Áreea Y Volumen
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  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL BOLIVARIANA (UNEFA) FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS COD:: CIM--02110 COD CIM 02110 CURSO DE INDUCCIÓN UNIVERSITARIA CURSO DE INDUCCIÓN UNIVERSITARIA Unidad 3 Unidad 3
  • 2. ÍNDICE DE CONTENIDO Pág. MATERIALES DE LECTURA 3 GUÍA DIDÁCTICA 4 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 4 UNIDAD Nº 3: Unidades de Medida y Geometría SELECCIÓN DE LECTURAS 16 UNIDAD Nº 3: Unidades de Medida y Geometría LECTURA Nº 13. Algunos Sistemas de Medida 16 LECTURA Nº 14. El Sistema Métrico Decimal 19 LECTURA Nº 15. Figuras Poligonales 22 LECTURA Nº 16. Los Triángulos, los Cuadriláteros y sus Relaciones 24 Métricas LECTURA Nº 17. La Circunferencia y sus Elementos 28 LECTURA Nº 18. Los Cuerpos Geométricos y sus Elementos 30 LECTURA Nº 19. El Número Pi (Π) y el Cálculo de Áreas 33 LECTURA Nº 20. Thales y la Pirámide de Keops 40 BIBLIOGRAFÍA 42 2
  • 3. MATERIALES DE LECTURAS UNIDAD Nº 3: UNIDADES DE MEDIDA Y GEOMETRÍA Lectura Nº 13: Algunos Sistemas de Medida Martínez, M.(1998). Mi primera enciclopedia científica Matemática. México. Editorial del Valle de México, S.A. (p.40). Lectura Nº 14: El Sistema Métrico Decimal Santamaría, J (2007) El Sistema Métrico Decimal. Artículo no publicado. (pp. 5). Tinaquillo, Estado Cojedes. Lectura Nº 15: Figuras Poligonales Suárez, E. y Cepeda, D. (2003). Matemáticas de Educación Básica. Caracas Editorial Santillana, S.A. (p.149) Lectura Nº 16: Los Triángulos, Los Cuadriláteros y sus Relaciones Métricas Fundación Polar. Matemática para todos. [Consulta en línea]. Disponible: http://www.fpolar.org.ve/matemática. (Consulta: 2007, enero 12) Lectura Nº 17: La Circunferencia y sus Elementos Santamaría, J (2007). La Circunferencia y sus Elementos. [Artículo no publicado]. UNEFA, Tinaquillo, Estado Cojedes Lectura Nº 18: Cuerpos Geométricos y sus Elementos Santamaría, J (2007). Los Cuerpos Geométricos y sus Elementos. Artículo no publicado. UNEFA, Tranquillo, Estado Cojedes π Lectura Nº 19: El Número Pi ( ) y El Cálculo de Áreas π Fundación Polar. El número Pi ( ) y el cálculo de áreas. Artículo en línea disponible en: http://www.fpolar.org.ve/matemática. [Consulta en línea], de fecha 2007, enero 12 Lectura Nº 20: Thales y La Pirámide de Keops Fundación Polar. Thales y la pirámide de Keops. Artículo en línea, disponible en: http://www.fpolar.org.ve/ matemática. [Consulta en línea] de fecha 2007, enero 11. 3
  • 4. GUÍA DIDÁCTICA ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE UNIDAD 3 UNIDADES DE MEDIDA Y GEOMETRÍA CONOCE EL NORTE DE TU APRENDIZAJE Todos los elementos que existen en el universo, tienen forma y ocupan un lugar en el espacio que podemos medir aplicando conocimientos de geometría. Las relaciones geométricas están presentes en la estructura de una galaxia, en las grandes y pequeñas construcciones que el ser humano ha realizado con el avance de la tecnología. Así, geo (tierra) y metros (medida), son vocablos griegos, que originaron la palabra geometría, considerada la rama de las matemáticas que estudia las formas y sus relaciones métricas. Su estudio es esencial para la comprensión del espacio real, a través de la intuición geométrica o percepción espacial. Durante este proceso seguirás desarrollando capacidades cognitivas y tendrás una visión más amplia y significativa de tu entorno. Considerando la importancia de este tema, en esta unidad se pretende que logres el siguiente objetivo de aprendizaje: Calcular perímetro, área y volumen de figuras y cuerpos geométricos 1- En esta unidad le daremos utilidad práctica a las dos unidades anteriores. CONOCE EL CAMINO A SEGUIR Ya conoces el objetivo y para lograrlo recuerda que cuentas con los recursos mencionados anteriormente, algunos intrínsecos y otros que te brinda la universidad. 4
  • 5. Entonces mejora aquellos aspectos que pudieron no estar en sintonía con tu proceso de construcción del aprendizaje. Analiza bien: o El horario de estudio independiente. o El horario de estudio en equipo. o El lugar seleccionado para estudiar con sus respectivos recursos. Piensa si el tiempo utilizado fue suficiente para cumplir con las actividades de lectura, los ejercicios de la guía y la ampliación de tus conocimientos mediante la búsqueda de información. Analiza la metodología utilizada en el material impreso y como lo has venido trabajando con el apoyo del docente/ tutor(a) y en qué medida has hecho uso de aquellos servicios de apoyo que te brinda la universidad a fin de aprovecharlos al máximo. Con la finalidad de facilitar el logro del objetivo propuesto para esta unidad de aprendizaje cuentas con 8 lecturas de apoyo, que te proporcionan un poco de historia, definiciones, simbología, procedimientos, ejemplos muy variados con sus respectivos métodos para la solución de problemas y ejercicios sugeridos para la práctica necesaria, estas son: 13. Algunos Sistemas de Medida 14. El Sistema Métrico Decimal 15. Figuras Poligonales 16. Los Triángulos, los Cuadriláteros y sus Relaciones Métricas 17. La Circunferencia y sus Elementos 18. Los Cuerpos Geométricos y sus Elementos 19. El Número Pi ( π ) y el Cálculo de Áreas 20. Thales y la Pirámide de Keops Es importante también repasar las recomendaciones dadas en la unidad 1 y 2, entre ellas: • Realiza una lectura rápida. • Lee por segunda vez. • Resuelve cada ejemplo por tu cuenta y compara los resultados. • Desarrolla cada una de las actividades que te proponemos en esta guía didáctica. • Repite el procedimiento en cada ejercicio. • Sigue los procedimientos sugeridos en los ejemplos presentados. • Intercambia ideas, procedimientos y soluciones con otros estudiantes. • Consulta otras fuentes bibliográficas. • Consulta dudas con el docente / tutor (a). • Incorpora cada actividad desarrollada en el portafolio de la asignatura. 5
  • 6. 2- La geometría está presente en todo cuanto nos rodea, veamos como dominar sus conceptos. VERIFICA TU COMPRENSIÓN LECTORA Concluida la actividad anterior, en hoja aparte o en tu cuaderno de notas, responde las siguientes preguntas de acuerdo a las instrucciones dadas. Primeramente realiza la Lectura Nº 13 y luego responde: 1. Ordena de mayor a menor las siguientes cantidades: 5 yardas, 5 pasos, 5 pies y 5 pulgadas. 2. Escribe en el paréntesis de la columna “A” el número de la columna “B” según corresponda cada término con su definición o enunciado: COLUMNA A COLUMNA B (__)Rey Enrique I 1) Utilizaba sus pies para medir distancias. (__)El metro 2) Unidad de medida que corresponde al ancho del dedo pulgar. (__)Romanos 3) Creo una unidad de medida que va desde su nariz hasta su pulgar. (__)Sistema métrico 4) Es la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre. (__)Uncía 5) Su unidad de medida fundamental es el metro. Una vez realizada la Lectura Nº 14 responda las preguntas 3 y 4: 3. En el siguiente planteamiento señala las dos (2) únicas respuestas correctas de las alternativas dadas: “Para transformar de Dm a dm el procedimiento correcto es ( ) Dividir entre 102 ( ) Multiplicar por 102 ( ) Dividir entre 10-2 ( ) Multiplicar por 10-2 4. En el siguiente cuadro indique con una equis el tipo de medida (longitud, superficie ó volumen) al cual pertenece cada unidad dada en la primera columna: Unidad de Medidas de Medidas de Medidas de medida longitud Superficie Volumen mm2 m cc m3 6
