: y2 = 4ax (a > O), o bien x = a12, Y = 2at. Ecuación de la recta tangente en (x" y,): Y,(Y-Y,) = 2a(x- x,) Foco: (a, O). Directriz: x + a = O. • Vértice en (h, k), se abre en la dirección x positiva: (y - k)2 = 4a(x-h). 11. Elipse Centro en el origen: X2 y2 ? + b' = l ,o x = a cos e, y = b sen e. a- - • Ecuación de la recta tangente en (x" Y,): Si a> b: c2 = a2 - b2; excentricidad e = e/a;focos, (-e, O),(c, O) Si b > a: c2 = b2 - a2; excentricidad e = e/b; focos, (O, -c), (O, e). Centro en (h, k): 12. Hipérbola Centro en el origen: I , o x = a sec e, y = b tan e. , APENOICEA
    • APÉNDICEA FÓRMULAS Ecuación de la recta tangente en (XI' YI): A ' b b smtotas: y = -x, Y = - -x. a a Focos: (-c, O), (e, O), donde e2 = a2 + b2. Excentricidad: e=cla, donde ¿. = a2 + b2, (x - h)2 (y - WCentro en (h, k): a2 - b2 = + l. Con asíntotas X = a, y = b: (x - a)(y - b)= k, GEOMETRíA PLANA 12. Figuras básicas y sus áreas Paralelogramo Rombo b , , Area = bh Area = bh b a Trapecio , Area= Y,(a+ b)h , b Triángulo , Area = Y,bh b 373
    • Apéndice B Tablas
    • 376 TABLA I Funciones trigonométricas naturales , , , Angulo Angulo Tan- Grado Radián Seno Coseno gente Grado Radián 0° 0.000 0.000 1.000 0,000 1° 0.017 0.017 1.000 0.017 46° 0.803 2° 0.035 0.035 0.999 0.035 47° 0.820 3° 0.052 0.052 0.999 0.052 48° 0.838 4° 0.070 0.070 0.998 0.070 49° 0.855 5° 0.087 0.087 0.996 0 087 50° 0.873 6° 0.105 0.105 0.995 0.105 51° 0.890 7° 0.122 0.122 0.993 0.123 52° 0.908 8° 0.140 0.139 0.990 0.141 53°. 0.925 9° 0.157 0.156 0.988 0.158 54° 0.942 10° 0.175 0.174 0.985 0.176 55° 0.960 11° 0.192 0.191 0.982 0.194 56° 0.977 12° 0.209 0.208 0.978 0.213 57" 0.995 13° 0.227 0.225 0.974 0.231 58° 1.012 14° 0.244 0.242 0.970 0.249 59° 1.030 15° 0.262 0.259 0.966 0.268 60° 1.047 16° 0.279 0.276 0.961 0.287 61° 1.065 17" 0.297 0.292 0.956 0.306 62° 1.082 18° 0 314 0.309 0.951 0.325 63° 1.100 19° 0.332 0.326 0.946 0,344 64° 1.117 20° 0.349 0.342 0.940 0.364 65° J.I34 21° 0.367 0.358 0.934 0.384 66° 1.152 22° 0.384 0.375 0.927 0.404 67° 1.169 23° 0.401 0.391 0.921 0.424 68° 1.187 24° 0.419 0.407 0.914 0.445 69° 1.204 25° 0.436 0.423 0.906 0.466 70° 1.222 26° 0.454 0.438 0.899 0.488 71° 1.239 27° 0.471 0.454 0.891 0.510 72° 1.257 28° 0.489 0.469 0.883 0.532 73° 1.274 29° 0.506 0.485 0.875 0.554 74° 1.292 30° 0.524 0.500 0.866 0.577 75° 1.309 31° 0.541 0.515 0.857 0.601 W 1.326 32° 0.559 0.530 0.848 0.625 77" 1.344 33° 0.576 0.545 0.839 0.649 78° 1.361 34° 0.593 0.559 0.829 0.675 79° 1.379 35° 0.611 0.574 0.819 0.700 80° 1.396 36° 0.628 0.588 0.809 0.727 81° 1.414 37° 0.646 0.602 0.799 0.754 82° 1.431 38° 0.663 0.616 0.788 0.781 83° 1.449 39° 0.681 0.629 0.777 0.810 84° 1.466 40° 0.698 0.643 0.766 0.839 85° 1.484 41° 0.716 0.656 0.755 0.869 86° 1.501 42° 0.733 0.669 0.743 0.900 87° 1.518 43° 0.750 0.682 0.731 0.933 88° 1.536 44° 0.768 0.695 0.719 0.966 89· 1.553 45· 0.785 0.707 0.707 1.000 90° 1.571 APÉNDICE B Tan- 'Seno Coseno gente 0.719 0.695 1.036 0.731 0.682 1.072 0.743 0.669 1.111 0.755 0.656 1.150 0.766 0.643 1.192 0.777 0.629 1.235 0.788 0.616 1.280 0.799 0.602 1.327 0.809 0.588 1.376 0.819 0.574 1.428 0.829 0.559 1.483 0.839 0.545 1.540 0.848 0.530 1.600 0.857 0.515 1.664 0.866 0.500 1.732 0.875 0.485 1.804 0.883 0.469 1.881 0.891 0.454 1.963 0.899 0.438 2.050 0.906 0.423 2.145 0.914 0.407 2.246 0.921 0.391 2.356 0.927 0.375 2.475 0.934 0.358 2.605 0.940 0.342 2.748 0.946 0.326 2.904 0.951 0.309 3.078 0.956 0.292 3.271 0.961 0.276 3.487 0.966 0.259 3.732 0.970 0.242 4.011 0.974 0.225 4.332 0.978 0.208 4.705 0.982 0.191 5.145 0.985 0.174 5.671 0.988 0.156 6.314 0.990 0.139 7.115 0.993 0.122 8.144 0.995 0.105 9.514 0.996 0.087 11.43 0.998 0.070 14.30 0.999 0.052 19.08 0.999 0.035 28.64 1.000 0.017 57.29 1.000 0.000
    • APÉNDICE B TABLAS 377 TABLA" Funciones exponenciales x eX -x eX -x e x e 0.00 1.0000 1.0000 2.5 12.182 0.0821 0.05 1.0513 0.9512 2.6 13.464 0.0743 0.10 1.1052 0.9048 2.7 14.880 0.0672 0.15 1.1618 0.8607 2.8 16.445 0.0608 0.20 1.2214 0.8187 2.9 18.174 0.0550 0.25 1.2840 0.7788 3.0 20.086 0.0498 0.30 1.3499 0.7408 3.1 22.198 0.0450 0.35 1.4191 0.7047 3.2 24.533 0.0408 0.40 1.4918 0.6703 3.3 27.113 0.0369 0.45 1.5683 0.6376 3.4 29.964 0.0334 0.50 1.6487 0.6065 3.5 33.115 0.0302 0.55 1.7333 0.5769 3.6 36.598 0.0273 0.60 1.8221 0.5488 3.7 40.447 0.0247 0.65 1.9155 0.5220 3.8 44.701 0.0224 0.70 2.0138 0.4966 3.9 49.402 0.0202 0.75 2.1170 0.4724 4.0 54.598 0.0183 0.80 2.2255 0.4493 4.1 60.340 0.0166 0.85 2.3396 0.4274 4.2 66.686 0.0150 0.90 2.4596 0.4066 4.3 73.700 0.0136 0.95 2.5857 0.3867 4.4 81.451 0.0123 1.0 2.7183 0.3679 4.5 90.017 0.0111 1.1 3.0042 0.3329 4.6 99.484 0.0101 1.2 3.3201 0.3012 4.7 109.95 0.0091 1.3 3.6693 0.2725 4.8 121.51 0.0082 1.4 4.0552 0.2466 4.9 134.29 0.0074 1.5 4.4817 0.2231 5 148.41 0.0067 1.6 4.9530 0.2019 6 403.43 0.0025 1.7 5.4739 0.1827 7 1096.6 0.0009 1.8 6.0496 0.1653 8 2981.0 0.0003 1.9 6.6859 0.1496 9 8103.1 0.0001 2.0 7.3891 0.1353 10 22026 0.00005 2.1 8.1662 0.1225 2.2 9.0250 0.1108 2.3 9.9742 0.1003 2.4 11.023 0.0907
    • Res uestas a E-ercicios Seleccionados , CAPITULO 1 EJercicios, Sección 1.1; páginas 10-1 2 2. A = (-3, 1), B = (0, 4), Y C = (2, - 1 ). JABj = 3Y2, JBCj = v'29, y JACj = v'29. 4. y (7, 4) • (3, 1) • x d= 5 6. y (2, 3) • (-1, O) d = 3-Y2 8. y (0,4) (-3, O) d=5 10. 12. 14. y (6, 3) • -l--+-+-+-+-4-!-+-t-!f-++-t-+ x • (-1, -1) d= "65 y (2, 2) • -++-+-+-+-H-+-+-1-+-t-t-+ x • (-3, -3) IABI = ro IACI = vio IBCI = ..J5 y 8 A
