Ejemplos de distribucion de probabilidades

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Ejemplos de distribucion de probabilidades

  1. 1. Distribuciones de probabilidad Estadística Procesos Industriales Área Manufactura “Ejemplos de probabilidad” Alumno: Luis Alberto García Aguilar Lic.: Gerardo Edgar Mata Ortiz Estadística 2º “B” Torreón Coahuila 18/03/12Luis Alberto García Aguilar Procesos Industriales Área Manufactura 2° “B”
  2. 2. Distribuciones de probabilidad Estadística Ejemplos de distribución de BernoulliEjemplo #1.-Se ha observado estudiando 2000 accidentes de tráfico con impacto frontal ycuyos conductores no tenían cinturón de seguridad, que 300 individuos quedaron consecuelas.Solución.  La noc. frecuentista de prob. Nos permite aproximar la probabilidad detener secuelas mediante 300/2000=0,15=15%  X=“tener secuelas tras accidente sin cinturón” es variable de Bernoulli  X=1 tiene probabilidad p ˜ 0,15  X=0 tiene probabilidad q ˜ 0,85Ejemplo #2.-Un agente de seguros vende pólizas a 5 individuos, todos de la misma edad.De acuerdocon las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad viva30 años más es de 3/5. Determinar la probabilidad de que dentro de 30 años vivan: 1. Loscinco individuos. 2. Al menos tres. 3. Sólo dos. 4. Al menos uno.Estamos frente a una variable Bernoulli ya que dentro de 30 años se pueden presentar dossituaciones que la persona este viva (p = 3/5) o que haya muerto (q = 2/5). Al considerarlos 5 individuos, estamos frente a una varia aleatoria X binomial con n = 5, p = 0, 6 X ~B(5, 0,6).Luis Alberto García Aguilar Procesos Industriales Área Manufactura 2° “B”
  3. 3. Distribuciones de probabilidad EstadísticaEjemplo #3.-La v.a. que define el experimento lanzamiento de una moneda sigue unadistribución de Bernoulli de parámetro p. Donde p es la probabilidad del suceso de interés,cara o cruz.PROPIEDADESEjemplo #4.- .- Se ha observado estudiando 2000 accidentes de tráfico con impacto frontaly cuyos conductores sí tenían cinturón de seguridad, que 10 individuos quedaron consecuelas.Describa el experimento usando conceptos de v.a.Solución.  La noc. frecuentista de prob. nos permite aproximar la probabilidad de quedar con secuelas por 10/2000=0,005=0,5%  X=“tener secuelas tras accidente usando cinturón” es variable de Bernoulli  X=1 tiene probabilidad p ≈ 0,005  X=0 tiene probabilidad q ≈ 0,995Ejemplo #5.- Consideremos el conjunto de experimentos de Bernoulli en el que seseleccionan tres artículos al azar de unproceso de ensamblaje, se inspeccionan y se clasifican comodefectuosos o no defectuosos. Un artículo defectuoso se designa como éxito. El número deéxitos es una v.a. X que toma valores integrales de 0 a 3.Luis Alberto García Aguilar Procesos Industriales Área Manufactura 2° “B”
  4. 4. Distribuciones de probabilidad EstadísticaComo los artículos se seleccionan de forma independiente de un proceso que supondremosproduce 25% de artículos defectuosos,P(NDN)=P(N)P(D)P(N)=(3/4)(1/4)(3/4)=9/64.Luis Alberto García Aguilar Procesos Industriales Área Manufactura 2° “B”
  5. 5. Distribuciones de probabilidad Estadística Ejemplos de distribución de BinomialEjemplo #1.- En una fábrica hay 12 máquinas. Cada una de ellas está averiada un día de cada 10. ¿Cuáles la probabilidad de que un determinado día haya más de 3 máquinas averiadas?¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?El número de aciertos k es 6. Esto es x=6El número de experimentos n son 10La probabilidad de éxito p, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda es 50% ó 0.50La fórmula quedaría:P (k = 6) = 0.205Es decir, que la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda es de 20.5%Luis Alberto García Aguilar Procesos Industriales Área Manufactura 2° “B”