  • 7. pie2 m2 yarda Hectárea cm Km cm3 Es importante que antes de resolver las preguntas 5, 6 y 7, hayas realizado las Lecturas Nº 15, 16,17 y 18. 5. ¿El perímetro de un hexágono es una medida de superficie, longitud ó volumen? 6. Identifique los siguientes polígonos y cuerpos geométricos, escribiendo su nombre en la línea que tiene al lado. 7. Si observamos la parte plana de una media naranja, considerando que existe la misma distancia desde el centro hasta cualquier punto del borde, como muestra la siguiente figura: Indique: i. ¿Qué parte representa una circunferencia? ii. ¿Qué parte representa un círculo? Para responder las preguntas 8, 9, 10 y 11, debes haber realizado las Lecturas Nº 19 y 20. 8. ¿Cómo surgió el número Pi ( π )? 9. ¿Quiénes fueron los primeros en hacer una aproximación del número Pi ( π )? y ¿cómo lo hicieron? 10. Menciona algunas figuras y/o cuerpos geométricos que requieren del número Pi ( π ) para calcular el área y el volumen. 11. ¿Para qué sirvió el procedimiento que utilizó Thales? 7
  • 8. 3- La geometría se relaciona con las medidas. ¿Así lo entendías anteriormente? REFLEXIONA Después de interactuar con todos los contenidos que te ofrecemos, esperamos tu dedicación diaria al estudio disciplinado de lo relacionado con tópicos matemáticos, en esta ocasión, te invitamos a responder las siguientes cuestiones: 1. ¿Qué importancia tiene un sistema de medidas en tu accionar día a día? 2. ¿Cuál es el significado que tiene para tu vida cotidiana, dominar con exactitud los conceptos de: longitudes, áreas y volúmenes de los objetos que nos rodean? 3. ¿Es posible hallar el área de una circunferencia? Argumenta tu respuesta. 4. ¿Te has dado cuenta que las películas extranjeras expresan la velocidad de los autos en millas por hora? ¿cómo lo relacionas con la unidad que utilizamos aquí (km/h)? 5. ¿Qué medidas de longitud, explicadas en la lectura 14, son las que se utilizan con más regularidad? 6. ¿En qué situaciones del pasado has visto considerada la necesidad de utilizar las conversiones de medidas? 7. ¿De qué manera has calculado la cantidad de pintura que debes comprar para pintar las paredes de tu habitación? Si aún no lo has hecho, ¿explica cómo lo harías? 8. Durante tus actividades escolares previas, te has encontrado con fórmulas y expresiones que incluyen el número Pi ( π ) ¿sabías de donde surgió? Y ¿por qué debemos emplearlo? 4- Ahora me preparo para empezar a hacer cálculos de medidas en figuras y cuerpos geométricos. 8
  • 9. CONSTRUYE TU PROPIO CONOCIMIENTO 1. Elabora una tabla, donde se describa cada figura geométrica plana de las estudiadas en las lecturas 15 y 16. Considera el nombre, tipo, número de lados, ángulos, medida de sus lados, relación entre las diagonales y demás elementos que consideres importantes para identificarlas. Haz lo mismo con los cuerpos geométricos. 2. De acuerdo con los planteamientos de Euclides, no siempre es posible construir un triángulo, a partir de tres segmentos con medidas al azar. Realiza pruebas y elabora una tabla de datos, trata de descubrir cómo deben ser las medidas de los lados para que el triángulo exista. 3. Recorta figuras geométricas planas, utiliza papel de revistas en diferentes colores y escribe dentro de ellas, las fórmulas para calcular perímetro y área. Pégalas en un lugar visible cerca de tu ambiente de estudio. 4. Calcula el diámetro y la longitud de una circunferencia, toma como referencia una moneda de Bs. 500, luego divide la mayor de las medidas entre la menor, halla cuatro decimales. ¿a qué se te parece la cantidad calculada? 5. Aplica la estrategia de Thales, para calcular la altura de un árbol, un poste o un edificio cercano a tu localidad. 6. Construye algunos cuerpos geométricos en cartulina. Calcula el volumen de cada uno de ellos y registra los resultados para ser discutidos en la tutoría. Escribe en todas sus caras, la fórmula para el cálculo de volumen y colócalas en tu mesa de estudio. 7. Utilizando las reglas de conversión de unidades, que están representadas en la Lectura 14 por medio de una escalera, resuelva los ejercicios: 2, 5, 7, 8, 11 y 17 8. Conociendo que el perímetro de un polígono se calcula sumando la medida de todos los lados, resuelve el ejercicio 18 de la Lectura Nº 16. 9. Elabora una ficha con las fórmulas que te permitan calcular: la longitud de una circunferencia, la longitud de un ángulo central, el área del círculo y el área de un sector circular ( Lectura Nº17). 10. Utiliza la ficha elaborada en la actividad anterior para resolver los ejercicios 22, 23 y 24 de la Lectura Nº 17. 11. Construye una tabla que puedas manejar con comodidad que contenga las fórmulas, para calcular área y volumen de las diferentes figuras planas y cuerpos geométricos, llévala a las sesiones de estudio con tu grupo o a las tutorías. 12. Guiándote por los ejemplos presentados en la Lectura Nº19 y utilizando la tabla de fórmulas elaborada previamente, resuelve los ejercicios: 30 y 32. 9
  • 10. 13. Recuerda que todos los ejercicios resueltos, deben estar en el portafolio de la asignatura para llevarlo a las sesiones de tutoría con la finalidad de comparar y aclarar dudas. 5- Me reúno y comparo lo que he hecho con lo de mis compañeros de estudio. COMPARTE Y APRENDE DE OTROS Ya en otras ocasiones has disfrutado del trabajo en equipo, te presentamos una serie de actividades que realizarás primero individualmente, luego intercambia ideas, compara procedimientos y los resultados finales con tu grupo de estudio. Las actividades son: 1. Comenten acerca de la importancia que tiene el sistema métrico universal. 2. Relacionen objetos que utilizamos a diario con: un cubo, un paralelepípedo, una esfera y una pirámide, luego, determinen el volumen de cada uno. 3. Plantea a los integrantes de tu grupo de estudio, la posibilidad de tener un invitado especial de la comunidad, conocedor de la materia para intercambiar ideas y procedimientos en la solución de los siguientes ejercicios o problemas: Conversión de Perímetro Círculo y Área y unidades de circunferencia volumen medida Lectura 14 Lectura 16 Lectura 17 Lectura 19 14 19 28 31 16 20 35 36 38 40 41 4. Lean, analicen y discutan en grupo, la Lectura Nº20: “Thales y la pirámide de Keops”, • Analicen la gráfica con respecto a las fórmulas. 10
  • 11. • ¿Puede calcularse de otra manera la altura de la pirámide? Cada participante debe razonar su respuesta. 6- Estoy seguro (a) que ahora puedo crear partiendo de los conocimientos anteriores. ELABORA UN PRODUCTO PROPIO 1. Utiliza la creatividad para construir tu propio sistema de medición, ello te permitirá evaluar los avances en tu carrera universitaria, considera las unidades, los símbolos a emplear, las reglas de conversión y sobre todo tu comportamiento cuando todo va bien y cuando se te presentan dificultades. 2. Investiga acerca de la conversión de unidades, en los sistemas de medición utilizados en las computadoras, calculadoras, cámaras fotográficas, entre otros. 3. Toma una hoja blanca tamaño carta: • Redúcela a un cuadrado. • Dibuja sobre ella por lo menos siete figuras geométricas (triángulos, cuadrados, rectángulos, trapecios, paralelogramos) hasta cubrirla por completo. • Recorta todas las figuras. • Inventa un juego o cualquier otra actividad creativa con ellas. Para este juego debes tomar en cuenta los cálculos de área y perímetro. Elaboren sus propias conclusiones. 4. Utiliza cualquier material disponible y construye una escultura basada en cuerpos geométricos, organizados artísticamente. 5. Redacta un breve cuento en el que establezcas la relación entre la geometría y la geografía. 6. Las lecturas fueron muy importantes para enriquecer tus conocimientos, además de que intercambiaste opiniones con tus compañeros de estudio, ahora tienes la capacidad de encontrar soluciones a los ejercicios o problemas que se te presentan. 7. En base a ello, analiza cada una de las siguientes situaciones y determina los procedimientos para que calcules la respuesta correcta: 11