    • 380 16. 18. 20. 22. IABI= 3-J2 IACI= I IBCI= 5 y B -I--+-++-+-+-+--+-+->--+-+-+-.x ... • C IACI= 4" A C y IAB 1= 14:-,,-"-+-=-9 =ICBI y C A ---I-+-+---H+-+--1.....,'-H-+-++.x y -1- -1- -1- -1- -1- A IABI= 6-J2 IACI= 5-J2 IBC¡= 5--5. �C , , , , , " ' " r-'�x" " " , .' , IABI-'I'58 IACI='1'29 IBCI='1'29 - IABl'=IACI' + IBCI' • B 24. RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS IACI = 5E IABI=5 IBCI= 10 y IAC¡'=IABI' + IBCI' C -t-+-+-+-H-"':""d-t-I't+-+-+-. x • 26.IABI = IACI = IBCI = 6. 28. Todas las distancias son 5. 30. Alineados 32. No alineados 34.x=13 36. (O, -D EJercicios, Sección 1 .2; páginas 20-22 2. y 4. y ++-H-+-++-. x
    • RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 6. y -t--+-+-+-I---j--,-+--!-I+-+-H-+ x 8. y x 1 O. y 12. y -t-t-+-++-+-p.ri-+-+-++-. x 14. �, Sí, No 18. 15, 86° 16. 20. 4 76°, 9.43912,24° 22. Pendiente AB = Pendiente CD = o. Pendiente BC = Pendiente DA =-;. además, 1 AD 1 = 1BC 1 y 1 OC 1 =-1 AB l. Luego, la figura ABCD es un paralelogramo. 24. Pendiente AB = Pendiente CD = -1. 381 Análogamente Pendiente BC = Pendiente AD = � . 26. La pendiente de la línea que pasa por (O,O) Y (4,4) es l . La pendiente de la línea que pasa por (O, O) Y (4, -4) es -1. 28. La pendiente de la línea que pasa por (O, -2) Y (5, -4) es - ; . La pendiente de la línea que pasa por (7,1) Y (5, -4) es �. 30. La pendiente de la línea que pasa por (1, 1) Y (4, -1) es - ;. La pendiente de la línea que pasa por (1, 1) Y (3, 4) es � . 32. La pendiente de AB es - � . La pendiente de BC es � . La pendiente de CD es - .¡. La pendiente de DA es � . Así A, B, e y D son los vértices de un rectángulo. 36. Están alineados. 38. No están sobre una recta. 40. tan A = t,A =49°; tan e = 1 e =60°4 ' 42. tanA =-18,A =93°; tan e = n , e = 38° tan B = 1;4 ,B = 70°; tan B = 98 B = 48°·, ,
    • 382 44. 27°,153° ¿J6. 34° 4S. Perpendicular 50. Perpendiculares 52. Oblicuas 54. 109° EJercicios. sección 1.3; páginas 28-30 2. (2.4) 4. (-1,1) 6. (1,5) 8. (3, D, G, 2). (�. n 10 (-2 _ 11) (_ 5 _ 7) (_3 -4). ' 2 ' 2' 2 ' 2' 12. El punto medio es G. n. La distancia es 134/2. 14. (- j. n 16. (3, n IS. (15.6) 20. (2.4174,0.8315) 22. (5. In 24. (11 _ 1 )4' 4 28. a) (8. 11),b) (-1,-1) 26. (�. _171) 30. a) (9,9), G, D b) (!. !). (- i, -D 32. (6. n 34. (5. -D 36. el. 121) 38. JO'. 3'. 4i' y 4 3 4.!. 2 EJercicios. sección 1.5; páginas 4 1-44 2. No, pues (1,2) y (1,1) están, ambas, en la relación. 4. Una función. y --If-l--+-I-+-+-+-. x RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 6. Una función y -+-+-+-+-H---+-+-+.,.�-++-. x • S. y = X2 es una función. y (l. 1) +-H---+-++-. x 10. x = y 2 no es una función. y + + -1- + (4.2) -1- -1---+...../i-+-+-+-+-+-I-+---+-+-+-+ x (O. (lJ ,,' . , , , , , , , + -1- f­ � �
    • RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 12. Una función y -t-+-+-+--t--Hr�+-t--HH- x (1,O) 14. Xl + y2 = 1 no es una función. 16. a) no es una función c) es una función; y (O, 1) (1, O) X • b) es una función d) no es una función. 18./(-1) = 2; /(1 + h) = 2 /(1 - h) = 2 - 2h + h2;f(O) = + 2h + h2., l' no, 20. Ritmo cardiaco 180 (lO, 168) (70,120) Edad 20 22. a) par c) ni par, ni impar b) impar d) impar EJercIcios, seccIón I .6; págInas 49-50 2. Y = -2x y • 4. 2y + 3x = 29 y (5,7) (7,4) -+_ X 6. Y = 4 y X 383
    • 384 8. Y = 2 y "-++-+-I-+++-H-++-t--+ x 10. x = -4 y (-4, O) 12. 12x - lOy = 25 y -+-+-+-t--. x RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 14. 16x = y2 y -+-+--+---t---i-t--+-+-t-t-+-+-� x • 16. X2 + y2 = 32 y 18. x2 + y2 = 16 y (-4, O) (4, O)
    • RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 20. 25x' + 16y' = 400 y +-H-+-l-+-l-+-+-+-lH-+-+ X 22. 4x' - 140y' + 35 = O , , , 24. x' + yO = 16 (-4,0) y - - - - - - y " x , , • (4, O) 26. El número esperado de nuevos casos es de 66 y 79. EJercicios. Sección 1.7; página 59 2. Dom/= iR Cod/= (6) y --¡-----y = 6 ------,�-----------� x 4. Dom/= iR Cod/= IR+ y y = 2' ------�------------� x • 6. Dom/= [-4, 00) Cod/= [O, 00) y ----"'-------1------------+ x -4 385
    • 386 8. Domf= R Codf= R y ---�k:--------+x 10. Domf= [-2, 2] Codf= [0,2] y - y = -x' ---L-I--l----+ x -2 2 y 12. -___-: -___-4>---� X 14. a)f(O) = J; b)fW = O; c)f(a + h) = -4 (a+ h)2 + 1, d) - 8a- 4h. EjercIcIos de repaso; págInas 59-60 4. tan A = 5, A = 79°; tan B = 8, B = tan e = j, e = 18° 6. (-2, j), (-10, 8) 8. Y = X2 - 4 y • + + _+-iiHi-iH:-H " I-+-" ¡"--' x. . . . " ' " + - v = x' - 4 - , Examen sobre el capítulo; págIna 60 2. a) IABI = Vs8 b)� e) (L -�,) d) 1.4° e)(O,-D 3. En la figura EB loe, ED 11 AC y BD lOA, de manera que t1OACes similar al t1 BDE. y A(a, b) ---!'--___�___�__ x o D(�.O) C(c.O) 4. a) Sí es función y ,-+-+-+-I-+-+-+-+ x
    • RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS b) Sí es función y x c) No es función y �-t-r1-+-�-+-r-r+-+-�x • d) Sí es función y x 387 5. Sea x = peso de la carta, en onzas, y p(x) = lo que cuesta enviar por correo x onzas, en .Ias unidades de moneda en uso. Entonces p(x) = 0.06 + 0.23k, si k-I <x < k, para k= 1,2,3,4,5. El dominio es (0,5],la imagen es {0.29, 0.52, 0.75, 0.98, 1.21}. p(x) 1.21 o • 0.98 o • 0.75 o • 0.52 o • 0.29 --�---r--+--1---r--+--' x 1 2 3 4 5 6. 3X2 + 2x + 3y2 - 8y + 3 = O 7. a) [1, 00); b) (-00,1]; c) [1]. , CAPITULO 2 EJercfclos, sección 2.1; páginas 67-69 2. m = -1,a=6, b =6, Y = -x + 6 4. m= -�,a=4, b = 9, Y = - �x + 9 6. m=�,a = - 1)0, b = �,y= �x + � 8. m= - �,a= 1)4, b =7, Y = -�x + 7 lO. m=4,a=�, b = - i,y= 4x - � 1 b 1 1 12. m= -I,a=s, =s,y=-x+s 14. m = 0.4589, a = 2.8183, b = -1.2933, Y = 0.4589x - 1.2933 16. Y =2x - 3 18. Y = 5x 20. y=�x - 4 22. Y =;x + 3 24. Y = -3x - 4 , 26. Y = -8x + 7 28. Y = �x - 4 8. 0
    • 388 30. 2x - y= -1 y (1, 3) f--++-t-H-fl+-t--++-t-H-+ x 32. Y= -2 y x (O, -2) 34. x - y= -3 y x RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 36. 3x + y= 12 y (4, O) -+-+--+-+--If--+-+--+-+-+--+-+-+ x 38. 4.90032x + y= 6.29651 40. 7x + 6y = 11 44. 3x + 4y= O 48. �x - y = O y (0.01157,6.23981) 42. x + 2y = 2 46. x = -1 50. 1.93759x + y= 18.023216 52. e (32, O) ,-+F (O, -17.8)
    • RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 54. -400 56. T = 20 + 15x, O < x < 8; T= 140 - 15(8 - x) if O < x < 8. 58. $1.40, $3900 Ejercicios, sección 2.2; páginas 73-74 2. 4x + 5y = -13 4. 2x - 5y= -6 6. 3x + y = -1 8. 3x + 4y= -6 10. 2x + 3y = 6 12. 4x - 3y = 12 14. IOx + 9y = -6 x y 16. 2 + -8 = 1 . x y 18. -4 + 9 = 1 x + y = 120. (20/9) (-5/9) 22. 3x - 2y + 5= O, 2x + 3y - 14 = O 24. 8y + x + 13 = O, 8x - y - 26 = O 26. 1492x + 1776y - 3552= O. 1776x - 1492y + 2984= O 28. x + 3y - 8 = O 30. 2x + 5y - 9 = O 34. Si Y ='costo de alquiler y x = kilómetros recorri­ dos, entonces y = 20 + 0.11x y • 25 20 1------(o. 20) 15 10 5 ---+---+--j-+-+--+-+ x 5 10 15 20 25 389 EJercicios, sección 2.3; páginas 77-78 2. (3, O) 4. (1, - i) 6. (1, -n 8. (L -D 10. (lO, O) 6 8 ( 8 14)12. (-1 ,10), (2, - ), -5' "5 14. El equilibrio de mercado es producir 12 unidades a $44 cada una. 16. a) y .• 2x - 3y <: 6 x 2x - 3y = 6 b) y 2x - 3y > 6 • e) y
    • 390 d) y 2x-3y=6 x x+y=l EJercicios, sección 2.4; páginas 84-86 2. - 152 4. 1; 9vTo 6. 5 8. O 10. 7 12. 25 3 16. 2V2 8V13 14. 18.13 3 9Ys 2V13 3129 20. 22. 13 24. 295 26. x = y 28. (2Ys + 4)x + (Ys - 3»' = 4Ys + 8 30. (Ys + V2)x + (Ys + 2V2»" = 2Ys + 3V2, (Ys - V2)x + (Ys - 2V2)y = 2Ys - 3V2 32. 9.5 34. 7.603krn, x - 2y + 8 = O EJercicios, sección 2.5; páginas 90-92 2. Pendiente = 3 4. Pasa por (-3,4) 6. Intersección con el eje y=2 8. Intersección con el eje x = 4 10. 4x - 7y = k y RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 12. 2x+y=k y -+-+-1'-'-I-+�-+*H--++ x 14.x+ky=3 y • x 16. 8x + a�Y = 80 y 8x+y=8 8x+ !6y= 32 -+-++-H-+-+H-+'''k:::+-t- x 8x+4y= 16 . 18. 2x + v - b = O, 2x + y + 4Ys = O. 2x + 'v - 4Ys = O . 20. 3x + 4v + k = O. 3x + 4y + 4 = O, 3x + 4-" - 26 = O 22. 2x - 3y + 2 + 3V13 = O 24. 3x - 4y + 16 = O, 3x - 4y = 24 26. 3x + v + 14 = O
    • RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 28. x + 3y = O 30. 6x = 2y 32. 20x - 25y + 62 = O, 27x - 18y + 46 = O, 7x + 7y - 16 = O 34. 34x + a2y = 34a EJercicios, sección 2.6; páginas 98-100 2. X2 + (y - 8)2 = 25 4. x2 + (y - 3)2 = 49 6. (x + 1)2 + (y + 6)2 = 64 8. (x - ;)2 + (y - n2 = 10 10. (x + 3)2 + (y + 1)2 = 40 12. (x - 1)2 + (y + 3)2 = 80 14. 16. 18. (x + 3)2 + (y + 4)2 = 16 (x - 5)2 + (y + W = 3]7l9] (x + 2)2 + (y + 6)2 = 4 y --+-++-H-++-+-'H-++-t-+ X (-2. -6) 20. (x - 5)2 + (y + 2)2 = 36 y -+--+l-H-++-H-+-+-+-,f-+-ltf-+ x • (5, -2) 22. (x - W + (y - 12? = 144 y • (5, 12) 6 24. (x - �y + (y - 2)2 = 21 Y G,2)• y • (l,-�) x . 28. Punto 30. Circunferencia 32. Circunferencia 34. Circunferencia 36. Punto 391
    • 392 40. (x - 7)2 + (y + 6)2 = 26 42. (x - 3)2 + (y - w = 9 Y (x- 15)2 + (y- 15)2 = 225 44. x2 + y2-X- �y = O 46. X2 + y2 + 3x - y-lO = O 48. (x � '1)2 + (y + 5)2 = � 50 2 + 2 - ill . x Y - 85 EJercicios, sección 2.7; página 103 2. 3X2 + 3y2 + 14x + 8y + 8 = O o 3X2 + 3y2 + IOx + lOy- 2 = O 4. 4x - Y + 2 = O 6. y 8x+8y=-63 4 • +--t-t-+-+--Hf--+ x . � (x+2)2+(y+w= 16 (x+6)'+ (y+7)2= 16 t 8. IOx + 13y + 40 = O y ( 5 )2 45 (x+l)'+ Y-y = 1,..4_-- • • IOx+ 13y+40=O t• (x+6)'+(y+4)2= 16 RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS lO. 5X2 + 5y2 + 32x - 22y = O EJercicios, sección 2.8; páginas 106-107 2. (5,-2), (2,-1), (2, -6),(O, O) 4. (11,5),(7,-1),(12,6),(1, O) 6. (5, -2), (6,-1),(7, O), (6, 3), (O, -6) 8. 10. 12. y • x'- 2y'+ = O y , y=y y' x x ' y' . (x'+ 1)2+(y'+ 1)2= 1 , x' x x' x •
    • RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 14. • yy ' (x' + 4)2 + (y' - 8)2 = x x ' 16. y y ' x x' X'2 +y ' 2 -2x' -4y - 54 = O 18. (- 2 0. (-5,6), X'2 + y'2 = 58 2 2. (4 Ejercicios de repaso; páginas 107-108 -4 50 -17 2. vT9' vT9' vT9 • 4. 5x + 12y + k = O, 5x + 12y + 17 = O 6. (x + 1? + (y +3)2 = 40 8. (x - W + (y - D2 = JfZ 10. (x + 1)2 + y2 =3 12. Examen del capítulo; páginas 108-109 2. a) y + 1 = -7(x - 2) b) Y + 9 = �x + 1) e) x =3 d) 2 x + 9y = 16 e) 9 x - 2y = -13 x y f) - 9 + - 5 = 1 3. 4. (x + 4)2 + (y - W = 1�9 5. x + y = k 6. ( - 5,2 ), 2 x'2 + y'2 = 6 6 7. x - 6y = 1 y • x- 6y = 1 , CAPITULO 3 EJercicios, sección 3.1; páginas 118-120 2 . (-4, O), 16, (-4, 8), (-4, -8) x =4 y 2 -+-++-hH-++-+-H-+++ X 2 I I I I I I 393 •
    • 394 y ------ ------- 6. (0,2),8,(4, 2), (-4,2), Y = -2 y -+-+-+-+--F't--I-...,=4-+-t--t-1--+ x y x RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 10. y2 = 12x 14. y2 = 16x 18. y2 = 1 3 6x 20. y 12. y2 = -16x 16. y2 = lOx =X2 2y=x2 8y=x2 16y =X2 �+--+-- x • 22. 120.J2 m 24. y=x2 Domf=JR Codf= IR 'uto} 26. No es función 28. X2=-y Domf = N. Cadf = H -u [o} Ejercicios sección 3.2; páginas 127-129 2. (x - 3)2 = -24(y + 2) 4. (y- 1)2 = 8(x - 4) 6. (y + 2)2 = 8(x - 4) 8. (x- 3)2 = lO(y + 2) 10. (y + 3)2 = -8(x- 4) 12. (x + 2)2 = -4(y- 3) 14. V(-I, O), F(-3, O), (-3, 4), (-3, -4) y
    • RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 16. V(--4,O), F(-l,O), ( y y'=12(x+ 4) 18. (x+ 2)2 = ...:.r6).>· • • V(-2,O) F(-2,--4),(-10,--4),(6,--4) y (x+2)' = -16y 2 20. V(0,--4),F(-�,-4),H,-I),H,-7) (y + 4)2 = -6x y (y + 4)' =-6x 22. V(4,2),F(2,2),. (2,6),(2,-2) (y - 2)2 = -8(x- 4) y (y-2)'=-8(x- 4) 16. V(4,--4),F(4,-D, (7, -n,(l,-n, (x- 4? = 6(y + 4) y (x - 4)'=6(v+ 4) x 26. V(3.73, 6.32),F(9.,6.32), (9.1,17.06), (9.1,--4.42) (y - 6.32)2 = 21.49(x- 3.73) y 5 -f-+--+-+--.....--++--f--+ x (y- 6.32)'=21. 49 (x- 3.73) 28. (y +4)2 = -(x -3) 30. (x-�)2 = y + � 32. xl --4x+y-5 = O . t 395