  6. 6. Distribuciones de probabilidad EstadísticaEjemplo #2.- En una fábrica de cámaras el 5% sale con defectos. Determine laprobabilidad de que en una muestra de 12 se encuentren 2 cámaras defectuosas.Solución:Se trata de una distribución binomial de parámetros B(12, 0.05). Debemos calcular laprobabilidad de que x sea igual a k que en este caso es 2. Esto es P (k=2).Busque en la parte izquierda de la tabla n=12, luego en la parte superiror p=0.05 . Laprobabilidad estará en x=2El resultado es 0.0988.Ejemplo #3.-Un agente de seguros vende pólizas a 5 individuos, todos de la misma edad.De acuerdocon las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad viva30 añosmás es de 3/5. Determinar la probabilidad de que dentro de 30 años vivan:1. Los cinco individuos.2. Al menos tres.3. Sólo dos.4. Al menos uno.Ejemplo #4.- Estamos frente a una variable Bernoulli ya que dentro de 30 años se puedenpresentar dos situaciones que la persona este viva (p = 3/5) o que haya muerto (q = 2/5). Alconsiderar los 5 individuos, estamos frente a una varia aleatoria X binomial con n = 5, p =0, 6 X ~B(5, 0,6).Luis Alberto García Aguilar Procesos Industriales Área Manufactura 2° “B”
  7. 7. Distribuciones de probabilidad EstadísticaEjemplo #5 .- Suponiendo que la probabilidad de tener un hijo varón es 0,51. Hallar laprobabilidad deque una familia con seis hijos tenga:1. Por lo menos un niño.2. Por lo menos una niña.Luis Alberto García Aguilar Procesos Industriales Área Manufactura 2° “B”
  8. 8. Distribuciones de probabilidad EstadísticaEjemplos de distribución de PoissonEjemplo #1.-En un taller se averían una media de 2 máquinas a la semana. Calcula laprobabilidad de que no haya ninguna avería en una semana. ¿Y de que haya menos de 6 enun mes?Ejemplo #2.- Guerra Mundial: bombardeo de Londres desde Calais con bombas volantesV1 y V2Los alemanes, ¿apuntaban o disparaban al azar?Luis Alberto García Aguilar Procesos Industriales Área Manufactura 2° “B”
  9. 9. Distribuciones de probabilidad EstadísticaEjemplo #3Luis Alberto García Aguilar Procesos Industriales Área Manufactura 2° “B”
  10. 10. Distribuciones de probabilidad EstadísticaEjemplo #4.-En promedio, cada una de las 18 gallinas de un gallinero pone un huevo aldía. Si se recogen los huevos cada hora ¿Cuál es el número medio de huevos que se recogenen cada visita? ¿Con qué probabilidad encontraremos x huevos para 0,1, 2, 3x =? ¿y laprobabilidad de que4x = ?Ejemplo #5.- Un estudiante observa que una muestra de Torio emite 49partículas en 30 minutos ¿Cuál es la tasa de emisión? ¿Cuál es la tasa enpartículas por minuto?Luis Alberto García Aguilar Procesos Industriales Área Manufactura 2° “B”
  11. 11. Distribuciones de probabilidad EstadísticaLuis Alberto García Aguilar Procesos Industriales Área Manufactura 2° “B”