  • 12. Unidades de Perímetro Círculo y Área y medida circunferencia volumen Lectura 14 Lectura 16 Lectura 17 Lectura 19 15 20 25 33 26 39 27 7- Ahora, a través de unos ejemplos, analizaré el para qué utilizaré todo esto en mi vida profesional. CONCIENTIZA TU APRENDIZAJE 1. Después de realizar la Lectura Nº 13, señala las diferencias y semejanzas entre las medidas romanas y las utilizadas actualmente en Venezuela. 2. El sistema de medida surgió de la cotidianidad del ser humano, según lo comentado en la Lectura Nº 13, ¿se puede afirmar que todo conocimiento matemático es producto de la interacción del ser humano? Razona tu respuesta. 3. Escribe en el cuaderno de notas, tus debilidades y fortalezas, durante el desarrollo de esta unidad. 4. ¿Sabías que para administrar medicamentos a un niño se toma en cuenta su peso? Eso determina el número de gotas, los ml., mg. o cc que se le debe administrar, además de que muchos de los instrumentos utilizados para esos medicamentos, no vienen con la escala estándar y en oportunidades se deben hacer conversiones. De acuerdo a lo expuesto, ¿Consideras necesario aprender a utilizar unidades de medida en tu vida familiar? ¿por qué? 5. ¿En qué otras situaciones de tu vida profesional, son importantes los conocimientos de conversión de unidades de medida? Da ejemplos. 6. ¿Qué utilidad tiene para tu vida cotidiana el cálculo de perímetro, área y volumen? Exprésalo a través de ejemplos. 12
  • 13. 8- Tengo la certeza de haber dominado los contenidos, voy a demostrarlo. AUTOEVALÚATE 1. Revisa en tu casa varios envases de productos y/o artefactos domésticos y registra en tu cuaderno, mediante un cuadro las medidas de capacidad de cada uno, luego, realiza una transformación de cada medida, en magnitudes inmediatamente superiores e inferiores, según el sistema de medición al que pertenecen. 2. Si un maratonista, durante su entrenamiento, recorre el primer día 10 Kilómetros, el segundo día 145 Hectómetros, luego, 1650 Decámetros y el último día recorre 30.125 metros, ¿Cuántos metros recorre en los cuatro días? Y ¿cuántos kilómetros representan esos metros? 3. Calcula el área del terreno de tu casa y expresa el resultado en metros, decámetros y centímetros cuadrados. 4. Supón que en su comunidad hay cierto problema: se necesita ubicar un recipiente para la basura, a la misma distancia de tres casas como se muestra en el dibujo, ¿cómo harías para resolverlo? 5. Mide tu estatura en centímetros, luego responde: ¿cuántas personas de tu tamaño se necesitan para alcanzar la altura del Salto Ángel, el salto de agua más alto del mundo que mide 0,979 Kilómetros? 6. ¿Cuántas pulgadas tiene la pantalla de un televisor, si la misma mide 70 centímetros de ancho y 480 decímetros de alto? 13
  • 14. 7. En la figura se tienen dos circunferencias concéntricas en el punto “O”, siendo OB = 12 cm. y OA = 4 cm. Determina el perímetro de la zona de color gris oscuro y el área de la de color gris claro. 8. Calcula la cantidad de arcilla, que se necesitó para construir el bloque de la siguiente figura: 12 8 2 4 9- Como sé que hay otras cosas sobre geometría y medidas, buscaré más en las lecturas recomendadas para esta unidad. AMPLÍA Y PROFUNDIZA TUS CONOCIMIENTOS Recuerda que la práctica de la matemática te permite desarrollar habilidades para lograr pensamiento creativo, crítico, lógico y abstracto, además de elevar tus capacidades de producir e intervenir en el mejoramiento de tu entorno. Por esa razón te proponemos las siguientes actividades, las mismas te ayudarán a crecer gradualmente en beneficio de tu propio proceso de aprendizaje. 1. Investiga en Internet y elabora un directorio de cinco páginas Web, en las que encuentres planteamientos y curiosidades matemáticas relacionadas con los temas estudiados. Las palabras claves para buscar la información son: geometría, trigonometría, razones trigonométricas. 2. Investiga en diferentes fuentes impresas, temas relacionados con los contenidos de esta unidad. Elabora un registro en fichas y construye un portafolio personal, que irás enriqueciendo con el paso del tiempo. 14
  • 15. 3. Participa en comunidades virtuales de aprendizaje, donde se promuevan los temas relacionados con esta unidad, en el contexto del aprendizaje de la matemática. 4. Los contenidos aquí trabajados, puedes repasarlos en tu cuaderno de apuntes o en los textos que utilizaste durante tu carrera escolar previa. 10. ¡Qué bien! Me dispondré al estudio de una nueva unidad. 15
  • 16. SELECCIÓN DE LECTURAS UNIDAD 3 UNIDADES DE MEDIDAS Y GEOMETRÍA LECTURA N° 13: ALGUNOS SISTEMAS DE MEDIDAS Tomado con fines instruccionales de: Martínez, M.(1998). Mi primera enciclopedia científica Matemática. México. Editorial del Valle de México, S.A. (p.40). A lo largo de la historia, se han establecido diversas referencias de medida que han permitido estandarizar representaciones de longitud, volumen, tiempo, velocidad, en fin múltiples formas de medir. En la historia se dice que los romanos utilizaban sus pies para medir distancias; en las mediciones más pequeñas utilizaban el ancho del dedo pulgar el cual ellos llamaban “uncía”. Las longitudes muy largas las medían con pasos. Un paso comprendía dos etapas, una con el pie derecho y la otra con el pie izquierdo. En las distancias de mayor prolongación utilizaban las “millas”, una milla era equivalente a 1000 pasos, de allí la palabra milla que proviene del latín “mille” que significa “mil”. Las millas, yardas, pies y pulgadas son medidas del sistema imperial de medición, es curioso mencionar que el rey Enrique I (1068-1135) creó una medida que sirviera a todos, era la distancia desde su nariz hasta su pulgar y lo llamó “yarda”. En nuestros días, una gran cantidad de países utilizan una medida estándar llamada metro, que es mucho más extenso que una yarda. La unidad metro, tanto en España como en Venezuela y en otros países del mundo, miden lo mismo. El Sistema Internacional de Medidas (S.I.M.) utiliza el kilómetro para distancias largas, el centímetro y el milímetro para distancias mucho más pequeñas. A continuación, podemos observar algunas referencias antiguas y modernas con respecto a las unidades de medidas: Romano Métrico Imperial 1 milla = 1000 pasos 1 kilómetro = 1000 metros 1 milla = 1760 yardas 1 paso = 5 pies 1 metro = 100 centímetros 1 yarda = 3 pies 1 pie = 12 uncías 1 centímetro = 10 milímetros 1 pie = 12 pulgadas 16
