f3 = (f1+ d) + d<br />f3 = f1 + 2d<br />En forma similar, podemos obtener que:<br />f4 = f3 + d                           ...
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  1. 1. f3 = (f1+ d) + d<br />f3 = f1 + 2d<br />En forma similar, podemos obtener que:<br />f4 = f3 + d f5 = f4 + d<br /> f4 = (f1+ 2d) + d f5 = (f1+ 3d) + d<br /> f4 =f1+ 3d f5 =f1+ 4d<br />En general:<br />PRENDAMOS<br />TÉRMINO n-ESIMO DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA<br />El n-simo término de una progresión aritmética está dado por: fn = f1 + (n- 1)d<br />Ejemplo 1: Hallemos el 11° término de la progresión 5, 9, 13, 17,... <br />Solución<br />Datos: f1= 5, n = 11, d = 4; hallemos f11.<br />Como: fn = f1+ (n - 1) d, entonces f11 = 5 + (11 - 1) 4 = 5 + 40 = 45.<br />Ejemplo 2: Calculemos la diferencia de la progresión aritmética cuyo primer término es 21 y el último -35, siendo 15 el número de sus términos.<br />Solución<br />• Datos: f1= 21, fn = -35, n = 15; hallemos d.<br />Tenemos: fn = f1 + (n - 1) d; luego, d = <br />• Por lo tanto: d = <br />Ejemplo 3: Hallemos el número de términos de una progresión aritmética cuyos extremos son 15 y 48 y la diferencia es 3.<br />Solución<br />Datos: f1= 15, fn = 48, d = 3; hallemos n<br />Tenemos: fn = f1+ (n - 1) d; luego, despejando n de esta ecuación nos queda:<br />265<br /> <br />El 12° término de una progresión aritmética es -21 y el 25° término es 18. ¿Cuál es el cuarto término?<br />Solución: Tenemos una progresión aritmética de 25 términos; es decir: <br /> f1, f2, f3, ..., f12, ..., f25.<br />Por lo tanto, usando la fórmula fn = f1 + (n - 1) d, con n = 25 y f25 = 18, obtenemos:<br /> f25 = f1 + (25-1)d<br /> 18 = f1 + 24 d ………….… (1)<br />Ahora bien, los doce primeros términos forman una progresión aritmética, con n = 12, f,2 = -21. Por lo tanto:<br /> f12 = f1 + (12-1)d<br /> 21 = f1 + 11 d ………….… (2)<br />Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2) obtenemos:<br /> <br />Luego f4 = - 54 + (4 – 1)(3) = - 54 + 9 = - 45 <br />ATENCIÓN: <br />En toda progresión aritmética, los términos comprendidos entre el primero y el último se denominan MEDIOS ARITMÉTICOS entre dichos elementos. Por ejemplo, en la sucesión:<br /> 3,,27<br />los elementos 7, 11, 15, 19, 23 son cinco medios aritméticos entre 3 y 27.<br />Ejemplo 5: Hallemos tres medios aritméticos entre 16 y 32. <br />Solución<br />Supongamos que f2, f3 y f4 son los tres medios aritméticos que debemos encontrar. Por lo tanto, tenemos la progresión aritmética: 16, f2, f3, f4, 32 con n=5. Aplicando la fórmula fn = f, + (n - 1) d obtenemos:<br /> 32 = 16+ (5- 1)d <br /> 32- 16 = 4d <br /> 16 = 4d<br /> d = 4<br />Luego: f2 = 16 + 4 = 20 ; f3 = 20 + 4 = 24 ; f4 = 24 + 4 = 28<br />266<br />10.4.3 Suma de los Términos de una Progresión Aritmética<br />EXPERIENCIA<br />Consideremos la sucesión: f1, f2, f3,,..., fn. La suma de los n primeros términos de esta sucesión podemos escribirla así: Sn = f1 + f2 + f3 +...+ fn = ……………….(1)<br />Si la sucesión dada es una progresión aritmética, entonces existe una diferencia común, d, entre sus términos y la igualdad (1) podemos escribirla así: <br />Sn = f1 + (f1 + d) + (f1 + 2d) +...+ (fn - 2d) + (fn - d) + fn ………..….(2)<br />Ahora, escribiendo el lado derecho de la igualdad (2) en orden contrario, obtenemos:<br />Sn = fn + (fn - d) + (fn - 2d) +...+ (f1 + 2d) + (f1 + d) + f1 …………..(3) <br />Y si sumamos miembro a miembro las igualdades (2) y (3) nos queda:<br />APRENDAMOS<br />Teorema: SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA<br />La SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA es igual a la semisuma de los extremos por el número de términos.<br /> ATENCIÓN: <br />Si tenemos en cuenta que fn = f1 + (n - 1) d entonces reemplazando en la ecuación anterior, tenemos: <br />267<br />Ejemplo 1. Demostremos que la suma de los n primeros números impares es n2. <br />Solución: Los números impares constituyen una progresión aritmética de razón 2; así: 1, 3, 5, 7(2n- 1)<br />Por lo tanto: <br />Ejemplo 2. Calculemos el camino recorrido por un viajero durante 15 días, sabiendo que el primer día recorrió 12 km y en los días siguientes disminuyó en 200 metros el recorrido, con respecto al día anterior.<br />Solución: Tenemos la progresión aritmética: 12000, 11800, 11600, 11400, ...<br />Por lo tanto: <br />EJERCICIO 10.3<br />1. Indica cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas:<br />a) 4, 8, 12, 16, 20 b) 27, 23, 30, 16, 10<br />c) d) 4, -7, 14, -21<br />e) 5a, 7a, 9a, 11ª f) 5a, 5a - 1. 5a - 6, 5a - 9<br />2. Halla el quinto término de una progresión aritmética cuyo primer término es 5 y cuya diferencia es 4.<br />3. Calcula la diferencia de la progresión aritmética cuyo primer término es 12, el último 42 y el número de términos 1 1.<br />4. Halla el número de términos de una progresión aritmética cuyo último y primer término son respectivamente 126 y 42, y la diferencia 7.<br />5. <br />Halla 10 medios aritméticos entre 4 y 26.<br />Halla 8 medios aritméticos entre <br />Halla 7 medios aritméticos entre 7 y -9<br />268<br />

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