  12. 12. Distribuciones de probabilidad Estadística Ejemplos de distribución de NormalEjemplo #1 .-Suponga que la altura de las mujeres mexicanas está normalmentedistribuida, con promedio μ = 160cm y desviación estándar σ = 7.5cm. Encuentre elporcentaje de mexicanas que están:a) Entre 153 y 168 centímetrosb) Aproximadamente 170 centímetrosSuponga que la altura de las mujeres mexicanas está normalmente distribuida, conpromedio μ = 160cm y desviación estándar σ = 7.5cm.Entonces z1 = (153-160)/7.5=-0.93 y z2 = (168-160)/7.5=1.07De aquí que:P (153≤X≤168) = normcdf(-0.93)-normcdf(1.07)= 0.6815Asuma que las alturas son redondeadas al centímetro más cercano,Entonces z1 = (169.5-160)/7.5=1.27 y z2 = (170.5-160)/7.5=1.4De aquí que:P(169.5≤ X≤170.5) = normcdf(1.4)-normcdf(1.27)= 0.0213Ejemplo #2.- Suponga que el 4% de la población de la tercera edad tiene Alzheimer.Suponga que se toma una muestra aleatoria de 3500 ancianos. Encuentre la probabilidadque al menos 150 de ellos tengan la enfermedad.Suponga que el 4% de la población de la tercera edad tiene Alzheimer. Suponga que setoma una muestra aleatoria de 3500 ancianos. Encuentre la probabilidad que al menos 150de ellos tengan la enfermedad.μ = np = 3500(0.04) =140, σ2 = npq = 3500(0.04)(0.96) = 134.4, por lo que σ = 11.6. Seusa entonces la distribución normal para aproximar la probabilidad binomial como sigue:b(k ≤ 150) ≈ N(X ≤ 149.5). Tras transformar, a = 149.5, en unidades estándar se obtiene: z1= (149.5-140)/5= 0.82 De aquí que: P(X≤149.5) = normcdf(0.82) = 0.7939Ejemplo #3.- Se lanzan 100 volados con una moneda correcta.Encuentre la probabilidad que ocurran exactamente 60 águilas.¿Cuál es la predicción de la aproximación normal?Se lanzan 100 volados con una moneda correcta.Encuentre la probabilidad que ocurran exactamente 60 águilas.Note que: μ = np = 100(0.5) =50, σ2 = npq = 100(0.5)(0.5) = 25, porlo que σ = 5. Se usa entonces la distribución normal paraLuis Alberto García Aguilar Procesos Industriales Área Manufactura 2° “B”
  13. 13. Distribuciones de probabilidad Estadísticaaproximar la probabilidad binomial como sigue:b(100, 60, 0.5) ≈ N(59.5 ≤ X ≤ 60.5). Tras transformar, a = 59.5,b = 60.5 en unidades estándar se obtiene:z1 = (59.5-50)/5=1.9 y z2 = (60.5-50)/5=2.1. De aquí que:P(59.5≤X≤60.5) = normcdf(2.1)-normcdf(1.9)= 0.0109Ejemplo #4.- supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinadapoblación sigue una distribución aproximadamente normal, con una media de 80 Kg y unadesviación estándar de 10 Kg. ¿Podremos saber cuál es la probabilidad de que una persona,elegidaal azar, tenga un peso superior a 100 Kg? Por lo tanto, la probabilidad buscada de que una personaelegida aleatoriamentede esa población tenga un peso mayor de 100 Kg , es de 1–0.9772=0.0228, es decir, aproximadamente deUn 2.3%.Ejemplo #5.- cuál es la probabilidad que una variable normal estandarizada se encuentreen los rangos:1. P(-1≤ X≤1) = normcdf(1)-normcdf(-1)= 0.68272. P(0≤ X ≤1.72) = normcdf(1.72)-normcdf(0)= 0.45733. P(4.5≤X) = 1Luis Alberto García Aguilar Procesos Industriales Área Manufactura 2° “B”
  14. 14. Distribuciones de probabilidad Estadística Ejemplos de distribución De GammaEn una ciudad se observa que el consumo diario de energía (en millones de kilowatt-hora) esEjemplo #1una variable aleatoria que sigue una distribución gamma con parámetros a= 3 y =2. Si laplanta de energía que suministra a la ciudad tiene una capacidad diaria de generar un máximode 12, ¿cuál es la probabilidad de que haya un día donde no se pueda satisfacer la demanda?Ejemplo #2 .- Si un componente eléctrico falla una vez cada 5 horas, ¿cuál es el tiempomedio que transcurre hasta que fallan dos componentes? ¿Cuál es la probabilidad de quetranscurran 12 horas antes de que fallen los dos componentes?Luis Alberto García Aguilar Procesos Industriales Área Manufactura 2° “B”