  • 17. LECTURA Nº 14: EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Tomado con fines instruccionales de: Santamaría, J (2007). El Sistema Métrico Decimal. Artículo no publicado. (pp. 5). Tinaquillo, Estado Cojedes. En 1790, la Academia Francesa de Ciencias fue la que se encargó, de acuerdo a lineamientos de la Asamblea Nacional Francesa y la proposición de los políticos Talleyrand y Prieur, de establecer un sistema unificado de medidas de aplicación sencilla, que culminó el 19 de marzo de 1791, con la definición del Sistema Métrico Decimal a partir de las propuestas de dos comisiones. La unidad de longitud, el metro, se definió igual a la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre. Los franceses, Pelambre y Méchain fueron los encargados de medir el arco del meridiano terrestre que pasa por Paris, comprendido entre Dunkerque y el castillo de Monjuich en Barcelona. A partir de la unidad fundamental, el metro, se definieron todas las otras unidades: las de superficie, las de volumen, las de peso y las de capacidad. Por ejemplo, el gramo se definió, para la época, como el peso de la masa de un centímetro cúbico de agua destilada, pesada en el vacío, a la temperatura de 4º C. El Sistema Métrico Decimal es un Sistema, porque comprende un conjunto de medidas relacionadas entre sí, es métrico porque su unidad fundamental es el metro y es decimal, porque sus medidas aumentan y disminuyen en potencia de 10. Tanto en las medidas de longitud como en las demás, se utilizan múltiplos y submúltiplos a partir de la unidad. Para los submúltiplos se asignaron prefijos latinos: “deci” para diez; “centi” para cien; “mili” para mil y así sucesivamente. Mientras que para los múltiplos se estableció el uso de prefijos griegos: “deca” para diez; “hecto” para cien; “kilo para mil, etc. Para transformar medidas de longitud de una magnitud a otra, vamos a utilizar la siguiente estrategia: Kilómetro (Km.) Hectómetro (Hm.) Se divide entre 10 por cada Decámetro (Dm.) escalón que subes Metro (m.) Se multiplica por 10 por Decímetro (dm.) cada escalón que bajes Centímetro (cm.) Milímetro (mm.) Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 1: Transformar: 35,328 Km a m 17
  • 18. Si verificamos la escalera anterior, para pasar de kilómetros a metros, tenemos que bajar tres escalones. Entonces, según el procedimiento debemos multiplicar por 10, por 10 y por 10. Es decir: (35 ,328 ). 10 . 10 . 10 = (35 ,328 ).(10 3 ) Recuerda, cuando se multiplica una cantidad por una potencia de base 10 se corre la coma hacia la derecha tantos espacios como lo indique el exponente de la potencia. Por lo tanto, (35,328).10 3 = 35328,0 Observa que la cantidad tiene tres decimales y se está multiplicando por 10 3 , la coma se corrió a la derecha tres espacios, esto hace que la cantidad quede sin decimales: (35,328).10 3 = 35328 ∴ 35,328 Km. son 35328 metros. Ejemplo 2: Transformar: 21307 mm a Dm. Si verificamos la escalera anterior, para pasar de milímetros a decámetros, tenemos que subir cuatro escalones. Entonces, según el procedimiento, debemos dividir entre 10, entre 10, entre 10 y entre 10. Es decir: 21307 21.307 = 10.10.10.10 10 4 Recuerda que cuando se divide una cantidad por una potencia de base 10, se corre la coma hacia la izquierda, tantos espacios como lo indique el exponente de la potencia. Si la cantidad es un número entero, la coma se omite, pero podemos agregarle la coma para indicar que tiene cero (0) decimales, así: 21307,0 21307,0 Luego: = 2,13070 10 4 Observa que la coma se corrió hacia la izquierda cuatro espacios, de acuerdo al exponente de la potencia de base 10. Por lo tanto: 21307 mm son 2,1307 Decámetros. Te proponemos algunos ejercicios para que practiques este procedimiento de conversión de medidas: 1. 3584,1 dm a Dm 2. 1 435 Km a cm , 3. 0,000153 Hm a mm 4. 58973,003 cm a Hm 5. 3 dm a m 6. 1 m a Dm 18
  • 19. Los múltiplos y submúltiplos en el sistema métrico decimal, se justifican por lo siguiente: Imagínate que un sastre desea cortar cantidades de mangas para camisas, es de suponer que necesitará convertir los centímetros en metros para determinar cuantas mangas puede cortar de cada metro de tela. Mientras que es diferente en el caso de un ciclista profesional, sus actividades o recorridos son en grandes distancias, estas cantidades bastaría expresarlas en Kilómetros y no en centímetros; pues no es que no se pueda, pero no sería lo adecuado. El sistema de medidas de superficie es el mismo que el utilizado en las longitudes, a diferencia de que aquí se expresan en unidades cuadradas. Por ejemplo, para expresar el área de un terreno se puede hacer en metros cuadrados (m2) o kilómetros cuadrados (Km2). Recuerda que las superficies se representan en dos dimensiones. Para realizar conversiones de medidas de superficie se puede aplicar el procedimiento de la escalera; pero debes tener cuidado, pues las medidas aumentan o disminuyen en potencias de 100, es decir 102. Ocurre lo mismo con las medidas de capacidad, cuyas medidas nos dan a conocer el volumen de un cuerpo. Se sabe que un cuerpo tiene tres dimensiones, por tal motivo, al hablar del volumen de una caja, de un tanque, entre otros; se puede representar en centímetros cúbicos, metros cúbicos, etc. Las conversiones que se realizan en medidas de capacidad aumentan o disminuyen en potencias de 1000, es decir, 103. Multiplicas Multiplicas por Km2 por 102 por Km3 103 por cada Hm2 cada escalón Hm3 escalón que bajes 2 que bajes 3 Dm Dm m2 m3 dm2 dm3 Divides por 102 cm2 cm3 Divides por 103 por cada escalón mm2 por cada escalón mm3 que subas que subas Escalera para transformar medidas de Escalera para transformar medidas de capacidad superficie. Revisemos algunos ejemplos sobre conversiones de medidas en superficie y de capacidad. Ejemplo 3: Transformar 12 m2 a cm2 Según la escalera, para pasar de metros a centímetros se tiene que bajar dos escalones, entonces se debe multiplicar la cantidad dada por 100, y por 100, es decir: 19
  • 20. (12).100.100 = (12).10 2.10 2 (12).10 2.10 2 = (12).10 4 (12).10 4 = 120000 Por lo tanto: 12 m2 a cm2 = 120000 cm2 Ejemplo 4: Transformar: 3,5 cm3 a m3 De acuerdo a la escalera, para pasar de centímetros a metros hay que subir dos escalones, por lo tanto se debe dividir entre 1000, y entre 1000, esto es; 3 ,5 3 ,5 3 ,5 = 3 3 = 1000 . 1000 10 . 10 10 6 Según el procedimiento, cuando se divide entre una potencia de base 10 se corre la coma hacia izquierda tantos espacios lo indique el exponente de la potencia. Entonces; 3,5 = 0,0000035 10 6 En conclusión: 3,5 cm3 a m3 = 0,0000035 m3 Resuelve los siguientes ejercicios para que adquieras un mayor dominio de tus habilidades: Realiza las siguientes conversiones de unidades y resuelve los problemas planteados: 7. 5,823 Dm3 a cm3 8. 0,0045 m3 a Km3 9. 8 dm2 a mm2 1 2 10. m a Hm2 5 1 1 11. Km3 a Dm3 12. Hm2 a cm2 100 1000 3 13. mm3 a Km3 8 14. Un maratonista, para su entrenamiento, realiza durante cinco días los siguientes recorridos: el primer día recorre 950 Dm, el segundo día 122 Hm; en el tercer día 14 Km, en el cuarto 15420 m, y para el último día recorre 1.800.000 cm. ¿Cuántos kilómetros recorre en los cinco días? 15. Calcula la diferencia que existe entre un recipiente, cuya capacidad es de 54 m3 y otro de 44.100.000 cm3 20
  • 21. Se sabe que la unidad de volumen en el Sistema Internacional de Medidas es el metro cúbico (m3), pero existe otra unidad de medida para representar las capacidades de los cuerpos como lo es el litro (l) que se relaciona con la unidad anterior, ya que 1 decímetro cúbico (1 dm3) es equivalente a 1 litro de agua pura a temperatura de 4º C. Litro, centilitro, mililitro, son medidas de capacidad que tienen sus equivalentes en volumen, por ejemplo: 1 m3 = 1000 dm3 = 1000 Litros 1 dm3 = 1000 cm3 = 1 Litro 100 cm3 = 100 mililitros 1cm3 = mililitro Si nos vamos a situaciones de la vida cotidiana; en varios productos es frecuente expresar sus cantidades en cm3 (abreviado cc) o en mililitros (ml). También es usual en muchos productos: perfumes, cosméticos, medicinas, entre otros, expresan las cantidades del producto (capacidades netas de los recipientes que los contienen) en una unidad inglesa expresada como fl oz (onza de fluido). Por ejemplo: 16,9 fl oz (500 ml); 4,2 fl oz (125 ml), tal cual como se lee en las etiquetas de esos productos. ¿Cuántos ml equivalen a 1 fl oz? Realiza las siguientes conversiones: 16. 3240 ml a m3 17. 53 dm3 a ml 21