    • 396 RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 34. A las 10:00 r. M. están a 28 Km. 6. F(O, +3); V(O, +5);B(+4, O); (+ 156, +3) 38. y y 42. X2 = 28y EJercicios, sección 3.3; páginas 139-142 2. F(O, +4); V(O, +5);B(+3, O); (+�, 4); (+�, -4) y --l-+-+-+-+-H-+-+-+-H-+_ x 4. F(O, +v5); V(O, ±3);B(+2, O); (+j, v5), (+j, -v5) y 8. F(O, +V21); VeO, +5);B(+2, O); (±�, +V21) y -i-+-++-HH-t--t-+-t---i-+_ x 10. F(+V3,O); V(+2,0);B(0, +1), (+V3. +D -'--'--'--'-, , , , r " y j -- -- -" - - - - - r - r - r " ..., , . . . x
    • RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 12. F(O, ±V1s); VeO, +4); B(+1,O); (+!' ±V1s) y 14. F(3 + V27, 2); V(3 + 6, 2); B(3,2 + 3); (3 +V27, 2 + n y • 16. F(6, -3 + VíO); V(6, -3 ± 6); B(6 + 4, -3); (6 + �, -3 + VíO) y x , 18. (x�3)-+ (y + 2)2 = 1 Centro (-3, -2), F(-3 +$, -2), V(-3 + 2, -2), B(-3, -2 ±1), (-3 +$, -2 + �) y -+-++-+-+-+-+-+-I-+-++-+--+ x 20. Centro (-1.324, 0.417); F(-1.324, 0.417 + 1.143); V(-1.324,0.417 + 1.988); B(-1.324 + 1.627,0.417) y (-1.324. 0.417) ,--+--+--H----1I----f--+--+ x (x + 1)2 (y - 2)2 22. 169 + 25 = 1 , 397 Centro(-I, 2); F(-I ± 12, 2); V(-I + 13,2); B(-1, 2 + 5); (-1 + 12, 2 ± W y -+-2
    • • 398 (x - 1)2 (y - 3)2 24 . 144 + 169 = 1 Centro (1, 3); V(l, 3 + 13); F(I, 3 + 5); B(I + 12,3) y X2 (y - 3)2 26. 36 + 20 = 1 y (x - 2)2 (y - 3)2 _ 28. 9 + 4 - 1 y A , - . '-t " " " " " " , , - - - -1- -1- -1- x RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS X2 y2 . 30. 25 + 4" = 1 y - - - - . r:o 0 0 -roo o � -', , ' , , -r " ./ • X2 (y - 2)2 3. 9 = 1 y X2 y2 3 4 . 225 + 289 = 1 y x
    • RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS (x - w (y - 2)2 36. 24 + 49 = I y X2 y2 38. 75 + 100 = l y �-+-I+-H-+++-IH-tt+-t-+ x• 44. I� J5J m X2 y2 46. 100 + 75 = I 50. (+4, O), (O, ±1); (±5, O), (O, ±VW); (+6, O), (0, ±Y2f); (±7, O), (O, ±V34) 52. a) �.J33, ;../27, �JiO, ;�24m. b) 3 (80 -IO.5 EjercicIos seccIón 3.4; págInas 149-152 2. VeO, y 12 �-+-+-H-+--+--+-H-+-+-+ x 4. veo, ±6); F(O, ±V4s) 3, y ± 2x = ° y x 18 6. veo, ±5), F(O, ±V34), ISS, 3y + 5x = ° y 24 -+-+-+-+-+-+ x 24 399
    • 400 8. VeO, i:8), F(O, i:Vi2s), 16, Y + x = O y -+-+-+-1+++7:-t-+tI'--++-+-+ x 10. V(-2,3 + 4), F(-2,3 + 5), �, 3(y - 3) i: 4(x + 2) = O y (-2, 3)_�(-H 18 . 12. V(-5,5 i: 6),F(-5,5 i: 6V2), 12, y - 5 = +(x + 5) y • (-5, x -+-+-+--il-+�� +-+-+-+-+ x RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS (x + 5)2 y2 14. 4 - 9' = 1, C(-5, O),V(-5 + 2, O), F(-5 i: Vi3, O) y -+-+-+-H+ +++-+-+-� x (-5, O) 1 6 (x + 3)2 _ (y - 1)2 = 1 C(-3 1). 2 1 ' " V(-3 + V2, 1), F(-3 + 13, 1) y (-3, 1) :t--t-+-+-� x 2 _ (X + 3)2 _ _ _ 18. (y + 1) 4/9 - 1, C( 3, 1), Vi3 V(-3,-1 i: 1), F -3,-1 + 3 y -++--If-+-t-f--+ x (-3. -1) •
    • RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS (y - 2)2 X2 20. 16 - 48 = 1 y2 22. (x - 1)2 - "3 = 1 (x 24. 36 - 28 = 1 (x - 2)2 (y + 2)2 26. 9 - 25 = 1 y2 (x - 6)2 . 28. 25 - 36 = 1 30. X2 y2 32. 16 - "9 = 1 y X2 y2 X2 y2_36. a2 - 16 -a2 = 1, 4 - T2 - 1 EjercIcIos de repaso; págInas 152-153 2. y2 = 4ax x 4. (y - 3)2 = 8(x + 2); V(-2, 3), F(O, 3), (O, 7 ), (0, -1) y :+-1-+-+-1-+-1-+ x 12 6 (x - 4)2 + (y, + 3)2 = l' F(4 -3 + 1)'. 2 3 " , C(4, -3) y • 8. Centro (-3,2),V(-3 ± 2,2), x F(-3 ± 4, 2),(1, 2 ± 6), (-7,2 ± 6) y 12 H-+-t--+ x � 6 Examen sobre el capítulo; págIna 153 2. V(-l, -3), F(-l,-6),Y = O 4. y 4 v y F(I-4...f5,-2) 1, -2) x , 401
    • 402 5. La directriz es 3x +y = O; La parábola tiene por ecuación X2 - 6xy + 9; - 120x- 40y + 400= O. 6. y=2x2-3x-l CAPíTULO 4 . EJercicios, sección 4.1; páginas 158-159 2. 5x' + 4y' + 16 = O 4. X'2 + 7y' + 38 = O 6. 9X'2 + y'2 + 16y' + 55 = O 8. 4x'2 - y'2 + 12y' - 52 = O lO. 3x'y' - 12y' - 89 = O 12. 3X'3 - 4y'- 14. (-3, -3), x'y' = 12 16. (-3, 1), x'2 + 2y'2 = 9 18. (-2,4),2y'2 - 3x'2 = 6 20. (-1, -1), 2x'2 - 3x'y' - y'2 - 1 = O 22. (3.0019,-2.8761),x'y' - I = O 24. (J, 2),X'2 + 8y' = O 26. (-3, -2), y'2 - x' = O 28. (2, 1), 3y'2 + Ilx' = O 30. Se hace una contracción al multiplicarla por -� , entonces se refleja a través del eje x. y (2, 8) y=xl x RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS EJercicios, sección 4.2; página 162 2. y'+ 2=O y' 4. X'2 _y'2 =2 y' 6. 3X'2 +y'2= 2 y' y x ' y y x x ' x x ' x
    • RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 14. eos (} sen (} 16x' + 8y' = O -sen(} eos (J y 12. 22S ( eos (J sen (J) -sen (J eos (J = Ejercicios sección 4.3; página 167 2. (} = 45°, y"2 - 4x" = O y " y ' x ' x x ' x " y"2 x"2 4. (J = 45°, y" = y' - v'2, x" = x'; 2 - 2 = 1 y ' y " 1 3 6. (} = 45°, x" = x' -v'2' y" = y' -v'2; "2X _ y"2 = 1 4 x " x ' 8. (J = Aretan �, x" = x' + 2, y" = y ' - 2; x"2 + 4y"2 = 4 y " y ' x ' x " x 403 O - 1 ,,_ ' _ 2 ,,_ , 5 .1 . (J - Aretan 5' x - X • ¡;:;;; , y - y - • ¡;:;;; , 1 y ' y " v29 v29 x " x ' x
    • 404 12. 9x2 - 12xy + 4y2 + 188x + lOOy - 220 = O; y"2 = -4V13x" Ejercicios sección 4.4; páginas 171-172 2. Elipse 4. Hipérbola 6. Hipérbola 8. Elipse 10. Rectas3x- 2y + I = O Y 2x+ y =O 12. Parábola 14. Recta2x- y+ 1 =0 16. Punto(-1,- t ) 20. Parábola 24. Hipérbola 18. Elipse 22. Hipérbola Ejercicios de repaso; página 172 2. x'2 + llx' + 2y' + 24 = O 4. X '2 + 3y'2 = 2 6. 5y'2 - 14y' + 8X' + I = O 8. x'2 + 5y'2 = 4 JO. 75x"2 + 45y"2 = 2072 • Examen sobre el capítulo; páginas 172-173 1. Se rota(J =45° Y se obtienex'2 - y'2 -2 ..f2x =O 2. a) Hipérbola b) Parábola c) Parábola 3n 3. 8 CAPíTULO 5 Ejercicios. sección 5.1; págInas 178-179 2. y -+-+-++.,..-t--H- x (4, O) RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS Six < 2 o si2 < x< 4, Y> O. Six> 4, y.> Y esdecreciente en2 < x < IJO • 4. Las intersecciones con el ejex son en-2 y 3. Six < - 2, Y < O Si- 2 < x < 3, y> O, Y six> 3, y> O. y es creciente six<- ; o six> 3. Y esdecreciente si- t < x < 3. y (-2, O) (3, O) x 6. Las intersecciones con el ejex con enx=-2, x=2 Y x=3. Six <- 2, Y> O, si- 2 > x> 2, Y < O, si2 < x< 3, y> O, Y six> 3, Y> O. y y es creciente si- 0. 75 < x < 2.25 o si3 < x.
    • RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 8. 10. y 200 H,O) (4,0) x 6 ,O) ,- Las intersecciones con elejexson en-4,-1 ,O, I Y4. Y<Osix< -4o si- I<x<Oo si1 <x<4. Y>Osi -4< x< 1 yes creciente six<- 3,- 0.56 ox>3. y 40 , (-3, O) -4-' -+-+-H-1-H_ x . / 6 (-1,0) +' Las intersecciones con elejexsonx =- 3,x = - 1 Yx =4. Six<-3,y<0 si- 3<x<-I,y<O. si- 1 <x<4, Y<O, Y si4<x,y<0. yes creciente six<- 2o six>2. 12.x<2o2<x<4. 14 16 18. x<-4o -../3<x< /3o X>3 Ejercicios sección 5.2; páginas 183-184 2. 4. y • · 1 · • 1 • x=-31 • I.. · , � i , ,,1 ' • 1 �1 1 •- · - - • - y - - - +1 x= -1 1 -� 1 1 1 Ix=3 .Ji, 1 1 1 1 1 � 1.. x , , , , , I -14::::;::��.. '1 11 " " " x '1 +' 1 1 + 1 1 -�+ x= 1 -� .� • 6. y y=l------- x 405
    • 406 8. 10. , ' 12. y 1 1 1 1 1 1 y =1 1 1 �...L __ L__ --+--+-+-+-+- 1 """'*"'" .....;Ir--+-++-�x 1 1 x=-21 Ix=2 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 y x=1 ------ 1 ==+=H-+x 1 1 x= -31 1 1 1 1 x=-11 I y 1 1 x=4 x RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 14. 16. Noexiste 20. Noexiste y x=-3 1 1 1 =1'------- Ix=l1 1 18. Y = O 22. Noexiste EJercicios, sección 5.3; págInas 187-188 2. y x
    • RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 4. 6. A = 8. y (-1 -..f2. O) --!-+-+--HiY--+-+-+--+-+-H- x y=x+2 30 -3 - Vs 2 , B = y (-1+..f2. O) y x=2 x I ..... ..... ..... y=-x-5 I ..... � I I -1 • -3 + Vs 2 --!-+++-+-M...'-flH--+--+-Hf--+ x iD. 12. 14. y --!-+-++-+-H�-H-+++-. x y y (1. O) , ,� ,/ y =-x+ 4 r I I I I y=-x+ 4 I I x --+--+--+_ x 407
    • 408 EJercicios, sección 5.4; páginas J 9 J-192 2. y - - - - - - - - - - - - - - I " , I , " " " " (-5.0) -- (5.0) - 4. Y = O es una asíntota. y 1.5 (1. 1.22) • 1.0 OS O 6 12 6. 8. y=-1 y �v. 0.8) 1 (O. -0.8) y 8 ...., __ ,i.,...,--ªª ..... x=-5 x=5 y =1 10 x RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 10. y I y=1 I1---- ---1 x .,.-1---- --- ;-1y=-1 x=-4 • x=4 x • y 12. 3x+2y=O --+-+-++-H-l-HH-+-++-" x 14. y --+---Hr-+-�r--+��--� x La gráfica es �2 + � = 1 junto con x= O
    • RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS I 6. I 8. 20. y - - - - -1- ¡-f- " " " " " " + La gráfica es y =O junto con y = 4X2. y -+-I-+-+-H-I--+-+-. x x=-l ' x=l y x -+-+....,.'--+-f-I-----+-+--+--+---<I--+_ x También (-1,3) es una solución (1 - Vi? 9 - Vi?) y 2 ' 2 (I + Vi? 9 + Vi?) 2 ' 2 22. 24. 409 y 2x-3y=O +-+-I-tt-+--t--. x Los puntos de intersección son (3, 2) Y (-3, - 2). y Los puntos de intersección son ("112, - VI3), CV12, +VI3), (-v12, VI3). y (- v12. - VI3). Ejercicios de repaso; páginas 192-193 2. I I I I I ____ -L_ y I IX = 1 I 4-1 I I y=l --1------ -++-+-+-7--'--t--7-+:..t"'"==+=1- x I I I x=-21 I I I
    • 410 4. y x=-2 6. La gráfica es la unión de las gráficas de xy - 3 = O, x - 3y + 2 = O, Y X2 +y - 9 = O. 8. y 300+ -t- (1, O) , .o" .., , , ' O"')(-2, ) '.., + + -t- , , , d, O) , Examen sobre el capítulo; página 193 1. - 2 < x < -1 o l < x < 2. 2. a) y 10+ + , " -�' x 3 y I I I I I I I I I I Y = I __:::-::_ ..1 _ _ _ L�_ -+���I���I+-��. x x=-2 I I I I x=2 b) c) d) RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS - . -- --++--t-++-"'1.;-+-++-1--+-. .x I Ix=2 y • --+-HI-t--H-,'-H-+�I--+--' x y I t- " --'.+----'+---+----<r--+---+--.l --'.� x, , , , -1 I --- 3. (- 1, Y2), (- 1, -Y2), (1, Y2), (1, -Y2) 4. Domf= R Conjunto de imágenes = [O, �].
    • RESPUESTAs A EJERCICIOS SELECCIONADOS , CAPITULO 6 , EJercicios, sección 6.1; páginas 203-205 7T 2. 47T, 3 4. "3' 2 6. 2,� 10. y I 8. d) -t--++--,-+-- x I 2 12. y 2 14. y 16. y 1 1 TI. 1 f-+-I+-. x 1-----+-.. x 1 -r • 18. y 2 y=-2sen x 1 x y=-senx y 20. 1 y= senx 411 22. y I y=sen(x- ;) _..... +--�_x l' y =senx 24. y y= -2sen2x I f---t--t-t--r--+-+--+r-" x y=2senx 26. Impar: 2 sen x, x + sen x, sen x. Par: -cos x, sen x, tan x. 28. 0.002, 150 30. Sí, por un traslación horizontal. EJercicios, sección 6.2; páginas 209-2 J O 2. y. 4. y -+-+-Ioo:::l-H-+-+_ x (O, -1) (O, 1) x 6. y 8. y (0,2) -+--I-�.L....-+--+-_ x x
    • 412 10. Senhx es un función impar coshx es un función par y --t--i-+ x y=senhx e X - e -X 12. tanhx = X + -x e e • y y=1 ---- - - -t- -::.;;;;----:-­ y= tanhx --t--t---t- x - _... -- -t- ------ y=-I 14. La cuenta tendrá $1221.38 después de dos años y $1490.40 después de cuatro años. A (4, 1490) (O. 1(00) (2, 1221) 300 ----t--+--t--r--+-+ t l EJercicIos, seccIón 6.3; págInas 215-216 2. log2 16 = 4 4. logg 8 = 1 6. log279 = � 8. log)2 4 = ; 10. log2J) � = -2 12. IOgl/25 125 = 3-- 2 14. 61 = 6 16. � = 1 18. 161/2 = 4 20. 4-2 - ...L - 16 22. 1 24. 1 26. 2 28. 25627 64 RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 30. 16 32. 4 38. 1.1 42. y --- 1r • 34. -2 7T 36. 4 40. - 77T 6 = -3.665 • El dominio es - 1 Y = cos-1 X --+----t--+--+x 44. y 46. y (9, 1) (7,3) -+-+-�-+-+-+-�--t-t--+-+-+ x I 48. y x
    • RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 50. El sonido en el nivel de conversación es, aproxi­ madamente, de 65 decibeles. Un sonido de 30 dB tiene lO-u watts/cm2 de potencia. EJercicios, sección 6.4; páginas 220-221 2. 4. 2 6. 8. y y , , y=l±..Jx l=x y = 2x y=2x+�5+6x-X2 y x- y- --- = 1 1 1 x y y = senx+ cos x /y = senx ,-.. x x • 10. y y=x+ Inx ./"'.-Y = 1n X 12. y ..- .--_ y = Inx --+1""::"'_--y= -1 14. Y y :; �Sen Jti I . � + I 2= - sen -'M - cos 1tX 2 1 I . y = 3 cos 2.7t.X EJertlclOs, seCciÓn 6;5; págIna 223 7t )n 7n 11ft 2. 4. 6. 8. 10. 12. 11; Sft 11ft 13ft 19ft 7ft 4' 12'-12 12' 12 ,'4 71t 19ft 31ft Iln 23ft 3511:- - � � 18' 18 ; 18 ' 18 ' 18 ' 18 n 3n 7n 9n- _. 5' .5 5 5 n 5n 3ft Ih 17n 7n. . - �' :-- --c-:= -- 12' 12' 4 ' 12 ; 12 ' 4 n Sl't� - 3' 3 x x 14. No existe solllCión eh el intérValo O < ¡.¡ < 1T: 413 sen
    • 414 EjercicIos de repaso; págIna 223 2. La amplitud es 2; el periodo es 2. y +------j--+ x 4. x = 1 125 6. y 8. y Examen sobre el capítulo; págIna 224 2. a) 2, v'2 b) 27T, v'2 . 3. a) Ni 'par ni impar , b) Ni par ni impar x 4. Sí, se traslada ; unidades hacia delante y se multiplica por 2. RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 5. y y= eX Las curvas son simétricas a la recta y = x y cada una de ellas es la inversa de la otra. 6. y y=2x-cosx y=-cosx y=2x , CAPITULO 7 EJercicIos, seccIón 7.1; págInas 229-230 57T 27T 37T 57T 2. 12' 3 ' 4' 6 57T 77T 117T 237T 4. 3 ' 4' 6 ' 12 x 7T ) ( 37T 6. A 2, 4 ' B 2, 4 ' C(l, - 7T), ( -37T )D 2, 4 ' 7T El -- , 4,.'
    • RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 8. 10. 12. 14. 5" 6 7" 6 5"- 6 7" 6 5"- 6 7" 6 5"- 6 ,....... 7" 6 4" 3 3" 2 " 2 3" 2 " 2 A A A • A 16 . 18. 20. 7" 6 7"- 6 4"- J 3"- 2 " 2 27r) ( 57r)- 3 , - 3 ' 3 , - 3 ' 47r)- 3 , 3 22. (2, -7r), (-2,O), (-2, 27r) 24. (- 1, -76 7r), (1, _ ;), (1, 1�7r) 26 . (-4, -7r), (4,O), (4, 27r) Ejercicios, sección 7.2; páginas 235-237 . 2. (-1, l)setransformaen -V2, -;). (-1, -1)Set ransformaen (--v:, ;). 4. Si z = r (cos O + i sen O) y w = p(cos 4> + i sen 4», entonces zw = rp[cos O cos 4> - sen O sen 4> + i(cos O sen4> + sen O �os 4»] = rp[cos(O + 4» + isen(O + 4»]. 415 A A
    • 416 6. (O, 3) 8. (-21'3,2) 10. (-6,O) 12. (-2Y2,2Y2) 14. 4 , i) 4 1I1r 20. ' 6 26. (5, 2.5) 16. (O, O) 51T 22. 2, 4 28. (13,4.31) 32. ,(3 cos O -sen O) = O 34. ,cos20 = 4 :senO 36. ,2(COS20 -sen20) = a l 38. ,2(1 - 3sen20) = 4 40. r = 2 senO 42. Y = x 44. x= 4 48. 2xy = a2 46. x2+ y2 = 6x 50. y2 = 4(x+1) 52. y2 - 3x2 =12x + 9 54. Y - 2x= 4 56. x2 - 3y2+ 8y = 4 58. 4(cos O + isen O) 1T 1T 60. 2 cos ¡+ isen 4 I11T 24. 2, 6 30. ,sen0= 4 62. Vs(cos 0+ i sen O) donde O= 1T + tan-1 (- D 64. -64 66.125 (cos[6 tan- 1 (- m+ isen[6 tan-1 (- D)) 68. 2* 1T . 1T *( 91T . 91T)cosT6 + Isen 16 ,2 cos 16 + I sen 16 i 171T 171T)2 cos 16 + isen 16 ' * 251T 251T 2 cos 16 + isen 16 21T 21T 41T . 41T 70.1,COS 5 + isen 5 ,cos 5 + isen 5 ' 61T 61T 81T 8rr cos 5 + isen 5 ' cos 5 + isen 5 . RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS EJercicios, sección 7.3; páginas 240-241 2. 4. 6. • 7" 6 7."-6 ." 2 3" 2 " 2 " 2 ." 3 " -6 A A A
    • RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 8. 1O. 12. 14. 7T 7T f-t- 7.".- 6 5.". 6 7".- 6 • 5.". 6 ,...... 7.". 6 .". 2 J".- 2 .". 2 3.". 2 .".- 2 3". 2 .". 2 3"- 2 • .".- 6 .". .......6 A A • A A 16. 7T HHH-i' 18. 7T I-I-I-+- 20. 22. 5.". 6 '"'-J 7T 7"- 6 .".- 2 .".- 2 3.". 2 .". 2 3.".- 2 .".- 2 3"- 2 .". 3 .". - .". 6 417 A A A A
    • 418 24. , 5". 6 7". 6 4,,- 3 ". 2 EJercicios, sección 7.4; páginas 248-249 2. 4. 5". 6 7T HHi- 7".- 6 5".- 6 7T 7fT 6 4". 3 4". 3 ". 2 3". 2 ". 2 3". 2 6. A 8. 1 O. A 12. A RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS ".- 2 5".- 6 7T HH-+-:::: • 7". 6 7T 7".- 7T 6 5". 6 7". 6 5".- 6 7fT- 6 4".- 3 4". 3 3". 2 ". 2 3,,-- 2 ".- 2 3".- 2 ". 2 .......-r--r--,........ ". A A ". A o A
    • RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 14. 16. 18. 20. 1T 1T 5" 6 7"- 6 5" 6 7" 6 4" 3 4"- 3 " 2 3" 2 " 2 3"- 2 " 2 3" 2 " 2 A A "- 6 A 22. 24. 26. 28. 1T 1T f-HHI-f 7"- 6 5"- 6 ,....... 7"- 6 5"- 6 7" 6 4" 3 " 2 3" 2 " 2 3"- 2 " 2 3" 2 " 3 5"- 3 " 3 5" 3 " 6 I J " 6 " 6 419 A A A A
    • 420 EJercicios, sección 7.5; páginas 252-253 4. 6. 8. 6 / ,'- 7"-6 5" 6 7"-6 5"-6 I 4" .....-1..�•..!..t_. _L-57T 3 37T 3 -2 1T 2 7T H-t-- 71T-6 31T 2 A A A 10. rsen 8 = -3 12. reos 8 = -4 71' 14. reos 8 - - 3 18. 71' -4, 2 , 4 =3 16. (2, O), 2 20. (4.5, O), 4.5 RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 22. r = 8cos 8 24. r = 16cos 71' 8 - - 3 26. r2 - IOrcos 8 + 9 = O 28. r2 - lOrcos 71' 8-- +9=0 4 30. r2 - 16rcos 8 - 4 ;) + 15 = O 32. r2 - 18rcos 571' 8 - - 4 + 17 = O • EJercicios, sección 7.6; página 258 2. 4. 57T- 6 F'...' 7" '6 51T- 6 • 71T 6 4"- 3 " - 2 37T-2 1T- 2 ...--K--'r- ........... 311- 2 A A
    • ". RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 6. 8. 10. 7Tf 6 7" 6 Tf 2 4" "-.I.-.J_� 5" 3 3" 3 2 '" 2 417 '-L..LJ.>/571' .l 3", 3 2 I I Tf 6 I I 71' 6 A A A • 12. 7.,,- 6 Tf 2 3.,,- 2 A EJercicios, sección 7.7; página 263 2. (1, O), (1, 7T) 6. (2a. O) 10. �, ;). G. 5 6 7T ) 14. O, ;). 213, :), 12. (O, O). (1, ;) , ¡;; 5 7T 3 7T -2v 3 , 6 ' O , 2 1 7T (1 57T 18. (1, O), (1, 7T), 2 ' '6' 2 ' 6 22. 2, ;), (2, 5 3 7T 421 24. (O,O), (O, 7T), (8.944,8) donde tan 8=2 y 8 está en el primer cuadrante. 26. (2, O) Y el polo 28. (-Il, 0.644), el, 3.79) 30. (1.8229, 1.1468), (-0.8229, 3.5656) •
    • 422 Ejercicios de repaso; páginas 263-264 2. (3, 2 3 7T , (-3, - ; , (-3, 537T 4. 2, 747T), CV4I, 4.03 8) 6. 7T 7"- 6 8. r2 - 12r cos (8 - ;) + 20 = O 10. 7T 57T 3 7T- 6' 6' 2 12. 8 (l + i); 2t/4 (cos 787T + i sen 7S7T), 157T 157T 2"4 cos 8 + i sen 8 Examen sobre el capítulo; página 264 1. 2. (2, 767T), (-1. 1) r2 cos28 - 2r2 sen28 = 5" 6 "" 7" 6 2" 3" 2 2 A A RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 3. z = 2(cos 747T + i sen 747T) ( 427T 427T)z6 = 26 cos 4 + i sen 4 4. = 26 cos ; + i sen ;) = 26 V2 + i V;).2 _ Las raíces cuadradas de z son ,¡;;( 77T 77T)V2 cos 8 + i sen 8 157T 157T )Y2 cos 8 + i sen S . 7T 7"- 6 7T , 7" 6 ±rr -""'.J....-L_V" 5" 3 3" 3 - 2 3" 2 5. (1, O), (0, 321t)son soluciones. 1 1 " 6 A A
    • RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS , CAPITULO 8 EJercicios, sección 8.1; páginas 272-274 1. y 1-1 . 1- ° x x+3y=7 4. y 4y=8-(x-I)2 1=° --+-+-+-+-*-H-+-+�-+-+-.. x 6. y y=x2-6x+7 • x t=O 10. (x-2)' + (y- 2)2 = 1 y " / = "2 (2,2) • 1=1T � 1=° �---+--+-�---+--+---� x 12. y 3y-2x=6 14. y (0, 1) _�"'�I_ ° --+-+-+-+-+-H-+-+-+-+-H� x (0, -1) --:�........ 16. y x 423
    • 424 18. .12 + (y - .))" - 9 1=-1 v• t = 1 ---1-+-+-++�"""?4-H-+-+_ x 1=0 'o. x - .l· = 1, la parte donde )' � O y -+-l--j'--t-H-+-+- x 72. .12 = -4(y - 1), la parte para la cual O <y< I y x' + 4y = 4 --<<--4----1--+-.-.:�_ x 24. 1=71' y (1,6) 1=1 xy=6 1=O RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS -31 -3/2 26. x = I+/);Y=I+/) 28. x = -3/) . y = 12 - l' 30. x = 1(12 + 2) Y = [2 + 2 32. -3/2 12 - 1 t x = t cos t o O 7T/2 O 7T -7T 37T/2 O 27T 27T 57T/2 O 37T -37T 77T/2 O 47T 47T y I 1 = 71' 1=O y = sen t O 1 O -1 O 1 O -1 O (=271' 1=471' --+t-+-+--t-t-!-t--+--+-�-+--+-+>--t-. x 34. x = 4 cos 2e cos e y = 4 cos 2e sen e y :-+-+-+-H-+- x
    • RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 36. x = 3 cos f) v = 3 sen f) , , 9X" + y' = y -;--�--�--t-��-t---r� X 38. x = 3 (1 - sen f)) cos f) y = 3 (1 - sen f) sen f) y -tOo x = sen 4 f) l' = sen 4 f) 0<8<27T y EJercicios, sección 8.2; páginas 276-278 x = 14 7'¡¡¡ Distancia 88m 1. r= 147'¡¡¡-4.9r� Altura 22m x 1 1 (a) ( .�- J3. 2,+5), (b) ('¡�I J3, 44.1), (e) (147 J3. ',fS): :> + J3 scg. ' -l. 0.3 m: 0.79 m 425 6. a) y 8 = 7T 10 (47T.7) O '---+---t---t--t---+_ x O 10 20 b) y 10 --+r--r-�--t--+--+r-. x 10 20 (87T. -2) Ejercicios de repaso; página 279 y --t-+�-+�+-+-+-H-+_ x 4. Llega al suelo ') segundos después de soltarla, 9.8 m al sur del punto de partida. 40 20 O y t= 2 '--+--t-�.--t---. x 20 I 40 ('J.¡L O) O 1 6. x = ---' y = I + 2 I + 4'
    • 426 Examen sobre el capítulo; págIna 280 l. x = 3 sen 8 y = cos 8 y ........._-1-__.:..(3, O) -i:--+-+-+--l--+-_ x (0, - 1) x 2. 3 + y2 = 1 y _�:=::=:=:J- I�) , ' _L .I I I I (3;O�, , , , " , 3. a) x = cos 8 (2 + cos 8) y = sen 8 (2 + cos 8) y (O, -1) (3, O) -I1--+-+--+--1-4_ x b) y (O. 1) (3, () -1-- --�-+----1>-+ x 4. x = 659.5 In Y = 258.25 In """"'(1, O) alcanza el suelo a 2049.7 en 15.5 seg. x RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS CAPíTULO 9 EJercIcIos, seccIón 9.1; págInas 289-290 2,4,6,8. z (4,-3,0) o - - - - - - ,,- - - - - - /' x 10. 11 14. (4, -4, 10) 18. (-5,3,3) 22. , z I I I I I 0)_ /' -­ /' /' z (5,0.0) 24. El plano xy. - - _ - ,JJI' - T (3, 5, O) I I I I I I I I • (4,5, -6) 12. 2V26 16. (6, �. D 20. (17.2, -7) (5,6,8) - - 0,6.0) J y 26. Un plano paralelo al plano yz 6 unidades en la di­ rección positiva del eje x. 28. Un plano paralelo al plano xz 5 unidades en la di­ rección negativa del eje y. 30. Un plano paralelo al plano xy una unidad en la di­ rección positiva del eje z.
    • RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 32. Primer octante de 2y + 3z = 12. z (0,0,4) ./1'>. 2y + 3z = 12 1 , a , ' ,"- :.,... ...:.. . (O, 6, O) - v,(5, O,O) x 34. Primer octante de X2 + y2 = 9. x z aL . . ' /' r. - � _ __ (O, 3, O) ;; (3. O,O) 36. Primer octante de 4X2 + y2 = 36. .r z . . )- - / - - _ . (O, 6, O) . /� y (3. O, O) 38. Primer octante de (x - 3Y + Z2 = l. z (3. O. 1) ..,-. __"::�::::::::::::::::::::--..... .. ' )� . y - - . y.:, .' - - �� (4. O�O)r�.::.....___...J v 40. X2 = Z , x 42. x 44. ." - - 1 1 1 I l' r . . : 1 .l 1 I 1, / 1I / . . / (4, O, O) -- -- I 1 1 1 (O, O, 9) ,·1 " 1 . I ..: I . :Y�":" - (O, 3, O) EJercicios, sección 9.2; página 305 2. Centro (O, 1, 3) radio -!lO 4. Centro (-2, -3, -4) radio .J29 6. Y + Z2 = 4x 8. Elipsoide 10. Hiperboloide de una hoja. 427 y y y
    • 428 12. Hiperboloide de dos hojas 14. Paraboloide 16. Cono Elíptico I Hiperboloide de una hoja 20 " + " U. x - y -. n cono. 22. Las ondas de choque serían transmitidas paralelas al eje del paraboloide y por lo tanto no serian con­ centradas en la piedra renaL EJercicios, sección 9.3; página 310 2. (p, 0, <p) = (v'x2 + y2, 0, ;), dondefJ = tan-I y six > ° x y y y > 0, o fJ = 7T + tan-I - x si x < O, o fJ = 27T + tan-I y si x> O Y Y < 0, x 4. (2v2. ;, -4) 8. , r; 7T _12 v 6, 4' cos 10. (1,0,0) 6. Cl5, tan-12, 3) �) 12. Las coordenadas rectangulares son (1, 0, 2), Las coordenadas esféricas son (./5, 0, cos-I (3s))' 14. Las coordenadas rectangulares son (.fi,-.fi, -1). Las coordenadas esféricas son 16, Un cono l·.' (v's, z 7T -- C05-1 4' -�)). JI RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS Ejercicios de repaso; páginas 310-311 2. 5V6, (�, �, -2), (1. -1,1), (25, 23. -47) 4. 5VI4, (L 2, D, (-1, -1, -1), (23, 47, 71) 6. z y 8. z (O, 2, O) y (4, O, O) x 10. Ax + By + ez = O 12. a) La unión del plano yz con el plano xz. b) La unión del plano yz con el plano xy. c) La unión del plano xy con el plano xz.
    • RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 14. Un plano z • . )AF.' X y x 16. La gráfica consiste de dos planos paralelos, y = 3 Y Y = -3. Se encuentran a tres unidades a la dere­ cha del plano xz y a tres unidades a la izquierda del plano xz. 18. Cilindro circular (3, 0, �I./ x 20. Cilindro parabólico z x z - ..., . . - . � � y = 4x2 . . � 3, O) Y y 22. Esfera de radio 5 con centro en el origen. 24. Hiperboloide de una hoja. 26. Cono elíptico. 28. Cono circular. 429 30. -2 ) Ys ' O , Ys, cos-I Js), ;). 32. Vs, cos-I �), -3 , (ví4, - tan-12, cos-I v-b) Examen sobre el capítulo; págIna 311 1. v74 2. (L �, 1) 3. a) Cilindro circular. b) Paraboloide. c) Hiperboloide de dos hojas. e) Paraboloide. 4. a) x 1t 4 z e=� 4 en coordenas cilíndricas
    • 430 b) e i en coordenadas esféricas. 1t - 4 x 6. p = 3 , CAPlrULO 10 z e=� 4 en coordenadas esféricas y EJercicIos, seccIón 10.1; págInas 326-327 2. P = 4i, Q = 5j, PQ = -4i + 5j, P + Q = 4i + 5j, P - Q = 4i - 5j 4. P = 5i + 6j, Q = - 3i - 3j, PQ = -8i - 9j, P + Q = 2i + 3j, P - Q = 8i + 9j • 6. P = -i + 7j, Q = 2i - 3j, PQ = 3i - IOj, P + Q = i + 4j, P - Q = -3i + IOj • 8. P = 3i - 12j, Q = 4i - j, PQ = i + Ilj, P + Q = 7i - 13j, P - Q = -i - Ilj -75 180, 14. 13 i + 13 J 18. -2i + 5j -1 7 12. 5VZ i - 5VZ j 20 , 30 , 16. • �I - • �J v 13 v 13 RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 22. (-5, 1), (-2, -3) 26. V = (3 - IOt)i + (8 - 6t)j 28. V = bti + (1 - t)aj 30. 5i + 12j, 31° 32. Deberá volar en dirección 89° a 303 km/h. EJercIcIos, seccIón 10.2; págInas 329-330 2. P = 3i + 4k, Q = 7j + 8k, - PQ == -3i + 7j + 4k, P + Q = 3i + 7j + 12k, P - Q = 3i - 7j - 4k, IPI = 5 4. P = 7i + 8j + 5k, Q = 3i - 3j + 2k, PQ = -4i - Ilj - 3k, P + Q = 10i + 5j + 7k, P - Q = 4i + Ilj + 3k, Ipl = Vi38 6. P = -2i + j - 2k, Q = 5i + j, • PQ = 7i + 2k, P + Q = 3i + 2j - 2k, P - Q = -7i - 2k, IPI = 3 8. P = 4i - 2j - 4k, Q = i + 9j + 12k, PQ = -3i + 11j + 16k, P + Q = 5i + 7j + 8k, P - Q = 3i - Ilj - 16k, Ipl = 6 3 4 4 10. V 41i - V 41j + • ¡-;-;- k 41 41 v41 3 , 9 , 12 k14. VU; I + VU;J - VU; 16 20 i_ 30 '_ 40 k. Vi9 Vi9J Vi9 18. -5i - j - 8k, (-5, -1, -8) O 7, 3, 11 k (7 3 11)2 . 21 + 2J + T ' 2' 2' T 22. -4i + 7j + 2k, -6i + 11j + 8k, (-4, 7, 2), (-6, 11,8) 24. (a + (d - a)t)i + (b + (e - b )t)j + (e + (f - c)t)k
    • RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS Ejercicios, sección 10.3; páginas 336-337 13 2. 1, 9 4. 11, 1113 27 -2 6. -2, . � v42 8 1 8.+ 4• lk. 3' 271 27J - 27 10 1 J. , . Ik- �I - =J - - . 3' 9 9 9 12. Paralelos 14. Perpendiculares 16. 35° (aproximado al 18. 71.1°,37.9°,71. 1° grado mas cercano) EJercicios, sección 10.4; páginas 341-342 2. 4x - y - z= O 4. x+2v + z = -2- 6. Y+z= 3 8. y-z=O 10. 13 12. 14 14.C= -10-- 21 27 3 4 16. 7 18. 5V2 Ejercicios, sección 10.5; páginas 347-348 x y-I z+2 2 - - 'x -I . ¡ - -1 - 2 ' - . y = 1 - 1, Z = -2+21 x+2 y+2 z-3 4. 5 = 4 = I ;x= -2+51, y = -2 + 41. Z= 3+I 6. x - 3= Y - 3; x = 3 + 1, Y= 3+l. Z = 3 8. x= O, Y= O; x= O, Y = O, Z= t x y z 10. 3 - 4 - S x - 2_y - 4_ z 12. -1 -2 8 14. x= O, Y - 4 =O 16. x = O. y= O x 4z - 12 18. ¡ = 2y+4 = 3 x y+22 z + 14 20. -- - 1 -4 -3 22. 60° o 120° 24. 26. 3 4 12 -- - 28.13' 13l 1 3 30. �� 2 2 I 3' 3' 3 I 1 I 13' 13'1 3 431 32. Plano xy en (6, -1, O) plano yz en (O, 2, 3), plano xz en (4, 0, 1). 34. Plano xy en (;. -!f. O) plano yz en (O, -5, -2),pIa­ no xz en (�. O. 1 2 1 ) Ejercicios, sección 10.6; páginas 355-356 19 24 2. 19i+24j - 3k, • ¡;;--;-; i + . ¡;;--;-;j - v946 v946 4 · 4' 2k l . 4 .. I- J+ ' . � I - • �J+ v21 v21 2 k v2I 3 k v946 -3 18 13 6. -3i+18j+13k; V 5ü2i+ V 5ü2j + vsot502 502 8. 3V6 10. 18 vT65 7V6 12. 2 14. 2 16. 35x+Ily-38z+88= O 67 18. • � v66 20. x - 3= O,Y-Z = 3 22. x =�, y = - � + 1, Z = 1; X= �+3r, 24. 26. 30. Y= - 3 + 21 Z = 414 • 6x+18y+14z =O 4Vs 3 V6 2 2Vs 28. 3 8193 32. 31 Ejercicios de repaso; páginas 357-358 2. 1'6, 7, A . B = 2, A x B = - ISi - 8j + k, 4. 6. 1'6 i - 2j - k l . . 3 , u= V6 ' 3 (1 - 2J - k), V6 cos (J = 21 /1, 1'6, A . B= 5, A x B = 24i - 2j - Ilk. 5 u-TI, - cos (J= 2i+9j - 6k 11 5V6 66 3x - 4y+7z = 28 5 (2i+9j - 6k)- ' 11 11 • 8. 8 3