  15. 15. Distribuciones de probabilidad EstadísticaEjemplo #3.- A una centralita de teléfonos llegan 12 llamadas por minuto, siguiendo unadistribución de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que en menos de 1 minuto lleguen 8llamadas?Luis Alberto García Aguilar Procesos Industriales Área Manufactura 2° “B”
  16. 16. Distribuciones de probabilidad EstadísticaEjemplos de distribución de T de studentEjemplo #1.-Se realizo un estudio sobre la utilización del agua en una pequeñaciudad. Para ello se considero una muestra de 25 casa. El número de galones deagua que utilizan por día (1 galón = 0.0037854 m 3) fue el siguiente: 175 185 186 118 158 150 190 178 137 175 180 200 189 200 180 172 145 192 191 181 183 169 172 178 210Con base en esta información:a) Hallar un intervalo de confianza del 90%b) Si el recurso de agua en la ciudad permite una utilización media de 160Galones por día, ¿Podría pensarse que hay un problema de escasez de agua enla ciudad?x=175.76; n=25; s=20.79; a=0.1; ν=24; µ=160; t(a2, ν)=1.711µ: x ± t(a2, ν) snµ: 175.76 ± 1.711 20.7925Iµ = [168.65, 182.87]Ejemplo #2.- A partir de 860 cuentas, un analista financiero toma una muestraaleatoria de 16 cuentas. Los saldos observados en la muestra son los siguientes:165, 150, 300, 240, 250, 150, 300, 200, 140, 240, 260, 180, 190, 230, 350, 360.Ejemplo #3.- Una maquina se encarga de llenar botes de jalea con µ gramos,pero no los llena con la cantidad exacta. Suponte que los pesos reales decontenido siguen una ley normal N (µ, s2).Si de una muestra de 16 botes obtenemos una media de 298g, investiga si unintervalo de confianza para µ del 95%, contiene la media µ = 300.Luis Alberto García Aguilar Procesos Industriales Área Manufactura 2° “B”
  17. 17. Distribuciones de probabilidad EstadísticaEjemplo #4.- Se tienen los siguientes datos experimentales correspondientes a 17individuos de los que se ha recogido el valor que presentan en dos variables, una de ellascuantitativa con distribución normal considerada como variable respuesta (Rta), y la otravariable dicotómica considerada como variable explicativa (Exp). Los datos se presentan deforma que en las filas hay varios individuos para facilitar la lectura:Calcular un intervalo de confianza al 90% para la diferencia de medias asumiendo igualdadde varianzas y no asumiendo la igualdad de éstas y realizar el siguiente contraste:H0: m1 - m2 = 0H1: m1 - m2 ¹ 0mediante la prueba t-Student para dos medias en los dos supuestos de igualdad y noigualdad de varianzas.Ejemplo #5.- Un f abricante de focos afirma que sus producto durará un promedio de 500horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verif ica 25 focos cada mes. Siel valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisf echo con estaafirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 f ocos cuya duraciónfue?:Luis Alberto García Aguilar Procesos Industriales Área Manufactura 2° “B”
  18. 18. Distribuciones de probabilidad EstadísticaSe puede concluir que la media poblacional no es 500, porque la muestra poblacional estápor encima de esta, y por lo tanto deber ía estar por encima de 500.Luis Alberto García Aguilar Procesos Industriales Área Manufactura 2° “B”

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