  • 22. LECTURA N° 15: FIGURAS POLIGONALES Tomado con fines instruccionales de: Suárez, E. y Cepeda, D. (2003). Matemáticas de Educación Básica. Caracas Editorial Santillana, S.A. (p.149). Un polígono es la parte del plano limitada por una línea poligonal cerrada. Fíjate en el siguiente polígono: Plano • Los segmentos AB, BC, CD, DE, EF, FG y GA se denominan lados. • El vértice de un polígono, es el punto de intersección de dos segmentos o lados. Dos vértices son consecutivos si son extremos de un mismo lado. Los vértices se denotan así: vértice A, vértice B, etc. Este polígono tiene 7 vértices. • El ángulo interno de un polígono, es la abertura formada por dos lados en un vértice. Los ángulos denotan así: ∠BEC , ∠ABC , ∠FEB , ∠FED , ∠EBC , ∠EBA , etc. Hay muchos ángulos en este polígono. • La diagonal de un polígono, es el segmento de recta que une dos vértices que no pertenecen a un mismo lado. Tenemos la diagonal BE, y podemos trazar en este mismo polígono, diagonales entre los vértices: A y C, A y D, A y E, A y F, B y D, B y F entre otros. • El perímetro de un polígono se calcula sumando las medidas de las longitudes de cada lado. El perímetro de este polígono es igual a: P = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA . Se habla de polígonos convexos y polígonos cóncavos. Un polígono es convexo, si cada uno de sus ángulos interiores es menor de 180º. Es cóncavo si uno de sus ángulos es mayor de 180º. Polígono Cóncavo Polígono Convexo 22
  • 23. Clasificación de los polígonos Los polígonos se clasifican según sus lados en: Número de lados Nombre del polígono 3 Triángulos 4 Cuadriláteros 5 Pentágonos 6 Hexágonos 7 Heptágonos 8 Octágonos 9 Eneágonos 10 Decágonos 11 Undecágonos 12 Dodecágonos Un polígono es regular, cuando todos sus lados miden igual y todos sus ángulos también son iguales. La apotema de un polígono regular, es el segmento de recta que une el centro del polígono con el punto medio de uno de sus lados. 23
  • 24. LECTURA N° 16: LOS TRIÁNGULOS, LOS CUADRILÁTEROS Y SUS RELACIONES MÉTRICAS Tomado con fines instruccionales de: Fundación Polar. Matemática para todos. [Consulta en línea]. Disponible: http://www.fpolar.org.ve/matemática. (Consulta: 2007, enero 12). LOS TRIÁNGULOS El triángulo tiene una característica especial, es estable; por ello es vital en la industria, en efecto, si a una estructura en forma de triángulo se le aplica una fuerza en uno de sus vértices, la forma del triángulo permanece. Observa las estructuras de una torre utilizada en la extracción de petróleo, o las torres que sostienen algunas antenas parabólicas, y también en muchos edificios. El triángulo es un polígono de tres lados. El triángulo ABC se refiere al triángulo determinado por los puntos A, B y C. En este caso sus lados son los segmentos AB, BC y AC. Los ángulos del triángulo son los ángulos de vértices A, B y C, es decir, ∠ CAB, ∠ ABC y ∠ BCA. El símbolo Δ representa la palabra triángulo. Así Δ ABC significa el triángulo ABC. Clasificación de los triángulos Según sus ángulos: Acutángulo: Tiene tres Obtusángulo: Tiene un ángulos agudos ángulo obtuso (miden Rectángulo: Tiene un (miden menos de 90º) más de 90º) ángulo recto (mide 90º) Según sus lados: Escaleno: Todos sus Equilátero: Tiene tres Isósceles: Tiene dos lados miden distinto. lados miden igual lados que miden igual 24
  • 25. Otros elementos de los triángulos Alturas: Segmento Bisectrices: Semirrecta Medianas: Segmento Mediatrices: Recta desde cada vértice que divide cada ángulo desde cada vértice al perpendicular a cada perpendicular al lado en dos ángulos iguales punto medio del lado lado en su punto medio opuesto opuesto Ortocentro: Punto de Incentro: Punto de Baricentro o Centro de Circuncentro: Punto de intersección de las intersección de las gravedad: Punto de intersección de las alturas bisectrices y centro del intersección de las mediatrices y centro del círculo inscrito en el medianas círculo circunscrito al triángulo triángulo LOS CUADRILÁTEROS: Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados, se caracterizan por tener cuatro lados, cuatro vértices, cuatro ángulos interiores, cuatro ángulos exteriores y dos diagonales. Observa las figuras: Lado A Vértice A B Diagonales C Ángulo exterior α B D D Ángulo C interior Cuadrilátero Cóncavo Cuadrilátero En el cuadrilátero convexo se muestra que: - Los lados son los segmentos: AB, BC, CD, DA. - Los vértices, son cada punto de encuentro de los lados: A, B, C y D. - Los ángulos internos, son cada abertura entre dos lados consecutivos, son: * ∠ DAB, ∠ ABC, ∠ BCD, ∠ CDA. (Observa las tres letras, la que está en el medio es de donde surge el ángulo) * El signo “ ∠ ” se lee ángulo 25
  • 26. - Las diagonales, son cada segmento que une dos vértices opuestos, son: AC, BD. - La letra griega “ α ” se lee Alfa y denota un ángulo exterior. A un cuadrilátero se le puede calcular el perímetro y su área. - El perímetro es la suma de las longitudes de sus cuatro lados: Perímetro del cuadrilátero ABCD = AB + BC + CD + DA. Sabemos que un triángulo tiene tres ángulos y la suma de las medidas de esos ángulos es de 180º. Un cuadrilátero se puede dividir en dos triángulos trazando una de sus diagonales, por tal motivo los cuatro ángulos del cuadrilátero al sumarse se obtiene 360º. La suma de los cuatro ángulos del cuadrilátero: ABCD: ∠DAB + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA = 360º O también: Letras griegas: A B α + β + δ + σ = 360º α se lee Alfa α β β se lee Beta δ se lee Delta σ se lee Sigma δ σ D C Clasificación de los Cuadriláteros: CUADRILÁTEROS FIGURA Y DIAGONALES Rectángulos A B D C Cuadrado A B Paralelogramos D C A B Rombo C D A B Romboide D C A B Trapecio Rectangular D C 26
  • 27. A B Trapecios Trapecio Isósceles D C A B Trapecio Escaleno D C A B Trapezoides D C Ejercicios propuestos: calcula el perímetro en cada figura. 18. Cuadrado de lado 2/3m. 19. Un rectángulo formado con las unión de dos cuadrados de lado 8 m. 20. Triángulo isósceles 7m 10 m 21. Un rombo formado por la unión de dos 6m triángulos equiláteros de lado x/2 22 m 27
  • 28. LECTURA N° 17: LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ELEMENTOS Tomado con fines instruccionales de: Santamaría, J (2007). La Circunferencia y sus Elementos. [Artículo no publicado]. UNEFA, Tinaquillo, Estado Cojedes. La circunferencia, es el conjunto infinito de puntos que están a una misma distancia de un punto fijo llamado centro. La distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se le llama radio. Elementos de una circunferencia: La distancia del centro al punto R o segmento OR es un radio de la circunferencia. La distancia del punto P al punto Q o segmento PQ es un diámetro de la circunferencia. Un diámetro equivale a dos veces el radio. La distancia del punto A al punto B o segmento AB es una cuerda de la circunferencia. La recta “s” que toca dos puntos, el punto M y el punto N, de la circunferencia es una recta secante a la circunferencia. Fig. 1 La recta “t” que toca un solo punto, el punto P, de la circunferencia es una recta tangente a la circunferencia. El conjunto de puntos que pertenecen a la circunferencia y están entre dos puntos de ella, entre el punto A y el punto B, por ejemplo, se le llama arco de la circunferencia. El arco de extremos A y B se denota arco. (Fig. 2) Los puntos A, O y B describen un ángulo central a la circunferencia, y se denota ∠AOB . El conjunto infinito de puntos que forman la circunferencia y los interiores a ella conforman una superficie llamada círculo. La región comprendida entre los puntos A, B y O, o mejor dicho, todos los puntos interiores al ángulo ∠AOB representa un sector circular de dicho Fig. 2 círculo. 28