    • 432 x - 2 Y + 3 z - 4 10. - - - - 5 -8 -3- 13 12. VT!' cos f3 = cos y =cos a = yr¡¡I 1 14. Plano yz en (O, 5, 6), plano xz en (-15,0,26),pla- (9 l' 1no Xl' en 2' ;' . o Examen sobre el capítulo; página 358 l. a) 6, b) 4i - 3j + 3k, c) 5j - 5k, d) -4, - 4 2 2 e) i - -J' + -k f) J .85 radianes 3 3 3 ' g) IOj + lOk, h) O 484 2. (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 7)2 = 21 x - I )' - 2 z + I 2 3. - . cos a = vT4'2 -J 3 , -1 3 cos f3 = vT4' cos y = vT4 4. x - 5y - 7z = 23 5. 2.13 radianes 6. La dirección es 89° y la velocidad respecto del sue- RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS 4. Si el año t = I corresponde a j 9R9, etc., entonces la ganancia es p = 16001 + RSOO y se predice para 1993 una ganancin de $16,500. , H=22T+611.9.b. EJercicios, sección I 1.2 páginas 365-366 2. Y = 3.03e-·21 4. N = 9.97('·23, Ejercicios de repaso; páginas 415-366 2. Si 1= I corresponde 1989, etc,entonces la ganan­ cia es y = 3697e3RR5¡. Para 1992 se espera ganar $17,487, y para 1993 se espera ganar $25,7()l). lo es de 348 km/h. Examen del capítulo, página 367 , CAPITULO 11 EJercicios, sección 1 1.1; páginas 363-364 2. v=3.2x-3.6, 1. Y = 1. 42x + 0.66 2. Y = 0.98e2x, 53. 51 3. Ya que la coordenada y es el doble de la coorde nada xpara los tres puntos, probablemente el mo delo lineal sería el mejor.
    • , Indice de materias abscisa, 5 ángulo(s), directores, 345 entrc dos planos, 339 entre dos rectas, 16, 17, 18 entre dos vectores, 370 vectorial, 208 asintotas, 179 bruja de Agnesi, 279 cardioide, 24 J, 246 cilindro, 287 circunlCrencia(s), de un punto, 94 definición de una, 92 determinada por condiciones geométricas, 90 ecuación centro-radio de una, 92 ecuación general de una, 93 ecuación polar de una, 251 ecuacioncs paramétricas de una, 268 cnvolvente de una, 277 ramilia de, 100 cisoide, 277 eónica(s), I I I degenerada, 112 en coordenadas polares, 253 identifieaeión de una, 167 cono circular recto, I11 elíptico, 303 coordenadas, cilindricas, 306 esféricas, 307 en el espacio, 281 polares, 225 polares a rectangulares, 230 rectangulares, 4, 5 rectangulares a polares, 231 transformación de, 100 cosenos directores, 345 cuadrante, 6 curva trébol, 244 De Moire, teorema de, 234 demostraciones analíticas, 30-35 directriz, 113, 148 distancia de un plano a un punto, 339 de una recta a un punto, 81,353 entre dos puntos, 9, 283 distancia dirigida, 2,4 de una recta a un punto, 81 división de un segmento de recta, 28 ccuación(ecuaciones) centro-radio de una circunferencia, 88 de un plano, 337 de una arática, 44� en forma punto-pendiente, 61 lineal, 38, 288 ccuación(ecuaciones) de una recta, 61 forma de coordenadas al orillen- (o intersecciones) de la, 70 forma paramétrica de las, 343 Corma pendiente-ordenada al origen de la, 62 forma polar de la, 250 forma punto-pendiente de la, 64 forma simétrica de las, 343 ecuación Qeneral- de primer grado, 63, 286 de segundo grado, J 11, J 55 de una circunferencia, 93 ecuaciones paramétricas, 265 de circunferencias, 266 de una cicloide, 275 de una elipse, 268 de una hipérbola, 269 de una recta, 343 gráficas de, 269
    • 434 ecuaciones polares de circunferencias, 25 I de cónicas, 253 de rectas, 251 ecuaciones usuales, de la elipse, 136 de la hipérbola, 179 de la parábola, 121 eje(s), coordenados, 4 de la elipse, 130 de la hipérbola, 143 de la parábola, 113 horizontal,4 polar, 225 radical,lOI rotación de, 159 traslación de, 104, 155 x, y y z cn el espacio, 225 elipse, 129 definición de una, 129 , ecuación de una, 129, 136 ecuaciones paramétricas de una, 268 ecuaciones polares de una, 254 ejes de una, 130 focos de una, 129 propiedad foco-directriz de una, 1-33 elipsoide, 296 esfera, 293 excentricidad, 146 de la elipse, 134 familia de circunferencias, 100 de rectas, 86 toco(s) de la elipsc, 129 de la hipérbola, 142 dc la parábola, 113 forma coordenadas al origen de una ecuación, 70 f'orma punto-pendientc de una ecuación, 64 función(Cunciones), creciente, 72 decreciente, 72 definición de una, 36 exponencial, 205 gráfica de una, 38 CAPíTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES hiperbólica, 208 inversa de una, 208 logarítmica, 207 monótona, 72 periódica, 196 racional, 179 trascendentes, 195 grálica(s), de ecuaciones en coordenadas polares, 237 de ecuaciones paramétricas, 265 de una ecuación, 39 de una función, 38 de una relación, 38 ecuación de una, 44 intersecciones de, 190 hipérbola, 142 asíntotas de una, 144 ecuación de una, 179 ecuaciones en lorma usual de una, 179 ecuaciones paramétricas de una, 269 ejes de una, 143 tocos de una, 142 propiedad loco-directriz de una, 142 ramas de una, 143 hiperboloide, de dos hojas, 299 de una hoja, 298 inclinación de una recta, 13 intersección(intersecciones), 40 de grálicas, 74, 244 de gráficas en coordcnadas polares, 244, 759 de rectas, 74 inversa de una función, 208 lado recto, 114, 130, 143 método dc mínimos cuadrados, 360 número complejo, 233 números directorcs, 345
    • octante, 281 ordenada(s), 5 suma de, 216 origen, 3,225 par ordenado, 4 parábola, 112 definición de una, 1J3 directriz de una, I J 3 ecuaciones de una, J14, 120 ecuaciones en forma usual de una, 121 ecuaciones polares de una, 254 eje de una, 113 foco de una, I13 paraboloide eJíptica, 300 hiperbólica, 302 parámetro, 87,265 plano coordenado, 4 polo, 225 producto escalar, 330 producto punto, 330 radio vector, 225 recta(s), dirigida, 2 familia de, 86 horizontal, 7 inclinación de una, 13 inclinada, 7 numérica real, 4 pendiente de una, 13 vertical, 7 relación, 35 definición de una, 35 gráfica de una, 38 segmento de recta, 2 dirigido, 2 división de un, 23 no dirigido, 2 . , slmetna, criterios de, 124,242 definición de, 124 435 simplificación de ecuaciones, 155 mediante rotación de ejes, 159 mediante rotaciones y traslaciones, 162 mediante traslaciones de los ejes, 155 sistema coordenado rectangular, 5 superficie, 287 cilíndrica, 287 cuádrica, 293 de revolución, 291, 292, 293 transformación de coordenadas, 104 traslación de ejes, 104, 155 trazas, 288 valor absoluto, 2 vector(es), cero, 303 definición de, 313 suma de, 314 unitario, 303 proyección, 331 vértice, 111