  • 29. A una circunferencia es imposible calcularle el área, pues sólo representa una línea cerrada que limita al círculo, a la circunferencia se le puede calcular la longitud y al círculo se le calcula el área. La fórmula para hallar la longitud de una circunferencia es: L = π ⋅ 2r , siendo π ≈ 3,14 y r = radio de la Fig. 3 π ⋅ r ⋅ nº circunferencia y para determinar la longitud un ángulo central se utiliza: L= . 180º Mientras que la fórmula para hallar el área de un círculo es: A = π ⋅ r 2 . π ⋅ r 2 ⋅ nº Y para calcular el área de un sector circular se usa: A = , donde “ n 0 ” representa la 360º amplitud del ángulo. El ángulo central de una circunferencia es aquel que está formado por dos de sus radios. Cada ángulo central determina una cuerda y un arco, y a la vez cada cuerda determina un arco y un ángulo central, y un arco determina un ángulo y una cuerda. Observen la Fig. 3, allí se describe en el ángulo central ∠DOE , el arco y la cuerda DE. La medida de amplitud de un arco de una circunferencia se representa en grados (º), y la de un ángulo central de la misma manera, ya habíamos dicho que un ángulo central determina un arco y viceversa, esto indica que las medidas en grados para ambos son iguales. Es decir, si un arco mide 60º, su ángulo central mide 60º. Ejercicios: 22. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia que tiene de radio 5 Km? 23. ¿Qué longitud tiene un arco cuya amplitud del ángulo central es de 30º? 24. Determina el área de un sector circular, si su ángulo central es de 22º. 25. Calcula el área de un círculo cuyo diámetro es de 25 metros. 26. En una semicircunferencia el radio es de 3/2 cm ¿cuál es su longitud? 1 27. La longitud del arco de una circunferencia es de π , calcula la medida de su ángulo 3 central. 28. Hallar el diámetro de un círculo, sabiendo que su área es igual a 100π. 29
  • 30. LECTURA N° 18: CUERPOS GEOMÉTRICOS Y SUS ELEMENTOS Tomado con fines instruccionales de: Santamaría, J (2007). Los Cuerpos Geométricos y sus Elementos. Artículo no publicado. UNEFA, Tranquillo, Estado Cojedes. En la geometría plana, se estudian aquellas figuras y formas geométricas que tienen una o dos dimensiones; y sólo se pueden representar en una superficie plana, como la circunferencia, el círculo, el triángulo, los cuadriláteros y demás polígonos. La geometría del espacio se encarga de estudiar aquellas formas, cuerpos y objetos que tienen tres dimensiones. Estas formas se encuentran en el mundo real, sea de manera artificial, construidas por el hombre, como por ejemplo: edificaciones, herramientas, envases, entre otros y la que pertenecen a la naturaleza, como: árboles, montañas, roca, planetas, animales, seres humanos. CARACTERÍSTICAS DE ALGUNOS CUERPOS GEOMÉTRICOS La esfera: es un cuerpo cuya superficie es curva, carece de vértices y su volumen se calcula 4 mediante la fórmula: V = π .r 3 3 Si hacemos un corte a una esfera hueca con un plano obtenemos una circunferencia. Observa la siguiente figura: Plano Circunferencia C r Circunferencia máxima P La distancia de C a P es el Radio Figura 7 Si la esfera es sólida como una bola, al realizar el corte obtendríamos el círculo. 30
  • 31. El Cilindro: es un cuerpo mixto; es decir, tiene superficie plana y superficie curva. El cilindro consta de dos caras circulares, donde cualquiera de ellas pueden servir de base, y de una determinada altura. Su volumen se halla mediante la fórmula. V = Área de la base x Altura. Si hacemos un corte al Eje cilindro con un plano paralelo a la base, se obtiene un círculo. Si el corte se hace perpendicular a la base, se obtendría un Base rectángulo. Base El Cono: es un cuerpo de base plana y de superficie lateral curva. A diferencia del cilindro, el cono sólo tiene una base y tiene un vértice. El volumen de un cono se calcula mediante la fórmula: π .r 2 .( Altura ) V= Vértice 3 Si hacemos un corte con un plano paralelo a la base del cono se obtiene un círculo. Eje Base Poliedros: Muchas edificaciones construidas por los humanos y algunos cuerpos de la naturaleza tienen forma de poliedros. Los poliedros son cuerpos limitados por un número finito de superficies planas. Estas superficies planas son polígonos que reciben el nombre de caras del poliedro. La intersección de dos caras forman una arista y el punto de intersección de tres o más caras es un vértice. Entre los poliedros se encuentran: Las pirámides y los prismas. Las pirámides: Son poliedros cuyas caras laterales tienen forma de triángulo; el número de triángulos o caras laterales de una pirámide, depende del número de lados de la base. Éstas pueden ser de base triangular, cuadrada, pentagonal, etc. Los triángulos que conforman las 31
  • 32. caras de la pirámide convergen en un punto, es decir, tienen un punto en común; este punto recibe el nombre de vértice de la pirámide. Vértice Arista Cara Base cuadrada Pirámide Hexagonal Pirámide cuadrada Los prismas: son cuerpos geométricos tridimensionales, la característica más sobresaliente es que dos de sus caras son paralelas (caras opuestas) y congruentes, llamadas bases del prisma. Cada prisma recibe su nombre de acuerdo a la forma de sus bases. Los prismas, cuyas caras laterales son rectángulos, son llamados prismas rectos; de otra forma son llamados prismas oblicuos. Los prismas rectangulares o “cajas” también son llamados paralelepípedos. Veamos algunos prismas: Base cuadrada Vértice Bases Cara lateral Triangulares Prisma Triangular Arista Algunas cosas curiosas de la naturaleza guardan relación con estas formas geométricas, por ejemplo: ¿Has llegado a ver de cerca un panal de abejas? Si lo observas detalladamente parece un piso cubierto de mosaicos hexagonales. Pero su forma tridimensional es la de prismas rectos hexagonales. Si comparamos los perímetros entre el triangulo equilátero, el cuadrado y hexágono regular, el de este último es menor, para un área establecida. Esto significa, que para la construcción de los panales de abejas en forma de prisma hexagonal, se usa menos cera. 32
  • 33. LECTURA Nº 19: EL NÚMERO PI ( π ) Y EL CÁLCULO DE ÁREAS Tomado con fines instruccionales de: π Fundación Polar. El número pí ( ) y el cálculo de áreas. Artículo en línea disponible en: http://www.fpolar.org.ve/matemática. [Consulta en línea], de fecha 2007, enero 12. El número π (Pi), tiene un origen un poco extenso y muy apasionante; en la antigua Grecia, su aparición se relacionó con el resultado de dividir la longitud de una circunferencia entre la longitud de su diámetro, por lo que se denota con letra griega π, inicial de la palabra “περιμετρο” que significa perímetro. Leonard Euler (1707-1783), matemático suizo, fue quien hizo famosa la notación de π, a pesar de haberla implementado en sus estudios William Jones muchos años antes. La aproximación al número π se remonta a las civilizaciones más antiguas, ejemplo de ello fueron los babilonios y egipcios, que aún cuando desconocían su nombre y simbología, le atribuyeron el valor “3” obtenido con la aproximación de la longitud de una circunferencia mediante “6r” que es el perímetro del hexágono regular inscrito. Es decir, de la relación r Lado del hexágono = radio 6r = 2πr, se obtiene que π = 3 r de la circunferencia r=r Hay un pasaje de la Biblia donde también se puede deducir ese valor “3”: “…Él, hizo también un vaso de metal fundido, la gran cuba, que tenía diez codos de diámetro y era perfectamente redondo, y tenía cinco codos de alto, en tanto que un cordón de treinta codos medía la circunferencia”. De aquí se cumple que: π = 30 codos/10 codos = 3. Aún en nuestra era, se hacen cálculos sobre π llegando a representarlo con 109 cifras decimales. Éste número es tomado en cuenta en muchas fórmulas matemáticas relacionadas con medidas: longitud de una circunferencia, área de un círculo, área de un óvalo, volumen de un cilindro, de un cono y de una esfera, área de la superficie de una esfera, entre otros. El primer matemático que hizo cálculos de π con muchas cifras, 707 cifras decimales, fue el inglés William Shanks en 1873, cifras que adornan la cúpula del “Palacio del Descubrimiento” en el Museo de Ciencias de Paris. Esta cúpula se encuentra en una sala que tiene 10 metros de diámetro y π decámetros de perímetro. 33
  • 34. El matemático e ingeniero venezolano Francisco José Duarte (1883-1972), nacido en Maracaibo, también calculó el número π con muchas cifras. Duarte escribió, en 1956, una monografía sobre los números irracionales π y ℮ Procedimientos para calcular áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos: En muchas labores de la vida cotidiana se deben hacer cálculos para determinar el área de una determinada región, ya sea sobre un terreno donde se va a cultivar, alguna edificación que se va a construir, sobre un piso que se va a cubrir con alfombra o cerámica, sobre una pared o un lienzo donde se va realizar una pintura, entre otros. También es importante realizar cálculos de volumen en situaciones donde se necesite saber cuántos litros de agua requiere una piscina, un tanque, una botella o cualquier otro envase o la cantidad de cajas que ocupan una habitación o cava, entre otras actividades de la vida diaria. El área de una figura plana es la medida de la región encerrada por líneas poligonales, en otras palabras, es la medida de la superficie. Realicemos algunos cálculos de perímetro y área: Ejemplo 1: En el terreno de béisbol, las cuatro bases forman un cuadrilátero, como se muestra en la figura. Si entre cada base hay una distancia de 90 pies, es decir, 27 metros ¿Cuántos metros recorre el bateador al dar un jonrón? 2da. Base Solución: Sólo tenemos que calcular el perímetro del 1ra. Base cuadrilátero: Recuerda que para calcular el perímetro de un polígono se suman las longitudes de sus lados. 3ra. Base Entonces: P = 27m + 27m + 27m + 27m Luego Perímetro = 4.(27m) = 108 metros. Home Por lo tanto: El bateador recorre 108 metros al dar el jonrón. ¿Calcula el área del terreno que limitan las cuatros bases? Solución: Para calcular el área del cuadrilátero que es un cuadrado, sólo debemos multiplicar la medida de un lado dos veces, así. Área = (Lado)2 27m Área = (27m)2 = (27m).(27m) = 729 m2 El área del cuadrilátero que está entre las cuatro bases es 27m de 729m2. 34
  • 35. Ejemplo 2: El terreno de una siembra de café tiene forma de un trapecio isósceles, como se muestra en la figura, se necesita saber ¿cuál es el perímetro y el área del terreno? − A B AB = 3Km − Donde: BC = 5 Km AD = BC Altura 2 − D C − 11 AF = Altura F DC = Km 2 − 8 AF = 3 Solución: Para calcular el perímetro del trapecio, aplicamos la fórmula: P = AB + BC + CD + DA 5 11 5 Entonces: Perímetro = 3Km + Km + Km + Km 2 2 2 21 27 Perímetro = 3Km + Km = Km 2 2 27 El perímetro del terreno es de Km 2 Luego, cálculo del área: El área de un trapecio se calcula mediante la fórmula: Área = (Base mayor + base menor ) ⋅ Altura 2 Donde: base mayor = DC; base menor = AB Altura = AF. Sustituyendo, queda: ⎛ 11 5 ⎞ ⎛ 16 ⎞ ⎜ Km + Km ⎟ ⎜ Km ⎟ ⎝2 2 ⎠ ⋅ ⎛ 8 Km ⎞ ⎝ 2 ⎠ ⋅ ⎛ 8 Km ⎞ Área = ⎜ ⎟ Área = ⎜ ⎟ 2 ⎝3 ⎠ 2 ⎝3 ⎠ 8KM ⎛8 ⎞ ⎛8 ⎞ Área = ⋅ ⎜ Km ⎟ Área = 4Km ⋅ ⎜ Km ⎟ 2 ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠ 32 32 Área = Km 2 El área del terreno es de Km 2 3 3 35
  • 36. Ejemplo 3: Una constructora ha dividido un terreno en cuatro partes iguales para la edificación de cuatro casas. Si el terreno tiene forma de rombo y las medidas y divisiones se especifican en la figura dada. Calcular el área de todo el terreno y el área que corresponde a cada casa. D Donde: − G DE = 10 Dm E − DF = 16 Dm − F EG = 12 Dm Solución: Para calcular el área de un rombo se aplica la fórmula: Diagonal mayor ⋅ diagonal menor Área = 2 Donde: diagonal mayor = DF y diagonal menor = EG Sustituyendo queda: Área = (16 Dm ) ⋅ (12 Dm ) = 192 Dm 2 Área = 96 Dm 2 2 2 Luego el área de todo el terreno es igual a 96 Dm2. Para calcular el área de una de las divisiones, podemos dividir el área total entre 4 o tomamos una de las cuatro divisiones; que representan triángulos y le calculamos el área. D Para calcular el área del DEC, se necesita conocer la base “CE” y la altura “CD”. G E C Base . Altura F Recuerda que Área = 2 Como las diagonales de un rombo se cortan en sus puntos medios, entonces: La mitad de la diagonal EG es igual a CE. − EG 12 Dm = = 6 Dm DF Esto es: 2 2 También: = CD 2 CE = 6 Dm = base DF 16 Dm − Esto es; = = 8 Dm CD = 8Dm = Altura 2 2 Por lo tanto: Área = (6 Dm ) ⋅ (8Dm ) = 48Dm 2 = 24 Dm 2 2 2 36
  • 37. Ejemplo 4: Miguel es albañil y quiere construir en el patio de su casa un caney de base pentagonal. Si del centro de la superficie de la base, al punto medio entre dos columnas la distancia es de 7 metros, y entre cada columna hay una distancia de 3 metros; ¿Cuál es el área del 2 pentágono? Solución: A Los vértices A, B, C, D, E son los puntos donde van las columnas. El segmento FH es un apotema. E B F Como AB = 3m y el pentágono es regular, entonces, D H C 7 AB = BC = ED = DC = CB y FH = m 2 Luego, para calcular el área de un pentágono regular se aplica la fórmula. Área = (Perímetro del polígono ) ⋅ Apotema 2 Entonces; Perímetro = AB + BC + CD + DE + AE Pero como todos los lados miden igual Perímetro= 5.( AB ) = 5.(3m ) = 15m Por lo tanto; (15m ) ⋅ ⎛ 7 m ⎞ ⎜ ⎟105 2 m ⎝2 ⎠= 2 105 2 Área = = m es el área del pentágono. 2 2 4 Cálculos de algunos volúmenes en cuerpos geométricos Ejemplo 5: Una tarde, el joven Julio caminaba con su padre por cierta avenida y observa, detalladamente, las cosas a su alrededor. Julio dice: - Papá, viste que algunos carros, en la parte trasera, llevan escrito algunos símbolos como: 1.3L, 1.6L, 2.0L, 4.5L, etc. ¿qué significan esos números? El padre, como todo un experto, le contesta: - Hijo, esas expresiones hacen referencia a la cilindrada del automóvil, en otras palabras al volumen útil de los cilindros; cuanto mayor es la expresión que allí se indica mayor es la cilindrada del vehículo. Por ejemplo, en un carro de cuatro cilindros, si calculamos el volumen 37
  • 38. de cada cilindro, mediante la fórmula: V = π ⋅ r 2 ⋅ h , siendo π ≈ 3,1416 ; h = altura = 7,548cm y r = radio = 4,1035cm . Sustituyendo la fórmula, queda: V = (3,1416) ⋅ (4,1035cm) 2 ⋅ (7,548cm) = 399,29cm 3 , ésta representa la capacidad para cada cilindro. Si el carro de es 4 cilindros, entonces la cilindrada es de: 4V = 4(399,29cm ) = 1597,16cm . 3 3 Redondeando esta cantidad por exceso nos resulta, que: V = 1600cm 3 , esto es equivalente a decir V = 1,6 litros y se anota de esta manera para simplificar la escritura. Ejemplo 6: Una piscina, tiene la forma de un prisma como el que se muestra en la figura. ¿Cuántos litros de agua se necesitan para llenarla por completo? Solución: Observa que si la piscina fuese un paralelepípedo el volumen sería: V = ( Área base) ⋅ altura Esto es, V = (10m ⋅ 4m) ⋅ (4m) Luego; V = 160m 3 Pero a la piscina le hace falta un pedazo, para ser un paralelepípedo, algo como esta forma; un prisma triangular, cuyo volumen es: ( Área base) V= ⋅ altura . Sustituyendo, queda; 2 (4m ⋅ 4m ) ⋅ 5 2 m (16m )5m = 80m 2 3 V = = = 20m 3 2 4 4 Luego, al volumen del paralelepípedo le restamos el volumen del prisma triangular y nos dará el volumen de la piscina, así: Volumen de la piscina = 160 m 3 − 20 m 3 = 140 m 3 Pero nos piden la capacidad de la piscina en litros, por lo que hay que transformar 140m 3 a litros ; para hacer esto, primero tenemos que trasformar 140 m 3 a dm 3 . De acuerdo a la escalera de conversión, se tiene que: 140 m a dm = 140 .000 dm , si se sabe que 3 3 3 1dm 3 = 1litro , entonces; 140 .000 dm 3 = 140 .000litros . Por lo tanto, la piscina necesita 140 .000litros de agua para llenarse por completo. Te proponemos algunos ejercicios y problemas, debes ejercitar todo lo relacionado al cálculo de áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos. Ejercicios: 29. ¿Cuál es el área de un triángulo cuya base mide 35 cm y su altura es 3/5 de la base? 30. ¿Cuánto mide la base menor de un trapecio que tiene como área 204 m2, la base mayor es de 32 m y su altura es de 12 m? 38
  • 39. 31. ¿Cuál es la medida de uno de los lados de un polígono regular de 16 lados, de apotema igual a 60 cm y área 16000 cm2? 32. ¿Cuál es el área de un círculo cuyo perímetro es de 52 dm? Según la figura que se te indica a continuación, realiza los cálculos respectivos: 33. Si el área de la figura es igual a 68 cm2 ¿cuánto vale b? b 9 cm. 34. El triángulo ABC es isósceles; si AD = 11 cm. A y CD = 7/2 cm. ¿cuánto vale el área? C D B 35. El trapecio de la figura se ha construido con tres triángulos rectángulos, donde uno de ellos es isósceles. Halla el área 13 cm. 13 cm. 12 cm. 12 cm. del trapecio de dos maneras: usando la fórmula del área del trapecio y hallando la suma de las áreas de los tres 7 cm. 7 cm. triángulos rectángulos. Resuelve los siguientes problemas: 36. La habitación de Juana, mide 4 m. de ancho, 5 m. de largo y 5/2 m. de alto. El área de la puerta y la ventana es de 2 m2. Ella desea colocar papel tapiz a las cuatro paredes; si cada rollo de papel mide 50 cm. de ancho por 5 m. de largo ¿Cuántos rollos de papel necesitaría Juana para cubrir las paredes? 37. En Tinaquillo hay una estación de radio que tiene una cobertura igual a un radio de 72 Km. ¿Cuántos kilómetros cuadrados cubre la señal de la estación de radio? 38. Carlos tiene un terreno de forma cuadrada, cuyo lado mide 18 m. En cada esquina del terreno hay un poste y un caballo atado por una cuerda de 9 m. ¿Qué parte del terreno no puede ser recorrida por el caballo? 39. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos: 39
  • 40. 40. El volumen de un cilindro es 330п cm3. Calcula el radio de la base si la altura mide 6 cm. 41. Determina la altura de un cono que tiene un volumen de 108п m3 y el área de la base es igual a 36п m2. LECTURA Nº 20: THALES Y LA PIRÁMIDE DE KEOPS Tomado con fines instruccionales de: Fundación Polar. Thales y la pirámide de Keops. Artículo en línea, disponible en: http://www.fpolar.org.ve/ matemática. [Consulta en línea] de fecha 2007, enero 11. En la actualidad, el procedimiento más común para realizar medidas en cuerpos geométricos y figuras planas, es la aplicación de fórmulas matemáticas. Esas medidas que llamamos áreas y volúmenes, no se calculan directamente ya que se deben medir previamente ciertas magnitudes. Por ejemplo: Figura Área Triángulo base ⋅ altura A= 2 Trapecio B+b A= ⋅ altura 2 40
  • 41. Figura Área Paralelogramo A = base ⋅ altura Rectángulo A = base ⋅ altura Rombo A= producto _ de _ diagonales 2 Cuadrado A = (lado) 2 Círculo A = π ⋅ r2 Cuerpo Volumen Prisma recto V = área _ de _ base ⋅ altura Cubo V = (lado) 3 Pirámide área _ de _ base ⋅ altura V = 3 Cilindro V = π ⋅ r 2 ⋅ altura Cono π ⋅ r 2 ⋅ altura V = 3 Esfera 4 V = π ⋅ r3 3 41
  • 42. BILIOGRAFÍA Cuadros, B. (2005). “Prevenir y Corregir el Error”. Revista Matemáticas Recreativa, Vol. 2, Nº 3. Bogotá, Colombia : Universidad de los Andes. Feria, D. (s.f.) Trigonometría ¿Para qué sirve? Artículo en línea. Disponible: http://www.es.geocities.com/dferiagomez. [Consulta: diciembre 6, 2007] Feria, D. (s.f.) Trigonometría, ¿Para qué sirve? Artículo en línea. Disponible: http://www.es.geocities.com/dferiagomez. [Consulta: diciembre 6, 2007] Fundación Polar. El Mundo de la Matemática. Fascículo 6. Ecuaciones, pp.5-6. Caracas: Últimas Noticias. π Fundación Polar. El número pí ( ) y el cálculo de áreas. Artículo en línea disponible en: http://www.fpolar.org.ve/matemática. [Consulta en línea], de fecha 2007, enero 12 Fundación Polar. Matemática para todos. [Consulta en línea]. Disponible: http://www.fpolar.org.ve/matemática. (Consulta: 2007, enero 12) Fundación Polar. Thales y la pirámide de Keops. Artículo en línea, disponible en : http://www.fpolar.org.ve/ matemática. [Consulta en línea] de fecha 2007, enero 11. Fundación Polar: Matemática para todos. Fascículo 10. (pp. 153-155 y 145-151). [Consulta en Línea]. Octubre 2007. Gómez T; González N; Lorenzo J. (2007). Ecuaciones. Artículo no publicado. Caracas. Gómez, B., Gómez, T., González, N., Moreno, E., Rojas M., (2006). Expresiones Algebraicas, Artículo no publicado. Caracas. Gómez, B., Gómez, T., González, N., Moreno, E., Rojas, M. (2006) Expresiones Algebraicas. Artículo no publicado. Caracas. Gómez, B., Gómez, T., González, N., Moreno, E., Rojas, M., (2006). Proporciones y Porcentajes, Artículo no publicado. Caracas. Gómez, T., González, N., Lorenzo, J., (2007) Planteamiento de Problemas. Artículo no publicado. Caracas. Gómez, T., González, N., Vergara, A. (2000). Matemáticas Básicas. Caracas: Universidad Alejandro de Humboldt Gómez, T., González, N., Vergara, A. (2000). Trigonometría. Material no publicado. Caracas. Gómez, T., González, N., Vergara, A. (2000). Trigonometría. Material no publicado. Caracas. Gómez, T., González, N., Vergara, A. (2000). Matemáticas Básicas. Caracas: Universidad Alejandro de Humboldt Gómez, T., González, N., Vergara, A. (2000). Matemáticas Básicas. Caracas: Universidad Alejandro de Humboldt Gómez, T.; González, N.; Vergara A. (2000). Matemáticas Básicas. Caracas: Universidad Alejandro de Humboldt. Martínez, M.(1998). Mi primera enciclopedia científica Matemática. México. Editorial del Valle de México, S.A. (p.40). Ochoa, A. (2007). Los Números Reales. Artículo no publicado. Caracas Ochoa, A. (2007). Los Sistemas de Numeración. Artículo no publicado. Caracas. 42
  • 43. Ochoa, A. (2007). Métodos de Factorización. Unefa. Artículo no publicado (pp.1-6). Caracas. Venezuela. Santamaría, J (2007) El Sistema Métrico Decimal. Artículo no publicado. (pp. 5). Tinaquillo, Estado Cojedes. Santamaría, J (2007). La Circunferencia y sus Elementos. [Artículo no publicado]. UNEFA, Tinaquillo, Estado Cojedes Santamaría, J (2007). La trigonometría. [Artículo no publicado]. (pp. 1- 3). Tinaquillo, estado Cojedes. Santamaría, J (2007). Los Cuerpos Geométricos y sus Elementos. Artículo no publicado. UNEFA, Tranquillo, Estado Cojedes Santamaría, J. (2006). La factorización como herramienta de simplificación. Artículo no publicado (pp.1-2). Tinaquillo, estado Cojedes. Santamaría, J. (2006). Productos Notables. Artículo no publicado (pp.1-8). Tinaquillo, Estado Cojedes. Suárez, E. y Cepeda, D. (2003). Matemáticas de Educación Básica. Editorial Santillana, S.A. (p.149). Caracas, Venezuela. Suárez, E. y Cepeda, D. (2003). Matemáticas de Educación Básica. Caracas Editorial Santillana, S.A. (p.149) 43